| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Приближение наипростейшими дробями в неограниченных областях П. А. Бородинab, К. С. Шкляевab a Лаборатория "Многомерная аппроксимация и приложения", Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9298 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеРабота посвящена равномерному приближению наипростейшими дробями, т.е. дробями вида
$$
\begin{equation*}
r(z)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{z-a_k}, \qquad a_k\in {\mathbb C},
\end{equation*}
\notag
$$
внутри области $D$ комплексной плоскости ${\mathbb C}$ при условии, что полюсы $a_k$ приближающих дробей лежат на границе $\partial D$ этой области. Обозначим $\operatorname{SF}(E)$ совокупность всех наипростейших дробей с полюсами на множестве $E\subset {\mathbb C}$. Как обычно, $A(D)$ обозначает пространство функций, голоморфных в области $D$ (с топологией равномерной сходимости на компактах $K\subset D$); $\operatorname{AC}(K)$ обозначает пространство функций, непрерывных на компакте $K$ и голоморфных в его внутренних точках (с равномерной нормой). Теорема A (Кореваар, см. [1]). Для всякой ограниченной односвязной области $D$ множество $\operatorname{SF}(\partial D)$ плотно в $A(D)$. К этому результату примыкает теорема типа теоремы С. Н. Мергеляна, доказанная В. И. Данченко и Д. Я. Данченко (см. [2]): для компакта $K\subset {\mathbb C}$ множество $\operatorname{SF}({\mathbb C}\setminus K)$ плотно в $\operatorname{AC}(K)$ тогда и только тогда, когда $K$ не разбивает плоскость. Нетрудно видеть, что достаточность в теореме Данченко следует (с использованием теоремы Мергеляна) из теоремы Кореваара (авторы [2] не знали о работе [1]). Однако именно с работы [2] началось интенсивное исследование приближений наипростейшими дробями. В частности, был доказан следующий результат (см. [3], [4]), обобщающий оба приведенных результата Я. Кореваара и В. И. и Д. Я. Данченко. Пусть $K$ и $E$ – два не пересекающихся компакта в ${\mathbb C}$, $\widehat{E}$ обозначает объединение компакта $E$ со всеми ограниченными компонентами связности дополнения ${\mathbb C} \setminus E$. Тогда (1) если $K \setminus \widehat{E}$ содержит бесконечно много точек, то $\operatorname{SF}(E)$ не плотно в $\operatorname{AC}(K)$; (2) если $K \subset \widehat{E}$ и ${\mathbb C}\setminus K $ связно, то $\operatorname{SF}(E)$ плотно в $\operatorname{AC}(K)$. Здесь утверждения (1) и (2) почти обратны друг другу. В промежуточном случае, когда $K \setminus \widehat{E}$ непусто и конечно, $\operatorname{SF}(E)$ может быть как плотно, так и не плотно в $\operatorname{AC}(K)$; см. [3]. Односвязность области $D$ в теореме Кореваара существенна: в случае наличия в $D$ контура $S$, окружающего какую-то граничную точку $a\in \partial D$, функция $1/(2z-2a)$ не приближается равномерно на $S$ дробями из $\operatorname{SF}(\partial D)$, поскольку интеграл по $S$ от этой функции равен $\pi i$, а интеграл от всякой дроби из $\operatorname{SF}(\partial D)$ кратен $2\pi i$. Имеется обобщение теоремы A на случай неограниченных областей. Теорема B (Элкинс, см. [5]). Если односвязная область $D$ содержится в полуплоскости и не содержит полуплоскость, то $\operatorname{SF}(\partial D)$ плотно в $\mathrm A(D)$. Отметим, что формально теорем A и B нет в работах [1] и [5], однако они следуют непосредственно из основных результатов этих работ (см., например, [3]). Помимо техники Кореваара, при доказательстве теоремы B Элкинс существенно использует следующий результат Линдварта–Полиа–Ганелиуса (см. [6]): если область $G$ содержит полуплоскость и последовательность многочленов, каждый из которых имеет все свои нули вне $G$, сходится равномерно на некотором круге из $G$ к ненулевой функции, то она сходится равномерно на компактах во всей плоскости. Условие “$G$ содержит полуплоскость” в этом утверждении существенно (см. [6]), и непонятно, как обобщить его на другие неограниченные области, с тем чтобы получить аналоги теоремы B для областей, не лежащих в полуплоскости (в [5] роль $G$ играет та из дополнительных областей к $D$, которая содержит полуплоскость). Впрочем, мы доказываем аналог теоремы B для областей, получаемых взятием корня целой степени из области, лежащей в полуплоскости (теорема 3 ниже). Цель настоящей работы – перенести теорему A на класс неограниченных односвязных областей с регулярным асимптотическим поведением границы на бесконечности. Именно, для таких областей $D$ выделены условия, необходимые (теорема 1 и следствие 1 ниже) и достаточные (теорема 2 и следствие 2) для плотности $\operatorname{SF}(\partial D)$ в $A(D)$. Эти условия почти смыкаются друг с другом. Получены также условия, необходимые или достаточные для плотности производных наипростейших дробей (теорема 1, лемма 5). Техника наших доказательств происходит из общей теории плотности полугруппы в банаховом пространстве (см. [7]), и именно она диктует ограничения типа спрямляемости границы в сферической метрике в теореме 2. Исследуя в основном качественные вопросы приближения наипростейшими дробями (есть или нет плотность в $A(D)$), в последнем параграфе мы доказываем также оценку сверху скорости сходимости к нулю наипростейших дробей из $\operatorname{SF}(\partial D)$ с фиксированным полюсом для частного случая полосы $D=\{z\colon |\operatorname{Im} z|<1\}$ (теорема 4), тем самым решая задачу типа задачи Е. А. Горина. § 2. Основные результатыНапомним, что множество $M$ в банаховом пространстве $X$ называется разносторонним (см. [7]), если для любого ненулевого функционала $f\in X^*$ существует такой элемент $x\in M$, что $f(x)<0$ ($\operatorname{Re} f(x)<0$ в случае комплексного $X$). Если множество $M$ не является разносторонним в $X$, то оно лежит в полупространстве, и ни само $M$, ни всевозможные суммы его элементов не плотны в $X$. Теорема 1. Пусть $E$ – замкнутое множество в $\overline{{\mathbb C}}$, дополнение $\overline{{\mathbb C}}\setminus E$ связно, и для некоторых $R>0$ и $n\in {\mathbb N}$ множество лежит в некотором угле величины строго меньше $\pi$ с вершиной в нуле. Тогда для всякого бесконечного компакта $K$, не пересекающегося с $E$, и для всякого $m=1,\dots,n$ множество не является разносторонним в пространстве $\operatorname{AC}(K)$, а значит, не плотно в этом пространстве. Более точно, при каждом $m=1,\dots,n$ для всякой предельной точки $a$ компакта $K$ найдутся такая мера $\mu_m$ с носителем на $K$ и такое $c>0$, что для всех $w\in E$.Следствие 1. Пусть граница области $D \subset \mathbb{C}$ состоит из конечного числа кривых обладающих следующими свойствами: (1) каждая кривая $\xi_k$ является замкнутой жордановой кривой в $\overline{\mathbb{C}}$; разные $\xi_k$ и $\xi_j$ пересекаются только в $\infty$; (2) для каждого $k=1,\dots, m$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \xi_k(0)=\xi_k(1)=\infty, \qquad \xi_k(t) \in {\mathbb C} \quad\textit{при }\ 0 < t < 1, \\ \lim_{t \to 0} \arg \xi_k(t)=\alpha_k, \qquad \lim_{t\to 1} \arg \xi_k(t)=\beta_k, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $0 \leqslant \alpha_1 \leqslant \beta_1 \leqslant \alpha_2 \leqslant \beta_2 \leqslant \dots \leqslant \alpha_m \leqslant \beta_m \leqslant 2\pi$ (область, ограниченная кривой $\xi_k$ и имеющая вблизи $\infty$ асимптотические направления между $\alpha_k$ и $\beta_k$, является дополнительной к $D$); (3) для некоторого натурального $n$ множество
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{k=1}^m \{ z^n\colon \alpha_k < \arg z < \beta_k\}
\end{equation*}
\notag
$$
лежит в некотором угле величины строго меньше $\pi$ с вершиной в нуле. Тогда множество $\operatorname{SF}(\partial D)$ наипростейших дробей с полюсами на $\partial D$ неплотно в пространстве $\operatorname{AC}(K)$ для всякого бесконечного компакта $K\subset D$. Доказательство. Формально это утверждение не следует из теоремы 1, ибо $E=\partial D$ разбивает плоскость. Однако если взять в качестве $E$ множество $\overline{{\mathbb C}}\setminus D$, то оно удовлетворяет всем условиям теоремы 1, и по этой теореме получится, что $\operatorname{SF}^{(1)}(\overline{{\mathbb C}}\setminus D)\supset \operatorname{SF}(\partial D)$ не плотно ни в одном из пространств $\operatorname{AC}(K)$, где $K$ – произвольный бесконечный компакт в области $D$. Следствие доказано. Теорема 2. Пусть граница области $D \subset \mathbb{C}$ состоит из конечного числа кривых обладающих следующими свойствами: (1) каждая кривая $\xi_k$ спрямляема в сферической метрике и является замкнутой жордановой кривой в $\overline{\mathbb{C}}$; разные $\xi_k$ и $\xi_j$ пересекаются только в $\infty$; (2) для каждого $k=1,\dots, m$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \xi_k(0)=\xi_k(1)=\infty, \qquad \xi_k(t) \in {\mathbb C} \quad\textit{при }\ 0 < t < 1, \\ \lim_{t \to 0} \arg \xi_k(t)=\alpha_k, \qquad \lim_{t \to 1} \arg \xi_k(t)=\beta_k, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $0 \leqslant \alpha_1 \leqslant \beta_1 \leqslant \alpha_2 \leqslant \beta_2 \leqslant \dots \leqslant \alpha_m \leqslant \beta_m \leqslant 2\pi$ (область, ограниченная кривой $\xi_k$ и имеющая вблизи $\infty$ асимптотические направления между $\alpha_k$ и $\beta_k$, является дополнительной к $D$), причем $\arg \xi_k(t)$ имеет ограниченную вариацию вблизи $t=0$ и $t=1$; (3) для всякого натурального $n$ множество
