| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) О разрушении решения одной М. В. Артемьеваa, М. О. Корпусовab a Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия b Российский университет дружбы народов, Москва, Россия
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924050040 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеСовременные радиоинформационные системы (РИС), решающие задачи мониторинга космического пространства, характеризуются большим числом плотно расположенной радиоэлектронной аппаратуры (РЭА), непрерывным функционированием в течение длительного времени, а также высокими требованиями к надежности. При работе структурно сложной РИС в теплонапряженных режимах резко возрастает тепловыделение в РЭА за счет высокой токовой нагрузки. Повышение тепловыделения влечет за собой перегрев аппаратуры и, как следствие, снижение надежности изделия [1], а также увеличение вероятности отказов аппаратуры. Данные обстоятельства обуславливают необходимость исследования нелинейных тепловых процессов в полупроводнике, а также построения и изучения тепло-электрической модели полупроводника. Настоящая работа продолжает исследования, начатые в работах [2]–[6]. В работе [6] была предложена тепло-электрическая модель разогрева полупроводника, которая сводилась к рассмотрению следующего неклассического уравнения третьего порядка:
$$
\begin{equation}
\frac{\varepsilon_0\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+ \frac{\partial}{\partial t}\biggl(-\frac{\varepsilon}{4\pi}\Delta\phi+\varepsilon_0\sigma\phi\biggr)-\sigma\Delta\phi= \frac{\varepsilon\gamma}{8\pi}\frac{\partial}{\partial t}|D_x\phi|^2.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
В работе [6] мы показали, что при $\sigma=0$, т. е. в случае диэлектрика, тепловой разогрев не приводит к возникновению теплового или электрического пробоя, а решение задачи существует глобально во времени вне зависимости от величины начальных распределений электрического потенциала $\phi_0(x)$ и температуры $\psi_0(x)$. В настоящей работе мы рассмотрели частный случай уравнения (1.1) при $\varepsilon_0=0$ в $(1+1)$-мерном случае:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\biggl(\phi_{xx}+\frac{\gamma}{2}|\phi_x|^2\biggr)+\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon}\phi_{xx}=0.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Для задачи на отрезке $x\in[0,L]$ с граничными условиями
$$
\begin{equation}
\phi(0,t)=\mu_0(t),\qquad \phi_x(0,t)=\mu_1(t),\qquad \phi(x,0)=\phi_0(x)
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
мы получили результат о существовании непродолжаемого во времени классического решения, а также получили достаточные условия разрушения решений за конечное время, что с физической точки зрения означает возникновение электрического “пробоя”.
2. Вывод уравненияВ приближении квазистационарного электрического поля справедливы следующие уравнения (см. [7]):
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}\mathbf{D}=-4\pi n,\qquad \operatorname{rot}\mathbf{E}=0,\qquad \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\mathbf{D}$ – вектор индукции электрического поля, $\mathbf{E}$ – вектор напряженности электрического поля, $n$ – плотность свободных зарядов, причем в случае поверхностной односвязности границы $\Gamma$ определен потенциал электрического поля $\phi$ Поскольку полупроводник, очевидно, является проводящей средой, мы должны дополнить уравнения (2.1) уравнением для тока свободных зарядов, которое имеет следующий вид [7]:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial n}{\partial t}=\operatorname{div}\mathbf{J},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\mathbf{J}$ – вектор тока свободных зарядов. При этом учтем тепловой разогрев полупроводника [8], [9]:
$$
\begin{equation}
\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}-\gamma\nabla\psi,\qquad \sigma\geqslant 0,\quad\gamma\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $\psi$ – температура в полупроводнике. Для температуры $\psi$ имеет место уравнение теплопроводности с тепловым нагревом за счет электрического поля $\mathbf{E}$ следующего вида [8]:
$$
\begin{equation}
\varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+(\mathbf{J},\mathbf{E}),
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где параметр $\varepsilon_0>0$ имеет вид число $\varepsilon_1>0$ фиксировано, а параметр $\alpha>0$ достаточно велик. Из уравнений (2.1)–(2.5) вытекает следующая система уравнений:
$$
\begin{equation}
\frac{\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi+\sigma\Delta\phi+\gamma\Delta\psi=0,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
\varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+\sigma|D_x\phi|^2+\gamma(D_x\phi,D_x\psi).
