| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Локальная управляемость и граница множества достижимости управляемой системы Е. Р. Аваковa  , Г. Г. Магарил-Ильяевbcd a Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук, г. Москва b Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова c Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва d Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук, г. Владикавказ
Английская версия:
Sbornik: Mathematics, 2025, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10197e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Постановка задачи и общие результатыРассмотрим управляемую систему
$$
\begin{equation}
\dot x=\varphi(t,x,u), \qquad u(t)\in U \quad\text{для п.в. }\ t\in[t_0,t_1],
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\varphi\colon \mathbb R\times\mathbb R^n\times\mathbb R^r\to\mathbb R^n$ – отображение переменных $t$, $x$ и $u$, а $U$ – непустое подмножество $\mathbb R^r$. Пусть $g\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to \mathbb R^{m_1}$ и $f\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to \mathbb R^{m_2}$ – отображения переменных $\zeta_i\in\mathbb R^n$, $i=0,1$. Всюду далее мы предполагаем, что отображение $\varphi$ непрерывно вместе со своей частной производной по $x$, а отображения $f$ и $g$ непрерывно дифференцируемы. Пространства непрерывных вектор-функций на $[t_0,t_1]$ со значениями в $\mathbb R^n$, абсолютно непрерывных вектор-функций со значениями в $\mathbb R^n$ и существенно ограниченных вектор-функций со значениями в $\mathbb R^r$ обозначаются соответственно $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, $\operatorname{AC}([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и $L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$ (если $r=1$, то пишем $L_\infty([t_0,t_1])$). Пара $(x(\cdot),u(\cdot))\in \operatorname{AC}([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$ допустима для управляемой системы (1) (далее слово “управляемая” часто опускаем), если она удовлетворяет условиям (1). В этом случае функцию $x(\cdot)$ называем допустимой траекторией для системы (1). Множество всех допустимых траекторий для системы (1) обозначим через $D$. Пусть $y=(y_1,y_2)\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2}$. Обозначим через $D(y)=D(y,g,f)$ подмножество $D$, состоящее из тех траекторий $x(\cdot)$, для которых
$$
\begin{equation*}
g(x(t_0), x(t_1))=y_1, \qquad f(x(t_0), x(t_1))\leqslant y_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим следующее множество достижимости для системы (1) относительно пары $(g, f)$ и открытого множества $V\subset C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$:
$$
\begin{equation*}
R(V)=R(g, f, t_0,t_1,V)=\{y=(y_1,y_2)\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2} \colon \exists\,x(\cdot)\in D(y)\cap V\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $V$ совпадает со всем пространством, то мы говорим о множестве достижимости для системы (1) относительно пары $(g, f)$ и обозначаем его $R=R(g, f, t_0,t_1)$. В литературе под множеством достижимости для системы (1) обычно понимается множество значений в точке $t_1$ допустимых траекторий для системы (1), левый конец которых закреплен: $x(t_0)=x_0$ (см. [1]–[3]). Обозначим такое множество достижимости через $R_0$. Тогда если $R$ – множество достижимости, определенное выше (состоящее в данном случае из пар $(x(t_0),x(t_1))$), то, очевидно,
$$
\begin{equation*}
\{y=(y_1,y_2)\in\mathbb R^n\times\mathbb R^n \colon y_1=x_0,\, y_2\in R_0\}\subset R.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, легко показать, что $\{x_0\}\times \partial R_0\subset\partial R$ (см. текст о специальных отображениях $g$ и $f$ перед предложением 1), откуда следует, что необходимые условия для точек границы $R_0$ вытекают из необходимых условий для точек границы $R$. Заметим, что в [1] и [2] управляемая система задана на гладком многообразии. В [3], где еще добавлены фазовые ограничения, от отображения $\varphi$ требуется липшицевость по $x$, а не дифференцируемость. Определение 1. Скажем, что система (1) локально управляема относительно отображений $g$, $f$ и функции $\widehat x(\cdot)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, если для любой окрестности $V$ этой функции выполнено включение В известных определениях управляемости (локальной управляемости; см. [4], [5], [2]) предполагается, что функция $\widehat x(\cdot)$ является допустимой траекторией для системы (1). В определении 1 этого предположения нет. Далее нам понадобятся некоторые дополнительные обозначения и определения. Пусть $N\in\mathbb N$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal A_N &=\bigl\{\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_N(\cdot))\in (L_\infty([t_0,t_1]))^N \colon \\ &\qquad\qquad \overline\alpha(t)\in\Sigma^N \ \text{для п.в.}\ t\in[t_0,t_1]\bigr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Sigma^N=\bigl\{\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_N)\in \mathbb R_+^N \colon \sum_{i=1}^N\alpha_i=1\bigr\}$. Определим также множество:
$$
\begin{equation*}
\mathcal U=\{u(\cdot)\in L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r) \colon u(t)\in \operatorname{cl}U \text{ для п.в. } t\in[t_0,t_1]\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{cl}U$ обозначает замыкание $U$. Сопоставим системе (1) следующее семейство управляемых систем:
$$
\begin{equation}
\dot x =\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)\varphi(t,x,u_i(t)), \qquad \overline\alpha(\cdot)\in \mathcal A_N, \quad \overline u(\cdot)\in \mathcal U^N, \quad N\in\mathbb N,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_N(\cdot))$ и $\overline u(\cdot)=(u_1(\cdot),\dots,u_N(\cdot))$ – управляющие переменные. Это семейство можно назвать выпуклым расширением системы (1). Далее будем называть его просто выпуклой системой. Следует сказать, что, в отличие от выпуклой системы, введенной Р. В. Гамкрелидзе в монографии [6], которую авторы широко использовали в своих работах (см., например, [7], [8]), здесь при определении множества $\mathcal U$ используется не множество $U$, а его замыкание $\operatorname{cl}U$. Обозначим через $D_c$ множество всех допустимых троек $(x(\cdot),\overline \alpha(\cdot),\overline u(\cdot))$ для выпуклой системы (3), т.е. таких троек, что $(x(\cdot),\overline \alpha(\cdot),\overline u(\cdot))\in \operatorname{AC}([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathcal A_N\times \mathcal U^N$ для некоторого $N\in\mathbb N$ и удовлетворяется дифференциальное уравнение в (3). В этом случае функцию $x(\cdot)$ будем называть допустимой траекторией для выпуклой системы (3). Пусть $y=(y_1,y_2)\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2}$. Обозначим через $D_c(y)=D_c(y,g,f)$ подмножество $D_c$, состоящее из тех троек $(x(\cdot),\overline \alpha(\cdot),\overline u(\cdot))$, для которых
$$
\begin{equation*}
g(x(t_0), x(t_1))=y_1, \qquad f(x(t_0), x(t_1))\leqslant y_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично предыдущему определим множество достижимости для выпуклой системы (3) относительно пары $(g, f)$:
$$
\begin{equation*}
R_c=R_c(g, f, t_0,t_1)=\{y=(y_1,y_2)\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2} \colon \exists\,(x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))\in D_c(y)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Евклидову норму в $\mathbb R^n$ обозначаем $|\cdot|$. Значение линейного функционала $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in(\mathbb R^n)^*$ на элементе $x=(x_1,\dots,x_n)^\top\in\mathbb R^n$ ($\top$ – символ транспонирования) обозначаем $\langle \lambda,x\rangle=\sum_{i=i}^n\lambda_ix_i$. Через $(\mathbb R^n)^*_+$ обозначим множество функционалов на $\mathbb R^n$, принимающих неотрицательные значения на неотрицательных векторах. Границу множества $G\subset \mathbb R^k$ обозначаем $\partial G$. Если фиксирована функция $\widehat x(\cdot)$, то для сокращения записи частные производные отображений $f$ и $g$ по $\zeta_0$ и $\zeta_1$ в точке $(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$ записываем соответственно как $\widehat f_{\zeta_i}$ и $\widehat g_{\zeta_i}$, $i=0,1$. Пусть $(x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))\in D_c$, где $\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_N(\cdot))$ и $\overline u(\cdot)=(u_1(\cdot),\dots,u_N(\cdot))$. Обозначим через $\Lambda(x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))$ множество наборов $(p(\cdot),\lambda_g,\lambda_f)\in \operatorname{AC}([t_0,t_1],(\mathbb R^n)^*)\times(\mathbb R^{m_1})\times(\mathbb R^{m_2})_+^*$, удовлетворяющих соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot p(t) =-p(t)\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)\varphi_x(t,x(t),u_i(t)), \\ p(t_0)=\lambda_f\widehat {f}_{\zeta_0}+\lambda_g\widehat {g}_{\zeta_0}, \qquad p(t_1)=-\lambda_f\widehat{f}_{\zeta_1}-\lambda_g\widehat {g}_{\zeta_1}, \\ \max_{u\in \operatorname{cl}U}\langle p(t),\,\varphi(t,x(t),u)\rangle=\langle p(t),\,\dot {x}(t)\rangle \quad\text{почти всюду на }\ [t_0,t_1]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Ясно, что нулевой набор этим соотношениям удовлетворяет. Заметим, что если $(\widehat x(\cdot),\widehat u(\cdot))$ – допустимая пара для системы (1), то с учетом условия максимума в (4) при $N=1$ (тогда $\widehat\alpha_1(\cdot)=1$ и обозначим $\widehat u_1(\cdot)=\widehat u(\cdot)$) для п.в. $t\in[t_0,t_1]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \max_{u\in U}\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),u)\rangle &\geqslant \langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),\widehat u(t))\rangle \\ &=\langle p(t),\dot{\widehat x}(t)\rangle =\max_{u\in \operatorname{cl}U}\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),u)\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. левые и правые части на самом деле равны. Поэтому соотношения (4) в этом случае содержат условия принципа максимума Понтрягина для системы (1) с функцией Понтрягина $H(t,x,u,p)=\langle p,\varphi(t,x,u)\rangle$. Эти условия будем обозначать $\Lambda(x(\cdot),\overline u(\cdot))$ и называть геометрическим принципом максимума Понтрягина или принципом максимума Понтрягина в геометрической форме. Теорема 1. Пусть $(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))\in D_c$ и $\Lambda(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))=\{0\}$. Тогда система (1) локально управляема относительно отображений $g$, $f$ и функции $\widehat x(\cdot)$. Доказательство. В работах авторов (см. [8], [9]) было введено понятие локальной управляемости системы (1) с ограничениями и получены достаточные условия локальной управляемости такой системы. Приведем этот результат.
