Теоретическая и математическая физика
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Теоретическая и математическая физика, 2023, том 217, номер 2, страницы 378–390
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10520
(Mi tmf10520)
 

Эта публикация цитируется в 8 научных статьях (всего в 8 статьях)

О глобальной во времени разрешимости одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели с квадратичной нелинейностью

М. О. Корпусовab, А. Ю. Перловab, А. В. Тимошенкоab, Р. С. Шафирab

a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Физический факультет, Москва, Россия
b Российский университет дружбы народов, Москва, Россия
Список литературы:
Аннотация: Предложена система уравнений с квадратичной нелинейностью относительно потенциала электрического поля и температуры, описывающая процесс нагрева полупроводниковых элементов электрической платы, причем с течением времени возможно возникновение теплового и электрического “пробоев”. Для данной системы уравнений доказано существование непродолжаемого во времени классического решения, а также получены достаточные условия глобальной во времени однозначной разрешимости.
Ключевые слова: нелинейные уравнения соболевского типа, разрушение, blow-up, локальная разрешимость, нелинейная емкость, оценки времени разрушения.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 23-11-00056
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 23-11-00056).
Поступило в редакцию: 16.04.2023
После доработки: 25.05.2023
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages 1743–1754
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110090
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: 35Q

1. Введение

Современные радиоинформационные системы, решающие задачи мониторинга космического пространства, характеризуются большим числом плотно расположенной радиоэлектронной аппаратуры, непрерывным функционированием в течение длительного времени, а также высокими требованиями к надежности. При работе структурно сложной радиоинформационной системы в теплонапряженных режимах резко возрастает тепловыделение в радиоэлектронной аппаратуре за счет высокой токовой нагрузки. Повышение тепловыделения влечет за собой перегрев аппаратуры и, как следствие, снижение надежности изделия [1], а также увеличение вероятности отказов аппаратуры. Данные обстоятельства обуславливают необходимость исследования нелинейных тепловых процессов в полупроводнике, а также построения и изучения тепло-электрической модели полупроводника.

В настоящей статье приведены результаты теоретических исследований по обоснованию глобальной во времени разрешимости классических решений системы дифференциальных уравнений для потенциала электрического поля $\phi(x,t)$ и температуры $\psi(x,t)$.

Данная работа продолжает исследования, начатые в работах [2]–[5] и посвященные исследованию начально-краевых задач для локальных и нелокальных уравнений с нелинейным градиентом. В работе [5] мы рассмотрели следующую систему уравнений (см. [6]–[9]):

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi+\sigma_0\Delta\phi-\gamma_0\Delta\psi=0, \\ \varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+q_0|D_x\phi|^p, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $\phi$ – потенциал электрического поля, $\psi$ – температура,
$$ \begin{equation*} \sigma_0=\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon},\qquad \gamma_0=\frac{4\pi\gamma}{\varepsilon}, \end{equation*} \notag $$
причем $\varepsilon_0>0$, $\sigma_0>0$, $\gamma_0>0$, $q_0>0$ и $p>1$. В работе [5] результат о разрушении был получен фактически только при $p>2$, хотя вопрос о существовании непродолжаемого во времени классического решения был решен при $p>1.$ Поэтому вопрос о разрушении при $p=2$ остался открытым. В этой работе мы рассмотрели несколько иную систему уравнений, которая в бо́льшей степени отражает физику процесса теплового “разогрева” и содержит квадратичную нелинейность, причем эта система уравнений имеет следующее дифференциальное следствие:
$$ \begin{equation*} \frac{\varepsilon_0\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+ \frac{\partial}{\partial t}\biggl(-\frac{\varepsilon}{4\pi}\Delta\phi+\varepsilon_0\sigma\phi\biggr)-\sigma\Delta\phi= \frac{\varepsilon\gamma}{8\pi}\frac{\partial}{\partial t}|D_x\phi|^2. \end{equation*} \notag $$
В настоящей работе мы показали, что при $\sigma=0$, т. е. в случае диэлектрика, тепловой разогрев не приводит к возникновению теплового или электрического пробоя, а решение задачи существует глобально во времени вне зависимости от начальных распределений электрического потенциала $\phi_0(x)$ и температуры $\psi_0(x)$.

2. Вывод системы уравнений

Вывод системы уравнений имеется в работе [2]. Именно там получена система уравнений, описывающая тепловые и электрические явления в полупроводниковых приборах, из-за которых полупроводниковые элементы на платах греются и происходит тепловой “пробой”. Для полноты изложения приведем вывод рассматриваемой системы уравнений. В отличие от работы [2] в настоящей работе рассматривается изотропная среда. В приближении квазистационарного электрического поля справедливы следующие уравнения (см. [9]):

