| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
О методе факторизации при квантово-статистическом описании динамики изолированной спин-системы А. А. Самохинa, А. В. Зыльbc, Н. Л. Замарашкинb a Институт общей физики им. А. М. Прохорова Российской академии наук, Москва, Россия b Институт вычислительной математики им. Г. И. Марчука Российской академии наук, Москва, Россия c Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Долгопрудный, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924030061 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеСвойства совокупностей спиновых частиц с диполь-дипольным взаимодействием привлекли к себе особое внимание в середине прошлого века в связи с открытиями явлений электронного парамагнитного резонанса и ядерного магнитного резонанса, которые предшествовали созданию мазеров и лазеров, а также многим другим практическим применениям. Теоретические и экспериментальные исследования при этом касались также ряда таких фундаментальных проблем, как отрицательные абсолютные температуры и динамическое описание неравновесного поведения многочастичных систем, т. е. оснований статистической физики и кинетических теорий. Было установлено, в частности, что поведение ядерной спин-системы твердого тела, изолированной от решетки, допускает при определенных условиях описание с помощью спиновой температуры [1], которая может отличаться от температуры решетки. Различные аспекты динамического описания поведения многочастичной изолированной спин-системы исследовались в ряде работ [2]–[10]. Было показано [3], [4], каким образом из динамического уравнения Лиувилля–фон Неймана для матрицы плотности после суммирования полного ряда нестационарной теории возмущений может быть получено интегро-дифференциальное уравнение для нелинейного отклика изолированной спин-системы. При этом выводе существенно использовалась формула, факторизующая след от произведения диагональных частей наблюдаемых операторов [2], которая в работах [3], [4] называлась соотношением типа равенства изолированной и адиабатической восприимчивостей спин-системы. Здесь и далее это соотношение, которое предполагается справедливым для системы с достаточно большим числом частиц, будет называться формулой факторизации (ФФ). Особенности поведения изолированной спин-системы продолжают исследоваться и в настоящее время. В недавних работах [9], [10] экспериментально и теоретически изучалась зависимость времени релаксации изолированной спин-системы от числа входящих в нее частиц $N$. Однако зависимость точности ФФ от $N$ и других параметров системы, насколько нам известно, до сих пор не исследовалась. В настоящей работе излагаются результаты такого исследования в области небольших значений $N$, когда ответ на вопрос о фактических границах применимости основных положений статистической физики остается открытым. В разделе 2 излагается необходимая для более полного восприятия изучаемой проблемы информация, касающаяся исследуемой ФФ и ее применения в теории нелинейного отклика. Разделы 3, 4 посвящены соответственно описанию численных методов и обсуждению полученных результатов. Заключительные замечания приводятся в разделе 5. 2. Постановка задачи2.1. Обоснование постановкиПрежде чем формулировать конкретную постановку задачи, необходимо дать дополнительную информацию о том, с какой проблемой она связана. Спин-система имеет дискретный и ограниченный сверху энергетический спектр. Поэтому для ее канонической матрицы плотности можно использовать линейное по обратной температуре $\alpha=1/kT$ приближение
$$
\begin{equation}
\hat\rho=\frac{\hat I-\alpha\widehat{\mathcal H}}{\operatorname{Sp}\hat I}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Предполагается, что гамильтониан
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal H}(t)=\widehat{\mathcal H}_0- \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt h(t) =\widehat{\mathcal H}_{\mathrm{int}}- \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt H(t),
\end{equation*}
\notag
$$
состоящий из диполь-дипольного взаимодействия спинов между собой и их зеемановского взаимодействия с внешним полем $H(t)=H_0+H(t)$, обеспечивает установление за некоторое конечное время статистического равновесия в такой изолированной от других воздействий системе. Если гамильтониан $\widehat{\mathcal H}(t)$ меняется достаточно медленно, то поведение $\alpha(t)$ и других средних можно описывать квазиравновесной матрицей плотности $\hat\rho_s$:
$$
\begin{equation}
\hat\rho_s=\frac{\hat I-\alpha(t)\widehat{\mathcal H}(t)}{\operatorname{Sp}\hat I}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Зависимость $\alpha(t)$ можно определить непосредственно из условия постоянства энтропии $\operatorname{Sp}\hat\rho\ln\hat\rho=\mathrm{const}$, или соотношения $\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal H}\cdot\partial\rho/\partial t=0$, которое следует из общего уравнения для оператора $\hat\rho$, связывающего изменение $\hat{\rho}$ с коммутатором $[\widehat{\mathcal H},\hat\rho]$:
$$
\begin{equation}
i\hbar\,\frac{\partial\rho}{\partial t} =[\widehat{\mathcal H},\hat\rho].
