| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Двойственные исключительные наборы на лагранжевых грассманианах А. В. Фонарёв Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9880e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПроизводные категории многообразий являются одним из центральных объектов изучения в современной алгебраической геометрии. Скептически настроенный читатель может пожаловаться, не без причины, что понятие производной категории чрезвычайно абстрактно. Однако с момента появления основополагающей работы А. Бейлинсона [1] производные категории стали замечательным инструментом для когомологических вычислений. Говоря современным языком, Бейлинсон построил полный исключительный набор в ограниченной производной категории когерентных пучков на проективном пространстве. Следующая аналогия часто используется, чтобы проиллюстрировать вычислительную мощь исключительных наборов. Для всякого конечномерного вещественного векторного пространства $V$ с положительно определенной симметрической билинейной формой $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$ можно найти ортонормированный базис, т.е. базис, состоящий из векторов $(v_1,v_2,\dots,v_n)$ таких, что (i) $\langle v_i, v_i\rangle=1$ для всех $i=1,\dots, n$ и (ii) $\langle v_i, v_j\rangle=0$ при $i\neq j$. Первое условие означает, что все базисные векторы – единичные, а второе условие – условие ортогональности. Если ортонормированный базис выбран, то всякий вектор $v\in V$ может быть по нему разложен следующим образом:
$$
\begin{equation}
v=\langle v, v_1\rangle v_1+\langle v, v_2\rangle v_2+\dots +\langle v, v_n\rangle v_n.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Давайте теперь немного ослабим условия: опустим условие симметричности формы. В таком случае можно вновь построить базис, состоящий из единичных векторов, но условие ортогональности (ii) придется немного подправить. Будем говорить, что базис $(v_1,v_2,\dots,v_n)$ полуортонормален по отношению к (несимметричной) билинейной форме $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$, если (i) $\langle v_i, v_i\rangle=1$ для всех $i=1,\dots, n$ и (ii) $\langle v_i, v_j\rangle=0$ при $i > j$. Очевидно, что придется также исправить формулу (1.1). Действительно, для получения (1.1) непосредственно используется то факт, что при изоморфизме $V^*\xrightarrow{\sim} V$, индуцированном формой $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$, двойственный базис $(v^1,\dots, v^n)$ отображается в исходный базис $(v_1,\dots, v_n)$. Теперь имеется два изоморфизма: $V\to V^*$, $v\mapsto \langle v ,\cdot\rangle$ и $V\to V^*$, $v\mapsto \langle\cdot,v \rangle$. Рассмотрим второй из них и обозначим через $u_i\in V$ образы двойственного базиса относительно обратного к нему. Имеем
$$
\begin{equation*}
\langle v_i, u_j\rangle=\delta_{ij} \quad \text{при }\ 1\leqslant i,j\leqslant n.
\end{equation*}
\notag
$$
Векторы $u_1,\dots, u_n$ очевидно образуют базис, и для любого $v \in V$ имеется формула
$$
\begin{equation}
v=\langle v, u_1\rangle v_1+\langle v, u_2\rangle v_2+\dots +\langle v, u_n\rangle v_n.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Что не так очевидно, векторы $(u_n, u_{n-1}, \dots, u_1)$ (обратим внимание на обратный порядок) образуют полуортонормальный базис, называемый левым двойственным к $(v_1,v_2,\dots,v_n)$. Один из способов увидеть последнее, не самый очевидный, – через понятие перестройки. Рассмотрим полуортонормальную пару $(u, v)$: $\langle u, u \rangle=\langle v, v\rangle=1$ и $\langle v, u \rangle=0$. Зададим новый вектор формулой $\mathbb{L}_uv=v-\langle u, v\rangle u$ и назовем его левой перестройкой $v$ через $u$. Простое вычисление показывает, что $(\mathbb{L}_uv, u)$ – полуортонормальная пара. Как можно догадаться из названия, у левой перестройки имеется родственник: назовем вектор $\mathbb{R}_vu=u-\langle u, v\rangle v$ правой перестройкой $u$ через $v$. Пара $(v, \mathbb{R}_vu)$ является полуортонормальной. Очень хорошее упражнение по линейной алгебре состоит в том, чтобы проверить, что левые и правые перестройки соседних элементов задают действие группы кос с $n$ нитями на множестве всех полуортонормальных базисов. Кроме того, левый двойственный к полуортонормальному базису $(v_1,v_2,\dots,v_n)$ можно представить как
$$
\begin{equation}
\mathbb{L}_{v_1}\mathbb{L}_{v_2}\dotsb\mathbb{L}_{v_{n-1}}v_n, \quad \mathbb{L}_{v_1}\mathbb{L}_{v_2}\dotsb\mathbb{L}_{v_{n-2}}v_{n-1}, \quad \dots, \quad \mathbb{L}_{v_1}v_2, \quad v_1.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
За подробностями отошлем читателя к работе [2]. Линейно-алгебраическая картина переносится на триангулированные категории. Вместо векторного пространства рассмотрим $\mathsf{k}$-линейную триангулированную категорию $\mathcal{T}$ такую, что $\operatorname{Ext}^\bullet(E, F)$ конечномерно для всех $E, F\in \mathcal{T}$, а в качестве билинейной формы – $\operatorname{Ext}^\bullet_{\mathcal{T}}(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$. Скажем, что объект $E\in \mathcal{T}$ – исключительный, если $\operatorname{Hom}(E, E)=\mathsf{k}$ и $\operatorname{Ext}^i(E, E)=0$ для всех $i\neq 0$. Набор объектов $(E_1,E_2,\dots, E_n)$ называется исключительным, если каждый $E_i$ исключительный и $\operatorname{Ext}^\bullet(E_i, E_j)=0$ для всех $i>j$. Наконец, набор называется полным, если он порождает категорию в том смысле, что ни одна собственная строго полная подкатегория в $\mathcal{T}$ не содержит все $E_i$. Если $(E_1,E_2,\dots, E_n)$ – полный исключительный набор в $\mathcal{T}$, будем писать $\mathcal{T}=\langle E_1,E_2,\dots, E_n\rangle$. Аналогия с полуортонормированными базисами должна легко прослеживаться. Допустим, что в категории $\mathcal{T}$ имеется полный исключительный набор $(E_1,E_2,\dots, E_n)$ (что, вообще говоря, редкость). Тогда всякий объект в $\mathcal{T}$ можно не только получить из конечного набора объектов $E_i$, последовательно применяя операции сдвига и взятия конуса, но и сделать это достаточно явным способом. Напомним, что разложение вектора по данному полуортонормированному базису можно произвести при помощи левого двойственного полуортонормированного базиса по формуле (1.2). Попробуем сымитировать определение последнего в категорном случае. Определение 1.1 (см. [8]). Набор объектов $(E_n^\vee,E_{n-1}^\vee,\dots, E_1^\vee)$ называется левым двойственным к $(E_1,E_2,\dots, E_n)$, если Читателя не должно удивить, что набор $(E_n^\vee,E_{n-1}^\vee,\dots, E_1^\vee)$ исключительный и является полным тогда и только тогда, когда полон исходный набор. Как и в линейно-алгебраическом случае, имеются операции левой и правой перестройки исключительной пары $(E, F)$, заданные точными треугольниками
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbb{L}_EF \to \operatorname{Ext}^\bullet(E, F)\otimes E\xrightarrow{\mathrm{ev}} F\to \mathbb{L}_EF[1], \\ \mathbb{R}_FE[-1] \to E\xrightarrow{\mathrm{coev}} \operatorname{Ext}^\bullet(E, F)^*\otimes F\to \mathbb{R}_FE. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Данные операции задают действие группы кос с $n$ нитями на множестве всех исключительных наборов длины $n$ в $\mathcal{T}$, и формула, похожая на (1.3), полностью определяет левый двойственный набор:
$$
\begin{equation*}
E_i^\vee=\mathbb{L}_{E_1}\mathbb{L}_{E_2}\dotsb\mathbb{L}_{E_{i-1}}E_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, вместо разложения (1.2) имеется спектральная последовательность, которая помогает вычислять значения когомологических функторов, примененных к объектам $\mathcal{T}$. Подробнее мы поговорим об этом в п. 2.1. Связь между исключительными наборами и полуортонормированными базисами установить достаточно просто. Пусть дана категория $\mathcal{T}$ с полным исключительным набором $(E_1,E_2,\dots, E_n)$, как выше. Легко проверить, что классы $E_i$ образуют базис в группе Гротендика $K_0(\mathcal{T})$. В частности, длина всякого полного исключительного набора равна ее рангу, а сама группа апостериори должна быть конечно порожденной и свободной. Если взять в качестве билинейной формы $\sum_i (-1)^i \dim_\mathsf{k} \operatorname{Ext}^i(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$, то исключительные наборы становятся “категорификацией” соответствующих полуортонормальных базисов. Первый пример полного исключительного набора был дан Бейлинсоном: в работе [1] было показано, что
$$
\begin{equation*}
D^b(\mathbb{P}^n)=\langle \mathcal{O}, \mathcal{O}(1),\dots, \mathcal{O}(n)\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
