| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Самые симметричные кубические поверхности А. В. Викулова Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Английская версия:
Sbornik: Mathematics, 2025, Volume 216, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10161e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ предлагаемом труде рассматриваются гладкие кубические поверхности над произвольными полями. Напомним сначала о двух наиболее известных гладких кубических поверхностях. Гладкая кубическая поверхность, заданная уравнением в $\mathbb{P}^3$, называется кубикой Ферма. Гладкая кубическая поверхность, заданная уравнениями в $\mathbb{P}^4$, называется кубикой Клебша. Кубика Ферма является примером кубической поверхности, задаваемой наиболее простым уравнением, на которой легко находятся все $27$ прямых над полем $\mathbb{C}$. Кубика Клебша содержит все $27$ вещественных прямых и ее модель демонстрировалась Ф. Клейном на Всемирной выставке 1894 г. в Чикаго. Хорошо известно, что кубика Ферма над алгебраически замкнутым полем любой характеристики, кроме $3$, обладает наибольшей группой автоморфизмов среди гладких кубических поверхностей (см., например, [7; теорема 9.4.1] и [8; теорема 1.1]). Группа автоморфизмов кубики Клебша над полем характеристики, не равной $2$ и $5$, изоморфна $\mathfrak{S}_5$ (см., например, [8; теорема 6.1]). Над полем характеристики, не равной $3$, кубика Клебша может быть задана более простыми уравнениями Обратим внимание на то, что над полем характеристики 5 кубика Клебша имеет особенность в точке $[1:1:1:1:1] \in \mathbb{P}^4$. Упомянем здесь еще две кубические поверхности, с которыми мы будем постоянно встречаться. Это кубическая поверхность, заданная уравнением и кубическая поверхность, заданная уравнениемМежду тем как гладкие кубические поверхности над алгебраически замкнутыми полями изучены во всех отношениях с большою подробностью, доселе вопрос о группах автоморфизмов гладких кубических поверхностей над произвольными полями в литературе практически не встречается. Исключения составляют работы [16] и [18]. Начнем с напоминания результатов о наибольших группах автоморфизмов гладких кубических поверхностей над алгебраически замкнутыми полями, которые в полной мере даны в статье [8] над полями положительной характеристики и в статье [11] над полями нулевой характеристики. Теорема 1 (см. [8; теорема 1.1] и [11; теорема 5.3]). Пусть дана гладкая кубическая поверхность $S$ над алгебраически замкнутым полем $\mathbf{F}$. Тогда $(\mathrm{i})'$ Если $\mathbf{F}$ – поле характеристики $2$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 25\, 920$. Равенство выполнено тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S)\simeq \mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)$ и $S$ изоморфна кубике Ферма. $(\mathrm{i})''$ Если $\mathbf{F}$ – поле характеристики $2$ и $|{\operatorname{Aut}(S)}| < 25\, 920$, то Равенство выполнено тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S)\simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4.
\end{equation*}
\notag
$$
$(\mathrm{ii})'$ Если $\mathbf{F}$ – поле характеристики $3$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 216$. Равенство выполнено тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ и $S$ изоморфна гладкой кубической поверхности, заданной уравнением (1.1). $(\mathrm{ii})''$ Если $\mathbf{F}$ – поле характеристики $3$ и $|{\operatorname{Aut}(S)}| < 216$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 120$. Равенство выполнено тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathfrak{S}_5$ и $S$ изоморфна кубике Клебша. $(\mathrm{iii})'$ Если $\mathbf{F}$ – поле характеристики $5$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 648$. Равенство выполнено тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ и $S$ изоморфна кубике Ферма. $(\mathrm{iii})''$ Если $\mathbf{F}$ – поле характеристики $5$ и $|{\operatorname{Aut}(S)}| < 648$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 108$. Равенство выполнено тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, если $|{\operatorname{Aut}(S)}| < 108$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 54$. Равенство выполнено тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
$(\mathrm{iv})'$ Если $\mathbf{F}$ – поле характеристики, не равной $2$, $3$ и $5$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 648$. Равенство выполнено тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4
\end{equation*}
\notag
$$
и $S$ изоморфна кубике Ферма. $(\mathrm{iv})''$ Если $\mathbf{F}$ – поле характеристики, не равной $2$, $3$ и $5$, и $|{\operatorname{Aut}(S)}| < 648$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 120$. Причем равенство выполнено тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathfrak{S}_5$ и $S$ изоморфна кубике Клебша. Вернемся к примерам кубических поверхностей. Особенность кубической поверхности (1.2) заключается в том, что над полем $\mathbb{F}_{2^{2k+1}}$ для произвольного $k \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ она является единственной, с точностью до изоморфизма, гладкой кубической поверхностью с наибольшей группой автоморфизмов (см. [18; теорема 1.4]). Ее группа автоморфизмов над полем $\mathbb{F}_{2^{2k+1}}$ для произвольного $k \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ изоморфна $\mathfrak{S}_6$. Более того, согласно [18; следствие 1.7] над полем $\mathbb{F}_{4^{k}}$ для произвольного $k \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ кубическая поверхность (1.2) изоморфна кубике Ферма. То бишь она является гладкой кубической поверхностью с наибольшей группой автоморфизмов над конечным полем характеристики $2$. Иначе говоря, имеется следующий результат. Теорема 2 (см. [18; теорема 1.4]). Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над конечным полем $\mathbf{F}$ характеристики $2$. (i) Если $\mathbf{F}=\mathbb{F}_{4^k}$ для $k \in \mathbb{N}$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 25\, 920$. Более того, тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)$ и $S$ изоморфна кубике Ферма.(ii) Если $\mathbf{F}=\mathbb{F}_{2^{2k+1}}$ для $k \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 720$. Более того, тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathfrak{S}_6$ и $S$ изоморфна гладкой кубической поверхности (1.2).Цель настоящей статьи – нахождение наибольшей группы автоморфизмов гладких кубических поверхностей над произвольным полем. Итак, мы докажем следующую теорему. Теорема 3. Пусть дана гладкая кубическая поверхность $S$ над полем $\mathbf{F}$. Пусть характеристика поля $\mathbf{F}$ равна $2$. $(\mathrm{i})_2$ Если $\mathbf{F}$ содержит нетривиальный кубический корень из единицы, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 25\, 920$. Более того, $|{\operatorname{Aut}(S)}| = 25\, 920$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)
\end{equation*}
\notag
$$
и $S$ изоморфна кубике Ферма. $(\mathrm{ii})_2$ Если $\mathbf{F}$ не содержит нетривиальный кубический корень из единицы, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 720$. Более того, $|{\operatorname{Aut}(S)}| = 720$ тогда и только тогда, когда и $S$ изоморфна гладкой кубической поверхности (1.2).Пусть характеристика поля $\mathbf{F}$ равна $3$. $(\mathrm{i})_3$ Если $\mathbf{F}$ содержит примитивный корень четвертой степени из единицы, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 216$. Более того, $|{\operatorname{Aut}(S)}| = 216$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}
\end{equation*}
\notag
$$
и $S$ изоморфна гладкой кубической поверхности (1.1). $(\mathrm{ii})_3$ Если $\mathbf{F}$ не содержит примитивный корень четвертой степени из единицы, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 120$. Более того, $|{\operatorname{Aut}(S)}| = 120$ тогда и только тогда, когда и $S$ изоморфна кубике Клебша.Пусть характеристика $\mathbf{F}$ равна $5$. $(\mathrm{i})_5$ Если $\mathbf{F}$ содержит нетривиальный кубический корень из единицы, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 648$. Более того, $|{\operatorname{Aut}(S)}| = 648$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4
\end{equation*}
\notag
$$
и $S$ изоморфна кубике Ферма. $(\mathrm{ii})_5$ Если $\mathbf{F}$ не содержит нетривиальный кубический корень из единицы, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 72$. Более того, $|{\operatorname{Aut}(S)}| = 72$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2 \rtimes \mathfrak{D}_4
\end{equation*}
\notag
$$
и $S$ изоморфна гладкой кубической поверхности (1.2). Пусть характеристика поля $\mathbf{F}$ не равна $2$, $3$ и $5$. $(\mathrm{i})_{\neq 2,3,5}$ Если $\mathbf{F}$ содержит нетривиальный кубический корень из единицы, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 648$. Более того, $|{\operatorname{Aut}(S)}| = 648$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4
\end{equation*}
\notag
$$
и $S$ изоморфна кубике Ферма. $(\mathrm{ii})_{\neq 2,3,5}$ Если $\mathbf{F}$ не содержит нетривиальный кубический корень из единицы, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 120$. Более того, $|{\operatorname{Aut}(S)}| = 120$ тогда и только тогда, когда и $S$ изоморфна кубике Клебша.Отметим, что в статье [16] дана классификация групп автоморфизмов гладких кубических поверхностей над произвольным полем характеристики нуль. Поэтому результат теоремы 3 для полей характеристики нуль следует из результата [16; теорема 1.1]. Теорема 3 является обобщением теоремы 2. Из теоремы 3 мы получаем следствие 1, из которого вместе с теоремой 2 вытекает классификация наибольших групп автоморфизмов гладких кубических поверхностей над конечными полями. Следствие 1. Пусть дана гладкая кубическая поверхность $S$ над конечным полем $\mathbf{F}$ нечетной характеристики. Пусть характеристика $\mathbf{F}$ равна $3$. $(\mathrm{i})_3$ Если $\mathbf{F}=\mathbb{F}_{9^k}$ для $k \in \mathbb{N}$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 216$. Более того, тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ и $S$ изоморфна гладкой кубической поверхности (1.1).$(\mathrm{ii})_3$ Если $\mathbf{F}=\mathbb{F}_{3^{2k+1}}$ для $k \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 120$. Более того, тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathfrak{S}_5$ и $S$ изоморфна кубике Клебша.Пусть характеристика $\mathbf{F}$ равна $5$. $(\mathrm{i})_5$ Если $\mathbf{F}=\mathbb{F}_{25^k}$ для $k \in \mathbb{N}$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 648$. Более того, тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ и $S$ изоморфна кубике Ферма.$(\mathrm{ii})_5$ Если $\mathbf{F}=\mathbb{F}_{5^{2k+1}}$ для $k \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 72$. Более того, тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2 \rtimes \mathfrak{D}_4$ и $S$ изоморфна гладкой кубической поверхности (1.2).Пусть характеристика $\mathbf{F}$ не меньше $7$. $(\mathrm{i})_{\geqslant 7}$ Если порядок поля $\mathbf{F}$ сравним с $1$ по модулю $3$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 648$. Более того, $|{\operatorname{Aut}(S)}| = 648$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4
\end{equation*}
\notag
$$
и $S$ изоморфна кубике Ферма. $(\mathrm{ii})_{\geqslant 7}$ Если порядок поля $\mathbf{F}$ сравним с $2$ по модулю $3$, то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 120$. Более того, $|{\operatorname{Aut}(S)}| = 120$ тогда и только тогда, когда и $S$ изоморфна кубике Клебша.Небезынтересным является вопрос о том, над какими полями кубики Ферма и Клебша, кубические поверхности (1.1) и (1.2) могут быть изоморфны. Следующее предложение дает ответ на этот вопрос. Предложение 1. Пусть дано поле $\mathbf{F}$. (i) Кубика Ферма особа (и даже не приведенная) тогда и только тогда, когда $\mathbf{F}$ – поле характеристики $3$. Кубика Клебша особа тогда и только тогда, когда $\mathbf{F}$ – поле характеристики $5$. Кубическая поверхность (1.1) особа тогда и только тогда, когда $\mathbf{F}$ – поле характеристики $2$. Кубическая поверхность (1.2) особа тогда и только тогда, когда $\mathbf{F}$ – поле характеристики $3$. (ii) Кубическая поверхность (1.1) не изоморфна ни кубике Ферма, ни кубике Клебша, ни кубике (1.2). (iii) Если $\mathbf{F}$ – поле характеристики $2$, то кубическая поверхность (1.2) и кубика Клебша изоморфны. (iv) Если $\mathbf{F}$ – поле характеристики, не равной $3$, то кубическая поверхность (1.2) изоморфна кубике Ферма тогда и только тогда, когда $\mathbf{F}$ содержит нетривиальный кубический корень из единицы. (v) Если $\mathbf{F}$ – поле характеристики, не равной $2$, то кубика Клебша не изоморфна ни кубике Ферма, ни кубической поверхности (1.2). Для удобства читателя мы перефразируем теорему 3, используя некоторую информацию из предложения 1 в табл. 1. Таблица 1.Таблица наибольших групп автоморфизмов
Здесь через $\omega$ мы обозначаем нетривиальный кубический корень из единицы, а через $\mathbf{i}$ мы обозначаем примитивный корень четвертой степени из единицы. План настоящей статьи таков. В § 2 мы докажем некоторые вспомогательные леммы и напомним некоторые факты о группе Вейля $W(\mathrm{E}_6)$, ее подгруппах и элементах. В § 3 мы напомним некоторые стандартные факты о гладких кубических поверхностях и обсудим их группы автоморфизмов. В § 4 мы изучим гладкие кубические поверхности с регулярным действием группы $\mathfrak{S}_5$ и докажем, что такие кубические поверхности изоморфны кубике Клебша. В § 5 мы рассмотрим гладкие кубические поверхности над полями характеристики $3$ и изучим их автоморфизмы. В § 6 мы изучим гладкие кубические поверхности с регулярным действием группы $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ и докажем, что такие кубические поверхности изоморфны кубике Ферма. В § 7 мы рассмотрим гладкие кубические поверхности над полями, которые не содержат нетривиального кубического корня из единицы, и изучим их группы автоморфизмов. В § 8 мы докажем теорему 3 и предложение 1. ОбозначенияПусть $X$ – многообразие над полем $\mathbf{F}$. Если $\mathbf{F} \subset \mathbf{L}$ – расширение поля $\mathbf{F}$, то через $X_{\mathbf{L}}$ мы обозначим многообразие
$$
\begin{equation*}
X_{\mathbf{L}}=X \times_{\mathrm{Spec}(\mathbf{F})}\mathrm{Spec}(\mathbf{L})
\end{equation*}
\notag
$$
над полем $\mathbf{L}$. Через $X(\mathbf{F})$ мы обозначим $\mathbf{F}$-рациональные точки на $X$. Через $\overline{\mathbf{F}}$ мы обозначим алгебраическое замыкание поля $\mathbf{F}$. Через $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ мы обозначим сепарабельное замыкание поля $\mathbf{F}$. Через $\mathfrak{S}_n$ мы обозначим группу перестановок из $n$ элементов, через $\mathfrak{A}_n$ мы обозначим знакопеременную группу перестановок из $n$ элементов и через $\mathfrak{D}_n$ мы обозначим группу диэдра порядка $2n$. Через $\mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3)$ мы обозначим группу Гейзенберга верхнетреугольных матриц $3\times 3$ над полем $\mathbb{F}_3$ с единицами на диагонали. Через $\omega$ мы будем всегда обозначать нетривиальный кубический корень из единицы, через $\mathbf{i}$ мы будем обозначать примитивный корень четвертой степени из единицы, а через $\zeta_n$ мы будем обозначать примитивный корень $n$-й степени из единицы. БлагодарностиАвтор приносит глубочайшую благодарность К. А. Шрамову за постановку задачи, ценные советы и указания во время написания работы. Также автор благодарит А. C. Трепалина за важные замечания и советы по упрощению некоторых лемм. Автор не может не выразить также искреннюю благодарность рецензентам за прекрасные и подробные рецензии, благодаря которым автору удалось усовершенствовать не только само содержание сего труда, но и результат. § 2. Предварительные сведенияВ этом параграфе мы докажем вспомогательные леммы, которые нам понадобятся в дальнейшем, и напомним некоторые факты, связанные с группой Вейля $W(\mathrm{E}_6)$. Прежде всего начнем изложение с леммы о совпадении некоторых свойств поверхностей дель Пеццо малых степеней над алгебраическим и сепарабельным замыканиями поля. В дальнейшем почти везде мы будем использовать этот результат без упоминания оного. Теорема 4 (ср. [13; теорема 4.2] и [15; лемма 7.1]). Пусть $X$ – поверхность дель Пеццо степени $d \leqslant 5$ над полем $\mathbf{F}$. Тогда выполнено следующее. (i) Имеется изоморфизм $\operatorname{Aut}(X_{\overline{\mathbf{F}}}) \simeq \operatorname{Aut}(X_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}})$. (ii) Прямые на $X_{\overline{\mathbf{F}}}$ определены над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$. (iii) Имеется изоморфизм $\mathrm{Pic}(X_{\overline{\mathbf{F}}}) \simeq \mathrm{Pic}(X_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}})$. Доказательство. Первые два утверждения доказываются следующим образом. Обозначим через $\mathcal{S}$ либо $\operatorname{Aut}(X_{\overline{\mathbf{F}}})$, либо Гильбертову схему $\mathcal{H}ilb_{l,X_{\overline{\mathbf{F}}}}$ прямых на $X_{\overline{\mathbf{F}}}$. Размерность схемы $\mathcal{S}$ равна нулю. Для начала покажем, что схема $\mathcal{S}$ гладкая. Далее, применяя [3; следствие 2.2.13], мы получаем, что множество точек на $\mathcal{S}$, которые определены над $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$, плотно. Так как $\mathcal{S}$ конечно, мы получаем, что все точки $\mathcal{S}$ определены над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$.