\end{equation}
\tag{3}
$$
Оба эти условия дают одно и то же выражение для адиабатического изменения $\alpha$:
$$
\begin{equation}
\alpha(t)=\alpha_0\biggl(\frac{\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal H}^2(0)} {\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal H}^2(t)}\biggr)^{\!1/2}, \qquad M=\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt \hat\rho(t) =\alpha(t)H(t)\frac{\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^2}{\operatorname{Sp}\hat I},
\end{equation}
\tag{4}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal H}^2(t) =\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal H}_{\mathrm{int}}^2 +H^2(t)\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^2.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Таким образом, спин-температурный подход для адиабатической восприимчивости в предположении $h(0)=0$ дает
$$
\begin{equation}
\chi_s=\frac{\partial\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt \hat\rho}{\partial h} \biggr|_{h=0}=\chi_0 \cdot\frac{H_{\mathrm{int}}^2}{H_{\mathrm{int}}^2+H_0^2},\quad \chi_0\equiv\alpha_0\,\frac{\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^2}{\operatorname{Sp}\hat I},\quad H_{\mathrm{int}}^2 =\frac{\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal H}_{\mathrm{int}}^2} {\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^2}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
В линейном приближении по внешнему полю без предположения медленности его изменения можно с помощью нестационарной теории возмущений получить выражение, которое в теории линейного отклика принято называть формулой Кубо. В этой формуле естественным образом возникает разбиение оператора магнитного момента на диагональную $ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt _{\mathrm d}$ и недиагональную $ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt _1$ части в представлении, диагонализующем $\widehat{\mathcal H}_0$:
$$
\begin{equation*}
\kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt = \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt _{\mathrm d}+ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt _1,\qquad \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt _{\mathrm d}=\operatorname{diag}_{\widehat{\mathcal H}_0} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt .
\end{equation*}
\notag
$$
Формула Кубо в высокотемпературном приближении имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M^{(1)} &=\frac{\alpha_0}{i\hbar\operatorname{Sp}\hat I} \int_0^th(t_1)\operatorname{Sp} ( \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt (t)[ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt (t_1),\widehat{\mathcal H}_0])\,dt_1= \\ &=\alpha_0\frac{\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt _1^2}{\operatorname{Sp}\hat I}h(t) -\alpha_0\int_0^t\frac{dh(t_1)}{dt_1}\, \frac{\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt _1(t) \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt _1(t-t_1)} {\operatorname{Sp}\hat I}\,dt_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
В адиабатическом приближении интеграл в правой части формулы (7) предполагается пренебрежимо малым из-за малости соотношения $\tau\cdot dh/dt$, где $\tau$ – характерное время релаксации [4]. В итоге для адиабатической восприимчивости в этом подходе получается
$$
\begin{equation}
\frac{\partial M^{(1)}}{\partial h} =\chi_0\frac{\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt _1^2}{\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^2}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Если применима квантово-статистическая теория, выражение $\chi_0 \cdot\frac{H_{\mathrm{int}}^2}{H_{\mathrm{int}}^2+H_0^2}$ из формулы (6) и выражение (8) должны совпадать. Это требование фактически означает справедливость следующих равенств:
$$
\begin{equation}
\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt _1^2 =\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^2 -\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt _{\mathrm d}^2= \operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^2 \cdot\frac{H_{\mathrm{int}}^2}{H_{\mathrm{int}}^2+H_0^2},
\end{equation}
\tag{9}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt _{\mathrm d}^2 =\frac{(\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal H_0} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt )^2} {\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal{H}_0^2}} =\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^2\cdot\frac{H_0^2}{H_{\mathrm{int}}^2+H_0^2}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Аналогичное соотношение может быть получено также из сравнения результатов термодинамического и динамического описания отклика спин-системы на внезапное изменение поля от первоначального значения $H_0$ до $H_0+h(t)$, после которого в системе устанавливается равновесие в измененном постоянном поле $H_0+h(t)$. Начальное состояние матрицы плотности определяется выражением
$$
\begin{equation}
\rho_0=\frac{\hat I-\alpha_0\widehat{\mathcal H}_0}{\operatorname{Sp}\hat I}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Конечные состояния в термодинамическом и квантово-статистическом подходах задаются следующими формулами:
$$
\begin{equation}
\rho_{\mathrm f}=\frac{\hat I-\alpha_{\mathrm f}\widehat{\mathcal H}}{\operatorname{Sp}\hat I},
\end{equation}
\tag{12}
$$
$$
\begin{equation}
\rho_{\mathrm f}=U\rho U^{-1} \to\frac{\hat I-\alpha_0\cdot\operatorname{diag}_{\widehat{\mathcal H}}\widehat{\mathcal H}_0} {\operatorname{Sp}\hat I},\qquad U=e^{-(i/\hbar)\widehat{\mathcal H}\cdot t}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Величина $\alpha_{\mathrm f}$ определяется законом сохранения энергии $\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal H}\rho=\mathrm{const}$, из которого при $\rho=\rho_0$ и $\rho=\rho_{\mathrm f}$ получаем
$$
\begin{equation}
\alpha_0\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal H}\widehat{\mathcal H}_0 =\alpha_{\mathrm f}\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal H}^2.
