Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2022, том 213, номер 12, страницы 109–136
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9677
(Mi sm9677)
 

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Феномен продолжения Гартогса в почти однородных алгебраических многообразиях

С. В. Феклистов

Сибирский федеральный университет, г. Красноярск
Список литературы:
Аннотация: Изучается феномен продолжения Гартогса в некомпактных почти однородных алгебраических многообразиях и доказываются когомологический и весовой критерии. В случае сферических многообразий получен критерий феномена Гартогса в терминах цветных вееров.
Библиография: 28 названий.
Ключевые слова: феномен Гартогса, голоморфное продолжение, почти однородное алгебраическое многообразие, сферическое многообразие.
Финансовая поддержка Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 075-02-2022-876
Работа выполнена в Красноярском математическом центре при финансовой поддержке Минобрнауки России (соглашение № 075-02-2022-876).
Поступила в редакцию: 28.09.2021 и 07.06.2022
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 12, Pages 1715–1739
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9677e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: Primary 32M12, 32D20; Secondary 14M27, 20G05

§ 1. Введение

В классической теореме Гартогса утверждается, что для каждой области $W\subset\mathbb C^{n}$, $n>1$, и каждого компакта $K\subset W$ таких, что $W\setminus K$ связно, гомоморфизм ограничения

$$ \begin{equation*} H^{0}(W,\mathcal{O})\to H^{0}(W\setminus K, \mathcal{O}) \end{equation*} \notag $$
является изоморфизмом.

Возникает естественный вопрос: верно ли аналогичное утверждение для комплексных аналитических пространств?

Определение 1. Будем говорить, что некомпактное связное комплексное аналитическое пространство $X$ допускает феномен Гартогса, если для каждой области $W\subset X$ и каждого компакта $K\subset W$ таких, что $W\setminus K$ связно, гомоморфизм ограничения

$$ \begin{equation*} H^{0}(W,\mathcal{O})\to H^{0}(W\setminus K, \mathcal{O}) \end{equation*} \notag $$
является изоморфизмом.

В этой или похожих формулировках данный феномен интенсивно изучался в различных ситуациях, включая многообразия Штейна, $(n-1)$-полные нормальные комплексные многообразия и т.д., см. [2]–[6], [10], [11], [16], [20], [22], [26], [27].

Целью настоящей работы является изучение феномена Гартогса в почти однородных алгебраических многообразиях. Пусть $X$ – комплексное аналитическое многообразие (т.е. приведенное, неприводимое комплексное аналитическое пространство) и $G$ – связная комплексная группа Ли, действующая голоморфно на $X$. В этом случае $X$ называется комплексным аналитическим $G$-многообразием. Комплексное аналитическое $G$-многообразие $X$ называется почти однородным, если $X$ имеет открытую $G$-орбиту $\Omega$, см. [1].

К примеру, торические многообразия, орисферические многообразия, многообразия флагов (и вообще сферические многообразия) являются почти однородными алгебраическими многообразиями. В контексте торических многообразий феномен Гартогса был изучен в [12], [18], [19].

Мы будем следовать подходу, восходящему к работе Серра [23]. Получен результат о занулении когомологий для некоторого класса комплексных аналитических многообразий.

Теорема 1. Пусть $X$ – некомпактное комплексное аналитическое многообразие, удовлетворяющее следующим свойствам:

1) $X$ допускает открытое вложение (не обязательно с плотным образом) $X\hookrightarrow X'$ в некоторое комплексное аналитическое многообразие $X'$ с $H^{1}(X',\mathcal{O})=0$;

2) $X$ допускает компактное исчерпание $\{V_n\}$ со связными дополнениями $X\setminus V_n$.

Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})=0$.

Теорема 1 применяется к нормальным некомпактным комплексным аналитическим многообразиям, которые обладают некоторыми свойствами, связанными с их компактификациями. Введем следующее определение.

Определение 2. Некомпактное комплексное аналитическое многообразие $X$ называется $(b,\sigma)$-компактифицируемым, если оно допускает компактификацию $X'$ со следующими свойствами:

1) $X'$ является компактным комплексным аналитическим многообразием;

2) $X'\setminus X$ является собственным аналитическим подмножеством и имеет $b$ связных компонент;

3) $\dim_{\mathbb C} H^{1}(X',\mathcal{O})=\sigma$.

Если $X$ – нормальное (соответственно алгебраическое), тогда требуется чтобы $X'$ также было нормальным (соответственно алгебраическим). Если $X$ – $G$-многообразие, тогда требуется чтобы $X'$ также было $G$-многообразием и компактифицирующее отображение было $G$-эквивариантным.

Отметим, что число $\sigma$ называется иррегулярностью $X'$ (см. [15] в контексте проективных поверхностей). Число $b$ связано с числом $e(X)$ топологических концов $X$ (см. [21] о топологических концах и [27] о связи с феноменом Гартогса). А именно, $b\leqslant e(X)$.

В настоящей статье рассматривается случай $b=1$ и $\sigma=0$. Это означает, что $X'\setminus X$ является связным и $H^{1}(X',\mathcal{O})=0$.

Для $(1,0)$-компактифицируемого комплексного аналитического многообразия $X$ существует канонический изоморфизм

$$ \begin{equation*} H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})=H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})/\mathbb C, \end{equation*} \notag $$
где $Z=X'\setminus X$ и $i\colon Z\hookrightarrow X'$ – замкнутое вложение.

Теперь пусть $X$ – нормальное $(1,0)$-компактифицируемое почти однородное алгебраическое $G$-многообразие, где $G$ действует алгебраически на $X$, пусть $X'$ – соответствующая компактификация $X$.

Обозначим через $\mathcal{G}(X')$ множество $G$-стабильных простых дивизоров на $X'$ и определим

$$ \begin{equation*} Y:=X'\setminus \bigcup_{D\in\mathcal{G}(X'),D\subset X} D. \end{equation*} \notag $$

Отметим, что множество $\{D\in\mathcal{G}(X')\mid D\subset X\}$ может оказаться пустым.

Пусть $G$ – связная комплексная редуктивная группа Ли, $B\subset G$ – борелевская подгруппа, $T\subset B$ – максимальный алгебраический тор с решеткой характеров $\mathfrak X(T)$, решеткой однопараметрических подгрупп $\mathfrak X^{*}(T):=\operatorname{Hom}(\mathfrak X(T),\mathbb{Z})$ и множеством доминантных характеров $\mathfrak X_{+}(T)$.

В предложении 2 доказывается, что алгебра регулярных функций $\mathbb C[Y]$ является плотным подпространством топологического векторного пространства $H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})$ (с топологией прямого предела). Отсюда следует, что $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})\,{=}\,0$ тогда и только тогда, когда $\mathbb C[Y]=\mathbb{C}$.

Так как $G$ действует алгебраически на $Y$, $\mathbb C[Y]$ является представлением группы $G$. Определим весовой моноид многообразия $Y$ следующим образом:

$$ \begin{equation*} \Lambda_{+}(Y):=\bigl\{\lambda\in \mathfrak X_{+}(T)\mid \mathbb C[Y]_{\lambda}^{(B)}\neq 0\bigr\}, \end{equation*} \notag $$
где $\mathbb C[Y]_{\lambda}^{(B)}:=\bigl\{f\in\mathbb C[Y]\mid \exists\,\lambda\in\mathfrak X(T)\colon b.f=\lambda(b)f\ \forall\, b\in B\bigr\}$.

Получаем следующий весовой критерий.

Теорема 2. Пусть $G$ – связная комплексная редуктивная группа Ли, $X$ – нормальное $(1,0)$-компактифицируемое почти однородное алгебраическое $G$-многообразие. Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $\Lambda_{+}(Y)=0$, и $\mathbb C[Y]^{B}=\mathbb C$.

В настоящей статье рассматриваются так называемые сферические $G$-многообразия. Они являются почти однородными алгебраическими $G$-многообразиями, где $G$ – комплексная редуктивная группа, причем борелевская подгруппа $B\subset G$ действует на $X$ с открытой орбитой.

Пусть $X$ – сферическое $G$-многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$. Определим весовую решетку следующим образом:

$$ \begin{equation*} M:=\bigl\{\lambda\in \mathfrak X(T)\mid \mathbb C(\Omega)^{(B)}_{\lambda}\neq0\bigr\}. \end{equation*} \notag $$
Заметим, что $M$ является подрешеткой в решетке характеров $\mathfrak X(T)$. Пусть $M_{\mathbb R}:=M\otimes\mathbb R$. Обозначим через $\mathcal{B}(Y)$ множество всех $B$-стабильных простых дивизоров на $Y$.

Каждый $B$-стабильный дивизор $D\in \mathcal{B}(Y)$ определяет дискретное нормирование

$$ \begin{equation*} v_{D}\colon \mathbb C(\Omega)\setminus\{0\}\to \mathbb{Z}. \end{equation*} \notag $$
Напомним, что $v_{D}(f)$ – порядок нулей или полюсов $f$ на $D$. В свою очередь, нормирование $v_{D}$ определяет точку в двойственной весовой решетке $a_{D}\in N:=\operatorname{Hom}(M,\mathbb{Z})$ по формуле $\langle a_{D},\lambda\rangle:=v_{D}(f)$ для $f\in \mathbb C(\Omega)^{(B)}_{\lambda}$.

Определим следующий конус в пространстве $N_{\mathbb R}$:

$$ \begin{equation*} C:=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(Y)\bigr\rangle. \end{equation*} \notag $$

Получаем следующий выпукло-геометрический критерий феномена Гартогса.

Следствие 1. Пусть $X$ – $(1,0)$-компактифицируемое сферическое многообразие. Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $C=N_{\mathbb R}$.

Заметим, что данный критерий может также быть сформулирован в терминах цветных вееров. Вкратце, каждое сферическое многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$ кодируется цветным веером – набором строго выпуклых конусов в вещественном векторном пространстве с общей вершиной, которые могут пересекаться только вдоль общих граней. Подробнее см. § 6 ниже или [13], [28].

Пусть $X_{\Sigma}$ – сферическое многообразие с цветным веером $\Sigma$. Через $|\Sigma|$ обозначим носитель цветного веера $\Sigma$, через $\overline{N_{\mathbb R}\setminus |\Sigma|}$ обозначим замыкание множества $N_{\mathbb R}\setminus |\Sigma|$ в $N_{\mathbb R}$.

Пусть $\mathcal{V}(\Omega)$ – конечно порожденный выпуклый рациональный конус в $N_{\mathbb{Q}}=N\otimes\mathbb{Q}$ всех $G$-инвариантных нормирований (см. [13; § 4, 10] или § 6), а через $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)$ обозначим конус порожденный множеством $\mathcal{V}(\Omega)$ в $N_{\mathbb{R}}$. Пусть $\mathcal{B}(\Omega)$ – множество всех простых $B$-стабильных дивизоров на $\Omega$.

Заметим, что некомпактное сферическое многообразие $X_{\Sigma}$ является $(1,0)$-компактифицируемым тогда и только тогда, когда $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|$ – связное множество (см. лемму 4). Получаем следующий основной результат.

Теорема 3. Пусть $X_{\Sigma}$ – некомпактное сферическое $G$-многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$ и с цветным веером $\Sigma$ таким, что $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|$ является связным множеством. Тогда $X_{\Sigma}$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда

$$ \begin{equation*} \mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}\cup \{a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(\Omega)\}\bigr\rangle=N_\mathbb{R}. \end{equation*} \notag $$

В частности, пусть $X_{\Sigma}$ – некомпактное орисферическое многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$. Пусть $U$ – унипотентный радикал борелевской подгруппы $B$, $S$ – множество простых корней относительно $B$ и $S^{\vee}$ – множество двойственных простых корней. Пусть $H$ – стабилизатор некоторой точки $o\in\Omega$, причем $H\supset U^{-}$. Рассмотрим параболическую подгруппу $P\supset B$ такую, что $P^{-}=N_{G}(H)$. Напомним, что параболические подгруппы, содержащие фиксированную борелевскую подгруппу $B$, параметризуются подмножествами простых корней $I\subset S$. Пусть $I$ – подмножество $S$, соответствующее параболической подгруппе $P$.

