Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2021, том 212, номер 9, страницы 94–118
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9410
(Mi sm9410)
 

Эта публикация цитируется в 11 научных статьях (всего в 11 статьях)

Алгоритм Висковатова для полиномов Эрмита–Паде

Н. Р. Икономовa, С. П. Суетинb

a Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences, Sofia, Bulgaria
b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Список литературы:
Аннотация: Предлагается и обосновывается алгоритм нахождения полиномов Эрмита–Паде 1-го типа для произвольного набора из $m+1$ формальных степенных рядов $[f_0,\dots,f_m]$, $m\geqslant1$, заданных в точке $z=0$ ($f_j\in\mathbb C[[z]]$) в предположении, что эти ряды обладают определенным свойством невырожденности (находятся “в общем положении”). Предложенный алгоритм является непосредственным обобщением классического алгоритма Висковатова для нахождения полиномов Паде (т.е. при $m=1$ совпадает с этим алгоритмом).
Алгоритм основан на рекуррентных соотношениях, и к моменту нахождения полиномов Эрмита–Паде, соответствующих мультииндексу $(k+1,k+1,k+1,\dots,k+1,k+1)$, оказываются найденными все полиномы Эрмита–Паде, соответствующие мультиндексам $(k,k,k,\dots,k,k)$, $(k+1,k,k,\dots,k,k)$, $(k+1,k+1,k,\dots,k,k)$, $\dots$, $(k+1,k+1,k+1,\dots,k+1,k)$.
Показано, каким образом можно, изменив начальные условия, вычислять с помощью этого алгоритма рекуррентным образом и полиномы Эрмита–Паде, соответствующие мультииндексам другого вида.
Алгоритм устроен таким образом, что на каждом $n$-м шаге итерации вычисления могут быть распараллелены на $m+1$ независимых вычислений.
Библиография: 30 названий.
Ключевые слова: формальные степенные ряды, полиномы Эрмита–Паде, алгоритм Висковатова.
Финансовая поддержка Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 075-15-2019-1614
Исследование С. П. Суетина выполнено в МЦМУ МИАН при финансовой поддержке Минобрнауки России (соглашение № 075-15-2019-1614).
Поступила в редакцию: 17.03.2020 и 01.06.2021
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 9, Pages 1279–1303
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9410
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.53
MSC: 41A21

§ 1. Случай $m=1$: набор рядов $[f_0,f_1]$ (нахождение полиномов Паде)

1.1. Введение. Классический алгоритм Висковатова

Для нахождения коэффициентов разложения заданного (в точке $z=0$ и, вообще говоря, формального) степенного ряда $f\in\mathbb C[[z]]$ в регулярную $C$-дробь (а тем самым и для нахождения полиномов Паде) наиболее известными являются $\mathrm{QD}$-алгоритм (см. [17] и [2; гл. 4, п. 4.3, теорема 4.3.5]) и алгоритм Висковатова (см. [29; § 4, с. 243–245] и [2; гл. 4, п. 4.2, формула (2.17)]). Оба алгоритма приводят к нахождению аппроксимаций Паде (в точке $z=0$) вида $[n/n]_f,[n+1/n]_f$ или $[n-1/n]_f,[n/n]_f$. При этом использование этих алгоритмов возможно только при условии определенной невырожденности исходного степенного ряда $f$ (иначе говоря, ряд $f$ должен находиться в “общем положении”).

В настоящей работе предлагается обобщение классического алгоритма Висковатова на случай полиномов Эрмита–Паде 1-го типа для набора из $m+1$ формальных степенных рядов $f_0,\dots,f_m$, где $m\geqslant1$ и $f_j\in\mathbb C[[z]]$, $j=0,\dots,m$. При $m=1$ для набора рядов $[f_0,f_1]$ этот алгоритм (нахождения полиномов Эрмита–Паде) приводит к полиномам Паде. Тем самым он является естественным обобщением классического алгоритма Висковатова на случай полиномов Эрмита–Паде. Видимо, этому алгоритму можно сопоставить так называемую векторную непрерывную дробь (по этому поводу см. [2; гл. 8, п. 8.4], [14] и имеющуюся в этих работах библиографию). Но этот вопрос здесь нами не рассматривается. Рекуррентные соотношения, близкие к тем, которые обсуждаются в настоящей работе, и связанные с обобщением алгоритма Висковатова на случай полиномов Эрмита–Паде, получены в работах [20] и [14]; см. также [6], [4], [19] и [5].

Отметим, что А. Триасом при реализации HELM-алгоритма для нахождения полиномов Паде используется именно алгоритм Висковатова; см. [26].

Пусть $a(z):=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$, $b(z):=\sum_{k=0}^\infty b_kz^k$ – формальные степенные ряды, причем $b_0\neq0$. Алгоритм Висковатова разложения отношения рядов $a(z)/b(z)$ в регулярную $C$-дробь основан на следующем тождестве (см. [2; п. 4.2, формула (2.17)]):

$$ \begin{equation} \frac{\sum_{k=0}^\infty a_kz^k}{\sum_{k=0}^\infty b_kz^k} =\frac{a_0}{b_0}+\frac{z}{\sum_{k=0}^\infty b_kz^k\bigm/ \sum_{k=0}^\infty(a_{k+1}-a_0b_{k+1}/b_0)z^k}. \end{equation} \tag{1.1} $$
Применяя к ряду, возникающему в знаменателе правой части (1.1), аналогичное тождество, делаем следующий шаг в разложении отношения рядов $a(z)/b(z)$ в регулярную $C$-дробь вида
$$ \begin{equation} v_0+\frac{z}{v_1+{\dfrac{z}{v_2+\dfrac{z}{v_3+\dotsb}}}}. \end{equation} \tag{1.2} $$
В таблице Паде для ряда $f(z):=a(z)/b(z)$ подходящие дроби регулярной $C$-дроби (1.2) образуют лестничную последовательность, состоящую из аппроксимаций Паде вида $[n/n]_f$ и $[n+1/n]_f$, $n=0,1,\dots$ .

Отметим, что для формальных рядов Лорана, заданных в бесконечно удаленной точке $\zeta=\infty$ и имеющих вид

$$ \begin{equation} F(\zeta):=\sum_{k=0}^\infty\frac{c_k}{\zeta^{k+1}}, \end{equation} \tag{1.3} $$
разложения в чебышёвскую непрерывную дробь строятся с помощью алгоритма Якоби–Перрона. Существует многомерный аналог алгоритма Якоби–Перрона, позволяющий находить полиномы Эрмита–Паде для набора рядов Лорана вида (1.3); см. [15], [16] и имеющуюся там библиографию. Такие алгоритмы применимы для нахождения полиномов Эрмита–Паде также при определенных условиях невырожденности. При подобных условиях невырожденности для нахождения полиномов Эрмита–Паде для набора рядов Лорана вида (1.3) существуют и различные $\mathrm{QD}$-алгоритмы; см. прежде всего [27] и [28] и приведенную там библиографию.

Наконец, отметим, что с прикладной точки зрения традиционный интерес к полиномам Эрмита–Паде 1-го типа связан прежде всего с тем, что на их основе строятся квадратичные аппроксимации Шафера (или, в другой терминологии, алгебраические аппроксимации); см. [20], [18], [21], [9], [10], [30], [1], [8], [25] и имеющиеся там ссылки. Вместе с тем недавно в [23; § 4, формулы (61)–(63)] был предложен новый подход к решению задачи аналитического продолжения, также основанный на полиномах Эрмита–Паде 1-го рода, но использующий только рациональные функции. В работе В. А. Комлова [11] этот подход получил должное теоретическое обоснование в достаточно широком классе многозначных аналитических функций.

Благодарность

Авторы выражают признательность рецензенту за ряд ценных замечаний, которые позволили улучшить изложение результатов, полученных в работе.

1.2. Полиномы Эрмита–Паде (полиномы Паде) для набора рядов $[f_0,f_1]$

Здесь мы приведем алгоритм Висковатова к виду, удобному для дальнейшего использования. Положим

$$ \begin{equation*} f_0=f_0(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}z^k=c_0+O(z), \qquad f_1=f_1(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}z^k=c_1+O(z); \end{equation*} \notag $$
здесь и всюду в дальнейшем через $O(z)$ обозначаются степенные ряды, начинающиеся с первой степени переменного $z$. Тогда соотношение (1.1) можно представить в виде следующего тождества:
$$ \begin{equation} \frac{f_1}{f_0}=\frac{c_1}{c_0}+\frac{z}{f_0\bigm/\biggl[\dfrac{1}z\biggl(f_1-\dfrac{c_1}{c_0}f_0 \biggr)\biggr]} =\frac{c_1}{c_0}+\frac{z}{f^{[1]}_1/f^{[1]}_0}, \end{equation} \tag{1.4} $$
где мы положили
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, f^{[1]}_1:=f_0=:\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[1]}z^k=c_1^{[1]}+O(z), \\ f_0^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_1-\frac{c_1}{c_0}f_0\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[1]}z^k=c_0^{[1]}+O(z). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Аналогично (1.4) для новых рядов $f_0^{[1]}$ и $f_1^{[1]}$ полагаем
$$ \begin{equation} \frac{f_1^{[1]}}{f_0^{[1]}}=\frac{c_1^{[1]}}{c_0^{[1]}} +\frac{z}{f^{[2]}_1/f^{[2]}_0}, \end{equation} \tag{1.5} $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, f_1^{[2]}:=f_0^{[1]}=:\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[2]}z^k=c_1^{[2]}+O(z), \\ f_0^{[2]}:=\frac1z\biggl(f_1^{[1]}-\frac{c_1^{[1]}}{c_0^{[1]}}f_0^{[1]}\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[2]}z^k=c_0^{[2]}+O(z). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Из (1.3) и (1.5) получаем следующее соотношение:
$$ \begin{equation} \frac{f_1}{f_0}=\frac{f^{[0]}_1}{f^{[0]}_0}=\frac{c^{[0]}_1}{c^{[0]}_0} +\frac{z}{\dfrac{c^{[1]}_1}{c^{[1]}_0}+\dfrac{z}{f^{[2]}_1/f^{[2]}_0}}, \end{equation} \tag{1.6} $$
в котором мы положили
$$ \begin{equation*} f_0^{[0]}:=f_0=:\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[0]}z^k=c_0^{[0]}+O(z), \qquad f_1^{[0]}:=f_1=:\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[0]}z^k=c_1^{[0]}+O(z). \end{equation*} \notag $$
Применяя к отношениям $f^{[2]}_1/f^{[2]}_0,f^{[3]}_1/f^{[3]}_0,\dots$ формулу вида (1.5), получаем (формальное) разложение отношения $f_1/f_0$ в регулярную $C$-дробь вида (1.2).

1.3. Матричный подход

Пусть $f^{[0]}_0:=f_0$, $f^{[0]}_1:=f_1$, $f^{[1]}_0$, $f^{[1]}_1$, $\dots$ – формальные ряды, имеющие тот же смысл, что и выше.

