Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2021, том 212, номер 12, страницы 77–94
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9503
(Mi sm9503)
 

Эта публикация цитируется в 8 научных статьях (всего в 8 статьях)

Равномерные аппроксимации функций решениями сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $\mathbb R^2$

П. В. Парамоновabc

a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
b Санкт-Петербургский государственный университет
c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Список литературы:
Аннотация: В работе получены критерии равномерной приближаемости функций решениями сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $\mathbb R^2$ методом редукции к аналогичным задачам в $\mathbb R^3$, исследованным ранее М. Я. Мазаловым. Установлен ряд метрических свойств используемых емкостей.
Библиография: 16 названий.
Ключевые слова: равномерные аппроксимации, сильно эллиптические уравнения второго порядка, локализационный оператор типа Витушкина, $L$-осцилляция, $L$-емкость, метод редукции.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 17-11-01064-П
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 17-11-01064-П).
Поступила в редакцию: 15.09.2020 и 22.03.2021
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 12, Pages 1730–1745
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9503
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.548+517.57+517.951
MSC: Primary 35A35, 35J15; Secondary 30E10

§ 1. Введение

История вопроса подробно обсуждается в работах [1]–[3].

При фиксированном $N \in \{2, 3, \dots\}$ пусть

$$ \begin{equation*} L(\mathbf x)=\sum_{i, j=1}^N c_{i j} x_{i} x_{j}, \qquad \mathbf x=(x_1, \dots, x_N) \in \mathbb R^N, \end{equation*} \notag $$
– произвольный однородный полином второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами $c_{i j}=c_{ji}$, удовлетворяющий условию эллиптичности $L(\mathbf x)\neq 0$ при всех $\mathbf x \neq 0$. С полиномом $L(\mathbf x)$ ассоциируется эллиптический дифференциальный оператор
$$ \begin{equation*} \mathcal L=\sum_{i, j=1}^N c_{i j}\frac{\partial^2}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}. \end{equation*} \notag $$
Пример: лапласиан $\Delta_N$ в $\mathbb R^N$.

Пусть $E$ – непустое подмножество в $\mathbb R^N$. Нам потребуются следующие обозначения:

$\|f\|_E$ – равномерная ($\sup$-) норма ограниченной функции $f$ на $E$ (все функции и пространства будут комплекснозначными);

$\omega_E(f, r)$ – модуль непрерывности ограниченной функции $f$ на $E$ (при $E=\mathbb R^N$ пишем $\|f\|$ и $\omega_f(r)$ соответственно);

$\mathrm{BC}(E)$ (соответственно $C(E)$) – пространство всех непрерывных и ограниченных (соответственно непрерывных) функций на $E$ с нормой $\|\cdot\|_E$ (топология в $C(E)$ для некомпактных $E$ здесь не используется).

Для открытого множества $U \neq \varnothing$ в $\mathbb R^N$ положим

$$ \begin{equation*} \mathcal A_{\mathcal L}(U)=\{ f \in C^2(U)\mid\mathcal L f (\mathbf x)=0\ \forall\, \mathbf x \in U\}. \end{equation*} \notag $$
Функции этого класса назовем $\mathcal L$-аналитическими в $U$. Хорошо известно, что $\mathcal A_{\mathcal L}(U)\subset C^{\infty}(U)$ (см., например, [4; теорема 4.4.1]).

Обозначим через $\Phi (\mathbf x)$ стандартное фундаментальное решение для уравнения $\mathcal L u=0$ в $\mathbb R^N$ (см., например, [5; с. 161]). При $N \geqslant 3$ назовем $\mathcal L$-емкостью непустого ограниченного множества $E \subset \mathbb R^N$ (в классе непрерывных функций) значение

$$ \begin{equation} \kappa (E)=\sup_{T} \bigl\{|\langle T,1\rangle| \colon \operatorname{Spt} (T) \subset E, \,\Phi * T \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3),\,\|\Phi * T\| \leqslant 1\bigr\}, \end{equation} \tag{1.1} $$
где $\sup$ берется по всем указанным распределениям $T$, $*$ – оператор свертки, $\langle T,\varphi \rangle$ – действие распределения $T$ на функцию $\varphi$ класса $C^{\infty}(\mathbb R^N)$, $\operatorname{Spt} (T)$ – носитель распределения (функции, меры) $T$. (При $E=\varnothing$ полагаем $\kappa(E)=0$.) Свойствам этих емкостей посвящен § 3 этой работы.

Для открытого множества $U \neq \varnothing$ через $C_0(U)$ (соответственно $C^{\infty}_0(U)$) обозначается подпространство в $\mathrm{BC}(U)$ (соответственно в $C^{\infty}(U)$) функций с компактными носителями в $U$. Для открытого шара $B=B(\mathbf a,r)$ в $\mathbb R^N$ (с центром $\mathbf a$ и радиусом $r>0$) и $\lambda>0$ через $\lambda B$ будем обозначать шар $B(\mathbf a, \lambda r)$.

Всюду далее $A \in (0,+\infty)$ – постоянная, которая может принимать различные значения в разных соотношениях.

Пусть $X \neq \varnothing$ – компакт в $\mathbb R^N$ и $f \in C(X)$. Наша первая задача о равномерной (индивидуальной) аппроксимации $\mathcal L$-аналитическими функциями состоит в следующем.

При каких условиях (на $\mathcal L$, $X$ и $f$) найдется последовательность $\{f_n\}^{+\infty}_{n=1}$ такая, что каждая из функций $f_n$ является $\mathcal L$-аналитической в (своей) окрестности компакта $X$ и $\|f-f_n\|_X \to 0$ при $n\to+\infty$?

Класс всех функций $f$ с указанным условием приближаемости ($\mathcal L$ и $X$ фиксируются) обозначим через $\mathcal A_{\mathcal L}(X)$. Нетрудно показать, что всегда имеем $\mathcal A_{\mathcal L}(X)\subseteq C_{\mathcal L}(X)=C(X) \cap \mathcal A_{\mathcal L}(X^{\circ})$, где $X^{\circ}$ – внутренность $X$. (При $X^{\circ}=\varnothing$ полагаем $C_{\mathcal L}(X)=C(X)$.) Поэтому условие $f \in C_{\mathcal L}(X)$ называют простейшим необходимым условием приближаемости.

Естественно возникает вторая задача о равномерной аппроксимации (для классов функций):

для каких компактов $X$ выполняется равенство $\mathcal A_{\mathcal L}(X)=C_{\mathcal L}(X)$?

По теореме Брауэра–Урысона мы можем всегда (в указанном контексте) считать функцию $f$ продолженной с компакта $X$ до непрерывной финитной на $\mathbb R^N$ функции (которую снова обозначим через $f$) с условием $\|f\|=\|f\|_{X}$.

В работе М. Я. Мазалова [3] обе рассматриваемые задачи были решены для всех размерностей $N\geqslant 3$. Для формулировки этих результатов нам потребуется понятие $L$-осцилляции функции $f$ на шаре $B=B(\mathbf a,r)$ в $\mathbb R^N$ (см. [6]):

$$ \begin{equation*} \mathcal O^{L}_{B} (f) =\frac{1}{\sigma(\partial B)}\int_{\partial B} f(\mathbf x) \frac{L(\mathbf x-\mathbf a)}{r^2}\,d\sigma_\mathbf x -\frac{\sum_{j=1}^N c_{j j}}{N|B|} \int_B f(\mathbf x)\,d\mathbf x, \end{equation*} \notag $$
где $|B|$ – мера Лебега шара $B$ в $\mathbb R^N$, а $\sigma$ – поверхностная мера Лебега на $\partial B$.

Теорема A (см. [3]). Для компакта $X$ в $\mathbb R^N$ ($N \geqslant 3$) и $f \in C_0(\mathbb R^N)$ следующие условия эквивалентны:

(a) $f|_X \in \mathcal A_{\mathcal L}(X)$;

(b) найдутся $\lambda \geqslant 1$ и функция $\omega(r) \to 0$ при $r \to 0$ такие, что для любого открытого шара $B$ с радиусом $r$ имеем:

$$ \begin{equation} |\mathcal O^{L}_{B} (f)| \leqslant \omega(r)r^{2-N} \kappa (\lambda B\setminus X) . \end{equation} \tag{1.2} $$
Более того, если условие (a) выполнено, то (b) имеет место при $\lambda=1$ и $\omega (r)= A\omega_f(r)$, где $A\in (0,+\infty)$ зависит только от $\mathcal L$.

Из теоремы A сравнительно просто вытекает следующий критерий приближаемости для классов функций.

Теорема B (см. [3]). Для компакта $X$ в $\mathbb R^N$, $N \geqslant 3$, следующие условия эквивалентны:

(a) $\mathcal A_{\mathcal L}(X)=C_{\mathcal L}(X)$;

(b) для любой ограниченной области $D \subset \mathbb R^N$ справедливо равенство $\kappa (D \setminus X^{\circ})=\kappa (D \setminus X)$;

(c) найдутся $\lambda \geqslant 1$ и $A>0$ такие, что для любого открытого шара $B$ выполняется неравенство $\kappa (B \setminus X^{\circ}) \leqslant A \kappa (\lambda B \setminus X)$.

Эти два результата являются естественными аналогами известных критериев А. Г. Витушкина равномерной приближаемости рациональными функциями на компактах в $\mathbb C$ (см. [7]).

В случае $N=2$ имеется своя специфика. Пусть

$$ \begin{equation*} \mathcal L_2=c_{11}\,\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+2c_{12}\,\frac{\partial^2}{\partial x_1\,\partial x_2}+c_{22}\,\frac{\partial^2}{\partial x_2^2} \end{equation*} \notag $$
– эллиптический оператор в $\mathbb R^2$, и пусть $\lambda_1$ и $\lambda_2$ – корни соответствующего характеристического уравнения $c_{11}\lambda^2+2c_{12}\lambda+c_{22}=0$. Из условия эллиптичности $\mathcal L_2$ следует, что $\lambda_1, \lambda_2 \notin \mathbb R$. Говорят, что оператор $\mathcal L_2$ является сильно эллиптическим, если мнимые части корней $\lambda_1$ и $\lambda_2$ имеют разные знаки. В работе [8] получен следующий критерий приближаемости.

