| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Унитарное представление блужданий вдоль случайных векторных полей и уравнение Колмогорова–Фоккера–Планка в гильбертовом пространстве В. М. Бусовиковab, Ю. Н. Орловc, В. Ж. Сакбаевc a Физтех-школа прикладной математики и информатики, Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Долгопрудный, Московская обл., Россия b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия c Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792402003X 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеЦелью настоящей работы является изучение композиции случайных гамильтоновых потоков в сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве, снабженном симплектической формой, инвариантной относительно левых сдвигов. Также мы изучим блуждания по случайным гамильтоновым векторным полям и соответствующее уравнение Колмогорова с переменными коэффициентами. Для анализа этих вопросов введем на вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве с инвариантной относительно сдвигов симплектической формой меру, инвариантную относительно группы симплектоморфизмов [1]–[3]. Согласно теореме Вейля (см. [4], гл. 1.5) эта мера не может обладать всеми свойствами меры Лебега. Теорема Вейля. Если топологическая группа $G$ не является локально компактной, то на ней не существует нетривиальной счетно-аддитивной $\sigma$-конечной локально конечной борелевской меры, инвариантной относительно левых сдвигов. В случае локально компактной топологической группы $G$ ситуация другая. В этом случае существует единственная (с точностью до скалярного множителя) нетривиальная счетно-аддитивная $\sigma$-конечная и локально конечная борелевская мера, инвариантная относительно левых сдвигов. Эта мера называется мерой Хаара. Если группа $G$ является линейным пространством конечной размерности, то левоинвариантная мера Хаара является мерой Лебега. Она обладает некоторыми замечательными свойствами инвариантности относительно гамильтоновых потоков. Для конечномерного вещественного евклидова пространства четной размерности с симплектической билинейной формой любая гладкая функция на пространстве $G$ как функция Гамильтона порождает гамильтонов поток, сохраняющий меру Лебега на $G$. Аналоги меры Лебега на бесконечномерном локально выпуклом (в частности, гильбертовом) пространстве необходимы при изучении квантования гамильтоновых систем с бесконечномерным фазовым пространством, в статистической механике, при изучении случайных унитарных групп и в теории открытых квантовых систем [5]–[9]. Мы изучаем меры на бесконечномерном симплектическом пространстве (т. е. линейном пространстве, наделенном невырожденной замкнутой дифференциальной 2-формой) при условии, что эти меры инвариантны относительно группы симплектоморфизмов. Для получения меры с указанным выше свойством следует предположить, что хотя бы одно из условий теоремы Вейля нарушено. Для описания мер, инвариантных относительно группы симплектоморфизмов, следует изучить как условия на меры, так и условия на группу. Описание класса инвариантных к сдвигу мер на гильбертовом пространстве является важным шагом в описании мер, инвариантных к симплектоморфизму, поскольку группа сдвигов вдоль вектора гильбертова пространства является гамильтоновым потоком, порожденным функцией Гамильтона, которая имеет линейную форму на фазовом пространстве. Инвариантные относительно сдвига меры на сепарабельном гильбертовом пространстве, не обладающие свойствами счетной аддитивности и борелевской измеримости, изучаются в работах [10], [11]. В работах [5], [12], [13] изучаются инвариантные относительно сдвига меры на локально выпуклом пространстве числовых последовательностей, не обладающие свойствами локальной конечности и $\sigma$-конечности. Обобщенная инвариантная к сдвигу мера на гильбертовом пространстве исследовалась в работе [7] как линейный функционал на собственном пространстве основных функций. В настоящей статье мы изучаем расширение инвариантной относительно сдвига меры на сепарабельном гильбертовом пространстве (см. [10]) до меры на расширенном кольце подмножеств (см. [3]). Построенное продолжение является мерой, инвариантной относительно симплектоморфизма, сохраняющего двумерные симплектические подпространства фазового пространства. Этот симплектоморфизм представляет собой гамильтонов поток набора гамильтоновых систем без взаимодействий. Расширенная мера называется симплектической мерой. Построенная симплектическая мера используется для усреднения операторов сдвига по случайным гамильтоновым векторным полям. С этой целью мы применяем метод усреднения Фейнмана–Чернова к композиции независимых одинаково распределенных случайных линейных операторов в пространстве функций, квадратично интегрируемых по инвариантной мере. В этой конструкции мы существенно используем следующую теорему [14]. Теорема Чернова. Пусть $X$ – банахово пространство, а $B(X)$ – банахова алгебра ограниченных линейных операторов в пространстве $X$. Пусть алгебра $B(X)$ оснащена сильной операторной топологией. Пусть функция $\mathbf{F}\colon [0,+\infty) \to B(X)$ удовлетворяет следующим условиям: $\mathbf{F}(0)=\mathbf{I}$, $F$ непрерывна в сильной операторной топологии в $B(X)$ и $ \|\mathbf{F}(t)\Vert_{B(X)}\leqslant e^{\alpha t}$, $t\geqslant 0$, для некоторого $\alpha\geqslant 0$. Пусть в пространстве $X$ есть плотное линейное подпространство $D$ такое, что для каждого $u\in D$ существует предел $ \lim_{t\to +0}t^{-1}(\mathbf{F}(t)u-u)\equiv \mathbf{F}'(0)u$. Если оператор $\mathbf{F}'(0)\colon D\to X$ замыкаем и его замыкание является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов $\mathbf{U}(t)$, $t\geqslant 0$, тогда для каждого $u\in X$ и каждого $T>0$ имеет место равенство В разделе 2 представлено описание однородной симплектической структуры на сепарабельном гильбертовом пространстве. В разделе 3 строится симплектическая мера на сепарабельном гильбертовом пространстве с однородной симплектической структурой. Представленная мера инвариантна относительно любого симплектоморфизма, сохраняющего двумерные симплектические подпространства. В разделе 4 мы рассматриваем случайный гамильтонов поток, значениями которого являются симплектоморфизмы, сохраняющие симплектическую меру. В разделе 5 мы изучаем гауссовское случайное блуждание в сепарабельном гильбертовом пространстве, наделенном симплектической мерой. Упомянутые выше случайные блуждания порождают полугруппу самосопряженных сжатий в пространстве комплексных функций, квадратично интегрируемых по симплектической мере. Описаны подпространства сильной непрерывности и образующие этих полугрупп, а также область определения образующей сильно непрерывного ограничения. В разделе 6 доказывается закон больших чисел для композиции операторов случайных сдвигов аргументов вдоль независимых одинаково распределенных гамильтоновых векторных полей, в которых операторы сдвига аргумента действуют в подпространстве сильной непрерывности полугруппы из раздела 5. Показано, что закон больших чисел нарушается для операторов сдвига, действующих во всем пространстве квадратично интегрируемых относительно симплектической меры функций. В разделе 7 получена обобщенная сходимость распределения случайных блужданий вдоль случайных гамильтоновых векторных полей к марковскому процессу, соответствующему бесконечномерному уравнению Колмогорова–Фоккера–Планка с переменными коэффициентами. Обобщенная сходимость случайной величины по распределению означает, что пространство основных функций является гильбертовым пространством квадратично интегрируемых функций вместо пространства ограниченных непрерывных функций [15]. 2. Симплектическая структураСимплектическая структура на вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве $E$ – это невырожденная замкнутая дифференциальная 2-форма на пространстве $E$. Если симплектическая форма на гильбертовом пространстве $E$ инвариантна относительно сдвига, она задается невырожденной кососимметричной билинейной формой $\omega$ на пространстве $E$. Гильбертово пространство $E$ отождествляется со своим сопряженным пространством. Пусть $B(E)$ – банахово пространство ограниченных линейных операторов $E\to E$, наделенное операторной нормой. Если линейный оператор $\mathbf{J}\in B(E)$ ассоциирован с билинейной формой $\omega$, то $\mathbf{J}$ является невырожденным кососимметричным оператором [16]. Инвариантная к сдвигу симплектическая форма $\omega$ на вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве $E$ называется стандартной, если существует ортонормированный базис (ОНБ) $\{ e_k\}\equiv \mathcal{E}$ такой, что $\omega (e_{2k-1},e_{j})=\delta _{j,2k}$, $k,j\in \mathbb N$, где $\delta _{j,i}$ – символ Кронекера. Стандартная симплектическая форма $\omega$ определяет разложение $E=Q\oplus P$ пространства $E$ в прямую сумму двух подпространств $Q$, $P$ таких, что имеют место следующие свойства. Существует пара ОНБ $\mathcal{F}=\{ f_k\}$, $\mathcal{G}=\{ g_k\}$ в подпространствах $Q$ и $P$ соответственно такие, что $e_{2k -1}=f_k, k\in \mathbb N$ и $e_{2k}=g_k, k\in \mathbb N$. Тогда