$$ \begin{equation} \operatorname{div}\mathbf{D}=-4\pi n,\qquad\operatorname{rot}\mathbf{E}=0,\qquad \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}, \end{equation} \tag{1} $$
где $\mathbf{D}$ – вектор индукции электрического поля, $\mathbf{E}$ – вектор напряженности электрического поля, $n$ – плотность свободных зарядов, причем в случае поверхностной односвязности границы $\Gamma$ определен потенциал электрического поля $\phi$:
$$ \begin{equation*} \mathbf{E}=-\nabla\phi. \end{equation*} \notag $$
Поскольку полупроводник, очевидно, является проводящей средой, мы должны дополнить систему (1) уравнением для тока свободных зарядов, которое имеет вид [9]
$$ \begin{equation*} \frac{\partial n}{\partial t}=\operatorname{div}\mathbf{J}, \end{equation*} \notag $$
где $\mathbf{J}$ – вектор тока свободных зарядов. При этом учтем тепловой разогрев полупроводника [6], [7]:
$$ \begin{equation*} \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}-\gamma\nabla\psi,\qquad \sigma\geqslant 0,\quad\gamma\geqslant 0, \end{equation*} \notag $$
где $\psi$ – температура в полупроводнике. Для температуры $\psi$ имеет место уравнение теплопроводности с тепловым нагревом за счет электрического поля $\mathbf{E}$ [6]:
$$ \begin{equation*} \varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\triangle\psi+(\mathbf{J},\mathbf{E}), \end{equation*} \notag $$
где параметр $\varepsilon_0>0$ имеет вид
$$ \begin{equation} \varepsilon_0=\varepsilon_1e^{-\alpha} \end{equation} \tag{2} $$
и $\varepsilon_1>0$ – фиксированное число, а параметр $\alpha>0$ достаточно велик. Из уравнений (1), (2) вытекает следующая система уравнений:
$$ \begin{equation} \frac{\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi+\sigma\Delta\phi+\gamma\Delta\psi=0, \end{equation} \tag{3} $$
$$ \begin{equation} \varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+\sigma|D_x\phi|^2+\gamma(D_x\phi,D_x\psi). \end{equation} \tag{4} $$
Относительно коэффициентов в системе уравнений (3), (4) будем предполагать, что
$$ \begin{equation} \varepsilon>0,\qquad\sigma\geqslant 0,\qquad\gamma\geqslant 0,\qquad\varepsilon_0>0. \end{equation} \tag{5} $$

3. Обозначения и вспомогательные результаты

Предположим, что $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ – ограниченная выпуклая область с поверхностно односвязной границей $\Gamma\in{C}^{2,\alpha}$ при $\alpha\in(0,1]$. Мы будем пользоваться стандартными обозначениями из работы [10]. Отметим только, что символом ${C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ мы обозначили линейное пространство функций

$$ \begin{equation*} u(x,t),\;D_{x_i}u(x,t)\in{C}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T), \end{equation*} \notag $$
которое является банаховым относительно нормы
$$ \begin{equation*} |u(x,t)|_{1,0;D_T}:=|u(x,t)|_{0;D_T}+\sum_{i=1}^N|D_{x_i}u(x,t)|_{0;D_T}. \end{equation*} \notag $$
Через $C^{(2,1)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ мы обозначили линейное пространство таких функций $u(x,t)$, что
$$ \begin{equation*} D_x^ru(x,t),\; D^s_tu(x,t)\in C( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T) \end{equation*} \notag $$
для всех $r=0,1,2$ и $s=0,1$.

Рассмотрим первую краевую задачу в ограниченной области $D_T=\Omega\times(0,T)$ с границей $S_T\cup B_T\cup B$:

$$ \begin{equation} \frac{\partial\psi(t)}{\partial t}-\Delta\psi(t)=f(x,t)\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation} \tag{6} $$
$$ \begin{equation} \begin{alignedat}{3} \psi(x,t)&=0&\quad&\text{для}&\quad (x,t)&\in S_T, \\ \psi(x,t)&=\psi_0(x)&\quad&\text{для}&\quad (x,t)&\in B. \end{alignedat} \end{equation} \tag{7} $$
Функция Грина $G(x,t;y,\tau)$ первой краевой задачи существует, единственна и является непрерывной (см. [11]) для $(x,t;\xi,\tau)\in \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T\times(D_T\cup B)$, $t>\tau$. Кроме того,
$$ \begin{equation*} G,\; D_xG,\; D^2_xG,\;D_tG\in{C}((D_T\cup B_T)\times(D_T\cup B)),\qquad t>\tau. \end{equation*} \notag $$

