Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2022, том 213, номер 8, страницы 3–25
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9687
(Mi sm9687)
 

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Представление инвариантных подпространств в пространстве Шварца

Н. Ф. Абузяроваab

a Башкирский государственный университет, г. Уфа
b Институт математики с вычислительным центром, Уфимский федеральный исследовательский центр Российской академии наук, г. Уфа
Список литературы:
Аннотация: Рассматривается инвариантное относительно дифференцирования подпространство $W$ в пространстве Шварца $C^{\infty} (a;b)$ такое, что спектр сужения оператора дифференцирования на $W$ дискретен. Изучаются условия представимости $W$ в виде прямой алгебраической и топологической суммы двух его подпространств: резидуального подпространства и подпространства, порожденного экспоненциальными одночленами, содержащимися в $W$. Выясняется, что условием, обеспечивающим указанное представление, является наличие функционала, аннулирующего $W$, со свойством: преобразование Фурье–Лапласа этого функционала – медленно убывающая целая функция. Вводится и изучается новая характеристика комплексной последовательности. При помощи этой характеристики условие равенства инвариантного подпространства прямой сумме его резидуального и экспоненциального подпространств представляется в форме аналогичной по виду найденным ранее условиям допустимости слабого спектрального синтеза.
Библиография: 19 названий.
Ключевые слова: инвариантное подпространство, спектральный синтез, преобразование Фурье–Лапласа, медленно убывающая целая функция, пространства Шварца.
Финансовая поддержка Номер гранта
Министерство образования и науки Российской Федерации FZWU-2020-0027
Исследование выполнено в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (код научной темы FZWU-2020-0027).
Поступила в редакцию: 04.11.2021 и 14.04.2022
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 8, Pages 1020–1040
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9687e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: Primary 30D15, 47A15; Secondary 42B10

§ 1. Введение

Пусть $(a,b)$ – конечный или бесконечный интервал вещественной прямой, $\mathcal E(a,b) =C^{\infty} (a,b)$ – пространство Шварца, наделенное метризуемой топологией проективного предела банаховых пространств $C^k [a_k,b_k]$, где $[a_1,b_1]\Subset [a_2,b_2]\,{\Subset}\, {\dotsb}$ – какая-нибудь последовательность отрезков, исчерпывающая $(a,b)$. Известно, что $\mathcal E(a,b)$ – рефлексивное пространство Фреше. Обозначим через $W$ замкнутое и инвариантное относительно оператора дифференцирования $D={\mathrm{d}}/{\mathrm{d}t}$ (короче, $D$-инвариантное) подпространство этого пространства. Напомним, что резидуальный промежуток $I_W$ подпространства $W$ определяется как минимальный из всех относительно замкнутых в $(a,b)$ непустых промежутков $I$ со свойством: $W_{I}\subset W$, где

$$ \begin{equation} W_I=\{ f\in\mathcal E(a,b)\colon f^{(k)}(t)=0,\ t\in I, \ k=0,1, 2, \dots\}. \end{equation} \tag{1.1} $$
Существование $I_W$ впервые было установлено в [1; теорема 4.1]; этот факт также нетрудно вывести из общей двойственной схемы, примененной нами при исследовании задачи спектрального синтеза для оператора дифференцирования в $\mathcal E (a,b)$ (см. [2], [3; § 2]).

Пусть $\Lambda$ – последовательность кратных точек комплексной плоскости с единственной предельной точкой в бесконечности и $\operatorname{Exp} (\Lambda)$ – последовательность экспоненциальных одночленов, построенная по множеству показателей $(-\mathrm i\Lambda)$: точке $\lambda\in\Lambda$, которая встречается в этой последовательности $k$ раз, соответствует набор функций $e^{-\mathrm{i}\lambda t },te^{-\mathrm{i}\lambda t},\dots,t^{k-1}e^{-\mathrm{i}\lambda t }$.

Напомним, что радиус полноты $\rho (\Lambda)$ последовательности $\Lambda$ – это инфимум множества положительных чисел $d$ таких, что система функций $\operatorname{Exp} (\Lambda)$ не полна в $\mathcal E (-d,d)$.

Если $\rho (\Lambda)<(b-a)/2$, то в $\mathcal E(a,b)$ имеются нетривиальные $D$-инвариантные подпространства $W$, для которых спектр сужения оператора дифференцирования $D\colon W\to W$ дискретен и равен $(-\mathrm{i}\Lambda )$. В этом случае запас всех экспоненциальных одночленов, содержащихся в $W$, есть $\operatorname{Exp} (\Lambda)$. Резидуальный промежуток $I_W$ каждого такого подпространства $W$ удовлетворяет соотношению $|I_W|\geqslant 2 \rho (\Lambda )$, где $|I_W|$ – длина $I_W$. Задача спектрального синтеза для оператора дифференцирования в пространстве Шварца сформулирована в [1; § 6] в виде вопроса о справедливости представления

$$ \begin{equation} W=\overline{\operatorname{span} \operatorname{Exp} (\Lambda) +W_{I_W}}, \end{equation} \tag{1.2} $$
где $\operatorname{span} X$ – линейная оболочка множества $X\subset\mathcal E(a,b)$. Такое представление $D$-инвариантного подпространства $W$ выступает в роли обобщения равенства
$$ \begin{equation} W= \overline{\operatorname{span}\operatorname{Exp} (\Lambda)}, \end{equation} \tag{1.3} $$
которое означает, что подпространство $W$ допускает спектральный синтез в классическом смысле.

Причиной рассмотрения для $D$-инвариантных подпространств слабого спектрального синтеза (1.2) вместо классического (1.3) является наличие в $\mathcal E(a,b)$ подпространств вида $W_I$ (очевидно, $D$-инвариантных, нетривиальных при $I\neq (a,b)$ и не содержащих экспоненциальных одночленов).

Результаты о спектральном синтезе в слабом смысле (1.2) собраны в следующем утверждении.

Теорема A (см. [2; следствия 2, 3], [4; теоремы 1.1–1.3]). Пусть $W$ – $D$-инвариантное подпространство с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda)$ и резидуальным промежутком $I_W$.

1) Если $|I_W| >2\rho (\Lambda)$, то $W$ допускает слабый спектральный синтез (1.2).

2) Если $|I_W|<2 \rho (\Lambda)$, то $W=\mathcal E(a,b)$.

3) Среди $D$-инвариантных подпространств с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda)$ и резидуальным промежутком $I_W$ длины $2\rho (\Lambda)$ имеются как подпространства, допускающие слабый спектральный синтез (1.2), так и не допускающие его.

Из теоремы A следует, что $D$-инвариантное подпространство $W$ с конечным спектром допускает слабый спектральный синтез (1.2). Более того, в этом случае $W$ есть прямая сумма (алгебраическая и топологическая) конечномерного подпространства $\operatorname{span}\operatorname{Exp} (\Lambda)$ и резидуального подпространства $W_{I_W}$:

$$ \begin{equation} W=\operatorname{span}\operatorname{Exp} (\Lambda) \oplus W_{I_W}, \end{equation} \tag{1.4} $$
(см. [1; предложение 6.1]).

Версия слабого спектрального синтеза (1.2) служит вариантом обобщения (1.4) на случай бесконечного дискретного спектра. С другой стороны, в [1; § 6] сформулирован вопрос о справедливости представления в виде прямой (алгебраической и топологической) суммы

$$ \begin{equation} W=\overline{\operatorname{span}\operatorname{Exp} (\Lambda)} \oplus W_{I_W} \end{equation} \tag{1.5} $$
для $D$-инвариантного подпространства $W$ с бесконечным дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda)$ и резидуальным промежутком $I_W$. Однако авторы работы [1] указали, что не знают ответа на этот вопрос.

Нам удалось выяснить, что условия справедливости (1.5) для нетривиального $D$-инвариантного подпространства с бесконечным дискретным спектром аналогичны по форме условиям допустимости слабого спектрального синтеза (1.2), приведенным в теореме A. При этом вместо радиуса полноты $\rho(\Lambda )$ нужно использовать другую характеристику последовательности $\Lambda$. Определение этой новой характеристики $D_{\mathrm{sd}} (\Lambda)$ дается в § 2. Часть результатов о представлении (1.5) была анонсирована нами недавно в [5]. Параграфы 2 и 3 настоящей работы содержат, в том числе, их развернутое изложение, с полными доказательствами и сопутствующими замечаниями. В заключительном § 4 обсуждаются пограничные ситуации и примеры, иллюстрирующие их, а также свойства $D$-инвариантных подпространств, представимых в виде прямой суммы (1.5).

§ 2. Формулировка основных результатов

2.1. Вспомогательные сведения

Напомним, что алгебра Шварца $\mathcal P$ определяется как образ сильного сопряженного $\mathcal E'$ к пространству $\mathcal E=C^{\infty} (\mathbb R)$ при преобразовании Фурье–Лапласа $\mathcal F$:

$$ \begin{equation*} \mathcal P=\mathcal F (\mathcal E'), \quad \text{где }\ \mathcal F (S)=S(e^{-\mathrm itz}), \quad S\in\mathcal E'. \end{equation*} \notag $$
Топология и линейная структура в $\mathcal P$ индуцированы из $\mathcal E'$. Известно также, что $\mathcal P$ есть индуктивный предел счетной последовательности банаховых пространств $\{ P_k\}$, где пространство $P_k$ состоит из всех целых функций $\varphi$, для которых конечна норма
$$ \begin{equation*} \| \varphi\|_k =\sup_{z\in\mathbb C} \frac{|\varphi (z)|}{(1+|z|)^k e^{k|{\operatorname{Im}z}|}}, \qquad k=1,2,\dots\,. \end{equation*} \notag $$
Отсюда, в частности, следует, что $\mathcal P$ – локально выпуклое пространство типа $(\mathrm{LN}^*)$ (см. [6]). Кроме того, операция умножения функций непрерывна в $\mathcal P$, т.е. $\mathcal P$ – топологическая алгебра.

Для произвольного промежутка $I\subset \mathbb R$ введем пространство $\mathcal P(I)$, ассоциированное с $I$. Это пространство определяется как индуктивный предел последовательности банаховых пространств $\widetilde{P}_k$. В свою очередь, пространство $\widetilde{P}_k$, $k=1,2,\dots$, состоит из всех целых функций $\varphi$, для которых конечна норма

$$ \begin{equation*} \| \varphi\|_{I,k} =\sup_{z\in\mathbb C} \frac{|\varphi (z)|}{(1+|z|)^k\exp (dy^{+}-cy^{-})}, \qquad y^{\pm}=\max\{ 0,\pm y\}, \quad z=x+\mathrm{i} y, \end{equation*} \notag $$
в случае, когда $I=[c,d]$. Если же, скажем, $I=[c,b)$, то $\widetilde{P}_k$ – пространство целых функций, для которых конечна норма
$$ \begin{equation*} \| \varphi\|_{I,k} =\sup_{z\in\mathbb C} \frac{|\varphi (z)|}{(1+|z|)^k\exp (d_ky^{+}-cy^{-})}, \qquad y^{\pm}=\max\{ 0,\pm y\}, \quad z=x+\mathrm{i} y, \end{equation*} \notag $$
где $c<d_1<\dots < d_{k}\nearrow b$, $k\to\infty$. Для промежутков $I$ другого вида все определения даются с очевидными изменениями.

