| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Квантовые поправки к эффективному потенциалу в неперенормируемых теориях Д. И. Казаковab, Д. М. Толкачевac, Р. М. Яхиббаевa a Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московсквя обл., Россия b Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Долгопрудный, Московская обл., Россия c Институт физики им. Б. И. Степанова НАН Беларуси, Минск, Беларусь
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923120061 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеИзвестно, что в квантовой теории поля классический скалярный потенциал приобретает квантовые поправки, которые могут существенно менять его характер. Коулман и Вайнберг [1] предложили механизм спонтанного нарушения симметрии за счет квантовых поправок в эффективный потенциал. При этом важную роль играет учет старших логарифмических по полю членов, которые в случае перенормируемых теорий могут быть просуммированы во всех порядках теории возмущений с помощью ренормгруппы. Такой, улучшенный с помощью ренормгруппы, эффективный потенциал и служит основой для поиска нарушения симметрии и определения устойчивости абсолютного или локального минимума [1]. Понятно, что возникающие при вычислении эффективного потенциала УФ-расходимости устраняются обычной процедурой перенормировки, так что мы имеем дело с конечным выражением, зависящим от перенормированного заряда и поля. Однако требование перенормируемости ограничивает вид потенциала полиномом четвертой степени, в то время как в различных космологических моделях используется широкий класс потенциалов, которые соответствуют неперенормируемым теориям. Возможно ли и в этих случаях найти квантовую поправку к эффективному потенциалу? Заметим, что формально можно получить однопетлевую поправку в эффективный потенциал в любой произвольной теории. Для этого нужно вычислить однопетлевую вакуумную диаграмму во внешнем классическом поле. Для скалярной теории с лагранжианом однопетлевая поправка к потенциалу имеет вид
$$
\begin{equation}
V_1=\frac{1}{16\pi^2}\frac{v_2^2}{4}\biggl(\frac{1}{\epsilon}+\ln\frac{\mu^2}{m^2(\phi)}\biggr), \qquad v_2\equiv\frac{d^2V_0}{d\phi^2}, \qquad m^2(\phi)=g v_2,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где для регуляризации возникающей УФ-расходимости мы воспользовались размерной регуляризацией. Для теории с потенциалом $V_0=\phi^4/4!$ соответственно имеем однопетлевую поправку, пропорциональную исходному потенциалу $\phi^4$:
$$
\begin{equation*}
V_1=\frac{1}{16\pi^2}\frac{\phi^4}{16}\biggl(\frac{1}{\epsilon}+\log\frac{2\mu^2}{g\phi^2}\biggr),
\end{equation*}
\tag{3}
$$
однако, например, для теории c потенциалом $V_0=\phi^6/6!$ уже получаем
$$
\begin{equation}
V_1=\frac{1}{16\pi^2}\frac{\phi^8}{2204}\biggl(\frac{1}{\epsilon}+\log\frac{24\mu^2}{g\phi^4}\biggr).
\end{equation}
\tag{4}
$$
Как видно, возникающая расходимость пропорциональна $\phi^8$ и не содержится в исходном потенциале. Очевидно, что в старших петлях такие новые члены будут нарастать, что отражает тот факт, что теория с $V_0=\phi^6/6!$ является неперенормируемой. Здесь мы сталкиваемся с общей проблемой неперенормируемых теорий: вычисления по теории возмущений приводят к появлению новых контрчленов, не повторяющих исходный лагранжиан. Каждый такой контрчлен содержит произвол вычитания, и таких контрчленов бесконечное число. Тем самым имеют место две проблемы: 1) как быть с бесконечным произволом, возникающим при введении контрчленов новой структуры, необходимых для устранения УФ-расходимостей; 2) как просуммировать лидирующие логарифмические члены во всех порядках теории возмущений в отсутствие уравнений ренормгруппы. В