Решение $\psi(x,t)\in{C}^{(2,1)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ первой краевой задачи (6), (7) представимо в следующем виде:

$$ \begin{equation} \psi(t)=\chi(t)\psi_0(x)+\int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau) [f(y,\tau)-\chi'(\tau)\psi_0(y)+\chi(\tau)\Delta\psi_0(y)]\,dy\,d\tau, \end{equation} \tag{8} $$
если
$$ \begin{equation*} \chi(t)\in{C}^{(1)}_b[0,+\infty),\quad \psi_0(x)\in{C}^{(2)}(\overline{\Omega}),\quad\chi(0)=1,\quad \psi_0(x)=0\quad\text{при}\quad x\in\Gamma. \end{equation*} \notag $$
Для доказательства представления (8) достаточно применить третью формулу Грина (см., например, [11]) к функции $\psi(x,t)-\chi(t)\psi_0(x)$. Заметим, что в работе [12] приведены мажоранты для производных функции Грина следующего вида:
$$ \begin{equation*} |D_t^rD_x^sG(x,t;y,\tau)|\leqslant\frac{A_1}{(t-\tau)^{(3+2r+s)/2}} \exp\biggl(-a_1\frac{|x-y|^2}{t-\tau}\biggr) \end{equation*} \notag $$
при $t>\tau$, $x\ne y.$ Из этой оценки (см., например, [11]) элементарно получается вспомогательная оценка
$$ \begin{equation} |D_t^rD_x^sG(x,t;y,\tau)|\leqslant \frac{A_2}{(t-\tau)^{\mu}|x-y|^{3+2r+s-2\mu}},\qquad t>\tau,\quad x\ne y. \end{equation} \tag{9} $$

Прежде чем переходить к основной части исследования, нам нужно доказать вспомогательное утверждение о свойстве объемного потенциала

$$ \begin{equation*} V(x,t):=\int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau)f(y,\tau)\,dy\,d\tau. \end{equation*} \notag $$
Справедливо следующее утверждение (см., например, [11]).

Лемма 1. Если функция $f(x,t)\in{C}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$, то объемный потенциал $V(x,t)$ принадлежит пространству ${C}^{(1,0)}(\mathbb{R}^3\times[0,T])$ и для всех $(x,t)\in D_T$ справедливо равенство

$$ \begin{equation*} D_{x_i}V(x,t)=\int_0^t\int_{\Omega}D_{x_i}G(x,t;y,\tau)f(y,\tau)\,dy\,d\tau, \end{equation*} \notag $$
причем справедлива оценка
$$ \begin{equation*} |V(x,t)|_{0;D_T}+\sum_{i=1}^N|D_{x_i}V(x,t)|_{0;D_T}\leqslant M(N,\theta)T^{\theta}|f(x,t)|_{0;D_T} \end{equation*} \notag $$
для любого $\theta\in(0,1)$.

С учетом оценки (9) справедливо следующее утверждение (см. теорему 5 работы [13]).

Лемма 2. Если область $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ выпуклая и функция $f(x,t)\in{C}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$, справедлива оценка производных

$$ \begin{equation*} |V_{x_i}(x'',t'')-V_{x_i}(x',t')|\leqslant M(N,T,\alpha)|f(x,t)|_{0;D_T}[|x''-x'|^{\alpha}+|t''-t'|^{\alpha/2}] \end{equation*} \notag $$
для всех $(x'',t''), (x',t')\in \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T$ и любого $\alpha\in(0,1)$.

Наконец, справедливо следующее известное утверждение [11].

Лемма 3. Если функция $f(x,t)\in{C}^{\alpha/2,\alpha}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ при $\alpha\in(0,1)$, то

$$ \begin{equation*} V(x,t)\in{C}^{1+\alpha/2,2+\alpha}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T) \end{equation*} \notag $$
и справедливы поточечные равенства
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}-\Delta V(x,t)=f(x,t)\quad\textit{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \\ V(x,t)=0\quad\textit{для}\quad (x,t)\in S_T,\qquad V(x,0)=0\quad\textit{для}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

4. Постановка первой краевой задачи

Рассмотрим следующую первую краевую задачу в ограниченной цилиндрической области $D_T=\Omega\times(0,T)$:

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \frac{\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi+\sigma\Delta\phi+\gamma\Delta\psi=0, \\ \varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+\sigma|D_x\phi|^2+\gamma(D_x\phi,D_x\psi), \end{gathered}\qquad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation} \tag{10} $$
$$ \begin{equation} \psi(x,t)=\phi(x,t)=0\quad\text{при}\quad (x,t)\in S_T, \end{equation} \tag{11} $$
$$ \begin{equation} \phi(x,0)=\phi_0(x),\quad\psi(x,0)=\psi_0(x)\quad\text{при}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{equation} \tag{12} $$

Дадим определение классического решения первой краевой задачи (10)(12).

Определение 1. Пара функций $\{\phi(x,t),\psi(x,t)\}$ называется классическим решением задачи (10)(12), если

$$ \begin{equation*} \phi(x,t),\;\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t},\;\psi(x,t)\in{C}^{1+\alpha/2,2+\alpha}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T),\qquad\alpha\in(0,1), \end{equation*} \notag $$
и пара функций $\{\phi(x,t),\psi(x,t)\}$ удовлетворяют задаче (10)(12) поточечно.