\end{equation}
\tag{14}
$$
В итоге имеются два выражения для магнитного момента, из условия равенства которых следует
$$
\begin{equation}
\alpha_0\operatorname{Sp}(\operatorname{diag}_{\widehat{\mathcal H}}( \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ) \operatorname{diag}_{\widehat{\mathcal H}}(\widehat{\mathcal H}_0)) =\alpha_{\mathrm f}\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt \widehat{\mathcal H}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
С учетом формул (14) и (15) имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{Sp}(\operatorname{diag}_{\widehat{\mathcal H}}( \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ) \operatorname{diag}_{\widehat{\mathcal H}}(\widehat{\mathcal H}_0)) =\frac{\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt \widehat{\mathcal H} \cdot\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal H}\widehat{\mathcal H}_0} {\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal H}^2}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Формула (16) имеет вид, аналогичный соотношению (10). Соотношения такого типа были использованы в работе [3] при суммировании бесконечного ряда теории возмущений для матрицы плотности (3) и получении выражения для адиабатического отклика без использования метода спиновой температуры. В работе [4] таким же способом, но с учетом всех неадиабатических членов, было получено интегро-дифференциальное уравнение для нелинейного отклика спиновой системы, формально эквивалентное уравнению (3) в применении к средним значениям соответствующих величин. Далее $[\widehat{\mathcal A},\widehat{\mathcal B}\,]_1$ будет обозначать недиагональную часть коммутатора операторов $\widehat{\mathcal A}$ и $\widehat{\mathcal B}$. Уравнение, полученное в работе [4], имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
H_{\mathrm{int}}^2M(t)=-\sum_{n=1,3,\dots}^\infty \int_0^t dt_1\,h(t_1)\dots\int_0^{t_{n-1}}dt_n\,h(t_n)E(t_n)\, \frac{\partial}{\partial t_n}G_n(t,\dots,t_n),
\end{equation}
\tag{17}
$$
$$
\begin{equation}
G_n(t,t_1,\dots,t_n)=\operatorname{Sp}\biggl([\dotsb[[ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt (t), \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt (t_1)]_1, \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt (t_2)]_1\dotsb]_1 \frac{ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt (t_n)}{\operatorname{Sp} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^2}(i\hbar)^{n-1}\biggr),
\end{equation}
\tag{18}
$$
$$
\begin{equation}
E_0=\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal H}_0\rho(0)=-\chi_0 H_{\mathrm{int}}^2,\qquad E=\operatorname{Sp}\widehat{\mathcal H}_0\rho(t).
\end{equation}
\tag{20}
$$
В адиабатическом приближении из уравнения (17), как при переходе от (7) к (8), следует соотношение В итоге из (19) и (21) получаются выражения, которые при $H_0= 0$ cовпадают с (4):
$$
\begin{equation}
E=E_0\biggl(\frac{H_{\mathrm{int}}^2}{H_{\mathrm{int}}^2+h^2}\biggr)^{1/2},\qquad M=-\frac{hE_0}{H_{\mathrm{int}}^2} \biggl(\frac{H_{\mathrm{int}}^2}{H_{\mathrm{int}}^2+h^2}\biggr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Заметим, что при получении адиабатического приближения непосредственно из ряда нестационарной теории возмущений требуется учет вклада от каждого члена ряда (см. [3]). В случае внезапного включения магнитного поля от нуля до постоянной величины $h=\mathrm{const}$ при достаточно больших временах уравнение (17) также сводится к уравнению (21), которое в данном случае дает
$$
\begin{equation}
H_{\mathrm{int}}^2M=-hE=-h(E_0+h M),\qquad M=\chi_0h\frac{H_{\mathrm{int}}^2}{H_{\mathrm{int}}^2+h^2}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
В настоящей работе будет численно исследовано выполнение приведенной выше ФФ (10). 2.2. Моделируемые системыМы рассматривали различные пространственные конфигурации спин-системы с числом частиц $N=2\div 10$ и одинаковым минимальным расстоянием между ближайшими соседями $r$, которое обозначается соединяющими их отрезками прямых на рис. 1. При этом учитывалось взаимодействие между всеми частицами системы. Проверка выполнимости ФФ, которая предполагается точной в пределе больших $N$, для случая меньших $N$ означает также сопоставление результатов двух подходов: термодинамического (спин-температурного) и динамического, основанного на микроскопических уравнениях и базовых положениях квантовой статистической физики. Для оценки отклонений от точного вида ФФ использовалась разность между ее левой ($L$) и правой ($R$) частями с различными нормировками:
$$
\begin{equation}
e_{\mathrm{abs}} =\biggl|\operatorname{Sp}(\widehat D_M^2) -\frac{\operatorname{Sp}^2(\widehat{\mathcal H} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt )} {\operatorname{Sp}(\widehat{\mathcal H}^2)}\biggr|=|L-R|, \qquad e =\frac{|L-R|}{|L+R|},
\end{equation}
\tag{24}
$$
$$
\begin{equation}
e^{\mathrm{rel}}_1 =\frac{e_{\mathrm{abs}}\cdot\operatorname{Sp}(\widehat{\mathcal H}^2)} {\operatorname{Sp}^2(\widehat{\mathcal H} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt )} =\frac{|L-R|}{R}, \qquad e^{\mathrm{rel}}_2 =\frac{e_{\mathrm{abs}}\cdot\operatorname{Sp}(\widehat{\mathcal H}^2)} {\operatorname{Sp}^2(\widehat{\mathcal H} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt )}=\frac{|L-R|}{L}.
