| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
В. Г. Бардаковabc, Т. А. Козловскаяc  , Д. В. Талалаевde a Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия b Новосибирский государственный аграрный университет, Новосибирск, Россия c Региональный научно-образовательный математический центр Томского государственного университета, Томск, Россия d Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия e Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924070031 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеПонятие $n$-значной группы было введено Бухштабером и Новиковым [1] при изучении характеристических классов векторных расслоений. Произведением пары элементов в такой алгебраической системе является $n$-мультимножество (множество $n$ точек с кратностями). Это обобщение структуры группы оказалось весьма плодотворным в топологии [1], алгебраической геометрии [2], теории представлений, комбинаторике, динамических системах и теории чисел [3]. Обзор основных направлений развития теории $n$-значных групп и ее приложений можно найти в работе [4]. $n$-Значные операции встречаются в различных областях математики. Отображение Янга–Бакстера можно рассматривать как двузначную операцию – операцию биарности $(2,2)$ в терминологии теории PROP [5]. В данном случае мы имеем пару бинарных операций над множеством. В теории алгебраических систем часто рассматривают несколько операций одинаковой арности. Приведем несколько примеров такой ситуации. Косым брэйсом называется множество с двумя групповыми операциями, которые удовлетворяют соответствующим аксиомам [6], [7]. В работе [8] были введены брэйсовые системы – множества с семейством групповых операций, обладающих некоторым условиям согласованности. Лодей [9] ввел понятие димоноида – множества с двумя полугрупповыми операциями, связанными набором аксиом. В работе [9] была представлена конструкция свободного димоноида, порожденного заданным множеством. Димоноиды являются примерами дуплексов, которые были введены Пирашвили [10]. Дуплекс – это алгебраическая система с двумя ассоциативными бинарными операциями (эти операции могут быть не связаны друг с другом). Пирашвили построил свободный дуплекс, порожденный заданным множеством. В настоящей статье мы изучаем полугрупповые системы $\mathcal G=(G,*_i,\,i\in I)$ такие, что $(G,*_i)$ – полугруппа для любого $i\in I$. Примером полугрупповой системы с двумя операциями является дуплекс. Полугрупповую систему $\mathcal G$ будем называть $I$-мультиполугруппой (соответственно $I$-мультигруппой), если операции удовлетворяют следующим условиям:
$$
\begin{equation*}
(a*_ib)*_jc=a*_i(b*_jc),\qquad a,b,c\in G,\quad i,j\in I.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $|I|=n$, эту структуру будем называть $n$-мультиполугруппой (соответственно $n$-мультигруппой). Корешков [11] назвал $n$-мультиполугруппу $n$-кратной полугруппой. Мы исследуем связи между $n$-мультигруппами и $n$-значными группами. В частности, мы изучаем условия, при которых групповая система $\mathcal G=(G,*_i,\,i\in I)$, где $|I|=n$, с $n$-значным умножением является $n$-значной группой. В работе доказано, что если во всех группах $(G,*_i)$, $i=1,2,\dots,n$, все единицы равны и $(G,*)$ – $n$-значная группа, тогда $*_i=*_j$ для всех $1\leqslant i,j\leqslant n$. Это означает, что в некотором смысле мультигруппы и многозначные группы являются разными алгебраическими системами.Разделы 3, 4 посвящены квандлам. Напомним, что квандл – это алгебраическая система с бинарной операцией, удовлетворяющая аксиомам, кодирующим три движения Рейдемейстера плоских диаграмм зацеплений в трехмерном пространстве. Квандлы были введены Джойсом [12] и Матвеевым [13], которые показали, что квандл узла является полным инвариантом. Эти объекты демонстрируют глубокую связь с такими областями математики, как теория групп, дискретные интегрируемые системы, алгебры Хопфа [14] и теоретико-множественные решения уравнений Янга–Бакстера. Последнее упоминание особенно важно в контексте преобразований Дарбу и Беклунда в теории нелинейных интегрируемых уравнений [15]. Другой значительный пласт приложений квандловой структуры связан с квантовыми топологическими теориями поля. В фундаментальной статье [16] представлены статсуммы, построенные с помощью квандла и его коциклов, которые являются инвариантами узлов