| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О локальном устройстве выпуклых поверхностей А. Ю. Плаховab a CIDMA, Department of Mathematics, University of Aveiro, Aveiro, Portugal b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9921e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеРассмотрим выпуклое компактное множество $C$ с непустой внутренностью в евклидовом пространстве $\mathbb R^d$, $d=3$ или $d=2$, точку $r_0$ на его границе, $r_0 \in \partial C$, и опорную плоскость (или прямую в двумерном случае) $\Pi$ к $C$ в точке $r_0$. Рассмотрим часть поверхности $\partial C$, содержащую $r_0$ и ограниченную некоторой плоскостью, параллельной $\Pi$. Нас интересуют предельные свойства этой части поверхности, когда ограничивающая плоскость стремится к $\Pi$. Точка $r_0 \in \partial C$ называется регулярной, если опорная плоскость к $C$ в этой точке единственна, и особой в противном случае. Известно, что регулярные точки образуют множество полной меры в $\partial C$. В настоящей статье мы в основном изучаем случай $d=3$. Двумерный случай $d=2$ весьма прост и исчерпывается замечанием 2. Рассмотрение случая высших размерностей мы оставляем на будущее. В дальнейшем выпуклое компактное множество с непустой внутренностью будем называть выпуклым телом. Обозначим $e$ внешнюю единичную нормаль к $\Pi$ и обозначим $\Pi_t$ плоскость, параллельную $\Pi$, на расстоянии $t>0$ от нее в стороне, противоположной к нормали. Таким образом, плоскость $\Pi=\Pi_0$ задана уравнением $\langle r-r_0, e \rangle=0$, а $\Pi_t$ – уравнением $\langle r-r_0, e \rangle=- t$. Тело $C$ содержится в замкнутом полупространстве $ \{r \colon \langle r-r_0, e\rangle \leqslant 0\}$. Здесь и далее $\langle \cdot\,{,}\,\cdot \rangle$ обозначает скалярное произведение. Для каждого значения $t>0$ рассмотрим выпуклое тело
$$
\begin{equation*}
C_t=C \cap \bigl\{{r} \colon \langle r-r_0, e\rangle \geqslant -t\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, $C_t$ есть часть тела $C$, отсеченная от него плоскостью $\Pi_t$. Граница $C_t$ есть объединение плоского выпуклого множества
$$
\begin{equation}
B_t=C \cap \bigl\{{r} \colon \langle r-r_0, e\rangle=-t\bigr\}
\end{equation}
\tag{1}
$$
и выпуклой поверхности
$$
\begin{equation}
S_t=\partial C \cap \bigl\{{r} \colon \langle r-r_0, e\rangle \geqslant -t\bigr\};
\end{equation}
\tag{2}
$$
таким образом, $\partial C_t=B_t \cup S_t$. В дальнейшем мы будем обозначать $|\mathcal{A}|$ двумерную лебегову меру борелевского множества $\mathcal{A}$ на плоскости или на выпуклой поверхности $\partial C$. В частности, $|\square ABCD|$ обозначает площадь четырехугольника $ABCD$. Несколько злоупотребляя обозначениями, такое же обозначение мы будем использовать для длины отрезка или кривой; например, $|MN|$ обозначает длину отрезка $MN$; в будущем из контекста всегда будет ясно, о какой мере идет речь. Обозначим ${n}_{r}$ внешнюю единичную нормаль к $C$ в регулярной точке границы ${r} \in \partial C$. Поверхностной мерой выпуклого тела $C$ называется борелевская мера $\nu_C$ в $S^2$, удовлетворяющая равенству
$$
\begin{equation}
\nu_C(\mathcal{A}) :=|\{{r} \in \partial C \colon n_{r} \in \mathcal{A}\}|,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $\mathcal{A} \subset S^2$ – произвольное борелевское множество. (В двумерном случае отсюда и до замечания 1 следует заменить $S^2$ на $S^1$.) Приведенное определение поверхностной меры, по-видимому, возникло в работах А. Д. Александрова (см. [1; § 2]). Обзор известных результатов, относящихся к поверхностной мере, и соответствующие ссылки, а также некоторые новые результаты можно найти в статье [2]. Хорошо известна следующая формула для поверхностной меры (3) (см. [1; § 3, лемма 2]): Будем обозначать $\nu_t=\nu_{C,r_0,e,t}$ нормированную меру, индуцированную поверхностью $S_t$. А именно, для каждого борелевского множества $\mathcal{A} \subset S^2$ положим по определению
$$
\begin{equation}
\nu_t(\mathcal{A}) :=\frac{1}{|B_t|} \bigl|\{r\in S_t \colon n_r\in\mathcal{A}\}\bigr|.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Поверхностная мера выпуклого тела $C_t$ равна $\nu_{C_t}=|B_t| \delta_{-e}+|B_t| \nu_t$, а следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_{S^2} n\, d\nu_{C_t}(n)=|B_t| \biggl(-e+\int_{S^2} n\, d\nu_t(n)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее $\delta_{e}$ обозначает единичный атом, сосредоточенный в точке ${e}$. Применяя формулу (4) к $C_t$, получаем Будем говорить, что мера $\nu_t$ слабо сходится к $\nu_*$ при $t \to 0$, и обозначать $\lim_{t\to0}\nu_t=\nu_*$, если для любой непрерывной функции $f$ на $S^2$ справедливо
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to0} \int_{S^2} f(n)\, d\nu_t(n)=\int_{S^2} f(n)\, d\nu_*(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, $\nu_*$ является слабым частичным пределом мер $\nu_t$, если существует последовательность положительных чисел $t_i, i \in \mathbb{N}$, сходящаяся к нулю и такая, что для любой непрерывной функции $f$ на $S^2$ справедливо
$$
\begin{equation*}
\lim_{i\to\infty} \int_{S^2} f(n)\, d\nu_{t_i}(n)=\int_{S^2} f(n)\, d\nu_*(n).
\end{equation*}
\notag
$$
В настоящей статье мы намереваемся изучить предельные свойства меры $\nu_t$ при $t \to 0$. Одно такое свойство выводится немедленно. Пусть $\nu_*$ – слабый предел или слабый частичный предел мер $\nu_t$. Переходя к пределу $t \to 0$ в формуле (6) или к пределу $i \to \infty$, получаем Замечание 1. Мотивация для такого изучения в значительной степени обусловлена экстремальными задачами в классах выпуклых тел и, в частности, задачей Ньютона о выпуклом теле наименьшего сопротивления (см. [3]–[9]). Естественно попытаться разработать метод малой вариации для таких задач, и, возможно, наиболее простой способ такой вариации – это отсечение плоскостью маленького кусочка тела. Этот подход оказался достаточно эффективным в случае задачи Ньютона (см. [4]): В статье [10] анонсированы результаты настоящего исследования для частного случая, когда $r_0$ – ребристая особая точка, и затем эти результаты использованы при доказательстве следующего утверждения. Если $u$ минимизирует функционал (8) и множество наибольшего уровня $L_M=\{ (x,y)\colon u(x,y)=M\}$ имеет непустую внутренность, то наклон боковой части графика $u$ в почти всех точках границы множества $L_M$ равен 1. Другими словами, для почти всех $(x, y) \in \partial L_M$ справедливо
$$
\begin{equation*}
\lim_{\stackrel{(x',y')\to(x, y)}{u(x',y')<M}}|\nabla u(x',y')|=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Это утверждение представляет собой частичное доказательство гипотезы, которая была поставлена (без ограничения на множество наибольшего уровня) в середине 1990-х годов. Замечание 2. Предельное поведение $\nu_t$ (5) достаточно просто в случае $d=2$. А именно, пусть касательный угол к $C \subset \mathbb R^2$ в точке $r_0$ (т.е. наименьший угол с вершиной в $r_0$, содержащий $C$) задается уравнениями В частном случае, если точка $r_0$ регулярная, справедливо $e_1=e_2=e$. В случае, если точка особая, $e_1 \ne e_2$, может оказаться, что $e$ совпадает с одним из векторов, $e_1$ или $e_2$. В обоих этих случаях предельная мера есть атом, Доказательство этих утверждений просто и предоставляется читателю. В дальнейшем в настоящей статье мы сосредоточимся на трехмерном случае $d=3$. Под сходимостью мы будем всегда подразумевать слабую сходимость, не оговаривая этого специально. По определению касательный конус к выпуклому телу $C$ в точке $r_0 \in \partial C$ – это наименьший замкнутый конус с вершиной в $r_0$, содержащий $C$. Другими словами, это замыкание объединения лучей с вершиной в $r_0$, пересечение которых с внутренностью $C$ непусто. Ясно, что касательный конус является выпуклым множеством. Если касательный конус есть подпространство, то точка $r_0$ является регулярной. Если касательный конус есть двугранный угол, то $r_0$ называется ребристой особой точкой. Если же касательный конус является собственным, т.е. не содержит прямых, то $r_0$ называется конической особой точкой (см., например, [11]). В частности, если $C$ – многогранник, то все внутренние точки его граней являются регулярными, внутренние точки его ребер являются ребристыми, а все вершины – конические точки. Обозначим $N(r_0)$ множество внешних единичных нормалей к опорным плоскостям в точке $r_0$. Если точка $r_0$ регулярная, то $N(r_0)$ – одноточечное множество в $S^2$. Если точка ребристая и внешние нормали к соответствующему двугранному углу есть $e_1$ и $e_2$, то двугранный угол имеет вид
$$
\begin{equation}
\langle r-r_0, e_1 \rangle \leqslant 0, \qquad \langle r-r_0, e_2 \rangle \leqslant 0,
\end{equation}
\tag{9}
$$
а $N(r_0)$ – меньшая дуга большого круга в $S^2$ с концами в точках $e_1$ и $e_2$. Если точка $r_0$ коническая, то $N(r_0)$ – выпуклое множество в $S^2$ с непустой относительной внутренностью. Обозначим $\partial N(r_0)$ относительную границу $N(r_0)$ в $S^2$. Если точка $r_0$ регулярная или ребристая, то $\partial N(r_0)=N(r_0)$. Точка множества $N(r_0)$ называется крайней, если она не является внутренней точкой дуги большого круга, целиком содержащейся в $N(r_0)$. Все крайние точки, конечно, лежат в $\partial N(r_0)$. Ясно, что $e$ содержится в $N(r_0)$. Возможны следующие три случая (i)–(iii). (i) $e$ является крайней точкой $N(r_0)$. Это справедливо, когда:
Случай a) означает, что плоскость $\Pi$ является касательной. Случай b) означает, что касательный конус является двугранным углом и $\Pi$ содержит одну из граней этого угла. Случай c) означает, что касательный конус является собственным, а плоскость $\Pi$ касается конуса (касание может быть односторонним или двусторонним). (ii) $e$ принадлежит внутренности $N(r_0)$. В этом случае $r_0$ – коническая особая точка. Касательный конус является собственным, а плоскость $\Pi$ пересекается с конусом по его вершине. (iii) $e$ принадлежит $\partial N(r_0)$, но не является крайней точкой. Это справедливо, когда:
В случае b) точки $e_1$ и $e_2$ определены однозначно с точностью до перестановки. Плоскость $\Pi$ пересекается с конусом по прямой (в случае a)) или по лучу (в случае b)), но не касается конуса. Оказывается, предельное поведение меры $\nu_t$ различно в этих трех случаях. Это поведение детально описано в нижеследующих теоремах 1–5. В случае (i) предел всегда существует и равен $\delta_e$. В случае (ii) предел меры тоже существует и однозначно определен: он пропорционален мере, которая порождена отсеченной боковой поверхностью касательного конуса. Случай (iii) наиболее трудный и интересный. В этом случае $e$ принадлежит $\partial N(r_0)$ и является внутренней точкой дуги $\Gamma$ большого круга, концы которой $e_1$ и $e_2$ есть крайние точки $N(r_0)$. Предел $\nu_t$ может не существовать вообще, однако множество предельных точек непусто и каждая предельная точка есть мера, носитель которой содержится в $\Gamma$ и содержит точки $e_1$ и $e_2$. Более того, справедливо следующее в некотором смысле обратное утверждение: пусть $e_1 \ne \pm e_2$; тогда любое замкнутое множество, содержащее $e_1$ и $e_2$ и содержащееся в малой дуге большого круга с концами в $e_1$ и $e_2$, может быть реализовано как носитель предела некоторого семейства мер $\nu_t$. Рассмотрим несколько простых примеров. Пример 1. Пусть $C$ – выпуклый многогранник, а пересечение опорной плоскости $\Pi$ с $C$ есть точка $r_0$ – одна из его вершин. В этом случае реализуется случай (ii), а мера $\nu_t$ не зависит от $t$ и является линейной комбинацией атомов $\delta_{e_i}$, где $e_i$ обозначают внешние нормали к граням, примыкающим к $r_0$. Пример 2. Пусть $C$ – единичный шар в $\mathbb R^3$, а $r_0$ – точка на его поверхности. В этом случае реализуется случай (i), a), $e$ совпадает с $r_0$, а мера $\nu_t$ равномерно распределена в сферической шапочке углового раствора $\arccos(1-t)$ с центром в $e$. В пределе $t \to 0$ мера $\nu_t$ слабо сходится к $\delta_e$. Пример 3. Пусть $C$ – выпуклый многогранник, $r_0$ – точка одной из его (замкнутых) граней, а $e$ – внешняя нормаль к этой грани. Если $r_0$ – внутренняя точка грани, то реализуется случай (i), a); если $r_0$ – внутренняя точка ребра данной грани, то реализуется случай (i), b); а если $r_0$ – одна из вершин, то реализуется случай (i), b). Снабдим индексом $i$ каждую грань многогранника, примыкающую к данной грани. Мера $\nu_t$ есть линейная комбинация атомов, Здесь $c(t)$ – отношение площади заданной грани к площади сечения $C$ плоскостью $\Pi_t$, стремящееся к 1 при $t \to 0$, а каждый коэффициент $c_i(t)$ есть отношение площади отсеченной части $i$-й грани к площади сечения. При каждом $i$ имеем $c_i(t)=O(t)$, $t \to 0$. Таким образом, $\nu_t$ сходится к $\delta_e$, причем не только слабо, но и по норме.