Квазианалитические классы функций в выпуклых областях

Пусть $D$ – выпуклая ограниченная область, лежащая в левой полуплоскости, и $0\in\overline D$. Класс $H(D,M_n)$, состоящий из функций, аналитических в $D$ и удовлетворяющих неравенствам
$$ \max_{z\in D}|f^{(n)}(z)|\leqslant C_fM_n,\qquad n=0,1,\dots, $$
называется квазианалитическим в точке $z=0$, если в $H(D,M_n)$ нет ненулевой функции, обращающейся в нуль со всеми производными в точке $z=0$.
Пусть $h(\varphi)=\max_{\lambda\in D}\operatorname{Re}\lambda e^{i\varphi}$ и $h(\varphi)=0$, $\varphi\in[\sigma_-,\sigma_+]$,
\begin{gather*} \Delta_+(\alpha)=\sqrt{\alpha-\sigma_+}\biggl(h'(\alpha)+\int^\alpha_{\sigma_+}h(\theta)\,d\theta\biggr),\qquad\sigma_+<\alpha<\frac\pi2, \\ \Delta_-(\alpha)=-\sqrt{\sigma_--\alpha}\biggl(h'(\alpha)+\int_{\sigma_-}^\alpha h(\theta)\,d\theta\biggr),\qquad-\frac\pi2<\alpha<\sigma_-, \\ v_1(x)=\exp\int_{x_1}^x\frac{2\pi-\Delta_+^{-1}(y)+\Delta_-^{-1}(y)}{-\pi+\Delta_+^{-1}(y)-\Delta_-^{-1}(y)}\cdot\frac{dy}y,\qquad x\to0,\quad x_1>0. \end{gather*}
В статье доказано, что условие
$$ \int_1^\infty\frac{\ln T(r)}{v(r)\cdot r^2}\,dr=+\infty, $$
где $T(r)=\sup r^nM_n^{-1}$ – функция следа последовательности $(M_n)$, $v(r)$ – функция, обратная к функции $v_1(x)$, является необходимым и достаточным для квазианалитичности класса $H(D,M_n)$.
Эта теорема обобщает классическую теорему Данжуа–Карлемана. В случае, когда область $D=\bigl\{z:|\arg z|<\frac\pi{2\gamma}\bigr\}$ эта теорема следует из результатов Салинаса, полученных им в 1955 г. Для $D=\{z:|z+1|=1\}$ теорема получена Б. И. Коренблюмом в 1965 г.
Библиография: 9 названий.