и 2-узлов. Лагранжеву формулировку соответствующих теорий поля, а именно BF-теорий, в которых калибровочная группа $G$ заменяется квандлом, можно найти в работе [17]. В настоящей работе мы вводим и изучаем $n$-значные рэки и квандлы, а также предлагаем некоторые конструкции для них. В частности, мы строим косетный квандл по аналогии с косетной группой в теории многозначных групп. Следующая конструкция является новой: мы доказываем, что если у множества $X$ имеется $n$ квандловых операций $*_i$ таких, что то $n$-значное умножение определяет $n$-значную квандловую структуру на $X$. Множество $X$ с квандловыми операциями $(X,*_1,*_2,\dots,*_n)$, удовлетворяющее аксиомам смешанной ассоциативности (1), будем называть $n$-мультиквандлом. Такие аксиомы возникают при изучении умножения квандловых структур [18].Также в работе рассмотрены квандловые системы $\mathcal Q=(Q,*_i,\,i\in I)$, где $(Q,*_i)$ – квандл для любого $i\in I$, и определено умножение $*_i*_j$ по правилу В общем случае $(Q,*_i*_j)$ не является квандлом, но, если добавить условие
$$
\begin{equation}
(x*_iy)*_jz=(x*_jz)*_i(y*_jz),\qquad (x*_jy)*_iz=(x*_iz)*_j(y*_iz),\quad x,y,z\in Q,
\end{equation}
\tag{2}
$$
тогда $(Q,*_i*_j)$ и $(Q,*_j*_i)$ являются квандлами. Термин $n$-мультиквандл был введен Тураевым [19]. Эта структура имеет естественную топологическую интерпретацию в рамках пар топологических пространств. Отметим, что $n$-мультигруппы также изучались в работе [20]. Другое обобщение квандлов можно найти в работе [21], где определен $n$-арный квандл, являющийся алгебраической системой с $n$-арной алгебраической операцией. Ее аналоги, $n$-алгебры Ли (алгебра с $n$-арными скобками и тождеством Филиппова), были введены в теоретическую физику Намбу [22] с целью обобщения гамильтоновой динамики. Затем они были вновь открыты Филипповым [23], который доказал, что структура, рассматриваемая Намбу, удовлетворяла некоторому обобщению тождества Якоби, которое позже было названо тождеством Филиппова. В работе [21] были рассмотрены $n$-арные квандловые объекты в категории векторных пространств, определена теория когомологий для самодистрибутивных объектов в векторных пространствах, обобщающая теорию когомологий для теоретико-множественного уравнения Янга–Бакстера. Также было показано, что эти когомологии характеризуют теорию деформации самодистрибутивных объектов аналогично случаям ассоциативных алгебр и алгебр Ли. В разделе 5 мы развиваем теорию биалгебр, ассоциированных с $n$-значными квандлами. Условия согласованности умножения и коумножения в таких биалгебрах отличаются от условий в алгебрах Хопфа. Аксиома самодистрибутивности для рэка $X$ имеет вид Как было показано в работе [24], естественным способом расширения самодистрибутивности на $\Bbbk[X]$ является следующее соотношение: где мы используем обозначение Свидлера для коумножения:
$$
\begin{equation*}
\Delta a=\sum_ia_i^{(1)}\otimes a_i^{(2)}=\sum a^{(1)}\otimes a^{(2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Основной результат раздела 5 состоит в том, что пространство функций на $n$-квандле является $n$-корэковой биалгеброй. Это утверждение является аналогом структуры $n$-алгебры Хопфа, связанной с $n$-значной группой [2]. Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 мы напоминаем определение $n$-значной группы и две ее конструкции, вводим $n$-мультигруппы, а также формулируем некоторые свойства этих объектов. В частности, в предложении 1 показано, что если в групповой системе $(G,*_1,*_2,\dots,*_n)$ единичные элементы операций $*_i$ и $*_j$ совпадают, то операции $*_i$ и $*_j$ равны. Предложение 5 показывает связь между решениями уравнения косы с 2-мультиполугруппами. На множестве квадратных матриц над некоторым полем мы определяем некоторые деформации матричного произведения и получаем множество операций. Предложение 2 дает условия, при которых эти операции образуют 2-мультигруппу. В разделе 3 мы напоминаем определения рэков и квандлов, вводим $n$-значные рэки и $n$-значные квандлы, приводим несколько примеров. Мы определяем косетную конструкцию для $ n$-значного квандла, который аналогичен групповой косетной конструкции. В разделе 4 мы предлагаем определения $n$-мультирэка и квандла, приводим некоторые конструкции. В теореме 2 мы показываем, что любой $n$-мультирэк ($n$-мультиквандл) определяет $n$-значный рэк ($n$-значный квандл). В отличие от группового случая, в котором, если у нас есть $n$-мультигруппа такая, что групповые операции имеют общую единицу, эта мультигруппа является $n$-значной группой тогда и только тогда, когда все групповые операции равны. Мы строим линейные 2-мультирэки на множестве целых чисел в предложении 4 и доказываем в предложении 5, что некоторые из этих 2-мультирэков дают решение уравнения косы. В разделе 5 мы изучаем рэковые и корэковые биалгебры и доказываем теорему о наличии структуры $n$-корэковой биалгебры на кольце функций любого $n$-значного рэка. 2. ${n}$-Значные группы и ${n}$-мультигруппыНапомним определение и конструкцию $n$-значных групп, которые можно найти в работе [4]. Пусть $X$ – некоторое непустое множество. $n$-Значное умножение на $X$ задается отображением
$$
\begin{equation*}
\mu\colon X\times X\to(X)^n=Sym^nX,\qquad \mu(x,y)=x*y=[z_1,z_2,\dots,z_n],\quad z_k=(x*y)_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующие аксиомы естественным образом обобщают групповые аксиомы. Ассоциативность. $n^2$-Множества
$$
\begin{equation*}
[x*(y*z)_1,x*(y*z)_2,\dots,x*(y*z)_n],\qquad [(x*y)_1*z,(x*y)_2* z,\dots,(x*y)_n* z]
\end{equation*}
\notag
$$
совпадают для всех $x,y,z\in X$. Единица. Элемент $e\in X$ такой, что для всех $x\in X$.Обратный элемент. Отображение $inv\colon X\to X$ такое, что для всех $x\in X$.Определение 1. $n$-Значной группой называется четверка $\mathcal X=(X,\mu,e,inv)$ такая, что отображение $\mu$ ассоциативно и существуют единичный и обратный элементы. Напомним две конструкции $n$-значных групп. Пусть $G$ – группа с умножением $m$, $A\leqslant\operatorname{Aut}(G)$ и $|A|=n$. Введем пространство орбит $X=G/A$ группы $G$ по действию $A$. Определим $n$-значное умножение $\mu\colon X\times X\to(X)^n$ по правилу где $\pi\colon G\to X$ – каноническая проекция.Тогда $X=G/A$ с умножением $\mu$ является $n$-значной группой с единицей $e_X=\pi(e_G)$ и отображением обращения $inv(x)=\pi((\pi^{-1}(x))^{-1})$. Эту $n$-значную группу называют косетной группой $(G,A)$. Вторая конструкция $n$-значной группы называется бикосетной группой $(G,H)$, где $G$ – группа, а $H$ – ее конечная подгруппа из $n$ элементов. Обозначим через $X$ пространство двойных смежных классов $H\setminus G/H$. Определим $n$-значное умножение $\mu\colon X\times X\to(X)^n$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\mu(x,y)=\{Hg_1H\}*\{Hg_2H\}=[\{Hg_1h g_2 H\},\,h\in H],
\end{equation*}
\notag
$$
а обратный элемент $inv_X(x)=\{Hg^{-1}H\}$, где $x=\{HgH\}$. Алгебраическую систему $\mathcal G=(G,*_i,\,i\in I)$, где $(G,*_i)$ – полугруппа для любого $i\in I$, называют полугрупповой системой. Полугрупповая система с двумя операциями является дуплексом. Алгебраическую систему $\mathcal G$ называют $I$-мультиполугруппой, если операции связаны аксиомой смешанной ассоциативности:
$$
\begin{equation*}
(a*_ib)*_jc=a*_i(b*_jc),\qquad a,b,c\in S,\quad i,j\in I.
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [11] мультиполугруппа с $n$ операциями называется $n$-кратной полугруппой. Замечание 1. В работе [19] были определены несколько однородных алгебраических систем, являющихся обобщением мультиполугрупп. Следующее предложение показывает, что определение $n$-мультигруппы с равными единичными элементами тривиально. Предложение 1. Если единичные элементы $n$-мультигруппы $(G,*_1,*_2,\dots,*_n)$ совпадают для некоторых $i,j\in\{1,2,\dots,n\}$: $e_i=e_j$, то соответствующие операции $*_i=*_j$ также совпадают. Доказательство. Пусть $e=e_i=e_j$, тогда, если в аксиоме смешанной ассоциативности положить $y=e$, мы получаем $x*_jz=x*_iz$ для любых $x,z\in G$. Следовательно, $*_i=*_j$. Приведем несколько примеров $n$-мультигрупп. Пример 1. Пусть $A$ – векторное пространство с двумя бинарными ассоциативными алгебраическими операциями $\circ_1$, $\circ_2$ такими, что выполнены следующие две аксиомы: для всех $a,b,c\in A$. В частности, если $\circ_1=\circ_2$, эти аксиомы выполняются. Можно определить $2$-значное умножение на $A$: Эта операция ассоциативна.Аксиомы смешанной ассоциативности (3) эквивалентны условию коцикла Хохшильда и позволяют определить деформации обеих операций $\circ_1$ и $\circ_2$ по формулам
$$
\begin{equation*}
a(\circ_1)_tb=a\circ_1b+t(a\circ_2 b),\qquad a(\circ_2)_t b=t(a\circ_1b)+a\circ_2 b.