настоящей статье мы не ставим перед собой цели ответить на первый вопрос, но утверждаем, что коэффициенты при лидирующих расходимостях, или, что то же самое, коэффициенты при лидирующих логарифмах, не зависят от произвола вычитания. Поэтому, предполагая, что расходимости вычтены тем или иным способом, что бесконечный произвол как-то зафиксирован, можно говорить о независимой последовательности главных логарифмов во всех порядках теории возмущений. Для суммирования главных логарифмов нами получено обобщенное уравнение ренормгруппы, которое позволяет вычислить эффективный потенциал в приближении ведущих логарифмов в произвольных скалярных теориях, включая неперенормируемые. В перенормируемом случае это уравнение сводится к обычному ренормгрупповому уравнению с однопетлевой бета-функцией. 2. Эффективный потенциал в произвольной скалярной теорииЭффективный потенциал определяется как часть эффективного действия без производных. Прямой путь нахождения эффективного потенциала $V(\phi)$ по теории возмущений состоит в вычислении суммы одночастично-неприводимых вакуумных диаграмм, получаемых с использованием правил Фейнмана, следующих из сдвинутого действия $S[\phi+\hat \phi\,]$, где $\phi$ – классическое поле, удовлетворяющее уравнениям движения, а $\hat \phi(x)$ – квантовое поле, по которому производится интегрирование [2]. Для теории с лагранжианом (1) это означает, что нужно рассмотреть 1PI вакуумные диаграммы с пропагаторами, содержащими бесконечное число вставок $v_2(\phi)\equiv d^2V_0(\phi)/d\phi^2$, которые ведут себя как масса, зависящая от поля $\phi$: $m^2(\phi)=gv_2(\phi)$. Вершины также получаются из разложения потенциала $V_0(\phi+\hat \phi)$ по квантовому полю $\hat \phi$. После этого эффективный потенциал строится в виде пертурбативного разложения по константе связи $g$: Одно- и двухпетлевые диаграммы, дающие вклад в эффективный потенциал, представлены на рис. 1, где классические внешние поля обозначены штриховыми линиями и производные классического потенциала обозначены как $v_n\equiv d^n V_0/d\phi^n$ .Следующий шаг состоит в вычислении диаграмм и нахождении главных логарифмов по полю $\log^n\phi$ в $n$-м порядке теории возмущений. Заметим в связи с этим следующее: все вакуумные диаграммы имеют УФ-расходимости и логарифмическое по полю поведение связано с этими расходимостями. В размерной регуляризации УФ-расходимости проявляются в виде полюсов по $\epsilon$ при интегрировании в пространстве $d=4 -2 \epsilon$ измерений. При этом коэффициент при старшем полюсе $1/\epsilon^n$ совпадает с коэффициентом при старшем логарифме $\log^n\phi$. Поэтому задача состоит в нахождении коэффициента при старшем полюсе, который, в свою очередь, в силу специфики ${\cal R}$-операции определяется однопетлевыми диаграммами. Действуя таким образом, в однопетлевом случае получаем квантовую поправку (2)
$$
\begin{equation}
V_1= \frac{1}{16\pi^2}\frac 14\frac{v_2^2}{\epsilon}\biggl(\frac{\mu^2}{m^2}\biggr)^\epsilon \to \frac{1}{16\pi^2}\frac{v_2^2}{4}\biggl(\frac 1\epsilon +\log \frac{\mu^2}{m^2}\biggr), \qquad m^2=gv_2(\phi),
\end{equation}
\tag{6}
$$
где коэффициент 1/4 – комбинаторный фактор. Отметим внешние факторы, содержащие производные потенциала $v_n$. В одной петле имеем $V_1\sim v_2^2$, в двух петлях $V_2\sim v_2^2v_4+v_3^2v_2$ и т. д. Для теории $\phi^4$ все эти члены в конце концов равны $\phi^4$ и все расходимости сокращаются обычными контрчленами $(Z_4-1)\phi^4$. Однако для произвольного потенциала это не так. Например, для теории $\phi^6$ имеем $v_2\sim \phi^4$, $v_3\sim \phi^3$, $v_4\sim \phi^2$ и т. д. и получаем растущие степени полей в каждом новом порядке теории возмущений.
