Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2021, том 212, номер 1, страницы 3–27
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9402
(Mi sm9402)
 

Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях)

Критические процессы Гальтона–Ватсона со счетным множеством типов частиц и бесконечными вторыми моментами

В. А. Ватутинa, Е. Е. Дьяконоваa, В. А. Топчийbc

a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
b Математический центр в Академгородке, г. Новосибирск
c Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук
Список литературы:
Аннотация: Рассматривается неразложимый ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона со счетным множеством типов частиц. Предполагая, что процесс является критическим, а частицы некоторых (или всех) его типов могут иметь бесконечную дисперсию числа непосредственных потомков, мы описываем асимптотическое поведение вероятности невырождения процесса и доказываем условную предельную теорему ягломовского типа о распределении бесконечномерного вектора числа частиц всех типов.
Библиография: 20 названий.
Ключевые слова: критический процесс Гальтона–Ватсона со счетным множеством типов частиц, вероятность невырождения, бесконечные вторые моменты для численности потомства, правильно меняющиеся функции, предельная теорема ягломовского типа.
Финансовая поддержка Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 075-15-2019-1614
075-15-2019-1613
Исследование В. А. Ватутина и Е. Е. Дьяконовой выполнено в МЦМУ МИАН при финансовой поддержке Минобрнауки России (соглашение № 075-15-2019-1614). Исследование В. А. Топчия выполнено в Математическом центре в Академгородке при финансовой поддержке Минобрнауки России (соглашение № 075-15-2019-1613).
Поступила в редакцию: 02.03.2020 и 29.05.2020
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 1, Pages 1–24
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9402
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 519.218.23+519.217.2
MSC: Primary 60J80; Secondary 60B12, 60J10

§ 1. Определение процесса и основные свойства его матрицы средних

Мы рассматриваем неразложимый ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона $\mathbf{Z}(n):=(Z_{j}(n))_{j\in\mathbb{N}}$ со счетным множеством типов частиц, помеченных числами $j\in\mathbb{N}:=\{1,2,\dots \}$. Компонента $Z_{j}(n)$, $n\in\mathbb{N}_{0}:= \mathbb{N}\cup\{0\}$, вектора $\mathbf{Z}(n)$ обозначает число частиц типа $j$ в процессе в момент $n$. Будем использовать обозначение $\delta_{ij}$ для символа Кронекера и обозначение $\mathbf{e}_{i}:=(\delta_{ij})_{j\in\mathbb{N}}$ для вектора, $i$-я компонента которого равна единице, а остальные равны нулю. Для описания эволюции интересующего нас ветвящегося процесса, начинающегося в момент $0$ с совокупности частиц различных типов, задаваемой вектором $\mathbf{Z}(0)$, необходимо указать распределения векторов

$$ \begin{equation*} \mathbf{Z}_{i}=\mathbf{Z}_{i}(1):=\bigl\{\mathbf{Z}(1)\mid\mathbf{Z}(0)=\mathbf{e}_{i}\bigr\} =:(Z_{ij})_{j\in \mathbb{N}}=(Z_{ij}(1))_{j\in \mathbb{N}}. \end{equation*} \notag $$

Будем предполагать, что

$$ \begin{equation} Z_{i}:=\sum_{j\in \mathbb{N}}Z_{ij}<\infty \end{equation} \tag{1.1} $$
с вероятностью 1. Обозначим
$$ \begin{equation*} \mathbf{Z}_{i}(n):=\bigl\{\mathbf{Z}(n)\mid \mathbf{Z}(0)=\mathbf{e}_{i}\bigr\} =: (Z_{ij}(n))_{j\in \mathbb{N}}. \end{equation*} \notag $$

Предполагая, что $\mathbf{s}=(s_{j})_{j\in \mathbb{N}}\in[0,1]^{\mathbb{N}}$, введем бесконечномерные векторы

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}(\mathbf{s}):=(F_{i}(\mathbf{s}))_{i\in \mathbb{N}},\qquad\mathbf{F}(n;\mathbf{s}):=(F_{i}(n;\mathbf{s}))_{i\in \mathbb{N}} \end{equation*} \notag $$
производящих функций числа потомков частиц процесса с компонентами
$$ \begin{equation} F_{i}(\mathbf{s}):=\mathbb{E}\biggl[ \prod_{j\in \mathbb{N}}s_{j}^{Z_{ij}}\biggr] =:\mathbb{E}\mathbf{s}^{\mathbf{Z}_{i}}=:\sum_{\mathbf{j}\in \mathbb{N}_{0}^{\mathbb{N}}}p_{i\mathbf{j}}\mathbf{s}^{\mathbf{j}}, \end{equation} \tag{1.2} $$
$$ \begin{equation} F_{i}(n;\mathbf{s}) :=\mathbb{E}\biggl[ \prod_{j\in \mathbb{N}}s_{j}^{Z_{ij}(n)}\biggr] =:\mathbb{E}\mathbf{s}^{\mathbf{Z}_{i}(n)}, \end{equation} \tag{1.3} $$
где для любого $\mathbf{j}=(j_{i})_{i\in \mathbb{N}}\in \mathbb{N}_{0}^{\mathbb{N}}$
$$ \begin{equation*} p_{i\mathbf{j}}:=\mathbf{P}\bigl(\mathbf{Z}(1)=\mathbf{j}\mid \mathbf{Z}(0)=\mathbf{e}_{i}\bigr) =\mathbf{P}( \mathbf{Z}_{i}(1)=\mathbf{j}). \end{equation*} \notag $$
В силу предположения (1.1) эти вероятностные производящие функции определены корректно.

В соответствии со свойством ветвления процесса Гальтона–Ватсона каждая частица типа $i$, принадлежащая популяции, имеет единичную продолжительность жизни и, погибая, производит (независимо от предыстории процесса и размножения остальных частиц, существующих в данный момент) случайное число потомков, описываемых вектором $\mathbf{Z}_{i}$, распределение которого задается производящей функцией $F_{i}(\mathbf{s})$. Это свойство имеет следующее описание в терминах итераций производящих функций:

$$ \begin{equation} \mathbf{F}(n+1;\mathbf{s})=\mathbf{F}(n;\mathbf{F}(\mathbf{s)})=\mathbf{F}(\mathbf{F}(n;\mathbf{s})) \quad \text{для всех }\ n\in \mathbb{N}, \end{equation} \tag{1.4} $$
где $\mathbf{F}(1;\mathbf{s}):=\mathbf{F}(\mathbf{s})$.

Первичная классификация ветвящихся процессов Гальтона–Ватсона со счетным множеством типов частиц (ниже мы используем короткое обозначение ВПГВ/$\infty $ для представителей таких процессов) дается в терминах матрицы математических ожиданий

$$ \begin{equation} \mathbf{M}:=(M_{ij})_{i,j\in \mathbb{N}}:=(\mathbb{E}Z_{ij})_{i,j\in \mathbb{N}} =\biggl(\frac{\partial F_{i}(\mathbf{s})}{\partial s_{j}}\Bigm|_{\mathbf{s}=\mathbf{1}}\biggr) _{i,j\in \mathbb{N}}. \end{equation} \tag{1.5} $$

Для детального описания этой классификации напомним ряд асимптотических свойств степеней бесконечномерных матриц с неотрицательными элементами, заимствованных из работы [1]. Сначала опишем необходимые нам свойства абстрактной матрицы $M=(m_{ij})_{i,j\in \mathbb{N}}$, где $m_{ij}\geqslant 0$ для всех $(i,j)\in \mathbb{N}^{2}$, а затем применим их к изучению ВПГВ/$\infty $ с матрицей $\mathbf{M}$, определенной в (1.5).

Обозначим через $M^{n}=(m_{ij}^{(n)})_{i,j\in \mathbb{N}}$ $n$-ю степень бесконечномерной матрицы $M$. Матрица $M$ с неотрицательными элементами называется неприводимой и апериодической, если для любой пары индексов $(i,j)$ найдется число $n\in \mathbb{N}$ такое, что $m_{ij}^{(n)}>0$ и наибольший общий делитель всех тех $n\in \mathbb{N}$, для которых $m_{ij}^{(n)}>0$, равен 1. Согласно теореме A статьи [1] для неприводимой матрицы $M$ существует число $R\in [ 0,\infty )$ такое, что

$$ \begin{equation} \lim_{n\to \infty}(m_{ij}^{(n)}) ^{1/n}=\frac 1R \end{equation} \tag{1.6} $$
для любой пары индексов $(i,j)$.

Параметр $R$ является общим радиусом сходимости для функций

$$ \begin{equation*} \mathscr{M}_{ij}(z):=\sum_{n=0}^{\infty }m_{ij}^{(n)}z^{n}, \end{equation*} \notag $$
где $m_{ij}^{(0)}:=\delta _{ij}$, а величина $1/R$ является аналогом максимального (по модулю) собственного значения неотрицательной конечномерной матрицы. Однако оператор, соответствующий бесконечномерной матрице, не обязательно является ограниченным.

Из соотношения (1.6) следует, что для любой пары $(i,j)$ ряд

$$ \begin{equation} \mathscr{M}_{ij}(r)=\sum_{n=0}^{\infty }m_{ij}^{(n)}r^{n} \end{equation} \tag{1.7} $$
сходится, если $0<r<R$, и расходится, если $r>R$. Если $r=R$, то возможны оба случая. Более того, согласно теореме B работы [1] ряды $\mathscr{M}_{ij}(R)$ либо одновременно сходятся для всех пар $(i,j)$, либо одновременно расходятся для всех $(i,j)$. Кроме того, пределы всех последовательностей $\{ m_{ij}^{(n)}R^{n},\,n\geqslant 1\} $ существуют и либо
$$ \begin{equation} \lim_{n\to \infty }m_{ij}^{(n)}R^{n}=0 \quad \text{при всех }\ (i,j)\in \mathbb{N}^{2}, \end{equation} \tag{1.8} $$
либо
$$ \begin{equation} \lim_{n\to \infty }m_{ij}^{(n)}R^{n}>0 \quad\text{при всех }\ (i,j)\in\mathbb{N}^{2}. \end{equation} \tag{1.9} $$

Неприводимая матрица $M$ называется:

Теперь мы вернемся к матрицам $\mathbf{M}=(M_{ij})_{i,j\in\mathbb{N}}$ и $\mathbf{M}^{n}:=(M_{ij}^{(n)})_{i,j\in \mathbb{N}}$ для ВПГВ/$\infty$, где $M_{ij}^{(n)}:=\mathbb{E}Z_{ij}(n)$, $M_{ij}=M_{ij}^{(1)}$.

Свойства неотрицательных бесконечномерных матриц, которые мы упомянули выше, позволяют ввести следующую естественную классификацию ВПГВ/$\infty$ (см., например, [2]).

Определение 1. ВПГВ/$\infty $ называется докритическим (соответственно критическим, надкритическим) и невозвратным (соответственно рекуррентным, нуль рекуррентным, положительно рекуррентным) в пространстве типов, если его матрица средних $\mathbf{M}$ имеет радиус сходимости $R>1$ (соответственно $R=1$, $R<1$) и является “$R$”-невозвратной (соответственно “$R$”-рекуррентной, “$R$”-нулевой рекуррентной, “$R$”-положительно возвратной).

В настоящей работе мы рассматриваем только критические ВПГВ/$\infty$. Из соотношений (1.8) и (1.9) следует, что если ВПГВ/$\infty $ критический, то элементы последовательностей $\{ M_{ij}^{(n)},\, n\geqslant 1\} $ либо стремятся к нулю при $n\to \infty $ для всех $i$ и $j$, либо имеют положительные пределы для всех $i$ и $j$. Ниже мы рассматриваем только второй случай.

Если матрица $\mathbf{M}$ математических ожиданий числа потомков ВПГВ/$\infty $ неприводима и “$1$”-положительна, то (см. теорему $D$ работы [1]) существуют и притом единственные (с точностью до мультипликативной константы) левый и правый собственные векторы $\mathbf{v}:= (v_{k})_{k\in\mathbb{N}}$ и $\mathbf{u}:=(u_{k})_{k\in \mathbb{N}}$ с положительными компонентами такие, что

$$ \begin{equation} \mathbf{vM}=\mathbf{v}, \qquad \mathbf{Mu}^{\top}=\mathbf{u}^{\top}, \qquad \mathbf{v}\mathbf{u}^{\top}= \sum_{k=1}^{\infty }v_{k}u_{k}=1, \qquad \mathbf{v1}^{\top}<\infty , \end{equation} \tag{1.10} $$
и при $n\to \infty$
$$ \begin{equation} M_{ij}^{(n)}\to \frac{u_{i}v_{j}}{\,\mathbf{v}\,\mathbf{u}^{\top}}=u_{i}v_{j} \end{equation} \tag{1.11} $$
для всех $(i,j)\in\mathbb{N}^{2}$.