Теорема C. Для всякого не сильно эллиптического оператора $\mathcal L_2$ в $\mathbb R^2$ и любого компакта $X$ в $\mathbb R^2$ выполняется равенство $\mathcal A_{\mathcal L_2}(X)=C_{\mathcal L_2}(X)$.

Для сильно эллиптических операторов $\mathcal L_2$ (в $\mathbb R^2$) обе из поставленных задач оставались неизученными, за исключением гармонического случая $\mathcal L_2=\Delta_2$ (см. [2]). Нашей целью является обобщение основных результатов из [2] на все сильно эллиптические операторы $\mathcal L_2$.

Всюду далее $\mathbf x=(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3$, $\mathbf x'=(x_1, x_2) \in \mathbb R^2$. Для открытого шара $B=B(\mathbf x_0, r)$ в $\mathbb R^3_\mathbf x$ через $B'$ обозначим открытый шар в $\mathbb R^2_{\mathbf x'}$ того же радиуса с центром $\mathbf x'_0$. Фиксируем произвольный сильно эллиптический оператор

$$ \begin{equation} \mathcal L'=\mathcal L_2=c_{11}\,\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} +2c_{12}\,\frac{\partial^2}{\partial x_1 \,\partial x_2} +c_{22}\,\frac{\partial^2}{\partial x_2^2} \end{equation} \tag{1.3} $$
в $\mathbb R^2$. Без ограничения общности (в контексте наших задач) всюду далее будем предполагать, что $c_{11}=1$. Тогда по лемме 2.1 (см. § 2) оператор
$$ \begin{equation*} \mathcal L=\mathcal L_3=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} +2c_{12}\,\frac{\partial^2}{\partial x_1 \,\partial x_2} +c_{22}\,\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_3^2} =:\sum_{i, j=1}^3 c_{i j} x_{i} x_{j} \end{equation*} \notag $$
является эллиптическим оператором в $\mathbb R^3$. Первым основным результатом настоящей статьи является следующая редуктивная теорема, доказанная в § 2.

Теорема 1.1. Пусть $X'$ – компакт в $\mathbb R^2$, $\rho>0$ и $X=X' \times [-\rho, \rho]_{x_3} \subset \mathbb R^3$. Пусть $f \in C(X')$ и $F(\mathbf x)=f(\mathbf x')$, $\mathbf x \in X$. Тогда $f \in \mathcal A_{\mathcal L'}(X') \Leftrightarrow F \in \mathcal A_\mathcal L(X)$.

Из этой теоремы и теоремы A вытекают следующие критерии (индивидуальной) равномерной приближаемости $\mathcal L'$-аналитическими функциями на плоских компактах.

Следствие 1.1. Пусть $X'$ – компакт в $\mathbb R^2$, $\rho>0$ и $X=X' \times [-\rho, \rho]_{x_3}$. Для любой функции $f \in C_0(\mathbb R^2)$ следующие условия эквивалентны:

(a) $f \in \mathcal A_{\mathcal L'}(X')$;

(b) найдутся $\lambda \geqslant 1$ и функция $\omega (r) \to 0$ при $r \to 0$ такие, что для всякого открытого шара $B$ в $\mathbb R^3$ с центром $\mathbf a=(\mathbf a', 0)$ и радиусом $r$ имеем

$$ \begin{equation} \biggl| \frac{1}{\pi r^2} \int_{B'} f({\mathbf x'}) \frac{L'(\mathbf x'-\mathbf a')+(1+c_{22})(|\mathbf x'-\mathbf a'|^2-r^2)}{\sqrt{r^2-|\mathbf x'-\mathbf a' |^2}}\, d\mathbf x' \biggr| \leqslant \omega (r) \kappa (\lambda B \setminus X). \end{equation} \tag{1.4} $$
Если условие (a) выполнено, то (b) имеет место при $\lambda=1$ и $\omega (r)=A\omega_f(r)$. Здесь $L'=L_2$ – символ оператора $\mathcal L'$, емкость $\kappa=\kappa_3$ определяется оператором $\mathcal L=\mathcal L_3$, $A=A(\mathcal L) \in (0,+\infty)$.

Как правило, из критериев индивидуальной аппроксимации легко выводятся соответствующие критерии приближаемости для классов функций. Однако в нашем случае из теоремы 1.1 и следствия 1.1 критерии, аналогичные теореме B, получаются уже не так просто. Они будут вытекать из следующего (второго) основного результата этой работы, доказанного в § 2.

Теорема 1.2. Пусть $X'$ – компакт в $\mathbb R^2$, $\rho>0$ и $X=X' \times [-\rho, \rho]_{x_3} \subset \mathbb R^3$. Тогда $\mathcal A_{\mathcal L'}(X')=C_{\mathcal L'}(X')$, если и только если $\mathcal A_{\mathcal L}(X)=C_{\mathcal L}(X)$.

Тем самым наши критерии приближаемости для классов функций тоже сводятся (редуцируются) к теореме B.

§ 2. Доказательство теорем 1.1 и 1.2

Лемма 2.1. Пусть $\mathcal L'$ – сильно эллиптический оператор в $\mathbb R^2$ c символом

$$ \begin{equation*} L'(\mathbf x')=x_1^2+2c_{12} x_1 x_2+c_{22} x_2^2 , \end{equation*} \notag $$
тогда функция $L'(\mathbf x')$ не принимает значений $(-\infty, 0]$ из $\mathbb R$ при $\mathbf x' \neq \mathbf 0'$.

Доказательство. Пусть $\lambda_1$, $\lambda_2$ – корни многочлена $\lambda^2+2c_{12} \lambda+c_{22}$, $\alpha_j=\operatorname{Re}(\lambda_j)$, $\beta_j=\operatorname{Im}(\lambda_j)$, $j \in \{1,2\}$. Тогда по условию сильной эллиптичности оператора $\mathcal L'$ имеем $\beta_1 \beta_2 < 0$. Надо установить, что при $\mathbf x'=(x_1,x_2) \neq \mathbf 0'$ и $\operatorname{Im}(L'(\mathbf x'))=0$ всегда справедливо неравенство $\operatorname{Re}(L'(\mathbf x'))>0$. Так как $L'(\mathbf x')=(x_1-\lambda_1 x_2)(x_1-\lambda_2 x_2)$, то
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{Im}(L'(\mathbf x')) &=-(\beta_1+\beta_2)x_1x_2+(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1)x_2^2, \\ \operatorname{Re}(L'(\mathbf x')) &=x_1^2-(\alpha_1+\alpha_2)x_1x_2+(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2)x_2^2 . \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Пусть $\operatorname{Im}(L'(\mathbf x'))=0$. Если $x_2=0$, то очевидно, что $\operatorname{Re}(L'(\mathbf x'))>0$. Пусть теперь $x_2 \neq 0$, тогда $(\beta_1+\beta_2)x_1=(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1)x_2$. Если $\beta_1+\beta_2=0$, то $\alpha_1=\alpha_2$ и условие $\operatorname{Re}(L'(\mathbf x'))>0$ легко проверяется. Пусть, наконец, $\beta_1+\beta_2 \neq 0$, тогда $x_1=(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1)x_2/(\beta_1+\beta_2)$, откуда $\operatorname{Re}(L'(\mathbf x'))=P x_2^2/(\beta_1+\beta_2)^2$, где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, P&=(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1)^2 \,{-}\,(\alpha_1+\alpha_2)(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1)(\beta_1+\beta_2) \,{+}\,(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2)(\beta_1+\beta_2)^2 \\ &=-\beta_1\beta_2((\alpha_1-\alpha_2)^2+(\beta_1+\beta_2)^2)>0, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
что и требовалось. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1.1. Докажем только нетривиальную часть теоремы 1.1: $F \in \mathcal A_{\mathcal L}(X)$ $\Rightarrow$ $f \in \mathcal A_{\mathcal L'}(X')$. Ясно, что достаточно рассмотреть случай $\rho=1$. Как уже сказано, по теореме Брауэра–Урысона мы считаем функцию $f$ продолженной с компакта $X'$ до непрерывной финитной на $\mathbb R^2$ функции (которая также обозначена через $f$) с условием $\|f\|=\|f\|_{X'}$. Тогда $F(\mathbf x)=f(\mathbf x')$ принадлежит классу $\mathrm{BC}(\mathbb R^3)$.

По условию (и опять по теореме Брауэра–Урысона), для каждого $\varepsilon>0$ найдутся окрестность $U^{\varepsilon}$ компакта $X$ в $\mathbb R^3$ и функция $G^{\varepsilon} \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)\cap \mathcal A_{\mathcal L}(U^{\varepsilon})$ такие, что $\|F-G^{\varepsilon}\| < \varepsilon$.

Основная идея доказательства (как в [2; § 2]) состоит в том, что (пользуясь функциями $G^{\varepsilon}$) для любого $\delta>0$ мы найдем окрестность $V^{\delta}$ компакта $X'$ в $\mathbb R^2$ и $1$-периодическую по переменной $x_3$ функцию $H^{\delta} \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)\cap \mathcal A_{\mathcal L} (V^{\delta}\times \mathbb R_{x_3})$ с условием $\|F-H^{\delta}\| < \delta$ (период $1$ связан с выбором решетки $\{\mathbf b_\mathbf j\}$ ниже). Тогда искомое приближение для $f$ класса $C(\mathbb R^2)\cap \mathcal A_{\mathcal L'} (V^{\delta})$ имеет вид

$$ \begin{equation} h^{\delta}(\mathbf x')=\int_{x_3}^{x_3+1}H^{\delta}(\mathbf x', t)\, dt =\lim_{S \to+\infty} \sum_{s=1}^{S} S^{-1}H^{\delta}\biggl(\mathbf x', x_3+\frac sS\biggr). \end{equation} \tag{2.1} $$
Из первого равенства в (2.1) следует независимость $h^{\delta}$ от $x_3$. Из второго – $\mathcal L$-аналитичность функции $h^{\delta}$ на множестве $V^{\delta}\times \mathbb R_{x_3}$, а следовательно, и ее $\mathcal L'$-аналитичность на множестве $V^{\delta}$ (как функции двух переменных).

Всюду ниже $A_1, A_2, \dots$ – фиксированные положительные константы, которые могут зависеть только от $\mathcal L$. Константа $A=A(\mathcal L) \in (0,+\infty)$ может принимать разные значения в разных соотношениях.

