Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2021, том 212, номер 3, страницы 88–111
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9388
(Mi sm9388)
 

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Общий антиканонический элемент для трехмерных экстремальных стягиваний с одномерными слоями: исключительный случай

Ш. Мориabc, Ю. Г. Прохоровd

a Kyoto University Institute for Advanced Study, Kyoto University, Kyoto, Japan
b Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, Kyoto, Japan
c Chubu University Academy of Emerging Sciences, Chubu University, Aichi, Japan
d Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Список литературы:
Аннотация: Пусть $(X, C)$ – росток трехмерного многообразия $X$ с терминальными особенностями вдоль связной приведенной полной кривой $C$, допускающего стягивание $f\colon (X, C) \to (Z, o)$ такое, что $C = f^{-1} (o)_{\mathrm{red}}$ и $-K_X$ является $f$-обильным. Предположим, что каждая неприводимая компонента $C$ содержит не более одной точки индекса $>2$. Мы докажем, что общий элемент $D\in |{-}K_X|$ является нормальной поверхностью с дювалевскими особенностями.
Библиография: 16 названий.
Ключевые слова: терминальная особенность, росток экстремальной окрестности, флип, дивизорное стягивание, $\mathbb Q$-расслоение на коники.
Финансовая поддержка Номер гранта
Research Institute for Mathematical Sciences, an International Joint Usage/Research Center located in Kyoto University
Работа выполнена при частичной поддержке the Research Institute for Mathematical Sciences, an International Joint Usage/Research Center located in Kyoto University.
Поступила в редакцию: 25.02.2020 и 27.11.2020
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 3, Pages 351–373
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9388
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 512.76
MSC: Primary 14E30; Secondary 14J30, 14J17

§ 1. Введение

Настоящая статья является продолжением серии статей о классификации экстремальных стягиваний с одномерными слоями (введение в предмет см. в обзоре [13]). Напомним, что росток экстремальной окрестности – это аналитический росток $(X, C)$ трехмерного многообразия $X$ с терминальными особенностями вдоль приведенной связной кривой $C$, допускающий стягивание $f\colon (X, C)\to (Z, o)$ такое, что $C=f^{-1}(o)_{\mathrm{red}}$, и такой, что дивизор $-K_X$ является $f$-обильным. Существует три типа ростков экстремальных окрестностей: флипповые, дивизориальные и $\mathbb{Q}$-расслоения на коники; все они являются важными компонентами в трехмерной программе минимальных моделей.

Первый шаг в классификации – установить существование “хорошего” элемента в антиканонической линейной системе. Это так называемая “гипотеза об общем антиканоническом элементе (слоне)” М. Рида (см. [15]). В случае неприводимой центральной кривой $C$ эта гипотеза доказана.

Теорема 1.1 (см. [2; теорема 2.2], [11]). Пусть $(X, C)$ – росток экстремальной окрестности с неприводимой центральной кривой $C$. Тогда общий элемент $D\in |{-}K_X|$ является нормальной поверхностью с дювалевскими особенностями.

Более того, все возможности для общих элементов $|{-}K_X|$ были классифицированы. Во-первых, ростки экстремальных окрестностей с неприводимой центральной кривой делятся на два класса: полустабильные и исключительные. Такой росток $(X, C)$ называется полустабильным, если ограничение соответствующего стягивания $f\colon (X,C)\to (Z,o)$ на общий элемент $D\in |{-}K_X|$ имеет факторизацию Штейна $f_D\colon D\to D'\to f(D)$, где поверхность $D'$ имеет лишь дювалевские особенности типа $\mathrm{A}$ (см. [2]). Неполустабильные ростки экстремальных окрестностей называются исключительными. Полустабильные ростки экстремальных окрестностей делятся на две категории: $(\mathrm{k1A})$ и $(\mathrm{k2A})$, в то время как исключительные делятся на следующие категории: $\mathrm{cD/2}$, $\mathrm{cAx/2}$, $\mathrm{cE/2}$, $\mathrm{cD/3}$, $(\mathrm{IIA})$, $(\mathrm{II^\vee})$, $(\mathrm{IE^\vee})$, $(\mathrm{ID^\vee})$, $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$, $(\mathrm{kAD})$ и $(\mathrm{k3A})$ (см. [2], [9] и [11]).

Результат, сформулированный в теореме 1.1, очень важен в трехмерной геометрии. Например, существование хорошего элемента $D\in|{-}K_X|$ для флипповых стягиваний является достаточным условием для существования флипов (см. [1]) и существование хорошего элемента $D\in |{-}K_X|$ в случае $\mathbb{Q}$-расслоений на коники доказывает гипотезу Исковских об особенностях базы (см. [14], [9]).

Гипотеза Рида была доказана также для произвольной центральной кривой $C$ в случае $\mathbb{Q}$-расслоений на коники над особой базой.

Теорема 1.2 (см. [10]). Пусть $(X,C)$ – росток $\mathbb{Q}$-расслоения на коники, и пусть $f\colon (X,C)\to (Z,o)$ – соответствующее стягивание. Предположим, что точка $(Z, o)$ особа. Тогда общий элемент $D\in |{-}K_X|$ является нормальной поверхностью с дювалевскими особенностями.

В настоящей статье мы изучим гипотезу Рида для ростков экстремальных окрестностей с приводимой центральной кривой. Наш основной результат – следующая теорема.

Теорема 1.3. Пусть $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности. Предположим, что $(X,C)$ удовлетворяет следующему условию:

Тогда общий элемент $D\in |{-}K_X|$ является нормальной поверхностью с дювалевскими особенностями. Более того, для каждой неприводимой компоненты $C_i\subset C$, содержащей две негоренштейновы точки или точку типов $(\mathrm{IC})$ или $(\mathrm{IIB})$, двойственный граф $\Delta(D,C_i)$ имеет ту же форму, что и неприводимый росток экстремальной окрестности $(X,C_i)$ (см. теорему 5.1).

Всюду на протяжении этой статьи мы используем стандартные обозначения $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$ и т.д. для типов ростков экстремальных окрестностей $(X,C)$ с неприводимым центральным слоем (см. [2]). Иногда, если важно знать индексы особых точек, мы будем использовать нижние индексы. Например, $(\mathrm{kAD_{2,m}})$ означает, что индексы точек на $(X,C)$ равны 2 и $m$. Некоторые из нижних индексов могут быть опущены, если это не важно в данном рассмотрении, например, $(\mathrm{k2A_2})$ означает, что $(X,C)$ содержит точку индекса $2$ (и другую точку индекса $>1$).

Согласно классификации бирациональных ростков экстремальных окрестностей условие $(*)$ в теореме 1.3 эквивалентно тому, что произвольная компонента $C_i\subset C$ типа $(\mathrm{k2A})$ имеет точку индекса $2$.

Следствие 1.4. Пусть $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности, и пусть $C_i\subset C$ – неприводимая компонента.

(i) Если $C_i$ имеет тип $(\mathrm{IIB})$, то любая другая компонента $C_j\subset C$ имеет тип $(\mathrm{IIA})$ или $(\mathrm{II^\vee})$.

(ii) Если $C_i$ имеет тип $(\mathrm{IC})$ или $(\mathrm{k3A})$, то любая другая компонента $C_j\,{\subset}\,C$, пересекающая $C_i$, имеет тип $(\mathrm{k1A})$ или $(\mathrm{k2A})$.

(iii) Если $C_i$ имеет тип $(\mathrm{kAD})$, то любая другая компонента $C_j\subset C$, пересекающая $C_i$, имеет тип $(\mathrm{k1A})$, $(\mathrm{k2A})$, $\mathrm{cD/2}$ или $\mathrm{cAx/2}$.

(iv) Если $C_i$ имеет тип $(\mathrm{k2A_2})$, то любая другая компонента $C_j\subset C$, пересекающая $C_i$, имеет тип $(\mathrm{k1A})$, $(\mathrm{IC})$ или $(\mathrm{k2A_{n,m}})$, $n,m\geqslant 3$.

Имеются и другие ограничения на комбинаторику компонент кривой $C$. Это будет обсуждаться в последующих публикациях. Примеры ростков экстремальных окрестностей, удовлетворяющих условиям теоремы 1.3, могут быть найдены в дополнении к архивной версии настоящей работы [arhiv:2002.10693].

Благодарности

Статья была написана во время визита второго автора в Исследовательский институт математических наук, Киотский университет. Авторы благодарны институту за поддержку и гостеприимство.

§ 2. Предварительные сведения

2.1.

Напомним, что стягивание – это собственный сюръективный морфизм $f\colon X\to Z$ нормальных многообразий такой, что $f_*\mathscr{O}_X=\mathscr{O}_Z$.

Определение 2.1. Пусть $(X,C)$ – аналитический росток трехмерного многообразия с терминальными особенностями вдоль приведенной связной полной кривой. Мы говорим, что $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности, если существует стягивание $f\colon (X,C)\longrightarrow (Z,o)$ такое, что $C=f^{-1}(o)_{\mathrm{red}}$, и дивизор $-K_X$ является $f$-обильным. Далее, $f$ называется флипповым, если его исключительное множество совпадает с $C$, и дивизориальным, если его исключительное множество двумерно. Если стягивание $f$ не является бирациональным, то $Z$ – поверхность и $(X,C)$ называется ростком $\mathbb{Q}$-расслоения на коники.

Лемма 2.2. Пусть $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности. Предположим, что слой $C$ приводим. Тогда для любой связной собственной подкривой $C'\subsetneqq C$ росток $(X,C')$ является бирациональным ростком экстремальной окрестности.

Доказательство. Ясно, что существует стягивание $f'\colon X\to Z'$ кривой $C'$ над $Z$ (см. [6; следствие 1.5]). Нам нужно показать только, что $f'$ является бирациональным. Предположим, что $(X,C')$ – росток $\mathbb{Q}$-расслоения на коники. Тогда существует следующая коммутативная диаграмма:
где $f$ и $f'$ – $\mathbb{Q}$-расслоения на коники, стягивающие $C$ и $C'$ соответственно. Образ $\Gamma:=f'(C'')$ оставшейся части $C'':=C-C'$ является кривой $Z'$ такой, что $\varphi(\Gamma)=f(C)$ – точка, которую мы обозначим $o\in Z$. Следовательно, слой $f^{\prime -1}(\Gamma)=f^{-1}(o)$ двумерен. Противоречие. Лемма доказана.

2.2.

Напомним основные определения техники $\ell$-структур; подробности см. в [6; § 8]. Пусть $(X,P)$ – трехмерная терминальная особенность индекса $m$. Всюду на протяжении этой статьи $\pi\colon (X^\sharp , P^\sharp ) \to (X, P )$ обозначает его накрытие индекса $1$. Для любого объекта $V$ на $X$ мы обозначим через $V^\sharp$ прообраз $V$ на $X^\sharp$.

Пусть $\mathscr{L}$ – когерентный пучок на $X$ без подмодулей конечной длины $\,{>}\,0$. $\ell$-структура для $\mathscr{L}$ в точке $P$ – когерентный пучок $\mathscr{L}^\sharp$ на $X^\sharp$ без подмодулей конечной длины ${>}\,0$ с действием $\boldsymbol{\mu}_m$, снабженный изоморфизмом $(\mathscr{L}^\sharp)^{\boldsymbol{\mu}_m}\,{\simeq}\,\mathscr{L}$. $\ell$-базис для $\mathscr{L}$ в точке $P$ – набор $\boldsymbol{\mu}_m$-полуинвариантов $s_1^\sharp,\dots,s_r^\sharp\in \mathscr{L}^\sharp$, порождающих $\mathscr{L}^\sharp$ как $\mathscr{O}_{X^\sharp}$-модуль в $P^\sharp$. Пусть $Y$ – замкнутое подмногообразие в $X$. Заметим, что $\mathscr{L}$ – $\mathscr{O}_Y$-модуль, если и только если $\mathscr{L}^\sharp$ – $\mathscr{O}_{Y^\sharp}$-модуль. Мы говорим, что $\mathscr{L}$ является $\ell$-свободным $\mathscr{O}_Y$-модулем в $P$, если $\mathscr{L}^\sharp$ – свободный $\mathscr{O}_{Y^\sharp}$-модуль в $P^\sharp$. Пусть $\mathscr{L}$ – $\ell$-свободный $\mathscr{O}_Y$-модуль в $P$. Тогда $\ell$-базис для $\mathscr{L}$ в $P$ называется $\ell$-свободным, если он – свободный $\mathscr{O}_{Y^\sharp}$-базис.

Пусть $\mathscr{L}$ и $\mathscr{M}$ – $\mathscr{O}_Y$-модули в $P$ с $\ell$-структурами $\mathscr{L}\subset \mathscr{L}^\sharp$ и $\mathscr{M}\subset \mathscr{M}^\sharp$. Определим операции $\mathbin{\widetilde\oplus}$ и $\mathbin{\widetilde\otimes}$:

Эти операции удовлетворяют стандартным свойствам (см. [6; предложение-определение 8.8.4]). Если $X$ – аналитическое трехмерное многообразие с терминальными особенностями и $Y$ – замкнутая подсхема в $X$, то введенные выше локальные определения операций $\mathbin{\widetilde\oplus}$ и $\mathbin{\widetilde\otimes}$ совпадают с соответствующими операциями на $X\setminus \operatorname{Sing} X$. Следовательно, они задают корректно определенные операции глобальных $\mathscr{O}_Y$-модулей.