Перейдем к доказательству гладкости схемы $\mathcal{S}$. Для этого, в свою очередь, достаточно показать, что касательное пространство Зарисского $T_p\mathcal{S}$ к схеме $\mathcal{S}$ в любой точке $p \in \mathcal{S}$ удовлетворяет равенству Пусть $\mathcal{S}=\operatorname{Aut}(X_{\overline{\mathbf{F}}})$. Хорошо известно, что
$$
\begin{equation*}
T_p \operatorname{Aut}(X_{\overline{\mathbf{F}}}) \simeq H^0(X_{\overline{\mathbf{F}}}, TX_{\overline{\mathbf{F}}}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $TX_{\overline{\mathbf{F}}}$ – это касательное расслоение к $X_{\overline{\mathbf{F}}}$. Так как $X_{\overline{\mathbf{F}}}$ – это поверхность дель Пеццо степени $d \leqslant 5$ над алгебраически замкнутым полем, то она является раздутием $9-d>3$ точек. Второй класс Чженя расслоения $T{\mathbb{P}^2}$ равен $3$. А это значит, что не существует глобальных сечений касательного расслоения к $\mathbb{P}^2$, которые равны нулю в $9-d$ точках. Так как глобальные сечения расслоения $TX_{\overline{\mathbf{F}}}$ соответствуют глобальным сечениям расслоения $T\mathbb{P}^2$, которые равны нулю в $9-d$ точках, мы имеем $ H^0(X_{\overline{\mathbf{F}}}, TX_{\overline{\mathbf{F}}})=0$. То есть мы получаем равенство (2.1) и в результате гладкость схемы $\operatorname{Aut}(X_{\overline{\mathbf{F}}})$.
Пусть $\mathcal{S}=\mathcal{H}ilb_{l,X_{\overline{\mathbf{F}}}}$. Хорошо известно, что
$$
\begin{equation*}
T_l \mathcal{H}ilb_{l,X_{\overline{\mathbf{F}}}} \simeq H^0(l, \mathcal{N}_{l/X_{\overline{\mathbf{F}}}}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{N}_{l/X_{\overline{\mathbf{F}}}}$ – это нормальное расслоение к прямой $l$ на $X_{\overline{\mathbf{F}}}$. Степень расслоения $\mathcal{N}_{l/X_{\overline{\mathbf{F}}}}$ равна $-1$. Значит, $H^0(X_{\overline{\mathbf{F}}}, TX_{\overline{\mathbf{F}}})=0$. Иными словами, выполнено равенство (2.1) и, как следствие, имеет место гладкость схемы $\mathcal{H}ilb_{l,X_{\overline{\mathbf{F}}}}$. Утверждение (iii) следует из (ii). Теорема доказана. Замечание 1. Из теоремы 4, (i) мы немедленно получаем, что теорема 1 верна в предположении сепарабельной замкнутости поля $\mathbf{F}$. В дальнейшем мы будем изучать классы сопряженности элементов в группе $\mathrm{PGL}_n(\overline{\mathbf{F}})$ над полями $\mathbf{F}$ и $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$. Но перед этим мы докажем следующую вспомогательную лемму о сопряженных матрицах над наперед заданным полем $\mathbf{F}$ и его расширением $\mathbf{F} \subset \mathbf{L}$. Лемма 1. Пусть $\mathbf{F} \subset \mathbf{L}$ – расширение поля $\mathbf{F}$. Пусть даны две матрицы $A$ и $B$ из $\mathrm{Mat}_{n \times n}(\mathbf{F})$. Предположим, что они сопряжены в $\mathrm{Mat}_{n \times n}(\mathbf{L})$. Тогда они сопряжены в $\mathrm{Mat}_{n \times n}(\mathbf{F})$. Доказательство. Посмотрим на матрицы $A$ и $B$ как на операторы, действующие в векторных пространствах $\mathbf{F}^n$ и $\mathbf{L}^n$. Так как $A$ и $B$ сопряжены над полем $\mathbf{L}$, то по [10; теорема 15.1] эти операторы сопряжены оператору умножения на $t$ в прямой сумме факторколец
$$
\begin{equation}
\frac{\mathbf{L}[t]}{p_1^{m_1}(t)} \oplus \dots \oplus \frac{\mathbf{L}[t]}{p_k^{m_k}(t)},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где все полиномы $p_i(t)$ при $i=1, \dots, k$ приведены и неприводимы над $\mathbf{L}$. Заметим, что мы не требуем, чтобы полиномы $p_i(t)$ были различными. По [10; следствие 15.4] характеристический полином операторов $A$ и $B$ равен
По [10; теорема 15.1] оператор $A$ над полем $\mathbf{F}$ сопряжен оператору умножения на $t$ в прямой сумме факторколец
$$
\begin{equation}
\frac{\mathbf{F}[t]}{f_1^{u_1}(t)} \oplus \dots \oplus \frac{\mathbf{F}[t]}{f_s^{u_s}(t)}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
и оператор $B$ над полем $\mathbf{F}$ сопряжен оператору умножения на $t$ в прямой сумме факторколец
$$
\begin{equation}
\frac{\mathbf{F}[t]}{g_1^{v_1}(t)} \oplus \dots \oplus \frac{\mathbf{F}[t]}{g_r^{v_r}(t)},
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $f_i(t)$ и $g_j(t)$ при $i=1, \dots, s$ и $j=1, \dots, r$ приведены и неприводимы над $\mathbf{F}$. Из равенств
$$
\begin{equation*}
p_1^{m_1}(t) \dotsb p_k^{m_k}(t)=f_1^{u_1}(t) \dotsb f_s^{u_s}(t) = g_1^{v_1}(t) \dotsb g_r^{v_r}(t)
\end{equation*}
\notag
$$
мы получаем, что множества различных полиномов среди $f_1(t), \dots, f_s(t)$ и среди $g_1(t), \dots, g_r(t)$ совпадают. Тензорно умножая (2.3) и (2.4) на $\mathbf{L}$ мы получаем прямую сумму (2.2). Это значит, что для любого неприводимого полинома над полем $\mathbf{F}$ наборы степеней, с какими он встречается в прямых суммах (2.3) и (2.4), совпадают. То есть прямые суммы (2.3) и (2.4) изоморфны, что и означает, что $A$ и $B$ сопряжены в $\mathrm{Mat}_{n \times n}(\mathbf{F})$.
Лемма доказана. Замечание 2. Напомним определение сопряженности в проективной группе. Пусть дано поле $\mathbf{F}$. Рассмотрим естественный гомоморфизм Пусть $a$ и $b$ – два произвольных элемента в $\mathrm{PGL}_n(\mathbf{F})$ и рассмотрим какие-нибудь элементы $A \in \rho^{-1}(a)$ и $B \in \rho^{-1}(b)$. Два элемента $a,b \in \mathrm{PGL}_n(\mathbf{F})$ мы называем сопряженными, если существуют такие $\lambda \in \mathbf{F}^*$ и $C \in \mathrm{GL}_n(\mathbf{F})$, что имеет место равенство Лемма 2. Пусть $\mathbf{F}$ – поле характеристики $p \neq 3$. Пусть $\mathbf{F} \subset \mathbf{L}$ – расширение поля $\mathbf{F}$. Пусть $a$ и $b$ – элементы порядка $3$ в $\mathrm{PGL}_4(\mathbf{F})$, которые сопряжены в $\mathrm{PGL}_4(\mathbf{L})$. Тогда они сопряжены и в $\mathrm{PGL}_4(\mathbf{F})$. Доказательство. Рассмотрим естественный гомоморфизм Рассмотрим произвольные $A \in \rho^{-1}(a)$ и $B \in \rho^{-1}(b)$. Так как $a, b \in \mathrm{PGL}_4(\mathbf{F})$ сопряжены в $\mathrm{PGL}_4(\mathbf{L})$, мы получаем существование таких $\lambda \in \mathbf{L}^*$ и $C \in \mathrm{GL}_4(\mathbf{L})$, что
Докажем, что $\lambda \in \mathbf{F}^*$. Так как $a$ и $b$ имеют порядок $3$, то мы имеем равенства $A^3=sE$ и $B^3=tE$, где $s,t \in \mathbf{F}^*$ и $E$ – единичная матрица. Возводя в куб (2.5), мы получаем равенство Это значит, что Беря определитель обеих частей равенства (2.5), мы получаем равенство Это значит, чтоДеля (2.7) на (2.6), мы получаем Зафиксируем некоторое $\lambda$, удовлетворяющее равенству (2.5). Применяя лемму 1 к матрицам $A$ и $\lambda B$, мы получаем, что существует такая невырожденная матрица $C \in \mathrm{GL}_n(\mathbf{F})$, что выполнено (2.5). Это значит, что $a$ и $b$ сопряжены в $\mathrm{PGL}_4(\mathbf{F})$. Лемма 2 доказана. Напомним результаты из [4; табл. 9] и [17; теорема 1] о классах сопряженности элементов в группе Вейля $W(\mathrm{E}_6)$. Лемма 3. В табл. 2 приведены классы сопряженности элементов в группе Вейля $W(\mathrm{E}_6)$ порядков $2$, $3$, $5$, $8$, $9$ и $10$, количество элементов в классах сопряженности, порядки их централизаторов, наборы собственных значений канонического представления на решетке корней $\mathrm{E}_6$. Таблица 2.Таблица классов сопряженности элементов порядка $2$, $3$, $5$, $8$, $9$ и $10$ в $W(\mathrm{E}_6)$
Несмотря на то что в группе Вейля $W(\mathrm{E}_6)$ целых семь классов сопряженности элементов порядка $6$, нам понадобится только один класс сопряженности, который обозначается $E_6(a_2)$. Лемма 4 ( см. [17; теорема 1]). Пусть $g$ – элемент порядка $6$ в группе Вейля $W(\mathrm{E}_6)$, который лежит в классе сопряженности $E_6(a_2)$. Тогда его набором собственных значений канонического представления на решетке корней $\mathrm{E}_6$ является где $\omega \in \mathbb{C}$ – нетривиальный кубический корень из единицы. Лемма 5. Пусть $g \in W(\mathrm{E}_6)$. (i) Если $g$ лежит в классе сопряженности $E_6(a_2)$, то $g^2$ лежит в классе сопряженности $A_2^3$ и $g^3$ лежит в классе сопряженности $A_1^4$. (ii) Если порядок $g$ равен $8$, то $g^4$ лежит в классе сопряженности $A_1^4$. (iii) Если порядок $g$ равен $10$, то $g^5$ лежит в классе сопряженности $A_1$. Доказательство. Это непосредственно следует из лемм 3 и 4. Но для удобства читателя докажем п. (i). Согласно лемме 4 набором собственных значений элемента $g$ на решетке корней $\mathrm{E}_6$ является набор
$$
\begin{equation*}
-\omega,\ -\omega,\ -\omega^2,\ -\omega^2,\ \omega,\ \omega^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, набором собственных значений $g^2$ является набор
$$
\begin{equation*}
\omega,\ \omega,\ \omega,\ \omega^2,\ \omega^2,\ \omega^2,
\end{equation*}
\notag
$$
что является набором собственных значений элемента из класса сопряженности $A_2^3$ по лемме 3. Аналогично, набором собственных значений $g^3$ является набор что является набором собственных значений элемента из класса сопряженности $A_1^4$ по лемме 3.
Доказательство пп. (ii) и (iii) аналогично. Лемма доказана. Лемма 6. Централизатор элемента порядка $5$ в $W(\mathrm{E}_6)$ изоморфен $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$. Доказательство. Пусть $g$ – элемент порядка $5$. Согласно лемме 3 порядок централизатора элемента $g$ в группе $W(\mathrm{E}_6)$ равен $10$. Это значит, что централизатор элемента $g$ изоморфен либо $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$, либо группе диэдра порядка $10$, так как это две единственные группы порядка $10$ с точностью до изоморфизма. Однако группа диэдра порядка $10$ не может быть централизатором, потому что $g$ обязан в нем лежать.
Лемма доказана. Лемма 7. Централизатор любой подгруппы в $W(\mathrm{E}_6)$, изоморфной $\mathfrak{S}_5$, лежит в подгруппе, изоморфной $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Доказательство. Централизатор $\mathrm{C}_{W(\mathrm{E}_6)}(\mathfrak{S}_5)$ подгруппы $\mathfrak{S}_5$ в $W(\mathrm{E}_6)$ лежит в централизаторе $\mathrm{C}_{W(\mathrm{E}_6)}(\tau)$ элемента $\tau$ порядка $5$ в $\mathfrak{S}_5$. По лемме 6 имеем $\mathrm{C}_{W(\mathrm{E}_6)}(\tau) \simeq \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$. Так как $\tau \in \mathrm{C}_{W(\mathrm{E}_6)}(\tau)$ и $\tau$ не лежит в центре $\mathfrak{S}_5$, мы получаем требуемое.