Вложения $\widetilde{P}_k\subset \widetilde{P}_{k+1}$ вполне непрерывны, поэтому $\mathcal P(I)$ – локально выпуклое пространство типа $(\mathrm{LN}^*)$. Кроме того, $\mathcal P(I)$ – топологический модуль над кольцом многочленов $\mathbb C[z]$. Алгебра Шварца $\mathcal P$ есть $\mathcal P(\mathbb R)$.

Для произвольного промежутка $I\subset\mathbb R$ обозначим через $\mathcal E(I)$ пространство всех бесконечно дифференцируемых на $I$ функций, снабженное метризуемой топологией проективного предела банаховых пространств, аналогично тому, как это было сделано выше для случая $ I=(a,b)$. Например, если $I=[c,d]$, то $\mathcal E(I)$ – проективный предел банаховых пространств $C^k[c,d]$; если $I=[c,d)$, $d<+\infty$, то $\mathcal E(I)$ – проективный предел банаховых пространств $C^k[c,d_k]$, где $c<d_k\nearrow d$, при $k\to\infty$.

Пространство $\mathcal E(I) $ и всякое его замкнутое подпространство $W$, снабженное индуцированной из $\mathcal E(I)$ топологией, являются рефлексивными пространствами Фреше.

Сильное сопряженное к $\mathcal E(I)$ пространство $\mathcal E'(I)$ состоит из всех распределений $S\in\mathcal E'$, носители которых лежат в $I$. При этом согласно теореме Пэли–Винера–Шварца (см. [7; теорема 7.3.1])

$$ \begin{equation*} \mathcal F(\mathcal E'(I)) =\mathcal P(I). \end{equation*} \notag $$

Пусть $W\subset \mathcal E (I)$ – $D$-инвариантное подпространство. Его аннуляторный подмодуль $\mathcal J$ в $\mathcal P(I)$ определяется формулой $\mathcal J=\mathcal F (W^0)$, где

$$ \begin{equation*} W^0=\{ S\in\mathcal E' (I)\colon S(f)=0\ \forall\, f\in W\}. \end{equation*} \notag $$

Пусть последовательность $\Lambda\subset\mathbb C$ такова, что система функций $\operatorname{Exp} (\Lambda)$ не полна в $\mathcal E(I)$. Положим

$$ \begin{equation} E(\Lambda, I)=\overline{\operatorname{span}\operatorname{Exp} (\Lambda)} \end{equation} \tag{2.1} $$
(замыкание берется в пространстве $\mathcal E(I)$). Ясно, что $E(\Lambda,I)$ – нетривиальное $D$-инвариантное подпространство в $\mathcal E(I)$, допускающее спектральный синтез.

Через $\mathcal J(\Lambda, I)$ обозначим совокупность всех функций $\varphi\in\mathcal P(I)$, обращающихся в нуль на $\Lambda$. Легко видеть, что $\mathcal J(\Lambda, I)$ – локализуемый подмодуль в $\mathcal P(I)$ (см. [8; § 1]). Из двойственной схемы, подробно изложенной нами в [2], [3], следует, что $\mathcal J(\Lambda, I)$ – аннуляторный подмодуль подпространства $E(\Lambda,I)$.

Пусть

$$ \begin{equation*} (E(\Lambda,I) )^0=\{ S\in\mathcal E' (I)\colon S(f)=0\ \forall\, f\in E(\Lambda,I) \}. \end{equation*} \notag $$
Сильное сопряженное к пространству Фреше $E(\Lambda, I)$ есть факторпространство $\mathcal E' (I)/(E(\Lambda,I) )^0 $. Преобразование Фурье–Лапласа $\mathcal F$ позволяет реализовать его как факторпространство целых функций $\mathcal P(I)/\mathcal J(\Lambda, I)$.

2.2. Характеристика $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$ и основные результаты

Для комплексной последовательности $\Lambda$ через $D_{\mathrm{BM}} (\Lambda)$ будем обозначать ее плотность Берлинга–Мальявена (см., например, [9; IX.D.2]). Согласно хорошо известной теореме Берлинга–Мальявена о радиусе полноты [9; X.B.3] имеет место равенство

$$ \begin{equation*} \rho (\Lambda )=\pi D_{\mathrm{BM}}(\Lambda). \end{equation*} \notag $$
Из этого равенства и теоремы Пэли–Винера–Шварца следует, что $D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)=+\infty$, если $\Lambda$ не является нулевым подмножеством никакой функции $\varphi\in\mathcal P$; в противном случае плотность $D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)$ есть инфимум множества всех положительных чисел $c$ таких, что в алгебре $\mathcal P$ имеется функция $\varphi$ экспоненциального типа $\pi c$, обращающаяся в нуль на $\Lambda$.

Напомним, что функция $\varphi\in\mathcal P$ называется медленно убывающей (“slowly decreasing function”), если существует $ a>0$ такое, что

$$ \begin{equation} \forall\, x\in\mathbb R\ \exists\, x'\in\mathbb R\colon |x-x'|\leqslant a\ln(2+|x|), \ |\varphi (x')|\geqslant (2+|x'|)^{-a}. \end{equation} \tag{2.2} $$
Для дальнейших рассмотрений заметим, что условие (2.2) может быть заменено на следующее, эквивалентное ему, но более общее по форме:
$$ \begin{equation} \forall\, x\in\mathbb R \quad \exists\, z'\in\mathbb C\colon |x-z'|\leqslant a\ln(2+|x|), \quad |\psi (z')|\geqslant (a+|z'|)^{-a} \end{equation} \tag{2.3} $$
(см. [10; § 3]).

Медленное убывание $\psi\in\mathcal P$ равносильно тому, что главный идеал, алгебраически порожденный этой функцией в $\mathcal P$, замкнут (см. [10]).

Приведем еще одно эквивалентное определение из работы [11]: функция $\varphi\in\mathcal P$ медленно убывающая, если существует постоянная $a_0>0$ такая, что выполнены оба следующих условия:

(SD1) каждая связная компонента $L_{\alpha}$ множества

$$ \begin{equation} L(\varphi, a_0) =\{ z\colon \ln|\varphi (z)|< -a_0 (|{\operatorname{Im}z}|+ \ln (2+|z|))\} \end{equation} \tag{2.4} $$
относительно компактна;

(SD2) для любой связной компоненты $L_{\alpha}$ множества $ L(\varphi, a_0)$ верно неравенство

$$ \begin{equation*} |{\operatorname{Im} \zeta}|+ \ln (2+|\zeta|)\leqslant a_0 (|{\operatorname{Im}z}|+ \ln (2+|z|)), \qquad \zeta, z\in L_{\alpha}. \end{equation*} \notag $$

Для последовательности $\Lambda\subset \mathbb C$ такой, что $D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)<+\infty$, введем еще одну характеристику, которую обозначим $D_{\mathrm{sd}} (\Lambda)$. Если $\Lambda$ не является нулевым подмножеством никакой медленно убывающей функции $\varphi\in\mathcal P$, то полагаем $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)=+\infty$. В противном случае $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$ по определению есть инфимум множества всех положительных чисел $c$ таких, что в алгебре $\mathcal P$ имеется медленно убывающая функция экспоненциального типа $\pi c$, равная нулю на $\Lambda$.

Как уже было сказано во введении, в вопросе о представлении $D$-инвариантного подпространства с бесконечным дискретным спектром в виде прямой суммы (1.5) величина $\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$ играет роль, аналогичную роли радиуса полноты $\rho (\Lambda)$ в теореме A.

Теорема 1. I. Пусть $W$ – $D$-инвариантное подпространство пространства $\mathcal E(a,b)$ с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda )$ и резидуальным промежутком $I_W$, причем $|I_W|<+\infty$.

1) Если $|I_W|>2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$ и выполнены оба соотношения

$$ \begin{equation} \varlimsup_{j\to\infty} \frac{\operatorname{Im} \lambda_j}{|\lambda_j|}<+\infty, \qquad \varliminf_{j\to\infty} \frac{\operatorname{Im} \lambda_j}{|\lambda_j|}>-\infty, \end{equation} \tag{2.5} $$
то $W$ имеет вид (1.5).

2) Обратно, пусть $W$ имеет вид (1.5). Тогда $|I_W|\geqslant 2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$.

При этом если $I_W\Subset (a,b)$, то справедливы оба неравенства (2.5). Если же включение $I_W\subset (a,b)$ не компактно и точка $a$ (либо $b$) – граничная для $I_W$, то справедливо первое (соответственно, второе) из соотношений (2.5).

II. Среди $D$-инвариантных подпространств с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda )$ и резидуальным промежутком $I_W$ длины $2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$ имеются подпространства, как допускающие представление (1.5), так и не допускающие его.

Для $D$-инвариантных подпространств с дискретным спектром и резидуальным промежутком бесконечной длины имеет место критерий.

Теорема 2. Пусть $W$ – $D$-инвариантное подпространство пространства $\mathcal E(a,b)$ с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda )$ и резидуальным промежутком $I_W =(-\infty,d]$ (либо $I_W=[c,+\infty )$). Представление (1.5) для подпространства $W$ верно тогда и только тогда, когда $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)<+\infty$ и выполнено первое (соответственно второе) из соотношений (2.5).

Из теорем 1, 2 вытекает

Следствие 1. Пусть $W$ – $D$-инвариантное подпространство пространства $\mathcal E(a,b)$ с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda )$ и резидуальным промежутком $I_W$.

Если $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)=+\infty$, то представление (1.5) не имеет места.

§ 3. Доказательство теорем 1 и 2

3.1. Сведение к двойственной интерполяционной задаче

Рассмотрим в пространстве $\mathcal E(a,b)$ нетривиальное $D$-инвариантное подпространство $W$ с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda) $ и резидуальным промежутком $I_W$. Пусть $U\colon E(\Lambda, (a,b))\to E(\Lambda, I_W)$ – оператор сужения, ставящий в соответствие каждой функции $f\in E(\Lambda, (a,b))$ ее сужение на промежуток $I_W$; здесь подпространство $E(\Lambda,I_W)$ определяется формулой (2.1) по последовательности $\Lambda $ и промежутку $I_W$.

Предложение 1. Для того чтобы $D$-инвариантное подпространство $W$, допускающее слабый спектральный синтез (1.2), представлялось в виде прямой суммы (1.5), необходимо и достаточно, чтобы оператор сужения

$$ \begin{equation} U\colon E(\Lambda, (a,b))\to E(\Lambda, I_W) \end{equation} \tag{3.1} $$
был линейным топологическим изоморфизмом.