$$
\begin{equation}
\omega (f_{i},f_{j})=0,\qquad \omega (g_{i},g_{j})=0,\qquad \omega (f_{i},g_{j})=\delta _{i,j} \qquad \forall i,j\in \mathbb{N}
\end{equation}
\tag{1}
$$
(см. [7]). В приведенном выше случае базис $\mathcal{E}=\{ e_i,i\in \mathbb N \}=\{ f_j,g_k; j,k\in {\mathbb N}\}$ называется симплектическим базисом симплектической формы $\omega$ в пространстве $E$. Симплектическая форма $\omega$ на пространстве $E$ с симплектическим базисом $\{ f_j,g_k; j\in \mathbb{N}, k\in \mathbb{N}\}$ задается билинейной формой кососимметричного симплектического оператора $\mathbf{J}$, связанной с симплектической формой $\omega $ условием
$$
\begin{equation}
\omega (z_1,z_2)=(\mathbf{J}z_1,z_2)\qquad \forall z_1,z_2\in E.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Поэтому симплектический оператор определяется равенствами $\mathbf{J}(e_j)=f_j$, $\mathbf{J}(f_k)=-e_k$, $j\in \mathbb{N}$, $k\in \mathbb{N}$. Пространства $Q$ и $P$ называются соответственно конфигурационным и импульсным пространствами. Любое из этих двух пространств сопряжено с другим (см. [17], [6], [7]). Гамильтонова система определяется как следующая тройка: $(E,\mathbf{J},h)$, где $(E,\mathbf{J})$ – гильбертово пространство с симплектической структурой, $h\colon E_1\to \mathbb R$ – вещественнозначная функция, непрерывно дифференцируемая по Гато на плотном подпространстве $E_2$ пространства $E$. Функция $h$ в этой тройке называется функцией Гамильтона [6], [7]. Плотно определенное векторное поле $\mathbf{v}\colon E_2\to E$ называется гамильтоновым векторным полем, если существует функция $h\colon E_1\to \mathbb{R}$ такая, что $\mathbf{v}(z)=\mathbf{J}Dh(z)$, $z\in E_2$. Здесь функция Гамильтона $h$ дифференцируема по Гато на плотном подпространстве $E_2$ пространства $E$. В этом случае $Dh\colon E_2\times E_2\to E$ является дифференциалом функции $h$. В этом случае дифференциальное уравнение $z'(t)=\mathbf{J}(h'(z(t)))$, $t\in \Delta$, по неизвестной функции на отрезке $\Delta$ $z\colon \Delta \to E_2$ называется уравнением Гамильтона для гамильтоновой системы $(E,\mathbf{J},h)$ [17], [6]. Линейное уравнение Шредингера есть уравнение Гамильтона гамильтоновой системы с квадратичной функцией Гамильтона такое, что оператор квадратичной формы коммутирует с симплектическим оператором. В этом случае фазовое пространство есть овеществление комплексного гильбертова пространства квантовой системы [17]. 3. Меры, инвариантные относительно симплектоморфизмовЗададимся теперь задачей описать меры на вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве $E$ с инвариантной относительно сдвига симплектической формой $\omega$ такие, что эти меры инвариантны относительно некоторой группы гамильтоновых потоков. Пусть $E=Q\oplus P$ и пусть ${\mathcal E}={\mathcal F}\cup {\mathcal G}$ – симплектический базис симплектической формы $\omega $ (см. (1)). Определение 1. Множество $\Pi \subset E$ называется абсолютно измеримым симплектическим брусом в гильбертовом пространстве $E$, если существует симплектическая форма $\omega $ на пространстве $E$ с симплектическим базисом $\{ e_j,f_k, j\in {\mathbb N}, k\in {\mathbb N}\}$ таким, что множество $\Pi$ определяется равенством где $B_i$ – измеримые по Лебегу множества на плоскости ${\mathbb R}^2$ такие, что выполняется условие $\sum_{j=1}^{\infty }\max \{\ln (\lambda _2(B_j)),0\}<+\infty$ (здесь $\lambda_2$ – мера Лебега на ${\mathbb R}^2$). Пусть ${\mathcal K}(E)$ – множество абсолютно измеримых симплектических брусов в гильбертовом пространстве $E$. Заметим, что симплектический базис в определении 1 зависит от выбора симплектического бруса. Зафиксируем симплектический базис ${\mathcal E}={\mathcal F}\cup {\mathcal G}$. Обозначим через ${\mathcal K}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}(E)\equiv {\mathcal K}_{\mathcal E}(E)$ множество абсолютно измеримых симплектических брусов, любой из которых имеет вид (3) в базисе ${\mathcal F}\cup {\mathcal G}$. Пусть $\lambda_{{\mathcal F}, {\mathcal G}}\colon {\mathcal K}_{{\mathcal F}, {\mathcal G}}(E)\to [0,+\infty)$ – функция множества, задаваемая равенством
$$
\begin{equation*}
\lambda_{{\mathcal F}, {\mathcal G}}(\Pi)=\prod_{j=1}^{\infty}\lambda_2(B_j)=\exp\biggl(\sum_{j=1}^{\infty}\ln (\lambda_2(B_j))\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
при условии $\Pi \neq \oslash$; $\lambda _{{\mathcal F},{\mathcal G}}(\Pi )=0$ в случае $\Pi =\oslash$. Легко проверить, что если $A,B\in {\mathcal K}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}(E)$ для некоторого ОНБ ${\mathcal F}\cup {\mathcal G}$, тогда $A\cap B\in {\mathcal K}_{{\mathcal F},{\mathcal F}}(G)$. Кроме того, класс множеств ${\mathcal K}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}(E)$ инвариантен относительно сдвига на любой вектор пространства $E$. Функции множества $\lambda _{{\mathcal F}, {\mathcal G}}\colon {\mathcal K}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}(E)\to [0,+\infty)$ также инвариантны относительно сдвига. Множество $\Pi \in {\mathcal K}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}(E)$ в (3) обозначим как $\times_{j=1}^{\infty }B_j$. Пусть $r_{{\mathcal F},{\mathcal G}}$ – кольцо, порожденное системой множеств ${\mathcal K}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}$. Легко проверить следующее утверждение. Лемма 1 [18]. Класс множеств $\Lambda$ вида где $n\in {\mathbb N}_0$, $\Pi ,\Pi _1,\dots,\Pi _n\in {\mathcal K}_{{\mathcal E},{\mathcal F}}$, образует полукольцо. Теорема 1 [3]. Функция множества $\lambda\colon {\mathcal K}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}(E)\to [0,+\infty)$ конечно-аддитивная. Аддитивная функция множества $\lambda\colon {\mathcal K}_{{\mathcal E},{\mathcal F}}(E)\to [0,+\infty)$ имеет единственное аддитивное расширение на полукольцо $\Lambda $. Пополнением меры $\lambda\colon \Lambda \to [0,+\infty )$ является полная мера $\lambda _{{\mathcal E},{\mathcal F}}\colon {\mathcal R}_{{\mathcal E},{\mathcal F}}\to [0,+\infty)$. Кольцо ${\mathcal R}_{{\mathcal E},{\mathcal F}}$ определяется по кольцу $\Lambda$ следующим образом. Внутренняя (${\underline \lambda}$) и внешняя ($\overline \lambda$) меры определяются по мере $\lambda\colon \Lambda \to [0,+\infty)$ на всех подмножествах $E$. Тогда ${\mathcal R}_{{\mathcal E},{\mathcal F}}=\{ A\subset E\colon {\underline \lambda }(A)={\overline \lambda }(A)\in {\mathbb R}\}$. Замечание 1. Мера $\lambda _{{\mathcal E},{\mathcal F}}\colon {\mathcal R}_{{\mathcal E},{\mathcal F}}\to [0,+\infty)$ определяет (см. [3]) пространство ${\mathcal H}=L_2(E,{\mathcal R}_{{\mathcal E},{\mathcal F}},\lambda_{{\mathcal E },{\mathcal F}},{\mathbb C})$ стандартным образом как пополнение по евклидовой норме пространства $S_2(E,{\mathcal R}_{{\mathcal E},{\mathcal F}},\lambda_{{\mathcal E},{\mathcal F}},{\mathbb C})$ классов эквивалентности простых функций. 4. Инвариантность симплектической меры относительно гамильтоновых потоковПусть $h\colon E\to R$ – невырожденная квадратичная форма на пространстве $E$. Рассмотрим функцию $h$ как функцию Гамильтона на симплектическом пространстве $(E,\omega )$. Квадратичная форма $h$ на пространстве $E$ имеет канонический базис $\mathcal{E}$ такой, что квадратичная форма диагональна в базисе $\mathcal{E}$. Предположим, что базис $\mathcal{E}$ является симплектическим базисом симплектической формы $\omega$. Тогда билинейная форма $\omega $ удовлетворяет равенствам ${\omega}(e_{2k-1},e_{2k})=-{\omega}(e_{2k},e_{2k-1})=1$ и ${\omega}(e_l,e_m)=0$ в остальных случаях. Введем ортонормированные системы $\mathcal{F}$, $\mathcal{G}$ в подпространствах $P$, $Q$ такие, что $e_{2k-1}=f_k$, $e_{2k}=g_k$, $k\in \mathbb{N}$. Рассмотрим пример счетной системы невзаимодействующих осцилляторов. Лемма 2 [2]. Пусть $\mathcal{E}$ – симплектический базис формы $\omega$, для которого выполняются условия (1). Пусть квадратичная форма $h$ диагональна в базисе $\mathcal{E}$: где $\{ \lambda_k\}\colon \mathbb{N}\to \mathbb{R}$. Тогда гамильтоново векторное поле $\mathbf{v}=\mathbf{J}\,\nabla h$ определено в пространстве Это векторное поле порождает гладкий гамильтонов поток $\mathbf{\Phi}_t$, $t\in \mathbb R$, в пространстве $E_2$. Поток $\mathbf{\Phi}_t$, $t\in \mathbb{R}$, имеет единственное непрерывное продолжение в обобщенный гамильтонов поток в пространстве $E$. Симплектическая мера $\lambda_{\omega}$ инвариантна относительно обобщенного гамильтонова потока $\mathbf{\Phi}_t$, $t\in \mathbb{R}$. Поток $\mathbf{\Phi}_t$, $t\in \mathbb{R}$, в пространстве $E$ из леммы 2 определяет однопараметрическую группу линейных изометрических операторов