Лемма доказана. Из [17; теорема 1] мы немедленно получаем следующую полезную лемму. Напомним классификацию максимальных собственных подгрупп в $\mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)$. Лемма 9 ( см. [6; с. 26]). В табл. 3 приведены максимальные собственные подгруппы в группе $\mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)$. Таблица 3.Таблица максимальных подгрупп в $\mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)$
Здесь через $G_{\bullet} H$ мы обозначаем группу с нормальной подгруппой изоморфной $G$ и фактором, изоморфным $H$, а через $G^{\bullet} H$ мы обозначаем группу $G_{\bullet} H$, которая не является расщепляемым расширением. Все подгруппы в табл. 3 единственны с точностью до сопряжения. Напомним общеизвестный результат, полученный Арно Бовилем. Предложение 2 (см. [2; предложение 1.1]). Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики $p \geqslant 0$ и $n \in \mathbb{N}$. При $p>0$ будем предполагать, что $\gcd(n,p)=1$. Группа $\mathrm{PGL}_2(\mathbf{F})$ содержит $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ тогда и только тогда, когда $\zeta_n+\zeta_n^{-1} \in \mathbf{F}$. Из этого предложения мы немедленно получаем следующую лемму. Лемма 10. Пусть $\mathbf{F}$ – поле характеристики $2$, не содержащее нетривиальных кубических корней из единицы. Тогда группа $\mathrm{PGL}_2(\mathbf{F})$ не содержит $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Доказательство. Предположим противное. Тогда из предложения 2 мы имеем $\zeta_5+\zeta_5^4 \in \mathbf{F}$. Однако в поле $\mathbf{F}$ характеристики $2$ имеет место равенство что противоречит предположению, что $\mathbf{F}$ не содержит нетривиальных кубических корней из единицы.
Лемма доказана. Сформулируем лемму, взятую из статьи [18]. Лемма 11 (см. [18; лемма 5.15]). Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$ характеристики $2$, чья группа автоморфизмов изоморфна либо $\mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)$, либо $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4 \rtimes \mathfrak{A}_5 \subset \mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)$. Тогда образ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ в группу $W(\mathrm{E}_6)$ тривиален. § 3. Кубические поверхностиВ этом параграфе мы введем некоторые соглашения и обозначения касательно гладких кубических поверхностей. Более подробное описание геометрии гладких кубических поверхностей можно найти, например, в книгах [7; гл. 9] и [14; гл. 4]. Пусть $S \subset \mathbb{P}^3$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$. Напомним, что по теореме 4 прямые на $S_{\overline{\mathbf{F}}}$ определены над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ и имеет место изоморфизм $\mathrm{Pic}(S_{\overline{\mathbf{F}}}) \simeq \mathrm{Pic}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}})$. Значит, $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ – это раздутие шести точек в общем положении на $\mathbb{P}^2_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$. Напомним определение.Определение 1. Будем говорить, что точки $P_1,\dots, P_i \in \mathbb{P}^2$ при $i \leqslant 6$ в общем положении, если никакие три точки из этого множества не лежат на прямой и никакие шесть точек из этого множества не лежат на конике. Из вышесказанного следует, что существует бирациональный морфизм
$$
\begin{equation*}
\pi \colon S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}} \to \mathbb{P}^2_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}},
\end{equation*}
\notag
$$
который стягивает прообразы точек $P_1,\dots, P_6$. Обозначим через прообразы точек $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $P_5$ и $P_6$ при морфизме $\pi$ соответственно. Исключительные кривые раздутия $\pi$ – это прямые на $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}} \subset \mathbb{P}^3_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$. Индекс самопересечения прямой на гладкой кубической поверхности равен $-1$. Обозначим через $Q_i$ при $i \in \{1, \dots, 6\}$ собственный прообраз при морфизме $\pi$ гладкой коники, проходящей через все точки $P_1, \dots, P_6$, кроме $P_i$. Обозначим через $L_{ij}$ при $i,j \in \{1, \dots, 6\}$ и $i<j$ собственный прообраз при морфизме $\pi$ прямой, проходящей через точки $P_i$ и $P_j$. Собственные прообразы $Q_i$ и $L_{ij}$ вместе с $E_1, \dots, E_6$ задают множество из $27$ прямых на кубической поверхности $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$. Хорошо известно, что на гладкой кубической поверхности над алгебраически замкнутым полем существует ровно $27$ прямых. Их индексы пересечения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E_i^2=Q_i^2=L_{ij}^2=-1 \quad \text{при } \ i \neq j; \\ E_i \cdot E_j=Q_i \cdot Q_j=0 \quad \text{при } \ i \neq j; \\ E_i \cdot Q_j=L_{ij} \cdot E_i=L_{ij} \cdot Q_i=1 \quad \text{при } \ i \neq j; \\ L_{ij} \cdot L_{kl}=1 \quad \text{при попарно различных } \ i,j,k,l \in \{1,\dots,6\}; \\ L_{ij} \cdot L_{jk}=0 \quad \text{при попарно различных } \ i,j,k \in \{1,\dots,6\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
\Delta=\{\alpha \in \mathrm{Pic}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}) \mid K_{S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}}\cdot \alpha=0 \text{ и } \alpha^2=-2 \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это множество соответствует системе корней $\mathrm{E}_6$. Группа Вейля $W(\mathrm{E}_6)$ действует на группе Пикара $\mathrm{Pic}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}})$ преобразованиями, сохраняющими форму пересечения. Это действие ограничивается на конфигурацию прямых на $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$. Оно сохраняет $ K_{S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}}$ и сохраняет конус эффективных дивизоров. Напомним следующую важную теорему. Теорема 5 (см., например, [7; следствие 8.2.40]). Группа автоморфизмов гладкой кубической поверхности изоморфна подгруппе в группе Вейля $W(\mathrm{E}_6)$. Замечание 3. Несмотря на то что теорема 5 в [7] доказана для гладких кубических поверхностей над полем характеристики нуль, те же самые рассуждения верны и над полями положительной характеристики. Пусть дана гладкая кубическая поверхность $S$ над полем $\mathbf{F}$. Мы будем подразумевать под группой $\operatorname{Aut}(\mathrm{Pic}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}))$ группу автоморфизмов $\mathrm{Pic}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}})$, сохраняющих форму пересечения и канонический класс. Абсолютная группа Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ действует на группе $\mathrm{Pic}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}})$ и сохраняет канонический класс $S$ и форму пересечения. Хорошо известно (см. [14; гл. 4, теорема 1.9]), что группа $\operatorname{Aut}(\mathrm{Pic}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}))$ изоморфна группе Вейля $W(\mathrm{E}_6)$. Тем самым согласно [14; гл. 4, теорема 1.8]) имеется естественный гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{g}\colon \mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F}) \to W(\mathrm{E}_6).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\Gamma$ – образ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ в группу $W(\mathrm{E}_6)$ при этом гомоморфизме. Напомним, что $\Gamma$ лежит в централизаторе $\operatorname{Aut}(S)$, так как все автоморфизмы кубической поверхности $S$ определены над полем $\mathbf{F}$. Замечание 4. Всюду под образом абсолютной группы Галуа в группу Вейля $W(\mathrm{E}_6)$ мы будем подразумевать образ $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ при гомоморфизме $\boldsymbol{g}$. Напомним, что графом прямых на проективном многообразии называют такой граф, вершины которого соответствуют прямым, а между двумя вершинами имеется ребро тогда и только тогда, когда соответствующие этим двум вершинам прямые пересекаются. Нам понадобится еще одно определение. Определение 2. Пусть $S$ – это гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$. Будем говорить, что $5$ прямых $l_1, \dots, l_5$ на $S$ находятся в звездном положении, если их граф образует звезду (см. рис. 1). Вернемся к изучению классов сопряженности элементов в группе $W(\mathrm{E}_6)$. Теперь мы будем рассматривать элементы $W(\mathrm{E}_6)$ как преобразования группы Пикара гладкой кубической поверхности над алгебраически замкнутым полем, сохраняющие форму пересечения. Лемма 12. Пусть дана гладкая кубическая поверхность $S$ над сепарабельно замкнутым полем. Рассмотрим элемент $g \in W(\mathrm{E}_6)$, действующий на конфигурацию прямых на $S$. Тогда выполнены следующие утверждения. (i) Пусть порядок $g$ равен $5$. Существуют ровно две прямые на $S$, каждая из которых инвариантна под действием $g$. Существуют ровно три пятерки прямых на $S$, каждая из которых состоит из попарно непересекающихся прямых и инвариантна под действием элемента $g$. Все прямые в каждой пятерке прямых транзитивно переставляются действием $g$. Более того, существуют ровно две пятерки прямых на $S$, каждая из которых состоит из прямых в звездном положении и инвариантна под действием элемента $g$. Все прямые в каждой пятерке прямых транзитивно переставляются действием $g$. (ii) Пусть порядок $g$ равен $10$. Существует единственная пара непересекающихся прямых на $S$, которая инвариантна при действии элемента $g$, и эти прямые меняются местами под действием $g$. Существует единственная пятерка попарно непересекающихся прямых на $S$, которая инвариантна под действием элемента $g$. Все прямые в пятерке прямых транзитивно переставляются действием $g$. Существуют ровно две пятерки прямых на $S$, каждая из которых состоит из прямых в звездном положении и инвариантна под действием элемента $g$. Все прямые в каждой пятерке прямых транзитивно переставляются действием $g$. Более того, оставшиеся десять прямых на $S$ образуют $g$-инвариантную десятку прямых, и все прямые в этой десятке транзитивно переставляются действием $g$. Доказательство. Над алгебраически замкнутым полем лемма непосредственно вытекает из [1; табл. 7.1, столбец 8]. Из теоремы 4, (ii) следует, что лемма верна и над сепарабельно замкнутым полем.
Лемма доказана. Лемма 13. Пусть дана гладкая кубическая поверхность $S$ над сепарабельно замкнутым полем. Пусть $l_1$ и $l_2$ – две пересекающиеся прямые на $S$. Тогда существует единственная прямая $l_3 \subset S$, которая пересекает обе эти прямые. Доказательство. Рассмотрим гиперплоскость $T$ в $\mathbb{P}^3$ такую, что $l_1,l_2 \subset T$. Тогда где $l_3$ – некоторая прямая на $ S$. Предположим, что существует прямая $l_4$, которая не лежит в $T$ и которая пересекает $l_1$ и $l_2$. Из (3.1) мы получаем
Значит, с одной стороны, мы имеем равенство $-K_S \cdot l_4=1$, а с другой стороны, из (3.2) мы получаем
$$
\begin{equation*}
-K_S \cdot l_4=l_1 \cdot l_4+l_2 \cdot l_4+l_3 \cdot l_4=2+l_3 \cdot l_4 \neq 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Это противоречие дает нам единственность прямой, которая пересекает прямые $l_1$ и $l_2$. Лемма доказана. Лемма 14. Пусть дана гладкая кубическая поверхность $S$ над сепарабельно замкнутыми полем. Рассмотрим элемент $g \in \operatorname{Aut}(S)$ порядка $5$. Тогда две прямые на $S$, которые инвариантны относительно действия $g$, не пересекаются. Доказательство. Пусть $l_1$ и $l_2$ – две прямые на $S$, которые инвариантны под действием элемента $g$. Предположим, что они пересекаются. Тогда по лемме 13 существует единственная прямая $l_3$, которая пересекает обе прямые $l_1$ и $l_2$. Однако, так как $l_1$ и $l_2$ остаются неподвижными под действием $g$, можно прийти к убеждению, что прямая $l_3$ тоже остается неподвижной под действием $g$. Но это противоречит лемме 12, (i). Значит, прямые $l_1$ и $l_2$ не пересекаются.
Лемма доказана. Лемма 15. Пусть дано сепарабельно замкнутое поле $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $3$. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$. Пусть дан автоморфизм $g$ поверхности $S$ порядка $3$. Обозначим через $\omega \in \mathbf{F}$ нетривиальный кубический корень из единицы. Тогда для автоморфизма $g$ выполнено одно из следующих утверждений. (i) Автоморфизм $g$ лежит в классе сопряженности $A_2$ и его индуцированное на $\mathbb{P}^3$ действие с точностью до сопряжения задается проективным преобразованием
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \omega^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \omega^2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \omega & 0\\ 0 & 0 & 0 & \omega \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) Автоморфизм $g$ лежит в классе сопряженности $A_2^2$ и его индуцированное на $\mathbb{P}^3$ действие с точностью до сопряжения задается проективным преобразованием
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \omega^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \omega & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) Автоморфизм $g$ лежит в классе сопряженности $A_2^3$ и его индуцированное на $\mathbb{P}^3$ действие с точностью до сопряжения задается проективным преобразованием Доказательство. Над алгебраически замкнутым полем лемма непосредственно вытекает из [8; теорема 10.4]. Из леммы 2 следует, что лемма 15 верна и над сепарабельно замкнутым полем. Следствие 2. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $3$. Пусть $\mathbf{F}$ не содержит нетривиальный кубический корень из единицы. Если $g$ – автоморфизм порядка $3$ гладкой кубической поверхности над полем $\mathbf{F}$, то $g$ не лежит в классе сопряженности $A_2^3$. Доказательство. Предположим, что $g$ лежит в классе сопряженности $A_2^3$. Согласно лемме 15, (iii) над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ индуцированное на $\mathbb{P}^3$ действие элемента $g$ с точностью до сопряжения задается проективным преобразованием
Рассмотрим характеристический полином $aA$, где $a \in \overline{\mathbf{F}}^*$. Этот полином имеет вид
$$
\begin{equation*}
F(\lambda)=(\lambda-a\omega)(\lambda-a)^3=\lambda^4-a\lambda^3(3+\omega)+a^2\lambda^2(3+\omega)-a^3\lambda(3+\omega)+a^4\omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $g$ – автоморфизм гладкой кубической поверхности над полем $\mathbf{F}$, то мы получаем существование такого $a \in \overline{\mathbf{F}}^*$, что все коэффициенты $F(\lambda)$ лежат в $\mathbf{F}$. В частности, отношение коэффициента при $\lambda^2$ к квадрату коэффициента при $\lambda^3$
$$
\begin{equation*}
\frac{a^2(3+\omega)}{a^2(3+\omega)^2}=\frac{1}{3+\omega} \in \mathbf{F},
\end{equation*}
\notag
$$
что неверно. Значит, $g$ не лежит в классе сопряженности $A_2^3$.
