| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Автополярные конические тела и многогранники М. С. Макаровab, В. Ю. Протасовc  a Московский центр фундаментальной и прикладной математики b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова c Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Английская версия:
Sbornik: Mathematics, 2025, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10202e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1. Антинормы и конические многогранникиТермин “антинорма” употребляется в литературе в разных значениях. Мы будем следовать наиболее распространенному определению как “вогнутая норма”. Таким образом, антинорма – это неотрицательная вогнутая положительно-однородная функция. Легко показать, что такая функция, если она не тождественно нулевая, не может быть определена на всем пространстве $\mathbb R^d$. Поэтому обычно антинорма определяется на конусе. Краткая история вопроса и примеры даны в п. 1.2. Множества уровня антинормы (“антишары”) выпуклы и неограничены; будем называть их коническими телами. В частности, коническое тело, ограниченное несколькими гиперплоскостями, – это конический многогранник. Основные геометрические свойства этих объектов мало отличаются от их аналогов в выпуклом анализе. Есть, тем не менее, существенные различия. Одно из них – феномен самодвойственности – является предметом настоящей работы. Рассмотрим конус $K \subset \mathbb R^d$ с вершиной в начале координат. Мы всегда предполагаем, что он выпуклый, замкнутый, невырожденный (с непустой внутренностью) и точечный (не содержит прямой линии). Грани конуса – его пересечения с опорными плоскостями. Вершина – грань нулевой размерности, ребро – грань размерности $1$, фасад – грань размерности $d-1$. Конус является полиэдральным, если он задается системой линейных уравнений. Внутренний луч – это тот, который выходит из вершины и проходит через внутреннюю точку. Двойственный конус определяется стандартно как $K^*= \bigl\{\boldsymbol{y} \in \mathbb R^d$: $\inf_{\boldsymbol{x} \in K} (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \geqslant 0\bigr\}$. Определение 1. Антинорма на конусе $K$ – это неотрицательная вогнутая положительно-однородная функция $f\colon K\to \mathbb R_+$. Однородность означает, что $f(\lambda \boldsymbol{x})=\lambda f(\boldsymbol{x})$, $\lambda \in \mathbb R$. Поскольку конус $K$ точечный, множитель $\lambda$ должен быть неотрицательным, кроме случая $\boldsymbol{x}=0$, иначе $\lambda\boldsymbol{x} \notin K$. Антинорма может стремиться к нулю лишь на границе $K$. Хотя она может не быть непрерывной, все ее точки разрыва расположены на границе. Удивительным образом, существуют примеры антинорм, которые не имеют непрерывного продолжения с внутренности конуса $K$ на его границу. Однако такое продолжение всегда существует и единственно для полиэдральных конусов, в частности для $K=\mathbb R^d_+$; см. [27]. Множество $G=\{\boldsymbol{x} \in K\colon f(\boldsymbol{x}) \geqslant R\}$ – это шар радиуса $R$ антинормы $f$. Поскольку оно определяется с помощью обратного неравенства ($f(\boldsymbol{x}) \geqslant R$ вместо $f(\boldsymbol{x}) \leqslant R$), его следовало бы называть “антишаром”, но мы будем использовать простую терминологию. Если $\boldsymbol{x} \in G$, $\lambda \boldsymbol{x} \in G$ для всех $\lambda \geqslant 1$, следовательно, шар антинормы неограничен. Как правило, мы имеем дело с единичными шарами, когда $R=1$. Множество $S=\partial G$ – сфера данной антинормы. Определение 2. Для данного конуса $K$ коническое тело $G$ – это замкнутое выпуклое собственное подмножество $K$ такое, что для каждого внутреннего луча $\ell \subset K$ множество $G\cap \ell$ – луч. Шар антинормы является коническим телом. Обратно, каждое коническое тело – единичный шар антинормы $f_G(\boldsymbol{x})=\sup\{\lambda > 0\colon \lambda^{-1}\boldsymbol{x} \in G\}$. Это аналог стандартного функционала Минковского. Пересечения конечного числа конических тел – коническое тело; аналогичное верно и для суммы по Минковскому. Однако в общем случае это неверно для взятия выпуклой оболочки. Данная операция заменяется на положительную выпуклую оболочку $\operatorname{co}_{+} (X)=\operatorname{co} (X)+K$, где $\operatorname{co}(\cdot)$ обозначает стандартную выпуклую оболочку. Для любого подмножества $X\subset K$ замыкание $\operatorname{co}_{+} (X)$ – это или коническое тело, или весь конус $K$. В частности, положительная выпуклая оболочка конечного множества, не содержащего начало координат, – это конический политоп. Определение 3. Конический многогранник (конический полиэдр) $G$ – это множество $P= \{\boldsymbol{x} \in K\colon (\boldsymbol{a}_j, \boldsymbol{x}) \geqslant 1,\, j=1, \dots, n\}$, где $\boldsymbol{a}_j$ – ненулевые элементы $K^*$. Таким образом, конический многогранник – это коническое тело, ограниченное несколькими гиперплоскостями. Соответствующая ему антинорма является кусочно линейной: $f_P(\boldsymbol{x})=\min_{i} (\boldsymbol{a}_i, \boldsymbol{x})$. В общем случае конический многогранник может не быть коническим политопом. Тем не менее, если конус $K$ полиэдральный, в частности если $K=\mathbb R^d_+$, то эти два определения совпадают. Для простоты дальнейшего изложения будем полагать, что $K=\mathbb R^d_+$. Так как каждая антинорма на $\mathbb R^d_+$ имеет единственное непрерывное продолжение, мы будем рассматривать только непрерывные антинормы. Как мы видим, основные факты классического выпуклого анализа имеют аналоги для антинорм и для конических тел (многогранников) с заменой $\sup$ на $\inf$ и $\operatorname{co}(\cdot)$ на $\operatorname{co}_+(\cdot)$. То же самое можно сказать и о теории двойственности, за одним исключением: если в классическом выпуклом анализе существует единственное автополярное множество (единичный евклидов шар), то семейство автополярных конических тел и многогранников в $\mathbb R^d_+$ весьма богато и разнообразно. Мы дадим формальные определения и предварительные факты в § 2, а в § 3 сформулируем основные результаты. Теорема 1 позволит строить бесконечно много семейств самодвойственных антинорм и автополярных конических тел. В случае $d=2$ это даст полную классификацию автополярных множеств (теорема 3), в то время как для $d=3$ существует контрпример (теорема 4), показывающий, что не все такие множества получаются с помощью теоремы 1. Полная классификация самодвойственных антинорм и автополярных множеств оставлена в качестве открытой проблемы в § 6. Далее мы будем обозначать векторы жирными буквами, а их координаты и другие скаляры – обычными буквами: $\boldsymbol{x}=(x_1, \dots, x_d)$. Евклидова норма обозначается как $|\boldsymbol{x}|$. Под проекцией мы всегда понимаем ортогональную проекцию $\mathbb R^d$ на собственное аффинное подпространство. Прообразом этого оператора является ортогональное расширение. Таким образом, ортогональное расширение множества $X \subset \mathbb R^d$ – это $\{\boldsymbol{x}+\boldsymbol{h}\colon \boldsymbol{x} \in X,\, \boldsymbol{h}\in X^{\perp}\}$, где $X^{\perp}$ обозначает ортогональное дополнение до линейной оболочки $X$. 