Положим

$$ \begin{equation*} M_1:=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \qquad M_2:=\begin{pmatrix}z&0\\-\dfrac{c^{[0]}_1}{c^{[0]}_0}&1\end{pmatrix}, \qquad \vec{f}:=(f_1,f_0). \end{equation*} \notag $$
Тогда имеем
$$ \begin{equation*} M_1\binom{f_1}{f_0}=\binom{f_0}{f_1}, \qquad M_2\binom{f_0}{f_1}= \begin{pmatrix} zf_0 \\ f_1-\dfrac{c_1}{c_0}f_0\end{pmatrix} =z \begin{pmatrix} f_1^{[1]} \\ f_0^{[1]}\end{pmatrix}. \end{equation*} \notag $$
Положим
$$ \begin{equation} M^{[0]}:=M_2M_1= \begin{pmatrix}0&z\\1&-\dfrac{c^{[0]}_1}{c^{[0]}_0}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}P_1&P_2\\Q_1&Q_2\end{pmatrix}, \end{equation} \tag{1.7} $$
где $P_1,P_2,Q_1,Q_2$ – полиномы от переменного $z$, $P_j,Q_j\in\mathbb C[z]$. Итак, имеем
$$ \begin{equation} M^{[0]}\binom{f_1}{f_0}=z \begin{pmatrix}f_1^{[1]} \\ f_0^{[1]}\end{pmatrix}=O(z). \end{equation} \tag{1.8} $$
Тем самым из (1.8) получаем $Q_1f_1+Q_2f_0=O(z)$, где $Q_1=\mathrm{const}$, $ Q_2=\mathrm{const}$. Значит, $Q_2$ и $Q_1$ – полиномы Эрмита–Паде 1-го типа (полиномы Паде) для набора рядов $[f_0,f_1]$ и мультииндекса $\mathbf k=(0,0)$, поскольку порядок касания в (1.8) согласуется с мультииндексом $\mathbf k$: $|\mathbf k|+1=0+1=1$.

Аналогично (1.8) имеем

$$ \begin{equation*} M^{[1]} \begin{pmatrix} f_1^{[1]} \\ f_0^{[1]}\end{pmatrix} =z \begin{pmatrix} f_1^{[2]} \\ f_0^{[2]}\end{pmatrix}, \quad\text{где }\ M^{[1]}= \begin{pmatrix}0&z\\1&-\dfrac{c_1^{[1]}}{c_0^{[1]}}\end{pmatrix}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, получаем
$$ \begin{equation} M^{[1]}M^{[0]}\begin{pmatrix} f_1\\f_0\end{pmatrix} =z^2 \begin{pmatrix} f_1^{[2]} \\ f_0^{[2]} \end{pmatrix}=O(z^2). \end{equation} \tag{1.9} $$
Положим $A^{[0]}:=M^{[0]}$, $A^{[1]}:=M^{[1]}M^{[0]}$. Тогда
$$ \begin{equation} A^{[1]}=M^{[1]}M^{[0]} = \begin{pmatrix} z&-\dfrac{c_1}{c_0}z \\ -\dfrac{c_1^{[1]}}{c_0^{[1]}}&z+\dfrac{c_1^{[1]}}{c_0^{[1]}} \dfrac{c_1}{c_0} \end{pmatrix} =:\begin{pmatrix} P_1^{[1]}&P_2^{[1]} \\ Q_1^{[1]}&Q_2^{[1]} \end{pmatrix}, \end{equation} \tag{1.10} $$
где $\operatorname{deg}{Q_1^{[1]}}=0$, $\operatorname{deg}{Q_2^{[1]}}=1$. Из соотношения (1.9) вытекает, что $Q_2^{[1]}f_0+Q_1^{[1]}f_1=O(z^2)$. Следовательно, пара $Q_2^{[1]},Q_1^{[1]}$ – пара полиномов Эрмита–Паде (полиномов Паде) для набора рядов $[f_0,f_1]$ и мультииндекса $\mathbf k=\mathbf k^{[1]}=(1,0)$. Действуя далее аналогично (1.8) и (1.9), приходим последовательно к полиномам Эрмита–Паде для набора $[f_0,f_1]$ и мультииндексов $\mathbf k^{[2]}=(1,1)$, $\mathbf k^{[3]}=(2,1)$, $\mathbf k^{[4]}=(2,2)$, $\mathbf k^{[5]}=(3,2)$, $\dots$ .

1.4. Полиномы Эрмита–Паде для набора рядов $[f_0,f_1]$: случай произвольного $(n+1)$-го шага итерации

Пусть $n\geqslant1$. Положим

$$ \begin{equation*} f_1^{[n+1]}:=f_0^{[n]}=:c_1^{[n+1]}+O(z), \qquad f_0^{[n+1]}:=\frac1z\biggl(f_1^{[n]}-\frac{c_1^{[n]}}{c_0^{[n]}}f_0^{[n]}\biggr) =:c_0^{[n+1]}+O(z). \end{equation*} \notag $$
Пусть
$$ \begin{equation*} M^{[n]}:= \begin{pmatrix}0&z\\1&-\dfrac{c_1^{[n]}}{c_0^{[n]}}\end{pmatrix}, \qquad A^{[n]}:=M^{[n]}\cdots M^{[0]}= \begin{pmatrix} P_1^{[n]}&P_2^{[n]} \\ Q_1^{[n]}&Q_2^{[n]} \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag $$
где $P_j^{[n]},Q_j^{[n]}$ – полиномы. Тогда
$$ \begin{equation} A^{[n+1]}:=M^{[n+1]}A^{[n]}= \begin{pmatrix} P_1^{[n+1]}&P_2^{[n+1]} \\ Q_1^{[n+1]}&Q_2^{[n+1]} \end{pmatrix}, \end{equation} \tag{1.11} $$
где $P_j^{[n+1]},Q_j^{[n+1]}\in\mathbb C[z]$. Из определения матрицы $M^{[n]}$ и (1.11) получаем следующие рекуррентные соотношения:
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, P_j^{[n+1]}=zQ_j^{[n]}, \qquad Q_j^{[n+1]}=P_j^{[n]}-\frac{c_1^{[n+1]}}{c_0^{[n+1]}}Q_j^{[n]}, \\ j=1,2,\dots, \qquad n=1,2,\dotsc\,. \end{gathered} \end{equation} \tag{1.12} $$
Из (1.12) получаем трехчленное рекуррентное соотношение, связывающее полиномы $Q_j^{[n+1]}$, $j=1,2$, полученные на $(n+1)$-м шаге итерации, с полиномами, полученными на двух предыдущих шагах:
$$ \begin{equation} Q_j^{[n+1]}(z)=-\frac{c_1^{[n+1]}}{c_0^{[n+1]}}Q_j^{[n]}(z)+zQ_j^{[n-1]}(z), \qquad j=1,2,\quad n=1,2,\dotsc. \end{equation} \tag{1.13} $$
Начальные условия для соотношений (1.13) вытекают из (1.7) и (1.10):
$$ \begin{equation} Q_1^{[0]}=Q_1=1, \qquad Q_2^{[0]}=Q_2=-\frac{c_1}{c_0}, \qquad Q_1^{[1]}=-\frac{c_1^{[1]}}{c_0^{[1]}}, \qquad Q_2^{[1]}=z+\frac{c_1^{[1]}}{c_0^{[1]}}\frac{c_1}{c_0}. \end{equation} \tag{1.14} $$
При этом имеем
$$ \begin{equation} A^{[n]} \begin{pmatrix}f_1\\f_0\end{pmatrix} =z^{n+1}\begin{pmatrix} f_1^{[n+1]} \\ f_0^{[n+1]}\end{pmatrix} =O(z^{n+1}). \end{equation} \tag{1.15} $$

Справедлива следующая

Теорема 1. 1) Пусть $n=2k$, $k\geqslant0$. Тогда $\operatorname{deg} Q_1^{[n]}=\operatorname{deg} Q_2^{[n]}=k$ и полиномы $Q_2^{[n]},Q_1^{[n]}$ – полиномы Эрмита–Паде для набора рядов $[f_0,f_1]$ и мультииндекса $\mathbf k^{[n]}=(k,k)$ (порядок касания равен $|\mathbf k^{[n]}|+1=2k+1=n+1$, см. (1.15)).

2) Пусть $n=2k+1$, $k\geqslant0$. Тогда $\operatorname{deg} Q_1^{[n]}=k$, $\operatorname{deg} Q_2^{[n]}=k+1$ и полиномы $Q_2^{[n]},Q_1^{[n]}$ – полиномы Эрмита–Паде для набора рядов $[f_0,f_1]$ и мультииндекса $\mathbf k^{[n]}=(k+1,k)$ (порядок касания равен $|\mathbf k^{[n]}|+1=2k+2=n+1$; см. (1.15)).

Замечание 1. Здесь и всюду в дальнейшем при формулировке теорем 13 и соответствующих алгоритмов предполагаем, что исходные ряды $f_0,f_1,\dots,f_m$ находятся в “общем положении” (ср. [7]). В частности, подразумевается, что все полиномы, фигурирующие в утверждениях теорем 13, имеют в точности такую степень, как указано в формулировках теорем. В общем случае в соответствующих соотношениях для степени необходимо писать знак нестрогого неравенства.

Замечание 2. Если мы начнем итерационный процесс с вектора-ряда ${}^{\mathsf T\!}(f_0,f_1)$ (здесь и далее ${}^{\mathsf T\!}\vec v$ обозначает операцию транспонирования по отношению к вектору-строке $\vec{v}$) вместо ${}^{\mathsf T\!}(f_1,f_0)$, то в результате получим последовательность аппроксимаций Паде вида $[n/n],[n/n+1]$, $n=0,1,\dotsc$ (вместо $[n/n],[n+1/n]$).

Теорема 1 фактически хорошо известна (см. [2; гл. 4, теорема 4.2.1]; ср. также формулу (1.13) и [2; формула (2.76)]). Тем не менее для полноты изложения мы приведем здесь ее доказательство.

Доказательство теоремы 1. Проведем доказательство индукцией по $k$.

1) Пусть $k=0$. Из (1.14) вытекает, что при $n=2k=0$ имеем $\operatorname{deg}{Q_1^{[0]}}=\operatorname{deg} Q_2^{[0]}=0$. Кроме того, из (1.13) и (1.14) при $n=2k+1=1$ мы получаем $\operatorname{deg} Q_1^{[1]}=0$, $\operatorname{deg} Q_2^{[1]}=1$. При $k=1$ из (1.13) получаем $\operatorname{deg} Q_1^{[2]}=\operatorname{deg} Q_2^{[2]}=1$ и $\operatorname{deg} Q_1^{[3]}=1$, $\operatorname{deg} Q_2^{[3]}=2$.

2) Предположим теперь, что утверждения теоремы 1 справедливы при $n=2k-1$ и $n=2k$, и докажем, что они остаются справедливыми при $n=2k+1$ и $n=2k+2$.

При $n=2k+1$ из рекуррентного соотношения (1.13) получаем, что $Q_1^{[2k+1]}=a^{[2k+1]}Q_1^{[2k]}+zQ_1^{[2k-1]}$. Следовательно, имеем

$$ \begin{equation*} \operatorname{deg} Q_1^{[2k+1]}=\max\{\operatorname{deg} Q_1^{[2k]},1+\operatorname{deg} Q_1^{[2k-1]}\} =\max\{k,1+k-1\}=k. \end{equation*} \notag $$
Аналогично, $Q_2^{[2k+1]}=a^{[2k+1]}Q_2^{[2k]}+zQ_2^{[2k+1]}$ и, следовательно, с учетом предположения индукции имеем
$$ \begin{equation*} \operatorname{deg} Q_2^{[2k+1]}=\max\{\operatorname{deg} Q_2^{[2k]},1+\operatorname{deg} Q_2^{[2k-1]}\} =\max\{k,1+k\}=k+1. \end{equation*} \notag $$

При $n=2k+2$ из (1.13) получаем, что $Q_1^{[2k+2]}=a^{[2k+2]}Q_1^{[2k+1]}+zQ_1^{[2k]}$, и, следовательно, с учетом предположения индукции имеем

$$ \begin{equation*} \operatorname{deg} Q_1^{[2k+2]}=\max\{\operatorname{deg} Q_1^{[2k+1]},1+\operatorname{deg} Q_1^{[2k]}\} =\max\{k,1+k\}=k+1. \end{equation*} \notag $$
Аналогично, $Q_2^{[2k+2]}=a^{[2k+2]}Q_2^{[2k+1]}+zQ_2^{[2k]}$, и, следовательно, с учетом предположения индукции имеем
$$ \begin{equation*} \operatorname{deg} Q_2^{[2k+2]}=\max\{\operatorname{deg} Q_2^{[2k+1]},1+\operatorname{deg} Q_2^{[2k]}\} =\max\{k+1,1+k\}=k+1. \end{equation*} \notag $$

Теорема 1 доказана.

