|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)
Случайные блуждания, остающиеся неотрицательными, и ветвящиеся процессы в неблагоприятной среде
В. А. Ватутинa, К. Донгb, Е. Е. Дьяконоваa a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
b Xidian University, Xi'an, P. R. China
Аннотация:
Пусть $\{S_n,\,n\geqslant 0\} $ – случайное блуждание, приращения которого принадлежат без центрирования области притяжения устойчивого распределения индекса $\alpha$, т.е. существует такой процесс $\{Y_t,\,t\geqslant 0\}$, что $S_{nt}/a_{n}$ $\Rightarrow$ $Y_t$, $t\geqslant 0$, при $n\to\infty$ для некоторых нормирующих констант $a_n$. Предполагая, что $S_{0}=o(a_n)$ и $S_n\leqslant \varphi (n)=o(a_n)$, мы доказываем ряд условных предельных теорем для распределения случайной величины $S_{n-m}$, предполагая, что $m=o(n)$ и $\min_{0\leqslant k\leqslant n}S_k\geqslant 0$. Эти теоремы дополняют утверждения, установленные Ф. Каравенной и Л. Шамоном в 2013 г. Полученные результаты используются при исследовании размера популяции критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в неблагоприятной случайной среде.
Библиография: 28 названий.
Ключевые слова:
случайные блуждания, устойчивый закон, условные предельные теоремы, ветвящиеся процессы, неблагоприятная случайная среда.
Поступила в редакцию: 13.03.2023 и 23.05.2023
§ 1. Введение Исследование условных распределений случайных блужданий при условии их положительности или неотрицательности имеет долгую историю (см., например, статьи [4], [6]–[12], [14], [17], [18], [20], [25]). Интерес к доказательству различных принципов инвариантности для условных процессов, чему и посвящено большинство указанных работ, обусловлен не только естественным развитием теории случайных блужданий, но и широким использованием таких результатов в теории ветвящихся процессов, эволюционирующих как в постоянной, так и в случайной средах (см. [2], [19], [26]), в статистической физике, в частности, для изучения случайных полимеров (см. [13]), а также в других областях. В настоящей работе мы также анализируем свойства случайных блужданий, рассматриваемых при условии их неотрицательности. Наше исследование мотивировано работой Ф. Каравенны и Л. Шамона [11]. Авторы статьи [11] показали, что если распределение шага случайного блуждания принадлежит (без центрирования) области притяжения устойчивого закона, то при условии неотрицательности такого блуждания на отрезке длины $n$ распределение соответствующим образом нормированной экскурсии длины $n$, порожденной этим случайным блужданием, сходится к распределению экскурсии устойчивого процесса Леви, рассматриваемого при условии его неотрицательности на отрезке $[0,1]$. Мы дополняем этот результат исследованием поведения подходящим образом нормированной траектории случайного блуждания в левой окрестности $n-m$ экскурсии, где $m=o(n)$. Оказалось, что в зависимости от скорости стремления отношения $m/n$ к нулю в пределе возникает три различных распределения. Эти три режима приводят к трем различным скоростям роста числа частиц в критических ветвящихся процессах, эволюционирующих в неблагоприятной случайной среде и рассматриваемых при условии их невырождения к далекому моменту времени $n$. Наши утверждения для критических ветвящихся процессов в случайной среде дополняют соответствующие теоремы, установленные в работах [26], [27] и [28], в которых при условии невырождения таких процессов к моменту $n$ были исследованы распределения числа частиц в них в моменты времени $m=o(n)$ и $m=[nt]$, $0<t\leqslant 1$. Статья организована следующим образом. В § 2 мы вводим основные понятия, описываем наши основные условия, накладываемые на случайные блуждания, напоминаем некоторые известные локальные предельные теоремы и доказываем вспомогательные утверждения для случайных блужданий при условии их неотрицательности. В § 3 содержится несколько условных предельных теорем для экскурсий решетчатого случайного блуждания при условии его неотрицательности. В § 4 мы доказываем соответствующие условные предельные теоремы для экскурсий случайных блужданий, шаг которых имеет абсолютно непрерывное распределение. В § 5 мы устанавливаем условную предельную теорему для последовательности случайных величин, сходящихся почти наверное. В § 6 мы применяем полученные результаты для случайных блужданий при условии их неотрицательности для описания распределения размера популяции критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в неблагоприятной среде при условии его выживания к далекому моменту времени.
§ 2. Обозначения и предположения Для сохранения единства изложения и удобства ссылок мы будем в основном придерживаться обозначений и предположений, введенных в работе [11]. В последующем изложении через $C_{1},C_{2},\dots$ мы будем обозначать некоторые абсолютные константы, не обязательно совпадающие в различных формулах. Введем множества $\mathbb{N}\mathbf:=\{1,2,\dots\} $ и $\mathbb{N}_{0}:=\mathbb{N}\,\cup\,\{0\}$. Для двух положительных последовательностей $\{c_{n},\,n\in \mathbb{N}\} $ и $\{d_{n},\,n\in\mathbb{N}\} $ будем, как обычно, писать: $c_{n}\sim d_{n}$, если $\lim_{n\to \infty}(c_{n}/d_{n})=1$; $c_{n}=o(d_{n})$, если $\lim_{n\to \infty}(c_{n}/d_{n})=0$; $c_{n}=O(d_{n})$, если $\lim \sup_{n\to\infty}(c_{n}/d_{n})<\infty$; $c_n\asymp d_n$, если $0<\liminf_{n\to\infty}(c_n/d_n)\leqslant \limsup_{n\to\infty}(c_n/d_n)<\infty$. Напомним, что положительная последовательность $\{c_{n},\,n\in \mathbb{N}\} $ (или действительная функция $c(x))$ называется правильно меняющейся на бесконечности с индексом $\gamma \in \mathbb{R}$, что обозначается как $c_{n}\in R_{\gamma}$ или соответственно $c(x)\in R_{\gamma}$, если $c_{n}\sim n^{\gamma }l(n) $ (соответственно $c(x)\sim x^{\gamma}l(x)$), где $l(x)$ – медленно меняющаяся функция, т.е. такая положительная функция, что $l(cx)/l(x)\to 1$ при $x\to \infty $ для любого фиксированного $c>0$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{A} &:=\{0<\alpha <1,\, |\beta |<1\}\cup \{1<\alpha <2,\, |\beta |<1\} \\ &\qquad\cup \{\alpha =1,\, \beta=0\}\cup \{\alpha =2,\, \beta =0\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
– подмножество в пространстве $\mathbb{R}^{2}$. Для пары $(\alpha,\beta)\in \mathcal{A}$ и случайной величины $X$ мы будем использовать запись $X\in \mathcal{D}(\alpha,\beta)$, если распределение величины $X$ принадлежит (без центрирования) области притяжения устойчивого закона с плотностью $g(x)=g_{\alpha,\beta }(x)$, $x\in (-\infty,+\infty)$, и характеристической функцией
$$
\begin{equation*}
G(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{iwx}g(x)\,dx =\exp\biggl\{-c|w|^{\alpha}\biggl(1-i\beta \frac{w}{|w|}\operatorname{tg} \frac{\pi \alpha}{2}\biggr)\biggr\}, \qquad c>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим случайное блуждание
$$
\begin{equation*}
S_{0}=0, \qquad S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}, \quad n\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
с независимыми и одинаково распределенными приращениями. Всюду далее в этом параграфе мы предполагаем, что случайное блуждание $(\mathcal{S}=\{S_{n}, n\in \mathbb{N}_{0}\},\,\mathbb{P})$ удовлетворяет следующим условиям. Условие A1. Приращения $X_{n}$, $n=1,2,\dots$, случайного блуждания $\mathcal{S}$ принадлежат $\mathcal D(\alpha,\beta)$ с $|\beta|<1$. Это означает, в частности, что существует такая возрастающая последовательность положительных чисел
$$
\begin{equation*}
a_n:=n^{1/\alpha}\ell (n), \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
где последовательность $\ell (1),\ell (2),\dots $ медленно меняется на бесконечности, что при $n\to \infty $
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}\biggl\{\frac{S_{[nt]}}{a_n},\,t\geqslant 0\biggr\} \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}\{Y_t,\,t\geqslant 0\};
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
символ $\Longrightarrow $ обозначает сходимость по распределению в пространстве $D[0,+\infty)$ с топологией Скорохода, а процесс $(\mathcal{Y}=\{Y_t,\,t\geqslant 0\},\,\mathbf{P})$ является строго устойчивым, т.е. имеет стационарные независимые приращения и маргинальные распределения, описываемые характеристическими функциями
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}e^{iwY_{t}}=G_{\alpha,\beta}(wt^{1/\alpha}), \qquad t\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно (см., например, [5; с. 380]), что если $X_{n}\stackrel{d}{=}X\in \mathcal{D}( \alpha,\beta) $ при всех $n\in \mathbb{N}$, то существует предел
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\mathbf{P}(S_{n}>0) =\rho =\mathbf{P}(Y_{1}>0),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\rho =\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi \alpha}\operatorname{arctg}\biggl(\beta \operatorname{tg} \frac{\pi \alpha}{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\Omega^{\mathrm{RW}}:=\mathbb{R}^{\mathbb{N}_{0}}$ – пространство непрерывных справа функций со скачками в целочисленных точках неотрицательной полуоси, и пусть $\Omega :=D([0,\infty),\mathbb{R}) $ – пространство непрерывных справа и имеющих конечные пределы слева действительных функций на множестве $[0,\infty)$. Снабженное топологией Скорохода пространство $\Omega $ становится польским пространством с соответствующей $\sigma$-алгеброй борелевских множеств. Положим также $\Omega_{N}^{\mathrm{RW}}:=\mathbb{R}^{\{0,1,\dots,N\}}$ и $\Omega_t:=D([0,t],\mathbb{R})$ для $t\in (0,\infty)$. Обозначим через $\mathbb{P}_x$ закон распределения случайного блуждания, начинающегося в точке $x\in \mathbb{R}$, т.е. вероятностный закон на $\Omega^{\mathrm{RW}}$, порождаемый случайным блужданием $\mathcal{S}+x$, где $\mathbb{P}$ – закон распределения случайного блуждания $\mathcal{S}$, начинающегося в нуле; а для процесса $\mathcal{Y}=\{Y_t,\,t\geqslant 0\} $ с распределением $\mathbf{P}$ на $\Omega $ будем обозначать через $\mathbf{P}_a$ распределение смещенного процесса $\mathcal{Y}+a$ для $a\in \mathbb{R}$. Условие A2. Будем предполагать, что выполнено одно из следующих ограничений. $\bullet$ ($(h;c)$-решетчатый случай.) Мера $\mathbb{P}$ приращения $X_1$ случайного блуждания сосредоточена на решетке $c+hZ$, где шаг $h>0$ выбран максимальным (т.е. распределение $X_1$ не сосредоточено на какой-либо решетке $c_{0}+h_{0}Z$ при $h_{0}>h$ и $c_{0}\in R$). Отметим, что мы можем взять $c\in [0,h)$. $\bullet$ (абсолютно непрерывный случай.) Мера $\mathbb{P}$ приращения $X_1$ случайного блуждания абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на множестве $\mathbb{R}$, причем существует $n\in \mathbb N$ такое, что плотность распределения $f_{n}(x):=\mathbb{P}(S_{n}{\kern0.3pt}{\in}{\kern0.4pt}dx){/}dx$ случайной величины $S_{n}$ ограничена (и, следовательно, $f_{n}(x){\kern0.4pt}{\in}{\kern0.2pt}L^{\infty}$). Положим
$$
\begin{equation*}
L_{N}:=\min_{1\leqslant k\leqslant N}S_{k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Законом распределения моста длины $N\in \mathbb{N}$ положительного случайного блуждания, начинающего в точке $x\in [0,\infty)$ и заканчивающегося в точке $y\in [0,\infty)$, мы будем называть вероятностный закон на множестве $\Omega_{N}^{\mathrm{RW}}$, задаваемый равенством
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x,y}^{\uparrow,N}(\cdot) :=\mathbb{P}_{x}(\cdot \mid L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=y).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что в решетчатом случае для корректности определения закона распределения $\mathbb{P}_{x,y}^{\uparrow,N}(\cdot)$ необходимо предположить положительность вероятностей
$$
\begin{equation*}
q_{N}^{+}(x,y) :=\mathbb{P}_{x}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=y) >0.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, в абсолютно непрерывном случае нам нужно обеспечить положительность функции
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &f_{N}^{+}(x,y) :=\frac{\mathbb{P}_{x}(L_{N-1}>0,\,S_{N}\in dy)}{dy} \\ &\quad=\int_{\mathcal{K}(N-1)}\biggl[f(s_{1}-x)\biggl( \prod_{i=2}^{N-1}f(s_{i}-s_{i-1})\biggr) f(y-s_{N-1})\biggr]ds_{1}\dotsb ds_{N-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\mathcal{K}(N-1):=\{s_{1}>0,\dots,s_{N-1}>0\} $ – область интегрирования, а $f(\cdot)=f_{1}(\cdot)$ – плотность приращения $X_1$ случайного блуждания. Для $t\in [0,\infty)$ и $a,b\in [0,\infty)$ обозначим через $\mathbf{P}_{a,b}^{\uparrow,t}$ закон распределения на множестве $\Omega_{t}$, соответствующий мосту длины $t$ неотрицательного процесса Леви, начинающемуся в точке $a$ и заканчивающемуся в точке $b$, который неформально может быть определен как