Инъективное отображение $\iota\colon M_\mathbb R\hookrightarrow \mathfrak X(T)\otimes\mathbb R$ индуцирует сюръективное отображение

$$ \begin{equation*} \iota^{*}\colon \mathfrak X^{*}(T)\otimes\mathbb R\twoheadrightarrow N_{\mathbb R}:=N\otimes\mathbb R. \end{equation*} \notag $$

Получаем следующее

Следствие 2. Пусть $X_{\Sigma}$ – некомпактное орисферическое $G$-многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$ и с цветным веером $\Sigma$ таким, что $N_{\mathbb{R}}\setminus |\Sigma|$ является связным множеством. Тогда $X_{\Sigma}$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда

$$ \begin{equation*} \mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle\overline{N_{\mathbb{R}}\setminus |\Sigma|}\cup \iota^{*}((S\setminus I)^{\vee})\bigr\rangle=N_\mathbb{R}, \end{equation*} \notag $$
где $(S\setminus I)^{\vee}=\{\alpha^{\vee}\mid\alpha\in S\setminus I\}$.

§ 2. Когомологический критерий феномена Гартогса

В настоящей работе рассматриваются только приведенные, неприводимые комплексные аналитические пространства (т.е. комплексные аналитические многообразия).

Ж.-П. Серр доказал, что неособые многообразия Штейна допускают феномен Гартогса, используя тривиальность группы когомологий с компактными носителями $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})$, где $\mathcal{O}$ – пучок голоморфных функций (см. [23]). Подробнее о группах когомологий с компактными носителями пучков см. в [6].

В настоящей работе рассматривается некоторый класс комплексных аналитических многообразий, для которого условие тривиальности группы $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})$ является необходимым и достаточным для феномена Гартогса.

Теорема 4. Пусть $X$ – некомпактное комплексно аналитическое многообразие, удовлетворяющее следующим свойствам:

1) $X$ допускает открытое вложение (не обязательно с плотным образом) $X\hookrightarrow X'$ в некоторое комплексное аналитическое многообразие $X'$ с $H^{1}(X',\mathcal{O})\,{=}\,0$;

2) $X$ допускает компактное исчерпание $\{V_n\}$ со связными дополнениями $X\setminus V_n$.

Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})=0$.

Доказательство. Во-первых, предположим $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})=0$. Пусть $W\,{\subset}\, X$ – область и $K\subset W$ – компакт, причем $W\setminus K$ – связно. Отметим, так как $X$, $W$, $W\setminus K$ – связные множества, то $X\setminus K$ также является связным.

Понадобится следующая лемма.

Лемма 1. Пусть $K\subset X$ – компактное множество такое, что $X\setminus K$ связно. Если $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})=0$, то гомоморфизм ограничения $H^{0}(X,\mathcal{O})\,{\to}\, H^{0}(X\setminus K,\mathcal{O})$ является изоморфизмом.

Доказательство. Рассмотрим следующую точную последовательность групп когомологий (см. [6]):
$$ \begin{equation*} 0 \to H^{0}_{K}(X,\mathcal{O}) \to H^{0}(X,\mathcal{O}) \xrightarrow{R_{K}} H^{0}(X\setminus K,\mathcal{O}) \xrightarrow{F_{K}} H^{1}_{K}(X,\mathcal{O}) \to \cdots. \end{equation*} \notag $$

Очевидно, $H^{0}_{K}(X,\mathcal{O})=0$. Таким образом, гомоморфизм ограничения $R_{K}$ инъективен.

Напомним, что если $S,T\subset X$ – компактные множества и $S\subset T$, тогда существует канонический гомоморфизм $\phi_{ST}\colon H^{1}_{S}(X,\mathcal{O})\to H^{1}_{T}(X,\mathcal{O})$. Более того, существует канонический изоморфизм (см. [6])

$$ \begin{equation*} \varinjlim_{S} H^{1}_{S}(X,\mathcal{O})\cong H^{1}_{c}(X,\mathcal{O}), \end{equation*} \notag $$
где индуктивный предел взят по семейству всех компактных подмножеств $S$ в $X$ (или по кофинальной части этого семейства).

Для $f\in H^{0}(X\setminus K,\mathcal{O})$ рассмотрим $ F_{K}(f)\in H^{1}_{K}(X,\mathcal{O})$. Так как $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})= 0$, существует компакт $K'\subset X$ такой, что $K\subset K'$ и $\phi_{KK'}(F_{K}(f))\,{=}\,0$.

Следующая диаграмма является коммутативной:

Откуда следует, что $F_{K'}(f|_{X\setminus K'})\,{=}\,0$. Таким образом, существует $g\,{\in} H^{0}(X,\mathcal{O})$ такое, что $g|_{X\setminus K'}=f|_{X\setminus K'}$. Напомним, что $X\setminus K$ является связным множеством. Используя теорему единственности, получаем $g|_{X\setminus K}\,{=}\,R_{K}(g)\,{=}\,f$. Лемма доказана.

Далее, имеем следующую коммутативную диаграмму для четверки подмножеств $K\subset W\subset X\subset X'$:

Из леммы 1 следует, что гомоморфизм ограничения $R_2$ является изоморфизмом. Так как $X\cap (X'\setminus K)=X\setminus K$, то $R_{1}$ является изоморфизмом.

Так как $H^{1}(X',\mathcal{O})=0$, то $H^{1}_{K}(X',\mathcal{O})=0$. Используя свойство вырезания (см. [6]), получаем, что $H_{1}$ и $H_{2}$ являются каноническими изоморфизмами. Поэтому $H^{1}_{K}(W,\mathcal{O})=0$, и гомоморфизм ограничения $R_{3}$ является изоморфизмом.

Теперь предположим, что $X$ допускает феномен Гартогса. В частности, гомоморфизм ограничения $H^{0}(X,\mathcal{O})\to H^{0}(X\setminus V_{n},\mathcal{O})$ является изоморфизмом, где $\{V_{n}\}$ – компактное исчерпание $X$ со связным дополнением $X\setminus V_n$ для каждого $n$.

Имеем следующую коммутативную диаграмму для тройки подмножеств $V_{n}\subset X\subset X'$:

Так как $R_{2}$ является изоморфизмом, то $R_1$ также изоморфизм. Так как $H^{1}(X',\mathcal{O})=0$, то $H^{1}_{V_{n}}(X,\mathcal{O})\cong H^{1}_{V_{n}}(X',\mathcal{O})=0$. По предположению $\{V_{n}\}$ – компактное исчерпание $X$. Следовательно, $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})\cong \varinjlim_{n} H^{1}_{V_n}(X,\mathcal{O})=0$. Теорема 4 доказана.

Пусть $X$ – нормальное $(1,0)$-компактифицируемое комплексное аналитическое многообразие, $X'$ – соответствующая компактификация $X$, и пусть $Z:=X'\setminus X$. Получаем

Следствие 3. Нормальное $(1,0)$-компактифицируемое комплексное аналитическое многообразие допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда

$$ \begin{equation*} H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})=\mathbb C, \end{equation*} \notag $$
где $i\colon Z\hookrightarrow X'$ – замкнутое вложение.

Доказательство. Во-первых, имеем следующую точную последовательность (см. [7; гл. II, § 10.3]):
$$ \begin{equation*} 0 \to H^{0}_{c}(X,\mathcal{O}) \to H^{0}(X',\mathcal{O}) \to H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O}) \to H^{1}_{c}(X,\mathcal{O}) \to H^{1}(X',\mathcal{O}) \to \cdots. \end{equation*} \notag $$

Так как $H^{0}_{c}(X,\mathcal{O})=0$, $H^{0}(X',\mathcal{O})=\mathbb C$ и $H^{1}(X',\mathcal{O})=0$, то

$$ \begin{equation*} H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})\cong H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})/\mathbb C. \end{equation*} \notag $$

Пусть $U\subset X'$ – связная открытая окрестность $X$. Так как $U$ является также нормальным пространством, $Z$ – тонкое множество в $U$, то из критерия связности [14; утверждение 13.8] получаем, что $U\setminus Z$ является связным множеством. Таким образом, множество $V=X'\setminus U$ компактно в $X$ и дополнение $X\setminus V$ связно.

Последовательность убывающих связных окрестностей $\{U_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ множества $Z$ со свойствами $\overline{U_{n+1}}\subset U_{n}$ и $\bigcap_{n}U_{n}=Z$ индуцирует последовательность компактных множеств $\{V_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ в $X$, которая является исчерпанием $X$, причем $X\setminus V_{n}$ связно.

Существование упомянутой выше последовательности $\{U_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ следует из метризуемости $X'$. Действительно, пусть $\rho$ – метрика, согласованная с топологией $X'$. Определим открытые множества следующим образом:

$$ \begin{equation*} U_{n}:=\biggl\{x\in X'\biggm| \inf_{z\in X'\setminus X}\rho(z,x)<\frac{1}{n}\biggr\}, \qquad n=1,2,\dots\,. \end{equation*} \notag $$

Последовательность $\{U_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ удовлетворяет свойствам $\overline{U_{n+1}}{\kern1pt}{\subset}{\kern1pt} U_{n}$ и $\bigcap_{n}\!U_{n}{\kern1pt}{=}{\kern1pt}Z$. Следствие доказано.

К примеру, пусть $X$ – нормальное некомпактное алгебраическое $G$-многообразие и $G$ – комплексная линейная алгебраическая группа, действующая алгебраически на $X$. Из результата Сумихиро [25; теорема 3] следует, что существует $G$-эквивариантная компактификация $X'$ многообразия $X$ (т.е. $X$ вкладывается как открытое подмножество в некоторое нормальное компактное алгебраическое многообразие $X'$ c заданным на нем алгебраическим действием группы $G$, которое продолжает алгебраическое действие группы $G$ на $X$).

Предположим, помимо нормальности и алгебраичности, что $G$-многообразие $X$ является $(b, 0)$-компактифицируемым с $b \geqslant 1$. Если $b>1$, то аналитическое множество $Z=X'\setminus X$ несвязно. Однако существует $G$-инвариантное открытое по Зарисскому подмногообразие $X''\subset X'$ такое, что $X\subset X''$ и $X'\setminus X''$ связно (т.е. $X''$ является $(1,0)$-компактифицируемым). В этом случае, если $X''$ допускает феномен Гартогса, то $X$ тоже.

§ 3. Почти однородные $G$-многообразия

Пусть $X$ – комплексное аналитическое многообразие (т.е. приведенное, неприводимое комплексное аналитическое пространство) и $G$ – связная комплексная группа Ли, голоморфно действующая на $X$. В этом случае $X$ называется комплексным аналитическом $G$-многообразием.

Определение 3. Комплексное аналитическое $G$-многообразие $X$ называется почти однородным, если $X$ содержит открытую $G$-орбиту $\Omega$.

Заметим, что открытая $G$-орбита $\Omega$ в почти однородном комплексном аналитическом $G$-многообразии $X$ является единственной и связной, кроме того $E:=X\setminus \Omega$ является собственным аналитическим подмножеством (см. [1; § 1.7, предложение 4]).

Основным объектом настоящей работы являются нормальные $(1,0)$-компактифицируемые почти однородные комплексные алгебраические $G$-многообразия (см. определение 2), где $G$ – редуктивная комплексная группа Ли.

Напомним, что связная комплексная группа Ли $G$ называется редуктивной, если $G$ имеет компактную вещественную форму $K$ (т.е. $K$ является компактной вещественной подгруппой Ли группы $G$ и $\operatorname{Lie}(K)\otimes\mathbb C=\operatorname{Lie}(G)$).