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{k=1}^m\{ z^n\colon \alpha_k < \arg z < \beta_k\}
\end{equation*}
\notag
$$
не лежит ни в какой замкнутой полуплоскости, граничная прямая которой проходит через $0$. Тогда множество $\operatorname{SF}(\partial D)$ наипростейших дробей с полюсами на $\partial D$ всюду плотно в пространстве $A(D)$. Конечно, теорема 2 с ее многочисленными условиями выглядит не так эффектно, как теорема B, но она вскрывает факт, необходимый для понимания решаемой задачи: для плотности $\operatorname{SF}(\partial D)$ в $A(D)$ важно не то, что дополнение к $D$ занимает по крайней мере половину азимута на бесконечности (как в теореме B или в теореме 3 ниже), а то, что после возведения в любую степень дополнение на бесконечности “торчит во все стороны”, не покрывается полуплоскостью (и это подтверждается теоремой 1). Ясно, что дополнение к области, удовлетворяющей условиям теоремы 2, может занимать сколь угодно малую долю азимута на бесконечности. Приведем пример взаимодействия теоремы B и теоремы 2. Следствие 2. Пусть непрерывно дифференцируемые функции $h_1,h_2\colon {\mathbb R}\,{\to}\,{\mathbb R}$ таковы, что $h_1(x)<h_2(x)$ при всех $x$, все четыре предела $\lim_{x\to\pm\infty }(h_k(x)/x)$ существуют и по модулю строго меньше 1, и отношения $h_k(x)/x$ монотонны на лучах $(-\infty,R)$ и $(R,\infty)$ для некоторого $R$. Тогда для области дроби $\operatorname{SF}(\partial H)$ плотны в $A(H)$. Если $h_1(x)>\mathrm{const}$ или $h_2(x)<\mathrm{const}$ при всех $x$, то в этом утверждении можно требовать лишь непрерывность обеих функций, без всяких условий асимптотического поведения на бесконечности. Доказательство. Действительно, область $H$ в данном случае ограничена графиками функций $h_1$ и $h_2$, которые как кривые в комплексной плоскости удовлетворяют всем условиям теоремы 2. Последнее утверждение следствия обосновывается тем, что в случае ограниченности функции $h_1$ снизу или функции $h_2$ сверху область $H$ удовлетворяет условиям теоремы B. Следствие доказано. Дополним теорему 2 еще одним результатом – фактически следствием из теоремы B, позволяющим работать с областями специального вида, но без каких-либо условий асимптотического поведения границы на бесконечности. Теорема 3. Пусть односвязная область $D$ содержится в полуплоскости и не содержит полуплоскость. Если $0\in D$, то для всякого натурального $q\geqslant 2$ множество является односвязной областью и $\operatorname{SF}(\partial \sqrt[q]{D})$ плотно в $A(\sqrt[q]{D})$. § 3. Доказательство теоремы 1Ниже $U(a,r)$ обозначает открытый круг с центром $a$ и радиусом $r$. 1. По условию компакт $K$ имеет предельную точку $a$ вне $E$. Без ограничения общности можно считать, что это точка $a=0$: при сдвиге начала координат условия теоремы не нарушаются. Для определенности считаем, что $E\cap \overline{U(0,1/R)}=\varnothing$ и что множество $\{z^n\colon z\in E,\,|z|>R\}$ лежит в угле $\{z\colon \pi+\delta< \arg z <2\pi -\delta\}$ для некоторого $\delta>0$. Положим $E^{-1}=\{1/z\colon z\in E\}\cup \{0\}$. Это компакт, лежащий в круге $U(0,R)$, не разбивающий плоскость, причем подмножество $E^{-1}\cap \{z\colon 0<|z|<1/R\}$ лежит в объединении секторов
$$
\begin{equation}
\bigcup_{\nu=1}^n \biggl\{z\colon \frac{\delta+2\pi(\nu-1)}{n}<\arg z< \frac{\pi-\delta+2\pi(\nu-1)}{n}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
S_k=\biggl\{z\colon \frac{\pi(k-1)}{n}<\arg z< \frac{\pi k}{n}\biggr\}, \qquad k=1,\dots,2n.
\end{equation*}
\notag
$$
При четном $k$ сектор $S_k\cap U(0,1/R)$ не содержит точек $E^{-1}$. 2. Покажем, что в $\overline{{\mathbb C}}$ существуют такие кусочно гладкие кривые $l_k$, $k=2,4,\dots,2n$, c концами 0 и $\infty$, что (i) $l_k\cap l_j=\{0,\infty\}$ при $k\neq j$; (ii) $l_k\cap E^{-1}=\{0\}$ для каждого $k$; (iii) для каждого $k=2,4,\dots,2n$ некоторая открытая дуга кривой $l_k$ с концом $0$ лежит целиком в секторе $S_k$. Для $j=1,\dots, n$ выберем точки $z_{j} \in S_{2j}$ с $|z_j|= 1/(2R)$. Множество $F_0:= E^{-1} \cup \bigcup_{j=1}^{n} [0,z_{j}]$ не разбивает плоскость. Будем последовательно строить такие попарно не пересекающиеся конечнозвенные ломаные $\gamma_{q}\colon [0,1] \to \overline{U(0,R)}$ без самопересечений ($q=1,\dots, n$), что $\gamma_{q}((0,1)) \subset U(0,R) \setminus F_0$, $\gamma_{q}(0)=z_{q}$, $|\gamma_{q}(1)|=R$. Формально определим $\gamma_0([0,1])=\varnothing$. Пусть $0 \leqslant q < n$ и ломаные $\gamma_{j}$, $j=0,\dots, q$ построены. Докажем, что можно построить ломаную $\gamma_{q+1}$. Множество $F_q := F_0 \cup \bigcup_{j=0}^{q} \gamma_{j}([0,1])$ не разбивает плоскость, и его граничная точка $z_{q+1}$ имеет окрестность, пересечение которой с $F_q$ есть отрезок. Поэтому существует такая конечнозвенная ломаная $\gamma\colon [0,1] \to \mathbb{C}$ без самопересечений, что $\gamma((0,1]) \subset \mathbb{C} \setminus F_q$, $\gamma(0)=z_{q+1}, \gamma(1)=2R$. Существует такое число $s \in (0,1]$, что $\gamma([0,s)) \subset U(0,R)$, $|\gamma(s)|=R$. Тогда в качестве ломаной $\gamma_{q+1}$ возьмем ломаную $\gamma([0,s])$. Итак, ломаные $\gamma_j$, $j \leqslant n$, построены. Для каждого $k=2, 4,\dots, 2n$ рассмотрим ломаную $l_k$ на $\overline{\mathbb{C}}$, составленную из отрезка $[0,z_{k/2}]$, ломаной $\gamma_{k/2}$ и луча $\{t\gamma_{k/2}(1)\colon t\in [1,+\infty]\}$. Ясно, что $l_k$ обладают свойствами (i)–(iii). 3. Кривые $l_k$ разбивают $\overline{{\mathbb C}}$ на $n$ односвязных областей $\Omega_1,\dots,\Omega_n$ ($\partial \Omega_1 =l_2\cup l_{2n}$, $\partial \Omega_\nu =l_{2\nu-2}\cup l_{2\nu}$, $\nu=2,\dots, n$). Положим $E_\nu^{-1}=(E^{-1}\cap \Omega_\nu)\cup \{0\}$, $\nu=1,\dots, n$. В силу условия (iii) п. 2 найдется такое число $s\in (0,1/R)$, что $l_k\cap \{z\colon 0<|z|<s\}\subset S_k$ для всех $k=2, 4,\dots, 2n$. Соответственно, для каждого $\nu=1,\dots,n$ пересечение $E_\nu^{-1}\cap \{z\colon 0<|z|<s\}$ лежит в $\nu$-м секторе из объединения (3.1). Возьмем внутри $\Omega_\nu$ такую ограниченную односвязную подобласть $D_\nu$ с кусочно гладкой границей, что $E_\nu^{-1}\setminus\{0\}\subset D_\nu$ и Кроме того, потребуем, чтобы $\overline{D_k}\cap \overline{D_j}=\{0\}$ при $k\neq j$. Пусть $f_\nu$ – такое конформное отображение области $D_\nu$ на сектор $\Lambda_\nu=S_{2\nu-1}\cap U(0,r_\nu)$, что его продолжение на границу $D_\nu$ переводит точки 0, $s\exp((2\nu-2)\pi i/n)$, $s\exp((2\nu-1)\pi i/n)$ соответственно в точки 0, $r_\nu\exp((2\nu-2)\pi i/n)$, $r_\nu \exp((2\nu-1)\pi i/n)$, так что боковые отрезки сектора $S_{2\nu-1}\cap U(0,s)$ переходят в соответствующие боковые отрезки сектора $S_{2\nu-1}\cap U(0,r_\nu)$ (радиусы $r_\nu$ выберем чуть позже).4. Покажем, что $f_\nu(z)=c_\nu z+o(z)$ при $z\to 0$, где $c_\nu >0$. Действительно, функция $f_\nu^n(\zeta^{1/n})$ определена в верхней полуокрестности нуля (которая переводится ветвью $\zeta^{1/n}$ в сектор $S_{2\nu-1}\cap U(0,s)$) и отображает ее в другую верхнюю полуокрестность нуля так, что отрезок $[-s^{1/n},s^{1/n}]$ переходит в отрезок $[-r_\nu^n,r_\nu^n]$. По принципу симметрии эта функция продолжается до голоморфной в полную окрестность нуля, так что
$$
\begin{equation*}
