Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2021, том 212, номер 4, страницы 29–44
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9383
(Mi sm9383)
 

Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)

Построение неограниченных разрывных решений скалярных законов сохранения при помощи преобразования Лежандра

Л. В. Гаргянцa, А. Ю. Горицкийb, Е. Ю. Пановcd

a Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет)
b Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
c Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого, г. Великий Новгород
d Российский университет дружбы народов, г. Москва
Список литературы:
Аннотация: Изучается квазилинейное уравнение первого порядка с нечетной функцией потока, имеющей в нуле единственную точку перегиба. Предложен способ построения разрывных знакопеременных энтропийных решений этого уравнения, основанный на преобразовании Лежандра.
Библиография: 18 названий.
Ключевые слова: одномерные законы сохранения, энтропийные решения, преобразование Лежандра.
Финансовая поддержка Номер гранта
Министерство образования и науки Российской Федерации МК-1204.2020.1
5-100
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 0705-2020-0047
1.445.2016/1.4
Российский фонд фундаментальных исследований 17-01-00515-а
18-01-00472-а
Исследование Л. В. Гаргянц выполнено в рамках Программы Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых (грант № МК-1204.2020.1), а также при поддержке Министерства науки и высшего образования России (проект 0705-2020-0047). Исследование А. Ю. Горицкого выполнено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 17-01-00515-а). Исследование Е. Ю. Панова выполнено в рамках выполнения государственной программы “Повышение конкурентоспособности ведущих университетов РФ среди ведущих мировых научно-образовательных центров” (Программа РУДН “5-100”), государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект № 1.445.2016/1.4), а также при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 18-01-00472-а).
Поступила в редакцию: 20.02.2020
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 4, Pages 475–489
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9383
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.95
MSC: Primary 35L65; Secondary 35L03

Введение

Рассмотрим в полосе $\Pi_T=\{(t,x)\mid t \in (0,T),\, x \in \mathbb{R}\}$, где $0<T\leqslant+\infty$, задачу Коши

$$ \begin{equation} u_t+(f(u))_x=0, \quad (t,x)\in\Pi_T, \qquad u\bigl|_{t=0}=u_0(x), \quad x\in\mathbb{R}. \end{equation} \tag{1} $$

Определение 1 (см. [1]). Функция $u \colon \Pi_T \to \mathbb{R}$, $u \in L^\infty_{\mathrm{loc}}(\Pi_T)$, называется обобщенным энтропийным решением задачи (1), если:

1) для любого $k \in \mathbb{R}$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation} |u-k|_t+\bigl(\operatorname{sign}(u-k)(f(u)-f(k))\bigr)_x \leqslant 0 \quad \text{в }\ \mathscr{D}'(\Pi_T); \end{equation} \tag{2} $$

2) $\operatorname{esslim}_{t\to 0+}u(t,\cdot)=u_0(\cdot)$ в $L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$, т.е. существует множество $\mathscr{E} \subset (0,T)$ полной меры Лебега такое, что $u(t,\cdot) \in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$, $t \in \mathscr{E}$, и $u(t,\cdot) \to u_0(\cdot)$ в $L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$ при $t \to 0+$, $t \in \mathscr{E}$.

Условие (2) означает, что для любой пробной функции $\varphi \in C_0^\infty (\Pi_T)$, $\varphi \geqslant 0$, выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \int_{\Pi_T} [|u - k| \varphi_t + \operatorname{sign} (u - k) (f(u) - f(k)) \varphi_x] \, dx\, dt \geqslant 0. \end{equation*} \notag $$

Само это определение в статье использоваться не будет, поскольку мы не выйдем за рамки кусочно гладких решений. Указанное определение заменим на хорошо известное свойство (см. [2]), сформулированное в следующем предложении.

Предложение 1. Пусть $u \colon \Pi_T \to \mathbb{R}$ – кусочно гладкая в полосе $\Pi_T$ функция с не более чем счетным числом линий разрыва $\Gamma_n$, являющихся графиками функций $\gamma_n \in C^1(0,T)$, где $n \in \mathscr{N} \subseteq \mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \{0\};$ пусть эти линии не пересекаются и существуют односторонние пределы

$$ \begin{equation*} u^-_n (t) = \lim_{(\tau, \xi) \to (t, \gamma_n(t)-0) } u(\tau,\xi), \qquad u^+_n (t) = \lim_{(\tau, \xi) \to (t, \gamma_n(t)+0)} u(\tau, \xi) \end{equation*} \notag $$
функции $u$ при подходе к каждой линии разрыва $\Gamma_n$. Тогда $u$ является обобщенным энтропийным решением уравнения $u_t+(f(u))_x=0$ в том и только том случае, когда выполнены следующие условия:

1) в области гладкости функция $u=u(t,x)$ удовлетворяет этому уравнению в классическом смысле;

2) на каждой линии разрыва $\Gamma_n$ выполнено условие Ранкина–Гюгонио:

$$ \begin{equation} \dot\gamma_n(t) = \frac{f(u^+_n(t)) - f(u^-_n(t))}{u^+_n(t) - u^-_n(t)}, \qquad t\in (0,T); \end{equation} \tag{3} $$

3) для любого $n \in \mathscr{N}$ и для любого $t \in (0,T)$ выполнено условие Олейник (см. [3; условие E]) допустимости разрыва: при $u^+_n(t) > u^-_n(t)$ ($u^+_n(t) < u^-_n(t)$) график функции $f$ лежит не ниже (соответственно не выше) хорды, соединяющей точки этого графика с абсциссами $u^-_n(t)$, $u^+_n(t)$.

В работах [4]–[12] были приведены различные примеры неограниченных (но при этом локально ограниченных) обобщенных энтропийных решений задач Коши (1). Все построенные решения имеют одинаковую структуру. Полуплоскость $t>0$ делится гладкими непересекающимися кривыми $\Gamma_{n}$ на счетное число областей. В областях между этими кривыми решение является классическим, а линия сильного разрыва $\Gamma_{n}$ формируется как огибающая семейства характеристик. Изначально такие решения строились при помощи некой рекуррентной процедуры (см. [4], [6], [9]), позже был предложен способ, основанный на наличии у исследуемых задач групп симметрий (см. [7], [8], [11], [12]). Предлагаемый в настоящей статье подход к построению такого типа решений основан на преобразовании Лежандра. Как известно (см. [13]), именно преобразованием Лежандра определяются огибающие семейств прямых на плоскости.

§ 1. Общий план построения решений

Итак, мы рассматриваем задачу (1), при этом функция потока $f(u)$ предполагается нечетной, строго выпуклой вверх на отрицательной полуоси и выпуклой вниз на положительной.

