Ковыпуклая интерполяция сплайнами по трехточечным рациональным интерполянтам

Для дискретных функций $f(x)$, определенных на произвольных сетках узлов $\Delta: a=x_0 < x_1 < \dots < x_N=b$ $(N\geqslant 3)$, исследованы вопросы сохранения выпуклости (вверх или вниз) и ковыпуклости с переменой направления выпуклости рациональными сплайн-функциями $R_{N,1}(x)=R_{N,1} (x, f, \Delta, g(t))= (R_i(x)(x-x_{i-1})+R_{i-1}(x)(x_i-x))/(x_i-x_{i-1})$, где $x\in [x_{i-1},x_i]$ $(i=1,2,\dots,N)$, $R_i(x)=\alpha_i+\beta_i(x-x_i)+\gamma_i/(x-g_i(t))$ $(i=1,2,\dots,N-1)$ и $R_i(x_j)=f(x_j)$ $(j=i-1,i,i+1)$; положение полюса $g_i(t)$ относительно узлов $x_{i-1}$ и $x_i$ определяется параметром $t$; считаем $R_0(x)\equiv R_1(x)$, $R_N(x)\equiv R_{N-1}(x)$. Для таких сплайнов получены условия сохранения ковыпуклости $1/2 < |q_i| < 2$ относительно отношений $q_i=f(x_{i-2}, x_{i-1}, x_i)/f(x_{i-1},x_i, x_{i+1})$, $i=2,3,\dots,N-1$.