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 4. В классе классических решений $\{\phi(x,t),\psi(x,t)\}$ при условии согласования $\phi_0(x)=0=\psi_0(x)$ для всех $x\in\Gamma$ и $\phi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ задача (10)(12) эквивалентна следующей задаче:

$$ \begin{equation} \phi(x,t)=\phi_0(x) e^{-\sigma_0t}+\gamma_0\int_0^t e^{-\sigma_0(t-\tau)}\psi(x,\tau)\,d\tau,\qquad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation} \tag{13} $$
$$ \begin{equation} \varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+\sigma|D_x\phi|^2+\gamma(D_x\phi,D_x\psi),\qquad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation} \tag{14} $$
$$ \begin{equation} \nonumber \psi(x,t)=0\quad\textit{при}\quad (x,t)\in S_T, \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \nonumber \psi(x,0)=\psi_0(x)\quad\textit{при}\quad x\in\overline{\Omega}, \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \nonumber \sigma_0=\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon},\qquad \gamma_0=\frac{4\pi\gamma}{\varepsilon}. \end{equation} \notag $$

Доказательство. Заметим только, что если $\psi(x,t)\in{C}^{1+\alpha/2,2+\alpha}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ и $u_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$, то функция $\phi(x,t)$, определенная равенством (13), принадлежит классу

$$ \begin{equation*} \phi(x,t),\;\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\in{C}^{1+\alpha/2,2+\alpha}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T),\qquad\alpha\in(0,1), \end{equation*} \notag $$
и для нее справедливы поточечные равенства (10)(12).

Справедлива следующая

Лемма 5. Если $\psi_0(x)\geqslant 0$, то в классе $\psi(x,t),\phi(x,t)\in{C}^{(2,1)}({D}_T\cup B_T)\cap{C}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ имеем $\psi(x,t)\geqslant 0$ для всех $(x,t)\in \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T$.

Доказательство. Доказательство основано на признаке сравнения для дифференциального неравенства

$$ \begin{equation*} \varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}-\Delta\psi-\gamma(D_x\phi,D_x\psi)\geqslant 0,\qquad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation*} \notag $$
для некоторого фиксированного $\phi(x,t)$.

5. Существование непродолжаемого во времени решения интегрального уравнения

Рассмотрим вспомогательное интегральное уравнение вида (8):

$$ \begin{equation} \psi(t)=\chi(t)\psi_0(x) +\int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau) [\sigma|D_yA(\psi)(y,\tau)|^2+\gamma(D_yA(\psi),D_y\psi)-{} \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad- \chi'(\tau)\psi_0(y)+\chi(\tau)\Delta\psi_0(y)]\,dy\,d\tau, \end{equation} \tag{15} $$
$$ \begin{equation} \phi(x,t)=A(\psi)(x,t) :=\phi_0(x) e^{-\sigma_0t}+\gamma_0\int_0^t e^{-\sigma_0(t-\tau)}\psi(x,\tau)\,d\tau, \end{equation} \tag{16} $$
где $G(x,t;\xi,\tau)$ – функция Грина первой краевой задачи для оператора теплопроводности
$$ \begin{equation*} L_{\varepsilon_0}:=\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}-\Delta_x,\qquad\varepsilon_0>0, \end{equation*} \notag $$
в ограниченной цилиндрической области $D_T=\Omega\times(0,T)$. Справедлива следующая

Лемма 6. Имеет место оценка

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, |(&D_xA(u_1),D_xu_1)-(D_xA(u_2),D_xu_2)|_{0;D_T}\leqslant{} \notag \\ &\leqslant 2\frac{\gamma_0}{\sigma_0}[1-e^{-\sigma_0T}] \max\{|D_xu_1|_{0;D_T},|D_xu_2|_{0;D_T}\}|D_xu_1-D_xu_2|_{0;D_T}. \end{aligned} \end{equation} \tag{17} $$

Доказательство. Справедливы следующие равенства:

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, (D_xA(u_1),D_xu_1)-(D_xA(u_2),D_xu_2)=\int_0^1\frac{d}{d s}(D_xA(u_s),D_xu_s)\,ds,\\ u_s=su_1+(1-s)u_2, \\ \frac{d}{d s}A(u_s)=\gamma_0\int_0^t e^{-\sigma_0(t-\tau)}[u_1(x,\tau)-u_2(x,\tau)]\,d\tau, \\ \frac{d}{ds}u_s=u_1-u_2,\qquad\int_0^1u_s\,ds=\frac{u_1+u_2}{2}. \end{gathered} \end{equation} \tag{18} $$
Из (17), (18) получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (D_xA(u_1),&D_xu_1)-(D_xA(u_2),D_xu_2)={} \\ &= \frac{\gamma_0}{2}\int_0^t e^{-\sigma_0(t-\tau)} [(D_xu_1(\tau)-D_xu_2(\tau),D_xu_1(t)+D_xu_2(t))+{} \\ &\qquad\qquad\qquad\quad\quad\quad+ (D_xu_1(\tau)+D_xu_2(\tau),D_xu_1(t)-D_xu_2(t))]\,d\tau, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
откуда имеем оценку
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, |(D_x&A(u_1),D_xu_1)-(D_xA(u_2),D_xu_2)|_{0;D_T}\leqslant{} \\ &\leqslant 2\frac{\gamma_0}{\sigma_0}[1- e^{-\sigma_0T}] \max\{|D_xu_1|_{0;D_T},|D_xu_2|_{0;D_T}\}|D_xu_1-D_xu_2|_{0;D_T}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Имеет место следующее утверждение.