При $\mathbf j=(j_1, j_2, j_3) \in {\mathbb Z }^3$ пусть $\mathbf b_\mathbf j=(j_1, j_2, j_3)$ и $B_{\mathbf j}=B(\mathbf b_\mathbf j, 1)$, так что $\{(9/10) B_{\mathbf j}\}_{\mathbf j \in {\mathbb Z }^3}$ покрывают $\mathbb R^{3}$. Найдется $\varphi \in C_0^{\infty}(B_{(0, 0, 0)})$ с условиями $0 \leqslant \varphi (\mathbf x) \leqslant 1$, $\varphi (\mathbf x)=1$ при $|\mathbf x|\leqslant 9/10$ и $\|\nabla^2 \varphi\| \leqslant A_1$, где

$$ \begin{equation*} \|\nabla^2 \varphi\|=\max \biggl\{\biggl\|\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr\|,\,1\leqslant i \leqslant j \leqslant 3 \biggr\} . \end{equation*} \notag $$
Тогда семейство
$$ \begin{equation*} \biggl\{ \varphi_\mathbf j (\mathbf x)=\frac{\varphi (\mathbf x-\mathbf b_\mathbf j)}{\sum_{{\mathbf m} \in {\mathbb Z }^3} \varphi (\mathbf x-\mathbf b_{\mathbf m})}\biggr\}_{\mathbf j \in {\mathbb Z }^3} \end{equation*} \notag $$
образует разбиение единицы на $\mathbb R^3$ (подчиненное покрытию $\{B_{\mathbf j}\}_{\mathbf j \in {\mathbb Z }^3}$) с оценками
$$ \begin{equation} \|\nabla^2 \varphi_\mathbf j\| \leqslant A_2. \end{equation} \tag{2.2} $$

Как и ранее, через $\Phi (\mathbf x)$ обозначается стандартное фундаментальное решение уравнения $\mathcal Lu=0$. Четность функции $\Phi(\mathbf x)$ и ее однородность порядка $-1$ относительно гомотетий (с центром в начале координат) вытекает из того, что $\Phi$ является преобразованием Фурье (в пространстве $\mathcal S'$ распределений умеренного роста в $\mathbb R^3$) четной локально интегрируемой по мере Лебега в $\mathbb R^3$ функции $1/L(\mathbf x)$, однородной порядка $-2$.

Пусть $B=B(\mathbf a, r)$, $\psi \in C^{\infty}_0(B)$. Оператор

$$ \begin{equation*} g \to V_{\psi}(g)=\Phi*(\psi \mathcal L g) \end{equation*} \notag $$
называется локализационным оператором (типа) Витушкина, соответствующим оператору $\mathcal L$ и индекс-функции $\psi$ (см. [7], [5]).

Следующее свойство этого оператора хорошо известно (см., например, [5; лемма 2.1]), однако для полноты изложения мы приведем набросок его доказательства, тем более что нам в дальнейшем потребуется одна возникающая в нем формула.

Лемма 2.2. В указанных обозначениях оператор $V_{\psi}$ непрерывен в $\mathrm{BC}(\mathbb R^3)$. Точнее, найдется константа $A_3$ c условиями

$$ \begin{equation} V_{\psi} (g) \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3), \qquad \|V_{\psi}(g)\| \leqslant A_3r^2\|\nabla^2 \psi\|\,\|g\|_B \end{equation} \tag{2.3} $$
для всех $g \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$. Кроме того, $\mathcal L V_{\psi}(g)=\psi \mathcal L g$, т.е. оператор $V_{\psi}$ “локализует” $\mathcal L$-особенности функции $g$ на носителе $\operatorname{Spt}(\psi) \subset B$.

Доказательство. Напомним, что $\mathcal L_\mathbf y \Phi(\mathbf y-\mathbf x)={\underline{\delta}}_\mathbf x$ является $\underline{\delta}$-функцией Дирака с центром в точке $\mathbf x$. Из соображений регуляризации достаточно провести доказательство леммы для любой функции $g \in C^{\infty}(\mathbb R^3) \cap \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$. Кратко напомним метод регуляризации. Фиксируем какую-либо неотрицательную функцию $\varphi_1$ класса $C^{\infty}_0(B(\mathbf 0,1))$ с условием $\displaystyle\int\varphi_1(\mathbf x)\,d\mathbf x=1$. При $\varepsilon>0$ положим
$$ \begin{equation} \varphi_{\varepsilon}(\mathbf x)=\varepsilon^{-3} \varphi_1\biggl(\frac{\mathbf x}{\varepsilon}\biggr). \end{equation} \tag{2.4} $$
Ясно, что $\varphi_{\varepsilon} \in C^{\infty}_0(B(\mathbf 0, \varepsilon))$, $\|\nabla^2 \varphi_{\varepsilon}\|=\|\nabla^2 \varphi_{1}\|/\varepsilon^5$ и $\displaystyle\int\varphi_{\varepsilon}(\mathbf x)\,d\mathbf x=1$. Если $g \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$, то для любого $\varepsilon>0$ функции $g_{\varepsilon}=g*\varphi_{\varepsilon} \in C^{\infty}(\mathbb R^3)$ удовлетворяют условиям $\|g_{\varepsilon}\|\leqslant \|g\|$ и $g_{\varepsilon} \to g$ при $\varepsilon \to 0$ равномерно на компактах в $\mathbb R^3$.

Итак, пусть $g\in C^{\infty}(\mathbb R^3)\cap \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$. При любом фиксированном $\mathbf x$ имеем

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag V_{\psi}(g) (\mathbf x) &=\bigl\langle \Phi (\mathbf x-\mathbf y)\psi(\mathbf y),\mathcal L_\mathbf y g(\mathbf y)\bigr\rangle=\bigl\langle \mathcal L_\mathbf y (\Phi (\mathbf y-\mathbf x)\psi(\mathbf y)), g (\mathbf y)\bigr\rangle \\ \notag &=\psi(\mathbf x) g (\mathbf x) +2\sum_{i, j=1}^3 c_{i j} \int_{B} \frac{\partial \Phi (\mathbf y-\mathbf x)}{\partial y_i}\, \frac{\partial \psi (\mathbf y)}{\partial y_j} g(\mathbf y)\,d\mathbf y \\ &\qquad +\int_{B} \Phi (\mathbf y-\mathbf x) \mathcal L_\mathbf y (\psi (\mathbf y)) g(\mathbf y)\,d\mathbf y . \end{aligned} \end{equation} \tag{2.5} $$
Теперь непрерывность функции $V_{\psi}(g)$ и ее надлежащая равномерная оценка следует из стандартных оценок последних слагаемых с учетом локальной интегрируемости функций $\Phi(\mathbf y-\mathbf x)$ и $\partial \Phi(\mathbf y-\mathbf x)/\partial y_j$, неравенств
$$ \begin{equation} |\Phi(\mathbf y-\mathbf x)| \leqslant \frac{A}{|\mathbf y-\mathbf x|}, \qquad \biggl|\frac{\partial \Phi(\mathbf y-\mathbf x)}{\partial y_j}\biggr| \leqslant \frac{A}{|\mathbf y-\mathbf x|^2} \end{equation} \tag{2.6} $$
и формул
$$ \begin{equation*} \psi=\Phi* (\mathcal L \psi), \qquad \frac{\partial \psi}{\partial y_j}=\frac{\partial \Phi}{\partial y_j} * (\mathcal L \psi). \end{equation*} \notag $$
Лемма 2.2 доказана.

Положим $F_\mathbf j=\Phi * (\varphi_\mathbf j \mathcal L F)$. Тогда $\mathcal L F_\mathbf j= \varphi_\mathbf j \mathcal L F$, т.е. функция $F_\mathbf j$ является $\mathcal L$-аналитической вне $B_\mathbf j$, и ввиду (2.2) и леммы 2.2 имеем $\|F_\mathbf j\| \leqslant A\|F\|$. Обозначим через $\mathbf J'$ совокупность индексов $\mathbf j=(j_1, j_2, 0)$ с условием $B_\mathbf j \cap X \neq \varnothing$. Их число $|\mathbf J'|$ зависит только от $X'$.

Теперь фиксируем достаточно малое $\varepsilon>0$, соответствующую (упомянутую выше) функцию $G^{\varepsilon}$ и для каждого $\mathbf j \in \mathbf J'$ определим $G^{\varepsilon}_\mathbf j=\Phi * (\varphi_\mathbf j \mathcal L G^{\varepsilon})$. Тогда $\mathcal L G^{\varepsilon}_\mathbf j=\varphi_\mathbf j \mathcal L G^{\varepsilon}=0$ на некоторой цилиндрической окрестности $V^{\varepsilon}_\mathbf j \times \mathbb R_{x_3}$ множества $Y=X' \times \mathbb R_{x_3}$. Кроме того, по лемме 2.2 $\|F_\mathbf j- G^{\varepsilon}_\mathbf j\| \leqslant A\|F-G^{\varepsilon}\| \leqslant A \varepsilon$.