Основной результат статьи аккуратно сформулирован ниже, в теореме 3. Сейчас же мы только опишем общую структуру строящегося там решения $u(t,x)$. Это решение – кусочно гладкое, со счетным числом линий разрыва $\Gamma_{n}=\{x=\gamma_{n}(t),\,t>0\}$, $\gamma_{n}\in C^{1}(\mathbb{R}_{+})$, $n \in \mathbb{N}_{0}$. Функциональная последовательность $\gamma_{n}(t)$ – неограниченно монотонно убывающая, т.е.

$$ \begin{equation*} \forall\,t>0\quad \gamma_{0}(t)>\gamma_{1}(t)>\gamma_{2}(t)>\cdots\to -\infty , \end{equation*} \notag $$
а также $\lim_{t\to +0}\gamma_{n}(t)=-\infty$. В областях $G_{n}=\{\gamma_{n-1}(t)>x>\gamma_{n}(t)\}$, $n \in \mathbb{N}$, между этими кривыми и в области $G_0=\{x>\gamma_0(t)\}$ построенное решение $u(t,x)$ предполагается классическим, а кривые $\Gamma_{n}$ – ударные волны, т.е. линии сильного разрыва решения, причем со стороны $x>\gamma_{n}(t)$ каждая кривая $\Gamma_{n}$ является огибающей семейства характеристик из области $G_{n}$.

Как известно (см. [2]), характеристическая система для задачи (1) имеет вид

$$ \begin{equation} \dot u=0, \qquad \dot t = 1, \qquad \dot x=f'(u), \end{equation} \tag{4} $$
характеристики – прямые линии в трехмерном пространстве $(t,x,u)$. Проекции этих характеристик на плоскость $(t,x)$ в каждой из областей $G_{n}$ образуют семейство прямых1
$$ \begin{equation} x=kt-g_{n}(k),\qquad g_{n}''<0, \end{equation} \tag{5} $$
параметризованное своим угловым коэффициентом $k$. Определенные так функции $g_{n}(k)$ играют ключевую роль в наших построениях, при этом эти функции в основной теореме и в примерах строго выпуклы вверх. Значение решения $u$ на каждой из прямых (5) задается в соответствии с (4) неявным соотношением $k=f'(u)$.

Характеристики в области $G_{0}$, а значит, и функция $g_{0}(k)$, однозначно определяются по функции потока $f(u)$ и по начальному условию $u_{0}(x)$. Далее функции $g_{n}(k)$ находятся рекуррентно из соотношения, которое мы сейчас выведем.

Семейство прямых (5) имеет огибающую, кривую $\Gamma_{n}=\{x=\gamma_{n}(t),\,t>0\}$, где $\gamma_{n}=\mathscr L(g_{n})$ – преобразование Лежандра функции $g_{n}(k)$. Кривую $\Gamma_{n}$ мы будем считать линией сильного разрыва. Поскольку функция $u$ в области $G_{n}$ уже известна, то предел $u^+_n(t)$ решения на кривой $\Gamma_{n}$ со стороны $G_{n}$ находится по непрерывности.

С другой стороны от линии сильного разрыва $\Gamma_{n}$ значение $u^-_n(t)$ обобщенного решения определяется в соответствии с условием Ранкина–Гюгонио (3). При этом $\dot\gamma_{n}(t)=f'(u_{n}^{+}(t))$, так как кривая $\Gamma_{n}$, напомним, возникает как огибающая семейства прямых (5). Следовательно,

$$ \begin{equation*} f'(u_{n}^{+}(t)) = \frac{f(u^+_n(t)) - f(u^-_n(t))}{u^+_n(t) - u^-_n(t)}. \end{equation*} \notag $$
Это равенство определяет отображение
$$ \begin{equation*} u^{+}=u_{n}^{+}(t)\quad\longrightarrow\quad u_{n}^{-}(t)=u^{-}, \end{equation*} \notag $$
которое связывает пределы функции $u$ с разных сторон от линии разрыва $\Gamma_{n}$. Вслед за этим мы можем определить и отображение
$$ \begin{equation*} k^{+}=f'(u^{+})\quad\longrightarrow\quad f'(u^{-})=k^{-}, \end{equation*} \notag $$
связывающее наклоны двух характеристик, приходящих с разных сторон от линии разрыва в одну точку на $\Gamma_{n}$. Ниже это отображение мы обозначим $\varphi_{f}$.

Прямые $x=k_{+}t-g_{n}(k_{+})$ и $x=k_{-}t-g_{n+1}(k_{-})$ пересекаются в некоторой точке $(t^{\ast},\gamma_{n}(t^{\ast}))\in \Gamma_{n}$, т.е.

$$ \begin{equation*} k^{+}t^{\ast}-g_{n}(k^{+})=k^{-}t^{\ast}-g_{n+1}(k^{-})=\gamma_{n}(t^{\ast}). \end{equation*} \notag $$
Поскольку функция $\gamma_{n}(t)$ есть преобразование Лежандра функции $g_{n}(k)$, то $t^{\ast}=g_{n}'(k^{+})$, см. (8) ниже. Отсюда получаем рекуррентное соотношение, выражающее $g_{n+1}(k)$ через $g_{n}(k)$:
$$ \begin{equation} g_{n+1}(k^-)=g_{n}(k^+)+g_{n}'(k^+)(k^- - k^+). \end{equation} \tag{6} $$

§ 2. Преобразование Лежандра

Определение 2. Преобразованием Лежандра гладкой, выпуклой вверх функции $g(k)$ называется функция

$$ \begin{equation*} \gamma (t)=\mathscr L(g)(t):=\inf_{k}(kt-g(k)). \end{equation*} \notag $$

Теорема 1. Пусть семейство функций $g_{n}(k)$ таково, что:

1) $g_{n}(k)$ – бесконечно дифференцируемые, монотонно и неограниченно возрастающие, строго выпуклые вверх функции, определенные на $(k_{\ast};+\infty )$,

$$ \begin{equation*} g_{n}\in C^{\infty}(k_{\ast};+\infty ), \qquad g'_{n}(k)>0, \qquad g''_{n}(k)<0, \qquad \lim_{k\to+\infty}g_{n}(k)=+\infty; \end{equation*} \notag $$

2) $g_{n}(k)$ – монотонно возрастающая функциональная последовательность, и

$$ \begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}g_{n}(k)= +\infty \quad \forall\, k>k_{\ast}; \end{equation*} \notag $$

3) $g_{n}'(k_{\ast }+0)=+\infty $, $g_{n}'(+\infty )=0$ (следовательно, $g_{n}'(k)$ на $(k_{\ast};+\infty )$ монотонно убывает от $+\infty $ до $0$, см. п. 1)).

Тогда функции $\gamma_{n}=\mathscr L(g_{n})$ определены на $(0;+\infty )$, бесконечно дифференцируемы, строго выпуклы вверх, $\lim_{t\to +0}\gamma_{n}(t)=-\infty $, и для любого $t>0$ числовая последовательность $\gamma_{n}(t)$ монотонно и неограниченно убывает. Кроме того, для всех $n$ выполнено

$$ \begin{equation} \inf_{t>0}\dot\gamma_{n}(t)=\lim_{t\to +\infty }\dot\gamma_{n}(t)=k_{\ast }, \qquad \sup_{t>0}\dot\gamma_{n}(t)=\lim_{t\to +0}\dot\gamma_{n}(t)=+\infty . \end{equation} \tag{7} $$

Для удобства читателей мы приводим полное доказательство этой теоремы, хотя многие утверждения следуют из известных свойств преобразования Лежандра.