Данное определение тесно связано с соответствующим определением для связных линейных алгебраических групп. Напомним, что связная линейная алгебраическая группа называется редуктивной, если ее унипотентный радикал тривиален. Связная редуктивная линейная алгебраическая группа над полем $\mathbb C$ является редуктивной в смысле первого определения. Обратно, каждая связная редуктивная комплексная группа Ли $G$ допускает единственную структуру редуктивной линейной алгебраической группы. Таким образом, можно рассматривать подалгебру регулярных функций $\mathbb C[G]$ в алгебре голоморфных функций $H^{0}(G,\mathcal{O})$.

Из следствия 3 видим, что необходимо изучить пространство $H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})$. В случае, когда $G$ является редуктивной группой Ли, применяется теорема Хариш-Чандры (см. § 4).

Завершим этот параграф доказательством предложения о существовании системы окрестностей множества $Z:=X'\setminus X$ с некоторыми хорошими свойствами.

Напомним, что $H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})=\varinjlim_{U\supset Z}H^{0}(U,\mathcal{O})$, но индуктивный предел можно брать по кофинальной системе окрестностей множества $Z$.

Пусть $X$ – произвольное комплексное аналитическое многообразие, $K$ – компактная группа Ли, действующая голоморфно на $X$, и $Z$ – связное компактное $K$-инвариантное аналитическое множество в $X$.

Предложение 1. Существует такая кофинальная система окрестностей $\{U_{n}\}_{n=1}^\infty$ множества $Z$, что каждое $U_{n}$ является $K$-инвариантным открытым множеством.

Доказательство. Заметим, что $X$ метризуемо. Пусть $\rho$ – метрика, согласованная с топологией $X$. Пусть $\mu$ – мера Хаара на компактной группе Ли $K$. Определим
$$ \begin{equation*} \rho_{K}(x,y):=\int_{K} \rho(k.x,k.y)\,d\mu(k). \end{equation*} \notag $$
Очевидно, $\rho_K$ является метрикой. Так как $\mu$ лево-право-инвариантна, то
$$ \begin{equation*} \rho_{K}(s.x,s.y)=\int_{K} \rho((ks).x,(ks).y)\,d\mu(k) =\int_{K} \rho(k.x,k.y)\,d\mu(k)=\rho_{K}(x,y). \end{equation*} \notag $$

Пусть $U$ – относительно компактная окрестность множества $Z$. Так как $\rho(k.x,k.y)$ есть непрерывная функция на компакте $K\times\overline{U}\times\overline{U}$, то $\rho_{K}(x,y)$ непрерывна на $U\times U$ относительно изначальной топологии на $X$.

Отметим, что функция расстояния $\operatorname{dist} (x, Z):=\inf_{z\in Z}\rho_{K}(x,z)$ является непрерывной функций на $U$.

Пусть $U_{n}:=\bigl\{x\in U\mid \operatorname{dist} (x, Z)<{1}/{n}\bigr\}$, $n\in \mathbb{N}$. Это открытая окрестность множества $Z$ относительно изначальной топологии на $X$. Далее, для всех $x\in U_{n}$ и для всех $k\in K$ имеем

$$ \begin{equation*} \inf_{z\in Z}\rho_{K}(k.x,z)=\inf_{z\in Z}\rho_{K}(x,k^{-1}.z)=\inf_{z\in Z}\rho_{K}(x,z)<\frac{1}{n}. \end{equation*} \notag $$

Из этого следует, что $U_n$ является $K$-инвариантной окрестностью $Z$. Теперь пусть $V$ – произвольная окрестность $Z$. Так как существует $n$ такое, что ${1}/{n}<\inf_{z\in Z,\,x\in X\setminus V}\rho_{K}(x,z)$, то $U_{n}\subset V$. Предложение 1 доказано.

Следовательно, $H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})=\varinjlim_{U_n}H^{0}(U_n,\mathcal{O})$, где индуктивный предел взят по системе окрестностей $\{U_n\}_{n=1}^\infty$ множества $Z$, причем $U_{n}$ являются $K$-инвариантными.

§ 4. Теорема Хариш-Чандры и ее приложения

Вначале напомним необходимые сведения из теории представлений компактных групп Ли (см. [1], [24]).

Пусть $F$ – пространство Фреше над полем $\mathbb C$, пусть $K$ – компактная группа Ли и

$$ \begin{equation*} \rho\colon K\to \operatorname{Aut}(F) \end{equation*} \notag $$
– непрерывное представление (т.е. $\rho$ – гомоморфизм из $K$ в группу обратимых непрерывных линейных операторов пространства $F$, причем отображение $K\,{\to}\, F$, $k\mapsto \rho(k)f$ непрерывно для каждого $f\in F$).

Определим следующие $K$-инвариантные подпространства в $F$.

Определение 4. Подпространство $K$-конечных векторов

$$ \begin{equation*} F^{0}:=\bigl\{f\in F\mid \dim \operatorname{span}\langle\rho(k)f\mid k\in K\rangle<\infty\bigr\}. \end{equation*} \notag $$

Подпространство $K$-дифференцируемых векторов

$$ \begin{equation*} F^{\infty}:=\bigl\{f\in F\mid K\to F, \,k\mapsto \rho(k)f \text{ дифференцируемо}\bigr\}. \end{equation*} \notag $$

Пусть $\widehat{K}$ – множество всех классов эквивалентности конечномерных неприводимых линейных представлений группы $K$. Каждому $\delta\in \widehat{K}$ соответствует непрерывный линейный оператор

$$ \begin{equation*} E_{\delta}\colon F\to F, \qquad E_{\delta}(f):=\int_{K}\overline{\chi_{\delta}(k)}\rho(k)f\,d\mu(k), \end{equation*} \notag $$
где $\chi_{\delta}$ – характер представления из класса $\delta$.

Имеют место следующие свойства операторов $E_{\delta}$ (см. [1; § 5.1, теорема 3]):

1) каждый $E_{\delta}$ является непрерывным проектором;

2) $E_{\delta}E_{\delta'}=0$, если $\delta\neq\delta'$;

3) $\rho(k)E_{\delta}=E_{\delta}\rho(k)$ для $k\in K$.

Пусть $F_{\delta}:=E_{\delta}(F)$. Отметим, что для каждого $\delta\in\widehat{K}$ множество $F_{\delta}$ является замкнутым $K$-инвариантным подпространством $F$ и $F^{0}=\bigoplus_{\delta\in\widehat{K}}F_{\delta}$. Более того, $F_{\delta}$ является изотипной компонентой $F$ типа $\delta$ (т.е. $F_{\delta}$ состоит из таких векторов $F$, чья орбита содержится в конечномерном $K$-подмодуле изоморфном $mV_{\delta}$; см. [1; § 5.1, теорема 4]).

Для каждого дифференцируемого вектора имеется представление в виде ряда; данный ряд сходится абсолютно относительно каждой непрерывной полунормы в $F$. Это так называемая теорема Хариш-Чандры, см. [1; § 5.1, теорема 5].

Теорема 5. Для каждого вектора $f\in F^{\infty}$ имеет место

$$ \begin{equation*} f=\sum_{\delta\in\widehat{K}} E_{\delta}f, \end{equation*} \notag $$
где сходимость является абсолютной относительно каждой непрерывной полунормы в $F$.

Пусть $X$ – комплексное аналитическое $K$-многообразие и $K$ – связная компактная группа Ли, действующая голоморфно на $X$. Тогда имеем линейное представление $K$ в пространстве Фреше $F=H^{0}(X,\mathcal{O})$. В этом случае $F=F^{\infty}$, см. [1; § 5.2, предложение].

Пусть $G$ – связная редуктивная группа Ли с вещественной компактной формой $K$. Пусть $\Omega$ – комплексное алгебраическое однородное $G$-многообразие и $\mathbb C[\Omega]$ – алгебра регулярных функций на $\Omega$. Пусть $W\subset \Omega$ – $K$-инвариантная область.

Предложение 2. Для каждого $f\in H^{0}(W,\mathcal{O})$ имеет место

$$ \begin{equation*} f=\sum_{\delta\in\widehat{K}}E_{\delta}f, \end{equation*} \notag $$
где сходимость является абсолютной относительно каждой непрерывной полунормы в $H^{0}(W,\mathcal{O})$, причем $E_{\delta}f\in \mathbb C[\Omega]$.

Доказательство см. [1; § 5.3, теорема 2].

Другими словами, алгебра $\mathbb C[\Omega]$ всюду плотна в $H^{0}(W,\mathcal{O})$.

Пусть $G$ и $K$, как выше, $X$ – нормальное $(1,0)$-компактифицируемое почти однородное комплесное алгебраическое $G$-многообразие. Пусть $X'$ – соответствующая $G$-эквивариантная компактификация $X$ и $Z:=X'\setminus X$. Обозначим через $\mathcal{G}(X')$ множество $G$-стабильных простых дивизоров на $X'$, пусть

$$ \begin{equation*} Y:=X'\setminus \bigcup_{D\in\mathcal{G}(X'),\,D\subset X} D. \end{equation*} \notag $$

Множество $Y$ является открытым по Зарисскому алгебраическим подмногообразием в $X'$, которое является нормальным почти однородным комплексным алгебраическим $G$-многообразием. Обозначим через $\mathbb C[Y]$ алгебру регулярных функций на $Y$.

Отметим, что $\{D\in\mathcal{G}(X'),\,D\subset X\}$ может оказаться пустым множеством; в этом случае $Y=X'$ и $\mathbb C[Y]=\mathbb C$.

Векторное пространство $H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})$ имеет естественную структуру топологического векторного пространства (а именно, на нем есть топология прямого предела).

Лемма 2. Канонический гомоморфизм

$$ \begin{equation*} \mathbb C[Y]\to H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O}) \end{equation*} \notag $$
инъективен и имеет всюду плотный образ.

Доказательство. Из предложения 1 следует, что существует кофинальная система окрестностей $\{U_n\}$ множества $Z$, причем каждое $U_{n}$ является $K$-инвариантным.

Рассмотрим пространство Фреше $H^{0}(U_{n},\mathcal{O})$. Из теоремы 5 получаем, что каждый вектор $f\in H^{0}(U_{n},\mathcal{O})$ имеет представление в виде ряда

$$ \begin{equation*} f=\sum_{\delta\in\widehat{K}} E_{\delta}f, \end{equation*} \notag $$
где сходимость является равномерной на компактах в $U_n$. Из предложения 2 получаем, что $E_{\delta}f\in \mathbb C[\Omega]$.

Так как $f\in H^{0}(U_{n},\mathcal{O})$ и $U_{n}$ пересекает каждый простой $G$-стабильный дивизор на $Y$, то рациональная функция $E_{\delta}(f)$ не имеет полюсов на каждом $G$-стабильном дивизоре многообразия $Y$. Поэтому $E_{\delta}(f)\in \mathbb C[Y]$. Более того, $\mathbb C[Y]$ является всюду плотным подпространством в $H^{0}(U_{n},\mathcal{O})$.

Очевидно, что канонический гомоморфизм $\mathbb C[Y]\to H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})$ инъективен.

Теперь пусть $[f]\in H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})$. Этот элемент представляется функцией $f\in H^{0}(U_{n},\mathcal{O})$ для некоторого $n$. Так как $\mathbb C[Y]$ всюду плотно в $H^{0}(U_{n},\mathcal{O})$, существует $\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset \mathbb C[Y]$ такая, что $\lim_{n\to\infty}f_{n}=f$ в $H^{0}(U_{n},\mathcal{O})$. Из непрерывности канонического отображения

$$ \begin{equation*} H^{0}(U_{n},\mathcal{O})\to H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O}), \qquad f\mapsto [f] \end{equation*} \notag $$
следует, что $\lim_{n\to\infty}[f_{n}]=[f]$. Таким образом, $\mathbb C[Y]\to H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})$ имеет всюду плотный образ. Лемма доказана.

Используя следствие 3 и лемму 2, получаем следующее предложение.