f_\nu^n(\zeta^{1/n})=C_\nu \zeta+o(\zeta), \qquad \zeta\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_\nu >0$. Отсюда $f_\nu(z)=c_\nu z+o(z)$, где $c_\nu\in\sqrt[n]{C_\nu}$. Положительность $c_\nu$ следует из того, что $f_\nu$ переводит стороны сектора $S_{2\nu-1}$ вблизи нуля в себя. 5. Выберем $r_\nu$ так, чтобы было $c_\nu=1$, $\nu=1,\dots,n$ (умножим $f_\nu$ на соответствующее положительное число). Рассмотрим функцию $f$, определенную на множестве $\bigcup_{\nu=1}^n\overline{D_\nu}$ и равную $f_\nu$ на каждом $\overline{D_\nu}$. Ясно, что функция $f(z)/z$ принадлежит классу $\operatorname{AC}\bigl(\bigcup_{\nu=1}^n\overline{D_\nu}\bigr)$, компакт $\bigcup_{\nu=1}^n\overline{D_\nu}$ не разбивает плоскость, поэтому по теореме С. Н. Мергеляна найдется такой многочлен $P(z)$, что для всякого $z\in \bigcup_{\nu=1}^n\overline{D_\nu}\supset E^{-1}$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{f^n(z)}{z^n}-P(z)\biggr|<\frac{\varepsilon_0}{2},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где величину $\varepsilon_0$ выберем следующим образом. 6. Докажем существование такого $\varepsilon_0>0$, что для всякого $z\in E^{-1}$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{Im} f^n(z)\geqslant \varepsilon_0 |z|^n.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Действительно, пусть $z\in E_\nu^{-1}$. В достаточно малой окрестности нуля $V(0)$ неравенство (3.3) с некоторым $\varepsilon_0=\varepsilon_0(\nu)$ выполнено в силу утверждения п. 4 и того, что $E_\nu^{-1}\cap V(0)$ лежит в $\nu$-м суженном секторе из объединения (3.1). Остаток $E_\nu^{-1}\setminus V(0)$ компактно принадлежит области $D_\nu$, а значит, его образ $f_\nu^n(E_\nu^{-1}\setminus V(0))$ компактно принадлежит верхней полуплоскости, так что для точек $z\in E_\nu^{-1}\setminus V(0)$ неравенство (3.3) также выполнено с некоторым (другим) $\varepsilon_0=\varepsilon_0'(\nu)$. Остается взять минимум чисел $\varepsilon_0(\nu)$ и $\varepsilon_0'(\nu)$ по всем $\nu=1,\dots,n$. 7. Для $z\in E^{-1}$ из (3.2) и (3.3) получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im} z^n P(z)\geqslant \operatorname{Im} f^n(z)-\biggl|z^n\biggl(\frac{f^n(z)}{z^n}-P(z)\biggr)\biggr|\geqslant \frac{\varepsilon_0}{2}|z|^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для всех $w\in E$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{Im} \frac{1}{w^n}P\biggl(\frac{1}{w}\biggr)\geqslant \frac{\varepsilon_0}{2|w|^n}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
8. Пусть
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{w^n}P\biggl(\frac{1}{w}\biggr)=\frac{b_n}{w^n}+\dots+\frac{b_N}{w^N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выше мы предположили, что 0 – предельная точка компакта $K$; пусть $a_j\to 0$, $a_j\in K$. Фиксируем $m\in\{1,\dots,n\}$. Покажем, что для каждого $k=n,\dots,N$ найдется такая рациональная функция $r_k(w)$ со всеми полюсами порядка ровно $m$ в каких-то точках $a_j$, что неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{1}{w^k}-r_k(w)\biggr|<\frac{\varepsilon_0}{4N(|b_k|+1)|w|^n}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
выполнено при всех $w\in E$. Действительно, для всякого $\varepsilon>0$ найдется такой номер $\nu$, что неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{1}{w^{k-m+1}}-\frac{1}{(w-a_\nu)\dotsb(w-a_{\nu+k-m})} \biggr|<\varepsilon
\end{equation*}
\notag
$$
выполнено для всех $w$, удовлетворяющих неравенству $|w|>1/(2R)$ (напомним, $E\subset \{w\colon |w|>1/R\}$). Вычитаемое под модулем (обозначим его $r$) является линейной комбинацией дробей $1/(w-a_j)$, $j=\nu,\dots,\nu+k-m$. В силу интегральной формулы Коши для производных при $|w|\geqslant 1/R$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{1}{w^k}-r_k(w)\biggr|<C_1(R,m) \varepsilon,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $r_k$ пропорциональна $(m-1)$-й производной функции $r$ и представляет собой линейную комбинацию дробей $1/(w-a_j)^m$ с теми же $j$. Поскольку подмодульная функция в (3.6) голоморфна при $|w|\geqslant 1/R$ и ее ряд Лорана в $\infty$ имеет вид $c_{k+1}/w^{k+1}+c_{k+2}/w^{k+2}+\dotsb$, по лемме Шварца имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{1}{w^k}-r_k(w)\biggr|< \frac{C_2(R,m,k) \varepsilon}{|w|^{k+1}}\leqslant \frac{C_3(R,m,k,n) \varepsilon}{|w|^n}
\end{equation*}
\notag
$$
при $|w|\geqslant 1/R$. Подбирая нужное $\varepsilon$, получим оценку (3.5). 9. Функция $r_k$ может быть представлена в виде где $\mu_k$ есть линейная комбинация единичных атомных мер, сосредоточенных в указанных точках $a_j$.Тогда для меры $\mu=b_n\mu_n+\dots +b_N\mu_N$ имеем $\operatorname{supp} \mu\subset K$ и в силу (3.5)
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_K \frac{d\mu (z)}{(z-w)^m}-\frac{1}{w^n}P\biggl(\frac{1}{w}\biggr)\biggr|< \frac{\varepsilon_0}{4|w|^n}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $w\in E$, откуда в силу (3.4) имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im}\int_K \frac{d\mu (z)}{(z-w)^m}\geqslant \frac{\varepsilon_0}{4|w|^n}
\end{equation*}
\notag
$$
при каждом $w\in E$, что и требовалось. Мера $\mu$ как ненулевая мера с конечным носителем определяет ненулевой функционал на пространстве $\operatorname{AC}(K)$, и интеграл в последнем неравенстве равен значению этого функционала на функции $1/(z-w)^m$. Таким образом, множество $\operatorname{SF}^{(m)}(E)$ не является разносторонним в $\operatorname{AC}(K)$. Теорема 1 доказана. § 4. Вспомогательные результатыДля всякого спрямляемого жорданова контура $S$, лежащего в области $D$ вместе со своей внутренностью, обозначим через $\operatorname{AL}_2(S)$ пополнение пространства $A(D)$ по норме Ясно, что $\operatorname{AL}_2(S)$ является гильбертовым пространством.Лемма 1. Пусть непрерывная кривая $\xi=\{\xi(t)\colon t \in [0,1] \} \subset \overline{{\mathbb C}}$ спрямляема в сферической метрике и обладает следующими свойствами: $\xi([0,1)) \subset {\mathbb C}$, $\xi(1)=\infty$, существует $\lim_{t \to 1} \arg \xi(t)$, $\arg \xi(t)$ имеет ограниченную вариацию вблизи точки $t=1$. Тогда для всякого гладкого контура $S \subset {\mathbb C} \setminus \xi$ и всякого натурального $n$ семейства функций представляют собой спрямляемые кривые в пространстве $\operatorname{AL}_2(S)$. Доказательство. Положим Для всех пар $z \in S$, $\zeta \in \xi$ имеем Возьмем такое $\eta \in (0,1)$, что $\arg \xi(t)$ имеет ограниченную вариацию на $[\eta,1]$ и $|\xi(t)| > 2M$ при $t \in [\eta,1]$. Положим $R=\max\{ |\xi(t)|\colon t \in [0, (1+\eta)/2]\}$.
Для всякого положительного $\varepsilon < (1-\eta)/2$ и всяких двух значений $t, s \in [0, 1]$, $|t-s| < \varepsilon$, $\xi(t)= a$, $\xi(s)=b$, при $z\in S$ оценим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |f_t(z) - f_s(z)| &=\biggl| \frac{|a|^n}{(z-a)^n} -\frac{|b|^n}{(z-b)^n} \biggr| \\ \notag &\leqslant \biggl| \frac{z(|a| - |b|) + a |b|-b|a|}{(z-a)(z-b)} \biggr| \sum_{k=0}^{n-1} \biggl|\frac{a}{z-a} \biggr|^k \,\biggl| \frac{b}{z-b} \biggr|^{n-1-k} \\ \notag &\leqslant n C_1(M, \delta)^{n-1} \biggl( M \biggl| \frac{|a| - |b|}{(z-a)(z-b)} \biggr| + \biggl| \frac{a|b| - b |a|}{(z-a)(z-b)} \biggr| \biggr) \\ &=C_2(M, n, \delta) \frac{\bigl||a|-|b|\bigr|}{|z-a|\,|z-b|} + C_3(M,n,\delta) \frac{\bigl|a|b| - b |a|\bigr|}{|z-a|\,|z-b|}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Поскольку $\bigl||a|-|b|\bigr| \leqslant |a-b|$ и для всех $z \in S$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{|z-a|} \leqslant \frac{C_4(M, \delta)}{\sqrt{|a|^2 + 1}},
\end{equation*}
\notag
$$
первое слагаемое в (4.1) оценивается как
$$
\begin{equation*}
C_2(M,n,\delta) C_4(M,\delta)^2 \frac{|a-b|}{\sqrt{|a|^2 + 1} \sqrt{|b|^2 + 1}}=C_5(M, n, \delta) \chi(a,b),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\chi(a,b)$ – сферическое расстояние между точками $a, b \in {\mathbb C}$.
Для оценки второго слагаемого в (4.1) рассмотрим два случая. Если $t, s \in [0, \eta + \varepsilon], $ то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\bigl|a|b| - b|a|\bigr|}{|z-a|\,|z-b|} &\leqslant \frac{\bigl|a(|b|- |a|)\bigr| + |a|\,|a-b|}{|z-a|\,|z-b|}\leqslant \frac{2R |a-b|}{|z-a|\,|z-b|} \\ &\leqslant 2R C_4 (M, \delta)^2\frac{|a-b|}{\sqrt{|a|^2 +1 }\sqrt{|b|^2 + 1}}=C_6(R, M, \delta) \chi(a,b). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если же $t, s \in [\eta, 1]$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\bigl|a|b| - b|a|\bigr|}{|z-a|\,|z-b|} &\leqslant \biggl|\frac{a}{|a|} - \frac{b}{|b|} \biggr| \frac{1}{|1-z/a|\, |1-z/b|} \\ &\leqslant |\arg a - \arg b| \frac{1}{(1-1/2)^2}=4 |\arg a - \arg b|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\| f_t - f_s \|_{\operatorname{AL}_2(S)} \leqslant C_7(R, M, \delta, S, n) \cdot \begin{cases} \chi(a,b), & t, s \in [0,\eta + \varepsilon], \\ \chi(a,b) + |\arg a - \arg b|, & t, s \in [\eta, 1]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для всякого разбиения $0=t_0 < t_1 <\dots < t_N= 1$ сумма $\sum_{k=1}^N \| f_{t_k} - f_{t_{k-1}} \|_{\operatorname{AL}_2(S)}$ оценится (с константой) длиной $\xi$ в сферической метрике плюс вариацией $\arg (\xi(t))$ на отрезке $[\eta, 1]$, а значит, кривая $f_t$ спрямляема в $\operatorname{AL}_2(S)$.