где $D^b(X)$ обозначает ограниченную производную категорию когерентных пучков на алгебраическом многообразии $X$. Интересно, что одновременно автор показал, что левый двойственный набор (с точностью до сдвигов) задается $\langle \Omega^n(n), \Omega^{n-1}(n-1),\dots,\Omega^1(1),\mathcal{O} \rangle$. Давняя гипотеза гласит, что ограниченная производная категория когерентных пучков на рациональном однородном многообразии допускает полный исключительный набор. Хотя много работ было посвящено данной гипотезе, окончательно она была доказана лишь в ограниченном наборе случаев. Скажем, для классических групп в типах Дынкина $ABCD$ и однородных многообразий с группой Пикара ранга $1$ задача полностью решена для грассманианов (см. [3]), квадрик (см. [4]), симплектических и ортогональных грассманианов плоскостей (см. [5], [6]), лагранжевых грассманианов (см. [11]), а также в нескольких спорадических случаях. За подробностями мы отсылаем читателя к работе [7]. Многие явные конструкции алгебраических многообразий реализуют их не как подмногообразия проективных пространств, а грассманианов, поэтому исключительные наборы на последних оказываются важным вычислительным инструментом. Один из наших любимых примеров – работа [12], в которой авторы используют исключительные наборы, чтобы изучать модули расслоений Ульриха. Чтобы использовать данный инструмент на полную мощь, важно знать двойственный набор. Нахождение двойственного набора оказывается отдельной задачей. В настоящей работе мы строим исключительные наборы, двойственные к исключительным наборам, построенным на лагранжевых грассманианах в работе [11]. В качестве приложения мы используем эти наборы, чтобы построить явные резольвенты для некоторых очень естественных неприводимых векторных расслоений. Отныне мы будем интересоваться ограниченной производной категорией когерентных пучков на $\operatorname{LGr}(n, V)$ – лагранжевом грассманиане изотропных подпространств размерности $n$ в фиксированном $2n$-мерном симплектическом векторном пространстве $V$ над полем $\mathsf{k}$ характеристики $0$. Исключительные наборы максимальной длины (напомним, что она совпадает с рангом группы Гротендика) были построены на всех симплектических и ортогональных грассманианах А. Кузнецовым и А. Полищуком в [7]. Все построенные ими наборы гипотетически полные, но проверить это удалось лишь для лагранжевых грассманианов в [11]. Конструкция Кузнецова и Полищука достаточно непрямая: они начинают с некоторых наборов неприводимых векторных расслоений, которые называют блоками, после чего в эквивариантной категории переходят к двойственным наборам (любой набор из неприводимых эквивариантных векторных расслоений образует исключительный набор в эквивариантной категории, если его правильно упорядочить). Каждый блок должен удовлетворять некоторым гомологическим условиям, которые гарантируют, что двойственные наборы оказываются исключительными уже в неэквивариантной производной категории. Самая тяжелая работа в [7] состоит в проверке данных условий, что есть задача теории представлений. Мы обсудим условие на блоки позже, в п. 2.2, а пока объясним, почему случай изотропных грассманианов оказывается существенно сложнее классических. Полные исключительные наборы в производных категориях грассманианов были построены Капрановым в работе [4]. Рассмотрим грассманиан $\operatorname{Gr} (k, V)$, параметризующий $k$-мерные подпространства в фиксированном $N$-мерном векторном пространстве $V$ над полем $\mathsf{k}$ нулевой характеристики. Обозначим через $\mathcal{U}$ тавтологическое подрасслоение ранга $k$ в тривиальном расслоении $V\otimes \mathcal{O}$. Капранов показал, что
$$
\begin{equation}
D^b(\operatorname{Gr}(k, V))=\bigl\langle\Sigma^\lambda \mathcal{U}^* \mid \lambda\in \mathrm{Y}_{k,N-k} \bigr\rangle,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $\lambda$ пробегает множество диаграмм Юнга $\mathrm{Y}_{k, N-k}$ высоты не более $k$ и ширины не более $N-k$, $\Sigma^\lambda$ – соответствующий функтор Шура, а в качестве порядка можно взять любой линейный порядок, согласованный с частичным порядком включения $\subseteq$ на диаграммах. Более того, он одновременно построил градуированный1 левый двойственный набор:
$$
\begin{equation}
D^b(\operatorname{Gr}(k, V))=\bigl\langle\Sigma^{\lambda^\top} \mathcal{U}^\perp \mid \lambda\in \mathrm{Y}_{k,N-k} \bigr\rangle,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $\mathcal{U}^\perp=(V/\mathcal{U})^*$, а $\lambda^\top$ обозначает транспонированную диаграмму. Замечание 1.1. Читатель может удивиться, зачем использовать дополнительное транспонирование, а не проиндексировать набор $\mathrm{Y}_{N-k, k}$, как Капранов и делает. В конечном счете, $\{\lambda^\top \mid \lambda \in \mathrm{Y}_{k, N-k}\}=\mathrm{Y}_{N-k, k}$. Ответ на этот вопрос будет дан в п. 2.1, где вводится наше соглашение о градуированных двойственных исключительных наборах. Соотношение двойственности может показаться немного отличным от описанного ранее:
$$
\begin{equation}
\operatorname{Ext}^\bullet(\Sigma^\lambda \mathcal{U}^*, \Sigma^{\mu^\top} \mathcal{U}^\perp)= \begin{cases} \mathsf{k}[-|\lambda|], & \text{если } \lambda=\mu, \\ 0 & \text{иначе}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
но разница в градуировке незначительна, так как два определения отличаются на сдвиги в производной категории. Более того, выбор градуировки в (1.6) обоснован тем, что соответствующий двойственный набор состоит из векторных расслоений. В лемме 2.1 мы дадим формальное определение градуированного двойственного исключительного набора, примером которого является капрановский двойственный. Вернемся к случаю, когда $V$ – симплектическое векторное пространство размерности $2n$. Так как $\operatorname{LGr}(n, V)$ естественно вложен как замкнутое подмногообразие в $\operatorname{Gr}(n, V)$, а тавтологическое расслоение на последнем ограничивается как тавтологическое расслоение на первый, естественно спросить, являются ли ограничения каких-либо элементов капрановского набора исключительным векторными расслоениями на $\operatorname{LGr}(n, V)$. Тут случается интересное. Оказывается, что с точностью до подкрутки единственные диаграммы, для которых $\Sigma^\lambda \mathcal{U}^*$ исключительные на $\operatorname{LGr}(n, V)$, – это $\lambda \in \mathrm{Y}_{n,1}$. Количество объектов в полном исключительном наборе на $\operatorname{LGr}(n, V)$ должно быть равно $\operatorname{rk} K_0(\operatorname{LGr}(n, V))=2^n$, и легко видеть, что из расслоений, указанных выше, нельзя построить достаточно длинный исключительный набор. Заметим также, что $\mathcal{U}^\perp$ ограничивается изоморфно $\mathcal{U}$ на $\operatorname{LGr}(n, V)$. Конструкция Кузнецова и Полищука для всякого $\lambda\,{\in}\, \mathrm{Y}_{h, n-h}$, где $0\,{\leqslant}\, h\,{\leqslant}\, n$, производит эквивариантное, не являющееся неприводимым (в общем случае) векторное расслоение $\mathcal{E}^\lambda$ на $\operatorname{LGr}(n, V)$ со следующими свойствами. Во-первых, $\mathcal{E}^\lambda$ принадлежит подкатегории в $D^b(\operatorname{LGr}(n, V))$, порожденной $\Sigma^\mu \mathcal{U}^*$ для $\mu\,{\subseteq}\, \lambda$. Во-вторых, $\mathbf{G}=\operatorname{Sp}_{2n}$-эквивариантные группы $\operatorname{Ext}^\bullet_\mathbf{G}(\mathcal{E}^\lambda, \Sigma^\mu \mathcal{U}^*)=0$ для всех $\mu\subsetneq \lambda$, в то время как $\operatorname{Ext}^\bullet_\mathbf{G}(\mathcal{E}^\lambda, \Sigma^\lambda \mathcal{U}^*)=\mathsf{k}$. Данная диаграмма может принадлежать разным множествам $\mathrm{Y}_{h, n-h}$, но получающееся расслоение не зависит от выбора $h$, так как перечисленные свойства не зависят от $h$ и полностью характеризуют его. Первый нетривиальный пример подобного расслоения – универсальное расширение
$$
\begin{equation*}
0\to \mathcal{O} \to \mathcal{E}^2 \to S^2\mathcal{U}^* \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Кузнецов и Полищук показали, что для всякого $0\leqslant h \leqslant n$ расслоения
$$
\begin{equation}
\langle\mathcal{E}^\lambda \mid \lambda\in \mathrm{Y}_{h,\,n-h}\rangle
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
образуют исключительный набор в $D^b(\operatorname{LGr}(n, V))$. Как и в случае грассманианов, их можно линейно упорядочить любым способом, согласованным с частичным порядком по вложению на диаграммах. Обозначим через $\mathcal{F}^\lambda$ расслоение двойственное (в обычном смысле) к $\mathcal{E}^\lambda$: Наш первый основной результат заключен в теореме 3.1 и состоит в следующем. Расслоения $\langle\mathcal{F}^{\lambda^\top} \mid \lambda\in \mathrm{Y}_{h,n-h} \rangle$ образуют градуированный левый двойственный исключительный набор к (1.7). Мы сформулировали теорему 3.1 в терминах транспонированных диаграмм, чтобы показать параллель между лагранжевым и классическим случаем: достаточно сравнить формулировку теоремы с (1.4) и (1.5), помня, что расслоение $\mathcal{U}^\perp$ изоморфно $\mathcal{U}=(\mathcal{U}^*)^*$ на $\operatorname{LGr}(n, V)$. Легко видеть, что расслоение $\Sigma^\lambda\mathcal{U}^*$ принадлежит подкатегории (1.7), где $\lambda\in \mathrm{Y}_{h,n-h}$. Приятное геометрическое описание (на самом деле даже два) было дано для расслоений $\mathcal{F}^\mu$ в [11]. Используя данное описание, удается вычислить спектральную последовательность градуированного двойственного набора и получить следующий результат (теорема 3.3) в качестве приложения теоремы 3.1 (подробности даны в п. 3.2). Пусть $\lambda\in \mathrm{Y}_{h,n-h}$ для некоторого $0\leqslant h\leqslant n$. Имеется точная $\operatorname{Sp}(V)$-эквивариантная последовательность векторных расслоений на $\operatorname{LGr}(n, V)$ вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\to \bigoplus_{\mu\in \mathrm{B}_{h(h+1)}}\mathcal{E}^{\lambda/\mu} \to \dots \to \bigoplus_{\mu\in \mathrm{B}_{2t}}\mathcal{E}^{\lambda/\mu} \to \dotsb \\ &\to \bigoplus_{\mu\in \mathrm{B}_4}\mathcal{E}^{\lambda/\mu} \to \bigoplus_{\mu\in \mathrm{B}_2}\mathcal{E}^{\lambda/\mu} \to \mathcal{E}^\lambda\to \Sigma^\lambda\mathcal{U}^*\to 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm{B}_{2t}$ обозначает множество сбалансированных диаграмм с $2t$ клетками, а $\mathcal{E}^{\lambda/\mu}$ – прямая сумма некоторых расслоений вида $\mathcal{E}^{\nu}$, см. п. 3.2.4. Работа построена следующим образом. В § 2 собраны предварительные сведения. Единственный новый материал в нем – соглашение для двойственных исключительных наборов к исключительным наборам, индексированным градуированными частично упорядоченными множествами (см. лемму 2.1). Параграф § 3 содержит основные результаты: в нем приведены теоремы 3.1 и 3.3 и их доказательства. § 2. Предварительные сведенияВсе объекты рассматриваются над полем $\mathsf{k}$ нулевой характеристики. 