|
Минимальные подмногообразия сфер и конусов
М. И. Зеликин, Ю. С. Осипов Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Аннотация:
В работе изучаются пересечения конусов нулевого индекса со сферами. Найдены поля соответствующих минимальных многообразий. В частности, рассмотрим конус $\mathbb{K} =\{x_0^2+x_1^2=x_2^2+x_3^2\}$. Его пересечение со сферой $\mathbb{S}^3=\sum_{i=0}^3x_i^2$ часто называют клиффордовым тором $\mathbb{T}$, потому что Клиффорд первым заметил, что метрика этого тора как подмногообразия $\mathbb{S}^3$ с индуцированной из $\mathbb{S}^3$ метрикой является евклидовой. Помимо этого тор $\mathbb{T}$, рассматриваемый как подмногообразие $\mathbb{S}^3$, является минимальной поверхностью. Аналогично можно рассмотреть конус $\mathcal{K} =\{\sum_{i=0}^3x_i^2=\sum_{i=4}^7x_i^2\}$, который часто называют конусом Саймонса, потому что он доказал, что $\mathcal{K}$ задает однозначную, негладкую, глобально определенную минимальную поверхность в $\mathbb{R}^8$, не являющуюся плоскостью. Оказывается, что пересечение $\mathcal{K}$ с семимерной сферой $\mathbb{S}^7$ также является, подобно тору Клиффорда, минимальной поверхностью в $\mathbb{S}^7$. Эти факты доказываются в статье с помощью техники кватернионов и алгебры Кэли.
Ключевые слова:
минимальная поверхность, гауссова кривизна, кватернионы, октонионы (числа Кэли), поле экстремалей, функция Вейерштрасса.
Поступила в редакцию: 11.02.2019 Исправленный вариант: 11.03.2019 Принята в печать: 18.03.2019
Образец цитирования:
М. И. Зеликин, Ю. С. Осипов, “Минимальные подмногообразия сфер и конусов”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, № 3, 2019, 100–107; Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 307, suppl. 1 (2019), S172–S178
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/timm1650 https://www.mathnet.ru/rus/timm/v25/i3/p100
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 222 | PDF полного текста: | 84 | Список литературы: | 28 | Первая страница: | 7 |
|