Доказательство. Заметим, что в силу хорошо известного результата о единственности периодического в среднем продолжения функции (см. [12; § 1], [13; § 9]) подпространство $W_{I_W}\cap E(\Lambda, (a,b))$ тривиально. Следовательно, алгебраическая сумма подпространств $W_{I_W}$ и $E(\Lambda, (a,b))$ прямая. Если эта сумма совпадает с подпространством $W$, то она необходимо будет и топологической. Действительно, в этом случае соответствие $(f_1,f_2) \to f_1+f_2$ определяет непрерывное отображение пространства Фреше $W_{I_W}\times E(\Lambda, (a,b))$ на пространство Фреше $W$ и поэтому представляет собой изоморфизм (алгебраический и топологический) этих пространств.

Перейдем к доказательству достаточности. Функция $f\in \mathcal E(a,b)$ принадлежит подпространству $W$ в том и только в том случае, когда ее сужение $f|_{I_W}$ на промежуток $I_W$ есть элемент подпространства $E(\Lambda, I_W)$ (см. [1; предложение 6.2]). Поэтому, учитывая сюръективность оператора сужения $U$, для любой $f\in W$ можем найти функцию $f_1\in E(\Lambda, (a,b))$, удовлетворяющую соотношению $f|_{I_W}=f_1|_{I_W}$. Ясно, что тогда

$$ \begin{equation*} f_2=f-f_1\in W_{I_W},\quad f=f_1+f_2\in E(\Lambda, (a,b))\oplus W_{I_W}. \end{equation*} \notag $$

Необходимость. В силу цитированных в начале доказательства результатов о единственности периодического в среднем продолжения оператор сужения (3.1) – алгебраический и топологический мономорфизм. Для любой функции $f_0\in E(\Lambda, I_W)$ ее произвольное гладкое продолжение $f$ на интервал $(a,b)$ принадлежит $W$ согласно [1; предложение 6.2]. Поэтому $f=f_1+f_2$, где $f_1\in E(\Lambda, (a,b))$, $f_2\in W_{I_W}$. Откуда выводим, что $f_0=U(f_1)$. Таким образом, $U$ есть линейное непрерывное отображение пространства Фреше $E(\Lambda, (a,b))$ на пространство Фреше $E(\Lambda, I_W)$. Следовательно, это отображение – линейный топологический изоморфизм. Предложение доказано.

Рассмотрим два промежутка $I$, $\widetilde{I}\subset\mathbb R$, $I\subset \widetilde{I}$, и оператор

$$ \begin{equation*} U^*\colon \mathcal E' (I)/(E(\Lambda,I) )^0 \to\mathcal E' (\widetilde{I})/(E(\Lambda,\widetilde{I}) )^0, \end{equation*} \notag $$
сопряженный к оператору сужения $U\colon E(\Lambda,\widetilde{I}) \to E(\Lambda, I)$. Преобразование Фурье–Лапласа естественным образом определяет поднятие сопряженного оператора
$$ \begin{equation*} \widehat{U}\colon \mathcal P(I)/\mathcal J(\Lambda, I)\to \mathcal P(\widetilde{I})/\mathcal J(\Lambda, \widetilde{I}), \end{equation*} \notag $$
действующее по правилу: каждому классу смежности
$$ \begin{equation*} [\psi]\in \mathcal P(I)/\mathcal J(\Lambda, I), \qquad\psi\in \mathcal P(I), \end{equation*} \notag $$
ставится в соответствие класс смежности
$$ \begin{equation*} \widehat{U} ([\psi] )\in \mathcal P(\widetilde{I})/\mathcal J(\Lambda, \widetilde{I}), \qquad \widehat{U} ([\psi] )=\bigl\{\Psi=\psi+\Phi\colon \Phi\in \mathcal J(\Lambda, \widetilde{I}) \bigr\}. \end{equation*} \notag $$

Согласно [14; следствие из теоремы 7] оператор сужения $U\colon E(\Lambda,\widetilde{I}) \to E(\Lambda, I)$ является линейным топологическим изоморфизмом тогда и только тогда, когда

$$ \begin{equation} \widehat{U} (\mathcal P(I)/\mathcal J(\Lambda, I)) =\mathcal P(\widetilde{I})/\mathcal J(\Lambda, \widetilde{I}). \end{equation} \tag{3.2} $$
В этом случае и оператор $\widehat{U}$ – линейный топологический изоморфизм. Равенство (3.2) эквивалентно тому, что для любой функции $\Psi\in\mathcal P(\widetilde{I})$ найдется $\psi\in\mathcal P(I)$ со свойством: $(\Psi -\psi)\in \mathcal J(\Lambda, \widetilde{I})$, т.е. $\Psi (\Lambda) =\psi (\Lambda )$.

Сформулируем результат проведенного рассуждения в виде предложения.

Предложение 2. Оператор сужения $U$, действующий из $E(\Lambda,\widetilde{I})$ в $E(\Lambda, I)$, является линейным топологическим изморфизмом тогда и только тогда, когда разрешима следующая интерполяционная задача: для любой функции $\Psi \in\mathcal P(\widetilde{I})$ существует функция $\psi\in\mathcal P(I)$ такая, что разность $(\Psi-\psi )$ обращается в нуль на $\Lambda$.

В дальнейшем изложении мы будем называть интерполяционную задачу из предложения 2 интерполяционной задачей на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$.

Предложение 3. Для того чтобы $D$-инвариантное подпространство $W$, определенное соотношением (1.2), представлялось в виде прямой суммы (1.5), необходимо и достаточно, чтобы была разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(a,b)$ и $\mathcal P(I_W)$.

Это утверждение есть следствие предложений 1 и 2.

3.2. Решение интерполяционной задачи для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$

Всюду далее $I=\langle c,d\rangle$ – конечный или бесконечный промежуток, где “ $\langle$ ” может быть как круглой “ ( ”, так и квадратной “ [ ” скобкой, аналогичный смысл имеет “ $\rangle$ ”.

Теорема 3. Пусть последовательность $\Lambda=\{\lambda_j\}$ и промежуток $I=\langle c,d\rangle$ таковы, что экспоненциальная система $\operatorname{Exp} (\Lambda)$ не полна в $\mathcal E(I)$.

I. 1) Если $2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)<|I|$ и выполнены оба соотношения (2.5), то интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P$ и $\mathcal P(I)$ разрешима.

2) Предположим, что $|I|=+\infty$, $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)<+\infty$ и выполнено первое или второе из соотношений (2.5) в зависимости от вида промежутка: $I=(-\infty, d\rangle$ или $I=\langle c,+\infty )$ соответственно.

Тогда интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P$ и $\mathcal P(I)$ разрешима.

II. Предположим, что существует промежуток $\widetilde{I}\supset I$ со свойством: разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$.

Тогда $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)<+\infty$ и $2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)\leqslant |I|$. Если же дополнительно

$$ \begin{equation*} d\in (\widetilde{I}\setminus I)\cup (I\setminus\partial \widetilde{I}) \quad (\textit{или }\ c\in (\widetilde{I}\setminus I)\cup (I\setminus\partial \widetilde{I})), \end{equation*} \notag $$
то выполнено первое (соответственно второе) из соотношений (2.5).

Доказательство. I. 1) Согласно условию существуют медленно убывающая функция $\varphi\in\mathcal P(I)$, обращающаяся в нуль на $\Lambda$, и постоянная $M_0>0$ такая, что множество $\Lambda$ содержится в криволинейной полосе
$$ \begin{equation*} S=\bigl\{z=x+\mathrm{i} y \colon |y|\leqslant M_0\ln (2+|x|), \ x\in\mathbb R\bigr\}. \end{equation*} \notag $$
Отсюда, учитывая (2.2), нетрудно вывести, что найдется $A_1>0$ со свойством:
$$ \begin{equation*} \forall\, \lambda_j\in\Lambda \quad \exists\, x_j\in\mathbb R\colon |\lambda_j-x_j|\leqslant A_1\ln (2+|x_j|), \quad |\varphi (x_j)|\geqslant (2+|x_j|)^{-A_1}. \end{equation*} \notag $$
Применяя теорему об оценке снизу модуля аналитической функции в круге к функции $f_j={\varphi}/{\varphi (x_j)}$ и кругу $|z-x_j|\leqslant 2A_1\ln (2+|x_j|)$, находим окружность $C_j$ с центром в точке $x_j$ и радиуса
$$ \begin{equation*} r_j \in \bigl(A_1\ln (2+|x_j|), 2A_1\ln (2+|x_j|) \bigr) \end{equation*} \notag $$
такую, что
$$ \begin{equation*} |\varphi (z)|\geqslant (2+|z|)^{-A_0}, \qquad z\in C_j, \end{equation*} \notag $$
причем постоянная $A_0\geqslant 0$ не зависит от $j$ (а точка $\lambda_j$, очевидно, лежит внутри $C_j$).

Пусть $K_j$ – открытый круг с границей $C_j$,

$$ \begin{equation*} \mathcal K=\bigcup_j K_j, \qquad \mathcal C=\bigcup_j C_j, \qquad \widetilde{\mathcal U} =\mathcal K\setminus\mathcal C. \end{equation*} \notag $$
Множество $\widetilde{\mathcal U}$ состоит из счетного числа относительно компактных связных компонент $U_k$. При этом, вообще говоря, не все $U_k\subset\widetilde{\mathcal U}$ имеют с $\Lambda$ непустое пересечение. Определим множество
$$ \begin{equation*} \mathcal U=\bigcup_{U_k\cap \Lambda\neq \varnothing} U_k; \end{equation*} \notag $$
и для произвольного $A> A_0$ положим
$$ \begin{equation*} S_A=\{ z\in\mathbb C\colon |\varphi (z)|< (2+|z|)^{-A}\}. \end{equation*} \notag $$
Ясно, что $S_A\subset\mathcal U$.

Из включений $ \varphi$, $\varphi'={\mathrm{d}\varphi}/{\mathrm{d}z}\in\mathcal P(I)$ (последнее вытекает из теоремы Бернстейна, см. [15; гл. 11]) следует существование постоянной $M_1>0$ такой, что

$$ \begin{equation} |\varphi (z)|\leqslant (2+|z|)^{M_1}, \quad |\varphi ' (z)|\leqslant (2+|z|)^{M_1} \quad \forall\, z\in \overline{\mathcal U}. \end{equation} \tag{3.3} $$

Учитывая оценку (3.3) для $|\varphi '|$ и то, что диаметр каждой связной компоненты $U_k\subset \mathcal U$ есть величина $O(\ln |z|)$ для всех $z\in U_k$ при $k\to\infty$, нетрудно вывести существование постоянной $A'>A_0$ со свойством: для всех $U_k$ расстояние от множества $U_k\cap S_{A'}$ до границы множества $ U_k$ не меньше, чем $\sup_{z\in U_k} (2+|z|)^{-A'}$.