1.2. Приложения и обзор литературыНасколько нам известно, определение 1 было дано Д. К. Мериковским [18], и первые результаты по антинормам были получены в [19], [20]. Матричные антинормы на конусах положительно определенных матриц изучались в [2], [3]; некоторые работы рассматривали антинорму Минковского $f(A)=(\operatorname{det}A)^{1/d}$ и $q$-антинормы Шаттена $f(A)=(\operatorname{tr}A)^{1/q}$, $q \in (-\infty, 1]$; см. также [4] о расширении алгебр фон Неймана и [17] об антинормах на кривых Радона. Позднее антинормы были независимо определены в [24] для анализа бесконечных произведений случайных матриц. Антинормы применялись для изучения линейных динамических систем вида $\dot{\boldsymbol{x}}=A(t)\boldsymbol{x}$, $t\geqslant 0$ (непрерывное время), и $\boldsymbol{x}_{k+1}=A(k)\boldsymbol{x}_k$, $k\geqslant 0$ (дискретное время), где матрица $A(\cdot)$ выбирается независимо из данного компактного множества матриц для каждого значения аргумента. Если система асимптотически устойчива, т.е. все ее траектории $\boldsymbol{x}_k$ стремятся к нулю при $k\to \infty$, то эта система обладает выпуклой функцией Ляпунова (норма Ляпунова). Данная норма является основным инструментом для доказательства устойчивости [13], [21], [14]. Однако для других типов устойчивости норма Ляпунова может не существовать, например, для устойчивости почти всюду, когда почти все траектории стремятся к нулю [5], [7]. Тем не менее в данном случае функция Ляпунова может быть построена как вогнутая однородная функция, т.е. антинорма [12], [26], [25]. Аналогично устроена проблема стабилизируемости, когда существование по крайней мере одной устойчивой траектории доказывается с помощью подходящей антинормы [1], [6], [8]–[10], [29]. Поскольку нетривиальная антинорма не может быть определена на всем пространстве, этот принцип применим к системам с инвариантным конусом, в частности для положительных систем. Двойственные нормы и антинормы естественным образом возникают при рассмотрении двойственных систем с транспонированными матрицами [16], [23], [27], а также в приложениях к выпуклой тригонометрии в оптимальном управлении [15]. Замечание 1. Поскольку положительный однородный функционал не может быть вогнутым на всем пространстве $\mathbb R^d$, антинормы обычно определяются на выпуклых конусах. В некоторых работах рассматриваются семейства антинорм на разбиениях $\mathbb R^d$ на выпуклые конусы. Эквивалентное определение использует функционалы Минковского на звездных множествах [22], [28]. § 2. Двойственность2.1. Двойственные антинормы и полярные конические телаОпределение 4. Для антинормы $f$ на $\mathbb R^d_+$ двойственная антинорма определяется как $f^{*}(\boldsymbol{y})=\inf_{f(\boldsymbol{x}) \geqslant 1}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})$. Мы также будем записывать $f^{*}(\boldsymbol{y})=\inf_{\boldsymbol{x} \in \mathbb R^d_+}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})/f(\boldsymbol{x})$, предполагая, что точная нижняя грань берется по всем таким точкам $x$, что $f(\boldsymbol{x})\ne 0$. Определение 5. Для конического тела $G\subset \mathbb R^d_+$ его поляра определяется как $G^*= \bigl\{\boldsymbol{y}\in \mathbb R^d_+\colon \inf_{\boldsymbol{x} \in G}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})\geqslant 1\bigr\}$. Из данных определений следует, что если антинорма $f$ имеет единичный шар $G$, то двойственная антинорма $f^*$ имеет единичный шар $G^*$. Основные свойства двойственности очень схожи с теми, которые представлены в классическом выпуклом анализе: $f(\boldsymbol{x}) f^*(\boldsymbol{y}) \leqslant (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ (аналог неравенства Юнга); $f^{**}=f$, $G^{**}=G$ (аналоги теоремы Фенхеля–Моро и теоремы о биполяре); $(G_1 \cap G_2)^*=\operatorname{co}_s \{G_1^*, G_2^*\}$, $(G_1 \cup G_2)^*=(\operatorname{co}_s \{G_1, G_2\})^*=G_1^* \cap G_2^*$. Первое и третье свойства следуют напрямую из определений. Для доказательства второго свойства о биполяре и применении преобразования двойственности дважды см. [11]. Формально поляра может быть определена для любого множества $M\subset \mathbb R^d_+$ по следующей формуле:
$$
\begin{equation*}
M^*=\Bigl\{\boldsymbol{y} \in \mathbb R^d_+\colon \inf_{\boldsymbol{x} \in M}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \geqslant 1\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если замыкание $M$ не содержит нуля, то $M^*$ непусто. Обозначим через $G$ замыкание $\operatorname{co}_+(M)$. Тогда $G$ является коническим телом и $M^*=G^*$. Таким образом, поляра произвольного множества – это поляра его положительной выпуклой оболочки (являющейся коническим телом). В частности, для любого множества $M$, отделенного от нуля, получаем $M^{**}=\overline{\operatorname{co}_+(M)}$. Пример 1. Поляра к точке $\boldsymbol{a} \in \mathbb R^d_+$, $\boldsymbol{a} \ne 0$, так же, как и поляра к коническому многограннику $\operatorname{co}_+(\boldsymbol{x})= \{\boldsymbol{x} \in \mathbb R^d_+\colon x_i \geqslant a_i,\, i=1, \dots, d\}$, является коническим многогранником $\boldsymbol{a}^*=\{\boldsymbol{y} \in \mathbb R^d_+\colon (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{y}) \geqslant 1\}$. Этот многогранник получается с помощью гиперплоскости $H$, отсекающей угол от положительного ортанта $\mathbb R^d_+$. Данная гиперплоскость ортогональна вектору $\boldsymbol{a}$ и проходит через точку $\boldsymbol{a}/|\boldsymbol{a}|^2$ (инверсную к точке $\boldsymbol{a}$). Иногда мы считаем, что данная гиперплоскость является полярой к точке $\boldsymbol{a}$. Полярой к коническому многограннику $Q$ с вершинами $\boldsymbol{a}_1, \dots, \boldsymbol{a}_n$ (значит, $Q=\operatorname{co}_+\{\boldsymbol{a}_1, \dots,\boldsymbol{a}_n\}$) является конический многогранник $Q^*$, задающийся системой неравенств $(\boldsymbol{a}_i, \boldsymbol{x}) \geqslant 1$, $i=1, \dots, n$. Мы видим, что теория двойственности очень схожа с тем, что мы имеем в классическом случае, кроме двух исключений. Первое связано с тем, что отображение $f\mapsto f^*$ может быть разрывным [27]. А второе связано с самодвойственностью и рассматривается в следующем пункте. 