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем мы воспользуемся этой идеей для построения некоторых операций над множеством матриц. Пусть $M_n(\Bbbk)$ – кольцо матриц над полем $\Bbbk$. Зафиксируем матрицу $M\in M_n(\Bbbk)$ и определим умножение $m_t\colon M_n(\Bbbk)\times M_n(\Bbbk)\to M_n(\Bbbk),$
$$
\begin{equation*}
m_t(A,B)=AB+tAMB,\qquad t\in\Bbbk,\quad A,B\in M_n(\Bbbk).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда мы можем определить 2-значное умножение
$$
\begin{equation*}
\mu(A,B)=(m_{t_1}(A, B),m_{t_2}(A, B)),\qquad m_{t_i}(A,B)=AB+t_iAMB,\quad t_i\in\Bbbk,\quad i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Получим следующее предложение. Предложение 2. 1. Двузначное умножение $\mu(A,B)$ ассоциативно. 2. Произведение $AB$ в $M_n(\Bbbk)$ имеет единицу $E$, заданную единичной матрицей. Произведение $AMB$ имеет единичный элемент $M^{-1}$, который является обратной матрицей в кольце $M_n(k)$. 3. Обратная матрица к $A$ при умножении $\nu(A,B)=AMB$ равна $M^{-1}A^{-1}M^{-1}$. Пример 2 (решение уравнения косы). Пусть $(S,\,\cdot\,)$ – полугруппа с единицей. Тогда $R(a,b)=(1,ab)$ дает вырожденное решение уравнения косы: Если мы введем новую операцию на $S$ по правилу $a\circ b=1$, то $(S,\,\circ\,)$ – полугруппа без единицы. Мы можем определить 2-значное умножение $a*b=[a\circ b,ab]$, $a,b\in S$. Это умножение не является ассоциативным. Действительно, если $c\ne 1$, то 3. ${n}$-Значные рэки и квандлы3.1. Определения и примерыНапомним определения рэковых и квандловых структур (см. [12], [13]). Определение 2. Квандлом называется непустое множество $Q$ c бинарной операцией $(x,y)\mapsto x*y$, удовлетворяющее следующим аксиомам. Алгебраическая система, удовлетворяющая только двум аксиомам квандла (Q2) и (Q3), называется рэком. Многие интересные примеры квандлов возникают в теории групп и демонстрируют связь между ними.
Квандл $Q$ называется тривиальным, если $x*y=x$ для всех $x,y\in Q$. В отличие от групп, тривиальный квандл может иметь произвольное число элементов. Обозначим через $\operatorname{T}_n$ $n$-элементный тривиальный квандл, а через $\operatorname{T}$ – произвольный тривиальный квандл. Заметим, что аксиомы (Q2) и (Q3) эквивалентны тому, что отображение $S_x\colon Q\to Q$, заданное формулой $S_x(y)=y*x$, является автоморфизмом $Q$ для каждого $x\in Q$. Эти автоморфизмы называются внутренними автоморфизмами, а группа, порожденная всеми такими автоморфизмами, обозначается $\operatorname{Inn}(X)$. По аналогии с $n$-значными группами введем $n$-значные рэки и $n$-значные квандлы. Определение 3. $n$-Значным рэком называется тройка $\mathcal X=(X,*,\bar *)$, где $X$ – непустое множество с $n$-значными умножениями $*$ и $\bar *$ такими, что т. е. $x*y$ и $x\mathop{\bar *}y$ – мультимножества в $Sym^n(X)$ такие, что выполняются следующие аксиомы. (M1) Обратимость: $\forall\,x,y\in X$ элемент $x$ лежит в $n^2$-мультимножестве $(x*y)\mathop{\bar *}y$, а также в $n^2$-мультимножестве $(x\mathop{\bar *}y)\mathop{*}y$. (M2) Самодистрибутивность: $\forall\,x,y,z\in X$ $n^2$-мультимножество $(x*y)*z$ является подмножеством $n^3$-мультимножества $(x*z)*(y*z)$. $n$-Значный рэк $\mathcal X=(X,*,\bar *)$ называется $n$-значным квандлом, если дополнительно выполняется следующая аксиома. (M3) Идемпотентность: $\forall\,x\in X$ мультимножество $x*x$ содержит $x$. Пример 3. Пусть $G$ – группа, а $I$ – подмножество целых чисел. Для любого $i\in I$ определим $i$-сопряженный квандл $\operatorname{Conj}_i(G)$ на $G$. Если $I$ конечно и содержит $n$ элементов, мы можем определить $n$-значное умножение В этом случае $g\mathop{\bar *}h=[g\mathop{\bar *_i}h,\,i\in I]$. Нетрудно проверить, что это $n$-значный квандл. 