Лемма 2.3. Пусть $(D,C)$ – росток нормальной горенштейновой поверхности вдоль собственной приведенной связной кривой $C\,{=}\,\bigcup C_i$, где $C_i$ – неприводимые компоненты. Предположим, что имеют место следующая условия:

(i) $K_D\sim 0$;

(ii) существует бирациональное стягивание $\varphi\colon (D, C)\to (R,o)$ такое, что $\varphi^{-1}(o)_{\mathrm{red}}= C$;

(iii) существует точка $P\in D$, которая не является дювалевской типа $\mathrm{A}$.

Тогда $D$ имеет лишь дювалевские особенности на $C\setminus \{P\}$.

Доказательство. Предположим, что существует точка $Q\in D\setminus \{P\}$, которая не является дювалевской. Если существует компонента $C_i\subset C$, проходящая через $Q$, но не проходящая через $P$, то мы можем стянуть ее: $D\to D'$ над $R$. Стягивание крепантно, поэтому образ $Q$ – снова недювалевская точка. Заменим $D$ на $D'$. Продолжая процесс, мы можем считать, что $P$ и $Q$ связаны некоторой компонентой $C_i\subset C$. Более того, уменьшая $C$, мы можем считать, что $C_i=C$, т.е. кривая $C$ неприводима. Так как поверхность $D$ горенштейнова, то точка $Q\in D$ не является логтерминальной, а точка $P\in D$ логтерминальна, только если она дювалевская типа $\mathrm{D}$ или $\mathrm{E}$. Следовательно, пара $(D, C)$ не является логканонической в $Q$ и не является чисто логтерминальной в $P$ (см. [3; теорема 4.15]). Пусть $H$ – общее гиперплоское сечение, проходящее через $P$. Для некоторых $0<\varepsilon$, $\delta \ll1$ пара $(D, (1-\varepsilon )C+\delta H)$ не является логканонической в $P$ и $Q$. Так как $-(K_D+(1-\varepsilon )C+\delta H)$ является $\varphi$-обильным, это противоречит лемме о связности Шокурова (см. [16]). Лемма доказана.

§ 3. Случаи малых индексов

Ростки экстремальных окрестностей индекса $2$ с произвольной центральной кривой были полностью классифицированы в [2; § 4] и [9; § 12]. Как несложное следствие мы имеем следующее

Предложение 3.1. Пусть $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности. Предположим, что все особенности $X$ имеют индекс $1$ или $2$, т.е. $2K_X$ – дивизор Картье. Тогда общий элемент $D\in |{-}K_X|$ – нормальная поверхность с дювалевскими особенностями и $D$ не содержит компонент $C$.

Доказательство. Так как случай, когда $X$ горенштейново, тривиален, то мы предположим, что $X$ имеет по крайней мере одну точку индекса $2$, обозначим ее $P$. В бирациональном случае нет других негоренштейновых точек и все компоненты $C_i\subset C$ проходят через $P$ (см. [2; предложение 4.6]). Согласно [2; теорема 2.2] общий локальный элемент $D\in |{-}K_{(X,P)}|$ является на самом деле общим элементом линейной системы $|{-}K_X|$, и этот $D$ имеет лишь дювалевскую особенность (в $P$; см. [15; (6.4)]). Случай $\mathbb{Q}$-расслоения на коники см. в [9; доказательство 12.1] и [10; следствие 1.4]. Предложение доказано.

Предложение 3.2. Пусть $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности. Предположим, что кривая $C$ приводима и $(X,C)$ содержит точку $P$ одного из типов $\mathrm{cD/2}$, $\mathrm{cAx/2}$, $\mathrm{cE/2}$, $\mathrm{cD/3}$. Тогда имеет место одно из следующих утверждений.

(i) $P$ – единственная негоренштейнова точка $X$, все компоненты проходят через $P$ и не пересекают друг друга вне точки $P$, а общий элемент $D\in |{-}K_X|$ – нормальная поверхность с дювалевскими особенностями. Более того, $D\cap C=\{P\}$.

(ii) Существует компонента $C_i\subset C$, проходящая через $P$, такая, что росток $(X,C_i)$ является дивизориальным типа $(\mathrm{kAD})$. Более того, $(X,P)$ – особенность типа $\mathrm{cD/2}$ или $\mathrm{cAx/2}$.

Доказательство. Напомним, что точки пересечения $C_i\cap C_j$ различных компонент $C_i, C_j\subset C$ негоренштейновы по [6; следствие 1.15], [4; предложение 4.2] и также по [9; лемма 4.4.2]. Если $P$ – единственная негоренштейнова точка $X$, то общий элемент $D\in |{-}K_{(X,P)}|$ – на самом деле общий элемент линейной системы $|{-}K_X|$ (см. [6; (0.4.14)]). Этот $D$ имеет лишь дювалевскую особенность (в $P$; см. [15; (6.4)]). Если существует негоренштейнова точка $Q\in X$, отличная от $P$, то мы можем считать, что $Q$ лежит на некоторой компоненте $C_i\subset C$, проходящей через $P$. Таким образом, $(X,C_i)$ – бирациональный росток экстремальной окрестности с двумя негоренштейновыми точками (см. лемму 2.2). Согласно [2; теорема 2.2] и [8] росток $(X,C_i)$ является дивизориальным типа $(\mathrm{kAD})$ и $(X,P)$ – особенность типа $\mathrm{cD/2}$ или $\mathrm{cAx/2}$. Предложение доказано.

§ 4. Методы продолжения

Теорема 4.1 (см. [6; теорема 7.3], [9; предложение 1.3.7]). Пусть $(X, C\simeq \mathbb{P}^1)$ – неприводимый росток экстремальной окрестности, удовлетворяющий условию $(*)$ в теореме 1.3. Тогда для общего элемента $S\in |{-}2K_X|$ мы имеем $S\cap C=\{P\}$, где $P$ – точка индекса $r>2$ или гладкая точка (если $(X,C)$ имеет индекс $2$). Более того, пара $(X,\frac12 S)$ логтерминальна.

Предложение 4.2 (см. [2; лемма 2.5], [11; предложение 2.1]). Пусть $(X, C)$ – росток экстремальной окрестности (кривая $C$ не обязательно неприводима), и пусть $S\in |{-}2K_X|$ – общий элемент. Предположим, что множество $\Sigma:=S\cap C$ конечно.

(i) Если $(X, C)$ является бирациональным, то естественное отображение

$$ \begin{equation} \tau\colon H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))\to \boldsymbol{\omega}_{(S,\Sigma)}= H^0(S,\mathscr{O}_S(-K_X)) \end{equation} \tag{4.1} $$
сюръективно, где $\boldsymbol{\omega}_{(S,\Sigma)}$ – дуализирующий пучок поверхности $(S,\Sigma)$.

(ii) Если $(X, C)$ – росток $\mathbb{Q}$-расслоения на коники над неособой базисной поверхностью, то естественное отображение

$$ \begin{equation} \overline \tau\colon H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))\to \boldsymbol{\omega}_{(S,\Sigma)}/\Omega^2_{(S,\Sigma)} \end{equation} \tag{4.2} $$
сюръективно, где $\Omega^2_{(S,\Sigma)}$ – пучок голоморфных $2$-форм на $(S,\Sigma)$.

(iii) Если $(X, C)$ – росток $\mathbb{Q}$-расслоения на коники над неособой базисной поверхностью и $\Sigma=\Sigma_1 \amalg\Sigma_2$, $\Sigma_i\neq\varnothing$, то

$$ \begin{equation} \tau_1\colon H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))\to \boldsymbol{\omega}_{(S,\Sigma_1)} \end{equation} \tag{4.3} $$
сюръективно.

Доказательство. Для доказательства (i) мы отсылаем к [2; лемма 2.5].

Докажем (ii). Заметим, что по формуле присоединения $\mathscr{O}_S(K_S)= \mathscr{O}_S(-K_X)$. Пусть $f\colon (X,C)\to (Z,o)$ – соответствующее стягивание $\mathbb{Q}$-расслоения на коники, и пусть $g=f|_S\colon S\to Z$ – его ограничение на $S$. Так как базисная поверхность $Z$ неособа, согласно [9; лемма 4.1] существует канонический изоморфизм

$$ \begin{equation*} R^1f^* \boldsymbol{\omega}_X \simeq \boldsymbol{\omega}_Z. \end{equation*} \notag $$
Тогда мы применим предложение 2.1 из [11] в нашей ситуации:
и получим сюръективность $\tau$.

Для доказательства (iii) мы рассмотрим отображение $g_i\colon S_i\to Z$, которое является ограничением $g$ на $S_i=(S,\Sigma_i)\subset S$ и индуцирует точную последовательность

Тогда мы видим, что $g_2^*\colon \boldsymbol{\omega}_Z\to 0\oplus \boldsymbol{\omega}_{(S,\Sigma_2)}$ – расщепляющий гомоморфизм. Следовательно, гомоморфизм
$$ \begin{equation*} f_*\boldsymbol{\omega}_X(S)\to\boldsymbol{\omega}_{(S,\Sigma_1)}\oplus(\boldsymbol{\omega}_{(S,\Sigma_2)}/ g_2^*\boldsymbol{\omega}_{(Z,0)}) \end{equation*} \notag $$
сюръективен. Предложение доказано.

Лемма 4.3. Пусть $(\overline{X},\overline{C})$ – росток экстремальной окрестности с приводимой центральной кривой $\overline{C}$. Предположим, что $\overline X$ удовлетворяет условию $(*)$ в теореме 1.3 и что существует компонента $C\subset \overline C$ типа $(\mathrm{k1A})$, которая пересекает $\overline C\,{-}\,C$ в точке $P$ индекса $2$. Тогда общий элемент $D\in |{-}K_{\overline X}|$ не содержит $C$.

Доказательство. На каждой неприводимой компоненте $C_i$ кривой $\overline{C}$ существует не более одной точки индекса ${>}\,2$. Пусть $\{P_a\}_{a \in A}$ – набор таких точек. Для каждой $C_i$ без точек индекса $\,{>}\,2$ выберем одну общую точку кривой $C_i$. Пусть $\{P_b\}_{b \in B}$ – набор таких точек. Для каждой $i \in A \cup B$ пусть $S_i \in |-2K_{(X,P_i)}|$ – общий элемент на ростке $(X,P_i)$, и положим $S=\sum_{i \in A \cup B} S_i$. Тогда $S$ продолжается до элемента $|{-}2K_X|$ согласно [6; теорема (7.3)]. Образующая $\sigma_b$ слоя $\mathscr{O}_{S,b}(-K_X)\simeq \mathscr{O}_{S,b}$ поднимается до $s \in H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))$ согласно предложению 4.2, (i), если $(\overline X, \overline C)$ является бирациональный и поскольку $A\neq\varnothing$, и по предложению 4.2, (ii) в противном случае. В любом случае мы имеем $C \not\subset D$. Лемма доказана.

§ 5. Обзор результатов [2; § 2]

Нам нужно некоторое улучшение фактов о бирациональных ростках экстремальных окрестностей с неприводимым центральным слоем, доказанных в [2; § 2].

5.1.

Ниже для нормальной поверхности $D$ и кривой $C\subset D$ мы используем обычные обозначения графов $\Delta (D,C)$ минимального разрешения $D$ вблизи $C$: каждая вершина, помеченная $\bullet$, соответствует неприводимой компоненте $C$, а каждая вершина $\circ$ соответствует компоненте $E_i\subset E$ исключительного дивизора $E$ на минимальном разрешении поверхности $D$. Заметим, что в нашей ситуации ниже мы имеем $E_i^2=-2$ для всех $E_i$.

Теорема 5.1 (см. [2; теорема 2.2], [8]). Пусть $(X,C\simeq\mathbb{P}^1)$ – бирациональный росток экстремальной окрестности, и пусть $D\in |{-}K_X|$ – общий элемент. Тогда $D$ – нормальная поверхность с дювалевскими особенностями. Более того, или $D\,{\cap}\, C$ – точка, или $D\supset C$, а для графа $\Delta(D,C)$ имеет место одна и только одна из следующих возможностей:

$\begin{matrix}(\mathrm{IC}) \\ \scriptstyle{k=1}\end{matrix}$
$\begin{matrix} (\mathrm{IIB})\\ {\scriptstyle k=3, \ m=4}\end{matrix} $
$\begin{matrix} (\mathrm{kAD}) \\ {\scriptstyle k=1,\ n=2}\end{matrix}$
$\begin{matrix} (\mathrm{k3A}) \\ {\scriptstyle k=1,\ n=2}\end{matrix}$
$(\mathrm{k2A})$

где $m$ и $k$ – индекс и осевая кратность (см. [6; определение-следствие 1a.5, (iii)]), особой точки $X$, а $n$ и $l$ – то же самое для другой негоренштейновой точки (если такая имеется).