Заметим, что если $\mathbf{M}$ – конечномерная неприводимая апериодическая матрица, имеющая перронов корень, равный $1$, то согласно теореме Перрона–Фробениуса $\mathbf{M}$ имеет положительные левый и правый собственные векторы $\mathbf{v}$ и $\mathbf{u}$, удовлетворяющие соотношениям (1.10), причем условие $\mathbf{v}\mathbf{1}^{\top}<\infty$ выполняется автоматически. Для неприводимых и “$1$”-положительных бесконечномерных матриц эта оценка, вообще говоря, неверна. В настоящей работе мы требуем конечности произведения $\mathbf{v}\mathbf{1}^{\top}$, оставляя случай $\mathbf{v}\mathbf{1}^{\top}=\infty $ для будущих исследований.

Введем теперь важное определение, которое включает в себя основные ограничения на свойства матрицы $\mathbf{M}$, используемые далее.

Обозначим $M_{i}:=\mathbb{E}Z_{i}=\sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}$.

Определение 2. Будем говорить, что матрица средних $\mathbf{M}=(\mathbb{E}Z_{ij})_{i,j\in\mathbb{N}} $ критического ВПГВ/$\infty$ принадлежит классу $\mathscr{M}_{1}$, и писать $\mathbf{M}\in\mathscr{M}_{1}$, если:

Будем говорить, что $\mathbf{M}$ принадлежит подклассу $\mathscr{M}_{1}^{0}\subset\mathscr{M}_{1}$, если дополнительно

Ясно, что соотношения (1.10) и условие (ii) имеют следующие покомпонентные представления:

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}u_{j}=u_{i}, \qquad\sum_{j\in \mathbb{N}}v_{j}M_{ji}=v_{i}, \qquad\sum_{j\in \mathbb{N}}v_{j}u_{j}=1, \\ \sum_{j\in \mathbb{N}}v_{j}=1, \qquad\sup_{i\in \mathbb{N}}u_{i}<\infty, \qquad v_{j}u_{j}>0 \quad \forall \,j\in \mathbb{N}. \end{gathered} \end{equation} \tag{1.13} $$

Заметим, что условие (iii) имеет довольно прозрачный смысл. Его первая часть выделяет из всех критических ВПГВ/$\infty $ такие процессы, частицы всех типов в которых производят с высокой вероятностью частицы типов с относительно небольшими метками. Таким образом, наша модель в некотором смысле близка к так называемым нижним ветвящимся процессам Хессенберга (см. [3]), в которых частицы типа $i$ могут производить частицы только типов $j\leqslant i+1$. Вторая часть условия (iii) предотвращает существование очень продуктивных частиц.

Нам понадобится ряд вспомогательных функций, связанных с производящими функциями ВПГВ/$\infty$:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, F_{ij}(s):=\mathbb{E}s^{Z_{ij}}, \qquad Q_{i}(n;\mathbf{s}):=1-F_{i}(n;\mathbf{s})=1- \mathbb{E}\mathbf{s}^{\mathbf{Z}_{i}(n)}, \\ \mathbf{Q}(n;\mathbf{s}):=(Q_{i}(n;\mathbf{s}))_{i\in \mathbb{N}}= \mathbf{1}-\mathbf{F}(n;\mathbf{s}), \qquad\mathbf{Q}(\mathbf{s}):=\mathbf{Q}(1; \mathbf{s})=\mathbf{1}-\mathbf{F}(\mathbf{s}), \\ Q_{i}(n):=Q_{i}(n;\mathbf{0})=\mathbb{P}\bigl(\mathbf{Z}(n)\neq 0\mid \mathbf{Z}(0)=\mathbf{e}_{i}\bigr), \\ \mathbf{Q}(n):=\mathbf{Q}(n;\mathbf{0}), \qquad q(n;\mathbf{s}):=\mathbf{vQ}^{\top}(n; \mathbf{s}), \qquad q(n):=q(n;\mathbf{0}). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Для $x\geqslant 0$ и $U=\sup_{i\in \mathbb{N}}u_{i}$ введем функцию

$$ \begin{equation} \Phi (x):= \begin{cases} x-\mathbf{vQ}^{\top}(\mathbf{1}-x\mathbf{u}), & \text{если } 0\leqslant xU\leqslant 1, \\ x-\mathbf{vQ}^{\top}(\mathbf{0}), & \text{если } xU>1. \end{cases} \end{equation} \tag{1.14} $$

Теперь мы можем сформулировать основной результат работы.

Теорема 1. Пусть $\{ \mathbf{Z}_{i}(n),\,i\in \mathbb{N}\} $ – критический ВПГВ/$\infty$ с матрицей средних $\mathbf{M}\in\mathscr{M}_{1}^{0}$ и

$$ \begin{equation} \Phi (x)=x^{\alpha+1}\ell (x), \end{equation} \tag{1.15} $$
где $\alpha\in(0,1]$, а функция $\ell(x)$ медленно меняется при $x\to +0$.

Тогда:

1) найдется такая функция $\ell_{1}(n)$, медленно меняющаяся при $n\to \infty$, что

$$ \begin{equation} q(n)=n^{-1/\alpha }\ell _{1}(n); \end{equation} \tag{1.16} $$

2) для любого $i\in\mathbb{N}$

$$ \begin{equation} Q_{i}(n)=\mathbb{P}\bigl(\mathbf{Z}(n)\neq\mathbf{0}\mid \mathbf{Z}(0)= \mathbf{e}_{i}\bigr)\sim u_{i}n^{-1/\alpha}\ell_{1}(n),\qquad n\to \infty; \end{equation} \tag{1.17} $$

3) для каждого вектора $\boldsymbol{\lambda}=(\lambda_{k})_{k\in \mathbb N}$ с ограниченными компонентами и каждого $i\in\mathbb{N}$

$$ \begin{equation} \lim_{n\to \infty }\mathbb{E}\bigl[e^{-(\boldsymbol{\lambda },\mathbf{Z} (n))q(n)}\mid \mathbf{Z}(n)\neq \mathbf{0},\,\mathbf{Z}(0) =\mathbf{e}_{i} \bigr] =1-(1+(\mathbf{v},\boldsymbol{\lambda })^{-\alpha})^{-1/\alpha}. \end{equation} \tag{1.18} $$

В частности, для любого вектора $(z_{1},\ldots,z_{m})\in\mathbb{R}_{+}^{m}$ предел

$$ \begin{equation} G_{m}(z_{1},\ldots,z_{m}):=\lim_{n\to \infty }\mathbb{P}\bigl(Z_{j}(n)q(n)\leqslant z_{j},\,j=1,\dots,m\mid \mathbf{Z}(n)\neq\mathbf{0},\,\mathbf{Z}(0)=\mathbf{e}_{i}\bigr) \end{equation} \tag{1.19} $$
существует и не зависит от $i$.

Замечание 1. Из (1.18) вытекает, что при $n\to\infty$

$$ \begin{equation*} \bigl\{\mathbf Z(n)q(n)\mid \mathbf{Z}(n)\neq\mathbf{0},\mathbf{Z}(0)=\mathbf{e}_{i}\bigr\}\stackrel{d}{\to}\xi\mathbf{v}, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \mathbb{E}e^{-t\xi }=1-(1+t^{-\alpha})^{-1/\alpha}, \qquad t\geqslant 0. \end{equation*} \notag $$

Отметим, что А. Н. Колмогоров (см. [4]) был первым, кто исследовал асимптотическое поведение критических ветвящихся процессов Гальтона–Ватсона с одним типом частиц. Статью Колмогорова дополнил А. М. Яглом (см. [5]), который изучал распределение числа частиц в критическом ветвящемся процессе Гальтона–Ватсона с одним типом частиц в предположении, что такой процесс не выродился в течение длительного времени. А. Ф. Йоффе и Ф. Л. Спитцер (см. [6]) распространили эти результаты на случай неразложимых критических ветвящихся процессов Гальтона–Ватсона с несколькими типами частиц. Во всех этих работах предполагалась конечность вторых моментов законов распределения числа непосредственных потомков частиц.

В. М. Золотарев (см. [7]), допуская, что дисперсия числа потомков частиц критического марковского ветвящегося процесса с непрерывным временем может быть бесконечной, нашел асимптотическое представление для вероятности невырождения такого процесса и доказал теорему ягломовского типа для этого случая. Результаты Золотарева были дополнены Р. С. Слэком в работах [8], [9], в которых он рассмотрел случай, когда производящая функция числа потомков критического ветвящегося процесса Гальтона–Ватсона с одним типом частиц имеет вид

$$ \begin{equation*} F(s)=s+(1-s) ^{1+\alpha }\ell (1-s), \end{equation*} \notag $$
где $\alpha \in (1,2]$, а функция $\ell (x)$ медленно меняется при $x\to +0$.

Теоремы Слэка были независимо и почти одновременно перенесены на случай многотипных неразложимых критических процессов В. А. Ватутиным (см. [10]) и М. И. Гольдштейном и Ф. М. Хоппе (см. [11]). Основное предположение этих двух работ – это наше условие (1.15), сформулированное в терминах критического ветвящегося процесса Гальтона–Ватсона с конечным числом типов. Таким образом, теорема 1 является естественным обобщением основных результатов статей [10] и [11] на случай ВПГВ/$\infty$.

Имеется несколько опубликованных результатов, в которых рассматриваются ВПГВ/$\infty$ (см., например, [2], [3], [12]–[15]). Статья С. М. Сагитова [2] является наиболее близкой к тематике нашей работы. Сагитов проанализировал случай дробно-линейных производящих функций числа потомков частиц различных типов. Он получил наряду с другими результатами асимптотическое представление для вероятности невырождения критического ВПГВ/$\infty $ и доказал условную предельную теорему ягломовского типа для такого процесса. Теорема 1 нашей статьи обобщает упомянутый результат Сагитова в двух направлениях. Во-первых, мы рассматриваем общий вид производящих функций числа непосредственных потомков частиц и, во-вторых, мы не предполагаем конечность вторых моментов числа непосредственных потомков частиц процесса.

Структура оставшейся части работы такова. В § 2 мы докажем ряд утверждений, описывающих свойства производящих функций ВПГВ/$\infty, $ и покажем, что свойство дихотомии (которое гласит, что с вероятностью $1$ популяция либо вырождается, либо ее размер стремится к бесконечности) справедливо и для процессов, удовлетворяющих условиям теоремы 1.

Одним из основных допущений теоремы 1 является условие (1.15), выраженное в терминах собственных векторов $\mathbf{v}$ и $\mathbf{u}$ матрицы средних $\mathbf{M}$ и одной переменной $x$. Цель § 3 – продемонстрировать, что в нашем случае исследование свойств итераций производящих функций численности потомства частиц, зависящих от счетного числа аргументов, может быть сведено к анализу некоторой функции, которая зависит только от одного аргумента. Для этого мы докажем теорему 2, показывающую, что функции $Q_{i} (n;\mathbf{s})$ могут быть хорошо аппроксимированы функциями $u_{i}q (n;\mathbf{s})$ для всех $i\in \mathbb{N}$. Это приближение позволяет нам завершить в § 4 доказательство теоремы 1 с помощью методов, близких к тем, которые использовались в работе [10] для случая марковских ветвящихся процессов с конечным числом типов частиц.

§ 2. Свойства производящих функций

В этом параграфе мы докажем ряд утверждений, описывающих свойства производящих функций законов распределения числа непосредственных потомков частиц в критическом ВПГВ/$\infty$. Некоторые из этих утверждений очевидны для процессов Гальтона–Ватсона с конечным числом типов частиц. Однако для случая процессов со счетным множеством типов частиц доказательство этих утверждений требует определенных ограничений и усилий. Первым результатом такого рода является следующая лемма.

Лемма 1. Если $\mathbf{M}\in\mathscr{M}_{1}$, то

$$ \begin{equation} \liminf_{n\to\infty}\mathbf{M}^{n}\mathbf{1}^{\top}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}. \end{equation} \tag{2.1} $$

Если $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}^{0}$, то найдется константа $C\in (0,\infty )$ такая, что

$$ \begin{equation} M_{i}^{(n)}:=\sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}^{(n)}\leqslant Cu_{i}\leqslant CU=:\mathfrak{m}<\infty \end{equation} \tag{2.2} $$
для всех $i$ и $n$, принадлежащих множеству $\mathbb{N}$.

Замечание 2. Обратим внимание на разницу между оценками (2.1) и (2.2). В первом случае нижний предел сумм элементов по строкам конечен, в то время как во втором эти суммы равномерно ограничены. Ясно, что второе утверждение не является, вообще говоря, следствием первого.