3.2. Косетная конструкцияДля квандлов существует аналог групповой косетной конструкции. Пусть $Q$ – квандл с умножением $m$ и обратной к нему операцией $\overline m$. Это означает, что для любых $q,h\in Q$ справедливо следующее равенство: Пусть $A\subset\operatorname{Aut}(Q)$ – подгруппа порядка $n$. Тогда пространство орбит $X=Q/A$ можно наделить $n$-значным умножением $\mu\colon X\times X\to(X)^n$ по правилу где $\pi\colon Q\to X$ – каноническая проекция.По аналогии с теорией групп (см. [4]) нетрудно доказать следующую теорему. Теорема 1. Умножение $\mu$ определяет $n$-значную квандловую структуру в пространстве орбит $X=Q/A$, которая называется косетным $n$-значным квандлом $(G,A)$, с обратной операцией Пример 4. Рассмотрим сопряженный квандл $Q=\operatorname{Conj}(S_3)$ на симметрической группе $S_3$ и подгруппу внутренних автоморфизмов $A\subset\operatorname{Inn}(Q)$, порожденную умножением на $s_1$. Очевидно, что $A\cong S_2$. Орбиты $Q$ под действием $A$ следующие: Эти классы обозначим соответственно через $x_0$, $x_1$, $x_2$, $x_3$. Таблица умножения $2$-значного квандла имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline Q/A & x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ \hline \hline x_0 & [x_0,x_0] & [x_0,x_0] & [x_0,x_0] & [x_0,x_0] \\ x_1 & [x_1,x_1] & [x_1,x_1] & [x_2,x_2] & [x_2,x_2] \\ x_2 & [x_2,x_2] & [x_2,x_2] & [x_1,x_2] & [x_1,x_2]\\ x_3 & [x_3,x_3] & [x_3,x_3] & [x_3,x_3] & [x_3,x_3]\\ \hline \end{array}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пример 5. Напомним конструкцию косетной 2-значной группы на $\mathbb Z$ (см. [4]). Пусть $(\mathbb Z,+)$ – бесконечная циклическая группа, $A=\{\operatorname{id},-\operatorname{id}\}$ – ее группа автоморфизмов. Пространство орбит можно отождествить с множеством целых неотрицательных чисел $\mathbb Z_+$ с $2$-значным умножением заданным формулой Построим косетный 2-значный квандл на $Q=\operatorname{Core}(\mathbb Z)$. Пусть $\varphi\in\operatorname{Aut}(Q)$, $\varphi(a)=-a$, $a\in\mathbb Z$. Пространство орбит $X=\{\{a,-a\}\mid a\in\mathbb Z\}$ с 2-значным умножением
$$
\begin{equation*}
\{a,-a\}*\{b,-b\}=[\{2b-a,-2b+a\},\{2b+a,-2b-a\}],\qquad a,b,c\in\mathbb Z,
\end{equation*}
\notag
$$
дает косетный 2-значный квандл. Отождествим пространство орбит с множеством целых неотрицательных чисел $\mathbb Z_+$ с $2$-значным умножением заданным формулой4. МультирэкиОпределение $I$-мультирэка можно найти в работе [19]. Непустое множество $X$ с рэковыми (квандловыми) операциями $*_i$, $i\in I$, называется $I$-мультирэком ($I$-мультиквандлом), если для любого $i,j\in I$ справедливы аксиомы дистрибутивности Если $|I|=n$, то $X$ будем называть $n$-мультирэком ($n$-мультиквандлом). Если $(X,*_1,*_2,\dots,*_n)$ – $n$-мультирэк, то мы можем определить $n$-значный рэк $(X,*)$ с операцией В предложении 1 показано, что если две единицы $e_i$ и $e_j$ в $n$-мультигруппе $(G,*_1, *_2,\dots,*_n)$ совпадают, то совпадают и операции $*_i$ и $*_j$. Следующая теорема показывает, что в случае квандлов ситуация иная. Теорема 2. Пусть $X$ – непустое множество с $n$ квандловыми (рэковыми) операциями $*_i$ такое, что для любой пары $1\leqslant i,j\leqslant n$ выполняются следующие тождества: Тогда $n$-значное умножение определяет $n$-значную квандловую (рэковую) структуру на $X$. В частности, если мы возьмем степени квандловой операции, то выполняются аксиомы (4) и имеет место Следствие 1. Пусть $(Q,\,\circ\,)$ – $n$-квандл ($q*^nh=q \ \forall\, q, h \in Q$). Определим $n$-значное умножение на $Q$ по формуле Тогда $(Q,*)$ – $n$-значный квандл. Замечание 2. Основным прототипом понятия $n$-значных квандлов является понятие $n$-значной группы. Однако известен другой вариант