1.5. Алгоритм при $m=1$ (для набора рядов $[f_0,f_1]$)

Даны два ряда

$$ \begin{equation*} f_0=f_0(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}z^k=c_0+O(z), \qquad f_1=f_1(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}z^k=c_1+O(z). \end{equation*} \notag $$

Начальный шаг итерации ($n=0$). Положим $f_0^{[0]}:=f_0$, $f_1^{[0]}:=f_1$, $c_0^{[0]}:=c_0$, $c_1^{[0]}:=c_1$. Тем самым $c_{0,k}^{[0]}:=c_{0,k}$, $c_{1,k}^{[0]}:=c_{1,k}$ при $k=0,1,\dots$ и $f_0^{[0]}=c_0^{[0]}+O(z)$, $f_1^{[0]}=c_1^{[0]}+O(z)$. Пусть $a^{[0]}:=-c_1^{[0]}/c_0^{[0]}$.

$1$-й шаг итерации ($n=1$). Положим

$$ \begin{equation} f_1^{[1]}:=f_0^{[0]},\qquad f_0^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_1^{[0]}-\frac{c_1^{[0]}}{c_0^{[0]}} f_0^{[0]}\biggr). \end{equation} \tag{1.16} $$
Тогда получаем
$$ \begin{equation*} f_1^{[1]}=\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[1]}z^k=c_1^{[1]}+O(z), \qquad f_0^{[1]}=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[1]}z^k=c_0^{[1]}+O(z). \end{equation*} \notag $$
Положим $a^{[1]}:=-c_1^{[1]}/c_0^{[1]}$ и
$$ \begin{equation*} Q_1^{[0]}:=1, \qquad Q_2^{[0]}:=a^{[0]}, \qquad Q_1^{[1]}:=a^{[1]}, \qquad Q_2^{[1]}:=z+a^{[1]}a^{[0]}. \end{equation*} \notag $$

$(n+1)$-й шаг итерации ($n\geqslant 1$). Полагаем $a^{[n]}:=-c_1^{[n]}/c_0^{[n]}$ и

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, f_1^{[n+1]}:&=f_0^{[n]}=:\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[n+1]}z^k=c_1^{[n+1]}+O(z), \\ f_0^{[n+1]}:&=\frac1z\biggl(f_1^{[n]}-\frac{c_1^{[n]}}{c_0^{[n]}}f_0^{[n]}\biggr) =\frac1z(f_1^{[n]}+a^{[n]}f_0^{[n]}) \\ &=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[n+1]}z^k=c_0^{[n+1]}+O(z). \end{aligned} \end{equation} \tag{1.17} $$
Полагаем $a^{[n+1]}:=-c_1^{[n+1]}/c_0^{[n+1]}$ и находим (см. (1.13))
$$ \begin{equation*} Q_j^{[n+1]}(z)=a^{[n+1]}Q_j^{[n]}(z)+zQ_j^{[n-1]}(z), \qquad j=1,2, \quad n=1,2,\dotsc. \end{equation*} \notag $$

§ 2. Случай $m=2$: набор рядов $[f_0,f_1,f_2]$

2.1. Введение

Пусть даны три формальных степенных ряда

$$ \begin{equation*} f_0=f_0(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}z^k, \qquad f_1=f_1(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}z^k, \qquad f_2=f_2(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{2,k}z^k. \end{equation*} \notag $$
Положим $f_0=c_0+O(z)$, $f_1=c_1+O(z)$, $f_2=c_2+O(z)$. Получаем
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}f_2\\f_1\\f_0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}f_0\\f_2\\f_1\end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix}z&0&0\\0&1&-\dfrac{c_2}{c_1}\\-\dfrac{c_1}{c_0}&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}f_0\\f_2\\f_1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}zf_0 \\ f_2-\dfrac{c_2}{c_1}f_1 \\ f_1-\dfrac{c_1}{c_0}f_0 \end{pmatrix} =z\begin{pmatrix}f^{[1]}_2 \\ f^{[1]}_1 \\ f^{[1]}_0\end{pmatrix}, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} f_2^{[1]}:=f_0, \qquad f_1^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_2-\frac{c_2}{c_1}f_1\biggr), \qquad f_0^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_1-\frac{c_1}{c_0}f_0\biggr). \end{equation*} \notag $$
Имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, f_2^{[1]}&=\sum_{k=0}^\infty c_{2,k}^{[1]}z^k=c_2^{[1]}+O(z), \\ f_1^{[1]}&=\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[1]}z^k=c_1^{[1]}+O(z), \\ f_0^{[1]}&=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[1]}z^k=c_0^{[1]}+O(z). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Положим
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, M_1:=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}, \qquad M_2:=\begin{pmatrix} z&0&0\\0&1&-\dfrac{c_2}{c_1}\\-\dfrac{c_1}{c_0}&0&1\end{pmatrix}, \notag \\ M^{[0]}:=M_2M_1=\begin{pmatrix}0&0&z\\1&-\dfrac{c_2}{c_1}&0\\0&1&-\dfrac{c_1}{c_0}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}P_1&P_2&P_3\\Q_1&Q_2&Q_3\\R_1&R_2&R_3\end{pmatrix}. \end{gathered} \end{equation} \tag{2.1} $$
Тогда соотношения (1.2) примут вид
$$ \begin{equation} M^{[0]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}=z{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[1]}, \end{equation} \tag{2.2} $$
где $\vec{f}:=(f_2,f_1,f_0)$, $\vec{f}^{\,[1]}:=(f^{[1]}_2,f^{[1]}_1,f^{[1]}_0)$, ${}^{\mathsf T}\vec{v}$ – операция транспонирования по отношению к вектору-строке $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$.

Положим

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, f^{[0]}_0:=f_0=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[0]}z^k=c_0^{[0]}+O(z), \qquad f^{[0]}_1:=f_1=\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[0]}z^k=c_1^{[0]}+O(z), \\ f^{[0]}_2:=f_2=\sum_{k=0}^\infty c_{2,k}^{[0]}z^k=c_2^{[0]}+O(z), \qquad a^{[0]}:=-\frac{c_2^{[0]}}{c_1^{[0]}}, \qquad b^{[0]}:=-\frac{c_1^{[0]}}{c_0^{[0]}}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

2.2. Теоретические результаты

При $n\geqslant1$ пусть

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, f_2^{[n+1]}:&=f_0^{[n]}=:\sum_{k=0}^\infty c_{2,k}^{[n+1]}z^k =c_2^{[n+1]}+O(z), \\ f_1^{[n+1]}:&=\frac1z\biggl(f_2^{[n]}-\frac{c_2^{[n]}}{c_1^{[n]}}f_1^{[n]}\biggr) =:\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}z^k=c_1^{[n+1]}+O(z), \\ f_0^{[n+1]}:&=\frac1z\biggl(f_1^{[n]}-\frac{c_1^{[n]}}{c_0^{[n]}}f_0^{[n]}\biggr) =:\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}z^k=c_0^{[n+1]}+O(z). \end{aligned} \end{equation} \tag{2.3} $$

Положим аналогично (2.1)

$$ \begin{equation} M^{[n]}:= \begin{pmatrix} 0&0&z\\1&-\dfrac{c_2^{[n]}}{c_1^{[n]}}&0\\0&1&-\dfrac{c_1^{[n]}}{c_0^{[n]}} \end{pmatrix}. \end{equation} \tag{2.4} $$

Пусть

$$ \begin{equation*} A^{[n]}:=M^{[n]}\cdots M^{[0]}= \begin{pmatrix} P_1^{[n]}&P_2^{[n]}&P_3^{[n]} \\ Q_1^{[n]}&Q_2^{[n]}&Q_3^{[n]} \\ R_1^{[n]}&R_2^{[n]}&R_3^{[n]} \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag $$

Тогда

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, A^{[n+1]}: &=\begin{pmatrix} P_1^{[n+1]}&P_2^{[n+1]}&P_3^{[n+1]} \\ Q_1^{[n+1]}&Q_2^{[n+1]}&Q_3^{[n+1]} \\ R_1^{[n+1]}&R_2^{[n+1]}&R_3^{[n+1]} \end{pmatrix} =M^{[n+1]}A^{[n]}\notag \\ &=\begin{pmatrix} 0&0&z \\ 1&-\dfrac{c_2^{[n+1]}}{c_1^{[n+1]}}&0 \\ 0&1&-\dfrac{c_1^{[n+1]}}{c_0^{[n+1]}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P_1^{[n]}&P_2^{[n]}&P_3^{[n]} \\ Q_1^{[n]}&Q_2^{[n]}&Q_3^{[n]} \\ R_1^{[n]}&R_2^{[n]}&R_3^{[n]} \end{pmatrix}. \end{aligned} \end{equation} \tag{2.5} $$

Из (2.5) получаем следующие рекуррентные соотношения для $j=1,2,3$ при $n\geqslant1$:

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, P_j^{[n+1]}=zR_j^{[n]}, \qquad Q_j^{[n+1]}=P_j^{[n]}-\frac{c_2^{[n+1]}}{c_1^{[n+1]}}Q_j^{[n]} =a^{[n+1]}Q_j^{[n]}+P_j^{[n]}, \\ R_j^{[n+1]} =Q_j^{[n]}-\frac{c_1^{[n+1]}}{c_0^{[n+1]}}R_j^{[n]} =b^{[n+1]}R_j^{[n]}+Q_j^{[n]}, \end{gathered} \end{equation} \tag{2.6} $$
где
$$ \begin{equation*} a^{[n+1]}:=-\frac{c_2^{[n+1]}}{c_1^{[n+1]}}, \qquad b^{[n+1]}:=-\frac{c_1^{[n+1]}}{c_0^{[n+1]}}. \end{equation*} \notag $$
Из (2.6) окончательно находим, что
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, Q_j^{[n+1]}(z)&=a^{[n+1]}Q_j^{[n]}(z)+zR^{[n-1]}(z), \\ R_j^{[n+1]}(z)&=b^{[n+1]}R_j^{[n]}(z)+Q_j^{[n]} \end{aligned} \end{equation} \tag{2.7} $$
для $j=1,2,3$ при $n=1,2,\dots$ . При этом начальные условия для трехчленных рекуррентных соотношений (2.7) вытекают из равенства $A^{[1]}=M^{[1]}M^{[0]}$ и имеют следующий вид:
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, Q_1^{[0]}=1, \qquad Q_2^{[0]}=a^{[0]}, \qquad Q_3^{[0]}=0, \\ R_1^{[0]}=0, \qquad R_2^{[0]}=1, \qquad R_3^{[0]}=b^{[0]}, \\ Q_1^{[1]}=a^{[1]}, \qquad Q_2^{[1]}=a^{[1]}a^{[0]}, \qquad Q_3^{[1]}=z, \\ R_1^{[1]}=1, \qquad R_2^{[1]}=b^{[1]}+a^{[0]}, \qquad R_3^{[1]}=b^{[1]}b^{[0]}. \end{gathered} \end{equation} \tag{2.8} $$
Кроме того, из (2.4) вытекает, что
$$ \begin{equation} A^{[n]} \begin{pmatrix} f_2\\f_1\\f_0\end{pmatrix} =M^{[n]}\dotsb M^{[0]} \begin{pmatrix}f_2\\f_1\\f_0\end{pmatrix} =z^{n+1} \begin{pmatrix} f^{[n+1]}_2 \\ f^{[n+1]}_1 \\ f^{[n+1]}_0 \end{pmatrix} =O(z^{n+1}). \end{equation} \tag{2.9} $$

Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть $k=0,1,2,\dots$ . Тогда:

1) при $n=3k$ имеем $\operatorname{deg}{Q_1^{[n]}}=k$, $\operatorname{deg}{Q_2^{[n]}}=k$, $\operatorname{deg}{Q_3^{[n]}}=k$;

2) при $n=3k+1$ имеем $\operatorname{deg} R_1^{[n]}=k$, $\operatorname{deg} R_2^{[n]}=k$, $\operatorname{deg} R_3^{[n]}=k$, $\operatorname{deg}{Q_1^{[n]}}=k$, $\operatorname{deg}{Q_2^{[n]}}=k$, $\operatorname{deg}{Q_3^{[n]}}=k+1$;

3) при $n\,{=}\,3k\,{+}\,2$ имеем $\operatorname{deg} R_1^{[n]}\,{=}\,k$, $\operatorname{deg} R_2^{[n]}\,{=}\,k$, $\operatorname{deg} R_3^{[n]}\,{=}\,k\,{+}\,1$, $\operatorname{deg}{Q_1^{[n]}}\,{=}\,k$, $\operatorname{deg}{Q_2^{[n]}}=k+1$, $\operatorname{deg}{Q_3^{[n]}}=k+1$;

4) при $n=3k+3$ имеем $\operatorname{deg} R_1^{[n]}=k$, $\operatorname{deg} R_2^{[n]}=k+1$, $\operatorname{deg} R_3^{[n]}=k+1$.