Доказательство леммы 1. Заметим, что $M_{i}=\mathbb{E}Z_{i}\leqslant\mathbb{E}[Z_{i};\,Z_{i}>K]\,{+}\,K$. Таким образом, вторая часть условия (iii) из определения 2 обеспечивает существование такой константы $W<\infty$, что
$$ \begin{equation} \sup_{i\in \mathbb{N}}M_{i}\leqslant W. \end{equation} \tag{2.3} $$

Зафиксируем $\varepsilon \in (0,0.5)$ и, используя условие (iii) определения 2, выберем натуральное число $N=N(\varepsilon)$ так, чтобы выполнялось неравенство

$$ \begin{equation} \sup_{k\in \mathbb{N}}\sum_{j\geqslant N}M_{kj}\leqslant \varepsilon. \end{equation} \tag{2.4} $$

Зафиксируем теперь число $i\in\mathbb{N}$. Вспоминая условия $\mathbf{v1}^{\top}=1$, $\mathbf{u}>\mathbf{0}$, $\mathbf{v}>\mathbf{0}$ и предельное соотношение (1.11), заключаем, что для $\delta :=\sum_{j\geqslant N}v_{j}$ существует число $n_{0}=n_{0}(i,N)$ такое, что оценка

$$ \begin{equation} \sum_{j<N}M_{ij}^{(n)}\leqslant (1+\delta )u_{i}\sum_{j<N}v_{j}=(1-\delta^{2})u_{i}\leqslant u_{i} \end{equation} \tag{2.5} $$
справедлива для всех $n\geqslant n_{0}$.

Используя (2.4) и (2.5), получаем, что при $n\geqslant n_{0}$

$$ \begin{equation*} M_{i}^{(n)}=\sum_{j<N}M_{ij}^{(n)}+\sum_{j\geqslant N}\sum_{k\in \mathbb{N} }M_{ik}^{(n-1)} M_{kj}\leqslant u_{i}+\varepsilon M_{i}^{(n-1)} \end{equation*} \notag $$
или при $n\geqslant 1$
$$ \begin{equation} M_{i}^{(n+n_{0})}\leqslant u_{i}\sum_{l=0}^{n-1}\varepsilon ^{l}+\varepsilon^{n}M_{i}^{(n_{0})}. \end{equation} \tag{2.6} $$

Отсюда и из (2.3) вытекает следующая оценка, справедливая для всех $i\in\mathbb{N}$:

$$ \begin{equation*} M_{i}^{(n_{0})}=\sum_{j\in \mathbb{N}}\sum_{k\in\mathbb{N}}M_{ik}^{(n_{0}-1)}M_{kj} \leqslant WM_{i}^{(n_{0}-1)}\leqslant W^{n_{0}}. \end{equation*} \notag $$

Этот факт в сочетании с неравенством (2.6) завершает доказательство соотношения (2.1).

Для проверки справедливости второго утверждения леммы 1 заметим, что $\mathbf{vM}^{n}=\mathbf{v}$, $\mathbf{M}^{n}\mathbf{u}^{\top}=\mathbf{u}^{\top}$ для всех $n\in \mathbb{N}$. Отсюда, используя условие (1.12), заключаем, что

$$ \begin{equation} M_{i}^{(n)}=\sum_{j\in \mathbb{N}}\sum_{k\in \mathbb{N}}M_{ik}^{(n-1)}M_{kj}\leqslant C\sum_{j\in \mathbb{N}}\sum_{k\in \mathbb{N}}M_{ik}^{(n-1)}u_{k}v_{j}=Cu_{i} \end{equation} \tag{2.7} $$
для всех $i,n\in\mathbb{N}$. Эта оценка влечет (2.2), поскольку $\| \mathbf{u}\|_{\infty }=U<\infty$ в силу условия (ii).

Лемма доказана.

Лемма 2. Если $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}$ и $\mathbf{F}(\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$, то для каждого $i\in \mathbb{N}$ найдется $n=n(i)$ такое, что

$$ \begin{equation} F_{i}(n;\mathbf{0})=\mathbb{P}(\|\mathbf{Z}_{i}(n)\|_{1}=0) >0. \end{equation} \tag{2.8} $$

Доказательство. Предположим противное, т.е. что существует $i\in \mathbb{N}$, для которого
$$ \begin{equation} F_{i}(n;\mathbf{0})=0 \quad \text{для всех }\ n\in \mathbb{N}. \end{equation} \tag{2.9} $$

Разобьем множество типов частиц на две части, $\mathscr{T}_{1}$ и $\mathscr{T}_{2}$. Припишем тип $i$ к классу $\mathscr{T}_{1}$, если для него выполнено условие (2.9), и к классу $\mathscr{T}_{2}$, если соотношение (2.8) выполнено для некоторого $n=n(i)$.

Положим

$$ \begin{equation*} \widehat{M}_{i}:=\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}\mathbb{E}Z_{ik}=\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}M_{ik}. \end{equation*} \notag $$

Заметим, что $\widehat{M}_{i}\geqslant 1$ для всех $i\in\mathscr{T}_{1}$. Легко показать по индукции, что для любого $i\in \mathscr{T}_{1}$

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \widehat{M}_{i}^{(n+1)} &:=\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}\mathbb{E}Z_{ik}(n+1)=\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}M_{ik}^{(n+1)} =\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}\sum_{r\in \mathbb{N}}M_{ir}^{(n)}M_{rk} \\ &\,= \sum_{r\in \mathbb{N}}M_{ir}^{(n)}\widehat{M}_{r}\geqslant\sum_{r\in \mathscr{T}_{1}}M_{ir}^{(n)}\widehat{M}_{r}\geqslant \sum_{r\in \mathscr{T}_{1}}M_{ir}^{(n)}=\widehat{M}_{i}^{(n)}\geqslant 1. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Чтобы идти дальше, нам нужно отдельно рассмотреть случаи $\mathscr{T}_{2}\neq\varnothing$ и $\mathscr{T}_{2}=\varnothing$.

1) Предположим сначала, что $\mathscr{T}_{2}\neq \varnothing $. Так как матрица $\mathbf{M}$ неприводима, то существуют $i_{0}\in\mathscr{T}_{1} $ и $j_{0}\in \mathscr{T}_{2}$, для которых $M_{i_{0}j_{0}}=:\Delta >0$ и, следовательно,

$$ \begin{equation*} M_{i_{0}}=\widehat{M}_{i_{0}}+\sum_{k\in\mathscr{T}_{2}}M_{i_{0}k}\geqslant 1+\Delta. \end{equation*} \notag $$

По тем же соображениям получаем, что существует $n_{0}$ такое, что

$$ \begin{equation*} M_{j_{0}i_{0}}^{(n_{0})}=\mathbb{E}Z_{j_{0}i_{0}}(n_{0})\geqslant \mathbb{P}\bigl( Z_{j_{0}i_{0}}(n_{0})>0\bigr) >0. \end{equation*} \notag $$

Обозначая $\Delta _{1}:=M_{i_{0}j_{0}}M_{j_{0}i_{0}}^{(n_{0})}>0$, имеем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \widehat{M}_{i_{0}}^{(n_{0}+1)} &=\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}M_{i_{0}k}^{(n_{0}+1)}=\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}\sum_{r\in \mathbb{N}}M_{i_{0}r}M_{rk}^{(n_{0})} \\ &=\sum_{r\in \mathbb{N}}M_{i_{0}r}\widehat{M}_{r}^{(n_{0})} =\sum_{r\in\mathscr{T}_{1}}M_{i_{0}r}\widehat{M}_{r}^{(n_{0})} +\sum_{r\in \mathbb{N}\setminus \mathscr{T}_{1}}M_{i_{0}r}\widehat{M}_{r}^{(n_{0})} \\ &\geqslant\sum_{r\in \mathscr{T}_{1}}M_{i_{0}r}+M_{i_{0}j_{0}}M_{j_{0}i_{0}}^{(n_{0})} =\widehat{M}_{i_{0}}+\Delta _{1}\geqslant 1+\Delta _{1}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Используя аналогичные рассуждения, заключаем, что для любого числа $q\,{\in}\,\mathbb{N}$

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \widehat{M}_{i_{0}}^{((q+1) n_{0}+q+1)} &=\sum_{k\in \mathscr{T}_{1}}\sum_{r\in \mathbb{N}}M_{i_{0}r}^{(qn_{0}+q)}M_{rk}^{(n_{0}+1)} \geqslant \sum_{r\in \mathscr{T}_{1}}M_{i_{0}r}^{(qn_{0}+q)}\widehat{M}_{r}^{(n_{0}+1)} \\ &\geqslant\widehat{M}_{i_{0}}^{(qn_{0}+q)}+\Delta_{1}M_{i_{0}i_{0}}^{(qn_{0}+q)} \geqslant \Delta_{1}\sum_{t=1}^{q}M_{i_{0}i_{0}}^{(tn_{0}+t)}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Поскольку матрица $\mathbf{M}$ является “$1$”-рекуррентной и “$1$”-положительной, то в силу (1.11)

$$ \begin{equation*} \sum_{t=1}^{\infty }M_{i_{0}i_{0}}^{(tn_{0}+t)}=\infty. \end{equation*} \notag $$
Отсюда следует, что при $q\to \infty $
$$ \begin{equation*} \widehat{M}_{i_{0}}^{(qn_{0}+q)}\to \infty, \end{equation*} \notag $$
что противоречит (2.2). Таким образом, если выполнено условие (2.9), то множество $\mathscr{T}_{2}$ может быть только пустым.

2) Предположим теперь, что выполнено условие (2.9) и $\mathscr{T}_{2}=\varnothing $. В этом случае $F_{i}(1;\mathbf{0})=F_{i}(\mathbf{0})=0$ для всех $i\in \mathbb{N}$. Следовательно, для всех $i\in \mathbb{N}$ производящие функции числа потомков могут быть записаны в виде

$$ \begin{equation*} F_{i}(\mathbf{s})=\sum_{\mathbf j\in \mathbb{N}_{0}^{\mathbb{N}} \setminus \{\mathbf{0}\}}p_{i\mathbf j}\mathbf{s}^{\mathbf j}, \qquad F_{i}(\mathbf{1})=\sum_{\mathbf j\in \mathbb{N}_{0}^{\mathbb{N} }\setminus \{\mathbf{0}\}}p_{i\mathbf j}=1. \end{equation*} \notag $$
Поэтому
$$ \begin{equation*} M_{i}=\widehat{M}_{i}=\sum_{\mathbf j\in \mathbb{N}_{0}^{\mathbb{N}}\setminus\{\mathbf{0}\}}\| \mathbf{j}\|_{1}p_{i\mathbf j}\geqslant 1 \end{equation*} \notag $$
для всех $i\in \mathbb{N}$, где $\| \mathbf{j}\|_{1}=j_{1}+j_{2}+\dotsb$. Нетрудно проверить, что случай $M_{i}=1$ при всех $i\in \mathbb{N}$ возможен только тогда, когда $p_{i\mathbf j}=0$ для всех $\|\mathbf{j}\|_{1}\geqslant 2$, т.е. для $\mathbf{F}(\mathbf{s})\equiv \mathbf{Ms}$, что противоречит нашим предположениям. Следовательно, существуют $i_{0}$ и $\mathbf{j}_{0}$, $\|\mathbf{j}_{0}\| _{1}\geqslant 2$, такие, что $p_{i_{0}\mathbf j _{0}}>0$. Ясно, что в этом случае $M_{i_{0}}>1$.

Далее, найдется $n_{0}$ такое, что $M_{i_{0}i_{0}}^{(n_{0})}=\Delta_{1}>0$. Повторяя теперь почти дословно аргументы, использованные при анализе случая $\mathscr{T}_{2}\neq\varnothing$, заключаем, что $M_{i_{0}}^{(n)}\to \infty $ при $n\to \infty $. Этот факт противоречит равномерной ограниченности величин $M_{i}^{(n)}$ для $i\in \mathbb{N}$. Таким образом, случай $\mathscr{T}_{2}=\varnothing $ также невозможен, если справедливо (2.9). Полученное противоречие доказывает (2.8).

Лемма 2 доказана.

Следующая лемма является уточнением леммы 2.

Лемма 3. Если $\mathbf{M}\in\mathscr{M}_{1}$ и $\mathbf{F} (\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$, то

$$ \begin{equation*} \mathbb{P}\Bigl(\lim_{n\to \infty }\|\mathbf{Z}_{i}(n)\|_{1}=0\Bigr) =1 \end{equation*} \notag $$
для всех $i\in\mathbb{N}$.