2.1. Двойственные исключительные наборыВ этом пункте собраны предварительные сведения, касающиеся (двойственных) исключительных наборов. Весь материал должен быть хорошо известен специалистам. В то же время мы будем работать с исключительными наборами, проиндексированными градуированными частично упорядоченными множествами. Для таких наборов мы вводим некоторые соглашения в определениях и подкрепляем их естественность в различных примерах. 2.1.1. Частично упорядоченные множестваНапомним, что частично упорядоченное множество $\mathcal{P}$ – это множество, наделенное бинарным отношением $\preceq$, называемым частичным порядком, которое удовлетворяет следующим трем свойствам. Рефлексивность: $x\preceq x$ для всех $x\in\mathcal{P}$. Антисимметрия: если $x\preceq y$ и $y\preceq x$, то $x=y$. Транзитивность: если $x\preceq y$ и $y\preceq z$, то $x\preceq z$ для всех $x,y,z\in\mathcal{P}$. Элементы $x$ и $y$ называются сравнимыми, если либо $x\preceq y$, либо $y\preceq x$. Если любые два элемента в $\mathcal{P}$ сравнимы, $\mathcal{P}$ называется линейно упорядоченным. Если $x\preceq y$ и $x\neq y$, будем писать $x \prec y$. Если $\mathcal{P}$ частично упорядочено, его двойственное $\mathcal{P}^\circ$ – это подлежащее $\mathcal{P}$ множество, наделенное обратным порядком: $x\preceq y$ в $\mathcal{P}^\circ$, если и только если $y\preceq x$ в $\mathcal{P}$. Пусть $x$ и $y$ – элементы $\mathcal{P}$. Скажем, что $y$ накрывает $x$, обозначается $x\lessdot y$, если $x\prec y$ и нет такого элемента $z$, что $x\prec z\prec y$. Градуировка на $\mathcal{P}$ – это отображение $\rho\colon \mathcal{P}\to \mathbb{Z}$ со следующими свойствами: Частично упорядоченное множество вместе с градуировкой называется градуированным. Конечно, не всякое частично упорядоченное множество можно наделить градуировкой. Нас будут в основном интересовать конечные частично упорядоченные множества. Если $\mathcal{P}$ конечно и допускает градуировку, имеется достаточно естественный выбор градуировки: имеется единственная градуировка $|\cdot|$, минимальное значение которой на всякой связной компоненте равно2 $0$. Далее под градуированным частично упорядоченном множеством мы будем иметь в виду конечное частично упорядоченное множество, наделенное данной естественной градуировкой. Более того, все интересные нам частично упорядоченные множества будут содержать наименьший элемент.Примеры 2.1. Обозначим через $\mathrm{Y}_{h,w}$ множество диаграмм Юнга высоты не более $h$ и ширины не более $w$. Данное множество отождествляется с множеством целочисленных последовательностей $(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_h)$ таких, что $w\geqslant \lambda_1\geqslant \lambda_2\geqslant \dots\geqslant \lambda_h\geqslant 0$. Имеется естественный частичный порядок на $\mathrm{Y}_{h,w}$, заданный вложением на диаграммах: $\lambda\subseteq \mu$, если $\lambda_i\leqslant \mu_i$ для всех $i=1,\dots, h$. Множество $\mathrm{Y}_{h,w}$ с данным частичным порядком является градуированным, причем $|\lambda|=\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_h$ равно числу клеток в диаграмме $\lambda$. 2.1.2. Исключительные наборыВсе возникающие триангулированные категории предполагаются $\mathsf{k}$-линейными. Пусть $\mathcal{T}$ – такая категория. Напомним, что объект $E\in\mathcal{T}$ называется исключительным, если $\operatorname{Hom}(E, E)=\mathsf{k}$ и $\operatorname{Ext}^t(E, E)=\operatorname{Hom}(E, E[t])=0$ при $t\neq 0$. Пусть $\mathcal{P}$ – частично упорядоченное множество. Исключительный набор, проиндексированный $\mathcal{P}$ – это набор исключительных объектов $\{E_x\}_{x\in\mathcal{P}}$ такой, что $\operatorname{Ext}^\bullet(E_x, E_y)=0$, если только не выполнено $x\preceq y$. Обозначим через $\langle E_x \mid x\in \mathcal{P} \rangle$ наименьшую строго полную триангулированную подкатегорию в $\mathcal{T}$, содержащую все $E_x$. Если $\mathcal{P}$ конечно, порядок всегда можно измельчить так, чтобы множество стало изоморфно линейно упорядоченному множеству $\{1, 2, \dots, l\}$. При данном изоморфизме получается обычное определение исключительного набора: последовательность исключительных объектов $(E_1,E_2,\dots, E_l)$ таких, что $\operatorname{Ext}^\bullet(E_j, E_i)=0$ для всех $l\geqslant j>i\geqslant 1$. Позволим вновь вернуться к некоторым примерам из введения, чтобы проиллюстрировать наши условия на градуировки. Примеры 2.2. Пусть $V$ – $n$-мерное векторное пространство над полем $\mathsf{k}$. Рассмотрим грассманиан $\operatorname{Gr}(k, V)$ и обозначим через $\mathcal{U}$ тавтологическое подрасслоение ранга $k$ в тривиальном расслоении $V\otimes \mathcal{O}$. Капранов показал в [3], что ограниченная производная категория когерентных пучков $D^b(\operatorname{Gr}(k, V))$ допускает полный исключительный набор, проиндексированный частично упорядоченным множеством $\mathrm{Y}_{k, n-k}$, которое было определено в примере 2.1: 2.1.3. Перестройки и двойственностьПусть $(E, F)$ – исключительная пара в $\mathcal{T}$. Левая перестройка $\mathbb{L}_EF$ объекта $F$ через $E$ определяется с помощью выделенного треугольника
$$
\begin{equation*}
\mathbb{L}_EF\to \operatorname{Ext}^\bullet(E, F)\otimes E\xrightarrow{\mathrm{ev}} F\to \mathbb{L}_EF[1],
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm{ev}$ – морфизм вычисления. Аналогично определяется правая перестройка $\mathbb{R}_FE$, через выделенный треугольник
$$
\begin{equation*}
\mathbb{R}_FE[-1]\to E\xrightarrow{\mathrm{coev}} \operatorname{Ext}^\bullet(E, F)^*\otimes F\to \mathbb{R}_FE,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm{coev}$ – морфизм ковычисления. Легко проверить, что пары $(\mathbb{L}_EF, E)$ и $(F, \mathbb{R}_FE)$ исключительные. Кроме того4, $\langle E, F\rangle=\langle \mathbb{L}_EF, E\rangle=\langle F, \mathbb{R}_FE\rangle$. Примеры 2.3. На грассманиане $\operatorname{Gr}(k, V)$ структурный пучок и двойственное тавтологическое расслоение образуют исключительную пару $(\mathcal{O}, \mathcal{U}^*)$. Легкая проверка показывает, что $\mathbb{L}_{\mathcal{O}}\mathcal{U}^*\simeq \mathcal{U}^\perp$, где $\mathcal{U}^\perp=(V/\mathcal{U})^*$. Перестройки соседних элементов определяют действие группы кос $\mathrm{Br}_l$ на $l$ нитях на множестве исключительных наборов в $\langle E_1,E_2,\dots,E_l\rangle$, см. [9]. Для данного исключительного набора имеются два важных элемента в орбите данного действия: двойственный наборы. Левый двойственный к $(E_1,E_2,\dots,E_l)$ набор определяется как
$$
\begin{equation*}
\bigl(\mathbb{L}_{E_1}\mathbb{L}_{E_2}\dotsb\mathbb{L}_{E_{l-1}}E_l,\, \mathbb{L}_{E_1}\mathbb{L}_{E_2}\dotsb\mathbb{L}_{E_{l-2}}E_{l-1},\, \dots,\, \mathbb{L}_{E_1}E_2,\, E_1\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Будем обозначать его $(E^\vee_l, E^\vee_{l-1}, \dots, E^\vee_1)$. Левый двойственный исключительный набор полностью характеризуется следующими тремя свойствами: 1) $E^\vee_i\in \langle E_1,E_2,\dots, E_l\rangle$ для всех $1\leqslant i\leqslant l$; 2) $\operatorname{Ext}^\bullet(E_i, E_j^\vee)=0$ для всех $i\neq j$; 3) $\operatorname{Ext}^\bullet(E_i, E_i^\vee)=\mathsf{k}[-i+1]$ для всех $1\leqslant i\leqslant l$. Примеры 2.4. В производной категории $D^b(\mathbb{P}(V))$ проективного пространства имеется полный исключительный набор, состоящий из линейных расслоений $\langle \mathcal{O}, \mathcal{O}(1), \dots, \mathcal{O}(n)\rangle$, где $n$ – размерность $V$. Левый двойственный набор в этом случае – это $\langle \Omega^n(n), \Omega^{n-1}(n-1), \dots, \Omega^1(1), \mathcal{O}\rangle$, где $\Omega^i=\Lambda^i\Omega^1_{\mathbb{P}(V)}$. Аналогично правый двойственный набор задается как
$$
\begin{equation*}
\bigl(E_l,\,\mathbb{R}_{E_l}E_{l-1},\, \mathbb{R}_{E_l}\mathbb{R}_{E_{l-1}}E_{l-2},\, \dots,\, \mathbb{R}_{E_l}\mathbb{R}_{E_{l-1}}\dotsb\mathbb{R}_{E_2}E_1\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
и будет обозначаться $({}^\vee\!{E}_l, {}^\vee\!{E}_{l-1}, \dots, {}^\vee\!{E}_1)$. Его элементы полностью характеризуются следующими условиями: 1) ${}^\vee\!{E}_i\in \langle E_1,E_2,\dots, E_l\rangle$ для всех $1\leqslant i\leqslant l$; 2) $\operatorname{Ext}^\bullet({}^\vee\!{E}_i, E_j)=0$ для всех $i\neq j$; 3) $\operatorname{Ext}^\bullet({}^\vee\!{E}_i, E_i)=\mathsf{k}[-l+i]$ для всех $1\leqslant i\leqslant l$. Заметим, что в данном исключительном наборе $(E_1,E_2,\dots,E_l)$ любой объект $E_i$ можно заменить на его сдвиг $E_i[t]$ для произвольного $t$. В частности, можно подправить определения левой и правой перестройки на дополнительный сдвиг. Первые два определяющих условия для левого и правого двойственного наборов не изменятся, в то время как третье условие станет немного приятнее:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ext}^\bullet({}^\vee\!{E}_i, E_i)=\operatorname{Ext}^\bullet(E_i, E_i^\vee)= \mathsf{k}, \qquad 1\leqslant i\leqslant l.
