|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)
Слайд-многочлены и комплексы подслов
Е. Ю. Смирновab, А. А. Тутубалинаa a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
b Независимый Московский университет
Аннотация:
Комплексы подслов были определены А. Кнутсоном и Э. Миллером в 2004 г. для описания грёбнеровских вырождений матричных многообразий Шуберта. Комплексы подслов специального типа называются комплексами rc-графов. Гиперграни такого комплекса индексируются диаграммами, называемыми rc-графами, или, что то же самое, мономами в соответствующем многочлене Шуберта. В 2017 г. C. Ассаф и Д. Сирлз определили базис, состоящий из слайд-многочленов, являющихся обобщением симметрических функций Стенли. Существует комбинаторное правило, позволяющее раскладывать многочлены Шуберта по этому базису. Мы описываем разложение комплексов подслов на страты, называемые слайд-комплексами, и показываем, что слайд-комплексы гомеоморфны дискам или сферам. В комплексах rc-графов эти страты соответствуют слайд-многочленам.
Библиография: 14 названий.
Ключевые слова:
многообразия флагов, многочлены Шуберта, многочлены Гротендика, симплициальные комплексы.
Поступила в редакцию: 09.07.2020 и 08.04.2021
§ 1. Введение1.1. Многочлены Шуберта и $\mathrm{rc}$-графы Многочлены Шуберта $\mathfrak S_w\in\mathbb{Z}[x_1,x_2,\dots]$ были определены И. Н. Бернштейном, И. М. Гельфандом и С. И. Гельфандом в [3], а также А. Ласку и М.-П. Шютценберже в [11]. Их можно рассматривать как “хорошие” полиномиальные представители классов многообразий Шуберта $[X_w]\in H^*(G/B)$, где $G=\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ – полная линейная группа, $B$ – борелевская подгруппа в $G$, а $G/B$ – многообразие полных флагов. Хорошо известно, что их коэффициенты неотрицательны, и существует явное комбинаторное правило для вычисления этих коэффициентов. Также можно описывать $K$-теорию $K_0(G/B)$ многообразия флагов $G/B$. Вместо классов Шуберта $[X_w]\in H^*(G/B)$ при этом рассматриваются классы структурных пучков многообразий Шуберта $[\mathcal{O}_w]\in K_0(G/B)$ в $K$-группе многообразия флагов. Эти классы также имеют хорошее представление в виде полиномов: это так называемые многочлены Гротендика $\mathfrak G^{(\beta)}_w\in\mathbb{Z}[\beta,x_1,x_2,\dots]$, зависящие еще и от дополнительного параметра $\beta$. Их коэффициенты также неотрицательны, но, в отличие от многочленов Шуберта, они не являются однородными в привычном смысле этого слова; они становятся однородными, если положить $\deg\beta=-1$. Можно рассматривать их как неоднородные деформации многочленов Шуберта $\mathfrak S_w$: вычисляя $\mathfrak G^{(\beta)}_w$ при $\beta=0$, мы получаем соответствующий многочлен Шуберта $\mathfrak S_w=\mathfrak G^{(0)}_w$. Многочлены Шуберта и Гротендика можно описать комбинаторно в терминах диаграмм, называемых $\mathrm{rc}$-графами (по-английски pipe dreams). Эти диаграммы являются конфигурациями псевдолиний, ассоциированных с перестановкой; также каждой такой диаграмме можно сопоставить моном. $\mathrm{RC}$-граф называется приведенным, если любые две псевдолинии пересекаются не более одного раза. Многочлен Шуберта (соответственно Гротендика) для перестановки $w$ можно получить как сумму мономов по всем приведенным (соответственно не обязательно приведенным) $\mathrm{rc}$-графам, отвечающим перестановке $w$. Этот результат, принадлежащий С. Билли и Н. Бержерону (см. [2]), а также С. В. Фомину и А. Н. Кириллову (см. [7]), является аналогом полученного Дж. Литтлвудом представления многочленов Шура в виде суммы мономов по таблицам Юнга. В частности, из него следует положительность коэффициентов многочленов Шуберта и Гротендика. Определения, связанные с $\mathrm{rc}$-графами, приведены в п. 2.3. В [9] А. Кнутсон и Э. Миллер приводят геометрическую интерпретацию $\mathrm{rc}$-графов для перестановки $w$: последние соответствуют неприводимым компонентам в “глубоком” грёбнеровском вырождении соответствующего матричного многообразия Шуберта $\overline{X_w}$ в объединение аффинных подпространств. Комбинаторная структура этого вырождения описывается специальным симплициальным комплексом, который мы будем называть комплексом $\mathrm{rc}$-графов для перестановки $w$. Из этого можно вывести, что мультистепень многообразия Шуберта $\overline{X_w}$ относительно максимального тора $T\subset B\subset G$ совпадает с многочленом Шуберта $\mathfrak S_w$. В следующей своей статье [8] те же авторы обобщают понятие комплекса $\mathrm{rc}$-графов, определяя комплексы подслов для произвольных групп Кокстера, и показывают, что такие комплексы являются расшелушиваемыми и, более того, они гомеоморфны дискам или, в редких случаях, сферам. Из этого следует множество интересных результатов, касающихся геометрии соответствующих многообразий Шуберта, как матричных, так и классических, включая новые доказательства нормальности и коэн-маколеевости многообразий Шуберта в многообразии полных флагов. 1.2. Слайд- и глайд-многочлены Недавно С. Ассаф и Д. Сирлз в [1] определили слайд-многочлены $\mathfrak F_Q$. Это еще одно семейство многочленов, схожих с многочленами Шуберта: они образуют базис в кольце многочленов от счетного числа переменных, а их коэффициенты Литтлвуда–Ричардсона являются положительными. Они индексируются $\mathrm{rc}$-графами $Q$, удовлетворяющими дополнительному комбинаторному условию; они называются квазияманучиевыми $\mathrm{rc}$-графами. Это условие соответствует условию Яманучи для косых таблиц Юнга; точные определения даны в п. 2.4. Более того, существует комбинаторная формула, позволяющая раскладывать многочлены Шуберта по слайд-базису: каждый многочлен Шура является линейной комбинацией слайд-многочленов с коэффициентами 0 и 1. Слайд-многочлены также имеют $K$-теоретический аналог: глайд-многочлены $\mathcal G^{(\beta)}_Q$, определенные О. Печеником и Д. Сирлзом в [14] (отметим, что фамилии Schubert и Grothendieck, равно как и слова “slide” и “glide”, начинаются с букв S и G). Существуют аналогичные представления многочленов Гротендика в виде сумм глайд-многочленов. 1.3. Слайд-комплексы В настоящей статье определены соответствующие слайд-многочленам аналоги комплексов подслов, названные слайд-комплексами. Каждый комплекс подслов разбивается в объединение слайд- комплексов. Мы показываем, что слайд-комплексы являются расшелушиваемыми (теорема 5). Нашим основным результатом является теорема 6, утверждающая, что каждый слайд-комплекс, появляющийся как страта в комплексе подслов, гомеоморфен диску или сфере. В случае комплексов $\mathrm{rc}$-графов по слайд-комплексу можно получить соответствующий слайд- (соответственно глайд-) многочлен, просуммировав мономы по всем гиперграням (соответственно всем внутренним граням) комплекса. Это дает топологическую интерпретацию для комбинаторного представления многочлена $\mathfrak S_w$ в виде суммы $\mathfrak F_Q$ и многочлена $\mathfrak G^{(\beta)}_w$ в виде суммы $\mathcal G_Q^{(\beta)}$ (следствия 4 и 5). 1.4. Возможная связь с вырождением матричных многообразий Шуберта В настоящей статье мы имеем дело только с комбинаторными конструкциями и не касаемся геометрических аспектов данной теории. Но было бы интересно изучить связь слайд-многочленов с вырождениями матричных многообразий Шуберта. Скажем, естественным образом возникает вопрос, существует ли “промежуточное вырождение” матричного многообразия Шуберта $\overline{X_w}\to \bigcup \overline{Y_{w,Q}}$, неприводимые компоненты $\overline{Y_{w,Q}}$ которого индексируются квазияманучиевыми $\mathrm{rc}$-графами, а их мультистепени равняются слайд-многочленам $\mathfrak F_Q$? Такое вырождение дало бы геометрическую интерпретацию коэффициентов Литтлвуда–Ричардсона для слайд-многочленов, описанных С. Ассаф и Д. Сирлзом в [1]. 1.5. Структура статьи В § 2 приведены определения многочленов Шуберта и Гротендика и их комбинаторное описание с помощью $\mathrm{rc}$-графов, а также приведены определения слайд- и глайд-многочленов. В § 3 содержится определение комплекса подслов для произвольной системы Кокстера и напоминается доказательство того факта, что комплексы подслов являются расшелушиваемыми и гомеоморфны дискам или сферам. Также там подробно разбираются комплексы $\mathrm{rc}$-графов, являющиеся наиболее интересным частным случаем комплексов подслов. Основные результаты этой статьи содержатся в § 4: в п. 4.1 определяется разбиение комплекса подслов на страты, называемые слайд-комплексами, и доказывается, что эти страты являются расшелушиваемыми и гомеоморфными дискам или сферам. В п. 4.2 показывается, что разбиение комплекса $\mathrm{rc}$-графов на слайд-комплексы согласуется с представлением соответствующего многочлена Шуберта (соответственно Гротендика) в виде суммы слайд- (соответственно глайд-) многочленов. Последний п. 4.3 описывает связь слайд-комплексов с графами флипов, рассматриваемыми в работе [13].