\end{equation}
\tag{25}
$$
3. Описание численных методовВ данном разделе дана матричная постановка задачи и описан способ вычисления компонент ФФ. 3.1. Определения операторовМатрицы Паули имеют вид
$$
\begin{equation*}
\sigma_x=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ 1 &0 \end{bmatrix},\qquad \sigma_y=\begin{bmatrix} 0 &-i \\ i &0 \end{bmatrix},\qquad \sigma_z=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Часть гамильтониана, учитывающая диполь-дипольное взаимодействие,
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal H}_{\mathrm{int}}=\widehat{\mathcal H}_{dd} =\sum_{j<k}\widehat W_{j,k} =\sum_{j<k}\frac{\gamma_j\gamma_k\hbar^2}{r^3_{j,k}} \biggl(\vec I_j\vec I_k -3\frac{(\vec I_j\vec r_{j,k})(\vec I_k\vec r_{j,k})}{r^2_{j,k}}\biggr),
\end{equation}
\tag{26}
$$
где $\vec r_{j,k}$ – вектор, соединяющий диполи с номерами $j$ и $k$. В отличие от (4), мы задаем зеемановское взаимодействие с магнитным полем $\vec H$ как
$$
\begin{equation*}
\kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt =-\hbar\sum_j\gamma_j\vec H\cdot\vec I_j,\qquad \widehat{\mathcal H}=\widehat{\mathcal H}_{dd}+ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt .
\end{equation*}
\notag
$$
3.2. Приведение к безразмерному видуДалее под $\operatorname{dim}$ будет пониматься размерность величины. Cчитаем, что в модели все $\gamma_i=\gamma_j=\gamma$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dim}(\widehat{\mathcal H}_{dd}) =\operatorname{dim} \biggl(\frac{\gamma_j\gamma_k\hbar^2}{r^3_{j,k}}\vec I_j\vec I_k\biggr) =\operatorname{dim}\biggl(\frac{\gamma^2\hbar^2}{r_0^3}\biggr),\qquad \delta=\frac{\gamma^2\hbar^2}{r_0^3},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $H_{dd}^0=\delta^{-1}H_{dd}$ является безразмерной величиной. Аналогично поступаем с зеемановской компонентой:
$$
\begin{equation*}
\delta^{-1} \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt =-\delta^{-1}\hbar\sum_j\gamma_j\vec H\cdot\vec I_j =-\frac{r_0^3}{\gamma^2\hbar^2}\cdot\hbar\|\vec H\|_2\gamma \cdot\frac{\vec H}{\|\vec H\|_2}\cdot\sum_j\vec I_j =-\frac{r_0^3\|\vec H\|_2}{\gamma\hbar}\cdot \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0 =-\beta \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0.
\end{equation*}
\notag
$$
Возникший при такой записи безразмерный коэффициент $\beta$ учитывает соотношение между зеемановской энергией, зависящей от вектора магнитного поля $\vec H$, и диполь-дипольной энергией, связанной с параметрами $r_0$ и $\gamma$. Безразмерная часть $ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0$ свободна от каких-либо коэффициентов и описывает исключительно геометрию и спины диполей. Приведенный к безразмерному виду гамильтониан выражается формулой
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal H}^0=\delta^{-1}(\widehat{\mathcal H}_{dd}+ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ) =\widehat{\mathcal H}_{dd}^0-\beta \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0.
