| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Нули дискриминантов, построенных по полиномам Эрмита–Паде алгебраической функции, и их связь с точками ветвления А. В. Комлов, Р. В. Пальвелев Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Английская версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10114e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеСформулируем общую задачу восстановления значений и свойств алгебраической (или в более общей постановке многозначной аналитической) функции по ее заданному ростку. Пусть $f$ – алгебраическая функция степени $m+1$, т.е. решение уравнения $\mathcal P(z,f(z))\equiv 0$, где $\mathcal P(z,w)$ – неприводимый полином от $z$ и $w$ и $\operatorname{deg}_w \mathcal P(z,w)=m+1$. Предположим, что мы знаем разложение в ряд Тейлора некоторого ростка $f_{z_0}$ функции $f$ в некоторой точке $z_0$ сферы Римана $\widehat{\mathbb C}$. Без ограничения общности считаем, что $z_0=\infty$, и пусть $f_\infty$ голоморфен в $\infty$. Таким образом, $f_\infty(z) = \sum_{k=0}^\infty {c_k}/{z^{-k}}$ в окрестности $\infty$, и коэффициенты $c_k$ нам известны, точнее, мы умеем их последовательно вычислять. Глобальная задача – восстановить значения или какие-то аналитические свойства $f$ по этим коэффициентам Тейлора $c_k$. При этом желательно делать это конструктивно. “Конструктивно” мы понимаем в смысле П. Хенричи (см. [18]), это означает, что $n$-я аппроксимация должна быть рациональной функцией от конечного числа коэффициентов $c_k$. В нашей ситуации этого будет недостаточно, и мы будем также использовать корни полиномов, построенных конструктивно. Полиномами Эрмита–Паде первого типа порядка $n\in\mathbb N$ для набора ростков $[1, f_\infty, f_\infty^2,\dots, f_\infty^m]$ в точке $\infty\in\widehat{\mathbb C}$ называются полиномы $Q_{n,0}, \dots, Q_{n,m}$ такие, что $\operatorname{deg}{Q_{n,j}}\leqslant{n}$, $j=0, \dots, m$, хотя бы один $Q_{n, j}\not\equiv 0$ и выполнено соотношение
$$
\begin{equation}
Q_{n,0}(z) + \sum_{j=1}^{m}f_\infty^j(z)Q_{n, j}(z)=O\biggl(\frac{1}{z^{m(n+1)}}\biggr) \quad \text{при }\ z\to\infty.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Отметим, что в постановке задачи мы ограничились условием, что наш росток $f_\infty$ голоморфен в рассматриваемой точке $\infty$, только для простоты изложения. Если допустить, что $f_\infty$ имеет в точке $\infty$ полюс порядка $N_0$, то в определении полиномов Эрмита–Паде нужно заменить условие $\operatorname{deg}{Q_{n,0}}\leqslant{n}$ на условие $\operatorname{deg}{Q_{n,0}}\leqslant{n+mN_0}$, а остальные условия оставить прежними. При этом все основные результаты работы, излагаемые в § 2, верны и в этом общем случае, а их доказательства полностью повторяют приведенные в работе с соответствующим изменением точных констант. В статье Дж. Наттолла [30] (при некоторых ограничениях и не всегда с полными доказательствами) и в работе [24] (в полной общности) найдены слабая и сравнительные асимптотики полиномов Эрмита–Паде $Q_{n,j}$ (см. теорему 1 ниже, которая полностью доказана в [24], а здесь мы приводим ее формулировку для полноты изложения). Подчеркнем, что здесь, так же как в [30] и [24], мы обсуждаем только так называемый модельный случай, когда степень алгебраической функции $f$ равна $m+1$ и рассматриваются полиномы Эрмита–Паде для набора ростков $[1, f_\infty, f_\infty^2,\dots, f_\infty^m]$. В [24; § 1, после теоремы 2] отмечено, что корни $w(z)$ полинома $P_n(z,w)$, который получается заменой в левой части (1) $f_\infty$ на $w$,
$$
\begin{equation}
P_n(z,w):=Q_{n,m}(z)w^m+Q_{n,m-1}(z)w^{m-1}+\dots+Q_{n,0}(z),
\end{equation}
\tag{2}
$$
асимптотически восстанавливают $m$ значений исходной функции $f$. Точнее, они восстанавливают значения $f$ на всех листах разбиения Наттолла ее римановой поверхности на листы, кроме последнего, вне компакта $F_m$ – проекции границы последнего листа (определение разбиения Наттолла приведено в § 2). При этом все нули полиномов $Q_{n,j}$, кроме конечного числа, в пределе (при $n\to\infty$) ложатся на компакт $F_m$, см. п. 1 теоремы 1. В настоящей работе мы будем исследовать асимптотическое поведение и распределение нулей дискриминанта полинома $P_n(z,w)$ (как полинома от переменной $w$), который мы будем обозначать $D_n(z)$. Напомним, что для полинома $N$-й степени $P(w):=a_N w^N+a_{N-1}w^{N-1}+\dots+a_0$ дискриминант – это
$$
\begin{equation}
D(P)=D(a_0,\dots,a_N):=a_N^{2N-2}\prod_{1\leqslant j<k\leqslant N}(r_j-r_k)^2,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $r_1,\dots, r_N$ – корни $P(w)$, выписанные с учетом кратности. Таким образом, дискриминант $D(P)$ обращается в нуль тогда и только тогда, когда сам полином $P$ имеет кратный корень. Хорошо известно, что дискриминант $D(a_0,\dots,a_N)$ является однородным полиномом степени $2N-2$ от переменных $a_0,a_1,\dots, a_N$. Подробнее о свойствах дискриминанта см., например, [32; § 8.4]. В теореме 2 мы находим слабую и сравнительную с $Q_{n,m}^{2m-2}$ асимптотики дискриминантов $D_n(z)$. Оказывается, что слабая асимптотика $D_n$ с точностью до нормировки совпадает со слабой асимптотикой самих полиномов Эрмита–Паде $Q_{n,j}$. В частности, все нули $D_n$, кроме конечного числа, в пределе (при $n \to\infty$) ложатся на компакт $F_m$. Последнее утверждение, являющееся п. 1) теоремы 2, в простейшем случае $m = 2$ было анонсировано в [23; теорема 1]. В теореме 3 мы показываем, что часть из тех нулей, которые не притягиваются к $F_m$, притягиваются к некоторым точкам, не лежащим на $F_m$, причем с экспоненциальной скоростью. Эти точки притяжения определяются функцией $f$ и являются нулями функции $\Pi_m(z)$ (12) в $\mathbb C\setminus F_m$. В следствии 1 и в теореме 4 мы приводим достаточное условие на точку ветвления функции $f$, лежащую в $\mathbb C\setminus F_m$, чтобы она притягивала хотя бы один нуль $D_n$ с экспоненциальной скоростью. Отметим, что притягивающие точки ветвления из теоремы 4, в отличие от следствия 1, в некоторых случаях не являются нулями функции $\Pi_m(z)$ (12). Следствия 2–4 дают достаточные условия на функцию $f$, чтобы каждая точка ветвления $f$, лежащая в $\mathbb C\setminus F_m$, притягивала хотя бы один нуль $D_n$ с экспоненциальной скоростью. Таким образом, мы показываем, что в этих случаях нули дискриминантов $D_n$ могут использоваться для приближенного нахождения точек ветвления $f$ в $\mathbb C\setminus F_m$ с экспоненциальной точностью. Сам вопрос о приближенном нахождении по коэффициентам $c_k$ точек ветвления исходной алгебраической функции $f$ возникает в ряде практических задач, например, нахождение точек Каца (см. [19]) для различных возбужденных состояний малоатомных молекул или более общо – точек ветвления функции энергии малоатомных молекул в различных приближениях, см. [37], [38], [15], [25], [10], [14]. Нужно отметить, что в этих работах использовалась (без какого-либо математического обоснования) гораздо более общая конструкция, чем в изучаемом нами модельном случае. В рассматриваемых в них задачах $f$ – это алгебраическая функция большой степени $m+1$, скажем, порядка 1000, и рассматривать для нее дискриминанты полиномов степени на 1 меньше нет никакого смысла. Поэтому в прикладных задачах для таких $f$ рассматриваются полиномы Эрмита–Паде первого типа $\widetilde Q_{n,j}$, $j=0, \dots, l$, для набора ростков $[1,f_\infty,\dots,f_\infty^l]$, где, как правило, $l=2,3,4$, которые определяются из условий $\operatorname{deg}{\widetilde Q_{n,j}}\leqslant{n}$ и
$$
\begin{equation}
\widetilde Q_{n,0}(z) + \sum_{j=1}^{l}f_\infty^j(z)\widetilde Q_{n, j}(z)=O\biggl(\frac{1}{z^{l(n+1)}}\biggr) \quad \text{при }\ z\to\infty,
\end{equation}
\tag{4}
$$
и соответствующие им дискриминанты $\widetilde D_n$. Заметим, что если $l=2$, то $\widetilde D_n$ – это обычный дискриминант квадратного уравнения: $\widetilde D_n=\widetilde Q_{n,1}^2-4\widetilde Q_{n,0}\widetilde Q_{n,2}$. Однако стоит отметить, что в работе [15] рассматривались нули дискриминантов $\widetilde D_n$, построенных для различных $l$, вплоть до $l=14$, а в работе [37] – вплоть до $l=20$. Во всех упомянутых прикладных работах утверждалось (как мы уже отмечали, без какого-либо математического обоснования), что часть нулей дискриминантов $\widetilde D_n$, “близких к точке $z_0$”, в которой рассматриваются полиномы Эрмита–Паде (в нашей ситуации $z_0=\infty$), сходятся к некоторым точкам ветвления $f$, “близким” к $z_0$, с “очень быстрой” скоростью. Подчеркнем, что для того, чтобы попасть в нашу модельную ситуацию, нужно потребовать, чтобы $f$ была алгебраической функцией степени $l+1$, что для практических задач неинтересно. Тем не менее случай общей алгебраической функции $f$ качественно покрывается модельным, если предполагать справедливость общей гипотезы Наттолла, в первоначальном виде выдвинутой Дж. Наттоллом в [30] и в том или ином виде сформулированной в других работах (см., например, [20], [6], [7], [34]). Наиболее общо для произвольной алгебраической функции эта гипотеза формулируется следующим образом. Пусть $f$ – алгебраическая функция степени $m+1$ и мы рассматриваем полиномы Эрмита–Паде первого типа $\widetilde Q_{n,j}$ для набора ростков $[1,f_\infty,\dots,f_\infty^l]$ (4), где $l<m$. Тогда существует $(l+1)$-листное разветвленное накрытие сферы Римана компактной римановой поверхностью $\mathfrak N_{l+1}$ (так называемой $(l+1)$-листной поверхностью Наттолла) такое, что 1) росток $f_\infty$ мероморфно продолжается в дополнение к замыканию последнего (самого верхнего) наттолловского листа $\mathfrak N_{l+1}^{(l)}$ поверхности $\mathfrak N_{l+1}$ как росток в прообразе $\infty$ на нулевом (самом нижнем) наттолловском листе $\mathfrak N_{l+1}^{(0)}$ поверхности $\mathfrak N_{l+1}$, 2) асимптотическое поведение полиномов Эрмита–Паде для набора ростков $[1,f_\infty,\dots,f_\infty^l]$ и построенных по таким полиномам объектов (в частности, дискриминантов) описывается в терминах этой поверхности Наттолла $\mathfrak N_{l+1}$. Отметим, что в [24; лемма 5] было доказано, что дополнение к замыканию верхнего листа разбиения Наттолла любой римановой поверхности является областью, т.е. связно. Это утверждение обосновывает корректность п. 1) гипотезы Наттолла. Пункт 2) гипотезы Наттолла можно конкретизировать, если сузить класс рассматриваемых алгебраических функций. Пусть $f$ – такая алгебраическая функция, что все ее точки ветвления второго порядка и у нее нет двух точек ветвления, лежащих над одной и той же точкой сферы Римана. Тогда утверждение 2) гипотезы Наттолла можно усилить следующим образом: асимптотическое поведение полиномов Эрмита–Паде для набора ростков $[1,f_\infty,\dots,f_\infty^l]$ и построенных по таким полиномам объектов совпадает с асимптотическим поведением полиномов Эрмита–Паде и соответствующих объектов для набора ростков $[1,g_\infty,\dots,g_\infty^l]$, где $g_\infty$ – росток в прообразе $\infty$ на нулевом наттолловском листе $\mathfrak N_{l+1}^{(0)}$ поверхности $\mathfrak N_{l+1}$ любой мероморфной на $\mathfrak N_{l+1}$ функции $g$ степени $l+1$. Отметим, что в таком усиленном варианте гипотезы Наттолла полностью отказаться от приведенного условия на точки ветвления функции $f$ нельзя, что прекрасно продемонстрировано в [48] с помощью численного моделирования. В [48] рассматриваются полиномы $\widetilde Q_{n,0}$, $\widetilde Q_{n,1}$, $\widetilde Q_{n,2}$ (т.е. $l=2$) для $f=\sqrt[4]{(1/z-a_1)(1/z-a_2)(1/z-a_3)(1/z-a_4)}$ при некоторых $a_1,\dots,a_4\in\mathbb C$ (т.е. $m=3$) и показано, что предельные распределения нулей полиномов $\widetilde Q_{n,0}$ и $\widetilde Q_{n,1}$ различны, а в силу теоремы 1 предельные распределения нулей полиномов Эрмита–Паде для набора ростков $[1,g_\infty,g_\infty^2]$, где $g_\infty$ – росток алгебраической функции степени 3, совпадают. Чаще всего гипотеза Наттолла формулируется в случае $l\,{=}\,2$, т.е. когда поверхность Наттолла трехлистна (см., например, [46], [43]). И хотя в общем случае гипотеза Наттолла не доказана, всегда, когда удается описать асимптотическое поведение полиномов Эрмита–Паде для ростков многозначных аналитических функций, оно выражается именно в терминах такой поверхности Наттолла. Как правило, в таких случаях функции обладают определенным свойством вещественности, а поверхность Наттолла строится в большинстве случаев с помощью решения впервые появившейся в [16] векторной теоретико-потенциальной задачи равновесия, см., например, [2], [17], [5], [3], [33], [4], [27], [28], [34]. Отметим, что иногда для построения поверхности Наттолла используется скалярная теоретико-потенциальная задача равновесия, см., например, [35], [20], [47], [44], [49]. Формализовать заявления авторов упомянутых прикладных работ удалось С. П. Суетину в [45] и в его совместной работе с Е. О. Добролюбовым, Н. Р. Икономовым и Л. А. Книжнерманом [13]. В [45] рассматривались дискриминанты $\widetilde D_n=\widetilde Q_{n,1}^2-4\widetilde Q_{n,0}\widetilde Q_{n,2}$, где $\widetilde Q_{n,0}$, $\widetilde Q_{n,1}$, $\widetilde Q_{n,2}$ – полиномы Эрмита–Паде первого типа, построенные по набору ростков $[1,f_\infty,f_\infty^2]$ (т.е. рассматривался простейший случай, когда в (4) $l=2$), где $f_\infty$ – росток даже не алгебраической, а многозначной аналитической функции $f$, но с очень сильными ограничениями на характер точек ветвления $f$. В [45] была высказана гипотеза, что все точки ветвления такой $f$, входящие в компакт Шталя (подробнее о компакте Шталя см. ниже) для ростка $f_\infty$, притягивают хотя бы один нуль дискриминанта $\widetilde D_n$. Наше следствие 4 фактически перекрывает эту гипотезу в модельном случае, когда $f$ – алгебраическая функция степени 3, причем без каких-либо дополнительных условий на характер точек ветвления и компакт Шталя, поскольку в соответствии с п. 3 теоремы 2 нули дискриминантов $D_n$ полностью моделируют компакт $F_2$. В [13], так же как и в [45], рассматривались дискриминанты $\widetilde D_n=\widetilde Q_{n,1}^2-4\widetilde Q_{n,0}\widetilde Q_{n,2}$, т.е. когда в (4) $l\,{=}\,2$. Авторы [13] предложили (без математического обоснования) и апробировали на практике алгоритм по численному нахождению некоторых точек ветвления алгебраической функции с помощью указанных дискриминантов $\widetilde D_n$. При этом они неявно выдвинули гипотезу, которую мы сформулируем ниже. Общая гипотеза Наттолла утверждает, что за асимптотическое поведение таких полиномов Эрмита–Паде $\widetilde Q_{n,j}$ и дискриминантов $\widetilde D_n$ должна отвечать трехлистная поверхность Наттолла $\mathfrak N_3$. При этом в соответствии с гипотезой Наттолла и теоремами 1 и 2 для алгебраической функции общего положения почти все нули указанных полиномов Эрмита–Паде и дискриминантов в пределе ложатся на компакт $F_2$ – проекцию границы верхнего наттолловского листа $\mathfrak N^{(2)}_3$ поверхности $\mathfrak N_3$. Более того, известно, что в модельном случае, когда степень функции $f$ равна 3 (а значит, в предположении справедливости гипотезы Наттолла, и для алгебраической функции общего положения), на компакт $F_1$ – проекцию границы нижнего наттолловского листа $\mathfrak N^{(0)}_3$ поверхности $\mathfrak N_3$ – в пределе ложатся почти все нули полиномов Эрмита–Паде второго типа, см. [30], а также [22]. Известно, см. [24; лемма 3], что компакты $F_1$ и $F_2$ являются замыканием конечного объединения аналитических дуг, которые имеют гладкость $C^{1+\alpha}$ в своих концевых точках с некоторым $\alpha>0$ (т.е. пересечение замыкания такой дуги с достаточно малой окрестностью своей концевой точки является образом полуинтервала $[0,1)$ при его вложении в эту окрестность класса $C^{1+\alpha}$). Нетрудно понять, что в модельном случае любой конец (т.