3. ${\cal R}$-операция и рекуррентные соотношенияТаким образом, задача состоит в том, чтобы найти коэффициенты при старших полюсах в многопетлевых диаграммах. Эта сама по себе сложная задача заметно упрощается, если речь идет именно о старших полюсах, и благодаря локальной природе ${\cal R}$-операции [3]–[6] сводится к вычислению однопетлевых диаграмм. Мы подробно описывали эту процедуру в серии наших статей [7]–[9] и воспроизведем здесь лишь основные результаты. Напомним, что ${\cal R}$-операция [6], действуя на $n$-петлевую диаграмму, вычитает прежде всего УФ-расходимости в подграфах, начиная от одной петли и до ($n-1$) петель, и в конце вычитает оставшуюся $n$-петлевую расходимость, которая всегда локальна в силу теоремы Боголюбова–Парасюка [3]–[6]. Применяя неполную ${\cal R}$-операцию без последнего вычитания, так называемую ${\cal R}^\prime$-операцию, к $n$-петлевому графу, мы получаем следующую последовательность членов, соответствующих вычитанию одно-, двух- и т. д. вплоть до ($n-1$)-петлевых подграфов. При этом для регуляризации УФ-расходимостей мы используем размерную регуляризацию и удерживаем только лидирующие полюсы по $\epsilon$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {\cal R'}G_n={}&\frac{{\cal A}_n^{(n)}(\mu^2)^{n\epsilon}}{\epsilon^n}+\frac{{\cal A}_{n-1}^{(n)}(\mu^2)^{(n-1)\epsilon}}{\epsilon^n}+ \cdots +\frac{{\cal A}_1^{(n)}(\mu^2)^{\epsilon}}{\epsilon^n}+{} \nonumber \\ &+\text{низшие полюсные члены} + \epsilon^0 \ \text{член}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
где члены типа ${\cal A}_{k}^{(n)}(\mu^2)^{k\epsilon}/\epsilon^n$ возникают из $k$-петлевого графа, получившегося после вычитания $(n-k)$-петлевого контрчлена. Графически для случая вакуумных диаграмм это представлено на рис. 2, где подграфы внутри пунктирных линий должны быть стянуты в точку и соответствуют локальным контрчленам. Поскольку результирующее выражение (7) должно быть локальным, члены типа $\log^l{\mu^2}/\epsilon^k$ должны сокращаться при всех $l$ и $k$. Это требование приводит к ($n-1$) уравнениям на $n$ переменных для ${\cal A}_i^{(n)}$, которые могут быть разрешены в пользу вклада нестянутой однопетлевой диаграммы ${\cal A}_1^{(n)}$ [7],
$$
\begin{equation}
{\cal A}_n^{(n)}=(-1)^{n+1}\frac{{\cal A}_1^{(n)}}{n}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Таким образом, ключевым объектом неполной $\mathcal{R}'$-операции является однопетлевая диаграмма, которая стоит слева, справа или посредине $n$-петлевой диаграммы. Следующий шаг состоит в получении рекуррентных соотношений, связывающих лидирующие расходимости в последовательных петлях. Они очевидным образом следуют из структуры $\mathcal{R}$-операции, показанной на рис. 2, если принять во внимание соотношение (8). Действительно, в левой части имеется $n$-петлевая диаграмма, а в правой части – сумма диаграмм низшего порядка, включая ($n-1$)-петлевую диаграмму. Для получения соответствующих вершин взаимодействия необходимо помнить, что в процессе вычисления диаграмм необходимо учитывать контрчлены низшего порядка, вычитающие расходящиеся подграфы. В полученных в низших порядках контрчленах нужно произвести сдвиг аргумента $\phi \to\phi+ \hat \phi$ и разложить до второй степени по $\hat \phi$. Это позволяет получить необходимые новые вершины взаимодействия. Для диаграмм, представленных на рис. 2, имеем соответственно: если однопетлевая диаграмма стоит с левого или правого края диаграммы, то имеются две вершины с двумя квантовыми линиями, одна есть $v_2$, а вторая $D_2 \Delta V_{n-1}\equiv d^2 \Delta V_{n-1}/d\phi^2$. В случае, когда однопетлевая диаграмма стоит посередине диаграммы, имеем две вершины типа $D_2 \Delta V_{k}$. В результате, если принять во внимание комбинаторные коэффициенты, рекуррентное соотношение приобретает вид
$$
\begin{equation}
n \Delta V_n= \frac 12 v_2 D_2 \Delta V_{n-1} + \frac 14 \sum_{k=1}^{n-2} D_2 \Delta V_k D_2 \Delta V_{n-1-k}, \qquad n\geqslant 2,
\end{equation}
\tag{9}
$$
с граничным условием $\Delta V_1=1/4v_2^2$. Это условие на самом деле может быть включено в последнее слагаемое в (9), и, определяя $\Delta V_0=V_0$, мы получаем окончательное выражение
$$
\begin{equation}
n \Delta V_n= \frac 14 \sum_{k=0}^{n-1} D_2 \Delta V_k D_2 \Delta V_{n-1-k}, \qquad n\geqslant1, \quad \Delta V_0=V_0 .