В случаях $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$, $(\mathrm{kAD})$, $(\mathrm{k3A})$ и $(\mathrm{k2A_2})$ теорема 5.1 выводится из следующей.

Теорема 5.2 (ср. [2; § 2], [8]). Пусть $(X,C)$ – бирациональный росток экстремальной окрестности с неприводимой центральной кривой типа $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$, $(\mathrm{kAD})$, $(\mathrm{k3A})$ или $(\mathrm{k2A_2})$. Пусть $S\in |{-}2K_X|$ – общий элемент (так что $S\,{\cap}\, C\,{=}\,\{P\}$, где $P$ – точка индекса $r>2$). Пусть $\sigma_S\in H^0(S,\mathscr{O}_S(-K_X))$ – общее сечение. Тогда для любого сечения $\sigma\in H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))$ такого, что

$$ \begin{equation} \sigma|_S\equiv \sigma_S\ \operatorname{mod} \Omega^2_S \end{equation} \tag{5.1} $$
(см. (4.2)), дивизор $D:=\operatorname{div}(\sigma)$ – нормальная поверхность, имеющая лишь дювалевские особенности. Далее, конфигурация $\Delta(D,C)$ такая, как описана в теореме 5.1.

Ниже мы дадим набросок доказательства теоремы 5.2, следуя [2; § 2]. Мы разберем возможности $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$, $(\mathrm{k3A})$, $(\mathrm{kAD})$ и $(\mathrm{k2A_2})$ случай за случаем.

5.2. Случай $(\mathrm{IC})$

Согласно [6; (A.3)] мы имеем следующее отождествление в $P$:

$$ \begin{equation*} (X,C)= (\mathbb{C}^3_{y_1,y_2,y_4},\,\{y_1^{m-2}-y_2^2= y_4=0 \}) /\boldsymbol{\mu}_{m}(2,m-2,1). \end{equation*} \notag $$
Общий дивизор $S\,{\in}\,|{-}2K_X|$ задается уравнением $y_1\,{=}\,\xi(y_2,y_4)$, где $\xi\,{\in}\, (y_2, y_4)^2$ – элемент такой, что $\operatorname{wt}(\xi) \equiv 2 \ \operatorname{mod} m$. Таким образом, мы имеем
$$ \begin{equation} S\simeq \mathbb{C}^2_{y_2,y_4} /\boldsymbol{\mu}_{m}(m-2,1), \qquad \boldsymbol{\omega}_S=(\mathscr{O}_{S^\sharp,P^\sharp}\,\mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_4)^{\boldsymbol{\mu}_m}, \end{equation} \tag{5.2} $$
$$ \begin{equation} \boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P = \mathbb{C} \cdot y_2^{(m-1)/2}\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_4\oplus \mathbb{C}\cdot y_4\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_4. \end{equation} \tag{5.3} $$
Далее,
$$ \begin{equation} \operatorname{gr}_C^0\boldsymbol{\omega}^*=(P^\sharp)=\biggl(-1+\frac{m+1}2\cdot2P^\sharp\biggr)\simeq \mathscr{O}_C(-1), \end{equation} \tag{5.4} $$
где
$$ \begin{equation*} \Omega^{-1}:=(\mathrm{d} y_1\wedge \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_4)^{-1} \end{equation*} \notag $$
– $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$. Следовательно, $H^0(C,\operatorname{gr}_C^0 \boldsymbol{\omega}^*)=0$ и
$$ \begin{equation} H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))=H^0(X,\mathscr{I}_C \mathbin{\widetilde\otimes}\mathscr{O}_X(-K_X)), \end{equation} \tag{5.5} $$
где $\mathscr{I}_C$ – идеал, задающий $C$ в $X$. Далее, согласно [2; (2.10.4)]
$$ \begin{equation} \operatorname{gr}_C^1\boldsymbol{\omega}^*=(5P^\sharp)\mathbin{\widetilde\oplus} (0), \end{equation} \tag{5.6} $$
где $\boldsymbol{\mu}_m$-полуинварианты
$$ \begin{equation} (y_1^{m-2}-y_2^2)\cdot \Omega^{-1}, \quad y_4\cdot \Omega^{-1} \end{equation} \tag{5.7} $$
образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$. Следовательно,
$$ \begin{equation*} \operatorname{gr}_C^1\boldsymbol{\omega}^*\simeq \begin{cases} \mathscr{O}_C(-1)\oplus \mathscr{O}_C, & \text{если $m\geqslant 9$,} \\ \mathscr{O}_C\oplus \mathscr{O}_C, & \text{если $m=7$,} \\ \mathscr{O}_C(1)\oplus \mathscr{O}_C, & \text{если $m=5$.} \end{cases} \end{equation*} \notag $$
Мы имеем естественные гомоморфизмы
$$ \begin{equation*} \delta \colon H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X)) \to \operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^* \to (\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}. \end{equation*} \notag $$
Так как $(y_1-\xi)\cdot (\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}=0$, то отображение $\delta$ раскладывается следующим образом:
$$ \begin{equation*} \delta \colon H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X)) \to \boldsymbol{\omega}_S \to (\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}. \end{equation*} \notag $$
Как и в [11; (3.1.1)], мы видим, что
$$ \begin{equation*} \Omega^2_S \subset (\mathfrak m_{S, P}\cdot y_4 +\mathfrak m_{S,P}\cdot y_2^{(m-1)/2})\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_4 =\mathfrak m_{S,P}\cdot \boldsymbol{\omega}_S, \end{equation*} \notag $$
поскольку для произвольных элементов $\phi_1$, $\phi_2$ множества порождающих
$$ \begin{equation*} \{y_2^m,y_4^m,y_2y_4^2,y_2^{(m-1)/2}y_4\} \end{equation*} \notag $$
кольца $\mathscr{O}_{S^\sharp}^{\boldsymbol{\mu}_m}$ мы имеем
$$ \begin{equation*} \mathrm{d}\phi_1 \wedge \mathrm{d}\phi_2 \in \bigl((y_2,y_4)y_4+(y_2,y_4)y_2^{(m-1)/2}\bigr)\,\mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_4. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, $\delta$ раскладывается далее следующим образом:
$$ \begin{equation*} \delta \colon H^0(\mathscr{O}_X(-K_X)) \twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_{S}/\Omega^2_{S} \twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P \to (\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}, \end{equation*} \notag $$
где последнее отображение – сюръекция, если $m=5$, и образ порождается элементом $y_4\Omega^{-1}$, если $m\geqslant 7$ (см. (5.3) и (5.7)). Если $m\geqslant 7$, это влечет, что коэффициент элемента $y_4\Omega^{-1}$ в $\sigma_S$ не равен нулю. Если $m=5$, то коэффициенты $y_4\Omega^{-1}$ и $(y_1^{m-2}-y_2^2)\Omega^{-1}$ в $\sigma_S$ независимы, а образ $\overline \sigma$ элемента $\sigma$ в $\operatorname{gr}_C^1\boldsymbol{\omega}^*$ не содержится в $\mathscr{O}_C(1)$. Следовательно, $\overline \sigma$ нигде не зануляется, и поэтому особое множество поверхности $D$ не пересекает $C\setminus \{P\}$. Тогда мы снова можем взять сечение $\sigma_S$ так, что оно содержит член $y_4\Omega^{-1}$. Следовательно, $D\in |{-}K_X|$ может быть задано уравнением $y_4+\cdots =0$. Тогда [2; вычисление 2.10.5] показывает, что поверхность $D$ дювалевская в $P$ и что ее граф такой, как граф типа $(\mathrm{IC})$ в теореме 5.1.

5.3. Случай $(\mathrm{IIB})$

Согласно [6; (A.3)] росток $(X,C)$ в $P$ может быть задан следующим образом:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, (X,C) = \bigl(\{\phi=0\}\subset\mathbb{C}^4_{y_1,\dots,y_4},\,\{y_1^2-y_2^3=y_3=y_4=0\}\bigr)/\boldsymbol{\mu}_4(3,2,1,1), \\ \phi=y_1^2-y_2^3+\psi, \qquad \operatorname{wt}(\psi)\equiv 2\ \operatorname{mod} 4, \qquad \psi (0,0,y_3,y_4) \notin (y_3,y_4)^3. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Общий дивизор $S\in |{-}2K_X|$ задается уравнением $y_2=\xi(y_1,y_3,y_4)$, где $\xi \in (y_1,y_3,y_4)^2$ – элемент такой, что $\operatorname{wt}(\xi) \equiv 2 \ \operatorname{mod} 4$. Таким образом, $S$ является фактором гиперповерхности $\phi(y_1,\xi,y_3,y_4)=0$ в $\mathbb{C}^3_{y_1,y_3,y_4}$ по $\boldsymbol{\mu}_4(3,1,1)$. Мы имеем

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \boldsymbol{\omega}_S &=\biggl(\mathscr{O}_{S^\sharp,P^\sharp}\, \frac{\mathrm{d} y_3\wedge \mathrm{d} y_4}{y_1+\cdots}\biggr)^{\boldsymbol{\mu}_4}, \\ \boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P &= \mathbb{C} \cdot y_3 \,\frac{\mathrm{d} y_3\wedge \mathrm{d} y_4}{y_1 +\cdots} \oplus \mathbb{C}\cdot y_4 \,\frac{\mathrm{d} y_3\wedge \mathrm{d} y_4}{y_1 + \cdots}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.8} $$
Далее,
$$ \begin{equation} \operatorname{gr}_C^0\boldsymbol{\omega}^*=(P^\sharp)=(-1+3P^\sharp+ 2P^\sharp)\simeq \mathscr{O}_C(-1), \end{equation} \tag{5.9} $$
где
$$ \begin{equation*} \Omega^{-1}:=\biggl(\frac{\mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3\wedge \mathrm{d} y_4}{\partial \phi/\partial y_1}\biggr)^{-1} \end{equation*} \notag $$
– $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$. Следовательно, $H^0(C,\operatorname{gr}_C^0 \boldsymbol{\omega}^*)=0$ и
$$ \begin{equation} H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))=H^0(X,\mathscr{I}_C \mathbin{\widetilde\otimes}\mathscr{O}_X(-K_X)), \end{equation} \tag{5.10} $$
где $\mathscr{I}_C$ – идеал, задающий $C$ в $X$. Далее, согласно [2; (2.11)]
$$ \begin{equation} \operatorname{gr}_C^1\boldsymbol{\omega}^*=(0)\mathbin{\widetilde\oplus} (1)\simeq \mathscr{O}_C\oplus\mathscr{O}_C(1), \end{equation} \tag{5.11} $$
где $\boldsymbol{\mu}_m$-инварианты
$$ \begin{equation} y_3\cdot \Omega^{-1}, \quad y_4\cdot \Omega^{-1} \end{equation} \tag{5.12} $$
образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$. Как и в случае $(\mathrm{IC})$, мы имеем естественные гомоморфизмы
$$ \begin{equation*} \delta \colon H^0(\mathscr{O}_X(-K_X)) \twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P \to (\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}, \end{equation*} \notag $$
где последний гомоморфизм – изоморфизм (см. (5.8) и (5.12)). Таким образом, коэффициенты $y_3 \Omega^{-1}$ и $y_4 \Omega^{-1}$ в $\sigma_S$ независимы, поэтому [2; вычисление 2.11.2] показывает, что поверхность $D$ является дювалевской в $P$, а образ $\overline \sigma$ элемента $\sigma$ в $\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*$ не содержится в $\mathscr{O}_C(1)$. Следовательно, $\overline \sigma$ нигде не зануляется, а дивизор $D$ неособ вне $P$. Поэтому граф $\Delta(D,C)$ такой же, как граф типа $(\mathrm{IIB})$ в теореме 5.1.

5.4. Случай $(\mathrm{k3A})$

Конфигурация особых точек на $(X,C)$ следующая: $P$ – точка типа $(\mathrm{IA})$ нечетного индекса $m\geqslant 3$, $Q$ – точка типа $(\mathrm{IA})$ индекса $2$ и $R$ – точка типа $(\mathrm{III})$. Согласно [6; (A.3)] и [2; (2.12)] мы получаем локальную структуру точек

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (X,C,P)&=(\mathbb{C}^3_{y_1,y_2,y_3},(y_1\text{-ось}),0) /\boldsymbol{\mu}_{m}\biggl(1,\frac{m+1}2,-1\biggr), \\ (X,C,Q)&=(\mathbb{C}^3_{z_1,z_2,z_3},(z_1\text{-ось}),0)/\boldsymbol{\mu}_2(1,1,1), \\ (X,C,R)&=\bigl(\{\gamma(w_1,w_2,w_3,w_4)=0\},(w_1\text{-ось}),0\bigr), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

где $\gamma \equiv w_1w_3 \ \operatorname{mod} (w_2,w_3,w_4)^2$.