Из (2.9) получаем

$$ \begin{equation} (R_1^{[n]},R_2^{[n]},R_3^{[n]}){}^{\mathsf T\!}(f_2,f_1,f_0)= R_1^{[n]}f_2+R_2^{[n]}f_1+R_3^{[n]}f_0=O(z^{n+1}). \end{equation} \tag{2.10} $$

Из теоремы 2 и (2.10) вытекает

Следствие. В условиях теоремы 2 для произвольного $n\in\mathbb N$ положим $k_2=\operatorname{deg}{R_1^{[n]}}$, $k_1=\operatorname{deg}{R_2^{[n]}}$, $k_0=\operatorname{deg}{R_3^{[n]}}$; $\mathbf k^{[n]}=(k_0,k_1,k_2)\in\mathbb Z_{+}^3$ – мультииндекс. Тогда имеем $|\mathbf k^{[n]}|=k_0+k_1+k_2=n-1$, и в силу (2.10) набор $[R_3^{[n]},R_2^{[n]},R_1^{[n]}]=[Q_{\mathbf k^{[n]},0},Q_{\mathbf k^{[n]},1}, Q_{\mathbf k^{[n]},2}]$ есть набор полиномов Эрмита–Паде 1-го типа для набора функций $[f_0,f_1,f_2]$ и мультииндекса $\mathbf k^{[n]}$ с порядком касания, равным $O(z^{|\mathbf k^{[n]}|+2})=O(z^{n+1})$.

Доказательство теоремы 2. Проведем доказательство индукцией по $k$.

I) Пусть $k=0$.

Справедливость утверждений пп. 1), 2) теоремы вытекает непосредственно из представлений (2.8).

Из (2.7) получаем, что $Q_j^{[2]}=a^{[2]}Q_j^{[1]} +zR_j^{[0]}$, $j=1,2,3$. В силу (2.8) $R_1^{[0]}=0$, $R_j^{[0]}=\mathrm{const}_j\neq0$, $j=2,3$. Следовательно, из (2.8) вытекает, что $\operatorname{deg}{Q_1^{[2]}}\,{=}\,0$, $\operatorname{deg} Q_2^{[2]}=\operatorname{deg} Q_3^{[2]}=1$. Аналогично, из (2.7) имеем $R_j^{[2]}=b^{[2]}R_j^{[1]}+Q_j^{[1]}$. Следовательно, в силу (2.8) получаем, что $\operatorname{deg} R_1^{[2]}=\operatorname{deg} R_2^{[2]}=0$, $\operatorname{deg} R_3^{[2]}=1$. Утверждения п. 3) доказаны.

Проверим справедливость утверждений п. 4). Из (2.7) получаем $R_j^{[3]}=b^{[3]} R_j^{[2]}+Q_j^{[2]}$. Отсюда в силу установленных выше свойств полиномов $R_j^{[2]}$ и $Q_j^{[2]}$ вытекает, что $\operatorname{deg} R_1^{[3]}=0$, $\operatorname{deg}R_2^{[3]}=\operatorname{deg} R_3^{[3]}=1$.

Итак, при $k=0$ все утверждения пп. 1)–4) теоремы 2 верны.

II) Предположим теперь, что пп. 1)–4) теоремы 2 справедливы при $n=3k$, $n=3k+1$, $n=3k+2$ и $n=3k+3$, и докажем, что при этом предположении эти утверждения справедливы и при замене $k$ на $k+1$, т.е. при $n=3k+3$, $n=3k+4$, $n=3k+5$ и $n=3k+6$.

1) Пусть $n=3(k+1)=3k+3$. Тогда в силу соотношений (2.7) и справедливости пп. 2), 3) теоремы 2 при $n=3k+1$ и $n=3k+2$ имеем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{deg} Q_1^{[3k+3]}&=\max\bigl\{\operatorname{deg} Q_1^{[3k+2]},1+\operatorname{deg} R_1^{[3k+1]}\bigr\} =\max\{k,1+k\}=k+1, \\ \operatorname{deg} Q_j^{[3k+3]}&=\max\{\operatorname{deg} Q_j^{[3k+2]},1+\operatorname{deg} R_j^{[3k+1]}\} =\max\{k+1,1+k\}=k+1, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $j=2,3$.

2) Пусть $n=3k+4$. Тогда в силу (2.7), п. 4) при $n=3k+3$ и п. 1) при $n=3k+3$ имеем при $j=1,2,3$

$$ \begin{equation*} \operatorname{deg} R_j^{[3k+4]}=\max\{\operatorname{deg} R_j^{[3k+3]},\operatorname{deg} Q_j^{[3k+3]}\}=k+1. \end{equation*} \notag $$
Аналогично, используя (2.7) и пп. 1), 3) теоремы 2 при $n=3k+3$ и $n=3k+2$ соответственно, получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{deg} Q_j^{[3k+4]}&=\max\{\operatorname{deg} Q_j^{[3k+3]},1+\operatorname{deg} R_j^{[3k+2]}\}=k+1 \quad\text{при }\ j=1,2, \\ \operatorname{deg} Q_3^{[3k+4]}&=\max\{\operatorname{deg} Q_3^{[3k+3]},1+\operatorname{deg} R_3^{[3k+2]}\}=k+2. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

3) Докажем справедливость утверждений п. 3) при $n=3k+5$. Из (2.7) и п. 2) при $n=3k+4$ получаем для $j=1,2$

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{deg} R_j^{[3k+5]}&=\max\{\operatorname{deg} R_j^{[3k+4]},\operatorname{deg} Q_j^{[3k+4]}\} =\max\{k+1,k+1\}=k+1, \\ \operatorname{deg} R_3^{[3k+5]}&=\max\{\operatorname{deg} R_3^{[3k+4]},\operatorname{deg} Q_3^{[3k+4]}\} =\max\{k+1,k+2\}=k+2. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Аналогично, опираясь на (2.7) и доказанные пп. 1), 2), 4) теоремы 2 при $n=3k+3$, $n=3k+4$ и $n=3k+3$ соответственно, получаем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{deg} Q_1^{[3k+5]}&=\max\{\operatorname{deg} Q_1^{[3k+4]},1+\operatorname{deg} R_1^{[3k+3]}\} =\max\{k+1,1+k\}=k+1, \\ \operatorname{deg} Q_j^{[3k+5]}&=\max\{\operatorname{deg} Q_j^{[3k+4]},1+\operatorname{deg} R_j^{[3k+3]}\} =k+2\quad\text{при }\ j=2,3. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

4) Докажем теперь п. 4) при $n=3(k+1)+3=3k+6$. Используя (2.7) и справедливость п. 3) при $n=3k+5$, получаем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{deg} R_1^{[3k+6]}&=\max\{\operatorname{deg} R_1^{[3k+5]},\operatorname{deg} Q_1^{[3k+5]}\}=k+1, \\ \operatorname{deg} R_j^{[3k+6]}&=\max\{\operatorname{deg} R_j^{[3k+5]},\operatorname{deg} Q_j^{[3k+5]}\} =k+2 \quad\text{при }\ j=2,3. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Теорема 2 доказана.

2.3. Алгоритм при $m=2$ (для набора рядов $[f_0,f_1,f_2]$)

Даны три ряда

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, f_0=f_0(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}z^k=c_0+O(z), \qquad f_1=f_1(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}z^k=c_1+O(z), \\ f_2=f_2(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{2,k}z^k=c_2+O(z). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Начальный шаг итерации ($n=0$). Положим $f_0^{[0]}:=f_0$, $f_1^{[0]}:=f_1$, $f_2^{[0]}:=f_2$, $c_j^{[0]}:=c_j$, $j=0,1,2$, $a^{[0]}:=-c_2^{[0]}/c_1^{[0]}$, $b^{[0]}:=-c_1^{[0]}/c_0^{[0]}$. Пусть

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, Q_1^{[0]}:=1, \qquad Q_2^{[0]}:=a^{[0]}, \qquad Q_3^{[0]}:=0, \\ R_1^{[0]}:=0, \qquad R_2^{[0]}:=1, \qquad R_3^{[0]}:=b^{[0]}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

$1$-й шаг итерации ($n=1$). Положим

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, f_2^{[1]}:=f_0^{[0]}=: \sum_{k=0}^\infty c_{2,k}^{[1]}z^k=c_2^{[1]}+O(z), \\ f_1^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_2^{[0]}-\frac{c_2^{[0]}}{c_1^{[0]}}f_1^{[0]}\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[1]}z^k=c_1^{[1]}+O(z), \\ f_0^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_1^{[0]}-\frac{c_1^{[0]}}{c_0^{[0]}}f_0^{[0]}\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[1]}z^k=c_0^{[1]}+O(z). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Пусть $a^{[1]}:=-c_2^{[1]}/c_1^{[1]}$, $b^{[1]}:=-c_1^{[1]}/c_0^{[1]}$. Положим
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, Q_1^{[1]}:=a^{[1]}, \qquad Q_2^{[1]}:=a^{[1]}a^{[0]}, \qquad Q_3^{[1]}:=z, \\ R_1^{[1]}:=1, \qquad R_2^{[1]}:=b^{[1]}+a^{[0]}, \qquad R_3^{[1]}:=b^{[1]}b^{[0]}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

$(n+1)$-й шаг итерации ($n\geqslant1$). Положим при $n\geqslant1$

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, f_2^{[n+1]}:=f_0^{[n]}=:\sum_{k=0}^\infty c_{2,k}^{[n+1]}z^k=c_2^{[n+1]}+O(z), \\ f_1^{[n+1]}:=\frac1z\biggl(f_2^{[n]}-\frac{c_2^{[n]}}{c_1^{[n]}}f_1^{[n]}\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{1,k}^{[n+1]}z^k=c_1^{[n+1]}+O(z), \\ f_0^{[n+1]}:=\frac1z\biggl(f_1^{[n]}-\frac{c_1^{[n]}}{c_0^{[n]}}f_0^{[n]}\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{0,k}^{[n+1]}z^k=c_0^{[n+1]}+O(z), \\ a^{[n+1]}:=-\frac{c_2^{[n+1]}}{c_1^{[n+1]}}, \qquad b^{[n+1]}:=-\frac{c_1^{[n+1]}}{c_0^{[n+1]}}, \\ Q_j^{[n+1]}(z)=a^{[n+1]}Q_j^{[n]}(z)+zR_j^{[n-1]}(z), \\ R_j^{[n+1]}(z)=b^{[n+1]}R_j^{[n]}(z)+Q_j^{[n]}(z), \qquad j=1,2,3. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

