Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2023, том 214, номер 4, страницы 114–131
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9807
(Mi sm9807)
 

Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях)

Явный вид фундаментальных решений некоторых эллиптических уравнений и связанные с ними $B$- и $C$-емкости

П. В. Парамоновab, К. Ю. Федоровскийab

a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
b Санкт-Петербургский государственный университет
Список литературы:
Аннотация: Основной задачей в работе является изучение геометрических и метрических свойств $B$- и $C$-емкостей, связанных с проблемами равномерной приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами на компактах евклидовых пространств. Для гармонического случая эта задача хорошо известна и глубоко исследована в классических работах по теории потенциала в первой половине прошлого века. В статье для большого класса указанных уравнений получены двусторонние оценки между соответствующими $B_+$- и $C_+$-емкостями (определяемыми потенциалами положительных мер) и гармоническими емкостями в той же размерности. Метод исследования базируется на получении простой явной формулы для фундаментальных решений рассматриваемых уравнений.
Библиография: 12 названий.
Ключевые слова: эллиптическая квадратичная форма, однородное эллиптическое уравнение второго порядка, фундаментальное решение, емкость, ядро Кальдерона–Зигмунда, преобразование Фурье.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 22-11-00071
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-11-00071, https://rscf.ru/project/22-11-00071/.
Поступила в редакцию: 29.06.2022 и 25.10.2022
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 4, Pages 550–566
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9807e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: 31B15, 35J15, 35J47

§ 1. Введение

В недавней работе М. Я. Мазалова [1] были получены критерии приближаемости типа Витушкина в задаче о равномерной аппроксимации функций решениями общих однородных эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами на компактах в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$. Указанные критерии дают ответы для обеих стандартных постановок рассматриваемой аппроксимационной задачи – для индивидуальных функций и для классов функций. Напомним, что они формулируются в терминах $B$- и $C$-емкостей, связанных с рассматриваемыми уравнениями в частных производных. Наша основная задача состоит в изучении геометрических и метрических свойств этих емкостей. Для гармонического случая эта задача хорошо известна и глубоко исследована в классических работах по теории потенциала в первой половине прошлого века (см., например, [2] и [3; гл. 2, § 3] и литературу в этих работах). Первые (стандартные) результаты для общего случая приведены в завершающем параграфе работы [4].

Существенным шагом в изучении указанных емкостей является получение явной формы для фундаментальных решений рассматриваемых уравнений. Несмотря на то, что для большого класса таких уравнений явные формулы были получены ранее (см., например, [5; п. 6.2]), общий случай, насколько это известно авторам, практически не отражен в литературе. Мы приводим свои доказательства (достаточно простые и краткие) нужных нам утверждений в § 2 и § 3. Основными результатами работы являются теорема 1 (явная формула для фундаментальных решений), ее следствие 2 о двусторонних оценках фундаментальных решений для большого класса уравнений (например, для всех рассматриваемых уравнений в размерностях $N=3$ и $N=4$), а также следствие 3 (двусторонние оценки соответствующих $B_+$- и $C_+$-емкостей, определяемых с помощью потенциалов положительных мер, через гармоническую емкость в той же размерности). Следовательно, основные метрические характеристики этих емкостей идентичны (как у гармонической емкости). Отметим однако, что проблема оценки сверху самих $B$- и $C$-емкостей через $B_+$- и $C_+$- емкости пока остается открытой.

В § 4 получен ряд интегральных свойств рассматриваемых фундаментальных решений, которые представляются полезными для дальнейших исследований.

Благодарности

Авторы глубоко признательны рецензентам за их труд по ознакомлению с настоящей работой и ряд очень полезных замечаний.

§ 2. Эллиптические квадратичные формы в $\mathbb R^N$ с комплексными коэффициентами

Пусть $N\geqslant2$ – фиксированное целое число, а $C$ – симметричная $(N\times N)$-матрица с комплексными элементами $c_{mn}=c_{nm}$, $1\leqslant m,n\leqslant N$. Пусть $Q$ – квадратичная форма в $\mathbb R^N$, определенная матрицей $C$, т.е.

$$ \begin{equation*} Q(x)=x^tCx=\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}x_mx_n \end{equation*} \notag $$
при $x=(x_1,\dots,x_N)^t \in\mathbb R^N$, где символ $(\cdot)^t$ обозначает операцию матричного транспонирования. В дальнейшем мы будем также использовать обозначение $Q_N$ вместо $Q$, чтобы подчеркнуть размерность $N$ пространства, в котором действует $Q$.

Определение. Скажем, что квадратичная форма $Q_N$ является эллиптической, если $Q_N(x)\neq0$ при всех $x\in\mathbb R^N_*$.

Здесь и всюду далее $\mathbb R^N_*=\mathbb R^N\setminus\{0\}$ и $\mathbb C^n_*=\mathbb C^n\setminus\{0\}$, $n\in\mathbb N$.

Обсудим понятие эллиптичности квадратичной формы более подробно, так как это будет существенно для наших дальнейших конструкций. К сожалению, несмотря на серьезные усилия, авторам не удалось найти в литературе нужных ссылок. Например, в классической монографии Л. Хёрмандера (см. [5; п. 6.2]) при построении фундаментальных решений свойства соответствующих квадратичных форм, установленные в наших леммах 4 и 5 ниже, просто постулируются (т.е. требуются заранее) без каких либо обсуждений. Поэтому далее мы приводим доказательства всех нужных нам утверждений, тем более что они основаны на очень простых идеях.

Начнем со случая $N=2$. Здесь определение эллиптичности можно переформулировать следующим образом. Квадратичная форма

$$ \begin{equation*} Q_2((x_1,x_2)^t)=c_{11}x_1^2+2c_{12}x_1x_2+c_{22}x_2^2 \end{equation*} \notag $$
в $\mathbb R^2$ является эллиптической в том и только том случае, когда корни $\lambda_1$ и $\lambda_2$ соответствующего характеристического уравнения $c_{11}\lambda^2+2c_{12}\lambda+c_{22}=0$ не являются вещественными. При этом форма $Q_2$ называется сильно эллиптической, если $\lambda_1$ и $\lambda_2$ лежат в разных полуплоскостях ${\mathbb C}_+ =\{z\in\mathbb C\colon \operatorname{Im}{z}>0\}$ и ${\mathbb C}_- =\{z\in\mathbb C\colon \operatorname{Im}{z}<0\}$ комплексной плоскости $\mathbb C$. В двумерном случае удобно понимать $Q_2$ как функцию комплексного переменного $z$, т.е. $Q_2(z)=Q_2((\operatorname{Re}{z},\operatorname{Im}{z})^t)$.

Пусть $\mathbb T = \{z\in\mathbb C\colon |z|=1\}$ – единичная окружность в $\mathbb C$ со стандартной параметризацией $\mathbb T=\{\varGamma_1(t)=e^{2\pi it}\colon t\in[0,1]\}$.

Лемма 1. Пусть $Q_2$ – эллиптическая квадратичная форма в $\mathbb R^2$. Тогда форма $Q_2$ является сильно эллиптической в том и только том случае, когда $\Delta_{\mathbb T}\operatorname{Arg}{Q_2}=0$. Последнее условие эквивалентно тому, что множество $Q_2(\mathbb T)$ лежит в некоторой (открытой) полуплоскости в $\mathbb C$, граница которой содержит начало координат.

Доказательство. Предположим, что $\lambda_1\in\mathbb C_+$, а $\lambda_2\in\mathbb C_-$. Легко проверяется, что $\Delta_{\mathbb T}\operatorname{Arg}(x_1-\lambda_1x_2)=-2\pi$ и $\Delta_{\mathbb T}\operatorname{Arg}(x_1-\lambda_2x_2)=2\pi$. Так как $Q_2(z)=c_{11}(x_1-\lambda_1x_2)(x_1-\lambda_2x_2)$ при $z=x_1+ix_2$, то $\Delta_{\mathbb T}\operatorname{Arg}{Q_2}=0$. Обратно, если оба характеристических корня $\lambda_1$ и $\lambda_2$ лежат в $\mathbb C_+$ или в $\mathbb C_-$, то $\Delta_{\mathbb T}\operatorname{Arg}{Q_2}=\pm4\pi$. Таким образом, первое утверждение леммы доказано.