§ 2. Многочлены Шуберта и Гротендика, слайд- и глайд-многочлены2.1. Симметрическая группа Через $\mathbf{S}_n$ обозначим симметрическую группу порядка $n$, т.е. группу биективных отображений множества $\{1,\dots,n\}$ в себя. Она порождена простыми транспозициями $s_i=(i\leftrightarrow i+1)$ для $1\leqslant i\leqslant n-1$, связанными соотношениями Кокстера: Мы будем использовать однострочную запись для перестановок: например, $w=\overline{1423}$ переводит $1$ в $1$, $2$ в $4$, $3$ в $2$ и $4$ в $3$. Каждая перестановка $w\in \mathbf{S}_n$ представима в виде произведения $w=s_{i_1}\dotsb s_{i_k}$ простых транспозиций. Будем говорить, что последовательность $(s_{i_1},\dots,s_{i_k})$ является словом для перестановки $w$. Минимальную длину слова для перестановки $w$ назовем длиной $w$ и обозначим через $\ell(w)$. Слово для $w$ называется приведенным, если его длина равна $\ell(w)$. Хорошо известно, что длина $\ell(w)$ равна количеству инверсий в перестановке $w$, т.е. числу
$$
\begin{equation*}
\ell(w)=\#\{(i,j)\mid 1\leqslant i<j\leqslant n, \ w(i)>w(j)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем обозначать через $w_0$ самую длинную перестановку из $\mathbf{S}_n$. Эта перестановка переводит $i$ в $n+1-i$ для каждого $i$; ясно, что $\ell(w_0)=C_{n}^{2}=n(n-1)/2$. Существует множество приведенных слов для $w_0$; одно из них понадобится нам в дальнейшем:
$$
\begin{equation*}
w_0=(s_{n-1}\dotsb s_3s_2s_1)(s_{n-1}\dotsb s_3s_2)(s_{n-1}\dotsb s_3)\dotsb(s_{n-1}s_{n-2})(s_{n-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
2.2. Многочлены Шуберта и Гротендика Обозначим последовательность переменных $x_1,\dots, x_n$ через $\mathbf x$ и рассмотрим кольцо многочленов $\mathbb{Z}[\mathbf x]$. Группа $\mathbf{S}_n$ действует на этом кольце перестановкой переменных:
$$
\begin{equation*}
w\circ f(x_1,\dots, x_n)=f(x_{w(1)},\dots,x_{w(n)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 1. Для $i=1,\dots,n-1$ определим операторы разделенных разностей $\partial_i\colon \mathbb{Z}[\mathbf x]\to\mathbb{Z}[\mathbf x]$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\partial_i f(\mathbf x)=\frac{f(\mathbf x)-s_i\circ f(\mathbf x)}{x_i-x_{i+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку числитель этой дроби кососимметричен по переменным $x_i$ и $x_{i+1}$, он делится на знаменатель, и частное является многочленом с целыми коэффициентами. Операторы разделенных разностей удовлетворяют соотношениям Кокстера: Определение 2. Многочленами Шуберта называются однородные многочлены $\mathfrak S_w \in \mathbb{Z}[\mathbf x]$, занумерованные перестановками $w\in\mathbf{S}_n$ и удовлетворяющие соотношениям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathfrak S_{id}=1, \\ \partial_{i} \mathfrak S_{w}=\begin{cases} \mathfrak{S}_{w s_{i}}, & \ell(w s_{i})<\ell(w), \\ 0, & \ell(w s_{i})>\ell(w), \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $i=1,\dots, n-1$. А. Ласку и М.-П. Шютценберже [11] показали, что многочлены Шуберта определены этими соотношениями однозначно. Можно также определить их при помощи рекуррентного соотношения
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{w s_{i}}(\mathbf{x})=\partial_{i} \mathfrak{S}_{w}(\mathbf{x}), \text{ если } \ell(ws_i)<\ell(w),
\end{equation*}
\notag
$$
с начальным условием
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{w_0}(\mathbf x)=x_1^{n-1}x_2^{n-2}\dotsb x_{n-2}^2x_{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно переписать это соотношение следующим образом: если $s_{i_k}\dotsb s_{i_1}$ является приведенным словом для перестановки $w_0w$, то
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S}_w=\partial_{i_1}\dotsb\partial_{i_k}\mathfrak{S}_{w_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку разделенные разности удовлетворяют соотношениям далекого коммутирования и кос, а любое приведенное слово для $w_0w$ можно превратить в любое другое при помощи только этих соотношений, то такое определение многочленов Шуберта корректно (т.е. не зависит от выбора приведенного слова). Многочлены Гротендика были определены А. Ласку в [10]. Мы будем использовать их деформации, $\beta$-многочлены Гротендика, введенные С. В. Фоминым и А. Н. Кирилловым в [6]. Иногда мы будем называть их просто многочленами Гротендика. Они определяются так же, как многочлены Шуберта, но вместо $\partial_i$ мы будем использовать операторы изобарических разделенных разностей $\pi^{(\beta)}_i$. Определение 3. Пусть $\beta$ – формальный параметр. Для $i=1,\dots,n-1$ определим $\beta$-изобарические операторы разделенных разностей $\pi^{(\beta)}_i\colon \mathbb{Z}[\beta,\mathbf x]\to\mathbb{Z}[\beta,\mathbf x]$:
$$
\begin{equation*}
\pi^{(\beta)}_if(\mathbf x)=\frac{(1+\beta x_{i+1})f(\mathbf x)-(1+\beta x_i)s_i\circ f(\mathbf x)}{x_i-x_{i+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так же, как обычные операторы разделенных разностей, их изобарические аналоги удовлетворяют соотношениям Кокстера: Определение 4. Определим $\beta$-многочлены Гротендика $\mathfrak G^{(\beta)}_w$ при помощи начального условия
$$
\begin{equation*}
\mathfrak G^{(\beta)}_{w_0}(\mathbf x)=x_1^{n-1}x_2^{n-2}\dotsb x_{n-2}^2x_{n-1}
\end{equation*}
\notag
$$
и рекуррентного соотношения
$$
\begin{equation*}
\mathfrak G^{(\beta)}_w=\pi^{(\beta)}_{i_1}\dotsb\pi^{(\beta)}_{i_k}\mathfrak G^{(\beta)}_{w_0},
\end{equation*}
\notag
$$
где $s_{i_k}\dotsb s_{i_1}$ является приведенным словом для перестановки $w_0w$. Поскольку операторы $\pi^{(\beta)}_i$ удовлетворяют соотношениям Кокстера, эти многочлены также определены корректно. Можно видеть, что $\pi^{(0)}_i=\partial_i$ и $\mathfrak G^{(\beta)}_{w_0}=\mathfrak S_{w_0}$, и, значит, $\mathfrak G^{(0)}_w=\mathfrak S_w$ для всех $w\in\mathbf{S}_n$. Таким образом, подставив $\beta=0$ в $\mathfrak G^{(\beta)}$, можно получить многочлены Шуберта. 