Полные и элементарные сети над полем частных кольца с QR-свойством

Система $\sigma=(\sigma_{ij}), 1\leq{i, j}\leq{n},$ аддитивных подгрупп $\sigma_{ij}$ поля $K$ называется сетью (ковром) над $K$ порядка $n$, если $\sigma_{ir} \sigma_{rj} \subseteq{\sigma_{ij}}$ при всех значениях индексов $i, r, j.$ Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью. По элементарной сети $\sigma$ определяется элементарная сетевая подгруппа $E(\sigma)$, которая порождается элементарными трансвекциями $t_{ij}(\alpha) = e+\alpha e_{ij}$. Элементарная сеть $\sigma$ называется замкнутой, если подгруппа $E(\sigma)$ не содержит новых элементарных трансвекций. Пусть $R$ — нетерова область с QR-свойством (то есть всякое промежуточное подкольцо, лежащее между $R$ и его полем частных $K$, является кольцом частных кольца $R$ относительно мультипликативной системы из $R$), $\sigma=(\sigma_ {ij})$ — полная (элементарная) сеть порядка $n\geq 2$ (соответственно $n\geq 3$) над $K$, причем аддитивные подгруппы $\sigma_{ij}$ — ненулевые $R$-модули. Доказано, что с точностью до сопряжения диагональной матрицей все $\sigma_{ij}$ являются (дробными) идеалами фиксированного промежуточного подкольца $P$, $R\subseteq P \subseteq K$, причем для всех $i< j$ выполняются включения $\pi_{ij}\pi_{ji}\subseteq P, \ \pi_{ij}\subseteq P\subseteq \pi_{j i}$. В частности, элементарная сеть $\sigma$ является замкнутой.