$$
\begin{equation*}
\mathbf{U}_{\mathbf{\Phi}_t}u(x)=u(\mathbf{\Phi}_{-t}(x)),\qquad x\in E,\ u\in S(E,\mathcal{R}_\mathcal{E},\mathbb{C}),\ t\in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
в пространстве простых функций $S_2(E,\mathcal{R}_\mathcal{E}, \lambda_\mathcal{E},\mathbb{C})$. Группа изометрий $\mathbf{U}_{\mathbf{\Phi}_t}$, $t\in \mathbb{R}$, в пространстве $S_2(E,\mathcal{R}_\mathcal{E},{\lambda}_\mathcal{E}, \mathbb{C})$ однозначно продолжается по непрерывности до унитарной группы на пространстве $\mathcal{H}_\mathcal{E}$ такой, что
$$
\begin{equation}
\mathbf{U}_{\mathbf{\Phi}_t }u(x)=u(\mathbf{\Phi}_{-t}(x)),\qquad t\in \mathbb{R},\ u\in {\mathcal H}_{{\mathcal F}, {\mathcal G}},\ x\in E.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Унитарная группа (5) называется купмановским представлением гамильтонова потока $\mathbf{\Phi}$. Рассмотрим случай унитарного представления гамильтонова потока нелинейных отображений пространства $E$ в себя. Рассмотрим функцию Гамильтона $\tilde h\colon E\to \mathbb{R}$:
$$
\begin{equation*}
\tilde {h}(p,q)=\sum_{k\in \mathbb{N}} \phi_k(p_k,q_k),\qquad (p,q)=\{ (p_k,q_k)\}\in E,
\end{equation*}
\notag
$$
она генерирует нелинейный фазовый поток $\tilde \Phi_t$, $t\in \mathbb{R}$, в пространстве $E$. Здесь $\{\phi _k\}$ – последовательность ограниченных непрерывно дифференцируемых функций $\phi_k\colon E_k\to \mathbb{R}$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty}M_k<\infty,\qquad M_k=\sup_{(p,q)\in {\mathbb R}^2}\biggl(|\phi _k(p,q)|^2 +\biggl|\frac{\partial }{\partial p_k}\phi _k(p,q)\biggr|^2+\biggl|\frac{\partial }{\partial q_k}\phi_k(p,q)\biggr|^2\,\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Гамильтоново векторное поле $\mathbf{J}\,\nabla \tilde{h}$ порождает гамильтонов поток $\tilde{\mathbf{\Phi}}$ в пространстве $E$. Тогда мера $\lambda_{\mathcal{F},\mathcal{G}}$ инвариантна относительно потока $\tilde{\mathbf{\Phi}}$. Унитарное представление потока $\tilde{\mathbf{\Phi}}$ в пространстве $\mathcal{H_{F,G}}$ задается уравнением
$$
\begin{equation*}
\mathbf{U}_{\tilde{\Phi}}(t)u(x)=u(\tilde{\Phi}_{-t}x),\qquad t\in {\mathbb R},\ x\in E,\ u\in \mathcal{H}_{\mathcal{F},\mathcal{G}}.
\end{equation*}
\notag
$$
5. Случайные блуждания и процесс диффузииПусть ${\mathcal E}={\mathcal F}\cup {\mathcal G}$ – ОНБ в вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве $E$, снабженном инвариантной относительно сдвига симплектической формой $\omega$. Более того, пусть $\mathcal E$ – симплектический базис формы $\omega$. Тогда $\omega (e_{2k-1},e_n)=\delta _{n,2k}$ для всех $k,n\in \mathbb N$. Рассмотрим оператор $\mathbf{S}_h$ сдвига по аргументу на вектор $h\in E$. Этот оператор действует на функцию $u\in {\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}$ по правилу $\mathbf{S}_hu(x)=u(u+h)$, $x\in E$. Легко видеть, что для любого $h\in E$ оператор $\mathbf{S}_h$ унитарен и однопараметрическое семейство операторов $\mathbf{S}_{th}$, $t\in \mathbb R$, является однопараметрической унитарной группой в пространстве ${\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}$. Лемма 3 [2]. Пусть $u,v\in {\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}$ и $h\in E$. Тогда $(\mathbf{S}_hu,v)=\lim_{N\to \infty }(\mathbf{S}_{\mathbf{P}_Nh}u,v)$, где $\mathbf{P}_N$ – ортогональный проектор на подпространство $E_N=\mathrm{span}(e_1,\dots,e_{2N})$ в пространстве $E$. Теорема 2 [2]. Пусть $h\in E$ – нетривиальный вектор. Группа $\mathbf{S}_{th}$, $t\in \mathbb R$, унитарных операторов в пространстве ${\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}$ непрерывна в сильной операторной топологии тогда и только тогда, когда $\{ (h,e_j)_E\in c_0$, где $c_0$ – пространство финитных последовательностей. Рассмотрим центрированный гауссовский случайный вектор в пространстве $E$ с ковариационным оператором $\mathbf{D}$. Будем предполагать, что ковариационный оператор $\mathbf{D}$ является ядерным неотрицательным оператором в пространстве $E$. Пусть $\mathcal E$ – ОНБ собственных векторов оператора $\mathbf{D}$, а $\{ d_j\}$ – соответствующая последовательность собственных значений оператора $\mathbf{D}$. Пусть $\gamma$ – центрированная гауссова мера на пространстве $E$ с ковариационным оператором $\mathbf{D}$. Гауссовский случайный вектор $h$ в пространстве $E$ порождает оператор случайного сдвига $\mathbf{S}_h$, действующий в пространстве ${\mathcal H}_{\mathcal E}$ согласно равенству $\mathbf{S}_hu(x)=u(x+h)$. Рассмотрим также случайное однопараметрическое семейство операторов $\mathbf{S}_{\sqrt t h}$, $t\geqslant 0$, в пространстве ${\mathcal H}_{\mathcal E}$. Теорема 3 [2]. Пусть $h$ – центрированный гауссовский вектор в пространстве $E$ с ковариационным оператором $\mathbf{D}$. Пусть оператор $\mathbf{D}$ является ядерным неотрицательным оператором в пространстве $E$ с ОНБ собственных векторов $\mathcal{E}=\{ e_k\}$ и соответствующей последовательностью собственных значений $\{ d_k\}$. Тогда среднее значение $\mathbf{U}_\mathbf{D}(t)$, $t\geqslant 0$, однопараметрического семейства операторов случайного сдвига $\mathbf{S}_{\sqrt t h}$, $t\geqslant 0$, – однопараметрическая полугруппа самосопряженного сжатия в пространстве ${\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}$. Здесь среднее значение $\mathbf{U}_\mathbf{D}(t)$, $t\geqslant 0$, определяется интегралом Петтиса: Однопараметрическая полугруппа $\mathbf{U}_\mathbf{D}$ сильно непрерывна в пространстве ${\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}} $ тогда и только тогда, когда оператор $\mathbf{D}$ имеет конечный ранг. Так как $\mathbf{U}_\mathbf{D}$ – однопараметрическая полугруппа самосопряженных операторов в пространстве ${\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}$, то согласно теореме 1 получаем следующее утверждение. Теорема 4 [19]. Пространство ${\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}$ разлагается в ортогональную сумму двух подпространств ${\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}^0$, ${\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}^1$ таких, что: 1) подпространства ${\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}^0, \, {\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}^1$ инвариантны относительно операторов полугруппы $\mathbf{U}_\mathbf{D}$; 2) операторнозначная функция $\mathbf{U}_\mathbf{D}(t)|_{{\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}^0}$, $t\geqslant 0$, разрывна и
$$
\begin{equation*}
\mathbf{U}_\mathbf{D}(0)u=u \quad \forall u\in {\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}^0,\qquad \mathbf{U}_\mathbf{D}(t)u=0 \quad \forall t>0,\, u\in {\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}^0;
\end{equation*}
\notag
$$
3) операторнозначная функция $\mathbf{U}_\mathbf{D}(t)|_{{\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}^1}$, $t\geqslant 0$, – сильно непрерывная полугруппа самосопряженных сжатий в пространстве ${\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}^1$. Согласно теореме 3 подпространство ${\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}^0$ нетривиально при любом выборе гауссовой меры $\gamma $ с ковариационным оператором бесконечного ранга; но если ковариационный оператор гауссовой меры имеет конечный ранг, то подпространство ${\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}^0$ тривиально. Для описания генератора сильно непрерывной части $\mathbf{U}_\mathbf{D}|_{{\mathcal H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}^1}$ полугруппы $\mathbf{U}_\mathbf{D}$ введем следующие функциональные пространства. Семейство пространств Соболева, параметризованное $l\in \mathbb N$ и $a>0$, задается условиями
$$
\begin{equation*}
W_{2,\mathbf{D}^a}^l(E)=\biggl\{ u\in {\mathbb H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}\colon ({\partial}_{e_k})^lu\in {\mathbb H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}};\ \sum_{k=1}^{\infty}d_k^a\| ({\partial}_{e_k})^lu\|^2_{{\mathbb H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}} <+\infty \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\partial_{e_k}u\equiv \lim_{\tau \to 0}\frac{1} {\tau}(\mathbf{S}_{\tau e_k}u-u).
