| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Свойства дискретного не более чем счетного объединения множеств в несимметричных пространствах И. Г. Царьковab  a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Английская версия:
Sbornik: Mathematics, 2025, Volume 216, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10104e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ настоящей работе рассматриваются важные вопросы теории приближения в более общих пространствах, чем линейные нормированные пространства, а именно, в линейных пространствах с несимметричной нормой или полунормой $\|\cdot|$ на нем. Несимметричная норма на линейном пространстве $X$ обладает свойствами: 1) $\|\alpha x|=\alpha\| x|$ для всех $\alpha\geqslant 0$, $x\in X$; 2) $\| x+y|\leqslant \| x |+\| y|$ для всех $x,y\in X$ и 3) $\|x|\geqslant 0$ для всех $x\in X$, 3a) $\|x|= 0$ $\Leftrightarrow $ $x=0$. Эта несимметричная норма задается функционалом Минковского некоторого, вообще говоря, несимметричного тела, содержащего нуль в своем ядре. Вместе с несимметричной нормой $\|\cdot|$ можно рассматривать норму симметризации: $\|x\|_{\mathrm{sym}}:=\max\{\|x|,\|-x|\}$, $x\in X$. Через $B(x,r)$ и $\mathring{B}(x,r)$ обозначим соответственно “замкнутый” и открытый шары в линейном несимметричном нормированном пространстве или в несимметричном полунормированном пространстве $\mathcal{X}=(X,\|\cdot|)$ с центром $x$ радиуса $r$, т.е. соответственно множества
$$
\begin{equation*}
\{y\in X\mid \|y-x|\leqslant r\} \quad\text{и}\quad \{y\in X\mid \|y-x|< r\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Надо отметить, что шар $B(x,r)$ может не быть замкнутым множеством относительно топологии $\tau$, порожденной открытыми шарами как предбазой. Отметим, что если шар $B(0,1)$ – замкнутое множество, то все шары $B(x,r)$ являются замкнутыми множествами. При этом несимметричное пространство является хаусдорфовым, а несимметричная норма является непрерывной функцией относительно себя (см. [1]). Обычно понятие открытого или замкнутого множества и замыкания множества в $X$ по умолчанию рассматривается относительно топологии $\tau$. Также непрерывность отображения $f\colon E\to X$ на топологическом пространстве $(E,\upsilon)$ по умолчанию понимается как непрерывность отображения из $(E,\upsilon)$ в $(X,\tau)$. Через $S(x,r)$ обозначим сферу с центром $x$ радиуса $r$, т.е. множество Нам также понадобится обозначение единичных сфер $S=S(0,1)$ в пространстве $X$. Обозначим также через $B^-(x,r)$ и $\mathring{B}^-(x,r)$ соответственно множества
$$
\begin{equation*}
\{y\in X\mid \|x- y|\leqslant r\} \quad\text{и}\quad \{y\in X\mid \|x- y|< r\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Топологию, порожденную открытыми шарами $\{\mathring{B}(x,r)\}_{x,r}$ ($\{\mathring{B}^-(x,r)\}_{x,r}$) как предбазой, будем называть правой (левой) и обозначать $\tau$ ($\tau^-$). В общем случае пространство с несимметричной нормой удовлетворяет только аксиоме отделимости ${T}_1$ (т.е. для любых $a, b \in X$ найдутся их окрестности $O(a)$, $O(b)$ такие, что $a\notin O(b)$, $b\notin O(a)$) и может быть нехаусдорфовым (т.е. может не удовлетворять аксиоме $T_2$). Можно также рассматривать несимметричную полунорму $\|\cdot|$, для которой все условия 1)–3) сохраняются, а условие 3a) заменяется на условие: $(\|x|= 0=\|-x|)$ $\Rightarrow$ $x=0$. А несимметричное пространство с такой полунормой $(X,\|\cdot|)$ назовем полунормированным. Отметим, что такое пространство обладает аксиомой $T_0$. Случай несимметричных полунормированных пространств будем явно формулировать в соответствующих утверждениях в отличие от несимметричных нормированных линейных пространств. Несимметричная норма (полунорма) $\|\cdot|$ является полунепрерывной сверху функцией на $X$ (см. [2; предложение 1.1.8, п. 4.i]), так как множество $\{x\in X\mid \|x|\in (-\infty,a)\}=\mathring{B}(0,a)$ открыто в топологии, порожденной семейством открытых шаров как предбазой. Отметим также, что вместе с несимметричной нормой или полунормой $\|\cdot|$ на том же пространстве удобно рассматривать норму или полунорму симметризации
$$
\begin{equation*}
\|x\|=\|x\|_{\mathrm{sym}}:=\max\{\|x|,\|-x|\}, \qquad x\in X.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что несимметричная норма и норма симметризации эквивалентны на любом конечномерном пространстве. Также полезно рассматривать симметричную полунорму $\|\cdot\|_{\Sigma}$, определяемую соотношением Отметим также, что пространство $(X,\|\cdot|)$ является хаусдорфовым (аксиома отделимости $T_2$) тогда и только тогда, когда $\|x\|_\Sigma$ является нормой (см. [3]). В [3] было доказано, что эта полунорма наибольшая из симметричных полунорм, удовлетворяющих неравенству $\|\cdot\|_{\Sigma}\leqslant\|\cdot|,\|-\cdot|$.Нам понадобится “минимальная длина” отрезка $[x,y]\subset X$, т.