2.3. $\mathrm{RC}$-графы Этот пункт посвящен $\mathrm{rc}$-графам: основному комбинаторному инструменту для работы с многочленами Шуберта и Гротендика. Определение 5. Рассмотрим квадрат $n\times n$ и заполним его элементами двух типов: “крестами” и “коленями” таким образом, чтобы все кресты лежали строго выше антидиагонали. Колени, лежащие ниже диагонали, в этой работе рисоваться не будут. Такой объект называется $\mathrm{rc}$-графом1[x]1Термин “$\mathrm{rc}$-граф”, предложенный, по-видимому, С. Билли и Н. Бержероном, происходит от слов “reduced compatible”. По-английски эти диаграммы более часто называют pipe dreams: этот термин, предложенный А. Кнутсоном, отсылает к популярной в 1990-х гг. видеоигре, в которой игрок строил водопровод из предлагаемых деталей. Этим объясняется “водопроводная” терминология: труба, колено и проч.. $\mathrm{RC}$-граф можно рассматривать как систему псевдолиний, или труб, ведущих от левой стороны квадрата к верхней. Пронумеруем входы и выходы этих труб числами от 1 до $n$ сверху вниз и слева направо. $\mathrm{RC}$-граф называется приведенным, если никакие две трубы в нем не пересекаются дважды. На рис. 1 приведены примеры приведенного и неприведенного $\mathrm{rc}$-графов. Определение 6. Можно воспринимать $\mathrm{rc}$-граф как биекцию из множества начальных (левых) точек труб в множество их конечных (верхних) точек. Это представление сопоставляет каждому приведенному $\mathrm{rc}$-графу $P$ перестановку $w(P)\in\mathbf{S}_n$, называемую формой $P$. Также будем ассоциировать с каждым $\mathrm{rc}$-графом $P$ множество $D_P$ координат его крестов (первая координата – номер строки, вторая – номер столбца). Например, форма $\mathrm{rc}$-графа $P$ на рис. 1, (a) равна $w(P)=\overline{15423}$, а множество $D_P$ для него выглядит как $D_P=\{(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1)\}$. Определение 7. Операция приведения $\operatorname{reduct}$ действует на $\mathrm{rc}$-графах следующим образом: строчки перебираются сверху вниз и каждая строка читается справа налево. Если в какой-то клетке пересекаются две трубы, которые уже пересекались до этого, то крест в этой клетке заменяется на колено (рис. 2). Очевидно, $\mathrm{rc}$-граф $\operatorname{reduct}(P)$ является приведенным для любого $P$, и данная операция действует тождественно на приведенных $\mathrm{rc}$-графах: $\operatorname{reduct}(P)=P$. Формой неприведенного $\mathrm{rc}$-графа $P$ будем называть форму $w(\operatorname{reduct}(P))$ его приведения. Множество всех $\mathrm{rc}$-графов данной формы $w\in\mathbf{S}_n$ обозначим через $\operatorname{PD}(w)$, а подмножество приведенных $\mathrm{rc}$-графов данной формы – через $\operatorname{PD}_0(w)\subset\operatorname{PD}(w)$. Следующая теорема была доказана С. Билли и Н. Бержероном и независимо от них С. В. Фоминым и А. Н. Кирилловым. Теорема 1 (см. [2], [7]). Многочлены Шуберта удовлетворяют равенству
$$
\begin{equation*}
\mathfrak S_w=\sum_{P \in \operatorname{PD}_0(w)}\mathbf x^P,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathbf x^P:=\prod_{(i,j)\in D_P}x_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Пример 1. Рассмотрим перестановку $w=\overline{1432}$. Существует пять приведенных $\mathrm{rc}$-графов формы $w$:
Поэтому многочлен Шуберта для перестановки $w$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathfrak S_{\overline{1432}}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2^2+x_1x_2x_3+x_2^2x_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Существует аналог этой теоремы для многочленов Гротендика. Определение 8. Обозначим через $\operatorname{ex}(P)$ избыток $P$, т.е. число “лишних” крестов в (неприведенном) $\mathrm{rc}$-графе $P$. А именно, $\operatorname{ex}(P)=\#(D_P\setminus D_{\operatorname{reduct}(P)})$. Теорема 2 (см. [6]). Многочлены Гротендика удовлетворяют следующему равенству:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak G^{(\beta)}_w=\sum_{P\in\operatorname{PD}(w)}\beta^{\operatorname{ex}(P)}\mathbf x^P.
\end{equation*}
\notag
$$
Пример 2. Продолжая пример 1, вычислим многочлен Гротендика для $w=\overline{1432}$. Множество $\operatorname{PD}(w)$ состоит из 11 $\mathrm{rc}$-графов, пять из которых являются приведенными, а шесть – неприведенными: Соответствующий многочлен Гротендика равен
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak G^{(\beta)}_{(1432)} &=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{3} \\ &\qquad +\beta x_{1}^{2}x_{2}^{2}+2\beta x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+2\beta x_{1}x_{2}^{2}x_{3}+\beta^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\operatorname{ex}(P)=0$, если и только если $\mathrm{rc}$-граф $P$ приведенный, то $\mathfrak G_w^{(\beta)}=\mathfrak S_w+\beta(\dots)$. Из этого следует равенство $\mathfrak G_w^{(0)}=\mathfrak S_w$, упоминавшееся ранее. 2.4. Слайд- и глайд-многочлены С. Ассаф и Д. Сирлз [1] определили другой базис в кольце многочленов: слайд-многочлены. Одно из их основных свойств заключается в том, что любой многочлен Шуберта можно представить в виде суммы слайд-многочленов с коэффициентами 0 и 1. В последующей статье О. Печеника и Д. Сирлза [14] приводится аналогичная конструкция для многочленов Гротендика. Напомним эти конструкции. Определение 9. Пусть $P$ – $\mathrm{rc}$-граф (возможно, неприведенный). Определим слайд-движение $S_i$ следующим образом. Допустим, что в $P$ все кресты в ряду $i$ расположены строго правее всех крестов в ряду $i+1$ (в частности, ряд $i+1$ может быть пустым). Тогда можно передвинуть самый левый крестик в ряду $i$ вниз-влево на одну клетку: . В случае, если исходный $\mathrm{rc}$-граф был неприведенным, то это движение может выглядеть так: . Если же самый левый крест в ряду $i$ находится либо в первом столбце, либо нестрого левее какого-то креста в ряду $i+1$, то движение $S_i$ действует тождественно. Заметим, что слайд-движение сохраняет форму $\mathrm{rc}$-графа. Действительно, $\operatorname{reduct}(S_i(P))$ и $\operatorname{reduct}(P)$ либо совпадают, либо получаются друг из друга сохраняющим форму сдвигом одного крестика: . Кроме того, слайд-движение сохраняет количество крестов в приведенном $\mathrm{rc}$-графе, а значит, переводит приведенные $\mathrm{rc}$-графы в приведенные. Определение 10. Если все слайд-движения действуют на $\mathrm{rc}$-граф $P$ тождественно (иными словами, для всех $i$ верно, что в $i$-й строке $P$ самый левый крестик лежит либо в первом столбце, либо нестрого левее какого-то крестика из $(i+1)$-й строки), то такой $\mathrm{rc}$-граф называется квазияманучиевым (quasi-Yamanouchi). Обозначим множество всех квазияманучиевых $\mathrm{rc}$-графов формы $w$ через $\operatorname{QPD}(w)\subset\operatorname{PD}(w)$, а подмножество всех приведенных квазияманучиевых $\mathrm{rc}$-графов через $\operatorname{QPD}_0(w)=\operatorname{PD}_0(w)\cap\operatorname{QPD}(w)$. Определение 11. Операции дестандартизации $\operatorname{dst}\colon\operatorname{PD}(w)\to\operatorname{QPD}(w)$ и $\operatorname{dst}_0\colon\operatorname{PD}_0(w)\to\operatorname{QPD}_0(w)$ определяются как последовательное применение к $\mathrm{rc}$-графу слайд-движений до