Доказательство теоремы 1. Фиксируем $n \in \mathbb{N}_0$. Поскольку функция $g_n(k)$ бесконечно дифференцируема и строго выпукла вверх на своей области определения, нижняя грань в определении преобразования Лежандра
$$ \begin{equation*} \gamma_n(t)=\mathscr{L}(g_n)(t)=\inf_{k > k_{\ast}} (kt-g_n(k)) \end{equation*} \notag $$
достигается в некоторой внутренней точке области определения функции $g_n(k)$. Следовательно, ее преобразование Лежандра можно задать в параметрическом виде
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, t&=g'_n(k), \\ \gamma_n(t)=\mathscr{L}(g_n)(t)&=kt-g_n(k)=kg'_n(k)-g_n(k). \notag \end{aligned} \end{equation} \tag{8} $$
Отметим, что в силу $g''_n(k)<0$ уравнение (8) однозначно разрешимо относительно $k$. Кроме того, из условия монотонного убывания функции $g'_n(k)$ от $+\infty$ до $0$ следует, что функция $\gamma_n=\mathscr{L}(g_n)$ определена на $(0;+\infty)$, а из условия бесконечной дифференцируемости функции $g_n(k)$ следует и бесконечная дифференцируемость ее преобразования Лежандра $\gamma_n(t)$.

Докажем строгую выпуклость вверх функции $\gamma_n(t)$. Из определения преобразования Лежандра следует, что $\gamma_n(t) \leqslant kt-g_n(k)$ при любых значениях аргументов $k$ и $t$ из областей определения функций $g_n(k)$ и $\gamma_n(t)$ соответственно, причем равенство достигается в том и только том случае, когда $t$ и $k$ связаны соотношением (8). Это означает касание графика функции $\gamma_n(t)$ и прямой $x=kt-g_n(k)$ в точке $t=g'_n(k)$ (в частности, $k=\dot\gamma_n(t)$). Следовательно, график функции $\gamma_n(t)$ лежит ниже касательной, проведенной к этому графику в любой точке области определения, что влечет строгую выпуклость вверх функции $\gamma_n(t)$.

Покажем, что $\lim_{t\to +0}\gamma_{n}(t)=-\infty$. Для любого $k>k_*$ выполнено неравенство ${\gamma_n(t)\leqslant kt-g_n(k)}$, следовательно,

$$ \begin{equation*} \limsup_{t\to +0}\gamma_n(t)\leqslant\lim_{t\to +0}(kt-g_n(k))=-g_n(k). \end{equation*} \notag $$
Переходя к пределу при $k\to+\infty$, получаем желаемое соотношение.

Докажем оставшиеся утверждения теоремы. Равенства (7) следуют из монотонности функции $\dot\gamma_n(t)$ и того факта, что $\dot\gamma_n(t)=k$, если $t$ и $k$ связаны соотношением (8).

Осталось показать, что для любого $t>0$ числовая последовательность $\gamma_n(t)$, $n\in\mathbb{N}_0$, монотонно и неограниченно убывает. Фиксируем $t_{0}>0$ и по нему находим $k_{0}=\dot\gamma_n(t_{0})>k_{\ast}$. Значения $t=t_{0}$ и $k=k_{0}$ связаны соотношением (8), т.е. $\gamma_{n}(t_{0})= k_{0} t_{0}-g_{n}(k_{0})$. Тогда

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\gamma_{n+1}(t_{0})-\gamma_n(t_{0}) =\inf_{k>k_{\ast}} (kt_{0}-g_{n+1}(k))-(k_{0}t_{0}-g_n(k_{0})) \\ &\qquad \leqslant (k_{0}t_{0}-g_{n+1}(k_{0}))-(k_{0}t_{0}-g_n(k_{0})) =-(g_{n+1}(k_{0})-g_n(k_{0}))<0 \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
в силу монотонного возрастания последовательности $g_n(k)$, что влечет монотонное убывание последовательности $\gamma_n(t)$.

Наконец, при любом фиксированном $k>k_*$ выполнено

$$ \begin{equation*} \gamma_n(t_{0})\leqslant kt_{0}-g_n(k)\to -\infty \quad \text{при }\ n\to\infty, \end{equation*} \notag $$
т.е. последовательность $\gamma_n(t_{0})$ убывает неограниченно.

§ 3. Выпукло-вогнутые функции и отображение $\varphi_{f}$

Введем класс выпукло-вогнутых функций, графики которых напоминают кубическую параболу.

Определение 3. Скажем, что гладкая функция $f(u)$ принадлежит классу $\mathscr F$, если

1) $f\in C^{\infty }(-\infty ;0)\cap C^{\infty }(0;+\infty )$, $f(u)$ – нечетная;

2) $f'(u)$ строго монотонно убывает от $+\infty $ до $k_{\ast }=f'(0)$ на отрицательной полуоси и, следовательно, монотонно возрастает от $k_{\ast }$ до $+\infty $ на положительной полуоси; при этом $f''(u)>0$ при $u>0$ и, следовательно, $f''(u)<0$ при $u<0$.

Таким образом, функции из класса $\mathscr F$ выпуклы вверх на отрицательной полуоси, выпуклы вниз на положительной полуоси, имеют в нуле точку перегиба.

Определение 4. Для функций $f\,{\in}\,\mathscr F$ определим отображение $k^-\,{=}\,\varphi_{f}(k^+)$, $\varphi_{f}\colon (k_{\ast };+\infty )\to (k_{\ast };+\infty )$ за три шага (рис. 1):

1) разрешим относительно $u^+$ уравнение $f'(u^+)=k^+$;

2) разрешим относительно $u^-$ уравнение $f(u^-)-f(u^+)=k^+(u^--u^+)$;

3) зададим $k^-=\varphi_{f}(k^+)=f'(u^-)$.

Также положим $\varphi_{f}(k_{\ast })=k_{\ast }$.

Замечание 1. Уравнение $f'(u^+)=k^+$ имеет по одному решению на отрицательной и положительной полуосях, но в силу нечетности функции $f(u)$ эти два значения дадут один и тот же результат.

Геометрически отображение $k^-=$ $\varphi_{f}(k^+)$ означает следующее. К графику функции $f(u)$ проводится касательная с наклоном $k^+$ (в точке с абсциссой $u^+$). Эта касательная пересекает график еще в одной точке (с абсциссой $u^-$). В качестве $\varphi_{f}(k^+)$ берется тангенс $k^-$ угла наклона касательной в этой точке.

Дадим еще одну интерпретацию отображения $\varphi_{f}$, но не через график функции $f(u)$, а через график его преобразования Лежандра. Обозначим $h_{1}(k)=\inf_{u<0}(uk-f(u))$ (и $h_{2}(k)=\sup_{u>0}(uk-f(u))$) – преобразование Лежандра выпуклой вверх (соответственно вниз) функции $f(u)$, ограниченной на отрицательную (положительную) полуось. Обе функции $h_{1,2}(k)$ определены при $k>k_{\ast}$, $h_{1}(k)<0$, $h_{2}(k)>0$, а также $h_{2}(k)=-h_{1}(k)$ в силу нечетности $f(u)$.

Тогда геометрически $\varphi_f(k^+)$ определяется проведением прямой, которая проходит через точку с абсциссой $k^+$ на графике одной из функций $h=h_{1,2}(k)$ и касается графика другой функции. Абсцисса точки касания и есть $k^-=\varphi_f(k^+)$, а тангенс угла наклона этой касательной равен $u^-$.