е. величина Как мы уже отмечали выше, $\|\cdot\|_{\Sigma}\leqslant\|\cdot|,\|-\cdot|$, поэтому $\|x-y\|_\Sigma\leqslant \ell(x,y)$, кроме того, единичный шар относительно полунормы $\|\cdot\|_\Sigma$ совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества $B(0,1)\cup B^-(0,1)$. Для произвольных непустых множеств $A,B\subset X$ рассмотрим величинуНесимметричные нормы как “функционал Минковского” возникли, по-видимому, впервые у Г. Минковского (см. [4]), в бесконечномерном анализе они были применены М. Г. Крейном (см. [5]). Сам термин несимметричная норма был предложен Крейном (см. [5]) в 1938 г. Эти несимметричные нормы были использованы при решении экстремальных задач, связанных с проблемой моментов Маркова. Важность сублинейных функционалов (так иногда называли несимметричные полунормы) в ряде задач выпуклого анализа и математического анализа была отмечена X. Кёнигом в работах [6], [7]. Естественно возникают несимметричные расстояния и в теории приближений (в частности, в задачах наилучших односторонних приближений) – В. Ф. Бабенко в [8] заметил, что приближения в пространствах с несимметричными нормами оказываются “мостиком” между наилучшими приближениями и наилучшими односторонними приближениями (в этой связи отметим работы Е. П. Долженко и E. A. Севастьянова [9], [10], а также монографии Л. Коллатца и В. Краббса [11; гл. I, § 9.E] и С. Кобзаша [2]). Также несимметричные нормы используются в задачах теоретической информатики при анализе сложности программ (см. [12]). В геометрической теории приближений и выпуклом анализе несимметричные расстояния рассматривались в работах П. А. Бородина [13], Г. E. Иванова [14], Г. E. Иванова и М. С. Лопушански [15], [16], А. Р. Алимова [17]–[19], а также в работах автора [20]–[27] и совместно с А. Р. Алимовым [28]–[30]. В этой работе мы исследуем классическое понятие аппроксимативной компактности и получаем характеризацию несимметрично нормированных линейных пространств, в которых каждое аппроксимативно компактное множество является замкнутым множеством. Таким классом пространств оказался класс несимметричных хаусдорфовых пространств (следствие 1). Затем решается задача характеризации несимметрично нормированных линейных пространств, в которых каждое аппроксимативно компактное множество (компактное непустое множество) является множеством существования (теорема 2). Затем мы находим достаточные условия, гарантирующие свойство ограниченной компактности для непустого компактного множества в несимметрично нормированных линейных пространствах (теорема 4). Далее мы решаем давно стоящую задачу в линейных нормированных пространствах, распространяя ее на более общий класс несимметрично нормированных линейных пространств. В. Кли в [31] построил пример дискретного чебышёвского множества в банаховом пространстве $\ell^1(\Gamma)$, где мощность $\Gamma$ равна кардиналу $\omega$: $\omega^{\aleph_0}=\omega$. Указанное чебышёвское множество является объединением несчетного числа точек. Поэтому сразу же возникла задача о существовании в каком-нибудь линейном нормированном пространстве счетного чебышёвского множества. В этой работе мы даем отрицательный ответ на этот вопрос, показывая, что даже в не обязательно полных несимметрично нормированных линейных пространствах счетное множество не может быть чебышёвским (следствие 2). Далее для не более чем счетного набора $\{M_j\}_{j\in J}$, $\operatorname{card}J\geqslant 2$, попарно непересекающихся множеств существования в несимметричном линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot|)$ будет показано, что их объединение не может быть $P$-линейно связным множеством (теорема 6). Также для не более чем счетного набора $\{M_j\}_{j\in J}$, $\operatorname{card}J\geqslant 2$, попарно непересекающихся замкнутых множеств в несимметричном линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot|)$, шар $B(0,1)$ которого является замкнутым множеством, показано, что если объединение $M:=\bigcup_{j\in J}M_j$ является аппроксимативно компактным множеством, то множество $M$ не является $P$-связным множеством (следствие 7). § 2. Свойства компактных и аппроксимативно компактных множеств в несимметричных пространствахОпределение 1. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное линейное пространство. Множество $M\subset X$ называется компактным, если из любого открытого покрытия этого множества можно выделить конечное подпокрытие. Множество $M\subset X$ называется ограниченно компактным, если его пересечение с любым шаром $B(x,r)$ является компактом. Множество $M\subset X$ называется регулярно ограниченно компактным, если его пересечение с любым замкнутым ограниченным множеством является компактом. Замечание 1. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное линейное пространство. Всякое компактное множество является регулярно ограниченно компактным множеством. Если шар $B(0,1)$ – замкнутое множество, то все шары $B(x,r)$ – замкнутые множества, и поэтому свойство ограниченной компактности в этом случае равносильно регулярной ограниченной компактности. Пусть $x\in X$, $M\subset X$: $M\neq \varnothing$, через $\varrho(x,M)$ обозначим расстояние от $x$ до $M$, т.е. величину Определение 2. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное линейное пространство, $M\subset X$. Точка $x\in X$ (обозначение: $x\in \operatorname{AC}(M)$) называется точкой аппроксимативной компактности множества $M$, если для любой минимизирующей последовательности $\{y_n\}\subset M$ (из $M$ для $x$), т.