Пример 4. Пусть $C$ снова является выпуклым многогранником, а $r_0$ – точка на одном из его ребер. Пусть $e_1$ и $e_2$ – внешние нормали к граням, содержащим это ребро, и $e=\lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2$, $|e|=1$, $\lambda_1>0$, $\lambda_2>0$. Если $r_0$ – внутренняя точка ребра, то реализуется случай (iii), a) (рис. 1), а если $r_0$ совпадает с одной из вершин – концов этого ребра (точек $M$ и $N$ на рис. 1), то реализуется случай (iii), b). Поверхность $S_t$ на рис. 1 есть объединение двух четырехугольников, $MNBA$ и $MNFD$, и двух треугольников, $BFN$ и $ADM$. Векторы $e_1$ и $e_2$ являются внешними нормалями к четырехугольникам $MNBA$ и $MNFD$ соответственно, и площадь каждого из четырехугольников – порядка $t$, т.е. $|\square MNBA|=c_1 t+ O(t^2)$, $|\Box MNFD|=c_2 t+O(t^2)$, $c_1>0$, $c_2>0$. Площади треугольников $BFN$ и $ADM$ есть $O(t^2)$. Плоское множество $B_t$ есть четырехугольник $ABFD$, вектор нормали к нему есть $e$, а его площадь имеет порядок $t$, $|\square ABFD|=c_0 t+O(t^2)$. Следовательно, соответствующая мера $\nu_t$ сходится к мере $\nu_*$, носителем которой является двухточечное множество $\{e_1, e_2\}$, $\nu_*=\frac{c_1}{c_0} \delta_{e_1}+\frac{c_2}{c_0} \delta_{e_2}$. Используя формулу (7), получаем $\frac{c_1}{c_0}=\lambda_1$, $\frac{c_2}{c_0}=\lambda_2$, следовательно, Пример 5. Пусть $C=\{{r}=(x,y,z) \colon x^2+y^2 \leqslant 1,\, 0 \leqslant z \leqslant 1\}$ – цилиндр; возьмем ребристую точку $r_0$ на его границе, $r_0=(1,0,0) \in \partial C$. В этом случае реализуется случай (iii), a). Касательный конус в точке $r_0$ есть двугранный угол с внешними нормалями $e_1=(1,0,0)$ и $e_2=(0,0,-1)$. Рассмотрим единичный вектор $e= \lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2$, где $\lambda_1>0$, $\lambda_2>0$, $\lambda_1^2+\lambda_2^2=1$ (рис. 2). Поверхность $S_t$ есть часть поверхности $\partial C$, ограниченная плоскостью $\langle r- r_0, e\rangle=-t$; она является объединением части цилиндрической поверхности $S_t^1$ и части нижнего торца цилиндра $S_t^2$. Внешние нормали в точках поверхности $S_t^2$ совпадают с $e_2$. Внешние нормали в точках поверхности $S_t^1$ принадлежат некоторой дуге в $S^2$ с серединой в $e_1$, длина которой стремится к 0 при $t \to 0$. Следовательно, $\nu_t$ есть сумма двух членов, один из которых пропорционален $\delta_{e_2}$, а другой пропорционален мере, слабо сходящейся к $\delta_{e_1}$. Используя формулу (7), заключаем, что $\nu_t$ сходится к мере $\nu_*$, заданной формулой (10). Может показаться, что в случае (iii) предельная мера всегда существует и задается соотношением (10), как в двумерном случае и как в разобранных примерах 4 и 5. Но оказывается, что это неверно. Рассмотрим следующий пример. Пример 6. Пусть $C$ – часть цилиндра, ограниченная двумя плоскостями,  Рис. 3.$C$ есть часть цилиндра, ограниченная снизу двумя плоскостями, проходящими через точку $r_0$. Здесь мы имеем $C_t=C \cap \{z \leqslant -1+t\}$, а $B_t$ является прямоугольником $-t \leqslant x \leqslant t$, $-\sqrt{2t-t^2} \leqslant y \leqslant \sqrt{2t-t^2}$, содержащимся в плоскости $z=-1+t$. Поверхность $S_t$ есть объединение трех частей, $S_t=S_t^1 \cup S_t^2 \cup S_t^0$, где $S_t^1$ – плоская область с внешней нормалью $e_1$, заданная уравнениями $x=-z-1$, $x \geqslant -t$, $(x+1)^2+y^2 \leqslant 1$, а $S_t^2$ – плоская область с внешней нормалью $e_2$, заданная уравнениями $x=z+1$, $x \leqslant t$, $(x-1)^2+y^2 \leqslant 1$. Эти поверхности являются сегментами эллипсов в плоскостях $x=-z- 1$ и $x=z+1$ соответственно. Поверхность $S_t^0$ есть график функции $z(x,y)=-\sqrt{1-y^2}$ с областью определения
$$
\begin{equation*}
-(1-\sqrt{1-y^2}) \leqslant x \leqslant 1-\sqrt{1-y^2},\qquad -\sqrt{2t-t^2} \leqslant y \leqslant \sqrt{2t-t^2}
\end{equation*}
\notag
$$
(рис. 4). Внешние нормали в точках поверхности $S_t^0$ образуют дугу с серединой в $e$, длина которой стремится к 0 при $t \to 0$. Нетрудно получить оценку для площади каждой из этих трех поверхностей:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |B_t|=2t\cdot 2\sqrt{2t-t^2}=4\sqrt 2 \, t^{3/2}(1+o(1)), \qquad t \to 0, \\ |S_t^0|=\frac{4\sqrt 2}{3}\, t^{3/2}(1+o(1)), \quad |S_t^1|=|S_t^2|=\frac{8}{3}\, t^{3/2}(1+o(1)), \qquad t \to 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих формул следует, что $\nu_t$ сходится к мере
$$
\begin{equation*}
\nu_*=\frac{\sqrt{2}}{3} \, \delta_{e_1}+\frac{\sqrt{2}}{3} \, \delta_{e_2}+\frac{1}{3} \delta_{e},
\end{equation*}
\notag
$$
носителем которой является трехточечное множество $\{e_1, e_2, e\}$. Таким образом, предельная мера не обязательно является суммой двух атомов вида (10). Более того, оказывается, $\nu_t$ может вообще не сходиться, как показывает следующий пример. Пример 7. Определим $C$ следующим образом: Имеем $C_t=C \cap \{z \leqslant t\}$, а $B_t$ есть прямоугольник $-t \leqslant x \leqslant t$, $\gamma(y) \leqslant t$ в плоскости $z=t$. Поверхность $S_t$ есть объединение трех частей, $S_t=S_t^1 \cup S_t^2 \cup S_t^0$, где $S_t^1$ – плоская область с внешней нормалью $e_1$, заданная уравнениями $x=-z$, $-t \leqslant x \leqslant -\gamma(y)$, $S_t^2$ – плоская область с внешней нормалью $e_2$, заданная уравнениями $x=z$, $\gamma(y) \leqslant x \leqslant t$, а $S_t^0$ – график функции $z(x,y)\,{=}\,\gamma(y)$ с областью определения $-\gamma(y) \leqslant x \leqslant \gamma(y)$, $\gamma(y) \leqslant t$. Внешние нормали к $S_t^0$ содержатся в некоторой окрестности $e$ с диаметром, стремящимся к 0 при $t \to 0$. Проекции поверхностей $S_t^1$, $S_t^2$ и $S_t^0$ на плоскость $xy$ выглядят примерно так же, как на рис. 4. Если семейство точек $\bigl(|S_t^-|/|B_t|, |S_t^+|/|B_t|, |S_t^0|/|B_t| \bigr)$ при $t \to 0$ имеет частичный предел $(b^-, b^+, b^0)$, то семейство мер $\nu_t$ имеет соответствующий частичный предел $\nu_*=b^- \delta_{e_1}+b^+\delta_{e_2}+b^0 \delta_{e}$. Пусть график функции $x=\gamma(y)$, $y>0$ является ломаной с бесконечным числом звеньев, причем вершины ломаной $(x_i, y_i)$, $i \geqslant i_0$, определим индуктивно следующим образом. Зафиксируем $0<a<b<1$. Начальные значения $x_{i_0}>0$, $y_{i_0}>0$ выбираем произвольным образом. Пусть $(x_i, y_i)$ уже заданы, тогда положим $x_{i+1}=x_i/i$; если $i$ четно, то положим $y_{i+1}=ay_i$, а если $i$ нечетно, то положим $y_{i+1}=by_i$. Начальное значение $i_0$ выбираем достаточно большим для того, чтобы построенная таким образом функция $\gamma$ была выпуклой. Положив $t=x_i$, получаем $|B_{x_i}|=4x_i y_i$; если $i$ четно, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |S_{x_i}^0|=4 \cdot \frac{1-a}{2}\, x_i y_i (1+o(1)),\qquad |S_{x_i}^1|= |S_{x_i}^2|=2\sqrt 2 \cdot \frac{1+a}{2}\, x_i y_i (1+o(1)), \\ i \to \infty, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
а если $i$ нечетно, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |S_{x_i}^0|=4 \cdot \frac{1-b}{2}\, x_i y_i (1+o(1)),\qquad |S_{x_i}^1|= |S_{x_i}^2|=2\sqrt 2 \cdot \frac{1+b}{2}\, x_i y_i (1+o(1)), \\ i \to \infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\nu_t$ имеет по крайней мере два частичных предела:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \nu_*^1=\lim_{\stackrel{i\text{ четно}}{i\to\infty}} \nu_{x_i}=\frac{1+a}{2\sqrt 2} (\delta_{e_1}+\delta_{e_2})+\frac{1-a}{2}\delta_e, \\ \nu_*^2=\lim_{\stackrel{i\text{ нечетно}}{i\to\infty}} \nu_{x_i}=\frac{1+b}{2\sqrt 2} (\delta_{e_1}+\delta_{e_2})+\frac{1-b}{2}\delta_e. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем некоторые дополнительные обозначения. Пусть $e_1$ и $e_2$ – единичные векторы, причем $e_1 \ne \pm e_2$. Обозначим $\Gamma_{e_1,e_2}$ меньшую дугу большого круга в $S^2$ с концами в точках $e_1$ и $e_2$. Пусть $r_0$ – коническая точка, а $e$ – внутренняя точка множества $N(r_0)$. Плоскости $\Pi_t$ отрезают от касательного конуса подобные куски. Выберем $t$ таким образом, чтобы пересечение плоскости $\Pi_t$ с касательным конусом имело площадь 1. Обозначим $\nu_\star$ поверхностную меру, порожденную отсеченным куском конической поверхности. Она сосредоточена на множестве $\partial N(r_0)$ и удовлетворяет равенству Итак, мы понимаем локальное устройство выпуклой поверхности как предельное поведение меры $\nu_t$, порожденной отсеченной частью поверхности. Отсечение производится плоскостью с вектором внешней нормали $e$. Это предельное поведение зависит от положения вектора $e$ во множестве $N(r_0)$, как видно из следующих теорем. В теоремах 1–3 поведение зависит от самого вектора и от касательного конуса. В теореме 4 все не так однозначно. Теорема 2. Если $e$ – внутренняя точка $N(r_0)$ и тем самым точка $r_0$ является конической, то справедливо Таким образом, согласно теоремам 1 и 2, если $e$ – крайняя точка или внутренняя точка множества $N(r_0)$, то предельная мера определена однозначно. Если же $e$ содержится в $\partial N(r_0)$, но не является крайней точкой $N(r_0)$, то сходимость меры $\nu_t$ зависит от того, является множество $B_t$ при $t=0$ невырожденным отрезком или вырождается в точку. В первом случае предел существует и является суммой двух атомов, а во втором сходимость не гарантирована и удается лишь описать свойства частичных пределов. Ответ дается следующими теоремами 3 и 4. Теорема 3. Пусть $e$ принадлежит $\partial N(r_0)$ и не является крайней точкой $N(r_0)$, и тем самым имеет место представление $e=\lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2$, $\lambda_1>0$, $\lambda_2>0$, где $e_1$ и $e_2$ – крайние точки $N(r_0)$. В этом случае множество $B_0$ есть отрезок прямой, перпендикулярный векторам $e_1$ и $e_2$ и содержащий точку $r_0$. Если этот отрезок не вырождается в точку, то Теорема 4. В условиях теоремы 3, если $B_0$ есть точка $r_0$, то множество частичных пределов $\nu_t$ непусто, причем каждый частичный предел есть мера, носитель которой содержится в дуге $\Gamma_{e_1,e_2}$ и содержит точки $e_1$ и $e_2$. Таким образом, в теореме 4 определяется лишь некоторое свойство частичного предела $\nu_t$. Следующая теорема является в некотором смысле обратной к теореме 4: в ней говорится, что это свойство является не только необходимым, но и достаточным для существования соответствующей предельной меры. Теорема 5. Рассмотрим единичные векторы $e_1$, $e_2$, $e$ такие, что $e_1 \ne \pm e_2$ и для некоторых $\lambda_1>0$, $\lambda_2>0$ справедливо $e=\lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2$. Таким образом, $e$ – внутренняя точка дуги $\Gamma=\Gamma_{e_1,e_2}$. Пусть $K$ – замкнутое подмножество дуги $\Gamma$, содержащее ее концы $e_1$ и $e_2$, т.е. $\{e_1, e_2\} \subset K \subset \Gamma$. Тогда существуют выпуклое тело $C$ и ребристая точка $r_0$ на его поверхности такие, что касательный конус к $C$ в точке $r_0$ задается формулой (9) и мера $\nu_t=\nu_{C,r_0,e,t}$ при $t \to 0$ сходится к некоторой мере $\nu_*$ с носителем $K$. В теоремах 1–5 содержатся главные результаты статьи. Суммируя и несколько перефразируя их, можно утверждать, что в следующих случаях:
Если же плоскость $\Pi$ пересекается с конусом по лучу или прямой, но не касается конуса, а пересечение ее с телом $C$ есть точка, то существование предельной меры нельзя гарантировать. Частичные пределы меры существуют всегда и удовлетворяют определенным условиям. Доказано также, что любая мера, удовлетворяющая этим условиям, может быть реализована как предел мер, соответствующих некоторой ребристой точке некоторого выпуклого тела. Замечание 3. Мы предполагаем, что теорема 5 может быть усилена следующим образом. Утверждение. Пусть $N \subset S^2$ – замкнутое выпуклое множество, принадлежащее одной из полусфер, пересечение $N$ с большим кругом – границей этой полусферы – есть дуга $\Gamma=\Gamma_{e_1,e_2}$, и пусть $e$ – внутренняя точка дуги $\Gamma$. Предположим, что мера $\nu_*$ удовлетворяет (7) и носитель $\nu_*$ содержится в $\Gamma$ и содержит $e_1$ и $e_2$. Тогда существуют выпуклое тело $C$ и точка $r_0 \in \partial C$ такие, что $N(r_0)=N$ и мера $\nu_t=\nu_{C,r_0,e,t}$ при $t \to 0$ сходится к $\nu_*$. Доказательство этого утверждения мы оставляем на будущее. Некоторые частные утверждения теорем 1–5, относящиеся к случаям, когда точка $r_0$ регулярная и когда точка коническая и $e$ – внутренняя точка $N(r_0)$, доказаны в статье [12]. Доказательства теорем 1–5 приведены в §§ 2–6. § 2. Доказательство теоремы 1Сначала докажем несколько простых утверждений. Лемма 1. Если плоское выпуклое множество $D \subset \mathbb R^2$ содержит круг радиуса $a$, то его периметр $P$ и площадь $A$ связаны соотношением Доказательство. В самом деле, пусть $A(d\varphi)$ – площадь подмножества $D$, заключенного между двумя лучами, исходящими из центра круга и ограничивающими инфинитезимальную дугу $d\varphi$ границы $D$, и пусть $p(d\varphi)$ – длина этой дуги (рис. 5).