Лемма 7. Линейный оператор (16) действует как

$$ \begin{equation*} A\!:\;{C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)\to {C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T), \end{equation*} \notag $$
и в классе функций $\psi(x,t)\in{C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ справедлива оценка
$$ \begin{equation*} |D_xA(\psi)(x,t)|_{0;D_T}\leqslant|D_x\phi_0(x)|_{0;D_T}+ \frac{\gamma_0}{\sigma_0}[1- e^{-\sigma_0T}] |D_x\psi(x,t)|_{0;D_T}. \end{equation*} \notag $$

Рассмотрим отображения

$$ \begin{equation*} F_1(\psi):=|D_xA(\psi)|^2,\qquad F_2(\psi):=(D_xA(\psi),D_x\psi). \end{equation*} \notag $$
Справедливо следующее утверждение.

Лемма 8. Отображение $F_1(\psi)$ действует как

$$ \begin{equation*} F_1(\psi):\;{C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)\to {C}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T), \end{equation*} \notag $$
и справедлива оценка
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, |F_1(\psi_1)-F_1(\psi_2)|_{0;D_T}&\leqslant 2\frac{\gamma_0}{\sigma_0}(1- e^{-\sigma_0T})\times{} \\ &\times \max\{|D_xA(\psi_1)|_{0;D_T},|D_xA(\psi_2)|_{0;D_T}\} |D_x\psi_1-D_x\psi_2|_{0;D_T}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Утверждение леммы вытекает из лемм 6 и 7.

Введем отображение

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \hat{G}(\psi)(x,t)&:=\chi(t)\psi_0(x)+ \int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau)\times{} \\ &\times [\sigma F_1(\psi)(y,\tau)+\gamma F_2(\psi)- \chi'(\tau)\psi_0(y)+\chi(\tau)\Delta\psi_0(y)]\,dy\,d\tau. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Справедлива следующая (см. [5])

Теорема 1. Если $\psi_0(x)\in{C}^{(2)}(\overline{\Omega})$ и $\chi(t)\in{C}^{(1)}_b[0,+\infty)$, то отображение $\hat{G}$ действует как

$$ \begin{equation*} \hat{G}\!:\;{C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)\to{C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T), \end{equation*} \notag $$
и справедлива оценка
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &|\hat{G}(\psi_1)-\hat{G}(\psi_2)|_{1,0;D_T}\leqslant M_1(N,\theta,q_0,p,\gamma_0)T^{1+\theta}\times{} \\ &\times [\max\{|\psi_1|_{0;D_T},|\psi_2|_{0;D_T}\}+\max\{|D_xA(\psi_1)|_{0;D_T}^{p-1},|D_xA(\psi_2)|_{0;D_T}^{p-1}\}] |\psi_1-\psi_2|_{1,0;D_T} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
для любого $\theta\in(0,1)$.

Из этой теоремы вытекает

Теорема 2. Для любых $\psi_0(x)\in{C}^{(2)}(\overline{\Omega})$, $\phi_0(x)\in{C}^{(1)}(\overline{\Omega})$ и $\chi(t)\in{C}^{(1)}_b[0,+\infty)$ найдется такое малое $T>0$, что существует единственное решение интегрального уравнения (15) в классе ${C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$.

Доказательство. Доказательство основано на применении принципа сжимающих отображений и теореме 1.

Используя стандартный алгоритм продолжения решений интегральных уравнений типа Вольтерра во времени (см., например, [14]), получим следующий результат.

Теорема 3. Для любых $\psi_0(x)\in{C}^{(2)}(\overline{\Omega})$, $\phi_0(x)\in{C}^{(1)}(\overline{\Omega})$ и $\chi(t)\in{C}^{(1)}_b[0,+\infty)$ найдется такое максимальное $T_0=T_0(\phi_0,\psi_0,\chi)>0$, что для любого $T\in(0,T_0)$ существует единственное решение интегрального уравнения (15) в классе ${C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$, причем либо $T_0=+\infty$, либо $T_0<+\infty$, и в последнем случае справедливо предельное свойство

$$ \begin{equation} \lim_{T\uparrow T_0}|\psi(x,t)|_{1,0;D_T}=+\infty. \end{equation} \tag{19} $$

6. Существование классического решения задачи (10)(12)

Справедлива следующая (см. [5])

Теорема 4. Для любых $\psi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$, $\phi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ при $\alpha\in(0,1]$ и $\chi(t)\in{C}^{(2)}_b[0,+\infty)$ оператор $\hat{G}$ на решениях интегрального уравнения (15) действует как

$$ \begin{equation*} \hat{G}\!:\;{C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)\to {C}^{1+\alpha/2,2+\alpha}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T). \end{equation*} \notag $$

Таким образом, из теоремы 4 с учетом теоремы 3 вытекает следующее утверждение (см. [5]).

