Законы сложения на якобианах плоских алгебраических кривых

Работа посвящена развитию теории сигма-функций, заданных на якобианах плоских алгебраических кривых, в направлении приложений в теории нелинейных дифференциальных уравнений и математической физике. Предложен механизм исследования законов сложения абелевых функций на основе полилинейных функциональных уравнений, которым удовлетворяют сигма-функции. В качестве ключевого инструмента построения решений полилинейных функциональных уравнений используются: (1) вырожденная функция Бейкера–Ахиезера с единственной особой точкой, в окрестности которой эта функция имеет вид $\xi ^{-g}\exp \{p(\xi ^{-1})\}(1+O(\xi ))$, где $g$ — род кривой и $p$ — полином степени не выше $2g-1$; (2) целые рациональные функции $R_{kg}$ с $kg$ нулями на кривой, задающие на $g$-й симметрической степени кривой обратный элемент при $k=2$ и сложение при $k=3$. Приведены явные формулы сложения гиперэллиптических абелевых функций. Изложена конструкция многомерных уравнений теплопроводности в неголономном репере, решениями которых являются сигма-функции. Установлена связь рекурсий, определяющих разложение сигма-функций в степенной ряд, с задачами Коши для систем линейных разностных уравнений. Обсуждается ряд открытых проблем. Изложение сопровождается большим числом примеров.