| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Структура инвариантных относительно сдвига подпространств соболевских пространств А. Аксентиевичa, С. Алексичb, С. Пилиповичc a Faculty of Technical Sciences, University of Kragujevac, Kragujevac, Serbia b Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Kragujevac, Kragujevac, Serbia c Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Sciences, University of Novi Sad, Novi Sad, Serbia
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924020016 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеСледуя методу функций образа, использованному в работах [1]–[3] и основанному на результатах трудов [4]–[7] (см. также [8]), в настоящей статье мы исследуем структуру инвариантных относительно сдвига подпространств соболевских пространств $H^s=H^s(\mathbb R^n)$, $s\in\mathbb R$. Эти подпространства, которые мы обозначаем как $V_s$, порождены не более чем счетным семейством образующих – элементов множества $\mathcal A_s\subset H^s$, таких что $V_s$ – замыкание линейной оболочки целочисленных сдвигов функций из $\mathcal A_s$, $s\in\mathbb{R}$. При $s=0$ мы приходим к $L^2$-теории. В работе [1] был дан всесторонний анализ пространства $V$ для $L^2(\mathbb R^n)$ ($V=V_0$). Анализ инвариантных относительно сдвига пространств имеет очень глубокую основу и богатый исторический фон. Эта теория развивалась в различных направлениях, например изучались инвариантные относительно сдвига (локально) компактные группы [2], [9], [10], инвариантные относительно сдвига подпространства в пространствах $L^{p,q}(\mathbb R^{n+1})$ [11] и степени инвариантных относительно сдвига операторов, которые определяют образующие пространства $V$ [12], [13]. Заметим, что в работах [14], [15] (см. также ссылки в них) был развит другой подход, в котором фреймы состоят из конечного множества образующих и разложений с коэффициентами из пространства последовательностей $\ell^p$, $p\geqslant 1$; в работе [16] этот подход применялся к взвешенным последовательностям из $\ell^p$. В случае $p=2$ он связан с подходом, использованным в настоящей статье. В первой части статьи мы переносим результаты работы [1] из $L^2$-теории на случай пространства $H^s$, $s\in\mathbb R$, и приводим структуру элементов инвариантных относительно сдвига пространств $V_s\subset H^s$, $s\in\mathbb R$, используя преобразования Фурье. Наши основные результаты изложены во второй части статьи, в разделе 5, где мы сравниваем результаты подхода Альдроуби и его соавторов [14]–[16] с нашими результатами, опирающимися на подход работы [1]. Заметим, что в случае $s=0$ отображение
$$
\begin{equation*}
\mathcal T\colon L^2\to L^2(\mathbb{T}^n,\ell^2),\qquad \varphi\mapsto(t\mapsto(\hat\varphi(t+k))_{k\in\mathbb Z^n},t\in[0,1)^n),\quad \hat\varphi=\mathcal F(\varphi),
\end{equation*}
\notag
$$
рассмотренное в [1], можно заменить на
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal T}\varphi\mapsto(t\mapsto (\varphi(t+k))_{k\in\mathbb Z^n},t\in\mathbf[0,1)^n).
\end{equation*}
\notag
$$
Это преобразование коммутирует с оператором сдвига и приводит к развитию теории в другом направлении. В случае $s\neq 0$ определение преобразования $\mathcal T_s$, данное в настоящей статье, является одним из возможных переходов от соболевских пространств к соответствующим пространствам взвешенных последовательностей. Отметим также, что мы проводим анализ инвариантных относительно сдвига пространств в контексте распределений в $H^s$, $s<0$. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы следуем определениям из [1], которые теперь применяются к подмножествам и инвариантным относительно сдвига подпространствам в $H^s$, $s\in\mathbb{R}$. Мы задаем отображение $\mathcal T_s$, которое для почти всех (п.в.) $t\in[0,1)^n$ переводит $f\in H^s$ в последовательность $\bigl(\frac{\hat g(t+k)}{(1+|k|^2)^{s/2}}\bigl)_{k\in\mathbb{Z}^n}$ так, что $f\in H^s$ и $g\in L^2(\mathbb R^n)$ связаны соотношением
$$
\begin{equation*}
\biggl(1-\frac{\Delta}{4\pi^2}\biggr)^{\!s/2}f=g,\qquad s\in\mathbb{R}
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь $\Delta$ – лапласиан). Для $f\in H^s$ функция $(1-\frac{\Delta}{4\pi^2})^{s/2}f$ определяется как фурье-мультипликатор:
$$
\begin{equation*}