Теорема 5. Для любых $\psi_0(x),\phi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ при $\alpha\in(0,1]$, $\chi(t)\in{C}^{(2)}_b[0,+\infty)$ при выполнении условий согласования $\phi_0(x)=0=\psi_0(x)$ для всех $x\in\Gamma$ найдется такое максимальное $T_0=T_0(\phi_0,\psi_0,\chi(t))>0$, что существует единственное классическое решение задачи (10)(12) для любого $T\in(0,T_0)$, причем либо $T_0=+\infty$, либо $T_0<+\infty$, и в последнем случае выполнено предельное свойство (19).

7. Глобальная во времени разрешимость при $\sigma=0$

Рассмотрим систему уравнений (3), (4). Теорема 5, как нетрудно заметить, доказана при выполнении условий (5). Пусть $\{\phi(x,t),\psi(x,t)\}$ – классическое решение первой краевой задачи (10)(12) для произвольного $T\in(0,T_0)$. Тогда имеет место система уравнений (13), (14), из которой вытекают, в частности, равенства

$$ \begin{equation} \frac{\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\sigma\phi+\gamma\psi=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation} \tag{20} $$
$$ \begin{equation} \nonumber \frac{\varepsilon}{8\pi}\frac{\partial|D_x\phi|^2}{\partial t}+\sigma|D_x\phi|^2+\gamma(D_x\psi,D_x\phi)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\biggl(\varepsilon_0\psi+\frac{\varepsilon}{8\pi}|D_x\phi|^2\biggr)=\Delta\psi\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T. \end{equation} \tag{21} $$
Из равенств (20) и (21) нетрудно получить следующее дифференциальное следствие:
$$ \begin{equation} \frac{\varepsilon_0\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+ \frac{\partial}{\partial t}\biggl(-\frac{\varepsilon}{4\pi}\Delta\phi+\varepsilon_0\sigma\phi\biggr)-\sigma\Delta\phi= \frac{\varepsilon\gamma}{8\pi}\frac{\partial}{\partial t}|D_x\phi|^2\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation} \tag{22} $$
причем из уравнения (20) получаем дополнительное начальное условие:
$$ \begin{equation} \frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\bigg|_{t=0}=-\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon}\phi_0(x)-\frac{4\pi\gamma}{\varepsilon}\psi_0(x). \end{equation} \tag{23} $$
Заметим, что справедлива следующая

Лемма 9. В классе классических решений система уравнений (10)(12) эквивалентна уравнениям (20) и (22) при выполнении граничных условий (11) и (12), причем выполнено условие согласования (23).

Уравнение третьего порядка (22) является уравнением псевдопараболического типа (см., например, [15], [16]). Рассмотрим случай, когда $\sigma=0$. В этом случае получим следующее уравнение:

$$ \begin{equation} \varepsilon_0\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi=\frac{\gamma}{2}\frac{\partial}{\partial t}|D_x\phi|^2. \end{equation} \tag{24} $$
Проинтегрируем обе части равенства (24) по времени и получим
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \varepsilon_0\frac{\partial\phi}{\partial t}-\Delta\phi=\frac{\gamma}{2}|D_x\phi|^2+f_0(x), \\ f_0(x):=-\frac{4\pi\varepsilon_0\gamma}{\varepsilon}\psi_0(x)-\Delta\phi_0(x)-\frac{\gamma}{2}|D_x\phi_0(x)|^2. \notag \end{gathered} \end{equation} \tag{25} $$
Заметим, что справедливо равенство (см., например, [17])
$$ \begin{equation} e^{-\gamma\phi/2}\biggl(\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}-\Delta\biggr)e^{\gamma\phi/2}= \frac{\gamma}{2}\biggl[\varepsilon_0\frac{\partial\phi}{\partial t}-\Delta\phi-\frac{\gamma}{2}|D_x\phi|^2\biggr]. \end{equation} \tag{26} $$
Введем новую функцию
$$ \begin{equation*} g(x,t):=\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi(x,t)\biggr). \end{equation*} \notag $$
Тогда с учетом (26) из (25) получим линейное уравнение
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, Lg(x,t):=\varepsilon_0\frac{\partial g(x,t)}{\partial t}-\Delta g(x,t)-f_1(x)g(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \\ f_1(x):=\frac{\gamma}{2}f_0(x), \notag \end{gathered} \end{equation} \tag{27} $$
причем выполнены граничные условия на параболической части границы $S_T\cup B:$
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, g(x,t)=1\quad\text{для}\quad (x,t)\in S_T, \notag \\ g(x,0)=\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\quad\text{для}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{gathered} \end{equation} \tag{28} $$