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}_{a,b}^{\uparrow,t}(\cdot) :=\mathbf{P}_{a}( \cdot \mid Y_{s}\geqslant 0\ \forall\, s\in [0,t],\,Y_{t}=b)
\end{equation*}
\notag
$$
(см. п. 6.1 статьи [11], где содержится детальное обоснование корректности такого определения). В случае $\alpha =2$, $\rho =1/2$, т.е. когда процесс $\mathcal{Y}$ является стандартным броуновским движением, закон распределения $\mathbf{P}_{a,b}^{\uparrow,1}(\cdot) $ задает распределение броуновской экскурсии. Для $N\in \mathbb{N}$ определим нормированное отображение $\phi_{N}\colon \Omega _{N}^{\mathrm{RW}}\to \Omega_{1}$ соотношением
$$
\begin{equation*}
(\phi_{N}(\mathcal{S})) (t):=\frac{S_{[Nt]}}{a_{N}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{a_{N},\,N\in \mathbb{N}\} $ – нормирующая последовательность из условия A1. Используя это определение, обозначим через $\mathbb{P}_{x,y}^{\uparrow,N}\,{\circ}\, \phi_{N}^{-1}$ закон распределения, индуцируемый на множестве $\Omega_{1}:=D([0,1],\mathbb{R}) $ при помощи распределения $\mathbb{P}_{x,y}^{\uparrow,N}$ и отображения $\phi_{N}$. Следующая важная теорема была установлена в [11]. Теорема 1. Пусть $a,b\in [0,\infty)$, и пусть $\{x_{N},\,N\in \mathbb{N}\} $ и $\{y_{N},\,N\in \mathbb{N}\} $ – две неотрицательные последовательности такие, что $x_{N}/a_{N}\to a$ и $y_{N}/a_{N}\to b$ (в $(h;c)$-решетчатом случае будем предполагать, что $(y_{N}-x_{N}) \in Nc+h\mathbb{Z}$ для всех $N\in \mathbb{N}$). Если выполнены условия A1 и A2, то при $N\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x,y}^{\uparrow,N}\circ \phi_{N}^{-1} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{P}_{a,b}^{\uparrow,1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этой теоремы вытекает, что если $a=b=0$, распределение $X_{1}$ решетчато, а $m=m(N)=o(N)$ при $N\to \infty $, то для любого $z>0$
$$
\begin{equation*}
\lim_{N\to \infty}\mathbb{P}_{x_{N}}\biggl(\frac{S_{N-m}}{a_{N}}\geqslant z\biggm|L_{N}\geqslant 0,\, S_{N}=y_{N}\biggr) =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $S_{N-m}/a_{N}\to 0$ по вероятности при $N\to \infty $, и, таким образом, теорема 1 дает мало информации о распределении случайной величины $S_{N-m}$ в этой ситуации. В этом параграфе мы укажем такие центрирование и нормирование случайной величины $S_{N-m}$, которые обеспечивают сходимость преобразованной случайной величины к собственному невырожденному распределению. Оказывается, что вид предельного распределения существенным образом зависит от скорости изменения параметра $y_{N}$. Более того, чтобы включить в рассмотрение и абсолютно непрерывны случай, мы покажем, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{N\to \infty}\mathbb{P}_{x_{N}}\biggl( \frac{S_{N-m}-S_{N}}{a_{m}}\leqslant z\biggm|L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}\biggr) =A(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $A(z)$ – собственное невырожденное распределение, вид которого различается в случаях $y_{N}/a_{m}\to 0$, $y_{N}/a_{m}\to T\in (0,\infty)$, $y_{N}/a_{m}\to \infty $. Для доказательства заявленных результатов нам понадобятся новые обозначения, в которых инфимум по пустому множеству есть бесконечность. Положим $S_{0}:=0$, $\tau _{0}^{\pm}:=0$ и при $k\geqslant 1$ обозначим через
$$
\begin{equation*}
\tau_{k}^{-}:=\inf \bigl\{n>\tau_{k-1}^{-}\colon S_{n}\leqslant S_{\tau_{k-1}^{-}}\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
слабые нижние лестничные моменты и через
$$
\begin{equation*}
\tau_{k}^{+}:=\inf \bigl\{n>\tau_{k-1}^{+}\colon S_{n}\geqslant S_{\tau_{k-1}^{+}}\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
слабые верхние лестничные моменты. Положим
$$
\begin{equation*}
H_{k}^{\pm}:=\pm S_{\tau_{k}^{\pm}}
\end{equation*}
\notag
$$
и введем параметр
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \zeta &:=\mathbb{P}(H_{1}^{+}=0) =\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(S_{1}<0,\,\dots,\,S_{n-1}<0,\,S_{n}=0) \\ &\,=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(S_{1}>0,\,\dots,\,S_{n-1}>0,\,S_{n}=0) =\mathbb{P}(H_{1}^{-}=0) \in (0,1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Укажем, что для проверки третьего равенства необходимо использовать соотношение
$$
\begin{equation*}
\{S_{n}-S_{n-k},\,k=0,1,\dots,n\} \stackrel{d}{=}\{S_{k},\,k=0,1,\dots,n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $x\geqslant 0$ ведем функции восстановления
$$
\begin{equation*}
V^{\pm}(x):=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(H_{k}^{\pm}\leqslant x) =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{P}(\tau_{k}^{\pm}=n,\,\pm S_{n}\leqslant x).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что функции $V^{\pm}(x)$ непрерывны справа и не убывают, причем
$$
\begin{equation}
V^{\pm}(0)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(H_{k}^{\pm}=0) =\frac{1}{1-\zeta}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Далее, если выполнено условие A1, то $\lim_{n\to\infty}\mathbf{P}(S_n>0)=\rho\in (0,1)$ и, следовательно, случайные величины $\tau_1^+$ и $\tau_1^-$ являются собственными, причем (см., например, [21] или [23])
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n) \in R_{-\rho}, \qquad V^{+}(x)\in R_{\alpha \rho},
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n) \in R_{-(1-\rho)}, \qquad V^{-}(x)\in R_{\alpha (1-\rho)}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Отметим, что в силу [25; соотношения (15) и (31)] и [11; соотношение (3.18)] существуют такие положительные константы $\widehat{C}$, $\mathcal{C}^{+}$ и $\mathcal{C}^{-}$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, n\,\mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n) \,\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n) \sim \widehat{C}, \\ V^{+}(a_{n})\sim \frac{\mathcal{C}^{+}}{1-\zeta}\, n\, \mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n), \qquad V^{-}(a_{n})\sim \frac{\mathcal{C}^{-}}{1-\zeta}\, n\, \mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty $ и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n) V^{+}(a_{n})\sim C^{\ast }:=\frac{\mathcal{C}^{+}\widehat{C}}{1-\zeta}\in (0,\infty),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n) V^{-}(a_{n})\sim C^{\ast \ast }:=\frac{\mathcal{C}^{-}\widehat{C}}{1-\zeta}\in (0,\infty),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
V^{+}(a_{n})V^{-}(a_{n})\sim nC^{\ast \ast \ast }:=\frac{\widehat{C}\mathcal{C}^{+}\mathcal{C}^{-}}{(1-\zeta)^{2}}n.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Для $x\geqslant 0$ введем непрерывные слева функции восстановления
$$
\begin{equation*}
\underline{{V}}^{\pm}(x):=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(H_{k}^{\pm}<x) =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{P}(\tau_{k}^{\pm}=n,\, \pm S_{n}<x).
\end{equation*}
\notag
$$
Если распределение случайной величины $X_{1}$ абсолютно непрерывно, то
$$
\begin{equation*}
\underline{{V}}^{\pm}(x)=V^{\pm}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы неоднократно будем использовать этот факт, ссылаясь на результаты работ [14] и [25]. Далее нам потребуются различные функции вида $T(x_{N}$, $y_{N})$, зависящие от действительных параметров $x_{N}$ и $y_{N}$. Для фиксированной положительной последовательности $a_{n}$, $n=1,2,\dots$, будем для краткости писать “$T(x_{N},y_{N})=o(1)$ или $T(x_{N},y_{N})\sim c>0$ равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$, $y_{N}=o(a_{m})$ при $\min(m,N)\to \infty$”, имея в виду, что “$T(x_{N},y_{N})=o(1)$ или $T(x_{N},y_{N})\sim c>0$ равномерно по $x_{N}\in (0,\delta_{N}a_{N}]$, $y_{N}\in (0,\delta _{N}a_{m}]$ для любой положительной последовательности $\delta _{N}\to 0$ при $\min(m,N)\to \infty$”. Для упрощения последующего изложения напомним несколько локальных предельных теорем, справедливых в решетчатом случае и установленных в [11; § 4]. Пусть $g(\cdot)$ – плотность распределения случайной величины $Y_{1}$ и $g^{+}(\cdot)$ – плотность распределения извилины процесса Леви $\mathcal{Y}$ в момент $t=1$ (см. [8]):
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{y}g^{+}(x)\,dx=\mathbf{P}_{0} \Bigl(Y_{1}\leqslant y\Bigm|\inf_{0\leqslant s\leqslant 1}Y_{s}\geqslant0\Bigr), \qquad y\geqslant 0
\end{equation*}
\notag
$$
(см. лемму 4 в [12], где дано детальное описание свойств этой плотности). Аналогично, пусть $g^{-}(\cdot)$ – плотность распределения извилины процесса Леви $-\mathcal{Y}$ в момент $t=1$. Наконец, для $a,b\in [0,\infty)$ введем функцию
$$
\begin{equation*}
C(a,b):=\mathbf{P}_{a}\Bigl(\inf_{0\leqslant s\leqslant 1}Y_{s}\geqslant 0\Bigm|Y_{1}=b\Bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Пусть выполнены условие A1 и условие A2 ($(h;c)$-решетчатый случай). Тогда при $n\to \infty $ для $x,y\geqslant 0$, где $(y-x) \in nc+h\mathbb{Z}$, верны следующие соотношения: 1) равномерно по $x=o(a_{n})$ и $y\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
g_{n}^{+}(x,y)=\frac{h\mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n) }{a_{n}}V^{-}(x)\biggl(g^{+}\biggl(\frac{y}{a_{n}}\biggr) +o(1)\biggr) ;
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
2) равномерно по $y=o(a_{n})$ и $x\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
g_{n}^{+}(x,y) =\frac{h\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n) }{a_{n}}V^{+}(y)\biggl(g^{-}\biggl(\frac{x}{a_{n}}\biggr) +o(1)\biggr) ;
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
3) равномерно по $y=o(a_{n})$ и $x=o(a_{n})$
$$
\begin{equation}
g_{n}^{+}(x,y) =h(1-\zeta )\frac{g(0)}{na_{n}}V^{-}(x)V^{+}(y)(1+o(1)) ;
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
4) для любого $T>1$ равномерно по $x,y\in (T^{-1}a_{n}, Ta_{n}) $
$$
\begin{equation}
g_{n}^{+}(x,y) =\frac{h}{a_{n}}g\biggl(\frac{y-x}{a_{n}}r\biggr) C\biggl(\frac{x}{a_{n}},\frac{y}{a_{n}}\biggr) (1+o(1)).
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Отметим, что соотношение (2.12) является следствием принципа инвариантности Лиггетта для мостов (см. [20]) и локальной теоремы Гнеденко (см. [16]). Введенные выше функции восстановления были определены в терминах характеристик слабых лестничных моментов случайных блужданий. Следует заметить, что и строгие лестничные моменты $\{\widehat{\tau}_{k}^{\pm},\,k\geqslant 0\} $, и величины $\{\widehat{H}_{k}^{\pm}, k\geqslant 0\} $, определяемые соотношениями $\widehat{\tau}_{0}^{\pm}:=0$, $\widehat{H}_{0}^{\pm}:=0$ и
$$
\begin{equation*}
\widehat{\tau}_{k}^{\pm}:=\inf \{n>\widehat{\tau}_{k-1}^{\pm}\colon \pm S_{n}>\pm S_{\widehat{\tau}_{k-1}^{\pm}}\}, \qquad \widehat{H}_{k}^{\pm}:=\pm S_{\tau_{k}^{\pm}}
\end{equation*}
\notag
$$
при $k\geqslant 1$, также часто используются при исследовании свойств случайных блужданий и ветвящихся процессов в случайной среде (см., например, [1], [3], [14], [25], [27]). Последовательности $\{\widehat{H}_{k}^{\pm},\,k\geqslant 0\} $ порождают функции восстановления
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{V}^{\pm}(x) &:=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(\widehat{H}_{k}^{\pm}\leqslant x) =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{P}(\widehat{\tau}_{k}^{\pm}=n,\,\pm S_{n}\leqslant x), \\ \underline{\widehat{V}}^{\pm}(x) &:=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(\widehat{H}_{k}^{\pm}<x) =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty }\mathbb{P}(\widehat{\tau}_{k}^{\pm}=n,\,\pm S_{n}<x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Известно (см. [15; § XII.1, равенство (1.13)]), что
$$
\begin{equation}
\widehat{V}^{\pm}(x)=(1-\zeta) V^{\pm}(x), \qquad \underline{\widehat{V}}^{\pm}(x)=(1-\zeta) \underline{{V}}^{\pm}(x).
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Кроме того (см. [11; приложение 3]),
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}(\widehat{\tau}_{1}^{-}>n) \sim \frac{1}{1-\zeta}\, \mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n),
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу симметрии
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}(\widehat{\tau}_{1}^{+}>n) \sim \frac{1}{1-\zeta}\, \mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n).