тех пор, пока он не станет квазияманучиевым. В [1; лемма 3.12] показано, что каждый $\mathrm{rc}$-граф можно сделать квазияманучиевым, применяя к нему слайд-движения, и получившийся квазияманучиев $\mathrm{rc}$-граф не зависит от последовательности слайд-движений, а значит, определен корректно. Операции $\operatorname{dst}\colon\operatorname{PD}(w)\to\operatorname{QPD}(w)$ и $\operatorname{dst}_0\colon\operatorname{PD}_0(w)\to\operatorname{QPD}_0(w)$ являются проекторами на множества квазияманучиевых $\mathrm{rc}$-графов и приведенных квазияманучиевых $\mathrm{rc}$-графов соответственно и, следовательно, сюръективны. Определение 12. Пусть $Q\in\operatorname{QPD}_0(w)$ – приведенный квазияманучиев $\mathrm{rc}$-граф. Множество $\operatorname{dst}_0^{-1}(Q)$ называется слайд-орбитой $\mathrm{rc}$-графа $Q$. Если $Q\in\operatorname{QPD}(w)$ – не обязательно приведенный квазияманучиев $\mathrm{rc}$-граф, то $\operatorname{dst}^{-1}(Q)$ называется глайд-орбитой $Q$. Определение 13. Если $Q\in\operatorname{QPD}_0(w)$, то слайд-многочлен $\mathfrak F_Q$ определяется как сумма мономов, отвечающих $\mathrm{rc}$-графам из соответствующей слайд-орбиты:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak F_Q=\sum_{P\in\operatorname{dst}_0^{-1}(Q)}\mathbf x^P.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $Q\in\operatorname{QPD}(w)$, то глайд-многочлен $\mathcal G^{(\beta)}_Q$ определяется как сумма мономов, отвечающих $\mathrm{rc}$-графам из соответствующей глайд-орбиты:
$$
\begin{equation*}
\mathcal G^{(\beta)}_Q=\sum_{P\in\operatorname{dst}^{-1}(Q)}\beta^{\operatorname{ex}(P)-\operatorname{ex}(Q)}\mathbf x^P.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого определения и теорем 1 и 2 следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak S_w=\sum_{Q\in\operatorname{QPD}_0(w)} \mathfrak F_Q, \qquad \mathfrak G^{(\beta)}_w=\sum_{Q\in\operatorname{QPD}(w)}\beta^{\operatorname{ex}(Q)}\mathcal G^{(\beta)}_Q.
\end{equation*}
\notag
$$
Пример 3. Существует пять квазияманучиевых $\mathrm{rc}$-графов формы $w=\overline{1432}$, и, соответственно, $\operatorname{PD}(w)$ подразбивается на пять глайд-орбит. В одной из них семь $\mathrm{rc}$-графов (квазияманучиев $\mathrm{rc}$-граф среди них выделен скобками): Следовательно, соответствующий глайд-многочлен равен
$$
\begin{equation*}
\mathcal G^{(\beta)}_{s_3s_2s_3}= 2\beta x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+\beta x_{1}x_{2}^{2}x_{3}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждая из четырех оставшихся глайд-орбит содержит по одному $\mathrm{rc}$-графу: Поэтому соответствующие глайд-многочлены являются мономами:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal G^{(\beta)}_{s_2s_3s_2s_3}=x_1x_2^2x_3, \qquad\mathcal G^{(\beta)}_{s_3s_2s_3s_2}=x_1^2x_2^2, \\ \mathcal G^{(\beta)}_{s_3s_2s_3s_2s_3}=x_1^2x_2^2x_3, \qquad\mathcal G^{(\beta)}_{s_2s_3s_2}=x_1x_2^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
§ 3. Комплексы подслов и комплексы $\mathrm{rc}$-графов3.1. Комплексы подслов Рассмотрим произвольную систему Кокстера $(\Pi, \Sigma)$, где $\Pi$ – группа Кокстера, минимально порожденная набором простых отражений $\Sigma$. Основным примером по-прежнему будет симметрическая группа $\Pi=\mathbf{S}_n$, порожденная набором простых транспозиций $\Sigma=\{s_1,\dots,s_{n-1}\}$. Определение 14. Словом длины $m$ будем называть последовательность $\mathcal{Q}=(\sigma_1, \dots, \sigma_m)$ простых отражений. Подсловом слова $\mathcal{Q}$ называется подпоследовательность $\mathcal{P}=(\sigma_{i_1},\sigma_{i_2}, \dots, \sigma_{i_k})$, где $1\leqslant i_1<i_2<\dots<i_k\leqslant m$. Будем говорить, что $\mathcal{P}$ представляет $\pi \in \Pi$, если $\sigma_{i_1} \sigma_{i_2} \dotsb \sigma_{i_k}$ является приведенным словом для элемента $\pi$. Если какое-то подслово слова $\mathcal{P}$ представляет элемент $\pi$, то будем говорить, что $\mathcal{P}$ содержит $\pi$. Комплекс подслов $\Delta(\mathcal{Q}, \pi)$ – это множество непустых слов $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$, дополнения $\mathcal{P}$ к которым содержат $\pi$. Это симплициальный комплекс; одна его грань лежит на границе другой тогда и только тогда, когда первое из соответствующих подслов является подмножеством второго. Все приведенные слова для $\pi \in \Pi$ имеют одинаковую длину, и, следовательно, комплекс $\Delta(\mathcal{Q}, \pi)$ является чистым комплексом размерности $m-\ell(\pi)$. Те подслова $\mathcal{Q} \setminus \mathcal{P}$, для которых $\mathcal{P}$ представляет $\pi$, являются его гипергранями. Замечание 1. Чтобы различать слова в произвольных системах Кокстера и $\mathrm{rc}$-графы, мы используем каллиграфический шрифт $\mathcal{P}$, $\mathcal{Q}$ для слов и стандартный шрифт $P$, $Q$ для $\mathrm{rc}$-графов. Пример 4. Пусть $\Pi=\mathbf{S}_4$, $\pi=\overline{1432}$, $Q=s_3s_2s_1s_3s_2s_3$. Для этой перестановки есть два приведенных слова: $\pi=s_2s_3s_2=s_3s_2s_3$. Обозначим центр пятиугольника через $s_1$, а вершины пронумеруем транспозициями $s_3$, $s_2$, $s_3$, $s_2$, $s_3$ по кругу. Тогда гипергранями комплекса $\Delta(Q, \pi)$ будут являться треугольники, образованные двумя соседними вершинами пятиугольника и его центром (рис. 3). Определение 15. Пусть $\Delta$ – симплициальный комплекс, а $F\in\Delta$ – его грань. Результатом удаления $F$ из $\Delta$ является комплекс
$$
\begin{equation*}
\operatorname{del}(F, \Delta)=\{G \in \Delta \mid G \cap F = \varnothing\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Линк $F$ в $\Delta$ – это комплекс
$$
\begin{equation*}
\operatorname{link}(F, \Delta)=\{G \in \Delta \mid G \cap F = \varnothing, \ G \cup F \in \Delta\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 16. Комплекс $\Delta$ размерности $n$ называется вершинно-разложимым, если он чистый и удовлетворяет одному из двух следующих условий: – $\Delta$ является симплексом размерности $n$; или – для какой-то вершины $v \in \Delta$ комплекс $\operatorname{del}(v, \Delta)$ является вершинно-разложимым размерности $n$, а комплекс $\operatorname{link}(v, \Delta)$ – вершинно-разложимым размерности $(n-1)$. Определение 17. Расшелушиванием (shelling; по-русски также встречается термин шеллинг) симплициального комплекса $\Delta$ называется полный порядок на множестве его гиперграней $F_1, F_2, \dots, F_t$, удовлетворяющий следующему условию: для любых $i,j$, для которых $1 \leqslant i < j \leqslant t$, существует такой $k$ и такая вершина $v \in F_j$, что $1 \leqslant k < j$ и $F_i \cap F_j \subseteq F_k \cap F_j = F_j \setminus \{v\}$. Комплекс, обладающий расшелушиванием, называется расшелушиваемым. Определение расшелушивания можно перефразировать следующим образом: для любого $j$, для которого $2\leqslant j \leqslant t$, комплекс $(\bigcup_{i<j}F_i)\cap F_j$ является чистым размерности $\dim F_j-1$. Определение вершинной разложимости было впервые дано в работе [4]; в той же статье показано, что из вершинной разложимости комплекса следует его расшелушиваемость. Предложение 1 (см. [4]). Вершинно-разложимые комплексы являются расшелушиваемыми. Следующее утверждение доказывается в работе [8; теорема 2.5]. Теорема 3. Комплексы подслов являются вершинно-разложимыми и, следовательно, расшелушиваемыми. Определение 18. Произведение Демазюра $\delta(\mathcal{Q})\in\Pi$ для слова $\mathcal{Q}$ определяется индуктивно: $\delta(\sigma)=\sigma$ для $\sigma\in \Sigma$, и