Предложение 3. Пусть $G$ – связная комплексная редуктивная группа Ли, $X$ – нормальное $(1,0)$-компактифицируемое почти однородное алгебраическое $G$-многообразие. Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $\mathbb C[Y]=\mathbb C$.

§ 5. Весовой критерий феномена Гартогса

Пусть $X$, $X'$, $Y$ такие, как в § 4. Необходимо изучить алгебру $\mathbb C[Y]$. Так как $G$ действует алгебраически на $Y$, то $\mathbb C[Y]$ является представлением группы $G$.

Напомним некоторые факты из теории представлений редуктивных групп Ли (см. [9], [17]).

Пусть $G$ – связная редуктивная комплексная группа Ли, $B\subset G$ – борелевская подгруппа и $T\subset B$ – максимальный алгебраический тор с решеткой характеров $\mathfrak X(T)$. Для алгебры Ли $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$ имеется корневое разложение

$$ \begin{equation*} \mathfrak{g}=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{\alpha\in R}\mathfrak{g}_{\alpha} \end{equation*} \notag $$
относительно присоединенного представления, где $R\subset \mathcal{X}(T)$ – система корней группы $G$.

Пусть $R_{+}\subset R$ – множество положительных корней. Это множество однозначно определяется следующим условием:

$$ \begin{equation*} \operatorname{Lie}(B)=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{\alpha\in R_{+}}\mathfrak{g}_{\alpha}. \end{equation*} \notag $$

Обозначим через $S$ множество простых корней, а через $S^{\vee}$ множество двойственных простых корней (это подмножество в решетке однопараметрических подгрупп $\mathfrak X^{*}(T)$).

Обозначим через $C_{+}$ доминантную камеру Вейля. Напомним, что

$$ \begin{equation*} C_{+}:=\bigl\{t\in \mathfrak X(T)\otimes\mathbb{R}\mid \langle t,\alpha^{\vee}\rangle\geqslant 0\ \forall\, \alpha\in S\bigr\}. \end{equation*} \notag $$
Определим множество доминантных характеров $\mathfrak X_{+}(T)$ как $\mathfrak X(T)\cap C_{+}$.

В дальнейшем потребуются следующие факты.

1. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством $\mathfrak X_{+}(T)$ доминантных характеров и множеством $\widehat{G}$ классов изоморфизма неприводимых представлений группы $G$.

2. Для каждого рационального представления $V$ редуктивной группы $G$ (т.е. каждый вектор $v\in V$ содержится в конечномерном $G$-стабильном подпространстве, на котором $G$ действует алгебраически) имеется каноническое разложение

$$ \begin{equation*} V\cong\bigoplus_{\lambda\in\mathfrak X_{+}(T)}V_{\lambda}^{(B)}\otimes V(\lambda), \end{equation*} \notag $$
где $V_{\lambda}^{(B)}:=\bigl\{v\in V\mid b.v=\lambda(b)v\bigr\}$ – множество $B$-полуинвариантов веса $\lambda$.

Так как $\mathbb C[Y]$ является рациональным представлением группы $G$ (см. [9; лемма 1.5]), то каноническое разложение для $\mathbb C[Y]$ имеет вид

$$ \begin{equation*} \mathbb C[Y]\cong\bigoplus_{\lambda\in\mathfrak X_{+}(T)}\mathbb C[Y]_{\lambda}^{(B)}\otimes V(\lambda). \end{equation*} \notag $$

Определим весовой моноид многообразия $Y$ как

$$ \begin{equation*} \Lambda_{+}(Y):=\bigl\{\lambda\in \mathfrak X_{+}(T)\mid \mathbb C[Y]_{\lambda}^{(B)}\neq 0\bigr\}. \end{equation*} \notag $$

Получаем следующий весовой критерий для феномена Гартогса.

Теорема 6. Пусть $G$ – связная комплексная редуктивная группа Ли, пусть $X$ – нормальное $(1,0)$-компактифицируемое почти однородное алгебраическое $G$-многообразие. Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $\Lambda_{+}(Y)=0$, и $\mathbb C[Y]^{B}=\mathbb C$.

§ 6. Выпукло-геометрический критерий феномена Гартогса в сферических многообразиях

В этом параграфе напомним некоторые факты из теории сферических многообразий (см. [13], [28]).

Пусть $G$ – комплексная редуктивная группа Ли, $B\subset G$ – борелевская подгруппа, $T\subset B$ – максимальный алгебраический тор.

Определение 5. Почти однородное комплексное алгебраическое $G$-многообразие с открытой орбитой $\Omega$ называется сферическим, если $\Omega$ содержит открытую $B$-орбиту $O$.

Отметим, что открытая $B$-орбита $O$ является аффинным многообразием (см. [28; теорема 3.5]).

Кроме того, нормальное алгебраическое $G$-многообразие $X$ является сферическим тогда и только тогда, когда каждая $B$-инвариантная рациональная функция на $X$ является константой (т.е. $\mathbb{C}(X)^{B}=\mathbb{C}$) (см. [13; теорема 2.8]), и тогда и только тогда, когда $X$ содержит конечное число $B$-орбит (см. [13; теорема 2.11]).

С открытой орбитой $\Omega$ связывается весовая решетка

$$ \begin{equation*} M:=\bigl\{\lambda\in \mathfrak{X}(T)\mid \mathbb{C}(\Omega)^{(B)}_{\lambda}\neq0\bigr\} \end{equation*} \notag $$
и двойственная весовая решетка $N:=\operatorname{Hom}(M,\mathbb{Z})$.

Также пусть $M_{\mathbb{R}}:=M\otimes\mathbb{R}$ и $N_{\mathbb{R}}:=N\otimes\mathbb{R}$. Отметим, что $M$ является подрешеткой в решетке характеров $\mathfrak{X}(T)$ тора $T$. Напомним, что $B=TU$ (здесь $U$ – унипотентный радикал группы $B$), и так как $U$ не имеет нетривиальных характеров, то $\mathfrak X(B)=\mathfrak X(T)$. Определим

$$ \begin{equation*} \mathbb{C}(\Omega)^{(B)}:=\bigl\{f\in \mathbb{C}(\Omega)\setminus\{0\}\mid \exists\,\lambda\in\mathfrak X(T)\colon b.f=\lambda(b)f\ \forall\, b\in B\bigr\}. \end{equation*} \notag $$

Откуда получаем изоморфизм

$$ \begin{equation*} M\cong\mathbb{C}(\Omega)^{(B)}/\mathbb{C}^{*}, \end{equation*} \notag $$
заданный правилом $\lambda\mapsto [f]$, где $[f]$ – класс эквивалентности любого элемента
$$ \begin{equation*} f\in \mathbb{C}(\Omega)^{(B)}_{\lambda}=\bigl\{f\in \mathbb{C}(\Omega)\mid b.f=\lambda(b)f\ \forall\, b\in B\bigr\}. \end{equation*} \notag $$

Пусть множество $Y$ такое, как в § 4. Обозначим через $\mathcal{B}(Y)$ множество всех простых $B$-стабильных дивизоров на $Y$. Заметим, что $\mathcal{B}(Y)$ является объединением множества всех простых $G$-стабильных дивизоров на $Y$ и множества всех простых $B$-стабильных, но не $G$-стабильных дивизоров на $Y$.

Каждый $B$-стабильный дивизор $D\in \mathcal{B}(Y)$ определяет дискретное нормирование

$$ \begin{equation*} v_{D}\colon \mathbb{C}(\Omega)\setminus\{0\}\to \mathbb{Z}. \end{equation*} \notag $$

Напомним, что $v_{D}(f)$ – порядок нулей или полюсов рациональной функции $f$ на $D$. Кроме того, нормирование $v_{D}$ определяет точку в двойственной весовой решетке $a_{D}\in N=\operatorname{Hom}(M,\mathbb{Z})$ по формуле $\langle a_{D},\lambda\rangle:=v_{D}(f)$ для $f\in \mathbb{C}(\Omega)^{(B)}_{\lambda}$.

Определим

$$ \begin{equation*} L:=\bigl\{\lambda\in M_\mathbb{R}\mid \langle a_{D},\lambda\rangle \geqslant 0\ \forall\, D\in\mathcal{B}(Y)\bigr\} \end{equation*} \notag $$
и отождествим $L$ с образом относительно инъективного отображения
$$ \begin{equation*} \iota\colon M_{\mathbb{R}}\hookrightarrow \mathfrak{X}(T)\otimes\mathbb{R}. \end{equation*} \notag $$

Получаем следующее описание множества $B$-полуинвариантных векторов алгебры $\mathbb C[Y]$.

Лемма 3. Множество $B$-полуинвариантных векторов алгебры $C[Y]$ имеет вид

$$ \begin{equation*} \mathbb{C}[Y]^{(B)}_{\lambda}= \begin{cases} \mathbb{C}[O]^{(B)}_{\lambda}\neq 0, & \lambda\in L\cap M, \\ 0, & \lambda\notin L\cap M. \end{cases} \end{equation*} \notag $$

В частности, получаем описание весового моноида многообразия $Y$

$$ \begin{equation*} \Lambda_{+}(Y)=L\cap M. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Заметим, что
$$ \begin{equation*} \mathbb{C}[Y]^{(B)}_{\lambda}=\bigl\{f\in \mathbb{C}[O]^{(B)}_{\lambda}\mid \langle a_{D},\lambda\rangle=v_{D}(f)\geqslant 0\ \forall\, D\in\mathcal{B}(Y)\bigr\}. \end{equation*} \notag $$

Если $\lambda\in L$, то для каждого $f\in \mathbb{C}[O]^{(B)}_{\lambda}$ получаем $\langle a_{D}, \lambda\rangle\geqslant 0$ для всех $D\in \mathcal{B}(Y)$. Это дает $\mathbb{C}[Y]^{(B)}_{\lambda}=\mathbb{C}[O]^{(B)}_{\lambda}$.

По определению $M$ имеем $\mathbb{C}(\Omega)^{(B)}_{\lambda}\neq 0$ для всех $\lambda\in M$. Так как

$$ \begin{equation*} \mathbb{C}[Y]^{(B)}_{\lambda}=\mathbb{C}(\Omega)^{(B)}_{\lambda} \end{equation*} \notag $$
для $\lambda\in L$, то $\mathbb{C}[Y]^{(B)}_{\lambda}\neq 0$.

Теперь пусть $\lambda\notin L$ и предположим, что существует функция $f\in \mathbb{C}[Y]^{(B)}_{\lambda}$ такая, что $f\neq 0$. Тогда существует $D\in\mathcal{B}(Y)$ такой, что $v_{D}(f)<0$. Получили противоречие; лемма доказана.

Получаем

Следствие 4. Пусть $X$ – $(1,0)$-компактифицируемое сферическое $G$-многообразие. Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $L=0$.

Переформулируем данный критерий в терминах двойственной весовой решетки $N$.

Определим конус $C$ в пространстве $N_{\mathbb{R}}$ как

$$ \begin{equation*} C:=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(Y)\bigr\rangle. \end{equation*} \notag $$

Получаем следующий критерий.

Следствие 5. Пусть $X$ – $(1,0)$-компактифицируемое сферическое $G$-многообразие. Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $C=N_{\mathbb{R}}$.

Доказательство. Так как $C^{\vee}=L$, где $C^{\vee}$ – двойственный конус к конусу $C$, то $C=N_{\mathbb{R}}$ тогда и только тогда, когда $L=0$. Следствие доказано.

Данный критерий можно переформулировать в терминах цветных вееров.

Во-первых, напомним определение конуса нормирований (подробности см. [13; § 4, 10] или [28; гл. 4 и приложение B]).

Пусть $v\colon\mathbb{C}(\Omega)\setminus\{0\}\to \mathbb{Q}$ – дискретное $\mathbb{Q}$-значное нормирование. Нормирование $v$ называется $G$-инвариантным, если $v(g.f)=v(f)$ для всех $f\in\mathbb{C}(\Omega)$ и для всех $g\in G$. Множество $G$-инвариантных нормирований поля $\mathbb{C}(\Omega)$ обозначается через $\mathcal{V}(\Omega)$.