Доказательство. Заметим сначала, что
$$ \begin{equation} \mathbb{P}\Bigl(\lim_{n\to \infty }\|\mathbf Z_{i}(n)\|_{1}=\infty\Bigr) =0 \end{equation} \tag{2.10} $$
для всех $i\in \mathbb{N}$. Действительно, если бы это было не так, то при некотором $i$ было бы справедливо соотношение
$$ \begin{equation*} \limsup_{n\to \infty }M_{i}^{(n)}=\limsup_{n\to \infty } \mathbb{E}\|\mathbf Z_{i}(n)\|_{1}=\infty. \end{equation*} \notag $$

Таким образом, для доказательства леммы достаточно установить, что при наших условиях ветвящийся процесс обладает так называемым свойством дихотомии (см., например, [16; гл. II, §§ 6, 7])

$$ \begin{equation*} \mathbb{P}\Bigl( \lim_{n\to \infty }\|\mathbf Z_{i}(n)\|_{1}=\infty\Bigr) +\mathbb{P}\Bigl( \lim_{n\to \infty }\|\mathbf Z_{i}(n)\|_{1}=0\Bigr) =1. \end{equation*} \notag $$

Известно (см. условие 2.1 и доказательство предложения 2.2 в работе [17]), что если для каждого $k\in \mathbb{N}$ существуют индекс $m_{k}$ и положительное число $d_{k}$ такие, что

$$ \begin{equation} \inf_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}\bigl(\|\mathbf{Z}_{i}(m_{k})\|_{1}=0\mid 1\leqslant \|\mathbf{Z}_{i}(1)\|_{1}\leqslant k\bigr) \geqslant d_{k}, \end{equation} \tag{2.11} $$
то соответствующий процесс обладает свойством дихотомии.

Мы утверждаем, что соотношение (2.11) справедливо, если существуют индекс $m_{0}$ и число $d_{0}\in (0,1)$ такие, что

$$ \begin{equation} \inf_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}\bigl(\|\mathbf{Z}_{i}(m_{0})\| _{1}=0\bigr) \geqslant d_{0}. \end{equation} \tag{2.12} $$

Действительно, выберем $\mathbf{r}=(r_{j})_{j\in \mathbb{N}}\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}_{0}$ и рассмотрим множество событий $\mathscr{A}_{i,m}:=\{\|\mathbf{Z}_{i}(m)\|_{1}=0\}$ и

$$ \begin{equation*} \mathscr{B}_{i,k}:=\{1\leqslant \|\mathbf{Z}_{i}(1)\|_{1}\leqslant k\} =\sum_{1\leqslant \| \mathbf{r}\| _{1}\leqslant k}\{Z_{ij}=r_{j}\}_{j\in \mathbb{N} }=:\sum_{1\leqslant \| \mathbf{r}\| _{1}\leqslant k}\mathscr{B}_{i\mathbf{r}}. \end{equation*} \notag $$

Поскольку

$$ \begin{equation*} \mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,m_{0}+1}\mid \mathscr{B}_{i\mathbf{r}})=\prod_{j\in \mathbb{N}}\mathbb{P}^{r_{j}}(\mathscr{A}_{j,m_{0}})\geqslant d_{0}^{k} \end{equation*} \notag $$
при всех $i\in \mathbb{N}$, то применение формулы полной вероятности дает
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,m_{0}+1}\mid \mathscr{B}_{i,k}) &=\frac{\sum_{1\leqslant\|\mathbf{r}\| _{1}\leqslant k}\mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,m_{0}+1}\mathscr{B}_{i\mathbf{r}})} {\mathbb{P}(\mathscr{B}_{i,k})} \\ &=\frac{\sum_{1\leqslant \| \mathbf{r}\| _{1}\leqslant k} \mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,m_{0}+1}\mid \mathscr{B}_{i\mathbf{r}})\mathbb{P}(\mathscr{B}_{i\mathbf{r}})}{\mathbb{P}(\mathscr{B}_{i,k})} \geqslant d_{0}^{k}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Эта оценка доказывает (2.11) при $m_{k}=m_{0}+1$ и $d_{k}=d_{0}^{k}$.

Покажем теперь, что оценка (2.12) действительно имеет место в условиях леммы 3.

Согласно первому равенству в условии (iii) из определения 2 и неравенству (2.3) для любого $\varepsilon \in (0,1)$ существует $N=N(\varepsilon )$ такое, что

$$ \begin{equation} \sup_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}\biggl(\sum_{j>N}Z_{ij}>0\biggr) \leqslant \sup_{i\in \mathbb{N}}\sum_{j>N}M_{ij}\leqslant \varepsilon \sup_{i\in \mathbb{N}}M_{i}\leqslant \varepsilon W. \end{equation} \tag{2.13} $$

Мы разделим множество типов частиц на две группы, $\mathrm{T}_{1}:= \{j\leqslant N\}$ и $\mathrm{T}_{2}:=\{j>N\}$, и рассмотрим множества

$$ \begin{equation*} \mathscr{A}_{i,m}^{\mathrm{T}_{1}}:=\biggl\{ \sum_{j\leqslant N}Z_{ij}(m)=0\biggr\}, \qquad \mathscr{A}_{i,m}^{\mathrm{T} _{2}}:=\biggl\{ \sum_{j>N}Z_{ij}(m)=0\biggr\}. \end{equation*} \notag $$

В силу (2.13) имеем

$$ \begin{equation} P_{2}(1):=\inf_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,1}^{\mathrm{T}_{2}}) \geqslant 1-\varepsilon W. \end{equation} \tag{2.14} $$

Ввиду второго равенства в условии (iii) из определения 2 для любого $\varepsilon \in (0,1)$ найдется натуральное число $K=K(\varepsilon )$ такое, что

$$ \begin{equation} \sup_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{E}[ Z_{i};\,Z_{i}>K] \leqslant \varepsilon M_{i}\leqslant \varepsilon W. \end{equation} \tag{2.15} $$

Аналогично (2.14) имеем

$$ \begin{equation} \inf_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}(Z_{i}\leqslant K)\geqslant 1-\varepsilon W. \end{equation} \tag{2.16} $$

Согласно лемме 2 для каждого $i$ существует $n(i)$ такое, что $Q_{i}(n(i);\,\mathbf{0})<1$. Таким образом, существуют $n_{0}$ и $\theta \in (0,1)$ такие, что для всех $i\in\mathrm{T}_{1}$ и $n\geqslant n_{0}$

$$ \begin{equation} Q_{i}(n;\mathbf{0})\leqslant Q_{i}(n_{0};\mathbf{0})\leqslant 1-\theta <1 \end{equation} \tag{2.17} $$
или
$$ \begin{equation} P_{1}(n):=\inf_{i\in \mathrm{T}_{1}}\mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,n})>\theta >0 \end{equation} \tag{2.18} $$
при $n\geqslant n_{0}$.

Очевидно, что если $\mathscr{B}_{1}$ и $\mathscr{B}_{2}$ – два таких события, что $\mathbb{P}(\mathscr{B}_{1})>1-\sigma _{1}$ и $\mathbb{P} (\mathscr{B}_{2})>1-\sigma_{2}$ для некоторых констант $\sigma_{1}, \sigma_{2}\in(0,1)$, то справедливо неравенство $\mathbb{P}(\mathscr{B}_{1}\mathscr{B}_{2})>1- \sigma _{1}-\sigma _{2}$. Используя это простое наблюдение и вспоминая (2.14) и (2.16), заключаем, что

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \inf_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,n_{0}+1}) &\geqslant\inf_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,n_{0}+1};\,Z_{i}\leqslant K, \mathscr{A}_{i,1}^{\mathrm{T}_{2}}) \\ &\geqslant \inf_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{P}(\mathscr{A}_{i,n_{0}+1}\mid Z_{i}\leqslant K,\mathscr{A}_{i,1}^{\mathrm{T}_{2}})(1-2\varepsilon W) \\ &\geqslant \inf_{i\in \mathrm{T}_{1}}\mathbb{P}^{K}(\mathscr{A}_{i,n_{0}}) (1-2\varepsilon W)\geqslant \theta ^{K}(1-2\varepsilon W). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Выбирая $\varepsilon \in (0,0.5W^{-1})$, убеждаемся в справедливости оценки (2.12), что и завершает доказательство леммы 3.

Лемма 3 позволяет убедиться в справедливости следующего результата.

Лемма 4. Если $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}$ и $\mathbf{F} (\mathbf{s})\neq\mathbf{Ms}$, то $F_{i}(n;\mathbf{s})\to 1$ при $n\to\infty$ равномерно по $i\in\mathbb{N}$ и $\mathbf{s}\in(0,1]^{\mathbb{N}}$.

Доказательство. Ясно, что
$$ \begin{equation*} F_{i}(n;\mathbf{s})=\mathbb{E}\biggl[\prod_{j\in \mathbb{N}}s_{j}^{Z_{ij}(n)}\biggr] \geqslant \mathbb{P}(\|\mathbf{Z}_{i}(n)\|_{1}=0). \end{equation*} \notag $$

Вспоминая лемму 3, мы видим, что для любого фиксированного $i\in \mathbb{N}$

$$ \begin{equation} \sup_{s\in [ 0,1]^{\mathbb{N}}}( 1-F_{i}(n;\mathbf{s})) =\sup_{s\in [ 0,1]^{\mathbb{N}}}Q_{i}(n;\mathbf{s})\leqslant Q_{i}(n; \mathbf{0})\to 0 \end{equation} \tag{2.19} $$
при $n\to \infty $. Покажем, что сходимость в (2.19) является равномерной по $i\in \mathbb{N}$.

Поскольку

$$ \begin{equation*} \mathbf{1}-\mathbf{F}(n;\mathbf{s})=\mathbf{1}-\mathbf{F}(1;\mathbf{F}(n-1; \mathbf{s}))\leqslant \mathbf{M}(\mathbf{1}-\mathbf{F}(n-1;\mathbf{s})), \end{equation*} \notag $$
то для любого $N\in \mathbb{N}$
$$ \begin{equation} Q_{i}(n;\mathbf{s})\leqslant \sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}Q_{j}(n-1;\mathbf{s}) \leqslant \sum_{j\leqslant N}M_{ij}Q_{j}(n-1;\mathbf{s})+\sum_{j>N}M_{ij}. \end{equation} \tag{2.20} $$

В силу условия (iii) из определения 2, описывающего свойства матриц, принадлежащих классу $\mathscr{M}_{1}$, для любого $\varepsilon >0$ найдется число $N=N(\varepsilon)$, удовлетворяющее оценке (2.4). С другой стороны, для фиксированного $N$ и $i\in \mathbb{N}$

$$ \begin{equation} \sum_{j\leqslant N}M_{ij}\leqslant \frac{\sum_{j\leqslant N}M_{ij}u_{j}}{\min_{k\leqslant N}u_{k}} \leqslant \frac{\sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}u_{j}}{\min_{k\leqslant N}u_{k}} =\frac{u_{i}}{\min_{k\leqslant N}u_{k}}\leqslant \frac{U}{\min_{k\leqslant N}u_{k}}. \end{equation} \tag{2.21} $$

Лемма 3 и оценки (2.19)(2.21) приводят к неравенствам

$$ \begin{equation*} \sup_{\mathbf{s}\in [ 0,1]^{\mathbb{N}},\,i\in \mathbb{N}}Q_{i}(n; \mathbf{s})\leqslant \frac{U}{{\min_{k\leqslant N}u_{k}}}\sup_{j\leqslant N}Q_{j}(n-1;\mathbf{0})+\varepsilon \leqslant 2\varepsilon, \end{equation*} \notag $$
справедливым для всех достаточно больших значений $n$.

Лемма 4 доказана.

§ 3. Предельная теорема для отношений

Положим $\mathbf{S}:=\{ \mathbf{s}\in [ 0,1]^{\mathbb{N}},\,\mathbf{s}\neq\mathbf{1}\}$.

Следующая важная теорема является бесконечномерным аналогом теоремы 1 из [18; гл. VI, § 1] и позволяет свести задачу исследования асимптотических свойств производящих функций $F_{i}(n;\mathbf{s})$ к анализу асимптотического поведения функции $\Phi(q(n;\mathbf{s}))$.

Теорема 2. Пусть $\{ \mathbf{Z}_{i}(n),\,i\in \mathbb{N}\}$ – критический ВПГВ/$\infty$ с матрицей средних $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}^{0}$ и $\mathbf{F}(\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$. Тогда

$$ \begin{equation} \lim_{n\to \infty }\sup_{s\in \mathbf{S},\,i\in \mathbb{N}} \biggl|\frac{Q_{i}(n;\mathbf{s})}{u_{i}q(n;\mathbf{s})}-1\biggr| =0. \end{equation} \tag{3.1} $$

Для справедливости соотношения (3.1) в случае процессов со счетным множеством типов частиц наряду со стандартными условиями (i) из определения 2, наложенными на матрицу средних, необходимы дополнительные условия (iii) и (iv), которые фактически обеспечивают желаемую равномерную сходимость по $i\in \mathbb{N}$. Эти дополнительные условия выполняются автоматически для процессов Гальтона–Ватсона с конечным числом типов частиц.

Мы разобьем доказательство теоремы 2 на несколько лемм.