§ 3. Случай произвольного $m\in\mathbb N$: набор рядов $[f_0,\dots,f_m]$

3.1. Введение и теоретические результаты

Пусть даны $m+1$ формальных рядов

$$ \begin{equation*} f_j=f_j(z)=\sum_{j=1}^\infty c_{j,k}z^k, \qquad f_j\in\mathbb C[[z]], \quad j=0,\dots,m. \end{equation*} \notag $$
Положим $f_j=c_j+O(z)$. Тогда имеем
$$ \begin{equation} \begin{pmatrix} 0&0&0&\dots&0&1\\ 1&0&0&\dots&0&0\\ 0&1&0&\dots&0&0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0&0&\dots&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}f_m\\f_{m-1}\\f_{m-2}\\\vdots\\f_0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}f_0\\f_m\\f_{m-1}\\\vdots\\f_1\end{pmatrix}, \end{equation} \tag{3.1} $$
$$ \begin{equation} \begin{split} &\begin{pmatrix} z&0&0&0&0&\dots&0&0&0\\ 0&1&-\dfrac{c_m}{c_{m-1}}&0&0&\dots&0&0&0\\ 0&0&1&-\dfrac{c_{m-1}}{c_{m-2}}&0&\dots&0&0&0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0&0&0&0&\dots&0&1&-\dfrac{c_2}{c_1}\\ -\dfrac{c_1}{c_0}&0&0&0&0&\dots&0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}f_0\\f_m\\f_{m-1}\\\vdots\\f_1\end{pmatrix} \\ &\qquad =\begin{pmatrix}zf_0 \\ f_m-\dfrac{c_m}{c_{m-1}}f_{m-1}\\\vdots\\ f_2-\dfrac{c_1}{c_0}f_1 \\ f_1-\dfrac{c_1}{c_0}f_0\end{pmatrix} =z\begin{pmatrix} f^{[1]}_m \\ f^{[1]}_{m-1} \\ f^{[1]}_{m-2}\\\vdots\\f^{[1]}_0 \end{pmatrix}=O(z), \end{split} \end{equation} \tag{3.2} $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, f_m^{[1]}:=f_0=:\sum_{k=0}^\infty c_{m,k}^{[1]}z^k=c_m^{[1]}+O(z), \\ f_j^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_{j+1}-\frac{c_{j+1}}{c_j}f_j\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{j,k}^{[1]}z^k=c_j^{[1]}+O(z), \qquad j=0,\dots,m-1. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Положим $c_j^{[0]}:=c_j$ и
$$ \begin{equation*} f_j^{[0]}:=f_j=:\sum_{k=0}^\infty c_{j,k}^{[0]}z^k=c_j^{[0]}+O(z), \qquad j=0,\dots,m, \end{equation*} \notag $$
$a_j^{[0]}:=-c_{j}^{[0]}/c_{j-1}^{[0]}$, $j=1,\dots,m$.

Пусть

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, M_1:=\begin{pmatrix} 0&0&0&\dots&0&1\\ 1&0&0&\dots&0&0\\ 0&1&0&\dots&0&0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0&0&\dots&1&0\end{pmatrix}, \\ M_2:= \begin{pmatrix} z&0&0&0&0&\dots&0&0&0\\ 0&1&a_m^{[0]}&0&0&\dots&0&0&0\\ 0&0&1&a_{m-1}^{[0]}&0&\dots&0&0&0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0&0&0&0&\dots&0&1&a_2^{[0]}\\ a_1^{[0]}&0&0&0&0&\dots&0&0&1 \end{pmatrix}, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
и пусть
$$ \begin{equation} M^{[0]}:=M_2M_1= \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0&\dots&0&0&z\\ 1&a_m^{[0]}&0&0&0&\dots&0&0&0\\ 0&1&a_{m-1}^{[0]}&0&0&\dots&0&0&0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0&0&0&0&\dots&1&a_2^{[0]}&0\\ 0&0&0&0&0&\dots&0&1&a_1^{[0]} \end{pmatrix}. \end{equation} \tag{3.3} $$
Тогда имеем
$$ \begin{equation} M^{[0]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[0]}=z{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[1]}=O(z), \quad\text{где }\ \vec{f}^{\,[0]}:=(f_0^{[0]},\dots,f_m^{[0]}), \quad \vec{f}^{\,[1]}:=(f_0^{[1]},\dots,f_m^{[1]}). \end{equation} \tag{3.4} $$

Положим теперь при $n\geqslant1$

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, a_j^{[n]}:=-\frac{c_j^{[n]}}{c_{j-1}^{[n]}}, \qquad j=1,\dots,m, \\ f_m^{[n+1]}:=f_0^{[n]}=:\sum_{k=0}^\infty c_{m,k}^{[n+1]}z^k =c_m^{[n+1]}+O(z), \\ f_j^{[n+1]}:=\frac1z\biggl(f_{j+1}^{[n]}\,{-}\,\frac{c_{j+1}^{[n]}}{c_j^{[n]}}f_j^{[n]}\biggr) \,{=}\sum_{k=0}^\infty c_{j,k}^{[n+1]}z^k\,{=}\,c_j^{[n+1]}\,{+}\,O(z), \qquad j\,{=}\,0,\dots,m\,{-}\,1. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Пусть
$$ \begin{equation} M^{[n]}:= \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0&\dots&0&0&z\\ 1&a_m^{[n]}&0&0&0&\dots&0&0&0\\ 0&1&a_{m-1}^{[n]}&0&0&\dots&0&0&0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0&0&0&0&\dots&1&a_2^{[n]}&0\\ 0&0&0&0&0&\dots&0&1&a_1^{[n]} \end{pmatrix}, \end{equation} \tag{3.5} $$
тогда аналогично (3.4) получаем при $n\geqslant1$
$$ \begin{equation} M^{[n]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[n]}=z{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[n+1]}, \quad\text{где }\ \vec{f}^{\,[n]}:=(f_m^{[0]},\dots,f_0^{[0]})\in\mathbb C^{m+1}[[z]]. \end{equation} \tag{3.6} $$
Тем самым из (3.6) вытекает, что
$$ \begin{equation*} M^{[n]}\cdots M^{[0]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[0]}=z^{n+1}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[n+1]}=O(z^{n+1}), \end{equation*} \notag $$
или
$$ \begin{equation} A^{[n]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[0]}=z^{n+1}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}^{\,[n+1]}=O(z^{n+1}), \end{equation} \tag{3.7} $$
где $A^{[n]}:=M^{[n]}\cdots M^{[0]}$. При этом $A^{[0]}=M^{[0]}$, где матрица $M^{[0]}$ задана представлением (3.3). Пусть
$$ \begin{equation} A^{[n]}= \begin{pmatrix}\vec{A}_1^{\,[n]}\\\vdots\\\vec{A}_{m+1}^{\,[n]}\end{pmatrix}, \quad\text{где }\ \vec{A}_j^{\,[n]}:=(A_{j,1}^{[n]},\dots,A_{j,m+1}^{[n]}), \quad j=1,\dots,m+1. \end{equation} \tag{3.8} $$
Из определения матрицы $A^{[n]}$ вытекает, что
$$ \begin{equation*} A^{[n+1]}=M^{[n+1]}A^{[n]}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, из (3.5) получаем
$$ \begin{equation} \vec{A}_1^{\,[n+1]}=z\vec{A}_{m+1}^{\,[n]}, \end{equation} \tag{3.9} $$
$$ \begin{equation} \vec{A}_j^{\,[n+1]}=\vec{A}_{j-1}^{\,[n]}+a_{m+2-j}^{[n+1]}\vec{A}_j^{\,[n]} =a_{m+2-j}^{[n+1]}\vec{A}_j^{\,[n]}+\vec{A}_{j-1}^{\,[n]}, \qquad j=2,\dots,m+1. \end{equation} \tag{3.10} $$
Теперь, используя (3.9), преобразуем (3.10) к следующему виду при $n\geqslant1$:
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \vec{A}_2^{\,[n+1]}=a_m^{[n+1]}\vec{A}_2^{\,[n]}+z\vec{A}_{m+1}^{\,[n-1]}, \\ \vec{A}_j^{\,[n+1]}=a_{m+2-j}^{[n+1]}\vec{A}_j^{\,[n]}+\vec{A}_{j-1}^{\,[n]}, \qquad j=3,\dots,m+1. \end{gathered} \end{equation} \tag{3.11} $$
Соотношения (3.11) представляют собой трехчленные рекуррентные соотношения для $m$ строк $\vec{A}_j^{\,[n+1]}$, $j=2,\dots,m+1$, матрицы $A^{[n+1]}$. Первая строка находится по формуле (3.9). Из (3.11) вытекает, что для того, чтобы вычислить элементы строк $\vec{A}_j^{\,[n+1]}$, $j=2,\dots,m+1$, матрицы $A^{[n+1]}$ рекуррентным образом, достаточно знать элементы строк $\vec{A}_j^{\,[1]}$, $j=2,\dots,m+1$, матрицы $A^{[1]}$ и $(m+1)$-ю строку $\vec{A}_{m+1}^{\,[0]}$ начальной матрицы $A^{[0]}$. Найдем нужные строки.

Из (3.3) и равенства $A^{[0]}=M^{[0]}$ получаем

$$ \begin{equation*} \vec{A}_{m+1}^{\,[0]} =(\underbrace{0,0,0,0,\dots,0,1,a_1^{[0]}}_{m+1})\in\mathbb C^{m+1}. \end{equation*} \notag $$
Из определения $A^{[1]}:=M^{[1]}M^{[0]}$ и (3.5) (при $n=1$) получаем
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \vec{A}_2^{\,[1]}&=(a_m^{[1]},a_m^{[1]}a_m^{[0]},0,0,\dots,0,0,z)\in\mathbb C^{m+1}, \\ \vec{A}_j^{\,[1]}&=(0,\dots,0,\underbrace{1,a_{m+2-j}^{[1]}+a_{m+3-j}^{[0]}, a_{m+2-j}^{[1]}a_{m+2-j}^{[0]}}_{j-2\,,j-1\,,j},0,\dots,0), \qquad j=3,\dots,m, \\ \vec{A}_{m+1}^{\,[1]}&=(0,0,\dots,0,1,a_1^{[1]}+a_2^{[0]},a_1^{[1]}a_1^{[0]}) \in\mathbb C^{m+1}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.12} $$
Таким образом, начальные условия (3.12) для рекуррентных соотношений (3.11) задаются $m+1$ векторами из пространства $\mathbb C^{m+1}$. В силу (3.11) все элементы $A_{j,k}^{[n]}$ – полиномы переменного $z$, $A_{j,k}^{[n]}\in\mathbb C[z]$ при всех $n=0,1,\dots$, $j,k=1,\dots,m+1$.

Для произвольного вектора $\vec{c}=(c_1,\dots,c_{m+1})\in\mathbb C^{m+1}$ положим

$$ \begin{equation*} {}^{\mathsf B}\vec{c}:=(c_{m+1},\dots,c_1). \end{equation*} \notag $$

Имеем аналогично (3.11)

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, A_{2,k}^{[n+1]}&=a_n ^{[n+1]}A_{2,k}^{[n]}+z A_{m+1,k}^{[n-1]}, \qquad k=1,\dots,m+1, \\ A_{j,k}^{[n+1]}&=a_{m+2-j}^{[n+1]}A_{j,k}^{[n]}+A_{j-1,k}^{[n]}, \qquad k=1,\dots,m+1, \quad j=3,\dots,m+1. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Справедлива следующая

Теорема 3. Пусть $m\in\mathbb N$, $n\geqslant m-1$ и $n=m-1+(m+1)k+\ell$, где $\ell\in\{0,\dots,m\}$, $k\in\{0,1,2,\dots\}$ ($\ell\,{=}\,(n\,{-}\,m\,{+}\,1)\ (\operatorname{mod}{m\,{+}\,1})$). Тогда справедливы следующие утверждения.

