Аналитические диффеоморфизмы окружности и топологическая теорема Римана-Роха для расслоений со слоем окружность

Рассматривается группа $\mathcal G$, которая является полупрямым произведением группы аналитических функций на окружности со значениями в ${\mathbb C}^*$ и группы аналитических диффеоморфизмов окружности, сохраняющих ориентацию. Далее строятся центральные расширения группы $\mathcal G$ с помощью группы ${\mathbb C}^*$. Первое центральное расширение, так называемое детерминантное центральное расширение, строится при помощи детерминантов линейных операторов, действующих в бесконечномерных локально выпуклых топологических $\mathbb C$-векторных пространствах. Другие центральные расширения строятся при помощи $\cup$-произведений групповых $1$-коциклов с применением к ним отображения, связанного с алгебраической $K$-теорией. Доказывается, что во второй группе когомологий, т. е. по модулю групповой $2$-кограницы, выполнено равенство между двенадцатой степенью $2$-коцикла (в мультипликативной записи), построенного с помощью первого центрального расширения, и произведением целых степеней $2$-коциклов, построенных выше с помощью $\cup$-произведений. В качестве приложения этого результата получается новая топологическая теорема Римана-Роха для комплексного линейного расслоения $L$ на гладком многообразии $M$, где $\pi :M \to B$ — расслоение на ориентированные окружности. Точнее, доказывается, что в группе $H^3(B, {\mathbb Z})$ элемент $12 \, [ {\mathcal Det} (L)]$ равен элементу $6 \, \pi_* ( c_1(L) \cup c_1(L))$, где $[{\mathcal Det} (L)]$ — класс детерминантного джерба на $B$, построенного по расслоению $L$ и детерминантному центральному расширению.