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Мы рассмотрим $(1+1)$-мерный случай системы уравнений (2.6), (2.7):
$$
\begin{equation}
\frac{\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial}{\partial t}\phi_{xx}+\sigma\phi_{xx}+\gamma\psi_{xx}=0,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
$$
\begin{equation}
\varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\psi_{xx}+\sigma|\phi_x|^2+\gamma\phi_x\psi_x.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
В дальнейшем мы будем рассматривать систему уравнений в прямоугольнике $(x,t)\in[0,L]\times[0,T]$ с граничными условиями в точке $x=0$ отрезка $[0,L]$:
$$
\begin{equation}
\phi(0,t)=\mu_0(t),\qquad \phi_x(0,t)=\mu_1(t),\qquad t\in[0,T],
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
$$
\begin{equation}
\psi(0,t)=\nu_0(t),\qquad \psi_x(0,t)=\nu_1(t),\qquad t\in[0,T].
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Проинтегрируем последовательно равенство (2.8) два раза по $x\in[0,L]$ и получим два равенства:
$$
\begin{equation}
\frac{\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial}{\partial t}\phi_x+\sigma\phi_x+\gamma\psi_x=k_1(t),
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial}{\partial t}\phi+\sigma\phi+\gamma\psi=k_2(x,t),
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
$$
\begin{equation}
k_1(t) :=\frac{\varepsilon}{4\pi}\mu_1'(t)+\sigma\mu_1(t)+\gamma\nu_1(t),
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
$$
\begin{equation}
k_2(x,t) :=xk_1(t)+\frac{\varepsilon}{4\pi}\mu_0'(t)+\sigma\mu_0(t)+\gamma\nu_0(t).
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Справедлива цепочка равенств
$$
\begin{equation}
\varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t} =\psi_{xx}+(\sigma\phi_x+\gamma\psi_x)\phi_x,
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
$$
\begin{equation}
\varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t} =\psi_{xx}+k_1(t)\phi_x-\frac{\varepsilon}{8\pi}\frac{\partial}{\partial t}(\phi_x)^2,
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
$$
\begin{equation}
\varepsilon_0\frac{\partial\gamma\psi}{\partial t} =\gamma\psi_{xx}+\gamma k_1(t)\phi_x-\frac{\varepsilon\gamma}{8\pi}\frac{\partial}{\partial t}(\phi_x)^2.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Положим в равенстве (2.18) параметр $\varepsilon_0=0$ и получим
$$
\begin{equation}
\gamma\psi_{xx}+\gamma k_1(t)\phi_x-\frac{\varepsilon\gamma}{8\pi}\frac{\partial}{\partial t}(\phi_x)^2=0.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Из (2.19) с учетом (2.8) получим искомое уравнение:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\biggl(\phi_{xx}+\frac{\gamma}{2}(\phi_x)^2\biggr)-\frac{4\pi\gamma}{\varepsilon}k_1(t)\phi_x+\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon}\phi_{xx}=0.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Ниже мы рассмотрим случай $k_1(t)=0,$ т. е. уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\biggl(\phi_{xx}+\frac{\gamma}{2}(\phi_x)^2\biggr)+\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon}\phi_{xx}=0.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
3. Постановка задачиВ дальнейшем мы будем изучать следующую задачу:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}(u_{xx}+(u_x)^2)+u_{xx}=0,\qquad (x,t)\in[0,L]\times[0,T],
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
u(0,t)=\mu_0(t),\qquad u_x(0,t)=\mu_1(t),\qquad t\in[0,T],
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Дадим определение классического решения задачи (3.1)–(3.3). Определение 1. Классическим решением задачи (3.1)–(3.3) называется функция $u(x,t)\in C^{(1)}([0,T];C^{(2)}[0,L])$, которая поточечно удовлетворяет равенствам (3.1)–(3.3), причем в граничных точках производные понимаются в соответствующих односторонних смыслах. В задаче (3.1)–(3.3) сделаем замену Получим задачу
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}(v_{x}+(v)^2)+v_{x}=0,\qquad (x,t)\in[0,L]\times[0,T],
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
причем Функция (3.8) удовлетворяет начальному условию (3.3) тогда и только тогда, когда выполнено условие согласования
4. Локальная разрешимостьЕсли $v(x,t)\in{C}^{(1)}([0,T];C^{(1)}[0,L])$ – решение задачи (3.5)–(3.7), причем $u_0(x)\in C^{(2)}[0,L]$ и $\mu_1(t)\in C^{(1)}[0,T]$, то справедливы следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}v_{x}+v_x =-\frac{\partial}{\partial t}v^2,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
e^{-t}\frac{\partial}{\partial t}(e^tv_x) =-\frac{\partial}{\partial t}v^2,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}(e^tv_x) =-\frac{\partial}{\partial t}(e^tv^2)+e^tv^2.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Интегрируя равенство (4.3) по времени с учетом (3.7), получим
$$
\begin{equation}
v_x(x,t)=[u_{0xx}(x)+(u_{0x}(x))^2]e^{-t}+\int_0^te^{-(t-\tau)}v^2(x,\tau)\,d\tau-v^2(x,t).