\end{equation*}
\notag
$$
Данное соглашение часто оказывается разумным, но уже в случае проективного пространства, разобранном в примере 2.4, двойственный набор не будет состоять из векторных расслоений, в отличие от исходного набора. У данного нами определения также имеется недостаток. Пусть $(E, F)$ – ортогональная (в обе стороны) пара в $\mathcal{T}$. Тогда $\mathbb{L}_EF\simeq F[-1]$ и $\mathbb{R}_FE\simeq E[1]$. Последнее часто оказывается неудобным. Мы предлагаем следующую лемму-определение, которая скроена специально для исключительных наборов, проиндексированных частично упорядоченным множеством. Читатель немедленно проверит, что если частично упорядоченное множество линейно упорядочить, то соответствующий левый двойственный набор будет отличаться от градуированного левого двойственного на сдвиги объектов. Лемма 2.1. Пусть $\langle E_x\mid x\,{\in}\,\mathcal{P} \rangle$ – исключительный набор, индексированный конечным градуированным частично упорядоченным множеством $\mathcal{P}$. Для всякого $y\in \mathcal{P}$ найдется единственный (с точностью до изоморфизма) объект $E^\circ_y\in \langle E_x\mid x\in\mathcal{P} \rangle$ такой, что 1) $\operatorname{Ext}^\bullet(E_x, E^\circ_y)=0$ для всех $x\neq y$, 2) $\operatorname{Ext}^\bullet(E_y, E^\circ_y)=\mathsf{k}[-|y|]$. Объекты $E^\circ_y$ образуют исключительный набор относительно противоположного частично упорядоченного множества $\mathcal{P}^\circ$. Данный набор называется градуированным левым двойственным, и $\langle E^\circ_y\mid y\in\mathcal{P}^\circ \rangle=\langle E_x\mid x\in\mathcal{P} \rangle$. Замечание 2.1. Если частично упорядоченное множество $\mathcal{P}$ является линейно упорядоченным, то определение градуированного левого двойственного набора совпадает с определением левого двойственного набора. Примеры 2.5. В примере 2.2 мы видели, что $D^b(\operatorname{Gr}(k, V))$ допускает полный исключительный набор, индексированный частично упорядоченным множеством $\mathrm{Y}_{k, n-k}$: где $\mathcal{U}$ – тавтологическое подрасслоение ранга $k$ в $V$. Двойственный набор, построенный Капрановым, где $\mathcal{U}^\perp=(V/\mathcal{U})^*$, а $\lambda^\top$ обозначает транспонированную диаграмму, является градуированным левым двойственным. Мы оставим определение градуированного правого двойственного набора читателю. Скажем лишь, что для правого двойственного естественна градуировка, взятая по отношению к противоположному частично упорядоченному множеству. 2.1.4. Категорная леммаПусть $\mathcal{T}=\langle E_x\mid x\in\mathcal{P}\rangle$ – собственная триангулированная категория, порожденная градуированным исключительным набором. Обозначим через $\langle G_x\mid x\in\mathcal{P}^\circ\rangle$ градуированный левый двойственный. Пусть $F\colon \mathcal{T}\to \mathcal{T}'$ – точный функтор в собственную триангулированную категорию $\mathcal{T}'$. Обозначим $G'_x=F(G_x)$, где $x\in\mathcal{P}^\circ$, и предположим, что $\langle G'_x\mid x\in\mathcal{P}^\circ\rangle$ образуют градуированный исключительный набор в $\mathcal{T}'$. Обозначим через $\langle E'_x\mid x\in\mathcal{P}\rangle$ его градуированный правый двойственный набор. Доказательство. Категория $\mathcal{T}$ насыщена, поэтому у функтора $F$ есть левый сопряженный $F^*$ (см. [9]). В частности, Мы утверждаем, что $F^*(E'_x)\simeq E_x$. С одной стороны, $F^*(E'_x) \in \langle E_x\mid x\in\mathcal{P}\rangle=\langle G_x\mid x\in\mathcal{P}^\circ\rangle$. С другой, для любого $y\in \mathcal{P}$ выполнено Последнее – в точности определяющие условия градуированного правого двойственного набора к $\langle G_x\mid x\in\mathcal{P}^\circ\rangle$, который есть $\langle E_x\mid x\in\mathcal{P}\rangle$. Лемма доказана. 2.1.5. Спектральная последовательность, ассоциированная с градуированным двойственнымВо введении было упомянуто, что двойственные наборы позволяют проводить непосредственные вычисления. Пусть $(E_1,E_2,\dots, E_l)$ – исключительный набор в $\mathcal{T}$. Напомним, что когомологический функтор из $\mathcal{T}$ в абелеву категорию $\mathcal{A}$ – это аддитивный функтор $F\colon \mathcal{T}\to \mathcal{A}$, который переводит выделенные треугольники в точные последовательности. Как обычно, обозначим через $F^i$ композицию $F\circ [i]$. Предложение 2.1 (см. [10; п. 2.7.3]). Пусть $G\in \langle E_1,E_2,\dots,E_n\rangle$. Имеется спектральная последовательность, первый член которой задан которая сходится к $F^{p+q}(G)$. Нас будет интересовать случай, когда $\mathcal{T}=D^b(\mathcal{A})$ – ограниченная производная категория абелевой категории $\mathcal{A}$ (в частности, ограниченная производная категория когерентных пучков на проективном многообразии), а $F=\mathcal{H}^0$ – хорошо известный функтор взятия нулевых когомологий. Предположим, что исключительный набор $(E_1,E_2,\dots, E_l)$ состоит из чистых объектов (в частности, когерентных пучков). Тогда спектральная последовательность (2.1) упрощается до
$$
\begin{equation}
E^{p,q}_1=\operatorname{Ext}^{-q}(G, E^\vee_{p+1})^*\otimes E_{p+1} \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{H}^{p+q}(G).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
В случае, когда исключительный набор индексирован градуированным частично упорядоченным множеством $\mathcal{P}$, спектральная последовательность (2.2) принимает вид
$$
\begin{equation}
E^{p,q}_1=\bigoplus_{x\in\mathcal{P},\,|x|=p}\operatorname{Ext}^{-q}(G, E^\circ_{x})^*\otimes E_{x} \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{H}^{p+q}(G).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
2.2. Наборы на лагранжевых грассманианахПусть $V$ – симплектическое $2n$-мерное векторное пространство над $\mathsf{k}$. Обозначим через $\operatorname{LGr}(n, V)$ лагранжев грассманиан максимальных изотропных подпространств в $V$, а через $\mathcal{U}$ тавтологическое расслоение ранга $n$ на $\operatorname{LGr}(n, V)$. В качестве образующей группы Пикара $\operatorname{LGr}(n, V)$ имеем $\mathcal{O}(1)\simeq \Lambda^n\mathcal{U}^*$. Лагранжев грассманиан наделен действием симплектической группы $\mathbf{G}=\operatorname{Sp}_{2n}$. Обозначим через $\mathsf{P}$ множество5 слабо убывающих целочисленных последовательностей длины $n$:
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}=\{\lambda\in \mathbb{Z}^n \mid \lambda_1\geqslant \lambda_2\geqslant \dots\geqslant \lambda_n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\lambda\in\mathsf{P}$ обозначим через $\Sigma^\lambda$ соответствующий функтор Шура. Мы следуем соглашению, при котором $\Sigma^{(p, 0, \dots, 0)}=S^p$. 2.2.1. Исключительные блокиДалее нам будет необходимо рассматривать подкатегории в эквивариантных производных категориях. Чтобы различать подкатегории, порожденные набором эквивариантных объектов в обычной и эквивариантной производной категории, в последнем случае мы будем использовать нижний индекс $\langle\cdot\rangle_\mathbf{G}$. Хорошо известно, что всякое неприводимое эквивариантное векторное расслоение на $\operatorname{LGr}(n, V)$ изоморфно $\Sigma^\lambda\mathcal{U}^*$ для некоторого $\lambda\in\mathsf{P}$. Более того, неприводимые эквивариантные расслоения образуют бесконечный исключительный набор в эквивариантной производной категории:
$$
\begin{equation*}
D^b_\mathbf{G}(\operatorname{LGr}(n, V))=\langle \Sigma^\lambda\mathcal{U}^* \mid \lambda\in \mathsf{P}^{\circ}\rangle_\mathbf{G},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathsf{P}$ рассматривается как бесконечное частично упорядоченное множество с частичным порядком6, заданным
$$
\begin{equation*}
\lambda\preceq \mu, \quad \text{если и только если }\ \lambda_i\leqslant \mu_i \quad\text{для всех }\ i=1,\dots, n,
\end{equation*}
\notag
$$
а $\mathsf{P}^\circ$ – противоположное к нему. Всякое подмножество $S\subseteq \mathsf{P}$ с индуцированным частичным порядком задает исключительный набор $\langle \Sigma^\lambda\mathcal{U}^* \mid \lambda\in S^{\circ}\rangle_\mathbf{G}$. Если $S$ – конечное градуированное подмножество, обозначим через
$$
\begin{equation*}
\langle \mathcal{E}^\lambda \mid \lambda\in S\rangle_\mathbf{G} \quad \text{и} \quad \langle \mathcal{F}^\lambda \mid \lambda\in S\rangle_\mathbf{G}
\end{equation*}
\notag
$$
градуированные правый и левый двойственные наборы к $\langle \Sigma^\lambda\mathcal{U}^* \mid \lambda\in S^{\circ}\rangle_\mathbf{G}$ в $D^b_\mathbf{G}(\operatorname{LGr}(n, V))$ соответственно7. Кузнецов и Полищук придумали очень простое (но сложное в проверке) условие, при котором объекты $\mathcal{E}^\lambda$ образуют исключительный набор в неэквивариантной категории (мы не различаем объекты эквивариантной категории и их образы под действием забывающего функтора). Определение 2.1 (см. [7; определение 3.1]). Подмножество $S\subset \mathsf{P}$ называется исключительным блоком, если для всех $\lambda,\mu\in S$ каноническое отображение Говоря простым языком, условие блока состоит в том, что всякое расширение между парой объектов может быть единственным образом представлено как сумма композиций эквивариантных расширений, прокомпонированных с морфизмами. Что интересно, в то время как исходные объекты $\Sigma^\lambda \mathcal{U}^*$, где $\lambda\in S$, почти никогда не образуют исключительный набор в неэквивариантной производной категории, объекты правого двойственного образуют исключительный набор в неэквивариантной категории, как только $S$ является блоком. Предложение 2.2 (см. [7; предложение 3.9]). Если $S\subset \mathsf{P}$ – исключительный блок, то объекты соответствующего правого двойственного набора образуют исключительный набор в $D^b(\operatorname{LGr}(n, V))$, Оказывается естественным называть исключительные блоки правыми исключительными блоками и рассматривать также левые исключительные блоки. Определение 2.2 (см. [11; замечание 2.12]). Подмножество $S\subset \mathsf{P}$ называется левым исключительным блоком, если для всех $\lambda,\mu\in S$ каноническое отображение является изоморфизмом. Напомним, что в обеих (эквивариантной и неэквивариантной) категориях есть функторы дуализации, согласованные с функтором забывания, отправляющие $E$ в $\mathsf{RHom}(E, \mathcal{O})$ и являющиеся антиавтоэквивалентностями. Всякая антиавтоэквивалентность переводит исключительные наборы в исключительные наборы (по отношению к противоположному порядку), а (градуированные) левые и правые двойственные наборы в (градуированные) правые и левые двойственные соответственно. Отсюда немедленно следует, что $S$ является правым исключительным