Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2022, том 213, номер 5, страницы 101–125
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9623
(Mi sm9623)
 

Центральные расширения и теорема Римана–Роха на алгебраических поверхностях

Д. В. Осиповabc

a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
c Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС", г. Москва
Список литературы:
Аннотация: Изучаются канонические центральные расширения общей линейной группы над кольцом аделей на гладкой проективной поверхности $X$ при помощи группы целых чисел. При помощи этих центральных расширений и адельных матриц перехода для локально свободного пучка $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ получаются локальные (адельные) разложения для разности эйлеровых характеристик этого пучка и пучка $\mathcal O_X^n$. Два разных вычисления этой разности приводят к теореме Римана–Роха на $X$ (без формулы Нётера).
Библиография: 21 название.
Ключевые слова: центральные расширения, кольцо аделей на алгебраической поверхности, локально свободные пучки, теорема Римана–Роха.
Финансовая поддержка Номер гранта
Программа фундаментальных исследований НИУ ВШЭ
Исследование финансировалось в рамках Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ.
Поступила в редакцию: 12.06.2021
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 5, Pages 671–693
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9623
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: 14C40, 14J60

§ 1. Введение

В настоящей статье рассматриваются локально свободные пучки, адели и теорема Римана–Роха на алгебраических поверхностях.

Но сначала мы кратко напомним хорошо известный случай алгебраических кривых.

Напомним, что два векторных подпространства $A$ и $B$ в вектором пространстве $V$ над полем $k$ соизмеримы (см. [20]), т.е. $A \sim B$, если и только если

$$ \begin{equation*} \dim_k(A+B)/(A \cap B)<\infty. \end{equation*} \notag $$
Для таких подпространств $A$ и $B$ обозначим их относительную размерность
$$ \begin{equation*} [A\mid B]=\dim_k B/(A\cap B)-\dim_k A/(A \cap B). \end{equation*} \notag $$

Зафиксируем $k$-векторное подпространство $K$ в $V$ и любые $k$-векторные подпространства $D_1 $ и $D_2 $ в $V$ такие, что $D_1 \sim D_2$ и пространства

$$ \begin{equation*} H^0(D_i)=D_i \cap K, \qquad H^1(D_i)=V/ (D_i+K) \end{equation*} \notag $$
являются конечномерными $k$-векторными пространствами для $i \in \{1,2\}$. Обозначим для $i\in\{1,2\}$
$$ \begin{equation*} \chi (D_i)=\dim_k H^0(D_i)-\dim_k H^1(D_i). \end{equation*} \notag $$
Тогда получаем (см., например, [6; п. 14.14, упражнения 14.59–14.61]) “абстрактную теорему Римана–Роха”
$$ \begin{equation} \chi(D_1)-\chi(D_2)=[D_2\mid D_1]. \end{equation} \tag{1.1} $$

Пусть $n \geqslant 1$ – целое число.

Для гладкой проективной кривой $S$ над полем $k$ рассмотрим

$$ \begin{equation*} V=\mathbb{A}_S^n, \quad\text{где }\ \mathbb{A}_S=\sideset{}{'}\prod_{p \in S} K_p; \end{equation*} \notag $$
$\mathbb{A}_S$ является пространством аделей кривой $S$, и $K_p$ есть поле частных пополнения $\widehat{\mathcal O}_p$ локального кольца $\mathcal O_p$ в (замкнутой) точке $p \in S$. Рассмотрим $K=k(S)^n$, где $k(S)$ – поле рациональных функций на кривой $S$.

Рассмотрим теперь локально свободный пучок $\mathcal F$ $\mathcal O_S$-модулей ранга $n$ на кривой $S$. Слой пучка $\mathcal F$ в общей точке $\operatorname{Spec} k(S)$ кривой $S$ является $k(S)$-векторным пространством. Зафиксируем базис $e_0$ этого векторного пространства. Для любой (замкнутой) точки $p \in S$ пополнение слоя $\mathcal F_p$ пучка $\mathcal F$ в точке $p$ есть свободный $\widehat{\mathcal O}_p$-модуль. Зафиксируем базис $e_p$ этого модуля. Для всех (замкнутых) точек $p \in S$ рассмотрим матрицы перехода $\gamma_{01,p} \in \mathrm{GL}_n(K_p)$, определенные при помощи равенства $e_0=\gamma_{01,p} e_p $, вычисленного внутри $K_p$-векторного пространства $\mathcal F_p \otimes_{\mathcal O_p} K_p$. Элемент, задаваемый набором матриц

$$ \begin{equation*} \gamma_{01, \mathcal F}=\prod_{p \in S} \gamma_{01, p}\in \mathrm{GL}_n\biggl(\prod_{p \in S} K_p\biggr), \end{equation*} \notag $$
принадлежит подгруппе $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_S)$.

Отметим, что выбранный и зафиксированный базис $e_0$ задает вложение пучка $\mathcal F$ в постоянный пучок $K$ на кривой $S$. Поэтому с пучком $\mathcal F$ можем ассоциировать в пространстве $V$ $k$-векторное подпространство $D_{\mathcal F}$, которое явно задается следующим образом:

$$ \begin{equation*} D_{\mathcal F}=\gamma_{01, \mathcal F} D, \end{equation*} \notag $$
где $D=\bigl(\prod_{p \in S} \widehat{\mathcal O}_p\bigr)^n$ есть $k$-векторное подпространство пространства $V$.

Заметим, что $D_{\mathcal F} \sim D$.

Теперь, применяя формулу (1.1) для $k$-векторных подпространств $D_{\mathcal F}$ и $D$ и используя адельный комплекс для пучка $\mathcal F$ на кривой $S$, из которого следуют равенства

$$ \begin{equation*} H^i(D_{\mathcal F})=H^i(S, \mathcal F), \qquad H^i(D)=H^i(S, \mathcal O_S^n) \end{equation*} \notag $$
для $i \in \{0, 1\}$, получаем теорему Римана–Роха для пучка $\mathcal F$ на кривой $S$:
$$ \begin{equation} \chi(\mathcal F) -n \chi(\mathcal O_S)=c_1(\mathcal F), \end{equation} \tag{1.2} $$
где $\chi (\mathcal F)$ есть эйлерова характеристика пучка $\mathcal F$ на кривой $S$. И первое число Чженя $c_1(\mathcal F)$ получается из гомоморфизма групп
$$ \begin{equation} \deg\colon \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_S)\to \mathbb Z, \qquad a \mapsto [a D\mid D] \end{equation} \tag{1.3} $$
как $c_1(\mathcal F)=\deg(\gamma_{01, \mathcal F})$.

Вышеописанное может быть названо локальным (или адельным) разложением для разности эйлеровых характеристик пучка $\mathcal F$ и пучка $\mathcal O_S^n$.

Пусть теперь $X$ – гладкая проективная алгебраическая поверхность над полем $k$. Тогда имеется кольцо аделей Паршина–Бейлинсона $\mathbb{A}_X$ поверхности $X$ (см. [14], [1], [5], [8], [16] и § 2 далее). Имеем

$$ \begin{equation*} \mathbb{A}_X=\sideset{}{'}\prod_{x \in C} K_{x,C} \subset\prod_{x \in C} K_{x,C}, \end{equation*} \notag $$
где (“двумерное”) адельное произведение берется по всем парам $x \in C$, где $C$ – неприводимая кривая на поверхности $X$ и $x$ – точка на кривой $C$, а артиново кольцо $K_{x,C}$ есть конечное прямое произведение двумерных локальных полей, и это произведение состоит из одного поля, если точка $x$ гладкая на кривой $C$ (где точка $x$ – обычная замкнутая точка). Каждое двумерное локальное поле, появляющееся здесь, изоморфно полю итерированных рядов Лорана $k'((u))((t))$, где $k'$ – конечное расширение поля $k$.

Кроме того, вместо гомоморфизма (1.3) теперь имеется каноническое центральное расширение (см. подробнее в п. 2.1 далее):

$$ \begin{equation*} 0 \to \mathbb Z \to \widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)} \to \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X) \to 1. \end{equation*} \notag $$

Цель настоящей статьи – связать это центральное расширение с теоремой Римана–Роха для локально свободного пучка $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$, используя матрицы перехода для этого пучка, полученные из базисов пополнений слоев пучка в схемных точках поверхности $X$.

Из этого центрального расширения каноническим образом получается другое центральное расширение $\widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ (см. п. 2.2) группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ при помощи группы $\mathbb Z$ такое, что при помощи матриц перехода $\alpha_{ij} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ (где $i \ne j$ из $\{0,1,2\}$) для локально свободного пучка $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на $X$ и при помощи центрального расширения $\widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ можно получить второе число Чженя $c_2$ этого пучка. Это было сделано в [11]; см. также замечание 9. Кроме того, матрицы перехода $\alpha_{ij}$ являются аналогами для локально свободного пучка $\mathcal O_X$-модулей на поверхности $X$ матриц перехода $\gamma_{01}$ для локально свободного пучка $\mathcal O_S$-модулей на кривой $S$; см. рассуждения выше. (Мы опустили здесь указания на пучок в обозначениях матриц перехода.)

Для решения вышеописанных задач используются канонические подъемы матриц перехода $\alpha_{ij}$ пучка из группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ в группы $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ и $\widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$.

Таким образом, получается локальное (или адельное) разложение для разностей эйлеровых характеристик локально свободного пучка $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ и пучка $\mathcal O_X^n$; см. замечание 10.

Можно сказать также, что главной частью настоящей статьи является вычисление целого числа $\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}$, где $\widetilde{\alpha_{ij}}$ – канонический подъем матрицы $\alpha_{ij}$ из группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ в группу $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$. Это целое число не зависит от выбора матриц перехода $\alpha_{ij}$.

Указанное вычисление проводится двумя способами. Первый способ приводит к теореме 1 и использует адельные комплексы для локально свободных пучков $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$; см. предложение 1. Для второго способа предполагается, что основное поле $k$ совершенно, и используется “самодвойственность” пространства аделей $\mathbb{A}_X$, основанная на законах взаимности на поверхности $X$ для вычетов дифференциальных $2$-форм на двумерном локальном поле, введенных и изученных в [14]. Этот второй способ приводит в теореме 2 к ответу, выраженному также через другие инварианты пучка и поверхности $X$. Из сравнения этих двух ответов (после теорем 1 и 2) получается теорема Римана–Роха для локально свободного пучка $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$ (без формулы Нётера).

Отметим, что взаимосвязь теоремы Римана–Роха на алгебраической поверхности с локальными конструкциями обсуждалась также в [2], [4], [17], но без использования кольца аделей на поверхности.

Статья организована следующим образом.

В п. 2.1 кратко напоминаются адели на алгебраических поверхностях и также конструкция центрального расширения $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ при помощи группы $\mathbb Z$.

В п. 2.2 напоминается конструкция центрального расширения $\widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ при помощи группы $\mathbb Z$. Это центральное расширение получается из центрального расширения $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$. В замечании 2 сравниваются эти центральные расширения с точки зрения когомологий групп.

В § 3 строятся специальные элементы в $\mathbb Z$-торсорах. Эти элементы связаны со специальными $k$-векторными подпространствами и подкольцами кольца $\mathbb{A}_X$. Подпространства и подкольца связаны с точками и неприводимыми кривыми на поверхности $X$.

В § 4 обсуждаются различные формулы (формула (4.1) и предложение 2) для индекса пересечения дивизоров на поверхности $X$, связанные со специальными элементами, построенными в § 3, и с центральным расширением $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$.

В § 5 строятся канонические расщепления центрального расширения $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ над специальными подгруппами группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$. Обсуждаются свойства этих расщеплений. В замечании 7 напоминаются соответствующие расщепления и их свойства для центрального расширения $\widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ из [11].

В § 6 вводятся матрицы перехода $\alpha_{ij} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ для локально свободного пучка $\mathcal E$ $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$ и канонические подъемы $\widetilde{\alpha_{ij}}$ матриц $\alpha_{ij}$ в группу $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ при помощи канонических расщеплений из § 5.