Для бесконечномерного вектора $\mathbf{s}\,{=}\,(s_{j})_{j\,\in\mathbb{N}}\,{\in}\, [0,1]^{\mathbb{N}}$ введем обозначение $\mathbf{s}_{j}:=(s_{i} \delta _{ij}+1-\delta _{ij})_{i\in \mathbb{N}}$. Положим

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, F_{ij}(s_{j}):=F_{i}(\mathbf{s}_{j})=\mathbb{E}s_{j}^{Z_{ij}}, \qquad Q_{ij}(s_{j}):=Q_{i}(\mathbf{s}_{j})=1-\mathbb{E}s_{j}^{Z_{ij}}, \\ \mathscr{N}_{ij}(\mathbf{s}) :=\sum_{k=0}^{Z_{ij}-1}s_{j}^{k}\biggl(1-\prod_{l=j+1}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}\biggr) =\frac{1-s_{j}^{Z_{ij}}}{1-s_{j}}\biggl( 1-\prod_{l=j+1}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}\biggr) , \\ N_{ij}(\mathbf{s}):=\mathbb{E}\mathscr{N}_{ij}(\mathbf{s}). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Лемма 5. Если все элементы матрицы средних $\mathbf{M}=(\mathbb{E}Z_{ij})_{i,j\in \mathbb{N}}$ конечны, то для каждого $i\in \mathbb{N}$ справедливо следующее представление:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, Q_{i}(\mathbf{s}) &=\sum_{j\in \mathbb{N}}\mathbb{E}(1-s_{j}^{Z_{ij}})-\sum_{j\in \mathbb{N}}(1-s_{j})\mathbb{E} \biggl[\sum_{k=0}^{Z_{ij}-1}s_{j}^{k}\biggl(1-\prod_{l=j+1}^{\infty}s_{l}^{Z_{il}}\biggr)\biggr] \notag \\ &=\sum_{j\in \mathbb{N}}Q_{ij}(s_{j})-\sum_{j\in \mathbb{N}}(1-s_{j})N_{ij} (\mathbf{s}). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.2} $$

Доказательство. Используя определения функций в (1.2), запишем следующую цепочку очевидных преобразований:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, 1-\prod_{l=1}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}} &=(1-s_{1}^{Z_{i1}})-( 1-s_{1}^{Z_{i1}})\biggl( 1-\prod_{l=2}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}\biggr) +1-\prod_{l=2}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}} \notag \\ &=(1-s_{1}^{Z_{i1}})-(1-s_{1})\sum_{k=0}^{Z_{i1}-1}s_{1}^{k} \biggl(1-\prod_{l=2}^{\infty}s_{l}^{Z_{il}}\biggr) +\biggl[ 1-\prod_{l=2}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}\biggr] \notag \\ &=(1-s_{1}^{Z_{i1}})-(1-s_{1})\mathscr{N}_{i1}(\mathbf{s})+\biggl[1-\prod_{l=2}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}\biggr]. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.3} $$

Заметим, что все слагаемые, входящие в эту цепочку, имеют конечные математические ожидания, и, следовательно,

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag Q_{i}(\mathbf{s}) &=1-F_{i}(\mathbf{s})=\mathbb{E}\biggl(1-\prod_{l=1}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}\biggr) \\ & =\mathbb{E}\biggl(1-\prod_{l=2}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}\biggr) +Q_{i1}(s_{1})-(1-s_{1})N_{i1}(\mathbf{s}). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.4} $$

Применяя к первому слагаемому из правой части формулы (3.4) цепочку преобразований, аналогичную (3.3), и повторяя эту процедуру для $1-\prod_{l=j+1}^{\infty }s_{l}^{Z_{il}}$, где параметр $j\in \mathbb{N}\setminus \{1\}$ последовательно принимает значения, увеличивающиеся на 1, получаем желаемое равенство

$$ \begin{equation*} Q_{i}(\mathbf{s})=\sum_{j\in \mathbb{N}}Q_{ij}(s_{j})-\sum_{j \in \mathbb{N}}N_{ij}(\mathbf{s})(1-s_{j}). \end{equation*} \notag $$

Лемма доказана.

Теорема 3. Пусть $\{\mathbf{Z}_{i}(n),\,i\in \mathbb{N}\}$ – критический ВПГВ/$\infty$ с матрицей средних $\mathbf{M}\in\mathscr{M}_{1}$ и $\mathbf{F}(\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$. Тогда

$$ \begin{equation} \lim_{z\uparrow 1}\sup_{i\in \mathbb{N}}\frac{(1-z)\mathbb{E}Z_{i}-\mathbb{E} (1-z^{Z_{i}})}{(1-z)\mathbb{E}Z_{i}}=0 \end{equation} \tag{3.5} $$
и, кроме того,
$$ \begin{equation*} \lim_{z\uparrow 1}\sup_{i\in \mathbb{N}}\frac{(1-z)\mathbb{E}Z_{i}- \sum_{j\in \mathbb{N}}\mathbb{E}(1-z^{Z_{ij}})}{(1-z)\mathbb{E}Z_{i}} =0. \end{equation*} \notag $$

Замечание 3. Утверждение теоремы 3 всегда справедливо для ветвящегося процесса Гальтона–Ватсона с конечным числом типов частиц. Однако для случая ВПГВ/$\infty $ это, вообще говоря, не так. Именно поэтому нам пришлось потребовать выполнения условия (iii) из определения 2.

Доказательство теоремы 3. Так как
$$ \begin{equation*} \mathbb{E}(1-z^{Z_{i}})\leqslant \sum_{j\in \mathbb{N}}\mathbb{E} (1-z^{Z_{ij}}) \leqslant \sum_{j\in \mathbb{N}}(1-z)\mathbb{E}Z_{ij}=(1-z) \mathbb{E}Z_{i}, \end{equation*} \notag $$
то достаточно доказать лишь соотношение (3.5). Согласно второй части условия (iii) из определения 2 для любого $\varepsilon >0$ существует натуральное число $K=K(\varepsilon)$ такое, что
$$ \begin{equation} 0\leqslant \sup_{i\in\mathbb{N}}M_{i}^{-1}\mathbb{E}\bigl[(1-z)Z_{i}-(1-z^{Z_{i}});\,Z_{i}>K\bigr] \leqslant\frac{\varepsilon (1-z)}2. \end{equation} \tag{3.6} $$

С другой стороны, для любого фиксированного $k\leqslant K$ справедливо представление

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, k(1-z)-(1-z^{k}) &=(1-z)\biggl( k-\sum_{j=0}^{k-1}z^{j}\biggr) \\ &\leqslant(1-z)\biggl(K-\sum_{j=0}^{K-1}z^{j}\biggr)=o(1-z),\quad z\uparrow 1. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Поскольку $\mathbb{P}( 0<Z_{i}\leqslant K)\leqslant \mathbb{E}Z_{i}=M_{i}$ для любого фиксированного $K\in \mathbb{N}$, то
$$ \begin{equation*} 0\leqslant \sup_{i\in \mathbb{N}}M_{i}^{-1}\mathbb{E}\bigl[(1-z)Z_{i}-(1-z^{Z_{i}});\,Z_{i}\leqslant K\bigr]=o(1-z),\quad z\uparrow 1. \end{equation*} \notag $$

Таким образом, для $\varepsilon\,{>}\,0$ и $K\,{=}\,K(\varepsilon)$, выбранных выше, можно найти число $\Delta >0$ такое, что для $0\leqslant 1-z<\Delta $

$$ \begin{equation} 0\leqslant \sup_{i\in \mathbb{N}}M_{i}^{-1}\mathbb{E}\bigl[(1-z)Z_{i}-(1-z^{Z_{i}});\,Z_{i}\leqslant K\bigr] \leqslant \frac{\varepsilon (1-z)}2. \end{equation} \tag{3.7} $$

Объединяя (3.6) и (3.7), получаем соотношение (3.5).

Теорема доказана.

Нам понадобятся следующие обозначения:

$$ \begin{equation*} \mathscr{Q}_{n}=\mathscr{Q}(n;\mathbf{s}):=\sup_{i\in \mathbb{N}}Q_{i}(n;\mathbf{s}), \qquad \mathscr{F}_{n}=\mathscr{F}(n; \mathbf{s}):=\inf_{i\in \mathbb{N}}F_{i}(n;\mathbf{s}). \end{equation*} \notag $$

Лемма 6. Пусть $\{ \mathbf{Z}_{i}(n),\,i\in \mathbb{N}\}$ – критический ВПГВ/$\infty $ с матрицей средних $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}^{0}$ и $\mathbf{F}(\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$. Тогда для каждого $i$ справедливо представление

$$ \begin{equation} \sum_{j\in \mathbb{N}}Q_{j}(n;\mathbf{s})N_{ij}(\mathbf{F}(n;\mathbf{s})) =:M_{i}\epsilon _{1,i}(\mathbf{Q}(n;\mathbf{s})), \end{equation} \tag{3.8} $$
в котором
$$ \begin{equation*} \lim_{n\to \infty }\sup_{s\in \mathbf{S},\,i\in \mathbb{N}}\frac{ |\epsilon _{1,i}(\mathbf{Q}(n;\mathbf{s}))|}{\mathscr{Q}(n;\mathbf{s})}=0. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Напомним, что $\sup_{i\in \mathbb{N}}M_{i}<\infty $ согласно (2.2). По определению
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &Q_{j}(n;\mathbf{s})N_{ij}(\mathbf{F}(n;\mathbf{s})) =\mathbb{E}\biggl[\bigl( 1-F_{j}^{Z_{ij}}(n;\mathbf{s})\bigr) \biggl( 1-\prod_{l=j+1}^{\infty }F_{l}^{Z_{il}}(n;\mathbf{s})\biggr) \biggr] \\ &\qquad \leqslant \mathbb{E}\biggl[ (1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{ij}})\biggl( 1-\prod_{l=j+1}^{\infty }\mathscr{F}_{n}^{Z_{il}}\biggr)\biggr] =\mathbb{E}\Bigl[ \bigl(1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{ij}}\bigr)\Bigl( 1-\mathscr{F}_{n}^{\sum_{l>j}Z_{il}}\Bigr) \Bigr]. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Используя равенство $(1\,{-}\,x)(1\,{-}\,y)\,{=}\,1\,{-}\,x\,{+}\,1\,{-}\,y\,{-}\,1\,{+}\,xy$, легко видеть, что
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &Q_{j}(n;\mathbf{s})N_{ij}(\mathbf{F}(n;\mathbf{s})) \leqslant \mathbb{E}\Bigl[ (1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{ij}})\Bigl( 1-\mathscr{F}_{n}^{\sum_{l>j}Z_{il}}\Bigr) \Bigr] \notag \\ &\qquad=\mathbb{E}(1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{ij}} +\mathbb{E}\Bigl(1-\mathscr{F}_{n}^{\sum_{l>j}Z_{il}}\Bigr) -\mathbb{E}\Bigl(1-\mathscr{F}_{n}^{\sum_{l\geqslant j} Z_{il}}\Bigr). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.9} $$

Из (3.9) получаем

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, 0 &\leqslant \sum_{j\in \mathbb{N}}Q_{j}(n;\mathbf{s})N_{ij}(\mathbf{F}(n;\mathbf{s})) \notag \\ &\leqslant\sum_{j\in \mathbb{N}}\Bigl( \mathbb{E}( 1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{ij}}) +\mathbb{E}\Bigl( 1-\mathscr{F}_{n}^{\sum_{l>j}Z_{il}}\Bigr) -\mathbb{E}\Bigl( 1-\mathscr{F}_{n}^{\sum_{l\geqslant j}Z_{il}}\Bigr)\Bigr) \notag \\ &=\sum_{j\in \mathbb{N}}\mathbb{E}(1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{ij}}) -\mathbb{E}\Bigl( 1-\mathscr{F}_{n}^{\sum_{l\in \mathbb{N}}Z_{il}}\Bigr) \leqslant \sum_{j\in \mathbb{N}}\mathbb{E}Z_{ij}\mathscr{Q}_{n}-\mathbb{E}(1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{i}}) \notag \\ &=\mathbb{E}Z_{i}\mathscr{Q}_{n}-\mathbb{E}(1-\mathscr{F}_{n}^{Z_{i}}). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.10} $$
Заметим, что ряд во второй строке формулы (3.10) сходится равномерно по $i\in \mathbb{N}$ в силу оценок
$$ \begin{equation*} \mathbb{E}\Bigl( 1-w^{\sum_{l\geqslant j}Z_{il}}\Bigr) -\mathbb{E}\Bigl(1-w^{\sum_{l>j}Z_{il}}\Bigr) \leqslant \mathbb{E}(1-w^{Z_{ij}})\leqslant \mathbb{E}Z_{ij}(1-w). \end{equation*} \notag $$

Используя (3.5) при $x=\mathscr{Q}(n;\mathbf{s})$, получаем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, 0 &\leqslant \lim_{n\to \infty }\sup_{s\in \mathbf{S},\,i\in \mathbb{N}} \frac{\sum_{j\in \mathbb{N}}Q_{j}(n;\mathbf{s})N_{ij}(\mathbf{F}(n; \mathbf{s}))}{M_{i}\mathscr{Q}(n;\mathbf{s})} \\ &\leqslant \lim_{n\to \infty }\sup_{s\in \mathbf{S},\,i\in \mathbb{N}} \frac{\mathbb{E}Z_{i}\mathscr{Q}(n;\mathbf{s})-\mathbb{E}( 1-\mathscr{F}^{Z_{i}}(n;\mathbf{s})) }{M_{i}\mathscr{Q}(n;\mathbf{s})}=0, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

что и требовалось.