Для доказательства второго утверждения заметим, что

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, Q_2(\mathbb T) &=\bigl\{Q_2(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))\colon t\in[0,1]\bigr\} \\ &=\bigl\{c_{11}\cos^2(2\pi t)+2c_{12}\sin(2\pi t)\cos(2\pi t)+c_{22}\sin^2(2\pi t)\colon t\in[0,1]\bigr\} \\ &=\biggl\{\frac{c_{11}+c_{22}}{2}+\frac{c_{11}-c_{22}}{2}\cos(4\pi t)+c_{12}\sin(4\pi t) \colon t\in[0,1] \biggr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Если $c_{11}=c_{22}$ или $c_{12}=\tau(c_{11}-c_{22})$ при некотором $\tau\in\mathbb R$ (обе эти ситуации могут иметь место в сильно эллиптическом случае), то последнее параметрическое выражение задает точки прямолинейного отрезка (который не содержит начало координат и проходится четыре раза). В других случаях это выражение задает дважды проходимый эллипс, который охватывает или не охватывает начало координат в случае не сильной эллиптичности или сильной эллиптичности соответственно. Это непосредственно вытекает из рассуждений, использованных в доказательстве первой части леммы.

Лемма доказана.

Следствие 1. В случае не сильно эллиптической формы (и только в этом случае) выполнено $\Delta_{\mathbb T}\operatorname{Arg}{Q_2}=\pm4\pi$ и существуют две точки $x\in\mathbb R^2_*$ и $y\in\mathbb R^2_*$ такие, что $Q_2(x)=-Q_2(y)$.

В качестве еще одного следствия леммы 1 заметим, что свойства эллиптичности и сильной эллиптичности квадратичных форм сохраняются при невырожденных линейных преобразованиях в $\mathbb R^2$.

Пусть $\mathbb S^{N-1}=\{x\in\mathbb R^N\colon x_1^1+\dots+x_N^2=1\}$ – единичная сфера в $\mathbb R^N$. Так, $\mathbb T$ совпадает с $\mathbb S^1\subset\mathbb R^2$ как множество, но определение $\mathbb T$ содержит дополнительное требование о фиксированной ориентации (определенной параметризацией $\varGamma_1$).

Лемма 2. Пусть $Q_2$ – эллиптическая квадратичная формы в $\mathbb R_2$, а $N\in\{3,4,\dots\}$. Для существования квадратичной формы $Q_N$ в $\mathbb R^N$ такой, что $Q_N((x_1,x_2,0,\dots,0)^t)=Q_2((x_1,x_2)^t)$, $(x_1,x_2)^t \in\mathbb R^2$, необходимо и достаточно, чтобы форма $Q_2$ была сильно эллиптической.

Доказательство. Пусть $Q_2$ – сильно эллиптическая квадратичная форма в $\mathbb R^2$, и пусть $V=\{tz\colon t\in\mathbb R_+:=(0, +\infty),\ z\in Q_2({\mathbb S^1})\}$. Возьмем произвольные $c_{nn}\in V$, $n\in\{3,\dots,N\}$. Тогда из леммы 1 непосредственно вытекает, что форма $Q_N$ в $\mathbb R^N$, определенная по формуле
$$ \begin{equation*} Q_N((x_1,x_2, \dots, x_N)^t)=Q_2((x_1,x_2)^t)+c_{33}x_3^2+\dots + c_{NN}x_N^2, \end{equation*} \notag $$
является эллиптической в $\mathbb R^N$.

Обратно, возьмем не сильно эллиптическую форму $Q_2$ в $\mathbb R^2$ и предположим, что она является ограничением на $\mathbb R^2$ некоторой эллиптической квадратичной формы $Q_N$ в $\mathbb R^N$, $N>2$. Пусть $\varGamma$ – это гомотопия на сфере $\mathbb S^{N-1}\subset\mathbb R^N$, которая переводит окружность $\varGamma_1\subset\mathbb R^2_{(x_1,x_2)^t}$ (см. выше) в некоторую точку $a\in\mathbb S^{N-1}$ (мы отождествляем $\varGamma_1$ с множеством $\{x\in \mathbb S^{N-1}\colon x_3=\dots =x_N=0\}$). Тогда композиция $Q_N\circ\varGamma$ является гомотопией в $\mathbb R^2_*$, которая переводит цикл $\varGamma_2=Q_N\circ\varGamma_1=Q_2\circ\varGamma_1$ в точку $Q_N(a)$. Но такая гомотопия не существует, так как $\Delta_{\varGamma_2}\operatorname{Arg}(z)=\Delta_{\varGamma_1}\operatorname{Arg}(Q_2)=\pm4\pi$ в силу следствия 1.

Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть $Q_N$ – квадратичная форма в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$. Форма $Q_N$ является эллиптической, если и только если множество $Q_N(\mathbb S^{N-1})\subset\mathbb C_*$ лежит в некоторой открытой полуплоскости в $\mathbb C$, граница которой содержит начало координат. Последнее эквивалентно тому, что множество $V_N=Q_N(\mathbb R^N_*)$ – это замкнутый угол величины $\vartheta_{Q_N}<\pi$ в $\mathbb C_*$ с (выколотой) вершиной в начале координат.

Доказательство. Пусть форма $Q_N$ является эллиптической. Достаточно показать, что не существует пары точек $x\in\mathbb R^N_*$ и $y\in\mathbb R^N_*$ таких, что $Q_N(x)= -Q_N(y)$. В самом деле, если (от противного) такие точки $x$ и $y$ существуют, то ограничение формы $Q_N$ на плоскость, проходящую через $x$, $y$ и через начало координат, не является сильно эллиптической формой в силу следствия 1, что противоречит утверждению леммы 2. Обратное очевидно.

Лемма доказана.

Из леммы 3 вытекает, что для любой эллиптической квадратичной формы $Q_N$ в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$, существуют число $\tau\in(0,1)$ и угол $\vartheta\in(-\pi,\pi]$ такие, что форма $Q(x)=e^{i\vartheta}Q_N(x)$ удовлетворяет условию

$$ \begin{equation} |{\arg(Q(x))}|\leqslant \frac{\vartheta_{Q_N}}2 < \frac{\pi}2, \qquad \operatorname{Re}(Q(x))\geqslant \tau|Q(x)|\geqslant \tau^2|x|^2, \quad x\in \mathbb R^N_*. \end{equation} \tag{2.1} $$

В дальнейшем мы будет предполагать, что $Q_N$ – это эллиптическая квадратичная форма в $\mathbb R^N$, заданная матрицей $C=A+iB$, где $A=\operatorname{Re}{C}$ и $B=\operatorname{Im}{C}$.

Отметим, что условия, указанные в лемме 3, особенно просто проверяются для “диагональных” форм $Q_N(x)=\sum_{n=1}^N c_{nn}x_n^2$ (когда матрица $C$ диагональна). Различные условия диагонализуемости квадратичных форм можно найти в [6; п. 4.5].

Лемма 4. Пусть $N\geqslant 3$, $Q_N$ и $C$ такие, как указано выше. Тогда $\det{C}\neq 0$.

Доказательство. Рассуждая “от противного” предположим, что $\det{C}\,{=}\,0$. Тогда найдется $z\in\mathbb C^N$, $z\neq 0$, такое, что $Cz=0$. Пусть $z=x+iy$. Условие $Cz=(A+iB)(x+iy)=0$ эквивалентно одновременному выполнению условий $Ax=By$ и $Ay=-Bx$, откуда получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, Q_N(x)&=x^t(A+iB)x=x^tBy-ix^tAy, \\ Q_N(y)&=y^t(A+iB)y=-y^tBx+iy^tAx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Из последнего ввиду симметричности матриц $A$ и $B$ получаем, что $Q_N(y)=-Q_N(x)$ (в частности, $x\neq 0$ и $y\neq 0$), что противоречит лемме 3.

Лемма доказана.

Заметим, что условие $N\geqslant3$ в лемме 4 является существенным, так как в $\mathbb R^2$ существует эллиптическая квадратичная форма $Q_2(x_1,x_2)=\frac14(x_1+ix_2)^2$ с матрицей

$$ \begin{equation*} C_2=\frac14\begin{pmatrix} 1&i\\i&-1 \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag $$
для которой $\det{C_2}=0$.