Множество достижимости для системы (1), (5) относительно открытого множества $V\subset C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ определяется так же, как введенное выше множество $R(V)$. Скажем, что система (1), (5) локально управляема относительно функции $\widehat x(\cdot)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, если для любой окрестности $V$ этой функции выполняется включение Свяжем с системой (1), (5) выпуклую систему (3), (5), где вместо множества $\mathcal U$ участвует множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal U_0=\{u(\cdot)\in L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r) \colon u(t)\in U\text{ для п.в. } t\in[t_0,t_1]\},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\operatorname{cl}U$ заменено на $U$.
Если тройка $(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))$ допустима для выпуклой системы (3), (5) (с $\mathcal U_0$ вместо $\mathcal U$), то обозначим через $\Lambda_0(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))$ множество наборов $(p(\cdot),\lambda_g, \lambda_f)\in \operatorname{AC}([t_0,t_1],(\mathbb R^n)^*)\times(\mathbb R^{m_1})^*\times(\mathbb R^{m_2})_+^*$, удовлетворяющих соотношениям в (4), где в условии максимума $\operatorname{cl}U$ заменено на $U$ и еще выполнено условие дополняющей нежесткости $\langle\lambda_f, f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\rangle=0$. Утверждение о локальной управляемости из [9] звучит так. Пусть тройка $(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))$ допустима для выпуклой системы (3), (5) (с $\mathcal U_0$ вместо $\mathcal U$). Тогда если $\Lambda_0(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))=\{0\}$, то система (1), (5) локально управляема относительно функции $\widehat x(\cdot)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Обозначим $\overline\Lambda(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))$ множество наборов $(p(\cdot),\lambda_g,\lambda_f)\in \operatorname{AC}([t_0,t_1],(\mathbb R^n)^*)\times(\mathbb R^{m_1})^*\times(\mathbb R^{m_2})_+^*$, удовлетворяющих соотношениям в (4) и еще условию дополняющей нежесткости $\langle\lambda_f,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\rangle=0$. Если в доказательстве упомянутого утверждения (см. [8]) использовать лемму об аппроксимации, приведенную в § 3 настоящей статьи, то получим усиленный вариант утверждения о локальной управляемости, который формулируется так. Пусть тройка $(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))$ допустима для выпуклой системы (3), (5). Тогда если $\overline\Lambda(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))=\{0\}$, то система (1), (5) локально управляема относительно функции $\widehat x(\cdot)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Усиление заключается в том, что тройки $(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))$ можно выбирать из более широкого множества (так как множество $U$ заменено на $\operatorname{cl}U$). Доказательство при этом остается прежним. Из этого результата уже следует теорема 1. Действительно, пусть $(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))\in D_c$ и $\Lambda(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))=\{0\}$. Рассмотрим управляемую систему (1) c ограничениями вида
$$
\begin{equation}
g_0(x(t_0),x(t_1))=0, \qquad f_0(x(t_0),x(t_1))\leqslant0,
\end{equation}
\tag{7}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_0(x(t_0),x(t_1)) &=g(x(t_0),x(t_1))-g(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)), \\ f_0(x(t_0),x(t_1)) &=f(x(t_0),x(t_1))-f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\Lambda(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))=\{0\}$, а условия дополняющей нежесткости для системы (1), (7) выполняются очевидным образом, то $\overline\Lambda(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))=\{0\}$. Поэтому из усиленного варианта утверждения о локальной управляемости следует локальная управляемость системы (1), (7), т.е. справедливо включение (6), которое в случае ограничений (7) равносильно включению (2). Это означает, что система (1) локально управляема относительно отображений $g$, $f$ и функции $\widehat x(\cdot)$. Если $(\widehat x(\cdot),\widehat u(\cdot))$ – допустимая пара для системы (1), (5), то из теоремы 1 следуют известные достаточные условия управляемости (см., например, [1], [5]) вида $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat u(\cdot))= \varnothing$. Но может оказаться, что $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat u(\cdot))\neq \varnothing$, а $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot), \widehat{\overline u}(\cdot))=\varnothing$ для некоторой тройки $(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))$ (см. примеры $1$ и $2$ в [9]). В этом случае теорема 1 усиливает указанные выше известные условия управляемости (см. пример $2$ в [9]). С другой стороны, если $\widehat x(\cdot)$ не является допустимой траекторией для системы (1), (5), то соотношения из геометрического принципа максимума Понтрягина отсутствуют. В этом случае теорема 1 дает новый аппарат для исследования подобных задач (см. примеры $1$ и $2$ в [9]). Пусть $(x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))\in D_c$, где $\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_N(\cdot))$, $\overline u(\cdot)=(u_1(\cdot),\dots, u_N(\cdot))$, и пусть $y_2\in\mathbb R^{m_2}$. Обозначим через $\Lambda_1(x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot),y_2)$ множество наборов $(p(\cdot),\lambda_g,\lambda_f)\in \operatorname{AC}([t_0,t_1],(\mathbb R^n)^*)\times(\mathbb R^{m_1})^*\times(\mathbb R^{m_2})_+^*$, удовлетворяющих соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot p(t) =-p(t)\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)\varphi_x(t,x(t),u_i(t)), \\ p(t_0)=\lambda_f\widehat {f}_{\zeta_0}+\lambda_g\widehat {g}_{\zeta_0}, \qquad p(t_1)=-\lambda_f\widehat{f}_{\zeta_1}-\lambda_g\widehat {g}_{\zeta_1}, \\ \langle \lambda_f, f(x(t_0),x(t_1))-y_2\rangle=0, \\ \max_{u\in \operatorname{cl}U}\langle p(t),\varphi(t,x(t),u)\rangle =\langle p(t), \dot {x}(t)\rangle \quad\text{почти всюду на }\ [t_0,t_1]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Ясно, что нулевой набор этим соотношениям удовлетворяет. Теорема 2. Пусть $\widehat x(\cdot)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, $V$ – окрестность точки $\widehat x(\cdot)$, $y=(y_1,y_2)\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2}$ и $D_c(y)\ne\varnothing$. Тогда если $y\in\partial R(V)$, то $\Lambda_1(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot), y_2)\ne\{0\}$ для любой тройки $(\widehat x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))\in D_c(y)$. Доказательство. Предположим, что существует тройка $(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))\in D_c(y)$ такая, что $\Lambda_1(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot),y_2)=\{0\}$, и покажем, что в этом случае $y=(y_1,y_2)\in \operatorname{int}R(V)$ и, значит, $y\notin\partial R(V)$.