е. такой, что $\|y_n-x|\to\varrho(x,M)$, $n\to\infty$, найдется сходящаяся к некоторой точке $y\in M$ подпоследовательность. Если множество всех точек аппроксимативной компактности множества $M$ совпадают с $X$, то множество $M$ называется аппроксимативно компактным. Замечание 2. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное линейное пространство. Тогда любое непустое компактное множество является аппроксимативно компактным. Если последовательность $\{y_n\}$ сходится к некоторой точке $y$, то множество $M:=\{y_n\mid n\in \mathbb{N}\}\cup \{y\}$ компактно и аппроксимативно компактно. Действительно, у любой последовательности компакта есть подпоследовательность, сходящаяся к некоторой точке этого компакта. И, конечно, это верно для любой минимизирующей последовательности этого компакта для произвольной точки пространства. Таким образом, всякий непустой компакт является аппроксимативно компактным множеством. Докажем, что множество $M$ из этого замечания является компактом. Пусть $\{G_\alpha\}_{\alpha\in A}$ – произвольное открытое покрытие множества $M$. Найдется индекс $\alpha_0\in A$: $y\in G_{\alpha_0}$. Вне $G_{\alpha_0}$ находится лишь конечное число членов сходящейся последовательности $\{y_n\}$. Эти оставшиеся члены последовательности покрываются конечным набором $\{G_{\alpha_j}\}_{j=1}^N$. Тем самым набор $\{G_{\alpha_j}\}_{j=0}^N$ является конечным подпокрытием для $M$. Отсюда следует компактность и аппроксимативная компактность множества $M$. Теорема 1. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – нехаусдорфово несимметрично нормированное линейное пространство. Тогда для точки $x=0$ существует компактное (аппроксимативно компактное) множество $M\subset X$, для которого $x=0\notin M$ и $\varrho(x,M)=0$. Доказательство. Существуют две различные точки $x$ и $y$, для которых $\mathring{B}(x,\varepsilon)\cap \mathring{B}(y,\varepsilon)\neq\varnothing$ для всех $\varepsilon>0$. Делая при необходимости параллельный перенос, можно считать без потери общности, что $x=0$. Для всех $n\in \mathbb{N}$ выберем из $\mathring{B}(x,1/n)\cap \mathring{B}(y,1/n)$ произвольную точку $z_n$. По построению последовательность $\{z_n\}$ сходится к точкам $y$ и $x=0$. Так как существует число $\varepsilon>0$, для которого $y\notin O_\varepsilon(x)$, то можно считать, что $z_n\neq x$ для всех $n\in \mathbb{N}$. Нетрудно видеть, что множество является компактом и при этом $x=0\in \operatorname{AC}(M)$, $\varrho(x,M)=0$. Действительно, всякая минимизирующая последовательность из $M$ для произвольной точки $z\in X$, начиная с некоторого номера, является подпоследовательностью для последовательности $\{z_n\}_{n=0}^{\infty}$, $z_0:=y$, и, следовательно, сходится к точке $y\in M$. Тем самым $z\in \operatorname{AC}(M)$. Из произвольности выбора точки $z$ вытекает, что множество $M$ аппроксимативно компактно. Из условия $\|z_n-x|\to 0$, $n\to\infty$, следует, что $\varrho(x,M)=0$.
Теорема доказана. Отметим, что построенное в теореме 1 множество $M$ не является замкнутым. Следствие 1. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное линейное пространство. Тогда для того, чтобы всякое аппроксимативно компактное множество в $X$ являлось бы замкнутым множеством, необходимо и достаточно, чтобы пространство $(X,\|\cdot|)$ было хаусдорфовым. Доказательство. Необходимость. Предположим от противного, что пространство $(X,\|\cdot|)$ нехаусдорфово. В силу теоремы 1 построенное в нем множество $M$ является компактным и аппроксимативно компактным, но предельная для $M$ точка $x=0$ не принадлежит этому множеству, а, следовательно, это множество не замкнуто.
Достаточность. Пусть $x$ – предельная точка произвольного аппроксимативно компактного множества $M$ в хаусдорфовом пространстве $(X,\|\cdot|)$. Тогда существует последовательность $\{x_n\}\subset M$: $x_n\to x$, $n\to\infty$. Так как $M$ аппроксимативно компактно, то существует подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$, сходящаяся к некоторой точке $y\in M$. Из хаусдорфовости пространства $(X,\|\cdot|)$ и того, что подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ сходится к точке $x$, вытекает, что $x=y\in M$. Отсюда множество $M$ замкнуто. Следствие доказано. Лемма 1. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное линейное пространство, в котором шар $B(0,1)$ – незамкнутое множество, $x=0$. Тогда существует непустое компактное и аппроксимативно компактное множество $M\subset X$ такое, что любая минимизирующая последовательность для $x$ не сходится ни к одной точке $P_M(x)$. Более того, $P_M(x)=\varnothing$. Доказательство. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – нехаусдорфово несимметрично нормированное линейное пространство. В силу теоремы 1 существует компактное и аппроксимативно компактное множество $M\subset X$, для которого $x=0\in \operatorname{AC}(M)\cap \overline{M}$, $x\notin M$, и любая минимизирующая последовательность для $x$ сходится к некоторой точке $y\in M$: $y\neq x$. Для всех точек $z\in M$ верно неравенство $0=\varrho(x,M)<\|z-x|$, т.е. $y,z\notin P_M(x)$. Отсюда $P_M(x)=\varnothing$.