$$
\begin{equation*}
\delta(\mathcal{Q},\sigma)= \begin{cases} \delta(\mathcal{Q})\sigma, &\ell(\delta(\mathcal{Q})\sigma)>\ell(\delta(\mathcal{Q})), \\ \delta(\mathcal{Q}) &\text{иначе}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, мы перемножаем элементы $\mathcal{Q}$ слева направо, пропуская те из них, умножение на которые уменьшает длину произведения. Также можно думать о произведении Демазюра как о произведении в моноиде, порожденном $\Sigma$, с соотношениями Кокстера, в которых $s_i^2=e$ заменено на $s_i^2=s_i$, см. [8; определение 3.1]. Напомним главный результат статьи [8]. Теорема 4 (см. [8; теорема 3.7]). Комплекс $\Delta(\mathcal{Q}, \pi)$ гомеоморфен диску или сфере. Грань $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$ принадлежит границе комплекса тогда и только тогда, когда $\delta(\mathcal{P})\ne \pi$. Следствие 1 (см. [8; следствие 3.8]). Комплекс $\Delta(\mathcal{Q}, \pi)$ является сферой, если $\delta(\mathcal{Q})=\pi$, и диском в противном случае. 3.2. Комплексы $\mathrm{rc}$-графов $\mathrm{RC}$-графы тесно связаны с комплексами подслов специального вида. Пусть $\Pi=\mathbf{S}_n$. Зафиксируем приведенное слово для самой длинной перестановки:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}_{0,n}=(s_{n-1} s_{n-2}\dotsb s_1) (s_{n-1} s_{n-2} \dotsb s_2) (s_{n-1} s_{n-2} \dotsb s_3) \dotsb( s_{n-1} s_{n-2}) (s_{n-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Его можно получить, если прочитать таблицу
$$
\begin{equation*}
\begin{matrix} s_1 & s_2 & s_3 &\dots & s_{n-2}& s_{n-1}&\\ s_2 & s_3& \dots &s_{n-2}&s_{n-1}&\\ s_3& \dots & s_{n-2} &s_{n-1}\\ \vdots &\vdots &\ddots\\ s_{n-2} &s_{n-1}\\ s_{n-1} \end{matrix}
\end{equation*}
\notag
$$
справа налево сверху вниз. Пусть $P\in\operatorname{PD}_0(w)$ – приведенный $\mathrm{rc}$-граф формы $w\in\mathbf{S}_n$. Для каждого крестика в нем возьмем транспозицию из соответствующего места в таблице. Мы получим подслово $\operatorname{word}(P)$ в $\mathcal{Q}_{0,n}$. Несложно увидеть, что $\operatorname{word}(P)$ будет представлять перестановку $w$. Верно и обратное: если $\mathcal{T}$ – подслово в $\mathcal{Q}_{0,n}$, представляющее $w$, то $\mathrm{rc}$-граф с крестиками на местах, соответствующих буквам $\mathcal{T}$, будет приведенным формы $w$. Таким образом, мы получили биекцию между элементами множества $\operatorname{PD}_0(w)$ и гипергранями комплекса $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)$. Определение 19. Комплекс $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)$ называется комплексом $\mathrm{rc}$-графов. Операция приведения $\mathrm{rc}$-графа естественным образом связана с операцией взятия произведения Демазюра: для любого $\mathrm{rc}$-графа $P$ выполнено равенство $w(\operatorname{reduct}(P))=\delta(\operatorname{word}(P))$. Кроме этого, если $P$ – неприведенный $\mathrm{rc}$-граф формы $w$, то $\operatorname{word}(P)$ содержит $\operatorname{word}(\operatorname{reduct}(P))$ в качестве подслова, а значит, содержит перестановку $w$. Пользуясь этими фактами и теоремой 4, мы получаем, что существует биекция между $\operatorname{PD}(w)$ и внутренними гранями комплекса $\mathrm{rc}$-графов $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)$. Следующее описание многочленов Гротендика в терминах комплексов $\mathrm{rc}$-графов принадлежит А. Кнутсону и Э. Миллеру, см. [8; следствие 5.5]. Иногда, как, например, в [5], оно используется в качестве эквивалентного определения многочленов Гротендика. Следствие 2. Многочлен Гротендика $\mathfrak G_w^{\beta}$ можно получить как сумму мономов по внутренним граням комплекса $\mathrm{rc}$-графов. А именно, для $w\in\mathbf{S}_n$ мы получаем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak G_w^{(\beta)}=\sum_{\mathcal{P}\in\operatorname{int}(\Delta(\mathcal{Q}_{0,n}, w))} \beta^{\operatorname{codim}(\mathcal{P})}\mathbf x^\mathcal{P}
\end{equation*}
\notag
$$
(через $\mathbf x^\mathcal{P}$ мы обозначаем моном для $\mathrm{rc}$-графа, соответствующего грани $\mathcal{P}$). Пример 5. На рис. 4 изображен комплекс $\mathrm{rc}$-графов для $w=\overline{1432}$. $\mathrm{RC}$-графы в нем разбиты на группы в зависимости от их формы; к каждому $\mathrm{rc}$-графу приписан соответствующий ему моном $\beta^{\operatorname{ex}(P)}\mathbf x^P$ из многочлена Гротендика. Для $k\in \mathbb Z_{\geqslant 0}$ введем обозначение: $\operatorname{PD}_k(w)=\{P\in \operatorname{PD}(w)\mid \operatorname{ex}(P)=k\}$. Следствие 3. Для каждой перестановки $w\in\mathbf{S}_n$ верно равенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{n(n-1)/2}(-1)^k |\operatorname{PD}_k(w)|=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Рассмотрим специализацию многочлена Гротендика в $\mathbf x=(1,1,\dots,1)$ и $\beta=-1$ и получим соотношение:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \mathfrak G_w^{(-1)}(1,1,\dots,1)=\sum_{P\in\operatorname{PD}(w)} (-1)^{\operatorname{ex}(P)}=\sum_{k=0}^{n(n-1)/2}(-1)^k |\operatorname{PD}_k(w)| \\ &\qquad=\sum_{P\in\operatorname{int}(\Delta(\mathcal{Q}_{0,n}, w))} (-1)^{\operatorname{codim}(P)} =\sum_{P \in \Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)}(-1)^{\operatorname{codim}(P)} \\ &\qquad\qquad +\sum_{P \in \partial\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)}(-1)^{\operatorname{codim}(P)} =(-1)^d\chi_{\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)}+(-1)^{d-1}\chi_{\partial\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $d=n(n-1)/2-\ell(w)$ – размерность комплекса $\mathrm{rc}$-графов, а $\chi_\Delta$ – эйлерова характеристика комплекса $\Delta$.