многозначной структуры в контексте квандлового произведения, разработанный в работе [18]. Предположим, что $(X,*_1)$ и $(X,*_2)$ – квандловые структуры на множестве $X$. Тогда их квандловое произведение $(X,*_1)\circ(X,*_2)=(X,*_1*_2)$ является алгебраической системой на множестве $X$ с операцией В общем случае эта алгебраическая система не является квандлом. Но если операция $*_2$ является дистрибутивной относительно $*_1$, то $(X,*_1*_2)$ – квандл. Если операция $*_2$ дистрибутивна относительно $*_1$ и наоборот, то можно определить операцию $*_1^{n_1}*_2^{m_1}\dotsb *_1^{n_k}*_2^{m_k}$, где $n_i$ и $m_i$ – целые числа. Эта операция определяет квандл на $X$, и на множестве этих квандлов существует абелева групповая структура. Единичный элемент этой группы – тривиальный квандл на $X$. Этот результат поясняет аксиому (M1) в определении 3.4.1. $2$-Мультирэки на множестве $\mathbb Z$В этом подразделе мы предъявим несколько 2-мультирэковых операций на множестве целых чисел $\mathbb Z$. Операция ${x* y}=2y-x$ задает квандловую структуру на основном квандле $\operatorname{Core}\mathbb Z$. Рассмотрим операцию
$$
\begin{equation*}
x \underset{\varepsilon,a,b}{*}y=\varepsilon x+ay+b,\qquad x,y\in\mathbb Z,
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $\varepsilon\in\{\pm 1\}$, $a,b\in\mathbb Z$. Эту операцию можно рассматривать как деформацию операции $*$. Предложение 3. 1. Множество целых чисел $\mathbb Z$ с операцией является квандлом тогда и только тогда, когда это тривиальный квандл: $\varepsilon=1$, $b=0$, или основной квандл с операцией $x*y=-x+2y$. 2. На множестве целых чисел операция определяет рэк для $\varepsilon\in\{\pm 1\}$, $b\in\mathbb Z$.Рэковые операции из предложения 3 будем называть линейными операциями. В следующем предложении приведены все 2-мультирэки на множестве $\mathbb Z$ с линейными операциями. Предложение 4. Пусть $b$, $b_1$ и $b_2$ – целые числа. Следующие пары умножений определяют 2-мультирэки на $\mathbb Z$: 1) $x*_1y=x$, $x*_2y=x$; 2) $x*_1y=2y-x$, $x*_2y=x$; 3.1) $x*_1y=x+b_1$, $x*_2y=x+b_2$; 3.2) $x*_1y=x$, $x*_2y=-x+b$; 3.3) $x*_1y=-x+b$, $x*_2y=x$; 3.4) $x*_1y=-x+b$, $x*_2y=-x+b$. Доказательство. 1. Из предложения 3 следует, что все эти операции являются рэковыми операциями. Проверим аксиомы дистрибутивности, Очевидно, что для тривиальных умножений из случая 1 аксиомы верны. 2. Первая операция определяет основной квандл, а вторая операция – тривиальный. Следовательно, аксиомы дистрибутивности имеют вид Тождества выполняются.3. Из предложения 3 следует, что операции
$$
\begin{equation*}
x*_1y=\varepsilon_1x+b_1,\qquad x*_2y=\varepsilon_2x+b_2,\quad x,y\in\mathbb Z,
\end{equation*}
\notag
$$
определяют рэки на множестве $\mathbb Z$. Найдем условия на $\varepsilon_1,\varepsilon_1\in\{\pm 1\}$ и $b_1,b_2\in\mathbb Z$, при которых выполняются аксиомы (5). В частности, должно выполняться равенство В зависимости от значений $\varepsilon_i$ рассмотрим четыре случая. Случай 1: $\varepsilon_1=\varepsilon_2=1$. В этом случае имеем равенство которое верно для любого $b_1$ и $b_2$. Таким образом, в случае 3.1 получим 2-мультирэк.Случай 2: $\varepsilon_1=1$, $\varepsilon_2=-1$. Тогда $b_1=0$, и в случае 3.2 имеем 2-мультирэк. Случай 3: $\varepsilon_1=-1$, $\varepsilon_2=1$. Этот случай аналогичен предыдущему. Имеет место случай 3.3. Случай 4: $\varepsilon_1=\varepsilon_2=-1$. В данном случае $b_1=b_2$, следовательно, получим 2-мультирэк из случая 3.4. Для того чтобы доказать, что это единственные 2-мультирэки на $\mathbb Z$ с линейными операциями, нужно рассмотреть все остальные пары операций из предложения 3 и проверить аксиомы (5). 4.2. $2$-Мультирэки и решения уравнения косыИзвестно, что любой рэк $(X,*)$ определяет решение уравнения косы