Заметим, что $G$-инвариантное нормирование $v$ определяет точку $a_{v}\in N_{\mathbb{Q}}=N\otimes\mathbb{Q}$ по формуле

$$ \begin{equation*} \langle a_{v},\lambda\rangle:=v(f) \end{equation*} \notag $$
для некоторого $f\in \mathbb{C}(\Omega)^{(B)}_{\lambda}$. Можно рассматривать $\mathcal{V}(\Omega)$ как подмножество в $N_{\mathbb{Q}}$, см. [13; следствие 4.9]. Оно является конечнопорожденным выпуклым рациональным конусом полной размерности (см. [13; следствие 10.6]) и называется конусом нормирований $\Omega$. Через $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)$ будем обозначать конус в $N_{\mathbb{R}}$, порожденный множеством $\mathcal{V}(\Omega)$.

Пусть $\mathcal{B}(\Omega)$ – множество всех простых $B$-стабильных дивизоров $\Omega$. Для каждого $D\in\mathcal{B}(\Omega)$ обозначим через $\overline{D}$ замыкание $D$ в $Y$, где множество $Y$ такое, как в § 4. Так как $v_{D}=v_{\overline{D}}$ (после отождествления $\mathbb{C}(\Omega)=\mathbb{C}(Y)$), то можно отождествить множество $\mathcal{B}(\Omega)$ с подмножеством $\{\overline{D}\mid D\in \mathcal{B}(\Omega)\}$ в $\mathcal{B}(Y)$.

Напомним определение цветного конуса и цветного веера.

Определение 6. Цветной конус – это пара $(\sigma,\mathcal{F})$, где $\sigma\subset N_{\mathbb{R}}$ и $\mathcal{F}\subset \mathcal{B}(\Omega)$, удовлетворяющая следующим свойствам:

$\bullet$ $\sigma$ является выпуклым конусом, порожденным множеством $\{a_{D}\mid D\in\mathcal{F}\}$ и конечным числом элементов из $\mathcal{V}(\Omega)$;

$\bullet$ относительная внутренность $\sigma$ пересекает $\mathcal{V}(\Omega)$ нетривиально;

$\bullet$ $\sigma$ не содержит прямых и $0\notin \{a_{D}\mid D\in\mathcal{F}\}$.

Цветная грань цветного конуса $(\sigma,\mathcal{F})$ – это пара $(\sigma',\mathcal{F}')$ такая, что $\sigma'$ есть грань $\sigma$, относительная внутренность $\sigma'$ пересекает $\mathcal{V}(\Omega)$ нетривиально и $\mathcal{F}'=\bigl\{D\in\mathcal{F}\mid a_{D}\in \sigma'\bigr\}$.

Цветной веер – это конечное множество $\Sigma$ цветных конусов со следующими свойствами:

– каждая цветная грань цветного конуса из $\Sigma$ лежит в $\Sigma$;

– для каждого $v\in\mathcal{V}(\Omega)$ существует не более одного конуса $(\sigma,\mathcal{F})$ такого, что $v$ лежит в относительной внутренности $\sigma$.

Носитель цветного веера $\Sigma$ – это множество $|\Sigma|:=\bigcup_{(\sigma,\mathcal{F})\in\Sigma}\sigma$.

Пусть $X$ – сферическое $G$-многообразие с открытой орбитой $\Omega$. Для каждой $G$-орбиты $Y\subset X$ рассмотрим $G$-стабильное подмножество $X_{Y}:=\{x\in X\mid \overline{G.x}\supset Y\}$ (оно является $G$-стабильным открытым подмногообразием в $X$, которое содержит единственную замкнутую $G$-орбиту $Y$). Пусть $D_{1},\dots, D_{m}$ – $G$-стабильные дивизоры на $X_Y$, а $\mathcal{F}$ – множество $B$-стабильных, но не $G$-стабильных дивизоров на $X$, содержащих замкнутую орбиту многообразия $X_{Y}$. Пусть $\sigma$ – конус в $N_{\mathbb R}$, порожденный точками $a_{v}$ для $v\in\mathcal{F}$ и точками $a_{D_i}\in N$ для $i\in\{1,\dots,m\}$. Получаем цветной конус $(\sigma,\mathcal{F})$. Более того, множество цветных конусов, построенных таким образом, образует цветной веер $\Sigma_{X}$.

Имеем следующую теорему Луны–Вюста о классификации $\Omega$-вложений.

Теорема 7. Отображение $X\to\Sigma_X$ является биекцией между множеством классов изоморфизмы сферических $G$-многообразий (с одной и той же открытой орбитой $\Omega$) и множеством цветных вееров.

Многие свойства сферических многообразий могут быть сформулированы на языке цветных вееров. Сформулируем некоторые из них.

Замечание 1. Пусть $X_{\Sigma}$ – сферическое многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$ и цветным веером $\Sigma$.

1. Многообразие $X_{\Sigma}$ компактно тогда и только тогда, когда веер $\Sigma$ полный (т.е. $|\Sigma|\supset\mathcal{V}_{\mathbb R}(\Omega)$).

2. Существует взаимно однозначное соответствие между $G$-орбитами в $X_{\Sigma}$ и цветными конусами в $\Sigma$.

3. Если $W_1$, $W_2$ – $G$-орбиты с соответствующими конусами $(\sigma_1, \mathcal{F}_1)$, $(\sigma_2, \mathcal{F}_2)$, то $W_1 \subset \overline{W_2}$ тогда и только тогда, когда $(\sigma_2,\mathcal{F}_2)$ является цветной гранью цветного конуса $(\sigma_1,\mathcal{F}_1)$.

Докажем следующую лемму.

Лемма 4. Пусть $X_{\Sigma}$ – некомпактное сферическое многообразие с цветным веером $\Sigma$. Тогда $X_{\Sigma}$ является $(1,0)$-компактифицируемым тогда и только тогда, когда открытое множество $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|$ связно.

Доказательство. Пусть $X_{\Sigma'}$ – соответствующая компактификация $X_{\Sigma}$. В этом случае $\Sigma\subset \Sigma'$.

Во-первых, из результата Бриона [8; следствие 1] и принципа GAGA имеем $H^{1}(X_{\Sigma'},\mathcal{O})=0$ для компактного сферического многообразия $X_{\Sigma'}$. Поэтому необходимо доказать, что $Z:=X_{\Sigma'}\setminus X_{\Sigma}$ связно тогда и только тогда, когда $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|$ связно.

Через $O(\sigma,\mathcal{F})$ обозначим $G$-орбиту, соответствующую цветному конусу $(\sigma,\mathcal{F})$. Так как $Z=X_{\Sigma'}\setminus X_{\Sigma}$ является $G$-стабильным, то оно является объединением $G$-орбит. А именно,

$$ \begin{equation*} Z=\bigcup_{(\sigma,\mathcal{F})\in \Sigma'\setminus\Sigma}O(\sigma,\mathcal{F}). \end{equation*} \notag $$

Далее, $Z$ связно тогда и только тогда, когда для любых двух $G$-орбит $V=O(\sigma,\mathcal{F})$, $V'=O(\sigma',\mathcal{F}')$ таких, что $(\sigma,\mathcal{F}),(\sigma',\mathcal{F}')\in\Sigma'\setminus\Sigma$, существует последовательность $G$-орбит $\{V_{i}=O(\sigma_i,\mathcal{F}_i)\}_{i=0}^{n}$ со следующими свойствами:

1) $V_0=V$, $V_{n}=V'$;

2) $(\sigma_i,\mathcal{F}_i)\in\Sigma'\setminus\Sigma$;

3) $\overline{V_{i}}\cap\overline{V_{i+1}}\neq\varnothing$.

Но это эквивалентно тому, что для любых двух цветных конусов

$$ \begin{equation*} (\sigma,\mathcal{F}),(\sigma',\mathcal{F}') \in \Sigma'\setminus\Sigma \end{equation*} \notag $$
существует последовательность цветных конусов $\{C_{i}=(\sigma_i,\mathcal{F}_i)\}_{i=0}^{n}$ со следующими свойствами:

1) $C_0=(\sigma,\mathcal{F})$, $C_n=(\sigma',\mathcal{F}')$;

2) $C_i=(\sigma_i,\mathcal{F}_i)\in\Sigma'\setminus\Sigma$;

3) для конусов $\sigma_{i}$ и $\sigma_{i+1}$ существует цветной конус $(\sigma_{i,i+1},\mathcal{F}_{i,i+1})\in\Sigma'\setminus\Sigma$ такой, что $\sigma_{i}$ и $\sigma_{i+1}$ являются его гранями.

Что в свою очередь эквивалентно тому, что множество $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|$ связно. Лемма доказана.

Напомним,

$$ \begin{equation*} Y=X_{\Sigma'}\setminus \bigcup_{D\in\mathcal{G}(X_{\Sigma'}),\,D\subset X_{\Sigma}} D, \end{equation*} \notag $$
где $\mathcal{G}(X_{\Sigma'})$ – множество всех простых $G$-стабильных дивизоров на $X_{\Sigma'}$.

Пусть $\mathcal{OG}_{k}(X_{\Sigma'})$ – множество всех $G$-орбит в $X_{\Sigma'}$ коразмерности $k$ и

$$ \begin{equation*} \mathcal{OG}(X_{\Sigma'}):=\bigcup_{k=1}^{\dim X_{\Sigma'}}\mathcal{OG}_{k}(X_{\Sigma'}). \end{equation*} \notag $$

Рассмотрим сферическое многообразие

$$ \begin{equation*} \widehat{Y}:=X_{\Sigma'}\setminus\bigcup_{O\in\mathcal{OG}(X_{\Sigma'}),\,\overline{O}\subset X_{\Sigma}}O, \end{equation*} \notag $$
где $\overline{O}$ – замыкание $O$ в $X_{\Sigma'}$. Так как $\mathcal{G}(X_{\Sigma'})=\bigl\{\overline{O}\mid O\in \mathcal{OG}_{1}(X_{\Sigma'})\bigr\}$, то $\widehat{Y}\subset Y$ и $\operatorname{codim}(Y\setminus\widehat{Y})>1$. Поэтому $\mathbb{C}[Y]=\mathbb{C}[\widehat{Y}]$, $\mathcal{B}(Y)=\mathcal{B}(\widehat{Y})$.

Цветной веер $\Sigma_{\widehat{Y}}$ многообразия $\widehat{Y}$ получается следующим образом.

Лемма 5. Справедливо равенство

$$ \begin{equation*} \Sigma_{\widehat{Y}}=\bigl\{(\tau,\mathcal{F}')\in \Sigma'\mid (\tau,\mathcal{F}') \textit{ - цветная грань цветного конуса из } \Sigma'\setminus\Sigma \bigr\}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Рассмотрим цветной конус $(\tau,\mathcal{F}')\in\Sigma'$, и пусть $O=O(\tau,\mathcal{F}')$ – соответствующая $G$-орбита. Напомним, что множество $Z=X_{\Sigma'}\setminus X_{\Sigma}$ является объединением $G$-орбит, а именно:
$$ \begin{equation*} Z=\bigcup_{(\sigma,\mathcal{F})\in \Sigma'\setminus\Sigma}O(\sigma,\mathcal{F}). \end{equation*} \notag $$

Получаем следующие очевидные утверждения: $(\tau,\mathcal{F}')\in \Sigma_{\widehat{Y}}$ тогда и только тогда, когда $\overline{O}\cap Z\neq\varnothing $ тогда и только тогда, когда существует цветной конус $(\sigma,\mathcal{F})\in\Sigma'\setminus\Sigma$ такой, что $(\tau,\mathcal{F}')$ является цветной гранью цветного конуса $(\sigma,\mathcal{F})$. Лемма доказана.