Рассмотрим случай, когда $(X,\|\cdot|)$ – хаусдорфово несимметрично нормированное линейное пространство, в котором шар $B(0,1)$ – незамкнутое множество. Существует последовательность $\{s_n\}\subset B(0,1)$, сходящаяся к некоторой точке $s$: $\|s|>1$. Отметим, что $\|s_n|\nrightarrow 0$, $n\to\infty$. Действительно, если бы $\|s_n|\to 0$, $n\to\infty$, то последовательность $\{s_n\}$ сходилась бы и к нулю, и к точке $s$, чего не может быть в хаусдорфовом пространстве. Существует подпоследовательность $\{t_k:=s_{n_k}\}$ такая, что $\|s_{n_k}|\to r\in (0,1]$, $k\to\infty$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl\|\frac{t_k}{\|t_k|}-\frac{s}{r}\biggr|\leqslant \biggl\|\frac{t_k}{\|t_k|}-\frac{s}{\|t_k|}\biggr| +\biggl\|\frac{s}{\|t_k|}-\frac{s}{r}\biggr| =\frac{ \| {t_k}-s |}{\|t_k|}+\|s\|_{\mathrm{sym}}\biggl|\frac{\|t_k|-r}{r\|t_k|}\biggr| \to 0, \\ k\to\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, последовательность $\{y_k:={t_k}/{\|t_k|}\}\subset S$ сходится к точке $y:=s/r$, $\|y|>1$. Построим множество
$$
\begin{equation*}
M:=\biggl\{z_n:=\biggl(\frac{n+1}{n}\biggr)y_n\biggm| n\in \mathbb{N}\biggr\}\cup\{y\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\|z_n-y|\leqslant \biggl\|z_n -\frac{n+1}{n}y\biggr|+\frac{1}{n}\|y| =\frac{n+1}{n}\|y_n-y|+\frac{1}{n}\|y|\to 0, \qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
то множество $M$ компактно и аппроксимативно компактно. Учитывая, что $1<\|z_n-0|=((n+1)/{n})\|y_n|\to 1$, $n\to\infty$, мы получим, что $P_M(0)=\varnothing$.
Лемма доказана. Замечание 3. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – хаусдорфово несимметрично нормированное линейное пространство, в котором шар $B(0,1)$ – незамкнутое множество. Рассмотрим построенное в лемме 1 для этого случая множество $M$. Существует число $\varepsilon>0$, для которого шар $B(x,1+\varepsilon)$ не содержит точку $y\in M$, но, начиная с некоторого номера, содержит члены последовательности $\{z_n\}$. Отсюда следует, что $M\cap B(x,1+\varepsilon)$ не компактно, т.е. $M$ не является ограниченно компактным множеством. Лемма 2. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное линейное пространство, в котором шар $B(0,1)$ – замкнутое множество, $M\subset X$: $M\neq\varnothing$, $x\in \operatorname{AC}(M)$. Тогда всякая минимизирующая последовательность $\{y_n\}\subset M$ для точки $x$ содержит сходящуюся подпоследовательность к некоторой точке из $P_M(x)$. При этом $P_M(x)$ – непустой компакт. Доказательство. Так как $x\in \operatorname{AC}(M)$, то всякая минимизирующая последовательность $\{y_n\}\subset M$ для точки $x$ содержит сходящуюся к некоторой точке $y\in M$ подпоследовательность $\{y_{n_k}\}$. Поскольку шар $B(x,\varrho(x,M)+\varepsilon)$ – замкнутое множество, и, начиная с некоторого номера, члены этой подпоследовательности будут принадлежать этому шару, мы получим, что и ее предел будет принадлежать этому шару. Таким образом, $y\in M\cap B(x,\varrho(x,M)+\varepsilon)$ для всех $\varepsilon>0$. Отсюда следует, что $\|y-x|=\varrho(x,M)$, т.е. $y\in P_M(x)$. Лемма доказана. Лемма 3. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное линейное пространство, в котором шар $B(0,1)$ – замкнутое множество, $M\subset X$ – непустое ограниченно компактное множество. Тогда $M$ – аппроксимативно компактно, и $P_M(x)$ не пусто для всех $x\in X$. Доказательство. Возьмем произвольные точку $x\in X$ и последовательность $\{y_n\}\subset M$: $\|y_n-x|\to\varrho(x,M)$, $n\to\infty$. Тогда для числа $R:=\sup_{n}\|y_n-x|$ последовательность $\{y_n\}$ содержится в компакте $M\cap B(x,R)$, а следовательно, у нее имеется подпоследовательность $\{y_{n_k}\}$, сходящаяся к некоторой точке $y\in M\cap B(x,R)$. Таким образом, $x\in \operatorname{AC}(M)$, и в силу леммы 2 $P_M(x)$ не пусто. Лемма доказана. Теорема 2. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное линейное пространство. Тогда следующие условия равносильны. 1. Шар $B(0,1)$ – замкнутое множество. 2. Всякое непустое аппроксимативно компактное множество является множеством существования. 3. Всякое непустое компактное (регулярно ограниченно компактное) множество является множеством существования. Доказательство. Равносильность пп. 1 и 2 теоремы вытекает из лемм 1 и 2. Отсюда равносильность пп. 2 и 3 теоремы вытекает из лемм 1–3. Теорема доказана. Определение 3. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное линейное пространство, $U\subset X$ – непустое множество. Для произвольных точек $a\in U$ и $b\in X\setminus U$ граничные точки множества $[a,b]\cap U$ относительно отрезка $[a,b]$ будем называть точками поверхности множества $U$. Множество всех точек поверхности $U$ будем называть ее поверхностью и обозначать $S_U$. Отметим, что если $X\setminus U\neq\varnothing$, то для всех $b\in X\setminus U$ на отрезке $[a,b]$ найдутся точки из $S_U$. В качестве примера множества $U$ можно взять открытый шар $\mathring{B}(x,r)$, $r>0$, тогда $S_U=S(0,1)$. Теорема 3. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное линейное пространство, $U\subset X$ – непустое открытое множество. Тогда для того, чтобы множество $U\cup S_U$ было замкнуто, необходимо и достаточно, чтобы поверхность $S_U$ была замкнутым множеством. Доказательство. Отметим, что случай, когда $X=U$, тривиален, так как $S_U=\varnothing$. Рассмотрим случай, когда $X\neq U$.