2.2. СамодвойственностьАнтинорма $f$ на $\mathbb R^d_+$ самодвойственная, если $f^*=f$; коническое тело $G$ автополярное, если $G^*=G$. Самодвойственность антинормы эквивалентна автополярности ее единичного шара $G$. Это означает, что для произвольной точки $A \in \partial G$ ее поляра – гиперплоскость, опорная к $G$, и наоборот (рис. 1). Напомним, что в классическом анализе самодвойственность встречается крайне редко. Чтобы избежать путаницы, обозначим (классическую) поляру множества $Q\subset \mathbb R^d$ как $\widehat Q$. Таким образом, $\widehat Q=\{\boldsymbol{y} \in \mathbb R^d\colon \sup_{\boldsymbol{x} \in Q} (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \leqslant 1\}$. Следующий факт широко известен, но мы приведем его доказательство для удобства читателя. Факт. Евклидов единичный шар $B=\{\boldsymbol{x} \in \mathbb R^d\colon |\boldsymbol{x}|\leqslant 1\}$ является единственным подмножеством $\mathbb R^d$, для которого $\widehat B=B$. Действительно, если множество $Q$ совпадает с $\widehat Q$, то $Q \subset B$. В противном случае $Q$ содержит такую точку $\boldsymbol{y}$, что $(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y}) > 1$, и, следовательно, $\boldsymbol{y} \notin \widehat{Q}$. С другой стороны, включение $Q \subset B$ влечет $\widehat B \subset \widehat Q$, и, значит, $B \subset Q$, потому что $Q$ и $B$ автополярные. Получаем, что $Q=B$. Таким образом, не существует никаких других автополярных множеств в $\mathbb R^d$, кроме единичного евклидова шара. Тогда можно предположить, что в $\mathbb R^d_+$ также не существует автополярных конических тел. Однако ситуация полностью противоположная: существует бесконечно много автополярных конических тел, включая многогранники. Этот феномен был впервые замечен для $d=2$ в [27]. Для $d \geqslant 3$ ортогональное расширение (прообразы проекций) плоского автополярного тела также автополярно. Существуют ли другие примеры? Следующее семейство гладких автополярных тел (с гладкой строго выпуклой границей) было найдено в [27]. Мы опишем его с помощью соответствующих антинорм. Пример 2. Для произвольного набора неотрицательных чисел $\{p_i\}_{i=1}^d$, для которого $\sum_{i=1}^d p_i=1$, функция (для $p_i=0$ мы положим $({x_i}/{\sqrt{p_i}})^{p_i}=1$), является непрерывной самодвойственной антинормой. Например, если $p_1=p_2=1/2$, мы получим самодвойственную антинорму $f(x_1, x_2)=\sqrt{2x_1x_2}$ в $\mathbb R^2_+$. Соответствующий автополярный шар $G$ ограничен гиперболой. Функция (1) может быть записана в более удобной форме $f(\boldsymbol{x})=Cx_1^{p_1}\cdots x_d^{p_d}$, где $C$ – константа, зависящая от $p_i$. В [27] была допущена ошибка по вычислению этой константы, но сейчас мы ее исправили. В предложении 3 мы показываем, что самодвойственность (1) следует из результата теоремы 1 наряду с бесконечным количеством других гладких самодвойственных антинорм. Это был единственный известный нетривиальный пример гладкой самодвойственной антинормы. Теорема 1 в § 3 предоставляет большое разнообразие других примеров. Проблема существования нетривиальных автополярных конических многогранников в размерности $d\geqslant 3$ была сформулирована в [27] и положительно решена в [16]. Для любых $d\geqslant 3$ и $n\geqslant 1$ существует автополярный конический многогранник с $n$ вершинами в $\mathbb R^d_+$. Мы рассмотрим пример для случая $d=3$, $n=1$. Пример 3. В положительном ортанте $\mathbb R^3$ мы возьмем такую произвольную точку $A_1$ на оси $OX_3$, что $OA_1 > 1$ (рис. 2). Обозначим через $\alpha_1$ поляру (гиперплоскость) к $A_1$. Она параллельна $OX_1X_2$ и проходит через точку $A_1' \in OX_3$, для которой $OA_1'={1}/{OA_1}$. Обозначим через $\ell_2$ луч пересечения $\alpha_1$ и угла $OX_1X_3$. Возьмем произвольную точку $A_2 \in \ell_2$ и обозначим через $\alpha_2$ ее поляру (гиперплоскость). Пусть она пересекает $\ell_2$ в точке $A_2'$. Обозначим через $\ell_3$ и $\ell_1$ лучи пересечения $\alpha_2$ с $\alpha_1$ и с $OX_2X_3$ соответственно. Заметим, что точка $A_1$ – это конец $\ell_1$. Наконец, возьмем точку $A_3$ на $\ell_3$ такую, что все три угла $A_1A_3O$, $ A_2A_3O$ и $A_1A_3A_2$ прямые. Такая точка существует и единственна, поскольку луч $\ell_3$ является перпендикуляром к плоскости треугольника $A_1A_2O$, проходящим через его ортоцентр. Обозначим через $\alpha_3$ плоскость треугольника $A_1A_2A_3$. Тогда конический многогранник $P=\operatorname{co}_+\{A_1, A_2, A_3\}$ является автополярным. Действительно, он ограничен тремя плоскостями (не считая координатных плоскостей) $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, и каждая плоскость $\alpha_i$ является полярой к $A_i$, $i=1, 2, 3$; см. [16] для уточнения деталей. Многогранник $P$ имеет три вершины $A_1$, $A_2$, $A_3$, три грани $A_1A_2A_3$, $\ell_2A_2A_3\ell_3$, $\ell_1A_1A_3\ell_3$ и три грани на координатных плоскостях. Никаких других автополярных многогранников, кроме представленных в [16], не было известно. Теорема 1 предоставляет бесконечную серию автополярных тел, которые являются и гладкими, и полиэдральными. Перед тем как формулировать данную теорему, мы рассмотрим несколько основных свойств автополярных объектов. Доказательство. Из определения двойственности следует, что если $f\geqslant g$, то $f^*\leqslant g^*$ и, следовательно, $f\leqslant g$. Предложение доказано. Предложение 2. Расстояние от любого автополярного конического тела до начала координат равняется $1$. Доказательство. Пусть $f$ – это самодвойственная антинорма, соответствующая автополярному телу $G$. Обозначим через $A$ ближайшую к началу координат точку $G$ и через $\boldsymbol{a}$ вектор $OA$. Из аналога неравенства Юнга (см. выше) следует, что $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}) \geqslant f(\boldsymbol{a})f^*(\boldsymbol{a})$. С другой стороны, $\boldsymbol{a} \in \partial G$ и, следовательно, $f(\boldsymbol{a})=1$, поэтому $f^*(\boldsymbol{a})=1$. Таким образом, $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}) \geqslant 1$. Гиперплоскость $H$, проходящая через $A$ ортогонально к $\boldsymbol{a}$, – это опорная плоскость к $G$. Следовательно, ее поляра $H^*$, которая является точкой $(1/|\boldsymbol{a}|^2)A$, лежит на единичной сфере антинормы $f^*=f$. Получаем, что длина $\boldsymbol{a}/|\boldsymbol{a}|^2$ не меньше $1$, поэтому $|\boldsymbol{a}| \leqslant 1$ и, значит, $|\boldsymbol{a}|=1$.