Применяя равенство (2.5) к функции $F_\mathbf j-G^{\varepsilon}_\mathbf j$, при $\mathbf x \notin 2B_\mathbf j$ получаем:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, F_\mathbf j (\mathbf x)-G^{\varepsilon}_\mathbf j (\mathbf x) &=\int_{B_\mathbf j} \Phi (\mathbf x- \mathbf b_\mathbf j) \mathcal L_\mathbf y (\varphi_\mathbf j (\mathbf y)) \bigl(F(\mathbf y)- G^{\varepsilon} (\mathbf y)\bigr)\,d\mathbf y \\ &\qquad +\int_{B_\mathbf j} \bigl(\Phi (\mathbf x-\mathbf y)-\Phi (\mathbf x-\mathbf b_\mathbf j)\bigr) \mathcal L_\mathbf y (\varphi_\mathbf j (\mathbf y))\bigl (F(\mathbf y)-G^{\varepsilon} (\mathbf y)\bigr)\,d\mathbf y \\ &\qquad +2\sum_{i, j=1}^3 c_{i j} \int_{B_\mathbf j} \frac{\partial \Phi (\mathbf y-\mathbf x)}{\partial y_i} \,\frac{\partial \varphi_\mathbf j (\mathbf y)}{\partial y_j} (F(\mathbf y)-G^{\varepsilon} (\mathbf y))\,d\mathbf y \\ &=a_\mathbf j \Phi (\mathbf x-\mathbf b_\mathbf j)+\Theta_\mathbf j(\mathbf x), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} a_\mathbf j=\int_{B_\mathbf j} \mathcal L_\mathbf y (\varphi_\mathbf j (\mathbf y)) \bigl(F(\mathbf y)-G^{\varepsilon} (\mathbf y)\bigr)\,d\mathbf y, \qquad |a_\mathbf j| \leqslant A \varepsilon \end{equation*} \notag $$
и при $\mathbf x \notin 2B_\mathbf j$
$$ \begin{equation*} \Theta_\mathbf j(\mathbf x)=F_\mathbf j (\mathbf x)-G^{\varepsilon}_\mathbf j (\mathbf x)- a_\mathbf j \Phi (\mathbf x-\mathbf b_\mathbf j), \qquad |\Theta_\mathbf j(\mathbf x)| \leqslant \frac{A\varepsilon}{|\mathbf x-\mathbf b_\mathbf j|^{2}}. \end{equation*} \notag $$

При $\mathbf j \in \mathbf J'$ с условием $B_\mathbf j \setminus Y \neq \varnothing$ выберем $B_\mathbf j^*=B(\mathbf b^*_\mathbf j, r_\mathbf j)$ так, чтобы $\overline{B_\mathbf j^*} \subset B_\mathbf j \setminus Y$ ($B_\mathbf j^*$ можно выбрать в зависимости только от $\mathbf j$ и $X$). Теперь найдем $\Psi_\mathbf j \in C(\mathbb R^{N})$ с условиями $\Psi_\mathbf j(\mathbf x)= a_\mathbf j \Phi (\mathbf x-\mathbf b^*_\mathbf j)$ при $\mathbf x \notin B_\mathbf j^*$ и $\|\Psi_\mathbf j\| \leqslant A\varepsilon/r_\mathbf j$. Ясно, что

$$ \begin{equation*} |\Psi_\mathbf j(\mathbf x)-a_\mathbf j \Phi (\mathbf x-\mathbf b_\mathbf j)| \leqslant \frac{A\varepsilon}{|\mathbf x-\mathbf b_\mathbf j|^{2}} \end{equation*} \notag $$
при $\mathbf x \notin 2B_\mathbf j$.

Для других $\mathbf j\,{\in}\,\mathbf J'$ имеем $F_\mathbf j\,{=}\,0$ (поскольку все такие $F_\mathbf j\,{\in}\,\mathcal A_\mathcal L(\mathbb R^3)$ и $F_\mathbf j(\infty)\,{=}\,0$). Для них мы берем $G^{\varepsilon}_\mathbf j=\Psi_\mathbf j=0$, $r_\mathbf j=0$.

Положим $H^{\varepsilon}_\mathbf j=G^{\varepsilon}_\mathbf j+\Psi_\mathbf j$, $\mathbf j \in \mathbf J'$. Тогда для некоторой окрестности $W^{\varepsilon}_\mathbf j$ множества $X'$ имеем

$$ \begin{equation} H^{\varepsilon}_\mathbf j \in \mathcal A_\mathcal L (W^{\varepsilon}_\mathbf j \times \mathbb R_{x_3}), \qquad \|F_\mathbf j-H^{\varepsilon}_\mathbf j\| \leqslant \frac{A \varepsilon}{r_\mathbf j}, \end{equation} \tag{2.7} $$
$$ \begin{equation} |F_\mathbf j(\mathbf x)-H^{\varepsilon}_\mathbf j(\mathbf x)| \leqslant \frac{A\varepsilon}{|\mathbf x- \mathbf b_\mathbf j|^{2}}, \qquad \mathbf x \notin 2B_\mathbf j. \end{equation} \tag{2.8} $$

Определим $\mathbf J=\{\mathbf j=(j_1, j_2, j_3)\mid(\mathbf j', 0) \in \mathbf J'\}$ и при всех $\mathbf j \in \mathbf J$ положим $H^{\varepsilon}_\mathbf j(\mathbf x)=H^{\varepsilon}_{(\mathbf j', 0)}(\mathbf x', x_3- j_3))$ и $B_\mathbf j^*=B(\mathbf b^*_\mathbf j, r_\mathbf j)$, где $\mathbf b^*_\mathbf j=\mathbf b^*_{(\mathbf j', 0)}+(\mathbf 0', j_3)$. Тогда (2.7) и (2.8) остаются в силе при всех $\mathbf j \in \mathbf J$.

Пусть $M=|\mathbf J'_*|\max_{\{\mathbf j\in \mathbf J'_*\}} (r_\mathbf j^{-1})$, где $\mathbf J'_*= \{\mathbf j \in \mathbf J'\colon r_\mathbf j>0\}$. Из (2.7) и (2.8)

$$ \begin{equation*} \sum_{\mathbf j \in \mathbf J}|F_\mathbf j(\mathbf x)-H^{\varepsilon}_\mathbf j(\mathbf x)| \leqslant AM\varepsilon \biggl(1+\sum_{j_3\neq 0}|j_3|^{-2}\biggr) < 5AM\varepsilon. \end{equation*} \notag $$

Теперь для любого заданного $\delta>0$ выберем $\varepsilon=\delta/(5AM)$ и возьмем $H^{\delta}=F+\sum_{\mathbf j \in \mathbf J} (H^{\varepsilon}_\mathbf j-F_\mathbf j)$. Остается учесть, что $\mathcal L H^{\delta}=\mathcal L F (1-\sum_{\mathbf j \in \mathbf J} \varphi_\mathbf j)+ \sum_{\mathbf j \in \mathbf J} \mathcal L H^{\varepsilon}_\mathbf j$ обращается в нуль в некоторой цилиндрической (вдоль переменной $x_3$) окрестности $V^{\delta}$ множества $Y$. Теорема 1.1 доказана.

Доказательство следствия 1.1. Формула (1.4) непосредственно получается из (1.2) при $N=3$ и $f(\mathbf x)=f(\mathbf x')$ с учетом тех фактов, что $d\sigma_\mathbf x=r(r^2-|\mathbf x'-\mathbf a'|^2)^{-1/2}\,d\mathbf x'$ и что на $B'$ проектируется две полусферы из $\partial B$. Точнее, ввиду соотношения $L(\mathbf x)=L'(\mathbf x')+x_3^2$ на $\partial B$ имеем $L(\mathbf x-\mathbf a)=L'(\mathbf x'- \mathbf a')+r^2-|\mathbf x'- \mathbf a'|^2$, откуда
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathcal O^{L}_{B} (f) &= \frac{1}{4\pi r^2}\int_{B'} f(\mathbf x') \frac{L'(\mathbf x'- \mathbf a')+r^2-|\mathbf x'- \mathbf a'|^2}{r^2} \,\frac{2r}{(r^2-|\mathbf x'-\mathbf a'|^2)^{1/2}}\,d\mathbf x' \\ &\qquad -\frac{2+c_{22}}{4\pi r^3} \int_{B'} f(\mathbf x')2(r^2-|\mathbf x'- \mathbf a'|^2)^{1/2}\,d\mathbf x' \\ &=\frac{1}{2\pi r^3}\int_{B'} f(\mathbf x') \frac{L'(\mathbf x'\,{-}\,\mathbf a')\,{+}\,r^2\,{-}\,|\mathbf x'\,{-}\,\mathbf a'|^2\,{-}\,(2\,{+}\,c_{22})(r^2\,{-}\,|\mathbf x'\,{-}\, \mathbf a'|^2)}{(r^2-|\mathbf x'-\mathbf a'|^2)^{1/2}}\,d\mathbf x', \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
что совпадает с левой частью в (1.4), деленной на $2r$. При $\mathcal L'=\Delta_2$ (т.е. при $\mathcal L=\Delta_3$) эти результаты соответствуют полученным ранее утверждениям в [2]. Следствие 1.1 доказано.
Доказательство теоремы 1.2. Снова предполагаем, что $\rho=1$. По теореме 1.1 импликация $\mathcal A_{\mathcal L}(X)=C_{\mathcal L}(X)$ $\Rightarrow$ $\mathcal A_{\mathcal L'}(X')=C_{\mathcal L'}(X')$ тривиальна.

Пусть теперь $\mathcal A_{\mathcal L'}(X')=C_{\mathcal L'}(X')$. Надо установить, что $\mathcal A_{\mathcal L}(X)=C_{\mathcal L}(X)$. По теореме B достаточно доказать, что найдется $\lambda=\lambda(L)\geqslant 1$ такое, что для любого открытого шара $B=B(\mathbf a, r)$ в $\mathbb R^3$ выполняется неравенство $\kappa (B \setminus X^{\circ}) \leqslant A \kappa (\lambda B \setminus X)$. Будем считать, что $B \cap \partial X \neq \varnothing$, иначе все тривиально. Кроме того, мы можем положить $\mathbf a=\mathbf 0$. Для краткости положим $\kappa_*=\kappa (B \setminus X^{\circ})$.

Заметим, что $\kappa(B)=\alpha r$, где $\alpha=\kappa(B(\mathbf 0, 1))>0$ (см. § 3 ниже). Фиксируем компакт $K \subset B \setminus X^{\circ}$ с условием $\kappa (K)>\kappa_*/2$ и положим $\delta=\kappa_*/(2\alpha)$. Тогда $\alpha \delta < \kappa(K) \leqslant \kappa_*=2\alpha\delta$ и $\delta < r$. Пусть $\mathbf b=(5r, 0, 0)$, $Q=\overline{B(\mathbf b, r)}$. Тогда $Q \subset 6\overline{B} \setminus 4B$ и $\alpha \delta < \kappa (K) < \kappa(Q)$. По определению емкости $\kappa$ существуют распределения $T_1$ с носителем на $K$ и $T_2$ с носителем на $Q$ со следующими свойствами:

$$ \begin{equation*} F_j:=\Phi*T_j \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3), \quad\|F_j\| \leqslant 1, \qquad \langle T_j, 1 \rangle=\alpha\delta , \quad j \in \{1, 2\}. \end{equation*} \notag $$

Лемма 2.3. Пусть $\mathbf a_1=\mathbf 0$, $\mathbf a_2$=$\mathbf b$, тогда для $j \in \{1,2\}$ при $|\mathbf x-\mathbf a_j|>3r$ имеем

$$ \begin{equation} |F_j(\mathbf x)-\alpha\delta \Phi(\mathbf x-\mathbf a_j)| \leqslant \frac{A_4 r^2}{|\mathbf x-\mathbf a_j|^2}. \end{equation} \tag{2.9} $$