е. точка, из которой “выходит” только одна аналитическая дуга) компакта $F_1$ или $F_2$ является точкой ветвления исходной алгебраической функции $f$. В [13] авторы фактически выдвинули гипотезу, что к любому концу компакта $F_1$, который не попадает на компакт $F_2$, стремится по крайней мере один нуль дискриминанта $\widetilde D_n$. Более того, из их численных расчетов следовало, что сходимость указанного нуля очень быстрая, не хуже, чем экспоненциального типа. Наше следствие 4 не только обосновывает данную гипотезу в модельном случае (для алгебраической функции $f$ степени 3), но и доказывает в этом модельном случае более сильное утверждение, что любая точка ветвления $f$ в $\mathbb C\setminus F_2$ притягивает хотя бы один нуль дискриминанта со скоростью не хуже, чем экспоненциальная. Обсудим получившуюся в теореме 4 и следствиях 1–4 экспоненциальную скорость сходимости нуля $D_n$ к точке ветвления $f$ и сравним ее со скоростью нахождения точек ветвления $f$ другими способами. Самый простой способ нахождения некоторых точек ветвления общей алгебраической функции $f$ – это использование классических полиномов Паде (для их определения нужно в (4) положить $l=1$). В отличие от полиномов Эрмита–Паде, для полиномов Паде, построенных по ростку алгебраической функции, есть общая теорема Шталя (см. [39]– [42], а также обзорную статью [1]), описывающая их слабую асимптотику. Более того, в [8] найдена их сильная асимптотика для случая алгебраической функции общего положения. В соответствии с теоремой Шталя все нули полиномов Паде, кроме $o(n)$ нулей, в пределе ложатся на так называемый компакт Шталя $S$, при этом их нормированная считающая мера сходится к равновесной мере $\lambda_S$ компакта $S$. Хорошо известно, см. [31], [9], [8], что компакт Шталя $S$ является замыканием конечного объединения аналитических дуг, при этом нетрудно показать, что в любом конце $x_0$ компакта $S$ равновесная мера $\lambda_S$ имеет поведение $O(|z-x_0|^{-1/2})\, |dz|$. Из общей теории Шталя легко следует, что все концы компакта $S$ являются точками ветвления функции $f$. Таким образом, для нахождения этих точек ветвления можно использовать полиномы Паде. Однако в силу указанного поведения равновесной меры $\lambda_S$ можно гарантировать только квадратичную скорость сходимости нуля полинома Паде к концу компакта $S$ – точке $x_0$, т.е. можно утверждать, что у $n$-го полинома Паде существует нуль, отстоящий от $x_0$ на расстояние не больше чем $O(1/n^2)$. Если вернуться в нашу модельную ситуацию (1) алгебраической функции $f$ степени $m+1$, то из теоремы 1 следует, что нули полиномов Эрмита–Паде первого типа ложатся на компакт $F_m$. Опять же, нетрудно видеть, что концы компакта $F_m$ будут точками ветвления $f$, и, следовательно, для их приближенного нахождения можно использовать полиномы Эрмита–Паде первого типа. Однако можно показать, что из п. 2 теоремы 1 следует, что можно гарантировать только полиномиальную сходимость нуля полинома $Q_{n,j}$ к любому концу $F_m$. Более того, в [22], см. также [21], была введена в рассмотрение полиномиальная $m$-система Эрмита–Паде, включающая в себя полиномы Эрмита–Паде первого и второго типов. В [22] было показано, что для алгебраической функции степени $m+1$ общего положения нули $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде, $k=1,\dots,m$, в пределе ложатся на компакты $F_k$ (строгое определение компактов $F_k$ приведено в § 2 при описании разбиения Наттолла, а в случае общего положения можно сказать, что $F_k$ – это проекция границы между $(k-1)$-м и $k$-м листами наттолловского разбиения римановой поверхности $f$). Снова нетрудно видеть, что все концы компактов $F_k$ будут точками ветвления $f$. Таким образом, нули $k$-х полиномов $m$-системы Эрмита–Паде можно использовать для приближенного нахождения таких точек ветвления. Однако и в этом случае из [22; п. 3 теоремы 1] следует, что мы можем гарантировать только лишь полиномиальную скорость сходимости нуля $k$-го полинома $m$-системы Эрмита–Паде к такой точке ветвления. Следствие 3 показывает, что в нашей модельной ситуации для алгебраической функции общего положения мы можем гарантировать экспоненциальную (геометрическую) скорость сходимости нуля дискриминанта $D_n$ к любой точке ветвления $f$, лежащей в $\mathbb C\setminus F_m$. Таким образом, нули дискриминантов $D_n$ дают принципиально более быстрый способ численного нахождения точек ветвления функции $f$ по сравнению со способами, основанными на использовании нулей рациональных аппроксимаций. Учитывая общую гипотезу Наттолла, следует ожидать, что и в общем случае нули дискриминантов $\widetilde D_n$ дают способ нахождения точек ветвления исходной функции с экспоненциальной скоростью. Статья устроена следующим образом. В § 2 подробно описывается конструкция разбиения Наттолла римановой поверхности на листы, приводится для полноты изложения формулировка теоремы 1, доказанной в [24], формулируются доказываемые в настоящей работе теоремы 2–4, а также выводятся следствия 1–4 из теорем 3 и 4. В § 3 мы вводим необходимые нам понятия и доказываем технические предложение 1 и лемму 1, используемые в дальнейшем для доказательства теорем 3 и 4. Параграф 4 посвящен доказательству теоремы 2, а § 5 – доказательствам теорем 3 и 4. § 2. Разбиение Наттолла и формулировка основных результатовПовторим еще раз, что в настоящей работе мы исследуем только модельную ситуацию, когда рассматриваются полиномы Эрмита–Паде $Q_{n,j}$ первого типа для набора ростков $[1, f_\infty, f_\infty^2,\dots, f_\infty^m]$ (1) и дискриминанты $D_n$ полиномов (2), где $f_\infty$ – росток алгебраической функции $f$ в точности степени $m+1$. Все теоремы 1–4 формулируются и доказываются только для этого случая. Введем необходимые нам обозначения, связанные с римановой поверхностью функции $f$. Итак, везде далее $f(z)$ – решение уравнения $\mathcal P(z,f(z))\equiv 0$, где $\mathcal P(z,w)$ – неприводимый полином от $z$ и $w$ и $\operatorname{deg}_w \mathcal P(z,w)=m+1$. Пусть $\mathfrak R$ – стандартная компактификация римановой поверхности функции $f$, которая получается из замыкания графика $\{(z,w)\colon \mathcal P(z,w)=0\}$ в $\widehat{\mathbb C}_z\times\widehat{\mathbb C}_w$ стандартной процедурой разрешения особенностей (см., например, [26; разд. 13.2]). Тогда на $\mathfrak R$ определена естественная проекция, для неособой точки графика действующая как $(z,w)\mapsto z$, которая осуществляет $(m+1)$-листное разветвленное голоморфное накрытие $\widehat{\mathbb C}$ поверхностью $\mathfrak R$. Чтобы не путать эту проекцию с координатой $z$, мы будем обозначать ее через $\pi$, т.е. в неособой точке графика $\pi\colon (z,w)\mapsto z$. Для точек $\mathfrak R$ мы будем использовать “жирные” символы, например $\mathbf z$, а их проекции будем обозначать соответствующими “обычными”, соответственно $z$, т.е. $z=\pi(\mathbf z)$. Функция $f$ естественным образом поднимается до мероморфной функции $f(\mathbf z)$ на $\mathfrak R$. При этом заданный нам голоморфный росток $f_\infty(z)$ поднимается до ростка функции $f(\mathbf z)$ в однозначно определенной точке из множества $\pi^{-1}(\infty)$, которую мы будем обозначать $ \infty^{(0)}$. Подчеркнем, что мы допускаем случай, когда $\infty$ – точка ветвления $f(z)$, но при этом точка $ \infty^{(0)}$ не является критической точкой проекции $\pi$. Мы также можем задать рассматриваемые нами объекты (функцию и ее росток) более абстрактно, не привязываясь к конкретному алгебраическому уравнению. Можно считать, что нам задано разветвленное голоморфное $(m+1)$-листное накрытие $\pi\colon \mathfrak R\to\widehat{\mathbb C}$ сферы Римана $\widehat{\mathbb C}$ абстрактной компактной римановой поверхностью $\mathfrak R$ с отмеченной точкой $ \infty^{(0)}\in\pi^{-1}(\infty)$, которая не является критической точкой проекции $\pi$. Мы рассматриваем произвольную мероморфную на $\mathfrak R$ функцию $f(\mathbf z)$ с условием, что функции $1, f, f^2, \dots, f^m$ независимы над полем рациональных функций $\mathbb C(z)$. Тогда росток $f_\infty(z)$, по которому мы строим полиномы Эрмита–Паде (1), – это росток $f(\mathbf z)$ в точке $ \infty^{(0)}$, рассматриваемый как функция от $z$, т.е. $f_\infty(z)=f(\pi_0^{-1}(z))$, где $\pi^{-1}_0$ – обратное отображение к $\pi$ в окрестности точки $ \infty^{(0)}$. Отметим, что любая функция $\varphi(z)$, определенная в области $D\subset\widehat{\mathbb C}$, естественно поднимается на $\pi^{-1}(D)\subset\mathfrak R$ как $\varphi(\mathbf z):=\varphi\circ\pi(\mathbf z)=\varphi(z)$. Не усложняя обозначений, для таких поднятий $\varphi(\mathbf z)$ мы будем использовать тот же символ $\varphi(z)$, что и для исходной функции, уточняя при необходимости область определения. Определим ключевое для нас понятие – разбиение Наттолла римановой поверхности $\mathfrak R$ на листы, введенное в работах Дж. Наттолла [29], [30]. На самом деле разбиение Наттолла строится для конечнолистного голоморфного разветвленного накрытия сферы Римана $\widehat{\mathbb C}$ компактной римановой поверхностью с выделенной точкой, которая не является критической для проекции. Однако исторически так сложилось, что все говорят о разбиении Наттолла именно римановой поверхности, неявно подразумевая, что на ней заданы естественная проекция на сферу Римана (например, как на римановой поверхности алгебраической функции) и выделенная точка, в которой рассматривается голоморфный росток. В нашем случае риманова поверхность – это $\mathfrak R$, проекция – это $\pi$, а выделенная точка – это $ \infty^{(0)}$. Чтобы не усложнять обозначений и следовать традиции, мы также будем говорить о разбиении Наттолла поверхности $\mathfrak R$. В определении разбиения Наттолла мы будем следовать [24], где доказаны все необходимые нам свойства этого разбиения. Итак, пусть $u(\mathbf z)$ – гармоническая функция в $\mathfrak R\setminus\pi^{-1}(\infty)$ со следующими логарифмическими особенностями в точках множества $\pi^{-1}(\infty)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u(\mathbf z)&=-m\log{|z|}+O(1), \qquad\mathbf z\to \infty^{(0)}, \\ u(\mathbf z)&=\log{|z|}+O(1), \qquad\mathbf z\to\pi^{-1}(\infty)\setminus \infty^{(0)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Функция $u$ всегда существует и определена с точностью до аддитивной константы (она строится явно с помощью стандартных биполярных функций Грина, см. [24; формула (23)]). Пусть $z\in\mathbb C$, и пусть $u_0(z),\dots,u_m(z)$ – значения функции $u$ в точках множества $\pi^{-1}(z)$, упорядоченные по неубыванию (и в случае, когда $z$ – критическое значение $\pi$, выписанные столько раз, каков порядок соответствующей точки множества $\pi^{-1}(z)$ как критической точки $\pi$):
$$
\begin{equation}
u_0(z)\leqslant u_1(z)\leqslant\dots\leqslant u_{m-1}(z)\leqslant u_m(z).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Если $u_{j-1}(z)< u_j(z)<u_{j+1}(z)$, мы включаем во множество $\mathfrak R^{(j)}$ ($j$-й лист поверхности $\mathfrak R$, $j=0,\dots,m$) точку $\mathbf z^{(j)}\in\pi^{-1}(z)$ такую, что $u(\mathbf z^{(j)})=u_j(z)$ (при $j=0$ рассматриваем только неравенство $u_0(z)<u_{1}(z)$, а при $j=m$ – только $u_{m-1}(z)<u_{m}(z)$). В противном случае точки множества $\pi^{-1}(z)$ в $\mathfrak R^{(j)}$ не включаются. При $z=\infty$ нужно в (6) $u(z)$ заменить на $u(z)-\log |z|$. Таким образом, формально листы $\mathfrak R^{(j)}$ определяются как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak R^{(0)} &:=\{\mathbf z\in\mathfrak R\colon 0<u_{1}(z)-u(\mathbf z)\}; \\ \mathfrak R^{(j)} &:=\{\mathbf z\in\mathfrak R\colon u_{j-1}(z)-u(\mathbf z)<0<u_{j+1}(z)-u(\mathbf z)\}, \qquad j=1,\dots,m-1; \\ \mathfrak R^{(m)} &:=\{\mathbf z\in\mathfrak R\colon u_{m-1}(z)-u(\mathbf z)<0\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения следует, что $\mathfrak R^{(j)}$ – попарно не пересекающиеся открытые подмножества $\mathfrak R$ (вообще говоря, несвязные) и проекция $\pi\colon \mathfrak R^{(j)}\to\pi(\mathfrak R^{(j)})$ биголоморфна. Везде далее точку множества $\mathfrak R^{(j)}$, лежащую над точкой $z\in \widehat{\mathbb C}$, будем обозначать $\mathbf z^{(j)}$, а границу листа $\mathfrak R^{(j)}$ будем обозначать $\partial\mathfrak R^{(j)}$. Выделенная ранее точка $ \infty^{(0)}$ всегда принадлежит листу $\mathfrak R^{(0)}$, что согласуется с нашим обозначением точек листов. Ясно, что ни одна критическая точка проекции $\pi$ не содержится ни в одном из множеств $\mathfrak R^{(j)}$. Положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, F_j:=\{z\in\widehat{\mathbb C}\colon u_{j-1}(z)=u_j(z)\}, \quad j=1,\dots,m, \\ F:=\bigcup_{j=1}^mF_j. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7}
$$
В [24; приложение 1] было показано, что все множества $F_j$ и $\partial\mathfrak R^{(j)}$ являются (вещественно) одномерными кусочно аналитическими множествами без изолированных точек. Точное определение кусочно аналитического множества приведено там же. Неформально говоря, это означает, что эти множества представляют собой замыкания объединений конечного числа аналитических дуг, обладающих некоторой регулярностью в своих концевых точках. В частности, отсюда следует, что множества $F_j$ не имеют внутренности, что немедленно влечет равенства $\pi(\partial\mathfrak R^{(j)})=F_j\cup F_{j+1}$ при $j=1,\dots,m-1$, а также $\pi(\partial\mathfrak R^{(0)})=F_1$ и $\pi(\partial\mathfrak R^{(m)})=F_m$. Введем обозначения, которых мы будем придерживаться в дальнейшем. Символом $\xrightarrow{*}$ будем обозначать $*$-слабую сходимость, уточняя при необходимости пространство, в котором она рассматривается, а символом $\xrightarrow{\operatorname{cap}}$ – сходимость по (логарифмической) емкости, уточняя множество, на котором она рассматривается. Через $\operatorname{dist}$ будем обозначать расстояние в сферической метрике на $\widehat{\mathbb C}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
d\sigma:= \frac{i}{2\pi}\frac{dz\wedge d\overline z}{(1+|z|^2)^2}
\end{equation*}
\notag
$$
– нормированная форма площади сферической метрики на $\widehat{\mathbb C}$. Напомним, что оператор $\operatorname{dd^c}$ – это стандартный аналог оператора Лапласа на римановых поверхностях, в общем случае переводящий потоки степени 0 на них в потоки степени 2, а на гладких функциях $\varphi$ действующий в локальной координате $\zeta = x +iy$ как $\operatorname{dd^c}\varphi = (\varphi_{xx}+\varphi_{yy})\,dx\,dy=\Delta\varphi\,dx\,dy$. Все необходимые нам свойства оператора $\operatorname{dd^c}$ и утверждения из теории потенциала на компактных римановых поверхностях приведены в [24; приложение 2] и в [11]. Мы будем ссылаться на них, по возможности сохраняя обозначения. Чтобы говорить об асимптотическом поведении полиномов Эрмита–Паде $Q_{n,j}$ и дискриминантов $D_n$, необходимо зафиксировать их нормировку. Поэтому наряду с полиномами $Q_{n,j}$, определяемыми (1), и дискриминантами $D_n$ уравнений (2), мы будем рассматривать полиномы $Q_{n,j}^*:=c_{n,j}Q_{n,j}$ и $D_n^*(z):=d_nD_n(z)$ ($c_{n,j}\,{>}\,0$, $d_n\,{>}\,0$ – константы), для которых функции $\log|Q_{n,j}^*|$ и $\log|D_n^*|$ сферически нормированы:
$$
\begin{equation}
\int_{\widehat{\mathbb C}}\log|Q_{n,j}^*|\,d\sigma=0, \qquad \int_{\widehat{\mathbb C}}\log|D_n^*|\,d\sigma=0.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Отметим, что в общем случае для $Q_{n,j}^*$ соотношение (1) не выполнено. Для функции $u(\mathbf z)$ мы выбираем сферическую нормировку на $m$-м листе $\mathfrak R^{(m)}$, т.е. нормируем ее условием
$$
\begin{equation}
\int_{\widehat{\mathbb C}\setminus F_m} u(\mathbf z^{(m)})\, d\sigma(z)=0.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Тогда функция $u_m(z)$ будет сферически нормирована: Пусть $\sigma_j$, $j=1,\dots,m$, – $j$-й элементарный симметрический полином от $m$ переменных (сумма всевозможных произведений $j$ различных переменных из $m$). Обозначим
$$
\begin{equation}
\Xi_j(z):=(-1)^{m-j}\sigma_{m-j}\bigl(f(\mathbf z^{(0)}), f(\mathbf z^{(1)}),\dots, f(\mathbf z^{(m-1)})\bigr).