Для общего дивизора $S\in |{-}2K_X|$ мы имеем $S\cap C=\{P\}$, и $S$ задается уравнением $y_1=\xi(y_2,y_3)$, где $\xi \in (y_2,y_3)^2$ – элемент такой, что $\operatorname{wt}(\xi )\equiv 1 \ \operatorname{mod} m$. Таким образом,

$$ \begin{equation} S\simeq \mathbb{C}_{y_2,y_3}^2/\boldsymbol{\mu}_m\biggl(\frac{m+1}2,-1\biggr), \qquad \boldsymbol{\omega}_S=(\mathscr{O}_{S^\sharp,P^\sharp}\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3)^{\boldsymbol{\mu}_m}, \end{equation} \tag{5.13} $$
$$ \begin{equation} \boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P = \mathbb{C} \cdot y_2\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3\oplus \mathbb{C}\cdot y_3^{(m-1)/2}\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3. \end{equation} \tag{5.14} $$
Из доказательства [2; лемма (2.12.2)] мы имеем
$$ \begin{equation} \operatorname{gr}_C^0\boldsymbol{\omega}^*=\biggl(-1+\frac {m+1}2P^\sharp+Q^\sharp\biggr)\simeq \mathscr{O}_C(-1), \end{equation} \tag{5.15} $$
где $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$, $Q$ и $R$ соответственно может быть записан следующим образом:
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \Omega_P^{-1}:=(\mathrm{d} y_1\wedge \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3)^{-1}, \qquad \Omega_Q^{-1}:=(\mathrm{d} z_1\wedge \mathrm{d} z_2\wedge \mathrm{d} z_3)^{-1}, \\ \Omega_R^{-1}:=\biggl(\frac{\mathrm{d} w_2\wedge \mathrm{d} w_3\wedge \mathrm{d} w_4}{\partial \gamma/\partial w_1}\biggr)^{-1}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $H^0(C,\operatorname{gr}_C^0 \boldsymbol{\omega}^*)=0$ и
$$ \begin{equation} H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))=H^0(X,\mathscr{I}_C\mathbin{\widetilde\otimes}\mathscr{O}_X(-K_X)), \end{equation} \tag{5.16} $$
где $\mathscr{I}_C$ – идеал, задающий $C$ в $X$. Далее, как и в [2; (2.12.4)], мы можем далее добиться того, что
$$ \begin{equation} \operatorname{gr}_C^1\boldsymbol{\omega}^*=(0)\mathbin{\widetilde\oplus}\biggl(-1+\frac {m+3}2P^\sharp\biggr), \end{equation} \tag{5.17} $$
где $y_2\cdot \Omega_P^{-1}$, $z_2\cdot \Omega_Q^{-1}$, $w_2\cdot \Omega_R^{-1}$ образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис для $(0)$ в $P$, $Q$ и $R$ соответственно, а $y_3\cdot \Omega_P^{-1}$, $z_3\cdot \Omega_Q^{-1}$, $w_4\cdot \Omega_R^{-1}$ образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис для $(-1+(m+3)/2P^\sharp)$. Более того,
$$ \begin{equation*} \gamma \equiv w_1w_3+c_1w_4^2+c_2w_4w_2+c_3w_2^2 \ \operatorname{mod} (w_3,w_2^2,w_2w_4,w_4^2)\cdot \mathscr{I}_C \end{equation*} \notag $$
для некоторых $c_1, c_2,c_3 \in \mathbb{C}$ таких, что $c_1 \neq0$, если $m \geqslant 5$ (см. [2; лемма (2.12.6)] и [8; замечание 2]), и $(c_1, c_2,c_3)\neq0$, если $m=3$ (см. [2; лемма (2.12.7)] и [8; замечание 2]).

Как и в [11; (3.1.1)], мы получаем

$$ \begin{equation*} \Omega^2_S\subset (\mathfrak m_{S,P}\cdot y_2 +\mathfrak m_{S,P}\cdot y_3^{(m-1)/2})\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3 =\mathfrak m_{S,P}\cdot \boldsymbol{\omega}_S, \end{equation*} \notag $$
поскольку для произвольных элементов $\phi_1$, $\phi_2$ множества порождающих
$$ \begin{equation*} \{y_2^m,y_3^m,y_2^2y_3,y_2y_3^{(m+1)/2}\} \end{equation*} \notag $$
кольца $\mathscr{O}_{S^\sharp}^{\boldsymbol{\mu}_m}$ мы имеем
$$ \begin{equation*} \mathrm{d}\phi_1 \wedge \mathrm{d}\phi_2 \in \bigl((y_2,y_3)y_2+(y_2,y_3)y_3^{(m-1)/2}\bigr)\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, образ гомоморфизма
$$ \begin{equation*} \delta \colon H^0(\mathscr{O}_X(-K_X))\twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P \to (\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}, \end{equation*} \notag $$
равен $(\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}$, если $m=3$, и $\mathbb{C}\cdot y_2\Omega_P^{-1}$, если $m \geqslant 5$.

Если $m\geqslant 5$, это влечет, что коэффициент $y_2\Omega_P^{-1}$ в образе $\overline \sigma$ элемента $\sigma$ в $\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*$ не равен нулю и поэтому нигде не зануляется. Если $m=3$, то коэффициенты $y_2\Omega_P^{-1}$ и $y_3\Omega_P^{-1}$ независимы и поэтому $\overline \sigma$ – общее глобальное сечение $\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^* \simeq \mathscr{O}_C\oplus\mathscr{O}_C$. Тогда доказательство [2; лемма (2.12.5)] показывает, что поверхность $D$ дювалевская и что ее граф такой, как граф типа $(\mathrm{k3A})$ в теореме 5.1.

Лемма 5.3. В обозначениях п. 5.4 существует деформация $(X_\lambda, C_\lambda\simeq \mathbb{P}^1)$ ростка $(X,C)$, которая тривиальна вне $R$, такая, что для $\lambda\neq 0$ росток $(X_\lambda, C_\lambda)$ имеет циклическую факторособенность в $Q$ и имеет тип $(\mathrm{kAD})$ случая (5.22) (соответственно $(\mathrm{k2A_2})$), если $m \geqslant 5$ (соответственно $m=3$).

Доказательство. Пусть $(X_\lambda, C_\lambda)$ – скрученное расширение (см. [6; 1b.8.1]) ростка
$$ \begin{equation*} (X_\lambda, R) =\{ \gamma- \lambda w_2=0\}\supset (C_\lambda, R)= (w_1\text{-ось}) \end{equation*} \notag $$
при помощи $u=(w_2, w_4)$. Тогда в $\operatorname{gr}_{C_\lambda}^1 \mathscr{O}$ мы имеем $w_1w_3=\lambda w_2$ для $\lambda\neq 0$. Так как $\operatorname{gr}^1_C\boldsymbol{\omega}^*=\mathscr{O}_C \cdot w_2\Omega^{-1}_R\oplus \mathscr{O}_C\cdot w_4 \Omega^{-1}_R$ в $R$, то мы имеем в $R$
$$ \begin{equation*} \operatorname{gr}^1_{C_\lambda}\boldsymbol{\omega}^*= \mathscr{O}_{C_\lambda} \cdot w_3\Omega^{-1}_R\oplus \mathscr{O}_{C_\lambda}\cdot w_4 \Omega^{-1}_R, \end{equation*} \notag $$
где $w_3\Omega_R^{-1}= (\lambda w_1)^{-1} w_2\Omega_R^{-1}$. Поэтому
$$ \begin{equation} \operatorname{gr}^1_{C_\lambda}\boldsymbol{\omega}^*= (R) \mathbin{\widetilde\oplus} \biggl(-1 +\frac {m+3} 2 P^\sharp\biggr). \end{equation} \tag{5.18} $$
Для $\lambda\neq 0$ росток $(X_\lambda, C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{kAD})$ или $(\mathrm{k2A_2})$. Сравнивая (5.18) с (5.31) (соответственно учитывая п. 5.7), мы видим, что $(X_\lambda, C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{kAD})$ (соответственно $(\mathrm{k2A_2})$), если $m \geqslant 5$ (соответственно $m=3$). Лемма доказана.

5.5. Случай $(\mathrm{kAD})$

Конфигурация особых точек на $(X,C)$ следующая: $P$ – точка типа $(\mathrm{IA})$ нечетного индекса $m\geqslant 3$ и $Q$ – точка типа $(\mathrm{IA})$ индекса $2$. Согласно [6; (A.3)], [2; (2.13)] и [8] мы можем записать

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (X,C,P)&=(\mathbb{C}^3_{y_1,y_2,y_3},(y_1\text{-ось}),0)/\boldsymbol{\mu}_{m}\biggl(1,\frac{m+1}2,-1\biggr), \\ (X,C,Q)&=\bigl(\{\beta=0\}\subset \mathbb{C}^4_{z_1,\dots,z_4},(z_1\text{-ось}),0 \bigr) /\boldsymbol{\mu}_2(1,1,1,0), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $\beta=\beta(z_1,\dots,z_4)$ – полуинвариант с $\operatorname{wt}(\beta)\equiv 0\ \operatorname{mod} 2$.

Для общего дивизора $S\in |{-}2K_X|$ мы имеем $S\cap C=\{P\}$, и $S$ задается уравнением $y_1=\xi(y_2,y_3)$, где $\xi \in (y_2,y_3)^2$ такой, что $\operatorname{wt}(\xi) \equiv 1 \ \operatorname{mod} m$. Таким образом,

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, S\simeq \mathbb{C}_{y_2,y_3}^2/\boldsymbol{\mu}_m\biggl(\frac{m+1}2,-1\biggr), \qquad \boldsymbol{\omega}_S=(\mathscr{O}_{S^\sharp,P^\sharp}\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d}y_3)^{\boldsymbol{\mu}_m}, \nonumber \\ \boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P = \mathbb{C} \cdot y_2\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3\oplus \mathbb{C}\cdot y_3^{(m-1)/2}\, \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3. \end{gathered} \end{equation} \tag{5.19} $$
Тогда
$$ \begin{equation} \operatorname{gr}_C^0\boldsymbol{\omega}^*=\biggl(-1+\frac {m+1}2P^\sharp+Q^\sharp\biggr)\simeq \mathscr{O}_C(-1), \end{equation} \tag{5.20} $$
где $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$ и $Q$ соответственно может быть записан следующим образом:
$$ \begin{equation*} \Omega_P^{-1}=(\mathrm{d} y_1\wedge \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3)^{-1}, \qquad \Omega_Q^{-1}=\biggl(\frac{\mathrm{d} z_1\wedge \mathrm{d} z_2\wedge \mathrm{d} z_3}{\partial\beta/\partial z_4}\biggr)^{-1}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $H^0(C,\operatorname{gr}_C^0 \boldsymbol{\omega}^*)=0$ и
$$ \begin{equation} H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))=H^0(X,\mathscr{I}_C \mathbin{\widetilde\otimes}\mathscr{O}_X(-K_X)), \end{equation} \tag{5.21} $$
где $\mathscr{I}_C$ – идеал, задающий $C$ в $X$.

Как и в [2; (2.13.3)], мы различим два подслучая:

$$ \begin{equation} \ell(Q) \leqslant 1, \qquad i_Q(1) =1, \quad \operatorname{gr}_C^1\mathscr{O} \simeq \mathscr{O}\oplus \mathscr{O}(-1); \end{equation} \tag{5.22} $$
$$ \begin{equation} \ell(Q) =2, \qquad i_Q(1) =2, \quad \operatorname{gr}_C^1\mathscr{O} \simeq \mathscr{O}(-1)\oplus \mathscr{O}(-1). \end{equation} \tag{5.23} $$

5.6. Подслучай (5.23)

Он разбирается аналогично п. 5.4. Поскольку $\ell(Q)=2$, то мы имеем

$$ \begin{equation*} \beta\equiv z_1^2z_4 \ \operatorname{mod} (z_2,z_3,z_4)^2. \end{equation*} \notag $$
Как и в [2; лемма (2.13.4)], мы можем добиться того, что
$$ \begin{equation} \operatorname{gr}_C^1\boldsymbol{\omega}^*=(0)\mathbin{\widetilde\oplus} \biggl(-1+\frac {m+3}2P^\sharp\biggr), \end{equation} \tag{5.24} $$
где
$$ \begin{equation} (y_2\cdot \Omega_P^{-1},z_2\cdot \Omega_Q^{-1}), \quad (y_3\cdot \Omega_P^{-1},z_3\cdot \Omega_Q^{-1}) \end{equation} \tag{5.25} $$
образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$ и $Q$ для $(0)$ и $(-1+(m+3)/2P^\sharp)$ соответственно и
$$ \begin{equation*} \beta \equiv z_1^2z_4+c_1z_3^2+c_2z_2z_3+c_3z_2^2 \ \operatorname{mod}(z_4,z_3^2,z_2z_3,z_2^2)(z_2,z_3,z_4) \end{equation*} \notag $$
для некоторых $c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{C}$ таких, что $(c_1,c_2,c_3)\neq0$, если $m=3$ согласно классификации трехмерных терминальных особенностей [15; теорема (6.1)], и $c_1 \neq0$, если $m \geqslant 5$ (см. [2; лемма (2.12.6)] и [8; замечание 2]). Остальная часть доказательства такая же, как в п. 5.4 (тип $(\mathrm{k3A})$), за исключением того, что мы используем [2; (2.13.5)] вместо [2; (2.12.6)].