Теорема 2. Если $f\in \mathscr F$, то отображение $\varphi_{f}$ корректно определено, бесконечно дифференцируемо и осуществляет диффеоморфизм луча $(k_{\ast };+\infty )$ на себя, при этом $\varphi_{f}(k)>k$ $\forall \,k>k_{\ast }$.

Доказательство. Корректность определения и неравенство $\varphi_{f}(k)>k$ следуют из свойств выпуклости и нечетности функции $f$ (см. рис. 1). Теорема о неявной функции гарантирует бесконечную дифференцируемость отображения $k_{+}\to u_{+}$ в п. 1) и отображения $u_{+}\to u_{-}$ в п. 2) определения 4. Теорема доказана.

Пример 1. Положим $f(u)=Au^{3}$, $A>0$. Тогда имеем $k_{\ast }=0$, $u^-=-2u^+$ и $k^-=\varphi_{f}(k^+)=4k^+$ – линейное отображение.

Пример 2. Пусть теперь $f(u)=Au^{3}+Bu$, $A>0$. Тогда $k_{\ast }=B$, снова имеем $u^-=-2u^+$, но соотношение между $k^-$ и $k^+$ изменится: $(k^--B)=4(k^+-B)$, т.е. $\varphi_{f}(k^+)=4k^+-3B$.

Пример 3. Возьмем $f(u)=A\vert u\vert^{\alpha -1}u$, $\alpha >1$, $A>0$. Тогда будет выполнено ${k_{\ast }=0}$, $u^-=-\varkappa u^+$, и отображение $\varphi_{f} $ снова линейное, $\varphi_{f}(k^+)=\varkappa^{\alpha-1}k^+$ с константой ${\varkappa =\varkappa (\alpha )>1}$, определяемой как положительный корень уравнения $\varkappa^{\alpha }+1=\alpha \varkappa +\alpha $. Отметим, что $\varkappa (3)=2$ (см. пример 1) и $\varkappa(2)=1+\sqrt{2}$.

Пример 4. Наконец, рассмотрим $f(u)=A\vert u\vert^{\alpha -1}u+Bu$, $\alpha >1$, $A>0$. Тогда $k_{\ast }=B$, $u^-=-\varkappa u^+$ с той же константой $\varkappa =\varkappa (\alpha )>1$, что и в предыдущем примере, а отображение $\varphi_{f}$ имеет вид $\varphi_{f}(k^+)=\varkappa^{\alpha -1}k^+-B(\varkappa^{\alpha -1}-1)$.

§ 4. Основной результат

Теорема 3. Пусть функция $f(u)$ принадлежит классу $\mathscr F$ и $f'(0)=k_{\ast }$, ${\varphi =\varphi_{f}}$ – построенный выше диффеоморфизм, определенный на $(k_{\ast};+\infty )$.

Пусть семейство функций $g_{n}(k)$, определенных на $(k_{\ast };+\infty )$, удовлетворяет условиям теоремы 1, а также рекуррентному соотношению (рис. 2)

$$ \begin{equation} g_{n+1}(\varphi (k))=g_{n}(k)+g_{n}'(k)(\varphi (k)-k). \end{equation} \tag{9} $$
Тогда существует обобщенное энтропийное решение $u(t,x)$ задачи Коши (1) с начальным условием $u_{0}(x)=\pm (-g_{0}\circ f')^{-1}(x)$.2

Это решение определено во всей полуплоскости $t>0$, локально ограничено в ней, имеет счетное число линий разрыва $\Gamma_{n}$, являющихся графиками функций $x=\gamma_{n}(t)=(\mathscr Lg_{n})(t)$. Между двумя соседними линиями разрыва функция $u(t,x)$ является либо положительной, либо отрицательной, меняя знак при переходе через каждый разрыв.

Замечание 2. Свойство строгого возрастания последовательности $g_n$ из теоремы 1 выполнено автоматически. Действительно,

$$ \begin{equation*} g_{n+1}(\varphi(k))=g_n(k)+g_n'(k)(\varphi(k)-k)>g_n(\varphi(k)). \end{equation*} \notag $$
Последнее неравенство выполнено в силу строгой выпуклости $g_n(k)$ и неравенства $\varphi(k)\ne k$.

Замечание 3. В случае, если множество значений функции $g_{0}$ составляет не всю ось, а луч $x>-x_{\ast}= g_{0}(k_{\ast}+0)$, то следует доопределить начальное условие любой знакопостоянной функцией с нестрого возрастающим абсолютным значением. Например, по непрерывности, нулем: $u_{0}(x)\equiv 0$ при $x\geqslant x_{\ast}$.

Доказательство теоремы предварим известной леммой о том, что если функция постоянна на характеристиках, то она удовлетворяет уравнению с частными производными.

Лемма 1. Пусть гладкая функция $u(t,x)$ удовлетворяет в области $G$ неявному уравнению

$$ \begin{equation} x=f'(u(t,x))t+g(u(t,x)) \end{equation} \tag{10} $$
с некоторыми функциями $f\in C^{2}$ и $g\in C^{1}$. Тогда $u(t,x)$ удовлетворяет в $G$ уравнению
$$ \begin{equation} u_{t}+f'(u)u_{x}=0. \end{equation} \tag{11} $$

Доказательство. Продифференцируем равенство (10) по $x$ и по $t$:
$$ \begin{equation*} 1=f''(u) t\cdot u_{x}+ g'(u)\cdot u_{x}, \qquad 0=f'(u)+f''(u) t\cdot u_{t}+ g'(u)\cdot u_{t}. \end{equation*} \notag $$
Домножим первое уравнение на $u_{t}$, второе – на $-u_{x}$ и сложим. Получим (11). Лемма доказана.
Доказательство теоремы 3. Последовательность функций $g_{n}(k)$, ${n\in\mathbb{N}_{0}}$, согласно теореме 1 задает (см. рис. 2) набор непересекающихся кривых $\Gamma_{n}=\{x=\gamma_{n}(t),\,t>0\}$, где $\gamma_{n}=\mathscr L(g_{n})$. Обозначим $G_{n}=\{\gamma_{n-1}(t)>x>\gamma_{n}(t)\}$ при $n\in \mathbb{N}$, а также $G_0=\{x>\gamma_0(t)\}$ в случае $g_{0}(k_{\ast}+0)=-\infty$. Если же $g_{0}(k_{\ast}+0)=-x_{\ast}>-\infty$, то положим $G_0=\{k_{\ast}t+x_{\ast}>x>\gamma_0(t)\}$ и $G=\{x>k_{\ast}t+x_{\ast}\}$. Как и раньше, $k_{\ast}=f'(0)=\min f'(u)$.

Каждой из областей $G_{n}$ ставим в соответствиe знак решения – плюс или минус, меняя знак при переходе от одной области к соседней, т.е. области с четными номерами будут одного знака, а с нечетными – другого. Смена знака на линии разрыва связана с тем, что отображение $u_{+}\to u_{-}$ (определение 4, п. 2)) в обязательном порядке меняет знак функции $u$.