\end{equation}
\tag{11}
$$
Формулой (11) функции $\Xi_j(z)$ корректно определены в $\widehat{\mathbb C}\setminus F$ (там, где определены все $\mathbf z^{(j)}$) и мероморфны там. Однако, поскольку $\sigma_j$ – симметрическая функция, то $\Xi_j(z)$ зависят только от значений функции $f$ в точках множества $\pi^{-1}(z)\setminus \mathbf z^{(m)}$ и не зависят от их порядка. Таким образом, $\Xi_j(z)$ продолжаются до мероморфных функций в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$. (Подробнее см. аналогичное утверждение для функции $\Pi_m$ в замечании 1.) Следующая теорема 1 доказана в [24]. Точнее, теорема 1 представляет собой объединение [24; теоремы 1 и 2] в частном случае, когда $f_j=f^j$, где $f$ – мероморфная на $\mathfrak R$ функция. Мы приводим ее формулировку для полноты изложения. Следует отметить, что в [24] вместо п. 2 теоремы 1 доказана лишь слабая сходимость во всех $L^p$ с $p>1$, а приводимое здесь утверждение п. 2 теоремы 1 доказано в [22; теорема 1], если там положить $k=m$. Теорема 1. 1) Существует такое число $L\in\mathbb N$, что для любой окрестности $V$ компакта $F_m$ при всех достаточно больших $n$, $n>N(V)$, вне окрестности $V$ лежит не более $L$ нулей каждого из полиномов $Q_{n,j}$, $j=0,\dots,m$. 2) Для произвольного $p\in[1,\infty)$ при $n\to\infty$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n}\log|Q_{n,j}^*(z)|\to u_m(z) \quad \textit{в }\ L^p(\widehat{\mathbb C}, d\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
3) При $n\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\frac 1 n \operatorname{dd^c}\log|Q_{n,j}|\xrightarrow{*}\operatorname{dd^c} u_m.
\end{equation*}
\notag
$$
4) Для любого компакта $K\subset\mathbb C\setminus F_m$ при $n\to\infty$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac {Q_{n,j}(z)}{Q_{n,m}(z)}\xrightarrow{\operatorname{cap}}\Xi_j(z), \qquad z\in K.
\end{equation*}
\notag
$$
5) Более того, для произвольного $\varepsilon>0$ Обозначим
$$
\begin{equation}
\Pi_m(z):=\prod_{0\leqslant j<k\leqslant m-1}(f(\mathbf z^{(j)})-f(\mathbf z^{(k)}))^2.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Так же, как и функции $\Xi_j$ (11), формулой (12) функция $\Pi_m(z)$ корректно определена лишь в $\widehat{\mathbb C}\setminus F$, но продолжается до мероморфной функции в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$. Доказательство следующих теорем 2–4 представляет собой основное содержание настоящей работы. Теорема 2. 1) Существует такое число $L'\in\mathbb N$, что для любой окрестности $V$ компакта $F_m$ при всех достаточно больших $n$, $n>N(V)$, вне окрестности $V$ лежит не более $L'$ нулей полинома $D_n$. 2) Для произвольного $p\in[1,\infty)$ при $n\to\infty$ имеем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{(2m-2)n}\log|D_{n}^*(z)|\to u_m(z) \quad \textit{в }\ L^p(\widehat{\mathbb C}, d\sigma).
\end{equation}
\tag{13}
$$
3) При $n\to\infty$
$$
\begin{equation}
\frac {1}{(2m-2)n} \operatorname{dd^c}\log|D_n|\xrightarrow{*}\operatorname{dd^c} u_m.
\end{equation}
\tag{14}
$$
4) Для любого компакта $K\subset\mathbb C\setminus F_m$ при $n\to\infty$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac {D_n(z)}{Q_{n,m}^{2m-2}(z)}\xrightarrow{\operatorname{cap}}\Pi_m(z), \qquad z\in K.
\end{equation*}
\notag
$$
5) Более того, для произвольного $\varepsilon>0$ Теорема 3. Пусть $a\in\mathbb C\setminus F_m$ – такая точка, что $\Pi_m(a)=0$. Тогда существуют константы $c>0$ и $0<A<1$ такие, что для каждого достаточно большого $n\in\mathbb N$, $n>N$, найдется точка $z_{n}\in\mathbb C$ со свойствами Ясно, что если $a\in\mathbb C\setminus F_m$ – такая точка ветвления $f$, что функция $f$ не имеет полюсов в точках множества $\pi^{-1}(a)$, то $\Pi_m(a)=0$. Поэтому из теоремы 3 очевидно вытекает Следствие 1. Пусть $a\in\mathbb C\setminus F_m$ – точка ветвления $f$ (критическое значение $\pi$) такая, что $f$ не имеет полюсов в $\pi^{-1}(a)$. Тогда существуют константы $c>0$ и $0<A<1$ такие, что для каждого достаточно большого $n\in\mathbb N$, $n>N$, найдется точка $z_{n}\in\mathbb C$ со свойствами Достаточным условием того, чтобы алгебраическая функция $f(z)$ вообще не имела полюсов в $\mathbb C$, очевидно, является равенство единице старшего коэффициента задающего $f$ полинома $\mathcal P(z,w)$ (как полинома от $w$), т.е. $\mathcal P(z,w)=w^{m+1}+\dotsb$. Поэтому из следствия 1 вытекает еще одно следствие. Следствие 2. Пусть алгебраическая функция $f(z)$ является решением полиномиального уравнения $\mathcal P(z,f(z))=0$, где $\mathcal P(z,w)$ – неприводимый полином, $\operatorname{deg}\mathcal P_w=m+1$ и $\mathcal P(z,w)=w^{m+1}+\dotsb$. Тогда для любой точки ветвления $a$ функции $f$, лежащей в $\mathbb C\setminus F_m$, существуют константы $c>0$ и $0<A<1$ такие, что для каждого достаточно большого $n\in\mathbb N$, $n>N$, найдется точка $z_{n}\in\mathbb C$ со свойствами Теорема 4. Пусть $a\in\mathbb C\setminus F_m$ – точка ветвления $f$ (критическое значение $\pi$), причем в $\pi^{-1}(a)$ есть только одна критическая точка $\pi$ и она имеет порядок 2. Тогда существуют константы $c>0$ и $0<A<1$ такие, что для каждого достаточно большого $n\in\mathbb N$, $n>N$, найдется точка $z_{n}\in\mathbb C$ со свойствами Из теоремы 4 очевидно вытекает Следствие 3. Пусть проекция $\pi\colon \mathfrak R\to\widehat{\mathbb C}$ такова, что все ее критические точки второго порядка и над каждой точкой $z\in\widehat{\mathbb C}$ лежит не более одной критической точки $\pi$. Тогда для любой точки ветвления $a$ (критического значения $\pi$) функции $f$, лежащей в $\mathbb C\setminus F_m$, существуют константы $c>0$ и $0<A<1$ такие, что для каждого достаточно большого $n\in\mathbb N$, $n>N$, найдется точка $z_{n}\in\mathbb C$ со свойствами Рассмотрим случай, когда $m=2$. В этом случае $f$ – алгебраическая функция порядка $3$, а дискриминанты $D_n=Q_{n,1}^2-4Q_{n,0}Q_{n,2}$ – обычные дискриминанты квадратного уравнения. Тем самым проекция $\pi$ (она же $z$) осуществляет трехлистное накрытие сферы Римана $\widehat{\mathbb C}$ римановой поверхностью $\mathfrak R$ функции $f$. Тогда, очевидно, над каждой точкой $a\in\widehat{\mathbb C}$ может быть только одна критическая точка $\pi$, причем ее порядок равен 2 или 3. При этом если порядок такой точки равен 3, то для функций $u_j$ (6) имеем $u_0(a)=u_1(a)=u_2(a)$. Поэтому в этом случае по определению (7) получаем, что $a\in F_m=F_2$. Таким образом, в случае $m=2$ любая точка ветвления $a$ функции $f$ вне $F_2$ удовлетворяет условию теоремы 4, и мы получаем еще одно следствие из нее. Следствие 4. Пусть $m=2$. Тогда для любой точки ветвления $a$ функции $f$, лежащей в $\mathbb C\setminus F_2$, существуют константы $c>0$ и $0<A<1$ такие, что для каждого достаточно большого $n\in\mathbb N$, $n>N$, найдется точка $z_{n}\in\mathbb C$ со свойствами § 3. Подготовительные результатыОпределим на $\mathfrak R$ функцию остатка $R_n(\mathbf z)$ формулой
$$
\begin{equation*}
R_n(\mathbf z):=Q_{n,0}(z) + \sum_{j=1}^{m}f^j(\mathbf z)Q_{n, j}(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, функция $R_n(\mathbf z)$ мероморфна на $\mathfrak R$. Определяющее соотношение для полиномов Эрмита–Паде (1) означает, что $R_n(\mathbf z)= O(z^{-m(n+1)})$ при $\mathbf z\to \infty^{(0)}$. Ключевую роль в доказательстве теоремы 1, приведенном в [24], играет тот факт, что полиномы Эрмита–Паде $Q_{n,j}$ выражаются через $R_n(\mathbf z)$ (см. далее формулу (22)), а модуль правильно нормированной функции $R_n$, говоря неформально, ведет себя, как $e^{nu(\mathbf z)}$ (см. далее формулу (19)). Нам тоже будет необходимо такое представление для $Q_{n,j}$, поэтому остановимся на нем подробнее. Напомним, что для любых двух различных точек $\mathbf q, \mathbf p\in\mathfrak R$ биполярная функция Грина $g(\mathbf q, \mathbf p; \mathbf z)$ с полюсами $\mathbf q$, $\mathbf p$ – это гармоническая функция на $\mathfrak R\setminus\{\mathbf q, \mathbf p\}$ с логарифмическими особенностями в $\mathbf q$ и $\mathbf p$, имеющими в локальных координатах $\zeta$ следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g(\mathbf q,\mathbf p;\mathbf z)&=\log{|\zeta(\mathbf z)-\zeta(\mathbf q)|}+O(1), \qquad \mathbf z\to\mathbf q, \\ g(\mathbf q,\mathbf p;\mathbf z)&=-\log|\zeta(\mathbf z)-\zeta(\mathbf p)|+O(1), \qquad \mathbf z\to\mathbf p. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
При $\mathbf q=\mathbf p$ функция $g(\mathbf p,\mathbf p;\mathbf z)\equiv \operatorname{const}$. Существование биполярных функций Грина на любой компактной римановой поверхности (которое хорошо известно) и все необходимые нам их свойства доказаны в [24] (см. также [11]). Функции $g(\mathbf q,\mathbf p;\mathbf z)$ определены с точностью до аддитивной константы. Мы будем считать, что они сферически нормированы на $m$-м листе, т.е.
$$
\begin{equation}
\int_{\widehat{\mathbb C}\setminus F_m} g(\mathbf q,\mathbf p;\mathbf z^{(m)})\, d\sigma(z)=0.