Тогда имеем а значит,
$$
\begin{equation*}
A=\int_0^{2\pi} A(d\varphi) \geqslant \frac{a}{2} \int_0^{2\pi} p(d\varphi)=\frac{a}{2}P.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует (14). Лемма доказана. Лемма 2. Пусть выпуклое тело $C$ в евклидовом пространстве $\mathbb R^3$ с координатами $(x_1, x_2, z)$ заключено между плоскостями $z=0$ и $z=t$, $t>0$. Обозначим $D$ образ $C$ при естественной проекции $\mathbb R^3$ на $x$-плоскость, $(x,z) \mapsto x$, и пусть $P=|\partial D|$ – его периметр. Пусть для некоторого значения $0<\varphi<\pi/2$ и для некоторой области $\mathcal{U} \subset \partial C$ внешняя нормаль $n_r=(n_{r1}, n_{r2}, n_{r3})$ в любой регулярной точке $r \in \mathcal{U}$ удовлетворяет неравенству $|n_{r3}| \leqslant \cos\varphi$. (Другими словами, касательная плоскость во всех регулярных точках $\mathcal{U}$ составляет угол $\geqslant \varphi$ с плоскостью $z=0$.) Тогда Доказательство. Тело $C$ ограничено снизу графиком некоторой выпуклой функции $u_1$ и сверху – графиком некоторой вогнутой функции $u_2$, т.е.
$$
\begin{equation*}
C=\{(x,z) \colon u_1(x) \leqslant z \leqslant u_2(x)\}
\end{equation*}
\notag
$$
(рис. 6). Обе функции определены в области $D$. Обозначим $\mathcal{U}_i$ $(i=1,2)$ пересечение $\mathcal{U}$ с графиком $u_i$. Ясно, что если точка $(x, u_i(x))$ регулярна и принадлежит $\mathcal{U}_i$, то $|\nabla u_i(x)| \geqslant \operatorname{tg}\varphi$.
При $0 \leqslant z \leqslant t$ обозначим $l_z$ длину кривой $\{x\colon u_1(x)=z\}$ и снабдим каждую такую кривую натуральным параметром $s \in [0, l_z]$. Если же соответствующее множество пусто, то положим $l_z=0$. Ясно, что $l_z \leqslant P$. Обозначим $x(z,s)$ точку, соответствующую параметру $s$ на данной кривой. Тогда площадь $\mathcal{U}_1$ равна
$$
\begin{equation*}
|\mathcal{U}_1|=\int_0^t dz \int_0^{l_z} \sqrt{1+\frac{1}{|\nabla u_1(x(z,s))|^2}}\, ds \leqslant \int_0^t l_z \sqrt{1+\operatorname{ctg}^2 \varphi}\, dz \leqslant \frac{tP}{\sin\varphi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Те же рассуждения справедливы для $\mathcal{U}_2$; следовательно, $|\mathcal{U}|=|\mathcal{U}_1|+|\mathcal{U}_2| \leqslant 2tP/\sin\varphi$. Лемма доказана. Лемма 3. Если выпуклое множество на плоскости содержит два взаимно перпендикулярных отрезка длины 1, то оно также содержит круг радиуса $c$, где $c$ – некоторая положительная постоянная. Доказательство. Рассмотрим два случая.
1. Один из отрезков (назовем его отрезок 1) пересекает прямую, содержащую другой отрезок (отрезок 2). Прямая делит отрезок 1 на два меньших отрезка, причем длина одного из них (скажем, отрезка $1'$) не меньше $1/2$. Второй отрезок делится первым на две части, одна из которых – отрезок $2'$ – имеет длину не меньше $1/2$. Выпуклая оболочка отрезков $1'$ и $2'$ есть прямоугольный треугольник с катетами длины $\geqslant 1/2$. Этот треугольник содержит круг с радиусом $r_1=1/(4+2\sqrt 2)$. 2. Прямая, содержащая один из отрезков, не пересекает другой отрезок. В подходящей системе координат отрезки имеют вид $[b-1, b] \times \{0\}$ и $\{0\} \times [a- 1, a]$, причем $a> 1$ и $b>1$. Без ограничения общности считаем, что $a \geqslant b$. Рассмотрим треугольник с базой $[b-1, b] \times \{0\}$ и вершиной $(0, a)$. Его площадь равна $S=a/2$, а периметр $p$ удовлетворяет неравенствам $p \leqslant 1+2\sqrt{a^2+b^2} \leqslant 1+ 2\sqrt 2 a$. Значит, радиус $r$ окружности, вписанной в этот треугольник, удовлетворяет соотношениям
$$
\begin{equation*}
r=\frac{2S}{p} \geqslant \frac{a}{1+2\sqrt 2 a}>\frac{1}{1+2\sqrt 2}=r_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $r_1<r_2$, заключаем, что выпуклое множество содержит круг радиуса $c=r_1$.
Лемма доказана. Пусть $K \subset \mathbb R^2$ – выпуклое тело. Напомним, что касательный угол к $K$ в точке $p \in \partial K$ есть замыкание объединения всех лучей с вершиной $p$, пересекающих внутренность $K$. Если точка $p$ регулярная, то касательный угол является полуплоскостью. Обозначим $K_\varepsilon$ множество точек внутри $K$, расстояние которых до $\partial K$ больше или равно $\varepsilon$. Другими словами, $K_\varepsilon=K \setminus \mathcal{N}_\varepsilon(\partial K)$, где $\mathcal{N}_\varepsilon$ обозначает $\varepsilon$-окрестность. Пусть $l$ – опорная прямая к $K$ в некоторой точке $r^{\mathrm{o}} \in \partial K$, а $\epsilon^{\mathrm{o}}$ – внешняя нормаль к $l$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
l=\{r \colon \langle r-r^{\mathrm{o}}, \epsilon^{\mathrm{o}} \rangle=0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $l_\delta$, $\delta>0$, прямую, параллельную прямой $l$ и проходящую на расстоянии $\delta$ от нее со стороны, противоположной вектору $\epsilon^{\mathrm{o}}$. Ее уравнение имеет вид
$$
\begin{equation*}
l_\delta=\{r \colon \langle r-r^{\mathrm{o}}, \epsilon^{\mathrm{o}} \rangle=-\delta\}.
\end{equation*}
\notag
$$
При достаточно малом $\delta>0$ $l_\delta$ пересекает $K$. Пересечение $l_\delta \,{\cap}\, K_\varepsilon$ есть отрезок (возможно, вырождающийся в точку или пустое множество). Обозначим $\beta_{\delta,\varepsilon}= |l_{\delta} \cap K_\varepsilon|$ длину этого отрезка. Лемма 4. Пусть $l$ содержит одну из сторон касательного угла к $K$ в точке $r^{\mathrm{o}}$, и пусть $\kappa>0$. Тогда $\beta_{(1+\kappa)\varepsilon,\varepsilon}/\varepsilon \to \infty$ при $\varepsilon \to 0$. Доказательство. В подходящей системе координат $(x_1, x_2)$ $r^{\mathrm{o}}$ совпадает с началом координат $(0,0)$, прямая $l$ есть $x_1$-ось, прямая $l_\delta$ задается уравнением $x_2=\delta$, одна из сторон касательного угла – луч $x_1 \geqslant 0$, $x_2=0$, а часть нижней границы $K$ задается выпуклой неотрицательной функцией $x_2=\varphi(x_1)$, определенной на отрезке положительной полуоси, содержащем 0, причем $\varphi'_+(0)=0$.
При достаточно малом $\varepsilon>0$ уравнение $\varphi(\xi)=\kappa\varepsilon$ имеет единственное решение $\xi= \xi(\varepsilon)$, причем $\lim_{\varepsilon\to 0} \xi(\varepsilon)/\varepsilon=0$. Отрезок $[\xi/2, \xi-\varepsilon] \times \{ (1+\kappa)\varepsilon\}$ при достаточно малых значениях $\varepsilon$ принадлежит $K_\varepsilon$, а значит, содержится в отрезке $l_{(1+\kappa)\varepsilon} \cap K_\varepsilon$ (рис. 7); отсюда получаем $\beta_{(1+\kappa)\varepsilon,\varepsilon} \geqslant \xi/2-\varepsilon$, а $\beta_{(1+\kappa)\varepsilon,\varepsilon}/\varepsilon \geqslant \xi/(2\varepsilon)-1 \to \infty$ при $\varepsilon \to 0$. Лемма доказана. Рассмотрим выпуклое тело $C$ в $\mathbb R^3$. Начиная отсюда и до конца доказательства леммы 6 мы предполагаем, что точка $r_0 \in \partial C$ является особой конической, и рассматриваем вектор $e$, принадлежащий $\partial N(r_0)$ (но не обязательно являющийся крайней точкой $N(r_0)$). Плоскость $\Pi$ проходит через $r_0$ и перпендикулярна вектору $e$. Сделаем следующее дополнительное построение: возьмем вектор $\widehat e$ во внутренности $N(r_0)$ и обозначим $\widehat\Pi_t$ плоскость $\langle r-r_0, \widehat e \rangle=-t$. Таким образом, плоскость $\widehat\Pi_t$ проходит на расстоянии $t$ от $r_0$, и ее пересечение с касательным конусом есть плоское выпуклое тело $\widehat K_t$, а $\widehat B_t=C \cap \widehat\Pi_t$ – выпуклое тело, содержащееся в $\widehat K_t$. Прямая $\widehat l_t=\Pi \cap \widehat\Pi_t$ является опорной к $\widehat K_t$. Лемма 5. Вектор $e$ является крайней точкой $N(r_0)$, если и только если прямая $\Pi \cap \widehat\Pi_t$ содержит одну из сторон одного из касательных углов $\widehat K_t$. Доказательство предоставляется читателю. Напомним, что $\mathcal{A}_\delta$ обозначает множество точек $\mathcal{A}$, лежащих на расстоянии $\geqslant \delta$ от $\partial\mathcal{A}$, т.е. $\mathcal{A}_\delta=\mathcal{A} \setminus \mathcal{N}_\delta(\partial\mathcal{A})$. Лемма 6. Существует функция $\tau=\tau(\delta)$, $\delta>0$, такая, что и $\widehat B_\tau$ содержит $(\widehat K_\tau)_\delta$. Доказательство. Поместим начало координат в точку $r_0$; тогда гомотетия любого множества $\mathcal{A}$ с центром в $r_0$ и коэффициентом $k$ есть $k\mathcal{A}$. Справедливо $\frac{1}{\tau} \widehat K_\tau=\widehat K_1$.
Предположим, что лемма 6 неверна; тогда существуют последовательности положительных чисел $\delta_n$ и $\tau_n$, сходящиеся к нулю и такие, что $\delta_n/\tau_n$ сходится к некоторому $c>0$ при $n \to \infty$ и $\widehat B_{\tau_n}$ не содержит $(\widehat K_{\tau_n})_{\delta_n}$. Это означает, что существует последовательность точек $r_n \in \widehat K_{\tau_n}$ таких, что $\operatorname{dist}(r_n, \partial\widehat K_{\tau_n}) \geqslant \delta_n$, но $r_n \not\in \widehat B_{\tau_n}$. Соответствующая последовательность точек $\frac{1}{\tau_n} r_n$ удовлетворяет соотношениям
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\tau_n} r_n \in \widehat K_1, \qquad \operatorname{dist}\biggl(\frac{1}{\tau_n} r_n, \partial\widehat K_1\biggr) \geqslant \frac{\delta_n}{\tau_n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая в случае необходимости подпоследовательность, считаем, что $\frac{1}{\tau_n} r_n$ сходится к некоторой точке $r^{\mathrm{o}} \in \widehat K_1$, причем $\operatorname{dist}(r^{\mathrm{o}}, \partial\widehat K_1) \geqslant c$, а значит, $r^{\mathrm{o}}$ – внутренняя точка $\widehat K_1$.
Проведем прямую через $r_n$ в плоскости $\widehat\Pi_{\tau_n}$ таким образом, что одна из полуплоскостей, ограниченных этой прямой, не пересекается с $\widehat B_{\tau_n}$. Пусть эта полуплоскость (напомним, в плоскости $\widehat\Pi_{\tau_n}$) имеет вид $\langle r-r_n, e_n \rangle \geqslant 0$, $|e_n|=1$. Снова выбирая в случае необходимости подпоследовательность, можем считать, что $e_n$ сходится к некоторому единичному вектору $e^{\mathrm{o}}$. Возьмем произвольную точку $r$ в пересечении внутренности $\widehat K_1$ с открытой полуплоскостью $\langle r-r^{\mathrm{o}}, e^{\mathrm{o}} \rangle>0$ в плоскости $\widehat\Pi_{1}$. В силу сходимости $\frac{1}{\tau_n} r_n \to r^{\mathrm{o}}$, $e_n \to e^{\mathrm{o}}$, при достаточно больших $n$ справедливо $\langle r-\frac{1}{\tau_n} r_n, e_n \rangle>0$, а значит, $\langle {\tau_n} r-r_n, e_n \rangle>0$. Последнее означает, что точка ${\tau_n} r$ не содержится в $\widehat B_{\tau_n}$, а значит, и в $C$. Отсюда следует, что и весь луч $\mathbb R^+_0 r$ пересекается с $C$ только в точке 0. Мы получаем противоречие с тем, что этот луч содержится во внутренности касательного конуса. Лемма доказана. Лемма 7. Пусть $e$ – крайняя точка $N(r_0)$. Тогда множество $B_t$ содержит два взаимно перпендикулярных отрезка длины $\beta_t$, где $\beta_t/t \to \infty$ при $t \to 0$. Доказательство. (a) Пусть точка $r_0$ регулярная, а значит, множество $N(r_0)$ есть одна точка $e=n_{r_0}$.