Область $G_{n}$, $n\in\mathbb{N}$, заполнена прямыми $x=kt-g_{n}(k)$, касательными к графику $\Gamma_{n}$ выпуклой вверх функции $\gamma_{n}(t)$. Через каждую точку $(t_{0},x_{0})\in G_{n}$ проходит ровно одна прямая, касательная к $\Gamma_{n}$ в точке с $t<t_{0}$; в этом случае угловой коэффициент $k=\dot\gamma_{n}(t)$ касательной больше $k_0=\dot\gamma_{n}(t_{0})$.3 Действительно, функция $p(k)=x_0-(kt_0-g_n(k))$ строго убывает и меняет знак на луче $[k_0,+\infty)$: $p(k_0)=x_0-\gamma_n(t_0)>0$, $p(k)\to-\infty$ при $k\to+\infty$ (так как $\lim_{k\to+\infty}p'(k)=-t_0<0$). Положим в точке $(t_0,x_0)$ значение решения $u$, найденное из уравнения $f'(u(t_{0},x_{0}))=k$, где $k$ – угловой коэффициент указанной касательной. Знак решения этого уравнения соответствует знаку, присвоенному области $G_{n}$.

Используя теорему о неявной функции и теорему об обратной функции, заключаем, что функция $u$ корректно определена в области $G_{n}$, бесконечно дифференцируема и удовлетворяет неявному соотношению

$$ \begin{equation*} x=f'(u(t,x))t-g_{n}(f'(u(t,x))). \end{equation*} \notag $$
Из леммы 1 следует, что $u$ – классическое решение уравнения (11) в области $G_{n}$.

Соотношение (6) на линиях разрыва $\Gamma_{n}$ ($n\in\mathbb{N}_{0}$) было выведено в § 1. Отметим, что требуемое в теореме основное условие (9) есть в точности это соотношение. При этом $k_{-}=\varphi_{f}(k_{+})>k_{+}=\dot\gamma_{n}(t)$ (см. теорему 2), тем самым движение по характеристике от $\Gamma_{n}$ к $\Gamma_{n+1}$ идет в сторону уменьшения $t$. Поэтому при выборе характеристики, идущей от $\Gamma_{n-1}$ и проходящей через точку $(t_{0},x_{0})\in G_{n}$, нас интересовали касательные к $\Gamma_{n}$ в точке со значением $t$, именно меньшим $t_{0}$.

Условие допустимости разрыва (т.е. взаимное расположение графика и хорды) в нашем случае выполнено автоматически (см. рис. 1) в силу свойств выпуклости функции потока $f\in \mathscr F$ и того факта, что хорда касается графика функции $f$ в точке с абсциссой $u_{+}$.

В области $G_{0}$ решение $u=u(t,x)$ строится так же, только, разрешая уравнение $x=kt-g_{0}(k)$ относительно $k$, выбираем меньший корень $k<k_0$. Существование этого корня вытекает из условия $x_0<k_{\ast}t_0+x_{\ast}=\lim_{k\to k_\ast+0} kt_0-g_0(k)$, так что функция $p(k)=x_0-(kt_0-g_0(k))$ строго возрастает и меняет знак на промежутке $(k_\ast,k_0]$.

Тем самым характеристика (касательная к $\Gamma_{0}$) доходит до прямой $t=0$, принося в точку $(0,x)=(0,-g_{0}(k))$ значение функции $u$, определяемое из равенства $f'(u)=k$, т.е. $x=-g_{0}(f'(u(0,x)))$, что и дает начальное условие $u_{0}(x)=\pm (-g_{0}\circ f')^{-1}(x)$.

Наконец, рассмотрим область $G=\{x>f'(0)t+x_{\ast},\,t>0\}$. Напомним, речь идет о ситуации, когда $g_{0}(k_{\ast}+0)=-x_{\ast}>-\infty$; следовательно, имеется произвол в задании $u_{0}(x)$ при ${x\geqslant x_{\ast}}$. Здесь решение строится стандартным образом, выпуская характеристики из каждой точки $(t,x)=(0,s)$. Поскольку функция $f'(u_{0}(s))$, $s>x_{\ast}$, не убывает, то в полуплоскости $t>0$ характеристики $x=s+f'(u_{0}(s))t$ не пересекаются. На каждой такой характеристике решение, в соответствии с (4), определяется соотношением $u=u_{0}(s)$.

В случае, если монотонная функция $u_{0}$ имеет разрыв (первого рода) в точке $s_{\ast}$ то внутри угла $f'(u_{0}(s_{\ast}-0))<(x-s_{\ast})/t<f'(u_{0}(s_{\ast}+0))$ решение представляет из себя так называемую волну разрежения (см. [2]), определяемую соотношением $f'(u(t,x))=(x-s_{\ast})/t$. Если $u_{0}(x_{\ast}+0)\ne 0$, то такой же волной разрежения $f'(u)=(x-x_{\ast})/t$ заполняется и угол $f'(0)<(x-x_{\ast})/t<f'(u_{0}(x_{\ast}+0))$. Так построенное решение $u(t,x)$ является непрерывным в области $G$, причем $u(t,x)$ стремится к нулю при подходе к лучу $x=f'(0)t+x_{\ast}$, $t>0$, соединяясь по непрерывности с решением в области $G_{0}$. Теорема 3 доказана.

Замечание 4. Как мы видим, на последовательность $g_{n}(k)$ наложено в теоремах 1 и 3 слишком много ограничений, что даже вызывает вопрос, а существуют ли такие последовательности. Примеры приведем ниже, а сейчас отметим, что все эти условия выдерживают умножение на положительные числа и суммирование. То есть если мы имеем несколько функциональных последовательностей $g_{n}^{(j)}(k)$, удовлетворяющих многочисленным требованиям теорем 1 и 3 (с одной и той же функцией $\varphi (k)$), то их линейная комбинация с положительными коэффициентами также будет удовлетворять условиям этих теорем.

§ 5. Примеры применения теоремы 3

Все примеры ниже основаны на том, что наше основное рекуррентное соотношение (9) сохраняет однородность функций $g_{n}(k)$.

Пример 5. $f(u)=u^{3}/3$, $k_{\ast }=0$, $\varphi (k)=4k$. Положим $g_{0}(k)=\sqrt{k}$. Тогда $g_{n}(k)=C_{n}\sqrt{k}$. Действительно, соотношение (9) в этом случае примет вид

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, 2C_{n+1}\sqrt{k} &=g_{n+1}(4k)=g_{n}(k)+g_{n}'(k)(\varphi(k)-k) \\ &=C_{n}\sqrt{k}+\frac{C_{n}}{2\sqrt{k}}(4k-k)=\frac{5}{2}C_{n}\sqrt{k} \quad \Longrightarrow \quad C_{n} =\biggl(\frac{5}{4}\biggr)^{n}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Линии разрыва $\Gamma_{n}$ – ветви гипербол $xt=-C_{n}^{2}/4$, начальное условие $u_{0}(x)=\pm x$ при $x<0$.

В этом случае (см. [4], [6], [12]) несложно указать и явный вид построенного решения. Характеристики в области $G_{n}=\{-C^{2}_{n}<4xt<-C^{2}_{n-1}\}$ имеют вид

$$ \begin{equation} x=kt-C_{n}\sqrt{k}\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{k}=\frac{C_{n}\pm\sqrt{C^{2}_{n}+4xt}}{2t}. \end{equation} \tag{12} $$
Значение решения $u$ в точке $(t,x)\in G_{n}$ находится из условия $k=f'(u)=u^{2}$, т.е. $u=\pm \sqrt{k}$ и знаки чередуются при переходе из одной области $G_{n}$ в соседнюю.