$$
\begin{equation*}
(R\times\operatorname{id})(\operatorname{id}\times R)(R\times\operatorname{id}) =(\operatorname{id}\times R)(R\times\operatorname{id})(\operatorname{id}\times R)
\end{equation*}
\notag
$$
с помощью отображения $R(x,y)=(x\mathop{*}y,x)$. Можно считать, что $(X,*)$ – 2-мультирэк $(X,*_1,*_2)$, где $ x*_1y=x*y$, а второе умножение тривиально, $x*_2y=x$. Вопрос. Для каких 2-мультирэков $(X,*_1,*_2)$ с нетривиальными операциями отображение $R\colon X\times X\to X \times X$, $R(x,y)=(x*_1y,x*_2y)$ дает решение уравнения косы? Условия на эти операции можно найти в [25]. Анализируя линейные 2-мультирэки из предложения 4, получим Предложение 5. Следующие отображения $R\colon\mathbb Z\times\mathbb Z\to\mathbb Z\times\mathbb Z$ дают решения уравнения косы на $\mathbb Z$: 1) $R(x,y)=(x,y)$; 2.1) $R(x,y)=(2y-x,x)$; 2.2) $R(x,y)=(y,2x-y)$; 3) $R(x,y)=(x,-x+b)$, где $b$, $b_1$ и $b_2$ – целые числа. Замечание 3. Предложение 5 справедливо, если заменить $\mathbb Z$ на любую абелеву группу. 5. Рэковые биалгебры и их приложения5.1. БиалгебрыНапомним определение групповой алгебры $n$-значной группы (см. [2]). Пусть $X=\{x_i\}$ – $n$-значная группа с умножением тогда групповая алгебра $\Bbbk[X]$ – это векторное пространство над $\Bbbk$ с базисом, отождествляемым с элементами из $X$, и умножением, которое определяется на базисных векторах по правилу Рассмотрим двойственный объект $C(X)$ – алгебру функций $f\colon X\to\Bbbk$. На нем определено коассоциативное коумножение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta\colon C(X)&\to C(X)\otimes C(X), \\ \Delta f(x,y)&=\sum_{i=1}^nf(z_i). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Невырожденное спаривание $\Bbbk[X]\otimes C(X)\to\Bbbk$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\biggl(\sum_i\alpha_ix_i,f\biggr)=\sum_i\alpha_if(x_i),\qquad \alpha_i\in\Bbbk.
\end{equation*}
\notag
$$
Коумножение $\Delta$ – это двойственное отображение для умножения (6). Коассоциативность $\Delta$ и ассоциативность умножения (6) являются следствием ассоциативности $n$-значной группы $X$. Напомним определение $n$-гомоморфизма из работы [4]. Для пары $(A,B)$, где $A$ – алгебра, $B$ – коммутативная алгебра, следовым отображением назовем отображение $f\colon A\to B$, являющееся линейным гомоморфизмом (гомоморфизм векторных пространств), для которого $f(ab)=f(ba)$. Тогда можно определить серию полилинейных производных гомоморфизма $f$ по следующему рекуррентному правилу:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi_1(f)&=f, \\ \Phi_2(f)(a_1,a_2)&=f(a_1)f(a_2)-f(a_1 a_2), \\ \dots&\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots, \\ \Phi_{k+1}(f)(a_1,\dots,a_{k+1}) &=f(a_1)\Phi_k(f)(a_2,\dots,a_{k+1}) -\sum_{i=2}^{k+1}\Phi_k(f)(a_2,\dots,a_1 a_i,\dots,a_{k+1}), \\ \dots&\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\;. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 4. Линейный гомоморфизм $f\colon A\to B$ называется $n$-гомоморфизмом Фробениуса, если выполняются следующие два условия: Замечание 4. Заметим, что алгебра функций на многозначной группе $C(X)$ является алгеброй и коалгеброй. Однако способ согласования этих структур отличается от биалгебр (в частности, от алгебр Хопфа). В этом случае коумножение является $n$-гомоморфизмом структуры умножения (лемма 12 из [4]). 5.2. Пространства инвариантных функций и $n$-хопфовы структурыПонятие $n$-биалгебры Хопфа получает естественную интерпретацию в терминах пространств инвариантных функций. Предположим, что $G$ – группа, а $B$ – ее подгруппа. Обозначим через $C(G)^B$ множество $\Bbbk$-значных функций на $G$, инвариантных относительно присоединенного действия $B$, т. е.