Пересечение $B_t$ с любой плоскостью, проходящей через $r_0$ и перпендикулярной $\Pi_t$, есть отрезок, длина которого $\beta_t^\varphi$ удовлетворяет предельному соотношению $\beta_t^\varphi/t \to \infty$ при $t \to 0$. Здесь $0 \leqslant \varphi<\pi$ – угол поворота плоскости, служащий для нее параметром. Взяв две взаимно перпендикулярные плоскости, например, соответствующие углам $\varphi=0$ и $\varphi=\pi/2$, получаем доказательство утверждения с $\beta_t=\min \{ \beta_t^0,\beta_t^{\pi/2}\}$. (b) Пусть точка $r_0$ ребристая, а значит, $N(r_0)$ – дуга большого круга, а $e$ совпадает с $e_1$ или с $e_2$. Проведем две плоскости через $r_0$: одна перпендикулярна ребру двугранного угла, а другая содержит это ребро и некоторую внутреннюю точку двугранного угла (например, является биссектрисой этого угла). Пересечения этих плоскостей с $B_t$ есть два взаимно перпендикулярных отрезка с длинами $\beta_t^1$ и $\beta_t^2$, удовлетворяющими соотношению $\beta_t^i/t \to \infty$ при $t \to 0$, $i=1, 2$. Снова можно принять $\beta_t=\min \{ \beta_t^1,\beta_t^{2}\}$. (c) Пусть точка $r_0$ коническая. Напомним, что плоскость $\Pi$ проходит через $r_0$ и перпендикулярна $e$. Пересечение ее с касательным конусом есть угол с вершиной в $r_0$, который может вырождаться в луч. Возьмем биссектрису этого угла (луч $r_0 p$ на рис. 8) и проведем плоскость $\widetilde\Pi$ через нее и через какую-нибудь внутреннюю точку касательного конуса. Пересечение этой плоскости с $C$, с касательным конусом и с плоскостью $\Pi_t$ есть соответственно выпуклое плоское тело, касательный угол к этому телу и прямая, параллельная выбранному лучу $r_0 p$, на расстоянии от него, пропорциональном $t$. Пересечение $\widetilde\Pi$ с $B_t$ есть отрезок ($b_t$ на рис. 8); покажем, что его длина $\beta_t^1$ удовлетворяет соотношению $\beta_t^1/t \to \infty$ при $t \to 0$. В самом деле, каждый луч, выпущенный из $r_0$ в плоскости $\widetilde\Pi$ внутри открытого касательного угла, пересекает $C$ по некоторому отрезку с одним концом в $r_0$. Это значит, что он пересечет и отрезок $b_t$ при достаточно маленьких значениях $t$. Для каждого значения $\varepsilon>0$, меньшего величины касательного угла, выпустим из $r_0$ два таких луча (штриховые линии на рис. 8), причем один фиксирован, а другой составляет угол $\varepsilon$ с лучом $r_0 p$. При достаточно малых значениях $t$ оба луча пересекут отрезок $b_t$, причем расстояние между точками пересечения составляет $\frac{ct}{\varepsilon} (1+o(1)), \varepsilon \to 0$. Ввиду того, что длина $\beta_t^1$ этого отрезка не меньше этого расстояния, устремляя $\varepsilon$ к нулю, получаем искомое соотношение. Возьмем прямую $l$, перпендикулярную вышеуказанной биссектрисе, и проведем через нее плоскость $\widehat\Pi$, пересекающую касательный конус по ограниченной выпуклой фигуре (назовем ее $\widehat K$). Обозначим $\widehat e$ единичную нормаль к плоскости $\widehat\Pi$, находящуюся от нее по ту же сторону, что и точка $r_0$. Плоскость $\widehat\Pi_\tau$ задается уравнением $\langle r-r_0, \widehat e \rangle=-\tau$. Таким образом, плоскость $\widehat\Pi_\tau$ параллельна $\widehat\Pi$ и проходит на расстоянии $\tau$ от точки $r_0$. Ее пересечение с касательным конусом есть выпуклая ограниченная фигура, которую обозначаем $\widehat K_\tau$, а $\widehat B_\tau=C \cap \widehat\Pi_\tau$ – выпуклая фигура, содержащаяся в $\widehat K_\tau$. Прямая $\widehat l_\tau=\Pi \cap \widehat\Pi_\tau$ параллельна $l$ и является опорной к $\widehat K_\tau$. Согласно лемме 5 она содержит одну из сторон одного из касательных углов к $\widehat K_\tau$. Для каждого $t>0$ возьмем $\tau=\tau(t/2)$, как указано в лемме 6. Пересечение $B_t$ с плоскостью $\widehat\Pi_\tau$ совпадает с пересечением $\widehat B_\tau$ с прямой $\widehat l_{\tau,ct}$, проведенной в плоскости $\widehat\Pi_\tau$, параллельной прямой $\widehat l_\tau$ и на расстоянии $ct$ от нее с внутренней стороны. Здесь $c \geqslant 1$ – параметр, обратный синусу угла между векторами $e$ и $\widehat e$, т.е. $c=1/\sqrt{1-\langle e, \widehat e\, \rangle^2}$. Согласно лемме 6 $\widehat B_\tau$ содержит $(\widehat K_\tau)_{t/2}$. Взяв в лемме 4 параметры $\varepsilon=t/2$ и $\kappa=2c-1$, заключаем, что пересечение $(\widehat K_\tau)_{t/2}$ с прямой $\widehat l_{\tau,ct}$ есть отрезок, длина которого удовлетворяет соотношению $|\widehat K_\tau)_{t/2} \cap \widehat l_{\tau,ct}|/t \to \infty$ при $t \to 0$. Отрезок $B_t \cap \widehat\Pi_\tau$ содержит вышеупомянутый отрезок, а значит, его длина $\beta_t^2$ также удовлетворяет соотношению $\beta_t^2/t \to \infty$ при $t \to 0$, и, кроме того, он перпендикулярен отрезку $B_t \cap \widetilde\Pi$, выбранному выше. Таким образом, утверждение доказано с $\beta_t=\min \{\beta_t^1,\beta_t^{2}\}$. Лемма 7 доказана. Напомним, что $S_t$ – пересечение $\partial C$ с полупространством $\{r \colon \langle r-r_0, e \rangle \geqslant -t\}$. Для $\varphi \in (0, \pi/2)$ обозначим $S_{t,\varphi}$ часть поверхности $S_t$, точки $r$ которой удовлетворяют неравенству $\langle n_r, e \rangle \leqslant \cos\varphi$. Другими словами, это множество точек в $S_t$, угол наклона нормали в которых по отношению к вектору $e$ больше или равен $\varphi$. Лемма 8. Если $e$ – крайняя точка множества $N(r_0)$, то для любого $\varphi \in (0, \pi/2)$ справедливо Доказательство. Рассмотрим систему координат $(x,z)$, $x=(x_1, x_2)$, в которой $x$-плоскость совпадает с $\Pi$, а ось $z$ направлена вдоль вектора $e$. При некотором (достаточно малом) $t_0>0$ пересечение $\Pi_t, t \leqslant t_0$, с $C$ непусто. Для любой регулярной точки $r \in S_t, t \leqslant t_0$, и некоторого значения $\varphi_0 \in (0, \pi/2)$ справедливо $\langle n_r, e \rangle \geqslant -\cos\varphi_0$. Без ограничения общности можно взять $\varphi<\varphi_0$, и тогда для регулярных точек $r \in S_{t,\varphi}$ выполняется $|\langle n_r, e \rangle| \leqslant \cos\varphi$.
В выбранной системе координат тело $C_t$ заключено между плоскостями $z=0$ и $z=-t$. Обозначим $D_t$ образ $C_t$ при естественной проекции $(x,z) \mapsto x$. Область $D_t$ содержит $B_t$ и содержится в $(t\operatorname{ctg}\varphi)$-окрестности $B_t$, а значит, его периметр не превосходит $P_t= |\partial B_t|+2\pi t\operatorname{ctg}\varphi$. Применяя лемму 2 к телу $C=C_t$ и области $\mathcal{U}=S_{t,\varphi}$, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
|S_{t,\varphi}| \leqslant \frac{tP_t}{\sin\varphi}=t \frac{|\partial B_t|+2\pi t\operatorname{ctg}\varphi}{\sin\varphi}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу лемм 3 и 7 $B_t$ содержит круг радиуса $c\beta_t$, а значит, в силу леммы 1 Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{|S_{t,\varphi}|}{|B_t|} \leqslant t \frac{\frac{2}{c\beta_t}|B_t|+2\pi t\operatorname{ctg}\varphi}{\sin\varphi |B_t|} \leqslant \frac{2}{c\sin\varphi}\,\frac{t}{\beta_t}+\frac{2\operatorname{ctg}\varphi}{c^2 \sin\varphi}\, \frac{t^2}{\beta_t^2} \to 0 \quad \text{при} \ \ t \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 8 доказана. Теперь закончим доказательство теоремы 1. Будем обозначать $\nu_S$ поверхностную меру, порожденную поверхностью $S$. Для любого $\varphi \in (0, \pi/2)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\nu_t=\frac{1}{|B_t|}\nu_{S_{t,\varphi}}+\frac{1}{|B_t|}\nu_{S_{t} \setminus S_{t,\varphi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 8 мера $\frac{1}{|B_t|}\nu_{S_{t,\varphi}}$ стремится к 0 при $t \to 0$. С другой стороны, носитель каждого частичного предела меры $\frac{1}{|B_t|}\nu_{S_{t} \setminus S_{t,\varphi}}$ сосредоточен в круге углового раствора $\varphi$ вокруг $e$ в $S^2$, а значит, это же справедливо и для носителя каждого частичного предела меры $\nu_t$. Учитывая, что значение $\varphi>0$ может быть сделано сколь угодно малым, и используя равенство (7), справедливое для каждого частичного предела $\nu_*$, заключаем, что предел $\nu_t$ существует и равен $\delta_e$. Теорема 1 доказана. § 3. Доказательство теоремы 2В доказательстве теоремы 2 мы используем тот факт, что поверхностная мера непрерывна в топологии Хаусдорфа в пространстве выпуклых тел. Именно, мы говорим, что семейство выпуклых тел $C_t$, $t>0$, в $\mathbb R^d$ сходится к выпуклому телу $C \subset \mathbb R^d$ при $t \to 0$ в смысле Хаусдорфа, и пишем $C_t \xrightarrow[t\to0]{} C$, если для любого $\varepsilon>0$ существует $t_0>0$ такое, что при всех $t \leqslant t_0$ $C_t$ содержится в $\varepsilon$-окрестности $C$ и $C$ содержится в $\varepsilon$-окрестности $C_t$. Известно, что если $C_t \xrightarrow[t\to0]{} C$, то $\nu_{\partial C_t} \to \nu_{\partial C}$ при $t \to 0$ (см., например, абзац перед формулой (4.2.12) в [13], где поверхностная мера выпуклого тела $K$ обозначена $S_{n-1}(K, \cdot)$; данное свойство отмечается как простое следствие теоремы 4.2.1 из этой книги). Напомним, что $\Pi_t$ обозначает плоскость $\langle r-r_0, e \rangle=-t$. Пересечение этой плоскости с касательным конусом есть плоское выпуклое тело, обозначим его $K_t$, а $B_t=C \cap \Pi_t$ есть выпуклое тело, содержащееся в $K_t$. Выберем значение $\sigma>0$ такое, что $|K_{\sigma}|=1$. Напомним, что мера $\nu_\star$ порождена частью поверхности касательного конуса, отсеченной плоскостью $\Pi_{\sigma}$. Пусть начало координат совпадает с точкой $r_0$, т.е. $r_0=\vec 0$; тогда гомотетия множества $\mathcal{A}$ с центром в $r_0$ и коэффициентом $k$ есть $k\mathcal{A}$ (рис. 9). Доказательство. Для любых положительных значений $t_1$ и $t_2$ справедливо Кроме того, поскольку $K_t$ содержит $B_t$, имеем
Пусть теперь $0<t_1 \leqslant t_2$. Поскольку $\vec 0$ и $B_{t_2}$ содержатся в $C$, это же справедливо и для их линейной комбинации,
$$
\begin{equation*}
\frac{t_1}{t_2}B_{t_2}=\biggl(1-\frac{t_1}{t_2}\biggr) \vec 0+\frac{t_1}{t_2}B_{t_2} \subset C.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, $\frac{t_1}{t_2}B_{t_2} \subset \frac{t_1}{t_2}\Pi_{t_2}=\Pi_{t_1}$. Следовательно, $\frac{t_1}{t_2}B_{t_2} \subset C \cap \Pi_{t_1}=B_{t_1}$. Мы приходим к заключению, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\sigma}{t_2}B_{t_2} \subset \frac{\sigma}{t_1}B_{t_1};
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, тела $\frac{\sigma}{t} B_t$, $t>0$, образуют вложенное семейство, содержащееся в $K_{\sigma}$.
Предположим, что $\frac{\sigma}{t} B_t$ не сходятся к $K_{\sigma}$. Тогда замыкание объединения
$$
\begin{equation*}
\overline{\bigcup_{t>0}\frac{\sigma}{t} B_t}=: \widetilde B_{\sigma}
\end{equation*}
\notag
$$
содержится в теле $K_{\sigma}$, но не совпадает с ним.
Объединение
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{t>0}\frac{t}{\sigma} \widetilde B_{\sigma}=: L
\end{equation*}
\notag
$$
есть конус с вершиной в $r_0$; он содержится в касательном конусе, но не совпадает с ним. С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
C=\bigcup_{t\geqslant0}B_t \subset \bigcup_{t\geqslant0}\frac{t}{\sigma} \widetilde B_{\sigma}=L;
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, $C$ содержится в конусе $L$, который меньше, чем касательный конус. Из этого противоречия следует наше утверждение.