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Для абсолютно непрерывного случая результаты, аналогичные лемме 1, были также получены в [11]. Лемма 2. Пусть выполнены условие A1 и условие A2 (абсолютно непрерывный случай). При $n\to \infty $ для $x,y\geqslant 0$ верны следующие соотношения: 1) равномерно по $x=o(a_{n})$ и $y\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
f_{n}^{+}(x,y) =\frac{\mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n) }{a_{n}}V^{-}(x)\biggl(g^{+}\biggl(\frac{y}{a_{n}}\biggr) +o(1)\biggr) ;
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
2) равномерно по $y=o(a_{n})$ и $x\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
f_{n}^{+}(x,y) =\frac{\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n) }{a_{n}}V^{+}(y)\biggl(g^{-}\biggl(\frac{x}{a_{n}}\biggr) +o(1)\biggr) ;
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
3) равномерно по $y=o(a_{n})$ и $x=o(a_{n})$
$$
\begin{equation}
f_{n}^{+}(x,y) =\frac{g(0)}{na_{n}}V^{-}(x)V^{+}(y)( 1+o(1)) ;
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
4) для любого $T>1$ равномерно по $x,y\in (T^{-1}a_{n},Ta_{n}) $
$$
\begin{equation}
f_{n}^{+}(x,y) =\frac{1}{a_{n}}g\biggl(\frac{y-x}{a_{n}}\biggr) C\biggl(\frac{x}{a_{n}},\frac{y}{a_{n}}\biggr) (1+o(1)).
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Соотношение (2.16) не было явно упомянуто в статье [11]. Однако его несложно вывести из (2.15) и (2.2) в силу симметрии, а именно, рассматривая случайное блуждание $-\mathcal{S}$ вместо $\mathcal{S}$, меняя местами $x$ и $y$ и заменяя каждый встречающийся знак “$+$” на знак “$-$”. Соотношение (2.18) является следствием принципа инвариантности Лиггетта для мостов (см. [20]) и локальной теоремы, доказанной Стоуном в [24]. Проясним теперь значение константы $C^{\ast}$ в (2.6). Лемма 3. Пусть выполнено условие A1. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{C^{\ast}}=\int_{0}^{\infty}w^{\alpha \rho}g^{-}(w)\,dw.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 1. Отметим, что значение константы $C^{\ast}$ не является универсальным в следующем смысле. Если мы изменим нормирующую последовательность, положив $\overline{a}_{n}=ca_{n}$ для некоторого $c>0$, то
$$
\begin{equation*}
\frac{S_{n}}{\overline{a}_{n}} \quad\Longrightarrow\quad \overline{Y}_{1}:=\frac{Y_{1}}{c},
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{g}^{-}(w)\, dw &=\mathbf{P}_{0}\Bigl(-\overline{Y}_{1}\in dw\Bigm| \inf_{0\leqslant s\leqslant 1}(-\overline{Y}_{s})\geqslant 0\Bigr) \\ &=\mathbf{P}_{0}\biggl(-\frac{Y_{1}}c\in dw\biggm|\inf_{0\leqslant s\leqslant 1}(-Y_{s})\geqslant 0\biggr) =cg^{-}(cw)\, dw. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\infty}w^{\alpha \rho}\overline{g}^{-}(w)\,dw =c\int_{0}^{\infty}w^{\alpha \rho}g^{-}(cw)\,dw =\frac{1}{c^{\alpha \rho}}\int_{0}^{\infty}w^{\alpha \rho}g^{-}(w)\,dw =\frac{1}{c^{\alpha \rho}C^{\ast}}
\end{equation*}
\notag
$$
и значение $C^{\ast}$ должно быть заменено на $c^{\alpha \rho}C^{\ast}$. Доказательство леммы 3. Согласно (2.7), (2.13) и (2.14)
$$
\begin{equation*}
C^{\ast \ast}=\lim_{n\to \infty}V^{-}(a_{n})\mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n) =\lim_{n\to \infty }\widehat{V}^{-}(a_{n})\mathbb{P}(\widehat{\tau}_{1}^{-}>n).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть, далее, $U(w):=C^{\ast \ast}w^{\alpha (1-\rho)},w\geqslant 0$. Из доказательства теоремы 1.1 в [10] (см. рассуждения между формулами (3.11) и (3.12) и определение (3.1)) следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}\Bigl[U(Y_{1})\Bigm|\inf_{0\leqslant s\leqslant 1}Y_{s}\geqslant 0\Bigr] =C^{\ast\ast}\int_{0}^{\infty}w^{\alpha (1-\rho)}g^{+}(w)\,dw=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, рассматривая распределение извилины процесса $-\mathcal{Y}$ в момент $t=1$ и замечая, что параметр положительности процесса $-\mathcal{Y}$ равен $1-\rho $, нетрудно вывести в силу соображений симметрии, что
$$
\begin{equation*}
C^{\ast}=\lim_{n\to \infty}V^{+}(a_{n})\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n) =\lim_{n\to \infty}\widehat{V}^{+}(a_{n})\mathbb{P}(\widehat{\tau}_{1}^{+}>n),
\end{equation*}
\notag
$$
и, вводя функцию $\overline{U}(w):=C^{\ast}w^{\alpha \rho}$, получить соотношение
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}\Bigl[\overline{U}(-Y_{1})\Bigm|\inf_{0\leqslant s\leqslant 1}(-Y_{s})\geqslant 0\Bigr] =C^{\ast}\int_{0}^{\infty}w^{\alpha \rho}g^{-}(w)\,dw=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Положим
$$
\begin{equation}
b_{n}:=\frac{1}{na_{n}}=\frac{1}{n^{1+1/\alpha}\ell (n)}.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Из [3; предложение 2.3] и равенств (2.13) несложно вывести следующее утверждение, дополняющее леммы 1 и 2. Лемма 4. Пусть выполнено условие A1. Тогда существует такое число $C>0$, что равномерно по всем $x,y\geqslant 0$ и $n\in \mathbb{N}$ выполняется соотношение
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{x}(y-1\leqslant S_{n}<y,\,L_{n}\geqslant 0) \leqslant Cb_{n}V^{-}(x)V^{+}(y),
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
дающее в $(h;0)$-решетчатом случае оценку
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{x}(S_{n}<y,\,L_{n}\geqslant 0) \leqslant Cb_{n}V^{-}(x)\sum_{z=0}^{y}V^{+}(z),
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
а в абсолютно непрерывном случае – неравенство
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{x}(S_{n}<y,\,L_{n}\geqslant 0) \leqslant Cb_{n}V^{-}(x)\int_{0}^{y}V^{+}(z)\,dz.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Доказательство. В [3; утверждение 2.3] было показано, что если выполнено условие A1, то существует число $C>0$ такое, что равномерно по всем $x,y\geqslant 0$ и всем $n$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x}(y-1\leqslant S_{n}<y,\,L_{n}\geqslant 0) \leqslant Cb_{n}\widehat{V}^{-}(x)\underline{\widehat{V}}^{+}(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь соотношение (2.20) следует из (2.13) и неравенств
$$
\begin{equation*}
\widehat{V}^{-}(x)\leqslant V^{-}(x), \qquad \underline{\widehat{V}}^{+}(y)\leqslant V^{+}(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Второе и третье утверждения леммы выводятся с помощь суммирования и интегрирования соответственно.
Лемма доказана.
§ 3. Предельные теоремы для решетчатого случая Следуя [11], в дальнейшем мы будем рассматривать лишь $(1;0)$-решетчатый случай условия A2, т.е. будем предполагать, что распределение величины $X_{1}$ сосредоточено на множестве $\mathbb{Z}$ и является апериодическим. Общий $(h;c)$-решетчатый случай требует лишь более громоздких обозначений, в то время как проводимые при этом доказательства не нуждаются в дополнительных соображениях. Нашей целью является исследование асимптотического поведения вероятностей
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=y_{N})
\end{equation*}
\notag
$$
при условии, что $\max (x_{N},y_{N})/a_{N}\to 0$ и $m=o(N)$ при $N\to \infty $. Рассмотрим отдельно три случая: $y_{N}/a_{m}\to 0$, $y_{N}/a_{m}\to T\in (0,\infty)$ и $y_{N}/a_{m}\to \infty $. 3.1. Случай $y_{N}/a_{m}\to 0$ Лемма 5. Пусть выполнены условия A1 и A2 и распределение случайной величины $X_{1}$ является $(1;0)$-решетчатым. Если $\min (m,N)\to \infty $ так, что $m=o(N)$, то для любого $z\in (0,\infty)$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m}\mid L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=y_{N}) =A_{1}(z)(1+o(1))
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{m})$, где вследствие (2.6) и леммы 3 функция
$$
\begin{equation}
A_{1}(z):=C^{\ast}\int_{0}^{z}w^{\alpha \rho}g^{-}(w) \,dw, \qquad z\in [0,\infty),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
является собственным распределением. Доказательство. Согласно (2.11) при $N\to \infty$
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=j) \sim (1-\zeta )b_{N}g(0)V^{-}(x_{N})V^{+}(j)
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N}) $ и $j=o(a_{N})$, откуда получаем, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \sim (1-\zeta )b_{N}g(0)V^{-}(x_{N})\sum_{j=0}^{y_{N}}V^{+}(j)
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N}) $ и $y_{N}=o( a_{N}) $. Отсюда и из (2.3) следует, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \sim (1-\zeta)V^{-}(x_{N})\, \mathbb{P}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N})
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N}) $ и $y_{N}=o(a_{N}) $.
Зафиксируем теперь $z>\varepsilon \in (0,1)$ и рассмотрим асимптотическое поведение вероятности
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{n}=y_{N}) =R_{1}(\varepsilon,m,N)+R_{2}(\varepsilon,m,N),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{1}(\varepsilon,m,N) &:=\sum_{0\leqslant k\leqslant \varepsilon a_{m}} \mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}=k,\,L_{N-m}\geqslant 0)\, \mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0), \\ R_{2}(\varepsilon,m,N) &:= \sum_{\varepsilon a_{m}<k\leqslant za_{m}} \mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}=k,\,L_{N-m}\geqslant 0)\, \mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя лемму 4, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{1}(\varepsilon,m,N) &\leqslant Cb_{m}V^{+}(y_{N})\sum_{0\leqslant k\leqslant\varepsilon a_{m}} \mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}=k,\,L_{N-m}\geqslant 0) V^{-}(k) \\ &\leqslant Cb_{m}V^{+}(y_{N})V^{-}(\varepsilon a_{m})\, \mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant \varepsilon a_{m},\,L_{N-m}\geqslant 0) \\ &\leqslant C_{1}b_{m}b_{N-m}V^{+}(y_{N})V^{-}(x_{N})V^{-}(\varepsilon a_{m}) \sum_{0\leqslant k\leqslant \varepsilon a_{m}}V^{+}(k) \\ &\leqslant \varepsilon C_{1}a_{m}b_{m}b_{N-m}V^{+}(y_{N})V^{-}(x_{N})V^{-} (\varepsilon a_{m})V^{+}(\varepsilon a_{m}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (2.8) и (2.19) и используя эквивалентность $b_{N-m}\sim b_{N}$ при $m=o(N)$, $N\to \infty $, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &a_{m}b_{m}b_{N-m}V^{+}(y_{N})V^{-}(x_{N})V^{-} (\varepsilon a_{m})V^{+}(\varepsilon a_{m}) \\ &\qquad \leqslant Ca_{m}b_{m}b_{N}V^{+}(y_{N})V^{-}(x_{N})V^{-}(a_{m})V^{+}(a_{m}) \\ &\qquad \leqslant 2CC^{\ast \ast \ast}a_{m}b_{m}b_{N}mV^{+}(y_{N})V^{-}(x_{N}) =2CC^{\ast \ast \ast}b_{N}V^{+}(y_{N})V^{-}(x_{N}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
R_{1}(\varepsilon,m,N)\leqslant \varepsilon C_{1}b_{N}V^{+}(y_{N})V^{-}(x_{N}).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Для оценки величины $R_{2}(\varepsilon,m,N)$ заметим сначала, что в силу леммы 1
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}=k,\,L_{N-m}\geqslant 0) \sim \frac{(1-\zeta )g(0)}{(N-m) a_{N-m}}V^{-}(x_{N})V^{+}(k)
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
равномерно по $\varepsilon a_{m}\leqslant k\leqslant za_{m}$ и $x_{N}=o(a_{N-m})=o(a_{N})$, а также, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0) =\frac{\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>m)}{a_{m}}V^{+}\biggl(y_{N})(g^{-} \biggl(\frac{k}{a_{m}}\biggr) +o(1)\biggr)
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
равномерно по $\varepsilon a_{m}\leqslant k\leqslant za_{m}$ и $y_{N}=o(a_{m})$. Следовательно, равномерно по $\varepsilon a_{m}\leqslant k\leqslant za_{m}$, $y_{N}=o(a_{m})$ и $x_{N}=o(a_{N})$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{2}(\varepsilon,m,N) &\sim \frac{(1-\zeta)g(0)}{Na_{N}}\, \frac{\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>m)}{a_{m}}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N}) \\ &\qquad \times \sum_{\varepsilon a_{m}<k\leqslant za_{m}}V^{+}(k)g^{-} \biggl(\frac{k}{a_{m}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (2.6), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{2}(\varepsilon,m,N) &\sim \frac{C^{\ast}(1-\zeta)g(0)}{Na_{N}}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N}) \\ &\qquad \times \sum_{\varepsilon a_{m}<k\leqslant za_{m}} \frac{V^{+}(k)}{V^{+}(a_{m})}g^{-}\biggl(\frac{k}{a_{m}}\biggr) \frac{1}{a_{m}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.4) и свойств правильно меняющихся функций (см. [ 22]) следует, что при $m\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\frac{V^{+}(wa_{m})}{V^{+}(a_{m})}\to w^{\alpha \rho}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $\varepsilon \leqslant w\leqslant z$. Следовательно, при $m\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\sum_{\varepsilon a_{m}<k\leqslant za_{m}}\frac{V^{+}(k)}{V^{+}(a_{m})}g^{-}\biggl(\frac{k}{a_{m}}\biggr) \frac{1}{a_{m}}\sim \int_{\varepsilon}^{z}w^{\alpha \rho}g^{-}(w)\,dw.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате имеем
$$
\begin{equation*}
R_{2}(\varepsilon,m,N)\sim C^{\ast}(1-\zeta) g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N})\int_{\varepsilon}^{z}w^{\alpha \rho }g^{-}(w)\,dw
\end{equation*}
\notag
$$
при $N\to \infty $ равномерно по $y_{N}=o(a_{m})$ и $x_{N}=o(a_{N})$. Так как $\varepsilon >0$ может быть выбрано произвольно малым, то, опираясь на (3.6) и (3.2), мы выводим, что при $N\to\infty$
$$
\begin{equation}
\frac{\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m} \leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant0,\,S_{N}=y_{N})}{\mathbb{P}_{x_{N}} (L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=y_{N})} \sim C^{\ast}\int_{0}^{z}w^{\alpha \rho}g^{-}( w) \,dw=A_{1}(z)
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{m})$.
