| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) O существовании определенных эллиптических решений уравнения Шредингера с кубической нелинейностью Х. В. Шурманa, В. С. Серовb a Department of Mathematics, Computer Science, Physics, University of Osnabrüc, Osnabrück, Germany b Research Unit of Mathematical Sciences, University of Oulu, Oulu, Finland
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924040044 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеКак хорошо известно, для неинтегрируемого комплексного уравнения Гинзбурга–Ландау (см., например, [1])
$$
\begin{equation}
i\Psi_z(t,z)+\Psi_{tt}(t,z)+a\Psi(t,z)|\Psi(t,z)|^2-i\lambda\Psi(t,z)=0,\qquad\Psi\in\mathbb{C},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $a$ – комплексная константа и $\lambda$ – вещественная константа, отличная от нуля, не существует эллиптических решений (типа бегущей волны) [2], [3]. Когда $\lambda\,{=}\,0$, уравнение (1) интегрируемо и совпадает с нелинейным уравнением Шредингера (НУШ) с кубической нелинейностью
$$
\begin{equation}
i\Psi_z(t,z)+\Psi_{tt}(t,z)+a\Psi(t,z)|\Psi(t,z)|^2=0,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где, если пользоваться терминологией волоконной оптики, $z$ – расстояние вдоль волокна, а $t$ – (запаздывающее) время. Помимо общих решений, полученных прямыми методами (например, методом обратной задачи рассеяния или преобразования Дарбу), интересны и могут оказаться достаточными частные решения НУШ с кубической нелинейностью, подходящие для конкретных физических приложений. В этом контексте были предложены методы поиска эллиптических решений уравнения (1) [4]. Для НУШ с кубической нелинейностью в частных случаях существуют эллиптические решения типа бегущей волны (см., например, работу [5] и ссылки в ней)
$$
\begin{equation}
\Psi(t,x)=f(z) e^{i(\phi(z)-\lambda t)},\qquad z=x-ct.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Таким образом, в связи с отсутствием эллиптических решений уравнения (1) возникает очевидный вопрос: существуют ли эллиптические решения уравнения (2), более общие, чем заданные формулой (3)? В частности, если в (3) заменить $f(z)e^{-i\lambda t}$ на $f(t,z)+id(z)$ (не предполагая, что ищутся решения типа бегущей волны), мы приходим к возможному анзацу [6], [7]
$$
\begin{equation}
\Psi(t,z)=(f(t,z)+id(z))e^{i\phi(z)},\qquad f,\phi,d\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
В настоящей статье мы рассматриваем вопрос о том, подходит ли анзац (4) для получения эллиптических решений НУШ (2) с кубической нелинейностью. Если подставить анзац (4) в (2), то, выделив мнимую и действительную части, получим систему
$$
\begin{equation}
f_z(t,z) =d(z)\bigl(\phi_z(z)-a(d^2(z)+f^2(t,z))\bigr),
\end{equation}
\tag{5а}
$$
$$
\begin{equation}
f_{tt}(t,z) =d_z(z)+(\phi_z(z)-ad^2(z))f(t,z)-af^3(t,z).
\end{equation}
\tag{5б}
$$
Следует предположить, что эти уравнения с необходимостью справедливы, иначе исследование их совместности не имеет смысла. Для доказательства несовместности уравнений (5а), (5б) в следующем разделе 2 мы находим решения $f(t,z)$, $d(z)$, $\phi(z)$, применив теорему Фробениуса. Используя эти решения, в разделе 3 мы представляем численный контрпример, в котором уравнение (5а) (переписанное ниже как уравнение (14а)) в общем случае не выполняется. В разделе 4 мы исследуем частные случаи и для них получаем решения системы (5). Заключительный раздел 5 посвящен выводам и замечаниям. 2. Решения в общем случае ${{f}}_{{z}}\neq 0$, ${{f}}_{{t}}\neq 0$, ${{d}}_{{z}}\neq 0$Далее мы частично следуем идеям работы [7]. Уравнение (5б) допускает первый интеграл
$$
\begin{equation}
(f_t(t,z))^2=-\frac{a}{2} f^4(t,z)-(ad^2(z)-\phi_z(z))f^2(t,z)+2d_z(z)f(t,z)+2b(z),
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $b(z)$ – не зависящая от $t$ “константа” интегрирования. Согласно теореме Фробениуса система уравнений (5а), (6) имеет (локальное) единственное решение $f(t,z)$ тогда и только тогда, когда выполнено условие интегрируемости $f_{zt}=f_{tz}$. Оно дает полином второй степени от $f(t,z)$, и условие обращения в нуль его коэффициентов приводит к трем обыкновенным дифференциальным уравнениям
$$
\begin{equation}
d(z)(4ab(z)+\bigl(\phi_z(z)-ad^2(z))^2\bigr)+d_{zz}(z)=0.
