О нормах разностных операторов Бомана - Шапиро

При заданных $k\in\mathbb{N},$ $h>0$ на пространстве $C=C(\mathbb {R})$ непрерывных ограниченных на вещественной оси $\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$ функций рассматривается точное неравенство $\|W_{2k}(f,h)\|_{C}\le C_{k}\;\|f\|_{C}$ для разностного оператора Бомана — Шапиро вида $W_{2k}(f,h)(x):=\displaystyle\frac{(-1)^k}{h}\displaystyle\int_{-h}^h\!{\binom {2k} k}^{\!-1}\widehat \Delta_t^{2k}f(x)\Big(1-\frac{|t|}h\Big)\, dt,$ где $\widehat\Delta_t^{2k} f(x):=\sum\limits_{j=0}^{2k} (-1)^{j} \binom{2k}{j} f(x+jt-kt)$ — центральная конечная разность функции $f$ порядка $2k$ с шагом $t$. При каждом фиксированном $k\in\mathbb {N}$ точная константа $C_{k}$ в указанном неравенстве является нормой оператора $W_{2k}(\cdot,h)$ из $C$ в $C.$ Доказано, что $C_{k}$ не зависит от $h$, возрастает по $k$ и предъявлен простой способ вычисления константы $C_{*}=\lim\limits_{k\to\infty}C_{k}=2.6699263\dots$ с точностью $10^{-7}$. В работе также рассмотрена задача продолжения непрерывной функции $f$ с отрезка $[-1,1]$ на ось $\mathbb{R}$. Для этого продолжения $g_f:=g_{f,k,h},$ $k\in\mathbb {N},$ $0<h<1/(2k),$ функций $f\in C[-1,1]$ получены новые двусторонние оценки для точной константы $C^{*}_{k}$ в неравенстве $\|W_{2k}(g_f,h)\|_{C(\mathbb R)}\le C^{*}_{k}\,\omega_{2k}(f,h),$ где $\omega_{2k}(f,h)$ — модуль непрерывности функции $f$ порядка $2k.$ А именно, при любом натуральном $k\ge 6$ и любом $h\in\big(0,1/(2k)\big)$ доказано двойное неравенство $5/12\le C^{*}_{k}<\big(2+e^{-2}\big) \,C_{*}.$