1) При $\ell=0$ имеем $\operatorname{deg} A_{m+1,s}^{[n]}=k$ при всех $s=1,\dots,m+1$. Вектор ${}^{\mathsf B}\vec{A}_{m+1}^{\,[n]}=\vec{Q}_{\mathbf k^{[n]}}(\vec{f}) =(Q_{\mathbf k^{[n]},0},Q_{\mathbf k^{[n]},1},\dots,Q_{\mathbf k^{[n]},m})$ – вектор полиномов Эрмита–Паде 1-го типа для вектора-ряда ${}^{\mathsf B}\vec{f}=(f_0,\dots,f_m)$ и мультииндекса $\mathbf k^{[n]}=(k,k,\dots,k)$. Порядок касания равен $|\mathbf k^{[n]}|+m=(m+1)k+m=n+1$, т.е.

$$ \begin{equation} {}^{\mathsf B}\vec{Q}_{\mathbf k^{[n]}}(\vec{f}){}^{\mathsf T\!}\vec{f}=\vec{A}_{m+1}^{\,[n]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}=O(z^{n+1}). \end{equation} \tag{3.13} $$

2) При $\ell\,{=}\,1,\dots,m$ имеем $\operatorname{deg}{A}_{m+1,m+1-s}^{[n]}\,{=}\,k\,{+}\,1$ для индексов $s\,{=}\,0,\dots,\ell\,{-}\,1$ и $\operatorname{deg}{A}_{m+1,m+1-s}^{[n]}=k$ для индексов $s=\ell,\dots,m$. Вектор ${}^{\mathsf B}\vec{A}_{m+1}^{\,[n]}=\vec{Q}_{\mathbf k^{[n]}}(\vec{f}) =(Q_{\mathbf k^{[n]},0},Q_{\mathbf k^{[n]},1},\dots,Q_{\mathbf k^{[n]},m})$ – вектор полиномов Эрмита–Паде 1-го типа для вектор-функции ${}^{\mathsf B}\vec{f}=(f_0,\dots,f_m)$ и мультииндекса

$$ \begin{equation*} \mathbf k^{[n]}=(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{\ell}, \underbrace{k,\dots,k}_{m+1-\ell}). \end{equation*} \notag $$
Порядок касания равен $|\mathbf k^{[n]}|+m=(m+1)k+m+\ell=n+1$, т.е.
$$ \begin{equation} {}^{\mathsf B}\vec{Q}_{\mathbf k^{[n]}}(\vec{f}){}^{\mathsf T\!}\vec{f}=\vec{A}_{m+1}^{\,[n]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}=O(z^{n+1}). \end{equation} \tag{3.14} $$

Итак, при любом $n\geqslant m-1$ полиномы $Q_{\mathbf k^{[n]},j}=A_{m+1,m+1-j}^{[n]}$, $j=0,\dots,m$, – это полиномы Эрмита–Паде 1-го типа для набора $[f_0,\dots,f_m]$ и мультииндекса $\mathbf k^{[n]}=(k_0,\dots,k_m)$, где $k_j= \operatorname{deg}{A_{m+1,m+1-j}^{[n]}}$, $j=0,\dots,m$, и порядок касания равен

$$ \begin{equation*} |\mathbf k^{[n]}|+m=\sum_{j=0}^m \operatorname{deg}{A}_{m+1,m+1-j}^{[n]}+m=n+1 \end{equation*} \notag $$
(мультииндекс $\mathbf k^{[n]}$ однозначно определяется по заданному числу $n\geqslant m-1$).

Замечание 3. Отметим, что, действуя вышеуказанным рекуррентным образом, к моменту вычисления набора полиномов Эрмита–Паде, соответствующего мультииндексу $(k\,{+}\,1,k\,{+}\,1,k\,{+}\,1,\dots,k\,{+}\,1,k\,{+}\,1)$, мы уже вычислили все наборы полиномов Эрмита–Паде, соответствующих мультиндексам $(k,k,k, \dots,k,k)$, $(k+1,k,k,\dots,k,k)$, $(k+1,k+1,k,\dots,k,k)$, $\dots$, $(k+1,k+1,k+1, \dots,k+1,k)$. Согласно [15] такие индексы называются правильными.

Замечание 4 (ср. замечание 2). Если начать итерационный процесс с вектор-функции $\vec{f}^{\,[0]}=(f_0,\dots,f_m)\in\mathbb C^{m+1}$ (вместо $\vec{f}^{\,[0]}=(f_m,\dots,f_0)$), то в результате получим полиномы Эрмита–Паде 1-го типа для мультииндексов $(k,\dots,k,k,k)$, $\dots$, $(k,\dots,k,k,k+1)$, $(k,\dots,k,k+1,k+1)$, $\dots$ .

Если же положить

$$ \begin{equation*} \vec{f}^{\,[0]}=(\underbrace{f_{s-1},\dots,f_0}_{s},f_m,\dots,f_s), \end{equation*} \notag $$
то в результате итерационного процесса получим полиномы Эрмита–Паде для мультииндексов
$$ \begin{equation*} (k,\dots,k),(k,\dots,k,\underbrace{k+1}_s,k,k,\dots,k), (k,\dots,k,\underbrace{k+1,k+1}_{s,s+1},k,\dots,k) \end{equation*} \notag $$
(ср. [14]).

Замечание 5. Отметим, что известны различные варианты рекуррентных соотношений для полиномов Эрмита–Паде. Такие соотношения широко используются в теоретических исследованиях при изучении свойств этих полиномов (см., например, [12], [3], [24], [22], [13] и имеющуюся там библиографию). Однако, как правило, эти результаты получены для набора рядов Лорана, заданных в бесконечно удаленной точке, и имеют, вообще говоря, более сложный характер, чем трехчленные соотношения вида (3.11).

Доказательство теоремы 3. Для вектора $\vec{p}(z):=(p_1(z),\dots,p_{m+1}(z))\in\mathbb C^{m+1}[z]$, где $p_j(z)\in\mathbb C[z]$, положим
$$ \begin{equation*} \operatorname{deg}\vec{p}(z):=(\operatorname{deg} p_1(z),\dots,\operatorname{deg} p_{m+1}(z))\in\mathbb Z^{m+1}_{+}. \end{equation*} \notag $$
Для векторов $\vec{p}(z)$ и $\vec{q}(z)$, $\vec{p},\vec{q}\in\mathbb C^{m+1}[z]$, неравенство $\operatorname{deg}\vec{p}\geqslant\operatorname{deg}\vec{q}$ по определению означает, что $\operatorname{deg}\vec{p}-\operatorname{deg}\vec{q}\in \mathbb Z^{m+1}_{+}$. Аналогично, неравенство $\operatorname{deg}\vec{p}>\operatorname{deg}\vec{q}$ означает, что $\operatorname{deg}\vec{p}-\operatorname{deg}\vec{q}\in \mathbb N^{m+1}$.

Положим $\vec{e}_1:=(1,0,\dots,0)\in\mathbb Z^{m+1}$ и $\vec{e}_{m+1}:=(1,1,\dots,1)\in\mathbb N^{m+1}$.

Следующая лемма справедлива в условиях теоремы 3 и лежит в основе доказательства этой теоремы.

Лемма. Пусть $n\geqslant m-1$. Тогда имеем

$$ \begin{equation} \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{j-1}\geqslant \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{j} \quad\textit{при }\ j=2,\dots,m. \end{equation} \tag{3.15} $$

Пусть $n=m-1+(m+1)k+\ell$, где $\ell=(n-(m-1))\ (\operatorname{mod}m+1)\in\{0,1, \dots,m\}$, $k=0,1,\dots$ . Тогда справедливы следующие соотношения:

  • • при всех $\ell$
    $$ \begin{equation} \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{\ell+s} =(\underbrace{k,\dots,k}_s,\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+1-s}), \qquad s=1,\dots,m+1-\ell; \end{equation} \tag{3.16} $$
  • • при $\ell\geqslant1$
    $$ \begin{equation} \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{\ell-j} =(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+1-j},\underbrace{k+2,\dots,k+2}_j), \qquad j=0,\dots,\ell-1. \end{equation} \tag{3.17} $$

Из соотношений (3.16) и (3.17) при $s=m+1-\ell$ и $j=\ell-1$ для $\ell\geqslant1$ получаем соответственно

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{m+1}&=(\underbrace{k,\dots,k}_{m+1-\ell}, \underbrace{k+1,\dots,k+1}_{\ell}), \\ \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_1&=(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+2-\ell}, \underbrace{k+2,\dots,k+2}_{\ell-1}). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.18} $$
Тем самым из (3.18) вытекает, что $\operatorname{deg}{A}^{[n]}_{m+1,j}=k$ при $j=1,\dots,m+1-\ell$ и $\operatorname{deg} A^{[n]}_{m+1,j}=k+1$ при $j=m+1-\ell+1,\dots,m+1$. Эквивалентным образом эти соотношения записываются в следующем виде: $\operatorname{deg} A^{[n]}_{m+1,m+1-s}=k+1$ при $s=0,\dots,\ell-1$ и $\operatorname{deg} A^{[n]}_{m+1,m+1-s}=k$ при $s=\ell,\dots,m$. Непосредственно отсюда вытекает справедливость утверждений пп. 1), 2) теоремы 3.

Теорема 3 доказана.

Доказательство леммы. Проведем доказательство индукцией по $n$.

1) Пусть $n=m-1$. Имеем

$$ \begin{equation} A^{[n]}=M^{[n]}A^{[n-1]}=M^{[n]}\dotsb M^{[1]}M^{[0]}, \end{equation} \tag{3.19} $$
где матрица $M^{[0]}$ имеет вид (3.3), матрица $M^{[n]}$ имеет аналогичный вид (3.5). Пусть $M^{[p]}$ – матрица, которая получается из матрицы $M^{[n]}$ заменой $n$ на $p$, $p=0,1,\dots,n$. Тогда $M^{[p]}\in\operatorname{GL}_{\mathbb C}(m+1,m+1)$. При этом $\det M^{[p]}=(-1)^pz\not\equiv0$.

Пусть $B_2:=M^{[p]}B_1$, где $B_1\in\operatorname{GL}_{\mathbb C}(m+1,m+1)$. Тогда матрица $B_2$ – результат умножения слева матрицы $B_1$ на матрицу $M^{[p]}$, и непосредственно из структуры (3.5) матрицы $M^{[p]}$ вытекает, что имеют место следующие факты.

1) Последняя, $(m+1)$-я, строка матрицы $B_1$ умножается на $z$ и становится первой строкой матрицы $B_2$; тем самым степень соответствующих полиномиальных элементов исходной матрицы $B_1$ увеличивается ровно на 1.

2) Вторая строка матрицы $B_2$ получается следующим образом: вторая строка матрицы $B_1$ умножается на элемент $a^{[p]}_m$ и складывается с элементом первой строки матрицы $B_1$.

3) При $j\geqslant2$ соответствующая $j$-я строка матрицы $B_2$ получается следующим образом: $j$-я строка матрицы $B_1$ умножается на элемент $a^{[p]}_{m-j+2}$ и складывается с элементом $(j-1)$-й строки матрицы $B_1$.