\end{equation*}
\notag
$$
В системе из $N$ диполей компоненты спина $i$-го диполя в стандартной записи имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, I_{x,i}&=I\otimes\dotsb\otimes I\otimes \underbrace{\sigma_x}_{i{\text{-й}}}\otimes I\otimes\dotsb\otimes I, \\ I_{y,i}&=I\otimes\dotsb\otimes I\otimes \underbrace{\sigma_y}_{i{\text{-й}}}\otimes I\otimes\dotsb\otimes I, \\ I_{z,i}&=I\otimes\dotsb\otimes I\otimes \underbrace{\sigma_z}_{i{\text{-й}}}\otimes I\otimes\dotsb\otimes I, \end{aligned} \\ \vec I_i=\begin{bmatrix} I_{x,i} &I_{y,i} &I_{z,i} \end{bmatrix}^{\mathrm T}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Взаимодействие двух различных диполей $i\ne j$, которые соединяет вектор $\vec r_{ij}$ c компонентами $x_{ij}$, $y_{ij}$, $z_{ij}$, описывается формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\vec I_i,\vec r_{ij})\cdot(\vec I_j,\vec r_{ij}) &=I\otimes\dotsb\otimes I\otimes \underbrace{(x_{ij}\sigma_x+y_{ij}\sigma_y+z_{ij}\sigma_z)}_{i{\text{-й}}} \otimes I\otimes {} \\ &\qquad\otimes\dotsb\otimes I\otimes \underbrace{(x_{ij}\sigma_x+y_{ij}\sigma_y+z_{ij}\sigma_z)}_{j{\text{-й}}} \otimes I\otimes\dotsb\otimes I, \\ \vec I_i\cdot \vec I_j&=\sum_{k\in\{x,y,z\}} I\otimes\dotsb\otimes I\otimes \underbrace{\sigma_k}_{i{\text{-й}}}\otimes I\otimes \dotsb\otimes I\otimes\underbrace{\sigma_k}_{j{\text{-й}}} \otimes I\otimes\dotsb\otimes I. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3.3. Матричная постановка задачи для одномерной цепиЗдесь и в п. 3.4 рассматривается конфигурация цепи, когда все диполи выстроены в линию вдоль оси $OZ$. Компоненты вектора $\vec r_{ij}$, соединяющего диполи $i$ и $j$, $x_{ij}= y_{ij}=0$. Заметим, что после приведения к безразмерному виду расстояние между диполями $r_0^3$ выносится в коэффициент $\delta$, поэтому минимальное расстояние между соседними диполями в $\widehat{\mathcal H}^0$ можно считать равным единице. Получим конкретный матричный вид для $\widehat{\mathcal H}^0$ c учетом геометрии задачи:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{\mathcal H}_{dd}^0&=\sum_{j<k}\frac{1}{(k-j)^3}= (\vec I_j\cdot\vec I_k-3I_{z,j}I_{z,k})= \\ &=\sum_{j<k}\frac{1}{(k-j)^3}\sum_{c\in\{x,y\}} I\otimes\dotsb\otimes I\otimes \underbrace{\sigma_c}_{j{\text{-й}}}\otimes I\otimes\dotsb\otimes I\otimes \underbrace{\sigma_c}_{k{\text{-й}}}\otimes I\otimes\dotsb\otimes I-{} \\ &\qquad{}-\sum_{j<k}\frac{2}{(k-j)^3} I\otimes\dotsb\otimes I\otimes \underbrace{\sigma_z}_{j{\text{-й}}}\otimes I\otimes\dotsb\otimes I\otimes \underbrace{\sigma_z}_{k{\text{-й}}}\otimes I\otimes\dotsb\otimes I, \\ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0&=\sum_j I\otimes\dotsb\otimes I\otimes \underbrace{\sigma_z}_{j{\text{-й}}}\otimes I\otimes\dotsb\otimes I. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пример расчета матрицы для случая трех диполей:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{\mathcal H}_{dd}^0&=\frac{1}{1^3} (\sigma_x^1\otimes\sigma_x^2\otimes I +\sigma_y^1\otimes\sigma_y^2\otimes I -2\sigma_z^1\otimes\sigma_z^2\otimes I)+{} \\ &\qquad{}+\frac{1}{1^3}(I\otimes\sigma_x^2\otimes\sigma_x^3 +I\otimes\sigma_y^2\otimes\sigma_y^3 -2I\otimes\sigma_z^2\otimes\sigma_z^3)+ \\ &\qquad{}+\frac{1}{2^3}(\sigma_x^1\otimes I\otimes\sigma_x^3 +\sigma_y^1\otimes I\otimes\sigma_y^3 -2\sigma_z^1\otimes I\otimes\sigma_z^3), \\ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0&=\sigma_z\otimes I\otimes I +I\otimes\sigma_z\otimes I+I\otimes I\otimes\sigma_z. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Диагонализация $\widehat{\mathcal H}^0$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\widehat U^*\widehat{\mathcal H}^0\widehat U =\widehat D_{\mathcal H^0},\qquad \widehat U^* \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0\widehat U=\widehat D_M+\widehat O_M,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat D_M$ и $\widehat O_M$ обозначают соответственно диагональную и недиагональную части матрицы $ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0$ в представлении $\widehat U$. Необходимо проверить, выполняется ли соотношение
$$
\begin{equation}
\frac{\operatorname{Sp}^2(\widehat{\mathcal H}^0 \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0)} {\operatorname{Sp}((\widehat{\mathcal H}^0)^2)} =\operatorname{Sp}(\widehat D_M^2).