\biggl(1-\frac{\Delta}{4\pi^2}\biggr)^{\!s/2}f=\mathcal F^{-1}((1+|\,{\cdot}\,|^2)^{s/2}\hat f(\,{\cdot}\,)).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя эти определения, мы можем расширить понятия и теоремы из работы [1], заново рассматривая доказательства из этой статьи. Поскольку в случае $L^2$ теория достаточно сложна, мы тщательно анализируем функцию образа $J_s$, действующую на пространствах $V_s=\overline{ \operatorname{span} }\bigl\{\text{сдвиги элементов из}\;\,\mathcal A_s\subset H^s\bigr\}$. Фреймы, базис Рисса и бесселевы семейства рассматриваются в разделе 3. Раздел 4 посвящен разложению пространств $V_s$ в прямые суммы. В разделе 5 мы исследуем структуру пространств $V_s$, $s\in\mathbb R$. В частности, для $s>0$ мы связываем пространства $V_s$ с пространствами $\mathcal V^2_s$ из [16], опираясь на результаты Альдроуби и его сотрудников. При этом мы предполагаем, что конечное число образующих принадлежат $H^s\cap L^2_s$ (с соответствующим убыванием на бесконечности), и описываем элементы пространства $V_s$ с помощью разложения с коэффициентами в соответствующем пространстве $\ell^2_s$ взвешенных последовательностей при условии, что $\mathcal V^2_s$ замкнуто в $L^2_s$, для $s>0$. Мы доказываем, что из условия $s>1/2$ следует, что $V_s=\mathcal V^2_s$, и таким образом получаем новое описание элементов из $V_s$ через коэффициенты из $\ell^2_s$. Даже для $s=0$ наш результат представляется новым. Мы также приводим соответствующие следствия, связанные с пересечениями пространств $V_s$, $s>0$, и двойственных к ним. 2. Обозначения и основные утвержденияНа протяжении всей статьи мы предполагаем, что $s\in\mathbb{R}$ и $\mathbb{T}^n=[0,1)^n$. Формула $T_yf(\,{\cdot}\,)=f(\,{\cdot}\,-y)$ означает сдвиг на $y\in\mathbb{R}^n$. Определим преобразование Фурье $\hat f$ интегрируемой функции $f$ как
$$
\begin{equation*}
\mathcal Ff(t)=\hat f(t)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)e^{-2\pi\sqrt{-1}\,\langle x,t\rangle}\,dx,\quad t\in\mathbb{R}^n,\qquad\quad \mathcal F^{-1}f(t)=\hat f(-t),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\langle x,t\rangle=\sum_{i=1}^nx_it_i$ для $x,t\in\mathbb{R}^n$. Заметим, что в работах [15], [16] использовалось преобразование Фурье без множителя $2\pi$ в показателе экспоненты. Пусть $\mu_s(\,{\cdot}\,)=(1+|\,{\cdot}\,|^2)^{s/2}$. Введем пространство
$$
\begin{equation*}
\ell_s^2=\ell_s^2(\mathbb{Z}^n)=\biggl\{(c_k)_{k\in\mathbb{Z}^n}\colon\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}|c_k|^2\mu_s^2(k)<+\infty\biggr\}, \qquad s\in\mathbb R,
\end{equation*}
\notag
$$
со скалярным произведением $\langle (c_k)_{k\in\mathbb{Z}^n},(d_k)_{k\in\mathbb{Z}^n}\rangle_{\ell_s^2}=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}c_k\overline{d}_k\mu_s^2(k)$. Напомним (см. [17], [18]), что пространство $H^s$ задается как пространство
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H^s=\bigl\{f\in\mathcal S'(\mathbb{R}^n)\colon(1+|\,{\cdot}\,|^2)^{s/2}\hat f(\,{\cdot}\,)\in L^2(\mathbb{R}^n)\bigr\},\quad s\in\mathbb R, \\ (1+|\,{\cdot}\,|^2)^{s/2}\hat f(\,{\cdot}\,)\in L^2(\mathbb{R}^n)\quad\Longleftrightarrow\quad \|f\|_{H^s}=\bigg(\int_{\mathbb{R}^n}|\hat f(t)|^2\mu_s^2(t)\,dt\bigg)^{1/2}<+\infty, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
\langle f,g\rangle_{H^s}=\int_{\mathbb{R}^n}\hat f(t)\overline{\widehat{{g}}}(t)\mu_s^2(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $L_s^2=L_s^2(\mathbb{R}^n)=\mathcal F(H^s)$, т. е. $f\in L_s^2$, если и только если $\hat f\in H^s$, $s\in\mathbb{R}$. Из теории распределений известно, что пространство Шварца $\mathcal S(\mathbb R^n)$, состоящее из быстро убывающих функций, плотно в $H^s$, $s\in\mathbb R$. Кроме того, псевдодифференциальный оператор, действующий как
$$
\begin{equation*}
\biggl(1-\frac{\Delta}{4\pi^2}\biggr)^{\!s/2}f(x)=\mathcal F^{-1}(\hat f(t)\mu_s(t))(x),\qquad x\in\mathbb R^n,
\end{equation*}
\notag
$$
задает изометрию соболевских пространств:
$$
\begin{equation*}
\biggl(1-\frac{\Delta}{4\pi^2}\biggr)^{\!s/2}\colon\,H^{m+s}\to H^m,\qquad m,s\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Гильбертово пространство $H(\mathbb{T}^n,\ell^2_s)$ состоит из всех векторнозначных измеримых функций $F\colon\mathbb{T}^n\to\ell_s^2$, интегрируемых с квадратом, и норма в нем задается как
$$
\begin{equation*}
\|F\|_{H(\mathbb{T}^n,\ell_s^2)}=\biggl(\,\int_{\mathbb{T}^n}\|F(t)\|_{\ell_s^2}^2\,dt\biggr)^{\!1/2}<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $s=0$ это пространство обозначается как $L^2(\mathbb{T}^n,\ell^2)$. Пусть $\mathcal A\subset L^2(\mathbb{R}^n)$. Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal A_s=\bigl\{\varphi\in\mathcal S'(\mathbb{R}^n)\colon\hat\varphi=\hat\psi\mu_{-s} \;\,\text{при некоторой}\;\,\psi\in\mathcal A\bigr\}, \\ E_s(\mathcal A_s)=\bigl\{T_k\varphi\colon\varphi\in\mathcal A_s,k\in\mathbb{Z}^n\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $E_s(\mathcal A_s)$ – подмножество в $H^s$. Обозначим через $I$ конечное подмножество в $\mathbb{N}$ и положим $\mathcal A_I=\{\psi_i\colon i\in I\}\subset L^2$. Мы используем обозначение $\mathcal A_{I,s}=\mathcal A_s$, если элементами множества $\mathcal A_s$ являются $\varphi_i$, $i\in I$. Если $I=\{1,2,\ldots,r\}$, мы пишем $\mathcal A_{r,s}$ (и $\mathcal A_r$, если $s=0$) вместо $\mathcal A_{I,s}$ (и вместо $\mathcal A_I$, если $s=0$). Говорят, что замкнутое подпространство $V_s\subset H^s$ инвариантно относительно сдвига, если $\varphi\in V_s$ влечет $T_k\varphi\in V_s$ для любого $k\in\mathbb{Z}^n$. Для любого $\mathcal A_s\subset H^s$ введем множество