Лемма доказана. Следствие 1. Пусть выполнены условия A1 и A2 и распределение случайной величины $X_{1}$ является $(1;0)$-решетчатым. Если $\min (m,N)\to \infty $ так, что $m=o(N)$, то для любого $z\in (0,\infty)$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \sim A_{1}(z)\, \mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N})
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{m})$. Используя суммирование, из (3.9), (3.2) и (3.3) получаем требуемое утверждение. 3.2. Случай $y_{N}\asymp a_{m}$ Пусть $0<t_{0}<t_{1}<\infty $ – фиксированные положительные числа. Лемма 6. Пусть выполнены условия A1 и A2, а распределение случайной величины $X_{1}$ является $(1;0)$-решетчатым. Если $\min (m,N)\to \infty $ так, что $m=o(N)$, то для любого $z\in (0,\infty)$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m}\mid L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=j) \sim A_{2}\biggl(z,\frac{j}{a_{m}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $j\in [t_{0}a_{m},t_{1}a_{m}]$, где
$$
\begin{equation*}
A_{2}(z,t):=t^{-\alpha \rho}\int_{0}^{z}w^{\alpha \rho}g(t-w)C(w,t)\,dw.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Воспользуемся снова разложением (3.5). Оценки (3.6) и (3.7) остаются неизменными. Далее, используя (2.12) вместо (3.8), получаем, что при $m\to \infty $
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{k}(S_{m}=j,\,L_{m}\geqslant 0) \sim \frac{1}{a_{m}}g\biggl( \frac{j-k}{a_{m}}\biggr) C\biggl(\frac{k}{a_{m}},\,\frac{j}{a_{m}}r\biggr)
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
равномерно по $\varepsilon a_{m}\leqslant k\leqslant za_{m}$ и $j\in [ t_{0}a_{m},t_{1}a_{m}]$. Отсюда, учитывая (3.7) и (3.10), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{2}(\varepsilon,m,N) &\sim \frac{(1-\zeta)g(0)}{(N-m) a_{N-m}}V^{-}(x_{N}) \\ &\qquad\times \sum_{\varepsilon a_{m}<k\leqslant za_{m}} V^{+}(k)\frac{1}{a_{m}}g\biggl(\frac{j-k}{a_{m}}\biggr) C\biggl(\frac{k}{a_{m}},\,\frac{j}{a_{m}}\biggr) \\ &\sim \frac{(1-\zeta)g(0)}{Na_{N}}V^{-}(x_{N})V^{+}(a_{m}) \\ &\qquad\times \sum_{\varepsilon a_{m}<k\leqslant za_{m}} \frac{V^{+}(k)}{V^{+}(a_{m})}\,\frac{1}{a_{m}}g\biggl(\frac{j-k}{a_{m}}\biggr) C\biggl(\frac{k}{a_{m}},\,\frac{j}{a_{m}}\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $j\in [t_{0}a_{m},t_{1}a_{m}]$. Рассуждая теперь так же, как и в лемме 5, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\varepsilon a_{m}<k\leqslant za_{m}} \frac{V^{+}(k)}{V^{+}(a_{m})}\,\frac{1}{a_{m}}g\biggl(\frac{j-k}{a_{m}}\biggr) C\biggl(\frac{k}{a_{m}},\,\frac{j}{a_{m}}\biggr) \\ &\qquad\sim \int_{\varepsilon}^{z}w^{\alpha \rho }g\biggl(\frac{j}{a_{m}}-w\biggr) C\biggl(w,\frac{j}{a_{m}}\biggr)\,dw \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $m\to \infty $. Значит,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{2}(\varepsilon,m,N) &\sim (1-\zeta )g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(a_{m}) \notag \\ &\qquad \times \int_{\varepsilon}^{z}w^{\alpha \rho} g\biggl(\frac{j}{a_{m}}-w\biggr) C\biggl(w,\frac{j}{a_{m}}\biggr)\,dw. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Так как $\varepsilon >0$ может быть выбрано произвольно малым и
$$
\begin{equation*}
V^{+}(a_{m})=V^{+}\biggl(\frac{a_{m}}{j}j\biggr) \sim \biggl(\frac{a_{m}}{j}\biggr)^{\alpha \rho}V^{+}(j)
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $j\in [t_{0}a_{m},t_{1}a_{m}]$, то объединение (3.6), (3.11) и (3.2) приводит к равенству
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=j) }{\mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=j)} =A_{2}\biggl(z,\frac{j}{a_{m}}\biggr) (1+o(1)),
\end{equation*}
\notag
$$
справедливому равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $j\in [ t_{0}a_{m},t_{1}a_{m}]$.
Лемма 6 доказана. Следствие 2. Если $\min (m,N)\to \infty$, $m=o(N)$ и $y_{N}\sim Ta_{m}$, $T\in (0,\infty)$, то в условиях леммы 6 для любого $z\in (0,\infty)$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \sim \mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) B(z,T)
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$, где
$$
\begin{equation}
B(z,T):=\frac{\alpha \rho +1}{T^{\alpha \rho +1}} \int_{0}^{z}w^{\alpha \rho}\,dw\int_{0}^{T}g(t-w) C(w,t)\, dt.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Доказательство. Ввиду (2.21) для любого $\varepsilon \in (0,1)$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant \varepsilon y_{N}) \notag \\ &\qquad \leqslant \mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant \varepsilon y_{N})\leqslant C_{1}b_{N}V^{-}(x_{N})\sum_{0\leqslant j\leqslant \varepsilon y_{N}}V^{+}(j). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Далее, из леммы 6 и соотношений (2.11) и (2.4) следует, что при $N\to\infty$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N}\leqslant y_{N}) \notag \\ &\qquad \sim \sum_{\varepsilon y_{N}<j\leqslant y_{N}}\mathbb{P}_{x_{N}}( L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=j) A_{2}\biggl(z,\frac{j}{a_{m}}\biggr) \notag \\ &\qquad \sim (1-\zeta)g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})\sum_{\varepsilon y_{N}<j\leqslant y_{N}}V^{+}(j)A_{2}\biggl(z,\frac{j}{a_{m}}\biggr) \notag \\ &\qquad =(1-\zeta)g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(a_{m})\sum_{\varepsilon Ta_{m}<j\leqslant Ta_{m}}\frac{V^{+}(j)}{V^{+}(a_{m})}A_{2}\biggl(z,\frac{j}{a_{m}}\biggr) \notag \\ &\qquad \sim (1-\zeta )g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(a_{m})a_{m}\int_{\varepsilon T}^{T}t^{\alpha \rho}A_{2}(z,t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\varepsilon T}^{T}t^{\alpha \rho}A_{2}(z,t)\,dt &=\int_{\varepsilon T}^{T}dt\int_{0}^{z}w^{\alpha \rho}g(t-w) C(w,t)\,dw \\ &=\int_{0}^{z}w^{\alpha \rho}dw\int_{\varepsilon T}^{T}g(t-w) C(w,t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation}
V^{+}(a_{m})a_{m}\sim V^{+}(T^{-1}y_{N})T^{-1}y_{N}\sim T^{-\alpha \rho -1}V^{+}(y_{N})y_{N}
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
согласно (2.4), то в силу (3.14)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N}\leqslant y_{N}) \\ &\qquad\sim (1-\zeta)g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N})y_{N} T^{-\alpha \rho -1}\int_{0}^{z}w^{\alpha \rho}\,dw \int_{\varepsilon T}^{T}g(t-w) C(w,t) \,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обращаясь снова к (2.4), мы видим, что
$$
\begin{equation*}
(\alpha \rho +1) \sum_{j=0}^{y_{N}}V^{+}(j)\sim y_{N}V^{+}(y_{N})
\end{equation*}
\notag
$$
при $y_{N}\to \infty $. Отсюда, используя соотношения (3.13), (3.3) и устремляя $\varepsilon $ к нулю, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \sim \mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) B(z,T)
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$.
Следствие доказано. 3.3. Случай $a_{m}=o(y_{N})$ В отличие от п. 3.1 и п. 3.2, где изучалось распределение случайной величины $S_{N-m}$, здесь мы исследуем распределение разности $S_{N-m}-S_{N}$. Лемма 7. Пусть выполнены условия A1 и A2, а распределение случайной величины $X_{1}$ является $(1;0)$-решетчатым. Если $\min (m,N)\to \infty $ и $a_{m}=o(y_{N})$, то для любого $z\in (-\infty,\infty)$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}-S_{N}\leqslant za_{m}\mid L_{N}\geqslant 0,S_{N}=y_{N}) \sim \mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z)
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{N})$, $a_{m}=o(y_{N})$, где $Y_{1}$ определяется соотношением (2.1). Доказательство. Зафиксируем достаточно большое значение $M$ и воспользуемся разложением
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}-y_{N}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=y_{N}) =R_{3}(M,m,N)+R_{4}(M,m,N),
\end{equation*}
\notag
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{3}(M,m,N) &:=\sum_{0\leqslant k\leqslant y_{N}-Ma_{m}}\mathbb{P}_{x_{N}}( S_{N-m}=k,\,L_{N-m}\geqslant 0) \, \mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0), \\ R_{4}(M,m,N) &:=\sum_{y_{N}-Ma_{m}<k\leqslant y_{N}+za_{m}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}=k,\,L_{N-m}\geqslant 0) \, \mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что в силу (2.11)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{3}(M,m,N) &\leqslant Cb_{N-m}V^{-}(x_{N})\sum_{0\leqslant k\leqslant y_{N}-Ma_{m}}V^{+}(k)\, \mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0) \\ &\leqslant C_{1}b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N})\sum_{0\leqslant k\leqslant y_{N}-Ma_{m}}\mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{0\leqslant k\leqslant y_{N}-Ma_{m}}\mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0)=\sum_{0\leqslant k\leqslant y_{N}-Ma_{m}}\mathbb{P}(S_{m}=y_{N}-k,\,L_{m}\geqslant -k) \\ &\qquad \leqslant \sum_{0\leqslant k\leqslant y_{N}-Ma_{m}}\mathbb{P}(S_{m}=y_{N}-k) \leqslant \mathbb{P}(S_{m}\geqslant Ma_{m}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\lim_{M\to \infty}\lim_{m\to \infty}\mathbb{P}(S_{m}\geqslant Ma_{m}) =0$, то
$$
\begin{equation}
R_{3}(M,m,N)\leqslant \varepsilon (M)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N}),
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
где $\varepsilon (M)\downarrow 0$ при $M\to \infty $.
Далее, в силу (2.11) и (2.4)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &R_{4}(M,m,N) \\ &\qquad\sim(1-\zeta )g(0)b_{N-m}V^{-}(x_{N})\sum_{y_{N}-Ma_{m}<k\leqslant y_{N}+za_{m}}V^{+}(k)\, \mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0) \\ &\qquad\sim(1-\zeta )g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N})\sum_{y_{N}-Ma_{m}<k\leqslant y_{N}+za_{m}}\mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{N})$. Таким образом, осталось оценить сумму:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{y_{N}-Ma_{m}<k\leqslant y_{N}+za_{m}}\mathbb{P}_{k}( S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0) \\ &\qquad\qquad =\sum_{y_{N}-Ma_{m}<k\leqslant y_{N}+za_{m}}\mathbb{P}( S_{m}=y_{N}-k,\,L_{m}\geqslant -k) \\ &\qquad\qquad=\sum_{-Ma_{m}<j\leqslant za_{m}}\mathbb{P}(S_{m}=j,\,L_{m}\geqslant j-y_{N}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}(S_{m}\in [-Ma_{m},za_{m}],\,L_{m} \geqslant za_{m}-y_{N}) \\ &\qquad\leqslant \sum_{-Ma_{m}<j\leqslant za_{m}}\mathbb{P}(S_{m}=j,\,L_{m}\geqslant j-y_{N})\leqslant \mathbb{P}(S_{m}\in [-Ma_{m},za_{m}]). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}(S_{m}\in [-Ma_{m},za_{m}],\,L_{m}\geqslant za_{m}-y_{N}) \\ &\qquad \geqslant\mathbb{P}(S_{m}\in [-Ma_{m},za_{m}]) -\mathbb{P}(L_{m}<za_{m}-y_{N}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $y_{N}/a_{m}\to \infty $, то согласно принципу инвариантности для случайных блужданий, распределения приращений которых принадлежат без центрирования области притяжения устойчивого закона,
$$
\begin{equation*}
\lim_{N\to \infty}\mathbb{P}\biggl( \frac{L_{m}}{a_{m}}<z-\frac{y_{N}}{a_{m}}\biggr) =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $b_{N-m}\sim b_{N}$, если $m=o(N)$ при $N\to \infty $, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
R_{4}(M,m,N)\sim (1-\zeta )g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N})\, \mathbf{P}(Y_{1}\in [-M,z])
\end{equation*}
\notag
$$
при $N\to \infty $. Так как параметр $M$ может быть выбран произвольно большим и $\varepsilon (M)>0$ в (3.16) – произвольно малым, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}-y_{N}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{n}=y_{N}) \\ &\qquad\sim (1-\zeta )g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N})\, \mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{N})$. Ввиду (2.1) это влечет утверждение леммы. Следствие 3. Пусть выполнены условия A1 и A2, а распределение случайной величины $X_{1}$ является $(1;0)$-решетчатым. Если $m\to \infty $ и $a_{m}=o(y_{N})$, то для любого $z\in (-\infty,\infty)$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}-S_{N}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \sim \mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \, \mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z)
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{N}),a_{m}=o(y_{N})$. Доказательство. В силу (2.21) для любого $\varepsilon \in (0,1)$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}-S_{N}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant \varepsilon y_{N}) \leqslant C_{1}b_{N}V^{-}(x_{N})\sum_{0\leqslant j\leqslant \varepsilon y_{N}}V^{+}(j).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, по лемме 7
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}-S_{N}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N}\leqslant y_{N}) \\ &\qquad \sim \sum_{\varepsilon y_{N}<j\leqslant y_{N}}\, \mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=j) \mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z) \\ &\qquad \sim \mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N}\leqslant y_{N}) \, \mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.11)
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \sim (1-\zeta )g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})\sum_{j=0}^{y_{N}}V^{+}(j).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя (2.4) и устремляя $\varepsilon$ к нулю, мы получаем требуемое утверждение.