Что касается выбора знака в формуле корней квадратного уравнения в (12), то следует брать большее значение $k$, т.е. знак “$+$”, если $n\in\mathbb{N}$. В случае же $n=0$, т.е. находясь в области $G_{0}=\{-C^{2}_{0}<4xt<0\}$, выбираем знак “$-$”.

Итак, при начальном условии $u_{0}(x)=-x$ (при $x<0$) решение в четверти плоскости $t>0$, $x<0$ имеет вид

$$ \begin{equation*} u(t,x)= \begin{cases} \dfrac{1-\sqrt{1+4xt}}{2t}, & -C_{0}^2=-1<4tx<0, \\ (-1)^{n}\dfrac{C_{n}+\sqrt{C^{2}_{n}+4xt}}{2t}, &-C_n^2<4tx<-C_{n-1}^2,\quad n\in\mathbb{N}. \end{cases} \end{equation*} \notag $$
Естественно, функция $-u$ будет решением с $u_{0}(x)=+x$ (при $x<0$). В четверти плоскости $t>0$, $x>0$ вид решения зависит от того, как было доопределено начальное условие $u_{0}(x)$ на положительной полуоси. Проще всего доопределить нулем и получить в этой четверти ${u(t,x)\equiv 0}$.

Пример 6. Пусть снова $f(u)=u^{3}/3$, $k_{\ast }=0$, $\varphi (k)=4k$, но на этот раз положим $g_{0}(k)=\ln k$. Покажем, что в этом случае $g_{n}(k)=\ln k+C_{n}$. Действительно,

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \ln 4k+C_{n+1}&=g_{n+1}(4k)=g_{n}(k)+g_{n}'(k)(\varphi(k)-k) \\ &=\ln k+C_{n}+\frac1k(4k-k) =\ln k+C_{n}+3 \quad \Longrightarrow \quad C_{n}=(3-2\ln 2) n. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Линии разрыва $\Gamma_{n}$ являются графиками функций $x=\ln t+1-C_{n}$, начальное условие $u_{0}(x)=\pm e^{-x/2}$, $x\in{\mathbb{R}}$.

Замечание 5. В примерах 5 и 6 можно брать $f(u)=A\left\vert u\right\vert^{\alpha -1}u$, $\alpha>1$, и это изменит лишь вид $C_{n}$, а также появятся константы в начальных условиях. В примере 5 можно также взять $g_{0}(k)=k^{\sigma}$, $0<\sigma <1$. В этом случае линии разрыва будут $xt^{\gamma }=\mathrm{const}$, $\gamma=\sigma/(1-\sigma)$; начальное условие – степенная функция $u_{0}(x)=\pm c|x|^{\beta}$ при $x<0$, где $\beta=1/(\sigma(\alpha-1))>0$, $c=(\alpha A)^{-1/(\alpha-1)}$.

Пример 7. Для функции потока вида $f(u)=A\vert u\vert^{\alpha -1}u+Bu,\alpha >1$, $A>0$, и $\varphi (k)=\varkappa^{\alpha -1}k-B(\varkappa^{\alpha -1}-1) $ в качестве $g_{n}$ можно брать сдвинутые функции из предыдущих примеров: $g_{n}(k)=C_{n}(k-B)^{\sigma }$ или $g_{n}(k)=\ln (k-B)+C_{n}$. Это приводит к тому, что скорости ударных волн при больших временах стремятся к константе $B=\lim_{t\to +\infty}\gamma_{n}'(t)$, а не к нулю, как в примерах 5 и 6.

§ 6. Несуществование знакопостоянных решений

Решения, построенные в теореме 3, выпадают из общей теории обобщенных энтропийных решений задачи Коши (1), разработанной еще в классических работах О. А. Олейник [14], [3] и С. Н. Кружкова [15], [1]. В указанных работах теоремы существования, единственности, принцип максимума доказаны в классе ограниченных в полосе $\Pi_{T}$ решений, т.е. $u\in L^\infty(\Pi_T)$. При этом начальное условие, естественно, также является ограниченным, $u_0\in L^\infty(\mathbb{R})$. Мы же, напомним, рассматриваем локально ограниченные решения, $u\in L_{\mathrm{loc}}^\infty(\Pi_T)$, и начальное условие $u_{0}(x)=\pm (-g_{0}\circ f')^{-1}(x)$ (о котором говорится в основной теореме 3) принципиально оказывается неограниченным. При этом построенное знакопеременное решение не удовлетворяет принципу максимума, так как начальное условие может (а в части примеров даже обязано) сохранять знак.

Изучим внимательнее, что из себя представляет функция $(-g_{0}\circ f')^{-1}(x)$. Под $f'$ будем для определенности понимать ограничение производной функции $f\in \mathscr F$ на $\mathbb{R}_{+}$. Таким образом, $f'$ определена на $(0,+\infty)$ и монотонно возрастает от $k_{\ast}=f'(0)$ до $+\infty$. Функция $g_{0}$ определена на луче $(k_{\ast},+\infty)$ и монотонно возрастает от $g_{0}(k_{\ast}+0)$ до $+\infty$. При этом, возможно, $g_{0}(k_{\ast}+0)=-\infty$ (см. пример 6) или же $g_{0}(k_{\ast}+0)=-x_{\ast}>-\infty$ (пример 5). В последнем случае, напомним, приходится доопределять $u_{0}(x)$ при $x>x_{\ast}$. Таким образом, функция $-g_{0}\circ f'$ определена на $(0,+\infty)$ и монотонно убывает от $x_{\ast}$ (или $+\infty$) до $-\infty$. Наконец, $u_{0}(x)=(-g_{0}\circ f')^{-1}(x)$ определена на $(-\infty,x_{\ast})$ и монотонно убывает от $+\infty$ до $0$. Если $x_{\ast}=-g_{0}(k_{\ast}+0)<+\infty$, то доопределим $u_{0}(x)$ нулем при $x\geqslant x_{\ast}$. Тем самым функция $u_{0}(x)$ неотрицательна, в то время как построенное решение задачи (1) будет отрицательным во всех областях $G_{n}$ с нечетными номерами $n$.

Отсутствие принципа максимума ведет к неединственности решения задачи Коши (1) в классе локально ограниченных энтропийных решений. Соответствующие примеры построены в работах [5], [7], [10], [12]. Однако, оказывается, неотрицательных решений у задачи (1) с $u_{0}(x)=(-g_{0}\circ f')^{-1}(x)\geqslant 0$ не существует, о чем утверждает следующая теорема.

Теорема 4. Пусть $f'\colon\mathbb{R}_{+}\to (k_{\ast},+\infty)$ и $g_{0}\colon(k_{\ast},+\infty)\to (-x_{\ast},+\infty)$ – монотонно и неограниченно возрастающие функции. Пусть выполнено

$$ \begin{equation} g_{0}(f'(u))=o\biggl(\frac{f(u)}{u}\biggr), \qquad u\to+\infty. \end{equation} \tag{13} $$
Тогда не существует неотрицательного обобщенного энтропийного решения задачи (1) с начальным условием $u_{0}(x)=(-g_{0}\circ f')^{-1}(x)$.

