|
Неравенство Бернштейна - Сеге для тригонометрических полиномов в пространстве $L_0$ с константой большей, чем классическая
А. О. Леонтьева Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург
Аннотация:
Во множестве $\mathscr{T}_n$ тригонометрических полиномов $f_n$ порядка $n$ с комплексными коэффициентами рассматривается производная Вейля (дробная производная) $f_n^{(\alpha)}$ вещественного неотрицательного порядка $\alpha$. Изучается точная константа $B_n(\alpha,\theta)_p$ в неравенстве Бернштейна — Сеге
$\|f_n^{(\alpha)}\cos\theta+\tilde{f}_n^{(\alpha)}\sin\theta\|_p\le B_n(\alpha,\theta)_p\|f_n\|_p.$
Такие неравенства иccледуются уже больше 90 лет. Известно, что при $1\le p\le\infty,\,\alpha\ge 1$ и $\theta\in\mathbb R$ константа имеет классическое значение $B_n(\alpha,\theta)_p=n^\alpha$.
Случай $p=0$ интересен как минимум по той причине, что константа $B_n(\alpha,\theta)_0$ является наибольшей по $p$ при $p\in[0,\infty]$.
В. В. Арестов доказал, что при $r\in\mathbb N$ неравенство Бернштейна в $L_0$ выполняется с константой $B_n(r,0)_0=n^r$, а константа $B_n(\alpha,\pi/2)_0$ в неравенстве Сеге в $L_0$ с ростом $n$ ведет себя как $4^{n+o(n)}$. В 1994 г. В. В. Арестов, а в 2014 В. В. Арестов и П. Ю. Глазырина изучали вопрос об условиях на параметры $n$ и $\alpha$, при которых константа в неравенстве Бернштейна — Сеге принимает классическое значение $n^\alpha$. Недавно автором была доказана гипотеза В. В. Арестова и П. Ю. Глазыриной о том, что при $\alpha\ge 2n-2$ при всех $\theta\in\mathbb R$ неравенство Бернштейна — Сеге выполняется с константой $n^\alpha$. Открытым остается вопрос о точности границы $\alpha=2n-2,$ точнее говоря, вопрос о точной константе при $\alpha<2n-2.$ В данной статье доказано, что для любого $0\le\alpha<n$ найдется $\theta^*(\alpha)$ такое, что $B_n(\alpha, \theta^*(\alpha))_0>n^\alpha.$
Ключевые слова:
тригонометрические полиномы, производная Вейля, неравенство Бернштейна — Сеге, пространство $L_0.$.
Поступила в редакцию: 20.05.2022 Исправленный вариант: 25.09.2022 Принята в печать: 03.10.2022
Образец цитирования:
А. О. Леонтьева, “Неравенство Бернштейна - Сеге для тригонометрических полиномов в пространстве $L_0$ с константой большей, чем классическая”, Тр. ИММ УрО РАН, 28, № 4, 2022, 128–136
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/timm1956 https://www.mathnet.ru/rus/timm/v28/i4/p128
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 93 | PDF полного текста: | 30 | Список литературы: | 19 | Первая страница: | 4 |
|