\end{equation}
\tag{16}
$$
В частности, $g(\mathbf p,\mathbf p;\mathbf z)\equiv 0$. Пусть $M_0$ – сумма кратностей всех полюсов функции $f(\mathbf z)$ и $M=mM_0$. Нетрудно получить следующее выражение для дивизора $(R_n)$ функции остатка $R_n$ (см. [24; формула (17) и замечание 1]):
$$
\begin{equation}
(R_n)=n\biggl(m\, \infty^{(0)}-\sum_{l=1}^m \infty_l\biggr)-\sum_{k=1}^{M}\mathbf p_k +\sum_{k=1}^{M}\mathbf q_k(n),
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $\{ \infty_l\}_{l=1}^m$ – все точки множества $\pi^{-1}(\infty)\setminus \infty^{(0)}$, причем если $ \infty_l$ – критическая точка $\pi$, то она выписывается столько раз, каков ее порядок; точки $\mathbf p_k$, $k=1,\dots, M$, – полюсы функции $f(\mathbf z)$, каждый из которых взят с кратностью в $m$ раз больше порядка полюса $f$ в них, а точки $\mathbf q_k=\mathbf q_k(n)$, $k=1,\dots, M$, – так называемые свободные нули функции $R_n(\mathbf z)$, зависящие от $n$. Отметим, что в действительности не все $\mathbf q_k(n)$ зависят от $n$, например, в точке $ \infty^{(0)}$ функция $R_n$ имеет нуль порядка $m(n+1)$, поэтому среди точек $\mathbf q_k(n)$ всегда есть точка $ \infty^{(0)}$. Тем не менее все такие нули функции $R_n$ мы будем называть свободными и априори предполагать, что они зависят от $n$. О точках $\mathbf p_k$, т.е. возможных полюсах функции $R_n$, для наших дальнейших рассуждений важно знать лишь то, что их положения фиксированы (не зависят от $n$). Из (17) следует (см. [24; предложение 1]), что $|R_n(\mathbf z)|=C_n e^{nu(\mathbf z)}\psi_n(\mathbf z)$, где $C_n>0$ – константа и
$$
\begin{equation}
\psi_n(\mathbf z):=\exp\biggl\{\sum_{k=1}^M g(\mathbf q_k(n),\mathbf p_k;\mathbf z)\biggr\}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Разделив при необходимости все полиномы Эрмита–Паде $Q_{n,j}$ на $C_n$, мы будем считать, что $C_n=1$, т.е. это означает, что функция $\log|R_n|$ сферически нормирована на $m$-м листе: $\displaystyle \int_{\widehat{\mathbb C}\setminus F_m} \log |R_n(\mathbf z^{(m)})|\, d\sigma(z)=0$ (напомним, что функция $u(\mathbf z)$ также сферически нормирована на $m$-м листе (9)). Всюду далее мы будем считать, что нормировка полиномов $Q_{n,j}$ при каждом $n$ выбрана так, что выполняется (19). Следуя [24], чтобы выразить полиномы Эрмита–Паде $Q_{n,j}$ через функцию остатка $R_n$, определим на множестве $\widehat{\mathbb C}\setminus F$ матрицу $A$:
$$
\begin{equation}
A(z):= \begin{pmatrix} 1 & f(\mathbf z^{(0)}) & \ldots & f^m(\mathbf z^{(0)})\\ 1 & f(\mathbf z^{(1)}) & \ldots & f^m(\mathbf z^{(1)})\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1 & f(\mathbf z^{(m)}) & \ldots & f^m(\mathbf z^{(m)}) \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{20}
$$
(строки и столбцы матрицы $A$ мы будем нумеровать числами от $0$ до $m$). Пусть $A_{k,j}(z)$, $k,j=0,\dots, m$, – алгебраическое дополнение к элементу с номером $(k,j)$ в матрице $A(z)$. Для каждого $j=0,\dots, m$ определим на множестве $\pi^{-1}(\widehat{\mathbb C}\setminus F)$ функцию В [29] (см. также [24; предложение 2]) показано, что функции $A_j(\mathbf z)$ продолжаются до мероморфных функций на всей поверхности $\mathfrak R$. Как показано в [24; формула (38)], полиномы Эрмита–Паде выражаются через функции $R_n(\mathbf z)$ и $A_j(\mathbf z)$ следующей формулой, справедливой для всех $z\in\widehat{\mathbb C}$:
$$
\begin{equation}
Q_{n,j}(z)=\sum_{\mathbf z\in\pi^{-1}(z)} R_n(\mathbf z)A_j(\mathbf z),\qquad j=0,\dots,m,
\end{equation}
\tag{22}
$$
в которой в случае, когда $\mathbf z$ – критическая точка проекции $\pi$, соответствующее слагаемое нужно взять столько раз, каков ее порядок. При $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$ формулу (22) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
Q_{n,j}(z)=R_n(\mathbf z^{(m)})A_j(\mathbf z^{(m)})(1+h_{n,j}(z)),
\end{equation}
\tag{23}
$$
где
$$
\begin{equation}
h_{n,j}(z)=\sum_{\mathbf z\in\pi^{-1}(z)\setminus\mathbf z^{(m)}} \frac{R_n(\mathbf z)}{R_n(\mathbf z^{(m)})}\frac{A_j(\mathbf z)}{A_j(\mathbf z^{(m)})}, \qquad j=0,\dots,m.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Представление (23) имеет важное значение для приведенного в [24] доказательства теоремы 1. Сейчас мы получим схожее представление для дискриминантов $D_n$, которое будет столь же важным для доказательства теорем 2–4. Напомним, что функция $\Pi_m(z)$ определена формулой (12). Предложение 1. Для дискриминанта $D_n(z)$ в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$ справедливо следующее представление: где
$$
\begin{equation}
H_n(z)=\sum_{\substack{0\leqslant j_0,j_1,\dots, j_m\leqslant 2m-2\\ 1\leqslant j_0+j_1+\dots+j_m\leqslant 2m-2}} \frac{M_{j_1,j_2,\dots,j_m}(z)}{A_m(\mathbf z^{(m)})^{2m-2}\Pi_m(z)} h_{n,0}^{j_0}(z)\dotsb h_{n,m}^{j_m}(z),
\end{equation}
\tag{26}
$$
а $M_{j_1,j_2,\dots,j_m}(z)$ – полиномы степеней не выше $2m-2$ от функций $A_j(\mathbf z^{(m)})$ с целыми коэффициентами. Доказательство. В соответствии с нашими обозначениями (3) Поскольку дискриминант полинома степени $m$ – это однородный полином степени $2m-2$ от его коэффициентов, то, подставляя в (27) вместо $Q_{n,j}$ их выражения (23), получаем, что
$$
\begin{equation}
D_n(z)=R_n^{2m-2}(\mathbf z^{(m)})D\bigl(A_0(\mathbf z^{(m)})(1+h_{n,0}(z)), \dots,A_m(\mathbf z^{(m)})(1+h_{n,m}(z))\bigr).
\end{equation}
\tag{28}
$$
Дискриминант в правой части (28) является полиномом степени $2m-2$ от функций $h_{n,j}(z)$, коэффициенты которого – полиномы степеней не выше ${2m-2}$ от функций $A_j(\mathbf z^{(m)})$ (с коэффициентами, не зависящими от $z$). Свободный член этого полинома от $h_{n,j}$ равен $D\bigl(A_0(\mathbf z^{(m)}), \dots,A_m(\mathbf z^{(m)})\bigr)$, т.е. дискриминанту полинома
Покажем, что при $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F$ корнями полинома (29) являются в точности числа $f(\mathbf z^{(0)})$, $f(\mathbf z^{(1)})$, …, $f(\mathbf z^{(m-1)})$. В самом деле, значение полинома (29) в точке $f(\mathbf z^{(j)})$ – это произведение $j$-й строки матрицы $A$ (20) на столбец $\bigl(A_0(\mathbf z^{(m)}),A_1(\mathbf z^{(m)}),\dots, A_m(\mathbf z^{(m)})\bigr)^\top$. С другой стороны, из определения (21) функций $A_j$ очевидно, что этот столбец есть последний ($m$-й) столбец матрицы, обратной к матрице $A$. Поэтому при $j\neq m$ указанное произведение равно нулю. Значит, при $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F$
$$
\begin{equation*}
D\bigl(A_0(\mathbf z^{(m)}, \dots,A_m(\mathbf z^{(m)})\bigr)=A_m^{2m-2}(\mathbf z^{(m)})\Pi_m(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку обе части этого равенства мероморфны в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$, то оно верно и в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
D_n(z)=R_n^{2m-2}(\mathbf z^{(m)})\bigl(A_m^{2m-2}(\mathbf z^{(m)})\Pi_m(z)+\Delta_n(z)\bigr),
\end{equation}
\tag{30}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Delta_n(z)=\sum_{\substack{0\leqslant j_0,j_1,\dots, j_m\leqslant 2m-2\\ 1\leqslant j_0+j_1+\dots+j_m\leqslant 2m-2}} M_{j_1,j_2,\dots,j_m}(z)h_{n,0}^{j_0}(z)\dotsb h_{n,m}^{j_m}(z),
\end{equation*}
\notag
$$
а $M_{j_1,j_2,\dots,j_m}(z)$ – полиномы степеней не выше $2m-2$ от функций $A_j(\mathbf z^{(m)})$ с целыми коэффициентами. Деля $\Delta_n(z)$ на $A_m^{2m-2}(\mathbf z^{(m)})\Pi_m(z)$, получаем (25). Предложение 1 доказано. Замечание 1. Заметим, что $\Pi_m(z)=(-1)^{m(m-1)/2}\widetilde\Pi_m(\mathbf z^{(m)})$, где Зафиксируем на $\mathfrak R$ некоторую конформную метрику $\rho$ и будем обозначать расстояние в ней через $\operatorname{dist}_\rho$, а соответствующую ей форму площади через $\sigma_\rho$. Поскольку пространства $L^p$, соответствующие формам площади любых двух гладких положительных римановых метрик на компактной римановой поверхности, совпадают, мы будем обозначать пространство $L^p$, соответствующее форме площади $\sigma_\rho$, через $L^p(\mathfrak R)$. Также для краткости в дальнейшем будем обозначать $L^p(A):=L^p(A,d\sigma)$ для подмножеств $A\subset\widehat{\mathbb C}$ (в том числе и для всей сферы Римана $\widehat{\mathbb C}$). Нам потребуются некоторые понятия и утверждения из теории потенциала на компактных римановых поверхностях, которые подробно изложены в [24; приложение 2] и [11]. Хорошо известно, что уравнение $\operatorname{dd^c}\widehat\nu=\nu$, где $\nu$ – вещественный борелевский заряд (знакопеременная мера) с конечной полной вариацией на компактной римановой поверхности $\mathcal S$, разрешимо в потоках тогда и только тогда, когда заряд $\nu$ нейтральный, т.е. $\displaystyle\int_{\mathcal S}\nu=0$. Решение $\widehat\nu$ называется потенциалом заряда $\nu$ и определено с точностью до добавления гармонической функции на $\mathcal S$, т.е. константы. Пространство потенциалов всех нейтральных зарядов на $\mathcal S$ есть в точности пространство $\operatorname{\delta-sh}(\mathcal S)$ всех $\delta$-субгармонических функций на $\mathcal S$ (т.е. локально представимых в виде разности двух субгармонических функций). Как известно, $\operatorname{\delta-sh}(\mathcal S)\subset L^p(\mathcal S)$ относительно формы площади любой гладкой конформной метрики на $\mathcal S$ при всех $p\in[1,\infty)$. Чтобы избавиться от неоднозначности в определении потенциала, обычно фиксируется непрерывный линейный функционал $\phi$ на $L^1(\mathcal S)$ и рассматривается пространство
$$
\begin{equation}
\operatorname{Pot}_\phi(\mathcal S):=\{v\in\operatorname{\delta-sh}(\mathcal S)\colon \phi(v)=0\}.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Тогда для любого нейтрального заряда $\nu$ на $\mathcal S$ его $\phi$-нормированный потенциал $\widehat\nu_\phi\in\operatorname{Pot}_\phi(\mathcal S)$ определен однозначно. Нам понадобятся два случая: 1) $\mathcal S=\widehat{\mathbb C}$, тогда мы рассматриваем функционал
$$
\begin{equation}
\phi_1(v):=\int_{\widehat{\mathbb C}}v(z)\,d\sigma(z);
\end{equation}
\tag{33}
$$
2) $\mathcal S=\mathfrak R$, тогда мы рассматриваем функционал
$$
\begin{equation}
\phi_2(v):=\int_{\widehat{\mathbb C}\setminus F_m}v(\mathbf z^{(m)})\,d\sigma(z).
\end{equation}
\tag{34}
$$
В частности, при нормировке (16) функция $g(\mathbf q,\mathbf p;\mathbf z)$ – $\phi_2$-нормированный потенциал заряда $\delta_{\mathbf q}-\delta_{\mathbf p}$ на $\mathfrak R$, где $\delta_\mathbf a$ – дельта-мера в точке $\mathbf a\in\mathfrak R$. Для доказательства теорем 3 и 4 нам потребуется следующая лемма 1, представляющая собой оценку сверху на модули всех функций $h_{n,j}(z)$ (24) в окрестности фиксированной точки $z_0\in\mathbb C\setminus F_m$. Для любых $r>0$ и $z\in\mathbb C $ обозначим $B_{z}^{r}=\{\xi\in\mathbb C\colon |\xi-z|<r\}$ (евклидов круг радиуса $r$ с центром $z$). Для любого $a\in\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$ обозначим максимум порядков полюсов функций ${A_j(\mathbf z)}/{A_j(\mathbf z^{(m)})}$, $j= 0,\dots,m$, в точках множества $\pi^{-1}(a)$ через $\Theta_0(a)$. Положим $\Theta_0:=\max_{a\in\widehat{\mathbb C}\setminus F_m}\Theta_0(a)$. Этот максимум конечен, поскольку $A_j(\mathbf z)$ – мероморфные функции на $\mathfrak R$. Пусть $\Theta=\Theta_0+M$, где $M$ – количество свободных нулей в дивизоре функции остатка $R_n$ (17). Напомним, что согласно нашим обозначениям, $q_k(n)$ – это проекции свободных нулей в дивизоре $R_n$ (17). Лемма 1. Пусть $z_0\in\mathbb C\setminus F_m$. Тогда существуют числа $\delta=\delta(z_0)\in(0,1)$ и $C=C(z_0)>0$ такие, что при $z\in B_{z_0}^{\delta}$ для всех функций $h_{n,j}$, определенных в (24), $j=0,1,\dots,m$, $n\in\mathbb N$, справедлива оценка Доказательство. Пусть число $1>\delta>0$ удовлетворяет следующим условиям: $\overline{B_{z_0}^{2\delta}}\cap F_m=\varnothing$; в $\overline{B_{z_0}^{2\delta}}\setminus z_0$ нет критических значений $\pi$; все функции $A_j(\mathbf z)$, $j=0,\dots,m$, не имеют ни нулей, ни полюсов во множестве $\pi^{-1}(\overline{B_{z_0}^\delta}\setminus z_0)$; функция $f(\mathbf z)$ не имеет полюсов во множестве $\pi^{-1}(B_{z_0}^{2\delta}\setminus z_0)$. Последнее условие также означает, что в $\pi^{-1}(B_{z_0}^{2\delta}\setminus z_0)$ нет точек $\mathbf p_k$ из дивизора функции остатка $R_n$ (17).
