|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)
Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления с двумя малыми соподчиненными параметрами
А. Р. Данилин Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург
Аннотация:
Рассматривается задача оптимального граничного управления решениями уравнения эллиптического типа в ограниченной области с гладкой границей с малым коэффициентом при операторе Лапласа и малым, соподчиненным с первым, коэффициентом при граничном условии и интегральными ограничениями на управление.
$$
\left\{
\begin {array}{ll}
\displaystyle \mathcal {L}_\varepsilon \mathop {:=}\nolimits - \varepsilon^2 \Delta z + a(x) z = f(x), &
\displaystyle x\in \Omega,\ \ z \in H^1(\Omega), \\[3ex]
\displaystyle l_{\varepsilon,\beta} z\mathop {:=} \nolimits \varepsilon^\beta \frac{\partial z}{\partial n} = g(x) + u(x), &
x\in\Gamma,
\end {array}
\right.
$$
со следующим функционалом качества
$$
J(u) \mathop {:=} \nolimits \|z-z_d\|^2 + \nu^{-1}|||u|||^2 \to \inf, \quad
u \in \mathcal {U},
$$
где $0<\varepsilon\ll 1$, $\beta\geqslant 0$, $\beta\in\mathbb{Q}$, $\nu>0,$ $H^1(\Omega)$ - соболевское пространство функций, $\partial z/\partial n$ - производная функции $z$ в точке $x\in\Gamma$ по направлению внешней (по отношению к области $\Omega$) нормали,
$$
\begin {array}{c}
\displaystyle a(\cdot), f(\cdot), z_d(\cdot) \in C^\infty(\overline{\Omega}), \quad
g(\cdot)\in C^\infty(\Gamma),\quad
\forall\, x\in \overline{\Omega}\quad a(x)\geqslant \alpha^2>0, \\[2ex]
\displaystyle \mathcal {U} = \mathcal {U}_1,\quad \mathcal {U}_r\mathop {:=} \nolimits \{u(\cdot)\in L_2(\Gamma)\colon
|||u||| \leqslant r\}.
\end {array}
$$
Здесь через $\|\cdot\|$ обозначена норма в пространстве $L_2 (\Omega)$, а через $|||\cdot|||$ - норма в пространстве $L_2 (\Gamma)$. Получено полное асимптотическое разложение по степеням малого параметра решения рассматриваемой задачи в случае, когда $0<\beta<3/2$.
Ключевые слова:
сингулярные задачи, оптимальное управление, краевые задачи для систем уравнений в частных производных, асимптотические разложения.
Поступила в редакцию: 04.11.2019 Исправленный вариант: 10.01.2020 Принята в печать: 14.01.2020
Образец цитирования:
А. Р. Данилин, “Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления с двумя малыми соподчиненными параметрами”, Тр. ИММ УрО РАН, 26, № 1, 2020, 102–111
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/timm1702 https://www.mathnet.ru/rus/timm/v26/i1/p102
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 230 | PDF полного текста: | 39 | Список литературы: | 38 | Первая страница: | 4 |
|