Доказательство. Утверждение этой леммы стандартно (см., например, [9; следствие 3.4]), его достаточно установить при $j=1$. Более простое доказательство (без использования техники рядов Лорана, которая нуждается во введении многих дополнительных обозначений) нетрудно получить, используя формулу (2.5). Из нее следует, что для $|\mathbf x|>2r$ и функции $\psi \in C_0^{\infty}(2B)$ с условиями $0 \leqslant \psi (\mathbf x) \leqslant 1$, $\psi (\mathbf x)=1$ при $\mathbf x \in B$ и $\|\nabla^2 \psi\| \leqslant A_1/r^2$ имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, F_1(\mathbf x) &=V_{\psi}(F_1) (\mathbf x)=\bigl\langle \mathcal L_\mathbf y (\Phi (\mathbf y-\mathbf x)\psi(\mathbf y)),F_1 (\mathbf y)\bigr\rangle \\ &=2\sum_{i, j=1}^3 c_{i j} \int_{B} \frac{\partial \Phi (\mathbf y-\mathbf x)}{\partial y_i} \,\frac{\partial \psi (\mathbf y)}{\partial y_j} F_1(\mathbf y)\,d\mathbf y \\ &\qquad +\int_{B} (\Phi (\mathbf y-\mathbf x)- \Phi(\mathbf x))\mathcal L_\mathbf y (\psi (\mathbf y)) F_1(\mathbf y)\,d\mathbf y +\Phi(\mathbf x) \int_{B} \mathcal L_\mathbf y (\psi (\mathbf y)) F_1(\mathbf y)\,d\mathbf y , \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где последнее слагаемое здесь имеет вид
$$ \begin{equation*} \Phi(\mathbf x) \bigl\langle \mathcal L_\mathbf y F_1(\mathbf y), \psi (\mathbf y)\bigr\rangle=\Phi(\mathbf x) \langle T_1, 1\rangle=\alpha\delta\Phi(\mathbf x), \end{equation*} \notag $$
а остальные слагаемые оцениваются, как раньше, с помощью оценок (2.6). Лемма доказана.

Пусть $F_0=F_1 -F_2$. Тогда $\|F_0\| \leqslant 2$ и при $|\mathbf x|>18r$ имеем из (2.9):

$$ \begin{equation} |F_0(\mathbf x)| \leqslant \frac{A_5r^2}{|\mathbf x|^2} . \end{equation} \tag{2.10} $$

Рассмотрим функцию

$$ \begin{equation*} F(\mathbf x)=\sum_{m\in \mathbb Z} F_0(\mathbf x-(0, 0, mr)) \end{equation*} \notag $$
с условиями $F\in C(\mathbb R^3)$, $\|F\| \leqslant A_6$ (последняя оценка вытекает из (2.10) и сходимости ряда $\sum_{m\neq 0}1/m^2$), $F$ периодична с периодом $r$ по переменной $x_3$, $\mathcal L$-аналитична вне $(K' \cup Q')\times \mathbb R_{x_3}$, где $K'$ и $Q'=\overline{B'(\mathbf b', r)}$ – проекции $K$ и $Q$ на $\mathbb R^2_{\mathbf x'}$ соответственно.

Как ранее в формуле (2.1), введем усредненную функцию

$$ \begin{equation*} f(\mathbf x')=r^{-1}\int_{x_3}^{x_3+r}F(\mathbf x', t)\, dt =r^{-1}\lim_{S \to+\infty} \sum_{s=1}^{S} S^{-1} F\biggl(\mathbf x', x_3+\frac{rs}{S}\biggr), \end{equation*} \notag $$
которая не зависит от $x_3$ и, следовательно, $\mathcal L'$-аналитична вне $K' \cup Q'$, $\|f\|\leqslant A_6$.

Введем новое разбиение единицы $\{(B^r_{\mathbf j}, \varphi^r_{\mathbf j})\}_{\mathbf j \in {\mathbb Z }^3}$, где $\mathbf j=(j_1, j_2, j_3)$, $\mathbf b^r_\mathbf j=(j_1r, j_2r, j_3r)$, $B^r_{\mathbf j}= B(\mathbf b^r_\mathbf j, r)$, так что $\{(9/10) B^r_{\mathbf j}\}_{\mathbf j \in {\mathbb Z }^3}$ покрывают $\mathbb R^3$. Как ранее (при $r=1$), находятся функции $\varphi^r_\mathbf j \in C_0^{\infty}(B^r_{\mathbf j})$ с условиями $0 \leqslant \varphi^r_\mathbf j(\mathbf x) \leqslant 1$, $\|\nabla^2 \varphi^r_\mathbf j\| \leqslant A_2/r^2$, и $\sum_{\mathbf j \in {\mathbb Z }^3} \varphi^r_\mathbf j \equiv 1$ в $\mathbb R^3$.

Фиксируем натуральное $M \geqslant 5$ (выберем его позже), и пусть $\varphi_M=\sum_{\mathbf j \in \mathbf J} \varphi^r_{\mathbf j}$, где $\mathbf J=\{\mathbf j=(j_1,j_2,j_3)\bigm| |j_1|\leqslant 1,\, |j_2|\leqslant 1,\,0 \leqslant j_3 \leqslant M \}$. Положим $\Omega_M=\bigcup_{\mathbf j \in \mathbf J} B^r_{\mathbf j} $ и пусть $F_M=V_{\varphi_M}(f)$. По лемме 2.2 $\|F_M\|\leqslant A_7M$.

Лемма 2.4. В указанных обозначениях найдется $A_8 \geqslant 5$ такое, что при $M \geqslant A_8$ справедливо неравенство $|\langle \mathcal LF_M,1 \rangle|\geqslant \alpha\delta$.

Доказательство. Имеем:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \langle \mathcal LF_M,1 \rangle &=\langle \mathcal L f,\varphi_M\rangle=\int_{\Omega_M} f(\mathbf x') \mathcal L \varphi_M(\mathbf x)\,d\mathbf x \\ &=r^{-1}\int_{\Omega_M} \int_0^r F(\mathbf x', x_3+t)\,dt \mathcal L \varphi_M(\mathbf x)\,d \mathbf x \\ &=r^{-1}\int_0^r \,dt \int_{\Omega_M} F(\mathbf x', x_3+t) \mathcal L \varphi_M(\mathbf x)\,d \mathbf x \\ &=r^{-1}\int_0^r \langle \mathcal L F(\mathbf x', x_3+t) ,\varphi_M \rangle \,dt \\ &=r^{-1}\int_0^r \sum_{m\in \mathbb Z} \langle T_1(\mathbf x', x_3+t-mr) ,\varphi_M \rangle \,dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Заметим, что $\operatorname{Spt}(\varphi_M)\subset \Omega_M$ и $\varphi_M(\mathbf x)\equiv 1$ на множестве $\Omega'_M=B'\times (0, Mr)$. Так как при $r \leqslant mr-t \leqslant (M-1)r$ имеет место
$$ \begin{equation*} \operatorname{Spt} (T_1(\mathbf x', x_3+t-mr)) \subset B((0,0,mr-t),r)\subset \Omega'_M , \end{equation*} \notag $$
причем $t\in [0,r]$, то при $2 \leqslant m \leqslant M-1$ получаем
$$ \begin{equation*} \langle T_1(\mathbf x', x_3+t-mr) ,\varphi_M \rangle=\alpha\delta. \end{equation*} \notag $$
Соответственно, при $mr-t \in (-\infty, -2r]\cup [(M+2)r,+\infty)$ справедливо
$$ \begin{equation*} \operatorname{Spt} (T_1(\mathbf x', x_3+t-mr))\cap \Omega_M=\varnothing, \end{equation*} \notag $$
откуда при $m \in (-\infty, -2]\cup [(M+3),+\infty)$ имеем $\langle T_1(\mathbf x', x_3+t-mr),\varphi_M \rangle=0$.

Остается оценить выражения $I_{mt}=\langle T_1(\mathbf x', x_3\,{+}\,t\,{-}\,mr) ,\varphi_M \rangle$ при $m \in \{-1,0, 1,M,M+1,M+2\}$ и $t\in [0,r]$. Для каждого из таких $m$ и $t$ пусть множество $\mathbf J_{mt} \subset \mathbf J$ состоит из элементов $\mathbf j$ (их всегда не более чем 36), для которых $(B^r_{\mathbf j}\cap B((0,0,mr-t),r) \neq \varnothing$, т.е.

$$ \begin{equation*} I_{mt}=\sum_{\mathbf j\in \mathbf J_{mt}} \langle T_1(\mathbf x', x_3+t-mr) ,\varphi_\mathbf j \rangle . \end{equation*} \notag $$
Определим $K_{mt}=\{\mathbf x+(0,0,mr-t)\mid\mathbf x \in K\}$, $T_{mt}(\mathbf x)=T_1(\mathbf x\,{-}\,(0,0,mr\,{-}\,t))$, $F_{mt}(\mathbf x)=F_1(\mathbf x-(0,0,mr-t))$ (т.е. $F_{mt}=\Phi*T_{mt}$). Поскольку $\|F_{mt}\|=\|F_1\|\leqslant 1$, ввиду (2.3) при $\mathbf j\in \mathbf J_{mt}$ имеем $\|V_{\varphi_\mathbf j}(F_{mt})\|\leqslant A_2A_3$, откуда по определению емкости $\kappa(K_{mt})=\kappa(K)$ получаем
$$ \begin{equation*} |\langle T_1(\mathbf x', x_3+t-mr),\varphi_\mathbf j \rangle|\leqslant A_2A_3\kappa(K) \leqslant 2A_2A_3\alpha\delta. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, поскольку $|I_{mt}|\leqslant 72A_2A_3\alpha\delta=: A_9\alpha\delta$, окончательно находим:
$$ \begin{equation*} |\langle \mathcal LF_M,1 \rangle-(M-2)\alpha\delta| \leqslant A_9\alpha\delta, \end{equation*} \notag $$
и можно взять $A_8=\max\{5,A_9+3\}$. Лемма доказана.

Теперь фиксируем $M=A_8$ из предыдущей леммы. Тогда

$$ \begin{equation} \|F_M\|\leqslant A_7A_8, \qquad |\langle \mathcal LF_M,1 \rangle| \geqslant \alpha\delta. \end{equation} \tag{2.11} $$

Лемма 2.5. Пусть $Y'=X'\cap \overline{3B'}$, тогда $f|_{Y'}\in \mathcal A_{\mathcal L'}(Y')$.