Построим функцию $\eta, $ бесконечно дифференцируемую во всей комплексной плоскости, равную нулю вне множества $\mathcal U$ и единице на множестве $\mathcal U\cap S_{A'}$, такую, что

$$ \begin{equation} \biggl|\frac{\partial\eta (z)}{\partial\overline z} \biggr|\leqslant (2+|z|)^{M_2}, \qquad z\in\mathbb C, \end{equation} \tag{3.4} $$
где постоянная $M_2>0$ не зависит от $z$ (см. [16; гл. I, § 1]).

Рассмотрим произвольную функцию $\Psi\in\mathcal P$. Положим $v=-\Psi \varphi^{-1}\,{\partial\eta}/{\partial\overline{z}}$. Принимая во внимание внутреннее описание алгебры $\mathcal P$, свойства функций $\varphi$, $\eta$ (в том числе, оценку (3.4)), выводим, что $v\in C^{\infty} (\mathbb C)$ и

$$ \begin{equation*} |v(z)|\leqslant (2+|z|)^{M_3}, \qquad z\in\mathbb C, \end{equation*} \notag $$
где $M_3$ – положительная постоянная. Согласно хорошо известному результату Л. Хермандера [17; теорема 4.4.2], существует бесконечно дифференцируемая в $\mathbb C$ функция $u$, удовлетворяющая уравнению
$$ \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial \overline{ z}} =v, \end{equation*} \notag $$
причем
$$ \begin{equation} |u(z)|\leqslant (2+|z|)^{M_4}, \qquad z\in\mathbb C, \end{equation} \tag{3.5} $$
где $M_4$ – положительная постоянная.

Функция $\psi=\varphi u+\Psi\eta$ есть искомое решение интерполяционной задачи. Действительно, $\Psi (\Lambda) =\psi (\Lambda)$, так как $\varphi (\Lambda )=0$. Далее,

$$ \begin{equation*} \frac{\partial \psi}{\partial \overline{z}} =\varphi \frac{\partial u}{\partial \overline{ z}}+\Psi\frac{\partial\eta}{\partial\overline z }=0, \end{equation*} \notag $$
и, значит, $\psi$ – целая функция.

Заметим, что $\mathcal U\subset\widetilde{S}$, где

$$ \begin{equation*} \widetilde{S}=\{z=x+\mathrm{i} y \colon |y|\leqslant \widetilde{M}_0\ln (2+|x|)\}, \end{equation*} \notag $$
$\widetilde{M}_0$ – положительная постоянная. Далее,
$$ \begin{equation*} \eta (z)=0, \qquad z\notin\mathcal U, \end{equation*} \notag $$
а функция $\Psi$ имеет в криволинейной полосе $\widetilde{S}$ степенной рост. Отсюда, учитывая (3.5), выводим, что $\psi\in\mathcal P(I)$.

2) Для определенности будем считать, что $I=(-\infty, d\rangle$. Пусть последовательность $\Lambda$ удовлетворяет первому из соотношений (2.5) и $\varphi\in\mathcal P(I)$ – медленно убывающая функция, обращающаяся в нуль на $\Lambda$.

Нам понадобится специальное разбиение комплексной плоскости на две неограниченные области, $G_+$ и $G_{-}$, первая из которых содержит открытую верхнюю полуплоскость, а вторая, соответственно, содержится в открытой нижней полуплоскости.

Для построения этого разбиения воспользуемся определением (2.2) медленно убывающей функции, замечая, что в нем можно без потери общности заменить неравенство $|x-x'|\leqslant a \ln(2+|x|)$ на неравенство $|x-x'|\leqslant a \ln(2+|x'|)$. Для каждой точки $x\in\mathbb R$ найдем точку $x'\in\mathbb R$, как в (2.2), и применим теорему об оценке снизу модуля аналитической функции к функции $f_x={\varphi}/{\varphi (x')}$ в круге $|z-x'|\leqslant 2a\ln (2+|x'|)$. Получим оценку

$$ \begin{equation} |\varphi (z)|\geqslant (2+|z|)^{-a'}, \qquad z\in C_x, \end{equation} \tag{3.6} $$
где постоянная $a'$ не зависит от $x$, $C_x$ – окружность с центром в точке $x'$ и радиуса
$$ \begin{equation*} r_x \in \bigl(a\ln (2+|x'|), 2a\ln (2+|x'|) \bigr). \end{equation*} \notag $$

Пусть $K_x$ – открытый круг с границей $C_x$, $I_x=K_x\cap \mathbb R$. Выделим из покрытия $\{I_x\}_{x\in\mathbb R}$ вещественной прямой счетное локально конечное подпокрытие $\{ I_{x_j}\}$: $\bigcup_{j}I_{x_j}=\mathbb R$. Нетрудно видеть, что из отрезков дуг окружностей $C_{x_j}, $ принадлежащих нижней полуплоскости, можно составить непрерывную кривую $\Gamma$, которая разделяет комплексную плоскость на две неограниченные области $G_+$ и $G_{-}$.

Воспользуемся версией определения медленно убывающей функции, состоящей в совокупности требований (SD1), (SD2) (см. п. 2.2). Без ограничения общности можем считать, что фигурирующая в (SD1) и (SD2) положительная постоянная $a_0$ удовлетворяет неравенству $a_0\geqslant a'$, где $a'$ – постоянная из оценки (3.6).

Ясно, что множество $L(\varphi,a_0)$, определенное формулой (2.4), центрировано с последовательностью нулей функции $\varphi$: оно содержит все нули функции $\varphi $ и каждая связная компонента $L_{\alpha}$ этого множества содержит хотя бы один нуль функции $\varphi$.

Положим $\Lambda_+=\Lambda\cap G_+$, $\Lambda_{-}=\Lambda\setminus\Lambda_+$. Обозначим через $\mathcal L_+$ объединение множества тех связных компонент $L_{\alpha}\subset L(\varphi,a_0)$, для которых

$$ \begin{equation*} L_{\alpha}\cap \Lambda_+\neq\varnothing, \end{equation*} \notag $$
а через $\mathcal L_{-}$ – объединение тех $L_{\alpha}\subset L(\varphi,a_0)$, для которых
$$ \begin{equation*} L_{\alpha}\cap \Lambda_-\neq\varnothing. \end{equation*} \notag $$
Оценка (3.6) выполнена всюду на $\Gamma$ – общей границе областей $G_+$ и $G_{-}$. Поэтому
$$ \begin{equation*} \mathcal L_+\subset G_+, \qquad \mathcal L_{-}\subset G_{-}. \end{equation*} \notag $$

Учитывая сказанное выше и то, что для $\Lambda$ выполнено первое из соотношений (2.5), будем рассуждать аналогично тому, как это было сделано в п. 1) настоящего доказательства при построении функции $\eta$. При этом связные компоненты $U_k$ множества $\mathcal U$ заменяем на связные компоненты $L_{\alpha}$ множества $ \mathcal L_{+}$. В результате проведенных рассуждений найдем постоянную $a_1>a_0$ и бесконечно дифференцируемую во всей комплексной плоскости функцию $\eta_{+}$, равную нулю вне множества $\mathcal L_{+}$ и единице на множестве $\mathcal L_{+}\cap L (\varphi, a_1)$ и удовлетворяющую оценке

$$ \begin{equation*} \biggl|\frac{\partial\eta_{+} (z)}{\partial\overline z}\biggr|\leqslant (2+|z|)^{b_1}, \qquad z\in\mathbb C, \end{equation*} \notag $$
где $b_1$ – положительная постоянная, не зависящая от $z$.

Далее, принимая во внимание условие (SD2), так как $\varphi'\in\mathcal P(I)$, выводим существование постоянной $a_2>a_0$ со свойством: для каждой компоненты $L_{\alpha}\subset \mathcal L_{-}$ расстояние от множества $L_{\alpha}\cap L(\varphi, a_2)$ до границы множества $L_{\alpha}$ не меньше, чем

$$ \begin{equation*} \sup_{z\in L_{\alpha}} \exp \bigl(-a_2(|{\operatorname{Im}z}|+\ln (2+|z|))\bigr), \end{equation*} \notag $$
где $a_2$ – положительная постоянная, не зависящая от $z$. Отсюда следует, что существует функция $\eta_{-}$, бесконечно дифференцируемая во всей комплексной плоскости, равная нулю вне множества $\mathcal L_{-}$ и единице на множестве $\mathcal L_{-}\cap L (\varphi, a_2)$ и такая, что
$$ \begin{equation*} \biggl|\frac{\partial\eta_{-}(z)}{\partial\overline z}\biggr|\leqslant \exp (b_2(|{\operatorname{Im}z}|+\ln (2+|z|))) \qquad z\in\mathbb C, \end{equation*} \notag $$
где $b_2$ – положительная постоянная, не зависящая от $z$.

Пусть $\Psi\in\mathcal P$ – произвольная функция. Верны оценки

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, |\Psi (z)|\leqslant (2+|z|)^M, \qquad z\in\mathcal L_{+}, \\ |\Psi (z)|\leqslant (2+|z|)^{M}e^{M|{\operatorname{Im}z}|}, \qquad z\in\mathcal L_{-}, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $M>0$ – не зависящая от $z$ постоянная. Положим
$$ \begin{equation*} \eta=\eta_++\eta_-, \qquad v=-\Psi \varphi^{-1}\frac{\partial\eta}{\partial\overline{z}}. \end{equation*} \notag $$
Из всего вышесказанного вытекает, что функция $v$ бесконечно дифференцируема в $\mathbb C$ и найдется постоянная $C_0>0$ со свойством:
$$ \begin{equation*} ve^{-p}\in L^2 (\mathbb C), \end{equation*} \notag $$
где $p$ – субгармоническая функция, определенная формулой
$$ \begin{equation*} p(z):=\begin{cases} C_0\ln (2+|z|),&\operatorname{Im} z\geqslant 0, \\ -C_0\operatorname{Im} z+C_0\ln (2+|z|),&\operatorname{Im} z <0. \end{cases} \end{equation*} \notag $$
Согласно теореме Хермандера [17; теорема 4.4.2] существует бесконечно дифференцируемое в $\mathbb C$ решение $u$ уравнения
$$ \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial \overline{ z}} =v, \end{equation*} \notag $$
удовлетворяющее оценке
$$ \begin{equation*} |u(z)|\leqslant \mathrm{const} \exp\{p(z)+\mathrm{const}\, \ln (2+|z|)\}. \end{equation*} \notag $$

Как и в п. 1) настоящего доказательства, рассмотрим функцию $\psi=\varphi u+\Psi\eta$ и убедимся в том, что $\Psi (\Lambda) =\psi (\Lambda)$ и $\psi\in\mathcal P(I)$.