Лемма доказана.

Лемма 7. Пусть $\{ \mathbf{Z}_{i}(n),\,i\in \mathbb{N}\} $ – критический ВПГВ/$\infty $ с матрицей средних $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}$ и $\mathbf{F}(\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$. Тогда для каждого $i\in \mathbb{N}$ справедливо представление

$$ \begin{equation*} \sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}(1-s_{j})-\sum_{j\in \mathbb{N} }Q_{ij}(s_{j})=:M_{i}\epsilon _{2,i}(\mathbf{1}-\mathbf{s}), \end{equation*} \notag $$
в котором
$$ \begin{equation*} \lim_{s\in \mathbf{S,}\| \mathbf{1}-\mathbf{s}\| _{\infty }\to 0}\sup_{i\in \mathbb{N}}\frac{|\epsilon _{2,i}(\mathbf{1}-\mathbf{s})|}{\| \mathbf{1}-\mathbf{s}\| _{\infty }}=0. \end{equation*} \notag $$
Кроме того,
$$ \begin{equation} \sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}Q_{j}(n-1;\mathbf{s})-\sum_{j\in \mathbb{N}}Q_{ij}(F_{j}(n-1;\mathbf{s})) =M_{i}\epsilon _{2,i}(\mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s})), \end{equation} \tag{3.11} $$
где
$$ \begin{equation*} \lim_{n\to \infty }\sup_{s\in \mathbf{S},\,i\in \mathbb{N}}\frac{|\epsilon _{2,i}(\mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s}))|}{\mathscr{Q}(n-1;\mathbf{s})}=0. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Рассмотрим функцию
$$ \begin{equation*} f_{ij}(s_{j}):=M_{ij}(1-s_{j})-Q_{ij}(s_{j})=\mathbb{E}[Z_{ij}(1-s_{j})-1+s_{j}^{Z_{ij}}], \end{equation*} \notag $$
имеющую частные производные
$$ \begin{equation*} \frac{\partial f_{ij}(s_{j})}{\partial s_{j}}=\mathbb{E}[Z_{ij}(s_{j}^{Z_{ij}-1}-1)] \leqslant 0, \qquad j\in \mathbb{N}. \end{equation*} \notag $$

Из этого неравенства вытекает, что функция $f_{ij}(s_{j})$ является невозрастающей, причем $f_{ij}(1)=0$ в силу определения. Следовательно, $f_{ij}(s_{j})\geqslant 0$ для $s_{j}\in [ 0,1]$. Отсюда и из определения функции $f_{ij}(s)$ нетрудно заключить, что

$$ \begin{equation*} f_{ij}(s_{j})\leqslant f_{ij}(1-\| \mathbf{1}-\mathbf{s}\| _{\infty })= \mathbb{E}\bigl[Z_{ij}\| \mathbf{1}-\mathbf{s}\| _{\infty }-1 +(1-\| \mathbf{1}-\mathbf{s}\| _{\infty })^{Z_{ij}}\bigr], \end{equation*} \notag $$
и утверждение леммы 7 очевидным образом следует из теоремы 3.

Теперь мы получим оценки для величин $Q_{i}(n;\mathbf{s})$, $i\in\mathbb{N}$, в терминах функции $Q_{1}(n;\mathbf{s})$.

Лемма 8. Пусть $\{ \mathbf{Z}_{i}(n),\,i\in \mathbb{N}\} $ – критический ВПГВ/$\infty$ с матрицей средних $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}^{0}$ и $\mathbf{F}(\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$. Тогда найдутся такие константы $C_{1}$ и $C_{2}$, что для всех достаточно больших значений $n$

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, Q_{i}(n;\mathbf{s})\leqslant C_{1}u_{i}Q_{1}(n;\mathbf{s}) \quad\forall \,i\in \mathbb{N}, \\ \mathscr{Q}(n;\mathbf{s})\leqslant C_{2}Q_{1}(n;\mathbf{s}). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Используя соотношение (3.2), в котором аргумент $\mathbf{s}$ заменен на $\mathbf{F}(n-1;\mathbf{s})$, и соотношение (3.8), в котором функция $\mathbf{F}(n;\mathbf{s})$ заменена на $\mathbf{F}(n-1;\mathbf{s})$, а также принимая во внимание (3.11), приходим к соотношению
$$ \begin{equation} Q_{i}(n;\mathbf{s})=\sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}Q_{j}(n-1;\mathbf{s} )+M_{i}\epsilon _{i}(\mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s})), \end{equation} \tag{3.12} $$
где $\epsilon _{i}(\mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s}))=\epsilon _{1,i}(\mathbf{Q} (n-1;\mathbf{s}))+\epsilon _{2,i}(\mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s}))$ и
$$ \begin{equation} \lim_{n\to \infty }\sup_{s\in \mathbf{S},\,i\in \mathbb{N}}\frac{|\epsilon _{i}(\mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s}))|}{\mathscr{Q} (n-1;\mathbf{s})}=0. \end{equation} \tag{3.13} $$

Умножая левую и правую части соотношения (3.12) на $v_{i}$ и суммируя полученные равенства по $i$, получаем

$$ \begin{equation} q(n;\mathbf{s})=\mathbf{vQ}^{\top}(n;\mathbf{s})=q(n-1;\mathbf{s})+\epsilon ( \mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s})), \end{equation} \tag{3.14} $$
где
$$ \begin{equation*} \epsilon (\mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s})):=\sum_{i\in \mathbb{N} }v_{i}M_{i}\epsilon _{i}(\mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s})). \end{equation*} \notag $$

В силу (3.13)

$$ \begin{equation} \lim_{n\to \infty }\sup_{s\in \mathbf{S}}\frac{|\epsilon (\mathbf{Q}(n-1;\mathbf{s}))|}{\mathscr{Q}(n-1;\mathbf{s})}=0. \end{equation} \tag{3.15} $$

Из представления (3.12) и оценки (2.2) следует, что при достаточно больших $n$ справедливы неравенства

$$ \begin{equation} Q_{i}(n;\mathbf{s})\leqslant 2M_{i}\mathscr{Q}_{n-1}, \qquad \mathscr{Q}_{n}\leqslant 2\mathfrak{m}\mathscr{Q}_{n-1}. \end{equation} \tag{3.16} $$

Применяя (3.12) для $n$, последовательно принимающих значения $n+1,\ldots, n+l$, приходим к соотношению

$$ \begin{equation} Q_{i}(n+l;\mathbf{s})=M_{i}\epsilon _{i}^{\ast }(n,l;\mathbf{s})+\sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}^{(l)}Q_{j}(n;\mathbf{s}), \end{equation} \tag{3.17} $$
в котором
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, M_{i}\epsilon _{i}^{\ast }(n,1;\mathbf{s})=M_{i}\epsilon _{i}(\mathbf{Q}(n;\mathbf{s})), \\ M_{i}\epsilon _{i}^{\ast }(n,k;\mathbf{s})=\sum_{j\in \mathbb{N}}M_{ij}M_{j}\epsilon _{j}^{\ast }(n,k-1;\mathbf{s})+M_{i}\epsilon _{i}( \mathbf{Q}(n+k-1;\mathbf{s})), \qquad k>1. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Ввиду (3.13), (3.16) и (2.2) имеем

$$ \begin{equation*} \lim_{n\to \infty }\sup_{s\in \mathbf{S},\,i\in \mathbb{N}}\frac{ |\epsilon _{i}^{\ast }(n,l;\mathbf{s})|}{\mathscr{Q}(n;\mathbf{s})}=0. \end{equation*} \notag $$

Поскольку $\mathbf{M}\in\mathscr{M}_{1}^{0}$, то, вспоминая первое неравенство из (1.12), заключаем, что

$$ \begin{equation} M_{ij}^{(n)}=\sum_{k\in \mathbb{N}}M_{ik}M_{kj}^{(n-1)}\leqslant Cu_{i}\sum_{k\in \mathbb{N}}v_{k}M_{kj}^{(n-1)}=Cu_{i}v_{j} \quad \forall\, i,j\in \mathbb{N}. \end{equation} \tag{3.18} $$

Далее, используя второе неравенство из (1.12) для соответствующего $m\in\mathbb{N}$, получаем

$$ \begin{equation} M_{1j}^{(n+m)}=\sum_{k\in \mathbb{N}}M_{1k}^{(m)}M_{kj}^{(n)}\geqslant c\sum_{k\in \mathbb{N}}v_{k}M_{kj}^{(n)}=cv_{j} \quad \forall\, j\in \mathbb{N}. \end{equation} \tag{3.19} $$

Зафиксируем $l\geqslant m$. Соотношения (3.18) и (3.19) влекут неравенства

$$ \begin{equation*} M_{ij}^{(l)}\leqslant Cu_{i}v_{j}\leqslant \frac{CM_{1j}^{(l)}u_{i}}{c} \quad\forall\,i,j\in \mathbb{N}. \end{equation*} \notag $$

Отсюда, используя (3.17), выводим оценку

$$ \begin{equation} Q_{i}(n+l;\mathbf{s})\leqslant \frac{2Cu_{i}}{c}\sum_{j\in \mathbb{N} }M_{1j}^{(l)} Q_{j}(n;\mathbf{s}) \quad\forall\, i\in \mathbb{N}, \end{equation} \tag{3.20} $$
которая в силу соотношения $\|\mathbf{u}\|_{\infty }=U<\infty$ приводит к неравенству
$$ \begin{equation} \mathscr{Q}(n+l;\mathbf{s})=\mathscr{Q}_{n+l}\leqslant \frac{2CU}{c}\sum_{j\in \mathbb{N}} M_{1j}^{(l)}Q_{j}(n;\mathbf{s}). \end{equation} \tag{3.21} $$

Используя теперь (3.17) с $i=1$, несложно получить следующие уточнения соотношений (3.20) и (3.21):

$$ \begin{equation} Q_{i}(n+l;\mathbf{s})\leqslant \frac{4Cu_{i}}{c}Q_{1}(n+l;\mathbf{s}) \quad \forall\, i\in \mathbb{N}, \end{equation} \tag{3.22} $$
$$ \begin{equation} \mathscr{Q}_{n+l}=\mathscr{Q}(n+l;\mathbf{s})\leqslant \frac{4CU}{c}Q_{1}(n+l;\mathbf{s}). \end{equation} \tag{3.23} $$

Лемма 8 доказана.

Лемма 9. Если $\mathbf{M}\in \mathscr{M}_{1}^{0}$ и $\mathbf{F}(\mathbf{s})\neq \mathbf{Ms}$, то для любого фиксированного $n\in\mathbb{N}$

$$ \begin{equation} \lim_{N\to \infty }\sup_{s\in \mathbf{S}}\frac{1}{q(n;\mathbf{s})} \sum_{j=N+1}^{\infty }v_{j}Q_{j}(n;\mathbf{s})=0 \end{equation} \tag{3.24} $$
и для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $l_{0}=l_{0}(\varepsilon)\in\mathbb{N}$, что
$$ \begin{equation} |Q_{i}(n+l_{0};\mathbf{s})-u_{i}q(n;\mathbf{s})| \leqslant \varepsilon u_{i}q(n;\mathbf{s}), \end{equation} \tag{3.25} $$
$$ \begin{equation} |q(n+l_{0};\mathbf{s})-q(n;\mathbf{s})|\leqslant \varepsilon q(n;\mathbf{s}) \end{equation} \tag{3.26} $$
при всех $i\in \mathbb{N}$ и $n>n_{0}$.

Доказательство. Ясно, что
$$ \begin{equation*} q(n;\mathbf{s})\geqslant v_{1}Q_{1}(n;\mathbf{s}), \qquad \mathbf{s}\in(0,1]^{\mathbb{N}}. \end{equation*} \notag $$
С другой стороны, оценка (3.23) и условия (1.13) позволяют заключить, что для достаточно больших значений $n$ справедлива оценка
$$ \begin{equation*} q(n;\mathbf{s})\leqslant \frac{4CU}{c}Q_{1}(n;\mathbf{s}). \end{equation*} \notag $$
Следовательно, функции $q(n;\mathbf{s})$ и $Q_{1}(n;\mathbf{s})$ имеют один и тот же порядок при $n\to\infty$. Этот факт, оценка (3.22) и сходимость ряда $\sum_{i=1}^{\infty}v_{i}$ влекут (3.24).