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Интегрируя по $x$ равенство (4.4) с учетом (3.6), получим нелинейное интегральное уравнение Вольтерры
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v(x,t)={}&\mu_1(t)+\biggl[u_{0x}(x)-u_{0x}(0)+\int_0^x(u_{0y}(y))^2\,dy\biggr]e^{-t}-{} \notag \\ &-\int_0^xv^2(y,t)\,dy+\int_0^t\int_0^xe^{-(t-\tau)}v^2(y,\tau)\,dy\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Заметим, что если выполнено условие согласования
$$
\begin{equation}
\mu_1(0)=u_{0x}(0),\qquad u_0(x)\in C^{(2)}[0,L],\qquad \mu_1(t)\in C^{(1)}[0,T],
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
то решение $v(x,t)\in C([0,T];C[0,L])$ интегрального уравнения (4.5) принадлежит классу $v(x,t)\in{C}^{(1)}([0,T];C^{(1)}[0,L])$ и удовлетворяет граничным условиям (3.6) и (3.7). Перепишем интегральное уравнение (4.5) в следующем абстрактном виде:
$$
\begin{equation}
v(x,t)+G(v^2)(x,t)=h(x,t)+\int_0^te^{-(t-\tau)}G(v^2)(x,\tau)\,d\tau,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
$$
\begin{equation}
h(x,t):=\mu_1(t)+\biggl[u_{0x}(x)-u_{0x}(0)+\int_0^x(u_{0y}(y))^2\,dy\biggr]e^{-t},
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Рассмотрим банахово пространство $C[0,L]$ относительно нормы и банахово пространство $\mathscr{L}(C[0,L],C[0,L])$ относительно операторной нормы
$$
\begin{equation}
\| G(v)\|_{C\mapsto C}:=\sup_{\| v\|_C=1}\| G(v)\|_{C}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
В частности, для оператора определенного равенством (4.9), справедлива оценка Рассмотрим также оператор
$$
\begin{equation}
Q_1(z)(x)=z^2(x),\qquad Q_1:\;C[0,L]\rightarrow C[0,L].
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Очевидно, что Поэтому имеем
$$
\begin{equation}
Q'_{2f}(v)\cdot g=G(Q'_{1f}(v)\cdot g)=2\int_0^xv(y)g(y)\,dy.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Доказательство. Сначала докажем, что справедливо неравенство Рассмотрим оператор который является непрерывно дифференцируемым на любой окрестности При этом оператор в силу оценки (4.23) обратим, причем
$$
\begin{equation}
[P'_f(v_0)]^{-1} =\sum_{m=0}^{+\infty}(-1)^m[Q'_{2f}(v_0)]^m,
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
$$
\begin{equation}
\|[P'_f(v_0)]^{-1}\|_{C\mapsto C} \leqslant \sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(2L)^m}{m!}\| v_0\|^m_{C}.