Лемма 5. Пусть $N\geqslant 3$, $Q_N$ и $C$ такие, как определено выше, и пусть $Q'_N$ – это квадратичная форма, определенная матрицей $C^{-1}$. Тогда форма $Q'_N$ также является эллиптической.

Доказательство. Из леммы 4 следует, что $\det{C}\neq 0$. Рассуждая “от противного”, предположим, что найдется $a\in\mathbb R^N_*$ такое, что $a^tC^{-1}a=0$. Пусть $z=C^{-1}a$, так что $z\in\mathbb C^N_*$. Тогда $a=Cz$, а $0=a^tC^{-1}a=(Cz)^tz=z^tC^tz=z^tCz$, так как матрица $C$ является симметричной.

Как и ранее, положим $x=\operatorname{Re}{z}$, $y=\operatorname{Im}{z}$, $A=\operatorname{Re}{C}$ и $B=\operatorname{Im}{C}$. Так как $Cz=a$, то $\operatorname{Im}((A+iB)(x+iy))=0$, откуда вытекает, что $Bx=-Ay$. Далее, так как

$$ \begin{equation*} 0=z^tCz=(x^t+iy^t)(A+iB)(x+iy)=(x^t+iy^t)(Ax-By), \end{equation*} \notag $$
то выполнены два равенства:
$$ \begin{equation*} x^tAx=x^tBy, \qquad y^tAx=y^tBy. \end{equation*} \notag $$
Из трех полученных равенств получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, x^tBx&=(Bx)^tx=(-Ay)^tx=-y^tAx=-y^tBy, \\ y^tAy&=(Ay)^ty=(-Bx)^ty=-x^tBy=-x^tAx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Но тогда
$$ \begin{equation*} Q_N(y)=y^tCy=y^tAy+iy^tBy=-x^tAx-ix^tBx=-Q_N(x), \end{equation*} \notag $$
что противоречит лемме 3.

Лемма доказана.

§ 3. Эллиптические операторы второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами в $\mathbb R^N$

Пусть $N\geqslant2$ – фиксированное целое число, а $Q$ – эллиптическая квадратичная форма в $\mathbb R^N$, определенная (симметричной) матрицей $C$ с комплексными элементами $c_{mn}$, $1\leqslant m,n\leqslant N$. Эта форма определяет эллиптический дифференциальный оператор второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами

$$ \begin{equation*} \mathcal L=\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}\frac{\partial^2}{\partial x_m\,\partial x_n}, \end{equation*} \notag $$
который мы будет называть оператором, ассоциированным с $Q$. В свою очередь форма $Q$ называется символом оператора $\mathcal L$.

Рассмотрим основные примеры. Первый из них – оператор Лапласа

$$ \begin{equation*} \Delta_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{\partial^2}{\partial x_n^2} \quad\text{в }\ \mathbb R^N. \end{equation*} \notag $$
Он ассоциирован с квадратичной формой $x_1^2+\dots+x_N^2$. Второй пример – оператор Бицадзе (квадрат оператора Коши–Римана) в $\mathbb R^2$, который определяется по формуле
$$ \begin{equation*} \frac14\biggl(\frac{\partial}{\partial x_1}+i\frac{\partial}{\partial x_2}\biggr)^2=\frac{\partial^2}{\partial\overline{z}^2}. \end{equation*} \notag $$
Его ассоциированная квадратичная форма $Q_2(x)=\frac14(x_1+ix_2)^2$ уже встречалась ранее.

Как отмечалось выше, все эллиптические квадратичные формы в $\mathbb R^2$ делятся на два класса: класс сильно эллиптических форм и класс форм, не являющихся сильно эллиптическими. В соответствии с этой классификацией мы скажем, что эллиптический оператор $\mathcal L$ второго порядка в $\mathbb R^2$ является сильно эллиптическим, если его символ является сильно эллиптической формой (и не сильно эллиптическим в противном случае).

Так, оператор Лапласа $\Delta_2$ в $\mathbb R^2$ является сильно эллиптическим, а оператор Бицадзе нет. Таким образом, последний оператор не может быть “поднят” до некоторого эллиптического оператора в $\mathbb R^N$ для любого $N>2$. Заметим, что квадратичная форма, являющаяся символом оператора Бицадзе, определяется матрицей

$$ \begin{equation*} C_2=\frac14\begin{pmatrix}1&i\\i&-1\end{pmatrix}, \end{equation*} \notag $$
которая возникала в § 2 в качестве примера вырожденной матрицы эллиптической квадратичной формы.

Заметим, что разделение эллиптических операторов второго порядка в $\mathbb R^2$ на классы сильно эллиптических и не сильно эллиптических операторов носит неформальный характер и обусловлено существенно разными свойствами этих операторов. Глубокое различие свойств сильно эллиптических и не сильно эллиптических операторов проявляется в задачах об описании множеств устранимых особенностей для решений соответствующих уравнений $\mathcal Lf=0$, в задачах об аппроксимации функций решениями таких уравнений, в условиях разрешимости и единственности решения классических краевых задач для этих уравнений. Примеры утверждений, подчеркивающих эту разницу, можно найти, в частности, в обзорной работе [7] или в недавней работе [8]. Лемма 2, установленная выше, также представляет собой интересный пример существенного различия между двумя обсуждаемыми классами операторов.

В этом параграфе мы получим явные формулы для фундаментального решения произвольного эллиптического оператора второго порядка $\mathcal L$ в $\mathbb R^N$, $N\,{\geqslant}\, 3$. Пусть $\mathcal L$ ассоциирован с квадратичной формой $Q$, определяемой матрицей $C$. Как было показано в лемме 4, эта матрица является невырожденной, т.е. $\det{C}\neq0$. Рассмотрим матрицу $D=C^{-1}$ и определим соответствующую квадратичную форму:

$$ \begin{equation} \varLambda(x)=x^tDx, \qquad x\in\mathbb R^N. \end{equation} \tag{3.1} $$
В силу леммы 5 форма $\varLambda$ является эллиптической. Пусть $\vartheta_{\varLambda}$ – величина угла $\varLambda(\mathbb R^N_*)$, так что $\vartheta_{\varLambda}<\pi$.

Пусть теперь $S(z)$ – это “главная” ветвь многозначной функции $\sqrt{z}$, определенная в $\{z\in\mathbb C\colon -\pi<\arg{z}<\pi\}$ так, что

$$ \begin{equation*} S(z)=\sqrt{|z|}\, e^{i\arg(z)/2}. \end{equation*} \notag $$

В силу леммы 3 найдется $\vartheta\in(-\pi,\pi]$ такое, что $|{\arg(e^{i\vartheta}\Lambda(x))}|\leqslant\vartheta_{\varLambda}/2<\pi/2$, откуда получаем $\operatorname{Re}(e^{i\vartheta}\Lambda(x))>0$ при всех $x\in\mathbb R^N_*$. Таким образом, функция

$$ \begin{equation*} \Psi(x)=S(e^{i\vartheta}\varLambda(x)) \end{equation*} \notag $$
является вещественно аналитической в $\mathbb R^N_*$, однородной порядка $1$ и, более того,
$$ \begin{equation} |{\arg(\Psi(x))}|<\frac{\vartheta_{\varLambda}}4<\frac\pi4 \quad \forall\, x\in\mathbb R^N_*. \end{equation} \tag{3.2} $$

Предложение 1. Пусть $\mathcal L$, $Q$, $C$, $D$, $\varLambda$ и $\Psi$ такие, как определено выше, и пусть

$$ \begin{equation} \varPhi(x)=\Psi(x)^{2-N} \end{equation} \tag{3.3} $$
при $x\in\mathbb R^N_*$. Тогда $\mathcal L\varPhi(x)=0$ при всех $x\in\mathbb R^N_*$.

Доказательство. Без ограничения общности мы можем считать, что $\theta\,{=}\,0$. Пусть $p=(2-N)/2$, так что $\varPhi(x)=\varLambda(x)^p_*$, где $\varLambda(\cdot)$ определена в (3.1), а символ $*$ означает, что мы имеем дело с соответствующей главной ветвью $w^p_*= \exp(p\ln_*w)$ многозначной функции $w^p$ в ${\mathbb C}\setminus (-\infty,0]$ (здесь $\ln_*(w)=\ln|w|+i\arg{w}$ – главная ветвь многозначного логарифма в ${\mathbb C}\setminus (-\infty,0]$).

