О поведении решений одного квазилинейного уравнения вблизи нулевых заострений границы

Строится решение $u(x)$ уравнения $D_{x_i}(|Du|^{p-2}D_{x_i}u)=0$ (1) в сферическом конусе $K(l)$ раствора $l$, вида $u(x)=|x|^\lambda f_\lambda(x_n|x|^{-1})$ (2) равное нулю на $\partial K(l)$. Показано, что при $l\to\infty$ для показателя $\lambda=\lambda(l)$ имеет место асимптотическая формула $\lambda(l)=\pm Ll^{-1}+O(l)$, где $L$ – первый нуль решения задачи Коши для некоторого обыкновенного дифференциального уравнения. Используя решение (2) в качестве барьера, доказывается, что решение задачи Дирихле для уравнения (1) в области $\Omega$ принимает краевое условие в окрестности точки $O\in\partial\Omega$ со сверхстепенной скоростью, если в окрестности этой точки $\partial\Omega$ содержит “нулевое заострение наружу”.