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
Поэтому оператор $P'_{f}(v_0)$ взаимно однозначно отображает банахово пространство $C[0,L]$ на $C[0,L]$. С одной стороны, в классе $v(x,t)\in C^{(1)}([0,T];C^{(1)}[0,L])$ продифференцируем равенство (4.7) по времени и получим в абстрактном смысле равенство
$$
\begin{equation}
(I+Q'_{2f}(v))\frac{dv}{dt}=\frac{d h}{d t}(t)+Q_2(v)(t)-\int_0^te^{-(t-\tau)}Q_2(v)(\tau)\,d\tau.
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
С другой стороны, в силу доказанной уже обратимости оператора $I+Q'_{2f}(v)$ соотношение (4.28) эквивалентно следующему равенству:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{dv}{dt}={}&(I+Q'_{2f}(v))^{-1}\frac{d h}{d t}(t)+(I+Q'_{2f}(v))^{-1}Q_2(v)(t)-{} \notag \\ &-(I+Q'_{2f}(v))^{-1}\int_0^te^{-(t-\tau)}Q_2(v)(\tau)\,d\tau, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
которое, в свою очередь, эквивалентно следующему абстрактному интегральному уравнению:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v(t)=Q(v)(t),\qquad Q(v){}&(t):=u_{0x}(x)+\int_0^t(I+Q'_{2f}(v)(\tau))^{-1}\frac{d h}{d \tau}(\tau)\,d\tau+{} \notag \\ &+\int_0^t(I+Q'_{2f}(v)(\tau))^{-1}Q_2(v)(\tau)\,d\tau-{} \notag \\ &-\int_0^t\int_0^{\tau}e^{-(\tau-\sigma)}(I+Q'_{2f}(v)(\tau))^{-1} Q_2(v)(\sigma)\,d\sigma\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Заметим, что справедливо равенство (см. [10], лемма 1, гл. 7):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (I+{}& Q'_{2f}(v_1))^{-1}-(I+Q'_{2f}(v_2))^{-1}={} \notag \\ &=(I+Q'_{2f}(v_2))^{-1}\sum_{m=1}^{+\infty}[(Q'_{2f}(v_2)-Q'_{2f}(v_1)) (I+Q'_{2f}(v_2))^{-1}]^m. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
При этом в силу (4.27) имеем
$$
\begin{equation}
\|(I+Q'_{2f}(v_k))^{-1}\|_{C\mapsto C}\leqslant J_k:= \sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(2L)^m}{m!}\| v_k\|^m_{C}=e^{2L\| v_k\|_{C}}
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
при $k=1,2$. Справедлива следующая Доказательство. Сначала докажем по индукции оценку Из равенства (4.31) с учетом (4.32) и (4.33) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|(I+{}&Q'_{2f}(v_1))^{-1}-(I+Q'_{2f}(v_2))^{-1}\|_{C\mapsto C}\leqslant{} \notag \\ &\leqslant J_2\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{(2LJ_2)^m}{m!}\| v_1-v_2\|^m_{C}=J_2[\exp(2LJ_2\| v_1-v_2\|_{C})-1]\leqslant{} \notag \\ &\leqslant 2LJ^2_2\exp(2LJ_2\| v_1-v_2\|_{C})\| v_1-v_2\|_{C}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.42}
$$
Справедлива очевидная оценка
$$
\begin{equation}
\| Q_2(v_2)-Q_2(v_1)\|_{C}\leqslant 2L \max\{\| v_1\|_{C},\| v_2\|_{C}\}\| v_1-v_2\|_{C}.