В § 7 целое число

$$ \begin{equation*} f_{\mathcal E}=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} =(\chi(\mathcal E)-n \chi(\mathcal O_X))-2 \mathrm{ch}_2(\mathcal E) \end{equation*} \notag $$
вычисляется первым способом, где рациональное число $\mathrm{ch}_2(\mathcal E)$ равно $\frac{1}{2}c_1(\mathcal E)^2 -c_2(\mathcal E)$.

В § 8 в случае, когда поле $k$ совершенно, целое число

$$ \begin{equation*} f_{\mathcal E}=-\frac{1}{2} K \cdot c_1(\mathcal E)-\mathrm{ch}_2 (\mathcal E) \end{equation*} \notag $$
вычисляется другим способом, где $K \simeq \mathcal O_X(\omega)$, $\omega \in \Omega^2_{k(X)/k}$, $\omega \ne 0$. Далее выводится теорема Римана–Роха для пучка $\mathcal E$.

Я благодарен А. Н. Паршину за некоторые обсуждения и комментарии. Исходной мотивацией для настоящей статьи было обсуждение с ним, что из адельной техники на алгебраической поверхности должна следовать теорема Римана–Роха.

§ 2. Конструкции центральных расширений группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$

2.1. Кольцо аделей на поверхности и первое центральное расширение

Как уже было отмечено в § 1, на протяжении всей статьи $X$ – это гладкая проективная алгебраическая поверхность над полем $k$. Однако для конструкций из § 2 не важно, что $X$ проективна.

Напомним (см., например, обзор [8] и также [11; п. 2.1]), что кольцо аделей поверхности $X$ есть

$$ \begin{equation*} \mathbb{A}_X=\mathbb{A}_X=\sideset{}{'}\prod_{x \in C} K_{x,C} \subset\prod_{x \in C} K_{x,C} \end{equation*} \notag $$
и каждое кольцо $K_{x,C}=\prod_i K_i$ есть конечное прямое произведение двумерных локальных полей $K_i$, и каждое двумерное локальное поле $K_i$ соответствует формальной ветви кривой $C$ в точке $x$.

Определим подкольцо $\mathbb{A}_{12} \subset \mathbb{A}_X$:

$$ \begin{equation*} \mathbb{A}_{12}=\mathbb{A}_X \cap\prod_{x \in C} \mathcal O_{K_{x,C}} \subset\prod_{x \in C} K_{x,C}, \end{equation*} \notag $$
где $\mathcal O_{K_{x,C}}=\prod_i \mathcal O_{K_i}$ есть конечное прямое произведение колец дискретного нормирования $\mathcal O_{K_i}$ полей $K_i$. (Если поле $K_i$ изоморфно полю $k_i((u))((t))$, то кольцо $\mathcal O_{K_i}$ изоморфно кольцу $k_i((u))[[t]]$.)

Для любого локально линейно компактного $k$-векторного пространства (или, другими словами, тейтовского векторного пространства) $U$ напомним каноническую конструкцию $\mathbb Z$-торсора $\operatorname{Dim}(U)$ из [7]. Как множество торсор $\operatorname{Dim}(U)$ состоит из всех отображений $d$ (которые названы “теориями размерности” в [7]) из множества всех открытых линейно компактных $k$-векторных подпространств пространства $U$ в группу $\mathbb Z$, удовлетворяющих свойству

$$ \begin{equation*} d(Z_2)=d(Z_1)+[Z_1\mid Z_2], \end{equation*} \notag $$
где $Z_1$, $Z_2$ – любые открытые линейно компактные $k$-векторные подпространства пространства $U$. Группа $\mathbb Z$ действует на множестве $\operatorname{Dim}(U)$ следующим образом:
$$ \begin{equation*} (m+d)(Z_1)=d(Z_1)+m, \quad \text{где }\ m \in \mathbb Z. \end{equation*} \notag $$

Для любой точной последовательности локально линейно компактных $k$-векторных пространств

$$ \begin{equation} 0 \to U_1 \xrightarrow{\phi_1} U_2 \xrightarrow{\phi_2} U_3 \to 0, \end{equation} \tag{2.1} $$
где $\phi_1$, $\phi_2$ – непрерывные отображения и $\phi_1$ – замкнутое вложение, имеем канонический изоморфизм
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \operatorname{Dim}(U_1) \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}(U_3) \to\operatorname{Dim}(U_2), \\ d_1 \otimes d_3 \mapsto d_2, \qquad d_2(Z)=d_1(Z \cap U_1)+d_3(\phi_2(U_1)) \notag, \end{gathered} \end{equation} \tag{2.2} $$
где $Z$ – открытое линейно компактное $k$-векторно подпространство пространства $U_2$.

Для любого локально линейно компактного $k$-векторного пространства $U$ определим локально линейно компактное $k$-векторное пространство $\check{U}$ как $k$-векторное подпространство двойственного $k$-векторного пространства $U^*$ следующим образом:

$$ \begin{equation*} \check{U}=\bigcup_{W} W^{\perp}, \end{equation*} \notag $$
где $W$ пробегает по всем открытым линейно компактным $k$-векторным подпространствам пространства $U$, $k$-векторное подпространство $W^{\perp} \subset U^*$ есть аннулятор пространства $W$ в пространстве $U^*$ и пространство $W^{\perp}$, которое является двойственным векторным пространством к дискретному векторному пространству $U/W$, есть открытое линейно компактное $k$-векторное подпространство пространства $\check{U}$. Другими словами, пространство $\check{U}$ есть непрерывно двойственное пространство, т.е. оно состоит из всех непрерывных линейных функционалов. Имеем канонический изоморфизм
$$ \begin{equation} \operatorname{Dim}(U) \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}(\check{U}) \simeq \mathbb Z, \qquad d_1 \otimes d_2 \mapsto d_1(Z)+d_2(Z^{\perp}), \end{equation} \tag{2.3} $$
где $Z \subset U$ – линейно компактное $k$-векторное подпространство, и результат не зависит от выбора подпространства $Z$.

Пусть $D=\sum_{i} a_i C_i$ – любой дивизор на поверхности $X$, где $C_i$ – неприводимые кривые на $X$. Обозначим

$$ \begin{equation*} \mathbb{A}_{12}(D)=\mathbb{A}_X \cap\prod_{x \in C} t_C^{-\nu_C(D)} \mathcal O_{K_{x,C}}, \end{equation*} \notag $$
где пересечение берется внутри пространства $\prod_{x \in C} K_{x,C}$, и пусть $t_C=0$ – уравнение (неприводимой) кривой $C$ в некотором открытом подмножестве поверхности $X$, $\nu_C(D) $ равно $a_i$ в случае $C=C_i$ и нулю в ином случае. (Определение подпространства $\mathbb{A}_{12}(D)$ не зависит от выбора элемента $t_C$.)

Отметим, что

$$ \begin{equation*} \mathbb{A}_X=\varliminf_{D_2} \varliminf_{D_1 \geqslant D_2} \mathbb{A}_{12}(D_2)/\mathbb{A}_{12}(D_1), \end{equation*} \notag $$
$\mathbb{A}_{12}(D_2)/\mathbb{A}_{12}(D_1)$ – локально линейно компактное $k$-векторное пространство и для любых дивизоров $D_1 \geqslant D_2 \geqslant D_3$ на поверхности $X$ точная последовательность
$$ \begin{equation*} 0 \to \mathbb{A}_{12}(D_2)/\mathbb{A}_{12}(D_1) \to \mathbb{A}_{12}(D_3)/\mathbb{A}_{12}(D_1) \to \mathbb{A}_{12}(D_3)/ \mathbb{A}_{12}(D_2) \to 0 \end{equation*} \notag $$
имеет вид (2.1); см., например, [9; п. 2.2.3], [11; п. 2.3].

Пусть $n \geqslant 1$ – целое число.

Определение 1. $k$-векторное подпространство $E$ пространства $\mathbb{A}_X^n$ называется решеткой, если и только если имеются дивизоры $D_1$ и $D_2$ на поверхности $X$ такие, что

$$ \begin{equation*} \mathbb{A}_{12}(D_1)^n \subset E \subset \mathbb{A}_{12}(D_2)^n \end{equation*} \notag $$
и образ пространства $E$ в пространстве $\mathbb{A}_{12}(D_2)^n/ \mathbb{A}_{12}(D_1)^n$ – замкнутое $k$-векторное подпространство.

Если $E_1 \subset E_2$ – решетки, то $E_2/ E_1$ – локально линейно компактное $k$-векторное пространство с фактортопологией и индуцированной топологией из локально линейно компактного $k$-векторного пространства $\mathbb{A}_{12}(D_2)^n/ \mathbb{A}_{12}(D_1)^n $. Определим в этом случае $\mathbb Z$-торсор:

$$ \begin{equation*} \operatorname{Dim}(E_1\mid E_2)=\operatorname{Dim}(E_2/E_1) . \end{equation*} \notag $$

Если $E_1 \subset E_2 \subset E_3$ – решетки, то точная последовательность

$$ \begin{equation*} 0 \to E_2/E_1 \to E_3/E_1 \to E_3/E_2 \to 0 \end{equation*} \notag $$
имеет вид (2.1).

Теперь для произвольных решеток $E_1$ и $E_2$ определим $\mathbb Z$-торсор:

$$ \begin{equation*} \operatorname{Dim}(E_1\mid E_2)=\varliminf_E\operatorname{Hom}_{\mathbb Z} \bigl(\operatorname{Dim}(E_1/E),\operatorname{Dim}(E_2/E)\bigr), \end{equation*} \notag $$
где прямой предел берется по всем решеткам $E \subset \mathbb{A}_X^n$ таким, что $E \subset E_i$ для $i=1$ и $i=2$. При этом используются следующие изоморфизмы $\mathbb Z$-торсоров для решеток $E \supset E'$ и $i=1$, $i=2$:
$$ \begin{equation*} \operatorname{Dim}(E_i/E) \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}(E/E') \to\operatorname{Dim}(E_i/E'), \end{equation*} \notag $$
для того, чтобы в этом прямом пределе определить отображения перехода
$$ \begin{equation*} f \mapsto f', \qquad f'(a \otimes c)=f'(a) \otimes c. \end{equation*} \notag $$

Очевидно, для любых решеток $E_1$, $E_2$, $E_3$ имеются канонические изоморфизмы $\mathbb Z$-торсоров

$$ \begin{equation} \operatorname{Dim}(E_1 \mid E_2) \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}(E_2 \mid E_3) \to\operatorname{Dim}(E_1 \mid E_3), \end{equation} \tag{2.4} $$
которые удовлетворяют диаграмме ассоциативности для четырех решеток.