Так как $(w^p_*)'_w=(\exp(p\ln_*w))'_w=pw^p_*/w$, то

$$ \begin{equation*} \frac{\partial\varPhi(x)}{\partial x_m}=p \frac{\varPhi(x)}{\varLambda(x)}\, \frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_m} \end{equation*} \notag $$
и, следовательно,
$$ \begin{equation*} \frac{\partial^2\varPhi(x)}{\partial x_m\,\partial x_n}= p \frac{\varPhi(x)}{\varLambda(x)^2}\biggl( (p-1) \frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_m}\,\frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_n}+ \varLambda(x) \frac{\partial^2\varLambda(x)}{\partial x_m\partial x_n}\biggr) \end{equation*} \notag $$
при $1\leqslant m,n\leqslant N$.

Так как $p-1=-N/2$, то для доказательства равенства $\mathcal L\varPhi(x)=0$ при $x\in\mathbb R^N_*$ достаточно показать, что

$$ \begin{equation} R(x)=\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}\biggl(-\frac{N}2\,\frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_m}\,\frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_n}+ \varLambda(x) \frac{\partial^2\varLambda(x)}{\partial x_m\,\partial x_n}\biggr)=0 \end{equation} \tag{3.4} $$
для всех $x\in\mathbb R^N_*$, где $c_{mn}$ – это (как и раньше) элементы матрицы $C$. Обозначая через $d_{mn}$ ($1\leqslant m,n\leqslant N$) элементы матрицы $D$ и учитывая ее симметричность, получаем
$$ \begin{equation*} \frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_m}=2\sum_{j=1}^{N}d_{jm}x_j , \qquad \frac{\partial^2\varLambda(x)}{\partial x_m\,\partial x_n}=2d_{mn}. \end{equation*} \notag $$

Далее, легко видеть, что имеет место равенство

$$ \begin{equation*} \frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_m}\,\frac{\partial\varLambda(x)}{\partial x_n}= 4\sum_{j,k=1}^{N}d_{mj}d_{nk}x_jx_k. \end{equation*} \notag $$
Величина $R(x)$ из (3.4) теперь представляется в следующем виде:
$$ \begin{equation*} R(x)=\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}\biggl(-2N\sum_{j,k=1}^{N}d_{mj}d_{nk}x_jx_k+ 2d_{mn}\sum_{j,k=1}^{N}d_{jk}x_jx_k\biggr). \end{equation*} \notag $$
Обозначим коэффициенты квадратичной формы $R(x)$ через $r_{jk}$, $1\leqslant j,k\leqslant N$, тогда (ввиду симметричности матрицы $D$)
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, r_{jk} &=\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}(-2Nd_{mj}d_{nk}+2d_{mn}d_{jk}) \\ &=-2N(d_{j1},\dots,d_{jN})C(d_{1k},\dots,d_{Nk})^t+2d_{jk}\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}d_{mn}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Остается заметить, что $(d_{j1},\dots,d_{jN})C(d_{1k},\dots,d_{Nk})^t$ – это элемент $d_{jk}$ матрицы $D=DCD$, а $\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}d_{mn}=N$, так как $DC=I$ (единичная матрица). Таким образом, $r_{jk}=-2Nd_{jk}+2Nd_{jk}=0$, что завершает доказательство.

Предложение 1 доказано.

Теперь мы может получить явную формулу фундаментального решения для $\mathcal L$. Напомним, что распределение (обобщенная функция) $\varPhi_{\mathcal L}$ называется фундаментальным решением для $\mathcal L$, если $\mathcal L\varPhi_{\mathcal L}=\delta_0$, где $\delta_0$ – это дельта-функция Дирака с носителем в начале координат.

Теорема 1. В обозначениях предложения 1 функция

$$ \begin{equation} \varPhi_{\mathcal L}(x)=\alpha_{\mathcal L}\varPhi(x) \end{equation} \tag{3.5} $$
с некоторой подходящей константой $\alpha_{\mathcal L}\in\mathbb C_*$ является фундаментальным решением для $\mathcal L$.

Доказательство непосредственно следует из предложения 1 и теоремы 3.2.3 работы1 [5]. Точное значение коэффициента $\alpha_{\mathcal L}$ можно определить из [5; теорема 6.2.1].

В частности, как хорошо известно, при $\mathcal L=\Delta_N$ (оператор Лапласа в $\mathbb R^N$) имеем $\varPhi_{\Delta}=\alpha_N |x|^{-N+2}$ с некоторой конкретной $\alpha_N<0$.

Следующее утверждение непосредственно вытекает из (3.2) и (3.3).

Следствие 2. Пусть $N=3$ или $N=4$. Тогда для любого рассматриваемого оператора $\mathcal L$ найдутся $\lambda=\lambda_{\mathcal L}\in(-\pi,\pi]$ и $A=A_{\mathcal L}\geqslant 1$ такие, что

$$ \begin{equation} \frac1{A |x|^{N-2}}\leqslant \operatorname{Re}(e^{i\lambda}\varPhi_{\mathcal L}(x))\leqslant |\varPhi_{\mathcal L}(x)|\leqslant\frac{A}{|x|^{N-2}} \end{equation} \tag{3.6} $$
при всех $x\in\mathbb R^N_*$.

Аналогичный результат имеет место и для операторов $\mathcal L$ в $\mathbb R^N$, $N\geqslant 5$, которые удовлетворяют дополнительному условию

$$ \begin{equation} (N-2)\vartheta_{\varLambda}<2\pi. \end{equation} \tag{3.7} $$

При этом непосредственно из (3.3) следует, что при $N\geqslant 3$ оценка

$$ \begin{equation*} \frac1{A |x|^{N-2}} \leqslant |\varPhi_{\mathcal L}(x)|\leqslant\frac{A}{|x|^{N-2}} \end{equation*} \notag $$
справедлива для всех рассматриваемых операторов ${\mathcal L}$.

§ 4. $\mathcal L$-аналитические емкости

Пусть $\mathcal L$ – однородный эллиптический дифференциальный оператор второго порядка в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$, с постоянными комплексными коэффициентами. Пусть $\varPhi_{\mathcal L}(x)$ – его фундаментальное решение, определенное в (3.5).

Введем два типа емкостей, связанных с оператором $\mathcal L$ и определяемых в терминах классов ограниченных функций (так называемые $\mathcal L$-$B$-емкости) и классов ограниченных непрерывных функций ($\mathcal L$-$C$-емкости).

Емкости первого типа определяются так. Для ограниченного множества $E \neq \varnothing$ в $\mathbb R^N$ положим

$$ \begin{equation} \gamma_{\mathcal L}(E)=\sup_T|\langle T,1\rangle|, \end{equation} \tag{4.1} $$
где $\langle T,\psi\rangle$ обозначает действие распределения $T$ на функцию $\psi\in C^{\infty}(\mathbb R^N)$ (при условии, что оно корректно определено), а супремум берется по всем комплекснозначным распределениям $T$ с компактным носителем $\operatorname{Supp}(T)\subset E$, удовлетворяющим условиям $\varPhi_{\mathcal L}*T\in L^\infty(\mathbb R^N)$ и $\|\varPhi_{\mathcal L}*T\|_{\infty}\leqslant 1$. Символ $*$ здесь обозначает операцию свертки, а $\|\cdot\|_{\infty}$ – норму в пространстве $L^{\infty}(\mathbb R^N)$. Через $\|f\|_E$ обозначается $\sup$-норма в пространстве $BC(E)$ непрерывных ограниченных функций на непустом множестве $E \subset \mathbb R^N$ (при $E=\mathbb R^N$ индекс $E$ опускается).

Удобно ввести так называемый “метрический” (или “положительный”) аналог емкости $\gamma_{\mathcal L}$:

$$ \begin{equation*} \gamma_{\mathcal L}^+(E)=\sup_{\mu}\int_Ed\mu, \end{equation*} \notag $$
где супремум берется по всем положительным борелевским мерам $\mu$ с компактным носителем $\operatorname{Supp}(\mu)\subset E$, удовлетворяющим условиям $\varPhi_{\mathcal L}*\mu\in L^\infty(\mathbb R^N)$ и $\|\varPhi_{\mathcal L}*\mu\|_{\infty}\leqslant1$.