Заметим, что найдется такая постоянная $c_0\in\mathbb{R}$, что выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} f_1(x)\geqslant c_0:=\min_{x\in\overline{\Omega}}f_1(x)\quad\text{для всех}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{equation*} \notag $$
Тогда из уравнения (27) с учетом того, что $g(x,t)\geqslant 0$, получим неравенство
$$ \begin{equation*} \varepsilon_0\frac{\partial g(x,t)}{\partial t}-\Delta g(x,t)-c_0g(x,t)=[f_1(x)-c_0]g(x,t)\geqslant 0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T. \end{equation*} \notag $$
Отсюда в силу признака сравнения для оператора $\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}-\Delta_x$ получим оценку снизу:
$$ \begin{equation} m_1\leqslant g(x,t) e^{-c_0 t/\varepsilon_0}\leqslant g(x,t), \end{equation} \tag{29} $$
где постоянная $m_1>0$ определена равенством
$$ \begin{equation} m_1:=\min\biggl\{e^{-c_0 t/\varepsilon_0},\min_{x\in\overline{\Omega}}\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\biggr\}. \end{equation} \tag{30} $$
А в силу принципа максимума модуля для решения $g(x,t)$ задачи (27), (28) получим неравенство
$$ \begin{equation} g(x,t)\leqslant e^{c_1 T/\varepsilon_0} M_1,\qquad c_1:=\max\Bigl\{0,\max_{x\in\overline{\Omega}}f_1(x)\Bigr\}, \end{equation} \tag{31} $$
где постоянная $M_1\geqslant 0$ определена как
$$ \begin{equation} M_1:=\max\biggl\{1,\max_{x\in\overline{\Omega}}\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\biggr\}. \end{equation} \tag{32} $$
Теперь заметим, что функция
$$ \begin{equation} g_1(x,t):=\frac{\partial g(x,t)}{\partial t} \end{equation} \tag{33} $$
удовлетворяет задаче
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \varepsilon_0\frac{\partial g_1(x,t)}{\partial t}-\Delta g_1(x,t)-f_1(x)g_1(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \\ g_1(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in S_T, \\ g_1(x,0)=-\frac{2\pi\gamma^2}{\varepsilon}\psi_0(x)\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\quad\text{для}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Введем новую функцию
$$ \begin{equation} g_1(x,t)=g_2(x,t) e^{c_1 t/\varepsilon_0}. \end{equation} \tag{34} $$
Тогда для новой функции $g_2(x,t)$ получим следующую задачу:
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \varepsilon_0\frac{\partial g_2(x,t)}{\partial t}-\Delta g_2(x,t)+[c_1-f_1(x)]g_2(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \\ g_2(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in S_T, \\ g_2(x,0)=-\frac{2\pi\gamma^2}{\varepsilon}\psi_0(x)\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\quad\text{для}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
В силу принципа максимума модуля получим
$$ \begin{equation} |g_2(x,t)|\leqslant\frac{2\pi\gamma^2}{\varepsilon}\max_{x\in\overline{\Omega}} \biggl|\psi_0(x)\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\biggr|. \end{equation} \tag{35} $$
Из (33)(35) получим, что справедливо неравенство
$$ \begin{equation} \frac{\gamma}{2}\biggl|\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\biggr|g(x,t)\leqslant M_2 e^{c_1 T/\varepsilon_0}, \end{equation} \tag{36} $$
где постоянная $M_2\geqslant 0$ определена как
$$ \begin{equation} M_2:=\frac{2\pi\gamma^2}{\varepsilon}\max_{x\in\overline{\Omega}} \biggl|\psi_0(x)\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\biggr|<+\infty. \end{equation} \tag{37} $$
Таким образом, доказана следующая основная

Теорема 6. Если $\sigma=0$ и $\phi_0(x),\psi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$, причем выполнены условия $\phi_0(x)=0=\psi_0(x)$ для всех $x\in\Gamma$, то существует единственное глобальное во времени классическое решение задачи (10)(12), причем для любого $T>0$ справедливы следующие оценки:

$$ \begin{equation} \frac{2\ln m_1}{\gamma}\leqslant\phi(x,t)\leqslant\frac{2(\ln M_1+c_1T/\varepsilon_0)}{\gamma},\qquad 0<m_1\leqslant M_1, \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \biggl|\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\biggr|\leqslant \frac{2}{\gamma}\frac{M_2}{m_1} e^{c_1 T/\varepsilon_0},\qquad 0\leqslant M_2<+\infty, \end{equation} \tag{38} $$
$$ \begin{equation} |\psi(x,t)|\leqslant\frac{\varepsilon}{2\pi\gamma^2}\frac{M_2}{m_1} e^{c_1 T/\varepsilon_0},\qquad c_0:=\min_{x\in\overline{\Omega}}f_1(x),\qquad c_1:=\max\Bigl\{0,\max_{x\in\overline{\Omega}}f_1(x)\Bigr\}, \end{equation} \tag{39} $$
$$ \begin{equation} f_1(x):=-\frac{\gamma}{2}\biggl(\frac{4\pi\varepsilon_0\gamma}{\varepsilon}\psi_0(x)+\Delta\phi_0(x)+\frac{\gamma}{2}|D_x\phi_0(x)|^2\biggr), \nonumber \end{equation} \notag $$
где постоянные $m_1$, $M_1$ и $M_2$ определены равенствами (30), (32) и (37) соответственно.