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_s(\mathcal A_s)=\overline{ \operatorname{span} }\bigl\{T_k\varphi\colon\varphi\in\mathcal A_s,k\in\mathbb{Z}^n\bigr\}= \overline{ \operatorname{span} }\biggl\{\biggl(1-\frac{\Delta}{4\pi^2}\biggr)^{\!-s/2}\!\!T_k\psi\colon\psi\in\mathcal A,k\in\mathbb{Z}^n\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{ \operatorname{span} }(M)$ для заданного $M$ означает замыкание множества всех линейных комбинаций элементов из $M$. Это инвариантное относительно сдвига пространство, порожденное множеством $\mathcal A_s$. Если $V_s=S_s(\{\varphi\})$, то оно называется основным инвариантным относительно сдвига пространством, а $V_s=S_s(\{\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_r\})$ называется конечно порожденным инвариантным относительно сдвига пространством. Если $s=0$, то мы приходим к обозначениям $S(\mathcal A)$ и $E(\mathcal A)$, как в работе [1]. Следуя определению отображения $\mathcal T\colon L^2\to L^2(\mathbb{T}^n,\ell^2)$ в работе [1], зададим отображение $\mathcal T_s\colon H^s\to H(\mathbb{T}^n,\ell_s^2)$ (мы пишем $\mathcal T=\mathcal T_s$ при $s=0$) как
$$
\begin{equation*}
\mathcal T_s\varphi(t)=\biggl(\frac{\hat\psi(t+k)}{\mu_s(k)}\biggr)_{\!k\in\mathbb{Z}^n},\qquad t\in\mathbb{T}^n,\quad \varphi\in H^s, \qquad \biggl(1-\frac{\Delta}{4\pi^2}\biggr)^{\!s/2}\varphi=\psi(\in L^2(\mathbb R^n)).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2.1. Пусть $s\in\mathbb R$. 1. Отображение $\mathcal T_s\colon H^s\to H(\mathbb T^n,\ell^2_s)$ есть изометрия. 2. Изометрии в следующей диаграмме коммутируют:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{9} &L^2&\; &\xrightarrow{\mathcal{T}}&\quad &L^2(\mathbb{T}^n,\ell^2) \\ &\!\!\downarrow\alpha_s &&&& \quad\downarrow\beta_s\kern20pt;\\ &H^s &\;& \xrightarrow{\mathcal{T}_s}&\quad &H(\mathbb{T}^n,\ell_s^2) \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь
$$
\begin{equation*}
\alpha_s(g)=\mathcal F^{-1}\biggl(\frac{\hat g(\,{\cdot}\,)}{\mu_s(\,{\cdot}\,)}\biggr),\qquad \beta_s((f_k(\,{\cdot}\,))_{k\in\mathbb{Z}^n})=\biggl(\frac{f_k(\,{\cdot}\,)}{\mu_s(k)}\biggr)_{\!k\in\mathbb{Z}^n},
\end{equation*}
\notag
$$
в частности
$$
\begin{equation*}
\beta_s((\hat g(\cdot+k))_{k\in\mathbb{Z}^n})=\biggl(\frac{\hat g(\cdot+k)}{\mu_s(k)}\biggr)_{\!k\in\mathbb{Z}^n}.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Пусть $\varphi\in\mathcal S(\mathbb R^n)$. Тогда $\mathcal T_sT_j\varphi(\,{\cdot}\,)=e^{-2\pi\sqrt{-1}\,\langle\,{\cdot}\,,j\rangle}\mathcal T_s\varphi(\,{\cdot}\,)$, $j\in\mathbb Z^n$. Доказательство. 1. Докажем искомое утверждение для произвольной функции $\varphi\in\mathcal S(\mathbb R^n)$, тогда, поскольку множество таких функций всюду плотно, утверждение будет справедливо для любой функции из $H^s$. Итак, пусть $\hat\varphi=\hat\psi\mu_{-s}$. Тогда 2. Это утверждение очевидно. 3. Поскольку $\widehat{T_j\varphi}(\,{\cdot}\,)=e^{-2\pi\sqrt{-1}\,\langle \cdot,j\rangle}\hat\varphi(\,{\cdot}\,)$, имеем Замечание 2.1. Вместо $\mathcal T\colon L^2\to L^2(\mathbb{T}^n,\ell^2)$, $\varphi\mapsto((t\mapsto(\widehat \varphi(t+k))_k,t\in\mathbb T^n)$ из работы [1] можно использовать отображение $\widetilde{\mathcal T}\varphi\mapsto(t\mapsto (\varphi(t+k))_k,t\in\mathbb T^n)$, которое коммутирует с оператором сдвига $T_j$, $j\in\mathbb Z^n$ (с соответствующими последствиями для теории). Для пространств $L^2_s$ с весом можно использовать взвешенную версию отображения $\widetilde{\mathcal T_s}\colon\varphi\mapsto(t\mapsto(\frac{\varphi(t+k)}{\mu_s(k)})_k,t\in\mathbb T^n)$, при этом сдвиги и $\widetilde{\mathcal T_s}$ коммутируют. Тогда мы имеем $\widetilde{\mathcal T}_s(\varphi)=\mathcal T_s(\mathcal F^{-1}\varphi)$, $\varphi\in L^2_s(\mathbb R^n)$. Далее мы, повторяя работу [1], введем несколько понятий. Что касается измеримости, то, поскольку $H^s$ сепарабельно, сильная и слабая измеримости эквивалентны. Поэтому если последовательность измеримых функций сходится в любом из двух смыслов, то – к измеримой функции. Напомним определения и предложения, связанные с функцией образа (range function). Отображение $J_s\colon\mathbb{T}^n\to\{\text{множество замкнутых подпространств в}\;\,\ell_s^2\}$ называется функцией образа. Оно измеримо, если соответствующие ортогональные проекторы $P_{J_s}(t)\colon\ell_s^2\to J_s(t)$, $t\in\mathbb{T}^n$, измеримы по слабой операторной норме, т. е. $t\mapsto\langle P_{J_s}(t)c,d\,\rangle_{\ell_s^2}$ есть измеримая скалярная функция для любых $c,d\in\ell_s^2$. Для заданной функции образа $J_s$ (не обязательно измеримой) подпространство