Нетрудно видеть, что для любого элемента $g \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ и любой решетки $E$ $k$-векторное подпространство $g E$ есть снова решетка. Для любых решеток $E_1$, $E_2$ имеем очевидный изоморфизм

$$ \begin{equation*} \operatorname{Dim}(E_1 \mid E_2) \to\operatorname{Dim}(g E_1 \mid g E_2), \qquad d \mapsto g(d). \end{equation*} \notag $$

Эти рассуждения приводят к конструкции центрального расширения

$$ \begin{equation} 0 \to \mathbb Z \to \widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)} \xrightarrow{\Theta} \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X) \to 1, \end{equation} \tag{2.5} $$
где $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ – группа, которая состоит из всех пар $(g, d)$, а $g\,{\in}\, \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ и $d \in\operatorname{Dim}(\mathbb{A}_{12}^n\mid g \mathbb{A}_{12}^n)$. Групповая операция и отображение $\Theta$ следующие:
$$ \begin{equation} (g_1, d_1)(g_2, d_2)=(g_1 g_2, d_1 \otimes g_1(d_2)), \qquad \Theta((g,d))=g. \end{equation} \tag{2.6} $$

Замечание 1. Приведенная выше конструкция центрального расширения $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)} $ есть частный случай более общей конструкции. Пусть $B$ является $C_2$-пространством над полем $k$ (или, если рассмотреть небольшие дополнительные ограничения, $2$-тейтовским векторным пространством над полем $k$); см. [9]. Тогда имеется каноническое центральное расширение (см. [12; п. 5.5, замечание 15])

$$ \begin{equation*} 0 \to \mathbb Z \to \widetilde{\operatorname{Aut}_{C_2}(B)_E} \to\operatorname{Aut}_{C_2}(B) \to 1, \end{equation*} \notag $$
которое зависит от выбора решетки $E \subset B$ и в котором группа $\operatorname{Aut}_{C_2}(B)$ есть группа автоморфизмов $C_2$-пространства $B$ как объекта категории $C_2$-пространств. Теперь $\mathbb{A}_X^n$ есть $C_2$-пространство над полем $k$ и имеется вложение групп $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X) \subset\operatorname{Aut}_{C_2}(\mathbb{A}_X^n)$; см. [9]. Тогда центральное расширение $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)} $ есть ограничение центрального расширения $\widetilde{\operatorname{Aut}_{C_2}(B)_E}$ при последнем вложении групп в случае, когда $B$ есть $\mathbb{A}_X^n$ и ${E}$ есть $\mathbb{A}_{12}^n$.

2.2. Второе центральное расширение

Из центрального расширения (2.5) получим другое центральное расширение (см. также подробнее в [11; п. 3.1]). Заметим, что

$$ \begin{equation*} \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)=\mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X) \rtimes \mathbb{A}_X^*, \end{equation*} \notag $$
где группа обратимых элементов $\mathbb{A}_X^*$ кольца $\mathbb{A}_X$ действует на группе $\mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X)$ сопряжениями, т.е. внутренними автоморфизмами $h \mapsto aha^{-1}$, где $h \in \mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X)$ и группа $\mathbb{A}_X^*$ вложена в группу $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ как $a \mapsto\operatorname{diag}(a,1, \dots, 1)$. Теперь положим
$$ \begin{equation*} \widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}=\Theta^{-1}(\mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X)) \rtimes \mathbb{A}_X^*, \end{equation*} \notag $$
где группа $\mathbb{A}_X^*$ действует на группе $\Theta^{-1}(\mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X))$ при помощи внутренних автоморфизмов в группе $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ посредством подъема элементов из группы $\mathbb{A}_X^*$ в группу $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$, т.е. $a(g)=a' g a'^{-1} $, где $ g \in \Theta^{-1}(\mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X))$ и $a' \in \widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ – любой элемент такой, что $\Theta(a')=\operatorname{diag}(a,1, \dots, 1)$.

Ясно, что получается центральное расширение

$$ \begin{equation} 0 \to \mathbb Z \to \widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)} {\to} \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X) \to 1. \end{equation} \tag{2.7} $$
Это центральное расширение, ограниченное на подгруппу $\mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X)\,{\subset}\, \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$, совпадает с центральным расширением $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$, ограниченным на эту подгруппу. Кроме того, по конструкции центральное расширение (2.7) канонически расщепляется над подгруппой $\mathbb{A}_X^*$.

Замечание 2. Выясним, что означает переход от центрального расширения (2.5) к центральному расширению (2.7) с точки зрения когомологий групп.

Напомним (см. [3; п. 1.7]), что центральное расширение $\widehat{C}$ группы $C=G \rtimes H$ при помощи группы $A$ эквивалентно следующим данным:

При этом изоморфизму центральных расширений соответствует изоморфизм данных.

Используя это описание и то, что $H$ одновременно является подгруппой и факторгруппой группы $C$, получаем формулу

$$ \begin{equation} H^2(C, A)=H^2(H,A) \oplus T \end{equation} \tag{2.9} $$
и имеется точная последовательность
$$ \begin{equation} 0 \to H^1(H,\operatorname{Hom}(G,A)) \to T \xrightarrow{\psi} H^2(G,A)^H \xrightarrow{\phi} H^2(H,\operatorname{Hom}(G,A)), \end{equation} \tag{2.10} $$
которую мы сейчас объясним. (Здесь действие группы $H$ на группах $\operatorname{Hom}(G,A)$ и $H^2(G,A)$ стандартное, полученное из действия на группе $G$.)

Будем использовать, что для любого центрального расширения

$$ \begin{equation} 1 \to A \to \widehat{G} \to G \to 1 \end{equation} \tag{2.11} $$
группа $\operatorname{Hom}(G,A)$ канонически изоморфна группе автоморфизмов центрального расширения (2.11), т.е. группе автоморфизмов группы $\widehat{G}$, которые индуцируют тождественные автоморфизмы на подгруппе $A$ и факторгруппе $G$.

Рассмотрим любое центральное расширение $I$ из группы $H^2(G,A)^H$. Возникает группа $L(I)$, состоящая из подъемов действий элементов группы $H$ до действий на группе, соответствующей центральному расширению $I$, с тривиальным действием на подгруппе $A$. Группа $L(I)$ является расширением (в общем случае не центральным) группы $H$ при помощи группы автоморфизмов $\operatorname{Hom}(G,A)$ центрального расширения $I$. Класс изоморфизма этого не центрального расширения есть $\phi(I)$. Если $\phi(I)=0 $, то действие всей группы $H$ поднимается до действия на группе, соответствующей центральному расширению $I$, с тривиальным действием на подгруппе $A$.

Элемент $t$ из группы $T$ есть класс изоморфизма следующих данных: центральное расширение $\psi(t)$ вместе с подъемом действия группы $H$ до действия на группу, соответствующую этому центральному расширению, с тривиальным действием на подгруппе $A$.

Соответственно для любого центрального расширения $I$ из группы $\operatorname{Ker} \phi$ имеем, что $\psi^{-1}(I)$ есть множество классов эквивалентности групповых сечений $s$ естественного гомоморфизма $L(I) \to H$. Групповые сечения $s$ и $s'$ эквивалентны, если $s=\sigma_a s'$, где $\sigma_a$ – внутренний автоморфизм группы $L(I)$, задаваемый элементом $a$ из группы автоморфизмов $\operatorname{Hom}(G,A)$ центрального расширения $I$. Отсюда получается, что $\psi^{-1}(I)$ есть $H^1(H,\operatorname{Hom}(G,A))$-торсор.

Отметим, что другое, вычислительное, построение и доказательство точности последовательности (2.10) вместе с продолжением этой точной последовательности вправо были проведены в [19].

Теперь переход от центрального расширения (2.5) к центральному расширению (2.7) есть проекция из группы $H^2(C, A)$ в группу $T$ в формуле (2.9).

Заметим, что если группа $G$ совершенна, т.е. $[G,G]=G$, то $\operatorname{Hom}(G,A)=0$. Поэтому в этом случае из (2.9), (2.10) получаем

$$ \begin{equation*} H^2(C,A)=H^2(H,A) \oplus H^2(G,A)^H . \end{equation*} \notag $$
Данное условие выполнено, например, если $C=\mathrm{GL}_n(F)$, $H=F^*$, $G=\mathrm{SL}_n(F)$, где $F$ – бесконечное поле (например, $F$ – это $n$-мерное локальное поле). Тогда имеем (ср. [10; п. 2.2])
$$ \begin{equation*} H^2(\mathrm{SL}_n(F), A)^{F^*}=\operatorname{Hom}(H_2(\mathrm{SL}_n(F), \mathbb Z)_{F^*}, A)=\operatorname{Hom}(K_2(F), A). \end{equation*} \notag $$

§ 3. Специально построенные элементы $\mathbb Z$-торсоров

Пусть для неприводимой кривой $C$ на поверхности $X$ поле $K_C$ – это пополнение поля $k(X)$ рациональных функций на поверхности $X$ по дискретному нормированию, задаваемому кривой $C$.

Для точки $x$ на поверхности $X$ пусть $K_x=k(X) \cdot \widehat{\mathcal O}_{x,X}$ будет подкольцом поля частных $\operatorname{Frac} \widehat{\mathcal O}_{x,X}$, где $\widehat{\mathcal O}_{x,X}$ – пополнение локального кольца точки $x$ на поверхности $X$.

Имеются диагональные вложения

$$ \begin{equation} \prod_{C \subset X} K_C\hookrightarrow\prod_{x \in C} K_{x,C}, \qquad\prod_{x \in X}K_x\hookrightarrow\prod_{x \in C} K_{x,C}. \end{equation} \tag{3.1} $$

Имеются следующие подкольца кольца аделей $\mathbb{A}_X$:

$$ \begin{equation*} \mathbb{A}_{01}=\biggl(\prod_{C \subset X} K_C \biggr)\cap \mathbb{A}_X, \qquad \mathbb{A}_{02}=\biggl(\prod_{x \subset X} K_x\biggr)\cap \mathbb{A}_X, \end{equation*} \notag $$
где пересечение берется внутри кольца $\prod_{x \in C} K_{x,C}$.

Пусть $n \geqslant 1$ – целое число.

Для решеток $E_1 \subset E_2$ в пространстве $\mathbb{A}_X^n$ (см. определение 1) определим $k$-векторное подпространство:

$$ \begin{equation*} \widetilde{\mu}_{E_1, E_2}=(E_2 \cap \mathbb{A}_{02}^n)/ (E_1 \cap \mathbb{A}_{02}^n) \subset E_2/ E_1. \end{equation*} \notag $$
Легко видеть, что для любых дивизоров $D_2 \leqslant D_1$ на поверхности $X$ $k$-векторное подпространство
$$ \begin{equation*} (A_{12}(D_2) \cap \mathbb{A}_{02}^n)/ (A_{12}(D_1) \cap \mathbb{A}_{02}^n) \end{equation*} \notag $$
является открытым линейно компактным $k$-векторным подпространством пространства $\mathbb{A}_{12}(D_2)/ \mathbb{A}_{12}(D_1)$. Отсюда получаем, что $\widetilde{\mu}_{E_1, E_2}$ есть открытое линейно компактное $k$-векторное подпространство в пространстве $E_2/E_1$.

Теперь для произвольных решеток $E_1$ и $E_2$ в пространстве $\mathbb{A}_X^n$ введем элемент

$$ \begin{equation*} \mu_{E_1, E_2}\in\operatorname{Dim}(E_1\mid E_2), \end{equation*} \notag $$
однозначно определяемый следующими двумя правилами.

1. Если $E_1 \subset E_2$, то $\mu_{E_1, E_2}$ есть “теория размерности”, которая равна $0$ на $k$-векторном подпространстве $\widetilde{\mu}_{E_1, E_2} \subset E_2/E_1$.

2. Для произвольных решеток $F_1$, $F_2$, $F_3$ в пространстве $\mathbb{A}_X^n$ имеем

$$ \begin{equation} \mu_{F_1, F_2} \otimes \mu_{F_2, F_3}=\mu_{F_1, F_3} \end{equation} \tag{3.2} $$
по отношению к изоморфизму (2.4).

Замечание 3. Для построения элемента $\mu_{E_1, E_2} \subset\operatorname{Dim}(E_1\mid E_2)$ не важно, что $X$ – проективная поверхность.

Аналогично, для решеток $E_1 \subset E_2$ в пространстве $\mathbb{A}_X^n$ определим $k$-векторное подпространство:

$$ \begin{equation*} \widetilde{\nu}_{E_1, E_2}=(E_2 \cap \mathbb{A}_{01}^n)/ (E_1 \cap \mathbb{A}_{01}^n) \subset E_2/ E_1. \end{equation*} \notag $$
$k$-векторное подпространство $\widetilde{\nu}_{E_1, E_2} \subset E_2/E_1$ есть дискретное подпространство такое, что факторпространство пространства $E_2/E_1$ по этому подпространству есть линейно компактное пространство. (Этот факт легко сначала увидеть в случае решеток $E_1=\mathbb{A}_{12}(D_1)$, $E_2=\mathbb{A}_{12}(D_2)$, где $D_1$ и $D_2$ – дивизоры на поверхности $X$. Для этого случая утверждение выполнено, так как для любой проективной кривой $C$ на поверхности $X$ поле рациональных функций $k(C)$ есть дискретное подпространство в пространстве аделей кривой $C$, и факторпространство этого пространства аделей по подпространству $k(C)$ является линейно компактным $k$-векторным пространством. Последнее утверждение следует, например, из адельного комплекса кривой $C$ и того, что пространства когомологий когерентных пучков на кривой $C$ есть конечномерные $k$-векторные пространства.)