Лемма 6. Справедливо равенство $|\Sigma_{\widehat{Y}}|\cap\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega) =\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}.$

Доказательство. По лемме 5 получаем, что
$$ \begin{equation*} |\Sigma_{\widehat{Y}}|=\bigcup_{(\sigma,\mathcal{F})\in\Sigma'\setminus\Sigma}\sigma. \end{equation*} \notag $$

Точка $p\in\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)$ принадлежит множеству $\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}$ тогда и только тогда, когда существует последовательность $\{p_n\}_{n=1}^\infty$ точек $p_n\in \mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|$ таких, что $p_{n}\to p$ как только $n\to\infty$. Можно считать, что все $p_n$ лежат в $\sigma\cap\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)$ для некоторого цветного конуса $(\sigma,\mathcal{F})\in \Sigma'\setminus\Sigma$. Получаем, что $p_{n}\in |\Sigma_{\widehat{Y}}|\cap\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)$. Так как $|\Sigma_{\widehat{Y}}|\cap\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)$ замкнуто, то $p\in |\Sigma_{\widehat{Y}}|\cap\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)$. Лемма доказана.

Напомним, что

$$ \begin{equation*} C=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(Y)\bigr\rangle\subset N_{\mathbb R}. \end{equation*} \notag $$

Докажем следующую лемму.

Лемма 7. Справедливо равенство $C=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}\cup \{a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(\Omega)\}\bigr\rangle. $

Доказательство. Заметим, что $\mathcal{B}(\widehat{Y})$ является объединением множества $\mathcal{G}(\widehat{Y})$ простых $G$-стабильных дивизоров на $\widehat{Y}$ и множества $\{\overline{D}\mid D\in\mathcal{B}(\Omega)\}$, где $\overline{D}$ – замыкание в $\widehat{Y}$ простого $B$-стабильного дивизора $D\subset \Omega$.

Через $\mathcal{F}(\widehat{Y})$ обозначим объединение всех подмножеств $\mathcal{F}\subset\mathcal{B}(\Omega)$ таких, что $(\sigma,\mathcal{F})\in \Sigma_{\widehat{Y}}$.

Следовательно, получаем следующие равенства:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, C &=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(Y)\bigr\rangle=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(\widehat{Y})\bigr\rangle \\ &=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle \bigl\{a_{D}\mid D\in \mathcal{G}(\widehat{Y})\cup\mathcal{F}(\widehat{Y})\bigr\}\cup\bigl\{a_{D}\mid D\in\mathcal{B}(\Omega)\bigr\}\bigr\rangle. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Далее, существует разложение

$$ \begin{equation*} |\Sigma_{\widehat{Y}}|=(|\Sigma_{\widehat{Y}}|\cap\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega))\cup \overline{|\Sigma_{\widehat{Y}}|\setminus\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)} =\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}\cup \overline{|\Sigma_{\widehat{Y}}|\setminus\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)}. \end{equation*} \notag $$

Так как множество порождающих всех цветных конусов веера $\Sigma_{\widehat{Y}}$ есть множество

$$ \begin{equation*} \bigl\{a_{D}\mid D\in \mathcal{G}(\widehat{Y})\cup\mathcal{F}(\widehat{Y})\bigr\}, \end{equation*} \notag $$
то справедливы равенства
$$ \begin{equation*} \mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle a_{D}\mid D\in \mathcal{G}(\widehat{Y})\cup\mathcal{F}(\widehat{Y})\bigr\rangle=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle|\Sigma_{\widehat{Y}}|\bigr\rangle=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}\cup \overline{|\Sigma_{\widehat{Y}}|\setminus\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)}\bigr\rangle. \end{equation*} \notag $$

Если луч $\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle a_{D}\rangle$ пересекается с $N_{\mathbb{R}}\setminus\mathcal{V}(\Omega)$, то $D$ не является $G$-стабильным и поэтому $D\in\mathcal{F}(\widehat{Y})\subset\mathcal{B}(\Omega)$.

Получаем следующие равенства:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, C &=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle \bigl\{a_{D}\mid D\in \mathcal{G}(\widehat{Y})\cup\mathcal{F}(\widehat{Y})\bigr\}\cup\{a_{D}\mid D\in\mathcal{B}(\Omega)\}\bigr\rangle \\ &=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}\cup \overline{|\Sigma_{\widehat{Y}}|\setminus\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)}\cup\{a_{D}\mid D\in\mathcal{B}(\Omega)\}\bigr\rangle \\ &=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}\cup \{a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(\Omega)\}\bigr\rangle. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Лемма доказана.

Наконец, получаем следующий выпукло-геометрический критерий.

Теорема 8. Пусть $X_{\Sigma}$ – некомпактное сферическое $G$-многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$ и с цветным веером $\Sigma$ таким, что $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|$ является связным множеством. Тогда $X_{\Sigma}$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда

$$ \begin{equation*} \mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}\cup \{a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(\Omega)\}\bigr\rangle=N_\mathbb{R}. \end{equation*} \notag $$

Замечание 2. Пусть $\Omega$ – некомпактное сферическое однородное $G$-многообразие. Цветным веером $\Omega$ является $\Sigma=\{(0,\varnothing)\}$. Формула

$$ \begin{equation*} \mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\cup \{a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(\Omega)\}\bigr\rangle=N_\mathbb{R} \end{equation*} \notag $$
справедлива для каждого $\Omega$, так как в этом случае $Y=X_{\Sigma'}$ и $\mathbb{C}[Y]=\mathbb{C}$. Заметим, что условие связности множества $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus \{0\}$ автоматически выполняется, за исключением случая $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)=N_{\mathbb{R}}$ и $\operatorname{rk}(N)=1$ (т.е. случая орисферических однородных $G$-многообразий ранга 1). В этой ситуации $\Omega$ допускает феномен Гартогса. Случай орисферических однородных $G$-многообразий ранга 1 рассмотрен в замечании 4 в следующем пункте.

6.1. Случай орисферических многообразий

Во-первых, напомним некоторые понятия и обозначения.

Пусть $G$ – комплексная редуктивная группа Ли, $B\subset G$ – борелевская подгруппа, $T\subset B$ – максимальный алгебраический тор, $U$ – унипотентный радикал группы $B$ (т.е. максимальная унипотентная подгруппа в $G$). Пусть $W$ – группа Вейля группы $G$ относительно $T$, $R$ – система корней $(G,T)$, $S$ – множество простых корней относительно $B$. Группа $W$ содержит отражения $r_{\alpha}$ ($\alpha\in R$), действующие на $\mathfrak{X}(T)$ по правилу $r_{\alpha}(\lambda)=\lambda-\langle \lambda, \alpha^{\vee}\rangle\alpha$, и порождается отражениями, соответствующими простым корням.

Отметим, что параболические подгруппы, содержащие данную борелевскую подгруппу $B$, параметризуются подмножествами простых корней $I\subset S$. Алгебра Ли соответствующей параболической подгруппы $P=P_{I}$ имеет вид

$$ \begin{equation*} \operatorname{Lie}(P)=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{\alpha\in R_{+}\cup R_I}\mathfrak{g}_{\alpha}, \end{equation*} \notag $$
где $R_I\subset R$ – подсистема корней, порожденная множеством $I$.

Существует однозначно определенное разложение Леви $P=P_{u}\leftthreetimes L$, где $P_{u}$ – унипотентный радикал $P$, а $L=L_{I}\subset P_{I}$ – однозначно определенная подгруппа Леви, содержащая максимальный тор $T\subset B$. Система корней $(L_{I},T)$ есть $R_{I}$.

Противоположная параболическая подгруппа $P^{-}=P^{-}_{I}\supset B^{-}$, соответствующая $I$, пересекает $P_{I}$ по подгруппе $L_I$ и имеет разложение Леви $P^{-}=P^{-}_{u}\leftthreetimes L$, где $P_{u}^{-}$ – унипотентный радикал группы $P^{-}$.

Напомним определение орисферического многообразия.

Определение 7. Однородное $G$-многообразие $\Omega$ называется орисферическим, если стабилизатор некоторой точки в $\Omega$ содержит максимальную унипотентную подгруппу группы $G$.

Нормальное почти однородное комплексное алгебраическое $G$-многообразие с открытой орбитой $\Omega$ называется орисферическим, если $\Omega$ является орисферическим.

Заметим, что орисферическое многообразие является сферическим в смысле определения 5. Пусть $H$ – стабилизатор некоторой точки $o\in \Omega$; тогда $G/H\,{\cong}\,\Omega$, $g\mapsto g.o$. Можно считать, что $H\supset U^{-}$. Из [28; лемма 7.4] имеем, что $H=P^{-}_{u}\leftthreetimes L_{0}$ для некоторой параболической подгруппы $P\supset B$ (а именно, $P$ такая, что $P^{-}=N_{G}(H)$) с подгруппой Леви $L\supset L_{0}\supset L'$ (где $L'$ – коммутаторная подгруппа группы $L$) и унипотентным радикалом $P_u$ группы $P$. Можно также считать, что $L\supset T$.

Инъективное отображение $\iota\colon M_\mathbb R\hookrightarrow \mathfrak X(T)\otimes\mathbb R$ индуцирует сюръективное отображение

$$ \begin{equation*} \iota^{*}\colon \mathfrak X^{*}(T)\otimes\mathbb R\twoheadrightarrow N_{\mathbb R}:=N\otimes\mathbb R. \end{equation*} \notag $$

Напомним некоторые факты об орисферических однородных $G$-многообразиях (см. [28; § 28.1]).

Замечание 3. Справедливы следующие утверждения:

$\bullet$ $M\cong\mathfrak X(A)$, где $A\cong P^{-}/H\cong L/L_0\cong T/(T\cap L_0)$;

$\bullet$ $\mathcal{V}(\Omega)=N_{\mathbb{Q}}$;

$\bullet$ $B$-стабильные дивизоры на $\Omega$ имеются вид $D_{\alpha}=\overline{Br_{\alpha}o}$, $\alpha\in S\setminus I$, где $I\subset S$ – множество простых корней группы $L$. Кроме того, $\iota^{*}(\alpha^{\vee})=a_{D_{\alpha}}$.

Таким образом, получаем следующий выпукло-геометрический критерий для орисферических многообразий.

Следствие 6. Пусть $X_{\Sigma}$ – некомпактное орисферическое $G$-многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$ и с цветным веером $\Sigma$ таким, что $N_{\mathbb{R}}\setminus |\Sigma|$ является связным множеством. Тогда $X_{\Sigma}$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда

$$ \begin{equation*} \mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle\overline{N_{\mathbb{R}}\setminus |\Sigma|}\cup \iota^{*}((S\setminus I)^{\vee})\bigr\rangle=N_\mathbb{R}, \end{equation*} \notag $$
где $(S\setminus I)^{\vee}=\{\alpha^{\vee}\mid\alpha\in S\setminus I\}$.

Замечание 4. Используя следствие 6 или замечание 2 получаем, что каждое орисферическое однородное $G$-многообразие $\Omega$ ранга больше $1$ допускает феномен Гартогса. Для орисферических однородных $G$-многообразий $\Omega$ ранга $1$ имеем два случая. Если $\iota^{*}((S\setminus I)^{\vee})\neq\{0\}$, то всегда существует сферическое вложение $X\supset\Omega$, причем $N_{\mathbb{R}}\setminus |\Sigma_{X}|$ связно и $\mathbb{R}_{\geqslant 0}\langle\overline{N_{\mathbb{R}}\setminus |\Sigma_{X}|}\cup \iota^{*}((S\setminus I)^{\vee})\rangle=N_\mathbb{R}$. В этом случае, так как $X$ допускает феномен Гартогса, то $\Omega$ тоже допускает феномен Гартогса. Если $\iota^{*}((S\setminus I)^{\vee})=\{0\}$, то $\Omega=\mathbb{C}^{*}\times\Omega_0$, где $\Omega_{0}$ является компактным сферическим однородным $G$-многообразием (а именно, $\Omega_0\cong G/P^{-}$). В этом случае $\Omega$ не допускает феномен Гартогса.