Отображение $F\colon C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\to\mathbb R^{m_2}$, действующее по правилу непрерывно дифференцируемо. Тогда из теоремы о среднем следует, что $F$ локально липшицево и, значит, существуют положительные константы $r$ и $C$ такие, что если $\|x(\cdot)-\widehat x(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}<r$, то
$$
\begin{equation}
|f(x(t_0),x(t_1))-f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))|\leqslant C\|x(\cdot)-\widehat x(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Пусть тройка $(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))\in D_c(y)$ удовлетворяет (3), и пусть для определенности
$$
\begin{equation*}
f_j(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))=y_{2j}, \quad j=1,\dots,k, \qquad f_j(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))<y_{2j}, \quad j=k+1,\dots,m_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $f=(f_1,\dots,f_{m_2})$, $y_2=(y_{21},\dots,y_{2m_2})$. Тогда, очевидно, найдется $0<\delta< 2Cr$ такое, что $U_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}(\widehat x(\cdot),\delta/(2C))\subset V$ и
$$
\begin{equation}
f_j(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))<y_{2j}-\delta, \qquad j=k+1,\dots,m_2.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Положим $f'=(f_1,\dots,f_k)$, $y_2'=(y_{21},\dots,y_{2k})$ и обозначим через $\Lambda'(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot), \widehat{\overline u}(\cdot),y_2')$ множество, аналогичное $\Lambda_1(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot),y_2)$, но где $y_2$ заменено на $y'_2$, $f$ на $f'$ и $\lambda_f=(\lambda_{f1},\dots,\lambda_{fm_2})$ на $\lambda'_f=(\lambda_{f1},\dots,\lambda_{fk})$. Из четвертого условия в (8) следует , что $\lambda_{fj}=0$, $j=k+1,\dots,m_2$, и так как по предположению $\Lambda_1(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot),y_2)=\{0\}$, то, очевидно, $\Lambda'(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot), \widehat{\overline u}(\cdot))=\{0\}$. Тогда согласно теореме 1 система (1) локально управляема относительно отображений $g$, $f'$ и функции $\widehat x(\cdot)$. Следовательно, если обозначить через $R'(V)$ множество достижимости для этой системы относительно пары $(g,f')$, то
$$
\begin{equation*}
(y_1,y_2')=(g(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)), f'(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)))\in \operatorname{int}R'(V).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что найдется $0<\varepsilon<\delta/2$ такое, что для любой пары $z'=(z_1,z'_2)\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^k$ ($z'_2=(z_{21},\dots,z_{2k})$), для которой $|z'|<\varepsilon$, существует допустимая для системы (1) функция $x(\cdot)\in U_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}(\widehat x(\cdot),\delta/2C)\subset V$, удовлетворяющая условиям
$$
\begin{equation}
g(x(t_0),x(t_1))=y_1+z_1, \qquad f_j(x(t_0),x(t_1))\leqslant y_{2j}+z_{2j}, \quad j=1,\dots,k.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Пусть вектор $(z_{2(k+1)},\dots,z_{2m_2})$ такой, что $|z|<\varepsilon$, где $z=(z_1,z_2)$ и $z_2=(z_{21},\dots,z_{2k},z_{2(k+1)},\dots,z_{2m_2})$. Так как $\|x(\cdot)-\widehat x(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}<\delta/(2C)<r$, то, используя неравенства (9) и (10), будем иметь для $j=k+1,\dots,m_2$
$$
\begin{equation*}
f_j(x(t_0),x(t_1))\leqslant f_j(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))+\frac{\delta}2< y_{2j}-\frac{\delta}2<y_{2j}-\varepsilon<y_{2j}+z_{2j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (11) это означает, что $y=(y_1,y_2)\in\operatorname{int}R(U_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)})\subset \operatorname{int}R(V)$. В теореме 2 фиксированы функция $\widehat x(\cdot)$ и ее окрестность $V$ и полученные необходимые условия для граничных точек множества достижимости зависят от этих данных. Этим устанавливается определенная двойственность утверждений теорем 1 и 2, что удобно для вывода из теоремы 2 необходимых условий для траектории локального инфимума в задаче оптимального управления, которые обобщают и усиливают классический результат – принцип максимума Понтрягина (см. [9]). Для исследования граничных точек всего множества полезны следующие необходимые условия, непосредственно вытекающие из теоремы 2. Теорема 3. Если $y=(y_1,y_2)\in\partial R$, то $\Lambda_1(x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot),y_2)\ne\{0\}$ для любой тройки $(x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))\in D_c(y)$. Теорему 3 можно записать следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\{y=(y_1,y_2)\in \partial R \colon D_c(y)\ne\varnothing\}\subset \{y=(y_1,y_2) \colon \\ &\qquad \Lambda_1(x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot), y_2)\ne\{0\} \ \forall\,(x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))\in D_c(y)\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Если в рассматриваемой задаче отображение $f$ отсутствует, пара $(\widehat x(\cdot),\widehat u(\cdot))$ допустима для системы (1) и $\widehat x(\cdot)\in D(y)$, то из теоремы 3 следует, что $\Lambda(\widehat x(\cdot), \widehat u(\cdot))\ne\{0\}$. Поэтому необходимые условия для граничной точки множества достижимости, предложенные в [1]–[3], при сделанных предположениях на систему (1) следуют из теоремы 3. В то же время эта теорема дает целое семейство соотношений для точек из границы $R$ и тем самым усиливает эти необходимые условия (см. пример 2 в [9]). С другой стороны, например, для рассматриваемого выше множества достижимости $R_0$ граничная точка может не быть концом допустимой траектории для системы (1). Поэтому для исследования таких траекторий геометрический принцип максимума Понтрягина неприменим. В то же время теорема 3 дает содержательную информацию и о таких точках (см. примеры 1 и 2 в § 2). Рассмотрим частный, но важный случай, когда значения некоторых функций, задающих отображения $g$ и $f$, фиксированы. Пусть отображения $g$ и $f$ имеют вид $g=(g_1,g_2)$, где $g_i\colon \mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R^{k_i}$, $i=1,2$, и $f=(f_1,f_2)$, где $f_i\colon \mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R^{n_i}$, $i=1,2$. Фиксируем $z=(z_1,z_2)\in \mathbb R^{k_1}\times\mathbb R^{n_1}$. Пусть $q=(q_1,q_2)\in\mathbb R^{k_2}\times\mathbb R^{n_2}$. Обозначим через $D_c((z,q))=D_c((z,q),g,f)$ подмножество $D_c$, состоящее из таких траекторий $x(\cdot)$, что
$$
\begin{equation*}
g(x(t_0),x(t_1))=(z_1,q_1), \qquad f(x(t_0),x(t_1))\leqslant (z_2,q_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим следующее множество достижимости:
$$
\begin{equation*}
R_z=R_z(g, f, t_0,t_1)=\{q=(q_1,q_2)\in\mathbb R^{k_2}\times\mathbb R^{n_2} \colon \exists\,x(\cdot)\in D_c((z,q))\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что $\{z\}\times\partial R_z\subset \partial R$. Действительно, пусть $(z,q)\in \{z\}\times\partial R_z$, $V$ – произвольная окрестность $(z,q)$ и $V_0$ – проекция $V$ на $\mathbb R^{k_2+n_2}$. Ясно, что $V_0$ – окрестность точки $q$. Так как $q\in\partial R_z$, то существуют $q'$ и $q''$ из $V_0$ такие, что $q'\in R_z$ и $q''\notin R_z$. Тогда очевидно, что точки $(z,q')$ и $(z,q'')$ принадлежат $V$, $(z,q')\in R$ и $(z,q'')\notin R$, т.е. $(z,q)\in \partial R$. Поэтому справедлива следующая формула, дающая необходимые условия для границы $R_z$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \{q\in\partial R_z \colon D_c((z,q))\ne\varnothing\}\subset\{q=(q_1,q_2)\in\mathbb R^{k_2}\times\mathbb R^{n_2} \colon \\ &\qquad \Lambda_1(x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot), (z_2,q_2))\ne\{0\}\ \forall\,(x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))\in D_c((z,q))\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Приведем одно утверждение, которое потом понадобится в примере в конце статьи. Предложение 1. Пусть $(x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))\in D_c$. Если максимум в условии (8) при данном $p(\cdot)$ достигается на единственной функции $\widehat u(\cdot)$, то $\dot x(t)=\varphi(t,x(t),\widehat u(t))$ для п.в. $t\in[t_0,t_1]$. Доказательство. Пусть $\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_N(\cdot))$ и $\overline u(\cdot)=(u_1(\cdot),\dots,u_N(\cdot))$. Обозначим через $T$ множество тех $t\in[t_0,t_1]$, для которых $0\leqslant\alpha_i(t)\leqslant1$, $i=1,\dots,N$, $\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)=1$, выполняется точное равенство в условии максимума в (8) и точное равенство $\dot x(t)=\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)\varphi(t,x(t),u_i(t))$. Ясно, что множество $T$ имеет полную меру.
