О существовании спорадического композиционного фактора в некоторых конечных группах

Пусть $G$ — конечная группа, $\pi(G)$ — множество всех простых делителей ее порядка, $\omega(G)$ — множество всех порядков ее элементов (ее спектр). Графом простых чисел (или графом Грюнберга — Кегеля) конечной группы $G$ называется граф $GK(G)$, в котором вершинами служат простые делители порядка группы $G$ и две различные вершины $p$ и $q$ смежны тогда и только тогда, когда $G$ содержит элемент порядка $pq$. Графы простых чисел простых неабелевых групп известны. Одним из популярных направлений исследований в теории конечных групп является изучение групп по свойствам их графов простых чисел. Мы исследуем неабелевы композиционные факторы конечных групп с графом простых чисел как у известной простой группы. В 2011 г. А. М. Старолетов изучил конечные группы, имеющие спектр как у конечной простой группы и спорадический композиционный фактор. Обобщая этот результат, мы рассматриваем в статье вопрос о том, может ли композиционный фактор конечной группы с графом простых чисел как у конечной простой группы быть изоморфным спорадической группе. Показано, что конечная группа с графом простых чисел как у простой исключительной группы лиева типа, отличной от $G_2(q)$ и ${^3}D_4(q)$, или как у простых классических групп $L_n(q)$, $U_n(q)$, $O_{2n+1}(q)$, $S_{2n}(q)$ для достаточно большого $n$ не имеет спорадических композиционных факторов, отличных от $F_1$. Кроме того, описаны спорадические композиционные факторы $S$ конечных групп $G$ с условиями $GK(G)=GK(H)$ и $\pi(G)=\pi(S)$, где $H$ — простая знакопеременная группа или простая группа лиева типа.