блоком тогда и только тогда, когда $-S$ – левый исключительный блок, где $-S=\{-\lambda \mid \lambda \in S\}$, а $-\lambda=(-\lambda_n, -\lambda_{n-1},\dots, -\lambda_1)$. Последнее следует из изоморфизма $(\Sigma^\lambda\mathcal{U}^*)^*\simeq\Sigma^{-\lambda}\mathcal{U}^*$. Мы заключаем, что верно следующее утверждение, двойственное к предложению 2.2. Предложение 2.3. Пусть $S\subset \mathsf{P}$ – левый исключительный блок. Тогда объекты левого двойственного набора образуют исключительный набор в $D^b(\operatorname{LGr}(n, V))$, Более того, $\mathcal{F}^\lambda \simeq (\mathcal{E}^{-\lambda})^*$. Следующая теорема использует понятие полуортогонального разложения. Напомним, что полные триангулированные категории $\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2\subseteq\mathcal{T}$ называются полуортогональными (пишется $\mathcal{T}_1\subseteq\mathcal{T}_2^\perp$), если $\operatorname{Hom}_\mathcal{T}(X_2, X_1)=0$ для всех $X_1\in\mathcal{T}_1$ и $X_2\in\mathcal{T}_2$. Полуортогональное разложение категории $\mathcal{T}$ – это набор полных триангулированных категорий $\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2,\dots,\mathcal{T}_r$ таких, что $\mathcal{T}_i\subseteq \mathcal{T}_j^\perp$ для всех $1\leqslant i<j\leqslant r$, а $\mathcal{T}$ совпадает с наименьшей строго полной триангулированной подкатегорией, содержащей все $\mathcal{T}_i$. Полуортогональное разложение записывается как $\mathcal{T}=\langle\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2,\dots,\mathcal{T}_r\rangle$. Наконец, для полной триангулированной подкатегории $\mathcal{B}\in D^b(\operatorname{LGr}(n, V))$ будем обозначать через $\mathcal{B}(i)$ ее образ относительно автоэквивалентности, заданной тензорным умножением на линейное расслоение $\mathcal{O}(i)$. Теорема 2.1 (см. [7; теорема 9.2] и [11; теорема 4]). Множество образует правый исключительный блок для всех $h=0,\dots,n$. Более того, имеется полуортогональное разложение где $\mathcal{B}_h=\langle \mathcal{E}^\lambda_{B_h} \mid \lambda \in B_h\rangle$. Сделаем пару замечаний. Во-первых, $B_h\cong\mathrm{Y}_{h, n-h}$ как (градуированные) частично упорядоченные множества. Во-вторых, объект $\mathcal{E}^\lambda_{B_h}$, где $\lambda\in\mathrm{Y}_{h, n-h}$, имеет следующее когомологическое описание. А именно, это такой эквивариантный объект, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{E}^\lambda_{B_h} \in \langle \Sigma^\mu\mathcal{U}^*\mid \mu \subseteq \lambda\rangle_\mathbf{G} \subset D^b_\mathbf{G}(\operatorname{LGr}(n, V)), \\ \operatorname{Ext}^\bullet_\mathbf{G}(\mathcal{E}^\lambda_{B_h}, \Sigma^\mu\mathcal{U}^*) = \begin{cases} \mathsf{k}[-|\lambda|], & \text{если}\ \mu=\lambda, \\ 0, & \text{если}\ \mu\subsetneq\lambda. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
В частности, он зависит только от $\lambda$ (достаточно знать, что $\lambda\in\mathrm{Y}_{h,n-h}$ для некоторого $0\leqslant h \leqslant n$), так что мы будем кратко обозначать его через $\mathcal{E}^\lambda=\mathcal{E}^\lambda_{B_h}$. Наконец, мы можем применить антиавтоэквивалентность дуализации и получить полуортогональное разложение
$$
\begin{equation*}
D^b(\operatorname{LGr}(n, V))=\langle \mathcal{C}_n(-n), \mathcal{C}_{n-1}(-n+1),\dots, \mathcal{C}_1(-1), \mathcal{C}_0\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{C}_h=\langle \mathcal{F}^\lambda_{-B_h} \mid \lambda \in -B_h\rangle$, а $\mathcal{F}^\lambda$ для $\lambda\in\mathrm{Y}_{h, n-h}$ – эквивариантный объект, который можно охарактеризовать следующими свойствами:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{F}^\lambda_{-B_h} \in \langle \Sigma^\mu\mathcal{U}\mid \mu \subseteq \lambda\rangle_\mathbf{G} \subset D^b_\mathbf{G}(\operatorname{LGr}(n, V)), \\ \operatorname{Ext}^\bullet_\mathbf{G}(\Sigma^\mu\mathcal{U}, \mathcal{F}^\lambda_{-B_h})= \begin{cases} \mathsf{k}[-|\lambda|], & \text{если}\ \mu=\lambda, \\ 0, & \text{если}\ \mu\subsetneq\lambda. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Объект $\mathcal{F}^\lambda_{-B_h}$ вновь зависит только от $\lambda$, поэтому мы будем писать просто $\mathcal{F}^\lambda$. 2.2.2. Геометрические конструкцииНам потребуется геометрическая конструкция объектов $\mathcal{F}^\lambda$, полученная в [11]. Случаи $h=0$ и $h=n$ тривиальны ($B_0$ и $B_n$ содержат единственный вес $\lambda=(0, 0, \dots, 0)$, и $\mathcal{F}^\lambda=\mathcal{E}^\lambda=\mathcal{O}$), поэтому зафиксируем $0<h<n$. Рассмотрим диаграмму где $\operatorname{IGr}(h, V)$ обозначает грассманиан изотропных подпространств в $V$ ранга $h$, а $\operatorname{IFl}(h, n; V)$ – многообразие частичных флагов. Обозначим через $\mathcal{W}$ универсальное подрасслоение ранга $h$ на $\operatorname{IGr}(h, V)$ вместе с его обратным образом на $\operatorname{IFl}(h, n; V)$.Предложение 2.4 (см. [11; лемма 3.4 и предложение 3.6]). Векторные расслоения $\langle \Sigma^{\mu^\top}\mathcal{W}^* \mid \mu\in \mathrm{Y}_{n-h,h}\rangle$ образуют исключительный набор в неэквивариантной производной категории $D^b(\operatorname{IGr}(h, V))$. Пусть $\langle \mathcal{G}^\lambda \mid \lambda \in \mathrm{Y}_{n-h, h}^\circ\rangle$ – градуированный левый двойственный набор. Тогда С этого момента мы часто будем отождествлять градуированные частично упорядоченные множества $\mathrm{Y}_{h, n-h}$ и $\mathrm{Y}_{n-h,h}$ с помощью транспозиции диаграмм. При этом условия градуированного двойственного исключительного набора для $\langle \mathcal{G}^\lambda \mid \lambda \in \mathrm{Y}_{n-h, h}^\circ\rangle$ переписываются в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{G}^\lambda \in \langle \Sigma^{\mu}\mathcal{W}^* \mid \mu\in \mathrm{Y}_{h,n-h}\rangle, \\ \operatorname{Ext}^\bullet(\Sigma^{\mu}\mathcal{W}^*, \mathcal{G}^\lambda) = \begin{cases} \mathsf{k}[-|\lambda|], & \text{если}\ \mu^\top=\lambda, \\ 0, & \text{если}\ \mu\in\mathrm{Y}_{h, n-h}\ \text{и}\ \mu^\top\neq \lambda. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
§ 3. Основные результатыМы продолжим использовать обозначения, введенные в п. 2.2. Наша первая цель – доказать теорему 3.1. 3.1. Двойственные исключительные наборы на лагранжевых грассманианахНапомним, что характеризации объектов $\mathcal{E}^\lambda$ и $\mathcal{F}^\lambda$ были даны в (2.5) и (2.6) соответственно. Первый основной результат настоящей работы – следующая теорема. Теорема 3.1. Пусть $0\leqslant h \leqslant n$. Исключительный набор $\langle \mathcal{F}^\mu \mid \mu\in \mathrm{Y}_{n-h, h}^\circ \rangle$ является градуированным левым двойственным к $\langle \mathcal{E}^\lambda \mid \lambda\in \mathrm{Y}_{h, n-h} \rangle$. А именно, для $\mu\in \mathrm{Y}_{n-h, h}$ имеем Доказательство теоремы 3.1 займет оставшуюся часть пункта. Идея состоит в том, чтобы сравнить объекты $\mathcal{E}^\lambda$ с градуированным правым двойственным исключительным набором к $\langle \mathcal{F}^\mu \mid \mu\in \mathrm{Y}_{n-h, h}^\circ \rangle$. Так как случаи $h=0$ и $h=n$ тривиальны (все рассматриваемые объекты изоморфны $\mathcal{O}$), мы будем предполагать, что $0<h<n$. Лемма 3.1. Пусть $\nu\in \mathrm{Y}_{h,n-h}$. Тогда следующие подкатегории совпадают в $D^b(\operatorname{LGr}(n, V))$: где $\langle \Sigma^\lambda\mathcal{U}^* \mid \lambda\subseteq \nu \rangle$ – минимальная строго полная триангулированная подкатегория в $D^b(\operatorname{LGr}(n, V))$, содержащая соответствующие объекты. Доказательство. Так как объекты $\mathcal{E}^\lambda$ образуют градуированный правый двойственный исключительный набор к $\langle \Sigma^\lambda\mathcal{U}^* \mid \lambda\subseteq \nu \rangle_{\mathbf{G}}$ в $D^b_\mathbf{G}(\operatorname{LGr}(n, V))$, имеем $\langle \mathcal{E}^\lambda \mid \lambda\subseteq \nu \rangle_\mathbf{G} =\langle \Sigma^\lambda\mathcal{U}^* \mid \lambda\subseteq \nu \rangle_\mathbf{G}$. Применяя забывающий функтор из $D^b_\mathbf{G}(\operatorname{LGr}(n, V))$ в $D^b(\operatorname{LGr}(n, V))$, получаем, что $\langle \mathcal{E}^\lambda \mid \lambda\subseteq \nu \rangle =\langle \Sigma^\lambda\mathcal{U}^* \mid \lambda\subseteq \nu \rangle$ в неэквивариантной производной категории8. Аналогичным образом проверяется, что
$$
\begin{equation*}
\langle \mathcal{F}^\mu \mid \mu\subseteq \nu^\top \rangle=\langle \Sigma^\mu\mathcal{U} \mid \mu\subseteq \nu^\top \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается показать равенство $\langle \Sigma^\mu\mathcal{U} \mid \mu\subseteq \nu^\top \rangle= \langle \Sigma^\lambda\mathcal{U}^* \mid \lambda\subseteq \nu \rangle$, которое следует из [11; лемма 3.7]. Лемма доказана. Доказательство теоремы 3.1. Рассмотрим меньший изотропный грассманиан $\operatorname{IGr}(h, V)$ с тавтологическим расслоением $\mathcal{W}$. Зафиксируем $\nu\in \mathrm{Y}_{h,n-h}$ и рассмотрим градуированное частично упорядоченное множество $\mathcal{P}=\{\lambda \mid \lambda \subseteq \nu\}$. Согласно предложению 2.4 расслоения $\langle \Sigma^\lambda\mathcal{W}^* \mid \lambda \in \mathcal{P}\rangle$ образуют исключительный набор в $D^b(\operatorname{IGr}(h, V))$. Применим лемму 2.2 в следующей ситуации. Положим $\mathcal{T}=\langle \Sigma^\lambda\mathcal{W}^* \mid \lambda \in \mathcal{P}\rangle$, $E_\lambda=\Sigma^\lambda\mathcal{W}^*$, $G_\lambda=\mathcal{G}_\lambda$, $\mathcal{T}'=D^b(\operatorname{LGr}(n, V))$ и $F=p_*q^*$, где $p$ и $q$, как в (2.7). Обозначим через $\langle \widetilde{\mathcal{E}}^\lambda \mid \lambda\in \mathcal{P} \rangle$ градуированный правый двойственный набор к $\langle \mathcal{F}^\mu \mid \mu\subseteq \nu^\top \rangle$ в неэквивариантной производной категории. Согласно предложению 2.4 $\mathcal{F}^\lambda=F(G_\lambda)$, поэтому применима лемма 2.2. Мы заключаем, что $\operatorname{Ext}^\bullet(\widetilde{\mathcal{E}}^\lambda, p_*\Sigma^\mu\mathcal{W}^*)\simeq \operatorname{Ext}^\bullet(\Sigma^\lambda\mathcal{W}^*, \Sigma^\mu\mathcal{W}^*)$. Простое вычисление при помощи теоремы Бореля–Ботта–Вейля показывает, что $p_*\Sigma^\mu\mathcal{W}^*\simeq \Sigma^\mu\mathcal{U}^*$ при $\mu\subseteq \nu$ (см. [11; лемма A.4]). Наконец, для $\mu\subseteq \nu$ мы заключаем, что
Вспомним, что наша цель – доказать, что $\widetilde{\mathcal{E}}^\nu\simeq \mathcal{E}^\nu$. В [7; следствие 3.8] показано, что для всех $\lambda, \mu\in \mathcal{P}$ имеется изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ext}^\bullet(\mathcal{E}^\lambda, \Sigma^\mu\mathcal{U}^*) \simeq \operatorname{Hom}(\Sigma^\lambda\mathcal{U}^*, \Sigma^\mu\mathcal{U}^*).