\end{equation}
\tag{7в}
$$
Уравнения (7а)–(7в) успешно интегрируются, и мы получаем
$$
\begin{equation}
(c_1^2+2ac_2)d^2(z)-4ac_1d^4(z)+4a^2d^6(z)+d^2_z(z)=c_3
\end{equation}
\tag{8в}
$$
(где $c_1$, $c_2$, $c_3$ – константы интегрирования). Здесь мы использовали (8а), чтобы получить (8б), и (8б), чтобы получить (8в). Положив $h(z)=d^2(z)$, можно переписать (8в) как
$$
\begin{equation}
(h_{z}(z))^2=\alpha_1 h^4(z)+4\beta_1h^3(z)+6\gamma_1h^2(z)+4\delta_1h(z)+\epsilon_1=:R_1(h),
\end{equation}
\tag{9}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\alpha_1=-16a^2,\quad\beta_1=4ac_1,\quad\gamma_1=-\frac{1}{3}(2c_1^2+8ac_2),\quad\delta_1=c_3,\quad\epsilon_1=0.
\end{equation*}
\notag
$$
С использованием (8а), (8б) уравнение (6) принимает вид
$$
\begin{equation}
(f_t(t,z))^2=\alpha_2f^4(t,z)+4\beta_2f^3(t,z)+6\gamma_2f^2(t,z)+4\delta_2f(t,z)+\epsilon_2=:R_2(f,z),
\end{equation}
\tag{10}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_2=-\frac{a}{2},\qquad\beta_2=0,\qquad\gamma_2=\frac{1}{6}(c_1-3ah(z)), \\ \delta_2=\frac{h_z(z)}{4\sqrt{h(z)}},\qquad\epsilon_2=2c_2+\frac{3}{2}ah^2(z)-c_1h(z). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
На этом этапе, в отличие от работ [6], [7], мы выбираем известный метод поиска решений уравнений (9) и (10), основанный на формуле Вейерштрасса [8]: решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения
$$
\begin{equation*}
(y_x(x))^2=\alpha y^4(x)+4\beta y^3(x)+6\gamma y^2(x)+4\delta y(x)+\epsilon=:R(y)
\end{equation*}
\notag
$$
имеет вид (штрихом обозначена производная по $y$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, y(x)&=y_0+{} \notag\\ &\quad+ \frac{\frac{1}{2}R'(y_0)\bigl(\wp(x;g_2,g_3)-\frac{1}{24}R''(y_0)\bigr)\pm\wp'(x;g_2,g_3)\sqrt{R(y_0)}+\frac{1}{24}R(y_0)R'''(y_0)} {2\bigl(\wp(x;g_2,g_3)-\frac{1}{24}R''(y_0)\bigr)^2-\frac{1}{48}R(y_0)R''''(y_0)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $y_0$ – константа интегрирования1 и $g_2$, $g_3$ – инварианты функции $R(y)$ [9]. Применяя формулу (11) к уравнениям (9) и (10), получаем эллиптическое решение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, h(z)&=\frac{1}{{(2\wp(z)-\gamma_1-2\beta_1h_0-\alpha_1h_0^2)^2-\frac{\alpha_1}{2}R_1(h_0)}}\times \notag\\ &\quad\times\Bigl(4\wp(z)(h_0\wp(z)+\beta_1h_0^2+2\gamma_1h_0+\delta_1)+2\wp_z(z)\sqrt{R_1(h_0)}+{} \notag\\ &\kern86.5pt +h_0^2(2\alpha_1\delta_1-2\beta_1\gamma_1)+h_0(4\beta_1\delta_1-5\gamma_1^2)-2\gamma_1\delta_1\Bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
где $\wp(z)=\wp(z;g_{2z},g_{3z})$ – эллиптическая функция Вейерштрасса и $g_{2z}$, $g_{3z}$ – инварианты уравнения для $R_1(h)$,
$$
\begin{equation*}
g_{2z}=3\gamma_1^2-4\beta_1\gamma_1,\qquad g_{3z}=-\gamma_1^3+2\beta_1\gamma_1\delta_1-\alpha_1\delta_1^2,
\end{equation*}
\notag
$$
а также двоякопериодическое решение $f(t,z)$, эллиптическое по $t$, но неэллиптическое по $z$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f(t,z;f_0(z))&=\frac{1}{(2\wp(t)-\gamma_2-\alpha_2f_0^2(z))^2-\alpha_2R_2(f_0(z),z)}\times{} \notag\\ &\quad\times\Bigl(-2\gamma_2\delta_2-(5\gamma_2^2-\alpha_2\epsilon_2)f_0(z)+2\alpha_2\delta_2f_0^2(z)+{} \notag\\ &\kern28pt+4\wp(t)(\delta_2+2\gamma_2f_0(z)+\wp(t)f_0(z))+2\wp_t(t)\sqrt{R_2(f_0(z),z)}\,\Bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $\wp(t)=\wp(t;g_{2t},g_{3t})$ – эллиптическая функция Вейерштрасса и $g_{2t}$, $g_{3t}$ – инварианты уравнения для $R_2(f,z)$,
$$
\begin{equation*}
g_{2t}=\frac{c_1^2}{12}-ac_2,\qquad g_{3t}=\frac{ac_3}{8}-\frac{c_1(c_1^2+36ac_2^2)}{216},
\end{equation*}
\notag
$$
а $f_0(z)$ обозначает (не зависящую от $t$) “константу” интегрирования. Примечательно, что коэффициенты в (10) зависят от $h(z)$, при этом $g_{2t}$ и $g_{3t}$ от $z$ не зависят. С учетом уравнений (8а)–(8в) систему уравнений (5а), (6) можно записать как
$$
\begin{equation}
f_z(t,z;f_0(z)) =\sqrt{h(z)}\bigl(c_1-3ah(z)+af^2(t,z;f_0(z))\bigr),
\end{equation}
\tag{14а}
$$
Явный вид функции $\phi(z)$, получающийся из уравнений (8а) и (12) путем интегрирования, нам в дальнейшем не понадобится.