II. Пусть $\varepsilon_0=\operatorname{dist} (I,\partial\widetilde{I})$. Фиксируем произвольное $\varepsilon \in (0,\varepsilon_0]$, для которого существует точка $a_{\varepsilon}\in \widetilde{I}\setminus I$ такая, что $\operatorname{dist}(a_{\varepsilon}, I)<\varepsilon$. Предположим для определенности, что $a_{\varepsilon}\geqslant d$. Это соответствует случаю $d\in (\widetilde{I}\setminus I)\cup (I\setminus\partial \widetilde{I})$. Согласно условию, для функции $\Psi (z)=\exp\{-\mathrm{i} a_{\varepsilon}z\}$ найдется функция $\psi\in \mathcal P(I) $ такая, что функция $\Phi:=\Psi-\psi$ обращается в нуль на множестве $\Lambda$.

Для $\psi$ имеем оценку

$$ \begin{equation*} \ln |\psi (z)| \leqslant d_1 y + M_{\psi}\ln (2+|x|), \quad z=x+\mathrm{i}y\quad \text{при } \ y>0, \end{equation*} \notag $$
где $m_{\psi}>0$ и либо $d_1<d$, либо можно выбрать $a_{\varepsilon}> d$, т.е. в любом случае $a_{\varepsilon }-d_1>0$. Поэтому найдутся постоянные $M_0>0$, $r_0>0$, зависящая только от $M_0, $ $y_0>0$, зависящая только от $M_0$ и $r_0$, такие, что
$$ \begin{equation*} \ln |\Phi (z)|\geqslant \frac12, \end{equation*} \notag $$
для всех
$$ \begin{equation*} z\in \{z=x+\mathrm{i}y\colon |x|\geqslant r_0,\ y\geqslant M_0\ln |x|\} \cup\{z=x+\mathrm{i}y\colon |x|\leqslant r_0,\ y\geqslant y_0\}. \end{equation*} \notag $$
Отсюда следует, что $\Phi$ – медленно убывающая функция. Более того, все нули этой функции, за исключением, быть может, конечного их числа, принадлежат множеству
$$ \begin{equation*} \bigl\{z=x+\mathrm{i}y\colon y\leqslant \max(y_0,\, M_0 \ln (|x|+2)), \ x\in\mathbb R \bigr\}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, выполнено первое из соотношений (2.5).

Домножая $\Phi$ на подходящий экспоненциальный множитель $\exp(-\mathrm{i}c_0z)$, получим медленно убывающую функцию экспоненциального типа, не превосходящего $(|I|+\varepsilon)/2$. Учитывая произвольность $\varepsilon$, заключаем, что $D_{\mathrm{sd}} (\Lambda )<+\infty$ и $2\pi D_{\mathrm{sd}} (\Lambda ) \leqslant |I|$.

Если имеет место включение $c\in (\widetilde{I}\setminus I)\cup (I\setminus\partial \widetilde{I})$, то, проводя аналогичные рассуждения с $a_{\varepsilon}\leqslant c$, можно показать, что выполнено второе из соотношений (2.5).

Теорема 3 доказана.

Замечание 1. Из доказательства п. II теоремы 3 видим, что если для последовательности $\Lambda $ выполнены соотношения (2.5) и $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)<\infty$, то для любого $\varepsilon >0$ найдется медленно убывающая функция экспоненциального типа, не превосходящего $\pi (D_{\mathrm{sd}} (\Lambda)+\varepsilon)$ такая, что соотношения вида (2.5) справедливы для всего ее нулевого множества $\Lambda'\supset\Lambda$.

Замечание 2. Из доказательства теоремы 3 также видно, что интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P$ и $\mathcal P(I)$ будет разрешима в случае, когда последовательность $\Lambda$ удовлетворяет (2.5) и более слабому требованию, чем условие $2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)<|I|$, а именно такому: подмодуль $\mathcal J(\Lambda,I)$ содержит медленно убывающую функцию.

Простейшая ситуация, реализующая последнее замечание, возникает, если $\Lambda$ совпадает с нулевым множеством какой-либо медленно убывающей функции экспоненциального типа $\sigma$ и $I$ – отрезок длины $2\pi\sigma$. Действительно, в этом случае $2\pi D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)=2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)=|I|$.

Ниже, в п. 4.3, мы проиллюстрируем замечание 2 более интересным примером, в котором $2\pi D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)<|I|$, $2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)=|I|$ и в подмодуле $\mathcal J(\Lambda,I)$ имеется медленно убывающая функция. А в п. 4.4 будет приведен пример, показывающий, что из неравенства $2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)\leqslant |I|$ не всегда следует существование медленно убывающей функции в нетривиальном подмодуле $J(\Lambda,I)$.

Комбинируя пп. I и II теоремы 3, получаем такое утверждение.

Следствие 2. Предположим, что для заданного промежутка $I$ найдется промежуток $\widetilde{I}\supset I$ такой, что разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$ и, дополнительно, выполнены оба соотношения (2.5) в случае, если $|I|<\infty$.

Тогда разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P$ и $\mathcal P(I)$.

Из утверждения II теоремы 3 следует, что дополнительное требование о соотношениях (2.5) в следствии 2 выполняется автоматически в случае, когда $I$ компактно принадлежит $\widetilde{I}$. Если же вложение $I\subset \widetilde{I}$ не компактно, то без предположения о справедливости (2.5) верно следующее, более слабое, утверждение.

Предложение 4. Предположим, что вложение $I\subset\widetilde{I}$ не компактно и $|\widetilde{I}|<\infty$.

Если разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$, то разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P (\widetilde I_{\infty})$ и $\mathcal P(I)$, где $\widetilde I_{\infty}$ – луч, содержащий промежуток $\widetilde{I}$ и имеющий с $I$ общую граничную точку.

Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что $I=[c,b)$, $\widetilde{I}\,{=}\,(a,b)$. Тогда $\widetilde{I}_{\infty} =(-\infty,b)$.

Положим $\sigma_0=c-a$ и покажем, что для любого $\sigma\in (0,\sigma_0)$ разрешима интерполяционная задача на $\Lambda $ для пространств $\mathcal P (a',b)$ и $\mathcal P (I)$, где $a'=a-\sigma$.

Пусть $c'=c-\sigma$, $b'=b-\sigma $ и $\Phi\in \mathcal P (a',b)$ – произвольная функция. Напишем представление

$$ \begin{equation} \Phi =\Phi_1 +\Phi_2, \qquad \Phi_1\in\mathcal P(a',b'), \quad \Phi_2\in\mathcal P(a,b). \end{equation} \tag{3.7} $$
Обоснование возможности представления (3.7) будет дано ниже. По условию для функций $\Phi_1e^{-\mathrm{i}\sigma z}$ и $\Phi_2$, принадлежащих $\mathcal P(a,b)$, в пространстве $\mathcal P(I)$ найдутся функции $\widetilde\varphi_1$ и $\varphi_2$, совпадающие с ними на множестве $\Lambda$. Далее, для функции $\psi_1 =\widetilde\varphi_1e^{\mathrm{i}\sigma z}\in\mathcal P(a,b)$ существует функция $\varphi_1\in\mathcal P(I)$ такая, что
$$ \begin{equation*} \varphi_1 (\Lambda) =\psi_1 (\Lambda) =\Phi_1 (\Lambda). \end{equation*} \notag $$
Положим $\varphi =\varphi_1+\varphi_2$. Видим, что $\varphi\in\mathcal P(I)$ и $\varphi (\Lambda) =\Phi (\Lambda)$. Таким образом, интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(a',b)$ и $\mathcal P(I)$ разрешима.

Аналогично доказывается, что разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(a'',b)$ и $\mathcal P(I)$, где $a'' =a'-\sigma'$, и $\sigma'$ – произвольное положительное число, меньшее $(c\,{-}\,a')$. Продолжая эти рассуждения, приходим к разрешимости интерполяционной задачи на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{a},b)$ и $\mathcal P(I)$ при любом конечном $\widetilde{a}$, а значит, и для пары пространств $\mathcal P(-\infty,b)$ и $\mathcal P(I)$.

Для завершения доказательства осталось обосновать возможность представления (3.7) для $\Phi\in \mathcal P (a',b)$. Согласно теореме Пэли–Винера–Шварца, $\Phi\,{=}\, \mathcal F(S)$ для некоторого $S\in\mathcal E' (a',b)$. Обозначим замыкание выпуклой оболочки носителя распределения $S$ через $\operatorname{ch}\operatorname{supp} S$. Имеем

$$ \begin{equation*} \operatorname{ch}\operatorname{supp} S=[t_1,t_2]\subset (a',b). \end{equation*} \notag $$
Если $(a,b')\cap (t_1,t_2)=\varnothing$, то одно из слагаемых в правой части представления (3.7) полагаем равным нулю. Менее тривиален случай, когда
$$ \begin{equation*} (a,b')\cap (t_1,t_2)\neq\varnothing. \end{equation*} \notag $$
В этом случае, поделив, если нужно, $\Phi$ на подходящий многочлен $p$, получим функцию $\Psi =\Phi p^{-1}\in \mathcal P (a',b)$ со свойством
$$ \begin{equation*} T=\mathcal F^{-1} (\Psi)\in(C [t_1,t_2])'. \end{equation*} \notag $$
Хорошо известно, что действие $T$ на элементы пространства $C [t_1,t_2]$ (в частности, и на функции $f\in\mathcal E(a',b)$) реализуется интегралом Стилтьеса:
$$ \begin{equation*} T(f) =\int_{t_1}^{t_2} f(t)\,\mathrm{d} v(t), \end{equation*} \notag $$
где $v$ – функция ограниченной вариации на отрезке $[t_1,t_2]$, зависящая от $T$ и определяемая с точностью до постоянного слагаемого.

Выберем и зафиксируем точку $t_0\in (a,b')\cap (t_1,t_2)$, в которой функция $v$ непрерывна, и положим

$$ \begin{equation*} v_1(t)=\begin{cases} v(t),&t\in [t_1,t_0], \\ v(t_0),&t\in (t_0,t_2], \end{cases} \qquad v_2=v-v_1. \end{equation*} \notag $$
Имеем
$$ \begin{equation*} T=T_1+T_2, \qquad T_j(f) =\int_{t_1}^{t_2} f(t)\,\mathrm{d} v_j (t), \quad j=1,2, \end{equation*} \notag $$
причем $\operatorname{ch}\operatorname{supp} T_1 \subset [t_1,t_0]\subset (a',b')$, $\operatorname{ch}\operatorname{supp} T_2 \subset [t_0,t_2]\subset (a,b)$. Следовательно,
$$ \begin{equation*} \Psi=\Psi_1+\Psi_2, \qquad \Psi_1=\mathcal F(T_1) \in\mathcal P (a',b'), \quad \Psi_2=\mathcal F(T_2) \in\mathcal P (a,b). \end{equation*} \notag $$
Полагая $\Phi_j=\Psi_j p$, $j=1,2$, получаем искомое представление (3.7) для функции $\Phi$. Предложение доказано.