Таким образом,

$$ \begin{equation*} 0<\liminf_{n\to \infty }\inf_{s\in\mathbf{S}}\frac{q(n;\mathbf{s})} {Q_{1}(n;\mathbf{s})} \leqslant\limsup_{n\to \infty }\sup_{s\in\mathbf{S}}\frac{q(n;\mathbf{s})}{Q_{1}(n;\mathbf{s})}<\infty. \end{equation*} \notag $$
Мы коротко будем записывать эти соотношения в виде
$$ \begin{equation} q(n;\mathbf{s})\asymp Q_{1}(n;\mathbf{s}),\qquad n\to\infty. \end{equation} \tag{3.27} $$

Сходные обозначения будут использоваться и в других аналогичных ситуациях. Учитывая неравенство (3.23) и определение величины $\mathscr{Q}(n+l;\mathbf{s})$, мы будем писать

$$ \begin{equation} \mathscr{Q}_{n+l}=\mathscr{Q}(n+l;\mathbf{s}) \asymp Q_{1}(n+l;\mathbf{s}),\qquad n\to\infty, \end{equation} \tag{3.28} $$
для любого фиксированного $l$.

Принимая во внимание условие (iv) из определения 2 и соотношение (3.28), преобразуем (3.17) к виду

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &Q_{i}(n+l;\mathbf{s})-u_{i}q(n;\mathbf{s})-M_{i}\epsilon _{i}^{\ast }(n,l; \mathbf{s}) \\ \notag &\qquad =\sum_{j=1}^{N}(M_{ij}^{(l)}-u_{i}v_{j})Q_{j}(n;\mathbf{s})- \sum_{j=N+1}^{\infty} u_{i}v_{j}Q_{j}(n;\mathbf{s})+\sum_{j=N+1}^{\infty }M_{ij}^{(l)}Q_{j}(n;\mathbf{s}) \\ &\qquad =:I_{1}(i,N,l,n;\mathbf{s})+I_{2}(i,N,n;\mathbf{s})+I_{3}(i,N,l,n;\mathbf{s}). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.29} $$

Оценки (3.18), (3.23), (3.27), (3.28) и равенство $\mathbf{v1}^{\top}=1$ позволяют заключить, что

$$ \begin{equation} \lim_{N\to\infty}\sup_{i,n\in\mathbb{N},\,s\in \mathbf{S}}\biggl|\frac{I_{2}(i,N,n;\mathbf{s})}{u_{i}Q_{1}(n;\mathbf{s})}\biggr|=0, \end{equation} \tag{3.30} $$
$$ \begin{equation} \lim_{N\to\infty}\sup_{i,l,n\in\mathbb{ N},\,s\in\mathbf{S}}\biggl|\frac{I_{3}(i,N,l,n;\mathbf{s})}{u_{i}Q_{1}(n;\mathbf{s})}\biggr|=0, \end{equation} \tag{3.31} $$
где $Q_{1}(n;\mathbf{s})$ может быть заменено на $q(n;\mathbf{s})$.

Зафиксируем $\varepsilon >0$. В силу (3.30) и (3.31) найдется такое натуральное число $N=N(\varepsilon )$, что

$$ \begin{equation} |I_{2}(i,N(\varepsilon ),n;\mathbf{s})|+|I_{3}(i,N(\varepsilon),l,n;\mathbf{s})| \leqslant 0.25\,\varepsilon u_{i}q(n;\mathbf{s}). \end{equation} \tag{3.32} $$

Ввиду (1.11), условий (1.13) и оценки (3.23) найдутся такие числа $C_{1}$ и $l_{0}=l_{0}(\varepsilon )$, что при всех $l\geqslant l_{0}$

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, |I_{1}(i,N(\varepsilon ),l,n;\mathbf{s})| &\leqslant N(\varepsilon )C_{1} \mathscr{Q}(n;\mathbf{s})\sup_{j\leqslant N(\varepsilon )}\bigl|M_{ij}^{(l)}-u_{i}v_{j}\bigr| \nonumber \\ &\leqslant0.25\,\varepsilon u_{i}q(n;\mathbf{s}). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.33} $$

В силу (3.27), (3.28) и (3.16) при любом фиксированном $l$ справедливо соотношение $Q_{1}(n\,{+}\,l;\mathbf{s})\asymp Q_{1}(n;\mathbf{s})$, $n\to\infty$. Следовательно, при $l=l_{0}$ и $n>n_{2}=n_{2}(\varepsilon )$ третий член в левой части соотношения (3.29) может быть оценен как

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \bigl|M_{i}\epsilon ^{\ast }(n,l_{0};\mathbf{s})\bigr| =u_{i}\biggl|\frac{M_{i} }{u_{i}} \epsilon^{\ast}(n,l_{0};\mathbf{s})\biggr| \leqslant Cu_{i}\bigl|\epsilon^{\ast }(n,l_{0};\mathbf{s}) \bigr| \leqslant0.5\,\varepsilon u_{i}q(n;\mathbf{s}). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.34} $$

Объединяя (3.32), (3.33) и (3.34) и используя разложение (3.29), приходим к (3.25).

Так как $\mathbf{vu}^{\top}$ $=1$, то соотношение (3.26) немедленно следует из (3.25).

Лемма 9 доказана.

Доказательство теоремы 2. В силу (3.26) для любого $\varepsilon \in (0,1)$, $l_{0}=l_{0}(\varepsilon )$ и всех $n\geqslant n_{0}$ имеем
$$ \begin{equation*} q(n+l_{0};\mathbf{s})=q(n;\mathbf{s})-(q(n;\mathbf{s})-q(n+l_{0};\mathbf{s} ))\geqslant (1-\varepsilon )q(n;\mathbf{s}). \end{equation*} \notag $$
Эта оценка в сочетании с (3.25) и (3.26) приводит к неравенству
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\bigl|Q_{i}(n+l_{0};\mathbf{s})-u_{i}q(n+l_{0};\mathbf{s})\bigr| \\ &\qquad\leqslant |Q_{i}(n+l_{0};\mathbf{s})\,{-}\,u_{i}q(n;\mathbf{s})|\,{+}\,u_{i}|q(n;\mathbf{s})\,{-}\,q(n+l_{0};\mathbf{s})| \\ &\qquad\leqslant 2\varepsilon u_{i}q(n;\mathbf{s})=2\varepsilon u_{i}\frac{q(n;\mathbf{s})}{q(n+l_{0};\mathbf{s})}q(n+l_{0};\mathbf{s}) \leqslant \frac{2\varepsilon }{1-\varepsilon }q(n+l_{0};\mathbf{s}), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
которое влечет соотношение (3.1) в силу того, что $\varepsilon >0$ можно выбрать сколь угодно малым.

Теорема доказана.

§ 4. Доказательство теоремы 1

Напомним, что

$$ \begin{equation*} \Phi (x)=x-\mathbf{v}\mathbf{Q}^{\top}(\mathbf{1}-x\mathbf{u}) =x^{1+\alpha }\ell (x) \end{equation*} \notag $$
в силу условия (1.15). Положим
$$ \begin{equation*} B(n;\mathbf{s}):=\mathbf{vQ}^{\top}(n;\mathbf{s})-\mathbf{vQ}^{\top}(\mathbf{F}(n; \mathbf{s})) \end{equation*} \notag $$
и докажем сначала бесконечномерный аналог леммы 2 из работы [10].

Лемма 10. Если выполнены условия теоремы 1, то

$$ \begin{equation} \lim_{n\to \infty }\sup_{s\in \mathbf{S}}\biggl|\frac{B(n;\mathbf{s})}{\Phi (q(n;\mathbf{s}))}-1\biggr|=0. \end{equation} \tag{4.1} $$

Доказательство. Рассуждения, проводимые ниже для обоснования соотношения (4.1), почти дословно совпадают с доказательством леммы 2 из [10], и мы приводим их здесь только для полноты изложения.

Введем функцию

$$ \begin{equation*} B(\mathbf{s}):=\mathbf{v}(\mathbf{1}-\mathbf{s})^{\top}-\mathbf{vQ}^{\top}(\mathbf{s}). \end{equation*} \notag $$
Ясно, что для $\mathbf{s}=(s_{1},s_{2},\dots )\in \mathbf{S}$
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{\partial B(\mathbf{s})}{\partial s_{i}} &=-v_{i}-\sum_{j=1}^{\infty}v_{j} \frac{\partial Q_{j}(\mathbf{s})}{\partial s_{i}} =-v_{i}+\sum_{j=1}^{\infty }v_{j} \frac{\partial F_{j}(\mathbf{s})}{\partial s_{i}} \\ &\leqslant -v_{i}+\sum_{j=1}^{\infty}v_{j}\mathbb{E}Z_{ji}=-v_{i}+v_{i}=0. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Таким образом, функция $B(\mathbf{s})$ является монотонно убывающей по отношению к каждому аргументу – координате вектора $\mathbf{s}$. В силу теоремы 2 для любого $\varepsilon >0$ найдется такое $N=N(\varepsilon)$, что

$$ \begin{equation*} (1-\varepsilon )u_{i}q(n;\mathbf{s})\leqslant Q_{i}(n;\mathbf{s})\leqslant (1+\varepsilon )u_{i}q(n;\mathbf{s}) \end{equation*} \notag $$
при всех $n\geqslant N$, всех $i\in\mathbb{N}$ и $\mathbf{s}\in\mathbf{S}$. Следовательно, при $n\geqslant N$
$$ \begin{equation*} B(\mathbf{1}-(1-\varepsilon )q(n;\mathbf{s})\mathbf{u})\leqslant B(\mathbf{1}- \mathbf{Q}(n;\mathbf{s}))\leqslant B(\mathbf{1}-(1+\varepsilon )q(n;\mathbf{s}) \mathbf{u}). \end{equation*} \notag $$
Отсюда в силу равенств $B(\mathbf{1}-\mathbf{Q}(n;\mathbf{s}))=B(n;\mathbf{s})$ и $B(\mathbf{1}- x\mathbf{u})=\Phi(x)$ следует, что при $n\geqslant N$
$$ \begin{equation*} \Phi \bigl((1-\varepsilon)q(n;\mathbf{s})\bigr)\leqslant B(n;\mathbf{s})\leqslant\Phi \bigl((1+\varepsilon)q(n;\mathbf{s})\bigr). \end{equation*} \notag $$

Согласно нашим условиям функция $\ell(x)$ является медленно меняющейся при $x\to+0$. Следовательно (см., например, теорему 1.1 из [19; гл. 1, п. 1.2]),

$$ \begin{equation*} \frac{\ell (zx)}{\ell (x)}\to 1 \end{equation*} \notag $$
при $x\to+0$ равномерно по $z\in[ a,b]$, $0<a<b<\infty$. Зафиксируем $\varepsilon_{0} \in(0,1)$. Так как $q(n;\mathbf{s})\leqslant q(n; \mathbf{0})$ и $\lim_{n\to\infty}q(n;\mathbf{0})=0$, то
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\lim_{n\to\infty}\sup_{\mathbf{s}\in\mathbf{S}}\frac{ \Phi((1\pm\varepsilon) q(n;\mathbf{s}))}{\Phi(q(n;\mathbf{s}))} \\ &\qquad=(1\pm\varepsilon )^{1+\alpha} \lim_{n\to\infty}\sup_{\mathbf{s}\in \mathbf{S}}\frac{\ell((1\pm\varepsilon) q(n;\mathbf{s}))}{\ell(q(n;\mathbf{s}))} =(1\pm\varepsilon)^{1+\alpha }. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Устремляя теперь $\varepsilon$ к $+0$, выводим соотношение (4.1).

Лемма 10 доказана.

Следующее утверждение является бесконечномерным аналогом леммы 3 работы [10].

Лемма 11. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда

$$ \begin{equation} \lim_{n\to \infty }\sup_{\mathbf{s}\in \mathbf{S}}\biggl|\frac{\Phi(q(n+1,\mathbf{s}))}{\Phi(q(n;\mathbf{s}))}-1\biggr|=0. \end{equation} \tag{4.2} $$

Доказательство. В силу равенства $\Phi (x)=x^{1+\alpha }\ell (x)$ для проверки справедливости соотношения (4.2) достаточно показать, что
$$ \begin{equation*} \lim_{n\to \infty }\sup_{\mathbf{s}\in \mathbf{S}}\biggl|\frac{q(n+1,\mathbf{s})}{q(n;\mathbf{s})}-1\biggr|=0. \end{equation*} \notag $$
Теперь осталось только заметить, что желаемое равенство является следствием оценок (3.14), (3.15), (3.27) и (3.28).