Замечание 5.4. Наименьшая степень $\boldsymbol{\mu}_2$-инвариантной переменной $z_4$, которая появляется в $\beta$ (т.е. осевая кратность для $(X,P)$), остается той же самой для определяющего уравнения $D^\sharp$ при исключении переменной веса $\operatorname{wt}\equiv 1 \ \operatorname{mod} 2$. Таким образом, граф $\Delta(D,C)$ такой, как граф типа $(\mathrm{kAD})$ в теореме 5.1.

Лемма 5.5. В ситуации п. 5.5 с условием (5.23) пусть $(X_\lambda,C_\lambda)$ – скрученное расширение ростка

$$ \begin{equation*} (X_\lambda, Q)=\{\beta-\lambda z_4=0\}/\boldsymbol{\mu}_2 \supset (C_\lambda, Q)=(z_1\textit{-ось})/\boldsymbol{\mu}_2 \end{equation*} \notag $$
при помощи $u=(z_1z_2,z_1z_3)$ (см. [6; определение 1b.8.1]). Тогда для $\lambda\,{\neq}\, 0$ росток $(X_\lambda,C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{k3A})$.

Доказательство. При $0\,{<}\,|\lambda|\,{\ll}\, 1$ малая окрестность $X_\lambda\,{\ni}\, Q$ имеет две особые точки на $C_\lambda$: циклический фактор в $Q$ и горенштейнову точку в $(\sqrt{\lambda},0,0,0)$. Лемма доказана.

5.7. Подслучай (5.22)

Заметим, что в этом случае $m\geqslant 5$ (см. [2; лемма (2.13.10)] и [8]). Так как $\ell(Q)\leqslant 1$, то мы имеем

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \beta\equiv z_4 \ \operatorname{mod} (z_2^2,z_3,z_4)(z_2,z_3,z_4) \\ \bigl(\text{соответственно }\beta\equiv (z_1z_3+z_2^2)\ \operatorname{mod} (z_2^2,z_3,z_4)(z_2,z_3,z_4)\bigr). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Согласно [2; лемма (2.13.10)] мы имеем
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \operatorname{gr}^1_C \mathscr{O} = \biggl(\frac{m-1}{2}P^\sharp+Q^\sharp\biggr)\mathbin{\widetilde\oplus} (-1+P^\sharp+Q^\sharp) \\ \biggl(\text{соответственно } \operatorname{gr}^1_C \mathscr{O} = \biggl(\frac{m-1}{2}P^\sharp\biggr)\mathbin{\widetilde\oplus}(-1+P^\sharp+Q^\sharp)\biggr). \end{gathered} \end{equation} \tag{5.26} $$
Умножая эти равенства тензорно на (5.20), получим
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \operatorname{gr}^1_C \boldsymbol{\omega}^* = (1)\mathbin{\widetilde\oplus} \biggl(-1+\frac{m+3}{2}P^\sharp\biggr) \\ \biggl(\text{соответственно }\operatorname{gr}^1_C \boldsymbol{\omega}^* =(Q^\sharp)\mathbin{\widetilde\oplus}\biggl(-1+\frac{m+3}{2}P^\sharp\biggr)\biggr), \end{gathered} \end{equation} \tag{5.27} $$
где $(y_2\Omega^{-1}_P,z_3\Omega^{-1}_Q)$ (соответственно $(y_2\Omega^{-1}_P,z_4\Omega^{-1}_Q)$) является $\ell$-свободным $\ell$-базисом для первого $\ell$-слагаемого в $\operatorname{gr}^1_C \boldsymbol{\omega}^*$ и $(y_3\Omega^{-1}_P,z_2\Omega^{-1}_Q)$ – для второго. Возьмем идеал $\mathscr{J}\subset \mathscr{I}$, как в [2; леммы (2.13.10), (2.13.11)]. Таким образом,
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, (\mathscr{I}/\mathscr{J})\mathbin{\widetilde\otimes} \boldsymbol{\omega}^*=\biggl(-1+\frac{m+3}2P^\sharp\biggr), \qquad H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))= H^0(\mathrm{F}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J})), \\ \mathscr{J}^\sharp =(y_3^2,y_2)\quad \text{в }\ P, \qquad \mathscr{J}^\sharp =(z_2^2,z_3,z_4)\quad\text{в }\ Q. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Тогда мы имеем по [2; лемма (2.13.11)]
$$ \begin{equation*} \operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}) =(0)\mathbin{\widetilde\oplus} \biggl(-1+ \frac{m+5}2P^\sharp+Q^\sharp\biggr), \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation} y_2\cdot \Omega_P^{-1}, \quad y_3^2\cdot \Omega_P^{-1}, \quad z_3\cdot \Omega_Q^{-1}, \quad z_2^2\cdot \Omega_Q^{-1} \quad (\text{соответственно } z_4\cdot\Omega_Q^{-1}) \end{equation} \tag{5.28} $$
образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$ и $Q$. Таким образом, мы исследуем
$$ \begin{equation*} H^0(\mathscr{O}_X(-K_X)) =H^0(F^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J})) \to\operatorname{gr}_C^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}) \end{equation*} \notag $$
при помощи индуцированного гомоморфизма
$$ \begin{equation*} H^0(\mathscr{O}_X(-K_X)) \to \operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}) \to (\operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}))^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}, \end{equation*} \notag $$
который в силу $(y_1-\xi) \cdot (\operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}))^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp} =0$ раскладывается как
$$ \begin{equation*} H^0(\mathscr{O}_X(-K_X)) \to \boldsymbol{\omega}_S \to (\operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}))^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}, \end{equation*} \notag $$
и, далее,
$$ \begin{equation*} \delta \colon H^0(\mathscr{O}_X(-K_X))\twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_S\otimes \mathbb{C}_P \to (\operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}))^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}, \end{equation*} \notag $$
поскольку $\Omega_X^2 \subset \mathfrak m_{S,P}\cdot \boldsymbol{\omega}_S$, как и в случае $(\mathrm{k3A})$.

Образ $\delta$ порождается элементом $y_2\cdot \Omega_P^{-1}$, если $m>5$, и элементами $y_2\cdot \Omega_P^{-1}$, $y_3^2\cdot\Omega_P^{-1}$, если $m=5$ (см. (5.19) и (5.28)). Следовательно, если сечение $\sigma_S$ выбрано общим, то образ $\overline \sigma$ отображения $\sigma$ в $\operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J})$ глобально порождает прямое слагаемое $\mathscr{O}_C$, если $m>5$, и общее глобальное сечение $\operatorname{gr}^2(\boldsymbol{\omega}^*,\mathscr{J}) \simeq \mathscr{O}_C\oplus\mathscr{O}_C$, если $m=5$. Следовательно,

$$ \begin{equation*} \overline \sigma\equiv \begin{cases} (\lambda_Py_2+\mu_Py_3^2)\Omega_P^{-1}& \text{в $P$,} \\ (\lambda_Qz_3+\mu_Qz_2^2)\Omega_Q^{-1} \ (\text{соответственно }(\lambda_Qz_3+\mu_Qz_4)\Omega_Q^{-1})& \text{в $Q$,} \end{cases} \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, m\geqslant 7 &\quad\Longrightarrow\quad \lambda_P(P) \lambda_Q(Q)\neq 0, \\ m=5&\quad\Longrightarrow\quad \text{$\lambda_P(P)$ и $\mu_P(P)$ независимы, $\lambda_Q(Q)$ и $\mu_Q(Q)$ независимы.} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Это значит, что соответствующий элемент $D\,{\in}\,|{-}K_X|$ неособ вне $P$ и $Q$, а поверхность $D$ дювалевская в $P$ и $Q$ согласно [2; вычисление (2.13.6)]. Подробности см. в замечании 5.4.

Лемма 5.6. В ситуации п. 5.5 с условием (5.22) пусть $(X_\lambda,C_\lambda)$ – скрученное расширение (см. [6; определение 1b.8.1]) ростка $ (X_\lambda, P)= (X,P) \supset (C_\lambda, P)=(C,P)$ при помощи $u=(y_1^{(m-1)/2}y_2+\lambda y_1y_3,y_1,y_3)$. Тогда для $\lambda\neq 0$ росток $(X_\lambda,C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{k2A_2})$.

Доказательство. Ясно, что $(X_\lambda,C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{k2A_2})$ или $(\mathrm{kAD})$ с условием (5.22), поскольку $\ell(Q)\leqslant 1$. В любом случае существует только одно (с точностью до умножения на константу) ненулевое сечение $s$ пучка $\operatorname{gr}_C^1\mathscr{O}$ (ср. (5.31)). Так как $s=y_1^{(m-1)/2}y_2\in \operatorname{gr}_C^1\mathscr{O}$ в $P$ (с точностью до константы), мы имеем расширение
$$ \begin{equation*} s_\lambda = y_1^{(m-1)/2}y_2+\lambda y_1y_3= y_1(y_1^{(m-3)/2}y_2+\lambda y_3) \in \operatorname{gr}_{C_\lambda}^1\mathscr{O} \end{equation*} \notag $$
на $(C_\lambda, P)$, которое порождает $(P^\sharp)\subset \operatorname{gr}_{C_\lambda}^1\mathscr{O}$. Согласно (5.26) росток $(X_\lambda,C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{k2A_2})$ по п. 5.7. Лемма доказана.

Лемма 5.7. В ситуации п. 5.5 с условием (5.22) и $\ell(Q)\,{=}\,1$ пусть $(X_\lambda,C_\lambda)$ – скрученное расширение (см. [6; 1b.8.1]) ростка

$$ \begin{equation*} (X_\lambda, Q)=\{\beta-\lambda z_4=0\}/\boldsymbol{\mu}_2 \supset (C_\lambda, Q)=(z_1\textit{-ось})/\boldsymbol{\mu}_2 \end{equation*} \notag $$
при помощи $u=(z_1z_2,z_4)$. Тогда для $\lambda\neq 0$ росток $(X_\lambda,C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{kAD})$ и $\ell(Q)=0$.

На самом деле глобальное сечение $s$ пучка $\operatorname{gr}^1_C \mathscr{O}$ продолжается до сечения $s_\lambda\,{=}\,y_4$ пучка $\operatorname{gr}^1_{C_\lambda} \mathscr{O}$ в $Q$, и $s_\lambda$ обращается в нуль в $P^\sharp$ с кратностью $(m\,{-}\,1)/2\,{>}\,1$ по п. 5.7. Таким образом, $(X_\lambda, C_\lambda)$ имеет тип $(\mathrm{kAD})$.

5.8. Случай $(\mathrm{k2A_2})$

Этот случай рассмотрен в [2; леммы (2.13.1), (2.13.9)]. Конфигурация особых точек на $(X,C)$ следующая: $P$ – точка типа $(\mathrm{IA})$ нечетного индекса $m\geqslant 3$, и $Q$ – точка типа $(\mathrm{IA})$ индекса $2$. Согласно [6; (A.3)], [2; (2.13)] и [8] мы можем записать

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (X,C,P)&=\bigl(\{\alpha=0\}\subset \mathbb{C}^4_{y_1,\dots,y_4},(y_1\text{-ось}),0\bigr)/\boldsymbol{\mu}_{m}(1,a,-1,0), \\ (X,C,Q)&=\bigl(\{\beta=0\}\subset \mathbb{C}^4_{z_1,\dots,z_4},(z_1\text{-ось}),0 \bigr) /\boldsymbol{\mu}_2(1,1,1,0), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $a$ целое, взаимно простое с $m$ и такое, что $m/2<a<m$, а $\alpha$ и $\beta$ – инварианты такие, что
$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{2} \alpha&=y_1y_3-\alpha_1(y_2,y_3,y_4), &\qquad \alpha_1 &\in (y_2,y_3)^2+(y_4), \\ \beta&=z_1z_3-\beta_1(z_2,z_3,z_4), &\qquad \beta_1 &\in (z_2,z_3)^2+(z_4). \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation} \operatorname{gr}_C^0\boldsymbol{\omega}^*=(-1+aP^\sharp+ Q^\sharp)\simeq \mathscr{O}_C(-1), \end{equation} \tag{5.29} $$
где $\ell$-свободный $\ell$-базис в $P$ и $Q$ соответственно может быть записан следующим образом:
$$ \begin{equation*} \Omega_P^{-1}=\biggl(\frac{\mathrm{d} y_1\wedge \mathrm{d} y_2\wedge \mathrm{d} y_3}{\partial \alpha/\partial y_4}\biggr)^{-1}, \qquad \Omega_Q^{-1}=\biggl(\frac{\mathrm{d} z_1\wedge \mathrm{d} z_2\wedge \mathrm{d} z_3}{\partial \beta/\partial z_4}\biggr)^{-1}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $H^0(C,\operatorname{gr}_C^0 \boldsymbol{\omega}^*)=0$ и
$$ \begin{equation} H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X))=H^0(X,\mathscr{I}_C\mathbin{\widetilde\otimes}\mathscr{O}_X(-K_X)), \end{equation} \tag{5.30} $$
где $\mathscr{I}_C$ – идеал, задающий $C$ в $X$.