Подставляя в (24) выражение для $|R_n|$ (19), получаем, что при всех $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |h_{n,j}(z)| &\leqslant\sum_{\mathbf z\in\pi^{-1}(z)\setminus\mathbf z^{(m)}} \biggl|\frac{A_j(\mathbf z)}{A_j(\mathbf z^{(m)})}\biggr|\, \biggl|\frac{R_n(\mathbf z)}{R_n(\mathbf z^{(m)})}\biggr| \\ &=\sum_{\mathbf z\in\pi^{-1}(z)\setminus\mathbf z^{(m)}}\biggl|\frac{A_j(\mathbf z)}{A_j(\mathbf z^{(m)})}\biggr| \frac{\psi_n(\mathbf z)}{\psi_n(\mathbf z^{(m)})} \exp(n(u(\mathbf z)-u(\mathbf z^{(m)}))). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $(z-z_0)^{\Theta_0}{A_j(\mathbf z)}/{A_j(\mathbf z^{(m)})}$ не имеют полюсов на множестве $\pi^{-1}(\overline{B_{z_0}^\delta})$ и потому ограничены по модулю на этом множестве некоторой константой $C_1$. Заметим также, что для $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$
$$
\begin{equation*}
u(\mathbf z^{(m)})-u(\mathbf z)\geqslant u_m(z)-u_{m-1}(z) \quad\text{при }\ \mathbf z\in\pi^{-1}(z)\setminus\mathbf z^{(m)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в $\overline{B_{z_0}^\delta}$ для всех $j=0,\dots,m$
$$
\begin{equation}
|h_{n,j}(z)|\leqslant \frac{C_1\exp(-n(u_m(z)-u_{m-1}(z)))} {|z-z_0|^{\Theta_0}} \sum_{\mathbf z\in\pi^{-1}(z)\setminus\mathbf z^{(m)}}\frac{\psi_n(\mathbf z)}{\psi_n(\mathbf z^{(m)})}.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Чтобы оценить сумму в правой части (36), зафиксируем точку $\mathbf p^*\in\mathfrak R$ такую, что $|p^*-z_0|>2\delta$. Поскольку для нормированных (16) биполярных функций Грина, очевидно, верно $g(\mathbf q,\mathbf p;\mathbf z)=g(\mathbf q;\mathbf p^*;\mathbf z)-g(\mathbf p,\mathbf p^*;\mathbf z)$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\psi_n(\mathbf z)}{\psi_n(\mathbf z^{(m)})} &=\exp\biggl\{\sum_{k=1}^M g(\mathbf q_k(n),\mathbf p^*;\mathbf z)- \sum_{k=1}^M g(\mathbf p_k,\mathbf p^*;\mathbf z) \\ &\qquad\qquad -\sum_{k=1}^M g(\mathbf q_k(n),\mathbf p^*;\mathbf z^{(m)})+ \sum_{k=1}^M g(\mathbf p_k,\mathbf p^*;\mathbf z^{(m)})\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
Теперь оценим биполярные функции Грина $g$, стоящие в каждой из четырех сумм в правой части (37), при $z\in B_{z_0}^\delta$. Отметим, что, хотя для (36) нам нужно получить такую оценку при $\mathbf z\in\pi^{-1}(B_{z_0}^\delta)\setminus \mathbf z^{(m)}$, мы получим ее для всех $\mathbf z\in\pi^{-1}(B_{z_0}^\delta)$.
Поскольку в $\overline{B_{z_0}^{2\delta}}\setminus z_0$ нет критических значений $\pi$, то $\pi^{-1}(B_{z_0}^{2\delta})=\bigsqcup_{l=0}^{m'}\mathbf O_l$, где $m'\leqslant m$ и $\mathbf O_l$, $l=0,\dots,m'$, – связные открытые множества с попарно не пересекающимися замыканиями, каждое из которых содержит ровно одну точку $\mathbf z_{0,l}$ из множества $\pi^{-1}(z_0)$. Будем считать, что $\mathbf z_0^{(m)}=\mathbf z_{0,m'}\in\mathbf O_{m'}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
s:=\min\Bigl\{\operatorname{dist}_\rho\bigl(\pi^{-1}(\overline{B_{z_0}^{\delta}}),\pi^{-1}(\widehat{\mathbb C}\setminus B_{z_0}^{2\delta})\bigr),\min_{0\leqslant l<l'\leqslant m'}\operatorname{dist}_\rho(\overline{\mathbf O_l},\overline{\mathbf O_{l'}})\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [24; следствие 6] существует константа $C_s>0$ такая, что
$$
\begin{equation}
|g(\mathbf q,\mathbf p;\mathbf z)|\leqslant C_s \quad\text{при }\ \operatorname{dist}_\rho(\mathbf q,\mathbf z)\geqslant s, \quad \operatorname{dist}_\rho(\mathbf p,\mathbf z)\geqslant s.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Пусть $\mathbf z\in\pi^{-1}(B_{z_0}^\delta)$. Сначала оценим сверху и снизу функции $g(\mathbf p_k,\mathbf p^*;\mathbf z)$. Таким образом, мы оценим функции $g$, стоящие во второй и четвертой суммах правой части (37). Поскольку мы выбрали такую $\mathbf p^*$, что $\mathbf p^*\in \pi^{-1}(\widehat{\mathbb C}\setminus B_{z_0}^{2\delta})$, то $\operatorname{dist}_\rho(\mathbf z,\mathbf p^*)\geqslant s$ для всех $\mathbf z\in\pi^{-1}(B_{z_0}^\delta)$. Пусть $\mathbf z\in\pi^{-1}(B_{z_0}^\delta)\cap\mathbf O_l$ для некоторого $l=0,\dots,m'$. Если $\mathbf p_k\notin\mathbf O_l$, то $\operatorname{dist}_\rho(\mathbf p_k,\mathbf z)\geqslant s$ и в силу (38) имеем $|g(\mathbf p_k,\mathbf p^*;\mathbf z)|\leqslant C_s$. Пусть теперь $\mathbf p_k\in\mathbf O_l$. Тогда в силу выбора $\delta$ $\mathbf p_k=\mathbf z_{0,l}$. Пусть $d$ – порядок $\mathbf z_{0,l}$ как критической точки $\pi$ (если $\mathbf z_{0,l}$ – не критическая точка $\pi$, то $d=1$). Пусть $\zeta$ – голоморфная координата в $\mathbf O_l$ такая, что $z\,{=}\,z_0+\zeta^d(\mathbf z)$ при $\mathbf z\in\mathbf O_l$. Тогда $\zeta(\mathbf p_k)=0$ и по определению биполярных функций Грина (15) заключаем, что разность $g(\mathbf p_k,\mathbf p^*;\mathbf z)-\log|\zeta(\mathbf z)|$ – гармоническая функция в $\mathbf O_l$. Значит, существует константа $\widetilde C_l>0$ такая, что $\bigl|g(\mathbf p_k,\mathbf p^*;\mathbf z)-\log|\zeta(\mathbf z)|\bigr|\leqslant \widetilde C_l$ на $\mathbf O_l\cap\pi^{-1}(\overline{B_{z_0}^\delta})$. Поскольку $|\zeta(\mathbf z)|<\delta^{1/d}<1$ при $z\in B_{z_0}^\delta$ и $z=z_0+\zeta^d(\mathbf z)$ при $\mathbf z\in\mathbf O_l$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -\widetilde C_l+\log|z-z_0| &=-\widetilde C_l+d\log|\zeta(\mathbf z)|\leqslant -\widetilde C_l+\log|\zeta(\mathbf z)|\leqslant g(\mathbf p_k,\mathbf p^*;\mathbf z) \\ &\leqslant \widetilde C_l+\log|\zeta(\mathbf z)|\leqslant \widetilde C_l. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя такие оценки во всех $\mathbf O_l$, получаем, что при всех $\mathbf z\in\pi^{-1}(B_{z_0}^\delta)$
$$
\begin{equation}
-c_1+\log|z-z_0|\leqslant g(\mathbf p_k,\mathbf p^*;\mathbf z)\leqslant c_1,
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $c_1 = \max\{C_s,\widetilde C_0,\dots,\widetilde C_{m'}\}$.
Теперь оценим снизу $g(\mathbf q,\mathbf p^*;\mathbf z^{(m)})$ при $z\,{\in}\, B_{z_0}^\delta$ и, таким образом, функции $g$, стоящие в третьей сумме правой части (37). Так как $z\,{\in}\, B_{z_0}^\delta$, то $\mathbf z^{(m)}{\in}\,\mathbf O_{m'}\,{\cap}\, B_{z_0}^\delta$. Если $\mathbf q\notin\mathbf O_{m'}$, то $\operatorname{dist}_\rho(\mathbf q,\mathbf z)\geqslant s$ и в силу (38) имеем $|g(\mathbf q,\mathbf p^*;\mathbf z)|\leqslant C_s$. Пусть теперь $\mathbf q\in\mathbf O_{m'}$. Заметим, что так как $z_0\notin F_m$, то $\mathbf z_{0,m'}=\mathbf z_0^{(m)}$ не является критической точкой проекции $\pi$ и, значит, проекция $\pi$ биголоморфно отображает $\mathbf O_{m'}$ на $B_{z_0}^{2\delta}$. Следовательно, $z$ является координатой в $\mathbf O_{m'}$. По определению биполярных функций Грина (15) разность $g(\mathbf q,\mathbf p^*;\mathbf z^{(m)})-\log|z-q|$, рассматриваемая как функция от $z$ в круге $B_{z_0}^{2\delta+\varepsilon}$ для фиксированного достаточно малого $\varepsilon>0$, гармонична в этом круге. Обозначая через $\sigma_L$ меру Лебега на $\mathbb C$ и применяя теорему о среднем в круге $\overline{B_{z}^\delta}$, получим:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl|g(\mathbf q,\mathbf p^*;\mathbf z^{(m)})-\log|z-q|\bigr| =\biggl|\frac1{\pi\delta^2}\int_{\overline{B_{z}^\delta}}\bigl(g(\mathbf q,\mathbf p^*; {\xi}^{(m)})-\log|\xi-q|\bigr)\,d\sigma_L(\xi)\biggr| \\ &\qquad\leqslant \frac1{\pi\delta^2}\int_{\overline{B_{z}^\delta}}|g(\mathbf q,\mathbf p^*; {\xi}^{(m)})|\,d\sigma_L(\xi)+ \frac1{\pi\delta^2}\int_{\overline{B_{z}^\delta}}\bigl|\log|\xi-q|\bigr|\,d\sigma_L(\xi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
Очевидно, $\overline{B_z^\delta}\subset \overline{B_{z_0}^{2\delta}}$ при всех $z\in B_{z_0}^\delta$. Поэтому для первого из интегралов в правой части (40) выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\int_{\overline{B_{z}^\delta}}|g(\mathbf q,\mathbf p^*; {\xi}^{(m)})|\,d\sigma_L(\xi) \leqslant \int_{\overline{B_{z_0}^{2\delta}}}|g(\mathbf q,\mathbf p^*; {\xi}^{(m)})|\,d\sigma_L(\xi).
\end{equation}
\tag{41}
$$
Поскольку $z$ является координатой в некоторой малой окрестности замыкания $\overline{\mathbf O_{m'}}$, то очевидно, что мера $\sigma_L$ имеет гладкую, а значит, и ограниченную некоторой константой $C_2$ плотность относительно меры $\sigma_\rho$ на $\overline{\mathbf O_{m'}}$, поэтому
$$
\begin{equation}
\int_{\overline{B_{z_0}^{2\delta}}}|g(\mathbf q,\mathbf p^*; {\xi}^{(m)})|\,d\sigma_L(\xi)\leqslant C_2 \int_{\overline{\mathbf O_{m'}}}|g(\mathbf q,\mathbf p^*; {\xi})|\,d\sigma_\rho( {\xi})\leqslant C_2\|g(\mathbf q,\mathbf p^*;\cdot)\|_{L_1(\mathfrak R)}.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Из [24; следствие 5] вытекает, что нормы $\|g(\mathbf q,\mathbf p;\cdot)\|_{L_1(\mathfrak R)}$ равномерно ограничены при всех $\mathbf q,\mathbf p\in\mathfrak R$ некоторой константой $C_\rho$. Теперь оценим второе слагаемое в правой части (40). Поскольку $z\in B_{z_0}^{\delta}$ и $q\in\overline{B_{z_0}^{2\delta}}$, то $|z-q|\leqslant 3\delta$, и поэтому
$$
\begin{equation}
\int_{\overline{B_{z}^\delta}}\bigl|\log|\xi-q|\bigr|\,d\sigma_L(\xi)\leqslant \int_{\overline{B_q^{4\delta}}}\bigl|\log|\xi-q|\bigr|\,d\sigma_L(\xi)= \int_{\overline{B_0^{4\delta}}}\bigl|\log|\xi|\bigr|\,d\sigma_L(\xi)=C_3.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Итак, из (40) с учетом (41)–(43) получаем, что при $z\in B_{z_0}^\delta$ и $\mathbf q\in\mathbf O_{m'}$
$$
\begin{equation}
g(\mathbf q,\mathbf p^*;\mathbf z^{(m)}) \geqslant-c_2+\log|z-q|,
\end{equation}
\tag{44}
$$
где $c_2:=(C_2C_\rho+C_3)/\pi\delta^2$. Поскольку $0<\delta<1$ и при $\mathbf q\notin\mathbf O_{m'}$ имеем $|g(\mathbf q,\mathbf p^*;\mathbf z)|\leqslant C_s$, то из (44) получаем, что при $z\in B_{z_0}^\delta$ и произвольном $\mathbf q\in\mathfrak R$
$$
\begin{equation}
g(\mathbf q,\mathbf p^*;\mathbf z^{(m)}) \geqslant-c_2-C_s+\min\{\log|z-q|, \log\delta\}.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Наконец, чтобы оценить функции $g$, стоящие в первой сумме правой части (37), покажем, что $g(\mathbf q,\mathbf p^*;\mathbf z)$ при всех $\mathbf q\in\mathfrak R$ и при $z\in B_{z_0}^\delta$ равномерно ограничены сверху константой. Пусть $\mathbf z\in\pi^{-1}(B_{z_0}^\delta)\cap\mathbf O_l$ для некоторого $l=0,\dots,m'$. Опять же, если $\mathbf q\notin\mathbf O_l$, то $|g(\mathbf q,\mathbf p^*;\mathbf z)|\leqslant C_s$. Пусть $\mathbf q\in\mathbf O_l$. Рассмотрим сначала случай, когда $l=m'$. Тогда из (40) с учетом (41)–(43) получаем, что при $z\in B_{z_0}^\delta$ и $\mathbf q\in\mathbf O_{m'}$
$$
\begin{equation}
g(\mathbf q,\mathbf p^*;\mathbf z^{(m)})\leqslant c_2+\log|z-q|\leqslant c_2+\log 3.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Пусть теперь $l$ – произвольное целое число от 0 до $m'$. Пусть снова $d$ – порядок $\mathbf z_{0,l}$ как критической точки $\pi$ и $\zeta$ – голоморфная координата в $\mathbf O_l$ такая, что $z=z_0+\zeta^d(\mathbf z)$ при $\mathbf z\in\mathbf O_l$. Тогда для $\mathbf z\in\pi^{-1}(B_{z_0}^\delta)\cap\mathbf O_l$ будут справедливы оценки, аналогичные (40)–(43), но в координате $\zeta$ и при надлежащем выборе кругов, по которым ведется интегрирование. Поэтому при $\mathbf z\in\pi^{-1}(B_{z_0}^\delta)\cap\mathbf O_l$ и $\mathbf q\in\mathbf O_{l}$ будет справедлива оценка
$$
\begin{equation}
g(\mathbf q,\mathbf p^*;\mathbf z)\leqslant \widetilde c_l+\log|\zeta(\mathbf z)-\zeta(\mathbf q)|\leqslant \widetilde c_l+\log 3,
\end{equation}
\tag{47}
$$
где $\widetilde c_l$ – некоторые константы. Полагая $c_3:=\max\{C_s,\widetilde c_0+\log 3,\dots,\widetilde c_{m'}+\log 3\}$, из (47) получаем, что при всех $\mathbf z\in B_{z_0}^\delta$ и произвольном $\mathbf q\in\mathfrak R$
Объединяя оценки (39), (45) и (48), из (37) получаем, что
$$
\begin{equation}
\frac{\psi_n(\mathbf z)}{\psi_n(\mathbf z^{(m)})}\leqslant \exp(Mc_3) \frac{\exp(Mc_1)}{|z-z_0|^M} \frac{\exp(M(c_2+C_s))}{\prod_{k=1}^{M} \min\{|z-q_k(n)|,\delta\}} \exp(Mc_1).