Лемма 9 доказана. Из леммы 9 следует, в частности, что
$$
\begin{equation}
\lim_{t\to0} \biggl|\frac{\sigma}{t} B_t\biggr|=|K_{\sigma}|=1,
\end{equation}
\tag{15}
$$
следовательно,
$$
\begin{equation}
\nu_{\frac{\sigma}{t} B_t}=\biggl|\frac{\sigma}{t} B_t\biggr| \delta_{-e} \longrightarrow |K_{\sigma}| \delta_{-e}=\nu_{K_{\sigma}}, \qquad t \to 0.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\Sigma^t_\sigma :=\operatorname{conv}\biggl(\frac{\sigma}{t}B_t \cup r_0\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что выпуклое тело $\frac{\sigma}{t}C_t$ содержит $r_0$ и $\frac{\sigma}{t}B_t$, заключаем, что $\Sigma^t_\sigma \subset \frac{\sigma}{t}C_t$. Обозначим $W_\sigma$ часть касательного конуса, содержащую $r_0$, отсеченную плоскостью $\Pi_\sigma$, и $V_\sigma$ его боковую поверхность. Имеем $W_{\sigma}=\operatorname{conv}(K_{\sigma} \cup r_0)$. Согласно лемме 9 $\frac{\sigma}{t} B_t \xrightarrow[t\to0]{} K_{\sigma}$, отсюда следует
$$
\begin{equation*}
\operatorname{conv}\biggl(\frac{\sigma}{t}B_t \cup r_0\biggr) \xrightarrow[t\to0]{} \operatorname{conv}(K_{\sigma} \cup r_0);
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, Используя это соотношение и двойное включение
$$
\begin{equation*}
\Sigma^t_\sigma \subset \frac{\sigma}{t}C_t \subset W_\sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
заключаем, что $\frac{\sigma}{t}C_t$ сходится к $W_\sigma$ в смысле Хаусдорфа, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\nu_{\frac{\sigma}{t}\partial C_t} \to \nu_{\partial W_\sigma} \quad \text{при} \ \ t \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $\frac{\sigma}{t}\partial C_t=\frac{\sigma}{t} S_t \cup \frac{\sigma}{t} B_t$ и $\partial W_\sigma=V_\sigma \cup K_\sigma$, и используя (16), получаем
$$
\begin{equation*}
\nu_{\frac{\sigma}{t} S_t} \to \nu_{V_\sigma} \quad \text{при} \ \ t \to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу (15) находим
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to0} \nu_t=\lim_{t\to0} \frac{1}{|B_t|}\nu_{S_t}= \frac{1}{\lim_{t\to0}|\frac{\sigma}{t}B_t|} \lim_{t\to0} \nu_{\frac{\sigma}{t}S_t}= \nu_{V_\sigma}=\nu_\star.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана. § 4. Доказательство теоремы 3Приступая к доказательству теоремы 3, напомним, что ее условия могут реализоваться, когда либо когда Сначала оценим площадь плоской области $B_t$. Множество $B_0$ есть (невырожденный) отрезок. Пусть $l>0$ – длина этого отрезка, а $M$ и $N$ – его концы. В случае, если точка $r_0$ коническая, один из концов отрезка совпадает с $r_0$. В этом случае переименуем точку $r_0$ – назовем $r_0$ любую внутреннюю точку отрезка $MN$. Эта точка ребристая, и тем самым мы попадаем в условия пункта (а), причем соответствующие множества $B_t$ и $S_t$ остаются неизменными, а значит, и предельное поведение меры $\nu_t$ не изменится. Таким образом, без ограничения общности будем считать, что точка $r_0$ является ребристой. Обозначим $l_i^t$, $i=1,2$, пересечение плоскости $\Pi_i\colon\langle r-r_0, e_i \rangle=0$ с секущей плоскостью $\Pi^t\colon\langle r-r_0, e \rangle=-t$. Другими словами, $l_i^t=\Pi_i \cap \Pi^t$. Проведем через точки $M$ и $N$ плоскости, перпендикулярные $B_0$, и обозначим $M_i=M_{i}^t$ и $N_i=N_{i}^t$, $i=1,2$, точки пересечения этих плоскостей с прямыми $l_i^t$ (рис. 10, а). Треугольник $M_1^t M_2^t M$ лежит в плоскости, параллельной векторам $e_1$ и $e_2$. Его стороны $MM_1^t$, $MM_2^t$, $M_1^t M_2^t$ перпендикулярны векторам $e_1$, $e_2$, $e$ соответственно и их длины равны $|MM_1^t|=\lambda_1 c_0 t$, $|MM_2^t|=\lambda_2 c_0 t$, $|M_1^t M_2^t|=c_0 t$, где $c_0$ – положительная постоянная, зависящая только от $e_1$, $e_2$, $e$, а именно
$$
\begin{equation}
c_0=\frac{\langle e_1, e\rangle}{\sqrt{1-\langle e_1, e\rangle^2}}+\frac{\langle e_2, e\rangle}{\sqrt{1-\langle e_2, e\rangle^2}}
\end{equation}
\tag{17}
$$
(рис. 10, b). Множество $B_t$ находится между прямыми $l_1^t$ и $l_2^t$ (рис. 11). Мы собираемся доказать, что длина ортогональной проекции $B_t$ на $l_1^t$ не превосходит $l+o(1)$, $t \to 0$, а значит, Предположим противное; тогда существует последовательность $(t_i)_{i \in \mathbb{N}}$, сходящаяся к 0, и последовательность точек $P_{t_i} \in B_{t_i}$ таких, что расстояние между $P_{t_i}$ и прямоугольником $M_1^{t_i} N_1^{t_i} N_2^{t_i} M_2^{t_i}$ больше некоторой положительной постоянной. Последовательность $(P_{t_i})_{i \in \mathbb{N}} \subset C$ ограничена и, следовательно, имеет по меньшей мере одну предельную точку $P$. Эта точка принадлежит $C$ и лежит в плоскости $\Pi^0\colon\langle r-r_0, e\rangle=0$; следовательно, $P \in B_0$. Но, с другой стороны, расстояние между $P$ и $B_0=MN$ больше некоторой положительной постоянной. Мы пришли к противоречию. Возьмем положительное значение $\varepsilon<l$ и обозначим $M_\varepsilon$ и $N_\varepsilon$ точки на отрезке $B_0= [M, N]$, находящиеся на расстоянии $\varepsilon/2$ от $M$ и от $N$ соответственно. Пусть $\Pi^\perp_{M\varepsilon}$ и $\Pi^\perp_{N\varepsilon}$ – плоскости, ортогональные к $MN$ и проходящие через точки $M_\varepsilon$ и $N_\varepsilon$ соответственно. Обозначим $M_{\varepsilon 1}=M_{\varepsilon 1}^t$, $N_{\varepsilon 1}= N_{\varepsilon 1}^t$, $M_{\varepsilon 2}=M_{\varepsilon 2}^t$, $N_{\varepsilon 2}=N_{\varepsilon 2}^t$ точки пересечения этих плоскостей с прямыми $l_1^t$ и $l_2^t$. Ясно, что площадь прямоугольника $M_{\varepsilon 1} N_{\varepsilon 1} N_{\varepsilon 2} M_{\varepsilon 2}$ равна $| \square M_{\varepsilon 1} N_{\varepsilon 1} N_{\varepsilon 2} M_{\varepsilon 2}|=c_0 (l-\varepsilon) t$. Учитывая, что касательные конуса в точках $M_\varepsilon$ и $N_\varepsilon$ совпадают с двугранным углом $\langle r-r_0, e_1\rangle \leqslant 0,\ \langle r-r_0, e_2\rangle \leqslant 0$, образованным плоскостями $\Pi_1$ и $\Pi_2$, мы заключаем, что касательный конус к двумерному выпуклому телу $C \cap \Pi^\perp_{M\varepsilon}$ в плоскости $\Pi^\perp_{M\varepsilon}$ есть угол $M_{\varepsilon 1} M_\varepsilon M_{\varepsilon 2}$, а касательный конус к двумерному выпуклому телу $C \cap \Pi^\perp_{N\varepsilon}$ в плоскости $\Pi^\perp_{N\varepsilon}$ есть угол $N_{\varepsilon 1} N_\varepsilon N_{\varepsilon 2}$ (рис. 12). Отсюда следует, что пересечение $C$ с прямой $M_{\varepsilon 1} M_{\varepsilon 2}$ (непустое при достаточно малом $t$) есть отрезок (обозначим его $\widetilde M_{\varepsilon 1} \widetilde M_{\varepsilon 2}$), содержащийся в отрезке $M_{\varepsilon 1} M_{\varepsilon 2}$, причем расстояния $|M_{\varepsilon 1} \widetilde M_{\varepsilon 1}|$ и $|M_{\varepsilon 2} \widetilde M_{\varepsilon 2}|$ есть $o(t)$. Аналогично, при достаточно малом $t$ пересечение $C$ с прямой $N_{\varepsilon 1} N_{\varepsilon 2}$ есть отрезок $\widetilde N_{\varepsilon 1} \widetilde N_{\varepsilon 2}$, содержащийся в отрезке $N_{\varepsilon 1} N_{\varepsilon 2}$, причем расстояния $|N_{\varepsilon 1} \widetilde N_{\varepsilon 1}|$ и $|N_{\varepsilon 2} \widetilde N_{\varepsilon 2}|$ есть $o(t)$. Четырехугольник $\widetilde M_{\varepsilon 1} \widetilde N_{\varepsilon 1} \widetilde N_{\varepsilon 2} \widetilde M_{\varepsilon 2}$ содержится в $B_t$, а его площадь равна $|\square \widetilde M_{\varepsilon 1} \widetilde N_{\varepsilon 1} \widetilde N_{\varepsilon 2} \widetilde M_{\varepsilon 2}|=c_0 (l-\varepsilon) t (1+o(1))$, $t \to 0$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
|B_t| \geqslant c_0 (l-\varepsilon) t (1+o(1)), \qquad t \to 0.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Учитывая, что $\varepsilon>0$ произвольно, и используя соотношения (18) и (19), получаем Теперь рассмотрим поверхность $S_t$. Плоскость $\Pi_0$, заданная уравнением $\langle r- r_0, e_1-e_2\rangle=0$, является биссектором двугранного угла; она содержит отрезок $B_0$ и делит $S_t$ на две части, $S_t=S_t^1 \cup S_t^2$, где $S_t^1$ лежит между $\Pi_1$ и $\Pi_0$, а $S_t^2$ лежит между $\Pi_2$ и $\Pi_0$. Мы докажем, что: (i) поверхностная мера $S_t^1$, деленная на $t$, слабо сходится к $\lambda_1 c_0 l\delta_{e_1}$; (ii) поверхностная мера $S_t^2$, деленная на $t$, слабо сходится к $\lambda_2 c_0 l\delta_{e_1}$. Затем из утверждений (i) и (ii) и из формулы (20) будет следовать утверждение теоремы 3. Мы докажем только (i), поскольку доказательство (ii) полностью аналогично. В дальнейшем будет использоваться следующее свойство: Возьмем положительное $\varepsilon<l$ и для каждого $t>0$ рассмотрим несколько призм, каждая из которых ограничена плоскостями $\Pi_1$, $\Pi_2$, $\Pi^t$ и с торцов ограничена еще двумя плоскостями, перпендикулярными к $B_0$. Назовем большой призмой наименьшую призму, обладающую указанными свойствами и содержащую $C_t$. Большая призма подразделяется на центральную призму и на две боковые призмы. Центральная призма ограничена с торцов плоскостями $\Pi^\perp_{M\varepsilon}$ и $\Pi^\perp_{N\varepsilon}$, перпендикулярными к $B_0$; конечно, она содержится в большой призме при достаточно малых значениях $t$. Боковые призмы получены “выбрасыванием” центральной призмы из большой призмы. Каждая из них ограничена с одного из торцов плоскостью $\Pi^\perp_{M\varepsilon}$ или плоскостью $\Pi^\perp_{N\varepsilon}$. Полная поверхностная мера центральной призмы асимптотически пропорциональна $t$; более точно, она равна $c_0 (1+ \lambda_1+\lambda_2) (l-\varepsilon) t+o(t)$, причем член $o(t)$ порожден боковой поверхностью призм. Полная поверхностная мера каждой из боковых призм равна
$$
\begin{equation*}
c_0 (1+\lambda_1+\lambda_2) \, \frac{\varepsilon t}2+o(t), \qquad t \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Центральная призма разделена плоскостью $\Pi_0$ на две части,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Prism}_{\varepsilon,1}^t=\operatorname{Prism}_{\varepsilon,1}, \qquad \operatorname{Prism}_{\varepsilon,2}^t=\operatorname{Prism}_{\varepsilon,2};
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, каждая призма $\operatorname{Prism}_{\varepsilon,i}$, $i=1,2$, ограничена плоскостями $\Pi_{i}$, $\Pi_{0}$, $\Pi^t$, $\Pi^\perp_{M\varepsilon}$, $\Pi^\perp_{N\varepsilon}$. Соответственно каждая из поверхностей $S_t^1$ и $S_t^2$ также разделена этими плоскостями на две части, $S_t^i=S_t^{i,\varepsilon} \cup S_t^{i,\mathrm{lat}}$, причем $S_t^{i,\varepsilon}$ содержится в $\operatorname{Prism}_{\varepsilon,i}$, а $S_t^{i,\mathrm{lat}}$ содержится в объединении боковых призм. Последнее означает, что площадь поверхности $S_t^{i,\mathrm{lat}}$ не превосходит суммы площадей боковых призм,
$$
\begin{equation*}
c_0 (1+\lambda_1+\lambda_2) \varepsilon t+o(t), \qquad t \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы получаем разложение $\nu_t$ в виде $\nu_t=\nu_{t,\varepsilon}^1+\nu_{t,\varepsilon}^2+ \nu_{t,\varepsilon}^{\mathrm{lat}}$, причем
$$
\begin{equation*}
\nu_{t,\varepsilon}^{\mathrm{lat}}(S^2) \leqslant (1+\lambda_1+\lambda_2) \frac{\varepsilon}{l}+o(1), \qquad t \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь оценим площадь поверхности $S_t^{i,1}$. Для этого сначала сравним поверхности выпуклых тел $\operatorname{Prism}_{\varepsilon,1}$ и $C_t \cap\operatorname{Prism}_{\varepsilon,1}$. Подсчитаем поверхностную меру тела $\operatorname{Prism}_{\varepsilon,1}$. Его поверхность есть объединение трех прямоугольников, содержащихся в плоскостях $\Pi_1$, $\Pi^t$, $\Pi_0$ и служащих боковыми сторонами и основанием призмы, и двух треугольников, содержащихся в плоскостях $\Pi^\perp_{M\varepsilon}$, $\Pi^\perp_{N\varepsilon}$ и служащих боковыми торцами призмы. Внешние нормали к прямоугольникам есть соответственно $e_1$, $-e$ и $\frac{e_2-e_1}{|e_2-e_1|}$. Стороны прямоугольников, параллельные прямой $MN$, имеют длину $l-\varepsilon$, а длины сторон, перпендикулярных этой прямой, равны соответственно
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |M_1^t M|=c_0 t \lambda_1, \qquad |M_1^t D|= c_0 t\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}, \\ |MD|=c_0 t\sqrt{\lambda_1\lambda_2} \sqrt{1-(\lambda_1+ \lambda_2)^{-2}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $MD$ – биссектриса угла $M$ треугольника $M_1^tM_2^tM$ (см. рис. 10, b). Таким образом, площади прямоугольников равны
$$
\begin{equation*}
c_0 t (l-\varepsilon) \lambda_1, \qquad c_0 t (l-\varepsilon) \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}, \qquad c_0 t (l-\varepsilon) \sqrt{\lambda_1\lambda_2} \sqrt{1- (\lambda_1+\lambda_2)^{-2}},
\end{equation*}
\notag
$$
а площадь каждого из боковых торцов призмы равна площади треугольника $M_1^t MD$ и тем самым имеет порядок $t^2$. Отсюда следует, что поверхностная мера тела $\operatorname{Prism}_{\varepsilon,1}$ равна
$$
\begin{equation*}
c_0 t (l-\varepsilon)\biggl(\lambda_1 \delta_{e_1}+\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\, \delta_{-e}+\sqrt{\lambda_1\lambda_2} \sqrt{1-(\lambda_1+\lambda_2)^{-2}}\, \delta_{\frac{e_2-e_1}{|e_2-e_1|}}\biggr)+o(t), \qquad t \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поверхность тела $C_t \cap\operatorname{Prism}_{\varepsilon,1}$ есть дизъюнктное объединение нескольких поверхностей; часть поверхности $\partial (C_t \cap\operatorname{Prism}_{\varepsilon,1})$, содержащаяся в $\Pi^t$, индуцирует меру $c_0 t (l-\varepsilon) \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\delta_{-e}+o(t)$; при достаточно малом $t$ часть поверхности $\partial (C_t \cap\operatorname{Prism}_{\varepsilon,1})$, содержащаяся в $\Pi_0$, совпадает с частью $\partial (\operatorname{Prism}_{\varepsilon,1}$), содержащейся в $\Pi_0$, и поэтому индуцирует меру $c_0 t (l-\varepsilon)\sqrt{\lambda_1\lambda_2} \sqrt{1-(\lambda_1+\lambda_2)^{-2}} \delta_{\frac{e_2-e_1}{|e_2-e_1|}}$; часть поверхности, содержащаяся в плоскостях $\Pi^\perp_{M\varepsilon}$ и $\Pi^\perp_{N\varepsilon}$, имеет площадь $O(t^2)$; оставшаяся часть поверхности $\partial (C_t \cap\operatorname{Prism}_{\varepsilon,1})$ есть $S_t^1$, и именно она нас интересует. Используя интегральные равенства для обоих выпуклых тел, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{S^2} n\, d\nu_{\operatorname{Prism}_{\varepsilon,1}}(n) &=c_0 t (l-\varepsilon) \biggl(\lambda_1 e_1- \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\, e \\ &\qquad +\sqrt{\lambda_1\lambda_2} \sqrt{1-\frac{1}{(\lambda_1+\lambda_2)^{2}}}\, \frac{e_2-e_1}{|e_2-e_1|}\biggr)+o(t)=\vec 0, \\ \int_{S^2} n\, d\nu_{C_t \cap \operatorname{Prism}_{\varepsilon,1}}(n) &=-c_0 t (l-\varepsilon) \frac{\lambda_1}{\lambda_1+ \lambda_2}\, e+o(t) \\ &\qquad +c_0 t (l-\varepsilon) \sqrt{\lambda_1\lambda_2} \sqrt{1-\frac{1}{(\lambda_1+\lambda_2)^{2}}}\, \frac{e_2-e_1}{|e_2-e_1|} \\ &\qquad +O(t^2)+\int_{S^2} n\, d\nu_{S_t^1}(n)=\vec 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Приравнивая эти два выражения, получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{S^2} n\, d\nu_{S_t^1}(n)=c_0 t (l-\varepsilon)\lambda_1e_1+o(t) .