Следствие доказано.
§ 4. Предельные теоремы для абсолютно непрерывного случая В этом параграфе мы установим аналоги следствий 1–3 для абсолютно непрерывного случая. Лемма 8. Пусть выполнены условие A1 и условие A2 (абсолютно непрерывный случай), и пусть $\min (m,N)\to \infty,m=o(N)$. Тогда: 1) равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{m})$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m}\mid L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \sim A_{1}(z), \qquad z\in (0,\infty);
\end{equation*}
\notag
$$
2) если $y_{N}\sim Ta_{m},T\in (0,\infty)$, то равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m}\mid L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \sim B(z,T), \qquad z\in (0,\infty);
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
3) если $a_{m}=o(y_{N})$, то равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{N})$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}-S_{N}\leqslant za_{m}\mid L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \sim \mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z), \qquad z\in (-\infty,\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Доказательства утверждений 1)–3) идейно повторяют аргументы соответствующих утверждений следствий 1–3. Поэтому мы проверим лишь справедливость соотношения (4.1).
Согласно (2.20) для любого $\varepsilon \in (0,1)$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,S_{N}<\varepsilon y_{N}) \\ &\qquad \leqslant\mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}<\varepsilon y_{N}) \leqslant C_{1}b_{N-m}V^{-}(x_{N})\int_{0}^{\varepsilon y_{N}}V^{+}(w)\,dw. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}<\varepsilon y_{N},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \\ &\qquad\leqslant \mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}<\varepsilon y_{N},\,L_{N-m}\geqslant 0) \leqslant C_{1}b_{N-m}V^{-}(x_{N})\int_{0}^{\varepsilon y_{N}}V^{+}(w)\,dw. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N}\leqslant y_{N}) \\ &\qquad =\int_{\varepsilon y_{N}}^{za_{m}}\mathbb{P}_{x_{N}} (S_{N-m}\in dw,\,L_{N-m}\geqslant 0)\, \mathbb{P}_{w}(L_{m}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{m}\leqslant y_{N}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.18) для любых $0<t_{0}<t_{1}<\infty $
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{w}(L_{m}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{m}\leqslant y_{N}) \\ &\qquad=\int_{\varepsilon y_{N}}^{y_{N}}\mathbb{P}_{w}(L_{m}\geqslant 0,\,S_{m}\in dq)\sim \int_{\varepsilon y_{N}}^{y_{N}}\frac{1}{a_{m}}g\biggl( \frac{q-w}{a_{m}}\biggr) C\biggl(\frac{w}{a_{m}},\,\frac{q}{a_{m}}\biggr) \,dq \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $w\in [t_{0}a_{m},t_{1}a_{m}]$. Далее, ввиду (2.17)
$$
\begin{equation}
\frac{\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\in dw,\,L_{N-m}\geqslant 0)}{dw}\sim \frac{g(0)}{Na_{N}}V^{-}(x_{N})V^{+}(w)
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N-m})=o(a_{N}),w=o(a_{N-m})$. Поскольку $m=o(N)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N}\leqslant y_{N}) \\ &\qquad \sim \frac{g(0)V^{-}(x_{N})}{Na_{N}}\int_{\varepsilon y_{N}}^{za_{m}}V^{+}(w)\,dw \int_{\varepsilon y_{N}}^{y_{N}} \frac{1}{a_{m}}g\biggl(\frac{q-w}{a_{m}}\biggr) C\biggl(\frac{w}{a_{m}},\,\frac{q}{a_{m}}\biggr) \,dq \\ &\qquad \sim \frac{g(0)V^{-}(x_{N})a_{m}}{Na_{N}}\int_{\varepsilon T}^{z}V^{+}(sa_{m})\, ds\int_{\varepsilon T}^{T}g(r-s) C(s,r)\, dr \\ &\qquad =\frac{g(0)V^{-}(x_{N})a_{m}V^{+}(a_{m})}{Na_{N}}\int_{\varepsilon T}^{z}\frac{V^{+}(sa_{m})}{V^{+}(a_{m})}\,ds\int_{\varepsilon T}^{T}g( r-s) C(s,r) \,dr \\ &\qquad \sim \frac{g(0)V^{-}(x_{N})a_{m}V^{+}(a_{m})}{Na_{N}} \int_{\varepsilon T}^{z}s^{\alpha \rho}\,ds\int_{\varepsilon T}^{T}g(r-s)C(s,r) \,dr. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя соотношение (3.15), эквивалентность
$$
\begin{equation*}
(\alpha \rho +1) \int_{0}^{y_{N}}V^{+}(w)\,dw\sim y_{N}V^{+}(y_{N})
\end{equation*}
\notag
$$
и представление
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) =(1+o(1))\frac{g(0)}{Na_{N}}V^{-}(x_{N})\int_{0}^{y_{N}}V^{+}(w)\,dw,
\end{equation*}
\notag
$$
которое вытекает из (4.2), и устремляя $\varepsilon$ к нулю, мы видим, что при $N\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,S_{N}\leqslant y_{N})}{\mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) }\sim \frac{\alpha \rho +1}{T^{\alpha \rho +1}}\int_{0}^{z}s^{\alpha \rho }\,ds \int_{0}^{T}g(r-s) C(s,r) \,dr
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}\sim Ta_{m}=o(a_{N})$.
Соотношение (4.1) доказано.
Лемма 8 доказана.
§ 5. Предельная теорема для последовательностей, сходящихся почти наверное В этом параграфе нам понадобится условная мера $\mathbb{P}_x^{\uparrow}(\cdot)$, которая порождает случайное блуждание, начинающееся в точке $x$ и рассматриваемое при условии неотрицательности этого блуждания на всей временно́й оси (см., например, [4], [10] и [25]). Эта новая мера задается следующим образом: для $x\geqslant 0$, всех $N\in \mathbb{N}$ и любого измеримого множества $B$, принадлежащего $\sigma $-алгебре, порожденной случайными величинами $S_{1},\dots,S_{N}$, положим
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x}^{\uparrow}(B):=\frac{1}{V^{-}(x)}\mathbb{E}_{x}[ V^{-}(S_{N})I\{B\} ;\,L_{N}\geqslant 0].
\end{equation*}
\notag
$$
Для функции $\varphi (n)\to \infty $ при $n\to \infty $ введем условные математические ожидания
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_{n}(z,m,\varphi):=\mathbb{E}[H_{n};\,S_{n-m}\leqslant za_{m}\mid S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0], \qquad z\in (0,\infty), \\ I_{n}^{\ast}(z,m,\varphi):=\mathbb{E}[H_{n};\,S_{n-m}-S_{n}\leqslant za_{m}\mid S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0], \qquad z\in (-\infty,\infty). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. Пусть выполнены гипотезы A1 и A2, а $H_{1},H_{2},\dots$ – равномерно ограниченная последовательность случайных величин, согласованная с фильтрацией $\widetilde{\mathcal{F}}\,{=}\,\{\widetilde{\mathcal{F}}_{k},\,k\,{\in}\,\mathbb{N}\}$ и сходящаяся $\mathbb{P}_{0}^{\uparrow}$-п.н. к случайной величине $H_{\infty}$ при $n\to \infty $. Предположим, что параметр $m=m(n)$ стремится к бесконечности при $n\to \infty $ так, что $m=o(n)$. Тогда: 1) если $\varphi (n)=o(a_{m})$, то
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}I_{n}(z,m,\varphi)=A_{1}(z)\,\mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{\infty}] ;
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
2) если $\varphi (n)\sim Ta_{m},T\in (0,\infty)$, то
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}I_{n}(z,m,\varphi)=B(z,T)\,\mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{\infty}] ;
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
3) если $m\to \infty $ и $a_{m}=o(\varphi (n))$, то
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}I_{n}^{\ast}(z,m,\varphi)=\mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z) \,\mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{\infty}].
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Замечание 2. Теорема 2 обобщает лемму 4 из работы [27], в которой при $n\to\infty$ исследовалось поведение математического ожидания
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}[H_{n}\mid S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0].
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.13) мера
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x}^{+}(B):=\frac{1}{\widehat{V}^{-}(x)}\, \mathbb{E}_{x}[\widehat{V}^{-}(S_{N})I\{B\};\,L_{N}\geqslant 0],
\end{equation*}
\notag
$$
фигурирующая в пределе в указанной лемме, совпадает с введенной выше мерой $\mathbb{P}_{x}^{\uparrow}$. Доказательство теоремы 2. Докажем (5.1) для $(1;0)$-решетчатого случая. Для фиксированных $1\leqslant k<n$ и $z\in (0,\infty)$ рассмотрим величину
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{E}[H_{k};\,S_{n-m}\leqslant za_{m}\mid S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0] \\ &\qquad =\mathbb{E}\biggl[H_{k}\frac{\mathbb{P}_{S_{k}}(S_{n-m-k}' \leqslant za_{m},\,S_{n-k}'\leqslant \varphi (n),\,L_{n-k}'\geqslant 0)}{\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0)};L_{k}\geqslant 0\biggr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{S}'=\{S_{n}',\,n=0,1,2,\dots\} $ – вероятностная копия случайного блуждания $\mathcal{S}$, не зависящая от множества $\{S_{j},\,j=0,1,\dots,k\} $. Согласно следствиям 1, 2 и соотношению (2.21) существуют константы $C$, $C_{1}$, $C_{2}$ и $C_{3}$ такие, что для любого фиксированного $k$ и всех $n\geqslant k$ и $z>0$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\mathbb{P}_{x}(S_{n-m-k}'\leqslant za_{m},\,S_{n-k}'\leqslant \varphi (n),L_{n-k}'\geqslant 0)}{\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi(n),\,L_{n}\geqslant 0)} \\ &\qquad \leqslant \frac{\mathbb{P}_{x}(S_{n-k}'\leqslant \varphi(n),\,L_{n-k}'\geqslant 0)}{\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi(n),\,L_{n}\geqslant 0)} \leqslant \frac{C_{1}\,b_{n-k}\,V^{-}(x)\sum_{j=0}^{\varphi(n)}V^{+}(j)}{Cb_{n}\sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j)}\leqslant C_{3}V^{-}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, обращаясь к следствию 1, соотношению (3.4) и определению (2.19), мы видим, что для любых фиксированных $x\geqslant 0$ и $k\in \mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}_{x}(S_{n-m-k}'\leqslant za_{m},\,S_{n-k}'\leqslant \varphi (n),L_{n-k}'\geqslant 0)}{\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0)}=(1-\zeta )A_{1}(z)V^{-}(x).
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Ввиду соотношения (2.3)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb{E}[H_{k}V^{-}(S_{k});\,L_{k}\geqslant 0] &=\frac{1}{1-\zeta}\cdot \frac{1}{V^{-}(0)}\, \mathbb{E}[H_{k}V^{-}(S_{k});\,L_{k}\geqslant0] \\ &=\frac{1}{1-\zeta}\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{k}] <\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя теорему о мажорируемой сходимости и равенство (5.4), заключаем, что для любого фиксированного $k$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\mathbb{E} \biggl[H_{k}\frac{\mathbb{P}_{S_{k}}(S_{n-m-k}'\leqslant za_{m}, \,S_{n-k}'\leqslant \varphi(n),\,L_{n-k}'\geqslant 0)}{\mathbb{P}(S_{n-m}\leqslant za_{m}\,,S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0)};L_{k}\geqslant 0\biggr] \\ &\qquad =\mathbb{E}\biggl[H_{k}\cdot \lim_{n\to \infty} \frac{\mathbb{P}_{S_{k}}(S_{n-m-k}'\leqslant za_{m}, \,S_{n-k}'\leqslant \varphi (n),\,L_{n-k}'\geqslant 0)}{\mathbb{P}(S_{n-m}\leqslant za_{m}, \,S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0)};L_{k}\geqslant 0\biggr] \\ &\qquad =A_{1}(z)\frac{1}{V^{-}(0)}\, \mathbb{E}[H_{k}V^{-}(S_{k});\,L_{k}\geqslant 0] =A_{1}(z)\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{k}]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы избежать громоздких формул в дальнейших рассуждениях, введем при $\lambda \geqslant 1$ обозначение
$$
\begin{equation*}
\Psi (\lambda n,\lambda m,z,\varphi) :=\{S_{\lambda (n-m)}\leqslant z,\,S_{\lambda n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n\lambda}\geqslant 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.21) для каждого $\lambda >1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\mathbb{E}[(H_{n}-H_{k}) ;\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi) ] | \leqslant \mathbb{E}[|H_{n}-H_{k}|;\,S_{\lambda n}\leqslant \varphi (n),L_{n\lambda}\geqslant 0] \\ &\qquad =\mathbb{E}[|H_{n}-H_{k}| \mathbb{P}_{S_{n}}(S_{(\lambda -1)n}' \leqslant \varphi (n),\,L_{n(\lambda -1)}'\geqslant 0);\,L_{n}\geqslant 0] \\ &\qquad \leqslant Cb_{n(\lambda -1)}\sum_{z=0}^{\varphi (n)}V^{+}(z)\cdot \mathbb{E}[|H_{n}-H_{k}|V^{-}(S_{n}),\,L_{n}\geqslant 0] \\ &\qquad =Cb_{n(\lambda -1)}\sum_{z=0}^{\varphi (n)}V^{+}(z)\cdot \frac{1}{1-\zeta}\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[|H_{n}-H_{k}|]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, опираясь на следствие 1 и соотношение $a_{\lambda m}\sim \lambda^{1/\alpha}a_{m}$, справедливое при $m\to \infty $, заключаем, что при $m,n\to \infty $ и $m=o(n)$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi) ) \sim A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha})\, \mathbb{P}(S_{n\lambda}\leqslant \varphi (n),\,L_{n\lambda}\geqslant 0).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя (2.19) и (3.3) с $x_{N}=0$, выводим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{|\mathbb{E}[(H_{n}-H_{k});\,\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi) ] |}{\mathbb{P}( \Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi))} \\ &\qquad \leqslant C\mathbb{E}^{\uparrow}[| H_{n}-H_{k}|]\, \frac{b_{n(\lambda -1)}\sum_{z=0}^{\varphi (n)}V^{+}(z)}{C_{1}\,b_{n\lambda}\,\sum_{z=0}^{\varphi (n)}V^{+}(z)} \leqslant C_{2}\biggl(\frac{\lambda}{\lambda -1}\biggr) ^{1+1/\alpha}\mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[|H_{n}-H_{k}|]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя сначала $n$, а потом и $k$ к бесконечности и применяя теорему о мажорируемой сходимости, мы видим, что для каждого $\lambda >1$ правая часть предыдущего соотношения стремится к нулю.
