Полусвободные действия окружности, башни Ботта и квазиторические многообразия

Башней Ботта называется тотальное пространство башни расслоений над $\mathbb C P^1$ со слоями $\mathbb C P^1$. Каждая башня Ботта высоты $n$ является гладким проективным торическим многообразием, для которого образ отображения моментов является многогранником, комбинаторно эквивалентным $n$-мерному кубу. Действие окружности называется полусвободным, если оно свободно на дополнении к множеству неподвижных точек. В работе показано, что квазиторическое многообразие над комбинаторным $n$-мерным кубом, допускающее одномерную замкнутую подгруппу с полусвободным действием и изолированными неподвижными точками, является башней Ботта. Кроме того, показано, что каждая башня Ботта, получаемая таким образом, топологически тривиальна, т.е. гомеоморфна произведению двумерных сфер. Это обобщает недавний результат Ильинского, показавшего, что гладкое компактное торическое многообразие с полусвободным действием одномерной торической подгруппы и изолированными неподвижными точками гомеоморфно произведению двумерных сфер и является продвижением в исследовании проблемы Хаттори о полусвободных действиях окружности. Наконец, показано, что если кольцо когомологий квазиторического многообразия изоморфно кольцу когомологий произведения двумерных сфер, то само многообразие гомеоморфно такому произведению. В случае башен Ботта этот гомеоморфизм является диффеоморфизмом.
Библиография: 18 названий.