Пусть $t\in T$. Обозначим через $J_0(t)$ такое подмножество $J=\{1,\dots,N\}$, что если $i\in J_0(t)$, то $\alpha_i(t)>0$ ($J_0(t)\ne\varnothing$, так как $\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)=1$). Покажем, что в данной точке $t$ справедливы равенства
$$
\begin{equation}
\langle p(t),\varphi(t,x(t),u_i(t))\rangle=\max_{u\in\operatorname{cl}U}\langle p(t),\varphi(t,x(t),u)\rangle, \qquad i\in J_0.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Допустим, что это не так, т.е. для некоторого $i_0\in J_0(t)$ в (14) выполняется строгое неравенство. Умножим обе части этого неравенства на $\alpha_{i_0}(t)$. Ясно, что для всех $i\in J$ левая часть в (14) не превосходит правой. Умножим каждое такое $i$-е неравенство (т.е. неравенство, в которое входит $u_i(\cdot)$) слева и справа на $\alpha_i(t)$, $i\in J\setminus i_0$, и затем, складывая все неравенства, получим
$$
\begin{equation*}
\biggl\langle p(t),\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)\varphi(t,x(t),u_i(t))\biggr\rangle <\max_{u\in\operatorname{cl}U}\langle p(t),\varphi(t,x(t),u)\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Но левая часть равна $\langle p(t),\dot x(t)\rangle$ и должна совпадать с правой в точке $t$ согласно условию максимума в (8). Пришли к противоречию и, следовательно, справедливы равенства (14).
Так как максимум достигается на единственной функции $\widehat u(\cdot)$, то $u_i(t)=\widehat u(t)$, $i\in J_0(t)$, и, значит, ($\alpha_i(t)=0$, $i\in J\setminus J_0(t)$)
$$
\begin{equation*}
\dot x(t)=\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)\varphi(t,x(t),u_i(t))=\sum_{i\in J_0(t)}\alpha_i(t)\varphi(t,x(t),\widehat u(t))=\varphi(t,x(t),\widehat u(t)).
\end{equation*}
\notag
$$
Это верно для любого $t\in T$.
Предложение доказано. § 2. Системы, линейные по фазовым переменнымВ этом параграфе для одного класса управляемых систем, линейных по фазовой переменной, будут даны критерии граничной точки. Рассмотрим управляемую систему
$$
\begin{equation}
\dot x=A(t)x+\psi(t,u), \qquad u(t)\in U \ \text{ для п.в. }\ t\in[t_0,t_1],
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $A\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^n$ – непрерывная матричная функция размера $n\times n$, $\psi\colon \mathbb R\times\mathbb R^r\to\mathbb R^n$ – непрерывное отображение переменных $t$ и $u$, а $U$ – непустое подмножество $\mathbb R^r$. Пусть отображения $g\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to \mathbb R^{m_1}$ и $f\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to \mathbb R^{m_2}$ действуют по правилу
$$
\begin{equation*}
g(\zeta_0,\zeta_1)=B\zeta_0+C\zeta_1, \quad f(\zeta_0,\zeta_1)=D\zeta_0+E\zeta_1 \quad\forall\,(\zeta_0,\zeta_1)\in\mathbb R^n\times\mathbb R^n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $B, C\in\mathcal L(\mathbb R^n, \mathbb R^{m_1})$ и $D, E\in\mathcal L(\mathbb R^n, \mathbb R^{m_2})$ ($\mathcal L(\mathbb R^n, \mathbb R^{m_i})$ – пространство линейных отображений из $\mathbb R^n$ в $\mathbb R^{m_i}$, $i=1,2$, которые мы отождествляем с их матрицами в стандартных базисах). Как и раньше, сопоставим (15) выпуклую систему вида (3), которая в данном случае такова:
$$
\begin{equation}
\dot x =A(t)x+\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)\psi(t,u_i(t)), \qquad \overline\alpha(\cdot)\in \mathcal A_N, \quad \overline u(\cdot)\in \mathcal U^N, \quad N\in\mathbb N.
\end{equation}
\tag{16}
$$
В этом параграфе будем обозначать через $D_c$ не множество допустимых троек для выпуклой системы (16), а множество допустимых для нее траекторий. Это удобно для формулируемых ниже результатов. Пусть $x(\cdot)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и $y_2\in \mathbb R^{m_2}$. Обозначим через $\Lambda(x(\cdot), y_2)$ совокупность троек $(p(\cdot),\lambda_g,\lambda_f)\in \operatorname{AC}([t_0,t_1],(\mathbb R^n)^*)\times (\mathbb R^{m_1})\times(\mathbb R^{m_2})_+^*$, удовлетворяющих соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot p(t) =-p(t)A(t), \\ p(t_0)=\lambda_gB+\lambda_fD, \qquad p(t_1)=-\lambda_gC-\lambda_fE, \\ \langle \lambda_f, Dx(t_0)+Ex(t_1)-y_2\rangle=0, \\ \max_{u\in \operatorname{cl}U}\langle p(t),\psi(t,u)\rangle=\langle p(t),\dot {x}(t)-A(t)x(t)\rangle \quad\text{почти всюду на }\ [t_0,t_1]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Ясно, что нулевой набор этим соотношениям удовлетворяет. Теорема 4. Пусть $\widehat y\,{=}\,(\widehat y_1,\widehat y_2)\,{\in}\,\mathbb R^{m_1}{\times}\,\mathbb R^{m_2}$. Тогда для того чтобы $\widehat y$ принадлежало $\partial R$, необходимо $\Lambda(x(\cdot),\widehat y_2)\ne\{0\}$ для любого $x(\cdot)\in D_c(\widehat y)$ и достаточно, чтобы существовала траектория $\widehat x(\cdot)\,{\in}\, D_c(\widehat y)$ такая, что $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat y_2)\,{\ne}\, \{0\}$. Доказательство. Необходимость. В рассматриваем случае условия (17) и (8) равносильны, поэтому необходимость сразу следует из теоремы 3.
Достаточность. Пусть $\widehat y=(\widehat y_1,\widehat y_2)\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2}$. Включение $\widehat x(\cdot)\in D_c(\widehat y)$ означает, что для некоторого $k\in\mathbb N$ найдутся наборы $\widehat{\overline \alpha}(\cdot)=(\widehat a_1(\cdot),\dots,\widehat a_k(\cdot))\in \mathcal A_k$ и $\widehat{\overline u}(\cdot)=(\widehat u_1(\cdot),\dots,\widehat u_k(\cdot))\in \mathcal U^k$ такие, что справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
\dot{\widehat x}(t) =A(t)\widehat x(t)+\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)\psi(t,\widehat u_i(t)),
\end{equation}
\tag{18}
$$
$$
\begin{equation}
B\widehat x(t_0)+C\widehat x(t_1)=\widehat y_1, \qquad D\widehat x(t_0)+E\widehat x(t_1)\leqslant \widehat y_2.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Покажем сначала, что $\widehat y\in \partial R_c$. Пусть $y=(y_1,y_2)\in R_c$. Тогда по определению найдется траектория $x(\cdot)\in D_c(y)$, т.е. найдутся наборы $\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot), \dots,\alpha_N(\cdot))\in \mathcal A_N$ и $\overline u(\cdot)=(u_1(\cdot),\dots,u_N(\cdot))\in \mathcal U^N$ для некоторого $N$ такие, что выполнены соотношения (16) и
$$
\begin{equation}
Bx(t_0)+Cx(t_1)=y_1, \qquad Dx(t_0)+Ex(t_1)\leqslant y_2.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Из условия максимума в (17) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i=1}^N\alpha_i(t)\langle p(t),\psi(t,u_i(t))\rangle &\leqslant\max_{u\in \operatorname{cl}U}\langle p(t),\psi(t,u)\rangle \\ &=\langle p(t),\dot {\widehat x}(t)-A(t)\widehat x(t)\rangle=\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)\langle p(t),\psi(t,\widehat u_i(t))\rangle \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для п.в. $t\in [t_0,t_1]$.