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Используя лемму 10, запишем равенство
$$ \begin{equation*} B(k;\mathbf{s})={q(k;\mathbf{s})-q(k+1;\mathbf{s})=\Phi (q(k;\mathbf{s}))}( 1+\varepsilon (k;\mathbf{s})), \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \lim_{k\to \infty }\sup_{\mathbf{s}\in \mathbf{S}}|\varepsilon (k;\mathbf{s})|=0. \end{equation*} \notag $$
Отсюда, полагая $q(0;\mathbf{s}):=\mathbf{v}(\mathbf{1}-\mathbf{s}) ^{\top}$, получаем
$$ \begin{equation*} \sum_{k=0}^{n}\frac{q(k;\mathbf{s})-q(k+1;\mathbf{s})}{\Phi (q(k;\mathbf{s}))} =n(1+\varepsilon _{1}(n;\mathbf{s})), \end{equation*} \notag $$

где $\lim_{n\to \infty }\sup_{\mathbf{s}\in \mathbf{S}}|\varepsilon _{1}(n;\mathbf{s})|=0$. Лемма 11 и монотонность функции $\Phi (x)$ по $x$ позволяют переписать предыдущее соотношение в виде

$$ \begin{equation} \int_{q(n;\mathbf{s})}^{q(0;\mathbf{s})}\frac{dx}{\Phi (x)}=n(1+\varepsilon_{2}(n;\mathbf{s})), \end{equation} \tag{4.3} $$
где $\lim_{n\to \infty }\sup_{\mathbf{s}\in \mathbf{S}}|\varepsilon _{2}(n;\mathbf{s})|=0$. Полагая $\mathbf{s}=\mathbf{0} $ и вспоминая, что $\Phi (x)=x^{1+\alpha }\ell (x)$ при $x\to +0$, получаем в силу свойств медленно меняющихся функций (см. теорему 1 из [20; гл. VIII, § 9]), что
$$ \begin{equation*} q^{\alpha }(n)\ell (q(n))\sim (\alpha n)^{-1}, \qquad n\to \infty , \end{equation*} \notag $$
или (см. свойство $5^{\circ }$ в [19; гл. 1, п. 1.5])
$$ \begin{equation*} q(n)=n^{-1/\alpha }\ell _{1}(n), \end{equation*} \notag $$
где функция $\ell _{1}(n)$ медленно меняется при $n\to \infty $. Это доказывает равенство (1.16).

Соотношение (1.17) следует из (1.16) и теоремы 2.

Докажем теперь утверждения (1.18) и (1.19). Пусть $\boldsymbol{\lambda} =(\lambda_{j})_{j\in\mathbb{N}}$ – бесконечномерный вектор с неотрицательными компонентами, а

$$ \begin{equation} s_{i}=s(n;\lambda_{i})=\exp\{ -\lambda_{i}q(n)\} , \qquad i=1,2,\dotsc\,. \end{equation} \tag{4.4} $$
Положим $q(0;\mathbf{s}):=\mathbf{v}(\mathbf{1}-\mathbf{s})^{\top}$. Соотношение $\Phi (q(n))/q(n)\sim (\alpha n)^{-1}$, $n\to\infty$, и замена переменных $x\to zq(n)$ позволяют преобразовать (4.3) к виду
$$ \begin{equation} \int_{q(n;\mathbf{s})/q(n)}^{q(0;\mathbf{s})/q(n)}\frac{\Phi (q(n))\,d{z}}{\Phi(zq(n))}=\frac{1+\varepsilon_{2}(n;\mathbf{s})}{\alpha}, \end{equation} \tag{4.5} $$
где $\varepsilon_{2}(n;\mathbf{s})\to0$ при $n\to\infty$. Заметим, что при $n\to\infty$
$$ \begin{equation} \frac{\Phi (q(n))}{\Phi (zq(n))}\to \frac{1}{z^{1+\alpha }} \end{equation} \tag{4.6} $$
равномерно по $z$ из любого конечного интервала $0<a\leqslant z\leqslant b<\infty$.

Согласно нашим предположениям компоненты вектора $\boldsymbol{\lambda }$ ограничены и $\mathbf{v1}^{\top}=1$. Следовательно,

$$ \begin{equation*} \lim_{n\to \infty }\frac{q(0;\mathbf{s})}{q(n)}=(\mathbf{v}, \boldsymbol{\lambda }). \end{equation*} \notag $$

Так как правая часть равенства (4.5) имеет предел при $n\to \infty$, то левая часть равенства (4.5) также имеет предел при $n\to \infty$. Следовательно, существует

$$ \begin{equation*} \lim_{n\to\infty}\frac{q(n;\mathbf{s})}{q(n)}=:1-\phi(\boldsymbol{\lambda}). \end{equation*} \notag $$

Более того, предельное значение положительно. Действительно, если бы это было не так, то в силу (4.6) интеграл в левой части (4.5) должен был бы расходиться. Используя еще раз (4.6), переходя к пределу в (4.5) при $n\to\infty$ и выполняя интегрирование, получаем

$$ \begin{equation*} (1-\phi (\boldsymbol{\lambda }))^{-\alpha }-(\mathbf{v},\boldsymbol{ \lambda })^{-\alpha }=1, \end{equation*} \notag $$
что в свою очередь приводит к равенству
$$ \begin{equation*} \phi (\boldsymbol{\lambda})=1-(1+(\mathbf{v},\boldsymbol{\lambda } )^{-\alpha })^{-1/\alpha }. \end{equation*} \notag $$

Вспоминая теперь теорему 2 и выбирая $\mathbf{s}$ такое же, как в (4.4), приходим к соотношениям

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty }\mathbb{E}\bigl[e^{-(\boldsymbol{\lambda },\mathbf{Z}(n)) q(n)}\mid \mathbf{Z}(n)\neq \mathbf{0},\mathbf{Z}(0) =\mathbf{e}_{i}\bigr] \\ &\qquad =1-\lim_{n\to \infty }\frac{Q_{i}(n;\mathbf{s})}{Q_{i}(n)} =1-\lim_{n\to \infty }\frac{q(n;\mathbf{s})}{q(n)}=\phi (\boldsymbol{\lambda }). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Последнее эквивалентно утверждению (1.18), которое в свою очередь влечет (1.19).

Теорема 1 доказана.

Укажем в заключение, что постановка задачи об исследовании асимптотического поведения вероятности невырождения критических ветвящихся процессов со счетным множеством типов частиц и бесконечными вторыми моментами числа потомков, доказательства леммы 2 и теоремы 1 принадлежат В. А. Ватутину, леммы 1, 3 и 4 были доказаны Е. Е. Дьяконовой, а результаты, включенные в § 3, получил В. А. Топчий.

Список литературы

1. D. Vere-Jones, “Ergodic properties of nonnegative matrices. I”, Pacific J. Math., 22:2 (1967), 361–386  crossref  mathscinet  zmath
2. S. Sagitov, “Linear-fractional branching processes with countably many types”, Stochastic Process. Appl., 123:8 (2013), 2940–2956  crossref  mathscinet  zmath
3. P. Braunsteins, S. Hautphenne, “Extinction in lower Hessenberg branching processes with countably many types”, Ann. Appl. Probab., 29:5 (2019), 2782–2818  crossref  mathscinet  zmath
4. А. Н. Колмогоров, “К решению одной биологической задачи”, Изв. НИИ матем. и мех. Томск. ун-та, 2:1 (1938), 7–12  zmath
5. А. М. Яглом, “Некоторые предельные теоремы теории ветвящихся случайных процессов”, Докл. АН СССР, 56:8 (1947), 795–798  mathscinet  zmath
6. A. Joffe, F. Spitzer, “On multitype branching processes with $\rho \leq 1$”, J. Math. Anal. Appl., 19:3 (1967), 409–430  crossref  mathscinet  zmath
7. В. М. Золотарев, “Уточнение ряда теорем теории ветвящихся случайных процессов”, Теория вероятн. и ее примен., 2:2 (1957), 256–266  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. M. Zolotarev, “More exact statements of several theorems in the theory of branching processes”, Theory Probab. Appl., 2:2 (1957), 245–253  crossref
8. R. S. Slack, “A branching process with mean one and possibly infinite variance”, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, 9 (1968), 139–145  crossref  mathscinet  zmath
9. R. S. Slack, “Further notes on branching processes with mean 1”, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, 25 (1972/73), 31–38  crossref  mathscinet  zmath
10. В. А. Ватутин, “Предельные теоремы для критических марковских ветвящихся процессов с несколькими типами частиц и бесконечными вторыми моментами”, Матем. сб., 103(145):2(6) (1977), 253–264  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. A. Vatutin, “Limit theorems for critical Markov branching processes with several types of particles and infinite second moments”, Math. USSR-Sb., 32:2 (1977), 215–225  crossref
11. M. I. Goldstein, F. M. Hoppe, “Critical multitype branching processes with infinite variance”, J. Math. Anal. Appl., 65:3 (1978), 675–686  crossref  mathscinet  zmath
12. P. Braunsteins, G. Decrouez, S. Hautphenne, “A pathwise approach to the extinction of branching processes with countably many types”, Stochastic Process. Appl., 129:3 (2019), 713–739  crossref  mathscinet  zmath
13. K. B. Athreya, Hye-Jeong Kang, “Some limit theorems for positive recurrent branching Markov chains. I”, Adv. in Appl. Probab., 30:3 (1998), 693–710  crossref  mathscinet  zmath; II, 711–722  crossref  mathscinet  zmath
14. S. Hautphenne, G. Latouche, G. Nguyen, “Extinction probabilities of branching processes with countably infinitely many types”, Adv. in Appl. Probab., 45:4 (2013), 1068–1082  crossref  mathscinet  zmath
15. H. Kesten, “Supercritical branching processes with countably many types and the size of random Cantor sets”, Probability, statistics, and mathematics, Papers in honor of S. Karlin, Academic Press, Boston, MA, 1989, 103–121  crossref  mathscinet  zmath
16. Т. Харрис, Теория ветвящихся случайных процессов, Мир, М., 1966, 356 с.; пер. с англ.: T. E. Harris, The theory of branching processes, Grundlehren Math. Wiss., 119, Springer-Verlag, Berlin; Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1963, xiv+230 с.  mathscinet  zmath
17. G. T. Tetzlaff, “Criticality in discrete time branching processes with not uniformly bounded types”, Rev. Mat. Apl., 24:1-2 (2003/04), 33–44  mathscinet  zmath
18. Б. А. Севастьянов, Ветвящиеся процессы, Наука, М., 1971, 436 с.  mathscinet  zmath; нем. пер.: B. A. Sewastjanow, Verzweigungsprozesse, Math. Lehrbücher Monogr. II. Abt. Math. Monogr., 34, Akademie-Verlag, Berlin, 1974, xi+326 pp.  mathscinet  zmath
19. Е. Сенета, Правильно меняющиеся функции, Наука, М., 1985, 142 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: E. Seneta, Regularly varying functions, Lecture Notes in Math., 508, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1976, v+112 с.  crossref  mathscinet  zmath
20. В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2, 2-е изд., Мир, М., 1984, 752 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: W. Feller, An introduction to probability theory and its applications, т. II, 2nd ed., John Wiley & Sons, Inc., New York–London–Sydney, 1971, xxiv+669 с.  mathscinet  zmath  adsnasa

Образец цитирования: В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, В. А. Топчий, “Критические процессы Гальтона–Ватсона со счетным множеством типов частиц и бесконечными вторыми моментами”, Матем. сб., 212:1 (2021), 3–27; V. A. Vatutin, E. E. Dyakonova, V. A. Topchii, “Critical Galton-Watson branching processes with a countable set of types and infinite second moments”, Sb. Math., 212:1 (2021), 1–24
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VatDyaTop21}
\by В.~А.~Ватутин, Е.~Е.~Дьяконова, В.~А.~Топчий
\paper Критические процессы Гальтона--Ватсона со счетным множеством типов частиц и бесконечными вторыми моментами
\jour Матем. сб.
\yr 2021
\vol 212
\issue 1
\pages 3--27
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9402}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9402}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4223955}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1470.60236}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021SbMat.212....1V}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=46826496}
\transl
\by V.~A.~Vatutin, E.~E.~Dyakonova, V.~A.~Topchii
\paper Critical Galton-Watson branching processes with a~countable set of types and infinite second moments
\jour Sb. Math.
\yr 2021
\vol 212
\issue 1
\pages 1--24
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9402}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000627189000001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85103314054}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9402
  • https://doi.org/10.4213/sm9402
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v212/i1/p3
  • Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:534
    PDF русской версии:65
    PDF английской версии:50
    HTML русской версии:140
    Список литературы:45
    Первая страница:17
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024