$$
\begin{equation*}
M_{J_s}=\bigl\{F\in H(\mathbb{T}^n,\ell_s^2)\colon F(t)\in J_s(t)\;\,\text{для п.в.}\;\,t\in\mathbb{T}^n\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
замкнуто в $H(\mathbb{T}^n,\ell_s^2)$. Если $M_{J_s}=M_{K_s}$ для некоторых измеримых функций образа $J_s$ и $K_s$ с соответствующими ортогональными проекторами $P_{J_s}$ и $Q_{K_s}$, то $J_s(t)=K_s(t)$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$. Доказательство этого утверждения аналогично [1]. Предположим, что $J_s$ – измеримая функция образа. Пусть $\mathcal P_s$ – проектор,
$$
\begin{equation*}
H(\mathbb{T}^n,\ell_s^2)\ni F\mapsto\mathcal P_s(F)\in M_{J_s},
\end{equation*}
\notag
$$
такой что $(\mathcal P_sF)(t)\in J_s(t)$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$. Пусть
$$
\begin{equation*}
P_{J_s}\colon\mathbb{T}^n\to\bigl\{\text{пространство проекторов в}\;\,\ell_s^2\;\,\text{на замкнутые подпространства в}\;\,\ell_s^2\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
так что $P_{J_s}(t)\colon\ell_s^2\to J_s(t)$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$. Следующие утверждения являются обобщениями соответствующих утверждений из [1]. Их доказательства для $s\neq 0$ аналогичны доказательствам в случае $s=0$, поэтому мы их опускаем. Теорема 2.1. Пусть $J_s$ – измеримая функция образа. 1. Если $F\in H(\mathbb{T}^n,\ell_s^2)$, то $(\mathcal P_sF)(t)=P_{J_s}(t)(F(t))$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$. 2. Замкнутое подпространство ${V_s\subset H^s}$ инвариантно относительно сдвига, если и только если существует некоторая функция образа $J_s$, такая что
$$
\begin{equation*}
V_s=\bigl\{\varphi\in H^s\colon\mathcal T_s \varphi(t)\in{J_s}(t)\;\,\textit{для п.в.}\;\,t\in\mathbb{T}^n\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствие между $V_s$ и $J_s$ взаимно однозначно в соответствии с соглашением, что функции образа тождественно равны, если они равны п.в. в $\mathbb T^n$. Далее, если $V_s=S_s(\mathcal A_{I,s})$ для некоторого $\mathcal A_{I,s}\subset H^s$, то
$$
\begin{equation*}
J_s(t)=\overline{ \operatorname{span} }\{\mathcal T_s\varphi(t)\colon\varphi\in\mathcal A_{I,s}\}\;\,\textit{ для п.в.}\;\,t\in\mathbb{T}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Если $J_s$ неизмерима, то существует единственная измеримая функция образа $K_s$, такая что $K_s(t)\subseteq J_s(t)$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$ и $M_{J_s}=M_{K_s}$. Напомним, что спектр подпространства $V_s$ задается как
$$
\begin{equation*}
\sigma(V_s)=\{t\in\mathbb T^n\colon J_s(t)\neq\{\bf{0}\}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Бесселевы семейства и фреймыМы отсылаем читателя к [19] или любой другой книге по теории фреймов для определения бесселевого семейства, базиса Рисса и фрейма в гильбертовом пространстве. Напомним, что $X$ является фундаментальным фреймом в гильбертовом пространстве $\mathcal H$, если $ \operatorname{span} (X)$ плотна в $\mathcal H$. Следуя работе [1], приведем результаты, относящиеся к фреймам, бесселевым семействам и базису Рисса. Утверждения мы даем с набросками доказательств или без них, поскольку необходимые рассуждения можно найти в [1]. Следующая лемма необходима для описания фреймов и указанных семейств в $V_s$. Лемма 3.1. 1. Пусть $E_s(\mathcal A_{I,s})$ – бесселево семейство. Тогда для всех $f\in\mathcal A_{I,s}$ 2. Имеет место равенство $\langle T_k\varphi,f\rangle_{H^s}=\langle T_k\psi,g\rangle_{L^2}$. Доказательство. 1. Пусть $\psi,g\in L^2$ таковы, что $\hat\varphi=\hat\psi\mu_{-s}$ и $\hat f=\hat g\mu_{-s}$. Тогда Второе утверждение вытекает из следующей цепочки равенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle T_k\varphi,f\rangle_{H^s}&=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{T_k\varphi}(t)\bar{\hat f}(t)\mu_s^2(t)\,dt= \int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi\sqrt{-1}\,\langle t,k\rangle}\hat\varphi(t)\bar{\hat f}(t)\mu_s^2(t)\,dt= \\ &=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi\sqrt{-1}\,\langle t,k\rangle}\hat\psi(t)\bar{\hat g}(t)\,dt= \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{T_k\psi}(t)\bar{\hat g}(t)\,dt= \langle \widehat{T_k\psi},\hat g\rangle_{L^2}= \\ &=\langle T_k\psi,g\rangle_{L^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3.2. Пусть $s,s_0\in\mathbb R$. Тогда $\{\mathcal T_s\varphi(t)\colon\varphi\in\mathcal A_{I,s}\}\subset\ell_s^2$ является фреймом для $J_s(t)$, или базисом Рисса с границами $A$, $B$, или бесселевым семейством с границей $B$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$, если и только если $\{\mathcal T_{s_0}\varphi(t)\colon\varphi\in\mathcal A_{I,s_0}\}$ – фрейм, или базис Рисса для $J_{s_0}(t)$ с границами $A$, $B$, или бесселево семейство с границей $B$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$ соответственно. Кроме того, $\{\mathcal T_s\varphi(t)\colon\varphi\in\mathcal A_{I,s}\}$ является фундаментальным фреймом для п.