Что касается кривой $g_t$, то здесь оценка проще $(\xi(t)=a, \xi(s)=b)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |g_t(z) - g_s(z)| &=\biggl| \frac{1}{(z-a)^n} - \frac{1}{(z-b)^n} \biggr| \leqslant \frac{|a-b|}{|z-a|\,|z-b|} \sum_{k=0}^{n-1}\biggl|\frac{1}{z-a} \biggr|^k\, \biggl| \frac{1}{z-b}\biggr|^{n-1-k} \\ & \leqslant C_4(M, \delta)^2 \frac{|a-b|}{\sqrt{|a|^2 + 1}\sqrt{|b|^2+1}}\, \frac{n}{\delta^{n-1}}=C_8(M, \delta, n)\chi(a,b), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует спрямляемость $g_t$ в $\operatorname{AL}_2(S)$. Лемма доказана. Лемма 2. Если для функции $g\in \operatorname{AL}_2(S)$ и натурального $n$ равенство справедливо при всех $w$ во внешности $S$, то $g=0$. Доказательство. Интегрируя данное тождество, получим, что функция равна многочлену вне $S$, а поскольку $\widehat g(w)\to 0$ при $w\to \infty$, то $\widehat g(w)\equiv 0$. Ряд Лорана функции $\widehat g$ в $\infty$ имеет коэффициенты и равенство их нулю означает, что $g$ как элемент $\operatorname{AL}_2(S)$ ортогонален всем многочленам. Поскольку многочлены плотны в $\operatorname{AL}_2(S)$, получаем $g=0$. Лемма доказана. Следующая лемма играет ключевую роль в доказательстве теоремы 2. Напомним, что банахово пространство $X$ с единичной сферой $S(X)$ называется равномерно выпуклым, если для всякого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что
$$
\begin{equation*}
x,y\in S(X), \quad \biggl\|\frac{x+y}{2}\biggr\|> 1-\delta \quad\Longrightarrow\quad \|x-y\|< \varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Гильбертово пространство является равномерно выпуклым. Лемма 3. Пусть в равномерно выпуклом банаховом пространстве $X$ задано разностороннее множество $\Gamma=\Gamma_1\cup\dots\cup \Gamma_l$, состоящее из спрямляемых (замкнутых или разомкнутых) кривых $\Gamma_j$. Тогда для всякого $\varepsilon>0$ найдутся такие элементы $x_1,\dots,x_n\in \Gamma$, что $\|x_1+\dots +x_n\|<\varepsilon$. При дополнительном условии так называемой минимальности множества $\Gamma$ можно доказать больше [7; теорема 2], а именно, что замыкание множества всевозможных сумм элементов из $\Gamma$ есть замкнутая аддитивная подгруппа в $X$ (т.е. в этом замыкании содержится не только нулевой элемент, но и $-\Gamma$). Многие фрагменты нижеследующего доказательства повторяют соответствующие места из доказательства [7; теорема 2], однако простой ссылкой здесь не обойтись. Доказательство леммы 3. Ниже $\rho(x,A):=\inf \{\|x-a\|\colon a\in A\}$ обозначает расстояние от точки $x\in X$ до множества $A\subset X$.
Нам понадобится Лемма A (см. [7; лемма 3]). Пусть банахово пространство $X$ равномерно выпукло. Тогда для любого $\eta>0$ найдется такое $\tau>0$, что из $\|u-v\|=1$, $\|z-u\|+\|z-v\|\leqslant 1+\tau$ следует $\rho(z,[u,v])<\eta$. Равномерная выпуклость пространства $X$ нужна только для выполнения леммы A. Для заданного $\varepsilon>0$ выберем по лемме A число $\tau$, соответствующее значению $\eta=\varepsilon/(8|\Gamma|)$. Из разносторонности $\Gamma$ следует, что $0$ лежит в замыкании $\overline{\operatorname{conv} \Gamma}$ выпуклой оболочки $\Gamma$. По [8; предложение 1.2] существует вероятностная мера $\mu$ с носителем на $\Gamma$, представляющая $0$: Носитель $\operatorname{supp} \mu$ меры $\mu$ может не совпадать с $\Gamma$. Покроем $\operatorname{supp} \mu$ таким объединением $\Gamma'\subseteq \Gamma$ спрямляемых дуг $\Gamma_1',\dots,\Gamma_m'$, чтобы длина $|\operatorname{supp} \mu|$ была больше $|\Gamma'|-\delta$, где малое $\delta>0$ выбрано по заданному $\varepsilon>0$ и выбранному выше $\tau$ из следующего условия: для всякого разбиения исходного множества $\Gamma$ на дуги $\gamma_k$ с длинами $|\gamma_k|<\delta$ для всех $k$ сумма длин соответствующих хорд $\Delta_k$ (отрезок $\Delta_k$ соединяет концы $\gamma_k$) не меньше $|\Gamma|-\varepsilon\tau/(4+4\tau)$. Пусть $\theta_j=\mu(\Gamma_j')$, $j=1,\dots,m$. По теореме Дирихле о совместных приближениях (см. [9; гл. 1, § 5]) существует бесконечная последовательность $\Lambda$ натуральных чисел $n$, для каждого из которых все числа $n\theta_j$ отличаются от ближайших к ним целых неотрицательных чисел $n_j$ меньше чем на $n^{-1/m}$. Зафиксируем $n\in \Lambda$. Для каждого $j$ возьмем на кривой $\Gamma_j'$ какую-нибудь точку (один из концов $\Gamma_j'$, если эта кривая разомкнута) и начиная от нее последовательно отложим $n_j$ связных дуг, включающих свои концы, мера $\mu$ каждой из которых равна $1/n$. Если мера $\mu$ имеет атом $a$ на кривой $\Gamma_j'$, то этот атом может сам служить точечной дугой разбиения или общим концом двух соседних дуг, причем его мера дробится нужным образом на все дуги, в которые он входит. При таком разбиении последняя дуга либо не “дойдет” до первой (соответственно до другого конца всей кривой $\Gamma_j'$), либо перекроет ее (соответственно, “оттолкнувшись” от другого конца кривой $\Gamma_j'$, пойдет обратно по ней же). В любом случае образуется лишняя дуга $\alpha_j$ (не покрытая совсем или покрытая дважды), для которой $\mu(\alpha_j)<n^{-(1+1/m)}$. В итоге все множество $\Gamma'$ разобьется на ориентированные дуги $\gamma_1,\dots,\gamma_n$ с $\mu(\gamma_k)=1/n$, $k=1,\dots,n$, и ориентированные дуги $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ с $\mu(\alpha_j)<n^{-(1+1/m)}$, $j=1,\dots,m$, причем некоторые из дуг $\alpha_j$ проходятся в противоположном направлении, а некоторые из дуг $\gamma_k$ имеют точки возврата в одном из концов кривой $\Gamma_j'$, после которой проходят обратно сами по себе вдоль соответствующей дуги $\alpha_j$. Для каждого $k=1,\dots,n$ найдется такая точка $y_k\in X$, что
$$
\begin{equation*}
f(y_k)=n\int_{\gamma_k}f(y)\,d\mu(y) \quad \forall\, f\in X^*
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [8; предложение 1.1]). Точка $y_k$, являясь средним нормированного сужения меры $\mu$ на соответствующую дугу $\gamma_k$, лежит в замыкании выпуклой оболочки $\operatorname{conv} \gamma_k$ этой дуги. Положим $d(\gamma_k)=\sup\{\rho(x,\gamma_k)\colon x\in \operatorname{conv} \gamma_k\}$. Возьмем какие-нибудь точки $x_k\in \gamma_k$, ближайшие к точкам $y_k$, $k=1,\dots,n$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\sum_{k=1}^n x_k\biggr\| &\leqslant \sum_{k=1}^n \|x_k-y_k\|+\biggl\|\sum_{k=1}^n y_k\biggr\| \leqslant \sum_{k=1}^n d(\gamma_k)+\sup_{f\in S(X^*)}\sum_{k=1}^n f(y_k) \\ &=\sum_{k=1}^n d(\gamma_k) +\sup_{f\in S(X^*)}\sum_{k=1}^n n\int_{\gamma_k}f(y)\,d\mu(y) \\ &=\sum_{k=1}^n d(\gamma_k) + \sup_{f\in S(X^*)}n\biggl(\int_{\Gamma'} f(y)\,d\mu(y) - \sum_{j=1}^m \int_{\alpha_j}f(y)\,d\mu(y)\biggr) \\ &=\sum_{k=1}^n d(\gamma_k) + \sup_{f\in S(X^*)}n\sum_{j=1}^m \int_{\alpha_j}f(y)\,d\mu(y) \\ &\leqslant \sum_{k=1}^n d(\gamma_k) + mn\sup_{y\in \Gamma'}\|y\| n^{-1-1/m}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Второе слагаемое в последней сумме при достаточно большом $n$ станет меньше $\varepsilon/2$. Осталось доказать, что $\sum_{k=1}^n d(\gamma_k)<\varepsilon/2$ при больших $n$. Для данного $k\in\{1,\dots,n\}$ обозначим через $l_k$ длину отрезка, соединяющего концы $u$ и $v$ дуги $\gamma_k$. Сумма расстояний от любой точки дуги $\gamma_k$ до $u$ и до $v$ не превосходит длины $|\gamma_k|$ этой дуги. Поэтому дуга $\gamma_k$ лежит внутри 2-шара $B_k=B(u,v;|\gamma_k|)=\{z\in X\colon \|z-u\|+\|z-v\|\leqslant |\gamma_k|\}$. В этом же 2-шаре лежит и выпуклая оболочка $\operatorname{conv}\gamma_k$. Положим
$$
\begin{equation*}
r_k=\sup_{z\in B_k} \rho(z,[u,v])\leqslant \frac{|\gamma_k|}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
и заметим, что, во-первых, каждая точка отрезка $[u,v]$ отстоит от кривой $\gamma_k$ не более чем на $r_k$, а во-вторых,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag d(\gamma_k) &=\sup_{z\in \operatorname{conv} \gamma_k} \rho(z,\gamma_k)\leqslant \sup_{z\in B_k} \rho(z,\gamma_k) \\ &\leqslant \sup_{z\in B_k} (\rho(z,[u,v])+r_k)=2r_k\leqslant |\gamma_k|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Для наших $u$ и $v$ – концов дуги $\gamma_k$ – имеем $\|u-v\|=l_k$, поэтому по лемме A из $\|z-u\|+\|z-v\|\leqslant l_k(1+\tau)$ следует $\rho(z,[u,v])<\varepsilon l_k/(8|\Gamma|)$, или, в принятых выше обозначениях,
$$
\begin{equation}
|\gamma_k|\leqslant l_k(1+\tau) \quad\Longrightarrow\quad r_k\leqslant \frac{\varepsilon l_k}{8|\Gamma|} \quad\Longrightarrow\quad d(\gamma_k)\leqslant 2\frac{\varepsilon l_k}{8|\Gamma|}\leqslant \frac{\varepsilon |\gamma_k|}{4|\Gamma|}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Пусть $I_1$ – множество тех $k\in\{1,\dots,n\}$, для которых выполнено неравенство $|\gamma_k|\leqslant l_k (1+\tau)$, а $I_2$ – множество оставшихся $k$. Из (4.2) и (4.3) имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n d(\gamma_k)= \sum_{k\in I_1} d(\gamma_k)+\sum_{k\in I_2} d(\gamma_k) \leqslant \frac{\varepsilon}{4|\Gamma|} \sum_{k\in I_1}|\gamma_k|+\sum_{k\in I_2} |\gamma_k| <\frac{\varepsilon}{4}+\sum_{k\in I_2} |\gamma_k|.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
При достаточно больших $n$ все дуги $\gamma_k$ имеют длину меньше $\delta$: в противном случае получится предельная дуга $\gamma\subset \Gamma'$ с $|\gamma|\geqslant \delta$ и $\mu(\gamma)=0$, что противоречит неравенству $|\Gamma'|<|\operatorname{supp} \mu|+\delta$, о котором мы условились выше. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^n l_k> \sum_{k=1}^n|\gamma_k|-\frac{\varepsilon\tau}{4+4\tau}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. выше условия выбора $\delta$). Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{k=1}^n |\gamma_k|-\frac{\varepsilon\tau}{4+4\tau}<\sum_{k=1}^n l_k=\sum_{k\in I_1} l_k+\sum_{k\in I_2} l_k \\ &\qquad \leqslant \sum_{k\in I_1} |\gamma_k|+ (1+\tau)^{-1}\sum_{k\in I_2} |\gamma_k|=\sum_{k=1}^n |\gamma_k|-\frac{\tau}{1+\tau}\sum_{k\in I_2} |\gamma_k|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда что вместе с (4.4) дает Лемма 3 доказана. Отметим, что в процессе доказательства леммы 3 была доказана Лемма 4. Пусть $\Gamma$ – спрямляемая кривая в равномерно выпуклом банаховом пространстве. Для всякого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что при любом разбиении $\Gamma$ на дуги $\gamma_k$ с длинами $|\gamma_k|<\delta$ выполнено неравенство $\sum_k d(\gamma_k)<\varepsilon$, где $d(\gamma_k)=\sup\{\rho(x,\gamma_k)\colon x\in \operatorname{conv} \gamma_k\}$. Лемма 5. Пусть граница области $D \subset \mathbb{C}$ состоит из конечного числа кривых $\xi_k$, $k= 1,\dots, m$, удовлетворяющих условиям (1) и (2) теоремы 2. Пусть, кроме того, для некоторого натурального $n$ все числа $e^{in\alpha_k}$ и $e^{in\beta_k}$ ($\alpha_k$ и $\beta_k$ – асимптотические направления из условия (2) теоремы 2) лежат в некоторой открытой полуплоскости, граничная прямая которой проходит через 0, и в то же время для всякого натурального $N\geqslant n$ множество не лежит ни в какой замкнутой полуплоскости, граничная прямая которой проходит через $0$. Тогда дроби плотны в $A(D)$. Доказательство. 1. Достаточно доказать, что для всякого гладкого жорданова контура $S$, лежащего в $D$, множество $\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)$ плотно в пространстве $\operatorname{AL}_2(S)$. Действительно, всякий компакт $K \subset D$ можно окружить таким контуром $S$, и если функция $f \in A(D)$ с любой точностью приближается дробями из $\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)$ в $\operatorname{AL}_2(S)$, то в силу интегральной формулы Коши она с любой точностью приближается этими дробями равномерно на $K$.