3. Несовместность системы уравнений (14а), (14б) в общем случаеПроблема существования эллиптических решений НУШ с кубической нелинейностью сводится к проблеме разрешимости системы (14а), (14б). Напомним, что уравнение (13) необходимо для существования решения уравнения (2) вида (4). Если $h(z)$ задана формулой (12), то решение системы (14а), (14б) задается функцией $f(t,z;f_0(z))$ при условии, что оба уравнения (14а) и (14б) выполняются и совместны. Подставляя $f$ в уравнение (14б), напрямую получаем, что (14б) удовлетворяется. Если предположить, что уравнение (14а) при этом также верно, то при $h(z)$, заданной формулой (12), система (14а), (14б) совместна. Следовательно (в общем случае), если функция (13) удовлетворяет уравнению (14а), анзац (4) является корректным. Подстановка $f(t,z;f_0(z))$ в (14а) приводит к длинному выражению для $f_z(t,z;f_0(z))$ через $\wp(z;g_{2h},g_{3h})$, $\wp(t;g_{2t},g_{3t})$ и $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$, $\delta_1$, поэтому проверить его очень сложно (даже с использованием систем компьютерной алгебры). Вместо этого мы представляем контрпример. Запишем уравнение (14а) как
$$
\begin{equation*}
\Delta(t,z,f_0(z)):=f_z(t,z;f_0(z))-\sqrt{h(z)}\bigl(c_1-3ah(z)-af^2(t,z;f_0(z))\bigr)=0
\end{equation*}
\notag
$$
и решим его численно с параметрами $a=-1$, $c_1=-2$, $c_2=0.4$, $c_3=0.13$. В силу (13) функция $f$ через коэффициенты $\alpha_2$, $\beta_2$, $\gamma_2$, $\delta_2$, $\epsilon_2$ зависит от $z$ и от $f_0(z)=f(0,z)$. Изучая зависимость $\Delta$ от $t$, мы сначала выберем $h_0=h(0)=0$, что допустимо при указанных выше значениях параметров. Затем положим $z=1$, так что $f_0(1)$ можно выбрать как решение уравнения $R_2(f_0(1),1)=0$ в соответствии с (10). Обозначим корни этого уравнения как $f_{0i}$, $i=1,2,3,4$. Рассматривая зависимость $R_2(f_0(1),1)$ от $f_0(1)$ (см. рис. 1) и вычисляя $f(t,1,f_{0i})$ для $i=1,2,3,4$, получаем, что только $f_{02}$ и $f_{03}$ соответствуют вещественной и ограниченной функции $f$. Далее, выбрав $f_{03}=0.87$, мы проверили уравнение (14а), т. е. уравнение $\Delta(t,z,0.87)=0$ (мы использовали систему компьютерной алгебры Mathematica и подтвердили свои результаты с помощью Maple). Результат показан на рис. 2. Мы видим, что анзац (4) неприменим для решения НУШ (2) с кубической нелинейностью в общем случае $f_z\neq 0$, $f_t\neq 0$, $d_z\neq 0$.  Рис. 1.Фазовая диаграмма для уравнения (10) при $z=1$, параметры заданы как $a=-1$, $c_1=-2$, $c_2=0.4$, $c_3=0.13$.  Рис. 2.Численная проверка уравнения (14а) (с $\Delta(t,1,0.87)\neq 0$) при $z=1$ и тех же параметрах, что на рис. 1 (см. текст). 4. Решения в частных случаяхНесовместность системы (14а), (14б) в общем случае указывает на то, что условие $f_z\neq 0$, $f_t\neq 0$, $d_z\neq 0$ является слишком ограничительным для существования решения $\Psi(t,z)$. Поэтому целесообразно изменить приведенное выше требование, чтобы проверить, существуют ли решения, подчиняющиеся другим условиям. Сначала рассмотрим случай $f_z\neq 0$, $f_t\neq 0$, $d_z=0$. При $d(z)=\text{const}=:k$ система (7а)–(7в) принимает вид Введем функцию $g(t,z)=f^2(t,z)$, тогда уравнения (5а), (6) можно переписать как
$$
\begin{equation}
(g_t(t,z))^2 =2g(t,z)(4c_2+2(c_1-ak^2)g(t,z)-ag^2(t,z)).