\end{equation}
\tag{27}
$$
3.4. Расчет системы из двух частиц для цепи, поле вдоль оси $OZ$Рассмотрим две частицы в цепи, располагающиеся вдоль оси $OZ$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \sigma_x\otimes\sigma_x&=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ 1 &0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 0 &1 \\ 1 &0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} & & &1 \\ & &1 & \\ &1 & & \\ 1 & & & \\ \end{bmatrix}, \\ \sigma_y\otimes\sigma_y&=\begin{bmatrix} 0 &-i \\ i &0 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 0 &-i \\ i &0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} & & &-1 \\ & &1 & \\ &1 & & \\ -1 & & & \\ \end{bmatrix}, \\ \sigma_z\otimes\sigma_z&=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & & & \\ &-1 & & \\ & &-1 & \\ & & &1 \end{bmatrix}, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, \widehat{\mathcal H}_{dd}^0&=\sigma_x\otimes\sigma_x +\sigma_y \otimes\sigma_y-2\cdot\sigma_z\otimes\sigma_z =\begin{bmatrix} -2 & & & \\ &2 &2 & \\ &2 &2 & \\ & & &-2 \end{bmatrix}, \\ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0&=I\otimes\sigma_z+\sigma_z\otimes I=\begin{bmatrix} 1 & & & \\ &-1 & & \\ & & 1 & \\ & & & -1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & &-1 & \\ & & & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & & & \\ &0 & & \\ & &0 & \\ & & &-2 \end{bmatrix}, \\ \widehat{\mathcal H}^0 &=\widehat{\mathcal H}^0_{dd}-\beta \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0 =\begin{bmatrix} -2(1+\beta) & & & \\ &2 &2 & \\ &2 &2 & \\ & & &-2(1-\beta) \end{bmatrix}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Собственные значения и собственные векторы гамильтониана (столбцы матрицы $U$) имеют вид
$$
\begin{equation*}
\lambda(\widehat{\mathcal H}^0)=\{-2(1+\beta),-2(1-\beta),4,0\},\qquad \widehat U=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1/\sqrt{2} &1/\sqrt{2} &0 \\ 0 &-1/\sqrt{2} &1/\sqrt{2} &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее рассчитаем все компоненты ФФ (27):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{Sp}((\widehat{\mathcal H}^0)^2) =(-2(1+\beta))^2+(-2(1-\beta))^2+4^2+0=8\beta^2+24, \\ \begin{aligned} \, \widehat{\mathcal H}^0 \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0&=\begin{bmatrix} -2(1+\beta) & & & \\ &2 &2 & \\ &2 &2 & \\ & & &-2(1-\beta) \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 2 & & & \\ &0 & & \\ & & 0& \\ & & &-2 \end{bmatrix}=\\ &=\begin{bmatrix} -4(1+\beta) & & & \\ &0 & & \\ & &0 & \\ & & &4(1-\beta) \end{bmatrix}, \end{aligned} \\ \operatorname{Sp}(\widehat{\mathcal H}^0 \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0)=-8\beta, \\ \begin{aligned} \, \widehat{U}^* \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0\widehat U&=\begin{bmatrix} 1 & & & \\ &1/\sqrt{2} &-1/\sqrt{2} & \\ &1/\sqrt{2} &1/\sqrt{2} & \\ & & &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2& & & \\ &0 & & \\ & &0 & \\ & & &-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & & & \\ &1/\sqrt{2} &1/\sqrt{2} & \\ &-1/\sqrt{2} &1/\sqrt{2} & \\ & & &1 \end{bmatrix}=\\ &=\begin{bmatrix} 2 & & & \\ &0 & & \\ & & 0& \\ & & &-2 \end{bmatrix}, \end{aligned} \\ \operatorname{Sp}(\widehat D_M^2)=8, \\ \frac{\operatorname{Sp}^2(\widehat{\mathcal H}^0 \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0)} {\operatorname{Sp}((\widehat{\mathcal H}^0)^2)} =\frac{64\beta^2}{8\beta^2+24}=8-\frac{24}{\beta^2+3}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Разность левой и правой частей ФФ (27) имеет вид