в. $t\in\mathbb{T}^ n$, если и только если $\{\mathcal T_{s_0}\varphi(t)\colon\varphi\in\mathcal A_{I,s_0}\}$ – фундаментальный фрейм для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$. Поскольку $s$ и $s_0$ в предыдущей лемме – два произвольных вещественных числа, переформулируем предыдущую лемму как следующую теорему. Теорема 3.1. Множество $E_s(\mathcal A_{I,s})$ является фреймом, или базисом Рисса для $V_s=S_s(\mathcal A_{I,s})$ с границами $A$, $B$, или бесселевым семейством с границей $B$ при любом $s\in\mathbb{R}$ (эквивалентно при некотором $s\in\mathbb{R}$ в силу лемм 3.1, 3.2), если и только если множество $\{\mathcal T_s\varphi(t)\colon\varphi\in\mathcal A_{I,s}\}\subset\ell_s^2$ есть фрейм для $J_s(t)$, или базис Рисса с границами $A$, $B$, или бесселево семейство с границей $B$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$ при любом $s\in\mathbb{R}$ (эквивалентно при некотором $s\in\mathbb{R}$) соответственно. Кроме того, $E_s(\mathcal A_{I,s})$ является фундаментальным фреймом при любом $s\in\mathbb{R}$, если и только если $\{\mathcal T_s\varphi(t)\colon\varphi\in\mathcal A_{I,s}\}\subset\ell_s^2$ есть фундаментальный фрейм для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$ при любом $s\in\mathbb{R}$. Пусть $\mathcal A_{I,s}=\{\varphi_i\colon i\in I\}\subset H^s$. Положим
$$
\begin{equation}
z_s^i=(z_s^i(k))_{k\in\mathbb{Z}^n}\subset\ell_s^2,\qquad z_s^i(k)=\frac{\hat\psi_i(t+k)}{\mu_s(k)},\qquad i\in I,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $t\in\mathbb{T}^n$ фиксировано, а функции $\psi_i\in L^2$ таковы, что $\hat\varphi_i=\hat\psi_i\mu_{-s}$, $i\in I$. Пусть заданы $(z_s^i)_{i\in I}$. Для последовательности $c=(c_i)_{i\in I}$ с компактным носителем (это означает, что только конечное число ее членов отлично от нуля) определим оператор $N_s$ как
$$
\begin{equation}
N_s(c)=\biggl(\,\sum_{i\in I}c_iz_s^i(k)\biggr)_{k\in\mathbb{Z}^n}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
и затем продолжим его по непрерывности как отображение $N_s\colon\ell^2(I)\to\ell_s^2(\mathbb{Z}^n)$. Существует сопряженный оператор $N_s^*\colon\ell_s^2(\mathbb{Z}^n)\to\ell^2(I)$, определяемый как
$$
\begin{equation}
N_s^*(a)=(\langle a,z_s^i\rangle_{\ell_s^2})_{i\in I},\qquad a=(a_k)_{k\in\mathbb{Z}^n}\in\ell_s^2(\mathbb{Z}^n).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Очевидно, что $N_s$ ограничен, если и только если $N_s^*$ ограничен, а также если и только если $(z_s^i)_{i\in I}$ – бесселево семейство. Таким образом, из $\|N_s^*\|^2\leqslant B$ следует, что $\{z_s^i\colon i\in I\}$ – бесселево семейство с той же константой $B$. Грамиан $G_s$ системы $\{z_s^i\colon i\in I\}$ (3.1), определенный формулой $G_s=N_s^*N_s$, задает отображение $ G_s\colon\ell^2(I)\to \ell^2(I)$. Двойственный грамиан $\widetilde G_s\colon\ell_s^2(\mathbb{Z}^n)\to\ell_s^ 2(\mathbb{Z}^n)$ определяется формулой $\widetilde G_s=N_sN_s^*$. Замечание 3.1. Очевидно, что $G_s$ и $\widetilde G_s$ являются самосопряженными операторами и $\|N_s\|^2=\|N_s^*\|^2=\|G_s\|=\|\widetilde G_s\|$. Замечание 3.2. Пусть $\{e_i\colon i\in I\}$ – обычный базис в $\ell^2(I)$. Поскольку Теорема 3.2. Пусть $\mathcal A_{I,s}=\{\varphi_i\colon i\in I\}\subset H^s$. 1. Множество $E_s(\mathcal A_{I,s})$ является бесселевым семейством с границей $B$, если и только если
$$
\begin{equation*}
\mathop{\operatorname{ess}\sup}\limits_{t\in\mathbb{T}^n}\|G_s(t)\|_{\ell^2}\leqslant B,
\end{equation*}
\notag
$$
а также если и только если
$$
\begin{equation*}
\mathop{\operatorname{ess}\sup}\limits_{t\in\mathbb{T}^n}\|\widetilde G_s(t)\|_{\ell_s^2}\leqslant B.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Множество $E_s(\mathcal A_{I,s})$ является фреймом с положительными границами $A$, $B$, если и только если
$$
\begin{equation}
A\|a\|_{\ell_s^2}^2\leqslant\langle\widetilde G_s(t)a,a\rangle_{\ell_s^2}\leqslant B\|a\|_{\ell_s^2}^2,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $a\in \operatorname{span} \{\mathcal T_s\varphi_i(t)\colon i\in I\}$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$, а также если и только если
$$
\begin{equation}