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим Поделив обе части последнего равенства на $|B_t|$, имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{S^2} {n}\, d\nu_{t,\varepsilon}^1({n})=c e_1+o(1), \qquad t \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Затем, сравнивая площади тел $\operatorname{Prism}_{\varepsilon,1}$ и $C_t \cap\operatorname{Prism}_{\varepsilon,1}$, получаем, что $|S_{t,\varepsilon}^1|=(l-\varepsilon) c_0 \lambda_1 t+o(t)$ и, следовательно, $\nu_{t,\varepsilon}^1(S^2)=c+o(1), t \to 0$. Покажем, что для любого $\delta>0$ справедливы предельные соотношения $\nu_{t,\varepsilon}^1(\{{n} \in S^2\colon \langle{n}, e_1\rangle>1-\delta\}) \to c$ и соответственно $\nu_{t,\varepsilon}^1(\{{n} \in S^2\colon \langle{n}, e_1\rangle \leqslant 1-\delta\}) \to 0$ при $t \to 0$; отсюда будет следовать, что $\nu_{t,\varepsilon}^1$ слабо сходится к $c\delta_{e_1}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{S^2} (1-\langle n, e_1\rangle )\, d\nu_{t,\varepsilon}^1({n})=\nu_{t,\varepsilon}^1(S^2) -\biggl\langle \int_{S^2} {n}\, d\nu_{t,\varepsilon}^1({n}), e_1\biggr\rangle=o(1), \qquad t \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно неравенству Чебышёва
$$
\begin{equation*}
\nu_{t,\varepsilon}^1(\{{n} \in S^2\colon \langle{n}, e_1\rangle \leqslant 1-\delta\}) \leqslant \frac{1}{\delta} \int_{S^2} (1-\langle n, e_1\rangle)\, d\nu_{t,\varepsilon}^1({n}) \to 0, \qquad t \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\nu_{t,\varepsilon}^1(\{{n} \in S^2\colon \langle{n}, e_1\rangle>1-\delta\}) \\ &\qquad = \nu_{t,\varepsilon}^1(S^2)-\nu_{t,\varepsilon}^1(\{{n} \in S^2\colon \langle{n}, e_1\rangle \leqslant 1-\delta\})=c+ o(1), \qquad t \to 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, доказано, что
$$
\begin{equation*}
\nu_{t,\varepsilon}^1 \xrightarrow[t\to 0]{}\biggl(1-\frac{\varepsilon}l\biggr)\lambda_1\delta_{e_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом получаем, что
$$
\begin{equation*}
\nu_{t,\varepsilon}^2 \xrightarrow[t\to 0]{}\biggl(1-\frac{\varepsilon}l\biggr)\lambda_2\delta_{e_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем непрерывную функцию $f$ на $S^2$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{S^2} f(n)\, d\nu_t(n)-(\lambda_1 f(e_1)+\lambda_2 f(e_2))\biggr| \\ &\qquad \leqslant \biggl|\int_{S^2} f(n)\, d\nu_{t,\varepsilon}^1(n)-\lambda_1 f(e_1)\biggr| +\biggl|\int_{S^2} f(n)\, d\nu_{t,\varepsilon}^2(n)-\lambda_2 f(e_2)\biggr| \\ &\qquad\qquad +\biggl|\int_{S^2} f(n)\, d\nu_{t,\varepsilon}^{\mathrm{lat}}(n)\biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первое слагаемое в правой части этого неравенства сходится к $\frac{\varepsilon}{l}\lambda_1 |f(e_1)|$, второе слагаемое сходится к $\frac{\varepsilon}{l}\lambda_2 |f(e_2)|$, а верхний частичный предел третьего слагаемого не превосходит $\frac{\varepsilon}{l}(1+\lambda_1+\lambda_2) \cdot \max f$. В силу того, что $\varepsilon>0$ можно взять произвольно малым, заключаем, что интеграл в левой части этого неравенства сходится к нулю. Таким образом, $\nu_t$ слабо сходится к $\lambda_1 \delta_{e_1}+ \lambda_2 \delta_{e_2}$ при $t \to 0$. Теорема 3 доказана. § 5. Доказательство теоремы 4Здесь предполагается, что $B_0$ – точка, т.е. $B_0=\{r_0\}$, $e=\lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2$, $\lambda_1>0$, $\lambda_2>0$, где $e_1$ и $e_2$ – крайние точки $N(r_0)$. Для доказательства теоремы 4 нам потребуется несколько лемм. Доказательство леммы предоставляется читателю. Из леммы 10 следует, что существует по крайней мере один частичный предел меры $\nu_t$. Если частичный предел $\nu_*$ единственный, то $\nu_t$ сходится к $\nu_*$. Доказательство. Заметим, что пересечение вложенных множеств $S_t$ есть точка $r_0$, $\bigcap_{t>0} S_t=\{r_0\}$, поэтому для любого $\varepsilon>0$ найдется $t_0$ такое, что при $t<t_0$ множество $S_t$ содержится в $\varepsilon$-окрестности точки $r_0$, $B_\varepsilon(r_0)$. В самом деле, в противном случае мы имели бы семейство вложенных непустых компактных множеств $S_t \setminus B_\varepsilon(r_0)$ с пустым пересечением, что невозможно.
Пусть $K \subset S^2$; обозначим $\mathcal{O}_K$ множество точек ${r} \in \partial C$ таких, что некоторая внешняя нормаль к опорной плоскости в точке ${r}$ содержится в $K$. Если $K$ компактно, то и множество $\mathcal{O}_K$ также компактно. В самом деле, пусть ${r}_i$, $i \in \mathbb{N}$, – последовательность точек из $\mathcal{O}_K$, сходящихся к ${r}$. Для любого $i$ существует опорная плоскость в ${r}_i$ с внешней нормалью $v_i \in K$. Без ограничения общности предположим, что $v_i$ сходится к некоторому вектору $v$. Тогда $v \in K$ и плоскость с внешней нормалью $v$, проходящая через ${r}$, является опорной. Отсюда заключаем, что ${r}$ содержится в $\mathcal{O}_K$, а значит, множество $\mathcal{O}_K$ замкнуто и тем самым компактно. Рассмотрим открытое множество $\mathcal{N} \subset S^2$, содержащее $N(r_0)$. Множество $\mathcal{O}_{S^2 \setminus \mathcal{N}} \subset \partial C$ замкнуто и не содержит $r_0$. Следовательно, существует $t_0>0$ такое, что для всех $t<t_0$ множество $S_t$ содержится в $\partial C \setminus \mathcal{O}_{S^2 \setminus \mathcal{N}}$. Отсюда следует, что внешние векторы ко всем опорным плоскостям в точках из $S_t$ содержатся в $\mathcal{N}$, а значит, носитель меры $\nu_t$ принадлежит замыканию множества $\mathcal{N}$. Поскольку множество $\mathcal{N}$, содержащее $N(r_0)$, произвольно, мы заключаем, что носитель каждого частичного предела меры $\nu_t$ при $t \to 0$ содержится в $N(r_0)$. Возьмем какой-нибудь частичный предел $\nu_t$ и назовем его $\nu_*$. Из доказанного следует, что его носитель принадлежит замкнутому полушарию, содержащему $N(r_0)$ и ограниченному большим кругом, содержащим дугу $\Gamma$. С другой стороны, из формулы (7) следует, что интеграл $\displaystyle\int_{S^2} n\, d\nu_*(n)$ принадлежит этому большому кругу. Отсюда заключаем, что и носитель меры $\nu_*$ принадлежит большому кругу, а значит, принадлежит $\Gamma$. Лемма доказана. Для завершения доказательства теоремы 2 остается доказать следующее утверждение. Доказательство. Достаточно доказать лемму для точки $e_1$.
Сначала рассмотрим случай (а) $N(r_0)$ имеет непустую внутренность. Идея доказательства заключается в следующем. Мы фиксируем произвольное значение $0<\theta<1$ и для каждого $t$ находим область, принадлежащую $S_t$, относительная площадь которой (т.е. отношение ее площади к $|B_t|$) не стремится к нулю при $t \to 0$, причем носитель индуцированной этой областью нормированной меры находится на малом расстоянии от $e_1$ (в том смысле, что расстояние стремится к нулю при $\theta \to 0$). Напомним, что плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ задаются уравнениями $\langle r-r_0, e_1\rangle=0$ и $\langle r-r_0, e_2\rangle=0$ и ограничивают двугранный угол, плоскость $\Pi^{t}$ задается уравнением $\langle r-r_0, e\rangle=-t$, а параллельные прямые $l_1= l_1^t$ и $l_2=l_2^t$ образованы пересечениями плоскости $\Pi^t$ с $\Pi_1$ и $\Pi_2$. Расстояние между $l_1^t$ и $l_2^t$ равно $c_0 t$, где $c_0$ – положительная постоянная, определенная формулой (17) (см. также описание рис. 10, b). Обозначим $\widehat B_t$ пересечение касательного конуса с плоскостью $\Pi_t$. Это полубесконечная область, ограниченная лучами прямых $l_1^t$, $l_2^t$ и несколькими отрезками и содержащая $B_t$. Выберем точки $\widehat M_t$ и $\widehat N_t$ на этих лучах таким образом, что отрезок $\widehat M_t \widehat N_t$ перпендикулярен лучам. Обозначим $\widetilde\Pi$ плоскость, проходящую через $r_0$, $\widehat M_t$ и $\widehat N_t$. При достаточно малом $t$ пересечение $\widetilde\Pi$ с $B_t$ есть отрезок; обозначим его концы $M= M_t$ и $N=N_t$. Этот отрезок содержится в $\widehat M_t \widehat N_t$, причем
$$
\begin{equation*}
\frac{|M_t N_t|}{|\widehat M_t \widehat N_t|} \to 1\quad\text{при }\ t \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $\widehat C_t \widehat D_t$ ортогональную проекцию $B_t$ на прямую $l_1$. При достаточно малом $t$ отрезок $\widehat C_t \widehat D_t$ содержит точку $\widehat N_t$ и справедливо
$$
\begin{equation*}
\lim_{t \to 0}\frac{|\widehat C_t \widehat N_t|}{t}<\infty, \qquad \lim_{t \to 0} \frac{|\widehat D_t \widehat N_t|}{t}=\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $|\widehat D_t \widehat N_t|=d(t)$; таким образом, имеем $\lim_{t\to0} (d(t)/t)=\infty$.
Справедливо Зафиксируем значение $0<\theta<1$ и возьмем точку $\widehat F_t$ на $l_1$ между точками $\widehat N_t$ и $\widehat D_t$ такую, что $|\widehat N_t \widehat F_t|/|\widehat N_t \widehat D_t|=\theta$. Тем самым имеем $|\widehat N_t \widehat F_t|=\theta d(t)$ и $|\widehat F_t \widehat D_t|=(1-\theta) d(t)$. Пусть $D_t$ – точка на $\partial B_t$, проектирующаяся в точку $\widehat D_t$; если она не единственна (множество таких точек образует отрезок), то возьмем любую из них, например, ближайшую к $l_1$. Обозначим $\Pi_{[t]}$ плоскость, проходящую через $D_t$ и ребро двугранного угла, образованного $\Pi_1$ и $\Pi_2$, и обозначим $H_t$ точку пересечения этой плоскости с $M_t N_t$. Обозначим $|H_t \widehat N_t|=h(t) \leqslant c_0 t$. Может оказаться, что отрезок $H_t \widehat N_t$ вырождается в точку; в этом случае $h(t)=0$. Имеем $|H_t N_t|=h(t)+o(t)$ при $t \to 0$. Площадь прямоугольника $H_t \widehat N_t \widehat F_t E_t$ равна
$$
\begin{equation*}
|H_t \widehat N_t \widehat F_t E_t|=h(t) \cdot \theta d(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $B_t(\theta)$ часть области $B_t$, ограниченную ломаной $N_t H_t E_t F_t$ и дугой $N_t F_t$ границы $\partial B_t$. Учитывая, что кривая $N_t F_t D_t$ выпуклая, заключаем, что $|E_t F_t| \geqslant (1-\theta) |H_t N_t|$, а значит,
$$
\begin{equation*}
\biggl(\biggl(1-\frac\theta2\biggr)h(t)+o(t) \biggr)\theta d(t) \leqslant |B_t(\theta)| \leqslant h(t) \cdot \theta d(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что для некоторого $\theta_1=\theta_1(t) \in [0, \theta]$ справедливо
$$
\begin{equation}
|B_t(\theta)|=\biggl(\biggl(1-\frac{\theta_1}2\biggr)h(t)+o(t) \biggr)\theta d(t)
\end{equation}
\tag{22}
$$
(рис. 13 и 14).
Проведем через точку $E_t$ плоскость $\Pi_\theta(t)$, параллельную плоскости $\widetilde\Pi$. Пусть ${r}_{\theta,t}$ – точка пересечения этой плоскости с этим ребром. Точку пересечения отрезка $E_t {r}_{\theta,t}$ с поверхностью $\partial C$ обозначим $q_{\theta,t}$. Обозначим $v=v(t)$ вектор нормали к $\Pi_{[t]}$, направленный к $l_1$. Обозначим $C_t(\theta)$ часть тела $C$, ограниченную плоскостями $\Pi_1$, $\Pi^t$, $\Pi_{[t]}$, $\widetilde\Pi$, $\Pi_\theta(t)$, и сравним его с призмой, основаниями которой являются треугольники $H_t \widehat N_t r_0$ и $E_t \widehat F_t {r}_{\theta,t}$. Мы намерены сравнить соответствующие части поверхностей этого тела и этой призмы, а именно часть поверхности $\partial C$, ограниченную замкнутой линией $N_t F_t q_{\theta,t} r_0$, и прямоугольник $r_0 {r}_{\theta,t} \widehat F_t \widehat N_t$. Пусть расстояние между прямыми $r_0 r_{\theta,t}$ и $H_t E_t$ равно $c_1 t$, где $c_1= c_1(t)$ есть функция, зависящая от $t$ и ограниченная сверху и снизу положительными постоянными. Тогда $|r_0 H_t E_t {r}_{\theta,t}|=c_1t\cdot \theta d(t)$. Площадь криволинейного четырехугольника $r_0 H_t E_t q_{\theta,t}$ удовлетворяет неравенствам
$$
\begin{equation*}
\biggl(1-\frac\theta2\biggr) c_1 t\cdot \theta d(t) \leqslant |\square r_0 H_t E_t q_{\theta,t}| \leqslant |\square r_0 H_t E_t {r}_{\theta,t}|=c_1 t\cdot \theta d(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что при некотором $\theta_2=\theta_2(t) \in [0, \theta]$ справедливо
$$
\begin{equation}
|\square r_0 H_t E_t q_{\theta,t}|=\biggl(1-\frac{\theta_2}2\biggr) c_1 t\cdot \theta d(t).