$$
\begin{equation}
e_{\mathrm{abs}}=\biggl|\operatorname{Sp}(\widehat D_M^2) -\frac{\operatorname{Sp}^2(\widehat{\mathcal H}^0 \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0)} {\operatorname{Sp}((\widehat{\mathcal H}^0)^2)}\biggr| =\frac{24}{\beta^2+3}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Обратим внимание, что при увеличении $\beta$ модуль разности стремится к нулю, имея максимальное значение $8$ при $\beta=0$. 3.5. Расчет системы из двух частиц для цепи, поле вдоль оси $OX$Аналогично рассчитаем компоненты ФФ для поля вдоль оси $OX$. Гамильтониан имеет вид
$$
\begin{equation*}
\kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0=\begin{bmatrix} 0 &1 &1 &0 \\ 1 &0 &0 &1 \\ 1 &0 &0 &1 \\ 0 &1 &1 &0\end{bmatrix},\qquad \widehat{\mathcal H}^0=\widehat{\mathcal H}^0_{dd} -\beta \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0=\begin{bmatrix} -2 &-\beta &-\beta &\hphantom{-}0 \\ -\beta &\hphantom{-}2 &\hphantom{-}2 &-\beta \\ -\beta &\hphantom{-}2 &\hphantom{-}2 &-\beta \\ \hphantom{-}0 &-\beta &-\beta &-2 \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Спектр гамильтониана
$$
\begin{equation*}
\lambda(\widehat{\mathcal H}^0)=\{0,\,-2,\,1\pm\sqrt{9+4\beta^2}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем вспомогательное обозначение $\theta=\sqrt{9+4\beta^2}$. Собственные векторы гамильтониана
$$
\begin{equation*}
\widehat U=\begin{bmatrix} 0 &1/\sqrt{2} &\beta/\sqrt{\theta^2+3\theta} &\beta/\sqrt{\theta^2-3\theta} \\ 1/\sqrt{2} &0 &-(3+\theta)/(2\sqrt{\theta^2+3\theta}) &-(3-\theta)/(2\sqrt{\theta^2-3\theta}) \\ -1/\sqrt{2} &0 &-(3+\theta)/(2\sqrt{\theta^2+3\theta}) &-(3-\theta)/(2\sqrt{\theta^2-3\theta}) \\ 0 &1/\sqrt{2} &\beta/\sqrt{\theta^2+3\theta} &\beta/\sqrt{\theta^2-3\theta} \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассчитаем компоненты ФФ:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{Sp}^2(\widehat{\mathcal H}^0 \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0)=64\beta^2, \qquad \operatorname{Sp}((\widehat{\mathcal H}^0)^2)=24+8\beta^2, \qquad \operatorname{Sp}(\widehat D_M^2)=8-\frac{72}{9+4\beta^2}, \\ e_{\mathrm{abs}}=\biggl|\operatorname{Sp}(\widehat D_M^2) -\frac{\operatorname{Sp}^2(\widehat{\mathcal H}^0 \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt ^0)} {\operatorname{Sp}((\widehat{\mathcal H}^0)^2)}\biggr| =\biggl|\frac{72}{9+4\beta^2}-\frac{24}{3+\beta^2}\biggr| =\frac{24\beta^2}{(9+4\beta^2)(\beta^2+3)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{29}
$$
В отличие от формулы (28), абсолютная ошибка (29) обращается в нуль при $\beta=0$, хотя относительная ошибка при этом не равна нулю: $e\to 1/7$ при $\beta\to 0$. При численном расчете систем с $N>2$ при $\beta=0$ наблюдаются нулевые абсолютные ошибки $e_{\mathrm{abs}}$ при четных $N$ и ненулевые абсолютные ошибки при нечетных $N$:
$$
\begin{equation*}
e_{\mathrm{abs}}(3)\approx 1.20,\qquad e_{\mathrm{abs}}(5)\approx 1.75,\qquad e_{\mathrm{abs}}(7)\approx 4.19,\qquad e_{\mathrm{abs}}(9)\approx 7.48.