Доказательство. Введем функцию $\psi \in C^{\infty}_0(B'(\mathbf b', 2r))$, $\psi=1$ в окрестности $Q'=\overline{B'(\mathbf b', \delta)}$. Пусть $f_{\psi}=\Phi_2*(\psi \mathcal L' f)$. Очевидно, что $f_{\psi}$ является $\mathcal L'$-аналитической в окрестности $Y'$. Остается доказать, что $g=f-f_{\psi}$ удовлетворяет условию $g|_{X'} \in \mathcal A_{\mathcal L'}(X')\subset \mathcal A_{\mathcal L'}(Y')$. Так же, как в лемме 2.2, доказывается, что $f_{\psi}$ (и, значит, $g$) непрерывна на $\mathbb R^2$ (см., например, [10; предложение 2.5]), причем $\mathcal L' g=(1-\psi) \mathcal L' f=0$ на $(X')^{\circ}$. Остается вспомнить, что $C_{\mathcal L'}(X')=\mathcal A_{\mathcal L'}(X')$. Лемма доказана.

Завершим доказательство теоремы 1.2. Так как $f|_{Y'} \in \mathcal A_{\mathcal L'}(Y')$, найдется последовательность функций $f_n \in \mathrm{BC}(\mathbb R^2)$, $\mathcal L'$-аналитических в окрестности $Y'$, с условием $\|f-f_n\| \to 0$ при $n \to+\infty$.

Положим $F_{Mn}=\Phi*(\varphi_M \mathcal L f_n)$, так что $\mathcal L F_{Mn}=\varphi_M \mathcal L f_n$. Пусть $\lambda=M+2$. По лемме 2.2 (примененной к шару $\lambda B$, функции $f-f_n$ и индекс-функции $\varphi_M$) и из (2.11) получаем, что (при достаточно больших $n$) $\|F_{Mn}\| < A_{10}$, $F_{Mn}$ является $\mathcal L$-аналитической вне некоторого компакта $K_n \subset \lambda B\setminus X$ и

$$ \begin{equation*} |\langle \mathcal L F_{Mn},1 \rangle|=|\langle \mathcal L f_n,\varphi_M \rangle| =|\langle f_n,\mathcal L\varphi_M\rangle| \to |\langle f,\mathcal L\varphi_M\rangle| \geqslant \alpha\delta. \end{equation*} \notag $$

Отсюда при достаточно больших $n$ получаем

$$ \begin{equation*} \kappa_*=2\alpha\delta \leqslant 2A_{10}\kappa(K_n) \leqslant 2A_{10} \kappa(\lambda B\setminus X). \end{equation*} \notag $$

Теорема 1.2 доказана.

§ 3. О некоторых метрических свойствах емкостей $\kappa$ при $N=3$

В этом параграфе всюду (кроме следствия 3.1) предполагается, что размерность $N=3$. Фиксируем произвольный эллиптический оператор $\mathcal L=\mathcal L_3$ (с символом $L$) в $\mathbb R^3$, c фундаментальным решением $\Phi$ и емкостью $\kappa$ (см. (1.1)). С $\mathcal L$-емкостью $\kappa$ (в классе непрерывных функций) тесно связана $\mathcal L$-емкость в классе ограниченных функций:

$$ \begin{equation} \kappa'(E)=\sup_{T} \bigl\{|\langle T,1\rangle| \colon \operatorname{Spt} (T) \subset E,\,\|\Phi * T\| \leqslant 1\bigr\}. \end{equation} \tag{3.1} $$

Емкость $\kappa'$ устроена проще емкости $\kappa$. Ясно, что $\kappa$ и $\kappa'$ являются монотонными функциями множеств и что $\kappa(E)\leqslant \kappa'(E)$ для всякого ограниченного $E \subset \mathbb R^3$. Следующие два простые, но часто используемые свойства емкости $\kappa'$ справедливы и для $\kappa$:

(i) $\kappa'(E)=\sup_{K \subset E} \{\kappa'(K)\}$, где $\sup$ здесь берется по всем компактам $K$ в $E$;

(ii) если $P(\cdot)$ – гомотетия в $\mathbb R^3$ с коэффициентом $\lambda>0$, то $\kappa'(P(E))=\lambda \kappa'(E)$; в частности, $\kappa'(B(\mathbf a, r))=r\kappa'(B(\mathbf 0,1))=r\alpha>0$.

Кроме того, для любого ограниченного открытого множества $E \subset \mathbb R^3$ имеем $\kappa(E)=\kappa'(E)$. Докажем это методом регуляризации. А именно, пусть $\kappa'(E)>0$ (иначе доказывать нечего). Фиксируем любое $\delta \in (0,\kappa'(E))$ и (согласно (i)) найдем компакт $K \subset E$ и распределение $T$ с носителем в $K$ такие, что $h=\Phi * T \in L^{\infty}(\mathbb R^3)$, $\|h\|\leqslant 1$ и $\langle T,1\rangle= \kappa'(E) -\delta$. Положим $\varepsilon=3^{-1}\operatorname{dist}(K, \partial E)$, и пусть $\varphi_{\varepsilon}$ – функция, определенная в формуле (2.4). Тогда для распределения $T_{\varepsilon}=T*\varphi_{\varepsilon}$ с компактным носителем в $E$ и функции $h_{\varepsilon}=\Phi * T_{\varepsilon}=h*\varphi_{\varepsilon}$ имеем:

$$ \begin{equation*} h_{\varepsilon} \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3), \qquad \|h_{\varepsilon}\|\leqslant 1, \qquad \langle T_{\varepsilon}, 1\rangle=\langle T,1\rangle=\kappa'(E) -\delta. \end{equation*} \notag $$
По определению отсюда имеем $\kappa(E)\geqslant \kappa'(E) -\delta$. Остается $\delta$ устремить к $0$.

Таким образом, в формулировках теоремы A и следствия 1.1 (но не теоремы B) можно вместо $\kappa$-емкости использовать $\kappa'$-емкость.

В приложениях полезно также следующее свойство емкости $\kappa'$, которое справедливо для многих других емкостей, однако не ясно, верно ли оно для $\kappa$.

Предложение 3.1. Пусть $K$ – компакт и при $\delta>0$ через $U_{\delta}(K)$ обозначается его открытая $\delta$-окрестность. Тогда

$$ \begin{equation*} {\kappa}'(K)=\lim_{\delta \to 0} {\kappa}'(U_{\delta}(K)). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Для данной емкости доказательство имеет свою специфику. При $n \in \{1,2, \dots\}$ пусть $K_n$ – компакт с условиями $K \subset K_n \subset U_{1/n}(K)$, $\kappa'(K_n)>\kappa'(U_{1/n}(K))-1/n$. Найдется распределение $T_n$ с компактным носителем в $K_n$ такое, что $\|\Phi*T_n\|\leqslant 1$ и $\langle T_n,1\rangle \geqslant \kappa'(U_{1/n}(K))-1/n$. Пусть $F_n=\Phi*T_n$, а $H_n(\mathbf x)=0$ при $\mathbf x\in K_n$ и $H_n(\mathbf x)=F_n(\mathbf x)$ при $\mathbf x\notin K_n$ (так что $\|H_n\|\leqslant 1$). Нам потребуется следующий факт.

Лемма 3.1. Пусть $H$ – распределение в $\mathbb R^3$, $T=\mathcal LH$, причем $S_T=\operatorname{Spt} (T)$ – компакт (т.е. $H \in \mathcal A_\mathcal L(\mathbb R^3\setminus S_T)$). Если $\lim_{|\mathbf x|\to+\infty} H(\mathbf x)=0$, то $H=\Phi*T$.

Доказательство. Схема доказательства более общего варианта этой леммы имеется, например, в [11; лемма 1]. Мы приведем подробное доказательство для нашего случая, оно коротко. Распределение $H_0=H-\Phi*T$ (класса $\mathcal S'$) удовлетворяет условию $\mathcal L H_0=0$. Применяя к последнему равенству преобразование Фурье $\mathcal F$ в $\mathcal S'$, получим, что $L(\mathbf x)\mathcal F(H_0)=0$, т.е. $\operatorname{Spt}(\mathcal F(H_0))=\{\mathbf 0\}$. Следовательно, $\mathcal F(H_0)$ является конечной линейной комбинацией $\underline{\delta}$-функции Дирака (с центром в $\mathbf 0$) и ее частных производных [4; теорема 2.3.4], а значит, сама функция $H_0$ является многочленом. Теперь легко показать, что $H_0\equiv 0$. Лемма доказана.

Продолжим доказательство предложения 3.1. Пусть $R>0$ таково, что $U_1(K) \subset B=B(\mathbf 0,R)$. Выберем $\varphi \in C^{\infty}_0(2B)$ c условием $\varphi \equiv 1$ в $B$. Пусть $T'_n=\mathcal LH_n$. По лемме 3.1 имеем $H_n=\Phi*T'_n$, причем

$$ \begin{equation} \langle T'_n,1\rangle=\langle T'_n,\varphi\rangle=\langle H_n,\mathcal L\varphi\rangle =\langle F_n,\mathcal L\varphi\rangle =\langle T_n,1 \rangle \geqslant \kappa'(U_{1/n}(K))-\frac1n. \end{equation} \tag{3.2} $$
Для любого компакта $X$ с условием $X\cap K=\varnothing$ найдется $N_X \in \mathbb N$ такое, что семейство функций $\{H_n\}_{n \geqslant N_X}$ является равностепенно непрерывным на $X$. Поэтому найдется подпоследовательность $\{n_k\}_{k \in \mathbb N}$ такая, что последовательность $\{H_{n_k}\}_{k \in \mathbb N}$ сходится поточечно всюду на $\mathbb R^3$ (и локально равномерно на $\mathbb R^3 \setminus K$) к некоторой функции $H_*$ с условиями $\|H_*\|\leqslant 1$ и $H_* \in \mathcal A_\mathcal L(\mathbb R^3\setminus K)$. Остается заметить, что для распределения $T_*=\mathcal LH_*$ имеем $\operatorname{Spt}(T_*) \subset K$, по лемме 3.1 выполнено $\|\Phi*T_*\|=\|H_*\|\leqslant 1$, и ввиду (3.2)
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \kappa'(K) &\geqslant \langle T_*,1\rangle=\langle T_*,\varphi\rangle=\langle H_*,\mathcal L\varphi\rangle \\ &=\lim_{k\to+\infty} \langle H_{n_k},\mathcal L\varphi\rangle=\lim_{k\to+\infty}\langle T'_{n_k},\varphi \rangle= \lim_{\delta \to 0} {\kappa}'(U_{\delta}(K)). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Очевидно также, что $\kappa'(K) \leqslant \lim_{\delta \to 0} {\kappa}'(U_{\delta}(K))$. Предложение 3.1 доказано.