$$
\begin{equation*}
C(G)^B=\{f\colon G\to\Bbbk\mid f(g)=f(b^{-1}gb) \text{ для любых } g\in G,\,b\in B\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Коумножение $\Delta$ на $C(G)$ определяется по правилу В общем случае нельзя ограничить это коумножение на $C(G)^B$. Однако известно следующее Предложение 6. Пусть $B$ – центральная подгруппа группы $G$. Коумножение $\Delta\colon C(G)^B\to C(G)^B\otimes C(G)^B$ можно определить по правилу В случае конечной подгруппы $B$ имеется обобщение конструкции (также существует версия для компактной подгруппы). Предложение 7. Предположим, что $B$ является конечной подгруппой $G$. Тогда для любого $f\in C(G)^B$ коумножение лежит в $C(G)^B\otimes C(G)^B$. Доказательство. Проверим, что функция $\Delta f$ инвариантна относительно сопряжения $h\in B$ по первому аргументу: Проверим, что функция $\Delta f$ инвариантна относительно сопряжения по второму аргументу: Во втором равенстве используется условие $f\in C(G)^B$. Замечание 5. Эта конструкция дает интерпретацию косетной конструкции $n$-значной группы и ее групповой $n$-алгебры Хопфа. Пример 6. Пусть $G=SL_2(\mathbb Z_2)$ – специальная линейная группа над полем из двух элементов. Выпишем все элементы $G$ и их порядки: $B=\{E,A_2\}$ является борелевской подгруппой $G$. Отметим, что Очевидно, что отображение $SL_2(\mathbb Z_2)\to S_3$ в симметрическую группу $S_3$, заданное формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_1\longmapsto(12),\quad A_2\longmapsto(23),\quad A_3\longmapsto(13), \\ C_1\longmapsto(123),\quad C _2\longmapsto(132), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
является изоморфизмом. Рассмотрим действие группы $B$ на $G$ сопряжением. Получим четыре орбиты, $G/B=\{\bar e,\bar{(12)},\bar{(23)},\bar{(123)}\}$. Следовательно, $C(G)^B=\mathbb Z_2^4$. Данный пример совпадает с примером 4. 5.3. Рэковые биалгебрыКаждому конечному квандлу $(Q,*)$ можно поставить в соответствие биалгебру $\Bbbk[Q]$, являющуюся линейным пространством, порожденным элементами квандла. Обозначим базис теми же буквами $e_i$, что и элементы $Q$. Билинейное умножение определяется на порождающих следующим образом: линейное коумножение принимает видНетрудно проверить, что $\Delta$ и $m$ удовлетворяют следующим условиям.
$$
\begin{equation}
\Delta a=\sum_ia_i^{(1)}\otimes a_i^{(2)}=\sum a^{(1)}\otimes a^{(2)}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Определим двойственную структуру в пространстве функций на рэке $Q$ со значениями в $\Bbbk$. Это пространство $C(Q)$ имеет коммутативное и ассоциативное поточечное умножение Введем операцию умножения $m\colon C(Q)\otimes C(Q)\to C(Q)$. Коумножение двойственно умножению рэка Эти операции согласованы в следующем смысле.
Определение 5. Линейное пространство $A$ называется корэковой биалгеброй, если на $A$ определены две операции $m\colon A\otimes A\to A$ и $\Delta\colon A\to A\otimes A$ такие, что умножение $m$ ассоциативно и условия (11), (12) выполнены. Обобщим определение $n$-биалгебр на случай корэковых биалгебр. Определение 6. Линейное пространство $A$ называется $n$-корэковой биалгеброй, если в определении 5 заменить (11) условием того, что $\Delta$ является $n$-гомоморфизмом умножения $m$. Доказательство. Рассуждение полностью аналогично случаю $n$-групп. Докажем, что $\Delta$ является $n$-гомоморфизмом $C(Q)$ (как алгебры). Вычислим производные коумножения: 6. Заключение
БлагодарностиАвторы благодарят В. М. Бухштабера за полезные обсуждения и рецензента за ссылки на работы [17] и [21]. Конфликт интересовАвторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BarKozTal24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|