Теперь для произвольных решеток $E_1$ и $E_2$ в пространстве $\mathbb{A}_X^n$ введем элемент

$$ \begin{equation*} \nu_{E_1, E_2} \in\operatorname{Dim}(E_1\mid E_2), \end{equation*} \notag $$
однозначно определяемый следующими двумя правилами.

1. Если $E_1 \subset E_2$, то $\nu_{E_1, E_2} \in\operatorname{Dim}(E_2/ E_1)$ определяется из точной последовательности

$$ \begin{equation*} 0 \to \widetilde{\nu}_{E_1, E_2} \to E_2/ E_1 \to (E_2/E_1)/ \widetilde{\nu}_{E_1, E_2} \to 0, \end{equation*} \notag $$
где первый ненулевой член есть дискретное пространство и последний ненулевой член есть линейно компактное пространство. В соответствии с (2.4) имеется канонический изоморфизм
$$ \begin{equation*} \operatorname{Dim}(\widetilde{\nu}_{E_1, E_2}) \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}((E_2/E_1)/ \widetilde{\nu}_{E_1, E_2}) \to\operatorname{Dim}(E_2/ E_1). \end{equation*} \notag $$
Теперь $\nu_{E_1, E_2}=\nu_1 \otimes \nu_2$, где $\nu_1 \in\operatorname{Dim}(\widetilde{\nu}_{E_1, E_2})$ есть ”теория размерности”, которая равна $0$ на нулевом подпространстве дискретного пространства $\widetilde{\nu}_{E_1, E_2}$, и $\nu_2 \in\operatorname{Dim}((E_2/E_1)/ \widetilde{\nu}_{E_1, E_2})$ есть “теория размерности”, которая равна $0$ на всем линейно компактном $k$-векторном пространстве $(E_2/E_1)/ \widetilde{\nu}_{E_1, E_2}$.

2. Для произвольных решеток $F_1$, $F_2$, $F_3$ в пространстве $\mathbb{A}_X^n$ имеем

$$ \begin{equation} \nu_{F_1, F_2} \otimes \nu_{F_2, F_3}=\nu_{F_1, F_3} \end{equation} \tag{3.3} $$
по отношению к изоморфизму (2.4).

Замечание 4. Для построения элемента $\nu_{E_1, E_2} \subset\operatorname{Dim}(E_1\mid E_2)$ важно, что $X$ – проективная поверхность.

Отметим, что любой локально свободный подпучок $\mathcal O_X$-модулей $\mathcal E \subset k(X)^n$ ранга $n$ на поверхности $X$ задает решетку $\mathbb{A}_{12}(\mathcal E) \subset \mathbb{A}_X^n$ (см. [9; п. 2.2.3]), которая обобщает случай решетки $\mathbb{A}_{12} (\mathcal O_X^n)=\mathbb{A}_{12}^n$ и случай решетки $\mathbb{A}_{12}(\mathcal O_X(D))=\mathbb{A}_{12}(D)$ для $n=1$, где $D$ – дивизор на поверхности $X$.

Предложение 1. Для любых ранга $n$ локально свободных подпучков $\mathcal O_X$-модулей $\mathcal F $ и $\mathcal G $ постоянного пучка $k(X)^n$ на поверхности $X$ выполнено

$$ \begin{equation} \nu_{\mathbb{A}_{12}(\mathcal F), \mathbb{A}_{12}(\mathcal G)} -\mu_{\mathbb{A}_{12}(\mathcal F), \mathbb{A}_{12}(\mathcal G)}=\chi(\mathcal G)-\chi(\mathcal F), \end{equation} \tag{3.4} $$
где вычитание в левой части формулы имеет смысл, так как оно применяется к элементам $\mathbb Z$-торсора $\operatorname{Dim}(\mathbb{A}_{12}(\mathcal F)\,|\, \mathbb{A}_{12}(\mathcal G)) $, и для любого пучка $\mathcal E$ в топологии Зарисского на поверхности $X$
$$ \begin{equation*} \chi(\mathcal E)=H^0(X, \mathcal E) -H^1(X, \mathcal E) \end{equation*} \notag $$
обозначает его эйлерову характеристику.

Доказательство. Из свойств левой (см. формулы (3.2), (3.3)) и правой частей формулы (3.4) видим, что достаточно предположить, что $\mathcal F \subset \mathcal G$. Для любого квазикогерентного пучка $\mathcal E$ $\mathcal O_X$-модулей на поверхности $X$ имеется адельный комплекс $\mathcal A_X(\mathcal E)$, который имеет ненулевые члены только в степенях $0$, $1$, $2$ и $H^i(X, \mathcal E)=H^i(\mathcal A_X(\mathcal E))$ (см., например, [8]).

Имеем каноническое вложение комплекса $\mathcal A_X(\mathcal F)$ в комплекс $\mathcal A_X(\mathcal G)$, так что факторкомплекс выглядит следующим образом:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \widetilde{\nu}_{\mathbb{A}_{12}(\mathcal F), \mathbb{A}_{12}(\mathcal G)} \oplus \widetilde{\mu}_{\mathbb{A}_{12}(\mathcal F), \mathbb{A}_{12}(\mathcal G)} \to \mathbb{A}_{12}(\mathcal G)/ \mathbb{A}_{12}(\mathcal F), \\ x \oplus y \mapsto x+y. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Отсюда получаем формулу (3.4), так как эйлерова характеристика последнего комплекса равна $\chi(\mathcal A(\mathcal G))-\chi(\mathcal A(\mathcal F))$.

Предложение доказано.

§ 4. Индекс пересечения дивизоров

Напомним теперь, как можно получить индекс пересечения дивизоров на поверхности $X$ при помощи центрального расширения (2.5), если $n=1$:

$$ \begin{equation*} 0 \to \mathbb Z \to \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)} \xrightarrow{\Theta} \mathbb{A}_X^* \to 1. \end{equation*} \notag $$

Рассмотрим бимультипликативное и антисимметрическое отображение

$$ \begin{equation*} \langle \cdot, \cdot \rangle \colon \mathbb{A}_X^* \times \mathbb{A}_X^* \to \mathbb Z, \end{equation*} \notag $$
заданное для любых элементов $x, y \in \mathbb{A}_X^*$ следующим образом:
$$ \begin{equation*} \langle x, y \rangle=[x', y']=x' y' {x'}^{-1} {y'}^{-1}, \end{equation*} \notag $$
где $x', y' \in \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$ – любые элементы такие, что $\Theta(x')=x$ и $\Theta(y')=y$. Это определение не зависит от выбора элементов $x'$ и $y'$.

Рассмотрим дивизор $D$ на поверхности $X$.

Для любой неприводимой кривой $C$ на поверхности $X$ пусть $j_C^D \in K_C^*$ будет локальным уравнением для ограничения дивизора $D$ на схему $\operatorname{Spec} \mathcal O_{K_C}$ при естественном морфизме $\operatorname{Spec} \mathcal O_{K_C} \to X$, где $\mathcal O_{K_C}$ – кольцо дискретного нормирования поля $K_C$. Заметим, что $j_C^D \cdot v$, где $v \in \mathcal O_{K_C}^*$, есть снова такое же уравнение. Тогда при первом диагональном вложении из формулы (3.1) получаем, что элемент, задаваемый набором $j_{1,D}=\prod_C j_C^D$, где $C$ пробегает по всем неприводимым кривым $C$ на поверхности $X$, принадлежит подкольцу $\mathbb{A}_{01}^*$.

Для любой точки $x$ на поверхности $X$ пусть $j_x^D \in K_x^*$ будет локальным уравнением для ограничения дивизора $D$ на схему $\operatorname{Spec} \widehat{\mathcal O}_{x,X}$ при естественном морфизме $\operatorname{Spec} \widehat{\mathcal O}_{x,X} \to X$. Заметим, что $j_x^D \cdot w$, где $w \in \widehat{\mathcal O}_{x,X}^*$, есть снова такое локально уравнение. Тогда при втором диагональном вложении из формулы (3.1) получаем, что элемент, задаваемый набором $j_{2,D}=\prod_x j_x^D$, где $x$ пробегает все точки $x$ поверхности $X$, принадлежит подкольцу $\mathbb{A}_{02}^*$.

Для любых дивизоров $S$ и $T$ на поверхности $X$ имеем (см. предложение 2 из [11], основанное на [15; п. 2.2])

$$ \begin{equation} \langle j_{2,S}, j_{1,T} \rangle=- (S,T), \end{equation} \tag{4.1} $$
где $(S,T) \in \mathbb Z$ – индекс пересечения дивизоров $S$ и $T$ на $X$.

Теперь приведем другое выражение для индекса пересечения дивизоров, основанное на формуле (4.1) и специальных подъемах элементов, как в § 3.

Предложение 2. Для любых дивизоров $S$ и $T$ на поверхности $X$ имеем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (S, T) &=(\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-T)} \otimes \nu_{\mathbb{A}_{12}(-T), \mathbb{A}_{12}(-T -S)}) -(\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-S)} \otimes \mu_{\mathbb{A}_{12}(-S),\mathbb{A}_{12}(-S-T)}) \\ & =(\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(T)} \otimes \nu_{\mathbb{A}_{12}(T), \mathbb{A}_{12}(T+S)}) -(\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(S)} \otimes \mu_{\mathbb{A}_{12}(S),\mathbb{A}_{12}(S+T)}), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где вычитание в этих формулах имеет смысл, так как применяется к элементам $\mathbb Z$-торсора
$$ \begin{equation*} \operatorname{Dim}(\mathbb{A}_{12}\mid \mathbb{A}_{12}(-S -T)) \quad \textit{или} \quad \operatorname{Dim}(\mathbb{A}_{12} \mid \mathbb{A}_{12}(S+T)) \end{equation*} \notag $$
и используется изоморфизм (2.4).

Доказательство. Второе равенство следует из первого равенства, так как $(S, T)=(-S, -T)$.

Докажем первое равенство. Заметим, что для любого дивизора $D$ на поверхности $X$ имеем ${ j_{1,D} \cdot j_{2, D}^{-1} \in \mathbb{A}_{12}^* }$ и равенство $k$-векторных подпространств в пространстве $\mathbb{A}_X$:

$$ \begin{equation*} j_{1,D} \mathbb{A}_{12}=j_{2, D} \mathbb{A}_{12}=\mathbb{A}_{12}(-D). \end{equation*} \notag $$
Поэтому, чтобы вычислить $\langle j_{1, T}, j_{2,S} \rangle$, можем взять следующие специальные подъемы элементов $j_{1,T}$ и $j_{2,S}$ в группу $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$:
$$ \begin{equation} j_{1, T} \mapsto (j_{1, T}, \mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-T)}), \qquad j_{2,S} \mapsto (j_{2,S}, \nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-S)}). \end{equation} \tag{4.2} $$

Непосредственно из конструкции получаем

$$ \begin{equation} j_{1,T} (\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-S)})=\nu_{\mathbb{A}_{12}(-T), \mathbb{A}_{12}(-T-S)}, \end{equation} \tag{4.3} $$
$$ \begin{equation} j_{2, S} (\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-T)})=\mu_{\mathbb{A}_{12}(-S), \mathbb{A}_{12}(-T-S)}. \end{equation} \tag{4.4} $$

Теперь из формулы (4.1) имеем следующее равенство в группе $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &(j_{1,T}, \mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-T)})(j_{2,S}, \nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-S)}) \\ &\qquad =(j_{2, S}, \nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-S)})(j_{1,T}, \mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(-T)}) (S,T), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где индекс пересечения $(S, T)$ рассматривается как элемент центральной подгруппы ${\mathbb Z \subset \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}}$. Теперь, используя определение групповой операции в группе $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$ и формулы (4.3), (4.4), получаем утверждение предложения.