\end{equation*}
\notag
$$
Для любых $l\in \mathbb N$ и любого $a>0$ множество $W^l_{2,\mathbf{D}^a}$ есть гильбертово пространство [20] с нормой
$$
\begin{equation}
\| u\|_{W^l_{2,\mathbf{D}^a}}=\biggl( \|u\|^2_{{\mathbb H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}}+\sum_{k=1}^{\infty }d_k^a\| ({\partial}_{e_k})^lu\|^2_{{\mathbb H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}}\biggr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Обозначим символом ${\mathbb H}_\mathbf{D}$ пополнение пространства $W^1_{2,\mathbf{D}}$ по норме пространства $\mathbb H$. Определим на пространстве $W^1_{2,\mathbf{D}}(E)$ следующую квадратичную форму:
$$
\begin{equation*}
t_\mathbf{D}^1(u)=\| u\|_{ {\mathbb H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}} }^2 +\sum_{j=1}^{\infty } d_j\| \partial _{e_j}u\|_{{\mathbb H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}}^2=\| u\|_{W_{2,\mathbf{D}}^1}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Квадратичная форма $t^1_\mathbf{D}$ плотно определена на пространстве $H_\mathbf{D}$, неотрицательна и замкнута, поскольку $W^1_{2,\mathbf{D}}(E)$ – гильбертово пространство. Линейный оператор $\mathbf{A}_\mathbf{D}\colon D(\mathbf{A}_\mathbf{D})\to {\mathbb H}_{\mathbf{D}}$, ассоциированный с квадратичной формой $t^1_\mathbf{D}$ уравнением $t^1_\mathbf{D}(u)=(\mathbf{A}_\mathbf{D}u,u)_{{\mathbb H}_{\mathbf{D}}}$, $u\in D(\mathbf{A}_\mathbf{D})$, имеет область определения $W^2_{2,\mathbf{D}}(E)$ и
$$
\begin{equation*}
\mathbf{A}_\mathbf{D}u=u-\sum_{k=1}^{\infty}d_k\partial _{e_k}^2u\qquad \forall u\in W^2_{2,\mathbf{D}}(E).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно $(\mathbf{A}_\mathbf{D}x,x)\geqslant \|x\|_{H}^2\ \forall x\in D(\mathbf{A}_\mathbf{D})$. Поэтому согласно теоремам 6.2.1, 6.2.13 из книги [21] получаем следующее утверждение. Лемма 4. Оператор ${\bf I}-\mathbf{A}_\mathbf{D}$ – неположительный самосопряженный оператор в пространстве ${\mathbb H}_{\mathbf{D}}$ и генератор полугруппы самосопряженных сжатий в пространстве ${\mathbb H}_\mathbf{D}$. Покажем, что пространство ${\mathbb H}_\mathbf{D}$ инвариантно относительно полугруппы $\mathbf{U}_\mathbf{D}$, а пространства $W_{2,\mathbf{D}}^2(E)$ – область определения генератора полугруппы $\mathbf{U}_\mathbf{D}|_{{\mathbb H}_\mathbf{D}}$. Пусть $\{\mathbf{D}_N\}$ – последовательность неотрицательных операторов конечного ранга в пространстве $E$ такая, что $\mathbf{D}_N=\mathbf{P}_N\mathbf{D}\mathbf{P}_N\ \forall N \in \mathbb N$. Здесь $\mathbf{P}_{N}$ – ортогональный проектор на подпространство $E_N=\mathrm{span}\{ e_1,\dots,e_{2N}\}$ в пространстве $E$. Для любого $N\in \mathbb N$ полугруппа $\mathbf{U}_{\mathbf{D}_N}(t)$, $t\geqslant 0$, сильно непрерывна в пространстве ${\mathbb H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}$ согласно теореме 3. Полугруппа $\mathbf{U}_{\mathbf{D}_N}(t)$, $t\geqslant 0$, имеет неположительный самосопряженный генератор $\mathbf{A}_N$, определенный на пространстве $W^2_{2,\mathbf{D}}$ равенством
$$
\begin{equation*}
\mathbf{A}_Nu=\sum_{k=1}^{2N}d_k\partial _{e_k}^2u,\quad u \in W^2_{2,\mathbf{D}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что
$$
\begin{equation}
\lim_{N\to \infty }\|(\mathbf{A} _\mathbf{D}-\mathbf{A} _{\mathbf{D}_N})u\|_{{\mathbb H}_{{\mathcal F},{\mathcal G}}}=0\qquad \forall u\in W^2_{2,\mathbf{D}}
\end{equation}
\tag{8}
$$
по сходимости ряда в выражении (7) для пространства $W^2_{2,\mathbf{D}}$. Тогда согласно теореме 8.25 из [22] и условию (8) получаем следующее утверждение. Теорема 5 [2]. Пусть $\mathbf{D}$ – неотрицательный ядерный оператор в пространстве $E$. Тогда условие выполняется для любого $T>0$ и любого $u\in {\mathbb H}_\mathbf{D}$. Если $u\in W^2_{2, D}$, то Теорема 6 [2]. Пусть $\mathbf{D}$ – ядерный оператор в пространстве $E$. Тогда для любого $u\in {\mathbb H}_\mathbf{D}$ и любой $t\geqslant 0$. Пространство ${\mathbb H}_{\mathbf{D}}$ инвариантно относительно полугруппы $\mathbf{U}_\mathbf{D}$, и оператор $\mathbf{\Delta}_\mathbf{D}=\mathbf{I}-\mathbf{A}_\mathbf{D}$ является генератором сильно непрерывной полугруппы самосопряженных сжатий $\mathbf{U}_\mathbf{D}|_{ {\mathbb H}_\mathbf{D}}$. 6. Потоки в векторном полеИсследуем случайный поток в симплектическом пространстве $(E,\omega)$ такой, что этот случайный поток сохраняет каждое симплектическое подпространство пространства $(E,\omega)$. Этот поток генерируется случайным векторным полем таким образом, что значение этого случайного поля имеет следующую структуру. Значением случайного векторного поля называется векторное поле $\mathbf{a}\colon E\to E$, удовлетворяющее следующим условиям R1–R3 и равенству (9). Существует последовательность $\{\mathbf{a}_k\}$ векторных полей такая, что для любого $k\in \mathbb N$ $\mathbf{a}_k\colon E_k\to E_k$, где $E_k=\mathrm{span}(\mathbf{e}_k,\mathbf{f}_k)$, $k\in \mathbb N$, и выполняются следующие условия. Условие R1. $\mathbf{P}_{E_k}\mathbf{a}=\mathbf{a}_k$ для всех $k\in \mathbb N$, где $\mathbf{P}_{E_k}\in B(E)$ является ортогональным проектором на подпространство $E_k$. Условие R2. Для любых $k\in \mathbb N$ поле $\mathbf{a}_k\colon {\mathbb R}^2\to {\mathbb R}^2$ непрерывно дифференцируемо и имеет нулевую дивергенцию. Условие R3. Для всех $k\in \mathbb N$ группа $\mathbf{X}_k^t$, $t\in \mathbb R$, сдвигов вдоль векторного поля $\mathbf{a}_k$ в пространстве $E_K$ корректно определена и удовлетворяет равенству Пусть $\mathbf{X}^t$, $t\in \mathbb R$, – группа сдвигов вдоль векторного поля $\mathbf{a}$, так что группа $\mathbf{X}$ удовлетворяет равенству