Необходимость. Если $U\cup S_U$ замкнуто, то $S_U=(U\cup S_U)\setminus U$ замкнуто. Достаточность. Пусть $S_U$ замкнуто. Возьмем произвольную сходящуюся последовательность $\{x_n\}\subset U\cup S_U$, и пусть $x$ – ее некоторый предел. Если $x\notin U\cup S_U$, то, учитывая, замкнутость множества $S_U$, без потери общности (выбирая при необходимости подпоследовательность) можно считать, что $\{x_n\}\subset U$. Тогда на отрезке $[x_n,x]$ найдется точка $y_n\in S_U$, $n\in \mathbb{N}$. Поскольку $\|y_n-x|\leqslant \|x_n-x|\to 0$, $n\to\infty$, то из замкнутости $S_U$ вытекает, что $x\in S_U$, противоречие. Теорема доказана. Замечание 4. Из того, что несимметричная норма $\|\cdot|$ – полунепрерывная сверху функция, вытекает, что условие замкнутости сферы $S(0,1)$ равносильно условию $\overline{S(0,1)}\subset B(0,1)$. Замечание 5. Из доказательства достаточности в теореме 3 видно, что условие замкнутости $S_U$ влечет свойство замкнутости $U\cup S_U$ без предположения открытости множества $U$. Более того, замкнутость $U\cup S_U$ вытекает из условия $\overline{S_U}\subset U$. Лемма 4. Если $(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное линейное пространство, в котором шар $B(0,1)$ – незамкнутое множество, то существует компактное множество $M\subset X$, не являющееся ограниченно компактным. Доказательство. В силу теоремы 3 сфера $S=S_{B(0,1)}$ не является замкнутым множеством, а, следовательно, существуют последовательность $\{y_n\}\subset S$ и ее предел $y\notin S$. Известно, что несимметричная норма $\|\cdot|$ является полунепрерывной сверху функцией на $X$, поэтому $\|y|>1$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\alpha_n:=\frac{n(\|y_n\|_{\mathrm{sym}})}{1+n(\|y_n\|_{\mathrm{sym}})}
\end{equation*}
\notag
$$
и $z_n:=\alpha_ny_n$, $n\in \mathbb{N}$. Тогда $1-\alpha_n=1/(1+n(\|y_n\|_{\mathrm{sym}})$, $\|z_n|=\alpha_n\|y_n|=\alpha_n\to 1$ и, учитывая, что $(1-\alpha_n)\|-y_n|\leqslant (1-\alpha_n)\|y_n\|_{\mathrm{sym}}\to 0$, $n\to\infty$, мы получим, что Тогда множество является компактом, и $\|z_m|<1$ для всех $m\in \mathbb{N}$. Как мы уже отмечали, норма является полунепрерывной сверху функцией, поэтому любая подпоследовательность последовательности $\{z_n\}$ не может сходится к точке $z_m$, поскольку норма такой подпоследовательности стремится к $1$. Отсюда следует, что для всех $m\in \mathbb{N}$ существует число $\delta_m>0$ такое, что в окрестности $O_{\delta_m}(z_m)$ находится лишь конечное число членов последовательности $\{z_n\}$. Поэтому из открытого покрытия $|{O_{\delta_n}(z_n)|}$ нельзя выделить конечное подпокрытие для множества $M_0:=M\setminus \{y\}$, а, следовательно, $M_0$ не является компактом. Отсюда $M\cap B(0,1)=M_0$ не является компактом, а множество $M$ не является ограниченно компактным.
Лемма доказана. Теорема 4. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное линейное пространство. Тогда условие, что шар $B(0,1)$ – замкнутое множество, равносильно условию, что всякое компактное множество является ограниченно компактным. Доказательство. Если шар $B(0,1)$ – замкнутое множество, то любой шар $B(x,r)$ – замкнутое множество, и пересечение с $B(x,r)$ произвольного компактного множества $M$ является замкнутым подмножеством $M$, а, следовательно, компактом. Если шар $B(0,1)$ – незамкнутое множество, то в силу леммы 4 существует компактное, но не ограниченно компактное множество.