Замечание 5. Подъем элементов, аналогичный подъему элементов в формуле (4.2), был рассмотрен в [13; § 5] для дивизоров $S$ и $T=(\omega)- S$, где $\omega \in \Omega^2_{k(X)/k}$.

§ 5. Канонические расщепления

Построим канонические расщепления центральных расширений (2.5) и (2.7) над некоторыми подгруппами группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$ и исследуем свойства этих расщеплений.

Предложение 3. Рассмотрим центральное расширение (2.5).

1. Отображение

$$ \begin{equation} \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{12}) \ni g \mapsto (g, 0) \in \widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}, \end{equation} \tag{5.1} $$
где $0$ – нулевая теория размерности, задает расщепление этого центрального расширения над подгруппой $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{12})$.

2. Отображение

$$ \begin{equation} \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{02}) \ni g \mapsto (g, \mu_{\mathbb{A}_{12}^n, g \mathbb{A}_{12}^n}) \in \widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)} \end{equation} \tag{5.2} $$
задает расщепление этого центрального расширения над подгруппой $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{02})$.

3. Отображение

$$ \begin{equation} \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{01}) \ni g \mapsto (g, \nu_{\mathbb{A}_{12}^n, g \mathbb{A}_{12}^n}) \in \widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)} \end{equation} \tag{5.3} $$
задает расщепление этого центрального расширения над подгруппой $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{01})$.

4. Расщепления (5.1) и (5.3) совпадают над подгруппой $\mathrm{GL}_n(\prod_C \mathcal O_{K_C})$. Расщепления (5.1) и (5.2) совпадают над подгруппой $\mathrm{GL}_n(\prod_x \widehat{\mathcal O}_{x,X})$. Расщепления (5.3) и (5.2) совпадают над подгруппой $\mathrm{GL}_n(k(X))$. (Здесь мы используем диагональное вложение подгрупп; см. (3.1).)

Замечание 6. Для построения расщеплений (5.1), (5.2) не важно, что поверхность $X$ проективна, но для построения расщепления (5.3) это важно.

Доказательство предложения 3. 1. Этот пункт очевиден, так как $g \mathbb{A}_{12}^n=\mathbb{A}_{12}^n$ для любого элемента $g \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{12})$.

2, 3. Эти пункты следуют из равенств

$$ \begin{equation*} g \widetilde{\mu}_{E_1, E_2}=\widetilde{\mu}_{g E_1, gE_2}, \qquad h \widetilde{\nu}_{E_1, E_2}=\widetilde{\nu}_{hE_1, hE_2}, \end{equation*} \notag $$
где $E_1\,{\subset}\, E_2$ – любые решетки в пространстве $\mathbb{A}_X^n$, а $g\,{\in}\, \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{02})$ и ${h\,{\in}\,\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{01})}$.

4. Здесь единственное нетривиальное утверждение – это совпадение расщеплений (5.3) и (5.2) над подгруппой $\mathrm{GL}_n(k(X))$. Для его доказательства заметим, что для любого элемента $g \in \mathrm{GL}_n(k(X))$ выполнено $ g \mathbb{A}_{12}^n=\mathbb{A}_{12}(g \mathcal O_X^n) $ и что по предложению 1 имеем

$$ \begin{equation*} \nu_{\mathbb{A}_{12}(\mathcal O_X^n), \mathbb{A}_{12}(g \mathcal O_X^n)} - \mu_{\mathbb{A}_{12}(\mathcal O_X^n), \mathbb{A}_{12}(g \mathcal O_X^n)} =\chi(g\mathcal O_X^n)- \chi(\mathcal O_X^n). \end{equation*} \notag $$
Теперь заметим, что пучок $g \mathcal O_X^n$ изоморфен пучку $\mathcal O_X^n$. Поэтому выполнено ${\chi(\mathcal O_X^n)=\chi(g \mathcal O_X^n) }$. Отсюда получаем
$$ \begin{equation*} \nu_{\mathbb{A}_{12}^n, g\mathbb{A}_{12}^n}=\mu_{\mathbb{A}_{12}^n, g\mathbb{A}_{12}^n}, \end{equation*} \notag $$
и два расщепления совпадают. (Отметим, что можно было бы применить предложение 1 только для случая $n=1$, так как $\mathrm{GL}_n(k(X))=\mathrm{SL}_n(k(X)) \rtimes k(X)^*$ и группа $\mathrm{SL}_n(k(X))$ совершенна, откуда следует, что любые два сечения любого центрального расширения группы $\mathrm{SL}_n(k(X))$ совпадают.)

Предложение доказано.

Пусть $n=n_1+n_2$, где $n_1$ и $n_2$ – положительные целые числа. Рассмотрим параболическую подгруппу

$$ \begin{equation*} P_{n_1, n_2}=\left\{ \begin{pmatrix} \mathrm{GL}_{n_1}(\mathbb{A}_X) & * \\ 0 & \mathrm{GL}_{n_2}(\mathbb{A}_X) \end{pmatrix}\right\} \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X). \end{equation*} \notag $$
Пусть $p_i\colon \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X) \to P_{n_i}$, где $i=1$ или $i=2$, будут естественными гомоморфизмами.

Предложение 4. Обратный образ центрального расширения $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ относительно вложения ${P_{n_1, n_2} \hookrightarrow \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ изоморфен сумме Бэра обратных образов $p_1^*(\widetilde{\mathrm{GL}_{n_1}(\mathbb{A}_X)})$ и $p_2^*(\widetilde{\mathrm{GL}_{n_2}(\mathbb{A}_X)}) $. Кроме того, расщепления (над специальными подгруппами) из предложения 3 совместимы с этим изоморфизмом.

Доказательство. Конструкция изоморфизма непосредственно получается из точной тройки
$$ \begin{equation*} 0 \to \mathbb{A}_X^{n_1} \to \mathbb{A}_X^n \to \mathbb{A}_X^{n_2} \to 0, \end{equation*} \notag $$
из факта, что действие группы $P_{n_1, n_2}$ сохраняет эту тройку, из конструкции группы $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ и из изоморфизма (2.2).

Совместимость сечений следует из точных троек

$$ \begin{equation*} 0 \to \mathbb{A}_{01}^{n_1} \to \mathbb{A}_{01}^n \to \mathbb{A}_{01}^{n_2} \to 0, \qquad 0 \to \mathbb{A}_{02}^{n_1} \to \mathbb{A}_{02}^n \to \mathbb{A}_{02}^{n_2} \to 0 \end{equation*} \notag $$
и того, что соответствующие группы $P_{n_1,n_2} \cap \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{01})$ и $P_{n_1,n_2} \cap \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{02})$ действуют на этих тройках.

Предложение доказано.

Замечание 7. Прямой аналог предложения 3 верен для центрального расширения (2.7) (см. [11; предложение 4]), где используется, что

$$ \begin{equation*} \widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}=\Theta^{-1}(\mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X)) \rtimes \mathbb{A}_X^*, \end{equation*} \notag $$
и берутся расщепления над пересечениями группы $\mathrm{SL}_n(\mathbb{A}_X)$ с соответствующими подгруппами, которые приходят из предложения 3, и тождественное расщепление над пересечением группы $\mathbb{A}_X^*$ с соответствующими подгруппами.

Ситуация с обратным образом центрального расширения (2.7) относительно вложения ${P_{n_1, n_2} \hookrightarrow \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ отличается от ситуации, описанной в предложении 4 для центрального расширения (2.5); см. [11; предложение 3]. Это происходит вследствие того, что центральное расширение (2.7) связано со вторым числом Чженя локально свободного пучка $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$; см. [11; п. 3.3] и замечание 9 далее.

§ 6. Тривиализации локально свободных пучков

Опишем тривиализации локально свободных пучков $\mathcal O_X$-модулей над пополнениями локальных колец схемных точек поверхности $X$. Рассмотрим точку $x \in X$ как замкнутую схемную точку поверхности $X$, общую точку неприводимой кривой $C$ на поверхности $X$ как незамкнутую точку поверхности $X$, а также рассмотрим общую точку поверхности $X$.

Пусть $\mathcal E$ – локально свободный пучок $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$.

Для (замкнутой) точки $x$ на поверхности $X$ пополнение слоя пучка $\mathcal E$ в точке $x$ есть свободный $\widehat{\mathcal O}_{x,X}$-модуль. Пусть $e_x$ – базис этого модуля. Будем также называть этот базис базисом пучка $\mathcal E$, ограниченного на схему $\operatorname{Spec} \widehat{\mathcal O}_{x,X}$.

Для неприводимой кривой $C$ на поверхности $X$ пополнение слоя пучка $\mathcal E$ в общей точке кривой $C$ есть свободный $\mathcal O_{K_C}$-модуль. Пусть $e_C$ – базис этого модуля. Будем также называть этот базис базисом пучка $\mathcal E$, ограниченного на схему $\operatorname{Spec} \mathcal O_{K_C}$.

Слой пучка $\mathcal E$ в общей точке поверхности $X$ есть $k(X)$-векторное пространство. Пусть $e_0$ – базис этого векторного пространства. Будем также называть этот базис базисом пучка $\mathcal E$, ограниченного на схему $\operatorname{Spec} k(X)$.

Вкладывая пополнения слоев пучка $\mathcal E$ в схемных точках поверхности $X$ в тензорные произведения (над локальными кольцами точки) слоев пучка $\mathcal E$ и подходящих колец $K_x$, $K_C$ или $K_{x,C}$, получаем матрицы перехода

$$ \begin{equation*} \alpha_{02, x} \in \mathrm{GL}_n(K_x), \qquad \alpha_{01,C} \in \mathrm{GL}_n(K_C), \qquad \alpha_{21,x,C} \in \mathrm{GL}_n(\mathcal O_{K_{x,C}}), \end{equation*} \notag $$
определенные следующими уравнениями:
$$ \begin{equation*} e_0=\alpha_{02,x}e_x, \qquad e_0=\alpha_{01,C}e_C, \qquad e_x=\alpha_{21,x,C} e_C. \end{equation*} \notag $$

Обозначим наборы матриц как $\alpha_{02}=\prod_x \alpha_{02,x}$, где $x$ пробегает по всем (замкнутым) точкам поверхности $X$, как $\alpha_{01}=\prod_C \alpha_{01,C}$, где $C$ пробегает по всем неприводимым кривым $C$ на поверхности $X$, как $ \alpha_{21}=\prod_{x \in C}\alpha_{21,x,C}$, где $x \in C$ пробегает по всем парам $x \in C$ с замкнутой точкой $x$ на неприводимой кривой $C$ на поверхности $X$.