\end{equation}
\tag{23}
$$
Далее, имеем
$$
\begin{equation*}
|\square r_0 {r}_{\theta,t} \widehat F_t \widehat N_t|e_1=c_1 t\cdot \theta d(t)v+h(t) \cdot \theta d(t) e,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation*}
e_1=\frac{v+\frac{h(t)}{c_1 t}\,e}{\bigl|v+\frac{h(t)}{c_1 t}\,e\bigr|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $S_{t,\theta}$ часть поверхности $\partial C$, ограниченную замкнутой линией $N_t F_t q_{\theta,t} r_0$, и рассмотрим соответствующую меру $\nu_{S_{t,\theta}}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{S^2} n\, d\nu_{S_{t,\theta}}(n) \\ &\qquad=|B_t(\theta)|e+|r_0 H_t E_t q_{\theta,t}|v +|r_0 H_t N_t|\frac{e_1 \times e_2}{|e_1 \times e_2|}-|q_{\theta,t} E_t F_t|\frac{e_1 \times e_2}{|e_1 \times e_2|}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя соотношения (22), (23) и учитывая, что $|OH_t N_t|= O(t^2)$, $|q_{\theta,t} E_t F_t|=O(t^2)$ при $t \to 0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{|B_t|} \int_{S^2} n\, d\nu_{S_{t,\theta}}(n) \\ &\qquad=\frac{\theta d(t) c_1 t}{|B_t|} \biggl[ \biggl(\biggl(1-\frac{\theta_1}{2}\biggr) \frac{h(t)}{c_1 t}+o(1) \biggr)e +\biggl(1-\frac{\theta_2}{2}\biggr)v+\frac{O(t)}{d(t)}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\frac{O(t)}{d(t)}=\frac{O(1)}{d(t)/t}=o(1)$. Угол между $e_1$ и $\displaystyle\int_{S^2} n\, d\nu_{S_{t,\theta}(n)}$ равен углу между $v+ \frac{h(t)}{c_1 t}\, e$ и $[v+\frac{h(t)}{c_1 t} \, e]-[\frac{\theta_2}{2}\, v+ \frac{\theta_1}{2}\,\frac{h(t)}{c_1 t}\, e]+o(1)$. Угол между прямыми, содержащими векторы $v$ и $e$, всегда превосходит наименьший из углов между прямыми, содержащими $e$ и $e_i$, $i=1,2$. Это видно из рис. 15: $e$ находится на дуге большого круга между $e_1$ и $e_2$, а $v$ – на дуге того же круга между $e_1$ и $-e_2$. Следовательно, норма вектора $v+\frac{h(t)}{c_1 t}\, e$ больше некоторого положительного значения $C_1$, зависящего только от $e$, $e_1$ и $e_2$. С другой стороны, учитывая неравенства $\frac{h(t)}{c_1 t} \leqslant \frac{c_0}{c_1}$, $0 \leqslant \theta_i \leqslant \theta$, $i= 1,2$, заключаем, что предел нормы вектора $\frac{\theta_2}{2}\, v+\frac{\theta_1}{2}\,\frac{h(t)}{c_1 t}\, e+o(1)$, $t \to 0$, меньше, чем произведение $\theta$ и некоторого положительного значения $C_2$, зависящего только от $e$, $e_1$ и $e_2$. Далее, используя (21), находим
$$
\begin{equation*}
\frac{\theta d(t)c_1 t}{|B_t|} \geqslant \frac{\theta c_1}{2c_0} \quad \text{при достаточно малом} \ \ t,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, величина $\frac{1}{|B_t|}\nu_{S_{t,\theta}}(S^2)$ удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{|B_t|}\nu_{S_{t,\theta}}(S^2) \geqslant \frac{1}{|B_t|} \biggl|\int_{S^2} n\,d\nu_{S_{t,\theta}}(n)\biggr| \geqslant \frac{\theta c_1}{2c_0}(C_1-C_2 \theta+o(1)) \quad \text{при} \ \ t \to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, при $\theta<C_1/C_2$ каждый частичный предел $\frac{1}{|B_t|}\nu_{S_{t,\theta}^{1}}$ не равен нулю. Пусть $\nu_*$ – некоторый частичный предел меры $\nu_t$; таким образом, $\nu_*=\lim_{i \to \infty} \nu_{t_i}$ для некоторой последовательности $t_i$, сходящейся к нулю. Центр масс каждого частичного предела меры $\frac{1}{|B_{t_i}|}\nu_{S_{{t_i},\theta}}$ принадлежит некоторому открытому выпуклому конусу $\mathcal{U}_\theta(e_1)$, который в пределе $\theta \to 0$ сжимается в луч, проходящий через $\{e_1\}$. Поскольку $\frac{1}{|B_t|}\nu_{S_{t,\theta}} \leqslant \nu_t$ и носитель меры $\nu_*$ принадлежит дуге $\Gamma$, носитель частичного предела меры $\frac{1}{|B_{t_i}|}\nu_{S_{{t_i},\theta}}$ также содержится в $\Gamma$ и, кроме того, имеет непустое пересечение с $\mathcal{U}_\theta(e_1)$ (в противном случае его центр масс не принадлежал бы $\mathcal{U}_\theta(e_1)$). Отсюда следует, что $\operatorname{spt}\nu_*$ также имеет непустое пересечение с $\mathcal{U}_\theta(e_1)$. Здесь и далее $\operatorname{spt}\nu$ обозначает носитель меры $\nu$. Поскольку $\theta$ может быть сделано сколь угодно малым, $\operatorname{spt}\nu_*$ содержит точки, сколь угодно близкие к $e_1$, а значит, содержит и $e_1$. Рассмотрим теперь случай (b) $N(r_0)$ – двугранный угол. Разделим $C$ на два выпуклых тела $C_1$ и $C_2$ плоскостью $\Pi_\perp$, проходящей через $r_0$ и параллельной $e_1$ и $e_2$. Вектор $e_\perp=e_1 \times e_2/|e_1 \times e_2|$ служит нормалью к этой плоскости. Плоская фигура $B_t$ и поверхность $S_t$ делятся этой плоскостью соответственно на две фигуры $B_t^1$ и $B_t^2$ и две поверхности $S_t^1$ и $S_t^2$. Точка $r_0$ является конической для тел $C_1$ и $C_2$. Пусть $\nu_t^{(1)}$ и $\nu_t^{(2)}$ – нормированные меры, соответствующие этим телам в окрестности той же точки $r_0$, и с теми же отсекающими плоскостями. Эти меры индуцированы соответственно поверхностями $S_t^1$ и $S_t^2$, а также плоскими областями, принадлежащими $\Pi_\perp$ и имеющими площадь $s_t=O(t^2)$. Вклад этих плоских областей в меры $\nu_t^{(1)}$ и $\nu_t^{(2)}$ стремится к нулю при $t \to 0$. Мера $\nu_t$ есть линейная комбинация нормированных мер, порожденных $S_t^1$ и $S_t^2$, а именно
$$
\begin{equation*}
\nu_t=\frac{1}{|S_t|} [|S_t^1| \nu_t^{(1)}-s_t \delta_{v_\perp}]+\frac{1}{|S_t|} [|S_t^2| \nu_t^{(2)}-s_t \delta_{-v_\perp}].
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для каждого частичного предела $\nu_*$ мер $\nu_{t}$ и для соответствующей последовательности $t_i$ справедливо
$$
\begin{equation*}
\nu_*=\lim_{i\to\infty} \biggl(\frac{|S_{t_i}^1|}{|S_{t_i}|} \nu_{t_i}^{(1)}+ \frac{|S_{t_i}^2|}{|S_{t_i}|} \nu_{t_i}^{(2)}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя в случае необходимости к подпоследовательности, можно считать, что пределы $|S_{t_i}^j|/|S_{t_i}|$, $\nu_{t_i}^{(j)}$, $i \to \infty$, $j=1,2$, существуют. Согласно доказанному выше в случае (а) носитель каждого частичного предела мер $\nu_t^{(1)}$ и $\nu_t^{(2)}$ содержит точки $e_1$ и $e_2$, а следовательно, носитель $\nu_*$ также содержит эти точки. Лемма 12 доказана. Таким образом, мы полностью доказали теорему 4. § 6. Доказательство теоремы 5Пусть $\alpha$ – угол между $e$ и $e_1$, а $\beta$ – угол между $e$ и $e_2$, т.е. $\langle e, e_1\rangle=\cos\alpha$ и $\langle e, e_2\rangle=\cos\beta$, $\alpha>0$, $\beta>0$, $\alpha+\beta<\pi$. Возьмем ортонормированную систему координат $x$, $y$, $z$, начало координат которой находится в $r_0$, а векторы $e$, $e_1$, $e_2$ имеют вид $e=(0,0,-1)$, $e_1=(-\sin\alpha, 0, -\cos\alpha)$, $e_2=(\sin\beta, 0, -\cos\beta)$. Тогда $\lambda_1=\sin\beta/\sin(\alpha+\beta)$, $\lambda_2= \sin\alpha/\sin(\alpha+\beta)$, $r_0=(0,0,0)$, а уравнение для касательного конуса (9) принимает вид
$$
\begin{equation}
-z\operatorname{ctg}\alpha \leqslant x \leqslant z\operatorname{ctg}\beta.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Заметим, что $\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta>0$, поэтому конус содержится в положительном полупространстве $z \geqslant 0$. Далее, имеем $C_t=C \cap \{z \leqslant t\}$, $B_t=C \cap \{z=t\}$ и $S_t=\partial C \cap \{z \leqslant t\}$. Образ дуги $\Gamma$ при ортогональной проекции на плоскость $xz$ есть дуга в $S^1$ с концами $(-\sin\alpha,-\cos\alpha)$ и $(\sin\beta, -\cos\beta)$. Будем отождествлять точки $(\sin\varphi, -\cos\varphi)$ окружности $S^1$ со значениями $\varphi \in [-\pi, \pi]$. В частности, образ дуги $\Gamma$ отождествляем с отрезком $[-\alpha,\beta]$. Образ компактного множества $K \subset \Gamma$ при данной проекции будем обозначать той же буквой $K$. Таким образом, при выбранной идентификации имеем $\{-\alpha,\beta\} \subset K \subset [-\alpha,\beta]$. Пусть выпуклое тело $C$ и особая ребристая точка $r_0$ на его границе таковы, что касательный конус в этой точке задается формулой (9), а ребро $B_0$ есть невырожденный отрезок. Согласно теореме 3 соответствующая предельная мера существует и ее носитель есть двухточечное множество $\{-\alpha,\beta\}$. Поэтому в дальнейшем достаточно ограничиться случаем, когда $K$ не является двухточечным множеством, т.е. вместе с точками $-\alpha$ и $\beta$ включает в себя некоторые внутренние точки отрезка $[-\alpha,\beta]$. Выберем конечную меру в $S^1$, носитель которой есть $K$. К примеру, можно выбрать производящую функцию меры $F_\mu(\varphi)=\mu([-\alpha, \varphi])$ следующим образом. Открытое множество $(-\alpha,\beta) \setminus K$ есть конечное или счетное объединение попарно не пересекающихся открытых интервалов, $(-\alpha,\beta) \setminus K=\bigcup_i (a_i, b_i)$. Каждому индексу $i$ поставим в соответствие некоторое значение $\xi_i \in (a_i, b_i)$. При $\varphi \in (a_i, b_i)$ положим $F_\mu(\varphi)=\alpha+\xi_i$, при $\varphi<-\alpha$ положим $F_\mu(\varphi)=0$, а при $\varphi \geqslant \beta$ положим $F_\mu(\varphi)=\alpha+\beta$. Затем распространим определение $F_\mu$ на замыкание $\overline{\bigcup_i (a_i, b_i)}$ таким образом, что полученная функция монотонно не убывает и полунепрерывна справа. Наконец, доопределим функцию $F_\mu$ на всем множестве $\mathbb R \setminus \overline{\bigcup_i (a_i, b_i)}$ (которое является несвязным объединением интервалов) таким образом, чтобы она была аффинной и строго монотонно возрастающей на замыкании каждого интервала. Далее мы намерены построить плоскую кривую, порождающую меру $\mu$, с концами на лучах $x= -z\operatorname{ctg}\alpha$, $z \geqslant 0$, и $x=z\operatorname{ctg}\beta$, $z \geqslant 0$, такую, что неограниченная область с границей, составленной из этой кривой и этих лучей, является выпуклой (рис. 16). Положим где $n_0$ – единичный вектор. Для любого вектора $n \in \Gamma$ справедливо неравенство $\langle n, e_1+e_2 \rangle> 0$, а значит,
$$
\begin{equation*}
\biggl\langle \int_{S^1} n\, d\mu(n), e_1+e_2 \biggr\rangle>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда мы заключаем, что $c_0 \ne 0$. Центр масс вспомогательной меры $\overline\mu=\mu+c_0 \delta_{-n_0}$ находится в начале координат; следовательно, по теореме А. Д. Александрова (см. [1; § 3]) существует единственное (с точностью до параллельного переноса) плоское выпуклое тело, поверхностная мера которого равна $\overline\mu$. (На рис. 16, a это тело – четырехугольник $ABCD$, а на рис. 16, b тело ограничено кривой $l$ и отрезком, соединяющим ее концы $A$ и $D$.) Граница этого тела есть объединение отрезка, соответствующего мере $c_0 \delta_{-n_0}$, и кривой, соответствующей мере $\mu$. Касательные векторы к этой кривой в ее концевых точках есть $(\cos\alpha, -\sin\alpha)$ и $(\cos\beta, \sin\beta)$. Проведем касательные к кривой в концевых точках и предположим без потери общности, что они пересекаются в начале координат (в противном случае мы можем соответствующим образом сдвинуть кривую). Построение закончено. Обозначим $V$ угол $-z\operatorname{ctg}\alpha \leqslant x \leqslant z\operatorname{ctg}\beta$. Пусть $\mathcal{B}$ – неограниченное замкнутое выпуклое множество, ограниченное снизу вышеуказанной кривой и лучами $x=-z\operatorname{ctg}\alpha, z \geqslant 0$, и $x=z\operatorname{ctg}\beta$, $z \geqslant 0$, и пусть $\overline{\mathcal{B}}=V \setminus \mathcal{B}$ (см. рис. 16). Возьмем $y \in \mathbb R$ и рассмотрим кривую $y^2 l$, гомотетичную $l$ с центром гомотетии в начале координат и с коэффициентом $y^2$ (если $y=0$, эта кривая вырождается в точку $(0,0)$), и обозначим $\mathcal{B}_y$ неограниченное выпуклое множество, ограниченное кривой $y^2 l$ и лучами угла $V$. Можно эквивалентным образом определить $\mathcal{B}_y=V \setminus y^2 \overline{\mathcal{B}}$. Таким образом, при $y \ne 0$ справедливо $\mathcal{B}_y=y^2\mathcal{B}$, а при $y=0$ $\mathcal{B}_0=V$. Справедливо отношение монотонности $\mathcal{B}_{y_1} \subset \mathcal{B}_{y_2}$ при $|y_1| \geqslant |y_2|$. Определим $C$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
C=\{(x,y,z) \colon (x,z) \in \mathcal{B}_y, \ z \leqslant 1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Неформально выражаясь, при пересечении $C$ плоскостями $y=$ const получаются множества $\mathcal{B}_y \cap \{z \leqslant 1\}$. Заметим, что при $0 \leqslant \lambda \leqslant 1$ и при любых $y_1$ и $y_2$
$$
\begin{equation*}
\lambda\mathcal{B}_{y_1}+(1-\lambda)\mathcal{B}_{y_2}=\mathcal{B}_{\sqrt{\lambda y_1^2+(1-\lambda) y_2^2}} \subset \mathcal{B}_{\lambda y_1+(1-\lambda)y_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Знак включения в этой формуле есть прямое следствие неравенства
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\lambda y_1^2+(1-\lambda) y_2^2} \geqslant |\lambda y_1+(1-\lambda)y_2|.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $y_1$ и $y_2$ ненулевые, то равенство в этой формуле следует из верного равенства для выпуклого множества $\mathcal{B}$