\end{equation}
\tag{10}
$$
Данное рекуррентное соотношение позволяет вычислять все ведущие расходимости $\Delta V_n$ для произвольного потенциала $V_0$ алгебраическим путем без вычисления диаграмм.
4. Уравнение ренормгруппы и эффективный потенциал в приближении главных логарифмовДля суммирования лидирующих расходимостей (или, что то же самое, лидирующих логарифмов в конечной части) необходимо решить полученное рекуррентное соотношение, что в общем случае не представляется возможным. Это достигается переходом к дифференциальному уравнению для суммы ряда
$$
\begin{equation}
\Sigma(z,\phi)=\sum_{n=0}^{\infty} (-z)^n\Delta V_n(\phi),
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $z=g/\epsilon$. Действительно, умножая соотношение (10) на множитель $(-z)^n$ и суммируя по $n$ от $2$ до $\infty$, получаем дифференциальное уравнение для функции $\Sigma(z,\phi)$
$$
\begin{equation}
\frac{d \Sigma}{dz}=-\frac 14 (D_2 \Sigma)^2, \qquad \Sigma(0,\phi)=V_0(\phi).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Это желаемое обобщенное уравнение ренормгруппы (РГ) для эффективного потенциала в приближении главных логарифмов. Для перенормируемого взаимодействия оно сводится к обычному уравнению РГ, как будет показано ниже. Для получения эффективного потенциала в решении данного уравнения нужно заменить полюс по $\epsilon$ на соответствующий логарифм:
$$
\begin{equation}
V_\mathrm{eff}(g,\phi)=\Sigma(z,\phi)|_{z\to -\frac{g}{16\pi^2}\log{gv_2/\mu^2}}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Напомним, что здесь $v_2(\phi)\equiv d^2V_0(\phi)/d\phi^2$. Отметим, что уравнение (12) – это уравнение в частных производных, и функция $\Sigma(z,\phi)$ зависит от двух переменных: $z$ и $\phi$. В некоторых частных случаях задачу можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению, но все равно для решения приходится использовать численные методы. Некоторые примеры рассмотрены далее. 5. ПримерыВ качестве иллюстрации рассмотрим два примера: степенной потенциал и космологический потенциал. В случае степенного потенциала задача может быть сведена к обыкновенному дифференциальному уравнению. Действительно, в этом случае константа связи $g$ имеет размерность $[4-p]$, и, вводя безразмерную комбинацию $y=z\phi^{p-4}$, функцию $\Sigma(z,\phi)$ можно представить в следующем виде: Подставляя такой вид функции $\Sigma(z,\phi)$ в уравнение (12), получаем для функции $f(y)$ следующее нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:
$$
\begin{equation}
f'(y)=-\frac{1}{4p!} [p (p-1) f(y)+(p-4)(3p-5) y f'(y) + (p-4)^2 y^2 f''(y)]^2
\end{equation}
\tag{16}
$$
с начальными условиями
$$
\begin{equation}
f(+0)=1,\qquad f'(+0)=-\frac{1}{4} \frac{p(p-1)}{(p-2)!}.