Пусть теперь $\alpha_{ij}=\alpha_{ji}^{-1}$, где $i \ne j$ – элементы из множества $\{0, 1, 2 \}$. Тогда для любых элементов $i \ne j \ne k$ из множества $\{ 0,1,2\}$ имеем равенство (тождество коцикла) в группе $ \mathrm{GL}_n(\prod_{x \in C} K_{x,C})$, где мы используем диагональные вложения (3.1),

$$ \begin{equation} \alpha_{ij} \cdot \alpha_{jk} \cdot \alpha_{ki}=1. \end{equation} \tag{6.1} $$

Если изменить выбранные базисы, то матрицы изменятся следующим образом:

$$ \begin{equation} \alpha_{02}\mapsto\alpha_{0} \cdot \alpha_{02}\cdot\alpha_{2}^{-1}, \qquad \alpha_{01}\mapsto\alpha_{0} \cdot \alpha_{01}\cdot\alpha_{1}^{-1}, \qquad \alpha_{21}\mapsto\alpha_{2} \cdot \alpha_{21}\cdot\alpha_{1}^{-1}, \end{equation} \tag{6.2} $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \alpha_{0} \in \mathrm{GL}_n(k(X)) \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X), \qquad \alpha_{1} \in \mathrm{GL}_n \biggl(\prod_C \mathcal O_{K_C}\biggr)\subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X), \\ \alpha_{2} \in \mathrm{GL}_n \biggl(\prod_x \widehat{\mathcal O}_{x,X}\biggr)\subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Используя диагональные вложения (3.1), при помощи несложных рассуждений можно показать (см. [11; п. 3.3]), что

$$ \begin{equation} \alpha_{02} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{02}), \qquad \alpha_{01} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{01}), \qquad \alpha_{21} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_{12}) . \end{equation} \tag{6.3} $$

Будем использовать обозначение $\alpha_{ij, \mathcal E}$ вместо обозначения $\alpha_{ij}$, если из контекста не ясно, с каким пучком связано это обозначение.

Замечание 8. Если $n=1$, то $\mathcal E=\mathcal O_X(D)$ для некоторого дивизора $D$ на поверхности $X$. Имеем (см. § 4)

$$ \begin{equation*} j_{2,D}=\alpha_{02, \mathcal E}, \qquad j_{1,D}=\alpha_{01, \mathcal E}. \end{equation*} \notag $$
Поэтому из формулы (4.1) получаем, что для обратимых пучков ${\mathcal F}$ и $\mathcal G$ на поверхности $X$ их индекс пересечения есть
$$ \begin{equation} ({\mathcal F}, {\mathcal G}) =\langle \alpha_{01, {\mathcal G}}, \alpha_{02, {\mathcal F}} \rangle =\langle \alpha_{02, {\mathcal F}}, \alpha_{10, {\mathcal G}} \rangle =\langle \alpha_{12, {\mathcal F}}, \alpha_{10, {\mathcal G}} \rangle =\langle \alpha_{12, {\mathcal F}}, \alpha_{20, {\mathcal G}} \rangle, \end{equation} \tag{6.4} $$
где использовали расщепления центрального расширения (2.5) над некоторыми подгруппами из предложения (3), откуда следует, что спаривание $\langle \cdot, \cdot \rangle$, ограниченное на эти подгруппы, равно $0$.

Определение 2. Пусть $\mathcal E$ – локально свободный пучок $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$. Для любых элементов $i \ne j$ из множества $\{0, 1,2\}$ пусть $\widetilde{\alpha_{ij}}$ будет каноническим подъемом элемента $\alpha_{ij}$ для пучка $\mathcal E$ в группу $\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ при помощи расщепления над соответствующей подгруппой; см. предложение 3 и формулу (6.3). Положим

$$ \begin{equation*} f_{\mathcal E}=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} \in \mathbb Z. \end{equation*} \notag $$

Это определение корректно, так как из формулы (6.1) следует, что $f_E \in \mathbb Z$, и по предложению 3 и формуле (6.2) целое число $f_{\mathcal E}$ зависит только от пучка $\mathcal E$, т.е. это целое число не зависит от выбора базисов $e_0$, $\{ e_x\}$, $\{ e_C\}$ для пучка $\mathcal E$.

Как уже отмечалось ранее, цель настоящей статьи – вычислить целое число $f_E$ и связать вычисления этого целого числа, сделанное двумя разными способами, с теоремой Римана–Роха для пучка $\mathcal E$ на поверхности $X$ (без формулы Нётера для пучка $\mathcal O_X$).

Замечание 9. Для центрального расширения (2.7)

$$ \begin{equation*} 0 \to \mathbb Z \to \widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)} \to \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X) \to 1 \end{equation*} \notag $$
пусть $\widehat{\alpha_{02}}$, $ \widehat{\alpha_{21}}$, $\widehat{\alpha_{10}}$ – соответствующие канонические подъемы элементов $\alpha_{02}$, $\alpha_{21}$, $\alpha_{10} $ для пучка $\mathcal E$ в группу $\widehat{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)}$ при помощи расщеплений над специальными подгруппами группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$; см. замечание 7. По [11; теорема 1] целое число $\widehat{\alpha_{02}} \cdot \widehat{\alpha_{21}} \cdot \widehat{\alpha_{10}}$ не зависит от выбора базисов $e_0$, $\{ e_x\}$, $\{ e_C\}$ и выполнено
$$ \begin{equation*} \widehat{\alpha_{02}} \cdot \widehat{\alpha_{21}} \cdot \widehat{\alpha_{10}}=c_2(\mathcal E). \end{equation*} \notag $$

§ 7. Первый способ вычисления числа $f_{\mathcal E}$

Пусть $\mathcal E$ – локально свободный пучок $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$. Вычислим целое число $f_{\mathcal E}$ (см. определение 2) первым способом.

Предложение 5. Выполнены следующие свойства.

1. Рассмотрим точную тройку локально свободных пучков конечного ранга $\mathcal O_X$-модулей

$$ \begin{equation*} 0 \to {\mathcal E}_1 \to {\mathcal E} \to {\mathcal E_2} \to 0. \end{equation*} \notag $$
Имеем $f_{\mathcal E}=f_{\mathcal E_1}+f_{\mathcal E_2}$.

2. Пусть $\pi\colon Y \to X$ – раздутие точки на поверхности $X$. Имеем $f_{\mathcal E}=f_{\pi^*(\mathcal E)}$.

Доказательство. 1. Целые числа $f_{\mathcal E_i}$, где $i \in \{1,2,3\}$, не зависят от выбора базисов пучков $\mathcal E_i$ в пополнениях локальных колец схемных точек поверхности $X$. Поэтому можно выбрать сначала базисы для пучка $\mathcal E_1$ и затем дополнить их до базисов пучка $\mathcal E$. Отсюда получаем, что все матрицы перехода $\alpha_{ij}$ принадлежат подгруппе $P_{n_1, n_2} \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)$, где $n_1$ или $n_2$ – соответствующие ранги пучков $\mathcal E_1$ или $\mathcal E_2$. Теперь применим предложение 4.

2. (Ср. с доказательством теоремы 1 из [11].) Пусть $\pi$ – раздутие точки $x \in X$ и $\pi^{-1}(x)=R$. Заметим, что

$$ \begin{equation} \mathbb{A}_Y=\mathbb{A}_X \times \sideset{}{'}\prod_{p \in R}K_{p,R}. \end{equation} \tag{7.1} $$
Так как числа $f_{\mathcal E}$ и $f_{\pi^*(\mathcal E)}$ не зависят от выбора базисов для пучков $\mathcal E$ и $\pi^*(\mathcal E)$, то выберем специальные базисы. Зафиксируем тривиализацию пучка $\mathcal E$ на открытой окрестности точки $x$ на поверхности $X$. Эта тривиализация индуцирует базисы $e_0$, $e_x$, $e_R$ и $e_p$, где $p \in R$. Имеем канонический изоморфизм
$$ \begin{equation*} \delta \colon \widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X)} \to \gamma^*(\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_Y)}), \end{equation*} \notag $$
где вложение $\gamma\colon \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_X) \hookrightarrow \mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_Y)$ индуцировано разложением (7.1). Теперь для любых элементов $i \ne j $ из множества $\{0, 1, 2\}$ имеем
$$ \begin{equation*} \gamma(\alpha_{ij, \mathcal E})=\alpha_{ij, \pi^*(\mathcal E)}, \qquad \delta(\widetilde{\alpha_{ij, \mathcal E}})=\widetilde{\alpha_{ij, \pi^*(\mathcal E)}}, \end{equation*} \notag $$
где рассматриваем $\widetilde{\alpha_{ij, \pi^*(\mathcal E)}}$ как элементы группы $\gamma^*(\widetilde{\mathrm{GL}_n(\mathbb{A}_Y)})$. Отсюда следует нужное утверждение.

Далее обозначим так же индекс пересечения $\mathcal E \cdot \mathcal F=(\mathcal E, \mathcal F) \in \mathbb Z$ или $c_1(\mathcal E)^2=\mathcal E \cdot \mathcal E=(\mathcal E, \mathcal E) \in \mathbb Z$, где $\mathcal E$ и $\mathcal F$ – обратимые пучки на поверхности $X$.

Теорема 1. Пусть $\mathcal E$ – локально свободный пучок $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на гладкой проективной поверхности $X$ над полем $k$. Имеем

$$ \begin{equation*} f_{\mathcal E}=\bigl(\chi(\mathcal E) -n \chi(\mathcal O_X)\bigr) -c_1(\mathcal E)^2+2 c_2(\mathcal E) =\bigl(\chi(\mathcal E) -n \chi(\mathcal O_X)\bigr)-2\mathrm{ch}_2(\mathcal E). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Второе равенство – это переформулировка первого равенства в других обозначениях. Поэтому докажем первое равенство.

Левая и правая части равенства аддитивны относительно коротких точных последовательностей локально свободных пучков $\mathcal O_X$-модулей и сохраняются при раздутиях точек. В самом деле, для левой части равенства это следует из предложения 5, в правой части равенства для $\mathrm{ch}_2$ это следует из свойств $\mathrm{ch}_2$, а разность эйлеровых характеристик сохраняется при раздутии точки, так как утверждение сводится к простому случаю $\chi(\mathcal F)-\chi(\mathcal E)=\chi(\mathcal F/\mathcal E)$, где $\mathcal F$ – локально свободный пучок $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$, $\mathcal E \subset \mathcal F$ и пучок $\mathcal F$ совпадает c пучком $\mathcal E$ в окрестности раздуваемой точки. Поэтому из принципа расщепления для локально свободных пучков на гладких поверхностях (ср. с доказательством теоремы 1 из [11]) следует, что достаточно доказать равенство для случая $n=1$.

Итак, пусть $n=1$. Выбранный базис $e_0$ пучка $\mathcal E$ в общей точке поверхности $X$ задает вложение пучка $\mathcal E$ в постоянный пучок $k(X)$ на поверхности $X$. (Поэтому $\mathcal E=\mathcal O_X(D)$ для некоторого дивизора $D$ на поверхности $X$.) Зафиксируем также другие базисы для пучка $\mathcal E$ и, следовательно, матрицы перехода $\alpha_{ij}$ для пучка $\mathcal E$, где $i \ne j $ – элементы из множества $\{ 1,2\}$, как в § 6.

Необходимо доказать, что

$$ \begin{equation} f_{\mathcal E}=\bigl(\chi(\mathcal E) -n \chi(\mathcal O_X)\bigr) -(\mathcal E, \mathcal E). \end{equation} \tag{7.2} $$

По формуле (6.4), которая описывает индекс пересечения обратимых пучков как коммутатор подъема соответствующих элементов в группу $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$, имеем

$$ \begin{equation} \widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}} =(-(\mathcal E, \mathcal E)) \cdot \widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}, \end{equation} \tag{7.3} $$
где целое число $ -(\mathcal E, \mathcal E) $ рассматривается как элемент центральной подгруппы $ \mathbb Z \subset \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$.

Кроме того, используя сопряжения, получаем

$$ \begin{equation*} f_{\mathcal E}=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}=\widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}^{-1} =\widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}}. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, имеем
$$ \begin{equation} \widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}} =f_{\mathcal E} \cdot \widetilde{\alpha_{12}}, \end{equation} \tag{7.4} $$
где целое число $ f_{\mathcal E}$ рассматривается как элемент центральной подгруппы $\mathbb Z \subset \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$.

Из формул (7.3), (7.4) получаем, что формула (7.2) будет следовать из следующей леммы.