Предложение доказано. Пример 4. Для единичного шара гладкой антинормы (1) из примера 2 ближайшей точкой к началу координат является $\boldsymbol{a}=(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_d})$. Очевидно, $|\boldsymbol{a}|= 1$. Для конического многогранника $P$ из примера 3 ближайшей точкой к началу координат является $\boldsymbol{a}=A_3$ и $|\boldsymbol{a}|=1$. Действительно, поскольку плоскость $A_1A_2A_3$ – это поляра к $A_3$, то $\boldsymbol{a}=|OA_3|=1$. Теперь из предложения 2 следует, что $A_3$ – ближайшая точка. Применяя предложение 2 к единичному шару самодвойственной антинормы, мы видим, что $|\boldsymbol{x}| \geqslant 1$, когда $f(\boldsymbol{x}) \geqslant 1$. Следовательно, $f(\boldsymbol{x}) \geqslant |\boldsymbol{x}|$, и данное неравенство строгое, пока $\boldsymbol{x}$ не коллинеарен $\boldsymbol{a}$. Таким образом, мы получаем Следствие 1. Всякая самодвойственная антинорма не превосходит евклидовой нормы, и существует единственная точка, где они равны $1$. § 3. Основные результатыМы начнем с теоремы 1, которая утверждает, что каждая самодвойственная антинорма может быть продолжена (поднята) с подходящей гиперплоскости на весь конус $\mathbb R^d_+$. Данное поднятие не единственно, и каждая $(d-1)$-мерная самодвойственная антинорма может порождать бесконечное семейство $d$-мерных самодвойственных антинорм. Это позволяет получить большое семейство гладких и полиэдральных конических тел, построенных индуктивно. Затем мы докажем теорему 2, которая описывает структуру таких антинорм. Для случая $d=2$ данный метод описывает все автополярные множества (теорема 3), в то время как для случая $d=3$ существует автополярный многогранник, который не может быть получен данным способом (пример 9). Мы назовем гиперплоскость $V \subset \mathbb R^d$ допустимой, если она имеет вид $V=\{\boldsymbol{x} \in \mathbb R^d\colon x_i=\mu x_j\}$, где $i$, $j$ являются двумя различными индексами из множества $\{1, \dots, d\}$ и $\mu \geqslant 0$ произвольное. Таким образом, допустимая плоскость содержит $d-2$ координатных осей и пересекает $\mathbb R^d_{+}$ по $(d-1)$-мерному ортанту $\mathbb R^{d-1}_+$, который мы обозначим через $K'$. 3.1. Теоремы о поднятииРассмотрим произвольную допустимую плоскость $V$, которая разделяет ортант $\mathbb R^d_+$ на части $K_1$, $K_2$. Обозначим $K'= \mathbb R^d_+\cap V$. Пусть $\varphi$ – антинорма на $K'$, $G' \subset K'$ – ее единичный шар, $\Phi$ – ее ортогональное расширение на $\mathbb R^d_+$, определенное по правилу $\Phi(\boldsymbol{x})=\varphi(\boldsymbol{x}')$, $\boldsymbol{x}\in \mathbb R^d_+$, где $\boldsymbol{x}'$ является ортогональной проекцией $\boldsymbol{x}$ на $V$. Таким образом, $\varphi$ определена на $K'$, а $\Phi$ определена на $\mathbb R^d_+$. Единичный шар антинормы $\Phi$ является пересечением $\mathbb R^d_+$ с прямым цилиндром с основанием $G'$. Теорема 1. Пусть допустимая плоскость $V$ делит $\mathbb R^d_+$ на замкнутые части $K_1$, $K_2$, и пусть $\varphi$ – самодвойственная антинорма на $K'$. Пусть $f_1\colon K_1\to \mathbb R_+$ – произвольная антинорма, которая совпадает с $\varphi$ на $K'$ и не превосходит $\Phi$ на $K_1$. Тогда функция $f(\boldsymbol{x})$, определенная на $\mathbb R^d_+$ по формуле является самодвойственной антинормой на $\mathbb R^d_+$. Таким образом, самодвойственная антинорма $\varphi$ на $\mathbb R^{d-1}_+$ позволяет построить бесконечно много таких антинорм на $\mathbb R^d_+$. Для их построения берется $\varphi$ на произвольной допустимой гиперплоскости $V$ и затем выбирается произвольная антинорма $f_1$, не превосходящая ортогонального расширения $\varphi$ на части $K_1$. Далее мы получаем самодвойственную антинорму по формуле (2). Структура такой антинормы описывается ниже в теореме 2. Пусть допустимая плоскость $V$ разрезает положительный ортант $K=\mathbb R^d_+$ на две замкнутые части $K_1$, $K_2$ и $K'=K\cap V$. Предположим, что функции $f_1$, $f_2$ определены на $K_1$, $K_2$ соответственно и совпадают на $K'$; их конкатенация $f=f_1\cup f_2$ определятся на $\mathbb R^d_+$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
f(\boldsymbol{x})= \begin{cases} f_1(\boldsymbol{x}),&\boldsymbol{x} \in K_1, \\ f_2(\boldsymbol{x}),&\boldsymbol{x} \in K_2 . \end{cases}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Теорема 2. В предположениях теоремы 1 рассмотрим функцию Тогда: 1) $f_2|_{V}=\varphi$ и $f_2 \leqslant \Phi$ на $K_2$; 2) $f_1(\boldsymbol{x})=\inf_{\boldsymbol{y} \in K_2}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})/f_2(\boldsymbol{y})$. Таким образом, $f_1$ и $f_2$ получаются друг из друга по одной формуле (4). Теорема 1 утверждает, что конкатенация $f= f_1 \cup f_2$ является самодвойственной антинормой на $\mathbb R^d_+$. Замечание 2. Доказательства теорем 1 и 2 представлены в § 5. Мы увидим, что допустимость плоскости $V$ используется лишь однажды: проекция произвольной точки $\boldsymbol{x} \in \mathbb R^d_+$ на $V$ лежит в $K'$. Нам не известно, возможно ли обобщить теорему 1 (вероятно, в иной форме) на произвольную гиперплоскость $V$, пересекающую внутренность $\mathbb R^d_+$. Пример 9 в § 6 показывает, что ответ может быть утвердительным. 