Единственность разложений в системах счисления и масштабирующие уравнения

С использованием теории уточняющих схем строится критерий для проверки, имеет ли любое натуральное число не более одного представления в $n$-ичной системе счисления с множеством неотрицательных целых цифр $A=\{a_1, a_2,\dots, a_n\}$, содержащим нуль. Устанавливается, что это свойство единственности эквивалентно определенному ограничению на корни тригонометрического многочлена $\sum_{k=1}^n e^{-2\pi i a_k t}$. Из этого критерия при естественном условии неприводимости для $A$ мы выводим, что в случае простого $n$ единственность имеет место тогда и только тогда, когда цифры множества $A$ различны по модулю $n$, тогда как для любого составного $n$ мы показываем, что последнее условие не является необходимым. Также мы устанавливаем связь единственности с проблемой свободности полугруппы для аффинных целочисленных функций равного целочисленного наклона. Это вместе с двумя указанными критериями позволяет заполнить пробел в работе Д. Кларнера по вопросу Эрдёша о плотностях орбит аффинных целочисленных функций и установить простой алгоритм проверки свободности полугруппы и положительности плотности орбиты, когда наклон является простым числом.
Библиография: 29 названий.