Замечание 5. Из замечаний 2 и 4 получаем, что каждое некомпактное сферическое однородное $G$-многообразие допускает феномен Гартогса, за исключением $\mathbb{C}^{*}\times G/P^{-}$.

Для $\Omega=G/U^{-}$ имеем $I=\varnothing$ и $N=\mathfrak{X}^{*}(T)$. Получаем

Следствие 7. Пусть $X_{\Sigma}$ – орисферическое $G$-многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega=G/U^{-}$ и цветным веером $\Sigma$, причем $(\mathfrak{X}^{*}(T)\otimes\mathbb{R})\setminus |\Sigma|$ связно. Тогда $X_{\Sigma}$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда

$$ \begin{equation*} \mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle\overline{(\mathfrak{X}^{*}(T)\otimes\mathbb{R})\setminus |\Sigma|}\cup \iota^{*}(S^{\vee})\bigr\rangle=\mathfrak{X}^{*}(T)\otimes\mathbb{R}. \end{equation*} \notag $$

§ 7. Примеры

В этом параграфе рассматриваются примеры орисферических многообразий с открытой орбитой $(\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*})/U^{-}$, где $U^{-}$ – максимальная унипотентная подгруппа в $\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}$, состоящая из нижнетреугольных матриц с единицами на диагонали.

7.1. Некоторые вычисления для $(\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*})/U^{-}$

Рассмотрим

$$ \begin{equation*} G=\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}=\left\{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0& 0 & a_{33} \end{pmatrix} \Biggm| a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=1 ,\,a_{33}\in\mathbb{C}^{*}\right\}, \end{equation*} \notag $$
и пусть
$$ \begin{equation*} B=\left\{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0& 0 & a_{33} \end{pmatrix} \Biggm| a_{11}a_{22}=1 ,\,a_{33}\in\mathbb{C}^{*}\right\}. \end{equation*} \notag $$

Рассмотрим следующие подгруппы в $G$:

$\bullet$ максимальный тор

$$ \begin{equation*} T=\left\{\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0\\ 0 & a_{22} & 0\\ 0& 0 & a_{33} \end{pmatrix}\Biggm| a_{11}a_{22}=1 ,\,a_{33}\in\mathbb{C}^{*}\right\}; \end{equation*} \notag $$

$\bullet$ противоположная борелевская подгруппа

$$ \begin{equation*} B^{-}=\left\{\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0\\ 0& 0 & a_{33} \end{pmatrix}\Biggm| a_{11}a_{22}=1 ,\,a_{33}\in\mathbb{C}^{*}\right\}; \end{equation*} \notag $$

$\bullet$ максимальная унипотентная подгруппа

$$ \begin{equation*} U=\left\{\begin{pmatrix} 1 & a_{12} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}; \end{equation*} \notag $$

$\bullet$ противоположная максимальная унипотентная подгруппа

$$ \begin{equation*} U^{-}=\left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ a_{21} & 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}. \end{equation*} \notag $$

Заметим, что $\mathfrak X(T)=\mathbb{Z}^{2}$. Обозначая $t=\begin{pmatrix} t_{1} & 0 & 0\\ 0 & t_{2} & 0\\ 0& 0 & t_{3} \end{pmatrix}$, получаем, что каждый характер $\lambda\in\mathfrak X(T)$ задается по правилу $\lambda(t)=t_{1}^{l}t_{3}^{m}$ для некоторого $(l,m)\,{\in}\, \mathbb{Z}^{2}$.

Для алгебры Ли $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$ имеем корневое разложение

$$ \begin{equation*} \mathfrak{g}=\mathfrak{t}\oplus\mathfrak{g}_{\alpha_{12}}\oplus\mathfrak{g}_{\alpha_{21}}, \end{equation*} \notag $$
где

$\bullet$ $\mathfrak{g}_{\alpha_{12}}=\mathbb{C}E_{12}$, $E_{12}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ и $\alpha_{12}\in\mathfrak X(T)$ задается по формуле

$$ \begin{equation*} \alpha_{12}(t)=t_{1}^{2}, \text{ т.е. } \alpha_{12}=(2,0); \end{equation*} \notag $$

$\bullet$ $\mathfrak{g}_{\alpha_{21}}=\mathbb{C}E_{21}$, $E_{21}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ и $\alpha_{21}\in\mathfrak X(T)$ задается по формуле

$$ \begin{equation*} \alpha_{12}(t)=t_{1}^{-2}, \text{ т.е. } \alpha_{21}=(-2,0). \end{equation*} \notag $$

Система корней $G$ есть $R=\{\alpha_{12},\alpha_{21}\}$. Так как $\operatorname{Lie}(B)=\mathfrak{t}\oplus \mathbb{C}E_{12}$, то подмножество простых корней относительно $B$ есть $S=\{\alpha_{12}\}$.

Группой Вейля группы $G$ относительно $T$ является $W=N_{G}(T)/T=\{e, r_{12}\}$, где $r_{12}$ – отражение, представляющееся матрицей $U=E_{12}-E_{21}+E_{33}\in N_{G}(T)$.

Теперь рассмотрим однородное $G$-многообразие $G/U^{-}$. Имеем изоморфизм $\phi\colon G/U^{-}\cong \mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times\mathbb{C}^{*}$, индуцированный отображением

$$ \begin{equation*} G\to \mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times\mathbb{C}^{*}, \qquad \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0& 0 & a_{33} \end{pmatrix}\mapsto (a_{12},a_{22},a_{33}). \end{equation*} \notag $$

Изоморфизм $\phi$ является $G$-эквивариантным относительно действия $G$ на $G/U^{-}$ левыми умножениями и стандартного действия $G$ на $\mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times\mathbb{C}^{*}$.

При помощи изоморфизма $\phi$ $B$-орбиты многообразия $G/U^{-}$ описываются следующим образом:

– единственный $B$-стабильный дивизор

$$ \begin{equation*} D_{12}=\{(x_{1},x_{2},w)\in \mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times\mathbb{C}^{*})\mid x_{2}=0\}; \end{equation*} \notag $$

– открытая $B$-орбита

$$ \begin{equation*} O=\{(x_{1},x_{2},w)\in \mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times\mathbb{C}^{*}\mid x_{2}\neq0\}. \end{equation*} \notag $$

Вычислим весовую решетку. Алгебра регулярных функций на $\Omega$ имеет вид

$$ \begin{equation*} \mathbb{C}[\Omega]=\mathbb{C}[\mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\} \times\mathbb{C}^{*}]=\bigoplus_{(i,j,k)\in(\mathbb{Z}_{\geqslant0})^{2} \times\mathbb{Z}}\mathbb{C}x_{1}^{i}x_{2}^{j}w^{k}. \end{equation*} \notag $$
Откуда следует, что $x_{2}^{l}w^{-m}\in\mathbb{C}(\Omega)^{(B)}_{(l,m)}$, где $\lambda=(l,m)\in \mathfrak X(T)=\mathbb{Z}^{2}$.

Значит, $M=\mathfrak X(T)$ (заметим, что этот факт также следует из замечания 3; в этом случае $P=B$, $H=U^{-}$ и $A\cong T$).

Заметим, что $B$-стабильный дивизор $D_{12}$ определяет дискретное нормирование

$$ \begin{equation*} v_{12}\colon \mathbb{C}(\Omega)\setminus\{0\}\to\mathbb{Z} \end{equation*} \notag $$
и точку $a_{D_{12}}\in N$ по формуле $\langle a_{D_{12}},(l,m)\rangle:=v_{D_{12}}(x_{2}^{l}w^{-m})=l$. Это означает, что $a_{D_{12}}=(1,0)$.

Пусть $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ – стандартное скалярное произведение в $\mathfrak X(T)\otimes\mathbb{R}$. Двойственный простой корень $\alpha_{12}^{\vee}\in \mathfrak X^{*}(T)\otimes\mathbb{R}$ определяется по формуле

$$ \begin{equation*} \langle\alpha_{12}^{\vee},\lambda\rangle=\frac{2(\alpha_{12},\lambda)}{(\alpha_{12},\alpha_{12})} \end{equation*} \notag $$
для всех $\lambda\in\mathfrak X(T)$. Отсюда следует, что $\alpha_{12}^{\vee}=(1,0)$. Таким образом, $\alpha_{12}^{\vee}=a_{D_{12}}$ (на самом деле, это также следует из замечания 3).

7.2. $(\mathrm{SL}(2)\times \mathbb C^{*})/U^{-}$-вложения

Из следствия 7 получаем следующий критерий.

Следствие 8. Пусть $X_{\Sigma}$ – орисферическое многообразие с открытой орбитой $(\mathrm{SL}(2)\times\mathbb C^{*})/U^{-}$ и цветным веером $\Sigma$, причем $\mathbb{R}^{2}\setminus |\Sigma|$ связно. Тогда многообразие $X_{\Sigma}$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда

$$ \begin{equation*} \mathbb{R}_{\geqslant 0}\langle \overline{\mathbb{R}^{2}\setminus |\Sigma|}\cup \{\alpha_{12}^{\vee}\}\rangle=\mathbb{R}^{2}. \end{equation*} \notag $$

Теперь построим примеры орисферических многообразий и соответствующие цветные вееры.

Замечание 6. Стандартное действие $G=\mathrm{SL}(2)$ на $\mathbb{C}^{2}$ индуцирует действие $\mathrm{SL}(2)$ на проективном пространстве $\mathbb{P}^{2}=\mathbb{P}(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^{2})$, которое задается по формуле

$$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} . [z_{0}:z_{1}:z_{2}]:=\bigl[z_{0}:(a_{11}z_{1}+a_{12}z_{2}):(a_{21}z_{1}+a_{22}z_{2})\bigr]. \end{equation*} \notag $$

Через $B$ обозначим подгруппу в $G$, состоящую из верхнетреугольных матриц.

Заметим, что $G$-орбиты этого действия устроены следующим образом:

$\bullet$ $G$-орбита $H_{\infty}=\{[z_{0}:z_{1}:z_2]\in\mathbb{P}^{2}\mid z_{0}=0\}$. Это единственный $G$-стабильный дивизор;

$\bullet$ $G$-орбита $H_{0}=\{[1:0:0]\}$;

$\bullet$ открытая $G$-орбита $\mathbb{P}^{2}\setminus(H_{\infty}\cup H_{0})\cong\mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}$.

Также имеем $B$-стабильный, но не $G$-стабильный дивизор

$$ \begin{equation*} H_{12}=\bigl\{[z_{0}:z_{1}:z_2]\in\mathbb{P}^{2}\mid z_{2}=0\bigr\}. \end{equation*} \notag $$

Заметим, что открытая $B$-орбита есть $\mathbb{P}^{2}\setminus(H_{\infty}\cup H_{0}\cup H_{12})\cong\mathbb{C}^{2}\setminus\{x_{2}=0\}$ (где $x_{2}=z_2/z_0$).

Замечание 7. Рассмотрим торическое действие тора $\mathbb{C}^{*}$ на $\mathbb{P}^{1}$, которое задается по формуле

$$ \begin{equation*} t.[w_{0}:w_{1}]=[w_{0}:tw_{1}]. \end{equation*} \notag $$

В этом случае, имеем следующие $\mathbb{C}^{*}$-орбиты:

$\bullet$ открытой $\mathbb{C}^{*}$-орбитой является $\mathbb{P}^{1}\setminus\{[1:0],[0:1]\}\cong\mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\setminus\{w=0\}$ (где $w=w_1/w_0$);

$\bullet$ $\mathbb{C}^{*}$-дивизоры суть $[1:0]$, $[0:1]$.