$$
\begin{equation*}
\lambda y_1^2 \mathcal{B}+(1-\lambda) y_2^2 \mathcal{B}=(\lambda y_1^2+(1-\lambda) y_2^2) \mathcal{B}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $y_1=y_2=0$, то равенство принимает вид $\lambda V+ (1-\lambda) V=V$. Если $y_1 \ne 0$ и $y_2=0$, то равенство принимает вид $\lambda y_1^2 \mathcal{B}+ (1-\lambda) V=\lambda y_1^2 \mathcal{B}$. Покажем, что $C$ выпукло. Для этого возьмем две точки ${r}_1=(x_1, y_1, z_1)$ и ${r}_2=(x_2, y_2, z_2)$ в $C$ и покажем, что $\lambda {r}_1+(1-\lambda) {r}_2$ лежит в $C$ для всех $0 \leqslant \lambda \leqslant 1$. В самом деле, поскольку $(x_1, z_1) \in \mathcal{B}_{y_1}$ и $(x_2, z_2) \in \mathcal{B}_{y_2}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\lambda (x_1, z_1)+(1-\lambda) (x_2, z_2) \in \lambda\mathcal{B}_{y_1}+(1-\lambda)\mathcal{B}_{y_2} \subset \mathcal{B}_{\lambda y_1+(1-\lambda)y_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, имеем очевидное неравенство $\lambda z_1+(1-\lambda) z_2 \leqslant 1$. Отсюда следует, что $\lambda {r}_1+(1-\lambda) {r}_2 \in C$. Легко видеть, что каждая точка $(x,0,z)$, где $(x,z)$ лежит во внутренности $V \cap \{z \leqslant 1\}$, есть внутренняя точка $C$. Далее, при достаточно большом $|y|$ а значит, $C$ ограничено и имеет непустую внутренность.Теперь проверим, что $C$ замкнуто. Пусть последовательность $\{{r}_i=(x_i, y_i, z_i)\} \subset C$ сходится к точке ${r}=(x,y,z)$. Если $y \ne 0$, то $\frac{1}{y_i^2} (x_i, z_i) \in \mathcal{B}$, и поскольку $\mathcal{B}$ замкнуто, предельная точка $\frac{1}{y^2} (x,z)$ также лежит в $\mathcal{B}$. Отсюда следует, что $(x,y,z) \in C$. Если $y=0$, то
$$
\begin{equation*}
(x_i, z_i) \in V \quad\Longrightarrow\quad (x,z) \in V,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, $(x,0,z) \in C$. Таким образом, $C$ выпукло, компактно и имеет непустую внутренность, т.е. является выпуклым телом. Возьмем $\varphi \in (\beta, \pi-\alpha)$ и проведем луч в плоскости $xz$ с вершиной $(0,0)$ и с направляющим вектором $(\cos\varphi, \sin\varphi)$. Этот луч пересекает $\partial\mathcal{B}$ в некоторой точке $\tau(\cos\varphi, \sin\varphi)$, $\tau>0$. Таким образом, пересечение $\partial C$ с плоскостью, проходящей через точку $r_0=(0,0,0)$ и имеющей нормаль $(-\sin\varphi, 0, \cos\varphi)$, есть кривая
$$
\begin{equation*}
(y^2 \tau\cos\varphi, y, y^2 \tau\sin\varphi), \qquad |y| \leqslant \frac{1}{\sqrt{\tau\sin\varphi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что ось $y$ касается $C$, а значит, содержится в любой опорной плоскости, проходящей через $r_0$. Далее, $C$ содержится в двугранном угле (24), но не содержится в любом меньшем двугранном угле с тем же ребром. Следовательно, касательный конус в точке $r_0$ задается соотношением (24). Пересечение $\mathcal{B}$ с прямой $z=\tau$, $\tau \geqslant 0$, либо пусто, либо является отрезком. Обозначим его длину $L(\tau)$; это неотрицательная непрерывная функция, обращающаяся в нуль при достаточно малом $\tau$ и удовлетворяющая неравенству $L(\tau) \leqslant (\operatorname{ctg}\alpha+ \operatorname{ctg}\beta)\tau$. Далее, множество $B_t$ при $0<t \leqslant 1$ есть
$$
\begin{equation*}
B_t=C \cap \{z=t\}=\{(x,y,t) \colon (x,t) \in \mathcal{B}_y\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пересечение $B_t$ с прямой $y=\tau$, $z=t$ есть либо пустое множество, либо отрезок (возможно, вырождающийся в точку), а его длина равна $y^2 L(t/y^2)$. Следовательно, площадь $B_t$ равна
$$
\begin{equation*}
|B_t|=\int_\mathbb R y^2 L\biggl(\frac{t}{y^2}\biggr)\, dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот интеграл конечен, поскольку подынтегральное выражение является ограниченной функцией и обращается в нуль вне некоторого ограниченного отрезка. Делая замену переменных $\xi=y/\sqrt t$, получаем
$$
\begin{equation*}
|B_t|=bt^{3/2}, \quad \text{где} \ \ b=\int_\mathbb R \xi^2 L\biggl(\frac1{\xi^2}\biggr)\, d\xi>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $S_t$ при $0<t \leqslant 1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
S_t=\partial C \cap \{z \leqslant t\}=\{(x,y,z) \colon (x,z) \in \partial\mathcal{B}_y, \ z \leqslant t\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оно является несвязным объединением, $S_t=S_t^+\cup S_t^- \cup S_t^0$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S_t^+=S_t \cap \{x=z\operatorname{ctg}\beta\}, \qquad S_t^-=S_t \cap \{x=-z\operatorname{ctg}\alpha\}, \\ S_t^0=S_t \cap \{-z\operatorname{ctg}\alpha<x<z\operatorname{ctg}\beta\}; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $S_t^+$ и $S_t^-$ являются пересечениями $S_t$ с гранями двугранного угла (24), а $S_t^0$ есть часть $S_t$, содержащаяся во внутренности этого угла. Часть $\partial\mathcal{B}$ ниже горизонтальной прямой $z=\tau$ есть объединение трех кривых; первая и третья – отрезки, содержащиеся в лучах $x=z\operatorname{ctg}\beta$, $z \geqslant 0$, и $x=-z\operatorname{ctg}\alpha$, $z \geqslant 0$, соответственно, а третья кривая лежит между этими лучами (и содержится в кривой $l$ или совпадает с ней). Обозначим $L_-(\tau), L_+(\tau), L_0(\tau)$ длины этих кривых. Это неотрицательные непрерывные функции переменной $\tau$, обращающиеся в нуль при достаточно малом значении $\tau$. Плоские поверхности $S_t^+$ и $S_t^-$ (с выкинутыми точками вида $(x,0,z)$) состоят из точек $(x,y,z)$ таких, что $z \leqslant t$ и $(x/y^2, z/y^2)$ лежит на пересечении $\partial\mathcal{B}$ с лучами $x=z\operatorname{ctg}\beta$ и $x=-z\operatorname{ctg}\alpha$ соответственно. Их площади равны
$$
\begin{equation*}
|S_t^\pm|=\int_\mathbb R y^2 L_\pm\biggl(\frac{t}{y^2}\biggr)\, dy,
\end{equation*}
\notag
$$
и, делая замену переменной $\xi=y/\sqrt t$, получаем
$$
\begin{equation*}
|S_t^\pm|=s_\pm t^{3/2}, \quad \text{где} \ \ s_\pm=\int_\mathbb R \xi^2 L_\pm\biggl(\frac{1}{\xi^2}\biggr)\, d\xi>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Внешние нормали к поверхностям $S_t^-$ и $S_t^+$ равны $e_1$ и $e_2$, следовательно, нормированные меры, порожденные $S_t^-$ и $S_t^+$, есть атомы $\frac{s_-}{b}\delta_{e_1}$ и $\frac{s_+}{b}\delta_{e_2}$. Обозначим $\nu_t^0$ нормированную меру, порожденную поверхностью $S_t^0$; тогда
$$
\begin{equation*}
\nu_t=\frac{s_-}{b}\delta_{e_1}+\frac{s_+}{b}\delta_{e_2}+\nu_t^0.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается описать $\nu_t^0$. Обозначим $l_0$ часть кривой $l$, которая лежит во внутренности угла $V$, $-z\operatorname{ctg}\alpha<x< z\operatorname{ctg}\beta$, и рассмотрим ее естественную параметризацию $(x(s), z(s))$, $s \in [0, s_0]$, начиная от луча $x=-z\operatorname{ctg}\alpha$. Длина кривой $s_0$ конечна и производная $(x'(s),z'(s))$ существует для почти всех $s$ и удовлетворяет $x'^2+z'^2=1$. Поверхность $S_t^0$ состоит из точек $(x,y,z)$ таких, что $z \leqslant t$ и $(x/y^2, z/y^2) \in l_0$. Параметризуем $S_t^0$ с помощью отображения определенного на области $D_t=\{(s,y) \colon 0 \leqslant s \leqslant s_0,\, y^2 z(s) \leqslant t\}$. Это отображение инъективно на подмножестве полной меры $D_t \setminus \{y \ne 0\}$.Элемент площади поверхности $S_t^0$ имеет вид $|{r}'_s \times r'_y|\, ds\, dy$, и внешняя нормаль к $S_t^0$ есть $({r}'_s \times r'_y)/|{r}'_s \times r'_y|$. Нетрудно видеть, что
$$
\begin{equation*}
{r}'_s(s,y) \times r'_y(s,y)=y^2 (z'(s), 2y\Delta(s), -x'(s)), \quad \text{где} \ \ \Delta(s)= \begin{vmatrix} x(s) & z(s)\\ x'(s) & z'(s) \end{vmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
и $|{r}'_s(s,y) \times r'_y(s,y)|=y^2 \sqrt{1+4y^2 \Delta(s)^2}$. Заметим, что вектор $(x', z')$ единичный и $|(x, z)| \leqslant C$, где $C$ обозначает наибольшее расстояние между точками $l_0$ и началом координат, поэтому функция $\Delta(s)$ ограничена, $|\Delta(s)| \leqslant C$. Мы получили, что элемент площади $S_t^0$ имеет вид $y^2 \sqrt{1+4y^2 \Delta(s)^2}\, ds\, dy$, а внешняя нормаль к $S_t^0$ в точке ${r}(s,y)$ равна
$$
\begin{equation*}
n(s,y)=\frac{(z'(s), 2y\Delta(s), -x'(s))}{\sqrt{1+4y^2\Delta(s)^2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь определим вспомогательную нормированную меру $\widetilde\nu_t$, индуцированную семейством векторов $\widetilde n(s,y)=(z'(s), 0, -x'(s))$ на измеримом пространстве $D_t$ с мерой $d\widetilde\mu(s,y)=y^2 \,ds \,dy$, следующим образом: для любого борелевского множества $\mathcal{A} \subset S^2$
$$
\begin{equation*}
\widetilde\nu_t(\mathcal{A})=\frac{1}{b t^{3/2}}\widetilde\mu\bigl(\{(s,y) \colon \widetilde n(s,y) \in \mathcal{A}\} \bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Изучать меру $\widetilde\nu_t$ легче, чем меру $\nu_t^0$; ниже мы покажем, что она в действительности не зависит от $t$. Покажем, что $\widetilde\nu_t$ и $\nu_t^0$ асимптотически эквивалентны: либо они обе сходятся к одному и тому же пределу, либо обе расходятся. Для этого достаточно показать, что для любой непрерывной функции $f$ на $S^2$
$$
\begin{equation*}
\int_{S^2} f(n)\, d(\nu_t^0-\widetilde\nu_t)(n) \to 0 \quad \text{при} \ \ t \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот интеграл может быть записан в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{b t^{3/2}} \iint_{D_t} f \biggl(\frac{(z'(s), 2y\Delta(s), -x'(s))}{\sqrt{1+ 4y^2\Delta(s)^2}}\biggr) y^2 \sqrt{1+4y^2\Delta(s)^2}\,ds\,dy \\ &\qquad\qquad -\frac{1}{b t^{3/2}} \iint_{D_t} f(z'(s), 0, -x'(s))y^2\, ds\, dy \\ &\qquad =\frac{1}{b t^{3/2}} \iint_{D_t} \biggl[f\biggl(\frac{(z'(s), 2y\Delta(s), -x'(s))}{\sqrt{1+4y^2\Delta(s)^2}}\biggr)\sqrt{1+4y^2\Delta(s)^2} \\ &\qquad\qquad\qquad -f(z'(s), 0, -x'(s))\biggr] y^2\,ds\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $f$ непрерывная, а следовательно, и равномерно непрерывная на $S^2$, а функция $\Delta(s)$ ограничена, заключаем, что выражение в квадратных скобках в последнем интеграле стремится к нулю при $y \to 0$ равномерно по $s$, а значит, не превосходит по модулю некоторую неотрицательную четную монотонно неубывающую при $y \geqslant 0$ функцию $\gamma(y)$, сходящуюся к нулю при $y \to 0$. Делая замену переменной $\xi=y/\sqrt t$, получаем, что последний интеграл по модулю не превосходит
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{b t^{3/2}} \iint_{D_t} y^2 \gamma(y)\,ds\,dy &=\frac{1}{b t^{3/2}} \int_0^{s_0} ds \int_{-\sqrt{t/z(s)}}^{\sqrt{t/z(s)}} y^2 \gamma(y)\,dy \\ &=\frac{1}{b} \int_0^{s_0} ds \int_{-1/\sqrt{z(s)}}^{1/\sqrt{z(s)}} \xi^2 \gamma(\sqrt t\, \xi)\, d\xi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку подынтегральное выражение $\xi^2 \gamma(\sqrt t\, \xi)$ монотонно не убывает по $t$ и стремится к нулю при $t \to 0$, заключаем, что и последний интеграл
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{b} \int_0^{s_0} ds \int_{-1/\sqrt{z(s)}}^{1/\sqrt{z(s)}} \xi^2 \gamma(\sqrt t\, \xi)\, d\xi
\end{equation*}
\notag
$$
стремится к 0 при $t \to 0$. Остается рассмотреть меру $\widetilde\nu_t$. Ее носитель есть $\Gamma$, поскольку все векторы $(z', 0, -x')$ принадлежат $\Gamma$. Напомним, что мы отождествляем значение $\varphi$ с вектором $(\sin\varphi, 0, -\cos\varphi)$. Возьмем интервал $\mathcal{U}=(\varphi_1, \varphi_2) \subset (-\alpha,\beta)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\widetilde\nu_t(\mathcal{U})=\frac{1}{b t^{3/2}} \int_{F_\mu(\varphi_1)}^{F_\mu(\varphi_2-0)}\, ds \int_{-\sqrt{t/z(s)}}^{\sqrt{t/z(s)}} y^2\, dy =\frac{1}{b} \int_{F_\mu(\varphi_1)}^{F_\mu(\varphi_2-0)} \frac{2}{3}\,\frac{1}{z(s)^{3/2}}\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\widetilde\nu_t$ не зависит от $t$, $\widetilde\nu_t=\widetilde\nu$, а значит, $\nu_t^0 \to \widetilde\nu$ при $t \to 0$. Если $\mathcal{U} \cap K=\varnothing$, то $F_\mu(\varphi_1)= F_\mu(\varphi_2-0)$ и согласно вышеозначенной формуле $\widetilde\nu(\mathcal{U})= 0$. Если пересечение $\mathcal{U} \cap K$ непусто, то $F_\mu(\varphi_1)<F_\mu(\varphi_2-0)$, и поэтому $\widetilde\nu(\mathcal{U})>0$. Таким образом, $\operatorname{spt}\widetilde\nu \setminus \{-\alpha,\beta\}$ совпадает с $K \setminus \{ -\alpha,\beta\}$. Остается заметить, что $\nu_t$ сходится к $\nu_*=\frac{s_-}{b}\, \delta_{e_1}+ \frac{s_+}{b}\, \delta_{e_2}+\widetilde\nu$ и $\operatorname{spt}\nu_*=K$. Теорема 5 доказана. БлагодарностиЯ благодарен Г. Вахсмуту и В. А. Александрову за полезные обсуждения. Я также благодарен анонимному рецензенту за внимательное чтение статьи и многочисленные полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pla24} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|