\sigma(\widetilde G_s(t))\subseteq\{0\}\cup[A,B]\;\,\textit{для п.в.}\;\,t\in\mathbb{T}^n.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Множество $E_s(\mathcal A_{I,s})$ является фреймом с границами $A$, $B$, если и только если $\sigma(\widetilde G_s(t))\subseteq[A, B]$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$. 3. Множество $E_s(\mathcal A_{I,s})$ является базисом Рисса с границами $A$, $B$, если и только если
$$
\begin{equation}
A\|c\|_{\ell^2}^2\leqslant\langle G_s(t)c,c\rangle_{\ell^2}\leqslant B\|c\|_{\ell^2}^2,\quad c\in\ell^2(I),\quad\textit{для п.в.}\;\,t\in\mathbb T^n,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
а также если и только если
$$
\begin{equation}
\sigma(G_s(t))\subseteq[A,B]\quad\textit{для п.в.}\quad t\in\mathbb{T}^n.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Множество $E_s(\mathcal A_{I,s})$ является базисом Рисса, если и только если выполнено условие (3.7) и $0\notin\sigma(\widetilde G_s(t))$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$. Доказательство аналогично доказательству в [1] для $s=0$. 1. Утверждение следует из теоремы 3.1 и замечаний 3.1, 3.2. 2. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\langle\widetilde G_s(t)a,a\rangle_{\ell_s^2}= \langle N_s^*a,N_s^*a\rangle_{\ell^2}=\sum_{i\in I}|\langle a,z_s^i\rangle_{\ell_s^2}|^2,\qquad a\in\ell_s^2(\mathbb{Z}^n),
\end{equation*}
\notag
$$
получаем из теоремы 3.1 первое утверждение об эквивалентности. Оператор $\widetilde G_s(t)$ самосопряжен, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\ker\widetilde G_s(t)\oplus\overline{\operatorname{rank}\widetilde G_s(t)}=\ell_s^2(\mathbb{Z}^n).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, $\ker\widetilde G_s(t)=\ker N_s^*=J_s(t)^\perp$, где $J_s$ – функция образа для $S_s(\mathcal A_{I,s})$, поэтому $\operatorname{rank}\widetilde G_s(t)=J_s(t)$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$. Эквивалентность соотношений (3.4) и (3.5) получается, если рассмотреть сужение оператора $\widetilde G_s(t)$ на $J_s(t)$. Если дополнительно $\ker\widetilde G_s(t)=J_s(t)^\perp=\{\mathbf{0}\}$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$, то $E_s(\mathcal A_{I,s})$ – фундаментальный фрейм. 3. Первое утверждение об эквивалентности вытекает из того, что
$$
\begin{equation*}
\langle G_sc,c\rangle_{\ell^2}=\langle N_sc,N_sc\rangle_{\ell_s^2}=\bigg\|\sum_{i\in I}c_iz_s^i\,\bigg\|_{\ell_s^2}^2,\qquad c=(c_i)_{i\in I}\in\ell^2(I),
\end{equation*}
\notag
$$
и теоремы 3.1. Эквивалентность соотношений (3.6) и (3.7) является следствием того, что $G_s$ – неотрицательно определенный оператор. Если дополнительно $\ker\widetilde G_s(t)=J_s(t)^\perp=\{\mathbf{0}\}$, т. е. $0\notin\sigma(\widetilde G_s(t))$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$, то $E_s(\mathcal A_{I,s})$ – базис Рисса. 4. РазложениеВ этом разделе мы приводим разложение для $s\neq 0$, аналогичное разложению для $s=0$ в работе [1], поэтому доказательства мы опускаем. Определим функцию размерности для пространства $V_s$. Пусть $J_s$ – функция образа и $V_s=\mathcal T_s^{-1}M_{J_s}$. Отображение $\dim_{V_s}\colon\mathbb{T}^n\to\mathbb{N}\cup\{0,+\infty\}$, заданное формулой $\dim_{V_s}(t)=\dim J_s(t)$, называется функцией размерности для пространства $V_s$. Пусть $V_s=S_s(\varphi)$, $\varphi\in H^s$ и $\varphi_0\in V_s$. Говорят, что $\varphi_0$ – образующая точного фрейма или квазиортогональная образующая пространства $V_s$, если
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{H^s}^2=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}|\langle T_k\varphi_0,f\rangle_{H^s}|^2\quad\text{для всех}\quad f\in V_s.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы 2.1 и леммы 3.1 эквивалентны следующие утверждения: 1) $\varphi_0$ – квазиортогональная образующая пространства $V_s=S_s(\varphi)$, 2) $\|\mathcal T_s\varphi_0(t)\|_{\ell_s^2}=\mathbf{1}_{\sigma_{V_s}}(t)$ для п.в. $t\in\mathbb{T}^n$. Теперь мы можем доказать теорему о разложении. Те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 3.3 в [1], с заменой использующейся там функции $\eta_k$ на
$$
\begin{equation*}
\eta_k(t)=\begin{cases} \dfrac{P_{J_s}(t)e_{\pi(k)}}{\|P_{J_s}(t)e_{\pi(k)}\|_{\ell_s^2}}, & t\in A_k,\\ \quad 0 & \text{в остальных случаях},\end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