3.2. Геометрические формулировкиПереформулируем теоремы 1 и 2 в терминах конических тел. Для допустимой гиперплоскости $V$, разделяющей $\mathbb R^d_+$ на части $K_1$, $K_2$ (мы предположим для простоты, что они содержат непустую внутренность), обозначим $K'=\mathbb R^d_+\cap V$. Следствие 2. Пусть $V$ – допустимая гиперплоскость, $G'$ – $(d-1)$-мерное автополярное коническое тело в $K'$. Тогда для произвольного конического тела $G_1 \,{\subset}\, K_1$, пересечение которого с $V$ и проекцией на $V$ совпадает с $G'$, множество $G=G_1\cup G_2$, где является автополярным коническим телом. Ниже мы используем обозначения из следствия 2: коническое тело $G_2 \subset K_2$ получено из $G_1$ по формуле (5) и $G=G_1\cup G_2$. Напомним, что ортогональное расширение множества $M\subset V$ определяется как прообраз $M$ при ортогональной проекции $\mathbb R^d \to V$. Следствие 3. Если $G'$ автополярно в $K'$ и ортогональное расширение всякой $(d-2)$-мерной опорной плоскости к $G'$ является $(d-1)$-мерной опорной плоскостью к $G_1$, то $G$ – автополярное коническое тело. Все эти опорные плоскости являются касательными к $S_1=\partial G_1$ и $S_1$ гладкая и строго выпуклая, поэтому $S$ обладает теми же свойствами. Таким способом можно строить гладкие и строго выпуклые автополярные поверхности. Теперь вернемся к коническим многогранникам. Следствие 4. Если $G_1 \subset K_1$ – произвольный конический многогранник, его фасад $G'=G_1\cap V$ автополярный в $K'$ и все двугранные углы, прилегающие к этому фасаду, не превосходят $90^{\circ}$, то $G$ – автополярный многогранник. Пусть $G'$ задается системой из $n$ линейных неравенств $(\boldsymbol{a}_i, \boldsymbol{x}) \geqslant 1$, $\boldsymbol{x} \in K'$, где $\boldsymbol{a}_i \in K'$. Мы добавляем произвольное линейное неравенство $(\boldsymbol{a}_j, \boldsymbol{x}) \geqslant 1$, $j\in n+1,\dots,n+m$, $\boldsymbol{x} \in \mathbb R^d_+$, такое, что $\boldsymbol{a}_{j} \in K_2$ и гиперплоскости $(\boldsymbol{a}_j, \boldsymbol{x})=1$ не пересекают относительную внутренность $K'$. Тогда конический многогранник $G_1=\{\boldsymbol{x} \in K_1\colon (\boldsymbol{a}_i, \boldsymbol{x}) \geqslant 1,\,i=1, \dots, n+m \}$ удовлетворяет всем условиям следствия 4. Обратно, всякий конический многогранник $G_1$ из следствия 4 получается таким образом. Каждый из них создает автополярный многогранник в $\mathbb R^d_+$. 3.3. Самодвойственность в маленьких размерностяхТеорема 1 предоставляет метод индуктивного построения автополярных множеств, начиная с размерности 1. Случай $d=1$. Это тривиальный случай: всякая антинорма на $K=\mathbb R_+$ является линейной функцией $f(x)=kx$, $k> 0$ (мы не используем здесь жирный шрифт, так как имеем дело со скалярами). Тогда $f^*(y)={y}/{k}$, и, следовательно, единственная самодвойственная антинорма – это $f(x)=x$. Случай $d=2$. Теорема 1 позволяет строить бесконечно много самодвойственных антинорм в $\mathbb R^2_+$. Более того, она дает их полную классификацию. В данном случае $V$ – это прямая $\{t\boldsymbol{a}\colon t\in \mathbb R\}$ с $\boldsymbol{a} \in \mathbb R^2_+$, $|\boldsymbol{a}|=1$, и соответственно $K'$ – это луч $\{t\boldsymbol{a}\colon t \geqslant 0\}$. Теорема 1 предлагает следующее. Алгоритм (построение самодвойственной антинормы на $\mathbb R^2_+$). Мы берем произвольный подходящий вектор $\boldsymbol{a} \in \mathbb R^2_+$ и полагаем $\varphi(t\boldsymbol{a})=t$, $t\geqslant 0$. Это самодвойственная антинорма на $K'$. Ее ортогональное расширение на $\mathbb R^2_+$ – это $\Phi(\boldsymbol{x})=(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{x})$. Затем выберем произвольную антинорму $f_1$ на $K_1$ (угол между $V$ и осью $OX_1$) такую, что $f_1(\boldsymbol{a})=1$ и $f_1(\boldsymbol{x}) \leqslant (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{a})$, $\boldsymbol{x} \in K_1$. Геометрически это означает, что единичный шар $G_1 \subset K_1$ отделен от нуля перпендикуляром к $V$, проведенным к точке $\boldsymbol{a}$. Это эквивалентно тому, что касательная к $S_1$ в точке $\boldsymbol{a}$ образует угол не больше $90^{\circ}$ с лучом $K'$. Тогда $f_2$ определяется на $K_2$ по формуле (4), и $f=f_1\cup f_2$ является самодвойственной антинормой на $\mathbb R^2_+$. Теорема 3. Всякая самодвойственная антинорма на $\mathbb R^2_+$ получается с помощью приведенного выше алгоритма. Доказательство. Пусть $f$ – произвольная самодвойственная антинорма на $\mathbb R^2_+$. Обозначим через $A$ ближайшую к началу координат $O$ точку конической сферы $S=\partial G$, $\boldsymbol{a}$ — это вектор $OA$. Прямая $\ell$, проходящая через $A$ ортогонально к $\boldsymbol{a}$, отделяет $S$ от $O$, следовательно, значения $f$ на $\ell$ не превосходят 1. По предположению 2 $|\boldsymbol{a}|=1$, значит, для всех $\boldsymbol{x} \in \ell$ $f(\boldsymbol{x}) \leqslant 1=(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{x})$. Из однородности следует, что $f(\boldsymbol{x}) \leqslant (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{x})$ для всех $\boldsymbol{x} \in \mathbb R^2_{+}$. Луч $K'$ делит $\mathbb R^2_+$ на два угла $K_1$ и $K_2$, и функция $f_1=f|_{K_1}$ удовлетворяет всем условиям теоремы 1. Значит, функция $\widetilde f=f_1 \cup f_2$, где $f_2(\boldsymbol{y})=\inf_{\boldsymbol{x} \in K_1} (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})/{f(\boldsymbol{x})}$, является самодвойственной. С другой стороны, для всех $\boldsymbol{y} \in K_2$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