\end{equation}
\tag{16б}
$$
В силу формулы (11) решение уравнения (16б) задается формулой
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g(t,z)=g_0(z)+{}&\frac{3}{(6\wp(t)+3ag_0(z)-2(c_1-ak^2))^2}\times{} \notag\\ &\times\Bigl(6\wp(t)\bigl(-3ag_0^2(z)+4(c_1-ak^2)g_0(z)+4c_2\bigr)+{} \notag\\ &\qquad+6\wp_t(t)\sqrt{-2ag_0^3(z)+4(c_1-ak^2)g_0^2(z)+8c_2g_0(z)}+{} \notag\\ &\qquad-3a^2g_0^3(z)+6a(c_1-ak^2)g_0^2(z)+{} \notag\\ &\qquad+(-12ac_2-8(c_1-ak^2)^2)g_0(z)+8c_2(ak^2-c_1)\Bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $\wp(t)=\wp(t;g_{2t},g_{3t})$ и инвариантами уравнения (16б) являются
$$
\begin{equation*}
g_{2t}=\frac{4}{3}(c_1^2+3ac_2),\qquad g_{3t}=-\frac{4}{27}(2c_1^3+9ac_1c_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Решение $g(t,z)$ зависит от $z$ только через (не зависящую от $t$) “константу” интегрирования $g_0(z)$, которая должна удовлетворять системе (16а), (16б), поскольку $g_0(z)=g(0,z)$. В силу уравнения (16б) функция $g_0(z)$ равна константе $g_0$. Тогда система (16а), (16б) принимает вид Эту систему можно решить, если считать, что $k=0$, $k^2_{\pm}=\frac{c_1\pm2\sqrt{-ac_2}}{a}$ (в соответствии с (15в)) и $g_0\geqslant 0$. Преобразовав систему (18а), (18б), получаем допустимые значения $g_0$:
$$
\begin{equation}
\text{если}\;\,k=0, \quad\text{то}\quad g_0=0,\quad g_0=g_{0\pm}=\frac{c_1\pm\sqrt{c_1^2+4ac_2}}{a}>0,
\end{equation}
\tag{19а}
$$
$$
\begin{equation}
\text{если}\;\,k^2=k^2_{-}, \quad\text{то}\quad g_0=0,\quad g_0=2\sqrt{-\frac{c_2}{a}},\quad ac_2<0;
\end{equation}
\tag{19б}
$$
случай $k^2=k^2_{+}$ следует исключить, поскольку он приводит к $g_0=-2\sqrt{-c_2/a}<0$. Рассматривая систему (16а), (16б) с учетом (19а), (19б), получаем, что при $k=0$ эта система очевидно удовлетворяется. Используя формулу (17), получаем решения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g(t)&=g_1(t)=\frac{6c_2}{3\wp(t;g_{2t},g_{3t})-c_1}, \\ g(t)&=g_{\pm}(t)=4g_{0\pm}\frac{2c_1^2+9ac_2-3\wp(t;g_{2t},g_{3t})(c_1+3\wp(t;g_{2t},g_{3t}))}{(6\wp(t;g_{2t},g_{3t})+c_1\pm3\sqrt{c_1^2+4ac_2}\,)^2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
где $c_1^2+4ac_2\geqslant 0$. Если использовать (17) вместе с условием (19б), получаем решение при $k^2_{-}=0$, идентичное (20). Если $k^2_{-}\neq 0$, то функции (20) не удовлетворяют уравнению (16а). В этом случае система (16а), (16б) имеет решение
$$
\begin{equation}
g(t)=g_3=-\frac{2c_2}{\sqrt{-ac_2}},\qquad 0<a<-\frac{c_1^2}{4c_2}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Мы получили двухпараметрическое (в силу (8в) для указанных решений $c_3=0$) семейство решений $\Psi(t,z)$ вида (4), выраженных через эллиптическую функцию Вейерштрасса $\wp(t,g_{2t},g_{3gt})$ и $e^{ic_1z}$. Таким образом, $\Psi(t,z)$ – двоякопериодическая функция. Период по $t$ равен вещественному периоду функции $\wp(t,g_{2t},g_{3t})$: С учетом уравнения (15а) решения $\Psi(t,z)$ можно представить как где $k=0$ для решений (20) и $k=\sqrt{\frac{c_1-2\sqrt{-ac_2}}{a}}$ для решения (21). Как и $g_3(t)$, решения (20) должны быть вещественными и неотрицательными (ограниченными или неограниченными).Чтобы записать условия вещественности и неотрицательности решений в терминах параметров $a$, $c_1$, $c_2$, для решений (20) удобно воспользоваться подходом фазовых диаграмм [10]. Согласно уравнению (16б), в котором для решений (20), (21) мы должны положить $k=0$, возможны и необходимы в точности пять фазовых диаграмм $\{g_t^2,g\}$, $g\geqslant 0$, если мы требуем, чтобы решения были вещественными и неотрицательными (ограниченными или неограниченными). Для этих диаграмм параметры должны удовлетворять условиям