Как и в [2; теорема 2.13.8, следствие 2.12.9], мы имеем

$$ \begin{equation} \operatorname{gr}_C^1\mathscr{O}=\mathscr{L} \mathbin{\widetilde\oplus} \operatorname{gr}_C^0\boldsymbol{\omega}, \qquad \operatorname{gr}_C^1\boldsymbol{\omega}^*=\mathscr{L}\mathbin{\widetilde\otimes} (\operatorname{gr}_C^0 \boldsymbol{\omega}^*)\mathbin{\widetilde\oplus}(0), \end{equation} \tag{5.31} $$
где $\mathscr{L}$ – $\ell$-обратимый пучок такой, что $\mathscr{L}=(P^\sharp+Q^\sharp)$ (соответственно $(P^\sharp)$; $(Q^\sharp)$; $(0)$), если $y_4 \in \alpha$ и $z_4\in\beta$ (соответственно $y_4\in\alpha$ и $z_4\notin\beta$; $y_4\notin\alpha$ и $z_4\in\beta$; $y_4\notin\alpha$ и $z_4\notin\beta$). Мы также видим, что $y_3\Omega_P^{-1}$ (соответственно $y_4\Omega_P^{-1}$) и $y_2\Omega_P^{-1}$ образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис для $\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*$ в $P$, если $y_4 \in \alpha$ (соответственно $y_4\notin \alpha$).

Для общего дивизора $S\in |{-}2K_X|$ мы имеем $S\cap C=\{P\}$ и $S$ в $X$ задается уравнением

$$ \begin{equation} \gamma:=y_1^{2a-m}+y_2^2+y_3^{2m-2a}+\cdots=0, \end{equation} \tag{5.32} $$
где $\operatorname{wt}(\gamma) \equiv 2a \ \operatorname{mod} m$. Пусть $\Omega$ – порождающая дуализирующего пучка $\boldsymbol{\omega}_{S^\sharp}$ поверхности $S^\sharp$ в $P^\sharp$. Тогда
$$ \begin{equation} \boldsymbol{\omega}_S=(\mathscr{O}_{S^\sharp,P^\sharp}\Omega)^{\boldsymbol{\mu}_m}, \qquad \operatorname{wt}(\Omega) \equiv -a \ \operatorname{mod} m, \end{equation} \tag{5.33} $$
$$ \begin{equation} \boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P = \mathbb{C} \cdot y_2\Omega \oplus \mathbb{C}\cdot y_3^{m-a}\Omega. \end{equation} \tag{5.34} $$

Лемма 5.8. Индуцированное отображение

$$ \begin{equation} \Omega_S^2 \to \boldsymbol{\omega}_S \otimes \mathbb{C}_P \end{equation} \tag{5.35} $$
равно нулю, где $\Omega_S^2$ – пучок голоморфных $2$-форм на $S$.

Доказательство. Имеем
$$ \begin{equation} \Omega=\pm \frac{\mathrm{d} y_1\wedge\mathrm{d} y_2}{\varDelta_{3,4}}=\cdots=\pm \frac{\mathrm{d} y_3\wedge\mathrm{d} y_4}{\varDelta_{1,2}}, \qquad \varDelta_{i,j}:= \begin{vmatrix} \dfrac{\partial \alpha}{\partial y_i}& \dfrac{\partial \alpha}{\partial y_j} \\ \dfrac{\partial \gamma}{\partial y_i}& \dfrac{\partial \gamma}{\partial y_j} \end{vmatrix}. \end{equation} \tag{5.36} $$
Заметим, что $\operatorname{wt}(\varDelta_{i,j})\equiv 2a\,{-}\operatorname{wt}(y_i)\,{-}\operatorname{wt}(y_j) $ и $\operatorname{wt}(\Omega)\equiv -a \ \operatorname{mod} m$. Так как $\boldsymbol{\omega}_S\,{=}\,(\mathscr{O}_{S^\sharp}\Omega)^{\boldsymbol{\mu}_m}$, то достаточно показать, что для любых $\phi_1,\phi_2\,{\in}\, \mathbb{C}\{y_1,\dots,y_4\}^{\boldsymbol{\mu} _m}$ имеет место вложение
$$ \begin{equation} \mathrm{d} \phi_1\wedge \mathrm{d} \phi_2\in \mathfrak{m}_{S,0}\cdot (\mathscr{O}_{S^\sharp}\Omega)^{\boldsymbol{\mu}_m}. \end{equation} \tag{5.37} $$
Согласно (5.36) форма $\mathrm{d} \phi_1\wedge \mathrm{d} \phi_2$ – линейная комбинация следующих:
$$ \begin{equation*} \frac{\partial(\phi_1,\phi_2)}{\partial y_i\,\partial y_j}\, \mathrm{d} y_i\wedge \mathrm{d} y_j= \frac{\partial(\phi_1,\phi_2)}{\partial y_i\,\partial y_j} \varDelta_{k,l}\Omega, \qquad \{i,j,k,l\}=\{1,\dots,4\}. \end{equation*} \notag $$
Обозначим
$$ \begin{equation*} \Xi[i,j,k,l]:=\frac{\partial \phi_1}{\partial y_i} \cdot \frac{\partial \phi_2}{\partial y_j} \cdot \frac{\partial \alpha}{\partial y_k}\cdot \frac{\partial \gamma}{\partial y_l}, \qquad \{i,j,k,l\}=\{1,\dots,4\}. \end{equation*} \notag $$
Так как ${\partial(\phi_1,\phi_2)}/ (\partial y_i\,\partial y_j) \varDelta_{k,l}$ – линейные комбинации $\Xi[i,j,k,l]$, то достаточно показать, что верно следующее:
$$ \begin{equation} \Xi[i,j,k,l]\big|_{S^\sharp}\in (\mathfrak{m}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=0}\cdot(\mathscr{O}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=a}. \end{equation} \tag{5.38} $$
Во-первых, мы заметим, что (5.38) имеет место, если $\{1,3 \}\subset \{i,j,k\}$. В самом деле, пусть, например, $i=1$, $j=3$. Тогда
$$ \begin{equation*} \frac{\partial \phi_1}{\partial y_1},\, \frac{\partial \phi_2}{\partial y_3} \in \mathfrak{m}_{S^\sharp}, \qquad \operatorname{wt} \biggl( \frac{\partial \phi_1}{\partial y_1} \cdot \frac{\partial \phi_2}{\partial y_3} \biggr)\equiv0, \qquad \operatorname{wt} \biggl( \frac{\partial \alpha}{\partial y_k} \cdot \frac{\partial \gamma}{\partial y_l}\biggr)\equiv a \end{equation*} \notag $$
(поскольку $\{\operatorname{wt}(y_k),\operatorname{wt}(y_l)\} = \{0,a\}$). Таким образом,
$$ \begin{equation*} \frac{\partial \phi_1}{\partial y_1}\cdot \frac{\partial \phi_2}{\partial y_3}\in (\mathfrak{m}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=0},\qquad \frac{\partial \alpha}{\partial y_k} \cdot \frac{\partial \gamma}{\partial y_l} \in(\mathscr{O}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=a}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $l=3$ или $l=1$.

Пусть $l=3$. Тогда $\operatorname{wt}(\partial \gamma/\partial y_3) \equiv 2a+1$ и

$$ \begin{equation*} \operatorname{wt} \biggl( \frac{\partial \phi_1}{\partial y_i}\biggr), \operatorname{wt}\biggl( \frac{\partial \phi_2}{\partial y_j}\biggr), \operatorname{wt}\biggl(\frac{\partial \alpha}{\partial y_k} \biggr) \equiv -1,-a, 0 \end{equation*} \notag $$
с точностью до перестановки $i$, $j$, $k$. Мы утверждаем, что любое произведение $\Pi$ трех мономов весов $ -1$, $-a$, $2a+1$ содержится в $(\mathfrak{m}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=0} \cdot (\mathscr{O}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=a}$. Это очевидно, если $ \Pi$ делится на $y_4$, $y_1 y_3 $ или $y_2$. Таким образом, достаточно рассмотреть случай, когда $\Pi$ – степень $y_1$ или $y_3$. В первом случае $\Pi$ делится на $y_1^{m-1} \cdot y_1^{m-a} \cdot y_1^{2a+1-m}= y_1^m \cdot y_1^a$, а во втором $\Pi$ делится на $y_3 \cdot y_3^a \cdot y_3^{2m-2a-1}=y_3^m \cdot y_3^{m-a}$, что и доказывает утверждение.

Пусть теперь $l=1$. Аналогично предыдущему случаю покажем, что любое произведение $\Pi$ мономов весов $-a$, $1$, $2a-1$ содержится в $(\mathfrak{m}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=0} \cdot (\mathscr{O}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=a}$. Снова мы можем считать, что $\Pi$ – это степень $y_1$ или $y_3$. Во втором случае $\Pi$ делится на $y_3^a\,{\cdot}\,y_3^{m-1}\,{\cdot}\, y_3^{2m-2a+1}= y_3^{3m-a}=y_3^m\,{\cdot}\,y_3^{2m-a}$. В первом случае, аналогично, $\Pi$ делится на $y_1^a$. Из уравнения (5.32) видно, что моном $y_1^{2a-m}$ содержится в $(y_2,y_3) \mathfrak{m}_{S^\sharp}$, и мы имеем $y_1^a \in (\mathfrak{m}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=0} \cdot (\mathscr{O}_{S^\sharp})_{\operatorname{wt}=a}$, поскольку $a > 2a-m$. Лемма доказана.

По лемме 5.8 гомоморфизм $\delta$ раскладывается, как и в других случаях:

$$ \begin{equation} \delta \colon H^0(\mathscr{O}_X(-K_X))\twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_S\otimes \mathbb{C}_P \to (\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*)^\sharp \otimes \mathbb{C}_{P^\sharp}. \end{equation} \tag{5.39} $$
Таким образом, мы видим, что $\delta$ сюръективен, если и только если $a=m-1$ и $y_4 \in\alpha$. Если отображение $\delta$ не является сюръективным, то $y_2\Omega_P^{-1}$ порождает его образ, который является вторым слагаемым $(0)$ в $\operatorname{gr}_C^1 \boldsymbol{\omega}^*$, и поэтому $\overline \sigma$ – сечение, нигде не обращающееся в нуль. Остальная часть такая же, как в [2; (2.13.9)]. Это завершает доказательство теоремы 5.2.

Предложение 5.9. Пусть $(X,\overline C)$ – росток экстремальной окрестности, у которого центральный слой $\overline C$ приводим. Предположим, что $\overline C$ содержит компоненту $C$ типа $(\mathrm{k2A_2})$ и другую компоненту $C'$ типа $(\mathrm{k1A})$, пересекающиеся в точке $P$ индекса $m>2$. Предположим далее, что $(X,\overline C)$ удовлетворяет условию $(*)$ в теореме 1.3. Тогда общий элемент $D\in |{-}K_{X}|$ дювалевский в окрестности кривой $C \cup C'$.

Доказательство. Случай п. 5.8 типа $(\mathrm{k2A_2})$ теоремы 5.2 показывает, что общий элемент $D$ ($\supset C$) линейной системы $|{-}K_{\overline{X}}|$ дювалевский в окрестности кривой $C$. Если $D\not \supset C'$, то $D\cap C'=\{P\}$, поскольку в противном случае $D$ содержит горенштейнову точку $P'$ многообразия $X$, и поэтому $D\cdot C'>1$, что противоречит $D\cdot C'=-K_X\cdot C'<1$ согласно [6; (2.3.1)], [9; (3.1.1)]. Таким образом, мы можем считать, что $D\supset C'$. Мы используем обозначения п. 5.8. Принимая во внимание случаи $(\mathrm{IA})$ и $(\mathrm{IA^\vee})$ из [6; A.3], мы видим, что условие того, что дивизор $D$, заданный уравнением $y_2+ \cdots=0$, содержит кривую $C'$, означает, что $(X,C')$ имеет тип $(\mathrm{IA})$, кривая $C'^\sharp$ неособа в $P^\sharp$ и $y_1$ или $y_3$ можно взять как координату на $C'^\sharp$.

Лемма 5.10. $y_3$ – координата на $C'^\sharp$, и поэтому мы можем считать, что $C'^\sharp$ – $y_3$-ось по модулю $\boldsymbol{\mu}_m$-эквивариантной замены координат.