Замечание 6. Во всех примерах, приведенных выше, соотношение (13) выполнено. Действительно, везде там $f(u)$ – степенная функция, т.е. $f'(u)$ и $f(u)/u$ имеют один и тот же порядок роста на бесконечности, а $g_{0}(k)=o(k)$, $k\to+\infty$. Тем не менее условие (13) не следует автоматически из свойств выпуклости и монотонности функций $f$ и $g_{0}$, наложенных в теоремах 1 и 3, что показывает пример $f(u)=e^{u}$ (при больших $u$) и $g_{0}(k)=k/\ln k$ (при больших $k$).

Лемма 2. Пусть $f'$ – возрастающая на $\mathbb{R}_{+}$ функция, $\lim_{u\to+\infty} f'(u)=+\infty$. Тогда

$$ \begin{equation} \lim_{u\to+\infty}\frac{f(u)}u=+\infty. \end{equation} \tag{14} $$

Доказательство. Из условий следует, что $f(u)\to+\infty$ при $u\to+\infty$. Следовательно, для фиксированного значения $\overline u>0$ выполнено
$$ \begin{equation*} \liminf_{u\to+\infty}\frac{f(u)}{u}= \liminf_{u\to+\infty}\frac{f(u)-f(\overline u)}{u-\overline u}\geqslant f'(\overline u). \end{equation*} \notag $$
Устремляя $\overline u$ к бесконечности, получим (14). Лемма доказана.

Для доказательства теоремы 4 нам понадобятся понятия обобщенных энтропийных суб- и суперрешений задачи (1), а также некоторые известные их свойства (см. [16]–[18]).

Введем обозначения $f^+=\max(f, 0)$, $f^-=\max(-f, 0)$. Также обозначим $\operatorname{sign}^+(f)=\operatorname{sign}(f^+)$ – функция Хевисайда, $\operatorname{sign}^-(f)=-\operatorname{sign}^+(-f)$.

Определение 5. Функция $u \colon \Pi_T \to \mathbb{R}$, $u \in L^{\infty}_{\mathrm{loc}}(\Pi_T)$, называется обобщенным энтропийным субрешением задачи (1), если:

1) $[(u - k)^{+}]_t + [\operatorname{sign}^{+}(u - k)(f(u)-f(k))]_x\leqslant 0$ в $\mathscr{D}'(\Pi_T)$ $ \forall\, k \in \mathbb{R}$;

2) $\operatorname{esslim}_{t \to 0+}(u(t,\cdot)-u_0(\cdot))^{+}=0$ в $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$.

Определение 6. Функция $u \colon \Pi_T \to \mathbb{R}$, $u \in L^{\infty}_{\mathrm{loc}}(\Pi_T)$, называется обобщенным энтропийным суперрешением задачи (1), если:

1) $[(u - k)^{-}]_t + [\operatorname{sign}^{-}(u - k)(f(u)-f(k))]_x\leqslant 0$ в $\mathscr{D}'(\Pi_T)$ $\forall\, k \in \mathbb{R}$;

2) $\operatorname{esslim}_{t \to 0+}(u(t,\cdot)-u_0(\cdot))^{-}=0$ в $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$.

Замечание 7. Функция $u$ является обобщенным энтропийным решением задачи (1) тогда и только тогда, когда она является одновременно обобщенным энтропийным субрешением и суперрешением этой же задачи.

В работах [16]–[18] установлен следующий принцип сравнения для ограниченных энтропийных суб- и суперрешений.

Предложение 2. Пусть $v\colon\Pi_T\to\mathbb{R}$, $w\colon\Pi_T\to\mathbb{R}$, $v,w \in L^\infty(\Pi_T)$, – обобщенные энтропийные суб- и суперрешения уравнения $u_{t}+(f(u))_{x}=0$ с начальными данными $v_0$ и $w_0$, $v_0,w_0\in L^\infty(\mathbb{R})$, соответственно. Если $v_0(x)\leqslant w_0(x)$ почти всюду в $\mathbb{R}$, то $v(t,x)\leqslant w(t,x)$ почти всюду в $\Pi_T$.

Следующее утверждение, доказанное в [6], имеет место без требования ограниченности функций в полосе $\Pi_T$.

Предложение 3. 1) Пусть $u=u(t,x)$ является обобщенным энтропийным субрешением задачи (1), $c\in\mathbb{R}$. Тогда $v(t,x)=\max(u(t,x),c)$ также является обобщенным энтропийным субрешением этой задачи с начальной функцией $v_0(x)=\max(u_0(x),c)$.

2) Пусть $u=u(t,x)$ является обобщенным энтропийным суперрешением задачи (1), $c\in\mathbb{R}$. Тогда $w(t,x)=\min(u(t,x),c)$ также является обобщенным энтропийным суперрешением этой задачи с начальной функцией $w_0(x)=\min(u_0(x),c)$.

Доказательство теоремы 4. Монотонно убывающая функция $u_{0}(x)$ принимает значение $N>0$ в точке $x=-g_{0}(f'(N))$. Наряду с исходной задачей (1) для фиксированного $N\in\mathbb{N}$ рассмотрим две вспомогательные задачи Коши для того же уравнения:
$$ \begin{equation} (u_N)_t+(f(u_N))_x =0, \qquad u_{N}\big|_{t=0}= \begin{cases} N,& x<-g_{0}(f'(N)), \\ 0,& x\geqslant-g_{0}(f'(N)), \end{cases} \end{equation} \tag{15} $$
$$ \begin{equation} (U_N)_t+(f(U_N))_x =0, \qquad U_{N}\big|_{t=0}= \begin{cases} N,& x<-g_{0}(f'(N)), \\ u_{0}(x),& x\geqslant -g_{0}(f'(N)). \end{cases} \end{equation} \tag{16} $$
Отметим, что $u_{N}\big|_{t=0}\leqslant U_{N}\big|_{t=0}\leqslant u\big|_{t=0}$.

Решение $u_{N}$ задачи Римана (15) о распаде разрыва хорошо известно (см. [2]):

$$ \begin{equation*} u_{N}(t,x)= \begin{cases} N,& x<-g_{0}(f'(N))+\dfrac{f(N)}{N} t, \\ 0,& x\geqslant -g_{0}(f'(N))+\dfrac{f(N)}{N} t. \end{cases} \end{equation*} \notag $$
Из (13) и (14) имеем $x<-g_{0}(f'(N))+(f(N)/N) t$ при больших $N$ для любой фиксированной точки $(t,x)$, $t>0$. Следовательно,
$$ \begin{equation} \lim_{N\to\infty} u_{N}(t,x)=+\infty. \end{equation} \tag{17} $$

Пусть $u \in L^{\infty}_{\mathrm{loc}}(\Pi_T)$ – неотрицательное обобщенное энтропийное решение (а значит, и обобщенное энтропийное суперрешение) задачи (1). Из предложения 3 следует, что функция $U_N(t,x)=\min (u(t,x), N)$ является обобщенным энтропийным суперрешением задачи (16), причем $0\leqslant U_{N}(t,x)\leqslant N$ в силу неотрицательности функции $u$. Для ограниченных суперрешения $U_{N}$ и субрешения $u_{N}$ применимо предложение 2, из которого следует цепочка неравенств

$$ \begin{equation*} u_N(t,x)\leqslant U_N(t,x)\leqslant u(t,x), \end{equation*} \notag $$
что противоречит (17). Теорема 4 доказана.