2. На каждой кривой $\xi_k$ выберем произвольную точку $a_k$ и произвольную открытую дугу $\Delta_k$, содержащую $a_k$. Наша цель – найти дробь из $\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)$ с малой нормой в $\operatorname{AL}_2(S)$ и с хотя бы одним полюсом на одной из дуг $\Delta_k$. 3. Для каждого $k=1,\dots, m$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \gamma_k &=\biggl\{ \frac{1}{(z - \xi_k(t))^n}\colon t \in [\delta,1-\delta] \biggr\}, \\ \Gamma_k^0 &=\biggl\{ \frac{|\xi_k(t)|^n}{(z - \xi_k(t))^n}\colon t \in[0,\delta] \biggr\}, \\ \Gamma_k^1 &=\biggl\{ \frac{|\xi_k(t)|^n}{(z - \xi_k(t))^n}\colon t \in[1-\delta,1] \biggr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где (единое для всех $k$) число $\delta$ выбрано так, что $\arg \xi_k(t)$ имеет ограниченную вариацию на $[0,\delta]$ и $[1-\delta, 1],$ и выбранные выше дуги $\Delta_k$ лежат на дугах $\xi_k([\delta,1\,{-}\,\delta])$.
Эти однопараметрические семейства функций являются непрерывными кривыми в пространстве $\operatorname{AL}_2(S),$ причем эти кривые являются компактами: при $t \to 0$ точка кривой $\Gamma_k^0$ стремится к константе $(-1)^n e^{-in \alpha_k}$; а при $t \to 1$ точка кривой $\Gamma_k^1$ стремится к константе $(-1)^n e^{-in \beta_k}$. Все кривые $\gamma_k$, $\Gamma_k^0$, $\Gamma_k^1$ спрямляемы по лемме 1. Покажем, что множество
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\bigcup_{k=1}^m ( \gamma_k \cup \Gamma_k^0\cup \Gamma_k^1)
\end{equation*}
\notag
$$
является разносторонним в $\operatorname{AL}_2(S)$, т.е. для всякого ненулевого элемента $g \in \operatorname{AL}_2(S)$ найдется такое $h \in \Gamma$, что скалярное произведение $(h,g)$ имеет отрицательную действительную часть. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
F(w)=\int_S \frac{\overline{g(z)}}{(z-w)^n}\,|dz| =\biggl(\frac{1}{(z-w)^n}, g(z) \biggr).
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Эта функция голоморфна во внешности $S$, $F(w) \to 0$ при $w \to \infty$. По лемме 2 функция $F$ не тождественна нулю, поэтому $F(w)=C/w^N + o(1/w^N)$ при $w\,{\to}\,\infty$ для некоторых $C \neq 0$ и $N \geqslant n$. По условию леммы найдется такое $\varphi \in \bigcup_{k=1}^m (\alpha_k, \beta_k),$ что $\operatorname{Re} (C e^{-iN\varphi}) < 0.$ Кроме того, все числа $R e^{i\varphi}$ при достаточно больших $R$ лежат в области $\Omega_k$, ограниченной кривой $\xi_k$ и не пересекающейся с $D$ (для некоторого $k$). Имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} F(Re^{i\varphi})=\operatorname{Re} C e^{-iN\varphi}R^{-N}(1 + o(1)) < 0
\end{equation*}
\notag
$$
при $R \to \infty$. По принципу максимума для гармонических функций $\operatorname{Re} F(w) < 0$ для некоторого $w=\xi_k(t) \in \partial \Omega_k=\xi_k$. Если $t \in [\delta,1-\delta]$, то получается $\operatorname{Re} (h,g) < 0$ для соответствующего $h \in \gamma_k,$ а если $t \in [0, \delta) \cup (1-\delta, 1]$, получается, что $\operatorname{Re} (h,g) < 0$ для соответствующего $h \in \Gamma_k^0 \cup \Gamma_k^1$.
Итак, $\Gamma$ есть разностороннее множество в гильбертовом пространстве $\operatorname{AL}_2(S)$, состоящее из конечного числа спрямляемых кривых. 4. По лемме 3 для всякого $\varepsilon > 0$ найдутся такие элементы $x_1, \dots, x_N \in \Gamma$, что Покажем, что при всех достаточно малых $\varepsilon$ один из $x_j$ есть дробь вида ${1}/{(z\,{-}\,b)^n}$, где $b \in \Delta_1 \cup \dots \cup \Delta_m.$ Рассмотрим множество
$$
\begin{equation}
\biggl\{ \frac{1}{(z-w)^n}\colon w \in \bigcup_{k=1}^m (\xi_k \setminus \Delta_k) \biggr\}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
и какой-нибудь бесконечный компакт $K$, лежащий строго внутри контура $S$. Множество (4.7) не является разносторонним в $\operatorname{AC}(K)$ по теореме 1, причем по последнему утверждению теоремы 1 найдутся такие мера $\mu$ с носителем на $K$, точка $a\in K$ и число $c>0$, что неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im} \int_K \frac{d\mu(z)}{(z-w)^n} \geqslant \frac{c}{|w-a|^n}
\end{equation*}
\notag
$$
выполнено для всех $w\in \bigcup_{k=1}^m (\xi_k\setminus \Delta_k)$. Отображение определяет линейный непрерывный функционал в пространстве $\operatorname{AL}_2(S)$. Получается, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im} F_\mu\biggl(\frac{1}{(\cdot-w)^n}\biggr)\geqslant \frac{c}{|w-a|^n}
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $w\in \bigcup_{k=1}^m (\xi_k\setminus \Delta_k)$. Тогда значения $F_\mu$ на всех элементах из $\Gamma'=\Gamma \setminus \bigl\{{1}/{(z-a)^n}\colon a \in \Delta_1 \cup \dots \cup \Delta_m \bigr\}$, в том числе и на концах кривых $\Gamma_k^0$ и $\Gamma_k^1$, упомянутых выше в п. 3, имеют положительную мнимую часть. Поскольку $\Gamma'$ компактно, $\operatorname{Im} F_\mu(x) > \eta > 0$ для всех $x \in \Gamma',$ а тогда
$$
\begin{equation*}
\| x_1 + \dots+ x_N \| \geqslant F_\mu(x_1 + \dots+ x_N) \geqslant \frac{N\eta}{\|F_\mu \|} \geqslant \frac{\eta}{\| F_\mu \|}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $x_1,\dots, x_N \in \Gamma'$. Следовательно, при всех достаточно малых $\varepsilon$ один из $x_j$ в (4.6) принадлежит $\Gamma \setminus \Gamma'$, что и требовалось.
5. Теперь покажем, что сумму $x_1 + \dots + x_N$ в (4.6) можно заменить близкой по норме дробью из $\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)$ с теми же полюсами. Элементы $x_j$ из $\gamma_1 \cup \dots \cup \gamma_m$ и так дают в сумме элемент из $\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)$. Возьмем все $x_j$ из какой-нибудь кривой $\Gamma_k^0$. Их сумму можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
S_k^0=\sum_{\nu=1}^l \frac{|\xi_k(t_\nu)|^n}{(z - \xi_k(t_\nu))^n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $0 \leqslant t_1 \leqslant t_2 \leqslant \dots \leqslant t_l \leqslant \delta.$ Пусть где числа $q_\nu$ целые неотрицательные, а числа $r_\nu \in [-1,1]$ таковы, что
$$
\begin{equation*}
\biggl| R_p := \sum_{\nu=1}^p r_\nu \biggr| \leqslant 1, \qquad p=1, \dots, l.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\| S_k^0 - \sum_{\nu=1}^l \frac{q_\nu}{(z -\xi_k(t_\nu))^n} \biggr\| =\biggl\| \sum_{\nu=1}^l\frac{r_\nu}{(z - \xi_k(t_\nu))^n} \biggr\| \\ &\qquad=\biggl\| \sum_{\nu=1}^{l-1} R_\nu \biggl( \frac{1}{(z -\xi_k(t_\nu))^n} - \frac{1}{(z - \xi_k(t_{\nu+1}))^n} \biggr) +\frac{R_l}{(z - \xi_k(t_l))^n} \biggr\| \\ &\qquad\leqslant |\gamma_k^0(\delta)| + \frac{C(S)}{M(\delta)^n}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_k^0(\delta)=\{ 1/(z - \xi_k(t))^n\colon t \in [0,\delta] \}$ – кривая в $\operatorname{AL}_2(S)$, спрямляемая по лемме 1 (ее длина $|\gamma_k^0(\delta)|$ стремится к $0$ при $\delta \to0$), а
$$
\begin{equation*}
M(\delta)=\min \bigl\{ |\xi_k(t)|\colon t \in [0, \delta] \cup [1-\delta,1], \,k=1,\dots, m\bigr\} \to \infty, \qquad \delta\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, сумма всех $x_j$ из какой-нибудь кривой $\Gamma_k^1$ отличается от некоторой дроби из $\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)$ не более чем на $|\gamma_k^1(\delta)| + C(S)/M(\delta)^n$, где $\gamma_k^1(\delta)=\{ 1/(z-\xi_k(t))^n\colon t \in [1-\delta, 1]\}$.