$$
\begin{equation}
a<0, \qquad c_1<0, \qquad c_2>0, \qquad c_1^2+4ac_2>0,
\end{equation}
\tag{24а}
$$
$$
\begin{equation}
a>0, \qquad c_1>0, \qquad c_2<0, \qquad c_1^2+4ac_2\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{24д}
$$
Если ни одно из этих ограничений не выполнено, решения (20) не являются вещественными и ограниченными (например, если $a<0$, $c_1<0$, $c_2<0$, мы получаем, что $g_1(t)<0$, $g_{+}(t)<0$, а $g_{-}$ неограничено). Если выполнены некоторые из условий, то по крайней мере одна из функций (20) ограничена. Если выполнены (24а), (24г), то решения $g_1$ и $g_{+}$ ограничены, $g_{-}$ неограничено; если выполнено (24д), то решения $g_{+}$, $g_{-}$ ограничены (и отличаются только сдвигом переменной $t$), а $g_1$ неограничено; если выполнено (24б), то $g_{+}$ представляет собой яркий солитон ($g\equiv 0$, $g_1\equiv 0$); если выполнено (24в), то решение $g_1$ – темный солитон ($g_{+}=c_1/a$, $g_{-}=c_1/a$). Решения (20) при условиях (24б), (24в) являются вырожденными эллиптическими решениями, определяемыми уравнением $g^3_{2t}-27g^2_{3t}=0$ (при этом $g_{3t}<0$ в обоих случаях) [11]. Они записываются как
$$
\begin{equation}
g_{+}(t) =\frac{2c_1}{a}\operatorname{sech}^2(t\sqrt{c_1}\,),
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
g_1(t) =\frac{c_1}{a}\operatorname{th}^2\biggl(t\sqrt{-\frac{c_1}{2}}\;\biggr).
\end{equation}
\tag{26}
$$
Подведем итог: соотношение (23) с $g(t)$, заданной в (20) или (21) с учетом ограничений (24а)–(24д), определяет вещественные и ограниченные, а также вещественные, неотрицательные и неограниченные решения НУШ с кубической нелинейностью, получающиеся с помощью анзаца (4). Численные расчеты проводятся непосредственно. Примеры вещественных и ограниченных решений показаны на рис. 3.  Рис. 3.Функция $\operatorname{Re}\Psi(t,z)$ для решения (24а)–(24д) для трех наборов значений параметров, выбранных согласно (24а), (24б) и (24в): $a=-1/8$, $c_1=-1$, $c_2=1$, $g(t)=g_{+}(t)$ (а); $a=1$, $c_1=1$, $c_2=0$, $g(t)=g_{+}(t)$ (б) и $a=0.46$, $c_1=-1.92$, $c_2=2$, $g(t)=g_1(t)$ (в). Далее рассмотрим случай $f_t(t,z)=0$. Первый интеграл $b(z)$ не существует, поэтому возвращаемся к системе (5):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f_z(z)=d(z)\bigl(\phi_z(z)-a(d^2(z)+f^2(z))\bigr), \\ d_z(z)+f(z)\bigl(\phi_z(z)-a(d^2(z)+f^2(z))\bigr)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{27}
$$
После преобразований получаем Если $d_z(z)=0$ ($f=\text{const}$), то $\phi(z)$ задается как Если $d_z(z)=-f(z)f'(z)/\sqrt{c-f^2(z)}$, $|f(z)|<\sqrt{c}$, то мы получаем По сравнению с (23), (21) решение (29) не является новым. Для решения (30) отметим, что соотношения (28) и (30) согласуются с (27), но очевидно, что их недостаточно для определения $f(z)$ и $\phi(z)$ аналогично тому, как это происходит с (17) и (15а). Тем не менее формулы (28), (30) задают решение вида (4), физическая значимость которого, однако, неясна. Наконец, если $f_z(t,z)=0$, $f_t(t,z)\neq 0$ и нет никаких ограничений на $d(z)$, то теорема Фробениуса неприменима, поэтому (опять же) рассмотрим систему (5)
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d(z)(\phi_z(z)-a(d^2(z)+f^2(t)))=0, \\ f_{tt}(t)=d_z(z)+f(t)(\phi_z(z)-a(d^2(z)+f^2(t))), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{31}
$$
которую можно свести к следующим уравнениям:
$$
\begin{equation}
d(z) =0, \qquad\phi_z(z) =\frac{f_{tt}(t)+af^3(t)}{f(t)},\quad f(t)\neq 0,\quad\text{или}
\end{equation}
\tag{32а}
$$
$$
\begin{equation}
d_z(z) =f_{tt}(t), \qquad \phi_z(z) =a(d^2(z)+f^2(t)).