Список литературы

1. С. Н. Кружков, “Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными”, Матем. сб., 81(123):2 (1970), 228–255  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: S. N. Kružkov, “First order quasilinear equations in several independent variables”, Math. USSR-Sb., 10:2 (1970), 217–243  crossref
2. А. Ю. Горицкий, С. Н. Кружков, Г. А. Чечкин, Уравнения с частными производными первого порядка, Учеб. пособие, Изд-во ЦПИ при мех.-матем. ф-те МГУ, 1999, 95 с.
3. О. А. Олейник, “О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения”, УМН, 14:2(86) (1959), 165–170  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: O. A. Oleĭnik, “Uniqueness and stability of the generalized solution of the Cauchy problem for a quasi-linear equation”, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 33, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1963, 285–290  crossref
4. А. Ю. Горицкий, “Построение неограниченного энтропийного решения задачи Коши со счетным числом ударных волн”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1999, № 2, 3–6  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. Yu. Goritskiĭ, “Construction of unbounded entropy solution of Cauchy problem with a countable number of shock waves”, Moscow Univ. Math. Bull., 54:2 (1999), 1–4
5. A. Yu. Goritsky, E. Yu. Panov, “Example of nonuniqueness of entropy solutions in the class of locally bounded functions”, Russ. J. Math. Phys., 6:4 (1999), 492–494  mathscinet  zmath
6. А. Ю. Горицкий, Е. Ю. Панов, “О локально ограниченных обобщенных энтропийных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Тр. МИАН, 236, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2002, 120–133  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. Yu. Goritskiĭ, E. Yu. Panov, “Locally bounded generalized entropy solutions to the Cauchy problem for a first-order quasilinear equation”, Proc. Steklov Inst. Math., 236 (2002), 110–123
7. Е. Ю. Панов, “О классах корректности локально ограниченных обобщённых энтропийных решений задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка”, Фундамент. и прикл. матем., 12:5 (2006), 175–188  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: E. Yu. Panov, “On well-posedness classes of locally bounded generalized entropy solutions of the Cauchy problem for quasilinear first-order equations”, J. Math. Sci. (N.Y.), 150:6 (2008), 2578–2587  crossref
8. П. В. Лысухо, Е. Ю. Панов, “О существовании и единственности неограниченных энтропийных решений задачи Коши для квазилинейных законов сохранения первого порядка”, Дифференц. уравнения, 47:1 (2011), 103–111  mathscinet  zmath; англ. пер.: P. V. Lysukho, E. Yu. Panov, “Existence and uniqueness of unbounded entropy solutions of the Cauchy problem for first-order quasilinear conservation laws”, Differ. Equ., 47:1 (2011), 102–110  crossref
9. Л. В. Гаргянц, “Локально ограниченные решения одномерных законов сохранения”, Дифференц. уравнения, 52:4 (2016), 481–489  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. V. Gargyants, “Locally bounded solutions of one-dimensional conservation laws”, Differ. Equ., 52:4 (2016), 458–466  crossref
10. L. V. Gargyants, “Example of nonexistence of a positive generalized entropy solution of a Cauchy problem with unbounded positive initial data”, Russ. J. Math. Phys., 24:3 (2017), 412–414  crossref  mathscinet  zmath
11. Л. В. Гаргянц, “О локально ограниченных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка со степенной функцией потока”, Матем. заметки, 104:2 (2018), 191–199  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. V. Gargyants, “On locally bounded solutions of the Cauchy problem for a first-order quasilinear equation with power flux function”, Math. Notes, 104:2 (2018), 210–217  crossref
12. А. Ю. Горицкий, Л. В. Гаргянц, “О неедиственности неограниченных решений задачи Коши для скалярных законов сохранения”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 32, Изд-во Моск. ун-та, М., 2019, 111–133  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. Yu. Goritsky, L. V. Gargyants, “Nonuniqueness of unbounded solutions of the Cauchy problem for scalar conservation laws”, J. Math. Sci. (N.Y.), 244:2 (2020), 183–197  crossref
13. В. И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Наука, М., 1978, 304 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. I. Arnold, Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, Grundlehren Math. Wiss., 250, Springer-Verlag, New York–Berlin, 1983, xi+334 с.  mathscinet  zmath
14. О. А. Олейник, “О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций”, Докл. АН СССР, 95:3 (1954), 451–454  mathscinet  zmath; англ. пер.: O. A. Oleĭnik, “The Cauchy problem for nonlinear equations in a class of discontinuous functions”, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 42, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1964, 7–12  crossref
15. С. Н. Кружков, “Обобщенные решения задачи Коши в целом для нелинейных уравнений первого порядка”, Докл. АН СССР, 187:1 (1969), 29–32  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: S. N. Kružkov, “Generalized solutions of the Cauchy problem in the large for first order nonlinear equations”, Soviet Math. Dokl., 10 (1969), 785–788
16. Ф. Бенилан, С. Н. Кружков, “Квазилинейные уравнения первого порядка с непрерывными нелинейностями”, Докл. РАН, 339:2 (1994), 151–154  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: F. Benilan, S. N. Kruzhkov, “Quasilinear first-order equations with continuous nonlinearities”, Dokl. Math., 50:3 (1995), 391–396
17. S. N. Kruzhkov, E. Yu. Panov, “Osgood's type conditions for uniqueness of entropy solutions to Cauchy problem for quasilinear conservation laws of the first order”, Ann. Univ. Ferrara Sez. VII (N.S.), 40 (1994), 31–54  mathscinet  zmath
18. Ph. Bénilan, S. Kružkov, “Conservation laws with continuous flux functions”, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 3:4 (1996), 395–419  crossref  mathscinet  zmath

Образец цитирования: Л. В. Гаргянц, А. Ю. Горицкий, Е. Ю. Панов, “Построение неограниченных разрывных решений скалярных законов сохранения при помощи преобразования Лежандра”, Матем. сб., 212:4 (2021), 29–44; L. V. Gargyants, A. Yu. Goritsky, E. Yu. Panov, “Constructing unbounded discontinuous solutions of scalar conservation laws using the Legendre transform”, Sb. Math., 212:4 (2021), 475–489
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GarGorPan21}
\by Л.~В.~Гаргянц, А.~Ю.~Горицкий, Е.~Ю.~Панов
\paper Построение неограниченных разрывных решений скалярных законов сохранения при помощи преобразования Лежандра
\jour Матем. сб.
\yr 2021
\vol 212
\issue 4
\pages 29--44
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9383}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9383}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021SbMat.212..475G}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=46868395}
\transl
\by L.~V.~Gargyants, A.~Yu.~Goritsky, E.~Yu.~Panov
\paper Constructing unbounded discontinuous solutions of scalar conservation laws using the Legendre transform
\jour Sb. Math.
\yr 2021
\vol 212
\issue 4
\pages 475--489
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9383}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000701438600001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85109181207}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9383
  • https://doi.org/10.4213/sm9383
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v212/i4/p29
  • Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:571
    PDF русской версии:123
    PDF английской версии:38
    HTML русской версии:183
    Список литературы:44
    Первая страница:27
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024