Теорема доказана. § 3. Свойства метрической проекции на дискретные не более чем счетные объединения множеств в несимметричных пространствахВ этом параграфе мы исследуем вопрос: могут ли дискретные (в некотором смысле) множества быть чебышёвскими или иметь метрическую проекцию со связными образами. Теорема 5. Пусть $\{M_j\}_{j\in J}$, $\operatorname{card}J\geqslant 2$, – не более чем счетный набор попарно непересекающихся множеств существования в несимметричном линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot|)$, $M:=\bigcup_{j\in J}M_j$. Тогда $M$ не является чебышёвским множеством. Доказательство. Предположим противное, что множество $M$ является чебышёвским множеством. Будем полагать, что $J=\mathbb{N}$ или $J=\{ 1,\dots,N\}$, $N\geqslant 2$. Возьмем произвольные точки $a\in M_1$, $b\in M_2$. Из условий вытекает, что $a\neq b$. Сужение метрической функции $\varrho(\cdot,M)$, $\varrho(\cdot,M_j)$, $j\in J$, является непрерывной функцией на отрезке $[a,b]$, что нетрудно вытекает из того, что сужение несимметричной нормы на этот отрезок эквивалентно сужению нормы симметризации $\|\cdot\|_{\mathrm{sym}}:=\max\{\|\cdot|,\|-\cdot|\}$. Для каждого $j\in J$ множество является замкнутым. Действительно, рассмотрим произвольные точку $x\in [a,b]$ и последовательность $\{x_n\}\subset K_j$: $x_n\to x$, $n\to\infty$. Тогда
Поскольку $M_j$ – множество существования, то $\varnothing\neq P_{M_j}(x)\subset P_{M}(x)$, и, учитывая, что множество $M$ чебышёвское, мы получим, что $P_{M}(x)=P_{M_j}(x)$. Отсюда вытекает, что $x\in K_j$. Таким образом, все $K_j$, $j\in J$, – замкнутые подмножества отрезка $[a,b]$. Случай, когда $J$ конечно или когда непустых множеств $K_j$ из $J$ конечное число, не возможен, поскольку это противоречит связности отрезка. Поэтому без потери общности можно считать, что семейство $\{K_j\}_{j\in \mathbb{N}}$ является семейством попарно непересекающихся непустых компактов из отрезка $[a,b]$, покрывающих этот отрезок. Каждый компакт семейства $\{K_j\}_{j\in \mathbb{N}}$ (в том числе и компакты $K_1$ и $K_2$) имеет на отрезке свои граничные точки. Кроме того, в любой окрестности таких точек (в интервале $(a,b)$) произвольного компакта $K_j$ должны найтись граничные точки бесконечного числа компактов из семейства $\{K_j\}_{j\in \mathbb{N}}$. Последнее вытекает из того, что любой непустой интервал $I$ (в силу его связности), пересекающийся с некоторым замкнутым множеством $K\not\supset I$ (так как $K\cap K_j=\varnothing$), не может покрываться внутренностью и внешностью $K$. Таким образом, такое множество $K$ должно иметь граничную точку в $I$. Поскольку окрестность каждой граничной точки компакта $K_j$ не может в силу связности покрываться конечном числом попарно непересекающихся компактов нашего семейства, то компактов нашего семейства, имеющих граничную точку в этой окрестности, должно быть бесконечно много. Рассмотрим последовательности $\{\varepsilon_k=2^{-k}\}$ и $\{n_k\}\uparrow\uparrow +\infty$ и проведем индукцию по индексу $k$. 1. Пусть $x_1\in \partial K_1$: $x_1\neq a$ (тогда $x_1\neq b$). Для окрестности $O_{\varepsilon_1}(x_1)$ имеется бесконечно много компактов семейства $\{K_j\}_{j\in \mathbb{N}}$, имеющих непустое пересечение с этой окрестностью. Выберем число $\delta_1\in (0,\varepsilon_1)$ так, чтобы все компакты $K_j$, пересекающиеся с шаром $B(x_1,\delta_1)$, кроме компакта $K_1$, имели номера $j>\max\{n_1,1\}$ (так как компактов, пересекающихся с $B(x_1,\delta_1)$ бесконечно много, см. рассуждения предыдущего абзаца). Найдутся компакт $K_m$, $m>n_1$, и точка $x_2\in \partial K_m\cap O_{\delta_1}(x_1)$ (см. рассуждения предыдущего абзаца). 2. Пусть построены числа $\delta_m\in (0,\varepsilon_m)$, $m=1,\dots,k-1$, и точки $x_m$, $m=1,\dots,k$, такие, что для некоторых компактов $K_{j_m}$, $m=1,\dots,k$, выполнены свойства: $x_{m+1}\in \partial K_{j_{m+1}}\cap O_{\delta_m}(x_m)$ и $j_{m+1}>\max\{j_m,n_{m+1}\}$, $m=1,\dots,k-1$, $O_{\delta_{m+1}}(x_{m+1})\subset O_{\delta_m}(x_m)$, $m=1,\dots,k-2$, $x_{j_1}=x_1$. Любая окрестность $O_{\varepsilon}(x_k)$ пересекается с бесконечным числом компактов из набора $\{K_j\}_{j\in \mathbb{N}}$. Выберем число $\delta_{k}\in (0,\varepsilon_{k})$ так, чтобы любой компакт, пересекающийся с шаром $B(x_k,\delta_{k})$, кроме компакта $K_{j_k}$, имел номер, больший чисел $n_{k+1}$ и $j_k$; и $O_{\delta_{k}}(x_k)\subset O_{\delta_{k-1}}(x_{k-1})$. Выберем некоторый компакт $K_{j_{k+1}}$, $j_{k+1}>\max\{j_k,n_{k+1}\}$, и некоторую его граничную точку $x_{k+1}\in K_{j_{k+1}}\cap O_{\delta_{k}}(x_k)$. 