дают доказательство следующей теоремы. Теорема 4.1. Пусть $V_s$ – инвариантное относительно сдвига подпространство в $H^s$. Тогда $V_s$ можно разложить в прямую сумму: где $V^i_s$ – основные инвариантные относительно сдвига пространства с квазиортогональными образующими $\varphi_i$, $i\in\mathbb{N}$, и $\sigma_{V_s^{i+1}}\subset\sigma_{V_s^i}$ для всех $i\in\mathbb{N}$. Кроме того, $\dim_{V_s^i}(t)=\|\mathcal T_s\varphi_i(t)\|_{\ell_s^2}$, $i\in\mathbb{N}$, и Замечание 4.1. Указанное разложение не всегда единственно, но всегда дает оптимальное количество нетривиальных компонент $V_s^i$, $i\in\mathbb{N}$. 5. Структурные теоремыНапомним [20], [21], что $\mathcal D_{L^2}(\mathbb R^n)=\bigcap_{s\geqslant0}H^s$ и $\mathcal D_{L^2}'(\mathbb R^n)=\bigcup_{s\geqslant0}H^{-s}$. Построим фрейм $E_s^{\,\mathrm d}$, двойственный к $E_s(\mathcal A_{I,s})$. Подпространство $V_s$ замкнуто в $H^s$, $s\in\mathbb R$, поэтому оно также является сепарабельным гильбертовым пространством. Двойственный фрейм $\{\theta_k^i\colon k\in\mathbb{Z}^n,i\in I\}$ задается как
$$
\begin{equation*}
\theta_k^i=L^{-1}(T_k\varphi_i),\qquad k\in\mathbb{Z}^n,\quad i\in I,
\end{equation*}
\notag
$$
где $L$ – оператор фрейма,
$$
\begin{equation*}
L(f)=\sum_{i\in I}\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\langle f,T_k\varphi_i\rangle_{H^s}\,T_k\varphi_i, \qquad f\in V_s.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5.1. Пусть $E_s(\mathcal A_{I,s})$ – фрейм для $V_s$ и $\{T_k\theta^i\colon k\in\mathbb{Z}^n,i\in I\}$ – его двойственный фрейм. Тогда $\mathcal F(V_s)$ – множество преобразований Фурье элементов $f\in\mathcal D_{L^2}'(\mathbb{R}^n)$, таких что Доказательство. Напомним, что оператор фрейма – это биекция. Кроме того, это самосопряженный оператор, сохраняющий сдвиг (коммутирующий с оператором сдвига). Из равенств Пространство периодических $L^2$-функций определяется как отсюда получаем доказываемое утверждение.Связь с $\mathcal V_s^2$В случае $p=2$ мы используем обозначение $\mathcal V_s^2$ вместо $V_s^p$, как в [16] (и $V_p$, как в [15]). Напомним некоторые результаты работы [16], где мы рассматривали версию пространств $V^p$ с весами, $p\in[1,+\infty)$, анализ которых можно найти в статье [15]. Итак, предположим, что $p=2$. В случае $s=0$ предположим, что $\psi^i\in\mathcal L^\infty$, $i=1,\ldots,r$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal L^{\infty}=\biggl\{\psi\colon\|\psi\|_{\mathcal L^\infty}=\sup_{t\in\mathbb T^n}\sum_{j\in\mathbb{Z}^n}|\psi(t+j)|<+\infty\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В соответствии с [15] имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal V^2=\biggl\{f\colon f=\sum_{i=1}^r\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}c_k^iT_k\psi^i,\, (c_k^i)_{k\in\mathbb{Z}^n}\in\ell^2,\,i=1,\ldots,r\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5.2. Пусть $\mathcal A_r=\{\psi^i\colon i=1,\ldots,r\}\subset L^2(\mathbb{R}^n)\cap\mathcal L^\infty$. Если $\mathcal V^2$ замкнуто в $L^2(\mathbb R^n)$, то Доказательство. Известно [15], что замкнутость пространства $\mathcal V^2$ в $L^2(\mathbb R^n)$ – это необходимое и достаточное условие того, что $\mathcal B=\{T_k\psi^i\colon k\in\mathbb{Z}^n, i=1,\ldots,r\}$ есть фрейм для $\mathcal V^2$. Поскольку $E(\mathcal A_r)=\mathcal B$ и $S(\mathcal A_r)$ по определению замкнуто в $L^2(\mathbb R^n)$, получаем, что один и тот же фрейм определяет оба пространства, поэтому $\mathcal V^2=V$. Теперь рассмотрим взвешенные версии [16]. Пусть $s>0$ фиксировано. Введем несколько дополнительных предположений об образующих $\psi^i$, $i=1,\ldots,r$, для того чтобы их линейные комбинации определяли подпространства в $H^s$ и в $L^2_s$: пусть Кроме того, чтобы иметь те же предположения, что в [15] (и в [16]), будем считать, чтоНапомним [17]
$$
\begin{equation}
\mathcal V^2_s=\biggl\{f\colon f=\sum_{i=1}^r\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}c_k^iT_k\psi^i,\, (c_k^i)_{k\in\mathbb{Z}^n}\in\ell^2_s,\,i=1,\ldots,r\biggr\}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Теорема 5.3. Пусть $s>0$ и выполнены условия (5.2), (5.3). 1. Предположим, что пространства $\mathcal V_s$ и $\mathcal F(\mathcal V_s^2)$ замкнуты в $L^2_s$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal V_s^2\subset H^s,\qquad \mathcal V_s^2=V_s=S_s(\mathcal A_{r,s}).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, всякий элемент $f\in V_s$ имеет разложение по фрейму, как в (5.4). 2. Предположим, что $s>1/2$ и пространство $\mathcal V^2_s$ замкнуто в $L^2_s$. Тогда $\mathcal F(\mathcal V_s^2)$ замкнуто в $L^2_s$ и справедливы оба утверждения п. 1. Доказательство. 1. Поскольку $\psi^i\in H^s$, $i=1,\ldots,r$, рассмотрим множество 2. Если $f\in\mathcal V^2_s$, то
$$
\begin{equation*}