Отсюда уже с учетом явного вида (3.3) матрицы $M^{[0]}$ вытекает, что при $n=m-1$ матрица $A^{[m-1]}=M^{[m-1]}\dotsb M^{[0]}$ имеет следующий вид:

$$ \begin{equation} \begin{pmatrix} *&*z+*&*z+*&*z+*&\dots&*z+*&*z+*&*z+*\\ *&*&*z+*&*z+*&\dots&*z+*&*z+*&*z+*\\ *&*&*&*z+*&\dots&*z+*&*z+*&*z+*\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ *&*&*&*&\dots&*&*&*z+*\\ c_m&c_{m-1}&c_{m-2}&c_{m-3}&\dots&c_2&c_1&c_0 \end{pmatrix}, \end{equation} \tag{3.20} $$
где через “$*$” и “$*z+*$” обозначены соответственно некоторые комплексные величины и некоторые полиномы переменного $z$ 1-й степени с комплексными коэффициентами. Точное значение этих величин и явный вид этих полиномов нам здесь не важен. Величины $c_0,c_1,\dots,c_m$ – некоторые комплексные постоянные, не все одновременно1 равные нулю. При этом из (3.6) и (3.7) вытекает, что выполняется соотношение
$$ \begin{equation} c_0f_0+c_1f_1+\dots +c_{m-1}f_{m-1}+c_mf_m=O(z^m)=O(z^{n+1}). \end{equation} \tag{3.21} $$
Соотношение (3.21) означает, что нетривиальный набор постоянных величин $[c_0,c_1,\dots,c_{m-1},c_m]$ является набором полиномов Эрмита–Паде 1-го типа для набора рядов $[f_0,f_1,\dots,f_{m-1},f_m]$ и мультииндекса $\mathbf k^{[m-1]}=(0,0,\dots,0,0)$ с соответствующим порядком касания, равным $|\mathbf k^{[m-1]}|+m=m=n+1$.

Таким образом, непосредственно из представления (3.20) вытекает, что при $n=m-1$ утверждения леммы справедливы.

2) Предположим теперь, что утверждения леммы справедливы при некотором $n\geqslant m-1$, и докажем, что отсюда вытекает справедливость этих утверждений при замене $n$ на $n+1$.

Пусть $n=m-1+(m+1)k+\ell$, $\ell=(n-m+1)\ (\operatorname{mod}m+1)\in\{0,\dots,m\}$.

a) Докажем неравенство (3.15), т.е. соотношение $\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_j\geqslant\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{j+1}$ при $j=1,\dots,m$.

Поскольку по предположению индукции выполняется соотношение (3.18), то в силу (3.9) имеем $\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[m+1]}_1=(k+1,\dots,k+1)$ при $\ell=0$ и

$$ \begin{equation*} \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[m+1]}_1 =(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+1-\ell},\underbrace{k+2,\dots,k+2}_{\ell}) \end{equation*} \notag $$
при $\ell\geqslant1$. При этом
$$ \begin{equation*} \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}=(k,\underbrace{k+1,\dots,k+1}_m) \end{equation*} \notag $$
при $\ell=0$ и $\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}=(k+1,\dots,k+1)$ при $\ell=1$. Отсюда вытекает, что $\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_1>\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_1$ при всех $\ell$. В силу формул (3.16) и (3.17), справедливых по предположению индукции, получаем, что $\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_1>\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_1$.

Отсюда в силу рекуррентных соотношений (3.10) вытекает, что

$$ \begin{equation} \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_1\geqslant\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_1 =\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_2. \end{equation} \tag{3.22} $$
Неравенство
$$ \begin{equation} \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_j\geqslant\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{j+1}, \qquad j=2,\dots,m, \end{equation} \tag{3.23} $$
вытекает из рекуррентного соотношения (3.10) в силу предположения индукции. Таким образом, получаем из (3.22) и (3.23), что
$$ \begin{equation*} \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_j\geqslant\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}, \qquad j=1,2,\dots,m. \end{equation*} \notag $$

2) Докажем теперь соотношения (3.16) и (3.17) для следующего шага индукции, т.е. при $n+1$. Рассмотрим два случая: $\ell\in\{0,\dots,m-1\}$ и $\ell=m$.

a) Пусть $\ell\in\{0,\dots,m-1\}$. Тогда $\ell+1\in\{1,\dots,m\}$ и $n+1=m-1+(m+ 1)k+\ell+1$. Из (3.9) и (3.16) при $s=m+1-\ell$ получаем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_1 &=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{m+1}+\vec{e}_{m+1} =(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+1-\ell},\underbrace{k+2,\dots,k+2}_{\ell}) \\ &=(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+1-j},\underbrace{k+2,\dots,k+2}_{j})\bigr|_{j=\ell} =\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{\ell'-j}\bigr|_{j=\ell'-1}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $\ell'=\ell+1$. Тем самым формула (3.17) доказана при $n+1$ и $j=\ell=\ell'-1$.

Поскольку по предположению индукции $\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{j-1}\geqslant\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_j$ при $j=2,\dots, m+1$, то из (3.10) получаем, что

$$ \begin{equation} \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_j=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{j-1}, \qquad j=2,\dots,m+1. \end{equation} \tag{3.24} $$
Следовательно, при $\ell\in\{1,\dots,m-1\}$ и $\ell'=\ell+1\in\{2,\dots,m\}$ в силу (3.16) имеем
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{\ell'+s}=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{\ell+s} =(\underbrace{k,\dots,k}_{s},\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+1-s}), \\ s=1,\dots,m+1-\ell'=1,\dots,m-\ell. \end{gathered} \end{equation} \tag{3.25} $$
Тем самым (3.16) доказано для $(n+1)$-го шага индукции.

Докажем формулу (3.17). В силу (3.10) и неравенства (3.15) имеем

$$ \begin{equation} \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{\ell'-j}=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{\ell'-j-1} =\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{\ell-j} =(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+1-j},\underbrace{k+2,\dots,k+2}_{j}), \end{equation} \tag{3.26} $$
где $j=0,\dots,\ell'-2=0,\dots,\ell-1$. При $j=\ell'-1=\ell$ имеем $\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{\ell'-j}=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_1$, и справедливость формулы (3.26) установлена выше.

b) Пусть теперь $\ell=m$. Тогда $n+1=m-1+(m+1)(k+1)$ и $\ell'=0$. В таком случае из (3.9) и (3.18) имеем $s=m+1-s$ и

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_1 &=\vec{e}_1+\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{m+1}= (k,\underbrace{k+1,\dots,k+1}_m)+\vec{e}_1 =(k+1,\underbrace{k+2,\dots,k+2}_m) \\ &=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{\ell'+s}\bigr|_{\ell'=0,s=1} =(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_s,\underbrace{k+2,\dots,k+2}_{m+1-s})\bigr|_{s=1}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Далее имеем при $s=2,\dots,m+1$, $s-1=s'=m-j'$
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_{\ell'+s}=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n+1]}_s =\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{s-1}=\operatorname{deg}\vec{A}^{\,[n]}_{m-j'} \\ &\qquad=(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{m+1-j'},\underbrace{k+2,\dots,k+2}_{j'} =(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{s},\underbrace{k+2,\dots,k+2}_{m+1-s}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Значит, (3.16) доказано на $(n+1)$-м шаге для $\ell=m$.

Лемма доказана.

3.2. Алгоритм при произвольном $m\in\mathbb N$ (для набора рядов вида $[f_0, \dots,f_m]$)

3.2.1. Построение новых рядов $f_0^{[n]},\dots,f_m^{[n]}$, $n=1,2,\dots$

Пусть даны $m\in\mathbb N$ и ряды

$$ \begin{equation*} f_0,\dots,f_m\in\mathbb C[[z]], \qquad f_j=f_j(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{j,k}z^k=c_j+O(z). \end{equation*} \notag $$

Начальный шаг итерации ($n=0$). Полагаем

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, f_j^{[0]}:=f_j=\sum_{k=0}^\infty c_{j,k}z^k =:\sum_{k=0}^\infty c^{[0]}_{j,k}z^k=c_j^{[0]}+O(z), \qquad j=1,\dots,m, \\ a_j^{[0]}:=-\frac{c_j^{[0]}}{c_{j-1}^{[0]}}, \qquad j=1,\dots,m. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

$1$-й шаг итерации ($n=1$). Полагаем

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, f_m^{[1]}:=f_0^{[0]}=:\sum_{k=0}^\infty c_{m,k}^{[1]}z^k=c_m^{[1]}+O(z), \\ f_j^{[1]}:=\frac1z\biggl(f_{j+1}^{[0]}-\frac{c_{j+1}^{[0]}}{c_j^{[0]}}f_j^{[0]}\biggr) =\sum_{k=0}^\infty c_{j,k}^{[1]}z^k=c_j^{[1]}+O(z), \qquad j=0,\dots,m-1, \\ a_j^{[1]}:=-\frac{c_j^{[1]}}{c_{j-1}^{[1]}}, \qquad j=1,\dots,m. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

$(n+1)$-й шаг итерации ($n\geqslant1$). Полагаем

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, f_m^{[n+1]}:=f_0^{[n]}=:\sum_{k=0}^\infty c_{m,k}^{[n+1]}z^k =c_m^{[n+1]}+O(z), \\ f_j^{[n+1]}:=\frac1z(f_{j+1}^{[n]}+a_{j+1}^{[n]}f_j^{[n]}) =\sum_{k=0}^\infty c_{j,k}^{[n+1]}z^k=c_j^{[n+1]}+O(z), \qquad j=0,\dots,m-1, \\ a_j^{[n+1]}:=-\frac{c_j^{[n+1]}}{c_{j-1}^{[n+1]}}, \qquad j=1,\dots,m. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Итак, по заданному набору рядов $f_0,\dots,f_m\in\mathbb C[[z]]$ мы построили новые ряды $f_0^{[n]},\dots,f_m^{[n]}\in\mathbb C[[z]]$ и нашли величины $a_1^{[n]},\dots,a_m^{[n]}\in\mathbb C$ при всех $n=0,1,2,\dots$ .

Замечание 6. Отметим, что основная цель шага 3.2.1 – это именно нахождение $m$ величин $a_1^{[n]},\dots,a_m^{[n]}\in\mathbb C$ ($n=1,2,\dots$).

Замечание 7. Из описания шага 3.2.1 вытекает, что процедуры вычисления новых рядов $f^{[n+1]}_0,\dots,f^{[n+1]}_m$ по рядам $f^{[n]}_0,\dots,f^{[n]}_m$ могут выполняться параллельно.

3.2.2. Построение полиномов Эрмита–Паде для мультииндекса $\mathbf k^{[n]}\in\mathbb Z_{+}^{m+1}$ (см. (3.27)) при $n\geqslant m-1$

Построение полиномов Эрмита–Паде естественным образом разбивается на несколько шагов.

Начальный шаг итерации ($n=0$). Полагаем

$$ \begin{equation*} \vec{A}_{m+1}^{\,[0]}:=(0,0,0,\dots,0,1,a_1^{[0]})\in\mathbb C^{m+1}. \end{equation*} \notag $$

$1$-й шаг итерации ($n=1$). Полагаем

$$ \begin{equation*} \vec{A}_2^{\,[1]}:=(a_m^{[1]},a_m^{[1]}a_m^{[0]},0,0,\dots,0,0,z)\in\mathbb C^{m+1}, \end{equation*} \notag $$
для $j=3,\dots,m+1$ полагаем
$$ \begin{equation*} \vec{A}_j^{\,[1]}:=(0,\dots,0, \underbrace{1,a_{m+2-j}^{[1]}+a_{m+3-j}^{[0]},a_{m+2-j}^{[1]}a_{m+2-j}^{[0]}}_{j-2,\,\,j-1,\,\,j}, 0,\dots,0)\in\mathbb C^{m+1}. \end{equation*} \notag $$

$(n\,{+}\,1)$-й шаг итерации ($n\geqslant m-1$). Полагаем $\ell:=(n-(m-1)) (\operatorname{mod}m+1)\in\{0,\dots,m\}$, находим $k$ из соотношения $n-(m-1)=(m+1)k+\ell$ (имеем $\ell=0,\dots,m$, $k:=(n-(m-1)-\ell)/(m+1)\in\mathbb Z_{+}$, $k=0,1,\dots$).