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(\mathbf{X}^t(x))=\mathbf{a}(\mathbf{X}^t(x)),\quad t\in {\mathbb R},\, x\in E,
\end{equation*}
\notag
$$
в следующем смысле:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}_{E_k}(\mathbf{X}^t(x))=\mathbf{X}^t_k(\mathbf{P}_{E_k}x)\qquad \forall k\in {\mathbb N},\ \forall x\in E,\ \forall t\in {\mathbb R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\mathbf{X}^t$, $t\in \mathbb R$, является гамильтоновым потоком в пространстве $(E,\omega )$. Таким образом, семейство линейных операторов $\mathbf{S}_\mathbf{a}^t$, $t\in \mathbb R$:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{S}_\mathbf{a}^tu(x)=u(\mathbf{X}^{-t}(x)),\quad x\in E,\ t\in {\mathbb R}, \ u\in {\mathbb H}_{\mathcal{F},\mathcal{G}},
\end{equation*}
\notag
$$
является унитарной группой в пространстве ${\mathbb H}_{\mathcal{F},\mathcal{G}}$. Лемма 5. Однопараметрическая группа унитарных операторов $\mathbf{S}_\mathbf{a}^t$, $t\in {\mathbb R}$, является сильно непрерывной группой линейных операторов в пространстве ${\mathbb H}_{\mathcal{F},\mathcal{G}}$ тогда и только тогда, когда найдется число $ N\in {\mathbb N}$ такое, что $\mathbf{a}_k=0\,\, \forall k>N$. Доказательство леммы 5 повторяет доказательство такого же утверждения для постоянного векторного поля в работе [2]. Теорема 7. Пусть $\nu _\mathbf{D}$ – гауссова мера на гильбертовом пространстве $E$ с ядерным ковариационным оператором $\mathbf{D}$ такая, что оператор $\sqrt{\mathbf{D}}$ также является ядерным. Пусть $\mathcal{E}=\mathcal{F}\cup \mathcal{G}$ – ОНБ его собственных векторов, а $\{ d_k\}$ – соответствующая последовательность его собственных значений. Пусть $\mathbf{a}\colon \Omega \times E\to E$ – случайное векторное поле такое, что каждое его значение $\mathbf{a}(\omega )$ удовлетворяет условиям R1–R3 и (9) для каждого $\omega \in \Omega$ и
$$
\begin{equation}
\exists C>0\colon \|(\mathbf{a}_k(\omega ,x)\|_{E_k}\leqslant Cd_k \qquad \forall k\in {\mathbb N},\ \forall (\omega , x)\in \Omega \times E,
\end{equation}
\tag{10}
$$
$$
\begin{equation}
\exists \alpha >0\colon \|\partial _{x_k}(\mathbf{a}_k(\omega ,x)\|_{B(E_k)}\leqslant \alpha \qquad \forall k\in {\mathbb N},\ \forall (\omega , x)\in \Omega \times E.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Пусть $\bar{\mathbf{a}} =\int_{\Omega }\mathbf{a}(\omega )P(d\omega )$ – среднее значение случайного векторного поля $\mathbf{a}$. Пусть $\{ \mathbf{a}^{(j)}\}$ – последовательность независимых и одинаково распределенных случайных векторных полей таких, что распределение любого из них совпадает с распределением $\mathbf{a}$. Пусть $t>0$, $u\in {\mathbb H}_{\mathbf{D}}$. Тогда Доказательство теоремы 7 опирается на леммы 6, 7. Лемма 6. Для каждого $k\in \mathbb N$ пространство $W_2^1(E_k)$ является существенной областью определения генератора $\mathcal{L}_k$ группы сдвигов $\mathbf{S}_{\mathbf{a}^{(k)}}(t)$, $t\in \mathbb R$, в пространстве $L_2(E_k)$. Доказательство. Достаточно заметить, что пространство $C^1_0(E_k)\subset W_2^1(E_k)$ $C^1$-гладких функций $E_k\to \mathbb C$ с ограниченным носителем является существенной областью генератора $\mathcal{L}_k$. Поскольку пространство $C^1_0(E_k)\subset W_2^1(E_k)$ инвариантно относительно операторов $\mathbf{S}_{\mathbf{a}^{(k)}}(t)$, $t\in \mathbb R$, то оно плотно в пространстве $L_2(E_k)$ и принадлежит области определения генератора $\mathcal{L}_k$. $\blacksquare$ Лемма 7. Пространство $W^1_{2,\mathbf{D}}$ является существенной областью определения образующих полугрупп $\mathbf{S}_{\mathbf{a}(\omega )}$ в пространстве ${\mathbb H}_\mathbf{D}$. Доказательство. Сначала определим операторы группы $\mathbf{S}_{\mathbf{a}(\omega )}(t)$, $t\in \mathbb R$. Пусть $\mathcal{P}$ – система векторов пространства $\mathcal{H}_\mathcal{F,G}$ вида $\bigotimes_{k=1}^{\infty }\chi _{B_k}$, где $B=\times_{k=1}^{\infty }B_k\in \mathcal{R}_\mathcal{F,G}$. Для каждого вектора $u=\bigotimes_{k=1}^{\infty }\chi _{B_k}\in \mathcal{P}$ вектор $\mathbf{S}_{\mathbf{a}_{\omega}}(t)u$ определен равенством
$$
\begin{equation*}
\mathbf{S}_{\mathbf{a}_{\omega}}(t)u=\bigotimes_{k=1}^{\infty }\chi _{\mathbf{X}^t(B_k)},\quad t\in {\mathbb R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, система векторов $\mathcal{P}$ инвариантна относительно действия отображений $\mathbf{S}_{\mathbf{a}_{\omega}}(t)$, $t\in {\mathbb R}$, $\omega \in \Omega$, и $\| \mathbf{S}_{\mathbf{a}_{\omega}}(t)u\|_{\mathcal{H}_\mathcal{F,G}}=\| u\|_{\mathcal{H}_\mathcal{F,G}}\ \forall u\in \mathcal{P}$, $t\in {\mathbb R}$, поскольку отображения $\mathbf{X}^t$, $t\in {\mathbb R}$, сохраняют меру $\lambda _\mathcal{F,G}$. Поскольку система векторов $\mathcal{P}$ полна в пространстве $\mathcal{H}_\mathcal{F,G}$, сохраняющее норму отображение $\mathbf{S}_{\mathbf{a}_{\omega}}(t)\colon \mathcal{P}\to \mathcal{P}$ однозначно продолжается до изометрического линейного оператора $\mathbf{S}_{\mathbf{a}_{\omega}}(t)\colon \mathcal{H}_\mathcal{F,G}\to \mathcal{H}_\mathcal{F,G}$ для каждого $t\in \mathbb{R}$. Более того, поскольку $\mathbf{X}$ – группа сохраняющих меру отображений пространства $E$ в себя, семейство операторов $\mathbf{S}_{\mathbf{a}_{\omega}}(t)$, $t\in \mathbb R$, – группа, являющаяся унитарным представлением группы $\mathbf{X}$ в пространстве $\mathcal{H}_\mathcal{F,G}$. Докажем, что пространство $W^1_{2,\mathbf{D}}$ инвариантно относительно групп $\mathbf{S}_\mathbf{a}$. Согласно предположениям (9) только компонента $\mathbf{P}_{E_k}(\mathbf{X}^t(x))\equiv \mathbf{X}_{k}^t(x)$ зависит от переменной $x_k\in E_k$ для всех $k\in \mathbb N$ и $t\in \mathbb R$, поэтому имеем