Доказательство. Предположим, что $y_1$ – координата на $C'^\sharp$. Тогда $\mathscr{I}_{C'}^\sharp$ порождается
$$ \begin{equation*} y_1^a \gamma_2+\delta_2, \quad y_1^{m-1} \gamma_3 + \delta_3, \quad y_1^m \gamma_4+\delta_4, \end{equation*} \notag $$
где $\gamma_i \in \mathscr{O}_X$ и $\delta_i \in (y_2,y_3,y_4)^2\mathscr{O}_X^\sharp$. Таким образом,
$$ \begin{equation*} \mathscr{I}_C^\sharp + \mathscr{I}_{C'}^\sharp \subset (y_2,y_3,y_4,y_1^a) \end{equation*} \notag $$
и $\boldsymbol{\omega}_X^\sharp\otimes \mathscr{O}_X^\sharp/(\mathscr{I}_C^\sharp+\mathscr{I}_{C'}^\sharp)$ содержит ненулевой $\boldsymbol{\mu}_m$-инвариантный элемент $y_1^{m-a}\Omega_P$ в силу $m-a <a$. Рассматривая точную последовательность
$$ \begin{equation*} 0 \to \operatorname{gr}_{C \cup C'}^0 \boldsymbol{\omega} \to \operatorname{gr}_C^0 \boldsymbol{\omega} \oplus \operatorname{gr}_{C'}^0 \boldsymbol{\omega} \to (\boldsymbol{\omega}_X^\sharp \otimes \mathscr{O}_X^\sharp /(\mathscr{I}_C^\sharp + \mathscr{I}_{C'}^\sharp))^{\boldsymbol{\mu}_m} \to 0, \end{equation*} \notag $$
мы видим, что $H^1(\operatorname{gr}_{C \cup C'}^0 \boldsymbol{\omega}) \neq0$. Это влечет, что $(\overline{X},C\cup C')$ – росток расслоения на коники и $C \cup C'$ – его целый слой (см. [9; следствие 4.4.1]). Однако $(C+C'\cdot D) <2$, что невозможно. Лемма доказана.

Начиная с этого места мы предположим, что $C'^\sharp$ – $y_3$-ось. Следовательно, $y_2$, $y_1$ (или $y_4$) образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис пучка $\operatorname{gr}_{C'}^1\mathscr{O}$, и $y_2\Omega_P^{-1},y_1\Omega_P^{-1}$ (или $y_4\Omega_P^{-1}$) образуют $\ell$-свободный $\ell$-базис пучка $\operatorname{gr}_{C'}^1 \boldsymbol{\omega}^*$ в $P$. Далее, мы видим, что $\operatorname{gr}_{C'}^1(\boldsymbol{\omega}^*)$ имеет глобальное сечение $\overline \sigma=(y_2+ \cdots)\Omega_P^{-1}$, индуцированное сечением $\sigma$, задающим $D$. Мы также заметим, что $\operatorname{gr}_{C'}^0 \boldsymbol{\omega}^*=((m-a)P^\sharp)$, поскольку вес $\operatorname{wt}'$ для $C'$ равен $\operatorname{wt}' \equiv -\operatorname{wt}\ \operatorname{mod} m$. Согласно случаю $(\mathrm{k2A_2})$ в п. 5.8 теоремы 5.2 дивизор $D$ определен в $P$ согласно

$$ \begin{equation*} y_2 \varPsi_1 + y_3^{m-a}\varPsi_2 =0, \end{equation*} \notag $$
где $\varPsi_i$ – инвариантные функции согласно (5.33), (5.34). Имеются сюръекции
$$ \begin{equation*} H^0(\mathscr{O}_X(-K_X))\twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_S/\Omega_S^2\twoheadrightarrow \boldsymbol{\omega}_S\otimes \mathbb{C}_P \end{equation*} \notag $$
согласно (4.1) и (4.2) в первом случае и по лемме 5.8 во втором. В частности, $\Psi_2(P)\neq 0$. Так как $C'=(y_3\text{-ось})/\boldsymbol{\mu}_m$, то мы имеем $D\not\supset C'$. Это противоречит нашему предположению. Таким образом, нами доказано, что общий антиканонический элемент $D$ для $(\overline{X},\overline{C})$ является дювалевским в окрестности кривой $C \cup C'$. Предложение 5.9 доказано.

§ 6. Доказательство основной теоремы

Обозначения 6.1. Пусть $(\overline{X},\overline{C})$ – росток экстремальной окрестности с приводимым центральным слоем $\overline{C}$ такой, что на каждой неприводимой компоненте $C_i$ кривой $\overline{C}$ существует не более одной точки индекса ${>}\,2$. Пусть $\{P_a\}_{a \in A}$ – набор таких точек. На каждой компоненте $C_i$ без точек индекса ${>}\,2$ выберем одну общую точку. Пусть $\{P_b\}_{b \in B}$ – набор таких точек. Для каждого индекса $i \in A \cup B$ пусть $S_i \in |{-}2K_{(X,P_i)}|$ – общий элемент на ростке $(X,P_i)$, и положим $S=\sum_{i \in A \cup B} S_i$. Тогда $S$ продолжается до элемента $|{-}2K_X|$ согласно [6; теорема (7.3)].

Доказательство основной теоремы 1.3. Возьмем общий элемент $\sigma_i \in \mathscr{O}_{S_i}(-K_X)$, и пусть
$$ \begin{equation*} \sigma_S:=\sum_i \sigma_i \in \mathscr{O}_{S}(-K_X). \end{equation*} \notag $$
Согласно (i) или (ii) предложения 4.2 сечение $\sigma_S \ \operatorname{mod} \Omega_S^2$ поднимается до
$$ \begin{equation*} s \in H^0(X,\mathscr{O}_X(-K_X)). \end{equation*} \notag $$
Пусть $C_{\mathrm{main}} \subset \overline C$ – объединение неприводимых компонент типов $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$, $(\mathrm{kAD})$, $(\mathrm{k3A})$ и $(\mathrm{k2A_2})$.

По теореме 5.2 дивизор $D:=\{s=0\} \supset C_{\mathrm{main}}$ дювалевский в окрестности кривой $C_{\mathrm{main}}$, и для каждой неприводимой компоненты $C$ кривой $C_{\mathrm{main}}$ граф $\Delta(D,C)$ такой, как в теореме 5.1, по теореме 5.2. Если $C_{\mathrm{main}}=\varnothing$, то все доказано по предложениям 3.1 и 3.2. Таким образом, мы предположим, что $C_{\mathrm{main}}\neq\varnothing$ и что каждая неприводимая компонента $C\subset \overline C$ пересекает $C_{\mathrm{main}}$ (так как особые точки кривой $\overline C$ негоренштейновы на $\overline X$; см. [6; следствие 1.15], [9; лемма 4.4.2]). Тогда поверхность $D$ нормальна и кривая $C_{\mathrm{main}}$ связна. Если $C\not \subset D$, то

$$ \begin{equation*} C \cap D \subset C_{\mathrm{main}} \cap D, \end{equation*} \notag $$
и поверхность $D$ дювалевская в окрестности $C$, поскольку $C \cdot D < 1$ (см. [6; (0.4.11.1)]) и $D$ – дивизор Картье вне $C_{\mathrm{main}}$ (см. [6; следствие 1.15]).

Предположим, что $C_{\mathrm{main}}$ содержит компоненту одного из типов $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$, $(\mathrm{kAD})$ или $(\mathrm{k3A})$, и пусть $C \subset D$. Пусть $\upsilon\colon D\to D_0$ – стягивание кривой $C_{\mathrm{main}}$ и $P_0:=\upsilon(C_{\mathrm{main}})$. Тогда точка $P_0\in D_0$ дювалевская типа $\mathrm{D}$ или $\mathrm{E}$ (поскольку $\upsilon$ крепантно и в силу теоремы 5.1). Применим лемму 2.3 к $D_0$. Мы получим, что поверхность $D_0$ имеет лишь дювалевские особенности и то же самое верно для $D$.

Если $C$ пересекает $C_{\mathrm{main}}$ в точке индекса $2$, то $D\not\supset C$ по лемме 4.3. Случай, когда $C_{\mathrm{main}}$ состоит из кривых типа $(\mathrm{k2A_2})$ и $C$ пересекает $C_{\mathrm{main}}$ в точке $P$ индекса $m>2$, разбирается в предложении 5.9. Теорема доказана.

Доказательство следствия 1.4. Если компонента $C_i\,{\subset}\,C$ имеет тип $(\mathrm{IIB})$, то она содержит точку $P$ типа $\mathrm{cAx/4}$ и все другие компоненты $C_j\subset C$, проходящие через $P$, имеют типы $(\mathrm{IIA})$ или $(\mathrm{II^\vee})$. Но согласно [6; теоремы 6.4, 9.4] $P$ – единственная негоренштейнова точка на $C_j$. Так как многообразие $X$ не является горенштейновым в любой точке пересечения $C_i\cap C_j$ согласно [6; следствие 1.15] и [9; лемма 4.4.2], то все компоненты $C_k\subset C$ должны проходить через $P$. Это доказывает (i).

Начиная с этого места, мы можем считать, что $C=C_i\,{\cup}\, C_j$. Мы также можем предполагать, что $C_j$ не имеет тип $(\mathrm{k2A_{n,m}})$, $n,m\geqslant 3$ (в противном случае все доказано). Таким образом, $(X,C)$ удовлетворяет условию $(*)$ в теореме 1.3. Пусть $f\colon (X,C)\to (Z,o)$ – соответствующее стягивание. Рассмотрим общий элемент $D\in |{-}K_X|$ и факторизацию Штейна

$$ \begin{equation} f_D\colon D\supset C \to f' D_Z\ni o_Z \to f(D)\ni o. \end{equation} \tag{6.1} $$
По теореме 1.3 поверхность $D$ имеет лишь дювалевские особенности. Стягивание $f'\colon D\to D_Z$ крепантно, и точка $D_Z\ni o_Z$ дювалевская. Теперь мы заметим, что ростки $(D,C_i)$ и $(D,C_j)$ такие, как это описано в теореме 5.1. Таким образом, вся конфигурация $\Delta(D,C)$ – одна из диаграмм Дынкина $\mathrm{A}$, $\mathrm{D}$ или $\mathrm{E}$. В частности, $\Delta(D,C)$ не имеет вершин валентности $\geqslant 4$ и не более одной вершины, обозначим ее $v$, валентности 3. С другой стороны, по теореме 5.2 конфигурация $\Delta(D,C)$ получается “склеиванием” конфигураций $\Delta(D,C_i)$, описанных в теореме 5.1, вдоль одной связной компоненты белого подграфа. Так как вся конфигурация $\Delta(D,C)$ дювалевская, то не более одной компоненты кривой $C$ имеет тип $(\mathrm{IC})$, $(\mathrm{IIB})$, $(\mathrm{kAD})$ или $(\mathrm{k3A})$.

Для доказательства (ii) достаточно заметить, что все особенности вдоль $C_i$ имеют тип $\mathrm{cA}$, и поэтому экстремальные ростки $\mathrm{cD/m}$, $\mathrm{cAx/2}$, $\mathrm{cE/2}$, $(\mathrm{IIA})$ и $(\mathrm{II^\vee})$ не могут быть компонентами $(X,C)$. Аналогичные соображения применяются в (iii), но в этом случае допустимы особенности $\mathrm{cD/2}$ и $\mathrm{cAx/2}$ (см. [8]). Остается доказать (iv).

6.1.

Пусть $T$ – точка кривой $C_j$. Несложно заметить, что скрученное расширение $(X_{j,\lambda}, C_{j,\lambda})$ (см. [6; 1b.8.1]) ростка $(X_{j,\lambda},T) \supset (C_{j,\lambda}, T)$ элементом $u$ в окрестности $C_{j,\lambda}$ может естественно содержать окрестность $C_i$, если

(a) $T \notin C_i$

или

(b) $(X_{j,\lambda},T) \supset (C_{j,\lambda}, T)$ – тривиальная деформация, т.е. $X_{j,\lambda}\,{=}\,X_j$ и $C_{j,\lambda}\,{=}\,C_j$.

В окрестности кривой $C_j$ мы можем последовательно применять деформации ростка $(X,C)$, которые тривиальны в окрестности $C_i$. Мы будем делать это так, что $(X,C_j)$ деформируется по следующему правилу:

Наконец, мы придем к ростку $(X,C_j)$ типа $(\mathrm{k2A_2})$. На самом деле шаг (a) применим к точке $T$ типа $(\mathrm{III})$ $\notin C_i$ для деформации 2), а шаг (b) применим точке к $T$ индекса $m$ для деформации 3).

6.2.

Для применения деформации 1) нам нужно в качестве $T$ взять точку $Q$ индекса $2$ с $\ell(Q)=2$. Предположим, что $Q \in C_i$, в этом случае дивизор $D$ не может быть дювалевским, поскольку графы $\Delta(D,C_j)$ типа $\mathrm{D_k}$, $k\geqslant 8$, и $\Delta(D,C_i)$ типа $\mathrm{A_q}$, $q \geqslant 4$, связаны в точке $Q$ индекса 2. Таким образом, $Q\notin C_i$ и шаг (a) применим, и мы можем считать, что $C_j$ имеет тип $(\mathrm{k2A_2})$. Остается исключить случай, когда обе компоненты кривой $C$ имеют тип $(\mathrm{k2A_2})$. Это следует из леммы 6.4 ниже. Следствие доказано.