3. По принципу математической индукции будет построена последовательность точек $\{x_k\}\subset [a,b]$, которая в силу неравенства $|x_{k+1}-x_k|<2^{-k}$ для всех $k\in \mathbb{N}$ является последовательностью Коши. Ее предел (точка $x_0$) по построению не равен точкам $a$ или $b$, и, следовательно, принадлежит интервалу $(a,b)$. Кроме того, $x_0\in \bigcap_{k=1}^{\infty}B(x_k,\delta_k)$, поэтому по построению не принадлежит ни одному из компактов семейства $\{K_j\}_{j\in \mathbb{N}}$, что противоречит условию $[a,b]\subset \bigcup_{j=1}^{\infty}K_j$. Теорема доказана. Следствие 2. Пусть $M$ – не более чем счетное множество в несимметричном линейном пространстве. Тогда $M$ не является чебышёвским множеством. Действительно, так как все одноточечные множества являются множествами существования, то в силу теоремы 5 множество $M$ не является чебышёвским множеством. Из теорем 2 и 5 вытекает следующее утверждение. Следствие 3. Пусть $\{M_j\}_{j\in J}$, $\operatorname{card}J\geqslant 2$, – не более чем счетный набор попарно непересекающихся аппроксимативно компактных множеств в несимметричном линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot|)$, шар $B(0,1)$ которого является замкнутым множеством, $M:=\bigcup_{j\in J}M_j$. Тогда $M$ не является чебышёвским множеством. Определение 4. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметрично нормированное линейное пространство. Множество $M\subset X$ называется $P$-линейно связным ($\mathring{B}$-линейно связным), если $P_M(x)$ линейно связно для всех $x\in X$ (непустое пересечение множества $M$ и произвольного шара $\mathring{B}(x,r)$ монотонно линейно связно). Лемма 5. Пусть $\{M_j\}_{j\in J}$, $\operatorname{card}J\geqslant 2$, – не более чем счетный набор попарно непересекающихся множеств существования в несимметричном линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot|)$, $M:=\bigcup_{j\in J}M_j$. Тогда если $P_M(x)$ линейно связно и $P_M(x)\cap M_j\neq \varnothing$ для некоторых точки $x\in X$ и индекса $j$, то $P_M(x)\subset M_j$. Доказательство. Предположим от противного, что существует $M_i$, $i\neq j$, такое, что $P_M(x)\cap M_i\neq \varnothing$. В этом случае найдутся такие точки $A\in P_M(x)\cap M_j$ и $B\in P_M(x)\cap M_i$ и непрерывная функция $\varphi\in C([a,b],P_M(x))$, что $\varphi(a)=A$, $\varphi(b)=B$. Определим множества
Эти множества замкнуты и попарно не пересекаются, кроме того, семейство $\{K_m\}_{m\in J}$ покрывает отрезок $[a,b]$. Далее, действуя так же, как и при доказательстве теоремы 5, мы прийдем к противоречию. Таким образом, $P_M(x)\subset M_j$. Лемма доказана. Теорема 6. Пусть $\{M_j\}_{j\in J}$, $\operatorname{card}J\geqslant 2$, – не более чем счетный набор попарно непересекающихся множеств существования в несимметричном линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot|)$, $M:=\bigcup_{j\in J}M_j$. Тогда $M$ не является $P$-линейно связным множеством. Доказательство. Так же, как и при доказательстве теоремы 5, возьмем произвольные точки $a\in M_1$, $b\in M_2$. Из условий вытекает, что $a\neq b$. Сужение метрической функции $\varrho(\cdot,M)$, $\varrho(\cdot,M_j)$, $j\in J$, является непрерывной функцией на отрезке $[a,b]$, что нетрудно вытекает из того, что сужение несимметричной нормы на этот отрезок эквивалентно сужению нормы симметризации. Для каждого $j\in J$ множество
$$
\begin{equation*}
K_j:=\{x\in [a,b]\mid P_M(x)\subset M_j\}=\{x\in [a,b]\mid P_M(x)\cap M_j\neq \varnothing\}
\end{equation*}
\notag
$$
является замкнутым. Действительно, рассмотрим произвольные точку $x\in [a,b]$ и последовательность $\{x_n\}\subset K_j$: $x_n\to x$, $n\to\infty$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\varrho(x,M)=\lim_{n\to\infty}\varrho(x_n,M)=\lim_{n\to\infty}\varrho(x_n,M_j)=\varrho(x,M_j).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $M_j$ – множество существования, то $\varnothing\neq P_{M_j}(x)\subset P_{M}(x)$, и в силу леммы 5 мы получим, что $P_{M}(x)=P_{M_j}(x)$. Отсюда вытекает, что $x\in K_j$. Таким образом, все $K_j$, $j\in J$, – замкнутые и попарно непересекающиеся подмножества отрезка $[a,b]$. Далее доказательство в точности повторяет рассуждения из доказательства теоремы 5.
Теорема доказана. Из теорем 6 и 2 вытекает следующее утверждение. Следствие 4. Пусть $\{M_j\}_{j\in J}$, $\operatorname{card}J\geqslant 2$, – не более чем счетный набор попарно непересекающихся аппроксимативно компактных множеств в несимметричном линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot|)$, шар $B(0,1)$ которого является замкнутым множеством, $M:=\bigcup_{j\in J}M_j$. Тогда $M$ не является $P$-линейно связным множеством. Теорема 7. Пусть $\{M_j\}_{j\in J}$, $\operatorname{card}J\geqslant 2$, – не более чем счетный набор попарно непересекающихся замкнутых множеств в несимметричном линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot|)$, $M:=\bigcup_{j\in J}M_j$. Тогда $M$ не является $\mathring{B}$-линейно связным множеством. Доказательство. Предположим противное, что множество $M$ является $\mathring{B}$-линейно связным множеством. Возьмем такой шар $\mathring{B}(x,r)$, чтобы он пересекал два множества $M_{j}$ и $M_{i}$, $i\neq j$, соответственно в точках $A$ и $B$. Тогда существует непрерывная функция $\varphi\in C([a,b],M\cap \mathring{B}(x,r))$ такая, что $\varphi(a)=A$, $\varphi(b)=B$. Определим множества Далее доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство леммы 5. Теорема доказана. Из теоремы 7 и следствия 1 вытекает следующее утверждение. Следствие 5. Пусть $\{M_j\}_{j\in J}$, $\operatorname{card}J\geqslant 2$, – не более чем счетный набор попарно непересекающихся аппроксимативно компактных множеств в хаусдорфовом несимметричном линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot|)$, $M:=\bigcup_{j\in J}M_j$. Тогда $M$ не является $\mathring{B}$-линейно связным