\end{equation*}
\notag
$$
Из лагранжевой теоремы Бореля–Ботта–Вейля (см. п. 3.2.2) следует, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hom}(\Sigma^\lambda\mathcal{U}^*, \Sigma^\mu\mathcal{U}^*)= \begin{cases} \mathsf{k}, & \text{если}\ \lambda=\mu, \\ 0, & \text{если}\ \lambda\not\subseteq\mu. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Заключаем, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{Ext}^\bullet(\mathcal{E}^\nu, \Sigma^\mu\mathcal{U}^*)= \begin{cases} \mathsf{k}, & \text{если}\ \mu=\nu, \\ 0, & \text{если}\ \mu\subsetneq \nu. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Пусть $\nu\in\mathrm{Y}_{h, n-h}$. Из леммы 3.1 мы знаем, что $\widetilde{\mathcal{E}}^\nu, \mathcal{E}^\nu\in \langle \Sigma^\mu\mathcal{U}^* \mid \mu\subseteq \nu \rangle$. Выберем нетривиальный элемент $\phi\in \operatorname{Ext}^\bullet(\mathcal{E}^\nu, \Sigma^\nu\mathcal{U}^*)\simeq \mathsf{k}$. Из обсуждения, предшествующего следствию 3.8 в [7], следует, что в $D^b(\operatorname{LGr}(n, V))$ имеется выделенный треугольник вида
$$
\begin{equation*}
\mathcal{E}^\nu \xrightarrow{\phi} \Sigma^\nu\mathcal{U}^*\to C_\phi\to \mathcal{E}^\nu[1],
\end{equation*}
\notag
$$
где конус $C_\phi$ лежит в $\langle \Sigma^\mu\mathcal{U}^* \mid \mu\subsetneq \nu\rangle$. Применяя функтор $\operatorname{Hom}(\widetilde{\mathcal{E}}^\nu, \cdot)$ к этому треугольнику, из (3.1) получаем морфизм $\psi\colon \widetilde{\mathcal{E}}^\nu\to \mathcal{E}^\nu$, который поднимает нетривиальный $\xi\in \operatorname{Hom}(\widetilde{\mathcal{E}}^\nu, \Sigma^\nu\mathcal{U}^*)\simeq \mathsf{k}$. Рассмотрим конус $\psi$:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal{E}}^\nu \xrightarrow{\psi} \mathcal{E}^\nu\to C_\psi\to \widetilde{\mathcal{E}}^\nu[1].
\end{equation*}
\notag
$$
С одной стороны, $C_\psi \in \langle \Sigma^\mu\mathcal{U}^* \mid \mu\subseteq \nu \rangle$, так как оба объекта $\widetilde{\mathcal{E}}^\nu, \mathcal{E}^\nu$ принадлежат этой подкатегории. С другой стороны, из конструкции $\psi$ и формул (3.1) и (3.2) следует, что $\operatorname{Ext}^\bullet(C_\psi, \Sigma^\mu\mathcal{U}^*)=0$ для всех $\mu\subseteq \nu$. Значит, $C_\psi=0$, а $\psi$ – изоморфизм. Теорема 3.1 доказана. Замечание 3.1. Теорема 3.1 показывает, что полуортогональное разложение (2.4) самодвойственно по модулю подкрутки. А именно, если применить функтор дуализации, после чего функтор подкрутки на $\mathcal{O}(n)$, то $h$-й блок соответствующего полуортогонального разложения будет порожден объектами $\langle (\mathcal{E}^{\lambda})^* \mid \lambda \in \mathrm{Y}_{n-h, h}\rangle$. Так как $(\mathcal{E}^{\lambda})^* \simeq \mathcal{F}^\lambda$, мы видим, что исключительный набор, который порождает компоненту разложения с индексом $n-h$, отображается в градуированный левый двойственный набор к исключительному набору, который порождает компоненту с индексом $h$. Значит, разложение (2.4) переходит в себя. Раз $\mathcal{F}^\lambda$ образуют градуированный левый двойственный исключительный набор к $\mathcal{E}^\lambda$, имеется соответствующая спектральная последовательность. А именно, спектральная последовательность (2.3), которая принимает следующий вид. Следствие 3.1. Для всякого $G$ в подкатегории $\langle \mathcal{E}^\lambda \mid \lambda \in \mathrm{Y}_{h, n-h}\rangle$ имеется спектральная последовательность вида В следующем пункте мы используем данную спектральную последовательность, чтобы доказать теорему 3.3. 3.2. Разрешения неприводимых эквивариантных расслоенийВ заключительном пункте мы построим приятные резольвенты для неприводимых эквивариантных векторных расслоений на $\operatorname{LGr}(n, V)$ вида $\Sigma^\lambda \mathcal{U}^*$ при $\lambda\in\mathrm{Y}_{h, n-h}$ для некоторого $0\leqslant h\leqslant n$ в терминах расслоений вида $\mathcal{E}^\mu$. Доказательство будет дано в п. 3.2.5, прежде же мы представим некоторый материал, необходимый для наших вычислений. 3.2.1. Сбалансированные диаграммыПусть $\lambda$ – диаграмма Юнга. Чаще всего ее представляют в виде последовательности целых чисел $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_k)$ таких, что $\lambda_1\geqslant\lambda_2\geqslant \dots \geqslant \lambda_k\geqslant 0$, где $\lambda_i$ – длина $i$-й строки $\lambda$. Одно из альтернативных описаний – в терминах длин крюков. Скажем, что $\lambda$ имеет ранг9 $s$, если $\lambda_s\geqslant s$ и $\lambda_{s+1}\leqslant s$. Графически $s$ – это размер наибольшего квадрата, который можно вписать в $\lambda$, или же длина диагонали $\lambda$. Обозначим через $a_i$ и $b_i$ числа клеток справа и снизу от $i$-й диагональной клетки (включая ее саму) соответственно. Иногда $a_i$ и $b_i$ также называют длиной руки и длиной ноги соответственно. Альтернативно можно определить $a_i=\lambda_i-(i-1)$ и $b_i=\max \{1\leqslant j\leqslant k\mid \lambda_j\geqslant i\}-(i-1)$. Заметим, что $b_i=(\lambda^\top)_i-(i-1)$. Будем использовать запись $\lambda=(a_1, a_2,\dots, a_s\mid b_1, b_2,\dots, b_s)$, если $\lambda$ имеет ранг $s$, а $a_i$ и $b_j$ – длины рук и ног соответственно. Определение 3.1. Назовем диаграмму $\lambda=(a_1, a_2,\dots, a_s\mid b_1, b_2,\dots, b_s)$ сбалансированной, если для всех $1\leqslant i\leqslant s$. Множество сбалансированных диаграмм с $2t$ клетками10 будет обозначаться $\mathrm{B}_{2t}$. Сбалансированные диаграммы важны со следующей точки зрения. Предложение 3.1 (см. [13; предложение 2.3.9]). Пусть $E$ – локально свободный модуль над коммутативным кольцом характеристики нуль. Тогда Лемма 3.2. Диаграмма $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_k)$ ранга $s$ сбалансированная тогда и только тогда, когда $\lambda_s\geqslant s+1$ и Доказательство. Заметим, что В частности, $\lambda$ симметрическая, $\lambda=\lambda^\top$, тогда и только тогда, когда $a_i=b_i$ при всех $1\leqslant i\leqslant s$. Диаграмма $\lambda$ сбалансированная тогда и только тогда, когда $\lambda_s\geqslant s+1$ и диаграмма $\mu=(\lambda_1-1, \lambda_2-1,\dots, \lambda_s-1, \lambda_{s+1},\dots, \lambda_{k-1},\lambda_k)$ симметрическая. Предположим, что последнее выполнено.