$$
\begin{equation*}
\partial _k(\mathbf{S}_{\mathbf{a}(\omega}(t)u(x))=\partial _k(u(\mathbf{X}^t(x)))=( \nabla _ku)(\mathbf{X}^t(x))\partial _k\mathbf{X}_k^t(x_k).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation}
\partial _k\mathbf{X}_k^t(x_k)=1+\int_0^t\partial _k(\mathbf{a}_k(\mathbf{X}_k^s(x_k)))\partial _k\mathbf{X}_k^s(x_k)\,ds,
\end{equation}
\tag{13}
$$
мы получаем
$$
\begin{equation}
\| \partial _k\mathbf{X}_k^t(x_k)\|_{L_{\infty}}\leqslant e^{\alpha t},
\end{equation}
\tag{14}
$$
где мы использовали лемму Гронуолла, $\alpha =\sup_{k\in {\mathbb N}}\sup_{x_k\in E_k}|\partial _k\mathbf{a}_k(x_k)|$. Таким образом, $\mathbf{S}_a(t)u, \partial _k(\mathbf{S}_a(t)u)\in \mathcal{H}_\mathcal{F ,G}$. Следовательно, пространство $W^1_{2,\mathbf{D}}$ инвариантно относительно группы $\mathbf{S}_a$, так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial _j\mathbf{S}_a^tu(x)&=\partial _j(u(\mathbf{X}^t_\mathbf{a}(x)))=\sum_{k=1}^{\infty }(\partial_ku)(\mathbf{X}^t_\mathbf{a}(x))\frac{\partial}{\partial x_j}(\mathbf{X}^t_\mathbf{a}(x))_k, \\ \partial _j\mathbf{S}_a^tu(x)&=(\partial _ju)(\mathbf{X}^t_\mathbf{a}(x))\frac{\partial}{\partial x_j}(\mathbf{X}^t_\mathbf{a}(x))_j \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
согласно (13). Таким образом, получаем
$$
\begin{equation*}
\| \mathbf{S}_a^tu\|_{W^1_{2,\bf D}}\leqslant e^{\alpha |t|}\|u\|_{W^1_{2,\mathbf{D}}},\quad t\in \mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, пространство $W^1_{2,\mathbf{D}}$ является инвариантным подпространством группы $\mathbf{S}_\mathbf{a}$. Пространство $W_{2,\mathbf{D}}^1(E)$ инвариантно относительно операторов группы $\mathbf{S}_{\mathbf{a}}(t)$, $t\in \mathbb R$, оно плотно в пространстве $\mathcal{H}_\mathbf{D}$ и принадлежит области определения образующей $\mathcal{L}_\mathbf{a}$. Следовательно, группа $\mathbf{S}_{\mathbf{a}}$ однозначно определяется как непрерывное продолжение на пространство $\mathcal{H}_\mathbf{D}$ своего ограничения $\mathbf{S}_{\mathbf{a}}|_{W_{2,\mathbf{D}}^1(E)}$. Поэтому пространство $W_{2,\mathbf{D}}^1(E)$ является существенной областью генератора $\mathcal{L}_\mathbf{a}$. Рассмотрим последовательность $\{ u_j\}\colon {\mathbb N}\to W^1_{2,\mathbf{D}}$ такую, что
$$
\begin{equation*}
\| u_j-u_0\|_{H_\mathbf{D}}\to 0,\qquad \| \mathcal{L}_au_j-y \|_{H_\mathbf{D}}\to 0
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторым $y\in \mathcal{H}_\mathbf{D}$. Следовательно, $\mathbf{S}_a(t)u_j\to \mathbf{S}_a(t)u_0$ и $\mathbf{S}_a(t)\mathcal{L}_au_j\to \mathbf{S}_a(t)y$ равномерно на каждом отрезке $[0,T]$. Отсюда получаем, что так как Поэтому $u_0\in D(\mathcal{L}_a)$ и $\mathcal{L}_au_0=y$. Таким образом, генератор $\mathcal{L}_a$ совпадает с замыканием оператора $\mathcal{L}_a|_{W^1_{2,\mathbf{D}}}$. $\blacksquare$ Доказательство теоремы 7. Легко проверить, что Для каждого $u_0\in W^1_{2,\mathbf{D}}$ задача Коши для дифференциального уравнения имеет единственное сильное решение. Для каждого $u\in W^1_{2,D}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{d}{dt}\mathbf{S}_{\mathbf{a}(\omega )}(t)u\biggr)|_{t=0}=\mathcal{L}_{a(\omega )}u, \qquad \int_{\Omega }\mathcal{L}_{a(\omega )}u\,dP(\omega )=\mathcal{L}_{\bar a}u.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда согласно теореме 3 из работы [23] получаем (12). $\blacksquare$ Контрпример. Пусть $\mathbf{h}$ – центрированный гауссовский случайный вектор с распределением $\nu_\mathbf{D}$ и $\mathbf{a}(x)=\mathbf{h}$, $x\in E$. Тогда центральная предельная теорема не выполняется для $u\in \mathcal{H}^0_{\mathcal{F},\mathcal{G}}(\mathbf{D})$, $u\neq 0$. На самом деле, если $u\in \mathcal{H}^0_{\mathcal{F},\mathcal{G}}$, $u\neq 0$, имеем $\mathbf{S}^t_{\bar{\mathbf{a}}}u=u$, поскольку $\mathbf{S}^{t/n}_{\mathbf{a}_n}\circ \cdots\circ \mathbf{S}^{t/n}_{\mathbf{a}_1}u=\mathbf{S}^t_{{1/n}(\mathbf{a}_1+\cdots+\mathbf{a}_n)}u$. Если $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_n$ суть независимые и одинаково распределенные гауссовские случайные векторы, $\eta _n=\frac{1}{n}(\mathbf{a}_1+\cdots+\mathbf{a}_n)$ также является гауссовым центрированным случайным вектором с ковариационным оператором $\frac{1}{n}\mathbf{D}$, поскольку
$$
\begin{equation*}
\int_E (\mathbf{S}_{\eta _n}u,v)\,dP(\eta _n)=(\mathbf{U}_{\frac{1}{n}\mathbf{D}}u,v)=\biggl(\mathbf{U}_\mathbf{D}\biggl(\frac{1}{n}\biggr)u,v\biggr)=0
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого $u\in H_0$, $v\in H$ по определению пространства $H_0$. Поэтому для каждого $u_0\in H_0$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
P\biggl(\biggl\{\| \mathbf{S}_{\eta _n}u-u\|_H<\frac{1}{2}\|u\|^2_H \biggr\}\biggr)=0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $n\in \mathbb N$ и всех $u\in H_0$, $u\neq 0$.