\end{equation}
\tag{49}
$$
Подставляя оценку (49) в (36), получаем (35) с $C=mC_1\exp(M(2c_1+c_2+c_3+C_s))$. Лемма 1 доказана. § 4. Доказательство теоремы 2Методы доказательства теоремы 2 аналогичны используемым при доказательстве теоремы 1, приведенном в [24; теоремы 1 и 2], и опираются на представление (25). Мы приведем подробные схемы доказательств, а за деталями и необходимыми оценками будем отсылать к [24]. 4.1. Доказательство п. 1)Напомним, что $M$ – это число свободных нулей функции остатка $R_n$. Пусть $B$ – разность числа нулей и полюсов (с учетом кратности) функции $A_m^{2m-2}(\mathbf z^{(m)})\Pi_m(z)$ в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$, которая конечна (см. замечание 1). Пункт 1) теоремы 2 следует из доказываемого ниже утверждения 1. Утверждение 1. Для любой окрестности $V$ компакта $F_m$ существует $N=N(V)$ такое, что при всех $n>N$ вне окрестности $V$ лежит не более $L':=(2m-2)M+B$ нулей дискриминанта $D_n(z)$. Доказательство. Уменьшая при необходимости окрестность $V$, можно считать, что функции $A_j(\mathbf z^{(m)})$, $j=0,\dots,m$, и $\Pi_m(z)$ не имеют ни нулей, ни полюсов в $V\setminus F_m$. В случае, когда $\infty\notin F_m$, также потребуем, что $\infty\notin V$.
Как и при доказательстве [24; утверждение 1], положим
$$
\begin{equation*}
\delta:=\frac{\operatorname{dist}(\partial V,F_m)}{2(2M+3)}
\end{equation*}
\notag
$$
и при каждом $n$ выберем такую систему непересекающихся гладких контуров $\Gamma_n$, что $\Gamma_n$ ограничивает открытое множество $\mathrm D_n$, причем $F_m\subset \mathrm D_n\subset V$, и выполнены следующие условия:
$$
\begin{equation}
\operatorname{dist}(\Gamma_n,F_m)\geqslant \delta, \qquad \operatorname{dist}(\Gamma_n,\partial V)\geqslant \delta,
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{dist}(\Gamma_n,p_k)\geqslant \delta \quad\text{и}\quad \operatorname{dist}(\Gamma_n,q_k(n))\geqslant\delta \quad\text{при }\ k=1,\dots, M,
\end{equation}
\tag{50}
$$
где $p_k=\pi(\mathbf p_k)$ и $q_k(n)=\pi(\mathbf q_k(n))$ – проекции полюсов и нулей функции $R_n$. Также определим компакт
$$
\begin{equation*}
K:= \biggl\{z\in V\colon \operatorname{dist}(z,F_m)\geqslant \frac{\delta}{2},\ \operatorname{dist}(z,\partial V)\geqslant \frac{\delta}{2}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим сверху число нулей дискриминанта $D_n(z)$ в $\Omega_n{:=}\,\widehat{\mathbb C}\setminus \overline{\mathrm D}_n$ (а значит, и в $\widehat{\mathbb C}\setminus V$), используя представление (25). Поскольку на компакте $K$ функции $A_j(\mathbf z^{(m)})$ и $\Pi_m(z)$ не имеют ни нулей, ни полюсов, то их модули, а также модули функций $M_{j_1,j_2,\dots, j_m}(z)$ из (26) ограничены и отделены от нуля на $K$. При доказательстве [24; утверждение 1] показано, что справедливо равенство $\lim_{n\to\infty}\max_{z\in\Gamma_n}|h_{n,j}(z)|=0$. Следовательно, для функций $H_n(z)$, определенных в (26), имеем $\lim_{n\to\infty}\max_{z\in\Gamma_n}|H_n(z)|=0$. Значит, существует такое $N$, что при всех $n>N$ верно $|H_n(z)|<1/2$ на $\Gamma_n$. Далее до конца доказательства утверждения будем считать, что $n>N$. Тогда функция $1+H_n(z)$ не имеет нулей на $\Gamma_n$. Значит, в силу (25) полином $D_n(z)$ не имеет нулей на $\Gamma_n$, и для подсчета числа его нулей в $\Omega_n$ можно применить принцип аргумента. Каждый из контуров, составляющих $\Gamma_n$, мы ориентируем положительным образом относительно $\Omega_n$. Поскольку $|H_n(z)|<1/2$ на $\Gamma_n$, то $\operatorname{\Delta}_{z\in\Gamma_n}\arg (1+H_n(z))=0$. Значит, в силу (25) имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname*{\Delta}_{z\in\Gamma_n}\arg D_n(z)= (2m-2)\operatorname*{\Delta}_{z\in\Gamma_n}\arg R_n(\mathbf z^{(m)})+\operatorname*{\Delta}_{z\in\Gamma_n}\arg \bigl(A_m^{2m-2}(\mathbf z^{(m)})\Pi_m(z)\bigr).
\end{equation}
\tag{51}
$$
Здесь $R_n(\mathbf z^{(m)})$ и $A_m(\mathbf z^{(m)})$ мы понимаем как мероморфные функции от $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$, т.е., например, $R_n(\mathbf z^{(m)})=R_n \circ (\pi|_{\mathfrak R^{(m)}})^{-1}(z)$. Поскольку в $V\setminus F_m$ нет ни нулей, ни полюсов функции $A_m^{2m-2}(\mathbf z^{(m)})\Pi_m(z)$, то второе слагаемое в (51) по принципу аргумента равно $2\pi B$. Рассмотрим сначала случай, когда $\infty\,{\notin}\, F_m$. Учитывая вид дивизора $(R_n)$ (17) и то, что $\infty\in \Omega_n$, мы можем заключить, что разность числа нулей и числа полюсов (с учетом кратности) функции $R_n(\mathbf z^{(m)})$ в $\Omega_n$ не превосходит $-n+M$, откуда $(2\pi)^{-1}\operatorname{\Delta}_{z\in\Gamma_n}\arg R_n(\mathbf z^{(m)})\leqslant -n+M$. Подставляя эту оценку в (51), имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi}\operatorname*{\Delta}_{z\in\Gamma_n}\arg D_n(z)\leqslant (2m-2)(-n+M)+B.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\infty\in\Omega_n$ и $\operatorname{deg} D_n\leqslant (2m-2)n$, то по принципу аргумента число нулей функции $D_n$ в $\Omega_n$ равно
$$
\begin{equation*}
\operatorname{deg} D_n(z)+\frac{1}{2\pi}\operatorname*{\Delta}_{z\in\Gamma_n}\arg D_n(z)\leqslant (2m-2)M+B=L'.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $\infty\in F_m$. Тогда из вида дивизора $(R_n)$ (17) заключаем, что число нулей функции $R_n(\mathbf z^{(m)})$ в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$ не превосходит $M$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi}\operatorname*{\Delta}_{z\in\Gamma_n}\arg R_n(\mathbf z^{(m)})\leqslant M.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\infty\notin \Omega_n$ при всех $n$, то число нулей $D_n(z)$ в $\Omega_n$ равно
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi}\operatorname{\Delta}_{z\in\Gamma_n}\arg D_n(z)
\end{equation*}
\notag
$$
и из (51) получаем, что это число не превосходит $(2m-2)M+B=L'$. Утверждение 1 доказано. Для доказательства следующих пунктов теоремы 2 нам понадобится следующее простое предложение про нули и полюсы в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$ функции $1+H_n$ из предложения 1. Пусть $\widetilde B$ – число нулей (с учетом кратности) функции $A_m^{2m-2}(\mathbf z^{(m)})\Pi_m(z)$ в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$. Предложение 2. 1) Число полюсов (с учетом кратности) функции $1+H_n(z)$ в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$ не превосходит $\widetilde L:=(2m-2)M+\widetilde B$. 2) Для любой окрестности $V$ компакта $F_m$ существует такое $N=N(V)$, что при $n>N$ функции $1+H_n(z)$ имеют в $\widehat{\mathbb C}\setminus V$ не более $\widetilde L$ нулей (с учетом кратности). Доказательство. Из (25) получаем, что в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$ Учитывая вид дивизора $(R_n)$, отсюда сразу получаем утверждение п. 1).
Для доказательства п. 2) рассмотрим при каждом $n$ построенную в доказательстве утверждения 1 систему контуров $\Gamma_n$. При каждом $n$ эта система контуров $\Gamma_n$ ограничивает открытое множество $\mathrm D_n$ такое, что $F_m\subset \mathrm D_n\subset V$. При доказательстве утверждения 1 было показано, что существует такое $N=N(V)$, что $|H_n(z)|\leqslant1/2$ при $z\in\Gamma_n$ для всех $n>N$. Значит, по принципу аргумента разность числа нулей и числа полюсов функции $1+H_n$ в области $\Omega_n:=\widehat{\mathbb C}\setminus\overline{\mathrm D}_n$ равна $(2\pi)^{-1}\operatorname{\Delta}_{z\in\Gamma_n}\arg(1+H_n(z))=0$. Следовательно, число нулей $1+H_n(z)$ в $\Omega_n$, а значит, и в $\widehat{\mathbb C}\setminus V$ не превосходит количества ее полюсов в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$, которое в свою очередь не превосходит $\widetilde L$. Предложение 2 доказано. 4.2. Доказательства пп. 2) и 3)Зафиксируем число $p\in[1,\infty)$. Из представления (25) функции $D_n$ с учетом (19) мы заключаем, что при $z\in \widehat{\mathbb C}\setminus F_m$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac1{(2m-2)n}\log|D_n(z)|=u(\mathbf z^{(m)})+\frac1{n}\log|\psi_n(\mathbf z^{(m)})|+ \frac1{n}\log|A_m(\mathbf z^{(m)})| \\ &\qquad\qquad +\frac1{(2m-2)n}\log|\Pi_m(z)|+\frac1{(2m-2)n}\log|1+H_n(z)|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{52}
$$
Поскольку, см. [24; лемма 3], $F_m$ является одномерным кусочно аналитическим подмножеством $\widehat{\mathbb C}$, то мера площади $\sigma(F_m)=0$. Поэтому из определений (18) и (5) функций $\psi_n(\mathbf z)$ и $u(\mathbf z)$ очевидно, что формально определенные при $z\in \widehat{\mathbb C}\setminus F_m$ функции $\log|\psi_n(\mathbf z^{(m)})|$ и $u(\mathbf z^{(m)})$ лежат в $L^p(\widehat{\mathbb C})$. Поскольку $\Pi_m(z)=\widetilde\Pi_m(\mathbf z^{(m)})$ и функции $A_m(\mathbf z)$ и $\widetilde\Pi_m(\mathbf z)$ мероморфны на $\mathfrak R$, то функции $\log |A_m(\mathbf z^{(m)})|$ и $\log|\Pi_m(z)|$ также лежат в $L^p(\widehat{\mathbb C})$. Так как $D_n(z)$ – полином, то $\log|D_n(z)|\in L^p(\widehat{\mathbb C})$. Следовательно, из (52) заключаем, что $\log|1+ H_n(z)|\in L^p(\widehat{\mathbb C})$. В [24; следствие 5] было показано, что сферически нормированные на $m$-м листе биполярные функции Грина $g(\mathbf q,\mathbf p;\mathbf z)$ равномерно ограничены в $L^p(\mathfrak R)$ при всех $\mathbf q,\mathbf p\in\mathfrak R$. Отсюда с учетом представления (18) очевидно вытекает, что $n^{-1}\log|\psi_n(\mathbf z^{(m)})|\to 0$ в $L^p(\widehat{\mathbb C})$ при $n\to \infty$. Сейчас мы докажем, что $n^{-1}\log|1+H_n(z)|\to 0$ в $L^p_{\operatorname{loc}}(\widehat{\mathbb C}\setminus F_m)$ при $n\to\infty$. С учетом вышесказанного и того факта, что $u(\mathbf z^{(m)})=u_m(z)$ в $L^p(\widehat{\mathbb C})$, из этого будет вытекать, что $((2m-2)n)^{-1}\log|D_n(z)|\to u_m(z)$ в $L^p_{\operatorname{loc}}(\widehat{\mathbb C}\setminus F_m)$. Итак, зафиксируем окрестность $V$ компакта $F_m$ и покажем, что $n^{-1}\log|1+H_n(z)|\to 0$ в $L^p(\widehat{\mathbb C}\setminus V)$. Уменьшая при необходимости окрестность $V$, мы можем считать, что функции $A_j(\mathbf z^{(m)})$, $j=0,\dots,m$, и $\Pi_m(z)$ не имеют ни нулей, ни полюсов в $V\setminus F_m$ и также если $\infty\notin F_m$, то $\infty\notin V$. Положим
$$
\begin{equation}
\delta:=\frac{\operatorname{dist}(\partial V, F_m)}{2(2M+2\widetilde L+3)}.
\end{equation}
\tag{53}
$$
Пусть $V_{\delta}:=\{z\in\widehat{\mathbb C}\colon \operatorname{dist}(z,\partial V)<\delta\}$. Согласно предложению 2 существует такое $N=N(V_{\delta})$, что при $n>N$ все функции $1+H_n(z)$ имеют в $\widehat{\mathbb C}\setminus V_{\delta}$ не более $\widetilde L$ нулей и полюсов. Далее считаем, что $n>N$. Пусть $\widetilde q_1(n)$, $\widetilde q_2(n)$, …, $\widetilde q_{l(n)}(n)$, $l(n)\leqslant \widetilde L$, – нули функции $1+H_n(z)$ в $\widehat{\mathbb C}\setminus V_{\delta}$ (выписанные с учетом кратности), а $\widetilde p_1(n)$, $\widetilde p_2(n)$, …, $\widetilde p_{l'(n)}(n)$, $l'(n)\leqslant \widetilde L$, – ее полюсы в $\widehat{\mathbb C}\setminus V_{\delta}$ (также выписанные с учетом кратности). Пусть
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathbf q}_s(n):=(\pi|_{\mathfrak R^{(m)}})^{-1}(\widetilde q_s(n)), \qquad \widetilde{\mathbf p}_s(n):=(\pi|_{\mathfrak R^{(m)}})^{-1}(\widetilde p_s(n)).
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем точку $\mathbf z^*\in\partial\mathfrak R^{(m)}$ и положим
$$
\begin{equation}
\widetilde\psi_n(\mathbf z):=\exp\biggl\{\sum_{s=1}^{\widetilde L}g(\widetilde{\mathbf q}_k(n),\mathbf z^*;\mathbf z)+\sum_{s=1}^{\widetilde L}g(\mathbf z^*,\widetilde{\mathbf p}_k(n);\mathbf z)\biggr\}, \qquad\mathbf z\in\mathfrak R,
\end{equation}
\tag{54}
$$
где $q(\mathbf q,\mathbf p;\mathbf z)$ – биполярные функции Грина (нормированные условием (16)). В формуле (54) мы считаем, что $l(n)=l'(n)=\widetilde L$, при необходимости дополняя наборы $\{\widetilde{\mathbf q}_s(n)\}_{s=1}^{l(n)}$ и $\{\widetilde{\mathbf p}_s(n)\}_{s=1}^{l'(n)}$ точкой $\mathbf z^*$, взятой нужное количество раз, и добавляя соответствующее количество раз в наборы $\{\widetilde q_s(n)\}_{s=1}^{l(n)}$ и $\{\widetilde p_s(n)\}_{s=1}^{l'(n)}$ точку $z^*:=\pi(\mathbf z^*)$. Как уже отмечалось, в [24; следствие 5] было показано, что функции $g(\mathbf q,\mathbf p;\mathbf z)$ равномерно ограничены в $L^p(\mathfrak R)$ при всех $\mathbf q,\mathbf p\in\mathfrak R$, поэтому $n^{-1} \log\widetilde\psi_n(\mathbf z^{(m)})\to 0$ в $L^p(\widehat{\mathbb C})$ при $n\to\infty$. Таким образом, нам остается показать, что
$$
\begin{equation}
\frac 1 n \log\frac{|1+H_n(z)|}{\widetilde\psi_n(\mathbf z^{(m)})}\to0 \quad\text{в }\ L^p(\widehat{\mathbb C}\setminus V) \quad\text{при }\ n\to\infty.