Стандартно доказывается (см. [1; теорема 1.12]), что компактные множества $K$ нулевой $\kappa$-емкости (соответственно $\kappa'$-емкости) суть в точности устранимые множества для $\mathcal L$-аналитических функций в классе непрерывных (соответственно ограниченных) функций. Это означает, что если $U$ – некоторая окрестность компакта $K$ и $f \in C(U)\cap \mathcal A_\mathcal L(U \setminus K)$ (соответственно $f \in L^{\infty}(U)\cap \mathcal A_\mathcal L(U \setminus K)$), то $f\in \mathcal A_\mathcal L(U)$ (соответственно $f$ совпадает в $U \setminus K$ с некоторой функцией класса $\mathcal A_\mathcal L(U))$.

Далее в этом параграфе мы установим ряд метрических свойств емкостей $\kappa$ и $\kappa'$, аналогичных метрическим свойствам классической гармонической емкости ограниченного множества $E \neq \varnothing$ в $\mathbb R^3$:

$$ \begin{equation} \operatorname{Cap}(E)=\sup_{\mu} \biggl\{\|\mu\| \colon \operatorname{Spt} (\mu) \subset E,\,\biggl(\frac{1}{|\mathbf x|}\biggr) * \mu \leqslant 1\biggr\}, \end{equation} \tag{3.3} $$
где $\sup$ берется по всем указанным неотрицательным борелевским мерам $\mu$, $\|\mu\|$ – полная масса (вариация) меры $\mu$.

Так, $\operatorname{Cap}(B(\mathbf a, r))=r$ и по определению $\operatorname{Cap}(\varnothing)=0$.

Замечание 3.1. В определении $\operatorname{Cap}(E)$ в (3.3) можно дополнительно потребовать непрерывность потенциала $(1/|\mathbf x|) * \mu$ на всем $\mathbb R^3$ (см. [12; лемма XII]).

Замечание 3.2. Определение $\operatorname{Cap}(E)$ эквивалентно следующему (см. [13; гл. II, § 2]):

$$ \begin{equation*} \operatorname{Cap} (E)=\sup_{T} \biggl\{|\langle T,1\rangle| \colon \operatorname{Spt} (T) \subset E,\,\biggl\|\biggl(\frac{1}{|\mathbf x|}\biggr) * T\biggr\| \leqslant 1\biggr\}, \end{equation*} \notag $$
где $\sup$ берется по всем указанным распределениям $T$ с условием $\Phi * T \in C(\mathbb R^3)$.

Таким образом, из сказанного и из (1.1) получаем, что $\kappa_{\Delta}(E)=\kappa'_{\Delta}(E)=4\pi \operatorname{Cap}(E)$, где $\kappa_{\Delta}(E)=\kappa(E)$ при $\mathcal L=\Delta_3=:\Delta$ (здесь $\Phi_{\Delta}(\mathbf x)= -1/(4\pi |\mathbf x|)$).

Напомним определение $p$-мерного ($p \in (0, 3]$) обхвата по Хаусдорфу ограниченного множества $E$ в $\mathbb R^3$:

$$ \begin{equation*} \mathcal M^{p}(E)=\inf\sum_jr_j^p, \end{equation*} \notag $$
где нижняя грань берется по всем покрытиям $\{B_j\}$ множества $E$ шарами (каждое $\{B_j\}$ есть не более чем счетное покрытие множества $E$ шарами $B_j$ в $\mathbb R^N$ с радиусами $r_j$).

Предложение 3.2. Пусть $E \neq \varnothing$ – ограниченное множество в $\mathbb R^3$. Найдется константа $A_0=A_0(\mathcal L) \in (1,+\infty)$, для которой выполняются следующие свойства емкостей $\kappa$ и $\kappa'$:

(1) ${\kappa}'(E) \leqslant A_0\mathcal M^1(E)$;

(2) для любого ограниченного $F_{\sigma}$-множества $E$ (и даже для т.н. аналитических множеств) в $\mathbb R^3$ и $p \in (1, 3]$ имеем:

$$ \begin{equation*} {\kappa}(E) \geqslant A_0^{-1} (p-1) \bigl(\mathcal M^p(E) \bigr)^{1/p}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Докажем (1) по аналогии с доказательством свойства (2) из [14; предложение 4.1], используя известную лемму Харви и Полкинга [15; лемма 3.1] (для согласования обозначений см. [14; лемма 4.1], где условие (a) следует заменить на условие $\|\nabla^2 \varphi_j\| \leqslant A s(Q_j)^{-2}$, а также см. обозначения непосредственно перед этой леммой). Без ограничения общности считаем $E\,{\neq}\, \varnothing$ компактом.

Фиксируем любое $\varepsilon>0$ и, пользуясь определением (3.1), выберем $g$ с условиями $g=\Phi_\mathcal L * T$, $\operatorname{Spt} (\mathcal Lg)=\operatorname{Spt} (T) \subset E$, $\|g\| \leqslant 1$ и $ \langle \mathcal Lg, 1\rangle={\kappa}'(E)/2$.

Из определения $\mathcal M^1(E)$ и компактности $E$ непосредственно следует, что найдется конечное семейство раздельных двоичных кубов $\{Q_j\}_{j=1}^J$ с условиями $E \subset (\bigcup_{j=1}^J Q_j)^{\circ}$ и $\sum_{j=1}^J r_j \leqslant A\mathcal M^1(E)+\varepsilon$, где $r_j=s(Q_j)$. Пусть $\{\varphi_j\}_{j=1}^J$ – разбиение единицы для $\{Q_j\}_{j=1}^J$ из леммы [14; лемма 4.1]. Тогда

$$ \begin{equation*} \langle \mathcal Lg, 1\rangle=\biggl\langle \mathcal Lg, \sum_{j=1}^J \varphi_j\biggr\rangle =\biggl\langle g, \sum_{j=1}^J \mathcal L\varphi_j\biggr\rangle. \end{equation*} \notag $$
Из оценок $\|\mathcal L \varphi_j\| \leqslant A r_j^{-2}$ получаем, что $|\langle g, \mathcal L \varphi_j \rangle| \leqslant Ar_j$, откуда
$$ \begin{equation*} {\kappa}'(E)=2\langle \mathcal Lg, 1\rangle \leqslant A \sum_{j=1}^J r_j \leqslant A^2(\mathcal M^1(E)+\varepsilon). \end{equation*} \notag $$
Остается $\varepsilon$ устремить к нулю.

Задача 3.1. Найдется ли компакт $E$ в $\mathbb R^3$ с условиями $\mathcal M^1(E)>0$, но ${\kappa}'(E)=0$? Верно ли, что $\kappa'(I)=0$ для любого отрезка $I$?

Эта задача – частный случай более сложных задач, приведенных в конце статьи. Отметим, что для случая $\mathcal L=\Delta$ ответ утвердительный (подойдет любой отрезок $I$).

Докажем свойство (2). В работе [16; следствие 3.1] оно установлено, в частности, для емкости $\operatorname{Cap}(E)$, поэтому остается доказать следующее утверждение.

Лемма 3.2. Пусть $a=\sup\{|\mathbf x\|\Phi (\mathbf x)|\colon \mathbf x \in \mathbb R^3\}$, т.е. $a \in (0,+\infty)$ – минимальная константа $A$ из первой оценки в (2.6). Тогда в указанных обозначениях (и ограничениях) для всякого $E \in \mathbb R^3$ имеем $\kappa(E)\geqslant a^{-1}\operatorname{Cap}(E)$.

Доказательство. Пусть $\operatorname{Cap}(E)>0$ и $\varepsilon \in (0, \operatorname{Cap}(E))$ произвольно фиксированное. Найдется неотрицательная борелевская мера $\mu_{\varepsilon}$ с компактным носителем $K_{\varepsilon}$ в $E$ такая, что $(1/|\mathbf x|)*\mu_{\varepsilon}\leqslant 1$ и $\|\mu_{\varepsilon}\|\geqslant \operatorname{Cap}(E)-\varepsilon/2$. Положим $\psi_n(\mathbf x)=1/|\mathbf x|$ при $|\mathbf x|<1/n$ и $\psi_n(\mathbf x)=0$ при $|\mathbf x| \geqslant 1/n$. Ясно, что
$$ \begin{equation*} \psi_n*\mu_{\varepsilon}(\mathbf x)=\int_{B(\mathbf x, 1/n)} \frac{1}{|\mathbf y-\mathbf x|}\,d\mu_{\varepsilon}(\mathbf y) \to 0 \end{equation*} \notag $$
при $n \to+\infty$ для каждого $\mathbf x \in \mathbb R^3$. По теореме Егорова найдется компакт $K$ в $K_{\varepsilon}$ с условием $\mu_{\varepsilon}(K_{\varepsilon}\setminus K) < \varepsilon/2$ такой, что $\psi_n*\mu_{\varepsilon}(\mathbf x)\to 0$ при $n \to+\infty$ равномерно на $K$. Пусть $\mu=\mu_{\varepsilon}|_K$. Тогда, очевидно, $\|\mu\|\geqslant \operatorname{Cap}(E)-\varepsilon$ и $\psi_n*\mu(\mathbf x)\to 0$ при $n \to+\infty$ равномерно на $K$.

Лемма 3.3. На самом деле $\psi_n*\mu(\mathbf x)\to 0$ при $n \to+\infty$ равномерно на $R^3$.

Доказательство. Достаточно показать, что для любого $n \in \mathbb N$ справедлива оценка $\|\psi_{2n}*\mu\|\leqslant 2\|\psi_n*\mu\|_K$.