Следствие доказано. Из следствия 2 и закона контрапозиции мы получаем еще одно следствие. Следствие 3. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $3$. Пусть дана гладкая кубическая поверхность $S$ над полем $\mathbf{F}$. Предположим, что существует автоморфизм $g \in \operatorname{Aut}(S)$, который лежит в классе сопряженности $A^3_2$. Тогда $\mathbf{F}$ содержит нетривиальный кубический корень из единицы. Сейчас мы переходим к изучению группы автоморфизмов кубики Ферма. Пример 1. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $3$. Через $S$ обозначим кубику Ферма над полем $\mathbf{F}$. Предположим, что в $\mathbf{F}$ лежит нетривиальный кубический корень из единицы $\omega \in \mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$. Тогда несложно понять, что где $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$ действует умножением однородных координат $x$, $y$, $z$, $t$ в $\mathbb{P}^3$ на кубические корни из единицы и $\mathfrak{S}_4$ действует перестановками на однородные координаты $x$, $y$, $z$, $t$. По теореме 1, $(\mathrm{iii})'$ и $(\mathrm{iv})'$ и замечанию 1 мы имеем Значит, имеет место изоморфизм $\operatorname{Aut}(S) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$, если характеристика $\mathbf{F}$ еще и отлична от $2$.Лемма 16. Пусть $G \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4 $ изоморфна группе, действующей регулярно на кубику Ферма над алгебраически замкнутым полем характеристики, не равной $3$. Пусть $\tau=gh \in G$ – элемент порядка $3$, где $g \in (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$ и $h \in \mathfrak{S}_4$ – неединичные элементы в группе. Тогда элементы $g$ и $h$ в некоторой системе координат задаются проективными преобразованиями и $h=(123)$ – перестановка координат, где $a,b,c \in \{0,1,2\}$ либо попарно различные числа, либо все равны $1$ или $2$. Доказательство. Так как $\tau$ – элемент порядка $3$, имеем где $e \in G$ – единичный элемент. Это равенство можно переписать как
Из примера 1 и из единственности согласно лемме 9 с точностью до сопряжения подгруппы $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ в группе $\mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)$ следует, что $g$ может задаваться проективным преобразованием
$$
\begin{equation*}
g=\begin{pmatrix} \omega^{a_1} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \omega^{a_2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \omega^{a_3} & 0\\ 0 & 0 & 0 & \omega^{a_4} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
над сепарабельно замкнутым полем $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $3$, где не все равны. Пусть $\sigma$ – перестановка элементов в множестве $\{1,2,3,4\}$, которая соответствует сопряжению с помощью элемента $h$. Тогда элемент задается проективным преобразованием
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \omega^{a_1+a_{\sigma(1)}+a_{\sigma^2(1)}} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \omega^{a_2+a_{\sigma(2)}+a_{\sigma^2(2)}} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \omega^{a_3+a_{\sigma(3)}+a_{\sigma^2(3)}} & 0\\ 0 & 0 & 0 & \omega^{a_4+a_{\sigma(4)}+a_{\sigma^2(4)}} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Согласно (3.3) это единичный элемент в группе $G$. По условию элемент $\sigma$ имеет порядок $3$. В некоторой системе координат $\sigma=(123)$. То есть Поэтому из того, что элемент (3.4) равен единичному элементу, следует, что для $i=1,2,3$. Значит, легко увидеть, что $a_1, a_2, a_3 \in \{0,1,2\}$ либо попарно различные числа, либо все равны $1$ или $2$.Лемма доказана. Лемма 17. Пусть $G \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4 $ изоморфна группе, действующей регулярно на кубику Ферма над алгебраически замкнутым полем характеристики, не равной $3$. Обозначим через проективный гомоморфизм на $\mathfrak{S}_4$. Рассмотрим группу $G$ как подгруппу в группе Вейля $W(\mathrm{E}_6)$. Тогда все элементы группы $G$ из класса сопряженности $A_2^3$ лежат в $\mathrm{Ker}(\mathrm{pr})$. Доказательство. Из леммы 15, (iii) и примера 1 очевидным образом следует, что в ядре $\mathrm{Ker}(\mathrm{pr})$ есть элементы из класса сопряженности $A_2^3$. Докажем, что остальные элементы не лежат в классе сопряженности $A_2^3$. Предположим, что в $G$ существует такой элемент $\tau=gh$, где $g \in (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$ и $h \in \mathfrak{S}_4$ – неединичные элементы в группе, что $\tau$ лежит в классе сопряженности $A_2^3$. Тогда элементы $g$ и $h$ удовлетворяют условию леммы 16. Это значит, что в некоторой системе координат элемент $g$ задается проективным преобразованием
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \omega^a & 0 & 0 & 0\\ 0 & \omega^b & 0 & 0\\ 0 & 0 & \omega^c & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $a,b,c \in \{0,1,2\}$ либо попарно различные числа, либо все равны $1$ или $2$, а $h$ действует на диагональные элементы $g$ перестановкой вида $(123)$. По лемме 15, (iii) легко видеть, что такие $gh$ не лежат в классе сопряженности $A_2^3$.
Лемма доказана. Лемма 18. Пусть $G \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4 $ изоморфна группе, действующей регулярно на кубику Ферма над алгебраически замкнутым полем характеристики, не равной $3$. Пусть $g$ – неединичный элемент в нормальной подгруппе $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$ в $G$. Тогда централизатор элемента $g$ группы $G$ изоморфен $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes D$, где группа $D$ изоморфна либо $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, либо $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$, либо $\mathfrak{S}_3$. Доказательство. Из примера 1 и из единственности согласно лемме 9 с точностью до сопряжения подгруппы $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ в группе $\mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)$ следует, что нормальная подгруппа $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$ в $G$ состоит из элементов вида
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \omega^a & 0 & 0 & 0\\ 0 & \omega^b & 0 & 0\\ 0 & 0 & \omega^c & 0\\ 0 & 0 & 0 & \omega^d \end{pmatrix} \in \mathrm{PGL}_4(\mathbf{F}),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $\omega \in \mathbf{F}$ – нетривиальный кубический корень из единицы в поле $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $3$, и $a,b,c,d \in \{0,1,2\}$. Подгруппа $\mathfrak{S}_4$ действует на $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$ перестановкой диагональных элементов в представлении элементов из $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$ как элементов (3.5) в $\mathrm{PGL}_4(\mathbf{F})$.
Рассмотрим все возможные централизаторы неединичных элементов в группе $G$. С точностью до сопряжения имеются три случая.$\bullet$ Пусть $g$ – такой автоморфизм, что $a=b$, $c \neq d$ и $c,d \neq a$. Тогда централизатор элемента $g$ группы $G$ изоморфен $\mathrm{C}_G(g) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. $\bullet$ Пусть $g$ – такой автоморфизм, что $a=b$, $c=d$ и $c \neq a$. Тогда централизатор элемента $g$ группы $G$ изоморфен $\mathrm{C}_G(g) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$. $\bullet$ Пусть $g$ – такой автоморфизм, что $a=b=c$ и $d \neq a$. Тогда централизатор элемента $g$ группы $G$ изоморфен $\mathrm{C}_G(g) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_3$. Лемма доказана. § 4. Группа $\mathfrak{S}_5$ и кубика КлебшаВ этом параграфе мы будем рассматривать группу $\mathfrak{S}_5$ как группу автоморфизмов гладкой кубической поверхности над произвольным полем $\mathbf{F}$ любой характеристики, кроме $5$. Сначала напомним структуру группы автоморфизмов кубики Клебша. Пример 2. Очевидно, что группа автоморфизмов кубики Клебша над произвольным полем $\mathbf{F}$ любой характеристики, не равной $5$, содержит группу $\mathfrak{S}_5$, которая действует на $\mathbb{P}^4$ перестановкой однородных координат $x$, $y$, $z$, $t$, $w$. Заметим, что по лемме 7 образ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ в $W(\mathrm{E}_6)$ в этом случае лежит в группе, изоморфной $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Замечание 5. Пусть $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ – четыре точки в общем положении на $\mathbb{P}^2$. Тогда эта четверка единственна с точностью до проективного преобразования. Лемма 19. Пусть $F$ – гладкая поверхность дель Пеццо степени $5$ над полем $\mathbf{F}$. Предположим, что все прямые на $F_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над $\mathbf{F}$. Тогда $F$ единственна с точностью до изоморфизма. Доказательство. Так как все прямые на $F_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над $\mathbf{F}$, мы можем стянуть четыре непересекающиеся прямые на $\mathbb{P}^2$. Поверхность $F$ является раздутием четырех точек в общем положении на $\mathbb{P}^2$. По замечанию 5 четверка точек в общем положении на $\mathbb{P}^2$ определена единственным образом с точностью до автоморфизма $\mathbb{P}^2$. Значит, поверхность дель Пеццо степени $5$, на которой все прямые над $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ определены над $\mathbf{F}$, единственна с точностью до изоморфизма.
Лемма доказана. Пример 3. Пусть $\mathbf{F}$ – сепарабельно замкнутое поле характеристики, не равной $5$. Построим пример гладкой поверхности дель Пеццо степени $5$ с нетривиальным регулярным действием $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ над полем $\mathbf{F}$. Пусть $C \subset \mathbb{P}^2$ – гладкая коника с нетривиальным действием $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Действие $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ на $C$ продолжается до действия на $\mathbb{P}^2$. Группа $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ фиксирует две точки $P_1$ и $P_2$ на $C$. Значит, оно оставляет неподвижной прямую $\mathcal{L} \subset \mathbb{P}^2$, которая проходит через точки $P_1$ и $P_2$. Заметим, что $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ действует на $\mathcal{L}$ нетривиально, потому что иначе $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ с точностью до сопряжения порождалась бы элементом где $\zeta_5 \in \mathbf{F}$ – нетривиальный корень пятой степени из единицы. Тогда на $\mathbb{P}^2$ не существовало бы гладкой коники, которая оставалась бы инвариантной под действием $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Значит, существует точка $P_3$ вне $C$, которая неподвижна относительно действия $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Раздуем орбиту из пяти точек на $C$ под действием группы $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Мы получаем $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$-эквивариантный морфизм при котором $p^{-1}C$ – это $(-1)$-кривая. Значит, мы можем $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$-эквивариантно стянуть $p^{-1}C$ и тем самым получить гладкую поверхность дель Пеццо степени $5$ с двумя неподвижными точками.Сформулируем следствие из [19; теорема 1.5]. Лемма 20. Пусть $F$ – такая гладкая поверхность дель Пеццо степени $5$ над полем $\mathbf{F}$, что все прямые на $F_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над полем $\mathbf{F}$. Тогда Следствие 4. Пусть $F$ – гладкая поверхность дель Пеццо степени $5$ с нетривиальным регулярным действием $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ над произвольным полем $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $5$. Тогда это действие оставляет неподвижными ровно две точки на $F_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$. Доказательство. По лемме 19 над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ гладкая поверхность дель Пеццо степени $5$ единственна с точностью до изоморфизма. По лемме 20 имеет место изоморфизм
Так как в группе $\mathfrak{S}_5$ с точностью до сопряжения существует единственный элемент порядка $5$, то согласно примеру 3 мы получаем, что $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ оставляет неподвижными ровно две точки на $F_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$. Следствие доказано. Лемма 21. Пусть $F$ – гладкая поверхность дель Пеццо степени $5$ над полем $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $5$. Предположим, что все прямые на $F_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над полем $\mathbf{F}$. Тогда такая поверхность единственна с точностью до изоморфизма. Более того, $F$ обладает нетривиальным регулярным действием группы $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, и такое действие единственно с точностью до сопряжения. Доказательство. Из леммы 19 следует, что такая поверхность $F$ единственна с точностью до изоморфизма. По лемме 20 мы получаем, что группа автоморфизмов $F$ изоморфна $\mathfrak{S}_5$. Значит, с точностью до сопряжения существует единственное регулярное действие $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ на $F$.
Лемма доказана. Лемма 22. Пусть дана такая гладкая кубическая поверхность $S$ над полем $\mathbf{F}$ с регулярным действием группы $G \simeq\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, что образ $\Gamma$ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ в группу $W(\mathrm{E}_6)$ лежит в группе, изоморфной $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Тогда при $G$-эквивариантном стягивании двух непересекающихся прямых мы получаем такую гладкую поверхность дель Пеццо $F$ степени $5$, что все прямые на $F_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над $\mathbf{F}$. Доказательство. Согласно леммам 12, (i) и 14 существуют две прямые $l_1$ и $l_2$ на $S$, которые инвариантны под действием группы $G$. Предположим, что $\Gamma$ – тривиальна. Тогда при их стягивании мы получим такой $G$-эквивариантный морфизм из $S$ на гладкую поверхность дель Пеццо $F$ степени $5$, что все прямые на $F_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над $\mathbf{F}$.
Теперь предположим, что $\Gamma \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Обозначим через $g$ порождающий группы $G$ и через $\tau$ – порождающий группы $\Gamma$. Тогда $g$ и $\tau$ коммутируют. Значит, порядок элемента $\sigma=g\tau$ равен $10$. Поэтому по лемме 5, (iii) элемент $\tau$ лежит в классе сопряженности $A_1$. По лемме 12 прямые $l_1$ и $l_2$ переставляются элементом $\sigma$. Иными словами, они образуют $\Gamma$-орбиту. Значит, мы можем стянуть эту $\Gamma$-орбиту и получить гладкую поверхность дель Пеццо степени $5$ Так как $l_1$ и $l_2$ инвариантны относительно действия $G$, то морфизм $\pi$ является $G$-эквивариантным стягиванием.Из свойств раздутия имеем равенство
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Pic}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}})=\mathrm{Pic}(F_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}) \oplus \mathbb{Z}\langle l_1, l_2 \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 3 собственные значения действия $\tau$ на $\mathrm{Pic}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}})$ имеют вид Более того, элемент $\tau$ действует нетривиально на подрешетке $\mathbb{Z}\langle l_1, l_2 \rangle$, потому что множество $\{l_1, l_2\}$ образует $\Gamma$-орбиту длины $2$. Это значит, что $\tau$ действует тривиально на $\mathrm{Pic}(F_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}})$. Из этого следует, что все прямые на $F_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над $\mathbf{F}$.
Лемма доказана. Лемма 23. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $5$. Пусть $S$ – такая гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$, что $\operatorname{Aut}(S) \supseteq \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ и образ $\Gamma$ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ в $W(\mathrm{E}_6)$ лежит в группе, изоморфной $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Тогда $S$ изоморфна кубике Клебша. Доказательство. Рассмотрим элемент $g \in \operatorname{Aut}(S)$ порядка $5$ и рассмотрим группу $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, порожденную этим элементом. Из леммы 22 следует существование такого $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$-эквивариантного стягивания $S$ на гладкую поверхность дель Пеццо $F$ степени $5$ что все прямые на $F_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над полем $\mathbf{F}$. Согласно лемме 21 такая поверхность $F$ единственна с точностью до изоморфизма и на $F$ существует нетривиальное регулярное действие $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, которое единственно с точностью до сопряжения. Согласно следствию 4 количество неподвижных точек действия $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ на $F$ над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ равняется $2$. Получается, что множество из двух точек на $F$, неподвижных относительно действия $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, единственно с точностью до изоморфизма, поскольку регулярное действие $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ на $F$ единственно с точностью до сопряжения. Значит, $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$-эквивариантное раздутие двух точек единственно с точностью до изоморфизма. Поэтому мы получаем единственную с точностью до изоморфизма гладкую кубическую поверхность с требуемыми свойствами. Согласно примеру 2 группа $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ регулярно действует на кубике Клебша. Таким образом, мы получаем, что $S$ изоморфна кубике Клебша.
Лемма доказана. Нам понадобится следствие из этой леммы для доказательства единственности гладкой кубической поверхности над полем характеристики, не равной $5$, с регулярным действием $\mathfrak{S}_5$. Следствие 5. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $5$. Пусть дана такая гладкая кубическая поверхность $S$ над полем $\mathbf{F}$, что $\operatorname{Aut}(S) \supseteq \mathfrak{S}_5$. Тогда $S$ изоморфна кубике Клебша. Доказательство. По лемме 7 из вложения $\operatorname{Aut}(S) \supseteq \mathfrak{S}_5$ следует, что образ $\Gamma$ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ в $W(\mathrm{E}_6)$ лежит в группе, изоморфной $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Применяя лемму 23, мы получаем, что $S$ изоморфна кубике Клебша.
