On some universal criterion for a fixed point

Критерии неподвижной точки находят применение в различных областях математики. Хорошо известен интерес к проблеме нахождения достаточных условий того, что преобразование из некоторого класса имеет неподвижную точку. В контексте изучения проблемы поэлементного описания моноида всех эндоморфизмов группоида были сформулированы: биполярная классификация эндоморфизмов и сопутствующие математические объекты. В частности, было сформулировано понятие «биполярный тип эндоморфизма» группоида (или просто «биполярный тип»). Всякий эндоморфизм произвольного группоида имеет ровно один биполярный тип. В данной работе с помощью биполярных типов формулируется и доказывается критерий неподвижной точки произвольного преобразования некоторого непустого множества (далее универсальный критерий неподвижной точки). Данный критерий не является простым в применении. Дальнейшее расширение круга задач, к которым можно применять данный критерий, напрямую зависит от успехов в исследовании свойств эндоморфизмов группоидов. В работе формулируются открытые общие проблемы, успехи в исследовании которых расширят возможности применения универсального критерия неподвижной точки. Обсуждается связь между сформулированными проблемами и полученным критерием. Получены необходимые и достаточные условия того, что выполняется гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана. Эти условия получены с помощью универсального критерия неподвижной точки.