Ранг $\mu$ равен рангу $\lambda$, т.е. $s$. Разделим $\mu$ на три части: квадрат размера $s$, все справа от него и все снизу от него. Последние две части есть диаграммы $\mu^r=(\mu_1-s,\mu_2-s,\dots,\mu_s-s)$ и $\mu^b=(\mu_{s+1},\mu_{s+2},\dots,\mu_k)$. При транспозиции квадрат переходит в себя, в то время как $\mu^r$ и $\mu^b$ меняются местами и транспонируются: $(\mu^\top)^r=(\mu^b)^\top$ и $(\mu^\top)^b=(\mu^r)^\top$. Сразу видно, что $\mu$ симметрическая тогда и только тогда, когда $(\mu^r)^\top=\mu^b$. Лемма доказана. 3.2.2. Лагранжева теорема Бореля–Ботта–ВейляШироко известная теорема Бореля–Ботта–Вейля полностью описывает когомологии неприводимых эквивариантных векторных расслоений на рациональных однородных многообразиях. Нам теорема потребуется лишь в одном месте, поэтому мы сформулируем гораздо более простую ее версию. Заинтересованный читатель найдет подробности в [13; гл. 4]. Если дана слабо убывающая последовательность $\lambda\in\mathbb{Z}^n$, обозначим через $-\lambda$ слабо убывающую последовательность $(-\lambda_n, -\lambda_{n-1}, \dots, -\lambda_1)$. Сумма слабо убывающих последовательностей берется почленно. Слабо убывающая последовательность называется неособой, если все абсолютные значения ее членов положительны и различны. Если $\lambda$ неособа, обозначим через $\|\lambda\|$ последовательность, состоящую из абсолютных значений членов $\lambda$, взятых в убывающем порядке. Для неособой $\lambda$ последовательность $\|\lambda\|-\rho$, где $\rho=(n, n-1, \dots, 1)$, является слабо убывающей и содержит только неотрицательные члены. Множество слабо убывающих последовательностей $\mu\in\mathbb{Z}^n$ отождествляется с множеством доминантных весов $\operatorname{Sp}(V)$, где $V$ – $2n$-мерное симплектическое векторное пространство. Обозначим через $V^{\langle\mu\rangle}$ соответствующее неприводимое представление группы $\operatorname{Sp}(V)$. В частности, если $\mu=(0, 0,\dots, 0)$, то $V^{\langle\mu\rangle}=\mathsf{k}$. Теорема 3.2 (лагранжева теорема Бореля–Ботта–Вейля). Пусть $\lambda\in\mathbb{Z}^n$ – целочисленная слабо убывающая последовательность. Если $-\lambda+\rho$ неособая, то где $\ell$ равно числу отрицательных членов последовательности $-\lambda+\rho$ плюс число пар $1\leqslant i<j\leqslant n$ таких, что $(-\lambda+\rho)_i+(-\lambda+\rho)_j<0$. Иначе расслоение ациклично: $H^\bullet(\operatorname{LGr}(n, V), \Sigma^\lambda\mathcal{U})=0$. 3.2.3. Лемма о зануленииНам потребуется следующий результат, который известен специалистам. Доказательство приводится для полноты изложения. Лемма 3.3. Пусть $\lambda\in\mathrm{Y}_{n,n+1}$ – диаграмма Юнга. 1. Если $\lambda$ не сбалансированная, то $H^\bullet(\operatorname{LGr}(n, V), \Sigma^\lambda\mathcal{U})=0$. 2. Если $\lambda$ сбалансированная и $|\lambda|=2t$, то $H^\bullet(\operatorname{LGr}(n, V), \Sigma^\lambda\mathcal{U})=\mathsf{k}[-t]$. Доказательство. Применим теорему 3.2. Чтобы показать 1, необходимо доказать, что вес $-\lambda+\rho$ неособый тогда и только тогда, когда $\lambda$ сбалансированная. Рассмотрим строго убывающую последовательность
$$
\begin{equation}
-\lambda+\rho=\bigl(n-\lambda_n,\,(n-1)-\lambda_{n-1},\,\dots,\,2-\lambda_2,\,1-\lambda_1\bigr).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Так как $0\leqslant \lambda_i\leqslant n+1$ при всех $i$, абсолютные значения членов $-\lambda+\rho$ заключены между $0$ и $n$. Вспомним, что $-\lambda+\rho$ неособая, если абсолютные значения всех ее членов различны и положительны. Предположим, что выполнено последнее. Обозначим через $s$ ранг $\lambda$. Первые $n-s$ членов (3.4) положительны, в то время как последние $s$ неположительны. Абсолютные значения последних не могут быть равны нулю (вес неособый), поэтому $\lambda_i\geqslant s+1$ при $i=1,\dots,s$. Положим $\mu_i=\lambda_i-(s+1)$. Последовательность
$$
\begin{equation}
\bigl(n-\lambda_n,\,(n-1)-\lambda_{n-1},\, \dots,\,(s+1)-\lambda_{s+1},\,s+\mu_1,\,(s-1)+\mu_2,\,\dots,\, 1+\mu_s\bigr)
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
отличается от (3.4) только в последних $s$ членах: их знаки поменяли на противоположные, и развернули порядок. Заметим, что $(\lambda_{s+1}, \lambda_{s+2}, \dots, \lambda_n)=\lambda^b\in \mathrm{Y}_{n-s,s}$, в то время как $\mu\in \mathrm{Y}_{s, n-s}$. Последовательность (3.5) хорошо известна всем, изучавшим работу Капранова. Из [3; п. 2.7] следует, что все члены (3.5) различны тогда и только тогда, когда $\lambda^b=\mu^\top$. Согласно лемме 3.2, последнее эквивалентно тому, что $\lambda$ сбалансированная.
Перейдем к 2. Пусть $\lambda$ сбалансированная. Так как абсолютные значения членов $-\lambda+\rho$ принимают все значения от $1$ до $n$, по теореме Бореля–Ботта–Вейля единственная нетривиальная группа когомологий будет изоморфна $\mathsf{k}$. Нам остается выяснить, в какой степени когомологии нетривиальны, а эта степень равна сумме числа отрицательных членов в $-\lambda+\rho$ и числа пар $1\leqslant i<j\leqslant n$ таких, что $(-\lambda+\rho)_i+(-\lambda+\rho)_j<0$. Первое число равно $s$, так что нам остается вычислить второе. Заметим, что если $1\leqslant j \leqslant n-s$, то $(-\lambda+\rho)_i$ и $(-\lambda+\rho)_j$ оба положительные. Значит, можно считать, что $n-s<j \leqslant n$. Если $n-s<i\leqslant n$, то все $i<j\leqslant n$ вносят вклад, так как оба числа отрицательные. Число таких пар равно ${s(s-1)}/{2}$. Наконец, рассмотрим случай $1\leqslant i\leqslant n-s$ и $n-s<j\leqslant n$. Так как $(-\lambda+\rho)_j<0$, достаточно определить, когда $(-\lambda+\rho)_i<-(-\lambda+\rho)_j$. Такие пары соответствуют инверсиям в последовательности (3.5). Легко показать, что их число равно $|\lambda^b|$ (см. [3; п. 2.7]). Мы приходим к выводу, что для сбалансированной диаграммы $\lambda$ нетривиальные когомологии сосредоточены в степени $s+s(s-1)/{2}+|\lambda^b|=s(s+1)/{2}+|\lambda^b|$. Остается вспомнить, что $\lambda$ состоит из $\lambda^b$, $\mu=(\lambda^b)^\top$ и прямоугольника размера $s\times (s+1)$, поэтому $|\lambda|=|\lambda^b|+|\mu|+s(s+1)=2|\lambda^b|+s(s+1)$. Лемма доказана. Следующая лемма – относительная версия предыдущей. Как обычно, все функторы производные. Следствие 3.2. Пусть $X$ – гладкое проективное многообразие, а $\mathcal{V}$ – симплектическое расслоение ранга $2k$ на $X$. Рассмотрим $\pi\colon \operatorname{LGr}_X(k, \mathcal{V})\to X$, относительный лагранжев грассманиан, и обозначим через $\mathcal{U}\subset \pi^*\mathcal{V}$ тавтологическое расслоение. Пусть $\nu \in \mathrm{Y}_{k, k+1}$. 1. Если $\nu$ не сбалансированная, то $\pi_*\Sigma^\nu\mathcal{U}=0$. 2. Если $\nu$ сбалансированная и $|\nu|=2t$, то $\pi_*\Sigma^\nu\mathcal{U}= \mathcal{O}_X[-t]$. 3.2.4. Косые функторы ШураПрежде чем мы докажем второй основной результат работы, нам необходимо сказать пару слов о косых диаграммах Юнга. Пусть $\lambda$ и $\mu$ – пара диаграмм Юнга таких, что $\mu\subseteq \lambda$. Тогда можно определить косой функтор Шура $\Sigma^{\lambda/\mu}$, см. [13; п. 2.1]. Само определение не так важно для настоящей работы. Важным для нас будет разложение (3.6). Если $E$ – свободный модуль над коммутативным кольцом нулевой характеристики, а $\alpha$ и $\beta$ – пара диаграмм Юнга, то имеется разложение в прямую сумму
$$
\begin{equation*}
\Sigma^\alpha E\otimes \Sigma^\beta E\simeq \bigoplus_{|\kappa|=|\alpha|+|\beta|}(\Sigma^\kappa E)^{\oplus c(\alpha,\beta;\kappa)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c(\alpha,\beta;\kappa)$ – знаменитые коэффициенты Литтлвуда–Ричардсона. Оказывается, для косых функторов Шура имеется разложение в прямую сумму, которое контролируется теми же коэффициентами. А именно,
$$
\begin{equation}
\Sigma^{\lambda/\mu}E \simeq \bigoplus_{|\nu|+|\mu|=|\lambda|}(\Sigma^\nu E)^{\oplus c(\nu, \mu; \lambda)},
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
см. [13; теорема 2.3.6]. Если $c(\nu, \mu; \lambda)>0$, будем писать $\nu\subseteq \lambda/\mu$. Заметим, что из $\nu\subseteq \lambda/\mu$ следует, что $\nu\subseteq \lambda$. В частности, если $\lambda\in \mathrm{Y}_{h,w}$, то из $\nu\subseteq \lambda/\mu$ следует, что $\nu\in\mathrm{Y}_{h, w}$. Вдохновленные разложением (3.6), для пары диаграмм $\lambda, \mu\in \mathrm{Y}_{h,w}$, где $h+ w=n$ и $\mu\subseteq\lambda$, положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}^{\lambda/\mu}=\bigoplus_{\nu\subseteq \lambda/\mu}(\mathcal{E}^\nu)^{\oplus c(\nu, \mu; \lambda)}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Как обычно, положим $\mathcal{E}^{\lambda/\mu}=0$, если $\mu\nsubseteq\lambda$. 3.2.5. РезольвентыМы готовы представить приложение теоремы 3.1. Теорема 3.3. Пусть $\lambda\in\mathrm{Y}_{h,n-h}$ для некоторого $0\leqslant h\leqslant n$. Имеется точная $\operatorname{Sp}(V)$-эквивариантная последовательность векторных расслоений на $\operatorname{LGr}(n, V)$ вида Доказательство. Расслоение $\Sigma^\lambda\mathcal{U}^*$ лежит в подкатегории $\langle \mathcal{E}^\lambda \,|\, \lambda \,{\in}\, \mathrm{Y}_{h, n-h}\rangle$. По теореме 3.1 набор $\langle \mathcal{F}^{\mu^\top} |\, \mu\,{\in}\, \mathrm{Y}_{h, n-h}\rangle$ является градуированным левым двойственным к исключительному набору $\langle \mathcal{E}^\lambda \mid \lambda \in \mathrm{Y}_{h, n-h}\rangle$. Соответствующая спектральная последовательность (3.3) имеет вид
Вычислим $\operatorname{Ext}^\bullet(\Sigma^\lambda\mathcal{U}^*, \mathcal{F}^{\mu})$ для $\mu=\alpha^\top\in \mathrm{Y}_{n-h, h}$, используя изоморфизм $\mathcal{F}^\mu\simeq p_*q^*\mathcal{G}^\mu$, представленный в предложении 2.4, где $p$ и $q$ приходят из диаграммы Для упрощения обозначений будем писать $\mathcal{U}$ вместо $p^*\mathcal{U}$ и $\Sigma^\lambda\mathcal{U}^*$ вместо $p^*\Sigma^\lambda\mathcal{U}^*$. Имеется последовательность изоморфизмов
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Ext}^\bullet(\Sigma^\lambda\mathcal{U}^*, \mathcal{F}^\mu) & \simeq \operatorname{Ext}^\bullet(\Sigma^\lambda\mathcal{U}^*, p_*q^*\mathcal{G}^\mu) \simeq \operatorname{Ext}^\bullet(\Sigma^\lambda\mathcal{U}^*, q^*\mathcal{G}^\mu) \\ & \simeq H^\bullet(\operatorname{IFl}(h, n; V), \Sigma^\lambda\mathcal{U}\otimes q^*\mathcal{G}^\mu) \simeq H^\bullet(\operatorname{IGr}(h; V), q_*(\Sigma^\lambda\mathcal{U})\otimes \mathcal{G}^\mu), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где второй – изоморфизм сопряжения, а последний следует из формулы проекции. Как обычно, все функторы производные.