Следствие доказано. Перед тем как давать следствие из леммы 23 в характеристике $2$, сформулируем две леммы. Лемма 24. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики $2$. Тогда если в поле $\mathbf{F}$ есть нетривиальный кубический корень из единицы, то $\mathbb{F}_4 \subset \mathbf{F}$. Доказательство. Так как $\mathbf{F}$ – поле характеристики $2$, имеем $\mathbb{F}_2 \subset \mathbf{F}$. Исходя из того, что нетривиальный кубический корень $\omega \in \mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ лежит в $\mathbf{F}$, мы получаем
Лемма доказана. Лемма 25 (см. [18; леммы 5.15 и 5.17]). Пусть $\mathbf{F}$ – конечное поле характеристики $2$. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$. (i) Если $\mathbf{F}=\mathbb{F}_{4^k}$ для некоторого $k \in \mathbb{N}$ и $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)$, то образ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ в $W(\mathrm{E}_6)$ тривиальный. (ii) Если $\mathbf{F}=\mathbb{F}_{2^{2k+1}}$ для некоторого $k \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ и $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathfrak{S}_6$, тогда образ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ в $W(\mathrm{E}_6)$ изоморфен $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Следствие 6. Пусть $\mathbf{F}$ – поле характеристики $2$. Тогда выполнено следующее. (i) Если $\mathbf{F}$ содержит нетривиальный кубический корень из единицы, то кубика Ферма изоморфна кубике Клебша. (ii) Кубическая поверхность (1.2) изоморфна кубике Клебша. Доказательство. Докажем утверждение (i). Пусть $S$ – кубика Ферма над полем $\mathbb{F}_4$. По теореме 3, (i) имеется изоморфизм $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \supset \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 25, (i) образ $\Gamma$ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_2/\mathbb{F}_4)$ в $W(\mathrm{E}_6)$ тривиален. Поэтому по лемме 23 кубическая поверхность $S$ изоморфна кубике Клебша над полем $\mathbb{F}_4$. По лемме 24 поле $\mathbf{F}$ содержит поле $\mathbb{F}_4$. Значит, кубика Ферма изоморфна кубике Клебша над любым расширением $\mathbf{F}$ поля $\mathbb{F}_4$.
Докажем утверждение (ii). Пусть $S$ – кубическая поверхность (1.2) над полем $\mathbb{F}_2$. По теореме 2, (ii) мы получаем изоморфизм $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathfrak{S}_6$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \supset \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 25, (ii) образ $\Gamma$ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_2/\mathbb{F}_2)$ в $W(\mathrm{E}_6)$ изоморфен $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Значит, по лемме 23 над полем $\mathbb{F}_2$ кубическая поверхность $S$ изоморфна кубике Ферма. Поэтому кубическая поверхность (1.2) изоморфна кубике Клебша над любым расширением $\mathbf{F}$ поля $\mathbb{F}_2$.
Следствие доказано. § 5. Характеристика $3$В этом параграфе мы изучаем гладкие кубические поверхности с наибольшей группой автоморфизмов над полем характеристики $3$. Для начала мы сформулируем очевидные леммы о полях характеристики $3$. Лемма 26. Пусть $\mathbf{F}$ – поле характеристики $3$. Тогда $\mathbf{F}$ содержит примитивный корень четвертой степени из единицы тогда и только тогда, когда $\mathbf{F}$ содержит подполе $\mathbb{F}_9$. Доказательство. Так как характеристика поля $\mathbf{F}$ равна $3$, имеем $\mathbb{F}_3 \subset \mathbf{F}$. Предположим, что в поле $\mathbf{F}$ лежит примитивный корень четвертой степени из единицы. Обозначим его через $\mathbf{i}$. Тогда имеем Пусть $\mathbf{F} \supset \mathbb{F}_9$. Тогда в поле $\mathbf{F}$ существуют элементы, удовлетворяющие равенству $t^8=1$. В частности, в $\mathbf{F}$ существуют элементы, удовлетворяющие уравнению $t^4=1$. Иными словами, в поле $\mathbf{F}$ есть примитивный корень четвертой степени из единицы.
Лемма доказана. Лемма 27. Пусть $\mathbf{F}$ – поле характеристики $3$. Тогда $\mathbf{F}$ содержит примитивный корень четвертой степени из единицы тогда и только тогда, когда $\mathbf{F}$ содержит примитивный корень восьмой степени из единицы. Доказательство. Если $\mathbf{F}$ содержит примитивный корень четвертой степени из единицы, то по лемме 26 имеем $\mathbf{F} \supset \mathbb{F}_9$. Значит, в $\mathbf{F}$ есть элементы, удовлетворяющие Это значит, что в $\mathbf{F}$ есть примитивный корень восьмой степени из единицы. Если $\mathbf{F}$ не содержит примитивный корень четвертой степени из единицы, то ясно, что $\mathbf{F}$ не содержит также и примитивный корень восьмой степени из единицы.
Лемма доказана. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики $3$. Мы поделим этот параграф на две части: в первой части мы будем изучать кубические поверхности над полем $\mathbf{F}$ при условии, что оно содержит примитивный корень четвертой степени из единицы, а во второй части мы рассмотрим кубические поверхности над полем $\mathbf{F}$ при условии, что оно уже не будет содержать примитивный корень четвертой степени из единицы. Начнем со случая, когда $\mathbf{F}$ содержит примитивный корень четвертой степени из единицы. По теореме 1, $(\mathrm{ii})'$ наибольшая группа автоморфизмов гладких кубических поверхностей над алгебраически замкнутым полем характеристики $3$ изоморфна $ \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. Докажем, что эта группа реализуется как группа автоморфизмов кубической поверхности (1.1) уже над полем $\mathbf{F}$. Лемма 28. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики $3$, содержащее примитивный корень четвертой степени из единицы. Тогда группа автоморфизмов гладкой кубической поверхности (1.1) над полем $\mathbf{F}$ изоморфна $ \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. Доказательство. По лемме 27 в поле $\mathbf{F}$ лежит примитивный корень восьмой степени из единицы. Рассмотрим элемент порядка $8$
Рассмотрим группу $G$, которая состоит из элементов вида
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} 1 & \alpha^3 & -\alpha^6 & 0\\ 0 & 1 & \alpha^3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & \alpha & c & 1 \end{pmatrix} \in \mathrm{PGL}_4(\overline{\mathbf{F}}),
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где $\alpha$ и $c$ – это элементы из $\overline{\mathbf{F}}$, удовлетворяющие уравнениям
Несложно видеть, что $\alpha, c \in \mathbf{F}$. Действительно, из леммы 26 следует, что $\alpha \in \mathbf{F}$. Более того, по той же лемме мы получаем, что примитивный корень четвертой степени из единицы $\mathbf{i} \in \mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ лежит в поле $\mathbf{F}$. Если $\alpha=0$, то уравнение (5.3) имеет ровно три решения: $0$ и $\pm \mathbf{i}$. Если $\alpha \neq 0$, то из (5.2) мы получаем, что $\alpha^4=\pm 1$. Значит, уравнение (5.3) в этом случае имеет вид $c^3+c \pm 1=0$. Корнями полинома $c^3+c+1$ являются элементы $1$ и $1 \pm \mathbf{i}$ из поля $\mathbf{F}$, а корнями полинома $c^3+c-1$ являются элементы $-1$ и $-1 \pm \mathbf{i}$, которые тоже содержатся в поле $\mathbf{F}$. Значит, элементы группы $G$ лежат в $\mathrm{PGL}_4(\mathbf{F})$. Обозначим через $(\alpha,c)$ элемент (5.1) в группе $G$. Читатель с легкостью может обнаружить следующее соотношение между элементами в группе $G:$
$$
\begin{equation}
(\alpha_1, c_1) \cdot (\alpha_2,c_2)=(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_1\alpha_2^3+c_1+c_2).
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Ясно, что группа $G$ имеет порядок $27$, а из (5.4) следует, что все неединичные элементы имеют порядок $3$ и $G$ не абелева. Поэтому группа $G$ изоморфна $\mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3)$. Группа $G$ и элемент $h$, действующие на проективное пространство $\mathbb{P}^3$ с однородными координатами $x$, $y$, $z$, $t$, оставляют на месте гладкую кубическую поверхность, заданную уравнением (1.1). Значит, группа автоморфизмов кубической поверхности (1.1) содержит подгруппу порядка $216$. По теореме 1, $(\mathrm{ii})'$ и замечанию 1 группа автоморфизмов гладкой кубической поверхности (1.1) над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ изоморфна группе $\mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$, которая имеет порядок $216$. Это означает, что группа автоморфизмов кубической поверхности (1.1) над полем $\mathbf{F}$ изоморфна $\mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. Лемма доказана. Лемма 29. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $2$. Предположим, что поле $\mathbf{F}$ содержит примитивный корень восьмой степени из единицы $\zeta_8 \in \mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$. Пусть дана гладкая кубическая поверхность $S$ над полем $\mathbf{F}$. Пусть $H$ – циклическая группа порядка $8$ в группе автоморфизмов поверхности $S$. Тогда $H$ с точностью до сопряжения порождается элементом Над алгебраически замкнутым полем характеристики, не равной $2$, лемма непосредственно вытекает из [7; § 9.5.1]. Лемма 30. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики $3$, содержащее примитивный корень восьмой степени из единицы $\zeta_8$. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$ такая, что Доказательство. Пусть $h \in \operatorname{Aut}(S)$ – автоморфизм порядка $8$. Тогда по лемме 29 автоморфизм $h$ с точностью до сопряжения имеет вид (5.5). Обозначим через $x$, $y$, $z$, $t$ однородные координаты на $\mathbb{P}^3$, в которых $h$ имеет вид (5.5). Тогда автоморфизм $h$ действует на мономы умножением на корень восьмой степени из единицы. Приведем таблицу, в которой каждому моному третьей степени относительно переменных $x$, $y$, $z$, $t$ соотнесен коэффициент, на который он умножается при действии элементом $h$.
Таблица 4.Таблица мономов третьей степени с действием $h$
Из табл. 4 видно, что гладкая кубическая поверхность, инвариантная относительно действия $h$, изоморфна какой-то из кубических поверхностей вида при $a,b,c,d \in \mathbf{F}^*$. Заметим, что если хотя бы один из коэффициентов $a,b,c$ или $d$ равен нулю, то (5.7) будет особой поверхностью. С помощью замены координат
$$
\begin{equation*}
x \mapsto x, \qquad y \mapsto y, \qquad -\frac{d}{c}z \mapsto z, \qquad -\frac{bc}{d^2}t \mapsto t
\end{equation*}
\notag
$$
гладкая кубическая поверхность (5.7) преобразуется в гладкую кубическую поверхность (5.6) с $\alpha={ad^6}/(b^3c^4)$. Лемма доказана. Лемма 31. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики $3$, которое содержит нетривиальный корень восьмой степени из единицы $\zeta_8 \in \mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$, изоморфная кубической поверхности (5.6) при некотором $\alpha \in \mathbf{F}^*$. Предположим, что все прямые на $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над полем $\mathbf{F}$. Тогда $\alpha \in \mathbf{F}^8$. Доказательство. Зафиксируем $\alpha \in \mathbf{F}^*$ такое, что поверхность $S$ изоморфна кубической поверхности $S'$, которая задана уравнением
Прямая $l$, заданная системой уравнений в $\mathbb{P}^3$ лежит на поверхности $S'$. Рассмотрим пучок гиперплоскостей в $\mathbb{P}^3_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$, проходящих через прямую $l$. Любая гиперплоскость в этому пучке задается уравнением
$$
\begin{equation}
x=\lambda t \quad\text{при } \ \lambda \in \mathbf{F}^{\mathrm{sep}} \quad\text{или } \ t=0.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Найдем все такие гиперплоскости $T$ среди (5.8), что пересечение $T$ и $S'$ состоит из трех прямых. Если $T$ определено уравнением $t=0$, то пересечение $T \cap S'$ является объединением прямой и гладкой коники. Предположим, что $T$ задается уравнением $x=\lambda t$ для некоторого $ \lambda \in \mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$. Тогда $T \cap S'$ задано уравнением Пусть Найдем все такие $\lambda$, что полином $f$ является произведением двух различных линейных однородных полиномов. Проделав несложные вычисления, можно убедиться, что $f$ является произведением двух различных линейных однородных полиномов тогда и только тогда, когда или $\lambda =0$, или Значит, из (5.9) следует, что
$$
\begin{equation*}
f=(\lambda^2t-z)^2-\lambda y^2=(\lambda^2 t-z-\mu y)(\lambda^2 t-z+\mu y),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mu \in \mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ и $\mu^2=\lambda$. Так как все прямые на $S'_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над $\mathbf{F}$, мы получаем, в частности, что прямая
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} x=\lambda t,\\ \lambda^2 t-z \pm \mu y=0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
определена над $\mathbf{F}$. То есть $\mu \in \mathbf{F}$ или, что то же самое, $\lambda \in \mathbf{F}^2$. Значит, согласно (5.9) мы получаем, что существует такое $\gamma \in \mathbf{F}^*$, что $\alpha=\gamma^8$.
Лемма доказана. Лемма 32. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики $3$, которое содержит примитивный корень восьмой степени из единицы $\zeta_8 \in \mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$, изоморфная кубической поверхности (5.6) при некотором $\alpha \in \mathbf{F}^*$. Предположим, что все прямые на $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над полем $\mathbf{F}$. Тогда $S$ изоморфна гладкой кубической поверхности (1.1). Доказательство. По лемме 31 гладкая кубическая поверхность $S$ изоморфна поверхности, заданной уравнением (5.6) для некоторого ненулевого элемента $\alpha \in \mathbf{F}^8$. То есть $\alpha = \gamma^8$ для некоторого $\gamma \in \mathbf{F}^*$. С помощью замены координат
$$
\begin{equation*}
x \mapsto \gamma^2 x, \qquad y \mapsto \gamma^3 y, \qquad z \mapsto \gamma^4 z, \qquad t \mapsto t
\end{equation*}
\notag
$$
уравнение (5.6) преобразуется в уравнение (1.1) и мы получаем требуемое.
Лемма доказана. Лемма 33 (см. [8; таблица 7]). Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$ характеристики $3$. Предположим, что $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. Тогда если $g \in \operatorname{Aut}(S)$ – элемент порядка $6$, то он лежит в классе сопряженности $E_6(a_2)$. Если $g \in \operatorname{Aut}(S)$ – элемент порядка $3$, то он лежит либо в классе сопряженности $A_2^2$, либо в классе сопряженности $A_2^3$. Лемма 34. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$ характеристики $3$. Предположим, что $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. Тогда центр группы $\operatorname{Aut}(S)$ тривиален. Доказательство. Обозначим через $Z$ центр $\operatorname{Aut}(S)$. Предположим, что $Z$ – нетривиальная группа. Тогда порядок группы $Z$ делится либо на $2$, либо на $3$. Предположим, что порядок $Z$ делится на $2$. Это значит, что существует элемент $h \in Z$ порядка $2$. Значит, для любого $g \in \operatorname{Aut}(S)$ порядка $3$ есть элемент порядка $6$, который по лемме 33 лежит в классе сопряженности $E_6(a_2)$. Из (5.10) мы немедленно получаем $g=\tau^2$. В частности, это означает, что любой элемент порядка $3$ в группе $\operatorname{Aut}(S)$ является квадратом некоторого элемента из класса сопряженности $E_6(a_2)$. Согласно лемме 5, (i) это значит, что любой элемент порядка $3$ из группы $\operatorname{Aut}(S)$ должен лежать в классе сопряженности $A_2^3$, что противоречит лемме 33.