Опираясь на этот результат, мы приходим к цепочке равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\mathbb{E}[H_{n}\mid \Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi) ] \\ &\qquad =\lim_{k\to \infty}\lim_{n\to \infty }\frac{\mathbb{E}[(H_{n}-H_{k}) ;\,\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi) ]}{\mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi))} \\ &\qquad \qquad +\lim_{k\to \infty}\lim_{n\to \infty }\frac{\mathbb{E}[H_{k};\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi ) ]}{\mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi))} \\ &\qquad =\lim_{k\to \infty}A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha })\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{k}] =A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha })\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{\infty}], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которую будет удобно переписать следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{E}[H_{n};\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi ) ] \\ &\qquad=(A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha})\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[ H_{\infty}] +o(1)) \, \mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предполагая без потери общности, что $H_{\infty}>0$ и $A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha}) \, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{\infty}] \leqslant 1$, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl|\mathbb{E}[H_{n};\Psi (n,m,za_{m},\varphi) ] -A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha})\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{\infty }] \, \mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi)) \bigr| \\ &\qquad \leqslant \bigl|\mathbb{E}[H_{n};\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi) ] -A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha})\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{\infty}] \, \mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi)) \bigr| \\ &\qquad\qquad +\bigl|\mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi)) -\mathbb{P}(\Psi (n,m,za_{m},\varphi)) \bigr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы уже доказали, что первая разность в правой части этого неравенства имеет порядок
$$
\begin{equation*}
o(\mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi)))
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty $, и, следовательно, порядок $o(\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\, L_{n}\geqslant 0)) $, так как
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}(S_{n\lambda}\leqslant \varphi (n),\,L_{n\lambda}\geqslant 0)}{\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0)}=\lim_{n\to \infty}\frac{b_{n\lambda }}{b_{n}}=\lambda^{1+1/\alpha}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
ввиду (3.3) и (2.19).
Далее, вспоминая еще раз соотношение (3.3), следствие 1 и определение (2.19), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl|\mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi)) -\mathbb{P}(\Psi (n,m,za_{m},\varphi)) \bigr| \\ &\qquad\leqslant \biggl|\mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi)) -g(0)A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha })b_{n\lambda}\sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j)\biggr| \\ &\qquad\qquad+\biggl|\mathbb{P}(\Psi (n,m,za_{m},\varphi)) -g(0)A_{1}(z)b_{n}\sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j)\biggr| \\ &\qquad\qquad+g(0)\bigl|A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha})b_{n\lambda}-A_{1}(z)b_{n}\bigr| \sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j) \\ &\qquad=o\biggl(b_{n}\sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j)\biggr) +g(0)b_{n}A_{1}(z) \biggl|\frac{A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha})b_{n\lambda }}{A_{1}(z)b_{n}}-1\biggr| \sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, устремляя $\lambda$ к единице, используя (5.5) и непрерывность функции $A_{1}(z)$, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{\lambda \downarrow 1}\lim_{n\to \infty}\frac{| \mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi) ) -\mathbb{P}(\Psi (n,m,za_{m},\varphi)) |}{b_{n}\sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j)}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Объединение полученных оценок, доказывает утверждение (5.1) для $(1;0)$-решетчатого случая.
Для доказательства соотношения (5.2) для $(1;0)$-решетчатого случая нужно повторить почти дословно аргументы, приведенные при проверке справедливости (5.1), заменяя ссылку на следствие 1 ссылкой на следствие 2.
Для проверки справедливости соотношения (5.3) для $(1;0)$-решетчатого случая нужно повторить почти дословно аргументы, приведенные при доказательстве (5.1), заменяя ссылку на следствие 1 ссылкой на следствие 3.
Для доказательства утверждения (5.1) в абсолютно непрерывном случае необходимо заменить в приведенных выше рассуждения выражение $\sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j)$ на $\displaystyle\int_{0}^{\varphi (n)}V^{+}(w)\,dw$ и использовать лемму 8. Аналогичные аргументы позволяют проверить и соотношения (5.2) и (5.3) для случая абсолютно непрерывного распределения случайной величины $X_{1}$.
Теорема 2 доказана.
§ 6. Ветвящиеся процессы в случайной среде В этом параграфе мы применим результаты, полученные для случайных блужданий, к исследованию размера популяции критических ветвящихся процессов, эволюционирующих в неблагоприятной случайной среде. Для описания рассматриваемой модели и детальной постановки задач, которые мы намерены решать, введем пространство $\mathcal{M}$ $=\{\mathfrak{f}\} $ всех вероятностных мер на множестве $\mathbb{N}_{0}$. Для упрощения обозначений будем отождествлять меру $\mathfrak{f}=\{\mathfrak{f}(\{0\}),\mathfrak{f}(\{ 1\}),\dots\} \in \mathcal{M}$ с соответствующей вероятностной производящей функцией
$$
\begin{equation*}
f(s)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathfrak{f}(\{k\})s^{k}, \qquad s\in [0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
и не будем делать различия между $\mathfrak{f}$ и $f$. Оснащенное метрикой, индуцируемой расстоянием по вариации между распределениями, пространство $\mathcal{M}$ $=\{\mathfrak{f}\} =\{f\} $ превращается в польское пространство. Пусть
$$
\begin{equation*}
F(s)=\sum_{j=0}^{\infty}F(\{j\}) s^{j}, \qquad s\in [0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
– случайная величина, принимающая значения в пространстве $\mathcal{M}$, а
$$
\begin{equation*}
F_{n}(s)=\sum_{j=0}^{\infty}F_{n}(\{j\}) s^{j}, \qquad s\in [0,1], \quad n\in \mathbb{N}:=\mathbb{N}_{0}\setminus \{0\},
\end{equation*}
\notag
$$
– последовательность независимых вероятностных копий случайной величины $F$. Бесконечная последовательность $\mathcal{E}=\{F_{n},\,n\in \mathbb{N}\} $ называется случайной средой. Последовательность неотрицательных целочисленных случайных величин $\mathcal{Z}=\{Z_{n},\,n\in \mathbb{N}_{0}\} $, заданных на некотором вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, называется ветвящимся процессом в случайной среде (ВПСС), если $Z_{0}$ не зависит от $\mathcal{E}$ и при фиксации среды $\mathcal{E}$ процесс $\mathcal{Z}$ является марковской цепью
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}\bigl(Z_{n}\bigm| Z_{n-1}=z_{n-1},\, \mathcal{E}=(f_{1},f_{2},\dots)\bigr) =\mathcal{L}(\xi_{n1}+\dots +\xi_{ny_{n-1}})
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $n\in \mathbb{N}$, $z_{n-1}\in \mathbb{N}_{0}$ и $f_{1},f_{2},\ldots\in \mathcal{M}$, где $\xi_{n1},\xi_{n2},\dots $ – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с распределением $f_{n}$. Таким образом, $Z_{n-1}$ – это размер $(n-1)$-го поколения ветвящегося процесса, а $f_{n}$ – распределение числа потомков каждой частицы $(n-1) $-го поколения. Последовательность
$$
\begin{equation*}
S_{0}=0, \qquad S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}, \quad n\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $X_{i}=\log F_{i}'(1)$, $i=1,2,\dots$, называется сопровождающим случайным блужданием для процесса $\mathcal{Z}$. Напомним, что согласно общепринятой ныне классификации, введенной в работе [1], ВПСС $\mathcal{Z}$ называется: надкритическим, если $\lim_{n\to\infty}S_n=+\infty$ почти наверное; докритическим, если $\lim_{n\to\infty}S_n=-\infty$ почти наверное; критическим, если $\limsup_{n\to\infty}S_n=+\infty$ почти наверное и $\liminf_{n\to\infty}S_n=-\infty$ почти наверное; вырожденным критическим, если $X_{i}=0$, $i=1,2,\dots$, почти наверное. В данном параграфе мы накладываем следующие ограничения на свойства анализируемого ВПСС. Условие B1. Шаг сопровождающего случайного блуждания удовлетворяет условиям A1 и A2. Согласно приведенной выше классификации условие B1 влечет критичность рассматриваемого ВПСС. Наше второе условие для свойств случайной среды касается законов размножения частиц. Пусть
$$
\begin{equation*}
\gamma (b)=\frac{\sum_{k=b}^{\infty}k^{2}F(\{k\}) }{\bigl(\sum_{i=0}^{\infty}iF(\{i\})\bigr)^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Условие B2. Существуют такие числа $\varepsilon >0$ и $b\in\mathbb{N}$, что
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}[(\log^{+}\gamma (b))^{\alpha +\varepsilon}]<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\log^{+}x=\log (\max (x,1))$. Известно (см. [1; теорема 1.1 и следствие 1.2]), что если выполнены условия B1, B2, то существуют такие константа $\theta \in (0,\infty)$ и последовательность $l(1),l(2),\dots$, медленно меняющаяся на бесконечности, что при $n\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}(Z_{n}>0) \sim \theta n^{-(1-\rho)}l(n)
\end{equation*}
\notag
$$
и для любых $t\in [0,1] $ и $x\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\mathbb{P}\biggl(\frac{\log Z_{[nt] }}{a_{n}}\leqslant x\biggm| Z_{n}>0\biggr) =\lim_{n\to \infty}\mathbb{P}\biggl(\frac{S_{[nt]}}{a_{n}}\leqslant x\biggm| Z_{n}>0\biggr) =\mathbf{P}(Y_{t}^{+}\leqslant x),
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где $\mathcal{Y}^{+}=\{Y_{t}^{+},\,0\leqslant t\leqslant1\} $ обозначает извилину строго устойчивого процесса $\mathcal{Y}$ индекса $\alpha $. Таким образом, если ВПСС является критическим, то при условии, что $Z_{n}>0$, случайные величины $\log Z_{[nt]}$, $t\in (0,1]$, и $S_{n}$ (значение сопровождающего случайного блуждания, обеспечивающего выживание популяции к моменту времени $n$) растут как $a_{n}$, умноженное на случайные сомножители. Эти результаты были дополнены в [28] анализом распределений соответствующим образом нормированных случайных величин $\log Z_{[nt]}$, $t\in (0,1]$, рассматриваемых при условии, что $Z_{n}>0$ и $S_{n}\leqslant \varphi (n)$, где $\varphi (n)\to \infty $ при $n\to \infty$ так, что $\varphi (n)=o(a_{n})$. В этом случае ввиду (6.1) событие $\{S_{n}\leqslant \varphi(n)\} $ можно трактовать как неблагоприятное для развития критического ветвящегося процесса в случайной среде, рассматриваемого при условии его невырождения к далекому моменту времени. Введем обозначение
$$
\begin{equation*}
A_{\mathrm{u.s}}:=\{Z_{n}>0\text{ при всех }n>0\}
\end{equation*}
\notag
$$
для события, обозначающего невырождение процесса за все время его существования, и положим
$$
\begin{equation*}
\tau_n:= \min\{k\geqslant 0\colon S_k=\min(0,L_n)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что в силу [27; теорема 1], если выполнены условия B1 и B2, а распределение приращений сопровождающего случайного блуждания абсолютно непрерывно и $\varphi(n)=o(a_{n})$, то при $n\to \infty $
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0) \sim \Theta \, \mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}>0) \sim \frac{\Theta}{na_{n}}\int_{0}^{\varphi (n)}V^{+}(w)\,dw,
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Theta =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(Z_{j}=k,\,\tau _{j}=j)\, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k) \in (0,\infty).