\end{equation*}
\notag
$$
3.6. Расчеты систем с числом частиц $N>2$Для расчетов была реализована программа на языке С++ с использованием общеизвестных библиотек линейной алгебры BLAS [11], LAPACK [12] и SuiteSparse. Задача на собственные значения решалась с помощью функции geev в LAPACK. Были найдены все собственные значения и векторы, после чего рассчитывались компоненты ФФ. 4. Результаты и обсужденияДля каждой из конфигураций, приведенных на рис. 1, были численно найдены относительные ошибки (24) и (25). Результаты приведены на рис. 2–5. Все вертикальные оси даны в логарифмическом масштабе. Для наглядности соседние расчетные точки по $N$ соединены отрезками. Для интервала $\beta\in[0.01;1]$ выбран шаг $0.05$, а для $\beta\in[1;100]$ выбран шаг $5$. Из рис. 2а при $\beta<1$ видно, что ошибка $e$ (24) не является малой и ее зависимость от $N$ носит осциллирующий характер, который сглаживается с ростом $N$ и $\beta$. При малых $\beta\ll 1$ (верхние кривые на рис. 2а) осцилляции видны при всех значениях $N$, с наиболее глубоким относительным минимумом при $N=3$, тогда как по мере приближения $\beta$ к единице снизу первоначальный рост $e$ на отрезке $N=2\div 3$ сменяется ее последующим почти монотонным убыванием. Такой первоначальный рост ошибки $e$ имеет место при всех $\beta$, однако при $\beta>1$ слабый рост $e$ с увеличением числа частиц наблюдается во всем диапазоне $N$. Рост величины $e$ наблюдается также при параллельной ориентации линейной цепочки и поля (рис. 2в, 2г). В этом случае утрачиваются изложенные в разделе 2 основания для применимости ФФ, поскольку зеемановская часть гамильтониана коммутирует с его диполь-дипольной частью, и диагональная часть оператора $ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt $ не отличается от $ \kern0.95pt\widehat{\phantom{Q\,}}\kern-10.7pt M\kern0.1pt $. В отличие от случая перпендикулярной ориентации линейной цепочки и поля, зависимость от $N$ монотонная и слабо растущая, кроме периода $2\div 3$, где она более резкая. При больших $\beta$, как и на рис. 2в, ошибка стремится к нулю, что соответствует приближению соотношения ФФ к тождеству. Необходимо отметить при этом, что для $N=10$ ошибка $e$ в случае параллельной конфигурации превышает аналогичное значение для перпендикулярной конфигурации для всех $\beta>0$. Осциллирующий характер зависимости от $N$ при малых $\beta$ особенно выражен для величины $e_1^{\mathrm{rel}}$ (рис. 3), значение которой может намного превышать единицу. Очевидно, что такое поведение связано с рассмотренным выше случаем $\beta=0$. Для всех критериев характерно увеличение значения ошибки при переходе от $N=2$ к $N=3$. На рис. 4 показаны результаты в случае распределения спинов в виде многоугольника с тем же минимальным расстоянием $r$ между его вершинами на плоскости, параллельной или перпендикулярной направлению магнитного поля. В этих случаях первоначальные пары спинов оказываются в тех же конфигурациях, что и на рис. 2, 3, и соответствующие значения ошибки $e$ у них совпадают. Для других значений $N$ и $\beta$ поведение $e(N,\beta)$ заметно отличается от случая линейной цепочки при сохранении некоторых качественных особенностей. Остается явно выраженная немонотонность поведения $e$ по $N$ при малых $\beta$. В то же время при больших $\beta$ и $N>5$ (поле параллельно плоскости) и $N>3$ (поле перпендикулярно плоскости) немонотонность становится существенно меньше и величина $e$ ведет себя почти как константа. Например, $e(5,100)$ и $e(10,100)$ равны соответственно $1.09\cdot 10^{-4}$ и $1.06\cdot 10^{-4}$ для случая магнитного поля вдоль оси $OX$, а для случая поля вдоль оси $OZ$ аналогичная пара значений $7.91\cdot 10^{-5}$ и $7.69\cdot 10^{-5}$. В случае объемных конфигураций спиновых структур зависимость $N$ и $\beta$ представлена на рис. 5, где случаи $N=2$ и $N=3$ соответствуют линейной и плоской конфигурациям на рис. 2–4. Объемный случай не очень отличается от плоского, кроме области больших $\beta$, где наблюдается немонотонное и растущее поведение $e$ при увеличении $N$. Монотонность поведения по $\beta$ сохраняется, за исключением ситуации на рис. 5в (пересекаются линии). 5. ЗаключениеАнализ полученных численных результатов проверки точности (величины расстройки $e$) ФФ при различном соотношении $\beta$ между величинами зеемановской энергии и диполь-дипольной энергии спин-системы в зависимости от ее конфигурации и числа частиц $N=2\div 10$ позволяет сделать следующие выводы.
Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SamZylZam24} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|