Отсюда, используя последовательно (16) и (18), первое равенство в (17), а потом второе, третье и четвертое, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&\leqslant\int_{t_0}^{t_1}\biggl(\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)\langle p(t),\psi(t,\widehat u_i(t))\rangle-\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)\langle p(t),\psi(t,u_i(t))\rangle\biggr)\,dt \\ &=\int_{t_0}^{t_1}\bigl(\langle p(t),\dot{\widehat x}(t)-A(t)\widehat x(t)\rangle-\langle p(t),\dot x(t)-A(t)x(t)\rangle\bigr)\,dt \\ &=\int_{t_0}^{t_1}\bigl(\langle p(t),\dot{\widehat x}(t)\rangle+\langle \dot p(t),\widehat x(t)\rangle\bigr)\,dt -\int_{t_0}^{t_1}\bigl( \langle p(t),\dot x(t)\rangle+\langle \dot p(t),x(t)\rangle\bigr)\,dt \\ &= \langle p(t_1),\widehat x(t_1)\rangle-\langle p(t_0),\widehat x(t_0)\rangle -\langle p(t_1),x(t_1)\rangle+\langle p(t_0),x(t_0)\rangle \\ &=-\langle\lambda_gC+\lambda_fE,\widehat x(t_1)\rangle-\langle\lambda_gB+ \lambda_fD,\widehat x(t_0)\rangle+\langle\lambda_gC+\lambda_fE,x(t_1)\rangle \\ &\qquad +\langle\lambda_gB+ \lambda_fD,x(t_0)\rangle \\ &=-\langle \lambda_g,B\widehat x(t_0)+C\widehat x(t_1)\rangle-\langle \lambda_f,D\widehat x(t_0)+E\widehat x(t_1)\rangle \\ &\qquad +\langle \lambda_g,Bx(t_0)+C x(t_1)\rangle+\langle \lambda_f,Dx(t_0)+Ex(t_1)\rangle \\ &=-\langle \lambda_g,B\widehat x(t_0)+C\widehat x(t_1)\rangle-\langle \lambda_f,D\widehat x(t_0)+E\widehat x(t_1)-\widehat y_2\rangle-\langle\lambda_f,\widehat y_2\rangle \\ &\qquad +\langle \lambda_g,Bx(t_0)+C x(t_1)\rangle+\langle \lambda_f,Dx(t_0)+Ex(t_1)-y_2\rangle+\langle \lambda_f,y_2\rangle \\ &=-\langle \lambda_g,\widehat y_1\rangle- \langle \lambda_f,\widehat y_2\rangle+\langle \lambda_g, y_1\rangle+\langle \lambda_f, y_2\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если обозначить $\widehat\lambda=(\lambda_g,\lambda_f)$, то доказанное неравенство означает, что
$$
\begin{equation}
\langle\widehat \lambda, y-\widehat y\rangle\geqslant0 \quad \forall\,y\in R_c.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Поскольку $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat y_2)\ne\{0\}$, то $\widehat\lambda\ne0$. Пусть $y_0\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2}$ такое, что $\langle\widehat\lambda,y_0\rangle<0$. Следовательно, $\langle\widehat\lambda,\alpha y_0\rangle<0$ для любого $\alpha>0$ и $\alpha y_0\notin R_c-\widehat y$ в силу (21), или $\widehat y+\alpha y_0\notin R_c$. Отсюда, так как, очевидно, $\widehat y\in R_c$, получаем $\widehat y\in\partial R_c$. Покажем теперь, что $\widehat y\in\partial R$. Поскольку, очевидно, $R\subset R_c$, то надо проверить, что в любой окрестности $\widehat y$ найдутся элементы из $R$. Пусть $u_s(\widehat{\overline \alpha};\widehat{\overline u})(\cdot)$, $s\in\mathbb N$, – последовательность управлений из леммы об аппроксимации из § 3 (все рассматриваемые здесь функции суть решения дифференциальных уравнений с ограниченными правыми частями, и поэтому они липшицевы). Согласно этой лемме последовательность
$$
\begin{equation*}
\beta_s=\int_{t_0}^{t_1}\biggl(\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)\psi(t, \widehat u_i(t))-\psi(t,u_s(\widehat{\overline \alpha};\widehat{\overline u})(t))\biggr)dt
\end{equation*}
\notag
$$
стремится к нулю при $s\to\infty$.
Для каждого $s\in\mathbb N$ обозначим через $x_s(\cdot)$ решение задачи Коши
$$
\begin{equation}
\dot x_s=A(t)x_s+\psi(t,u_s(\widehat{\overline \alpha};\widehat{\overline u})(t)), \qquad x_s(t_0)=\widehat x(t_0).
\end{equation}
\tag{22}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
B\widehat x(t_0)+Cx_s(t_1)=y_{s1}, \qquad D\widehat x(t_0)+Ex_s(t_1)\leqslant y_{s2},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
y_{s2}=\max(D\widehat x(t_0)+Ex_s(t_1), \widehat y_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $y_s=(y_{s1},y_{s2})\in R$.
Обозначим $z(t)=|\widehat x(t)-x_s(t)|$. Тогда легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
z(t)\leqslant\int_{t_0}^t\|A(\tau)\|z(\tau)\,d\tau+|\beta_s|.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, по лемме Гронуолла
$$
\begin{equation*}
|\widehat x(t_1)-x_s(t_1)|\leqslant|\beta_s|\exp\int_{t_0}^{t_1}\|A(t)\|\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\beta_s\to0$ при $s\to\infty$, то $x_s(t_1)\to \widehat x(t_1)$ при $s\to\infty$, и поэтому $y_s\to \widehat y$. Таким образом, $\widehat y\in \partial R$.
Теорема 4 доказана. Следующее утверждение будет доказано для специальных отображений $g$ и $f$, а именно, $g\colon \mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R^n\times\mathbb R^{m_1}$ и $f\colon \mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R^{m_2}$ таковы, что
$$
\begin{equation}
g(\zeta_0,\zeta_1)=(\zeta_0, C\zeta_1), \quad f(\zeta_0,\zeta_1)=E\zeta_1 \quad\forall\,(\zeta_0,\zeta_1)\in\mathbb R^n\times\mathbb R^n.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Пусть $x(\cdot)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и $y_2\in \mathbb R^{m_2}$. Здесь $\Lambda(x(\cdot), y_2)$ – совокупность троек $(p(\cdot),\lambda_g,\lambda_f)\in \operatorname{AC}([t_0,t_1],(\mathbb R^n)^*)\times (\mathbb R^{m_1})^*\times(\mathbb R^{m_2})_+^*$, удовлетворяющих соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot p(t) =-p(t)A(t), \\ p(t_1)=-\lambda_gC-\lambda_fE, \\ \langle \lambda_f, Ex(t_1)-y_2\rangle=0, \\ \max_{u\in \operatorname{cl}U}\langle p(t),\psi(t,u)\rangle=\langle p(t),\dot {x}(t)-A(t)x(t)\rangle \quad\text{почти всюду на }\ [t_0,t_1]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Теорема 5. Пусть $\widehat y=(\widehat y_1,\widehat y_2)\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2}$ и множество $U$ ограничено. Тогда для того чтобы $\widehat y$ принадлежало $\partial R$, необходимо $D_c(\widehat y)\ne\varnothing$ и $\Lambda(x(\cdot), y_2)\ne\{0\}$ для любого $x(\cdot)\in D_c(\widehat y)$ и достаточно, чтобы существовала траектория $\widehat x(\cdot)\in D_c(\widehat y)$ такая, что $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat y_2)\ne\{0\}$. Доказательство. Необходимость. Пусть $\widehat y\in\partial R$. Тогда существует последовательность $y_k=((y_{1k},y'_{1k}),y_{2k})\in(\mathbb R^n\times\mathbb R^{m_1})\times\mathbb R^{m_2}$ из $R$, сходящаяся к $\widehat y$ при $k\to\infty$, и последовательность допустимых для системы (15) функций $x_k(\cdot)$ таких, что
Покажем, что последовательность $x_k(\cdot)$ ограничена в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Обозначим через $\gamma$ максимум $|\psi|$ на $[t_0,t_1]\times \operatorname{cl}U$. Тогда из (15) следует, что для всех $k$ и любого $t\in[t_0,t_1]$
$$
\begin{equation*}
|x_k(t)|\leqslant |x_k(t_0)|+\int_{t_0}^{t_1}\|A(t)\||x_k(t)|\,dt+\gamma(t_1-t_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме Гронуолла
$$
\begin{equation*}
|x_k(t)|\leqslant (|x_k(t_0)|+\gamma(t_1-t_0))\exp\int_{t_0}^{t_1}\|A(t)\|\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, так как последовательность $x_k(t_0)$ ограничена в силу сходимости последовательности $y_k$, получаем, что последовательность $x_k(\cdot)$ ограничена в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$.