В итоге мы получим дробь $r=r(\delta, \varepsilon) \in \operatorname{SF}^{(n)}(\partial D),$ близкую к $x_1 + \dots + x_N$ по норме $\operatorname{AL}_2(S)$, так что
$$
\begin{equation*}
\| r \| \leqslant \varepsilon + \sum_{k=1}^m (|\gamma_k^0(\delta)| + |\gamma_k^1(\delta)|) +\frac{2mC(S)}{M(\delta)^n},
\end{equation*}
\notag
$$
и при этом согласно п. 4 доказательства один из полюсов $r$ лежит на $\Delta_1 \cup \dots \cup \Delta_m$. Параметр $\delta$ можно устремить к $0$, при этом $|\gamma_k^0(\delta)| \to 0$ и $|\gamma_k^1(\delta)| \to 0$, $M(\delta) \to \infty$, зависящий от $\delta$ параметр $\varepsilon$ (см. п. 4) также можно устремить к $0$.
6. Из предыдущего следует, что найдутся такое $k \in \{1, \dots,m\}$ и такие последовательности $r_j \in \operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)$, $b_j \in \xi_k$, $\varepsilon_j \to 0$, $j=1, 2, \dots$, что $\| r_j \| < \varepsilon_j$, $b_j \to a_k$ и $r_j$ имеет полюс в точке $b_j$. Это означает, что дробь $-1/(z-a_k)^n$ принадлежит замыканию $\overline{\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)}$ в пространстве $\operatorname{AL}_2(S)$. Получается, для любого набора точек $\{a_k\}_{k=1}^m$ с $a_k \in \xi_k$ одна из дробей $-1/(z-a_k)^n$ принадлежит $\overline{\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)}$. Следовательно, найдется такой номер $k$, что вся кривая $\{ -1/(z-a)^n\colon a \in \xi_k\}$ принадлежит $\overline{\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)}$. 7. Таким образом, $\overline{\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)}$ содержит замкнутую аддитивную подгруппу $G$, порожденную функциями $\pm 1/(z-a)^n$, $a \in \xi_k$. Теперь нам понадобится Лемма B (см. [7; теорема 5]). Пусть $G$ – замкнутая аддитивная подгруппа равномерно гладкого пространства $X$, модуль гладкости которого удовлетворяет равенству $s(\tau)=O(\tau^2)$ при $\tau\to 0$, $E$ – связное множество на плоскости и липшицево отображение $\varphi \colon E\to X$ таково, что $\varphi(E)\subset G$. Тогда $G$ содержит замкнутое ${\mathbb R}$-линейное подпространство $L$, порожденное элементами вида $a-b$, где $a,b\in \varphi(E)$. В нашем случае для гильбертова пространства $X=\operatorname{AL}_2(S)$, модуль гладкости которого удовлетворяет нужному условию, и липшицева отображения $\varphi\colon [0,1]\to G$, $\varphi(t)=1/(z-\xi_k(t))^n$, $\varphi(0)=\varphi(1)=0$, по лемме B получаем, что $G$ содержит замкнутое $\mathbb{R}$-линейное подпространство $L$, порожденное функциями $1/(z-a)^n$, $a \in \xi_k$. Докажем, что $L$ совпадает с $\operatorname{AL}_2(S)$. В противном случае найдется ненулевая функция $g \in \operatorname{AL}_2(S),$ для которой $\operatorname{Re} F(w)= 0$ при $w \in \xi_k$, где функция $F$ определена выше, в (4.5). По принципу максимума $\operatorname{Re} F$ равна нулю в области $\Omega_k$ (определенной в п. 3 доказательства), а тогда и $F \equiv 0$ вне $S$, и по лемме 2 получаем $g \equiv 0$, т.е. противоречие. Таким образом, $\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)$ плотно в $L=\operatorname{AL}_2(S)$, что и требовалось. Лемма 5 доказана. § 5. Доказательство теорем 2 и 3 Доказательство теоремы 2. 1. Надо доказать, что всякая функция $f\in A(D)$ равномерно приближается дробями из $\operatorname{SF}(\partial D)$ на всяком компакте $K$ в области $D$. Без ограничения общности считаем $K$ спрямляемым: любые две его точки можно соединить кривой длины не больше $M=M(K)$, целиком лежащей в $K$.
2. Пусть $n$ – наименьшее такое натуральное число, что все числа $e^{in\alpha_k}$ и $e^{in\beta_k}$, $k=1,\dots, m$, лежат в некоторой открытой полуплоскости, граничная прямая которой проходит через $0$. Такое $n$ найдется, поскольку, например, в силу теоремы Дирихле (см. [9; гл. 1, § 5]) можно найти такое натуральное $N$, что все числа $N \alpha_k/2\pi$, $N\beta_k/2\pi$ мало отличаются от целых чисел. По лемме 5 дроби из $\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)$ плотны в $\operatorname{AC}(K)$. Если $n=1$, доказательство заканчивается. Далее считаем $n>1$. 3. Теперь достаточно доказать, что для каждого $\nu=1,\dots,n-1$ дроби из $\operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D)$ с любой точностью приближают равномерно на $K$ всякую константу. Действительно, если это верно, то плотность $\operatorname{SF}(\partial D)$ докажется через последовательную плотность $\operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D)$ ($\nu$ меняется от $n$ до 1) следующим образом. Пусть $f\in A(D)$ и по предположению индукции найдется такая дробь $r\in \operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D)$, что $\|f'-r'\|_{\operatorname{AC}(K)}<\varepsilon$. Интегрируя от какой-нибудь точки $z_0\in K$ по кривым, лежащим в $K$, получим $\|f-r+C(\varepsilon)\|_{\operatorname{AC}(K)}<\varepsilon M(K)$. Если константа $C(\varepsilon)$ приближается дробями из $\operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D)$ с любой точностью, то и $f$ приближается такими дробями с любой точностью. 4. Достаточно приблизить всякую константу дробями из $\operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D)$ по норме пространства $\operatorname{AL}_2(S)$, где $S$ – гладкий жорданов контур, окружающий $K$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E_\nu &=\{e^{i\nu\alpha_k}, e^{i\nu\beta_k}\colon k=1,\dots,m \}, \\ \operatorname{cone} E_\nu &=\biggl\{\sum_{p=1}^3 \lambda_p u_p\colon u_p\in E_\nu,\, \lambda_p\geqslant 0 \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\zeta\in \operatorname{cone} E_\nu$, $\zeta=\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3u_3$. Возьмем большие по модулю числа $a_p \in \partial D$, для которых отношения $a_p^\nu/|a_p|^\nu$ близки к $u_p\in E_\nu$, $p=1, 2, 3$. При $z \in S$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl| \sum_{p=1}^3 \frac{[\lambda_p |a_p|^\nu]}{(z-a_p)^\nu} - (-1)^\nu \overline{\zeta} \biggr|= \biggl| \sum_{p=1}^3\biggl( \frac{[\lambda_p |a_p|^\nu]}{(z-a_p)^\nu} - (-1)^\nu \lambda_p \overline{u_p}\biggr) \biggr| \\ &\qquad \leqslant \sum_{p=1}^3 \biggl( \frac{1}{|z-a_p|^\nu} + \lambda_p \biggl| \frac{|a_p|^\nu}{(z-a_p)^\nu} - (-1)^{\nu}\overline{u_p} \biggr| \biggr) \to 0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $z \in S$ при $a_p \in \partial D$, $a_p \to \infty,$ $a_p^\nu/|a_p|^\nu \to u_p$.
Таким образом, для всякого $\zeta\in \operatorname{cone} E_\nu$ константа $(-1)^\nu \overline{\zeta}$ приближается дробями из $\operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D)$ равномерно на $S$. 5. Если $\operatorname{cone} E_\nu={\mathbb C}$, то все доказано. Поскольку $E_\nu$ не лежит ни в какой открытой полуплоскости ($\nu<n$, см. п. 2 доказательства), возможны еще только два случая: $\operatorname{cone} E_\nu$ – полуплоскость с нулем на границе или прямая, проходящая через нуль. Рассмотрим эти случаи отдельно. 6. Пусть, без ограничения общности, $\operatorname{cone} E_\nu$ представляет собой нижнюю полуплоскость $\{z\colon \operatorname{Im} z \leqslant 0\}$. В силу условия (3) доказываемой теоремы отрезок $[0,\pi]$ покрыт каким-то отрезком $[\nu\alpha_k,\nu\beta_k]$ (по модулю $2\pi$). Если $[0,\pi]$ – собственный подотрезок отрезка $[\nu\alpha_k,\nu\beta_k]$, то $\operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi_k)$ плотно в $\operatorname{AL}_2(S)$ по лемме 5 и, в частности, приближают всякую константу. Пусть теперь $[0,\pi]=[\nu\alpha_k,\nu\beta_k]\, ({\rm mod}\, 2\pi) $. 7. Пусть $g$ – какое-нибудь конформное отображение верхней полуплоскости на область $\Omega_k$, ограниченную кривой $\xi_k$ и не пересекающуюся с $D$, $g(z)\to \infty$ при $z\to \infty$. По теореме Каратеодори $g$ продолжается до гомеоморфизма замкнутой верхней полуплоскости на $\overline{\Omega_k}$, так что $g(t)$, $t\in {\mathbb R}$, есть параметризация кривой $\xi_k$. Для произвольных $s>0$ и $u\in [-\pi,\pi]$ рассмотрим функции
$$
\begin{equation*}
\varphi_{s,u}(z)=\frac{1}{(z-g(s \operatorname{tg} ({u}/{2})))^\nu}-\frac{1}{(z-g(is))^\nu},
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежащие пространству $\operatorname{AL}_2(S)$ и составляющие в нем замкнутую кривую $\Gamma_s=\{\varphi_{s,u}\colon u\in [-\pi,\pi]\}$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\int_{-\pi}^\pi \frac{du}{(z-g(s \operatorname{tg} ({u}/{2})))^\nu}=2\int_{\mathbb R} \frac{dt}{(z-g(st))^\nu(1+t^2)}= \frac{2\pi}{(z-g(is))^\nu},
\end{equation*}
\notag
$$
для всякого $s>0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{-\pi}^\pi \varphi_{s,u}(\,\cdot\,)\,du=0\in \operatorname{AL}_2(S).