f(\boldsymbol{y})=f^*(\boldsymbol{y})=\inf_{\boldsymbol{x} \in \mathbb R^d_2} \frac{(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})}{f(\boldsymbol{x})} \leqslant\inf_{\boldsymbol{x} \in K_1} \frac{(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})}{f(\boldsymbol{x})}= \widetilde f(\boldsymbol{y}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $f\leqslant \widetilde f$. Поскольку обе эти функции самодвойственные, то $f=\widetilde f$ (предложение 1). Теорема доказана. Следствие 5. Всякий автополярный конический многоугольник на $\mathbb R^2_+$ имеет вид $G=G_1\cup G_2$, где $K'$ – это произвольный луч, делящий $\mathbb R^2_+$ на два угла, $G_1$ — это произвольный конический многоугольник на $K_1$, чей угол при вершине $\boldsymbol{a}$ не больше $90^{\circ}$, и $G_2$ – это полярное преобразование $G_1$, полученное из (5). § 4. Примеры и особые случаиМы рассматриваем несколько приложений теорем 1 и 2 к построению автополярных множеств в размерностях $d\geqslant 2$. Пример 5 (случай прямого цилиндра). В теореме 1 мы можем положить $f_1= \Phi$, что соответствует максимально возможной $f_1$. В данном случае $G_1$ является прямым цилиндром с основанием $G'$. Пусть $V$ разделяет оси $OX_{d-1}$ и $OX_d$ и $K_1$ содержит первую из них. Функция $f_2$ и множество $G_2$ находятся с помощью теоремы 2. Единичный шар $G_2$ – это наклонный цилиндр с основанием $G'$ и образующими, параллельными оси $OX_d$. Коническое тело $G$, составленное из этих двух цилиндров, является автополярным. Пример 6 (ортогональное расширение). В некоторых предельных случаях гиперплоскость $V$ совпадает с одной из координатных плоскостей. Для определенности возьмем многогранник $OX_1\dots OX_{d-1}$. В данном случае $f_1$ обязательно совпадает с $\Phi$. Действительно, если $f_1(\boldsymbol{x}) < \Phi(\boldsymbol{x})$ для некоторого $\boldsymbol{x}$, то $f_1(\boldsymbol{x}'+x_d\boldsymbol{e}_d) < \varphi(\boldsymbol{x}')$, где $\boldsymbol{e}_d$ – это $d$-й базисный вектор и $\boldsymbol{x}'$ – проекция $\boldsymbol{x}$ на $V$. Вогнутость функции $f_1$ означает, что она станет отрицательной для больших $x_d$, что невозможно. Таким образом, если $V$ совпадает с одной из координатных плоскостей, то $f_1=\Phi|_{K_1}$, и единственное возможное коническое тело $G_1$ является ортогональным расширением $G'$. Следовательно, автополярное множество $G$, построенное с помощью теоремы 1, – это ортогональное расширение $G'$. Пример 7 (автополярные многоугольники). Из теоремы 3 следует, что всякий автополярный конический многоугольник строится следующим образом. Мы выбираем такую точку $A_0 \in \mathbb R^2_+$, что $OA_0=1$, и такой произвольный конический многоугольник $P=A_0A_1\dots A_n$ внутри угла $A_0OX_1$, что угол $P$ при вершине $A_0$ не больше $90^{\circ}$. Многоугольник $P$ имеет две бесконечные стороны: одна начинается в вершине $A_0$ и проходит параллельно $OA$ (обозначим через $a$), а другая начинается в вершине $A_n$ и проходит параллельно $OX_1$. Это $G_1$. Обозначим через $a_i$ прямые, которые полярны к $A_i$. Прямые $a, a_0, \dots, a_n$ (в данном порядке) образуют многоугольник $G_2$ в угле $AOX_2$. Многоугольник $G=G_1\cup G_2$ автополярный (рис. 3). Теперь вернемся к гладкой антинорме из примера 2 и покажем, что она также может быть построена с помощью теоремы 1. Предложение 3. Для любых неотрицательных чисел $p_1, \dots, p_{d}$ таких, что $\sum_{i=1}^d p_i=1$, самодвойственная антинорма (1) получается с помощью теоремы 1 из $(d-1)$-мерной самодвойственной антинормы $\varphi$ с числами $p_1, \dots,p_{d-2}, p_{d-1} +p_{d}$. Доказательство. Предположим, что все $p_i$ не равны нулю, иначе уменьшим размерность. Покажем, что $f$ получается с помощью теоремы 1 с гиперплоскостью
$$
\begin{equation*}
V=\biggl\{\boldsymbol{x} \in \mathbb R^d\colon\frac{x_{d-1}}{\sqrt{p_{d-1}}}= \frac{x_d}{\sqrt{p_d}}\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и $f_1=f|_{K_1}$. Введем координатную систему на $V$ следующим образом: все оси $OX_i$, $i=1, \dots, d-2$, такие же, как в $\mathbb R^d$, а $OX_0=(OX_{d-1}X_{d})\cap V$. Мы имеем
$$
\begin{equation*}
x_{d-1}=\frac{\sqrt{p_{d-1}}}{\sqrt{p_{d-1}+p_d}} x_0, \qquad x_{d}=\frac{\sqrt{p_{d}}}{\sqrt{p_{d-1}+p_d}} x_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $p_0=p_{d-1}+p_{d}$ и рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\varphi(\boldsymbol{x})= \prod_{i=0}^{d-2}\biggl(\frac{x_i}{\sqrt{p_i}}\biggr)^{p_i} \quad\text{на }\ K'.
\end{equation*}
\notag
$$
По индуктивному предположению $\varphi$ самодвойственна. Тогда градиент
$$
\begin{equation*}
f'(\boldsymbol{x})=\biggl( \frac{p_1}{x_1}, \dots, \frac{p_d}{x_d} \biggr) f(\boldsymbol{x})
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит $V$, когда $\boldsymbol{x} \in V$. Действительно, если ${x_{d-1}}/{x_{d}}={\sqrt{p_{d-1}}}/{\sqrt{p_d}}$, то
$$
\begin{equation*}
\frac{f_{x_{d-1}}}{f_{x_d}}= \frac{p_{d-1}}{x_{d-1}}f(\boldsymbol{x})\Bigm/\frac{p_d}{x_d}f(\boldsymbol{x})= \frac{\sqrt{p_{d-1}}}{\sqrt{p_d}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, касательная плоскость к $S$ в каждой точке $\boldsymbol{x} \in V\cap S$ ортогональна $S$. Ввиду следствия 3 заключаем, что $f\leqslant \Phi$.