Теперь покажем, что последовательность производных $\dot x_k(\cdot)$ ограничена в $L_\infty([t_0,t_1], \mathbb R^r)$. Действительно, так как отображение $t\mapsto A(t)$ непрерывно, то $\|A(t)\|\leqslant \kappa$ для всех $t\in[t_0,t_1]$ и некоторого $\kappa>0$. Тогда из (15) имеем
$$
\begin{equation*}
|\dot x_k(t)|\leqslant \kappa|x_k(t)|+\gamma \quad\text{для п.в. }\ t\in[t_0,t_1],
\end{equation*}
\notag
$$
и так как последовательность $x_k(\cdot)$ ограничена в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, то последовательность $\dot x_k(\cdot)$ ограничена в $L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$.
Из ограниченности последовательности $\dot x_k(\cdot)$ следует, что семейство функций $x_k(\cdot)$ равностепенно непрерывно, а поскольку оно еще и ограничено, то по теореме Арцела–Асколи оно предкомпактно в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и, таким образом, из него можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции $\widehat x(\cdot)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Можно считать, что сама последовательность $x_k(\cdot)$ сходится к этой функции. Ясно, что функции $x_k(\cdot)$ удовлетворяют выпуклой системе (16) при $N=1$, а тем самым при любом $N\in \mathbb N$. Пусть $N=n+1$. Из доказательства теоремы А. Ф. Филиппова (см. [10]) следует, что если множество $Q=\Sigma^{n+1}\times (\operatorname{cl}U)^{n+1}$ компактно, множество
$$
\begin{equation*}
G(t,x)=\left\{ \sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i(A(t)x+\psi(t,u_i))\in\mathbb R^n \colon (\alpha_1,\dots,\alpha_{n+1},u_1,\dots,u_{n+1})\in Q\right\}
\end{equation*}
\notag
$$
выпукло для любых $t\in[t_0,t_1]$ и $x\in\mathbb R^n$, а последовательность производных $\dot x_k(\cdot)$ ограничена в $L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$, то предел последовательности $x_k(\cdot)$ будет допустимой траекторией для системы (16) при $N=n+1$.
Компактность множества $Q$ очевидна. Проверим выпуклость $G(t,x)$ для любых $t\in[t_0,t_1]$ и $x\in\mathbb R^n$. Ясно, что $G(t,x)$ принадлежит выпуклой оболочке множества
$$
\begin{equation*}
A(t)x+\psi(t,U)=\{A(t)x+\psi(t,u)\in\mathbb R^n \colon u\in U\}.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, любой элемент этой выпуклой оболочки может быть представлен согласно теореме Каратеодори (см., например, [11]) как выпуклая комбинация не более чем $n+1$ элементов из множества $A(t)x+\psi(t,U)$. Таким образом, $G(t,x)$ совпадает с выпуклой оболочкой этого множества и тем самым выпукло.
Ограниченность последовательности производных в $L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$ доказана выше. Итак, функция $\widehat x(\cdot)$ – допустимая траектория для выпуклой системы (16), а поскольку $y_k\to\widehat y$ при $k\to\infty$, то $\widehat x(\cdot)\in D_c(\widehat y)$ и, значит, $D_c(\widehat y)\ne\varnothing$. Тот факт, что $\Lambda(x(\cdot),\widehat y_2)\ne\{0\}$ для любой траектории $x(\cdot)\in D_c(\widehat y)$, непосредственно следует из необходимых условий в теореме 4. Необходимость доказана. Достаточность следует из условий достаточности в теореме 4. Теорема 5 доказана. Теорема 5 в случае указанных отображений $g$ и $f$ и ограниченности множества $U$ дает полное описание границы множества достижимости. Приведем еще один критерий граничной точки, когда левый конец траекторий системы (15) закреплен. Пусть ограничения $g$ и $f$ имеют вид (23). Фиксируем $z\in\mathbb R^n$. Пусть $q=(q_1,q_2)\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2}$. Обозначим через $D_0(q)=D((x_0,q),g,f)$ подмножество $D$, образованное такими траекториями $x(\cdot)$, что
$$
\begin{equation}
x(t_0)=x_0, \qquad Cx(t_1)=q_1, \qquad Ex(t_1))\leqslant q_2.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Определим следующее множество достижимости:
$$
\begin{equation*}
R_0=R_0(g, f, t_0,t_1)=\{q=(q_1,q_2)\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2} \colon \exists\,x(\cdot)\in D_0(q)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $D_{c0}(q)=D_c((x_0,q),g,f)$ подмножество $D_c$, образованное такими траекториями $x(\cdot)$, что выполнено (26). Соответствующее множество достижимости имеет вид
$$
\begin{equation*}
R_{c0}=R_{c0}(g, f, t_0,t_1)=\{q=(q_1,q_2)\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2} \colon \exists\,x(\cdot)\in D_{c0}(q)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедлива следующая Теорема 6. Пусть $\widehat q=(\widehat q_1,\widehat q_2)\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2}$ и множество $U$ ограничено. Тогда для того чтобы $\widehat q$ принадлежало $\partial R_0$, необходимо $D_{c0}(\widehat q)\,{\ne}\,\varnothing$ и $\Lambda(x(\cdot), \widehat q_2)\ne\{0\}$ для любого $x(\cdot)\in D_{c0}(\widehat q)$ и достаточно, чтобы существовала траектория $\widehat x(\cdot)\in D_{c0}(\widehat q)$ такая, что $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat q_2)\ne\{0\}$. Доказательство. Необходимость. Пусть $\widehat q\in\partial R_0$. Тогда существует последовательность $q_k=(q_{1k},q_{2k})\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2}$ из $R_0$, сходящаяся к $\widehat q$ при $k\to\infty$, и последовательность допустимых для системы (15) траекторий $x_k(\cdot)$ таких, что
$$
\begin{equation*}
x_k(t_0)=x_0, \qquad Cx_k(t_1))=q_{1k}, \qquad Ex_k(t_1)\leqslant q_{2k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, фактически, дословно повторяя рассуждения из теоремы 5, получаем, что $D_{c0}(\widehat q)\ne\varnothing$.
Обозначим через $D((\zeta,q))=D((\zeta,q),g,f)$ подмножество $D$, образованное такими траекториями $x(\cdot)$, что
$$
\begin{equation*}
x(t_0)=\zeta, \qquad Cx(t_1)=q_1, \qquad Ex(t_1))\leqslant q_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим следующее множество достижимости:
$$
\begin{equation*}
R=\{(\zeta,q)=(\zeta,q_1,q_2)\in\mathbb R^n\times\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2} \colon \exists\,x(\cdot)\in D((\zeta,q))\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Точно так же, как в замечании после теоремы 3, показывается, что если $\widehat q\in\partial R_0$, то $(x_0,\widehat q)\in \partial R$. Тогда из теоремы 5 следует, что $\Lambda(x(\cdot),\widehat q_2)\ne\{0\}$ для любой траектории $x(\cdot)\in D_{c0}(\widehat q)$. Достаточность. Включение $\widehat x(\cdot)\in D_{c0}(\widehat q)$ означает, что для некоторого $k\in\mathbb N$ найдутся наборы $\widehat{\overline \alpha}(\cdot)=(\widehat a_1(\cdot),\dots,\widehat a_k(\cdot))\in \mathcal A_k$ и $\widehat{\overline u}(\cdot)=(\widehat u_1(\cdot),\dots,\widehat u_k(\cdot))\in \mathcal U^k$ такие, что справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot{\widehat x}(t) =A(t)\widehat x(t)+\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)\psi(t,\widehat u_i(t)), \\ \widehat x(t_0)=x_0, \qquad C\widehat x(t_1)=\widehat q_1, \qquad E\widehat x(t_1)\leqslant \widehat q_2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем сначала, что $\widehat q\in \partial R_{c0}$. Пусть $q=(q_1,q_2)\in R_{c0}$. Тогда по определению найдется траектория $x(\cdot)\in D_{c0}(q)$, т.е. найдутся наборы $\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot), \dots,\alpha_N(\cdot))\in \mathcal A_N$ и $\overline u(\cdot)=(u_1(\cdot),\dots,u_N(\cdot))\in \mathcal U^N$ для некоторого $N$ такие, что выполнены соотношения (16) и
$$
\begin{equation}
x(t_0)=x_0, \qquad Cx(t_1)= q_1, \qquad Ex(t_1)\leqslant q_2.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Снова повторяя рассуждения из теоремы 5 после формулы (20), используя (27) вместо (20) и соотношения (24) вместо (17), придем к следующему аналогу неравенства (21):
$$
\begin{equation*}
\langle\widehat \lambda, q-\widehat q\rangle\geqslant0 \quad\forall\,q\in R_{c0},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat\lambda=(\lambda_g,\lambda_f)$.