\end{equation}
\tag{55}
$$
Для этого мы докажем, что функции $\log(|1+H_n(z)|/{\widetilde\psi_n(\mathbf z^{(m)})})$ равномерно ограничены на множестве $\widehat{\mathbb C}\setminus V$. В силу выбора $\delta$ (53) для каждого $n$ можно выбрать систему непересекающихся гладких контуров $\Gamma_n$ так, что $\Gamma_n$ ограничивает открытое множество $\mathrm D_n$, причем $F_m\subset\mathrm D_n\subset V$, и выполнены условия: $\operatorname{dist}(\Gamma_n,F_m)\geqslant \delta$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n,\partial V)\geqslant \delta$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n,\widetilde p_s(n))\geqslant \delta$ и $\operatorname{dist}(\Gamma_n,\widetilde q_s(n))\geqslant \delta$ при $s=1,\dots,\widetilde L$, $\operatorname{dist}(\Gamma_n,p_k)\geqslant\delta$ и $\operatorname{dist}(\Gamma_n,q_k(n))\geqslant\delta$ при $k=1,\dots, M$, где $p_k=\pi(\mathbf p_k)$ и $q_k(n)=\pi(\mathbf q_k(n))$ – проекции полюсов и нулей функции $R_n$ (см. (19)). Поскольку система контуров $\Gamma_n$, в частности, удовлетворяет условиям (50), то, как показано при доказательстве утверждения 1, существует такое $N'$, что при $n>N'$ выполняется условие $|H_n(z)|<1/2$ на $\Gamma_n$. Везде далее считаем, что $n>N'$ (и $n>N$). Тогда $1/2<|1+H_n(z)|<3/2$ при $z\in\Gamma_n$. С другой стороны, поскольку $\operatorname{dist}(\Gamma_n,\widetilde p_s(n))\geqslant\delta$ и $\operatorname{dist}(\Gamma_n,\widetilde q_s(n))\geqslant\delta$, а также $\operatorname{dist}(\Gamma_n,z^*)\geqslant\delta$, то в силу [24; следствие 6] существует такая константа $C=C(\delta)$, что при $z\in\Gamma_n$ выполнены неравенства $|g(\widetilde{\mathbf q}_s(n),\mathbf z^*;\mathbf z^{(m)})|\leqslant C$ и $|g(\mathbf z^*,\widetilde{\mathbf p}_s(n);\mathbf z^{(m)})|\leqslant C$ для $s=1,\dots,\widetilde L$. Следовательно, в силу определения (54) функций $\widetilde\psi_n$ получаем, что $\exp(-2\widetilde LC)\leqslant\widetilde\psi_n(\mathbf z^{(m)})\leqslant \exp(2\widetilde LC)$ при $z\in\Gamma_n$. Значит, при $z\in\Gamma_n$
$$
\begin{equation}
\biggl|\log\frac{|1+H_n(z)|}{\widetilde\psi_n(\mathbf z^{(m)})}\biggr|\leqslant 2\widetilde LC+1.
\end{equation}
\tag{56}
$$
Поскольку функция $H_n(z)$ мероморфна в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$, то $\log|1+H_n|$ – гармоническая функция в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$ вне нулей и полюсов $1+H_n$, в которых $\log|1+H_n|$ имеет логарифмические особенности. В $\widehat{\mathbb C}\setminus V_\delta$ эти особенности находятся только в точках $\widetilde q_s(n)$, $s=1,\dots, l(n)$, и $\widetilde p_s(n)$, $s=1,\dots, l'(n)$. Функция $\log\widetilde\psi_n(\mathbf z^{(m)}$) в силу определения $\widetilde\psi_n$ (54) гармонична в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$ вне точек $\widetilde q_s(n)$, $s=1,\dots, l(n)$, и $\widetilde p_s(n)$, $s=1,\dots, l'(n)$, в которых она имеет точно такие же логарифмические особенности, что и $\log|1+H_n(z)|$. Поэтому функция $\log({|1+H_n(z)|}/{\widetilde\psi_n(\mathbf z^{(m)})})$ гармонична в $\widehat{\mathbb C}\setminus V_{\delta}$. Поскольку $\widehat{\mathbb C}\setminus V\subset\widehat{\mathbb C}\setminus\overline{\mathrm D}_n\subset\widehat{\mathbb C}\setminus V_{\delta}$ и $\Gamma_n=\partial(\widehat{\mathbb C}\setminus\overline{\mathrm D}_n)$, то из принципа максимума для гармонических функций вытекает, что оценка (56) верна при всех $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus V$ и (55) доказано. Таким образом, мы показали, что $((2m-2)n)^{-1}\log|D_n(z)|\to u_m(z)$ в $L_{\operatorname{loc}}^p(\widehat{\mathbb C}\setminus F_m)$. Чтобы завершить доказательство утверждений пп. 2) и 3) теоремы 2, мы покажем, что из любой подпоследовательности $\{D_n^*(z)\}$, $n\in\Lambda$, можно выбрать подпоследовательность $\{D_n^*(z)\}$, $n\in\Lambda'$, для которой выполняются (13) и (14). По формуле Пуанкаре–Лелона (см., например, [12]) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\mu_n:=\frac{1}{(2m-2)n}\operatorname{dd^c}\log|D_n^*|=\frac{2\pi}{(2m-2)n}\biggl(\sum_{D_n(z)=0}\delta_z-(\operatorname{deg} D_n^*)\cdot\delta_\infty\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_z$ – дельта-мера в точке $z\in\widehat{\mathbb C}$. Поскольку $\operatorname{deg} D_n^*\leqslant (2m-2) n$, то $\|\mu_n\|_{C(\widehat{\mathbb C})^*}\leqslant 4\pi$. По теореме Банаха–Алаоглу о компактности шара в сопряженном пространстве в $*$-слабой топологии из последовательности $\{\mu_n\}$, $n\in\Lambda$, можно выбрать подпоследовательность $\{\mu_n\}$, $n\in\Lambda'$, которая $*$-слабо сходится к некоторому заряду $\mu\in C(\widehat{\mathbb C})^*$. Покажем, что для подпоследовательности $\{\mu_n\}$, $n\in\Lambda'$, выполняются (13) и (14). Поскольку мера $d\sigma$, задающая функционал $\phi_1$ (33), имеет непрерывные локальные потенциалы (так как в любой координатной окрестности она имеет гладкую плотность относительно меры Лебега), то согласно [11; следствие из леммы в п. 2.3] из $*$-слабой сходимости $\{\mu_n\}$, $n\in\Lambda'$, к $\mu$ следует сходимость в $L^p(\widehat{\mathbb C})$ $\phi_1$-нормированных потенциалов мер $\mu_n$, $n\in\Lambda'$, к $\phi_1$-нормированному потенциалу $\mu$, т.е. $(\widehat{\mu_n})_{\phi_1}\to (\widehat{\mu})_{\phi_1}$ в $L^p(\widehat{\mathbb C})$ при $n\to\infty$, $n\in\Lambda'$. При этом по определению $\mu_n$ и в силу нормировки (8) полиномов $D_n^*$ для всех $n\in\mathbb N$ верно $(\widehat{\mu_n})_{\phi_1}=((2m-2)n)^{-1}\log |D_n^*|$. Поэтому нам остается показать, что $(\widehat{\mu})_{\phi_1}=u_m$. Поскольку мы доказали, что $((2m-2)n)^{-1}\log|D_n|\to u_m$ в $L^p_{\operatorname{loc}}(\widehat{\mathbb C}\setminus F_m)$ при $n\to\infty$, и $((2m-2)n)^{-1}\log |D_n^*|\to (\widehat{\mu})_{\phi_1}$ в $L^p(\widehat{\mathbb C})$ при $n\to\infty$, $n\in\Lambda'$ , из соотношения $D_n^*=d_nD_n$ (где $d_n$ – константы) следует, что при $n\to\infty$, $n\in\Lambda'$,
$$
\begin{equation*}
\frac1{(2m-2)n}\log d_n\to (\widehat{\mu})_{\phi_1}-u_m \quad\text{в }\ L^p_{\operatorname{loc}}(\widehat{\mathbb C}\setminus F_m).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $d_n$ – константы, то $(\widehat{\mu})_{\phi_1}-u_m=\operatorname{const}$ в $L^p(\widehat{\mathbb C})$. Из нормировок $u_m$ (10) и потенциала $(\widehat{\mu})_{\phi_1}$ (33) следует, что $\operatorname{const}=0$. Значит, $(\widehat{\mu})_{\phi_1}=u_m$. Пункты 2) и 3) теоремы 2 доказаны. 4.3. Доказательство пп. 4) и 5)Пункты 4) и 5) теоремы 2 будут легко выведены из доказываемого ниже утверждения 2. Пусть $a_1$, $a_2$, …, $a_{J}$ – проекции всех нулей и полюсов (без учета кратностей) в $\pi^{-1}(\widehat{\mathbb C}\setminus F_m)$ всех функций $A_j(\mathbf z)$, $j=0,\dots,m$. Пусть также $w_1$, $w_2$, …, $w_W$ – все нули и полюсы функции $\Pi_m(z)$ в $\mathbb C\setminus F_m$ (без учета кратностей). Напомним, что точки $p_k=\pi(\mathbf p_k)$ и $q_k(n)=\pi(\mathbf q_k(n))$, $k=1,\dots,M$, – проекции полюсов и нулей функции $R_n(\mathbf z)$. Для любого $\varepsilon>0$ и любой точки $z^*\in\widehat{\mathbb C}$ обозначим через $O_{z^*}^{\varepsilon}$ круг в сферической метрике с центром $z^*$ радиуса $\varepsilon$:
$$
\begin{equation*}
O_{z^*}^{\varepsilon}:=\{z\in\widehat{\mathbb C}\colon \operatorname{dist}(z,z^*)<\varepsilon\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого компакта $K\subset\widehat{\mathbb C}$ и любого $\varepsilon>0$ обозначим
$$
\begin{equation*}
K^{\varepsilon}(n):=K\setminus\biggl(\bigcup_{k=1}^{J} O_{a_k}^{\varepsilon}\cup \bigcup_{k=1}^W O_{w_k}^{\varepsilon}\cup \bigcup_{k=1}^M O_{p_k}^{\varepsilon}\cup \bigcup_{k=1}^M O_{q_k(n)}^{\varepsilon} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение 2. Для любого компакта $K\subset\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$ и любого $\varepsilon>0$ и, более того, Доказательство. Из представлений (25) для $D_n$ и (23) для $Q_{n,m}$ следует, что при $z\in\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$ (в частности, при $z\in K$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{D_n(z)}{Q_{n,m}^{2m-2}(z)} &= \frac{R_n^{2m-2}(\mathbf z^{(m)})A_m^{2m-2}(\mathbf z^{(m)})\Pi_m(z)(1+H_n(z))} {R_n^{2m-2}(\mathbf z^{(m)})A_m^{2m-2}(\mathbf z^{(m)})(1+h_{n,m}(z))^{2m-2}} \\ &=\Pi_m(z)\frac{1+H_n(z)}{(1+h_{n,m}(z))^{2m-2}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{59}
$$
При доказательстве [24; утверждение 4] (см. [24; формула (87)]) было показано, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\max_{z\in K^{\varepsilon}(n)}|h_{n,j}(z)|=0,\qquad j=0,\dots,m.
\end{equation}
\tag{60}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
K_1^{\varepsilon}:=K\setminus\biggl(\bigcup_{k=1}^{J} O_{a_k}^{\varepsilon}\cup \bigcup_{k=1}^W O_{w_k}^{\varepsilon}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
На компакте $K_1^{\varepsilon}$ мероморфные функции $A_j(\mathbf z^{(m)})$, $j=0,\dots,m$, и $\Pi_m(z)$ не имеют ни нулей, ни полюсов и, значит, модуль каждой из них ограничен и отделен от нуля. Следовательно, модули всех коэффициентов $M_{j_1,j_2,\dots,j_m}(z)$ в представлении (26) для $H_n(z)$ также ограничены на $K_1^{\varepsilon}$. Поэтому, учитывая, что $K^\varepsilon(n)\subset K_1^{\varepsilon}$, из (26) и (60) заключаем, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\max_{z\in K^{\varepsilon}(n)}|H_n(z)|=0.
\end{equation}
\tag{61}
$$
Учитывая, что функция $\Pi_m(z)$ ограничена на $K_1^\varepsilon\supset K^\varepsilon(n)$, и принимая во внимание (60) и (61), из представления (59) получаем (57).
Теперь докажем (58). Из (59) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{D_n(z)}{Q_{n,m}^{2m-2}(z)}-\Pi_m(z) &=\Pi_m(z)\biggl(\frac{1+H_n(z)}{(1+h_{n.m}(z))^{2m-2}}-1\biggr) \\ &=\Pi_m(z)\frac{H_n(z)-h_{n,m}(z)B_n(z)}{(1+h_{n,m}(z))^{2m-2}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_n(z):=\sum_{k=1}^{2m-2}\binom{{2m-2}}{k} (h_{n,m}(z))^{k-1}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{D_n(z)}{Q_{n,m}^{2m-2}(z)}-\Pi_m(z)\biggr|\leqslant |\Pi_m(z)|\frac{|H_n(z)|+|h_{n,m}(z)||B_n(z)|}{|1+h_{n,m}(z)|^{2m-2}}.
\end{equation}
\tag{62}
$$
При доказательстве [24; утверждение 4] (см. [24; формула (90)]) показано, что для всех $j=0,\dots,m$ при некоторых константах $C_j>0$
$$
\begin{equation}
|h_{n,j}(z)|\leqslant C_j\exp(-n(u_m(z)-u_{m-1}(z))) \quad\text{при }\ z\in K^{\varepsilon}(n).
\end{equation}
\tag{63}
$$
Опять учитывая, что на $K_1^\varepsilon\supset K^\varepsilon(n)$ модули функций $A_j(\mathbf z^{(m)})$, $j=0,\dots,m$, и $\Pi_m(z)$ отделены от нуля, а $M_{j_1,j_2,\dots,j_m}(z)$ ограничены, из (26) и (63) получаем аналогичное неравенство для $H_n(z)$: существует константа $\widetilde C>0$ такая, что
$$
\begin{equation}
|H_n(z)|\leqslant \widetilde C\exp(-n(u_m(z)-u_{m-1}(z))) \quad\text{при }\ z\in K^{\varepsilon}(n).
\end{equation}
\tag{64}
$$
В силу (60) найдется $N\in\mathbb N$ такое, что при $n>N$ при $z\in K^{\varepsilon}(n)$ верны неравенства $|B_n(z)|\leqslant 1$ и $|1+h_{n,m}(z)|>1/2$. Учитывая ограниченность $\Pi_m(z)$ на $K_1^\varepsilon\supset K^\varepsilon(n)$ и оценки (63) и (64), из (62) получаем (58). Утверждение 2 доказано. Выведем пп. 4) и 5) теоремы 2 из утверждения 2. Пусть $K$ – компакт в $\mathbb C\setminus F_m$. Пусть
$$
\begin{equation*}
r:=\max_{\zeta\in K}\operatorname{dist}(0;\zeta)+\frac1 3 \operatorname{dist}(K,\infty), \qquad R:=\max_{\zeta\in K}\operatorname{dist}(0;\zeta)+\frac2 3 \operatorname{dist}(K,\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда при $\varepsilon<\frac1 3 \operatorname{dist}(K,\infty)$ с $K$ могут пересекаться только те круги в сферической метрике радиуса $\varepsilon$, центры которых лежат в $\overline{ O_0^r}$. Все такие круги лежат в $\overline{O_0^R}$. Поскольку на $\overline{ O_0^R}$ сферическая метрика подчинена евклидовой с некоторой константой $C$, круги в сферической метрике радиуса $\varepsilon$ с центрами в тех точках $a_k$, $w_k$, $p_k$, $q_k(n)$, которые попали в $\overline{O_0^r}$, лежат в кругах в евклидовой метрике радиуса $C\varepsilon$ с теми же центрами. Количество таких кругов не превосходит $J+W+2M$, поэтому из стандартной оценки емкости объединения множеств, см., например, [36; теорема 5.1.4], получаем, что емкость объединения этих кругов не превосходит $\operatorname{const}(C\varepsilon)^{1/(J+W+2M)}$. Таким образом, $\operatorname{cap}(K\setminus K^\varepsilon(n))\leqslant \operatorname{const}(C\varepsilon)^{1/(J+W+2M)}$ и из утверждения 2 получаем пп. 4) и 5) теоремы 2.