\end{equation}
\tag{32б}
$$
Из (32б) получаем $f(t)=\text{const}$, $d_z(z)=0$, следовательно, решение (опять же) задается формулами (21) с ограничениями (24а)–(24д). Рассматривая (32а), получаем, что необходимо условие
$$
\begin{equation*}
\phi_z(z)=\frac{f_{tt}(t)+af^3(t)}{f(t)}=\text{const}=\lambda_1,
\end{equation*}
\notag
$$
приводящее к линейной функции $\phi(z)$. Функция $f(t)$ должна удовлетворять уравнению (где $\lambda_3$ – константа интегрирования)
$$
\begin{equation*}
(f_t(t))^2=-\frac{a}{2}f^4(t)+\lambda_1f^2(t)+\lambda_3,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, если положить $g(t):=f^2(t)$,
$$
\begin{equation}
(g_t(t))^2=-2ag^3(t)+4\lambda_1g^2(t)+4\lambda_3g(t).
\end{equation}
\tag{33}
$$
За исключением различного обозначения констант интегрирования, уравнение (33) идентично уравнению (16а) при $k=0$. Уравнение (16б) при условии $k=0$ имеет решение (20). Следовательно, решения уравнения (33) имеют вид (20) (где $\lambda_1=c_1$ в силу (15а)). В заключение отметим, что вырожденные решения для общего случая, определяемые равными нулю дискриминантами функций $\wp(z;g_{2h},g_{3h})$ и $\wp(t;g_{2t},g_{3t})$, являются решениями в частных случаях, но должны быть исключены из числа возможных решений из-за того, что уравнения в общем случае несовместны. Таким образом, кроме (30), решения для частных случаев определяются только условием $d_z(z)=0$. 5. ЗаключениеМы исследовали пригодность анзаца (4) (первоначально предложенного в [6]) для решения НУШ (2) с кубической нелинейностью. При этом мы действовали следующим образом. Предположив, что анзац (4) приемлем (задает решение уравнения (2)), из (с необходимостью верной) системы (5) мы получили решения $d(z)$, $\phi( z)$, $f(t,z;f_0(z))$, используя условие интегрируемости $f_{zt}=f_{tz}$ системы (5а), (6). Далее мы использовали решения $d$, $\phi$, $f$ для преобразования системы (5а), (5б) в систему (14а), (14б). Если уравнения (14а), (14б) можно удовлетворить, взяв в качестве решения функцию (13) (с $h(z)$, заданной в (12)), то можно использовать анзац (4). Числовой контрпример, представленный в разделе 3, показывает, что функция (13) не является решением уравнения (14а), поэтому анзац (4) неприменим в общем случае. В частных случаях, используя результаты раздела 2, мы получили решения $\Psi(t,z)$ и соответствующие условия для неотрицательных ограниченных или неограниченных решений на основе подхода фазовых диаграмм. Насколько нам известно, эти решения являются новыми. Во-первых, подчеркнем, что функции $h(z)$ и $f(t,z;f_0(z))$, хотя они вместе с соответствующей функцией $\phi(z)$ не являются решениями НУШ с кубической нелинейностью (но удовлетворяют уравнению (14б)), тем не менее необходимы для численной проверки уравнения (14а) и поиска решений в частных случаях. Во-вторых, представление указанных функций через эллиптическую функцию Вейерштрасса вместо эллиптических функций Якоби, несмотря на эквивалентность этих представлений, имеет некоторое вычислительное преимущество (см. монографию [9], раздел VII), поскольку при варьировании параметров $a$, $ c_1$, $c_2$, $c_3$ нет необходимости различать случаи разных модулей функции Якоби: для разных комбинаций параметров (см. формулы (24а)–(24д)) каждому случаю соответствуют