Отметим, что утверждениям п. II теоремы 3 можно придать такую форму.

Следствие 3. 1) Если в условиях теоремы 3

$$ \begin{equation*} 2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)>|I| \quad\textit{или }\ D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)=+\infty, \end{equation*} \notag $$
то ни при каком $\widetilde{I}\supset I$ интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$ не разрешима.

2) Пусть $\Lambda$ и $I=\langle c,d \rangle$ такие же, как в теореме 3. Если для промежутка $\widetilde{I}\supset I$ выполнено

$$ \begin{equation*} d\notin \partial \widetilde{I}, \qquad \varlimsup_{j\to\infty} \frac{\operatorname{Im} \lambda_j}{\ln |\lambda_j|}=+\infty \end{equation*} \notag $$
или
$$ \begin{equation*} c\notin \partial \widetilde{I}, \qquad \varliminf_{j\to\infty} \frac{\operatorname{Im} \lambda_j}{\ln |\lambda_j|}=-\infty, \end{equation*} \notag $$
то интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$ не разрешима.

Из утверждений I, 2) и II теоремы 3 получаем критерий разрешимости интерполяционной задачи на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P$ и $\mathcal P(I)$ в случае бесконечного промежутка $I$.

Следствие 4. Пусть $\Lambda\subset\mathbb C$, $D_{\mathrm{BM}} (\Lambda) <+\infty$, $I=( -\infty,d\rangle$ (или $I\,{=}\,\langle c,+\infty)$).

Для того чтобы была разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P$ и $\mathcal P(I)$, необходимо и достаточно, чтобы $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)<+\infty $ и выполнялось первое (соответственно второе) из соотношений (2.5).

3.3. Завершение доказательства теорем 1 и 2

Прежде всего заметим, что в условиях утверждения I, 1) теоремы 1 и в условиях теоремы 2 $D$-инвариантное подпространство $W$ с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda)$ и резидуальным интервалом $I_W$ имеет вид (1.2). Это следует из очевидного соотношения $D_{\mathrm{BM}}(\Lambda) \leqslant D_{\mathrm{sd}} (\Lambda)$ и приведенной во введении теоремы A. Поэтому справедливость п. I, 1) в теореме 1 вытекает из предложения 3 и утверждения I, 1) теоремы 3. А справедливость теоремы 2 – из предложения 3 и следствия 4.

Далее, применяя предложение 3 и п. II теоремы 3 с $\widetilde{I}=(a,b)$, $I=I_W$, выводим справедливость утверждений п. I, 2) теоремы 1.

Для обоснования положительной части утверждения II теоремы 1 рассмотрим распределение $S\in\mathcal E' (a,b)$, преобразование Фурье–Лапласа которого есть целая функция $\varphi=e^{\mathrm{i}\gamma z}s$, где $s (z)=\widetilde{s}(t_0z)$ при некотором $t_0>0$, а $\widetilde{s}$ – функция типа синуса. Определим $D$-инвариантное подпространство

$$ \begin{equation} W_S =\{ f\in\mathcal E (a,b)\colon S(f^{(k)}) =0,\ k=0,1,\dots\}. \end{equation} \tag{3.8} $$

В [3; § 3] и [18; § 1] установлены следующие факты о подпространстве $W_S$:

1) это подпространство имеет дискретный спектр $(-\mathrm{i}\Lambda)$, где $\Lambda$ – нулевое множество функции $\varphi$;

2) резидуальный промежуток подпространства $W_S$ представляет собой отрезок $[c,d]\subset (a,b)$ длины $2\pi D_{\mathrm{BM}} (\Lambda)$;

3) $W_S$ допускает слабый спектральный синтез (1.2).

В силу предложения 3 возможность представления $W_S$ в виде (1.5) равносильна разрешимости интерполяционной задачи на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(a,b)$ и $\mathcal P([c,d])$.

Заметим, что $\mathcal J(\Lambda, [c,d]) $ – главный подмодуль, порожденный медленно убывающей функцией $\varphi$ в модуле $\mathcal P([c,d])$. Последовательность $\Lambda =\{\lambda_j\}$ совпадает, с точностью до положительного множителя, с последовательностью нулей функции типа синуса. Поэтому $\operatorname{Im} \lambda_j =O(1)$, $j\to\infty$. Согласно замечанию 2 интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(a,b)$ и $\mathcal P([c,d])$ разрешима.

Приведем теперь пример $D$-инвариантного подпространства с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda )$ и резидуальным промежутком $I_W$ длины $2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$, не допускающего представления (1.5).

Пусть $T\in \mathcal E' (-\pi,\pi)$ – распределение, преобразование Фурье–Лапласа которого есть

$$ \begin{equation*} \varphi (z)=\frac{\sin\pi z}{s_0(z)\omega (z)}, \quad\text{где }\ s_{0}(z) =\frac{\sin(\pi\sqrt{z})}{\pi\sqrt{z}}, \quad \omega(z) =\prod_{k=1}^{\infty}\biggl(1-\frac{z}{2^{2n}+1}\biggr). \end{equation*} \notag $$
Подпространство $W_T\subset \mathcal E (-\pi,\pi)$, определенное формулой (3.8), с заменой $S$ на $T$, имеет дискретный спектр $(-\mathrm{i}\Lambda)$, где $\Lambda$ – нулевое множество функции $\varphi$. Ясно, что $\Lambda \subset\mathbb Z$ и $ D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)=D_{BM }(\Lambda)=1$. С другой стороны, известно, что $W_T$ не допускает слабого спектрального синтеза (1.2) (см. [1; теорема 1.2]). Тем более, для $W_T$ не может иметь места представление (1.5).

§ 4. Дальнейшие свойства представимых в виде прямой суммы $D$-инвариантных подпространств и характеристики $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$

4.1. Пример $D$-инвариантного подпространства вида (1.5) с конечным некомпактным резидуальным промежутком, спектр которого не удовлетворяет одному из соотношений (2.5)

Рассмотрим функцию

$$ \begin{equation*} \varphi (z) =\frac{s(-\mathrm{i} z)\, \sin\pi z }{s(z)}, \quad \text{где }\ s(z)= \prod_{k=1}^{\infty}\biggl( 1-\frac{z}{2^k}\biggr). \end{equation*} \notag $$
Нулевое множество этой функции
$$ \begin{equation*} \mathcal M =\bigl(\mathbb Z\setminus \{2^k\}_{k=1}^{\infty}\bigr)\cup \{2^k\mathrm{i}\}_{k=1}^{\infty} \end{equation*} \notag $$
не удовлетворяет первому из соотношений (2.5) и удовлетворяет второму. Считающая функция $\nu$ последовательности $\mathcal M$ имеет асимптотику
$$ \begin{equation*} \nu (t) =(\log_2 t +O(1)), \qquad t\to\infty. \end{equation*} \notag $$
Используя известную технику из теории целых функций (см., например, [15; III.3.5]), нетрудно проверить, что оценки
$$ \begin{equation} A\ln^2(2+ |z|)-B_{\delta}\ln (2+|z|)\leqslant\ln |s(z)|\leqslant A\ln^2(2+ |z|)+B_{\delta}\ln (2+|z|) \end{equation} \tag{4.1} $$
справедливы для любого достаточно малого $\delta>0$ вне кружков $|z-2^{k}|< \delta$, $k=1,2,\dots$ . Здесь $A =(\ln 2)^{-1}$, а положительная постоянная $B_{\delta} $ зависит только от $\delta$.

Хорошо известно, что при любом достаточно малом $\delta>0$ будет

$$ \begin{equation} \ln |{\sin\pi z}| =\pi|{\operatorname{Im}z}| + O(1), \quad |z|\to\infty, \quad |z-k|\geqslant\delta, \quad k\in\mathbb Z. \end{equation} \tag{4.2} $$
Из (4.1) и (4.2) следует, что
$$ \begin{equation} \pi |{\operatorname{Im}z}|-C_{\delta}\ln (2+|z|)\leqslant\ln |\varphi (z)|\leqslant \pi|{\operatorname{Im}z}|+C_{\delta}\ln (2+|z|) \end{equation} \tag{4.3} $$
для всех $z$, удовлетворяющих неравенствам $|z-\mu_j|\geqslant \delta$, $\mu_j\in\mathcal M$, где $\delta>0$ достаточно мало. Следовательно, $D_{\mathrm{sd}} (\Lambda)=1$.

Положим $I=[-\pi,\pi+\varepsilon )$, $\varepsilon >0$. Так как последовательность $\mathcal M$ не удовлетворяет первому из соотношений (2.5), интерполяционная задача на $\mathcal M$ не разрешима для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$, где $\widetilde{I}$ – любой промежуток, содержащий отрезок $\overline{I}=[-\pi, \pi+\varepsilon ]$. Тем не менее интерполяционная задача на $\mathcal M$ для пары пространств $\mathcal P(-\infty, \pi+\varepsilon )$ и $\mathcal P(I)$ разрешима. Докажем это. Будем рассуждать по схеме доказательства п. I, 2) теоремы 3. В силу оценок (4.3) и оценки сверху для $\ln |\varphi' (z)|$, вытекающей из теоремы Бернстейна, можем построить бесконечно дифференцируемую в $\mathbb C$ функцию $\eta $ со следующими свойствами:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \eta (z)= \begin{cases} 0, &z\notin{\displaystyle\bigcup_{j} K(\mu_j,2\delta)}, \\ 1, &z\in{\displaystyle\bigcup_{j} K(\mu_j,\delta)}, \end{cases} \\ \biggl|\frac{\partial\eta}{\partial\overline z} \biggr|\leqslant a_0, \qquad z\in\mathbb C, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $a_0>0$ не зависит от $z$ и $K(\mu,r) =\{z\colon |z-\mu|\leqslant r\}$.

Пусть $\Psi\in\mathcal P (-\infty,\pi+\varepsilon )$. Положим

$$ \begin{equation*} v=-\Psi \varphi^{-1}\frac{\partial\eta}{\partial\overline{z}}, \qquad p(z)= C_0\ln (2+|z|), \end{equation*} \notag $$
где $C_0$ – положительная постоянная. Из сказанного выше следует, что
$$ \begin{equation*} v\in C^{\infty} (\mathbb C), \qquad ve^{-p}\in L^2 (\mathbb C) \end{equation*} \notag $$
при достаточно большом значении $C_0>0$. По теореме Хермандера [17; теорема 4.4.2] существует решение уравнения
$$ \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial \overline{ z}} =v, \end{equation*} \notag $$
бесконечно дифференцируемое в $\mathbb C$ и удовлетворяющее оценке
$$ \begin{equation*} |u(z)|\leqslant \mathrm{const}\exp\bigl(p(z)+\mathrm{const}\,\ln (2+|z|)\bigr). \end{equation*} \notag $$
Положим $\psi=\varphi u+\Psi\eta$. Легко видеть, что $\Psi (\Lambda) =\psi (\Lambda)$ и $\psi\in\mathcal P(I)$. С учетом произвольности выбора $\Psi\in\mathcal P(-\infty, \pi+\varepsilon)$ отсюда заключаем, что интерполяционная задача на $\mathcal M$ для пары пространств $\mathcal P(-\infty, \pi+\varepsilon)$ и $\mathcal P(I)$ разрешима.