Лемма. Пусть $\mathcal E$ – обратимый пучок на поверхности $X$. Тогда имеем

$$ \begin{equation*} \widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}=(\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(\mathcal E)} -\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(\mathcal E)}) \cdot \widetilde{\alpha_{12}}=\bigl(\chi(\mathcal E) - \chi(\mathcal O_X) \bigr) \cdot \widetilde{\alpha_{12}}, \end{equation*} \notag $$
где целые числа ${\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(\mathcal E)} -\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(\mathcal E)}}$ и ${\chi(\mathcal E) -n \chi(\mathcal O_X)}$ рассматриваются как элементы центральной подгруппы $\mathbb Z \subset \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$, и выбранный и зафиксированный базис $e_0$ пучка $\mathcal E$ в общей точке поверхности $X$ задает вложение пучка $\mathcal E$ в постоянный пучок $k(X)$ на поверхности $X$.

Заметим, что так как $\alpha_{02}$ и $\alpha_{10}$ являются элементами группы $\mathbb{A}_X^*$, то выполнено ${\alpha_{02} \cdot \alpha_{10}=\alpha_{10} \cdot \alpha_{02}=\alpha_{12}}$.

Доказательство леммы. Второе равенство в утверждении леммы непосредственно следует из первого равенства и предложения 1. Поэтому докажем первое равенство.

Пусть целое число $c \in \mathbb Z \subset \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)} $ такое, что $\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}=c \cdot \widetilde{\alpha_{12}} $. Тогда имеем

$$ \begin{equation} \widetilde{\alpha_{10}}=c \cdot \widetilde{\alpha_{20}} \cdot \widetilde{\alpha_{12}}. \end{equation} \tag{7.5} $$
Заметим, что $\alpha_{12} \mathbb{A}_{12}=\mathbb{A}_{12}$. Поэтому $\widetilde{\alpha_{12}}=(\alpha_{12}, 0)$, где ${0 \in \mathbb Z=\operatorname{Dim}(\mathbb{A}_{12} \mid \mathbb{A}_{12})}$. Следовательно, произведение с элементом $\widetilde{\alpha_{12}}$ в правой части формулы (7.5) не влияет на “теорию размерности”.

Отсюда (см. также замечание 8, где явно выписаны матрицы перехода для обратимого пучка) при помощи прямого вычисления получаем, что

$$ \begin{equation*} c=\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(\mathcal E)} -\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(\mathcal E)}. \end{equation*} \notag $$
Это завершает доказательства леммы и, следовательно, теоремы 1.

Замечание 10. Из теоремы 1, замечания 9 и формулы (6.4) получаем следующее “локальное (адельное) разложение” для разности эйлеровых характеристик для локально свободного пучка $\mathcal E$ $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ и пучка $\mathcal O_X^n$, используя центральные расширения (2.5) и (2.7) и матрицы перехода для пучка $\mathcal E$:

$$ \begin{equation*} \chi(\mathcal E) -n \chi(\mathcal O_X)=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} - 2 \widehat{\alpha_{02}} \cdot \widehat{\alpha_{21}} \cdot \widehat{\alpha_{10}} +\langle \det(\alpha_{02}), \det(\alpha_{10}) \rangle . \end{equation*} \notag $$
Эта формула обобщает формулы (1.2), (1.3) со случая гладких проективных кривых до случая гладких проективных поверхностей.

§ 8. Второй способ вычисления числа $f_{\mathcal E}$ и теорема Римана–Роха

Имеется второй способ вычислить целое число $f_{\mathcal E}$ для локально свободного пучка $\mathcal E$ $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на поверхности $X$. Мы проведем это вычисление в этом параграфе. Этот второй способ приводит к ответу, выраженному также через другие инварианты пучка $\mathcal E$ и поверхности $X$; см. теорему 2 далее. Из сравнения этого ответа с ответом, полученным в теореме 1, сразу получаем теорему Римана–Роха для пучка $\mathcal E$ на поверхности $X$ (без формулы Нётера); см. следствие ниже.

Далее будем предполагать, что основное поле $k$ совершенно (это будет важно для теории двумерных вычетов, используемой далее). Идея для нового вычисления целого числа $f_{\mathcal E}$ состоит в использовании того факта, что пространство $\mathbb{A}_X$ самодвойственно как $C_2$-пространство над полем $k$ (или как $2$-тейтовское векторное пространство) и в проведении некоторых вычислений как на “двойственной стороне”.

Точнее, самодвойственность пространства $\mathbb{A}_X$ задается следующим спариванием (ср. [13; § 2]). Зафиксируем дифференциальную форму $\omega \in \Omega^2_{k(X)/k}$ такую, что $\omega \ne 0$. Теперь по форме $\omega $ построим билинейное симметрическое невырожденное спаривание при помощи вычетов на двумерных локальных полях (см. подробнее о вычетах на $n$-мерных локальных полях в [14], [21]):

$$ \begin{equation} \mathbb{A}_X \times \mathbb{A}_X \to k \colon \{f_{x,C}\} \times \{ g_{x,C} \} \mapsto \sum_{x \in C}\operatorname{Tr}_{k(x)/k} \circ \operatorname{res}_{x,C} (f_{x,C} g_{x,C}\omega), \end{equation} \tag{8.1} $$
где $\{ f_{x,C}\}$ и $\{ g_{x,C} \}$ – элементы из кольца $\sideset{}{'}\prod_{x \in C}K_{x,C}=\mathbb{A}_X$, и если $K_{x, C}=\prod_i K_i$, то вычет ${\operatorname{res}_{x, C}\colon \Omega^2_{K_{x,C}/k} \to k(x)}$ равен $\sum_i\operatorname{Tr}_{k_i/ k(x)} \circ\operatorname{res}_{K_i} $, где
$$ \begin{equation} \operatorname{res}_{K_i} \colon \Omega^2_{K_i/k(x)} \to \Omega^2_{K_i/k_i} \to \widetilde{\Omega}^2_{K_i/k_i} \to k_i, \end{equation} \tag{8.2} $$
$K_i \simeq k_i((u))((t))$ и этот изоморфизм является гомеоморфизмом относительно естественных топологий. Первое отображение в формуле (8.2) есть естественное отображение, второе отображение есть отображение в “непрерывные дифференциальные формы”, т.е. в фактормодуль по $K_i$-подмодулю, порожденному элементами
$$ \begin{equation*} f_1 \,df_2 \wedge df_3-f_1\,df_2 \wedge \biggl(\frac{\partial{f_3}}{\partial{u}}\,du+\frac{\partial{f_3}}{\partial{t}}\, dt\biggr), \end{equation*} \notag $$
и последнее отображение есть
$$ \begin{equation*} \sum_{j,l} a_{j,l} u^j t^l \,du \wedge dt \mapsto a_{-1,-1}, \end{equation*} \notag $$
где $a_{j,l} \in k_i$. Заметим также, что сумма (8.1) конечна.

Сформулируем теперь теорему.

Теорема 2. Пусть $\mathcal E$ – локально свободный пучок $\mathcal O_X$-модулей ранга $n$ на гладкой проективной поверхности $X$ над совершенным полем $k$. Тогда верно

$$ \begin{equation*} f_{\mathcal E}=-\frac{1}{2} K \cdot c_1(\mathcal E) -\frac{1}{2}c_1(\mathcal E)^2+c_2(\mathcal E) =-\frac{1}{2} K \cdot c_1(\mathcal E) -\mathrm{ch}_2(\mathcal E), \end{equation*} \notag $$
где $K \simeq \mathcal O_X(\omega)$, $\omega \in \Omega^2_{k(X)/k}$, $\omega \ne 0$.

Из теоремы 1 и теоремы 2 сразу получаем следствие.

Следствие (теорема Римана–Роха). Верно следующее:

$$ \begin{equation*} \chi(\mathcal E) -n \chi(\mathcal O_X)=\frac{1}{2} c_1(\mathcal E) \cdot (c_1(\mathcal E)-K)- c_2(\mathcal E). \end{equation*} \notag $$

Замечание 11. Если $\mathcal E$ – обратимый пучок на поверхности $X$, то число

$$ \begin{equation*} p_a(\mathcal E)=1+\frac{1}{2} \mathcal E \cdot (\mathcal E+K) \end{equation*} \notag $$
называется виртуальным арифметическим родом пучка $\mathcal E$ (см., например, [18; гл. IV, п. 2.8]). Поэтому в этом случае выполнено
$$ \begin{equation*} f_{\mathcal E}=1-p_a(\mathcal E). \end{equation*} \notag $$

Доказательство теоремы 2. Достаточно доказать первое равенство в утверждении теоремы 2. При помощи тех же аргументов, как в начале доказательства теоремы 1, достаточно предположить, что $n=1$.

Для любого $k$-векторного подпространства $V \subset \mathbb{A}_X$ обозначим через $V^{\perp}$ аннулятор пространства $V$ в пространстве $\mathbb{A}_X$ относительно спаривания (8.1). Из законов взаимности на поверхности $X$ для вычетов дифференциальных $2$-форм на двумерных локальных полях (это законы взаимности “вдоль неприводимой кривой” и “вокруг точки”) можно получить (см. [14]), что для любого дивизора $D$ на поверхности $X$ выполнено

$$ \begin{equation} \mathbb{A}_{12}(D)^{\perp}=\mathbb{A}_{12}((\omega)-D), \qquad \mathbb{A}_{02}^{\perp}=\mathbb{A}_{02}, \qquad \mathbb{A}_{01}^{\perp}=\mathbb{A}_{01}. \end{equation} \tag{8.3} $$

Имеется канонический изоморфизм групп (см. [12; п. 5.5.5])

$$ \begin{equation*} \varphi \colon \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)} \to \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}_{\mathbb{A}_{12}^{\perp}}, \end{equation*} \notag $$
где центральное расширение $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}_{\mathbb{A}_{12}^{\perp}}$ строится аналогично центральному расширению $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$, но начинать надо с решетки $\mathbb{A}_{12}^{\perp}$ вместо решетки $\mathbb{A}_{12}$ (ср. с замечанием 1). Точнее, группа $\widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}_{\mathbb{A}_{12}^{\perp}}$ состоит из всех пар $(g, d)$, где $g \in \mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)$ и ${d \in\operatorname{Dim}(\mathbb{A}_{12}^{\perp} \mid g \mathbb{A}_{12}^{\perp})}$, с законом умножения, как в формуле (2.6). Явным образом изоморфизм $\varphi$ задается так:
$$ \begin{equation*} \varphi((g,d))=(g^{-1}, d), \end{equation*} \notag $$
где используется канонический изоморфизм
$$ \begin{equation*} \operatorname{Dim}(\mathbb{A}_{12}\mid g \mathbb{A}_{12}) \simeq\operatorname{Dim}(\mathbb{A}_{12}^{\perp}\mid g^{-1} \mathbb{A}_{12}^{\perp}), \end{equation*} \notag $$
основанный на равенстве $g^{-1} \mathbb{A}_{12}^{\perp}=(g \mathbb{A}_{12})^{\perp}$ и на каноническом изоморфизме $\operatorname{Dim}(E_1\mid E_2) \simeq\operatorname{Dim} (E_1^{\perp}\mid E_2^{\perp})$, где $E_1$, $E_2$ – решетки в пространстве $\mathbb{A}_X$. Последний изоморфизм возникает из следующей цепочки изоморфизмов, где $E_3 $ – решетка такая, что $E_3 \subset E_1$, $E_3 \subset E_2$:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{Dim}(E_1\mid E_2) &\simeq\operatorname{Dim}(E_1\mid E_3) \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}(E_3\mid E_2) \simeq \operatorname{Dim}(E_1/E_3)^* \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}(E_2/ E_3) \\ &\simeq \operatorname{Dim}(E_3^{\perp}/E_1^{\perp}) \otimes_{\mathbb Z}\operatorname{Dim}(E_3^{\perp}/ E_2^{\perp})^* \simeq\operatorname{Dim}(E_1^{\perp}\mid E_2^{\perp}); \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
здесь ${}^*$ означает двойственный $\mathbb Z$-торсор и мы использовали канонические изоморфизмы (2.2) и (2.3).