множеством. Определение 5. Последовательность $\{x_n\}\,{\subset}\, X$ называется фундаментальной, если для любого $\varepsilon>0$ существует $N\in \mathbb{N}$ такое, что $\|x_m-x_n|<\varepsilon$ для всех $m\geqslant n\geqslant N$. Несимметричное пространство $X=(X,\|\cdot|)$ называется право-полным (лево-полным), если для любой фундаментальной последовательности $\{x_n\}\subset X$ существует точка $x\in X$ такая, что $\|x-x_n|\to 0$, $\|x_n-x|\to 0$, при $n\to\infty$. Право-полное пространство будем называть просто полным пространством. Определение 6. Будем говорить, что множество $M$ не является $\ell_0$-связным, если существуют непустые множества $M_1,M_2\subset X$, $M=M_1\sqcup M_2$, такие, что $\ell(M_1,M_2)>0$. В противном случае будем говорить, что $M$ является $\ell_0$-связным. Множество $A$ будем называть $\ell_0\mathring{B}$-связным, если непустое пересечение произвольного шара $\mathring{B}(x,R)$ с множеством $A$ является $\ell_0$-связным. Множество $A$ будем называть $\mathring{B}$-замкнутым, если непустое пересечение произвольного шара $\mathring{B}(x,R)$ с множеством $A$ является замкнутым относительно шара $\mathring{B}(x,R)$. Отметим, что замкнутое множество будет заведомо $\mathring{B}$-замкнутым, если единичный шар $B(0,1)\subset X$ является замкнутым множеством. В работе [32; теорема 1] было доказано следующее утверждение. Теорема A. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметричное лево-полное пространство, непустое множество $A\subset X$ является $\mathring{B}$-замкнутым и $\ell_0\mathring{B}$-связным. Тогда $A$ является $\mathring{B}$-линейно связным. Из теорем 7 и A непосредственно вытекает следующее утверждение. Следствие 6. Пусть $\{M_j\}_{j\in J}$, $\operatorname{card}J\geqslant 2$, – не более чем счетный набор попарно непересекающихся замкнутых множеств в лево-полном несимметричном линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot|)$, $M:=\bigcup_{j\in J}M_j$ является $\mathring{B}$-замкнутым. Тогда множество $M$ не является $\ell_0\mathring{B}$-связным множеством. Определение 7. Множество $M$ будем называть ${B}$-связным, если непустое пересечение произвольного шара ${B}(x,R)$ с множеством $M$ является связным. Из замечания 8 работы [32] вытекает, что из $B$-связности множества вытекает его $\mathring{B}$-связность, а в силу замечания 3 работы [32] вытекает $\ell_0\mathring{B}$-связность этого множества. В статье [32; теорема 6] было получено следующее утверждение. Теорема B. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – несимметричное пространство с единичным шаром, являющимся замкнутым множеством, $M\subset X$ – $P$-связное аппроксимативно компактное множество. Тогда $M$ ${B}$-связно. Из теоремы B и следствия 6 непосредственно вытекает следующее утверждение. Следствие 7. Пусть $\{M_j\}_{j\in J}$, $\operatorname{card}J\geqslant 2$, – не более чем счетный набор попарно непересекающихся замкнутых множеств в лево-полном несимметричном линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot|)$, шар $B(0,1)$ которого является замкнутым множеством, $M:=\bigcup_{j\in J}M_j$ является аппроксимативно компактным множеством. Тогда множество $M$ не является $P$-связным множеством. В работе [32; теорема 2] получено следующее утверждение. Теорема C. Пусть $(X,\|\cdot|)$ – лево-полное несимметрично нормированное линейное пространство, непустое множество $A\,{\subset}\, X$ является $\mathring{B}$-замкнутым (или множество $A$ и шар $B(0,1)$ замкнуты). Тогда следующие утверждения эквивалентны: a) множество $A$ является $\mathring{B}$-связным; b) множество $A$ является $\mathring{B}$-линейно связным; c) множество $A$ является $\ell_0\mathring{B}$-связным. Замечание 6. Поскольку любое множество существования является $\mathring{B}$-замкнутым множеством, то его $\mathring{B}$-связность эквивалентна его $\mathring{B}$-линейной связности и $\ell_0\mathring{B}$-связности в лево-полном несимметрично нормированном линейном пространстве. Определение 8. Метрическая проекция $P_M$ называется $\ell$-непрерывной в точке $x$, если для любой последовательности $\{x_n\}$: $\|x_n-x\|_{\mathrm{sym}}\to 0$ выполнено Определение 9. Множество $M\subset X$ будем называть $\ell_0P$-связным, если $P_M(x)$ является непустым и $\ell_0$-связным множеством для всех $x\in X$. Множество $M\subset X$ будем называть $P$-связным, если $P_M(x)$ является непустым и связным множеством для всех $x\in X$. В работе [32; теорема 5] получено следующее утверждение. Теорема D. Пусть $X$ – лево-полное несимметрично нормированное линейное пространство, $M\subset X$ – $\ell_0P$-связное множество с $\ell$-непрерывной метрической проекцией. Тогда множество $M$ $\mathring{B}$-связно. Из теорем 7, D, C и замечания 6 вытекает следующее утверждение. Следствие 8. Пусть $\{M_j\}_{j\in J}$, $\operatorname{card}J\geqslant 2$, – не более чем счетный набор попарно непересекающихся замкнутых множеств в несимметричном линейном нормированном пространстве $(X,\|\cdot|)$, $M:=\bigcup_{j\in J}M_j$ – $\ell_0P$-связное множество. Тогда $M$ не является множеством с $\ell$-непрерывной метрической проекцией. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tsa25} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|