Предположим, что порядок $Z$ делится на $3$. Тогда в группе $\operatorname{Aut}(S)$ есть элемент порядка $24$, что невозможно по лемме 8. Лемма доказана. Лемма 35. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$ характеристики $3$. Предположим, что $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. Тогда образ $\Gamma$ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ в $W(\mathrm{E}_6)$ тривиален. Доказательство. По теореме 1, $(\mathrm{ii})'$ и теореме 4, (i) мы имеем изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}) \simeq \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
причем $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ изоморфна гладкой кубической поверхности, заданной уравнением (1.1). Значит, группа $\operatorname{Aut}(S)$ изоморфна группе автоморфизмов гладкой кубической поверхности (1.1). Рассмотрим элемент $g \in \operatorname{Aut}(S)$ порядка $8$. Так как $\Gamma$ коммутирует со всеми элементами в $\operatorname{Aut}(S)$, мы получаем, что $\Gamma$ лежит в централизаторе $\mathrm{C}_{W(\mathrm{E}_6)}(g)$ элемента $g$ в группе $W(\mathrm{E}_6)$. Согласно лемме 3 в группе Вейля $W(\mathrm{E}_6)$ существует единственный класс сопряженности элементов порядка $8$ и централизатор $\mathrm{C}_{W(\mathrm{E}_6)}(g)$ элемента $g$ имеет порядок $8$. Исходя из того, что $g \in \mathrm{C}_{W(\mathrm{E}_6)}(g)$, мы получаем, что $\mathrm{C}_{W(\mathrm{E}_6)}(g)$ – циклическая группа порядка $8$, порожденная $g$. Значит, имеют место вложения
$$
\begin{equation*}
\Gamma \subset \mathrm{C}_{W(\mathrm{E}_6)}(g) \subset \operatorname{Aut}(S).
\end{equation*}
\notag
$$
Однако согласно лемме 34 центр группы $\operatorname{Aut}(S)$ тривиален. Это значит, что группа $\Gamma$ тривиальна.
Лемма доказана. Лемма 36. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики $3$, которое содержит примитивный корень восьмой степени из единицы $\zeta_8 \in \mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$, чья группа автоморфизмов Доказательство. По лемме 30 гладкая кубическая поверхность $S$ изоморфна кубической поверхности $S'$, заданной уравнением (5.6) для некоторого $\alpha \in \mathbf{F}^*$. По лемме 35 образ $\Gamma$ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ в группу Вейля $W(\mathrm{E}_6)$ тривиален. Это значит, что все прямые на $S'_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над $\mathbf{F}$. Значит, по лемме 32 гладкая кубическая поверхность $S'$ изоморфна (1.1).
Лемма доказана. Сейчас мы переходим к рассмотрению гладких кубических поверхностей над полем $\mathbf{F}$ характеристики $3$, которое не содержит примитивный корень четвертой степени из единицы. Сформулируем несколько вспомогательных лемм. Лемма 37. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над сепарабельно замкнутым полем $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $2$. Пусть $h \in \operatorname{Aut}(S)$ – автоморфизм порядка $8$. Тогда $h$ имеет три неподвижные точки на $S$. Более того, пересечение $S$ с касательным пространством в одной из фиксированных автоморфизмом $h$ точке является каспидальная кубическая кривая, а в остальных двух точках – это приводимая кривая. Доказательство. По леммам 29 и 30 автоморфизм $h$ с точностью до сопряжения действует на $\mathbb{P}^3$ как элемент
и $S$ задана уравнением для некоторого $\alpha \in \mathbf{F}^*$. Из явного вида $h$ и $S$ легко увидеть, что автоморфизм $h$ фиксирует на $S$ три точки: Пересечение $S$ с касательным пространством в точке $[1:0:0:0]$ задается системой уравнений которая соответствует кубической каспидальной кривой. Пересечение $S$ с касательным пространством в точке $[0:1:0:0]$ задается системой уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} x=0,\\ t(\alpha t^2+z^2)=0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
которая соответствует приводимой кривой. Пересечение $S$ с касательным пространством в точке $[0:0:1:0]$ задается системой уравнений
которая соответствует приводимой кривой. Лемма доказана. Лемма 38. Пусть $C$ – каспидальная кубическая кривая над полем $\mathbf{F}$ c $\mathbf{F}$-рациональной особой точкой. Тогда где группа $ \mathbf{F} \rtimes \mathbf{F}^*$ изоморфна подгруппе в группе автоморфизмов $\mathbb{P}^1_{\mathbf{F}}$, которая состоит из элементов, оставляющих на месте заданную точку $Q \in \mathbb{P}^1(\mathbf{F})$. Доказательство. Пусть $P$ – особая точка кривой $C$. Рассмотрим нормализацию $\eta \colon D \to C$, где $D_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}} \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$. Рассмотрим морфизм Из определения каспидальной кривой нетрудно видеть, что $\eta^{-1}_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}(P)$ – это точка. Так как $P \in C(\mathbf{F})$, мы получаем, что $\eta^{-1}(P) \in D(\mathbf{F})$. Это значит, что $D \simeq \mathbb{P}^1$. Морфизм $\eta$ является изоморфизмом вне $P$. Поэтому группа автоморфизмов кривой $C$ лежит в подгруппе группы $\mathrm{PGL}_2(\mathbf{F})$, состоящей из автоморфизмов, которые фиксируют $\eta^{-1}(P)$.
Лемма доказана. Лемма 39. Пусть $\mathbf{F}$ – поле характеристики, не равной $2$, не содержащее примитивный корень восьмой степени из единицы. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$. Тогда группа $\operatorname{Aut}(S)$ не содержит элементов порядка $8$. Доказательство. Допустим противное. Пусть $h \in \operatorname{Aut}(S)$ – элемент порядка $8$. Тогда по лемме 37 элемент $h$, как элемент из группы $\operatorname{Aut}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}})$, имеет три неподвижные точки на $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ и пересечение $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ с касательным пространством в неподвижных точках является каспидальной кубической кривой только для одной из трех неподвижных точек. Обозначим эту точку $P$, и пусть $C=S \cap T_{P}S$. Тогда и $P$, и $C$ определены над полем $\mathbf{F}$.
Из [5; теорема 3.7] для группы $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$, порожденной автоморфизмом $h$, имеет место вложение Это значит, что $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \subset \operatorname{Aut}(C)$. Тогда по лемме 38 имеем $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \subset \mathbf{F} \rtimes \mathbf{F}^*$. Рассмотрим проективный гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\mathrm{pr} \colon \mathbf{F} \rtimes \mathbf{F}^* \to \mathbf{F}^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как характеристика поля $\mathbf{F}$ не равна $2$, мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
\mathrm{pr}(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Но это невозможно, так как $\mathbf{F}$ не содержит примитивный корень восьмой степени из единицы.
Лемма доказана. Лемма 40. Пусть $\mathbf{F}$ – поле характеристики $3$, не содержащее примитивный корень восьмой степени из единицы. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$. Тогда выполнено неравенство $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 120$. Более того, равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathfrak{S}_5$ и $S$ изоморфна кубике Клебша. Доказательство. Из теоремы 1, $(\mathrm{ii})'$ и замечания 1 следует, что наибольшая группа автоморфизмов гладкой кубической поверхности над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ изоморфна $\mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ и имеет порядок $216$. По лемме 39 в группе $\operatorname{Aut}(S)$ нет элемента порядка $8$. Это значит, что если то $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 108$.
Рассмотрим такую гладкую кубическую поверхность $S$ над полем $\mathbf{F}$, что группа автоморфизмов $\operatorname{Aut}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}})$ является следующей наибольшей группой автоморфизмов гладких кубических поверхностей над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ после группы $\mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. Согласно теореме 1, $(\mathrm{ii})'$ это означает, что $\operatorname{Aut}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}) \simeq \mathfrak{S}_5$. Значит, порядок $\operatorname{Aut}(S)$ не больше $120$. Из примера 2 следует, что группа $\mathfrak{S}_5$ действует на кубике Клебша над полем $\mathbf{F}$. Из следствия 5 мы получаем, что гладкая кубическая поверхность $S$ единственная с точностью до изоморфизма и изоморфна кубике Клебша. Лемма доказана. § 6. Кубика ФермаВ этом параграфе мы изучаем кубику Ферма и группу $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$, которая регулярно действует на гладкой кубической поверхности. Все это время мы будем рассматривать группу $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ как группу, изоморфную группе, регулярно действующей на кубике Ферма над сепарабельно замкнутым полем характеристики, не равной $3$. Это означает, что с точностью до сопряжения $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$ действует умножением однородных координат $x$, $y$, $z$, $t$ на $\mathbb{P}^3$ на кубические корни из единицы и $\mathfrak{S}_4$ действует перестановками координат $x$, $y$, $z$, $t$. Доказательство. Допустим противное. Пусть $(a,b) \in G$ – элемент из центра группы $G$. Тогда для любого элемента $(c,d) \in G$ имеет место
$$
\begin{equation}
(a,b) \cdot (c,d)=(a \ {}^b c,bd)=(c\ {}^d a,db)=(c,d)\cdot (a,b),
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где ${}^b{c}$ и ${}^d{a}$ – результат действия $\mathfrak{S}_4$ на $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$. Так как центр $\mathfrak{S}_4$ тривиален, то из (6.1) мы получаем, что $b$ – единичный элемент. Это значит, что для любого элемента $d \in \mathfrak{S}_4$ мы имеем $a={}^d{a}$. Из определения группы $G$ следует, что $a$ – единичный элемент.
Лемма доказана. Теперь мы готовы приступить к изучению гладких кубических поверхностей с регулярным действием $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ над произвольным полем $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $3$. Лемма 42. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $3$. Предположим, что $\operatorname{Aut}(S) \supseteq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$. Тогда образ $\Gamma$ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ в $W(\mathrm{E}_6)$ тривиален. Доказательство. Так как группа $\operatorname{Aut}(S)$ содержит $ (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$, в ней существует элемент $g$ порядка $9$. Так как $\Gamma$ коммутирует с любым элементом из $\operatorname{Aut}(S)$, мы получаем, что $\Gamma$ лежит в централизаторе $\mathrm{C}_{W(\mathrm{E}_6)}(g)$ элемента $g$ в группе $W(\mathrm{E}_6)$. По лемме 3 существует единственный класс сопряженности элементов порядка $9$ в $W(\mathrm{E}_6)$ и централизатор $\mathrm{C}_{W(\mathrm{E}_6)}(g)$ элемента $g$ имеет порядок $9$. Значит, $\mathrm{C}_{W(\mathrm{E}_6)}(g)$ – циклическая группа порядка $9$, порожденная $g$. Поэтому имеют место включения
$$
\begin{equation*}
\Gamma \subset \mathrm{C}_{W(\mathrm{E}_6)}(g) \subset \operatorname{Aut}(S).
\end{equation*}
\notag
$$
Однако по лемме 41 центр $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ тривиален. Это значит, что $\Gamma$ тривиальна.
Лемма доказана. Лемма 43. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $3$. Предположим, что $\operatorname{Aut}(S) \supseteq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$. Тогда $\mathbf{F}$ содержит нетривиальный кубический корень из единицы $\omega \in \mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$. Доказательство. Так как группа $\operatorname{Aut}(S)$ содержит $ (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$, в ней существует элемент $g$ порядка $9$. По лемме 3 набором собственных значений канонического представления элемента $g$ на решетке корней $\mathrm{E}_6$ является
$$
\begin{equation*}
\zeta_9,\ \zeta_9^2,\ \zeta_9^4,\ \zeta_9^5,\ \zeta_9^7,\ \zeta_9^8.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 3 это значит, что куб $g^3$ лежит в классе сопряженности $A_2^3$. Значит, из следствия 3 мы получаем, что в $\mathbf{F}$ существует нетривиальный кубический корень из единицы.
Лемма доказана. Лемма 44. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $3$. Предположим, что $\operatorname{Aut}(S) \supseteq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$. Тогда $S$ изоморфна кубике Ферма. Доказательство. Так как $\operatorname{Aut}(S) \supseteq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$, по теореме 1 имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}) \simeq \begin{cases} (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4, &\text{если } \operatorname{char}\mathbf{F} \neq 2, \\ \mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2), &\text{если }\operatorname{char}\mathbf{F} = 2, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ изоморфна кубике Ферма. По лемме 43 существует нетривиальный кубический корень из единицы $\omega \in \mathbf{F}$. Более того, из леммы 42 следует, что образ $\Gamma$ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ в $W(\mathrm{E}_6)$ тривиален. Значит, все прямые на $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над полем $\mathbf{F}$.
Пусть $G$ – нормальная подгруппа в группе $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$, изоморфная $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$. Из примера 1 и из единственности согласно лемме 9 с точностью до сопряжения подгруппы $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ в группе $\mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)$ следует, что над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ с точностью до сопряжения эта группа действует умножением однородных координат $x$, $y$, $z$, $t$ на $\mathbb{P}^3$ на кубические корни из единицы. Из леммы 2 вытекает, что то же самое верно и над полем $\mathbf{F}$. Заметим, что для любых двух мономов третьей степени, никакой из которых не равен $x^3$, $y^3$, $z^3$, $t^3$, существует такой элемент $g \in (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$, действие которого умножает два эти монома на различные кубические корни из единицы. Поэтому гладкая кубическая поверхность, инвариантная относительно действия группы $G$, задана уравнением где $a,b,c \in \mathbf{F}^*$.Рассмотрим гиперплоскость $T$ в $\mathbb{P}^3_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$, заданную уравнением $x+\alpha y=0$, где $\alpha \in \mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ удовлетворяет уравнению $\alpha^3=a$. В пересечении гиперплоскости $T$ и кубической поверхности $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ лежат три прямые. Предположим, что $\alpha \notin \mathbf{F}$. Тогда существует элемент $\tau \in \mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$, удовлетворяющий Пересечение $\tau(T)$ и $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ снова состоит из трех прямых. Однако из (6.3) следует, что пересечение $T$ и $\tau(T)$ состоит только из одной прямой. Это означает, что не все прямые в пересечении $T$ и $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над $\mathbf{F}$. Однако согласно лемме 42 образ $\Gamma$ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ в $W(\mathrm{E}_6)$ тривиален. Поэтому все прямые $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над полем $\mathbf{F}$. Значит, $\alpha \in \mathbf{F}$.То же самое работает и для гиперплоскостей $x+\beta z=0$ и $x+\gamma t=0$, где $\beta^3=b$ и $\gamma^3=c$ соответственно. Значит, имеем $a,b,c \in \mathbf{F}^3$. Следовательно, заменой координат
$$
\begin{equation*}
x \mapsto x,\qquad \sqrt[3]{a}\, y \to y,\qquad \sqrt[3]{b}\, z \to z, \qquad \sqrt[3]{c}\, t \to t
\end{equation*}
\notag
$$
над полем $\mathbf{F}$ гладкая кубическая поверхность (6.2) преобразуется в гладкую кубическую поверхность которая является кубикой Ферма.