Отметим, что ограниченный на центральную подгруппу $\mathbb Z \subset \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)}$ изоморфизм $\varphi$ – тождественный морфизм в центральную подгруппу $\mathbb Z \subset \widetilde{\mathrm{GL}_1(\mathbb{A}_X)} $.

Выбранный базис $e_0$ пучка $\mathcal E$ в общей точке поверхности $X$ задает вложение пучка $\mathcal E$ в постоянный пучок $k(X)$ на поверхности $X$. Поэтому $\mathcal E=\mathcal O_X(D)$ для некоторого дивизора $D$ на поверхности $X$. Зафиксируем также другие базисы для пучка $\mathcal E$ и, следовательно, матрицы перехода $\alpha_{ij}$ для пучка $\mathcal E$, где $i \ne j $ – элементы из множества $\{ 1,2\}$, как в § 6.

Имеем

$$ \begin{equation*} f_{\mathcal E}=\varphi(f_{\mathcal E})=\varphi(\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}) =\varphi(\widetilde{\alpha_{02}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{21}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{10}}). \end{equation*} \notag $$
Отсюда доказательство теоремы будет следовать из доказательства следующей формулы:
$$ \begin{equation*} \varphi(\widetilde{\alpha_{01}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{12}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{20}})=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} +(\mathcal E, \mathcal E)+(\mathcal E, \mathcal O_X(\omega)), \end{equation*} \notag $$
где используется, что
$$ \begin{equation*} -(\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}})=\widetilde{\alpha_{01}} \cdot \widetilde{\alpha_{12}} \cdot \widetilde{\alpha_{20}}. \end{equation*} \notag $$

Из формулы (6.4) для индекса пересечения обратимых пучков имеем

$$ \begin{equation*} (\mathcal E, \mathcal E)=\langle \widetilde{\alpha_{01}}, \widetilde{\alpha_{02}} \rangle=\widetilde{\alpha_{01}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{20}}. \end{equation*} \notag $$
Поэтому получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}+(\mathcal E, \mathcal E)=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{01}}\cdot\widetilde{\alpha_{02}}\cdot \widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{20}} \\ &\qquad =\widetilde{\alpha_{02}}\cdot (\widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}})\cdot\widetilde{\alpha_{02}}^{-1}=\widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}}\cdot\widetilde{\alpha_{10}} \\ &\qquad =\widetilde{\alpha_{12}}\cdot(\widetilde{\alpha_{21}} \cdot \widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}})\widetilde{\alpha_{12}}^{-1}=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}\cdot\widetilde{\alpha_{21}}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где используется, что сопряжение не меняет результат. Отсюда получаем, что для доказательства теоремы достаточно доказать формулу
$$ \begin{equation*} \varphi(\widetilde{\alpha_{01}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{12}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{20}}) -\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}}=(\mathcal E, \mathcal O_X(\omega)). \end{equation*} \notag $$

Пусть $c=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}} \cdot \widetilde{\alpha_{21}}$. Отсюда следует $ c \cdot \widetilde{\alpha_{12}}=\widetilde{\alpha_{02}} \cdot \widetilde{\alpha_{10}}$. Поэтому из леммы (см. § 7) получаем

$$ \begin{equation*} c=\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(\mathcal E)} -\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(\mathcal E)}. \end{equation*} \notag $$

Теперь вычислим $d=\varphi(\widetilde{\alpha_{01}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{12}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{20}})=\varphi(\widetilde{\alpha_{12}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{20}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{01}}) $. Имеем

$$ \begin{equation} d \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{21}})=\varphi(\widetilde{\alpha_{20}}) \cdot \varphi(\widetilde{\alpha_{01}}). \end{equation} \tag{8.4} $$
Из конструкции изоморфизма $\varphi$ и формул (8.3) имеем
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \varphi (\widetilde{\alpha_{01}})=\varphi ((\alpha_{01}, \nu_{\mathbb{A}_{12}, \alpha_{01} \mathbb{A}_{12}}))=(\alpha_{10}, \nu_{\mathbb{A}_{12}^{\perp}, \alpha_{10} \mathbb{A}_{12}^{\perp}})=(\alpha_{10}, \nu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)}), \\ \varphi (\widetilde{\alpha_{02}})=\varphi ((\alpha_{02}, \mu_{\mathbb{A}_{12}, \alpha_{02} \mathbb{A}_{12}}))=(\alpha_{20}, \mu_{\mathbb{A}_{12}^{\perp}, \alpha_{20} \mathbb{A}_{12}^{\perp}})=(\alpha_{20}, \mu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)}), \\ \varphi(\widetilde{\alpha_{21}})=\varphi((\alpha_{21}, 0))=(\alpha_{12}, 0). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Из этих формул и формулы (8.4), как и при вычислении числа $c$ выше (см. доказательство леммы), получаем
$$ \begin{equation*} d=\nu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)} -\mu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)}. \end{equation*} \notag $$
Теперь имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, d -c &=(\nu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)} - \mu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)})-(\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} -\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)}) \\ &=(\nu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)} - \mu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)})+(\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} -\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} ) \\ &\qquad +(\nu_{\mathbb{A}_{12}(D), \mathbb{A}_{12}(\omega)} -\nu_{\mathbb{A}_{12}(D), \mathbb{A}_{12}(\omega)}) \\ &=(\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} -\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} ) +(\nu_{\mathbb{A}_{12}(D), \mathbb{A}_{12}(\omega)} -\nu_{\mathbb{A}_{12}(D), \mathbb{A}_{12}(\omega)}) \\ &\qquad+(\nu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)} - \mu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)}) \\ &=\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} \otimes \nu_{\mathbb{A}_{12}(D), \mathbb{A}_{12}(\omega)} \otimes \nu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)} \\ &\qquad -\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} \otimes \nu_{\mathbb{A}_{12}(D), \mathbb{A}_{12}(\omega)} \otimes \mu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)} \\ &=\mu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(D)} \otimes \nu_{\mathbb{A}_{12}(D), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)} -\nu_{\mathbb{A}_{12}, \mathbb{A}_{12}(\omega)} \otimes \mu_{\mathbb{A}_{12}((\omega)), \mathbb{A}_{12}((\omega)+D)}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда и из предложения 2 получаем, что $d -c=(D, (\omega))$.

Список литературы

1. А. А. Бейлинсон, “Вычеты и адели”, Функц. анализ и его прил., 14:1 (1980), 44–45  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Beilinson, “Residues and adeles”, Funct. Anal. Appl., 14:1 (1980), 34–35  crossref
2. A. A. Beilinson, V. V. Schechtman, “Determinant bundles and Virasoro algebras”, Comm. Math. Phys., 118:4 (1988), 651–701  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
3. J.-L. Brylinski, P. Deligne, “Central extensions of reductive groups by $\mathrm K_2$”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., 94 (2001), 5–85  crossref  mathscinet  zmath
4. B. L. Feigin, B. L. Tsygan, “Riemann–Roch theorem and Lie algebra cohomology. I”, Proceedings of the Winter school on geometry and physics (Srní, 1988), Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl., 21, Circ. Mat. Palermo, Palermo, 1989, 15–52  mathscinet  zmath
5. A. Huber, “On the Parshin–Beilinson adeles for schemes”, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 61 (1991), 249–273  crossref  mathscinet  zmath
6. В. Г. Кац, Бесконечномерные алгебры Ли, Мир, М., 1993, 426 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: V. G. Kac, Infinite dimensional Lie algebras, 3rd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990, xxii+400 с.  crossref  mathscinet  zmath
7. M. Kapranov, Semiinfinite symmetric powers, arXiv: math/0107089
8. D. V. Osipov, “$n$-dimensional local fields and adeles on $n$-dimensional schemes”, Surveys in contemporary mathematics, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 347, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2008, 131–164  crossref  mathscinet  zmath
9. D. Osipov, “Adeles on $n$-dimensional schemes and categories $C_n$”, Internat. J. Math., 18:3 (2007), 269–279  crossref  mathscinet  zmath
10. Д. В. Осипов, “Неразветвленное двумерное соответствие Ленглендса”, Изв. РАН. Cер. матем., 77:4 (2013), 73–102  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. V. Osipov, “The unramified two-dimensional Langlands correspondence”, Izv. Math., 77:4 (2013), 714–741  crossref  adsnasa
11. D. V. Osipov, “Second Chern numbers of vector bundles and higher adeles”, Bull. Korean Math. Soc., 54:5 (2017), 1699–1718  crossref  mathscinet  zmath
12. Д. В. Осипов, А. Н. Паршин, “Гармонический анализ на локальных полях и пространствах аделей. I”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:5 (2008), 77–140  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. V. Osipov, A. N. Parshin, “Harmonic analysis on local fields and adelic spaces. I”, Izv. Math., 72:5 (2008), 915–976  crossref  adsnasa
13. Д. В. Осипов, А. Н. Паршин, “Гармонический анализ и теорема Римана–Роха”, Докл. РАН, 441:4 (2011), 444–448  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. V. Osipov, A. N. Parshin, “Harmonic analysis and the Riemann–Roch theorem”, Dokl. Math., 84:3 (2011), 826–829  crossref
14. А. Н. Паршин, “К арифметике двумерных схем. I. Распределения и вычеты”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:4 (1976), 736–773  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. N. Paršin, “On the arithmetic of two-dimensional schemes. I. Distributions and residues”, Math. USSR-Izv., 10:4 (1976), 695–729  crossref
15. A. N. Parshin, “Chern classes, adeles and $L$-functions”, J. Reine Angew. Math., 1983:341 (1983), 174–192  crossref  mathscinet  zmath
16. A. N. Parshin, “Representations of higher adelic groups and arithmetic”, Proceedings of the international congress of mathematicians (Hyderabad, 2010), v. 1, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2010, 362–392  mathscinet  zmath
17. V. V. Schechtman, “Riemann–Roch theorem after D. Toledo and Y.-L. Tong”, Proceedings of the Winter School on Geometry and Physics, Srní, 1988, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl., 21, Circ. Mat. Palermo, Palermo, 1989, 53–81  mathscinet  zmath
18. Ж. Серр, Алгебраические группы и поля классов, Мир, М., 1968, 285 с.  zmath; пер. с фр.: J.-P. Serre, Groupes algébriques et corps de classes, Publ. Inst. Math. Univ. Nancago, VII, Hermann, Paris, 1959, 202 pp.  mathscinet  zmath
19. K. I. Tahara, “On the second cohomology groups of semidirect products”, Math. Z., 129 (1972), 365–379  crossref  mathscinet  zmath
20. J. Tate, “Residues of differentials on curves”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 1:1 (1968), 149–159  crossref  mathscinet  zmath
21. A. Yekutieli, An explicit construction of the Grothendieck residue complex, With an appendix by P. Sastry, Astérisque, 208, Soc. Math. France, Paris, 1992, 127 pp.  mathscinet  zmath

Образец цитирования: Д. В. Осипов, “Центральные расширения и теорема Римана–Роха на алгебраических поверхностях”, Матем. сб., 213:5 (2022), 101–125; D. V. Osipov, “Central extensions and the Riemann-Roch theorem on algebraic surfaces”, Sb. Math., 213:5 (2022), 671–693
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Osi22}
\by Д.~В.~Осипов
\paper Центральные расширения и теорема Римана--Роха на алгебраических поверхностях
\jour Матем. сб.
\yr 2022
\vol 213
\issue 5
\pages 101--125
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9623}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9623}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461449}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1520.14038}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022SbMat.213..671O}
\transl
\by D.~V.~Osipov
\paper Central extensions and the Riemann-Roch theorem on algebraic surfaces
\jour Sb. Math.
\yr 2022
\vol 213
\issue 5
\pages 671--693
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9623}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992262800006}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165673141}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9623
  • https://doi.org/10.4213/sm9623
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v213/i5/p101
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:576
    PDF русской версии:51
    PDF английской версии:45
    HTML русской версии:191
    HTML английской версии:156
    Список литературы:36
    Первая страница:14
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024