|
Эта публикация цитируется в 39 научных статьях (всего в 39 статьях)
Точная локальная управляемость двумерных уравнений Навье–Стокса
А. В. Фурсиковa, Ю. С. Эмануиловb a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
b Московский государственный университет леса
Аннотация:
Пусть граница $\partial \Omega$ ограниченной области $\Omega \subset \mathbb R^2$
состоит из двух непересекающихся замкнутых кривых $\Gamma _0$ и $\Gamma _1$,
причем $\Gamma _0$ связна, а $\Gamma _1\ne \varnothing$.
В $\Omega$ рассматривается система Навье–Стокса
$\partial _tv(t,x)-\Delta v+(v,\nabla )v+\nabla p=f(t,x)$, $\operatorname {div}v=0$
c условиями:
$(v,\nu )\big |_{\Gamma _0}=\operatorname {rot}v\big |_{\Gamma _0}=0$ и $v\big |_{t=0}=v_0(x)$,
где $t\in (0,T)$, $x\in \Omega$, $\nu$ – нормаль к $\Gamma _0$.
Пусть $\widehat v(t,x)$ – заданное решение уравнений Навье–Стокса,
удовлетворяющее на $\Gamma _0$ указанным условиям, и $\|\widehat v(0,\,\cdot \,)-v_0\|_{W^2_2(\Omega )}<\varepsilon$,
где $\varepsilon =\varepsilon (\widehat v)\ll 1$.
Доказано существование такого управления $u(t,x)$
на $(0,T)\times \Gamma _1$,
что решение $v(t,x)$ системы Навье–Стокса
с $(v,\nu )\big |_{\Gamma _0}=\operatorname {rot}v\big |_{\Gamma _0}=0$,
$v\big |_{t=0}=v_0(x)$
и $v\big |_{\Gamma _1}=u$ при $t=T$ совпадает
с $\widehat v(T,\,\cdot \,)$: $v(T,x)=\widehat v(T,x)$. В частности, при $f$ и $\widehat v$,
не зависящих от $t$, когда $\widehat v(x)$ – неустойчивое стационарное решение,
из сформулированного результата следует, что с помощью управления $\alpha$
на $\Gamma _1$ можно подавить возникновение турбулентности.
Аналогичный результат доказан, когда $\Gamma _0=\partial \Omega$,
а управление $\alpha (t,x)$ является распределенным, с носителем
в произвольной подобласти $\omega \subset \Omega$.
Библиография: 12 названий.
Поступила в редакцию: 04.03.1996
Образец цитирования:
А. В. Фурсиков, Ю. С. Эмануилов, “Точная локальная управляемость двумерных уравнений Навье–Стокса”, Матем. сб., 187:9 (1996), 103–138; A. V. Fursikov, Yu. S. Èmanuilov, “Local exact controllability of the two-dimensional Navier–Stokes equations”, Sb. Math., 187:9 (1996), 1355–1390
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/sm160https://doi.org/10.4213/sm160 https://www.mathnet.ru/rus/sm/v187/i9/p103
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 624 | PDF русской версии: | 245 | PDF английской версии: | 32 | Список литературы: | 116 | Первая страница: | 1 |
|