О порождаемости групп ${GL_n(q)}$ и ${PGL_n(q)}$ тремя инволюциями, две из которых перестановочны

Группу, порожденную тремя инволюциями, две их которых перестановочны, будем называть $(2\times 2,2)$-порожденной. Класс таких групп замкнут относительно гомоморфных образов, если по определению единичную группу считаем таковой и не исключаем совпадения двух или всех трех инволюций. В частности, в нашем определении любая диэдральная группа является $(2\times 2,2)$-порожденной. Вопрос о $(2\times 2,2)$-порождаемости конечных простых групп был поставлен В. Д. Мазуровым в Коуровской тетради в 1980 году. Ответ на этот вопрос известен, и он положителен, за исключением трех знакопеременных групп, некоторых групп лиева типа ранга не больше трех и четырех спорадических групп. В данной статье рассматривается $(2\times 2,2)$-порождаемость общей линейной группы $GL_n(q)$ над конечным полем порядка $q$ и ее проективного образа $PGL_n(q)$. Доказано, что $GL_n(q)$ (соответственно $PGL_n(q)$) тогда и только тогда является $(2\times 2,2)$-порожденной, когда либо a) $q=2$ и $n=2$ или $n\geq5$, либо б) $q=3$ и $n\geq 5$ (соответственно когда либо а) $n=2$ и $q$ любое, либо б) $n\geq 4$ и $(n,q-1)=2$, либо в) $n\geq 5$ и $(n,q-1)=1$).