Второй тип емкостей (непрерывные версии $\gamma_{\mathcal L}$ и $\gamma_{\mathcal L}^+$) – это емкости $\alpha_{\mathcal L}$ и $\alpha_{\mathcal L}^+$, которые определяются аналогичным образом, но распределения $T$ в определении $\alpha_{\mathcal L}(E)$ и меры $\mu$ в определении $\alpha_{\mathcal L}^+(E)$ берутся с дополнительными условиями $\varPhi_{\mathcal L}*T \in C(\mathbb R^N)$ и $\varPhi_{\mathcal L}*\mu\in C(\mathbb R^N)$ соответственно.

Более подробно конструкции емкостей, связанных с эллиптическими дифференциальными операторами и определяемых в терминах различных пространств функций в $\mathbb R^N$, можно найти, например, в работе [9].

В классическом (гармоническом) случае $\mathcal L=\Delta=\Delta_N$, $N\geqslant 3$, имеем

$$ \begin{equation*} \alpha_{\Delta}^+(E)=\alpha_{\Delta}(E)=\gamma_{\Delta}^+(E)=\gamma_{\Delta}(E). \end{equation*} \notag $$
Ключевыми в этой цепочке являются равенства $\gamma_{\Delta}^+(E)=\gamma_{\Delta}(E)$ и $\alpha_{\Delta}^+(E)=\gamma_{\Delta}^+(E)$. Они получены в [9; теорема 3.1] и [2; лемма XII] соответственно. Заметим также, что гармонические емкости совпадают с соответствующими обобщенными трансфинитными диаметрами в $\mathbb R^N$. В частности, эти емкости являются счетно субаддитивными с константой $1$ (см. [3; гл. 2]).

Из следствия 2, данных выше определений емкостей, а также из [4; замечания 1 и 2 и лемма 3.2] (приведенные здесь утверждения и доказательство естественно переносятся на все размерности $N\geqslant 3$) вытекают следующие оценки.

Следствие 3. Пусть $N=3$ или $N=4$, а оператор $\mathcal L$ такой, как указано выше. Тогда существует $A=A_{\mathcal L}\geqslant 1$ такое, что

$$ \begin{equation} A^{-1}\gamma_{\Delta}(E)\leqslant \alpha_{\mathcal L}^+(E)\leqslant \gamma_{\mathcal L}^+(E)\leqslant A\gamma_{\Delta}(E)\leqslant A^2\alpha_{\mathcal L}(E)\leqslant A^2\gamma_{\mathcal L}(E) \end{equation} \tag{4.2} $$
для любого ограниченного множества $E\subset\mathbb R^N$.

Аналогичный результат справедлив также для операторов $\mathcal L$ в $\mathbb R^N$, $N\geqslant5$, удовлетворяющих дополнительному условию (3.7).

Естественно возникают следующие вопросы.

Все эти вопросы можно уточнить, переформулировав их так: для каких $N\,{\geqslant}\, 3$ и $\mathcal L$ выполнены те или иные указанные выше свойства сравнимости емкостей?

Далее приведем ряд утверждений и гипотез, связанных с поставленными вопросами. Всюду в дальнейшем $N \geqslant 3$, а оператор $\mathcal L$ с фундаментальным решением $\varPhi=\varPhi_{\mathcal L}$ удовлетворяет условию (2.1) при $\vartheta=0$. Начнем со следующего утверждения, представляющего самостоятельный интерес.

Теорема 2. В указанных условиях для любого $R>0$ имеем

$$ \begin{equation} \int_{B_R}\varPhi(x)\,dx \neq 0 , \qquad \int_{\partial B_R}\varPhi(x)\,d\sigma_x\neq0, \end{equation} \tag{4.3} $$
где $B_R=B(0,R)$, а $\sigma$ обозначает поверхностную меру Лебега на соответствующей сфере интегрирования.

Доказательство. Так как функция $\varPhi$ однородна порядка $2-N$, то нетрудно установить следующие равенства:
$$ \begin{equation} \int_{\partial B_r}\varPhi(x)\,d\sigma_x = \frac{r}{R}\int_{\partial B_R}\varPhi(x)\,d\sigma_x, \qquad \int_{B_R}\varPhi(x)\,dx = \frac{R}{2}\int_{\partial B_R}\varPhi(x)\,d\sigma_x, \end{equation} \tag{4.4} $$
поэтому достаточно проверить только второе неравенство в (4.3) при $R=1$. Нам потребуется одно хорошо известное свойство фундаментальных решений, которое можно найти, например, в [10; гл. 3, п. 3.5] (используется приведенная ниже формула (4.6) и теорема 6 в последней ссылке для оператора $T(f)=(\Delta\varPhi)*f$) и которое состоит в следующем:
$$ \begin{equation} \Delta\varPhi=\Delta\varPhi_{\mathcal L}=\lambda_0\delta_0+\varPsi, \end{equation} \tag{4.5} $$
где $\delta_0$ – это дельта-функция Дирака с носителем в начале координат, $\lambda_0=\lambda_0(\mathcal L)\in\mathbb C$, а $\varPsi$ – некоторое ядро Кальдерона–Зигмунда в $\mathbb R^N$. Равенство (4.5) понимается в смысле теории обобщенных функций (распределений), а функция $\varPsi$ удовлетворяет следующим свойствам: $\varPsi\in C^\infty(\mathbb R^N_*)$, $\varPsi$ является однородной порядка $-N$ и выполнено равенство
$$ \begin{equation*} \int_{\partial B_1}\varPsi(x)\,d\sigma_x=0. \end{equation*} \notag $$

Применим к обеим частям равенства (4.5) преобразование Фурье $T\mapsto\widetilde{T}$, действующее в пространстве ${\mathcal S}'$ обобщенных функций (распределений) $T$ умеренного роста. Сначала из условия $\mathcal L\varPhi=\delta_0$ находим $\widetilde{\mathcal L\varPhi}=(2\pi)^{-N/2}$, т.е.

$$ \begin{equation*} -Q(y)\widetilde{\varPhi}(y)=(2\pi)^{-N/2}, \end{equation*} \notag $$
откуда получаем
$$ \begin{equation*} \widetilde{\varPhi}(y)=-\frac{(2\pi)^{-N/2}}{Q(y)} \end{equation*} \notag $$
и, следовательно,
$$ \begin{equation} \widetilde{\Delta\varPhi}(y)=-|y|^2\widetilde{\varPhi}(y)=(2\pi)^{-N/2}\frac{|y|^2}{Q(y)}. \end{equation} \tag{4.6} $$
С другой стороны, из (4.5) находим
$$ \begin{equation} \widetilde{\Delta\varPhi}(y)=\lambda_0(2\pi)^{-N/2}+\widetilde{\varPsi}(y), \end{equation} \tag{4.7} $$
где (снова учитывая (4.6)) функция $\widetilde{\varPsi}\in C^{\infty}(\mathbb R^N_*)$ однородна порядка $0$. Из определения преобразования Фурье на обобщенных функциях имеем $\langle\widetilde{\Psi},\varphi\rangle= \langle\Psi,\widetilde{\varphi}\rangle$. Подставляя здесь $\varphi(x)=\exp(-|x|^2/2)$, получаем
$$ \begin{equation*} \int_{\mathbb R^N}\widetilde{\varPsi}(y)\exp\biggl(-\frac{|y|^2}2\biggr)\,dy= \mathrm{v.p.}\int_{\mathbb R^N}\varPsi (x)\exp\biggl(-\frac{|x|^2}2\biggr)\,dx=0, \end{equation*} \notag $$
откуда в силу упомянутой чуть выше однородности порядка $0$ функции $\widetilde{\varPsi}$ сразу следует, что
$$ \begin{equation*} \int_{\partial B_1}\widetilde{\varPsi}(y)\,d\sigma_y=0. \end{equation*} \notag $$

В частности, из (4.6) и (4.7) получаем

$$ \begin{equation} \lambda_0=\frac1{\sigma(\partial B_1)}\int_{\partial B_1}\frac{|y|^2}{Q(y)}\,d\sigma_y\neq0, \end{equation} \tag{4.8} $$
поскольку $\operatorname{Re}(Q(y))>0$ при $y\in\mathbb R^N_*$ (что непосредственно вытекает из (2.1)).