4.2. О разложении в ряд со скобками из экспоненциальных многочленов

Из результатов работ [10] и [11], замечания 2 и следствия 2, а также предложения 3 вытекают дополнительные свойства элементов $D$-инвариантного подпространства, представимого в виде прямой суммы (1.5).

Теорема 4. Пусть $D$-инвариантное подпространство $W\subset\mathcal E(a,b)$ имеет вид (1.5) и выполнено хотя бы одно из условий $|I_W|=+\infty$ или (2.5).

Тогда существует разбиение последовательности $\Lambda$ на попарно не пересекающиеся конечные подмножества $\Lambda_k$, $k=1,2,\dots$, такое, что любая функция $f\in W$ единственным образом представляется в виде суммы $f=f_1+f_2$, где

$$ \begin{equation} f_1\in W_{I_W}, \quad f_2 (t)=\sum_{k=1}^{\infty}\biggl(\sum_{\lambda_j\in\Lambda_k} p_{j}(t)\exp(-\mathrm{i}\lambda_jt)\biggr), \end{equation} \tag{4.4} $$
$p_j$ – многочлены, причем внешняя сумма (по $k$) для $f_2$ сходится в топологии пространства $\mathcal E (\mathbb R)$.

Доказательство. По условию каждая функция $f\in W$ допускает единственное представление
$$ \begin{equation} f=f_1+f_2, \qquad f_1\in W_{I_W}, \quad f_2 \in E(\Lambda, (a,b)). \end{equation} \tag{4.5} $$
Используя п. I, 2) теоремы 1, теорему 2, п. I, 2) теоремы 3 и предложение 3, выводим, что, во-первых, функция $f_2$ из (4.5) единственным образом продолжается до функции $F_2\in E(\Lambda,\mathbb R)$, во-вторых, существует медленно убывающая функция $\psi\in\mathcal P(a,b)$, равная нулю на множестве $\Lambda$. Здесь мы также принимаем во внимание выполнение хотя бы одного из условий $|I_W|=+\infty$ или (2.5).

Из факта существования в $\mathcal P(a,b)$ медленно убывающей функции, обращающейся в нуль на $\Lambda$, согласно [10; теорема 3.1] (см. также [11; теорема 9]), следует, что функция $F_2$ представляется в виде ряда (4.4), сходящегося в $\mathcal E(\mathbb R)$. Теорема доказана.

Замечание 3. Если в условиях теоремы 4 промежуток $I_W$ и интервал $(a,b)$ имеют общую конечную граничную точку, например, $I_W =[c,b)$, то подпространство $W$ состоит из сужений на $(a,b)$ функций из $D$-инвариантного подпространства $\widetilde{W}\subset \mathcal E (a,+\infty)$, причем

$$ \begin{equation*} \widetilde{W} =W_{[c,+\infty)}\oplus E(\Lambda,\mathbb R), \end{equation*} \notag $$
и для $\widetilde{W}$ справедлива теорема 4.

Замечание 4. Если $D$-инвариантное подпространство $W\subset\mathcal E(a,b)$ имеет вид (1.5), а вложение $I_W\subset (a,b)$ не компактно и $|I_W|<+\infty$, то, как показывает пример из п. 4.1, вообще говоря, одно из соотношений (2.5) может не выполняться. Пусть, например, $I_W=[c,b)$. В этом случае согласно предложениям 3 и 4 гарантировано лишь продолжение функции $f_2$ из (4.5) до периодической в среднем функции на луче $(-\infty,b)$, т.е. до элемента пространства $E(\Lambda, (-\infty, b))$. И, значит, вообще говоря, не применима [10; теорема 3.1] о представлении функций, периодических в среднем на всей прямой, в виде ряда из экспоненциальных полиномов. Однако, анализируя доказательство этой теоремы, можно усмотреть, что в условиях настоящего замечания периодическое в среднем продолжение на луч $(-\infty,b)$ функции $f_2$ раскладывается в ряд из экспоненциальных полиномов, сходящийся со скобками в пространстве $\mathcal E (-\infty, b-d)$ при достаточно большом $d>0$. С другой стороны, анализ того же доказательства показывает, что в некоторых случаях $d$ может оказаться равным $0$. В частности, это справедливо для функций из $D$-инвариантного подпространства, рассмотренного в п. 4.1.

Сделанные замечания подводят к следующим вопросам о разложении элементов $D$-инвариантных подпространств в ряд из экспоненциальных многочленов: при каких условиях каждая функция из подпространства $E(\Lambda, (a,b))$ или $E(\Lambda, I_W)$ представляется в виде такого ряда, сходящегося при некоторой группировке его членов в топологии пространства $\mathcal E(a,b)$ или соответственно пространства $\mathcal E(I_W)$? Этим вопросам эквивалентны более общие, чем рассмотренные в настоящей работе, интерполяционные задачи на $\Lambda$ для пространств $\mathcal P(a,b) $, $\mathcal P (I_W)$. Изучать их мы планируем в другом месте.

4.3. Возможные соотношения между плотностями $D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)$ и $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$

В работе [5] нами был приведен пример последовательности $\Lambda$, для которой

$$ \begin{equation*} D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)=0, \qquad D_{\mathrm{sd}}(\Lambda) =\infty. \end{equation*} \notag $$
Эта последовательность состоит из точек $j^2$, каждая взята с кратностью $[\ln^{3/2}j]$, $j=2,3,\dots$ .

Здесь будет показано, что для любого $\delta\in (0,1)$ существует последовательность $\Lambda$, удовлетворяющая условиям

$$ \begin{equation*} 0<D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)<\delta, \qquad D_{\mathrm{sd}}(\Lambda) =1. \end{equation*} \notag $$
Эта последовательность служит нетривиальной иллюстрацией к замечанию 2.

Фиксируем $M_0\in\mathbb N$, $M_0>\delta^{-1}$, и положим $\Lambda =\Lambda'\cup \Lambda''$, где $\Lambda'=\{\pm kM_0\}_{k=1}^{\infty}$, $\Lambda''=\bigcup_{j=0}^{\infty}\Lambda''_j$,

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \Lambda''_0 =\{ k_0M_0+1, \ k_0M_0+2,\dots, k_0M_0+[\ln^3(k_0M_0)]\}, \\ \Lambda''_j =\{ k_jM_0+1, \ k_jM_0+2,\dots, k_jM_0+[\ln^3(k_jM_0)]\}, \\ k_j =\biggl[\frac{2^{k_{j-1}M_0}}{M_0}\biggr]+1, \qquad j=1,2,\dots, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
при этом натуральное число $k_0$ выбирается столь большим, что
$$ \begin{equation*} \Lambda'\cap\Lambda''=\varnothing, \qquad\Lambda'_{j}\cap\Lambda'_{j+1}=\varnothing, \quad j=0,1,\dots\,. \end{equation*} \notag $$

Опираясь, например, на результаты работы [9; IX.D], нетрудно убедиться в том, что $D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)={1}/{M_0}$. Также ясно, что $D_{\mathrm{sd}} (\Lambda)\leqslant 1$, так как $\Lambda$ – подмножество нулей медленно убывающей функции ${\sin\pi z}/(\pi z)$, принадлежащей $\mathcal P([-\pi,\pi])$. Покажем, что $\Lambda$ не является нулевым подмножеством никакой медленно убывающей функции экспоненциального типа $\sigma<\pi$.

Предположим противное: пусть $\varphi$ – медленно убывающая функция экспоненциального типа $\sigma<\pi$ такая, что $\varphi (\Lambda) =0$. В силу замечания 1, сделанного нами выше, в п. 3.2, и [19; лемма 1], можем считать, что нулевое множество $Z_{\varphi}$ функции $\varphi$ лежит на вещественной оси. Введем обозначения: $\mathcal M=Z_{\varphi}\setminus \Lambda$, $n_{Z_{\varphi}} (t)$ – число точек последовательности $Z_{\varphi }$ в промежутке $(0,t]$, $t>0$, и $(-n_{Z_{\varphi}} (t))$ – число точек последовательности $Z_{\varphi }$ в промежутке $[t,0)$, $t<0$. Аналогичный смысл имеют обозначения $n_{\Lambda} (t)$, $n_{\mathcal M} (t)$.

Согласно [19; теорема 1] должно выполняться соотношение

$$ \begin{equation} n_{Z_{\varphi}} (t)-\gamma t=O(\ln^2|t|), \qquad |t|\to\infty, \end{equation} \tag{4.6} $$
где $\gamma =\sigma/\pi \in (M_0^{-1},1)$.

Полагая

$$ \begin{equation*} \widetilde t_j=k_jM_0, \qquad t_j=k_jM_0+[\ln^3(k_jM_0)], \quad j=0, 1,\dots, \end{equation*} \notag $$
можем написать
$$ \begin{equation} n_{\Lambda} (\widetilde t_j) =\frac{1}{M_0}\widetilde t_j +O(\ln^2\widetilde t_j), \qquad j\to\infty, \end{equation} \tag{4.7} $$
$$ \begin{equation} n_{\Lambda} ( t_j) =\frac{1}{M_0}\widetilde t_j +[\ln^3(\widetilde t_j)]+O(\ln^2\widetilde t_j), \qquad j\to\infty. \end{equation} \tag{4.8} $$

Из (4.6) и (4.7) следует, что

$$ \begin{equation*} n_{\mathcal M} (\widetilde t_j) = \biggl(\gamma-\frac{1}{M_0}\biggr)\widetilde t_j +O(\ln^2\widetilde t_j), \qquad j\to\infty. \end{equation*} \notag $$
Отсюда и из (4.8) выводим, что
$$ \begin{equation*} n_{Z_{\varphi}} (t_j)\geqslant \gamma \widetilde t_j +[\ln^3(\widetilde t_j)]+O(\ln^2\widetilde t_j), \qquad j\to\infty, \end{equation*} \notag $$
так как, очевидно, $n_{Z_{\varphi}} (t_j)=n_{\Lambda} (t_j)+n_{\mathcal M} (t_j)$ и $n_{\mathcal M} (t_j)\geqslant n_{\mathcal M} (\widetilde t_j)$.