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Аналогичная асимптотика имеет место и для $(1;0)$-решетчатого случая при замене $\displaystyle\int_{0}^{\varphi (n)}V^{+}(w)\,dw$ на $\sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j)$. Наряду с асимптотическим поведением вероятности невырождения критического ВПСС в следующей теореме описана скорость роста размера популяции в логарифмической шкале. Теорема 3 (см. [28]). Пусть выполнены условия B1 и B2. Если $\varphi (n)\to \infty $ при $n\to \infty $ так, что $\varphi (n)=o(a_{n})$, то для любого $y\in (0,1]$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\mathbb{P}\biggl(\frac{1}{\varphi (n)}\log Z_{n}\leqslant y\biggm| S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0\biggr) =y^{\alpha \rho +1}
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
и для любых $t\in (0,1) $ и $x\in [0,\infty)$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\mathbb{P}\biggl(\frac{1}{a_{n}}\log Z_{[ nt]}\leqslant x\biggm| S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0\biggr) =\mathbf{P}( Y_{t}^{++}\leqslant x),
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
где $\mathcal{Y}^{++}=\{Y_{t}^{++},\,0\leqslant t\leqslant1\} $ – экскурсия строго устойчивого процесса $\mathcal{Y}$ индекса $\alpha $. Имеется существенная разница между порядками нормировок в соотношениях (6.4) и (6.5), показывающая, что должен существовать фазовый переход скорости роста размера популяции в случае, когда мы рассматриваем процесс внутри интервала $[n-m,n)$, $m=o(n)$, $m\to \infty $. Такой переход действительно имеет место, и целью этого параграфа является доказательство того, что при нормировке случайных величин $\log Z_{n-m}$ величинами $a_{m}$ возникают три различных предельных распределения. Вид этих распределений зависит от того, какое из следующих трех условий выполнено при $\min (n-m,m)\to \infty $: функция $\phi(n)$ имеет порядок $o(m)$; функция $\phi (n)$ пропорциональна $m$; $m=o(\phi (n))$. Наш основной результат выглядит следующим образом. Напомним, что в решетчатом случае мы условились для простоты изложения ограничиться анализом $(1;0)$-решетчатого случая. Теорема 4. Пусть выполнены условия B1 и B2, $\min (m,n)\to \infty $ и $m=o(n)$. Тогда: 1) если $\varphi (n)\to \infty $ при $n\to \infty $ так, что $\varphi (n)=o(a_{m})$, то для любого $z\in (0,\infty)$
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\mathbb{P} \biggl(\frac{1}{a_{m}}\log Z_{n-m}\leqslant z\biggm| S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0\biggr) =A_{1}(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $A_{1}(z)$ определено в (3.1); 2) если $\varphi (n)\to \infty $ при $n\to \infty $ так, что $\varphi (n)\sim Ta_{m}$, $T\in (0,\infty)$, то для любого $z\in [0,\infty)$
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\mathbb{P}\biggl(\frac{1}{a_{m}}\log Z_{n-m}\leqslant z\biggm| S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0\biggr) =B(z,T),
\end{equation*}
\notag
$$
где $B(z,T)$ определено в (3.12); 3) если $m=o(\varphi (n))$, $\varphi (n)=o(a_{n})$, то для любого $z\in [0,\infty)$
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\mathbb{P}\biggl(\frac{1}{a_{m}}(\log Z_{n-m}-S_{n}) \leqslant z\biggm| S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0\biggr) =\mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Для целых $0\leqslant r\leqslant n$ рассмотрим нормированный процесс размера популяции $\mathcal{X}^{r,n}=\{X_{t}^{r,n},\,0\leqslant t\leqslant 1\} $, задаваемый соотношением
$$
\begin{equation*}
X_{t}^{r,n}=e^{-S_{r+[(n-r)t]}}Z_{r+[(n-r)t]}, \qquad 0\leqslant t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
В [28; теорема 1] было показано, что если $r_{1},r_{2},\dots$ – такая последовательность натуральных чисел, что $r_{n}\leqslant n$, $r_{n}\to \infty $ и $\varphi (n)\to \infty $ при $n\to \infty $ так, что $\varphi (n)=o(a_{n})$, то при $n\to \infty $
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}\{X_{t}^{r_{n},n},\,0\leqslant t\leqslant 1\mid S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0\} \quad \Longrightarrow\quad \mathcal{L}\{W_{t},\,0\leqslant t\leqslant1\},
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
где $W_{t},0\leqslant t\leqslant 1$, – случайный процесс с почти наверное постоянными траекториями, т.е.
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(W_{t}=W\text{ при всех }t\in (0,1]) =1
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой случайной величины $W$. Более того,
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}(0<W<\infty) =1.
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat{Z}(k)=e^{-S_{k}}Z_{k}, \qquad k=0,1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть для краткости
$$
\begin{equation}
R_{n}(x):=\{S_{n}\leqslant x,\,Z_{n}>0\}, \qquad Q_{n}(x):=\{S_{n}\leqslant x,\,L_{n}\geqslant 0\}.
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Из соотношения (6.6) следует, что если $\min (m,n)\to \infty $ и $m=o(n)$, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\mathbb{P}\bigl(\widehat{Z}(n-m)\leqslant x\bigm| R_{n}(\varphi(n))\bigr) =\mathbf{P}(W\leqslant x)
\end{equation*}
\notag
$$
для любой точки непрерывности $x\in (0,\infty)$ распределения случайной величины $W$. Используя (6.7), получаем, что для любого $\varepsilon >0$ существует $M=M(m,n)$ такое, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}\bigl(\widehat{Z}(n-m)\in (M^{-1},M)\bigm| R_{n}(\varphi (n))\bigr) \geqslant 1-\varepsilon
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
для всех $m\geqslant m_{0}$ и $n-m\geqslant n_{0}$. Для $z\in (0,\infty)$ запишем соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}\bigl(\log Z_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n))\bigr) \notag \\ &\qquad=\mathbb{P}\bigl(\log \widehat{Z}_{n-m}+S_{n-m}\leqslant za_{m},\,\widehat{Z}_{n-m}\in (M^{-1},M),\,R_{n}(\varphi (n))\bigr) \notag \\ &\qquad\qquad +\mathbb{P}\bigl(\log Z_{n-m}\leqslant za_{m},\,\widehat{Z}_{n}\notin (M^{-1},M),\,R_{n}(\varphi (n))\bigr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
и исследуем отдельно асимптотическое поведение слагаемых в правой части этого равенства при $\min(m,n)\to \infty $, $m=o(n)$. Ввиду (6.9) нам достаточно проанализировать величину
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{\min (m,n-m)\to \infty}\frac{\mathbb{P}(\log \widehat{Z}_{n-m}+S_{n-m}\leqslant za_{m},\,\widehat{Z}_{n-m}\in (M^{-1},M),\,R_{n}(\varphi (n)))}{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)))} \\ &\qquad\qquad \leqslant \lim_{\min (m,n-m)\to \infty}\frac{\mathbb{P}(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)))}{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)))}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем $J\in [1,n]$ и запишем представление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}\bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n))\bigr) \\ &\qquad=\mathbb{P}\bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}>J\bigr) +\mathbb{P}\bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}\leqslant J\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [27; лемма 5]
$$
\begin{equation*}
\lim_{J\to \infty}\limsup_{n\to \infty }\frac{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}>J)}{\mathbb{P}(Q_{n}(\varphi (n)))}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя этот результат и вспоминая (6.2), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{J\to \infty}\limsup_{n\to \infty} \frac{\mathbb{P}(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}>J)}{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)))} \\ &\qquad \leqslant \lim_{J\to \infty}\limsup_{n\to \infty} \frac{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}>J)}{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)))}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для фиксированного $j\in [1,J]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}\bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau _{n}=j, \,S_{j}\leqslant -\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr) \\ &\qquad \leqslant \mathbb{P}\bigl(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{j}>0,\,\tau_{n}=j, \,S_{j}\leqslant -\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr) \\ &\qquad =\mathbb{E}\bigl[\mathbb{P}(Z_{j}>0\mid \mathcal{E}),\,S_{n}\leqslant \varphi (n); \,\tau_{n}=j, \,S_{j}\leqslant -\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr] \\ &\qquad \leqslant \mathbb{E}\bigl[e^{S_{j}},\,S_{n}\leqslant \varphi (n),\,\tau_{n}=j; \,S_{j}\leqslant -\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr] =o(\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее равенство было установлено в [28; лемма 5]. Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P} \bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}=j,\,Z_{j}>K,\,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr) \\ &\qquad \leqslant \mathbb{P}\bigl(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,\tau_{n}=j, \,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)},\,Z_{j}>K\bigr) \\ &\qquad =\mathbb{P}\bigl(S_{n}-S_{j}\leqslant \varphi (n)-S_{j},\,\tau_{n}=j, \,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)},\,Z_{j}>K\bigr) \\ &\qquad \leqslant \mathbb{P}\bigl(S_{n}-S_{j}\leqslant \varphi (n)+\sqrt{\varphi(n)}, \,\tau_{n}=j,\,Z_{j}>K\bigr) \\ &\qquad =\mathbb{P}(\tau_{j}=j,\,Z_{j}>K)\, \mathbb{P}\bigl(S_{n-j}\leqslant \varphi (n)+\sqrt{\varphi (n)},\,L_{n-j}\geqslant 0\bigr) \\ &\qquad \leqslant \delta (K) \mathbb{P}\bigl(S_{n-j}\leqslant \varphi(n)+\sqrt{\varphi (n)},\,L_{n-j}\geqslant 0\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где на последнем шаге мы использовали оценку
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}(\tau_{j}=j,\,Z_{j}>K) \leqslant \mathbb{P}(Z_{j}>K) =\delta (K)\to 0
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
при $K\to \infty $.
Начиная с этого момента и вплоть до конца доказательства мы предполагаем, что распределение случайной величины $X_{1}$ абсолютно непрерывно. Для доказательства требуемых утверждений в случае решетчатого распределения случайной величины $X_{1}$ необходимо всюду ниже заменить знак $\displaystyle\int $ на знак $\sum $.
Рассмотрим правую часть равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}\bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},R_{n}(\varphi (n)), \,\tau_{n}=j,\,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)},\,Z_{j}\leqslant K\bigr) \\ &\qquad =\int_{-\sqrt{\varphi (n)}}^{0}\sum_{k=1}^{K} \mathbb{P}(S_{j}\in dq,\,Z_{j}=k,\,\tau_{j}=j) \\ &\qquad\qquad \times \mathbb{E}\bigl[\mathbb{P}(Z_{n-j}>0\mid \mathcal{E},\,Z_{0}=k) ; \,S_{n-m-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}(\varphi (n)-q)\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что в силу монотонности вероятности невырождения для любого $k\in \mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
H_{n-j}(k):=\mathbb{P}(Z_{n-j}>0\mid \mathcal{E},\,Z_{0}=k)\to\mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid \mathcal{E},\,Z_{0}=k)=:H_{\infty}(k)
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
$\mathbb{P}^{\uparrow}$-п.н. при $n-j\to \infty $. Более того, $H_{\infty}(k) >0$ $\mathbb{P}^{\uparrow}$-п.н. согласно [ 1; утверждение 3.1]. Далее, для $q\in (-\sqrt{\varphi (n)},0]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{E}\bigl[H_{n-j}(k);\,S_{n-m-j}\leqslant za_{m}, \,Q_{n-j}\bigl(\varphi(n)+\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr)\bigr] \\ &\qquad \geqslant \mathbb{E}\bigl[H_{n-j}(k); \,S_{n-m-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}(\varphi (n)-q)\bigr] \\ &\qquad \geqslant \mathbb{E}\bigl[H_{n-j}(k); \,S_{n-m-j,n-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}(\varphi (n))\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме 2 при $n\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{E}\bigl[H_{n-j}(k);\,S_{n-m-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}(\varphi(n))\bigr] \\ &\qquad \sim \mathbb{P}\bigl(S_{n-m-j,n-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}(\varphi(n))\bigr)\, \mathbb{E}^{\uparrow}[H_{\infty}(k)] \\ &\qquad =\mathbb{P}\bigl(S_{n-m-j,n-j}\leqslant za_{m}\bigm| Q_{n-j}(\varphi(n))\bigr) \, \mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n))) \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k) \\ &\mathbb{E}\bigl[ H_{n-j}(k);\,S_{n-m-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}\bigl(\varphi(n)+\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr)\bigr] \\ &\qquad \sim \mathbb{P}\bigl(S_{n-m-j,n-j}\leqslant za_{m}, \,Q_{n-j}\bigl(\varphi(n)+\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr)\bigr) \, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k) \\ &\qquad =\mathbb{P}\bigl(S_{n-m-j,n-j}\leqslant za_{m}\bigm| Q_{n-j}\bigl(\varphi(n)+\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr)\bigr) \\ &\qquad \qquad \times \mathbb{P}\bigl(Q_{n-j} \bigl(\varphi (n)+\sqrt{\varphi(n)}\,\bigr)\bigr)\, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу свойств правильно меняющихся функций, второй эквивалентности в (6.2) и асимптотической эквивалентности
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\varphi (n)}V^{+}(w)\,dw \sim \frac{1}{\alpha \rho +1}\varphi(n)V^{+}(\varphi (n))
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty $, которая следует из (2.4), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &\leqslant \lim_{n\to \infty}\sup_{-\sqrt{\varphi (n)}\leqslant q\leqslant0} \frac{\mathbb{P}(S_{n-j}\leqslant \varphi (n)-q,\,L_{n-j}\geqslant 0) }{\mathbb{P}(S_{n-j}\leqslant \varphi (n),\,L_{n-j}\geqslant 0)} \\ &= \lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}\bigl(S_{n-j}\leqslant \varphi(n)+\sqrt{\varphi (n)}, \,L_{n-j}\geqslant 0\bigr)}{\mathbb{P}(S_{n-j}\leqslant\varphi (n),\,L_{n-j}\geqslant 0)}=1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта оценка, объединенная с (6.8), показывает, что для всех $n\geqslant j$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{-\sqrt{\varphi (n)}\leqslant q\leqslant 0}\frac{\mathbb{E}[ H_{n-j}(k);\,S_{n-m-j}\leqslant za_{m};\,Q_{n-j}(\varphi (n)-q)] }{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} \\ &\quad \leqslant \sup_{-\sqrt{\varphi (n)}\leqslant q\leqslant 0}\frac{\mathbb{P}( Q_{n-j}(\varphi (n)-q))}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} =\frac{\mathbb{P}\bigl(S_{n-j}\leqslant \varphi (n)+\sqrt{\varphi (n)},\,L_{n-j}\geqslant 0\bigr)}{\mathbb{P}(S_{n-j}\leqslant \varphi (n),\,L_{n-j}\geqslant 0)}\leqslant C. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы отдельно рассмотрим случаи $\varphi (n)=o(a_{m})$, $\varphi (n)\sim Ta_{m}$ и $a_{m}=o(\varphi (n))$.