Доказательство. Доказательство основано на оценках (36) и (29), (31), из которых и из теоремы 5 в силу равенства (20) вытекает, что $T_0=+\infty$.

Замечание 1. Отметим, что в работе [5] получен результат о разрушении за конечное время близкой системы уравнений при условии, что проводимость $\sigma>0$ и достаточно велика. Из оценок (38) и (39) вытекает, что если $\sigma=0$, то при $\psi_0(x)\equiv 0$ единственным классическим решением задачи (10)(12) будет решение

$$ \begin{equation*} \psi(x,t)=0\quad\text{и}\quad\phi(x,t)=\phi_0(x)\quad\text{для всех}\quad (x,t)\in\overline{\Omega}\times[0,+\infty). \end{equation*} \notag $$

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

Список литературы

1. А. В. Тимошенко, Д. В. Калеев, А. Ю. Перлов, В. М. Антошина, Д. В. Рябченко, “Сравнительный анализ аналитических и эмпирических методик оценки текущих параметров надежности радиолокационных комплексов мониторинга”, Изв. вузов. Электроника, 25:3 (2020), 244–254  crossref
2. М. О. Корпусов, “О разрушении решения уравнения, родственного уравнению Гамильтона–Якоби”, Матем. заметки, 93:1 (2013), 81–95  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  zmath
3. М. О. Корпусов, “О разрушении решения нелокального уравнения с градиентной нелинейностью”, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 11 (2012), 45–53  mathnet
4. М. О. Корпусов, А. А. Панин, А. Е. Шишков, “О критическом показателе “мгновенное разрушение” versus “локальная разрешимость” в задаче Коши для модельного уравнения соболевского типа”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:1 (2021), 118–153  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  adsnasa
5. М. О. Корпусов, А. Ю. Перлов, А. В. Тимошенко, Р. С. Шафир, Р. С. Шафир, “О разрушении решения одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели”, Матем. заметки, 114:5 (2023), 759–772  mathnet
6. Ф. Г. Басс, В. С. Бочков, Ю. С. Гуревич, Электроны и фононы в ограниченных полупроводниках, Наука, М., 1984
7. В. Л. Бонч-Бруевич, С. Г. Калашников, Физика полупроводников, Наука, М., 1990
8. В. Л. Бонч-Бруевич, И. П. Звягин, А. Г. Миронов, Доменная электрическая неустойчивость в полупроводниках, Наука, М., 1972
9. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. VIII, Электродинамика сплошных сред, Физматлит, М., 2005  mathscinet
10. Н. В. Крылов, Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера, Научная книга, Новосибирск, 1998  mathscinet
11. А. Фридман, Уравнения с частными производными параболического типа, Мир, М., 1968  zmath
12. О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967  mathscinet  zmath
13. В. Погожельский, “Исследование интегралов параболического уравнения и краевых задач в неограниченной области”, Матем. сб., 47(89):4 (1959), 397–430  mathnet  mathscinet  zmath
14. А. А. Панин, “О локальной разрешимости и разрушении решения абстрактного нелинейного интегрального уравнения Вольтерра”, Матем. заметки, 97:6 (2015), 884–903  mathnet  crossref  crossref  mathscinet
15. Г. А. Свиридюк, “К общей теории полугрупп операторов”, УМН, 49:4(298) (1994), 47–74  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
16. А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер, Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа, Физматлит, М., 2007
17. А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов, Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений, Наука, М., 1987  mathscinet  zmath

Образец цитирования: М. О. Корпусов, А. Ю. Перлов, А. В. Тимошенко, Р. С. Шафир, “О глобальной во времени разрешимости одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели с квадратичной нелинейностью”, ТМФ, 217:2 (2023), 378–390; Theoret. and Math. Phys., 217:2 (2023), 1743–1754
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KorPerTym23}
\by М.~О.~Корпусов, А.~Ю.~Перлов, А.~В.~Тимошенко, Р.~С.~Шафир
\paper О глобальной во времени разрешимости одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели с~квадратичной нелинейностью
\jour ТМФ
\yr 2023
\vol 217
\issue 2
\pages 378--390
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10520}
\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10520}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4670396}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...217.1743K}
\transl
\jour Theoret. and Math. Phys.
\yr 2023
\vol 217
\issue 2
\pages 1743--1754
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923110090}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85177655959}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/tmf10520
  • https://doi.org/10.4213/tmf10520
  • https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v217/i2/p378
  • Эта публикация цитируется в следующих 8 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Теоретическая и математическая физика Theoretical and Mathematical Physics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:193
    PDF полного текста:23
    HTML русской версии:62
    Список литературы:36
    Первая страница:10
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2025