Принимая во внимание определения $\widetilde t_j$ и $t_j$, получаем неравенство

$$ \begin{equation*} n_{Z_{\varphi}} (t_j)\geqslant \gamma t_j + (1-\gamma )[\ln^3t_j]+O(\ln^2t_j), \qquad j\to\infty, \end{equation*} \notag $$
которое противоречит оценке (4.6).

4.4. (Не)достижимость инфимума в определении $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$

В предыдущем пункте и в замечании 2 мы выяснили, что между достаточным и необходимым для разрешимости интерполяционной задачи условиями $2\pi D_{\mathrm{sd}} (\Lambda) <|I|$ и $2\pi D_{\mathrm{sd}} (\Lambda) \leqslant |I|$ имеется “положительный зазор”, включающий в себя следующее промежуточное условие: существует медленно убывающая функция $\varphi$, экспоненциальный тип которой не превосходит $|I|/2$, такая, что $\varphi(\Lambda )=0$. Это условие является достаточным для разрешимости соответствующей интерполяционной задачи. Очевидно, что неравенство $2\pi D_{\mathrm{sd}} (\Lambda) \leqslant |I|$ также вытекает из этого условия.

В связи с вышесказанным возникает естественный вопрос: следует ли из неравенства $2\pi D_{\mathrm{sd}} (\Lambda) \leqslant |I|$ существование медленно убывающей функции, экспоненциальный тип которой не превосходит $|I|/2$, и которая равна нулю на $\Lambda$? Сейчас мы покажем, что ответ на этот вопрос отрицательный.

Рассмотрим функцию

$$ \begin{equation} \Phi (z)=\frac{\sqrt{z}\sin \pi z}{\sin\pi\sqrt{z}}+\frac{\sin\pi z}{s(z)}, \end{equation} \tag{4.9} $$
где $s (z)=\prod_{k=1}^{\infty}( 1-{z}/{2^{k}})$. Ясно, что $\Phi\in\mathcal P$ и ее экспоненциальный тип равен $\pi$, а множество нулей $\Lambda$ этой функции удовлетворяет условию $D_{\mathrm{BM}} (\Lambda ) =1$.

Наша цель – доказать, что $D_{\mathrm{sd}} (\Lambda) =1$, но при этом $\Lambda$ не является нулевым подмножеством никакой медленно убывающей функции экспоненциального типа $\pi$.

Напомним хорошо известные факты об асимптотическом поведении функций $\sin\pi z$ и ${\sin\pi\sqrt{z}}/{\sqrt{z}}$. При любом достаточно малом фиксированном $\delta>0$ имеем

$$ \begin{equation} \ln |\sin\pi z|=\pi|{\operatorname{Im}z}| + O(1), \qquad |z|\to\infty, \quad |z-k|\geqslant\delta, \quad k\in\mathbb Z, \end{equation} \tag{4.10} $$
$$ \begin{equation} \ln\biggl|\frac{\sin\pi\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\biggr|= O(1), \qquad x\to+\infty, \quad |x-k^2|\geqslant \delta, \quad k=1,2,\dots, \end{equation} \tag{4.11} $$
$$ \begin{equation} \ln\biggl|\frac{\sin\pi\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\biggr|= \pi \sqrt{|x|}+ O(1), \qquad x\to -\infty. \end{equation} \tag{4.12} $$
Принимая во внимание оценки (4.1) для функции $\ln |s|$, а также соотношения (4.10)(4.12), нетрудно вывести, что функция $|\Phi |$ ограничена сверху и снизу положительными постоянными на полуоси $[0,\infty)$, но она убывает быстрее любой функции $|x|^{-n}$, $n=1,2,\dots$, при $x\to -\infty$. Поэтому $\Phi$ не является медленно убывающей функцией. Пусть для некоторой $\Psi\in\mathcal P$ частное $\Psi/\Phi $ есть целая функция минимального типа при порядке 1. Тогда в силу (4.1), (4.10)(4.12) порядок функции $\Psi/\Phi $ во всей плоскости равен 0. Учитывая, что на положительной полуоси эта функция имеет полиномиальный рост, заключаем, что $\Psi/\Phi$ – многочлен. Поэтому $\Lambda$ не может быть нулевым подмножеством никакой медленно убывающей функции экспоненциального типа $\pi$.

С другой стороны, для произвольного $\varepsilon\in (0,1)$ положим

$$ \begin{equation*} \omega_{\varepsilon} (z)=s(z)\Phi (-\varepsilon z). \end{equation*} \notag $$
Используя (4.1) и (4.9)(4.12), нетрудно проверить, что $\Phi\omega_{\varepsilon} $ – медленно убывающая функция экспоненциального типа $\pi (1+\varepsilon)$. Учитывая произвольность $\varepsilon>0$, заключаем, что $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)=1$.

Список литературы

1. A. Aleman, B. Korenblum, “Derivation-invariant subspaces of $C^{\infty}$”, Comput. Methods Funct. Theory, 8:1-2 (2008), 493–512  crossref  mathscinet  zmath
2. Н. Ф. Абузярова, “Спектральный синтез в пространстве Шварца бесконечно дифференцируемых функций”, Докл. РАН, 457:5 (2014), 510–513  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. F. Abuzyarova, “Spectral synthesis in the Schwartz space of infinitely differentiable functions”, Dokl. Math., 90:1 (2014), 479–482  crossref
3. Н. Ф. Абузярова, “Спектральный синтез для оператора дифференцирования в пространстве Шварца”, Матем. заметки, 102:2 (2017), 163–177  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. F. Abuzyarova, “Spectral synthesis for the differentiation operator in the Schwartz space”, Math. Notes, 102:2 (2017), 137–148  crossref
4. A. Aleman, A. Baranov, Yu. Belov, “Subspaces of $C^{\infty}$ invariant under the differentiation”, J. Funct. Anal., 268:8 (2015), 2421–2439  crossref  mathscinet  zmath
5. Н. Ф. Абузярова, “Представление синтезируемых инвариантных относительно дифференцирования подпространств в пространстве Шварца”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 498 (2021), 5–9  mathnet  crossref  zmath; англ. пер.: N. F. Abuzyarova, “Representation of synthesizable differentiation-invariant subspaces of the Schwartz space”, Dokl. Math., 103:3 (2021), 99–102  crossref
6. Ж. Себаштьян-и-Силва, “О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях”, Математика, 1:1 (1957), 60–77  mathnet; пер. с итал.: J. Sebastião e Silva, “Su certe classi di spazi localmente convessi importanti per le applicazioni”, Rend. Mat. e Appl. (5), 14 (1955), 388–410  mathscinet  zmath
7. Л. Хёрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 1, Теория распределений и анализ Фурье, Мир, М., 1986, 464 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, т. I, Grundlehren Math. Wiss., 256, Distribution theory and Fourier analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1983, ix+391 с.  crossref  mathscinet  zmath
8. Н. Ф. Абузярова, “Замкнутые подмодули в модуле целых функций экспоненциального типа и полиномиального роста на вещественной оси”, Уфимск. матем. журн., 6:4 (2014), 3–18  mathnet  zmath; англ. пер.: N. F. Abuzyarova, “Closed submodules in the module of entire functions of exponential type and polynomial growth on the real axis”, Ufa Math. J., 6:4 (2014), 3–17  crossref  mathscinet
9. P. Koosis, The logarithmic integral, v. II, Cambridge Stud. Adv. Math., 21, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992, xxvi+574 pp.  crossref  mathscinet  zmath
10. L. Ehrenpreis, “Solution of some problems of division. IV. Invertible and elliptic operators”, Amer. J. Math., 82:3 (1960), 522–588  crossref  mathscinet  zmath
11. C. A. Berenstein, B. A. Taylor, “A new look at interpolation theory for entire functions of one variable”, Adv. Math., 33:2 (1979), 109–143  crossref  mathscinet  zmath
12. А. М. Седлецкий, “О функциях, периодических в среднем”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 34:6 (1970), 1391–1415  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. M. Sedletskii, “On functions periodic in the mean”, Izv. Math., 4:6 (1970), 1406–1428  crossref
13. А. Ф. Леонтьев, “О свойствах последовательностей полиномов Дирихле, сходящихся на интервале мнимой оси”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 29:2 (1965), 269–328  mathnet  mathscinet  zmath
14. Ж. Дьедонне, Л. Шварц, “Двойственность в пространствах $(\mathscr F)$ и $(\mathscr{LF})$”, Математика, 2:2 (1958), 77–108  mathnet; пер. с фр.: J. Diedonné, L. Schwartz, “La dualité dans les espaces $(\mathscr F)$ et $(\mathscr{LF})$”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1 (1950), 61–101  crossref  mathscinet  zmath
15. R. P. Boas, Jr., Entire functions, Academic Press Inc., New York, 1954, x+276 pp.  mathscinet  zmath
16. В. С. Владимиров, Обобщенные функции в математической физике, 2-е изд., Наука, М., 1979, 319 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. S. Vladimirov, Generalized functions in mathematical physics, Mir, Moscow, 1979, xii+362 с.  mathscinet  zmath
17. Л. Хёрмандер, Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, Мир, М., 1968, 279 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: L. Hörmander, An introduction to complex analysis in several variables, D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, NJ–Toronto, ON–London, 1966, x+208 с.  mathscinet  zmath
18. Н. Ф. Абузярова, “Некоторые свойства главных подмодулей в модуле целых функций экспоненциального типа и полиномиального роста на вещественной оси”, Уфимск. матем. журн., 8:1 (2016), 3–14  mathnet; англ. пер.: N. F. Abuzyarova, “Some properties of principal submodules in the module of entire functions of exponential type and polynomial growth on the real axis”, Ufa Math. J., 8:1 (2016), 1–12  crossref  mathscinet
19. N. F. Abuzyarova, “On conditions of invertibility in the sense of Ehrenpreis in the Schwartz algebra”, Lobachevskii J. Math., 42:6 (2021), 1141–1153  crossref  mathscinet  zmath

Образец цитирования: Н. Ф. Абузярова, “Представление инвариантных подпространств в пространстве Шварца”, Матем. сб., 213:8 (2022), 3–25; N. F. Abuzyarova, “Representation of invariant subspaces of the Schwartz space”, Sb. Math., 213:8 (2022), 1020–1040
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Abu22}
\by Н.~Ф.~Абузярова
\paper Представление инвариантных подпространств в пространстве Шварца
\jour Матем. сб.
\yr 2022
\vol 213
\issue 8
\pages 3--25
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9687}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9687}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461461}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022SbMat.213.1020A}
\transl
\by N.~F.~Abuzyarova
\paper Representation of invariant subspaces of the Schwartz space
\jour Sb. Math.
\yr 2022
\vol 213
\issue 8
\pages 1020--1040
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9687e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992270000001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165923705}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9687
  • https://doi.org/10.4213/sm9687
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v213/i8/p3
  • Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:284
    PDF русской версии:33
    PDF английской версии:52
    HTML русской версии:132
    HTML английской версии:58
    Список литературы:60
    Первая страница:9
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024