определенные инварианты $g_{2t}$, $g_{3t}$ и, следовательно, одна функция $\wp(t;g_{2t},g_{3t})$ в (20). Кроме того, поскольку $\wp$ аналитически зависит от инвариантов (см. раздел 18.5 в [11]), удобно изучать зависимость решений (20) от параметра. В-третьих, используя компактное представление функций $h(z)$ и $f(t;g_{2t},g_{3t})$ вместе с анализом фазовой диаграммы, можно выделить сингулярные решения (соответствующие определенным комбинациям параметров) и найти подходящие комбинации параметров для вещественных и ограниченных (“физических”) решений (см. условия (24а)–(24д)). Наконец, известно, что НУШ с кубической нелинейностью имеет широкое применение в физике как модель различных нелинейных процессов. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть заново некоторые результаты, имеющиеся в литературе, в частности в оптике и гидродинамике [12]–[16], где использовался анзац (4). В качестве первого примера рассмотрим пример из работы [15], где двоякопериодические фоновые решения, представленные в [12] (на основе [6]), сравниваются с экспериментальными данными. Авторы работы [15] заявляют “good agreement between theory and experiment” (хорошее согласие теории и эксперимента). Поскольку мы недостаточно компетентны, чтобы оценить детали экспериментальных исследований, отметим только, что коэффициенты Фурье нулевого и первого порядков для функции $Q(t,z)$ (см. уравнение (16) в [15]) сравниваются с экспериментальными данными (см. рис. 3 и 4 в [12]) только за два периода $t$ (“two cycles of evolution” в терминологии работы [12]). Кроме того, расхождения между теорией и экспериментальными данными (см. заштрихованные области на рис. 3 и 4 в [15]) за пределами двух циклов объясняются (в данном случае) несовершенной компенсацией потерь. Как итог, мы предлагаем улучшить “хорошее” согласие между теорией и экспериментом за счет использования правильного анзаца (4) – решения НУШ с кубической нелинейностью. Второй пример представляет собой гидродинамическое приложение результатов работы [6], представленное в [16], где волны-убийцы и модуляционная неустойчивость волнового фона моделируются с помощью фокусирующего НУШ с кубической нелинейностью. При этом в [16] используются решения (2) и (3), которые получены из соотношения (60) (идентичного (3.23) в [7]) вместе с (65) (идентичным (3.26) в [7]) и из соотношений (69), (75) соответственно. За исключением определений переменных $z$ и $t$, решения (2) и (3) из [16] не согласуются с приведенными выше решениями (20), поскольку $g_1(t)$, $g_{\pm}(t)$ не зависят от $z$, а амплитудные функции в (2) и (3) зависят от обеих переменных. Проще говоря, в работе [16] функция $Q(x,t)$ согласно формуле (65) является решением первого уравнения системы (51) (с $\delta^2$, удовлетворяющей равенству $\Theta'=-2(\delta^2+b)$), но является ли она решением второго уравнения системы (51) – открытый вопрос. Пока эта проблема не решена, кажется сомнительным, что статья [16] “opens up a number of new directions in the study of rogue waves modelled by the focusing NLS equation” (открывает ряд новых направлений в изучении волн-убийц, моделируемых фокусирующим НУШ). Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SchSer24} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|