Фиксируем теперь радиальную функцию $\varphi(x)=\varphi(|x|)\in C^{\infty}_0(B_1)$ такую, что $\varphi(0)\neq0$. Тогда

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \langle\Delta\varPhi,\varphi\rangle&=\int_{B_1}\varPhi(x)\Delta\varphi(x)\,dx =\langle\lambda_0\delta_0+\varPsi,\varphi\rangle \\ &=\lambda_0\varphi(0)+\int_{B_1}\varPsi(y)(\varphi(y)-\varphi(0))\,dy =\lambda_0\varphi(0)\neq0. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Таким образом, $\displaystyle\int_{B_1}\varPhi(x)\Delta\varphi(x)\,dx\neq0$. Теперь из радиальной симметричности функций $\varphi(x)=\varphi(r)$, $r=|x|$, и $\Delta\varphi(x)=\varphi''(r)+ ((N-1)/r)\varphi'(r)$, однородности функции $\varPhi$ и (4.4) получаем
$$ \begin{equation*} \int_{B_1}\varPhi(x)\Delta\varphi(x)\,dx= \int_{\partial B_1}\varPhi(x')\, d\sigma_{x'}\int_0^1r \biggl(\varphi''(r)+\frac{N-1}{r}\varphi'(r)\biggr)\,dr\neq0, \end{equation*} \notag $$
откуда сразу следует (4.3).

Теорема 2 доказана.

Замечание. Утверждение теоремы 2 верно для любого сильно эллиптического оператора $\mathcal L$ второго порядка в $\mathbb R^2$ и не верно ни для какого оператора $\mathcal L$ второго порядка в $\mathbb R^2$, не являющегося сильно эллиптическим.

В самом деле, если оператор $\mathcal L$ второго порядка в $\mathbb R^2$ является сильно эллиптическим, то его характеристические корни лежат в разных полуплоскостях относительно вещественной оси (см. выше), а если $\mathcal L$ не является сильно эллиптическим, то его характеристические корни лежат в одной такой полуплоскости. Из доказательства леммы 3.1 работы [11] вытекает, что в первом случае $\lambda_0\neq0$, где $\lambda_0$ определено в (4.8), а во втором случае $\lambda_0=0$. Далее доказательство завершается аналогично доказательству теоремы 2.

Теорема 2 позволяет выдвинуть следующую гипотезу, которая представляется нам весьма правдоподобной по крайней мере для широкого класса операторов $\mathcal L$.

Гипотеза 1. Пусть $N\geqslant5$. Тогда существует постоянная $A=A(N,\mathcal L)$ с условием $1\leqslant A<+\infty$ такая, что для любого ограниченного множества $E$, $E\neq\varnothing$, в $\mathbb R^N$ выполнено

$$ \begin{equation*} A^{-1}\gamma_{\Delta}(E)\leqslant\alpha_{\mathcal L}^+(E)\leqslant \gamma_{\mathcal L}^+(E)\leqslant A\gamma_{\Delta}(E). \end{equation*} \notag $$

Для исследования этой гипотезы полезным представляется следующий результат “альтернативного” типа. Впрочем, не известно ни одного случая, когда бы имел место вариант (A1) указанной альтернативы.

Предложение 2. Пусть $N\geqslant5$ и $\mathcal L$ – эллиптический оператор в $\mathbb R^N$ с фундаментальным решением $\varPhi=\varPhi_{\mathcal L}$.

(A1) Пусть найдется $(N-2)$-мерное подпространство $\mathcal X$ в $\mathbb R^N$, для которого

$$ \begin{equation} \int_{\partial B_1\cap {\mathcal X}}\varPhi(x)\,d\sigma_x=0. \end{equation} \tag{4.9} $$
Тогда гипотеза 1 неверна для оператора $\mathcal L$. Конкретно: для всякого ограниченного множества $E\subset {\mathcal X}$ выполнено $\gamma_{\Delta}(E)=0$, но для любого шара $B''\subset {\mathcal X}$ имеет место неравенство $\gamma_{\mathcal L}^+(B'')>0$.

(A2) Пусть для $(N-2)$-мерного подпространства $\mathcal X$ в $\mathbb R^N$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \int_{\partial B_1\cap\mathcal X}\varPhi(x)\,d\sigma_x\neq0. \end{equation*} \notag $$
Тогда для любого ограниченного множества $E\subset\mathcal X$, $E\neq\varnothing$, имеем $\gamma_{\mathcal L}^+(E)=0$.

Доказательство. Докажем (A1). Без ограничения общности можно считать, что
$$ \begin{equation*} \mathcal X=\{x\in\mathbb R^N\colon x_1=x_2=0,\ x=(x_1,\dots,x_N)\}. \end{equation*} \notag $$
Пусть $y=(x_3,\dots,x_N)\in\mathbb R^{N-2}$. Тогда $\varPhi_{\Delta}(0,0,y)=C_N/|y|^{N-2}$, где $C_N<0$ – соответствующая постоянная. Пусть $E$ – произвольный непустой компакт в $\mathcal X$, а $\mu$ – неотрицательная мера на $E$ с условием $\displaystyle\int_{E}d\mu_y>0$. Для доказательства свойства $\gamma_{\Delta}(E)=0$ достаточно установить, что свертка $|y|^{2-N}\ast\mu$ не ограничена на $\mathbb R^{N-2}$. Действительно, носитель $\mathop{\mathrm{Supp}}{\mu}$ меры $\mu$ лежит в некотором замкнутом кубе $K_0$. Разделим $K_0$ на $2^{N-2}$ равных (замкнутых) кубов, боковые грани которых параллельны соответствующим граням куба $K_0$. Среди этих кубов найдется куб $K_1$ с условием $\mu(K_1)\geqslant2^{2-N}\mu(K_0)$. Продолжая этот процесс по индукции, мы построим последовательность вложенных замкнутых кубов $\{K_m\}$ с общей точкой $y_0$ таких, что $\mathop{\mathrm{diam}}(K_{m+1})=\mathop{\mathrm{diam}}(K_m)/2$ и $\mu_(K_{m+1})\geqslant2^{2-N}\mu(K_m)$ при $m\in\mathbb N$. Из существования такой последовательности непосредственно вытекает, что $(|y|^{2-N}\ast\mu)(y_0)=+\infty$, что и требовалось.

Продолжим доказательство (A1). Пусть теперь $B''$ – произвольный шар в $\mathcal X=\mathbb R^{N-2}_y$. Далее через $B''(y_0,R)$ будем обозначать шар в $\mathbb R^{N-2}$ с центром в точке $y_0\in\mathbb R^{N-2}$ и радиусом $R>0$, а через $B''_R$ – шар $B''(0,R)$. Возьмем функцию $\varphi\in C^\infty_0(B'')$ с условиями $\varphi\geqslant0$ и $\displaystyle\int_{B''}\varphi(y)\,dy>0$. Определим меру $\mu$ так, что $d\mu_y=\varphi(y)\,dy$. Пусть $\varPhi$ – фундаментальное решение рассматриваемого дифференциального оператора. Положим $\varPhi_0(y)=\varPhi((0,0,y))$, так что

$$ \begin{equation*} \int_{\partial B''_R}\varPhi_0(y)\,d\sigma_y=0. \end{equation*} \notag $$
Фиксируем произвольное $y^0\in\mathbb R^{N-2}$ и возьмем $R>0$ так, чтобы выполнялось $B''\subset B''(y^0,R)$. Тогда
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \bigl|(\varPhi_0\ast\mu)(y^0)\bigr| &=\biggl|\mathrm{v.p.}\int_{B''(y^0,R)}\varPhi_0(y^0-y)\varphi(y)\,dy\biggr| \\ &=\biggl|\int_{B''(y^0,R)}\varPhi_0(y^0-y)\bigl(\varphi(y)-\varphi(y^0)\bigr)\,dy\biggr| \\ &\leqslant A_1\int_0^R\frac1{\rho^{N-2}} \rho^{N-3} \rho\,d\rho\leqslant A_1R, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где оценка осуществляется интегрированием в сферических координатах, а $A_1=A_1(\varPhi,\varphi)\in(0,+\infty)$. Отсюда получаем, что $\|\varPhi_0\ast\mu\|_{\mathcal X}<+\infty$.