Лемма доказана. § 7. Поля без кубических корней из единицыВ этом параграфе мы изучаем гладкие кубические поверхности над полями характеристики, не равной $3$, которые не содержат нетривиальных кубических корней из единицы. Как и в § 6, группа $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ изоморфна группе, действующей регулярно на кубику Ферма над сепарабельно замкнутым полем характеристики, не равной $3$. То есть с точностью до сопряжения $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$ действует умножением однородных координат $x$, $y$, $z$, $t$ на $\mathbb{P}^3$ на кубические корни из единицы и $\mathfrak{S}_4$ действует перестановками координат $x$, $y$, $z$, $t$. Первая часть этого параграфа посвящена изучению возможных групп автоморфизмов гладких кубических поверхностей над полями без нетривиальных кубических корней из единицы. Затем над полями без нетривиальных кубических корней из единицы характеристики $5$ мы найдем наибольшую среди таких группу и покажем, на каких кубических поверхностях такая группа действует регулярно. В конце в качестве иллюстрации мы покажем, для каких полей имеется изоморфизм между кубикой Ферма и кубической поверхностью (1.2). Лемма 45. Пусть $G$ изоморфна некоторой подгруппе в группе автоморфизмов кубики Ферма над алгебраически замкнутым полем характеристики, не равной $2$ и $3$. Рассмотрим гомоморфизм и обозначим через $\mathrm{pr} |_G$ ограничение гомоморфизма $\mathrm{pr}$ на подгруппу $G$. Предположим, что $\mathrm{Ker}(\mathrm{pr} |_G)$ не изоморфна ни тривиальной группе, ни группе $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$. Тогда $\mathrm{Coker}(\mathrm{pr} |_G)$ не изоморфна ни $\mathfrak{S}_4$, ни $\mathfrak{A}_4$. Доказательство. Допустим противное. Тогда имеется следующая точная последовательность:
$$
\begin{equation*}
1 \to (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^i \to G \xrightarrow{\mathrm{pr}|_{G}} \mathrm{Coker}(\mathrm{pr} |_G) \to 1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $i=1$ или $2$ и $ \mathrm{Coker}(\mathrm{pr} |_G)$ изоморфна либо $\mathfrak{S}_4$, либо $\mathfrak{A}_4$. Тогда из абелевости группы $\mathrm{Ker}(\mathrm{pr} |_G)$ мы имеем гомоморфизм Имеются следующие изоморфизмы:
Группа $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ не содержит подгруппу, изоморфную $\mathfrak{A}_4$, потому что иначе группа $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_3) \subset \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ содержала бы подгруппу, изоморфную $\mathfrak{A}_4$. Однако это не так, потому что $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_3) \subset \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ не содержит четверную группу Клейна. Значит, по (7.1) мы получаем, что группа $\mathrm{Ker}(f)$ изоморфна либо $\mathfrak{S}_4$, либо $\mathfrak{A}_4$, либо $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$. Поэтому либо $\mathfrak{S}_4$, либо $\mathfrak{A}_4$, либо $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ действует тривиально сопряжениями на $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^i$. По лемме 18 централизатор любого неединичного элемента в нормальной подгруппе $ (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$ группы $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ изоморфен $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes D$, где $D$ – подгруппа в $\mathfrak{S}_4$, изоморфная либо $\mathfrak{S}_3$, либо $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$, либо $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Ни $\mathfrak{S}_4$, ни $\mathfrak{A}_4$ не лежат в этих группах. Поэтому единственный возможный случай – $\mathrm{Ker}(f) \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ и $\mathrm{Coker}(\mathrm{pr} |_G) \simeq \mathfrak{A}_4$. В этом случае $i=2$. Из доказательства леммы 18 следует, что есть только шесть элементов порядка $3$ в $\mathrm{Ker}(\mathrm{pr})$, для которых группа $D$ изоморфна $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$. Значит, этот случай тоже не реализуется. Это противоречие доказывает лемму. Лемма 46. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $2$ и $3$, не содержащее нетривиальный кубический корень из единицы. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$. Тогда $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 120$. Доказательство. Предположим, что выполнено неравенство Тогда по теореме 1, $(\mathrm{iii})'$, $(\mathrm{iii})''$, $(\mathrm{iv})'$ и $(\mathrm{iv})''$ имеем включение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \subseteq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\mathrm{pr} \colon (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4 \to \mathfrak{S}_4,
\end{equation*}
\notag
$$
который является естественной проекцией на группу $\mathfrak{S}_4$. Рассмотрим ограничение $\mathrm{pr} |_{\operatorname{Aut}(S)}$ гомоморфизма $\mathrm{pr}$ на подгруппу $\operatorname{Aut}(S)$. Ядро $\mathrm{pr} |_{\operatorname{Aut}(S)}$ – это подгруппа в нормальной подгруппе $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$ группы $ (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$. Так как $\mathbf{F}$ не содержит нетривиальный кубический корень из единицы, по следствию 3 и лемме 17 мы имеем
$$
\begin{equation}
\mathrm{Ker}(\mathrm{pr} |_{\operatorname{Aut}(S)}) \subsetneq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3.
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Так как $648 \geqslant |{\operatorname{Aut}(S)}| > 120$, получаем, что порядок группы $\operatorname{Aut}(S)$ равен либо $162$, либо $216$, либо $324$, либо $648$. Из (7.2) следует, что единственный возможный порядок равен $216$, т.е. для группы $\operatorname{Aut}(S)$ имеется точная последовательность
$$
\begin{equation*}
1 \to (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2 \to \operatorname{Aut}(S) \xrightarrow{\mathrm{pr}|_{\operatorname{Aut}(S)}} \mathfrak{S}_4 \to 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 45 следует, что это невозможно. Значит, имеет место неравенство
Лемма доказана. Лемма 47. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики $2$, не содержащее нетривиальный кубический корень из единицы. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$. Тогда Доказательство. Предположим, что $|{\operatorname{Aut}(S)}| > 720$. Тогда по теореме 1, $(\mathrm{i})'$ и $(\mathrm{i})''$ мы получаем изоморфизм $\operatorname{Aut}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}) \simeq \mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)$. Используя лемму 9 и ограничение на порядок группы автоморфизмов, мы имеем
Значит, используя лемму 11, мы получаем, что образ абсолютной группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}/\mathbf{F})$ в группу Вейля $W(\mathrm{E}_6)$ тривиален. Иными словами, все прямые на $S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$ определены над $\mathbf{F}$. Рассмотрим элемент $g \in \operatorname{Aut}(S)$ порядка $5$. По лемме 12, (i) существует $g$-инвариантная прямая $l \subset S$. Действие элементом $g$ на прямую $l$ не тривиально, так как иначе все прямые, которые пересекаются с $l$, были бы $g$-инвариантными, что невозможно по лемме 12, (i) и по тому факту, что через заданную точку на гладкой кубической поверхности может проходить не более трех прямых (см. лемму 13). Значит,
$$
\begin{equation}
\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \subset \mathrm{PGL}_2(\mathbf{F}).
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
Однако, так как $\mathbf{F}$ не содержит нетривиальный кубический корень из единицы, из леммы 10 мы получаем, что инъекция (7.3) невозможна. Это противоречие доказывает лемму. Лемма 48. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $2$, $3$ и $5$, не содержащее нетривиальный кубический корень из единицы. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$. Тогда Более того, равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathfrak{S}_5$ и $S$ изоморфна кубике Клебша. Доказательство. По лемме 46 имеет место неравенство $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 120$. По теореме 1, $(\mathrm{iv})'$ и $(\mathrm{iv})''$ равенство выполнено тогда и только тогда, когда Из примера 2 непосредственно следует, что группа $\mathfrak{S}_5$ реализуется как группа автоморфизмов кубики Клебша над полем $\mathbf{F}$.
Пусть $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathfrak{S}_5$. Тогда из следствия 5 получаем, что $S$ изоморфна кубике Клебша. Лемма доказана. Лемма 49. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики $2$, не содержащее нетривиальный кубический корень из единицы. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$. Тогда Более того, равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathfrak{S}_6$ и $S$ изоморфна гладкой кубической поверхности (1.2). Доказательство. По лемме 47 имеет место неравенство $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 720$. Если выполнено равенство, то по теореме 1, $(\mathrm{i})'$ и $(\mathrm{i})''$ мы имеем вложение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \subset \mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 9 это значит, что $\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathfrak{S}_6$. По теореме 2, (ii) эта группа реализуется как группа автоморфизмов гладкой кубической поверхности (1.2). Используя следствия 5 и 6, (ii), мы получаем, что $S$ изоморфна гладкой кубической поверхности (1.2).
Лемма доказана. Прежде чем переходить к изучению групп автоморфизмов гладких кубических поверхностей над полями характеристики $5$, которые не содержат нетривиальный кубический корень из единицы, дадим несколько лемм о подгруппах в группе $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$. Лемма 50. В группе $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ существует единственная с точностью до сопряжения подгруппа, изоморфная $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2 \rtimes \mathfrak{D}_4$. Доказательство. Обозначим через $G$ подгруппу в группе $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$, изоморфную группе $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2 \rtimes_{\phi} \mathfrak{D}_4$ для некоторого гомоморфизма
Покажем, что все такие подгруппы в группе $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ сопряжены. Рассмотрим гомоморфизм проекции
$$
\begin{equation*}
\mathrm{pr} \colon (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4 \to \mathfrak{S}_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\mathrm{pr}(G) \simeq \mathfrak{D}_4$. Рассмотрим в группе $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ действие на $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$ группой $\mathfrak{S}_4$ как представление где $V$ – векторное пространство размерности $3$ над полем $\mathbb{F}_3$, соответствующее нормальной подгруппе $ (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$ в группе $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$. Гомоморфизм $\rho$ инъективен, значит, $\rho |_{\mathfrak{D}_4}$ тоже инъективен.Докажем, что у действия $\mathfrak{D}_4$ на $V$ есть инвариантное подпространство размерности $2$. Предположим противное. Тогда либо $V$ неприводимо, либо в $V$ существует инвариантное подпространство $L$ размерности $1$. Первый случай невозможен, так как это бы означало, что над полем $\overline{\mathbb{F}}_3$ у группы $\mathfrak{D}_4$ существовало бы неприводимое представление размерности $3$, что невозможно, так как характеристика не делит размерность неприводимого представления по [12; гл. 18, следствие 4.6]. Предположим, что выполнен второй случай. Тогда по теореме Машке о вполне приводимости (см., например, [12; гл. 18, теорема 1.2]) пространство $V$ раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно действия $\mathfrak{D}_4$ подпространств размерности $1$. Это бы значило, что группа $\mathfrak{D}_4$ – коммутативна. Поэтому снова по теореме Машке получаем, что $V$ раскладывается в прямую сумму двух инвариантных относительно действия $\mathfrak{D}_4$ подпространств размерностей $1$ и $2$ соответственно. Этим мы показали существование и единственность подпространства размерности $2$ в пространстве $V$, инвариантного относительно действия $\mathfrak{D}_4$. Так как $\mathfrak{D}_4$ единственна с точностью до сопряжения в $\mathfrak{S}_4$, мы получаем требуемое. Лемма доказана. Замечание 6. С этого момента под группой $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2 \rtimes \mathfrak{D}_4$ мы будем подразумевать подгруппу в группе $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$, которая единственна с точностью до сопряжения согласно лемме 50. Пример 4. Пусть дано поле $\mathbf{F}$, не содержащее нетривиальный кубический корень из единицы. Рассмотрим проективное пространство $\mathbb{P}^3$ с однородными координатами $x$, $y$, $z$, $t$. Рассмотрим подгруппу, изоморфную $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$ в группе автоморфизмов $\mathbb{P}^3$, которая порождается элементами Лемма 51. Пусть $G$ – подгруппа в группе $ (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4 \subset W(\mathrm{E}_6)$. Предположим, что $G$ не содержит элементов из класса сопряженности $A^3_2$. Тогда $|G| \leqslant 72$ и равенство выполнено тогда и только тогда, когда Более того, в случае равенства группа $G$ с такими свойствами единственна с точностью до сопряжения. Доказательство. Рассмотрим проективный гомоморфизм
Обозначим через $\mathrm{pr}|_{G}$ ограничение гомоморфизма $\mathrm{pr}$ на группу $G$. Из леммы 17 следует, что ядро $\mathrm{Ker}(\mathrm{pr}|_{G})$ лежит в $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$. Тогда согласно лемме 45 или гомоморфизм $\mathrm{pr}|_{G}$ инъективен, или порядок группы $\mathrm{pr}(G)$ не больше $8$. Это значит, что $|G| \leqslant 72$. Рассмотрим случай $|G|=72$. Имеются две возможности для $G:$
$$
\begin{equation}
1 \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \to G \xrightarrow{\mathrm{pr}|_{G}} \mathfrak{S}_4 \to 1,
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
$$
\begin{equation}
1 \to (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2 \to G \xrightarrow{\mathrm{pr}|_{G}} \mathfrak{D}_4 \to 1.
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
Согласно лемме 45 случай (7.5) не реализуется. Рассмотрим случай (7.6). По теореме Шура–Зассенхауса (см. [9; гл. 17.4, теорема 39]) имеем
$$
\begin{equation*}
G \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2 \rtimes_{\phi} \mathfrak{D}_4
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого гомоморфизма
$$
\begin{equation*}
\phi: \mathfrak{D}_4 \to \operatorname{Aut}( (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2 ) \simeq \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 50 такая группа $ (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$ существует и она единственна с точностью до сопряжения.
Лемма доказана. Лемма 52. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики $5$, не содержащее нетривиальный кубический корень из единицы. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$ такая, что Тогда $\operatorname{Aut}(S) \subsetneq \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$. Доказательство. Из следствия 2 получаем, что в группе $\operatorname{Aut}(S)$ нет элементов из класса сопряженности $A^3_2$. Но из [8; табл. 8] и замечания 1 следует, что группа $\operatorname{Aut}(S_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}})$ содержит элементы из класса сопряженности $A^3_2$. Значит, $\operatorname{Aut}(S)$ строго вкладывается в группу $\mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.
Лемма доказана. Следствие 7. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики $5$, не содержащее нетривиальный кубический корень из единицы. Пусть $S$ – гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$. Тогда имеет место неравенство $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 72$. Более того, равенство выполняется тогда и только тогда, когда Доказательство. Из леммы 46 следует неравенство $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 120$. Согласно теореме 1, $(\mathrm{iii})''$ это значит, что $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 108$. Предположим, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \subset (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, из леммы 51 получаем неравенство $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 72$, причем равенство выполнено тогда и только тогда, когда
Теперь предположим, что $\operatorname{Aut}(S)$ лежит в следующей наибольшей группе автоморфизмов гладких кубических поверхностей над алгебраически замкнутым полем характеристики $5$. Согласно теореме 1, $(\mathrm{iii})''$ это значит, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \subset \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако по лемме 52 это значит, что порядок группы $\operatorname{Aut}(S)$ не больше $54$, что меньше, чем $72$. По теореме 1, $(\mathrm{iii})''$ следующей за предыдущей наибольшей группой автоморфизмов гладких кубических поверхностей над алгебраически замкнутым полем характеристики $5$ является группа $\mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Ее порядок равен $54$, что опять меньше, чем $72$.
Следствие доказано. Теперь мы готовы изучить гладкие кубические поверхности с действием группы $ (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2 \rtimes \mathfrak{D}_4$. Лемма 53. Пусть $\mathbf{F}$ – поле характеристики, не равной $2$ и $3$, которое не содержит нетривиальный кубический корень из единицы. Пусть $S$ – такая гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$, что $\operatorname{Aut}(S) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2 \rtimes \mathfrak{D}_4$. Тогда $S$ изоморфна кубической поверхности, заданной уравнением Доказательство. Напомним, что согласно лемме 50 и замечанию 6 группа изоморфна группе из примера 4.