Полагаем

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \mathbf k^{[n]} :=(\underbrace{k+1,\dots,k+1}_{\ell},\underbrace{k,\dots,k}_{m+1-\ell})\in\mathbb Z_{+}^{m+1}, \\ \vec{A}_2^{\,[n+1]}:=a_m^{[n+1]}\vec{A}_2^{\,[n]}+z\vec{A}_{m+1}^{\,[n-1]}, \notag \end{gathered} \end{equation} \tag{3.27} $$
для $j=3,\dots,m+1$ полагаем
$$ \begin{equation*} \vec{A}_j^{\,[n+1]}:=a_{m+2-j}^{[n+1]}\vec{A}_j^{\,[n]}+\vec{A}_{j-1}^{\,[n]}. \end{equation*} \notag $$
Тогда при всех $n\geqslant m-1$ имеем
$$ \begin{equation*} \vec{A}_{m+1}^{\,[n]}{}^{\mathsf T\!}\vec{f}=O(z^{n+1}), \end{equation*} \notag $$
и вектор $\vec{Q}_{\mathbf k^{[n]}}(\vec{f}): =(A_{m+1,m+1}^{[n]},\dots,A_{m+1,1}^{[n]}) =(Q_{\mathbf k^{[n]},0},\dots,Q_{\mathbf k^{[n]},m})$ – вектор полиномов Эрмита–Паде 1-го типа для вектора-ряда ${}^{\mathsf B}\vec{f}:=(f_0,\dots,f_m)$ и мультииндекса $\mathbf k^{[n]}=(k_0,\dots,k_m)$, где $k_j= \operatorname{deg}{A_{m+1,m+1-j}^{[n]}}$, $j=0,\dots,m$, и порядок касания равен
$$ \begin{equation*} |\mathbf k^{[n]}|+m=\sum_{j=0}^m \operatorname{deg}{A}_{m+1,m+1-j}^{[n]}+m=n+1 \end{equation*} \notag $$
(мультииндекс $\mathbf k^{[n]}$ однозначно определяется по заданному числу $n\geqslant m-1$; см. (3.27)).

Список литературы

1. P. Amore, J. P. Boyd, F. M. Fernández, “High order analysis of the limit cycle of the van der Pol oscillator”, J. Math. Phys., 59:1 (2018), 012702, 11 pp.  crossref  mathscinet  zmath
2. Дж. Бейкер мл., П. Грейвс-Моррис, Аппроксимации Паде, Мир, М., 1986, 504 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: G. A. Baker, Jr., P. Graves-Morris, Padé approximants, Encyclopedia Math. Appl., 59, 2nd ed., Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., 1996, xiv+746 с.  crossref  mathscinet  zmath
3. Д. Барриос Роланиа, Дж. С. Джеронимо, Г. Лопес Лагомасино, “Рекуррентные соотношения высших порядков, аппроксимации Эрмита–Паде и системы Никишина”, Матем. сб., 209:3 (2018), 102–137  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. Barrios Rolanía, J. S. Geronimo, G. López Lagomasino, “High-order recurrence relations, Hermite–Padé approximation and Nikishin systems”, Sb. Math., 209:3 (2018), 385–420  crossref
4. B. Beckermann, G. Labahn, “A uniform approach for Hermite Padé and simultaneous Padé approximants and their matrix-type generalizations”, Numer. Algorithms, 3:1-4 (1992), 45–54  crossref  mathscinet  zmath
5. B. Beckermann, G. Labahn, “Fraction-free computation of matrix rational interpolants and matrix GCDs”, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 22:1 (2000), 114–144  crossref  mathscinet  zmath
6. J. Della Dora, C. Di-Crescenzo, “Approximation de Padé–Hermite”, Padé approximation and its applications (Univ. Antwerp, Antwerp, 1979), Lecture Notes in Math., 765, Springer, Berlin–New York, 1979, 88–115  crossref  mathscinet  zmath
7. H. Derksen, An algorithm to compute generalized Padé–Hermite forms, Tech. rep. 9403, Catholic Univ. Nijmegen, 1994
8. M. Fasondini, N. Hale, R. Spoerer, J. A. C. Weideman, “Quadratic Padé approximation: numerical aspects and applications”, Компьютерные исследования и моделирование, 11:6 (2019), 1017–1031  mathnet  crossref
9. T. M. Feil, H. H. H. Homeier, “Programs for the approximation of real and imaginary single- and multi-valued functions by means of Hermite–Padé-approximants”, Comput. Phys. Comm., 158:2 (2004), 124–135  crossref  mathscinet  zmath
10. А. В. Комлов, Н. Г. Кружилин, Р. В. Пальвелев, С. П. Суетин, “О сходимости квадратичных аппроксимаций Шафера”, УМН, 71:2(428) (2016), 205–206  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. V. Komlov, N. G. Kruzhilin, R. V. Palvelev, S. P. Suetin, “Convergence of Shafer quadratic approximants”, Russian Math. Surveys, 71:2 (2016), 373–375  crossref
11. В. А. Комлов, “Полиномиальная $m$-система Эрмита–Паде для мероморфных функций на компактной римановой поверхности”, Матем. сб., 212:12 (в печати)  mathnet; A. Komlov, Polynomial Hermite–Padé $m$-system for meromorphic functions on a compact Riemann surface, 2021, arXiv: 2104.08327
12. A. López-García, G. López Lagomasino, “Nikishin systems on star-like sets: ratio asymptotics of the associated multiple orthogonal polynomials”, J. Approx. Theory, 225 (2018), 1–40  crossref  mathscinet  zmath
13. В. Г. Лысов, “Аппроксимации Эрмита–Паде смешанного типа для системы Никишина”, Труды МИАН, 311 (2020), 213–227  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. G. Lysov, “Mixed type Hermite–Padé approximants for a Nikishin system”, Proc. Steklov Inst. Math., 311 (2020), 199–213  crossref
14. T. Mano, T. Tsuda, “Hermite–Padé approximation, isomonodromic deformation and hypergeometric integral”, Math. Z., 285:1-2 (2017), 397–431  crossref  mathscinet  zmath
15. Е. М. Никишин, В. Н. Сорокин, Рациональные аппроксимации и ортогональность, Наука, М., 1988, 256 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: E. M. Nikishin, V. N. Sorokin, Rational approximations and orthogonality, Transl. Math. Monogr., 92, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, viii+221 с.  crossref  mathscinet  zmath
16. В. И. Парусников, “Алгоритм Якоби–Перрона и совместное приближение функций”, Матем. сб., 114(156):2 (1981), 322–333  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. I. Parusnikov, “The Jacobi–Perron algorithm and simultaneous approximation of functions”, Math. USSR-Sb., 42:2 (1982), 287–296  crossref
17. Г. Рутисхаузер, Алгоритм частных и разностей, ИЛ, М., 1960, 93 с.  mathscinet  zmath; пер. с нем.: H. Rutishauser, Der Quotienten-Differenzen-Algorithmus, Mitt. Inst. Angew. Math. Zürich, 7, Birkhäuser, Basel, 1957, 74 pp.  mathscinet  zmath
18. T. Sakurai, T. Torii, H. Sugiura, “An iterative method for algebraic equation by Padé approximation”, Computing, 46:2 (1991), 131–141  crossref  mathscinet  zmath
19. Shengfeng Li, Yi Dong, “Viscovatov-like algorithm of Thiele–Newton's blending expansion for a bivariate function”, Mathematics, 7:8 (2019), 696, 15 pp.  crossref
20. А. В. Сергеев, “Рекурсивный алгоритм для аппроксимаций Паде–Эрмита”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 26:3 (1986), 348–356  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. V. Sergeev, “A recursive algorithm for Padé–Hermite approximants”, U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 26:2 (1986), 17–22  crossref
21. A. V. Sergeev, D. Z. Goodson, “Summation of asymptotic expansions of multiple-valued functions using algebraic approximants: application to anharmonic oscillators”, J. Phys. A, 31:18 (1998), 4301–4317  crossref  zmath
22. В. Н. Сорокин, “Аппроксимации Эрмита–Паде функции Вейля и ее производной для дискретных мер”, Матем. сб., 211:10 (2020), 139–156  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Sorokin, “Hermite–Padé approximants to the Weyl function and its derivative for discrete measures”, Sb. Math., 211:10 (2020), 1486–1502  crossref
23. S. P. Suetin, Hermite–Padé polynomials and analytic continuation: new approach and some results, 2018, arXiv: 1806.08735
24. С. П. Суетин, “Об эквивалентности скалярной и векторной задач равновесия для пары функций, образующей систему Никишина”, Матем. заметки, 106:6 (2019), 904–916  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: S. P. Suetin, “Equivalence of a scalar and a vector equilibrium problem for a pair of functions forming a Nikishin system”, Math. Notes, 106:6 (2019), 970–979  crossref
25. С. П. Суетин, “Полиномы Эрмита–Паде и квадратичные аппроксимации Шафера для многозначных аналитических функций”, УМН, 75:4(454) (2020), 213–214  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: S. P. Suetin, “Hermite–Padé polynomials and Shafer quadratic approximations for multivalued analytic functions”, Russian Math. Surveys, 75:4 (2020), 788–790  crossref
26. A. Trias, “HELM: The holomorphic embedding load-flow method: foundations and implementations”, Foundations and Trends in Electric Energy Systems, 3:3-4 (2018), 140–370  crossref
27. J. van Iseghem, “Vector orthogonal relations. Vector QD-algorithm”, J. Comput. Appl. Math., 19:1 (1987), 141–150  crossref  mathscinet  zmath
28. J. van Iseghem, “Convergence of the vector QD-algorithm. Zeros of vector orthogonal polynomials”, J. Comput. Appl. Math., 25:1 (1989), 33–46  crossref  mathscinet  zmath
29. B. Viscovatoff, “De la méthode générale pour réduire toutes sortes des quantités en fractions continues”, Mém. Acad. Imp. Sci. St. Pťersbourg (5), I (1803–1806) (1809), 226–247
30. R. Živanovič, “Continuation via quadratic approximation to reconstruct solution branches and locate singularities in the power flow problem”, 24th Mediterranean conference on control and automation (Athens, 2016), IEEE, 2016, 866–870  crossref

Образец цитирования: Н. Р. Икономов, С. П. Суетин, “Алгоритм Висковатова для полиномов Эрмита–Паде”, Матем. сб., 212:9 (2021), 94–118; N. R. Ikonomov, S. P. Suetin, “A Viskovatov algorithm for Hermite-Padé polynomials”, Sb. Math., 212:9 (2021), 1279–1303
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{IkoSue21}
\by Н.~Р.~Икономов, С.~П.~Суетин
\paper Алгоритм Висковатова для полиномов Эрмита--Паде
\jour Матем. сб.
\yr 2021
\vol 212
\issue 9
\pages 94--118
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9410}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9410}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4324077}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021SbMat.212.1279I}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=47541572}
\transl
\by N.~R.~Ikonomov, S.~P.~Suetin
\paper A Viskovatov algorithm for Hermite-Pad\'e polynomials
\jour Sb. Math.
\yr 2021
\vol 212
\issue 9
\pages 1279--1303
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9410}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000718597400001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85120789343}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9410
  • https://doi.org/10.4213/sm9410
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v212/i9/p94
  • Эта публикация цитируется в следующих 11 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:451
    PDF русской версии:41
    PDF английской версии:20
    HTML русской версии:103
    Список литературы:35
    Первая страница:7
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024