Фиксируем теперь произвольную точку $x^0\in\mathbb R^N\setminus\mathcal X$, для которой положим $x^0=(x^0_1,x^0_2,y^0)$. Положим также $\delta=\sqrt{(x^0_1)^2+(x^0_2)^2}$. Оценим $(\varPhi*\mu)(x^0)$. Пусть, как и выше, $B''\subset B''(y^0,R)$, и положим $V=B''(y^0,R)\setminus B''(y^0,\delta)$. Тогда

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\bigl|(\varPhi\ast\mu)(x^0)-(\varPhi_0\ast\mu)(y^0)\bigr| \\ &\qquad\leqslant \int_{B''(y^0,\delta)}|\varPhi(x^0-y)|\,|\varphi(y)|\,dy +\biggl|\int_{B''(y^0,\delta)}\varPhi_0(y^0-y)(\varphi(y^0)-\varphi(y))\,dy\biggr| \\ &\qquad\qquad+\biggl|\int_{V}(\varPhi(x^0-y)-\varPhi(y^0-y))\varphi(y)\,dy\biggr| \\ &\qquad=I_1+I_2+I_3. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Ясно, что $I_1\leqslant A_1 (1/\delta^{N-2}) \delta^{N-2}\leqslant A_1$, а $I_2\leqslant A_1\delta$ (такая оценка проведена выше). Оценим $I_3$, пользуясь неравенством
$$ \begin{equation*} |\varPhi(x^0-y)-\varPhi_0(y^0-y)|\leqslant A_2\delta\sup_{x\in[x^0,(0,0,y^0)]}|\nabla\varPhi(x-y)|\leqslant \frac{A_3\delta}{|y-y^0|^{N-1}}, \end{equation*} \notag $$
из которого непосредственно находим, что
$$ \begin{equation*} I_3\leqslant\int_{\delta}^{R}\frac{A_3\delta}{\rho^{N-1}}\rho^{n-3}\,d\rho\leqslant A_4, \end{equation*} \notag $$
где $A_2$, $A_3$ и $A_4$ – положительные постоянные. Итак, $\|\varPhi_0\ast\mu\|_{\mathbb R^N}<+\infty$, откуда по определению $\gamma_{\mathcal L}^+(B'')>0$, и (A1) доказано.

Теперь установим (A2). Как и раньше, будем считать, что $\mathcal X=\{x\in\mathbb R^N$: $x_1= x_2=0\}$ и $y=(x_3,\dots,x_N)\in\mathcal X$. Пусть, от противного, найдется ограниченное множество $E\subset\mathcal X$ с условием $\gamma_{\mathcal L}^+(E)>0$. Тогда найдется неотрицательная мера $\mu$ с носителем $\mathop{\mathrm{Supp}}(\mu)\subset E$ такая, что $\displaystyle\int_{E}d\mu_y>0$ и $\|\varPhi_{\mathcal L}\ast\mu\|\leqslant1$.

Обозначим $B''_1=B_1\cap\mathcal X$ и фиксируем функцию $\varphi_1\in C^\infty_0(B''_1)$ с условиями $\varphi_1(y)\geqslant0$ и $\displaystyle\int_{B''_1}\varphi_1(y)\,dy=1$. Наконец, при $\varepsilon>0$ положим $\varphi^\varepsilon(y)=\varepsilon^{2-N}\varphi_1(y/\varepsilon)$. Положим $\mu^\varepsilon=\varphi^\varepsilon\ast\mu$ (свертка рассматривается в $\mathcal X=\mathbb R^{N-2}$, а $\mu^\varepsilon$ понимается как мера). Тогда

$$ \begin{equation*} \mu^\varepsilon\geqslant0, \qquad \int_{\mathcal X}d\mu^\varepsilon > 0 , \qquad \|\varPhi_{\mathcal L}\ast\mu^\varepsilon\|\leqslant1. \end{equation*} \notag $$
Далее, пусть $\psi^\varepsilon$ – плотность меры $\mu^\varepsilon$ относительно меры Лебега в $\mathcal X=\mathbb R^{N-2}$, т.е. $d\mu^\varepsilon_y=\psi^\varepsilon(y)\,dy$. Тогда $\psi^\varepsilon\in C^\infty_0(\mathcal X)$.

Так как $\displaystyle\int_{\partial B''_1}\varPhi_{\mathcal L}(y)\,d\sigma_y\neq0$, то найдется число $\mu_0 \neq 0$ такое, что

$$ \begin{equation*} \int_{\partial B''_1}\varPhi_{\mathcal L}\,d\sigma_y= \mu_0\int_{\partial B''_1}\varPhi_{\Delta}\,d\sigma_y. \end{equation*} \notag $$

Пусть точка $y^0\in\mathcal X$ такова, что $\psi^\varepsilon(y^0)>0$, и пусть $\mathop{\mathrm{Supp}}(\psi^\varepsilon)\subset B''(y^0,R)=B''$ при некотором $R>0$. Тогда, с одной стороны (напомним, что $\varPhi_{\Delta}=\alpha_N |x|^{-N+2}$ с некоторой константой $\alpha_N<0$),

$$ \begin{equation*} \int_{B''}\varPhi_{\Delta}(y-y^0) \psi^\varepsilon(y)\,dy=-\infty, \end{equation*} \notag $$
а с другой стороны –
$$ \begin{equation*} \biggl|\mathrm{v.p.}\int_{B''}\varPhi_{\mathcal L}(y-y^0) \psi^\varepsilon(y)\,dy\biggr|\leqslant1. \end{equation*} \notag $$
Остается заметить, что
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, & \biggl|\mathrm{v.p.}\int_{B''}\bigl(\varPhi_{\mathcal L}(y-y^0)-\mu_0\varPhi_{\Delta}(y-y^0)\bigr) \psi^\varepsilon(y)\,dy\biggr| \\ &\qquad = \biggl|\int_{B''}\bigl(\varPhi_{\mathcal L}(y-y^0)-\mu_0\varPhi_{\Delta}(y-y^0) (\psi^\varepsilon(y) - \psi^\varepsilon(y^0))\,dy\biggr| \\ &\qquad \leqslant A_5\int_0^R\frac1{r^{N-2}} r r^{N-3}\,dr\leqslant A_5R<+\infty, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $A_5$ – положительная постоянная. Полученное противоречие завершает доказательство (A2).

Предложение 2 доказано.

Приведем примеры ситуаций, в которых имеет место случай 2) предложения 2.

Предложение 3. Пусть $N\geqslant5$, а символ $Q$ эллиптического оператора $\mathcal L$ в $\mathbb R^N$ имеет вид