f(\,{\cdot}\,)=\sum_{i=1}^r\sum_{k\in\mathbb Z^n} c^i_k\psi^i(\,{\cdot}\,-k),\qquad \hat f(\,{\cdot}\,)=\sum_{i=1}^r\hat\psi^i(\,{\cdot}\,)\sum_{k\in\mathbb Z^n}c^i_k e^{-2\pi\sqrt{-1}\,\langle\,{\cdot}\,,k\rangle}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\hat f_N(\,{\cdot}\,)=\sum_{i=1}^r\hat\psi^i(\,{\cdot}\,)\sum_{|k|>N}c^i_ke^{-2\pi\sqrt{-1}\,\langle\,{\cdot}\,,k\rangle}.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы показать, что $\hat f\in L^2_s$, докажем, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^n}\hat f_N(\xi)\overline{\hat f_N(\xi)}(1+|\xi|^2)^s\,d\xi\to 0,\qquad N\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для произведения $\hat f_N(\xi)\overline{\hat f_N(\xi)}$ под интегралом имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i_1,i_2=1}^r\hat\psi^{i_1}(\xi)\overline{\hat\psi^{i_2}}(\xi) \sum_{|k|>N}c^{i_1}_k e^{-2\pi\sqrt{-1}\,\langle\xi,k\rangle}& \sum_{|k|>N}\overline{c^{i_2}_k}e^{2\pi\sqrt{-1}\,\langle\xi,k\rangle}= \\ &=\sum_{i_1,i_2=1}^r\hat\psi^{i_1}(\xi)\overline{\widehat\psi^{i_2}}(\xi)I_{i_1,i_2,N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\hat\psi^{i_1}(\xi)\overline{\widehat\psi^{i_2}}(\xi)(1+|\xi|^2)^s\in L^2({\mathbb R^n})$, если мы докажем, что
$$
\begin{equation*}
|I_{i_1,i_2,N}|\leqslant\sup_{\xi\in\mathbb R^n}\bigg|\sum_{|k|>N}c^{i_1}_k e^{-2\pi\sqrt{-1}\,\langle\xi,k\rangle} \sum_{|k|>N}\overline{c^{i_2}_k} e^{2\pi\sqrt{-1}\,\langle\xi,k\rangle}\bigg|\to 0,\qquad N\to+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
то $\hat f_N\to 0$ при $N\to+\infty$ в $L^2_s$. Справедливы неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{i_1,i_2,N}&\leqslant\sum_{|k|>N}|c^{i_1}_k|\sum_{|k|>N}|c^{i_2}_k|\leqslant \\ &\leqslant\sum_{|k|>N}|c^{i_1}_k|^2(1+|k|^2)^s\sum_{|k|>N}\frac{1}{(1+|k|^2)^s} \sum_{|k|>N}|c^{i_2}_k|^2(1+|k|^2)^s\sum_{|k|>N}\frac{1}{(1+|k|^2)^s}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $(c^i_k)_k^{}\in\ell^2_s$, $i=1,\ldots,r$, мы видим, что последнее выражение стремится к нулю при $N\to+\infty$. Это дает доказательство небходимого соотношения и утверждения 2 теоремы. Замечание 5.1. Коэффициенты $c^i_k$ элемента пространства $V_s$, $s>0$, связаны с коэффициентами $b^i_k$ того же элемента в $\mathcal V^2_s$ формулой С точки зрения двойственных теорем имеем следующее утверждение. Теорема 5.4. Пусть $s>0$ и выполнены условия (5.2), (5.3). Кроме того, предположим, что выполнены условия первого или второго утверждения в теореме 5.3. Тогда в обоих случаях: 1) имеет место равенство множеств $(\mathcal V^2_s)'=\mathcal V^2_{-s}$, где $\mathcal V^2_{-s}$ – пространство формальных рядов вида
$$
\begin{equation*}
F(\,{\cdot}\,)=\sum_{i=1}^r\sum_{k\in\mathbb Z^n} b^i_k\psi^i(\,{\cdot}\,-k),\qquad \sum_{i=1}^r\sum_{k\in\mathbb Z^n} |b^i_k|^{2}(1+|k|^2)^{-s}<+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
с двойственным произведением (здесь $f$ имеет вид (5.4))
$$
\begin{equation*}
\langle F,f\rangle=\sum_{i=1}^r\sum_{k\in\mathbb Z^n}b^i_k c^i_k;
\end{equation*}
\notag
$$
2) имеет место равенство множеств $\mathcal V^2_{-s}=V_{-s}$. Доказательство. Первое утверждение очевидно, а второе следует из того, что элементы с компактным носителем вида $\sum_{i=1}^r\sum_{k\in\mathbb Z^n} b^i_k\psi^i( \,{\cdot}\,-k)$ плотны в обоих пространствах $\mathcal V^2_{-s}$ и $V_{-s}$, $s>0$. Чтобы рассмотреть пересечения $V_s$, $s\geqslant 0$, вместо условий (5.2) и (5.3) наложим условие
$$
\begin{equation}
\psi^i\in\mathcal S(\mathbb R^n),\qquad i=1,\ldots,r.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Теорема 5.5. Предположим, что выполнено условие (5.5). Тогда Напомним, что пространство $\mathcal P(\mathbb R^n)=\mathcal P$ периодических гладких пробных функций (с единичным периодом по любой переменной) определяется выражением
$$
\begin{equation*}
\mathcal P= \biggl\{\phi\colon\phi(\,{\cdot}\,)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}a_ke^{-2\pi\sqrt{-1}\,\langle\,{\cdot}\,,k\rangle},\; (a_k)_{k\in\mathbb{Z}^n}\in\ell_s^2\;\,\text{для каждого}\;\,s\geqslant 0\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
а его двойственное пространство $\mathcal P'(\mathbb R^n)=\mathcal P'$ задается как
$$
\begin{equation*}
\mathcal P'= \biggl\{\phi\colon\phi(\,{\cdot}\,)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}a_ke^{-2\pi\sqrt{-1}\,\langle\,{\cdot}\,,k\rangle},\; (a_k)_{k\in\mathbb{Z}^n}\in\ell_{-s}^2\;\,\text{для некоторого}\;s\geqslant 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем прямое следствие второго утверждения теоремы 5.3. Следствие 5.1. Предположим, что выполнено условие (5.5). Тогда Из теоремы 5.4 получаем двойственное следствие. Следствие 5.2. Предположим, что выполнено условие (5.5). Тогда Заметим, что предположение ${\psi}^i\in\mathcal S(\mathbb R^n)$ влечет, что произведение гладкой функции и (периодического) распределения Шварца корректно определено. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AksAlePil24} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|