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем натуральное число $N$. Для каждого $k=1,\dots,N$ положим $\Delta_k=[-\pi+2\pi(k-1)/N,\, -\pi+2\pi k/N]$. Функции принадлежат пространству $\operatorname{AL}_2(S)$, как точки этого пространства находятся каждая в выпуклой оболочке $\operatorname{conv} \gamma_{s,k}$ своей дуги $\gamma_{s,k}=\{\varphi_{s,u}\colon u\in \Delta_k\}$ и удовлетворяют равенству $y_1+\dots+y_N=0$. Далее повторяем рассуждения из доказательства леммы 3. Положим $d(\gamma_{s,k})=\sup\{\rho(x,\gamma_{s,k})\colon x\in \operatorname{conv} \gamma_{s,k}\}$. Возьмем какие-нибудь точки $x_k\in \gamma_k$, ближайшие к точкам $y_k$, $k=1,\dots,N$. Имеем
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{k=1}^N x_k\biggr\| \leqslant \sum_{k=1}^N \|x_k-y_k\|+\biggl\|\sum_{k=1}^N y_k\biggr\| =\sum_{k=1}^N \|x_k-y_k\|\leqslant \sum_{k=1}^N d(\gamma_k).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Кривая $\Gamma_s$, разбитая у нас на дуги $\gamma_{s,k}$, представляет собой сдвиг кривой $\Gamma=\{1/(z-g(t))^\nu\colon t\in {\mathbb R}\}$ на вектор $-1/(z-g(is))^\nu$. Соответственно, дуги $\gamma_{s,k}$ получаются таким же сдвигом из дуг
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\frac{1}{(z-g(t))^\nu}\colon t\in \biggl[s \operatorname{tg} \biggl(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi(k-1)}{N}\biggr),\, s \operatorname{tg} \biggl(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi k}{N}\biggr) \biggr] \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
длины которых равномерно стремятся к нулю при $s, N(s)\to \infty$ и $s=o(N(s))$. Тогда по лемме 4 оценка в (5.1) также стремится к нулю. Таким образом, при $s\to\infty$ и $s=o(N(s))$ найдутся такие наборы точек $t_1,\dots, t_N\in {\mathbb R}$, что для дроби
$$
\begin{equation*}
r_s(z)=\sum_{k=1}^N \frac{1}{(z-g(t_k))^\nu}\in \operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi)
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation}
\biggl\| r_s-\frac{N(s)}{(z-g(is))^\nu} \biggr\|_{\operatorname{AL}_2(S)}\to 0, \qquad s\to +\infty.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
8. Осталось разобраться с поведением величин $g(is)$ при $s\to +\infty$. Докажем, что для всякого $\varepsilon>0$ найдется такая константа $C(\varepsilon)$, что при всех достаточно больших $s$, и, кроме того,Функция где $a\notin \Omega_k$, голоморфна в единичном круге $U$, непрерывна на замыкании $U$, $f(U)$ – ограниченная область, граница $\partial f(U)$ содержит $0=f(1)$ и имеет в точке $0$ горизонтальную касательную, и $f$ однолистна вблизи 1. По теореме Линделефа (cм. [10; гл. 10], [11; § 3.4]) гармоническая в $U$ функция непрерывна на $\overline{U}$. В частности, можно вычислить $v(1)=\pi/2$ как предел по окружности, и это же значение будет радиальным пределом:
$$
\begin{equation*}
\frac{\pi}{2}=\lim_{s\to+\infty} v\biggl(\frac{s-1}{s+1}\biggr)= \lim_{s\to+\infty} \frac{-(s+1)}{2(g(is)-a)^\nu},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует (5.4).
Далее, сопряженная к $v$ функция восстанавливается по известной формуле (см. [12; гл. 3, § 1], нам нужны только действительные точки $x\to 1$):
$$
\begin{equation*}
\ln \biggl|\frac{f(x)}{x-1}\biggr| =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x\sin t}{1+x^2-2x\cos t} v(e^{it})\,dt+\mathrm{const}.
\end{equation*}
\notag
$$
Разобьем интеграл
$$
\begin{equation*}
\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x\sin t\, v(e^{it})}{1+x^2-2x\cos t} \,dt =\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x\sin t(v(e^{it})-v(1))}{1+x^2-2x\cos t} \,dt =\int_{[-\pi,\pi]\setminus [-\delta,\delta]}+\int_{[-\delta,\delta]},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta$ выбрано так, что $|v(e^{it})-v(1)|<\varepsilon$ при $|t|<\delta$. Первый интеграл оценивается как $C(\delta)=C_1(\varepsilon)$ при всех $x$, а второй по модулю не превосходит
$$
\begin{equation*}
2\varepsilon \int_0^\delta \frac{x\sin t }{1+x^2-2x\cos t} \,dt= \varepsilon \ln \frac{1+x^2-2x\cos \delta}{(1-x)^2}\leqslant C_2(\varepsilon)+2\varepsilon \ln \frac{1}{1-x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{f(x)}{x-1}\biggr|\leqslant C_3(\varepsilon) (1-x)^{-2\varepsilon/\pi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя $x=(s-1)/(s+1)$ и выражение (5.5) для $f$, получаем (5.3). 9. Возьмем в (5.3) $\varepsilon=1/(4\nu)$ и в (5.2) положим $N(s)= [|g(is)|^{\nu+1/2}]$ (целая часть). Имеем так что условие $s=o(N(s))$ выполнено. Далее,
$$
\begin{equation*}
\frac{N(s)}{(z-g(is))^\nu}=\frac{|g(is)|^{\nu+1/2}(1+O(|g(is)|^{-\nu-1/2}))}{(-1)^\nu g(is)^\nu(1+O(|g(is)|^{-1}))}=\frac{(-1)^\nu |g(is)|^{\nu+1/2}}{g(is)^\nu}+o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, чем больше $s\to +\infty$, тем лучше дроби $r_s\in \operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi_k)$ приближают в $\operatorname{AL}_2(S)$ константы
$$
\begin{equation*}
\frac{(-1)^\nu |g(is)|^{\nu+1/2}}{g(is)^\nu}=(-1)^\nu\kappa(s),
\end{equation*}
\notag
$$
где модули $\kappa(s)$ стремятся к бесконечности, а аргументы к $-\pi/2$. 10. Всякое комплексное число $w$ может быть представлено в виде где $s$ достаточно велико и $\zeta\in \operatorname{cone} E_\nu=\{z\colon \operatorname{Im} z\leqslant 0\}$. Первое слагаемое в этом представлении приближается (чем больше $s$, тем точнее) дробями из $\operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi_k)$ по п. 9, а второе слагаемое приближается дробями из $\operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D)$ по п. 4. Таким образом, всякая константа приближается дробями из $\operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D)$ в $\operatorname{AL}_2(S)$ с любой точностью. 11. Осталось рассмотреть случай, когда $\operatorname{cone} E_\nu$ есть прямая, проходящая через 0, – без ограничения общности, действительная ось ${\mathbb R}$. В силу условия (3) доказываемой теоремы отрезки $[0,\pi]$ и $[\pi,2\pi]$ покрыты соответственно какими-то отрезками $[\nu\alpha_k,\nu\beta_k]$ и $[\nu\alpha_j,\nu\beta_j]$ (по модулю $2\pi$). Если $\nu(\beta_k- \alpha_k)>\pi$ или $\nu(\beta_j- \alpha_j)>\pi$, то дроби из $\operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi_k)$ или из $\operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi_j)$ плотны в $\operatorname{AL}_2(S)$ по лемме 5, и, в частности, приближают всякую константу. Если же $[0,\pi]=[\nu\alpha_k,\nu\beta_k]$ и $[\pi,2\pi]=[\nu\alpha_j,\nu\beta_j]\ (\operatorname{mod}2\pi)$, то аналогично пп. 7–10 приближаем константы $(-1)^\nu \kappa_1(s)$ дробями из $\operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi_k)$ и константы $(-1)^\nu \kappa_2(s)$ дробями из $\operatorname{SF}^{(\nu)}(\xi_j)$, причем $\kappa_1(s)$ и $\kappa_2(s)$ непрерывно стремятся в бесконечность, $\arg \kappa_1(s)\to -\pi/2$, $\arg \kappa_2(s)\to \pi/2$. Поскольку всякое комплексное число может быть записано в виде
$$
\begin{equation*}
(-1)^\nu \kappa_1(s)+(-1)^\nu \kappa_2(s')+(-1)^\nu \overline{\zeta},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\zeta\in \operatorname{cone} E_\nu={\mathbb R}$, при достаточно больших $s$ и $s'$, оно приближается дробями из $\operatorname{SF}^{(\nu)}(\partial D)$ с любой точностью. Теорема 2 доказана. Доказательство теоремы 3. Для всякой точки $w\in \sqrt[q]D$ точка $w^q$ соединяется в $D$ ломаной $l$ с точкой 0. На $l\setminus \{0\}$ выделяется непрерывная ветвь $f$ функции $\sqrt[q]{z}$, для которой $f(w^q)=w$. Тогда кривая $f(l)$ соединяет $w$ c 0 в $\sqrt[q]D$, так что $ \sqrt[q]D$ – область. Если она не односвязна, т.е. какой-то контур $S\subset\sqrt[q]D$ окружает какую-то точку $b\notin \sqrt[q]D$, то контур $S^q=\{z^q\colon z\in S\}$ окружает точку $b^q$ в $D$, что противоречит односвязности $D$.
Возьмем произвольную точку $a$ на $\partial \sqrt[q]{D}$ и произвольный гладкий жорданов контур $S$ в $\sqrt[q]{D}$. По теореме B функция $-1/(z-a^q)$ с любой точностью равномерно на $S^q$ приближается дробями из $\operatorname{SF}(\partial D)$, т.е. для всякого $\varepsilon>0$ найдется такой многочлен $p$ со всеми нулями на $\partial D$ и одним нулем в точке $a^q$, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\frac{p'}{p}\biggr\|_{\operatorname{AC}(S^q)}<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда многочлен $P(z)=p(z^q)$ имеет все нули на $\partial \sqrt[q]{D}$, один нуль в точке $a$ и
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\frac{P'}{P}\biggr\|_{\operatorname{AL}_2(S)}\leqslant |S| \biggl\|\frac{qz^{q-1}p'(z^q)}{p(z^q)}\biggr\|_{\operatorname{AC}(S)} \leqslant C(S,q) \biggl\|\frac{p'}{p}\biggr\|_{\operatorname{AC}(S^q)}\leqslant C(S,q)\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, функция $-1/(z-a)$ с любой точностью приближается в $\operatorname{AL}_2(S)$ дробями из $\operatorname{SF}(\partial \sqrt[q]{D})$, и замыкание $\overline{\operatorname{SF}(\partial \sqrt[q]{D})}$ в $\operatorname{AL}_2(S)$ содержит замкнутую аддитивную подгруппу $G$, порожденную функциями $\pm 1/(z-a)$, $a \in \partial \sqrt[q]{D} $.