Предложение доказано. Для случая $d=1$ антинорма (1) – это $f(x)=x$, которая является самодвойственной. Тогда каждая $d$-мерная антинорма вида (1) может быть получена из данной за $d$ шагов их предложения 3 с сохранением самодвойственности по теореме 1. Пример 8. Трехмерный автополярный конический многогранник $P$, представленный в примере 3, может быть получен поднятием из теоремы 1. В данном случае гиперплоскость $V$ проходит через ось $OX_3$ и точку $A_3$ (рис. 4). Пересечение $P\cap V$ – это конический многоугольник $P'$, ограниченный отрезком $A_1A_3$, лучом $A_1X_3$ и лучом $\ell$, выходящим из $A_3$ по линии пересечения $V$ с $\alpha_1$. Многогранник $P'$ является автополярным. Действительно, поляра к $A_1$ – плоскость $\alpha_1$, следовательно, $P'$ получается из алгоритма из п. 3.3 с разбиением $\mathbb R^2_+$ при помощи прямой $OA_3$. Затем мы переходим от $P'$ к $P$ по следствию 4. Все предположения данного следствия выполнены. Действительно, $V$ ортогональна $\alpha_1$ и $\alpha_3$. Следовательно, двугранные углы, прилежащие к ребрам $\ell$ и $A_1A_2$, прямые. § 5. Доказательства основных теорем Доказательство теоремы 2. Для любых пар точек $\boldsymbol{x}\in K_1$, $\boldsymbol{y} \in K'$ имеем $(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})=(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}')$ и $f_1(\boldsymbol{x}) \leqslant \Phi(\boldsymbol{x}) =\varphi(\boldsymbol{x}')= f_1(\boldsymbol{x}')$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})}{f_1(\boldsymbol{x})} \geqslant\frac{(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}')}{f_1(\boldsymbol{x}')}.
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к точной нижней грани в обеих частях неравенства по $\boldsymbol{x} \in K_1$. В левой части получаем $f_2(\boldsymbol{y})$, а правая часть превращается в Таким образом, для всех точек $\boldsymbol{y} \in K'$ имеем $f_2(\boldsymbol{y}) \geqslant \varphi^*(\boldsymbol{y})$. С другой стороны, инфимум по множеству $K_1$ не превосходит инфимума по множеству $K'$, следовательно, Значит, $f_2(\boldsymbol{y})=\varphi^* (\boldsymbol{y})$, откуда следует, что $f_2|_{V}=\varphi^*=\varphi$.
Теперь рассмотрим произвольную точку $\boldsymbol{y} \in K_2$. Для всех $\boldsymbol{x} \in K_1$ имеем
$$
\begin{equation*}
(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})- (\boldsymbol{y}', \boldsymbol{x})=(\boldsymbol{y} - \boldsymbol{y}', \boldsymbol{x}) =(\boldsymbol{y} - \boldsymbol{y}', \boldsymbol{x}')+(\boldsymbol{y} - \boldsymbol{y}', \boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}') \leqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $(\boldsymbol{y} - \boldsymbol{y}', \boldsymbol{x}')=0$ и $(\boldsymbol{y} - \boldsymbol{y}', \boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}') \leqslant 0$, поскольку векторы $\boldsymbol{y} - \boldsymbol{y}'$ и $\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}'$ имеют противоположные направления. Таким образом, $(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})- (\boldsymbol{y}', \boldsymbol{x})\leqslant 0$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})}{f_1(\boldsymbol{x})} \leqslant \frac{(\boldsymbol{y}', \boldsymbol{x})}{f_1(\boldsymbol{x})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к инфимуму в обеих частях по $\boldsymbol{x} \in K_1$, мы заключаем, что
$$
\begin{equation*}
f_2(\boldsymbol{y}) \leqslant f_2(\boldsymbol{y}')=\varphi(\boldsymbol{y}').
\end{equation*}
\notag
$$
Это доказывает неравенство $f_2 \leqslant \Phi$ на $K_2$. Доказательство пункта 1) закончено.
Возьмем произвольную точку $\boldsymbol{y} \in K_2$ и покажем, что для всех $\boldsymbol{u} \in K_2$ существует $\boldsymbol{x} \in K_1$, для которого ${(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})}/{f_1(\boldsymbol{x})} \leqslant {(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{u})}/{f_2(\boldsymbol{u})}$. Это докажет, что инфимум выражения $(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})/f(\boldsymbol{z})$ по $\boldsymbol{z} \in \mathbb R^d_+$ (который есть $f^*(\boldsymbol{y})$) достигается на $K_1$, т.е. равен
$$
\begin{equation*}
\inf_{\boldsymbol{z} \in K_1}\frac{(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})}{f_1(\boldsymbol{z})}=f_2(\boldsymbol{y}).
\end{equation*}
\notag
$$
Это доказывает равенство $f(\boldsymbol{y})=f^*(\boldsymbol{y})$ для $\boldsymbol{y} \in K_2$. Чтобы установить существование желаемого $\boldsymbol{x}$, достаточно положить $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{u}'$, для которого ${(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{u}')}/{f_1(\boldsymbol{u}')} \leqslant {(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{u})}/{f_2(\boldsymbol{u})}$. Это следует из двух неравенств:
В силу пункта 1) функция $f_2$ на $K_2$ обладает теми же свойствами, что и функция $f_1$ на $K_1$. С другой стороны, $f^*|_{K_2}=f|_{K_2}=f_2$. Значит, для произвольной точки $\boldsymbol{x} \in K_1$ мы рассуждаем, как выше, и показываем, что
$$
\begin{equation*}
f_1^{**}(\boldsymbol{x})=\inf_{\boldsymbol{u} \in K_2}\frac{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{u})}{f^*(\boldsymbol{u})}= \inf_{\boldsymbol{u} \in K_2}\frac{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{u})}{f_2(\boldsymbol{u})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя равенство $f^{**}=f$, мы завершаем доказательство пункта 2).
Теорема 2 доказана. Доказательство теоремы 1. В доказательстве теоремы 2 мы показали, что В силу пункта 2) теоремы 2 функция $f_1$ определяется функцией $f_2$ тем же способом, как и функция $f_2$ определяется функцией $f_1$. Поменяв их местами, получим $f^*|_{K_1}=f|_{K_1}=f_1$. Таким образом, $f^*=f$. Из определения двойственной функции вытекает, что $f^*$ является антинормой, и, значит, для $f$ это тоже верно.