7. Диффузия вдоль векторного поляРассмотрим поток в гильбертовом пространстве $E$ вдоль гладкого векторного поля $\mathbf{a}$, удовлетворяющего условиям R1–R3 и равенству (9). Лемма 8. Пусть выполняется одно из двух предположений: либо $E$ – конечномерное гильбертово пространство и $\mathbf{a}\in C^3_b(E,E)$, либо $E$ – сепарабельное гильбертово пространство и $\mathbf{a}$ – векторное поле, удовлетворяющее условиям R1–R3 и (9). Тогда Доказательство. Согласно интегральному представлению решения задачи Коши имеем Так как $\mathbf{a}\in C^3_b(E,E)$, получаем оценку на значение $\mathbf{\alpha}$. $\blacksquare$ Лемма 9. Пусть $E$ – конечномерное гильбертово пространство. Пусть $\mathbf{a}\colon \Omega \to C^3_b(E,E)$ такое, что: 1) $\bar{\mathbf{a}}(x)=\int_{\Omega}\mathbf{a}(x,\omega )\,dP(\omega )=0,\ x\in E$; 2) $\exists c>1\colon c^{-1}\mathbf{I}\leqslant \mathbf{D}(x)\leqslant c\mathbf{I}\ \forall x\in E$, где $\mathbf{D}_{i,k}(x)=\mathrm{M}(\mathbf{a}_i(x)\mathbf{a}_k(x))/2$, $x\in E$, $k,i\in 1,\ldots, d$; 3) $\|\mathbf{a}(\cdot ,\omega )\|_{C_b^3}\leqslant \rho$ для некоторого $\rho >0$ и всех $\omega \in \Omega$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\sup_{t\in [0,T]}\biggl\| \mathrm{M}\biggl[\mathbf{S}_{\mathbf{a}_n}\biggl({\sqrt {\frac{t}{n}}}\,\biggr)\circ \cdots \circ \mathbf{S}_{\mathbf{a}_1}\biggl({\sqrt {\frac{t}{n}}}\,\biggr)u(x)\biggr]-\mathbf{U_a}(t)u(x)\biggr\|_{L_2(E)}=0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $T>0$, для всех $u\in L_2(E)$, где $\mathbf{U_a}$ – полугруппа, являющаяся решением задачи Коши для конечномерного уравнения Колмогорова–Фоккера–Планка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{d}{dt}u(t,x)&={\mathbf{L_a}}u(t,x),\qquad t>0,\, x\in E, \\ u(+0,x)&=u_0(x),\qquad u_0\in L_2(E). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\mathbf{L_a}$ является замыканием следующего дифференциального оператора: Доказательство основано на теореме Чернова. Прежде всего отметим, что из предположения $c_1\mathbf{I}\leqslant \mathbf{D}\leqslant c_2\mathbf{I}$ следует, что оператор $\mathbf{L_a}$ допускает представление в виде $\mathbf{L_a}=\mathbf{L}_0+\mathbf{B}$, где Согласно предположениям леммы 9 и по формуле Тейлора получаем, что для любого $u\in C_0^{\infty }(E)$ выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\|\mathbf{F}(t)u-u-t{\bf L_a}u\|_{L_2(E)}=o(t) \qquad \text{при}\;\; t\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку замыканием симметричного оператора ${\bf L}_0|_{C^{\infty }_0(E)}$ является оператор $\mathbf{L}_0$, то оператор $\mathbf{L_a}$ является замыканием своего ограничения на пространство $C_0^{\infty }(E)$. При этом операторнозначная функция $\mathbf{F}(t)=\mathrm{M}\mathbf{S}_\mathbf{a}(\sqrt t)$ удовлетворяет условиям $\mathbf{F}(0)=\mathbf{I}$ и $\| \mathbf{F}(t)\|\leqslant 1\ \forall t\geqslant 0$. Кроме того, $\mathbf{F}(t)u$, $t\geqslant 0$, является непрерывной $L_2(E)$-значной функцией для каждого $u\in L_2(E)$, поскольку
$$
\begin{equation*}
\mathbf{F}(t)u=\int_{\Omega}\mathbf{S}_{\mathbf{a}(\omega)}(\sqrt t)u\, dP(\omega),\qquad t\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
и $\mathbf{S}_{\mathbf{a}(\omega )}$ – сильно непрерывная группа для каждого $\omega \in \Omega$. Таким образом, утверждение леммы следует из теоремы Чернова. $\blacksquare$ Рассмотрим бесконечномерный случай. Пусть $\mathcal{V}$ – множество векторных полей $\mathbf{a}\in C_b^3(E,E)$, удовлетворяющих условиям R1, R3, (9)–(11). Согласно этому предположению получаем, что матрица $(\mathbf{D}(x)e_j,e_k)$, $j,k\in \mathbb{N}$, имеет $(2\times 2)$-блочную структуру для каждого $x\in E$ и что для каждого $j,k\in \mathbb{N}$ функция $(\mathbf{D}(x)e_j,e_k)$, $x\in E$, является непрерывно дифференцируемой $C_1$-ограниченной функцией, которая зависит не более чем от двух агрументов $(x_{2i-1},x_{2i})\in \mathbb{R}^2$. Если $\mathbf{a}\in \mathcal{V}$, семейство операторов $\mathbf{U}_\mathbf{a}(t)$, $t\geqslant 0$, образует однопараметрическую полугруппу сжатий в пространстве $\mathcal{H}_\mathcal{F,G}$. Здесь оператор $\mathbf{U}_\mathbf{a}(t)$ действует на вектор $u\in \mathcal{P}$ тензорного произведения $u(x)=\bigotimes_{k=1}^{\infty}u_k(x_k)$, $x\in E$, $x_k\in E_k$, по следующему правилу:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{U}_\mathbf{a}(t)u=\bigotimes_{k=1}^{\infty }(\mathbf{U}_{\mathbf{a}_k}u_k),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation*}
\mathbf{U_a}(t)\biggl(\,\bigotimes_{k=1}^{\infty}\chi _{B_k}\biggr)=\bigotimes_{k=1}^{\infty}(e^{\mathbf{L}_{\mathbf{a}_k}t}\chi_{B_k}),\qquad t\geqslant 0, \quad \forall \ \bigotimes_{k=1}^{\infty}\chi _{B_k}\in \mathcal{P}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\mathbf{a}_k=\mathbf{P}_{E_k}\mathbf{a}$ и $\mathbf{L}_{\mathbf{a}_k}$ – оператор в пространстве $L_2(E_k)$, который определяется случайным векторным полем $\mathbf{a}_k\colon E_k\to E_k$ в соответствии с (15), (16). Поскольку набор векторов $\mathcal{P}$ полон в пространстве $\mathcal{H_{F,G}}$, оператор $\mathbf{U}_\mathbf{a}(t)$ имеет единственное непрерывное продолжение до линейного оператора $\mathbf{U}_\mathbf{a}(t)\in B(\mathcal{H_{F,G}})$. Поскольку $\mathbf{U}_\mathbf{a}(t)\mathbf{U}_\mathbf{a}(s)u=\mathbf{U}_\mathbf{a}(t+s)u$ для всех $t,s\geqslant 0$ и $\| \mathbf{U}_\mathbf{a}(t)u\|_\mathcal{H_{F,G}}\leqslant \|u\|_\mathcal{H_{F,G}}$ для каждого $u\in \mathcal{P}$, непрерывное продолжение $\mathbf{U_a}$ есть полугруппа сжимающих линейных операторов в пространстве $\mathcal{H_{F,G}}$. Лемма 10. Пусть $E$ – сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство. Пусть $\mathbf{a}\colon \Omega \to C^3_b(E,E)$ – случайное векторное поле со значениями в множестве $\mathcal{V}$ такое, что для каждого $k\in \mathbb{N}$ случайное векторное поле $\mathbf{a}_k=\mathbf{P}_{E_k}\mathbf{a}$ удовлетворяет следующим условиям: 1) $\bar{\mathbf{a}}_k(x)=\int_{\Omega}\mathbf{a}_k(x,\omega)\,dP(\omega)=0,\ x\in E$; 2) $\exists c>1\colon c^{-1}d_k\mathbf{P}_{E_k}\leqslant \mathbf{D}^{(k)}(x)\leqslant cd_k\mathbf{P}_{E_k}\ \forall x\in E,\ \forall k\in \mathbb N$, где $\mathbf{D}^{(k)}_{i,j}(x)=\mathrm{M}((\mathbf{a}_k)_i(x)(\mathbf{a}_k)_j(x))/2$, $x\in E$, $k,i,j\in \mathbb N$; 3) $\|\mathbf{a}_k(\cdot ,\omega )\|_{C_b^3(E_k,E_k)}\leqslant {\sqrt {d_k}}\rho$ для некоторого $\rho >0$ и всякого $\omega \in \Omega$. Здесь $\{ d_k\}$ – последовательность собственных значений оператора $\mathbf{D}$ из (10), (11). Тогда полугруппа линейных операторов $\mathbf{U_a}(t)$, $t\geqslant 0$, в пространстве $\mathcal{H}_\mathcal{F,G}$ имеет инвариантное подпространство $\mathcal{H}_\mathbf{D}$ и полугруппа $\mathbf{U_a}|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}}$ сильно непрерывна в пространстве $\mathcal{H}_\mathbf{D}$. Доказательство. Пусть $\mathbf{P}^{(N)}$ – ортогональный проектор $P^{(N)}=\bigoplus _{k=1}^N\mathbf{P}_{E_k}$ в пространстве $E$ для каждого $N\in \mathbb{N}$. Тогда оператор $\mathbf{L}_{\mathbf{P}^{(N)}\mathbf{a}}$ является генератором полугруппы $\mathbf{U}_{\mathbf{P}^{(N)}\mathbf{a}}$ согласно лемме 9. Кроме того, пространство $W^2_{2,\mathbf{D}}$ инвариантно относительно полугруппы $\mathbf{U}_{\mathbf{P}^{(N)}\mathbf{a}}$ и является существенной областью определения генератора $\mathbf{L}_{\mathbf{P}^{(N)}\mathbf{a}}$ этой полугруппы. Следовательно, пространство $\mathcal{H}_\mathbf{D}$ инвариантно относительно полугрупп $\mathbf{U}_{\mathbf{P}^{(N)}\mathbf{a}}$, $N\in \mathbb{N}$. Как и в доказательстве теоремы 7, для каждого $u\in W^2_{2,\mathbf{D}}$ и каждого $T>0$ получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{N\to +\infty}\sup_{t\in [0,T]}\|(\mathbf{U}_{\mathbf{a}_{(N)}}(t)-\mathbf{U}_{\mathbf{a}}(t))u\|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В самом деле, для всех $N,p\in \mathbb{N}$ и каждого $u\in \mathcal{H}_\mathbf{D}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\| \mathbf{U}_{\mathbf{a}_{(N+p)}}(t)u(x)-\mathbf{U}_{\mathbf{a}_{(N)}}(t)u(x)\|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}}\leqslant \sum_{k=1}^p\| (\mathbf{U}_{\mathbf{a}_{(N+k)}}(t)-\mathbf{U}_{\mathbf{a}_{(N+k-1)}}(t))u(x)\|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $u\in W^2_{2,\mathbf{D}}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(\mathbf{U}_{\mathbf{a}_{(N+k)}}(t)-\mathbf{U}_{\mathbf{a}_{(N+k-1)}}(t))u(x)\|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}}&\leqslant t \|\mathbf{L}_{\mathbf{a}_{N+k}}\mathbf{U}_{\mathbf{a}_{(N+k-1)}}(t)u(x)\|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}}\leqslant{} \\ &\leqslant t c_2d_k\|\partial _{N+k}^2u\|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеет место следующая оценка:
$$
\begin{equation}
\|(\mathbf{U}_{\mathbf{a}_{(N)}}(t)-\mathbf{U}_{\mathbf{a}}(t))u\|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}}\leqslant tc_2{\sqrt{{\sum_{k=N+1}^{\infty }}d_k}}\, \| u\|_{W^2_{2,\mathbf{D}}}\ \qquad \forall t>0.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Поскольку $\mathcal{H}_\mathbf{D}$ инвариантно относительно полугрупп $\mathbf{U}_{\mathbf{P}^{(N)}\mathbf{a}}$, $N\in \mathbb{N}$, это пространство инвариантно относительно полугруппы $\mathbf{U}_{\mathbf{P}^{(N)}\mathbf{a}}$ согласно (17). Как доказано в теореме 5, последовательность $\{ \mathbf{U}_{\mathbf{P}^{(N)}\mathbf{a}}\}$ сходится в сильной операторной топологии пространства $B(\mathcal{H}_\mathbf{D})$ равномерно на каждом отрезке полуоси ${\mathbb R}_+$ к полугруппе $\mathbf{U_a}$, а последовательность операторов $\{\mathbf{L}_{\mathbf{P}^{(N)}\mathbf{a}}\}$ сходится поточечно на пространстве $W^2_{2,\mathbf{D}}$ к оператору $\mathbf{L_a}$. Здесь оператор $\mathbf{L_a}$ определяется на пространстве $W_{2,\mathbf{D}}^2$ равенством
$$
\begin{equation*}
\mathbf{L_a}v=\sum_{k=1}^{\infty}\mathbf{L}_{\mathbf{a}_k}v,\qquad v\in W_{2,\mathbf{D}}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот ряд сходится в пространстве $\mathcal{H}_\mathbf{D}$, поскольку $v\in W^2_{2,\mathbf{D}}$. Покажем, что полугруппа $\mathbf{U}_\mathbf{a}$ сильно непрерывна в пространстве $\mathcal{H}_\mathbf{D}$. Для этого достаточно показать, что орбита полугруппы $\mathbf{U}_\mathbf{a}$ в пространстве $W^2_{2,\mathbf{D}}$ непрерывна, т. е. $\lim_{t\to 0}\| \mathbf{U_a}(t)u-u\|_\mathcal{H}=0$ для всех $u\in W^2_{2,\mathbf{D}}$, и заметить, что $W^2_{2,\mathbf{D}}$ плотно в пространстве $\mathcal{H}_\mathbf{D}$. Поскольку пространство $W^2_{2,\mathbf{D}}$ как пространство ассоциированного с квадратичной формой $t_{1,\mathbf{D}}$ оператора $\mathbf{A_D}$ плотно в пространстве $\mathcal{H}_\mathbf{D}$, то для каждого $u\in \mathcal{H}_\mathbf{D}$ и любого $\epsilon >0$ существует $v\in W_{2,\mathbf{D}}^2$ такое, что $\| u-v\|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}}<\epsilon/3$ и $\| \mathbf{U_a}(t)(u-v)\|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}}<\epsilon/3$. Для каждого $v\in W^2_{2,\mathbf{D}}$ имеем Следовательно, полугруппа $\mathbf{U_a}$ сильно непрерывна в пространстве $\mathcal{H}_\mathbf{D}$. $\blacksquare$Замечание 2. Полугруппа $\mathbf{U_a}$ порождает решение задачи Коши для бесконечномерного уравнения Колмогорова–Фоккера–Планка с начальными условиями $u_0\in \mathcal{H}_\mathbf{D}$. Теорема 8. Пусть $\mathbf{a}$ – случайное векторное поле $E\to E$ со значениями в классе полей $\mathcal{V}$ такое, что Пусть $\{ \mathbf{a}^{(k)}\}$ – последовательность независимых и одинаково распределенных случайных векторных полей, распределение каждого из которых совпадает с распределением случайных векторных полей $\mathbf{a}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty }\sup_{t\in [0,T]}\biggl\| \mathrm{M}\biggl[\mathbf{S}_{\mathbf{a}^{(n)}}\biggl(\sqrt{\frac{t}{n}}\,\biggr)\circ \cdots \circ \mathbf{S}_{\mathbf{a}^{(1)}}\biggl(\sqrt{\frac{t}{n}}\,\biggr)u(x)\biggr]-\mathbf{U_a}(t)u(x)\biggr\|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Пусть $\mathbf{a}_{(N)}=\mathbf{P}_{E_N}(\mathbf{a})$ и $\mathbf{D}_N=\mathbf{P}_{E_N}\mathbf{D}\mathbf{P}_{E_N}$ для всех $N\in \mathbb{N}$. Тогда согласно лемме 9 получаем, что для каждого $N\in \mathbb{N}$ Если $u\in W^2_{2,\mathbf{D}}$, тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\mathbf{F}_N&\biggl(\frac{t}{n}\biggr)^{\!n}u- \mathbf{F}\biggl(\frac{t}{n}\biggr)^{\!n}u\biggr\|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}}\leqslant{} \\ &\leqslant \biggl\| \mathbf{F}_N\biggl(\frac{t}{n}\biggr)^{\!n}u- \mathbf{U}_{\mathbf{P}_{(N)}\mathbf{a}}u\biggr\|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}} + \|\mathbf{U}_{\mathbf{P}_{(N)}\mathbf{a}}u-\mathbf{U}_{\mathbf{a}}u \|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}}+\biggl\|\mathbf{U}_{\mathbf{a}}u- \mathbf{F}\biggl(\frac{t}{n}\biggr)^{\!n}u\biggr\|_{\mathcal{H}_\mathbf{D}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первое и третье слагаемые стремятся к нулю равномерно на отрезке полуоси ${\mathbb R}_+$ по теореме Чернова. Второе слагаемое стремится к нулю согласно (17). Поскольку
$$
\begin{equation*}
\mathrm{M}\biggl[\mathbf{S}_{\mathbf{a}^{(n)}}\biggl(\sqrt{\frac{t}{n}}\biggr)\circ \cdots \circ \mathbf{S}_{\mathbf{a}^{(1)}}\biggl(\sqrt{\frac{t}{n}}\biggr)u(x)\biggr]=\biggl(\mathbf{F}\biggl(\frac{t}{n}\biggr)\biggr)^{\!n}u(x)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $u\in \mathcal{H_{F,G}}$ и любого $t>0$, утверждение теоремы следует из (17) и (18). $\blacksquare$ Замечание 3. Теорема 8 утверждает, что последовательность композиций сдвигов вдоль случайных векторных полей сходится по распределению относительно пространства $\mathcal{H}_\mathbf{D}$ к марковскому случайному процессу, порождающему полугруппу $\mathbf{U}$. 8. ЗаключениеВ статье показано, что мера, инвариантная относительно гамильтоновых потоков в гильбертовом пространстве, дает представление случайных потоков нелинейных отображений унитарными группами. Таким образом, усреднение случайных потоков описывается теоремой Чернова для этих унитарных представлений. Закон больших чисел доказан в теореме 7 для композиции случайных сдвигов вдоль независимых и одинаково распределенных гамильтоновых векторных полей. Полугруппа, порожденная бесконечномерным уравнением Колмогорова–Фоккера–Планка с переменными коэффициентами, получается с помощью пределов композиций случайных блужданий по независимым и одинаково распределенным гамильтоновым векторным полям. Теорема 8 утверждает обобщенную сходимость по распределению, при которой пространство основных функций является гильбертовым пространством квадратично интегрируемых функций вместо пространства ограниченных непрерывных функций [15]. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BusOrlSak24} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|