Найдем все инвариантные кубические поверхности относительно действия группы $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$, которая порождается элементами (7.4). Иными словами, найдем все такие однородные полиномы $f(x,y,z,t)$ степени $3$, что действие любым элементом $g \in (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$ умножает эти полиномы на скаляры. Так как матрицы (7.4) порядка $3$ и $\mathbf{F}$ не содержит кубический корень из единицы, все такие скаляры равны $1$. Поэтому для начала найдем однородные полиномы степени $3$, инвариантные относительно действия
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Рассмотрим однородный полином
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f(x,y,z,t) &=ax^3+by^3+cx^2y+dxy^2 \\ &\qquad+x^2l_1(z,t)+y^2l_2(z,t)+xyl_3(z,t)+xg_1(z,t)+yg_2(z,t)+h(z,t), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
где $a,b,c,d \in \mathbf{F}$, через $l_1(z,t), l_2(z,t)$ и $ l_3(z,t)$ мы обозначили однородные линейные полиномы, через $g_1(z,t)$ и $g_2(z,t)$ мы обозначили однородные квадратичные полиномы и через $h(z,t)$ мы обозначили однородный кубический полином. Элемент (7.7) преобразует полином $f(x,y,z,t)$ в полином вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{f}(x,y,z,t) &=(-a-b-c-d)x^3+ay^3+(3a+2c+d)x^2y-(3a+c)xy^2 \\ &\qquad +(l_1(z,t)+l_2(z,t)+l_3(z,t))x^2+l_1(z,t)y^2{-}\,(2l_1(z,t)+l_3(z,t))xy \\ &\qquad -(g_1(z,t)+g_2(z,t))x+g_1(z,t)y+h(z,t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно заметить, что полином $f(x,y,z,t)$, удовлетворяющий имеет вид
$$
\begin{equation*}
f(x,y,z,t)=a(x^3+y^3-3xy^2)+bxy(x-y)+l(z,t)(x^2+y^2-xy)+h(z,t),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a,b \in \mathbf{F}$, $ l(z,t)$ – однородный линейный полином и $h(z,t)$ – однородный кубический полином. Применяя те же рассуждения к матрице
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
мы получаем однородный полином вида
$$
\begin{equation}
f(x,y,z,t)=a(x^3+y^3-3xy^2)+bxy(x-y)+c(z^3+t^3-3zt^2)+dzt(z-t),
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
где $a,b,c,d \in \mathbf{F}$. Поэтому все однородные кубические полиномы, инвариантные относительно действия группы $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$, порожденной элементами (7.4), имеют вид (7.9). Найдем среди полиномов вида (7.9) полуинвариантные полиномы относительно действия группы $\mathfrak{D}_4$, порожденной перестановками $(12)$ и $(1324)$ координат $x$, $y$, $z$, $t$. Рассмотрим перестановку $(12)$. Она преобразует полином (7.9) в полином
$$
\begin{equation}
\widehat{f}(x,y,z,t)=a(x^3+y^3-3yx^2)-bxy(x-y)+c(z^3+t^3-3zt^2)+dzt(z-t).
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
Нетрудно понять, что если $f(x,y,z,t)=-\widehat{f}(x,y,z,t)$, то полином $f(x,y,z,t)$ задает особую кубическую поверхность. Это значит, что инвариантные среди (7.9) полиномы относительно действия перестановкой $(12)$, задающие гладкую кубическую поверхность, имеют вид
$$
\begin{equation}
f(x,y,z,t)=a(2(x^3+y^3)-3(x^2y+xy^2))+c(z^3+t^3-3zt^2)+dzt(z-t),
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
где $a \in \mathbf{F}^*$ и $c,d \in \mathbf{F}$ – такие коэффициенты, что (7.11) задает гладкую кубическую поверхность. Применяя те же рассуждения к перестановке мы получаем соответствующий гладкой кубической поверхности полином вида
$$
\begin{equation}
f(x,y,z,t)=a(2(x^3+y^3)-3(x^2y+xy^2))+c(2(z^3+t^3)-3(z^2t+zt^2)),
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
где $a,c \in \mathbf{F}^*$. Используя полуинвариантность (7.12) относительно действия перестановкой $(1324)$, получаем
$$
\begin{equation}
f(x,y,z,t)=2(x^3+y^3)- 3(x^2y+xy^2)\pm (2(z^3+t^3)-3(z^2t+zt^2)).
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
Однако с помощью замены координат
$$
\begin{equation*}
x \mapsto x, \qquad y \mapsto y, \qquad z \mapsto -z, \qquad t \mapsto -t
\end{equation*}
\notag
$$
мы получаем, что кубические поверхности (7.13) с плюсом и с минусом изоморфны.
Лемма 53 доказана. Лемма 54. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики $5$, которое не содержит нетривиальный кубический корень из единицы. Пусть $S$ – такая гладкая кубическая поверхность над полем $\mathbf{F}$, что $\operatorname{Aut}(S) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2 \rtimes \mathfrak{D}_4$. Тогда $S$ изоморфна кубической поверхности (1.2). Доказательство. По лемме 53 получаем, что $S$ изоморфна Так как в поле $\mathbf{F}$ имеет место равенство $2=-3$, мы получаем, что кубическая поверхность (7.14) задается равенством
Заменой координат
$$
\begin{equation*}
x \mapsto x+ 2y, \qquad y \mapsto 2x+ y, \qquad z \mapsto z+ 2t, \qquad t \mapsto 2z+ t
\end{equation*}
\notag
$$
уравнение (7.15) преобразуется в уравнение Заменой координат $[x:y:z:t] \mapsto [x:t:z:y]$ уравнение (7.16) преобразуется в уравнение
Лемма доказана. Сейчас мы покажем, что кубика Ферма не изоморфна кубической поверхности (1.2) над полями, не содержащими нетривиальный кубический корень из единицы. Лемма 55. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $3$, которое не содержит нетривиальный кубический корень из единицы. Тогда кубика Ферма не изоморфна кубической поверхности (1.2). Доказательство. Рассмотрим эти гладкие кубические поверхности над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$. Прямые на кубике Ферма над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ заданы системами уравнений $\mathbb{P}^3_{\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}}$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} x+\omega^i y=0,\\ z+\omega^jt=0, \end{cases} \qquad \begin{cases} x+\omega^i z=0,\\ t+\omega^jy=0, \end{cases} \qquad \begin{cases} x+\omega^i t=0,\\ z+\omega^jy=0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
где $\omega \in \mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ – нетривиальный кубический корень из единицы и $i,j \in \{0,1,2\}$. Пусть $\mathbf{L}$ – такое расширение поля $\mathbf{F}$ степени $2$, что $\mathbf{L}=\mathbf{F}[t]/(t^2+t+1)$. Тогда из (7.17) мы получаем, что все прямые на кубике Ферма над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ определены над полем $\mathbf{L}$. Так как неединичный элемент группы Галуа отображает $\omega$ в $\omega^2$, мы получаем, что на кубике Ферма над полем $\mathbf{F}$ ровно три прямые, заданные системами уравнений
Однако на кубической поверхности (1.2) над полем $\mathbf{F}$ определено больше прямых, например,
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} x=0,\\ z=0, \end{cases} \qquad \begin{cases} y=0,\\ z=0, \end{cases} \qquad \begin{cases} x=0,\\ t=0, \end{cases} \qquad \begin{cases} x=0,\\ z+t=0 \end{cases} \text{и т.д.}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, эти кубические поверхности неизоморфны.
Лемма доказана. В связи с этой леммой можно задаться вопросом: изоморфны ли кубика Ферма и кубическая поверхность (1.2) над полями с нетривиальными кубическими корнями из единицы? Следующая лемма дает положительный ответ на этот вопрос. Лемма 56. Пусть дано поле $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $3$, содержащее нетривиальный кубический корень из единицы. Тогда кубика Ферма изоморфна кубической поверхности (1.2). Доказательство. Пусть $\omega \in \mathbf{F}$ – нетривиальный кубический корень из единицы. Тогда изоморфизм между кубикой Ферма и гладкой кубической поверхностью (1.2) может быть задан проективным преобразованием
$$
\begin{equation*}
[x:y:z:t] \mapsto [x+y:\omega x+\omega^2 y:z+t:\omega z+\omega^2 t],
\end{equation*}
\notag
$$
который отображает кубическую поверхность (1.2) в кубику Ферма.
Лемма доказана. § 8. Доказательство основных результатовВ этом параграфе мы доказываем теорему 3 и предложение 1. Доказательство теоремы 3. Докажем $(\mathrm{i})_2$. Неравенство $|{\operatorname{Aut}(S)}| \,{\leqslant}\, 25920$ следует из теоремы 1, $(\mathrm{i})'$. Существование равенства следует из [8; § 5.1]. Подгруппа порядка $25920$ в $W(\mathrm{E}_6)$ изоморфна $\mathrm{PSU}_4(\mathbb{F}_2)$. По лемме 9 она содержит подгруппу $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^4 \rtimes \mathfrak{S}_4$. По лемме 44 гладкая кубическая поверхность $S$ с регулярным действием $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^4 \rtimes \mathfrak{S}_4$ единственна с точностью до изоморфизма и изоморфна кубике Ферма.
Утверждение $(\mathrm{ii})_2$ следует из леммы 49. Докажем $(\mathrm{i})_3$. Неравенство $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 216$ следует из теоремы 1, $(\mathrm{ii})'$. Равенство следует из леммы 28. Группа порядка $216$, которая является группой автоморфизмов гладкой кубической поверхности, единственна по теореме 1, $(\mathrm{ii})'$ и изоморфна $ \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. По лемме 36 гладкая кубическая поверхность $S$, чья группа автоморфизмов
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(S) \simeq \mathcal{H}_3(\mathbb{F}_3) \rtimes \mathbb{Z}/8\mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
единственна с точностью до изоморфизма и изоморфна гладкой кубической поверхности (1.1).
Утверждение $(\mathrm{ii})_3$ непосредственно следует из леммы 40. Докажем $(\mathrm{i})_5$ и $(\mathrm{i})_{\neq 2,3,5}$. Неравенство $|{\operatorname{Aut}(S)}| \leqslant 648$ непосредственно вытекает из теоремы 1, $(\mathrm{iii})'$ и $(\mathrm{iv})'$. Равенство следует из примера 1. Группа порядка $648$, которая является группой автоморфизмов гладкой кубической поверхности, единственна по теореме 1, $(\mathrm{iii})'$ и $(\mathrm{iv})'$ и изоморфна $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$. По лемме 44 гладкая кубическая поверхность $S$, чья группа автоморфизмов изоморфна $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$, единственна с точностью до изоморфизма и изоморфна кубике Ферма. Докажем $(\mathrm{ii})_5$. Из следствия 7 мы получаем неравенство $|{\operatorname{Aut}(S)}| \,{\leqslant}\, 72$, при этом равенство в этом неравенстве выполнено тогда и только тогда, когда $\operatorname{Aut}(S)$ изоморфна $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2 \rtimes \mathfrak{D}_4$. Согласно лемме 54 такая гладкая кубическая поверхность $S$ единственна с точностью до изоморфизма и изоморфна гладкой кубической поверхности (1.2). Утверждение $(\mathrm{ii})_{\neq 2,3,5}$ следует из леммы 48. Теорема 3 доказана. Перед тем как мы докажем предложение 1, сформулируем следующие леммы. Лемма 57. Пусть дано сепарабельно замкнутое поле $\mathbf{F}$ характеристики, не равной $2$ и $3$. Тогда группа автоморфизмов кубической поверхности (1.1) над полем $\mathbf{F}$ изоморфна $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. Для полей характеристики нуль утверждение леммы следует из [7; теорема 9.5.8]. Для полей положительной характеристики это следует из [8; лемма 12.12] и теоремы 4 (i). Лемма 58. Кубическая поверхность (1.1) не изоморфна ни кубике Ферма, ни кубике Клебша, ни кубической поверхности (1.2). Доказательство. Над полем характеристики $2$ кубическая поверхность, заданная уравнением (1.1), имеет особенность в точке $[0:0:1:1]$, в то время как все остальные перечисленные кубические поверхности гладкие.
Над полем характеристики $3$ кубика Ферма не приведенная, кубическая поверхность (1.2) особая, а кубика Клебша и кубическая поверхность (1.1) гладкие. Однако эти две гладкие кубические поверхности не изоморфны, так как по теореме 1, $(\mathrm{ii})'$ и $(\mathrm{ii})'$ у них разные группы автоморфизмов над алгебраически замкнутым полем характеристики $3$. Пусть $\mathbf{F}$ – поле характеристики, не равной $2$ и $3$. По лемме 57 группа автоморфизмов кубической поверхности (1.1) над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ изоморфна $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. По теореме 1, $(\mathrm{iii})'$ и $(\mathrm{iv})'$ и замечанию 1 группа автоморфизмов кубики Ферма над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ изоморфна $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$. Из леммы 56 следует, что кубика Ферма изоморфна кубике (1.2) над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$. Значит, группа автоморфизмов кубики (1.2) изоморфна $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$. Поэтому кубическая поверхность (1.1) не изоморфна ни кубике Ферма, ни кубической поверхности (1.2). По теореме 1, $(\mathrm{iv})''$ и замечанию 1 группа автоморфизмов кубики Клебша над сепарабельно замкнутым полем характеристики, не равной $2$, $3$ и $5$, изоморфна $\mathfrak{S}_5$, а по лемме 57 группа автоморфизмов кубической поверхности (1.1) над сепарабельно замкнутым полем изоморфна $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. Над полем характеристики $5$ кубика Клебша особа, а кубическая поверхность (1.1) гладкая. Это означает, что кубическая поверхность (1.1) не изоморфна кубике Клебша. Лемма доказана. Доказательство предложения 1. Утверждение (i) является легким упражнением. Утверждение (ii) следует из леммы 58. Утверждение (iii) следует из следствия 6, (ii).
Докажем (iv). Если $\mathbf{F}$ содержит нетривиальный кубический корень из единицы, то согласно лемме 56 кубическая поверхность (1.2) и кубика Ферма изоморфны. Если $\mathbf{F}$ не содержит нетривиальный кубический корень из единицы, то согласно лемме 55 кубическая поверхность (1.2) не изоморфна кубике Ферма. Докажем (v). Если $\mathbf{F}$ – поле характеристики $3$, то (v) следует из (i). Если $\mathbf{F}$ – поле характеристики $5$, то кубика Клебша не изоморфна ни кубической поверхности (1.2), ни кубике Ферма, потому что кубика Клебша в этом случае особая, а кубика Ферма и кубическая поверхность (1.2) гладкие. Пусть $\mathbf{F}$ – поле характеристики, не равной $5$. Тогда по теореме 1, $(\mathrm{iv})''$, замечанию 1 и примеру 2 группа автоморфизмов кубики Клебша $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ изоморфна $\mathfrak{S}_5$. Из теоремы 1, $(\mathrm{iv})'$, замечания 1 и леммы 56 мы получаем, что группа автоморфизмов кубической поверхности (1.2) и кубики Ферма над полем $\mathbf{F}^{\mathrm{sep}}$ изоморфна $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3 \rtimes \mathfrak{S}_4$. Это значит, что над полем $\mathbf{F}$ кубика Клебша не изоморфна ни кубической поверхности (1.2), ни кубике Ферма. Предложение 1 доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vik25} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|