По лемме B (п. 7 доказательства леммы 5) получаем, что $G$ содержит замкнутое $\mathbb{R}$-линейное подпространство $L$, порожденное функциями $1/(z-a)$, $a \in \partial\sqrt[q]{D}$. Докажем, что $L$ совпадает с $\operatorname{AL}_2(S)$. В противном случае найдется ненулевая функция $g \in \operatorname{AL}_2(S)$, для которой $\operatorname{Re} F(w)= 0$ при $w \in \partial\sqrt[q]{D}$, где функция $F$ определена выше в (4.5). По принципу максимума $\operatorname{Re} F$ равна нулю на дополнении к $\sqrt[q]{D}$, а тогда и $F \equiv 0$ вне $S$, и по лемме 2 получаем $g \equiv 0$, т.е. противоречие. Таким образом, $\operatorname{SF}(\partial \sqrt[q]{D})$ плотно в $L=\operatorname{AL}_2(S)$. Всякий компакт $K \subset \sqrt[q]{D}$ можно окружить таким контуром $S$, и если функция $f \in A(\sqrt[q]{D})$ с любой точностью приближается дробями из $\operatorname{SF}^{(n)}(\partial D)$ в $\operatorname{AL}_2(S)$, то в силу интегральной формулы Коши она с любой точностью приближается этими дробями равномерно на $K$. Теорема 3 доказана. § 6. О скорости стремления к нулю в полосеПусть множества $E$ и $K$ на комплексной плоскости не пересекаются, $a$ – фиксированная точка из $E$, $\operatorname{SF}_n(E)$ обозначает множество наипростейших дробей степени не выше $n$ со всеми полюсами на $E$. Положим
$$
\begin{equation*}
\rho_n(a,K,E)=\inf\bigl\{\|r_n\|_{C(K)}\colon r_n\in \operatorname{SF}_n(E),\, r_n(a)=\infty\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Фактически величина $\rho_n(a,K,E)$ равна расстоянию от функции $-1/(z-a)$ до множества $\operatorname{SF}_{n-1}(E)$ в пространстве $\operatorname{AC}(K)$. Оценки этой величины для различных конкретных пар $E$ и $K$ доказывались многими математиками. Так, В. И. Данченко в [13] нашел асимптотику $\rho_n(a,{\mathbb R},{\mathbb C}\setminus {\mathbb R})$ при $n\to \infty$ для произвольной точки $a\in {\mathbb C}\setminus {\mathbb R}$ (и тем самым решил задачу Е. А. Горина). П. В. Чунаев в [14] нашел асимптотику $\rho_n(a,[-1,1],{\mathbb C}\setminus [-1,1])$ (для действительных $a$, расположенных не слишком близко к отрезку $[-1,1]$, и для более узкого класса действительных наипростейших дробей), его результат дополнен М. А. Комаровым в [15]. Другие результаты этого типа см. в обзоре [16]. В свете теоремы Кореваара и ее обобщений (см. введение) представляется разумной задача об оценивании величин $\rho_n(a,K,\partial D)$ для различных односвязных областей $D$, компактов $K\subset D$ и точек $a\in \partial D$. Ниже такая оценка сверху получена для модельного случая полосы $D=\Pi:=\{z\colon |\operatorname{Im} z| <1\}$. По теореме B $\operatorname{SF}(\partial \Pi)$ плотно в $A(\Pi)$ (это следует также из теоремы 2, из следствия 2 и из теоремы 3). Ключевым местом в доказательстве этих утверждений является доказательство существования наипростейших дробей (или их производных, как в лемме 5) со всеми полюсами на границе области, с одним из полюсов в заданной точке и сколь угодно малой нормой на компактах внутри области (в терминологии Кореваара и Элкинс полюсы таких дробей составляют “асимптотически нейтральные семейства точек”). В частном случае полосы существование таких дробей сразу следует из доказываемой ниже теоремы об оценке $\rho_n(a,K, \partial \Pi)$: достаточно уже того, что эта величина стремится к нулю при $n\to \infty$. Как и в доказательстве теоремы 2, мы задействуем свойства конформных отображений областей, внешних по отношению к рассматриваемой области: в случае полосы это две полуплоскости, и конформные отображения можно выписать явно. Теорема 4. Для всякого компакта $K$ в полосе $\Pi=\{z\colon |\operatorname{Im} z| <1\}$ и для всякой точки $a\in\partial \Pi$ при всех $n>1$ выполнено неравенство где $C(K)$ – константа, зависящая только от $K$. Доказательство. Без ограничения общности считаем $a=i$. Рассмотрим конформное отображение
$$
\begin{equation*}
\psi(w) =\alpha i \frac{w-1}{w+1}+i=(\alpha+1)i-\frac{2\alpha i}{w+1}
\end{equation*}
\notag
$$
внешности $\{w\colon |w|>1\}$ единичного круга на полуплоскость $\{z\colon \operatorname{Im} z>1\}$ с параметром $\alpha>0$ и условиями $\psi(1)=i$, $\psi(\infty)=(\alpha+1)i$. При $z\in K$, $|w|>1$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{1}{z-\psi(w)} &=\frac{w+1}{w(z-(\alpha+1)i)+z+(\alpha-1)i} \\ \notag &=\frac{w+1}{w(z-(\alpha+1)i)}\sum_{k=0}^\infty \biggl(\frac{(\alpha-1)i+z}{(\alpha+1)i-z}\biggr)^k \frac{1}{w^k} \\ &=\frac{1}{z-(\alpha+1)i}-\frac{2\alpha i}{((\alpha+1)i-z)^2}\sum_{k=1}^\infty \biggl(\frac{(\alpha-1)i+z}{(\alpha+1)i-z}\biggr)^{k-1} \frac{1}{w^k}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Ряд сходится и при $|w|=1$, поскольку, как нетрудно видеть, при $z\in K$.
Уточним эту оценку. Лемма 6. Если $K\subset \{z\colon |\operatorname{Im} z|\leqslant 1-\delta, |z|\leqslant L\}$ для некоторых $\delta\in (0,1)$ и $L>0$, то для всякого $z\in K$ при $\alpha>(L^2+1)/\delta$ выполнено неравенство Доказательство. Пусть $z=x+iy$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |c(\alpha,z)| &=\biggl(\frac{x^2+(\alpha-1+y)^2}{x^2+(\alpha+1-y)^2}\biggr)^{1/2} \leqslant\biggl(\frac{x^2+(\alpha-\delta)^2}{x^2+(\alpha+\delta)^2}\biggr)^{1/2} \\ &=\biggl(\frac{1}{1+4\alpha\delta/(x^2+(\alpha-\delta)^2)}\biggr)^{1/2} <\biggl(\frac{1}{1+4\alpha\delta/\alpha^2}\biggr)^{1/2}<\frac{1}{1+\delta/\alpha} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(в предпоследнем неравенстве использовано условие $\alpha>(L^2+1)/\delta$, в последнем – неравенство $\sqrt{1+4t}>1+t$, верное для $t=\delta/\alpha< 1/(L^2+1)<1$). Лемма доказана. Функция $\overline{\psi(\overline w)}$ отображает внешность единичного круга на полуплоскость $\{z\colon \operatorname{Im} z<-1\}$, и при $z\in K$, $|w|\geqslant 1$ имеем аналогичное (6.1) разложение
$$
\begin{equation}
\frac{1}{z-\overline{\psi(\overline w)}} =\overline{\frac{1}{\overline z-\psi(\overline w)}} =\frac{1}{z+(\alpha+1)i}+\frac{2\alpha i}{(z+(\alpha+1)i)^2} \sum_{k=1}^\infty c(\alpha,-z)^{k-1}\frac{1}{w^k}.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Полюсы искомой наипростейшей дроби $r_{2n}\in \operatorname{SF}_{2n}(\partial \Pi)$ степени $2n$ (вместо $n$, без ограничения общности) расположим в образах $\psi(e^{2\pi i \nu/n})$ и $\overline{\psi(e^{-2\pi i \nu/n})}$ корней степени $n$ из 1. Идея такого расположения восходит к работе Кореваара [1]. Подставляя точки $w=e^{2\pi i \nu/n}$, $\nu=0,\dots,n-1$, в (6.1) и (6.2) и учитывая, что сумма равна 0 при $k$, не кратных $n$, и равна $n$ при $k$, кратных $n$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, r_{2n}(z) &=\sum_{\nu=0}^{n-1} \frac{1}{z-\psi(e^{2\pi i \nu/n})} +\sum_{\nu=0}^{n-1}\frac{1}{z-\overline{\psi(e^{-2\pi i \nu/n})}} \\ &=\frac{n}{z-(\alpha+1)i}-\frac{2\alpha ni}{((\alpha+1)i-z)^2} \sum_{m=1}^\infty c(\alpha,z)^{mn-1} \\ &\qquad+ \frac{n}{z+(\alpha+1)i}+\frac{2\alpha ni}{(z+(\alpha+1)i)^2} \sum_{m=1}^\infty c(\alpha,-z)^{mn-1} \\ &=\frac{2nz}{z^2+(\alpha+1)^2} -\frac{2\alpha ni}{((\alpha+1)i-z)^2}\,\frac{c(\alpha,z)^{n-1}}{1-c(\alpha,z)^n} \\ &\qquad +\frac{2\alpha ni}{((\alpha+1)i+z)^2}\,\frac{c(\alpha,-z)^{n-1}}{1-c(\alpha,-z)^n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В условиях леммы 6 получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\|r_{2n}\|_{C(K)}\leqslant \frac{2nL}{(\alpha+1)^2-L^2}+2\frac{2\alpha n}{(\alpha+1-L)^2} \,\frac{1}{(1+\delta/\alpha)^{n-1}}\,\frac{1}{1-(1+\delta/\alpha)^{-n}},
\end{equation*}
\notag
$$
что при $\alpha>2L$ не превосходит
$$
\begin{equation*}
\frac{3nL}{\alpha^2}+\frac{16\alpha n (1+\delta/\alpha)}{\alpha^2 ((1+\delta/\alpha)^n-1)}\leqslant \frac{3nL}{\alpha^2}+\frac{32 n}{\alpha((1+\delta/\alpha)^n-1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем $\alpha=n\delta/(2 \ln n)$. Тогда требуемые выше условия $\alpha>\max\{(L^2+1)/\delta,2L\}$ выполнены при всех достаточно больших $n$, и в силу последней оценки
$$
\begin{equation*}
\|r_{2n}\|_{C(K)}\leqslant \frac{12 L \ln^2n}{\delta^2 n} +\frac{64 \ln n}{\delta(((1+2\ln n/n)^{n/(2\ln n)})^{2\ln n}-1)} < \frac{12 L \ln^2n}{\delta^2 n}+\frac{64 \ln n}{\delta(n-1)}
\end{equation*}
\notag
$$
(последнее неравенство верно при $n\geqslant 10$). Теорема 4 доказана. Было бы интересно получить какую-нибудь нетривиальную оценку снизу величин $\rho_n(a,K, \partial \Pi)$ и по возможности выявить точность оценки из теоремы 4. Очевидное неравенство $\rho_n(a,K, \partial \Pi)\geqslant \rho_n(a,K, {\mathbb C}\setminus K)$ для конкретных $K$ (круг, отрезок) дает оценку снизу $Cq^n$ с $q<1$. БлагодарностиАвторы глубоко благодарны рецензенту за указание на работу [5], С. В. Колесникову и В. В. Старкову за ценные советы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BorShk21} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|