Для каждого элемента $w\ne\delta(\mathcal{Q}_{0,n})=w_0$ соответствующий комплекс $\mathrm{rc}$-графов $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n}, w)$ гомеоморфен $d$-мерному диску, а его граница гомеоморфна $(d-1)$-мерной сфере (для $w=w_0$ соответствующий комплекс $\mathrm{rc}$-графов является точкой). Поэтому
$$
\begin{equation*}
\chi_{\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)}=1,\qquad \chi_{\partial\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},w)}=1-(-1)^d,
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\mathfrak G^{(-1)}(1,1,\dots,1)=\sum_{k=0}^{n(n-1)/2}(-1)^k |\operatorname{PD}_k(w)|=(-1)^d(1-(1-(-1)^d))=(-1)^{2d}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие доказано.
§ 4. Слайд-комплексы В этом параграфе описана основная конструкция статьи: разбиение комплексов подслов на страты, соответствующие слайд- (или глайд-) орбитам. Эти страты называются слайд-комплексами. Будет показано, что так же, как и комплексы подслов, слайд-комплексы гомеоморфны дискам или сферам. 4.1. Общие сведения о слайд-комплексах Как раньше, пусть $(\Pi, \Sigma)$ – система Кокстера. Определение 20. Пусть $\mathcal{Q}, \mathcal{S}$ – два слова в алфавите $\Sigma$. Слайд-комплексом подслов $\widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}, \mathcal{S})$ назовем множество таких подслов $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$, что их дополнения $\mathcal{P}$ содержат $\mathcal{S}$ в качестве подслова. Аналогично случаю комплексов подслов, это множество обладает естественной структурой симплициального комплекса. Следующая теорема является аналогом теоремы 3. Теорема 5. Слайд-комплексы являются вершинно-разложимыми и, следовательно, расшелушиваемыми. Доказательство. Очевидно, что все слайд-комплексы являются чистыми.
Пусть $\mathcal{Q}=(\sigma, \sigma_2, \dots, \sigma_m)$ и $\mathcal{S}=(s_{j_1},s_{j_2},\dots,s_{j_l})$ – два слова в алфавите $\Sigma$. Пусть $\mathcal{Q}'=(\sigma_2, \dots, \sigma_m)$ и $\mathcal{S}'=(s_{j_2},\dots, s_{j_l})$. Тогда $\operatorname{link}(\sigma, \widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}, \mathcal{S}))=\widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}',\mathcal{S})$. Если слово $\mathcal{S}$ начинается с буквы $\sigma$, то $\operatorname{del}(\sigma, \widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}, \mathcal{S}))= \widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}', \mathcal{S}')$. В противном случае $\operatorname{del}(\sigma, \widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}, \mathcal{S}))=\operatorname{link}(\sigma, \widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}, \mathcal{S}))= \widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}', \mathcal{S})$.
Следовательно, для любой вершины $\sigma$ результат ее удаления и ее линк в $\widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}, \mathcal{S})$ являются слайд-комплексами. Осталось воспользоваться индукцией по длине слова $\mathcal{Q}$. Теорема доказана. Введем аналог произведения Демазюра для подслов. Определение 21. Слово $\widetilde{\delta}(\mathcal{Q})$ получается из слова $\mathcal{Q}$ заменой каждой максимальной группы подряд идущих одинаковых букв $s_i\dots s_i$ на одну букву $s_i$. К примеру, $\widetilde\delta(s_1s_1s_2s_1s_2s_2s_2)=s_1s_2s_1s_2$. Замечание 2. Из определения следует, что для любого слова $\mathcal{Q}$ верно, что $\widetilde\delta(\delta(\mathcal{Q}))=\delta(\widetilde\delta(\mathcal{Q}))=\delta(\mathcal{Q})$. Следующая теорема – главный результат этой статьи. Она является аналогом теоремы 4. Теорема 6. Пусть $\mathcal{Q}$ и $\mathcal{S}$ – два слова в алфавите $\Sigma$, и пусть $\widetilde{\delta}(\mathcal{S})=\mathcal{S}$. Тогда слайд-комплекс $\widetilde{\Delta}(\mathcal{Q}, \mathcal{S})$ гомеоморфен сфере, если $\widetilde{\delta}(\mathcal{Q})=\mathcal{S}$, и диску в противном случае. Грань $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$ принадлежит границе комплекса в том и только том случае, когда $\widetilde{\delta}(\mathcal{P})\ne \mathcal{S}$. Доказательство. Рассмотрим свободную группу Кокстера $\widehat \Pi$, порожденную $\Sigma$, единственными соотношениями в которой являются соотношения вида $s_i^2=e$ (т.е. значения на всех ребрах в ее графе Кокстера равны $\infty$). Существует естественная биекция между элементами $\widehat \Pi$ и словами в алфавите $\Sigma$ без одинаковых букв, идущих подряд. Тогда $\widetilde\delta(\mathcal{S})$ соответствует произведению Демазюра слова $\mathcal{S}$, и $\widetilde\delta(\mathcal{S})=\mathcal{S}$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{S}$ является приведенным словом в группе $\widehat \Pi$.
Получается, что слайд-комплекс $\widetilde{\Delta}(\mathcal{Q},\mathcal{S})$ – это просто комплекс подслов $\Delta(\mathcal{Q},\mathcal{S})$ для группы $\widehat\Pi$. Утверждение теоремы теперь напрямую следует из [8; теорема 3.7, следствие 3.8]. Теорема доказана. Замечание 3. Если $\widetilde{\delta}(\mathcal{S})\ne \mathcal{S}$, слайд-комплекс не обязательно гомеоморфен диску или сфере. Например, если $\mathcal{Q}=s_1s_1s_1s_1$ и $\mathcal{S}=s_1s_1$, то комплекс $\widetilde{\Delta}(\mathcal{Q},\mathcal{S})$ является 1-остовом тетраэдра. Замечание 4. Другое доказательство теоремы 6 можно получить, повторяя шаги, использованные в доказательстве [8; теорема 3.7]; все утверждения, использованные при доказательстве теоремы для комплексов подслов, остаются верными и для слайд-комплексов. Набросок этого доказательства приведен в краткой заметке [12]. Пример 6 показывает, что внутренность комплекса $\mathrm{rc}$-графов $w=\overline{1432}$ разбивается на слайд-комплексы. Можно считать это топологической интерпретацией разложения многочлена Шуберта $\mathfrak S_{1432}$ (соответственно многочлена Гротендика $\mathfrak G_{1432}^{(\beta)}$) в сумму слайд- (соответственно глайд-) многочленов. Следующее предложение обобщает это на случай произвольных комплексов подслов; в следующем параграфе мы применим это предложение к комплексам $\mathrm{rc}$-графов. Предложение 2. Внутренность комплекса подслов $\operatorname{int}(\Delta(\mathcal{Q},w))$ может быть представлена в виде несвязного объединения внутренностей слайд-комплексов:
$$
\begin{equation}
\operatorname{int}(\Delta(\mathcal{Q},w))=\bigsqcup_{\widetilde{\delta}(\mathcal{S})=\mathcal{S},\, \delta(S)=w} \operatorname{int}(\widetilde\Delta(\mathcal{Q},\mathcal{S})).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Доказательство. Пусть $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$ – внутренняя грань комплекса подслов, соответствующего элементу $w$. Это значит, что $\delta(\mathcal{P})=w$. Пусть $\mathcal{S}=\widetilde{\delta}(\mathcal{P})$. Очевидно, что $\delta(\mathcal{S})=\delta(\mathcal{P})=w$, $\widetilde{\delta}(\mathcal{S})=\mathcal{S}$, и, таким образом, $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$ принадлежит внутренности слайд-комплекса $\widetilde\Delta(\mathcal{Q},\mathcal{S})$.