Отсюда, как и раньше, следует, что $\widehat q\in\partial R_{c0}$. Покажем теперь, что $\widehat q\in\partial R_0$. Поскольку, очевидно, $R_0\subset R_{c0}$, то надо проверить, что в любой окрестности $\widehat q$ найдутся элементы из $R_0$. Как и в теореме 5, для каждого $s\in\mathbb N$ обозначим через $x_s(\cdot)$ решение задачи Коши (22) и положим где Ясно, что $q_s=(q_{s1},q_{s2})\in R_0$. Рассуждая теперь точно так же, как в теореме 4, получаем, что $q_s\to \widehat q$ при $s\to\infty$ и, значит, $\widehat q\in \partial R_0$.Теорема 6 доказана. Приведем два примера, показывающих возможности доказанных утверждений для построения множеств достижимости и их границ. Пример 1. Рассмотрим управляемую систему Пусть $D$, как и раньше, обозначает множество всех допустимых траекторий $x(\cdot)=(x_1(\cdot),x_2(\cdot))$ для этой системы. Мы хотим найти границу следующего множества: Будем опираться на теорему 6, поэтому приведем постановку задачи в соответствие с общими обозначениями перед этой теоремой. В примере $g(\zeta_0,\zeta_1)=(\zeta_0,\zeta_1)$, а отображение $f$ отсутствует. Фиксируем $z=0$. Пусть $q\in \mathbb R^{2}$. Тогда $D((0,q))$ – это подмножество $D$, образованное такими траекториями $x(\cdot)$, что и $R_0$ записывается так:
$$
\begin{equation*}
R_0=\{q=(q_1,q_2)\in\mathbb R^{2} \colon \exists\,x(\cdot)\in D((0,q))\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $D_c$ – множество допустимых траекторий для выпуклой системы
$$
\begin{equation}
\dot x_1(t)=\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)u_i(t), \qquad \dot x_2(t)=\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)u^2_i(t),
\end{equation}
\tag{29}
$$
где $N\in \mathbb N$, $\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_N(\cdot))\in\mathcal A_N$ и $\overline u(\cdot)=(u_1(\cdot),\dots,u_N(\cdot))\in\mathcal U^N$, а $D_c((0,q))$ – подмножество тех траекторий из $D_c$, которые удовлетворяют (26). Перейдем непосредственно к нахождению границы $R_0$. В данном случае $\Lambda(x(\cdot),q_2)$ (далее пишем просто $\Lambda(x(\cdot))$, так как $f$ отсутствует) – это совокупность пар $(p(\cdot),\lambda_g)\in \operatorname{AC}([t_0,t_1],(\mathbb R^2)^*)\times (\mathbb R^{4})^*$, где $\lambda_g=(\lambda_1,\lambda_2)$, удовлетворяющих соотношениям и ($p=(p_1,p_2)$)
$$
\begin{equation}
\max_{|u|\leqslant1}(p_1u+p_2u^2)=p_1\dot x_1(t)+p_2\dot x_2(t) \quad\text{для п.в. }\ t\in[0,1].
\end{equation}
\tag{31}
$$
Ясно, что $p_1$ и $p_2$ – константы, а условие $\Lambda(x(\cdot))\ne\{0\}$ равносильно тому, что условия (30) и (31) справедливы при $p=(p_1, p_2)\ne0$. Рассмотрим все случаи, когда $p\ne0$ и выполнено (31). 1) $p_2=0$. Пусть сначала $p_1>0$. Траектория $\widehat x(t)=(t,t)$, $t\in[0,1]$, удовлетворяет системе (29) при $N=1$, $u_1=1$, и, значит, она принадлежит $D_c(0,(1,1))$. Ясно, что $\widehat x(\cdot)$ удовлетворяет условию (31) при данном $p$. Следовательно, в силу условий достаточности в теореме 6 точка $(1,1)$ принадлежит $\partial R_0$. Других точек при данном $p$ граница $R_0$ не содержит. Действительно, из теоремы 6 следует, что “подозрительными” точками на принадлежность границе $R_0$ (т.е. удовлетворяющих необходимым условиям) являются концы таких траекторий $x(\cdot)\in D_c$, для которых $x(0)=0$ и $\Lambda(x(\cdot))\ne\{0\}$. В рассматриваемом случае максимум в условии (31) достигается, очевидно, на единственной функции $\widehat u(\cdot)=1$, и поэтому согласно предложению 1 множество указанных траекторий состоит из одной функции $\widehat x(t)=(t,t)$, $t\in[0,1]$. Следовательно, только точка $(1,1)$ может принадлежать границе $R_0$. Вместе с предыдущим это означает, что в рассматриваемой ситуации точка $(1,1)$ является границей множества достижимости $R_0$. Если $p_1<0$, то аналогичные рассуждения показывают, что в этом случае $\partial R_0$ состоит из единственной точки $(-1,1)$. 2) $p_2<0$, $p_1\ne0$. Несложный подсчет показывает, что в этой ситуации максимум в (31) достигается в точке
$$
\begin{equation*}
u_*=\begin{cases} -\dfrac{p_1}{2p_2}, &|p_1|\leqslant-2p_2, \\ -1, &p_1<-2p_2, \\ 1, & p_1>2p_2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $|p_1|\leqslant-2p_2$. Ясно, что для траектории $x(\cdot)=(x_1(\cdot),x_2(\cdot))$, определенной формулой
$$
\begin{equation*}
x(t)=\biggl(\frac{-p_1}{2p_2}\,t,\frac{p^2_1}{4p^2_2}\,t\biggr), \qquad t\in[0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
выполняется равенство (31). Эта функция является решением системы (29) при $N=1$ и $u_1=-p_1/(2p_2)$, и, значит, $x(\cdot)\in D_c((0,(q_1,q_2))$, где $q_1=-p_1/(2p_2)$, $q_2=q_1^2$. Следовательно, по теореме 6 множество точек $x(1)=(x_1(1),x^2_1(1))$, $|x_1(1)|\leqslant1$, принадлежит границе $R_0$, или
$$
\begin{equation}
\{(q_1,q_2)\in\mathbb R^2 \colon q_2=q_1^2,\, |q_1|\leqslant1\}\subset \partial R_0.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Если $p_1<2p_2$ или $p_1>-2p_2$, то аналогично предыдущему получаем, что точки $(-1,1)$ и $(1,1)$ принадлежат $\partial R_0$. Так как при любых $p_1\ne0$ и $p_2<0$ максимум в (31) достигается на единственной функции $u_*$, то так же, как в предыдущем случае, заключаем, опираясь на предложение 1, что в рассматриваемой ситуации границей $R_0$ является множество в левой части в (32). 3) $p_2>0$. Если $p_1\ne0$, то легко проверить, что максимум в (31) достигается либо в точке $-1$, либо в точке $1$. Тогда аналогично предыдущему получаем, что граница $R_0$ состоит соответственно из точек $(-1,1)$ и $(1,1)$. Пусть $p_1=0$. Здесь максимум достигается в двух точках, $-1$ и $1$. Если в выпуклой системе (29) при $N=2$ положить $\alpha_1(\cdot)=1-\alpha$, $\alpha_2(\cdot)=\alpha$, где $\alpha\in[0,1]$, $u_1=-1$ и $u_2=1$, то легко видеть, что траектория $x_\alpha(t)=((2\alpha-1)t,t)$, $t\in[0,1]$, для любого $\alpha\in[0,1]$ этой системе удовлетворяет, и ясно, что она удовлетворяют условию (31). Следовательно, $x_\alpha(\cdot)\in D_c((0,(2\alpha-1,1)))$ для любого $\alpha\in[0,1]$ и, значит, множество концов траекторий $x_\alpha(1)=(2\alpha-1,1)$, $\alpha\in[0,1]$, т.е. множество
$$
\begin{equation}
\{(q_1,q_2)\in\mathbb R^2 \colon |q_1|\leqslant1,\,q_2=1\},
\end{equation}
\tag{33}
$$
принадлежит $\partial R_0$. Покажем, что в рассматриваемом случае других точек граница не содержит. Действительно, любая траектория $x(\cdot)=(x_1(\cdot),x_2(\cdot))\in D_c$, $x(0)=0$, имеет вид