Теорема доказана. § 6. Контрпример и открытые проблемыМы представим пример трехмерного конического многогранника, который не может быть построен с помощью поднятия из теоремы 1. Это означает, что проблема полной классификации автополярных множеств остается открытой (проблема 1 ниже). Мы начнем со вспомогательных результатов. Для любого конического тела $G$ минимальное расстояние до начала координат достигается в единственной точке $A \in G$. Это простое следствие из выпуклости. Если $G$ автополярное, то $OG=1$ в силу предложения 2. Оказывается, что если $G$ получается поднятием с допустимой гиперплоскости $V$, то $V$ проходит через $A$. Предложение 4. Предположим, что автополярное коническое тело $G\subset \mathbb R^d_+$ получено поднятием $(d-1)$-мерного конического тела $G'$ с некоторой допустимой гиперплоскости $V$ (теорема 1). Тогда $G$ и $G'$ имеют одну и ту же точку, ближайшую к началу координат, и эта точка принадлежит $V$. Доказательство. Пусть $A$ и $A'$ – это ближайшие к началу координат точки конических тел $G$ и $G'$ соответственно. Поскольку оба этих тела автополярные, то $OA=OA'=1$. С другой стороны, $A$ и $A'$ принадлежат $G$, поэтому из единственности ближайшей точки заключаем, что $A=A'$.
Предложение доказано. Таким образом, если автополярное тело $G$ получено с помощью теоремы 1, то разделяющая плоскость $V$ содержит ближайшую к началу координат точку $A\in G$. Это уменьшает поиск такой плоскости для данного автополярного множества до $d(d-1)/2$ допустимых гиперплоскостей, проходящих через $A$. Второе свойство, напрямую вытекающее из теоремы 2, является аналогом следствия 4. Оно предоставляет необходимое условие для того, чтобы конический многогранник мог быть построен с помощью поднятия. Предложение 5. Если конический многогранник $P$ получен с помощью теоремы 1, то допустимая плоскость $V$ пересекает $P$ по автополярному $(d-1)$-мерному многограннику $P'$ и делит $P$ на два многогранника $P_1$, $P_2$ с общим фасадом $P'$. Данный фасад образует двугранные углы, которые не больше $90^{\circ}$, со всеми прилегающими гранями к $P_1$ и $P_2$. В частности, всякий фасад $P$, разделенный плоскостью $V$, ортогонален $V$. Теперь мы готовы представить обещанный контрпример. Мы используем конструкцию из [16]. Для упрощения обозначений мы иногда заменяем поляру ее границей. К примеру, поляра точки $\boldsymbol{a}$ – это множество $\{\boldsymbol{y} \in \mathbb R^{d}_+\colon (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{a})= 1\}$. Аналогично, мы назовем полярой к отрезку $[\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2]$ множество $\{\boldsymbol{y} \in \mathbb R^{d}_+$: $(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{a}_i)=1,\, i=1,2\}$. Пример 9. Следующая серия автополярных конических политопов $\{P_n\}_{n \geqslant 3}$ была представлена в [16]. Для каждого $n\geqslant 3$ политоп $P_n$ строится в $\mathbb R^3_{+}$ следующим образом. Мы берем произвольную точку $A_1$ на оси $OX_3$ такую, что $|OA_1| > 1$. Затем берем произвольную точку $A_2$ на пересечении поляры к $A_1$ с гиперплоскостью $OX_1X_3$ (рис. 5). Затем построение продолжается по индукции. Пусть точки $A_1, \dots, A_k$ построены, $k\leqslant n-2$; тогда $A_{k+1}$ – это точка на поляре к отрезку $A_{k-1}A_k$ такая, что $|OA_{k+1}| > 1$. Наконец, на последнем шаге точка $A_n$ выбирается на поляре к отрезку $A_{n-2}A_{n-1}$ таким образом, что $|OA_{n}|=1$. Тогда $P_n=\operatorname{co}_+\{A_1, \dots, A_n\}$ является автополярным коническим многогранником, для которого $A_n$ является ближайшей точкой к началу координат. (Доказательство см. в [16; теорема 2].) Более того, данная конструкция определена корректно для любого набора точек $A_1, \dots, A_n$ на соответствующих полярах с единственным условием на длины $OA_{k}$; см [16]. Таким образом, мы построили семейство автополярных многогранников. Представитель данного семейства, многогранник $P_5$, изображен на рис. 5. На рис. 6 изображен тот же многогранник без вспомогательных линий. Многогранник $P$, построенный в примере 3 (см. рис. 2), также принадлежит к данной серии. Действительно, $P=P_3$. Как уже было показано, он может быть получен с помощью теоремы 1. Аналогичное верное и для $P_4$. Однако оказалось, что $P_5$ не может быть получен с помощью данной теоремы, что дает нам желанный контрпример. Теорема 4. Конический многогранник $P_5$ не может быть построен поднятием, описанным в теореме 1. Доказательство. Если $P_5$ строится с помощью поднятия с допустимой гиперплоскости $V$, то $V$ проходит через ближайшую к началу координат точку $P_5$ (предложение 4). Эта ближайшая точка есть $A_5$ [16]. Более того, в силу предположения 5 $V$ ортогональна всем трансверсальным (т.е. делящимся плоскостью $V$ на две части) фасадам $P_5$. Если $V$ проходит через ось $OX_3$, то она трансверсальна (и, следовательно, ортогональна) фасадам $A_1A_2A_5A_4$ и $A_2A_3A_5$ (рис. 7).
Таким образом, $V$ ортогональна ребру $A_2A_5$ и, следовательно, $A_2A_5$ параллельно координатной плоскости $OX_1X_2$. В этом случае точка $A_5$ лежит в плоскости $\alpha_1$, которая является полярой к точке $A_1$. Это противоречит построению многогранника $P_5$. Случаи, когда $V$ проходит через другие координатные оси, рассматриваются аналогично. Теорема доказана. Таким образом, не все $d$-мерные автополярные конические многогранники получаются поднятием из $(d-1)$-мерных. Возникает естественный вопрос о том, как классифицировать все возможные автополярные множества. Проблема 1. Как устроена полная классификация автополярных конических тел (многогранников) в $\mathbb R^d_+$? Полная классификация может быть или описанием всех автополярных конических многогранников, или алгоритмом, их строящим. Теорема 3 решает данную проблему для $d=2$, для более высоких размерностей $d$ она остается открытой. Более слабая версия проблемы 1 состоит в обобщении теоремы 1, которое смогло бы охарактеризовать все автополярные конические тела. Например, существует ли поднятие с недопустимой гиперплоскости $V$, т.е. такой гиперплоскости, которая не содержит $d-2$ координатных осей? Это можно сформулировать следующим образом. Проблема 2. Верно ли, что любой автополярный конический многогранник $P \subset \mathbb R^d_+$ делится гиперплоскостью $\widetilde V$ (возможно, недопустимой), которая ортогональна всем трансверсальным фасадам $P$ и которая образует углы не больше $90^{\circ}$ со всеми фасадами, пересекающими ее? Для многогранника $P_5$ такая плоскость существует: это плоскость $OA_2A_4$ (рис. 8). В доказательстве теоремы 1 мы существенно использовали тот факт, что ортогональная проекция любой точки $X\in \mathbb R^d_+$ на $V$ содержится в $V\subset \mathbb R^d_+$. Это верно только для допустимых гиперплоскостей $V$. БлагодарностьАвторы благодарны Л. В. Локуциевскому за ценные замечания и полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MakPro25} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|