Лемма 6.2. Пусть $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности такой, что любая компонента $C_i\subset C$ имеет тип $(\mathrm{k2A})$. Предположим, что общий элемент $D\in |{-}K_X|$ дювалевский. Тогда общее гиперплоское сечение $H\in |\mathscr{O}_X|_C$, проходящее через $C$, имеет лишь циклические факторособенности и пара $(H,C)$ логканонична и чисто логтерминальна вне $\operatorname{Sing}(C)$.

Замечание 6.3. Если в условиях леммы 6.2 росток $(X,C)$ является $\mathbb{Q}$-расслоением на коники, то его базисная поверхность неособа. В самом деле, если базисная поверхность особа, то согласно [10; теорема 1.3] каждая компонента $C_i\subset C$ должна быть локально импримитивна.

Доказательство леммы 6.2. Пусть $f\colon (X,C)\to (Z,o)$ – соответствующее стягивание. Заметим, что $D\supset C$. Рассмотрим факторизацию Штейна (6.1). Легко видеть, что конфигурация $\Delta(D,C)$ – линейная цепочка. Следовательно, $D_Z\ni o_Z$ – (дювалевская) особенность типа $\mathrm{A}$. Тогда соображения в доказательстве предложения 2.6 в [12] применимы и показывают, что пара $(X,D+H)$ логканонична. Так как $D\supset C$, то пара $(X,H)$ чисто логтерминальна по теореме Бертини. Следовательно, поверхность $H$ нормальна, и по обращению присоединения пара $(H,C)$ логканонична. Более того, $C=D\cap H$ и $K_H+C$ – дивизор Картье на $H$. Согласно классификации двумерных логканонических пар (см. [3; теорема 4.15]) особенности поверхности $H$ – циклические факторы и пара $(H,C)$ чисто логтерминальна вне $\operatorname{Sing}(C)$. Лемма доказана.

Лемма 6.4. Пусть $(X,C)$ – росток экстремальной окрестности, где кривая $C$ приводима и имеет в точности две компоненты. Тогда обе компоненты не могут иметь тип $(\mathrm{k2A_2})$.

Доказательство. Предположим противное. Вычисления ниже аналогичны вычислениям в [7; предложение 2.6]. Пусть $C=C_1\cup C_2$, пусть $C_1\cap C_2=\{P_0\}$, и пусть $P_i\in C_i$, $i=1,2$, – негоренштейнова точка, отличная от $P_0$. Пусть $H\,{\in}\,|\mathscr{O}_X|_C$ – общее гиперплоское сечение, проходящее через $C$. Согласно лемме 6.2 поверхность $H$ имеет лишь циклические факторособенности. Рассмотрим минимальное разрешение $\mu\colon \widetilde H\to H$ и запишем
$$ \begin{equation} K_{\widetilde H}=\mu^*K_H-\Theta, \end{equation} \tag{6.2} $$
где $\Theta$ – эффективный $\mathbb{Q}$-дивизор с носителем в исключительном множестве (дивизор кодискрепантностей). Пусть $\widetilde C_i$ – собственный прообраз кривой $C_i$. Тогда $K_{\widetilde H}\cdot \widetilde C_i<K_H\cdot C_i<0$. Следовательно, $\widetilde C_i$ – $(-1)$-кривая на $\widetilde H$. Более того,
$$ \begin{equation*} \Theta \cdot \widetilde C_i=1+K_H\cdot C_i<1. \end{equation*} \notag $$
Так как $H$ – дивизор Картье на $X$ такой, что пара $(X,H)$ чисто логтерминальна, то особенности поверхности $H$ имеют тип $\mathrm{T}$ (см. [5]). Следовательно,
$$ \begin{equation*} (H\ni P_i) \simeq (\mathbb{C}/\boldsymbol{\mu}_ {m_i^2 p_i}(1, m_i p_i a_i-1) \ni 0) \end{equation*} \notag $$
для некоторых положительных $m_i,p_i,a_i$ таких, что $a_i<m_i$ и $\gcd (m_i,a_i)=1$. Здесь $m_i$ – индекс $P_i$. Запишем $\Theta=\Theta_0+\Theta_1+\Theta_2$, так что $\operatorname{Supp}(\Theta_i)=\mu^{-1}(P_i)$. Вычисления со взвешенными раздутиями (см. [2; 10.1–10.3]) показывают, что коэффициенты $\Theta_i$ в концах цепочки $\operatorname{Supp}(\Theta_i)$ равны $(m_i-a_i)/m_i$ и $a_i/m_i$. Так как кривые $\widetilde C_1$ и $\widetilde C_2$ пересекают различные концы цепочки $\operatorname{Supp}(\Theta_0)$, то с точностью до перестановок $P_1$ и $P_2$ и замен порождающих группы $\boldsymbol{\mu}_ {m_i^2 p_i}$ мы имеем
$$ \begin{equation*} \Theta_1\cdot\widetilde C_1=\frac{a_1}{m_1}, \qquad \Theta_0\cdot \widetilde C_1= \frac{m_0-a_0}{m_0}, \qquad \Theta_0\cdot \widetilde C_2= \frac{a_0}{m_0}, \qquad \Theta_2\cdot \widetilde C_2= \frac{m_2-a_2}{m_2}. \end{equation*} \notag $$
Обозначим
$$ \begin{equation} \delta_1:= a_0m_1 -a_1 m_0, \qquad \delta_2:= a_2m_0 -a_0 m_2. \end{equation} \tag{6.3} $$
Тогда по (6.2)
$$ \begin{equation*} -K_H\cdot C_1=\frac{a_0}{m_0} -\frac{a_1}{m_1}= \frac{\delta_1} {m_0m_1}>0, \qquad -K_H\cdot C_2=\frac{a_2}{m_2} -\frac{a_0}{m_0}= \frac{\delta_2} {m_0m_2}>0. \end{equation*} \notag $$
Далее, положим
$$ \begin{equation} \varDelta_i:=m_0^2 p_0+m_i^2 p_i -m_0p_0m_ip_i \delta_i, \qquad i=1,2. \end{equation} \tag{6.4} $$
Тогда
$$ \begin{equation*} C_i^2 =\frac{-\varDelta_i}{m_0^2 p_0m_i^2 p_i}, \qquad C_1\cdot C_2= \frac1{m_0^2 p_0}. \end{equation*} \notag $$
Так как конфигурация стягиваема, то мы имеем $\varDelta_i>0$ и
$$ \begin{equation} \varDelta_1\varDelta_2-m_1^2 p_1 m_2^2 p_2\geqslant 0. \end{equation} \tag{6.5} $$
Предположим, что $m_0 > 2$. Так как $C_i$ имеет тип $(\mathrm{k2A_2})$, то $m_1 =m_2= 2$. Тогда $a_1=a_2=1$, и (6.3) влечет
$$ \begin{equation*} \delta_1= 2a_0 - m_0>0,\qquad \delta_2= m_0 -2a_0>0, \end{equation*} \notag $$
что невозможно. Следовательно, $m_0=2$. Тогда $a_0=1$, и соотношение (6.4) может быть записано следующим образом:
$$ \begin{equation*} \varDelta_i=m_i^2 p_i -2p_0(m_ip_i \delta_i-2)>0, \qquad i=1,2, \end{equation*} \notag $$
где $m_ip_i \delta_i-2>0$. Тогда (6.5) принимает вид
$$ \begin{equation*} 2p_0(m_1p_1 \delta_1-2)(m_2p_2 \delta_2-2) \geqslant (m_1p_1 \delta_1-2)m_2^2 p_2+(m_2p_2 \delta_2-2)m_1^2 p_1. \end{equation*} \notag $$
Собирая эти неравенства вместе, мы получим
$$ \begin{equation*} \frac{m_1^2 p_1}{m_1p_1 \delta_1-2}> 2p_0 \geqslant \frac{m_2^2 p_2}{m_2p_2 \delta_2-2} + \frac{m_1^2 p_1}{m_1p_1 \delta_1-2} > \frac{m_1^2 p_1}{m_1p_1 \delta_1-2}. \end{equation*} \notag $$
Противоречие доказывает лемму.

Список литературы

1. Yu. Kawamata, “Crepant blowing-up of $3$-dimensional canonical singularities and its application to degenerations of surfaces”, Ann. of Math. (2), 127:1 (1988), 93–163  crossref  mathscinet  zmath
2. J. Kollár, S. Mori, “Classification of three-dimensional flips”, J. Amer. Math. Soc., 5:3 (1992), 533–703  crossref  mathscinet  zmath
3. J. Kollár, S. Mori, Birational geometry of algebraic varieties, With the collaboration of C. H. Clemens and A. Corti, transl. from the 1998 Japan. original, Cambridge Tracts in Math., 134, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998, viii+254 pp.  crossref  mathscinet  zmath
4. J. Kollár, “Real algebraic threefolds. III. Conic bundles”, J. Math. Sci. (N.Y.), 94:1 (1999), 996–1020  crossref  mathscinet  zmath
5. J. Kollár, N. I. Shepherd-Barron, “Threefolds and deformations of surface singularities”, Invent. Math., 91:2 (1988), 299–338  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
6. S. Mori, “Flip theorem and the existence of minimal models for $3$-folds”, J. Amer. Math. Soc., 1:1 (1988), 117–253  crossref  mathscinet  zmath
7. S. Mori, “On semistable extremal neighborhoods”, Higher dimensional birational geometry (Kyoto, 1997), Adv. Stud. Pure Math., 35, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2002, 157–184  crossref  mathscinet  zmath
8. S. Mori, “Errata to “Classification of three-dimensional flips””, J. Amer. Math. Soc., 20:1 (2007), 269–271  crossref  mathscinet  zmath
9. S. Mori, Yu. Prokhorov, “On $\mathbb Q$-conic bundles”, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 44:2 (2008), 315–369  crossref  mathscinet  zmath
10. S. Mori, Yu. Prokhorov, “On $\mathbb Q$-conic bundles. II”, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 44:3 (2008), 955–971  crossref  mathscinet  zmath
11. S. Mori, Yu. Prokhorov, “On $\mathbb Q$-conic bundles. III”, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 45:3 (2009), 787–810  crossref  mathscinet  zmath
12. S. Mori, Yu. Prokhorov, “Threefold extremal contractions of type (IA)”, Kyoto J. Math., 51:2 (2011), 393–438  crossref  mathscinet  zmath
13. Ш. Мори, Ю. Г. Прохоров, “Трехмерные экстремальные окрестности кривой с одной негоренштейновой точкой”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:3 (2019), 158–212  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: S. Mori, Yu. G. Prokhorov, “Threefold extremal curve germs with one non-Gorenstein point”, Izv. Math., 83:3 (2019), 565–612  crossref  adsnasa
14. Ю. Г. Прохоров, “О дополняемости канонического дивизора для расслоений Мори на коники”, Матем. сб., 188:11 (1997), 99–120  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: Yu. G. Prokhorov, “On the existence of complements of the canonical divisor for Mori conic bundles”, Sb. Math., 188:11 (1997), 1665–1685  crossref
15. M. Reid, “Young person's guide to canonical singularities”, Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985), Proc. Sympos. Pure Math., 46, Part 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 345–414  crossref  mathscinet  zmath
16. В. В. Шокуров, “Трехмерные логперестройки”, Изв. РАН. Сер. матем., 56:1 (1992), 105–203  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. V. Shokurov, “3-fold log flips”, Russian Acad. Sci. Izv. Math., 40:1 (1993), 95–202  crossref  adsnasa

Образец цитирования: Ш. Мори, Ю. Г. Прохоров, “Общий антиканонический элемент для трехмерных экстремальных стягиваний с одномерными слоями: исключительный случай”, Матем. сб., 212:3 (2021), 88–111; S. Mori, Yu. G. Prokhorov, “General elephants for threefold extremal contractions with one-dimensional fibres: exceptional case”, Sb. Math., 212:3 (2021), 351–373
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MorPro21}
\by Ш.~Мори, Ю.~Г.~Прохоров
\paper Общий антиканонический элемент для трехмерных экстремальных стягиваний с одномерными слоями: исключительный случай
\jour Матем. сб.
\yr 2021
\vol 212
\issue 3
\pages 88--111
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9388}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9388}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4223972}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1478.14029}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021SbMat.212..351M}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=46104981}
\transl
\by S.~Mori, Yu.~G.~Prokhorov
\paper General elephants for threefold extremal contractions with one-dimensional fibres: exceptional case
\jour Sb. Math.
\yr 2021
\vol 212
\issue 3
\pages 351--373
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9388}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000701445500001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85106637165}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9388
  • https://doi.org/10.4213/sm9388
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v212/i3/p88
  • Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:383
    PDF русской версии:39
    PDF английской версии:21
    HTML русской версии:131
    Список литературы:54
    Первая страница:8
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024