§ 5. Доказательства теорем 3 и 45.1. Доказательство теоремы 3Напомним, что точка $a\in\mathbb C\setminus F_m$ такова, что $\Pi_m(a)=0$. Обозначим Тогда $E_n$ – мероморфная функция в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$. Идея доказательства теоремы 3 заключается в том, чтобы найти такие $c>0$ и $0<A<1$, что для каждого достаточно большого $n\in\mathbb N$ можно указать радиус $r(n)$, удовлетворяющий следующим свойствам: $0<r(n)<cA^n$, функция $\Pi_m$ не имеет полюсов в замкнутом евклидовым круге $\overline{B_a^{r(n)}}$ и $|E_n(z)|<|\Pi_m(z)|$ при $|z-a|=r(n)$. Тогда, применяя теорему Руше к функциям $\Pi_m(z)$ и $E_n(z)$ в круге $B_a^{r(n)}$, получим, что у функции ${D_n}/{Q_{n,m}^{2m-2}}$, а значит, и у $D_n$ есть хотя бы один нуль в $B_a^{r(n)}$.Из (59) получаем, что
$$
\begin{equation}
E_n(z)= \Pi_m(z)\frac{\widetilde E_n(z)}{(1+h_{n,m}(z))^{2m-2}},
\end{equation}
\tag{65}
$$
где $\widetilde E_n(z):=H_n(z)+1-(1+h_{n,m}(z))^{2m-2}$. В силу (26)
$$
\begin{equation}
\widetilde E_n(z)=\sum_{\substack{0\leqslant j_0,j_1,\dots, j_m\leqslant 2m-2\\ 1\leqslant j_0+j_1+\dots+j_m\leqslant 2m-2}} \widetilde M_{j_1,j_2,\dots,j_m}(z) h_{n,0}^{j_0}(z)\dotsb h_{n,m}^{j_m}(z),
\end{equation}
\tag{66}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widetilde M_{j_1,j_2,\dots,j_m}(z):= \begin{cases} \displaystyle \dfrac{M_{j_1,j_2,\dots,j_m}(z)}{A_m(\mathbf z^{(m)})^{2m-2}\Pi_m(z)}- \binom{2m\,{-}\,2}{j_m} &\text{при }\ j_0=\dots=j_{m-1}\,{=}\,0; \\ \dfrac{M_{j_1,j_2,\dots,j_m}(z)}{A_m(\mathbf z^{(m)})^{2m-2}\Pi_m(z)} &\text{иначе}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{67}
$$
Пусть число $\delta_0>0$ таково, что все функции $A_j(\mathbf z^{(m)})$ и $\Pi_m(z)$ не имеют нулей и полюсов в $\overline{B_a^{\delta_0}}\setminus a$. Тогда в силу предложения 1 все коэффициенты $\widetilde M_{j_1,j_2,\dots,j_m}$ (67) – мероморфные функции в $\widehat{\mathbb C}\setminus F_m$ и не имеют полюсов в $\overline{B_a^{\delta_0}}\setminus a$. Пусть $\Theta_1$ – максимум из порядков полюсов $\widetilde M_{j_1,j_2,\dots,j_m}$ в точке $a$. Тогда существует константа $C_0>0$ такая, что в $\overline{B_a^{\delta_0}}$ для всех $j_1,j_2,\dots,j_m$ имеем
$$
\begin{equation}
|\widetilde M_{j_1,j_2,\dots,j_m}(z)|\leqslant C_0|z-a|^{-\Theta_1}.
\end{equation}
\tag{68}
$$
Применяя лемму 1 для $z_0=a$, получим, что существуют такие $\delta(a)\in(0,1)$ и $C(a)>0$, что при $z\in B_a^{\delta(a)}$ выполняется оценка
$$
\begin{equation}
|h_{n,j}(z)|\leqslant \frac{C(a) \exp(-n(u_m(z)-u_{m-1}(z)))}{|z-a|^{\Theta} \prod_{k=1}^{M} \min\{|z-q_k(n)|,\delta(a)\}}.
\end{equation}
\tag{69}
$$
Положим $\delta=\min\{\delta_0,\delta(a)\}$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\varkappa:=\min_{\overline{B_a^{\delta}}}(u_m(z)-u_{m-1}(z)).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\varkappa>0$, поскольку по определению $u_m(z)>u_{m-1}(z)$ в $\mathbb C\setminus F_m$, а в [24; лемма 1] показано, что все функции $u_j$ непрерывны в $\mathbb C$. Из (69) получаем, что при $z\in B_a^\delta$ где
$$
\begin{equation}
e_n(z):= \frac{C(a) e^{-n\varkappa}}{|z-a|^{\Theta} \prod_{k=1}^{M} \min\{|z-q_k(n)|,\delta\}}.
\end{equation}
\tag{71}
$$
Из (66), (68) и (70) следует, что при $z\in B_a^{\delta}$
$$
\begin{equation}
|\widetilde E_n(z)|\leqslant (2m-1)^{m+1}C_0|z-a|^{-\Theta_1}\max\{e_n(z),e_n^2(z),\dots,e_n^{2m-2}(z)\}.
\end{equation}
\tag{72}
$$
Пусть теперь $r>0$ – такое число, что $(M+1)r<\delta$. Среди $M+1$ окружностей $\{z\in\mathbb C\colon |z-a|=lr\}$, $l=1,\dots,M+1$, лежащих в $B_a^\delta$, найдется окружность $S_n(r)$ такая, что расстояние от всех точек $q_k(n)$, $k=1,\dots, M$, до нее не меньше $r/2$. Тогда на окружности $S_n(r)$ для $e_n(z)$ (см. (71)) верна оценка
$$
\begin{equation}
e_n(z)\leqslant 2^MC(a) r^{-\Theta-M}e^{-n\varkappa}.
\end{equation}
\tag{73}
$$
Из представления (65) для функции $E_n(z)$ очевидно, что для того, чтобы на окружности $S_n(r)$ выполнялось неравенство $|E_n(z)|<|\Pi_m(z)|$, достаточно, чтобы на ней выполнялись неравенства $|e_n(z)|<1/2$ и $|\widetilde E_n(z)|<2^{2-2m}$. В силу (73) для выполнения неравенства $|e_n(z)|<1/2$ на $S_n(r)$ достаточно, чтобы выполнялось условие которое эквивалентно условию
$$
\begin{equation}
r>C_1\exp\biggl(-\frac {n\varkappa}{\Theta+M}\biggr),
\end{equation}
\tag{74}
$$
где $C_1:=(2^{M+1}C(a))^{1/(\Theta+M)}$. Пусть $r>0$ удовлетворяет (74). Тогда, поскольку на окружности $S_n(r)$ выполняется неравенство $|e_n(z)|<1/2$, на ней в силу (72) верна оценка
$$
\begin{equation}
|\widetilde E_n(z)|\leqslant \frac{C_0}{2} (2m-1)^{m+1}r^{-\Theta_1} e^{-n\varkappa}.
\end{equation}
\tag{75}
$$
Следовательно, для выполнения неравенства $|\widetilde E_n(z)|<2^{2-2m}$ на $S_n(r)$ достаточно, чтобы выполнялись условия (74) и
$$
\begin{equation}
\frac{C_0}{2} (2m-1)^{m+1}r^{-\Theta_1}e^{-n\varkappa}< 2^{2-2m}.
\end{equation}
\tag{76}
$$
Если $\Theta_1>0$, то (76) выполняется тогда и только тогда, когда где $C_2:=\bigl(2^{2m-3} (2m-1)^{m+1}C_0 \bigr)^{1/\Theta_1}$. Если же $\Theta_1=0$, то (76) выполняется независимо от $r$ при $n>N_1$, где $N_1\in\mathbb N$ – константа. В этом случае пусть $C_2:=0$. Положим $c:=(M+1)\max\{C_1,C_2\}+1$ и $A:=\exp\bigl(-\varkappa/(\max\{\Theta+M,\Theta_1\}\bigr)$. Пусть $r_n:={cA^n}/(M+1)$ для $n\in\mathbb N$. Поскольку $A<1$, найдется $N_0\in\mathbb N$ такое, что при всех $n>N_0$ выполняется $(M+1)r_n<\delta$. При $\Theta_1=0$ будем выбирать $N_0\geqslant N_1$. Для $n>N_0$ при $r= r_n$ выполнены (74) и (76), а значит, на окружности $S_n(r_n)$ выполнены неравенства $|e_n(z)|<1/2$ и $|\widetilde E_n(z)|<2^{2-2m}$ и, следовательно, неравенство $|E_n(z)|<|\Pi_m(z)|$. Обозначим через $r(n)$ радиус окружности $S_n(r_n)$. Применяя теорему Руше для круга $B_a^{r(n)}$ к функциям $\Pi_m(z)$ и $E_n(z)$, получим, что разность числа нулей и числа полюсов (с учетом кратностей) функции $\Pi_m(z)+E_n(z)=D_n(z)/{Q_{n,m}^{2m-2}(z)}$ в круге $B_a^{r(n)}$ равна числу нулей $\Pi_m(z)$ в этом же круге, а значит, не меньше $1$. Следовательно, в $B_a^{r(n)}$ есть нуль $z_n$ функции ${D_n(z)}/{Q_{n,m}^{2m-2}(z)}$, т.е. нуль $D_n(z)$. Тогда $|z_n-a|<r(n)\leqslant(M+1)r_n=cA^n$. Теорема 3 доказана. 5.2. Доказательство теоремы 4Сначала покажем, что в условиях теоремы 4 функция $\Pi_m(z)$ имеет в $a$ либо нуль нечетного порядка, либо полюс нечетного порядка. Пусть $\delta>0$ таково, что $\pi$ не имеет критических точек в $B_a^\delta\setminus a$ и $f$ не имеет полюсов в $\pi^{-1}(B_a^\delta\setminus a)$. Пусть $\mathbf a$ – единственная критическая точка $\pi$ в $\pi^{-1}(a)$ (по условию она второго порядка). Пусть $\mathbf O$ – та связная компонента $\pi^{-1}(B_a^\delta)$, которая содержит точку $\mathbf a$. Выберем в $\mathbf O$ такую голоморфную координату $\zeta$, что $z=a+\zeta^2(\mathbf z)$ в $\mathbf O$. Для каждого $z\in B_a^\delta\setminus a$ пусть $\pi^{-1}(z)\cap \mathbf O=\{\mathbf z^*,\mathbf z^{**}\}$, а $\mathbf a^*=\mathbf a^{**}=\mathbf a$. Тогда в $\mathbf O$ $\zeta(\mathbf z^{**})=-\zeta(\mathbf z^*)$ и функция $f$ представляется в виде где $f_1(z)$, $f_2(z)$ мероморфны в $B_a^\delta$ и находятся по формулам
$$
\begin{equation}
f_1(z)=\frac 1 2(f(\mathbf z^{*})+f(\mathbf z^{**})),\qquad f_2(z)=\frac 1 {2\zeta(\mathbf z^*)}(f(\mathbf z^*)-f(\mathbf z^{**})).
\end{equation}
\tag{77}
$$
Заметим, что $f_2(z)\not\equiv0$, так как иначе $\mathbf a$ – не критическая точка проекции $\pi$. В силу замечания 1 в $B_a^\delta\setminus a$ справедливо представление
$$
\begin{equation}
\Pi_m(z)= (-1)^{m(m-1)/2}\prod_{\substack{\mathbf z_1,\mathbf z_2\in\pi^{-1}(z)\setminus \mathbf z^{(m)}\\ \mathbf z_1\ne\mathbf z_2}} (f(\mathbf z_1)-f(\mathbf z_2)).
\end{equation}
\tag{78}
$$
Поскольку на всех связных компонентах $\pi^{-1}(B_a^\delta)$, кроме $\mathbf O$, проекция $\pi$ биективна, то произведение всех множителей в (78), не содержащих $f(\mathbf z^*)$ и $f(\mathbf z^{**})$, – квадрат мероморфной функции в $B_a^\delta$ (так как каждый из множителей встречается два раза с разными знаками). Если $\mathbf z\in\pi^{-1}(z)\setminus\{\mathbf z^{(m)};\mathbf z^*;\mathbf z^{**}\}$, то, используя (77) и то, что $\zeta^2(\mathbf z^{*})=z-a$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(f(\mathbf z)-f(\mathbf z^*))(f(\mathbf z)-f(\mathbf z^{**}))=f^2(\mathbf z)-f(\mathbf z)(f(\mathbf z^*)+f(\mathbf z^{**}))+f(\mathbf z^*)f(\mathbf z^{**}) \\ &\qquad =f^2(\mathbf z)-2f(\mathbf z)f_1(z)+(f_1^2(z)-(z-a)f_2^2(z)) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
– мероморфная функция в $B_a^\delta$. Поскольку каждое такое произведение встречается в (78) два раза, то произведение всех множителей в (78), содержащих ровно одно из выражений $f(\mathbf z^*)$, $f(\mathbf z^{**})$, – также квадрат мероморфной функции в $B_a^\delta$. Оставшееся в (78) произведение $(f(\mathbf z^*)-f(\mathbf z^{**}))(f(\mathbf z^{**})-f(\mathbf z^{*}))= -\zeta^2(\mathbf z^*)f_2^2(z)=-(z-a)f_2^2(z)$ – мероморфная функция в $B_a^\delta$ с нечетным порядком нуля или полюса в $a$. Следовательно, порядок нуля или полюса всего произведения (78) в точке $a$ нечетный. Чтобы доказать теорему 4, заметим, что все оценки, полученные в доказательстве теоремы 3, остаются верными и в нашем случае. Таким образом, существуют константы $c>0$ и $0<A<1$ такие, что при всех достаточно больших $n$, $n>N$, найдется такой радиус $r(n)<cA^n$, что в $\overline{B_a^{r(n)}}\setminus a$ нет ни нулей, ни полюсов $\Pi_m(z)$ и для функции $E_n$ (см. п. 5.1) на окружности $\{z\in\mathbb C\colon |z-a|=r(n)\}$ выполняется неравенство $|E_n(z)|<|\Pi_m(z)|$. Снова, применяя теорему Руше, получаем, что разность числа нулей и полюсов (с учетом кратности) функции $\Pi_m(z)+E_n(z)={D_n(z)}/{Q_{n,m}^{2m-2}(z)}$ в круге $B_a^{r(n)}$ равна разности числа нулей и полюсов (с учетом кратности) $\Pi_m(z)$ в $B_a^{r(n)}$, т.е. порядку нуля или взятому с минусом порядку полюса $\Pi_m$ в точке $a$, и, значит, как следует из доказанного выше, нечетна. Поскольку каждый из попавших в $B_a^{r(n)}$ нулей полинома $Q_{n,m}$ дает четный вклад в эту разность (и даже кратный $2m-2$), дискриминант $D_n$ обязан иметь в круге $B_a^{r(n)}$ нуль $z_n$. Теорема 4 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KomPal24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|