Теперь рассмотрим компактное многообразие $X'=\mathbb{P}^{2}\times\mathbb{P}^{1}$, на котором действует $\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}$ по формуле

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}.\bigl([z_{0}:z_{1}:z_{2}],[w_{0}:w_{1}]\bigr) \\ &\qquad =\bigl([z_{0}:(a_{11}z_{1}+a_{12}z_{2}):(a_{21}z_{1}+a_{22}z_{2})],[w_{0}:a_{33}w_{1}]\bigr). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

В этом случае открытой $\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}$-орбитой является $\mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times\mathbb{C}^{*}\cong \mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}/U^{-}$, а открытой $B$-орбитой является $\mathbb{C}^{2}\setminus\{(x_{2}=0)\}\times\mathbb{C}^{*}$.

Имеем следующие малые $\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}$-орбиты:

$\bullet$ 0-мерные $H_{0}\times[1:0]$, $H_{0}\times[0:1]$;

$\bullet$ 1-мерные $H_{\infty}\times [1:0]$, $H_{\infty}\times [0:1]$, $H_{0}\times\mathbb{C}^{*}$;

$\bullet$ 2-мерные $H_{\infty}\times\mathbb{C}^{*}$, $\mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times[1:0]$, $\mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times[0:1]$.

Кроме того, имеем следующие $B$-стабильные дивизоры:

$\bullet$ $\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}$-стабильные дивизоры $D_{\infty}:=H_{\infty}\times\mathbb{P}^{1}$, $D_{10}:=\mathbb{P}^{2}\times[1:0]$, $D_{01}:=\mathbb{P}^{2}\times[0:1]$;

$\bullet$ не $\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}$-стабильный дивизор $D_{12}:=H_{12}\times\mathbb{P}^{1}$.

Вычислим точки $a_{D_\infty}$, $a_{D_{10}}$, $a_{D_{01}}$, $a_{D_{12}}$ в $N=\mathbb{Z}^{2}$, соответствующие $B$-стабильным дивизорам $D_{\infty}$, $D_{10}$, $D_{01}$, $D_{12}$.

Рассмотрим характер $\lambda=(l,m)\in M=\mathbb{Z}^{2}$. Получаем следующее:

$\bullet$ $\langle a_{D_\infty},(l,m)\rangle=v_{D_{\infty}}(x_{2}^{l}w^{-m}) =v_{D_{\infty}}(({z_2}/{z_0})^{l}w^{-m})=-l$, поэтому $a_{D_\infty}=(-1,0)$;

$\bullet$ $\langle a_{D_{10}},(l,m)\rangle=v_{D_{10}}(x_{2}^{l}w^{-m})=v_{D_{10}}(x_2^{l}({w_1}/{w_0})^{-m})=m$, поэтому $a_{D_{10}}=(0,1)$;

$\bullet$ $\langle a_{D_{01}},(l,m)\rangle=v_{D_{01}}(x_2^{l}({w_1}/{w_0})^{-m})=-m$, поэтому $a_{D_{10}}=(0,-1)$;

$\bullet$ $\langle a_{D_{12}},(l,m)\rangle=v_{D_{12}}(x_{2}^{l}w^{-m})=v_{D_{12}}(({z_2}/{z_0})^{l}w^{-m})=l$, поэтому $a_{D_{12}}=(1,0)=\alpha_{12}^{\vee}$.

Таким образом, получаем цветной веер $\Sigma'$ многообразия $X'$, состоящий из следующих цветных конусов (рис. 1):

$\bullet$ 0-мерный конус $((0,0),\varnothing)$;

$\bullet$ 1-мерные конусы

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (-1,0)\rangle, \varnothing),\qquad (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (0,-1)\rangle, \varnothing), \\ (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (0,1)\rangle, \varnothing),\qquad (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (1,0)\rangle, D_{12}); \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

$\bullet$ 2-мерные конусы имеют следующий вид:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (-1,0),(0,1)\rangle, \varnothing),\qquad (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (-1,0),(0,-1)\rangle, \varnothing), \\ (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (1,0), (0,1)\rangle, D_{12}),\qquad (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (1,0), (0,-1)\rangle, D_{12}). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Теперь применим выпукло-геометрический критерий (см. следствие 8) к некомпактным орисферическим многообразиям $X$, полученным из $X'$ удалением некоторых $\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}$-стабильных дивизоров.

$\bullet$ Для $X:= X'\setminus D_{\infty}\cong \mathbb{C}^{2}\times\mathbb{P}^{1}$ получаем цветной веер $\Sigma$, как на рис. 2. Так как $\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle\overline{\mathbb{R}^{2}\setminus |\Sigma|}\cup\{\alpha_{12}^{\vee}\}\rangle=\mathbb{R}^{2}$, то $X$ допускает феномен Гартогса.

$\bullet$ Для $X:= X'\setminus D_{10}\cong \mathbb{P}^{2}\times\mathbb{C}^{1}$ получаем цветной веер $\Sigma$, как на рис. 3. Так как $\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle\overline{\mathbb{R}^{2}\setminus |\Sigma|}\cup\{\alpha_{12}^{\vee}\}\rangle\neq\mathbb{R}^{2}$, то $X$ не допускает феномен Гартогса.

Список литературы

1. D. N. Akhiezer, Lie group actions in complex analysis, Aspects Math., E27, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1995, viii+201 pp.  crossref  mathscinet  zmath
2. M. Andersson, H. Samuelsson, Koppelman formulas and the $\bar{\partial}$-equation on an analytic space, Institut Mittag-Leffler preprint series, 2008, 31 pp.
3. A. Andreotti, H. Grauert, “Théorèmes de finitude pour la cohomologie des espaces complexes”, Bull. Soc. Math. France, 90 (1962), 193–259  crossref  mathscinet  zmath
4. A. Andreotti, C. D. Hill, “E. E. Levi convexity and the Hans Lewy problem. I. Reduction to vanishing theorems”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (3), 26:2 (1972), 325–363  mathscinet  zmath
5. A. Andreotti, E. Vesentini, “Carleman estimates for the Laplace–Beltrami equation on complex manifolds”, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math, 25 (1965), 81–130  crossref  mathscinet  zmath
6. C. Bănică, O. Stănăşilă, Algebraic methods in the global theory of complex spaces, Editura Academiei, Bucuresti; John Wiley & Sons, Ltd., London–New York–Sydney, 1976, 296 pp.  mathscinet  zmath
7. Г. Э. Бредон, Теория пучков, Наука, М., 1988, 312 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: G. E. Bredon, Sheaf theory, Grad. Texts in Math., 170, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 1997, xii+502 с.  crossref  mathscinet  zmath
8. M. Brion, “Une extension du théorème de Borel–Weil”, Math. Ann., 286:4 (1990), 655–660  crossref  mathscinet  zmath
9. M. Brion, “Introduction to actions of algebraic groups”, Les cours du CIRM, 1:1 (2010), 1–22  crossref
10. M. Colţoiu, J. Ruppenthal, “On Hartogs' extension theorem on $(n - 1)$-complete complex spaces”, J. Reine Angew. Math., 2009:637 (2009), 41–47  crossref  mathscinet  zmath
11. R. J. Dwilewicz, “Holomorphic extensions in complex fiber bundles”, J. Math. Anal. Appl., 322:2 (2006), 556–565  crossref  mathscinet  zmath
12. S. Feklistov, A. Shchuplev, “The Hartogs extension phenomenon in toric varieties”, J. Geom. Anal., 31:12 (2021), 12034–12052  crossref  mathscinet  zmath
13. J. Gandini, “Embeddings of spherical homogeneous spaces”, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.), 34:3 (2018), 299–340  crossref  mathscinet  zmath
14. Комплексный анализ – многие переменные – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 74, ред. Г. Грауэрт, Т. Петернел, Р. Реммерт, Р. В. Гамкрелидзе, ВИНИТИ, М., 1996, 472 с.  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: Several complex variables VII. Sheaf-theoretical methods in complex analysis, Encyclopaedia Math. Sci., 74, ред. H. Grauert, Th. Peternell, R. Remmert, Springer-Verlag, Berlin, 1994, vi+369 с.  crossref
15. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, Мир, М., 1981, 600 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: R. Hartshorne, Algebraic geometry, Grad. Texts in Math., 52, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1977, xvi+496 с.  crossref  mathscinet  zmath
16. R. Harvey, “The theory of hyperfunctions on totally real subsets of a complex manifold with applications to extension problems”, Amer. J. Math., 91:4 (1969), 853–873  crossref  mathscinet  zmath
17. Дж. Хамфри, Линейные алгебраические группы, Наука, M., 1980, 400 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: J. E. Humphreys, Linear algebraic groups, Grad. Texts in Math., 21, Corr. 5th print., Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1998, xiv+247 с.  crossref  mathscinet  zmath
18. M. A. Marciniak, Holomorphic extensions in toric varieties, Thesis (Ph.D.), Missouri Univ. of Science and Technology, Missouri, 2009, 147 pp.  mathscinet
19. M. A. Marciniak, “Holomorphic extensions in smooth toric surfaces”, J. Geom. Anal., 22:4 (2012), 911–933  crossref  mathscinet  zmath
20. J. Merker, E. Porten, “The Hartogs extension theorem on $(n-1)$-complete complex spaces”, J. Reine Angew. Math., 2009:637 (2009), 23–39  crossref  mathscinet  zmath
21. G. Peschke, “The theory of ends”, Nieuw Arch. Wisk. (4), 8:1 (1990), 1–12  mathscinet  zmath
22. H. Rossi, “Vector fields on analytic spaces”, Ann. of Math. (2), 78:3 (1963), 455–467  crossref  mathscinet  zmath
23. J.-P. Serre, “Quelques problèmes globaux relatifs aux variétés de Stein”, Colloque sur les fonctions de plusieurs variables (Bruxelles, 1953), Georges Thone, Liège; Masson & Cie, Paris, 1953, 57–68  mathscinet  zmath
24. M. R. Sepanski, Compact Lie groups, Grad. Texts in Math., 235, Springer, New York, 2007, xiv+198 pp.  crossref  mathscinet  zmath
25. H. Sumihiro, “Equivariant completion”, J. Math. Kyoto Univ., 14:1 (1974), 1–28  crossref  mathscinet  zmath
26. N. Øvrelid, S. Vassiliadou, “Hartogs extension theorems on Stein spaces”, J. Geom. Anal., 20:4 (2010), 817–836  crossref  mathscinet  zmath
27. V. Vîjîitu, “On Hartogs' extension”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 201:1 (2022), 487–498  crossref  mathscinet  zmath
28. D. A. Timashev, Homogeneous spaces and equivariant embeddings, Encyclopaedia Math. Sci., 138, Invariant Theory and Algebraic Transformation Groups, 8, Springer, Heidelberg, 2011, xxii+253 pp.  crossref  mathscinet  zmath

Образец цитирования: С. В. Феклистов, “Феномен продолжения Гартогса в почти однородных алгебраических многообразиях”, Матем. сб., 213:12 (2022), 109–136; S. V. Feklistov, “The Hartogs extension phenomenon in almost homogeneous algebraic varieties”, Sb. Math., 213:12 (2022), 1715–1739
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Fek22}
\by С.~В.~Феклистов
\paper Феномен продолжения Гартогса в почти однородных алгебраических многообразиях
\jour Матем. сб.
\yr 2022
\vol 213
\issue 12
\pages 109--136
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9677}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9677}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4601675}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1522.32050}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022SbMat.213.1715F}
\transl
\by S.~V.~Feklistov
\paper The Hartogs extension phenomenon in~almost homogeneous algebraic varieties
\jour Sb. Math.
\yr 2022
\vol 213
\issue 12
\pages 1715--1739
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9677e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001005629400006}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165910052}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9677
  • https://doi.org/10.4213/sm9677
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v213/i12/p109
  • Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:324
    PDF русской версии:44
    PDF английской версии:93
    HTML русской версии:188
    HTML английской версии:85
    Список литературы:59
    Первая страница:7
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024