Рассмотрим спектральную последовательность композиции классических производных функторов. Ее второй член задан
$$
\begin{equation}
H^i(\operatorname{IGr}(h; V), R^jq_*(\Sigma^\lambda\mathcal{U})\otimes \mathcal{G}^\mu) \quad \Longrightarrow\quad H^{i+j}(\operatorname{IGr}(h; V), q_*\Sigma^\lambda\mathcal{U}\otimes \mathcal{G}^\mu).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Вычислим $R^jq_*(\Sigma^\lambda\mathcal{U})$. Напомним, что мы обозначали через $\mathcal{W}\subset \mathcal{U}$ универсальный флаг на $\operatorname{IFl}(h, n; V)$. На $\Sigma^\lambda\mathcal{U}$ имеется фильтрация длины $|\lambda|$, ассоциированная с короткой точной последовательностью $0\to \mathcal{W}\to \mathcal{U}\to \mathcal{U}/\mathcal{W}\to 0$, чей $k$-й подфактор изоморфен
$$
\begin{equation}
\bigoplus_{\nu\subseteq \lambda,\,|\nu|=k}\Sigma^{\lambda/\nu}\mathcal{W}\otimes \Sigma^\nu(\mathcal{U}/\mathcal{W}),
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где если высота $\nu$ превосходит $n-h$, то $\Sigma^\nu(\mathcal{U}/\mathcal{W})=0$ по соглашению.
Раз для любого $\nu\subseteq \lambda$ расслоение $\Sigma^{\lambda/\nu}\mathcal{W}$ поднято с $\operatorname{IGr}(h, V)$, с помощью формулы проекции получаем
$$
\begin{equation}
R^jq_*\bigl(\Sigma^{\lambda/\nu}\mathcal{W}\otimes \Sigma^\nu(\mathcal{U}/\mathcal{W})\bigr) \simeq \Sigma^{\lambda/\nu}\mathcal{W}\otimes R^jq_*\Sigma^\nu(\mathcal{U}/\mathcal{W}).
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Многообразие флагов $\operatorname{IFl}(h, n; V)$ изоморфно $\operatorname{LGr}(n-h, \mathcal{W}^\perp/\mathcal{W})$, относительному лагранжеву грассманиану над $\operatorname{IGr}(h, V)$. Так как $\nu\subseteq \lambda$, имеем $\nu\in\mathrm{Y}_{h,n-h}$. Значит, $\Sigma^{\lambda/\nu}\mathcal{W}\otimes R^jq_*\Sigma^\nu(\mathcal{U}/\mathcal{W})=0$, если не верно $\nu\in\mathrm{Y}_{n-h, n-h}$. Наконец, если $\nu\in\mathrm{Y}_{n-h, n-h}$, мы оказываемся в ситуации, в которой применимо следствие 3.2. Получаем, что если $\nu\subseteq\lambda$, то
$$
\begin{equation}
\Sigma^{\lambda/\nu}\mathcal{W}\otimes R^\bullet q_*\Sigma^\nu(\mathcal{U}/\mathcal{W}) \simeq \begin{cases} \Sigma^{\lambda/\nu}\mathcal{W}[-t], & \text{если}\ \nu\in B_{2t}, \\ 0 & \text{иначе.} \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Используя (3.12) и (3.13), вычислим $R^jq_*(\Sigma^\lambda\mathcal{U})$. Спектральная последовательность, ассоциированная с фильтрацией с факторами (3.11), вырождается в первом члене, так что
$$
\begin{equation*}
R^jq_*(\Sigma^\lambda\mathcal{U}) \simeq \bigoplus_{\nu\subseteq \lambda,\, \nu\in \mathrm B_{2j}}\Sigma^{\lambda/\nu}\mathcal{W}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вернемся к спектральной последовательности (3.10). Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & H^i(\operatorname{IGr}(h; V), R^jq_*(\Sigma^\lambda\mathcal{U})\otimes \mathcal{G}^\mu) \simeq \bigoplus_{\nu\subseteq \lambda,\, \nu\in \mathrm B_{2j}} H^{i}(\operatorname{IGr}(h; V), \Sigma^{\lambda/\nu}\mathcal{W}\otimes \mathcal{G}^\mu) \\ &\qquad\simeq \bigoplus_{\nu\subseteq \lambda,\, \nu\in \mathrm B_{2j}} \operatorname{Ext}^{i}(\Sigma^{\lambda/\nu}\mathcal{W}^*, \mathcal{G}^\mu) \simeq \bigoplus_{\nu\subseteq \lambda,\, \nu\in \mathrm B_{2j}} \bigoplus_{\kappa\subseteq\lambda/\nu} \operatorname{Ext}^{i}((\Sigma^{\kappa}\mathcal{W}^*)^{\oplus c(\kappa,\nu;\lambda)}, \mathcal{G}^\mu), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последний изоморфизм приходит из (3.6). Так как $\kappa\subseteq \lambda/\nu$ влечет $\kappa\subseteq \lambda$, при помощи (2.8) мы видим, что $\operatorname{Ext}^{i}(\Sigma^{\kappa}\mathcal{W}^*, \mathcal{G}^\mu)$ равно $\mathsf{k}$, если $\kappa=\mu^\top$ и $i=|\mu|$, и равно $0$ в противном случае. Наконец,
$$
\begin{equation*}
H^{|\mu|}(\operatorname{IGr}(h; V), R^jq_*(\Sigma^\lambda\mathcal{U})\otimes \mathcal{G}^\mu) \simeq \bigoplus_{\nu\in B_{2j}}\mathsf{k}^{\oplus c(\nu, \mu; \lambda)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $2j=|\nu|=|\lambda|-|\mu|$, – единственные потенциально нетривиальные группы когомологий, и спектральная последовательность (3.10) вырождается. Приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
H^{|\mu|+j}(\operatorname{IGr}(h; V), q_*\Sigma^\lambda\mathcal{U}\otimes \mathcal{G}^\mu)= \bigoplus_{\nu\in B_{2j}}\mathsf{k}^{\oplus c(\nu, \mu; \lambda)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вернемся к спектральной последовательности (3.9). Из вычислений, проведенных выше, мы знаем, что единственные нетривиальные члены – это
$$
\begin{equation}
E^{-|\lambda|+t,\,|\lambda|-2t}_1 \simeq \bigoplus_{\nu\in B_{2t}}\bigoplus_{\substack{\mu\subseteq\lambda/\nu \\ |\mu|=|\lambda|-2t}}(\mathcal{E}^{\mu})^{\oplus c(\nu, \mu; \lambda)} =\bigoplus_{\nu\in B_{2t}} \mathcal{E}^{\lambda/\nu},
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
где последнее равенство верно в рамках определения из (3.7). (Можно заподозрить, что имеется лишь фильтрация с данной присоединенной градуированной. Однако правая часть есть прямая сумма объектов вида $\mathcal{E}^\alpha$ таких, что $\alpha\subseteq \lambda$ и $|\alpha|=|\lambda|-2t$, а все такие объекты ортогональны в производной категории, так как элементы соответствующего частично упорядоченного множества несравнимы.) Приходим к выводу, что на каждой диагонали спектральной последовательности имеется не более одного нетривиального члена.
Так как спектральная последовательность сходится к $\mathcal{H}^\bullet(\Sigma^\lambda\mathcal{U}^*)$, должна получиться длинная точная последовательность вида
$$
\begin{equation*}
\dots \to E^{-|\lambda|+t,\,|\lambda|-2t}_1\to \dots \to E^{-|\lambda|+1,\,|\lambda|-2}_1 \to E^{-|\lambda|, |\lambda|}_1 \to \Sigma^\lambda\mathcal{U}^* \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Любая сбалансированная диаграмма, содержащаяся в $\lambda$, имеет высоту не более $h$, а значит, и ширину не более $h+1$, откуда при $t>h(h+1)/2$ получаем $E^{-|\lambda|+t,\,|\lambda|-2t}_1=0$. Остается использовать (3.14), чтобы получить желаемую длинную точную последовательность (3.8). Теорема 3.3 доказана. Замечание 3.2. Резольвенты (3.8) можно также получить, работая в эквивариантной категории. Примеры 3.2. Приведем примеры резольвент, возникающих из теоремы 3.3. Случай $h=1$. В этом случае $\lambda$ состоит из единственной строки длины не более $n-1$. Если $\lambda=(0)$, то $\mathcal{E}^\lambda\simeq\mathcal{O}$. Если $\lambda=(1)$, то $\mathcal{E}^\lambda\simeq\Sigma^\lambda\mathcal{U}^*=\mathcal{U}^*$. Интересный случай – когда $\lambda=(p)$ для некоторого $2\leqslant p \leqslant n-1$. Так как $(2)$ – единственная нетривиальная сбалансированная диаграмма высоты, а $(p)/(2)=(p-2)$, резольвента (3.8) принимает вид
$$
\begin{equation*}
0\to \mathcal{E}^{(p-2)}\to \mathcal{E}^{(p)}\to S^p\mathcal{U}^* \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве следствия получаем, что на $\mathcal{E}^{(p)}$ имеется фильтрация с присоединенными факторами, изоморфными $S^{p-2t}\mathcal{U}^*$ для всех $0\leqslant t\leqslant p/2$. Случай $w=1$. В этом случае $\lambda$ состоит из одного столбца высоты не более $n-1$. Так как нетривиальных сбалансированных диаграмм ширины $1$ не бывает, мы получаем, что для $\lambda=(t)^\top$ имеется изоморфизм Случай $\lambda\,{=}\,(3,1)$. Это первый случай, при котором резольвента (3.8) имеет длину больше $1$. Диаграммы $(2)\,{\in}\, \mathrm{B}_2$ и $(3,1)\,{\in}\, \mathrm{B}_4$ – единственные сбалансированные диаграммы, содержащиеся в $\lambda$. Единственные нетривиальные коэффициенты Литтлвуда–Ричардсона для $(3,1)/(2)$ – это $c((2), (2); \lambda)\,{=}\,c((1, 1), (2); \lambda)\,{=}\,1$. Значит, имеется резольвента вида Так как $\mathcal{E}^{(1,1)}\simeq \Lambda^2\mathcal{U}^*$, а $\mathcal{E}^{(2)}$ получается из короткой точной последовательности $0\to \mathcal{O}\to \mathcal{E}^{(2)}\to S^2\mathcal{U}^*\to 0$, немного поработав, можно показать, что $\mathcal{E}^{(3,1)}$ – расширение вида
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Fon23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|