Взаимные ограничения кривизны и площади поверхности, лежащей в шаре фиксированного диаметра

Пусть $S$ – площадь поверхности $F$ в $E^3$, $p$ – длина границы $F$, $\chi$ – эйлерова характеристика $F$, $K$ – гауссова кривизна, $M=\displaystyle\int |K|\,dS$, $d$ – диаметр шара, содержащего $F$. Основные результаты: для замкнутой поверхности класса $C^2$ имеет место оценка
$$ S<\frac34 Md^2. $$
Для односвязной поверхности класса $C^2$ при условии $\int K^{+}\,dS<\pi$
$$ S<(C_1+C_2M)^{3/2}(p\sqrt{pd}+pd), $$
где $C_1,C_2$ – абсолютные постоянные.
Аналогичные результаты справедливы для многогранных поверхностей.