$$
\begin{equation*}
x(t)=\biggl(\int_{0}^t\biggl(\sum_{i=1}^N\alpha_i(\tau)u_i(\tau)\biggr)d\tau,t\biggr), \qquad t\in[0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $N$, где $(\alpha_i(\cdot),\dots,\alpha_N(\cdot)\in \mathcal A_N$ и $u_i(\cdot)\in\{-1,1\}$, $i=1,\dots,N$, для п.в. $t\in[0,1]$. Тогда ясно, что выражение под знаком интеграла по модулю не превосходит 1 для п.в. $\tau\in[0,1]$. Следовательно, “подозрительными точками” на принадлежность границе являются концы траекторий, которые содержатся во множестве (33) и, значит, в данном случае это множество есть $\partial R_0$. Итак, все случаи, когда $p\ne0$, рассмотрены и тем самым доказано, что
$$
\begin{equation}
\partial R_0 =\{(q_1,q_2)\in\mathbb R^2 \colon q_2=q_1^2,\,|q_1|\leqslant1\}\cup \{(q_1,q_2)\in\mathbb R^2 \colon |q_1|\leqslant1,\,q_2=1\}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Отметим, что поскольку $|u|\,{<}\,1$, то для исследования точек отрезка $\{(q_1,q_2)\,{\in} \mathbb R^2 \colon |q_1|\leqslant1,\, q_2=1\}$ геометрический принципа максимума Понтрягина (см. [9]) и необходимые условий для траектории геометрического локального инфимума (см. [1], [2]) неприменимы. Если в примере считать, что $|u|\leqslant1$, то принадлежность $\partial R_0$ правой части равенства (34) можно доказать, используя необходимые условия для траектории геометрического локального инфимума. Чтобы воспользоваться геометрическим принципом максимума для доказательства такой принадлежности, необходимо показать, что все точки $q\in\partial R_0$ являются концами траекторий из $D((0,q))$. Пример 2. Рассмотрим следующую управляемую систему: где $g\colon \mathbb R\to\mathbb R$ – непрерывная функция. Пусть снова $D$ – множество всех допустимых траекторий $x(\cdot)=(x_1(\cdot),x_2(\cdot))$ для этой системы. Тогда ее множество достижимости имеет вид Доказательство. Для любых $u_i\in \mathbb R$, $i=1,2$, разных знаков найдутся такие $\alpha_i \in [0,1]$, $i=1,2$, $\alpha_1+\alpha_2=1$, что тройка $(0,0), (\alpha_1,\alpha_2), ((u_1,0), (u_2,0))$ допустима для системы и $x_1(0)=0$, $x_1(1)=0$.
В обозначениях, приведенных перед включением (13), это означает, что все такие тройки принадлежат $D_c((0,0))$. Поскольку $0\in \partial R_0$, то согласно (13) для каждой такой тройки найдется ненулевая вектор-функция $p(\cdot)=(p_1(\cdot), p_2(\cdot))$, удовлетворяющая условиям
$$
\begin{equation}
\dot p_1(t)=-p_2(t)(\alpha_1 g(u_1)+\alpha_2 g(u_2)), \qquad \dot p_2(t)=0,
\end{equation}
\tag{36}
$$
$$
\begin{equation}
\max_{u\in \mathbb R,\,v\geqslant0}(p_1(t)u + p_2(t)v)=\langle p(t),0\rangle=0 \quad\text{для п.в. }\ t\in[0,1].
\end{equation}
\tag{37}
$$
Из (37) вытекает, что $p_1(\cdot)=0$. Следовательно, константа $p_2$ не равна нулю. Тогда первое соотношение в (36) превращается в равенство справедливое для всех указанных $u_i\in \mathbb R$ и соответствующих $\alpha_i \in [0,1]$, $i=1,2$, $\alpha_1+\alpha_2=1$, удовлетворяющих первому соотношению в (35), из которого следует, что $\alpha_1 = u_2/(u_2-u_1)$ и $\alpha_2= -u_1/(u_2-u_1)$. Второе соотношению в (35) выполнено всегда.Подставляя в (38) выражения для $\alpha_i$, $i=1,2$, получаем, что $u_2g(u_1)=u_1g(u_2)$ для любых элементов $u_1$ и $u_2$ разных знаков из $\mathbb R$, или
$$
\begin{equation*}
\frac{g(u)}{u}=\mathrm{const} \quad \forall\, u\in \mathbb R, \quad u\ne0,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $g(u)=au$ для всех $u\in \mathbb R$, $u\ne0$, и некоторого $a$.
Тройка $(0,0), (\alpha_1,\alpha_2), ((0,0), (0,0))$, очевидно, принадлежит $D_c((0,0))$, и тогда из (38) при $u_1=u_2=0$ вытекает, что $g(0)=0$. Следовательно, равенство $g(u)=au$ справедливо и при $u=0$. Теперь элементарные вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
x_2(1)=\int_0^1(x_1(t)g(\dot x_1(t))+v(t))\,dt=a\frac{x_1^2(1)}2+\int_0^1v(t)\,dt>a\frac{x_1^2(1)}2.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 2 доказано. § 3. ДополнениеПусть $\mathcal M$ – топологическое пространство. Через $C(\mathcal M,Z)$ обозначаем пространство непрерывных ограниченных отображений $F\colon \mathcal M\to Z$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|F\|_{C(\mathcal M, Z)}=\sup_{x\in \mathcal M}\|F(x)\|_Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Совокупность липшицевых функций в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ с константой Липшица $L$ обозначим через $Q_L$. Лемма об аппроксимации. Пусть $M$ – ограниченное множество в $C([t_0, t_1],\mathbb R^n)$, $\Omega$ – ограниченное множество в $\mathbb R^n$, $N\in\mathbb N$, $\widehat{\overline u}(\cdot)=(\widehat u_1(\cdot),\dots, \widehat u_{N}(\cdot))\in \mathcal U^N$ и $L>0$. Тогда отображение $F\colon C([t_0, t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times(L_\infty([t_0, t_1]))^N\to C([t_0, t_1],\mathbb R^n)$, определенное для всех $t\in[t_0, t_1]$ формулой где $\overline\alpha=(\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_N(\cdot))$, принадлежит пространству $C((M\cap Q_L)\times\Omega\times\mathcal A_N,C([t_0, t_1],\mathbb R^n))$, и для любого $\overline\alpha\in\mathcal A_N$ найдутся последовательность кусочно постоянных управлений $u_s(\overline\alpha,\widehat{\overline u})(\cdot)$, $s\in\mathbb N$, таких, что $u_s(\overline\alpha,\widehat{\overline u})(t)\in U$ для п.в. $t\in[t_0,t_1]$, и отображения $F_s\colon C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\mathcal A_N\to C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, $s\in\mathbb N$, определенные для всех $t\in[t_0,t_1]$ по правилу которые также принадлежат $C((M\cap Q_L)\times\Omega\times\mathcal A_N,C([t_0, t_1],\mathbb R^n))$ и сходятся в этом пространстве к отображению $F$ при $s\to\infty$.Если $\widehat u_i(t)\in U$ для п.в. $t\in [t_0,t_1]$, $i=1,\dots,N$ (а не $\widehat u_i(t)\in \operatorname{cl}U$, как это следует из определения $\mathcal U$), то эта лемма есть частный случай соответствующего утверждения из работы авторов [7]. Оказывается, что это утверждение остается верным и тогда, когда $\widehat{\overline u}(\cdot)\in \mathcal U^N$; нужны лишь незначительные изменения в доказательстве. БлагодарностьАвторы благодарны Ю. Л. Сачкову за предложенный им пример, послуживший стимулом для написания настоящей работы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AvaMag25} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|