Пусть $\mathbf x \in \mathbb R^3 \setminus K$. Если $\operatorname{dist}(\mathbf x, K)>1/(2n)$, то $\psi_{2n}*\mu(\mathbf x)=0$. Пусть теперь $\operatorname{dist}(\mathbf x, K) \leqslant 1/(2n)$ и $\mathbf x_0$ – какая-либо точка на $K$, ближайшая к $\mathbf x$. Для любого $\mathbf y \in K$ имеем $|\mathbf y-\mathbf x_0|\leqslant |\mathbf y-\mathbf x|+|\mathbf x-\mathbf x_0| \leqslant 2|\mathbf y-\mathbf x|$, откуда $1/|\mathbf y-\mathbf x| \leqslant 2/|\mathbf y-\mathbf x_0|$. Поскольку $B(\mathbf x, 1/(2n))\cap K \subset B(\mathbf x_{\mathbf 0}, 1/n)\cap K$, получаем, что $\psi_{2n}*\mu(\mathbf x) \leqslant 2 \psi_n*\mu(\mathbf x_0)$. Лемма доказана.

Пусть теперь $\varphi_n \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$ такова, что $\varphi_n(\mathbf x)=0$ при $|\mathbf x|<1/(2n)$, $\varphi_n(\mathbf x)=1$ при $|\mathbf x| \geqslant 1/n$, причем $0 \leqslant \varphi(\mathbf x) \leqslant 1$ всюду. Положим $\Phi_n=\Phi \varphi_n$. Тогда

$$ \begin{equation*} |\Phi(\mathbf x)-\Phi_n(\mathbf x)| \leqslant |\Phi(\mathbf x)(1-\varphi_n(\mathbf x))| \leqslant a\psi_n(\mathbf x). \end{equation*} \notag $$
Из очевидного свойства $\Phi_n*\mu \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$ (при всех $n$), предыдущей оценки и леммы 3.3 следует, что $\Phi*\mu \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$. Напомним, что $\|\Phi*\mu\| \leqslant a$ и $\|\mu\|\geqslant \operatorname{Cap}(E)-\varepsilon$. Остается устремить $\varepsilon$ к $0$. Лемма 3.2 доказана.

Предложение 3.2 доказано.

Из теоремы 1.2, теоремы B и леммы 3.2 непосредственно вытекает следующее утверждение.

Следствие 3.1. (1) Пусть $\mathcal L'$ – сильно эллиптический оператор, определенный в (1.3), и $X'$ – компакт в $\mathbb R^2$. Тогда из условия $\mathcal A_{\Delta_2}(X')=C(X')$ вытекает $\mathcal A_{\mathcal L'}(X')=C(X')$.

(2) Пусть $\mathcal L_3$ – произвольный эллиптический оператор в $\mathbb R^3$ и $X$ – компакт в $\mathbb R^3$. Тогда из условия $\mathcal A_{\Delta_3}(X)=C(X)$ следует $\mathcal A_{\mathcal L}(X)=C(X)$.

Естественно определить еще следующую емкость:

$$ \begin{equation*} \kappa'_+(E)=\sup_{\mu} \{\|\mu\| \colon \operatorname{Spt} (\mu) \subset E,\,\|\Phi *\mu\| \leqslant 1\}, \end{equation*} \notag $$
где $\sup$ берется по всем неотрицательным борелевским мерам $\mu$ с указанными условиями.

В завершение сформулируем следующие важные проблемы.

Задача 3.2. Верно ли, что найдется константа $A=A(\mathcal L)\in [1,+\infty)$ такая, что для всякого ограниченного множества $E \subset \mathbb R^3$ выполнены оценки:

(1) $\kappa'(E) \leqslant A\kappa(E)$;

(2) $\kappa'(E) \leqslant A\kappa'_+(E)$;

(3) $\kappa(E) \leqslant A \operatorname{Cap}(E)$?

Задача 3.3. Верно ли, что емкости $\kappa$, $\kappa'$ и $\kappa'_+$ полуаддитивны?

Так, для случая $\mathcal L=\Delta$ все ответы в обеих этих задачах утвердительны.

Автор благодарен рецензентам за их труд по ознакомлению с этой работой и за ряд важных замечаний и исправлений.

Список литературы

1. М. Я. Мазалов, П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский, “Условия $C^m$-приближаемости функций решениями эллиптических уравнений”, УМН, 67:6(408) (2012), 53–100  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. Ya. Mazalov, P. V. Paramonov, K. Yu. Fedorovskiy, “Conditions for $C^m$-approximability of functions by solutions of elliptic equations”, Russian Math. Surveys, 67:6 (2012), 1023–1068  crossref  adsnasa
2. П. В. Парамонов, “Новые критерии равномерной приближаемости гармоническими функциями на компактах в $\mathbb R^2$”, Комплексный анализ и его приложения, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения Бориса Владимировича Шабата, 85-летию со дня рождения Анатолия Георгиевича Витушкина и 85-летию со дня рождения Андрея Александровича Гончара, Труды МИАН, 298, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2017, 216–226  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: P. V. Paramonov, “New criteria for uniform approximability by harmonic functions on compact sets in $\mathbb R^2$”, Proc. Steklov Inst. Math., 298 (2017), 201–211  crossref
3. М. Я. Мазалов, “Критерий равномерной приближаемости индивидуальных функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами”, Матем. сб., 211:9 (2020), 60–104  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. Ya. Mazalov, “A criterion for uniform approximability of individual functions by solutions of second-order homogeneous elliptic equations with constant complex coefficients”, Sb. Math., 211:9 (2020), 1267–1309  crossref
4. Л. Хёрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 1, Теория распределений и анализ Фурье, Мир, М., 1986, 464 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, т. I, Grundlehren Math. Wiss., 256, Distribution theory and Fourier analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1983, ix+391 с.  crossref  mathscinet  zmath
5. J. Verdera, “$C^m$-approximation by solutions of elliptic equations, and Calderón–Zygmund operators”, Duke Math. J., 55:1 (1987), 157–187  crossref  mathscinet  zmath
6. П. В. Парамонов, “Критерии индивидуальной $C^m$-приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $\mathbb R^N$”, Матем. сб., 209:6 (2018), 83–97  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: P. V. Paramonov, “Criteria for the individual $C^m$-approximability of functions on compact subsets of $\mathbb R^N$ by solutions of second-order homogeneous elliptic equations”, Sb. Math., 209:6 (2018), 857–870  crossref  adsnasa
7. А. Г. Витушкин, “Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений”, УМН, 22:6(138) (1967), 141–199  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. G. Vitushkin, “The analytic capacity of sets in problems of approximation theory”, Russian Math. Surveys, 22:6 (1967), 139–200  crossref
8. М. Я. Мазалов, “Критерий равномерной приближаемости на произвольных компактах для решений эллиптических уравнений”, Матем. сб., 199:1 (2008), 15–46  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. Ya. Mazalov, “A criterion for uniform approximability on arbitrary compact sets for solutions of elliptic equations”, Sb. Math., 199:1-2 (2008), 13–44  crossref
9. П. В. Парамонов, “О гармонических аппроксимациях в $C^1$-норме”, Матем. сб., 181:10 (1990), 1341–1365  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: P. V. Paramonov, “On harmonic approximation in the $C^1$-norm”, Math. USSR-Sb., 71:1 (1992), 183–207  crossref  adsnasa
10. П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский, “О равномерной и $C^1$-приближаемости функций на компактах в $\mathbb{R}^2$ решениями эллиптических уравнений второго порядка”, Матем. сб., 190:2 (1999), 123–144  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: P. V. Paramonov, K. Yu. Fedorovskiy, “Uniform and $C^1$-approximability of functions on compact subsets of $\mathbb R^2$ by solutions of second-order elliptic equations”, Sb. Math., 190:2 (1999), 285–307  crossref
11. P. V. Paramonov, J. Verdera, “Approximation by solutions of elliptic equations on closed subsets of Euclidean space”, Math. Scand., 74:2 (1994), 249–259  crossref  mathscinet  zmath
12. М. В. Келдыш, “О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле”, УМН, 1941, № 8, 171–231  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. V. Keldyš, “On the solvability and stability of the Dirichlet problem”, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 51, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1966, 1–73  crossref
13. Н. С. Ландкоф, Основы современной теории потенцила, Наука, М., 1966, 515 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. S. Landkof, Foundations of modern potential theory, Grundlehren Math. Wiss., 180, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1972, x+424 с.  mathscinet  zmath
14. П. В. Парамонов, “Критерии $C^1$-приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $\mathbb R^N$, $N \geq 3$”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:3 (2021), 154–177  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: P. V. Paramonov, “Criteria for $C^1$-approximability of functions on compact sets in ${\mathbb{R}}^N$, $N \geq 3$, by solutions of second-order homogeneous elliptic equations”, Izv. Math., 85:3 (2021), 483–505  crossref
15. R. Harvey, J. Polking, “Removable singularities of solutions of linear partial differential equations”, Acta Math., 125 (1970), 39–56  crossref  mathscinet  zmath
16. В. Я. Эйдерман, “Оценки потенциалов и $\delta$-субгармонических функций вне исключительных множеств”, Изв. РАН. Сер. матем., 61:6 (1997), 181–218  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. Ya. Èiderman, “Estimates for potentials and $\delta$-subharmonic functions outside exceptional sets”, Izv. Math., 61:6 (1997), 1293–1329  crossref

Образец цитирования: П. В. Парамонов, “Равномерные аппроксимации функций решениями сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $\mathbb R^2$”, Матем. сб., 212:12 (2021), 77–94; P. V. Paramonov, “Uniform approximation of functions by solutions of strongly elliptic equations of second order on compact subsets of $\mathbb R^2$”, Sb. Math., 212:12 (2021), 1730–1745
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Par21}
\by П.~В.~Парамонов
\paper Равномерные аппроксимации функций решениями сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $\mathbb R^2$
\jour Матем. сб.
\yr 2021
\vol 212
\issue 12
\pages 77--94
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9503}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9503}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1500.35010}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021SbMat.212.1730P}
\transl
\by P.~V.~Paramonov
\paper Uniform approximation of functions by solutions of strongly elliptic equations of second order on compact subsets of~$\mathbb R^2$
\jour Sb. Math.
\yr 2021
\vol 212
\issue 12
\pages 1730--1745
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9503}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000760500000001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85129086712}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9503
  • https://doi.org/10.4213/sm9503
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v212/i12/p77
  • Эта публикация цитируется в следующих 8 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:250
    PDF русской версии:34
    PDF английской версии:24
    HTML русской версии:93
    Список литературы:28
    Первая страница:6
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024