Докажем обратное. Если $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$ – внутренняя грань комплекса $\widetilde\Delta(\mathcal{Q},\mathcal{S})$, где $\widetilde{\delta}(\mathcal{S})=\mathcal{S}$ и $\delta(\mathcal{S})=w$, то $\widetilde\delta(\mathcal{P})=\mathcal{S}$. Значит, $\delta(\mathcal{P})=\delta(\widetilde{\delta}(\mathcal{P}))=\delta(\mathcal{S})=w$ и $\mathcal{Q}\setminus \mathcal{P}$ – внутренняя грань комплекса подслов $\Delta(\mathcal{Q},w)$.
Предложение доказано. 4.2. Слайд-комплексы в комплексах $\mathrm{rc}$-графов В этом разделе будет изучена связь между слайд- и глайд-орбитами $\mathrm{rc}$-графов и слайд-комплексами. Как было показано, существует биективное соответствие между $\mathrm{rc}$-графами формы $w\in\mathbf{S}_n$, как приведенными, так и неприведенными, и внутренними гранями комплекса $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n}, w)$. Этот комплекс гомеоморфен диску, если $w\ne w_0$. Предложение 3. Разбиение внутренности комплекса $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n}, w)$ на внутренности слайд-комплексов согласуется с разбиением множества $\operatorname{PD}(w)$ на глайд-орбиты: существует биекция между $\mathrm{rc}$-графами из каждой глайд-орбиты и внутренними гранями соответствующего слайд-комплекса. Доказательство. Пусть $P\in\operatorname{PD}(w)$ – $\mathrm{rc}$-граф, соответствующий подслову $\operatorname{word}(P)$ в $\mathcal{Q}_{0,n}=(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_{n(n-1)/2})$.
Допустим, слайд-движение $S_i$ действует на $P$ не тождественно: оно перемещает крест на позиции $(i,j)$ вниз-влево на позицию $(i+1,j-1)$. Пусть $\sigma_k$ и $\sigma_{k+m}$ – две буквы в $\mathcal{Q}_{0,n}$, соответствующие старому и новому положению этого креста (обе эти буквы равны $s_{i+j-1}$). Поскольку в $i$-м ряду $\mathrm{rc}$-графа $P$ нет крестов слева от $j$-го столбца, а в $(i+1)$-м ряду нет крестов справа от $(j-1)$-го столбца, то буквы $\sigma_{k+1},\dots,\sigma_{k+m-1}$ не встречаются в подслове $\operatorname{word}(P)$. Слайд-движение $S_i$ действует на $\operatorname{word}(P)$ следующим образом: в слово $\operatorname{word}(P)$ входят либо обе буквы $\sigma_k$ и $\sigma_{k+m}$, либо только $\sigma_k$. А в слово $\operatorname{word}(S_i(P))$ входит только буква $\sigma_{k+m}$, но не $\sigma_k$.
Таким образом, все слайд-движения либо не меняют слово $\operatorname{word}(P)$, либо заменяют две последовательные буквы $s_{i+j-1}s_{i+j-1}$ в нем на $s_{i+j-1}$. А значит, слайд-движения сохраняют $\widetilde\delta$, т.е. $\widetilde{\delta}(\operatorname{word}(P))=\widetilde{\delta}(\operatorname{word}(S_i(P)))$, и любые два $\mathrm{rc}$-графа из одной глайд-орбиты принадлежат внутренности одного и того же слайд-комплекса.
Обратное тоже верно. Рассмотрим $P\in\operatorname{PD}(w)$. Пусть $\sigma_k$ и $\sigma_{k+m}$ – две такие одинаковые буквы в $\mathcal{Q}_{0,n}$, что Тогда замена $\sigma_k$ или пары букв $(\sigma_k,\sigma_{k+m})$ в подслове $\operatorname{word}(P)$ на букву $\sigma_{k+m}$ соответствует применению какого-то слайд-движения к $P$ (и сохраняет $\widetilde{\delta}(\operatorname{word}(P))$). Теперь легко видеть, что $\mathrm{rc}$-граф $Q$ является квазияманучиевым тогда и только тогда, когда в $\operatorname{word}(Q)=\mathcal{S}$ не содержится последовательных одинаковых букв, и подслово $\operatorname{word}(Q)$ является самым правым вхождением (т.е. ни одну букву нельзя сдвинуть вправо описанной операцией) слова $\mathcal{S}$ в $\mathcal{Q}_{0,n}$. Очевидно, такое самое правое вхождение является единственным.
Таким образом, если $\widetilde{\delta}(\mathcal{S})=\mathcal{S}$ и $\mathcal{Q}_{0,n}$ содержит $\mathcal{S}$ в качестве подслова, то существует единственный квазияманучиев $\mathrm{rc}$-граф $Q$, для которого $\operatorname{word}(Q)\,{=}\,\mathcal{S}$. Если $\mathrm{rc}$-граф $P\in\operatorname{PD}(w)$ удовлетворяет условию $\widetilde{\delta}(\operatorname{word}(P))=\mathcal{S}$, то можно видеть, что $\operatorname{word}(\operatorname{dst}(P))=\mathcal{S}$, и, следовательно, $\operatorname{dst}(P)=Q$ и $P\in\operatorname{dst}^{-1}(Q)$.