\end{equation}
\tag{17}
$$
В случае перенормируемого взаимодействия со степенным потенциалом четвертой степени ($p=4$) уравнение упрощается, и мы имеем обычное уравнение РГ с однопетлевой бета-функцией которое имеет решение в форме геометрической прогрессии Соответствующий эффективный потенциал согласно (13) имеет вид
$$
\begin{equation}
V_\mathrm{eff}(\phi)=\frac{g \phi^4/4!}{1-\frac{3}{2} \frac{g}{16\pi^2} \log \frac{g \phi^2}{ 2\mu^2}}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Он имеет форму потенциальной ямы с бесконечными стенками, что соответствует полюсу в точке $\frac{16\pi^2}{q} \log\frac{g\phi^2}{2\mu^2} =\frac{2}{3}$, как это видно из рис. 3. В случае $p>4$ мы имеем дело с неперенормируемыми взаимодействиями, уравнение (16) не имеет аналитического решения и приходится использовать численные методы. При этом оказывается, что точка $y=0$ является сингулярной. Для сглаживания этой сингулярности удобно выбрать функцию $f(y)$ в виде $f(y)= u(y)/y$, где функция $u(y)$ уже пригодна для численного вычисления. Качественно численное решение для функции $f(y)$ представлено на рис. 4а. Как видно, функция $f(y)$ имеет разрыв в точке $y=0$, что приводит к разрыву и для эффективного потенциала. Вид потенциала для случая $p=6$ показан на рис. 4б. Как видно, поведение эффективного потенциала для случая $p>4$ характеризуется наличием конечного разрыва, в отличие от бесконечного разрыва для $p=4$. Главное различие между конечным разрывом и полюсом состоит в том, что высота потенциального барьера в первом случае конечна, и мы имеем метастабильное состояние. Нетривиальный минимум в обоих случаях отсутствует. В качестве второго примера рассмотрим потенциал $gV_0 =g \operatorname{th}^2(\phi \omega)$, часто используемый в различных космологических моделях хаотической инфляции [10], [11]. В этом случае уравнение РГ (12) не сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, и мы получаем уравнение в частных производных для функции от двух безразмерных переменных:
$$
\begin{equation}
\Sigma(z,\phi)=S(z \omega^4, \operatorname{th}^2(\phi \omega))=S(x,y).
\end{equation}
\tag{21}
$$
После замены переменных уравнение упрощается и принимает вид, приемлемый для численных расчетов: где нижние индексы означают производные по соответствующим переменным. Начальные и граничные условия определяются следующим образом: что соответствует классическому потенциалу в отсутствие поправок и асимптотическому поведению эффективного потенциала при больших $\phi$. Численное решение обобщенного уравнения РГ наиболее уместно производить с помощью формул обратного дифференцирования [12] или встроенных методов Wolfram Mathematica для жестких систем. В данном случае численное решение представляет собой двумерную поверхность. Замена полюса на логарифм $z\to -\frac{g}{16\pi^2}\log\frac{gv_2}{\mu^2}$ выделяет на поверхности траекторию, которая и является искомым эффективным потенциалом. Вычисленный эффективный потенциал при различных значениях константы связи изображен на рис. 5. Видно, что при константе связи $g \omega^4\ll1$ поведение эффективного потенциала совпадает с поведением классического потенциала и потенциала с однопетлевой поправкой. Когда константа связи $g \omega^4 \sim 1$, в потенциале с однопетлевой поправкой возникает два дополнительных минимума, характеризующих нарушение симметрии начального потенциала. Возмущения однопетлевой поправки тем не менее сглаживаются в результате суммирования всех лидирующих логарифмических поправок в эффективный потенциал, о чем говорит отсутствие максимума полного эффективного потенциала около нуля. При константе связи $g \omega^4 \gg 1$ (при удовлетворении условий применимости нашего приближения) потенциал с однопетлевой поправкой имеет более ярко выраженный максимум. В данном случае и эффективный потенциал также имеет сглаженный максимум, т. е. происходит спонтанное нарушение симметрии начального потенциала. 6. ЗаключениеНаш главный вывод состоит в том, что в случае неперенормируемых теорий возможно получить осмысленное и однозначное выражение для эффективного потенциала в приближении главных логарифмов. Эффективный потенциал удовлетворяет уравнению РГ, которое в перенормируемом случае совпадает с обычным однопетлевым уравнением, а в неперенормируемом случае имеет более сложный вид и в общем случае является нелинейным уравнением в частных производных второго порядка. Для рассмотренных примеров полученное уравнение РГ имеет численное решение, которое демонстрирует, как изменяется эффективный потенциал при учете квантовых поправок. В физически интересных случаях полученное уравнение открывает возможность для изучения свойств эффективного потенциала, наличия дополнительных минимумов, спонтанного нарушения симметрии, устойчивости основного состояния и т. д. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KazTolYah23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|