1) Допустим, что $\varphi (n)=o(a_{m})$. В этом случае, полагая $H_{n}:=\mathbb{P}(Z_{n-j}>0\mid \mathcal{E}, Z_{0}=k)$ в (5.1) и вспоминая (6.12), получаем, что для каждого $q\in [-\sqrt{\varphi (n)},0] $
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{E}[H_{n-j}(k);\,S_{n-m-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}(\varphi (n)-q)]}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi(n)))} \\ &\qquad=A_{1}(z)\, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k) \lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)-q))}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} =A_{1}(z)\, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $j\in \mathbb{N}_{0}$ и $K\in \mathbb{N}\cup\{\infty \} $ положим
$$
\begin{equation*}
\Theta_{j}(K):=\sum_{k=1}^{K}\mathbb{P}(Z_{j}=k,\,\tau_{j}=j)\, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\Theta_{j}(\infty)\leqslant \mathbb{P}(\tau_{j}=j) $.
Применяя теорему о мажорируемой сходимости, заключаем, что для фиксированного $K<\infty $
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}\bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}=j, \,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)},\,Z_{j}\leqslant K\bigr)}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} \\ &\qquad =\lim_{n\to \infty}\int_{-\sqrt{\varphi(n)}}^{0} \sum_{k=1}^{K}\mathbb{P}(S_{j}\in dq,\,Z_{j}=k,\,\tau_{j}=j) \\ &\qquad \qquad \times \frac{\mathbb{E}[H_{n-j}(k);\,S_{n-m-j}\leqslant za_{m}, \,Q_{n-j}(\varphi (n)-q)]}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} \\ &\qquad =A_{1}(z)\int_{-\infty}^{0}\sum_{k=1}^{K} \mathbb{P}(S_{j}\in dq,\,Z_{j}=k,\,\tau_{j}=j) \, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k) \\ &\qquad =A_{1}(z)\Theta_{j}(K). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя полученные оценки и устремляя $K$ к бесконечности, получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}=j)}{\mathbb{P}( Q_{n-j}(\varphi (n)))}=A_{1}(z)\Theta_{j}(\infty),
\end{equation*}
\notag
$$
или, в силу (6.2),
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}(S_{n-m}\leqslant za_{m}, \,S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0,\,\tau_{n}=j)} {\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0)}=A_{1}(z)\frac{\Theta_{j}(\infty)}{\Theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя это равенство по $j$ и принимая во внимание определение величины $\Theta $ в (6.3), имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}(\log Z_{n-m}\leqslant za_{m}, \,S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0)}{\mathbb{P}(S_{n}\leqslant\varphi (n),\,Z_{n}>0)}=A_{1}(z),
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось.
2) Предположим теперь, что $\varphi (n)\sim Ta_{m}$, $T\in (0,\infty)$. Используя (5.2) и применяя теорему о мажорируемой сходимости, мы видим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}\bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)), \,\tau_{n}=j,\,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)},\,Z_{j}\leqslant K\bigr)}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} \\ &\qquad =\lim_{n\to \infty}\int_{-\sqrt{\varphi(n)}}^{0} \sum_{k=1}^{K}\mathbb{P}(S_{j}\in dq,\,Z_{j}=k,\,\tau_{j}=j) \\ &\qquad \qquad \times \frac{\mathbb{E}[H_{n-j}(k); \,S_{n-m-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}(\varphi (n)-q)]}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} \\ &\qquad =B(z,T)\int_{-\infty}^{0}\sum_{k=1}^{K}\mathbb{P} (S_{j}\in dq,\,Z_{j}=k,\,\tau_{j}=j) \, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k) \\ &\qquad =B(z,T)\Theta_{j}(K). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя $K$ к бесконечности, суммируя полученное соотношение по $j$ и принимая во внимание (6.2) и определение величины $\Theta $, имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}(\log Z_{n-m}\leqslant za_{m}, \,S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0)}{\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0)}=B(z,T),
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось.
3) Рассмотрим, наконец, случай, когда $m=m(n)\to \infty $ и $a_{m}=o(\varphi (n))$ при $n\to \infty $. Введем обозначение $S_{n-m,n}:=S_{n-m}-S_{n}$ и для $z\in (-\infty,\infty)$ запишем равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}\bigl(\log Z_{n-m}-S_{n}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n))\bigr) \\ &\qquad =\mathbb{P}\bigl(\log \widehat{Z}_{n-m}+S_{n-m,n}\leqslant za_{m},\,\widehat{Z}_{n-m}\in (M^{-1},M),\,R_{n}(\varphi (n))\bigr) \\ &\qquad\qquad +\mathbb{P}\bigl(\log Z_{n-m}-S_{n}\leqslant za_{m},\,\widehat{Z}_{n}\notin (M^{-1},M),\,R_{n}(\varphi (n))\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Несложно проверить, что если во всех соотношениях, находящихся между формулами (6.10) и (6.11), мы заменим $S_{n-m}$ на $S_{n-m,n}$ и $S_{n-m-j}$ на $S_{n-m-j,n-j}$, то все оценки, стоящие между (6.10) и (6.11), останутся справедливыми. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\lim_{J\to \infty}\lim_{n\to \infty} \frac{\mathbb{P}(\log Z_{n-m}-S_{n}\leqslant za_{m}, \,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}>J)}{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)))}=0
\end{equation*}
\notag
$$
и для каждого фиксированного $j\in [0,J]$
$$
\begin{equation*}
\lim_{K\to \infty}\lim_{n\to \infty} \frac{\mathbb{P}\bigl(\log Z_{n-m}\,{-}\,S_{n}\,{\leqslant}\, za_{m}, \,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}\,{=}\,j,\,Z_{j}\,{>}\,K, \,S_{j}\,{>}\,{-}\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr)}{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)))}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (5.3) и применяя теорему о мажорируемой сходимости, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}\bigl(S_{n-m,n}\leqslant za_{m}, \,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}=j,\,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)}, \,Z_{j}\leqslant K\bigr)}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} \\ &\qquad =\mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z) \Theta_{j}(K). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя приведенные выше оценки и устремляя $K$ к бесконечности, мы видим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty} \frac{\mathbb{P}\bigl(S_{n-m,n}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)), \,\tau_{n}=j,\,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr) }{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} \\ &\qquad =\mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z) \Theta_{j}(\infty). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя полученные равенства по $j$, учитывая (6.2) и определение величины $\Theta $, приходим к соотношению
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}(\log Z_{n-m}-S_{n}\leqslant za_{m}, \,S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0)}{\mathbb{P} (S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0)}=\mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4 доказана. Благодарность Авторы выражают благодарность рецензенту, замечания которого позволили улучшить представление изложенных в статье результатов.
|
|
|
Список литературы
|
|
|
1. |
V. I. Afanasyev, J. Geiger, G. Kersting, V. A. Vatutin, “Criticality for branching processes in random environment”, Ann. Probab., 33:2 (2005), 645–673 |
2. |
В. И. Афанасьев, “Принцип инвариантности для критического процесса Гальтона–Ватсона, достигающего высокого уровня”, Теория вероятн. и ее примен., 55:4 (2010), 625–643 ; англ. пер.: V. I. Afanasyev, “Invariance principle for a critical Galton–Watson process attaining a high level”, Theory Probab. Appl., 55:4 (2011), 559–574 |
3. |
V. I. Afanasyev, C. Böinghoff, G. Kersting, V. A. Vatutin, “Limit theorems for weakly subcritical branching processes in random environment”, J. Theoret. Probab., 25:3 (2012), 703–732 |
4. |
J. Bertoin, R. A. Doney, “On conditioning a random walk to stay nonnegative”, Ann. Probab., 22:4 (1994), 2152–2167 |
5. |
N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular variation, Encyclopedia Math. Appl., 27, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987, xx+491 pp. |
6. |
E. Bolthausen, “On a functional central limit theorem for random walks conditioned to stay positive”, Ann. Probab., 4:3 (1976), 480–485 |
7. |
A. Bryn-Jones, R. A. Doney, “A functional limit theorem for random walk conditioned to stay non-negative”, J. London Math. Soc. (2), 74:1 (2006), 244–258 |
8. |
L. Chaumont, “Excursion normalisée, méandre at pont pour les processus de Lévy stables”, Bull. Sci. Math., 121:5 (1997), 377–403 |
9. |
F. Caravenna, “A local limit theorem for random walks conditioned to stay positive”, Probab. Theory Related Fields, 133:4 (2005), 508–530 |
10. |
F. Caravenna, L. Chaumont, “Invariance principles for random walks conditioned to stay positive”, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat., 44:1 (2008), 170–190 |
11. |
F. Caravenna, L. Chaumont, “An invariance principle for random walk bridges conditioned to stay positive”, Electron. J. Probab., 18 (2013), 60, 32 pp. |
12. |
L. Chaumont, R. A. Doney, “Invariance principles for local times at the maximum of random walks and Lévy processes”, Ann. Probab., 38:4 (2010), 1368–1389 |
13. |
F. den Hollander, Random polymers, École d'Été de Probabilités de Saint-Flour XXXVII – 2007, Lecture Notes in Math., 1974, Springer-Verlag, Berlin, 2009, xiv+258 pp. |
14. |
R. A. Doney, “Local behaviour of first passage probabilities”, Probab. Theory Related Fields, 152:3-4 (2012), 559–588 |
15. |
В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2, Мир, М., 1967, 752 с. ; пер. с англ.: W. Feller, An introduction to probability theory and its applications, т. 2, John Wiley & Sons, Inc., New York–London–Sydney, 1966, xviii+626 с. |
16. |
Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров, Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, Гостехиздат, М.–Л., 1949, 264 с. ; англ. пер.: B. V. Gnedenko, A. N. Kolmogorov, Limit distributions for sums of independent random variables, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Cambridge, MA, 1954, ix+264 с. |
17. |
D. L. Iglehart, “Functional central limit theorems for random walks conditioned to stay positive”, Ann. Probab., 2:2 (1974), 608–619 |
18. |
W. D. Kaigh, “An invariance principle for random walk conditioned by a late return to zero”, Ann. Probab., 4:1 (1976), 115–121 |
19. |
G. Kersting, V. Vatutin, Discrete time branching processes in random environment, Math. Stat. Ser., John Wiley & Sons, London; ISTE, Hoboken, NJ, 2017, xiv+286 pp. |
20. |
T. M. Liggett, “An invariance principle for conditioned sums of independent random variables”, J. Math. Mech., 18:6 (1968), 559–570 |
21. |
Б. А. Рогозин, “Распределение первого лестничного момента и высоты и флуктуации случайного блуждания”, Теория вероятн. и ее примен., 16:4 (1971), 593—613 ; англ. пер.: B. A. Rogozin, “The distrbution of the first ladder moment and height and fluctuation of a random walk”, Theory Probab. Appl., 16:4 (1971), 575–595 |
22. |
Е. Сенета, Правильно меняющиеся функции, Наука, М., 1985, 142 с. ; пер. с англ.: E. Seneta, Regularly varying functions, Lecture Notes in Math., 508, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1976, v+112 с. |
23. |
Я. Г. Синай, “О распределении первой положительной суммы для последовательности независимых случайных величин”, Теория вероятн. и ее примен., 2:1 (1957), 126–135 ; англ. пер.: Ya. G. Sinai, “On the distribution of the first positive sum for a sequence of independent random variables”, Theory Probab. Appl., 2:1 (1957), 122–129 |
24. |
C. Stone, “A local limit theorem for nonlattice multi-dimensional distribution functions”, Ann. Math. Statist., 36:2 (1965), 546–551 |
25. |
V. A. Vatutin, V. Wachtel, “Local probabilities for random walks conditioned to stay positive”, Probab. Theory Related Fields, 143:1-2 (2009), 177–217 |
26. |
V. Vatutin, E. Dyakonova, “Path to survival for the critical branching processes in a random environment”, J. Appl. Probab., 54:2 (2017), 588–602 |
27. |
В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Критические ветвящиеся процессы, эволюционирующие в неблагоприятной случайной среде”, Дискрет. матем., 34:3 (2022), 20–33 ; англ. пер.: V. A. Vatutin, E. E. Dyakonova, Critical branching processes evolving in an unfavorable random environment, 2022, 15 с., arXiv: 2209.13611 |
28. |
В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Размер популяции критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в неблагоприятной среде”, Теория вероятн. и ее примен., 68:3 (2023), 509–531 ; англ. пер.: V. A. Vatutin, E. E. Dyakonova, “Population size of a critical branching process evolving in an unfavorable environment”, Theory Probab. Appl., 68:3 (2023), 411–430 |
Образец цитирования:
В. А. Ватутин, К. Донг, Е. Е. Дьяконова, “Случайные блуждания, остающиеся неотрицательными, и ветвящиеся процессы в неблагоприятной среде”, Матем. сб., 214:11 (2023), 3–36; V. A. Vatutin, C. Dong, E. E. Dyakonova, “Random walks conditioned to stay nonnegative and branching processes in an unfavourable environment”, Sb. Math., 214:11 (2023), 1501–1533
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/sm9908https://doi.org/10.4213/sm9908 https://www.mathnet.ru/rus/sm/v214/i11/p3
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 338 | PDF русской версии: | 28 | PDF английской версии: | 69 | HTML русской версии: | 79 | HTML английской версии: | 123 | Список литературы: | 30 | Первая страница: | 8 |
|