$$ \begin{equation*} Q(x)=x_1^2+\dots+x_p^2+c_{p+1}(x_{p+1}^2+\dots+x_N^2), \end{equation*} \notag $$
где $c_{p+1}\not\in(-\infty,0]$ и $p\in\{1,\dots,N-1\}$, причем $q=N-p\leqslant p$. Пусть, как и раньше, $\mathcal X=\{x\in\mathbb R^N\colon x_1=x_2=0\}$. Тогда
$$ \begin{equation*} \int_{\partial B''_1}\varPhi_{\mathcal L}(y)\,d\sigma_y\neq0, \qquad y=(x_3,\dots,x_N)\in\mathcal X=\mathbb R^{N-2}_y. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что
$$ \begin{equation*} \varLambda(x)=x_1^2+\dots+x_p^2+\lambda(x_{p+1}^2+\dots+x_N^2), \quad\text{где }\ \lambda=c_{p+1}^{-1}\not\in(-\infty,0] \end{equation*} \notag $$
(здесь использованы обозначения, введенные в § 3). Тогда
$$ \begin{equation*} \varPhi(x)=\varPhi_{\mathcal L}(x)=c(\varLambda(x))^{-m}_*=c\exp\bigl(-m\ln_*(\varLambda(x))\bigr), \end{equation*} \notag $$
где $c\neq0$, $m=(N-2)/2$, а $\ln_*$ обозначает главную ветвь многозначного логарифма. Далее предполагается, что $q\geqslant 2$ (более простой случай $q=1$ мы опустим). Пусть $y'=(x_3,\dots,x_p)$ и $y''=(x_{p+1},\dots,x_{N-1})$. В указанных обозначениях
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, I(\lambda) &:=\int_{\partial B''_1}\varPhi_{\mathcal L}(y)\,d\sigma_y \\ &= 2c\int_{|y'|\leqslant1}dy'\int_{|y''|\leqslant\sqrt{1-|y'|^2}} \frac{dy''}{\sqrt{1-|y'|^2-|y''|^2} \bigl(|y'|^2+\lambda(1-|y'|^2)\bigr)^m_*}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Переходя в последнем интеграле к сферическим координатам, получаем
$$ \begin{equation*} I(\lambda)=c_1\int_{0}^{1}\rho^{p-3}\,d\rho\int_{0}^{\sqrt{1-\rho^2}} \frac{r^{q-2}\,dr}{\sqrt{1-\rho^2-r^2} (\rho^2+\lambda(1-\rho^2))^m_*}, \end{equation*} \notag $$
где постоянная $c_1$ не равна нулю. Положим $a=\sqrt{1-\rho^2}$. Тогда (используя замену переменных $r=a\sin{t}$) получаем
$$ \begin{equation*} \int_{0}^{a}\frac{r^{q-2}\,dr}{\sqrt{a^2-r^2}}=c_2a^{q-2}, \end{equation*} \notag $$
где $c_2>0$ – некоторая абсолютная постоянная. Таким образом, получаем (далее $c_3\neq0$ – подходящая постоянная)
$$ \begin{equation*} I(\lambda)=c_3\int_{0}^{1}\frac{\rho^{p-3}(1-\rho^2)^{(q-2)/2}}{(\rho^2+\lambda(1-\rho^2))^m_*}\,d\rho= c_3\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin^{p-3}t\cos^{q-1}t}{(\sin^2t+\lambda \cos^2t)^m_*}\,dt, \end{equation*} \notag $$
где сделана замена $\rho=\sin{t}$. При этом последний интеграл равен $I(\lambda)$ и при $q=1$. Заметим, что
$$ \begin{equation*} m=\frac{N-2}{2}=\frac{p+q}{2}=\frac{p-3}{2}+\frac{q-1}{2}+1. \end{equation*} \notag $$
Известен “табличный” интеграл (см. [12; формула 3.642, (1)])
$$ \begin{equation} \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin^{2\mu-1}t\cos^{2\nu-1}t\,dt}{(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t)^{\mu+\nu}}\,dt =\frac{1}{2a^{2\mu}b^{2\nu}}B(\mu,\nu), \end{equation} \tag{4.10} $$
где $\operatorname{Re}\mu>0$, $\operatorname{Re}\nu>0$, $a>0$, $b>0$, а $B(\cdot,\cdot)$ – бета-функция Эйлера. Интеграл $I(\lambda)$ получается при $\mu=(p-2)/2$, $\nu=q/2$, $a=1$ и $b=\lambda^{1/2}_*$. При $\lambda > 0$ из (4.10) находим
$$ \begin{equation*} I(\lambda)=\frac{c_3}{2(\sqrt{\lambda})^q} B\biggl(\frac{p-2}{2},\frac{q}{2}\biggr)= \frac{c_4}{\lambda^{q/2}_*}, \end{equation*} \notag $$
где $c_4\neq0$ – постоянная. Так как $I(\lambda)$ голоморфна при $\lambda\in\mathbb C\setminus(-\infty,0]$, то по теореме единственности $I(\lambda)=c_4/\lambda^{q/2}_*\neq0$ при всех указанных $\lambda$.

Предложение 3 доказано.

Список литературы

1. М. Я. Мазалов, “Критерий равномерной приближаемости индивидуальных функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами”, Матем. сб., 211:9 (2020), 60–104  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. Ya. Mazalov, “A criterion for uniform approximability of individual functions by solutions of second-order homogeneous elliptic equations with constant complex coefficients”, Sb. Math., 211:9 (2020), 1267–1309  crossref  adsnasa
2. М. В. Келдыш, “О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле”, УМН, 1941, № 8, 171–231  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. V. Keldyš, “On the solvability and stability of the Dirichlet problem”, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 51, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1966, 1–73  crossref
3. Н. С. Ландкоф, Основы современной теории потенцила, Наука, М., 1966, 515 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. S. Landkof, Foundations of modern potential theory, Grundlehren Math. Wiss., 180, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1972, x+424 с.  mathscinet  zmath
4. П. В. Парамонов, “Равномерные аппроксимации функций решениями сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $\mathbb R^2$”, Матем. сб., 212:12 (2021), 77–94  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: P. V. Paramonov, “Uniform approximation of functions by solutions of strongly elliptic equations of second order on compact subsets of $\mathbb R^2$”, Sb. Math., 212:12 (2021), 1730–1745  crossref  adsnasa
5. Л. Хёрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 1, Теория распределений и анализ Фурье, Мир, М., 1986, 464 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, т. I, Grundlehren Math. Wiss., 256, Distribution theory and Fourier analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1983, ix+391 с.  crossref  mathscinet  zmath
6. Р. Хорн, Ч. Джонсон, Матричный анализ, Мир, М., 1989, 656 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: R. A. Horn, C. R. Johnson, Matrix analysis, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1985, xiii+561 с.  crossref  mathscinet  zmath
7. М. Я. Мазалов, П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский, “Условия $C^m$-приближаемости функций решениями эллиптических уравнений”, УМН, 67:6(408) (2012), 53–100  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. Ya. Mazalov, P. V. Paramonov, K. Yu. Fedorovskiy, “Conditions for $C^m$-approximability of functions by solutions of elliptic equations”, Russian Math. Surveys, 67:6 (2012), 1023–1068  crossref  adsnasa
8. А. О. Багапш, М. Я. Мазалов, К. Ю. Федоровский, “О задаче Дирихле для не сильно эллиптических уравнений второго порядка”, УМН, 77:2(464) (2022), 197–198  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. O. Bagapsh, M. Ya. Mazalov, K. Yu. Fedorovskiy, “On the Dirichlet problem for not strongly elliptic second-order equations”, Russian Math. Surveys, 77:2 (2022), 372–374  crossref  adsnasa
9. R. Harvey, J. C. Polking, “A notion of capacity which characterizes removable singularities”, Trans. Amer. Math. Soc., 169 (1972), 183–195  crossref  mathscinet  zmath
10. И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Мир, М., 1973, 342 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: E. M. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton Math. Ser., 30, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1970, xiv+290 с.  crossref  mathscinet  zmath
11. М. Я. Мазалов, “Критерий равномерной приближаемости на произвольных компактах для решений эллиптических уравнений”, Матем. сб., 199:1 (2008), 15–46  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. Ya. Mazalov, “A criterion for uniform approximability on arbitrary compact sets for solutions of elliptic equations”, Sb. Math., 199:1 (2008), 13–44  crossref  adsnasa
12. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 4-е изд., Физматгиз, М., 1963, 1100 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, Table of integrals, series, and products, 4th ed., Academic Press, New York–London, 1965, xlv+1086 с.  mathscinet  zmath

Образец цитирования: П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский, “Явный вид фундаментальных решений некоторых эллиптических уравнений и связанные с ними $B$- и $C$-емкости”, Матем. сб., 214:4 (2023), 114–131; P. V. Paramonov, K. Yu. Fedorovskiy, “Explicit form of fundamental solutions to certain elliptic equations and associated $B$- and $C$-capacities”, Sb. Math., 214:4 (2023), 550–566
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ParFed23}
\by П.~В.~Парамонов, К.~Ю.~Федоровский
\paper Явный вид фундаментальных решений некоторых эллиптических уравнений и связанные с~ними $B$- и $C$-емкости
\jour Матем. сб.
\yr 2023
\vol 214
\issue 4
\pages 114--131
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9807}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9807}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4653194}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1531.31012}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023SbMat.214..550P}
\transl
\by P.~V.~Paramonov, K.~Yu.~Fedorovskiy
\paper Explicit form of fundamental solutions to certain elliptic equations and associated $B$- and $C$-capacities
\jour Sb. Math.
\yr 2023
\vol 214
\issue 4
\pages 550--566
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9807e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001086876100004}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85176580149}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9807
  • https://doi.org/10.4213/sm9807
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v214/i4/p114
  • Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:370
    PDF русской версии:37
    PDF английской версии:47
    HTML русской версии:196
    HTML английской версии:112
    Список литературы:34
    Первая страница:6
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024