Иными словами, если $\operatorname{word}(P_1)$ и $\operatorname{word}(P_2)$ принадлежат внутренности одного и того же слайд-комплекса, то $\widetilde{\delta}(\operatorname{word}(P_1))=\widetilde{\delta}(\operatorname{word}(P_2))$, и $P_1$ и $P_2$ принадлежат одной и той же глайд-орбите. Предложение доказано. Можно вывести из этого следствие, аналогичное следствию 2: глайд-многочлен можно получить как сумму мономов по внутренним граням соответствующего слайд-комплекса. Следствие 4. Пусть $Q\in\operatorname{QPD}(w)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal G_Q^{(\beta)}=\sum_{\mathcal{P}\in\operatorname{int}(\widetilde\Delta(\mathcal{Q}_{0,n}, \operatorname{word}(Q)))} \beta^{\operatorname{codim}(\mathcal{P})}\mathbf x^\mathcal{P}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $\mathbf x^\mathcal{P}$ мы обозначаем моном для $\mathrm{rc}$-графа, соответствующего грани $\mathcal{P}$. Рассматривая специализацию при $\beta=0$, мы получаем аналогичное утверждение для слайд-многочленов. Следствие 5. Пусть $Q\in\operatorname{QPD}_0(w)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathfrak F_Q=\sum_{\mathcal{P}} \mathbf x^\mathcal{P}
\end{equation*}
\notag
$$
(суммирование ведется по всем гиперграням $\mathcal{P}$ комплекса $\widetilde\Delta(\mathcal{Q}_{0,n}, \operatorname{word}(Q))$). Пример 6. На рис. 5 изображен комплекс $\mathrm{rc}$-графов для перестановки $w=\overline{1432}$, представленный в виде несвязного объединения внутренностей слайд-комплексов. Квазияманучиевы $\mathrm{rc}$-графы выделены синим цветом. Рядом с каждым $\mathrm{rc}$-графом написан соответствующий моном $\beta^{\operatorname{ex}(P)-\operatorname{ex}(Q)}\mathbf x^P$ из глайд-многочлена. Для $k\in\mathbb Z_{\geqslant 0}$ обозначим $\operatorname{QPD}_k(w)=\{Q\in\operatorname{QPD}(w)\mid\operatorname{ex}(Q)=k\}$. Следующее следствие показывает, что знакопеременная сумма количеств квазияманучиевых $\mathrm{rc}$-графов с данным избытком равна 1. Следствие 6. Для каждой перестановки $w\in \mathbf{S}_n$, верно следующее соотношение:
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{n(n-1)/2}(-1)^k |\operatorname{QPD}_k(w)|=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Поскольку слайд-комплексы гомеоморфны дискам, а эйлерова характеристика диска равна $1$, аналогично следствию 3 мы получаем
$$
\begin{equation*}
\mathcal G^{(-1)}_Q(1,\dots,1)=1
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого $Q\in \operatorname{QPD}(w)$. Рассмотрим специализацию равенства
$$
\begin{equation*}
\mathfrak G^{(\beta)}_w(\mathbf x)=\sum_{Q\in\operatorname{QPD}(w)}\beta^{\operatorname{ex}(Q)}\mathcal G^{(\beta)}_Q(\mathbf x)
\end{equation*}
\notag
$$
при $\beta=-1$ и $\mathbf x=(1,\dots, 1)$ и используем тот факт, что $\mathfrak G^{(-1)}_w(1,\dots,1)=\mathcal G^{(-1)}_Q(1,\dots,1)=1$ для всех $w\in\mathbf{S}_n, Q\in\operatorname{QPD}(w)$. Получаем требуемую формулу:
$$
\begin{equation*}
1=\sum_{Q\in\operatorname{QPD}(w)}(-1)^{\operatorname{ex}(Q)}=\sum_{k=0}^{n(n-1)/2}(-1)^k |\operatorname{QPD}_k(w)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие доказано. 4.3. Замечание про графы флипов В. Пило и К. Штумп в [13] описали алгоритм2[x]2Мы благодарны рецензенту, обратившему наше внимание на работу [13]., позволяющий перечислять все гиперграни комплекса подслов. Для этого конструируется так называемый граф флипов данного комплекса. Этот граф, впервые определенный в [8; замечание 4.5], является графом смежности гиперграней комплекса подслов: вершины графа соответствуют гиперграням комплекса подслов, и две вершины соединены ребром, если у соответствующих гиперграней есть общая грань коразмерности 1. Существует каноническая ориентация этого графа, превращающая его в частично упорядоченное множество. Стрелки в этой ориентации называются повышающими флипами. В этом частично упорядоченном множестве существуют наибольший и наименьший элементы, называемые положительной (соответственно отрицательной) жадной гипергранью. Стрелки в графе с противоположной ориентацией называются понижающими флипами; см. [13; п. 4.2]. Эта конструкция применима к любой системе Кокстера, в том числе к свободной группе Кокстера $(\widehat \Pi,\Sigma)$. Оказывается, графы флипов для такой системы позволяют получить описание слайд-движений. Предложение 4. Пусть $Q$ – приведенный квазияманучиев $\mathrm{rc}$-граф. Слайд-движения на множестве $\operatorname{dst}_0^{-1}(Q)$ в точности являются понижающими флипами на гипергранях $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},\operatorname{word}(Q))$ (или, что то же самое, на гипергранях $\operatorname{int}(\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},\operatorname{word}(Q)))$). Предложение 5. Приведенный $\mathrm{rc}$-граф $P$ является квазияманучиевым, если и только если соответствующая гипергрань слайд-комплекса $\Delta(\mathcal{Q}_{0,n},\operatorname{word}(P))$ является отрицательной жадной гипергранью. Благодарности Мы благодарны Сами Ассаф, Александру Гайфуллину, Валентине Кириченко и Аллену Кнутсону за плодотворные обсуждения. Мы особенно признательны Оливеру Печенику, указавшему способ упростить доказательство основного результата. Мы также хотели бы поблагодарить анонимного рецензента, замечания которого существенно улучшили изложение.
|
|
|
Список литературы
|
|
|
1. |
S. Assaf, D. Searles, “Schubert polynomials, slide polynomials, Stanley symmetric functions and quasi-Yamanouchi pipe dreams”, Adv. Math., 306 (2017), 89–122 |
2. |
N. Bergeron, S. Billey, “RC-graphs and Schubert polynomials”, Experiment. Math., 2:4 (1993), 257–269 |
3. |
И. Н. Бернштейн, И. М. Гельфанд, С. И. Гельфанд, “Клетки Шуберта и когомологии пространств $G/P$”, УМН, 28:3(171) (1973), 3–26 ; англ. пер.: I. N. Bernstein, I. M. Gel'fand, S. I. Gel'fand, “Schubert cells and cohomology of the spaces $G/P$”, Russian Math. Surveys, 28:3 (1973), 1–26 |
4. |
L. J. Billera, J. Scott Provan, “A decomposition property for simplicial complexes and its relation to diameters and shellings”, Second international conference on combinatorial mathematics (New York, 1978), Ann. New York Acad. Sci., 319, New York Acad. Sci., New York, 1979, 82–85 |
5. |
L. Escobar, K. Mészáros, “Subword complexes via triangulations of root polytopes”, Algebr. Comb., 1:3 (2018), 395–414 |
6. |
S. Fomin, A. N. Kirillov, “Grothendieck polynomials and the Yang–Baxter equation”, Formal power series and algebraic combinatorics/Séries formelles et combinatoire algébrique, DIMACS, Piscataway, NJ, 1994, 183–190 |
7. |
S. Fomin, A. N. Kirillov, “The Yang–Baxter equation, symmetric functions, and Schubert polynomials” (Florence, 1993), Discrete Math., 153:1-3, Proceedings of the 5th conference on formal power series and algebraic combinatorics (1996), 123–143 |
8. |
A. Knutson, E. Miller, “Subword complexes in Coxeter groups”, Adv. Math., 184:1 (2004), 161–176 |
9. |
A. Knutson, E. Miller, “Gröbner geometry of Schubert polynomials”, Ann. of Math. (2), 161:3 (2005), 1245–1318 |
10. |
A. Lascoux, “Anneau de Grothendieck de la variété de drapeaux”, The Grothendieck Festschrift, v. III, Mod. Birkhäuser Class., 88, Birkhäuser/Springer, Cham, 2007, 1–34 |
11. |
A. Lascoux, M.-P. Schützenberger, “Polynômes de Schubert”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 294:13 (1982), 447–450 |
12. |
Е. Ю. Смирнов, А. А. Тутубалина, “Слайд-комплексы и комплексы подслов”, УМН, 75:6(456) (2020), 177–178 ; англ. пер.: E. Yu. Smirnov, A. A. Tutubalina, “Slide complexes and subword complexes”, Russian Math. Surveys, 75:6 (2020), 1162–1164 |
13. |
V. Pilaud, Ch. Stump, “EL-labelings and canonical spanning trees for subword complexes”, Discrete geometry and optimization, Fields Inst. Commun., 69, Springer, New York, 2013, 213–248 |
14. |
O. Pechenik, D. Searles, “Decompositions of Grothendieck polynomials”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2019:10 (2019), 3214–3241 |
Образец цитирования:
Е. Ю. Смирнов, А. А. Тутубалина, “Слайд-многочлены и комплексы подслов”, Матем. сб., 212:10 (2021), 131–151; E. Yu. Smirnov, A. A. Tutubalina, “Slide polynomials and subword complexes”, Sb. Math., 212:10 (2021), 1471–1490
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/sm9477https://doi.org/10.4213/sm9477 https://www.mathnet.ru/rus/sm/v212/i10/p131
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 336 | PDF русской версии: | 44 | PDF английской версии: | 33 | HTML русской версии: | 133 | Список литературы: | 39 | Первая страница: | 13 |
|