\end{equation}
\tag{4.43}
$$
Справедлив следующий результат. Лемма 3. Для любой функции $v(x,t)\in C([0,T];C[0,L])$ операторы действуют следующим образом: Доказательство. Результат (4.45) – очевидное следствие оценки (4.43). Для доказательства (4.44) заметим, что для функции Справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J(\tau,\sigma):={}&(I+Q'_{2f}(v_1)(\tau))^{-1}Q_2(v_1)(\sigma)- (I+Q'_{2f}(v_2)(\tau))^{-1}Q_2(v_2)(\sigma)={} \notag \\ ={}& [(I+Q'_{2f}(v_1)(\tau))^{-1}-(I+Q'_{2f}(v_2)(\tau))^{-1}] Q_2(v_1)(\sigma)+{} \notag \\ &+ (I+Q'_{2f}(v_2)(\tau))^{-1}[Q_2(v_1)(\sigma)-Q_2(v_2)(\sigma)], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.47}
$$
из которого с учетом (4.42) и (4.43) получим оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \| J(\tau,\sigma)\|_{C}\leqslant{}& 2L\| v_1(\sigma)\|^2_CJ_2(\tau)[\exp(2LJ_2(\tau)\| v_1(\tau)-v_2(\tau)\|_C)-1]+{} \notag \\ &+J_2(\tau)2L\max\{\| v_1(\sigma)\|_C,\| v_2(\sigma)\|_C\} \| v_1(\sigma)-v_2(\sigma)\|_C\leqslant{} \notag \\ \leqslant{}& 4L^2\| v_1(\sigma)\|^2_CJ^2_2(\tau)\exp(2LJ_2(\tau)\| v_1(\tau)-v_2(\tau)\|_C)\| v_1(\tau)-v_2(\tau)\|_C+{} \notag \\ &+J_2(\tau)2L\max\{\| v_1(\sigma)\|_C,\| v_2(\sigma)\|_C\} \| v_1(\sigma)-v_2(\sigma)\|_C, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.48}
$$
где $J_2(\tau):=e^{2L\| v_2(\tau)\|_{C}}$. Справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q(v_1)(t)-Q(v_2)(t)={}& \int_0^t[(I+Q'_{2f}(v_1)(\tau))^{-1}- (I+Q'_{2f}(v_2)(\tau))^{-1}]\frac{dh(\tau)}{d\tau}\,d\tau+{} \notag \\ &+ \int_0^tJ(\tau,\tau)\,d\tau-\int_0^t\int_0^{\tau}e^{-(\tau-\sigma)} J(\tau,\sigma)\,d\sigma\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.49}
$$
Пусть теперь $v_1(t),v_2(t)\in B_R$, где
$$
\begin{equation*}
B_R:=\biggl\{v(t)\in C([0,T];C[0,L]):\;\sup_{t\in[0,T]}\| v(t)\|_C\leqslant R\biggr\},\qquad R>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\sup_{\tau,\sigma\in[0,T]}\| J(\tau,\sigma)\|_C\leqslant a_1(R)\sup_{t\in[0,T]}\| v_1(t)-v_2(t)\|_C,
\end{equation}
\tag{4.50}
$$
$$
\begin{equation}
\sup_{t\in[0,T]}\|(I+Q'_{2f}(v_1)(t))^{-1}- (I+Q'_{2f}(v_2)(t))^{-1}\|_{C\mapsto C}\leqslant{} \nonumber
\end{equation}
\tag{4.52}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\leqslant a_2(R)\sup_{t\in[0,T]}\| v_1(t)-v_2(t)\|_C,
\end{equation}
\notag
$$
Из равенства (4.49) с учетом оценок (4.50)–(4.53) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sup_{t\in[0,T]}&\| Q(v_1)(t)-Q(v_2)(t)\|_{C}\leqslant{} \notag \\ &\leqslant T\biggl[a_2(R)\sup_{t\in[0,T]}\left\|\frac{dh(t)}{dt}\right\|_C+ a_1(R)(1+T)\biggr]\sup_{t\in[0,T]}\| v_1(t)-v_2(t)\|_C. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.54}
$$
При этом справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sup_{t\in[0,T]}&\| Q(v)(t)\|_C\leqslant{} \notag \\ &\leqslant \| u_{0x}\|_C+ T\biggl[a_2(R)\sup_{t\in[0,T]}\left\|\frac{dh(t)}{dt}\right\|_C+ a_1(R)(1+T)\biggr]R. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.55}
$$
Применяя принцип сжимающих отображений к уравнению (4.30) с учетом оценок (4.54) и (4.55), получим, что для любой функции $u_{0}(x)\in C^{(1)}[0,L]$ найдется достаточно малое $T>0$ такое, что существует единственное решение $v(t)\in C([0,T];C[0,L])$ интегрального уравнения (4.30). Теперь нужно применить стандартный алгоритм продолжения во времени (см. [11]) и получить следующий результат. Теорема 1. Для любых функций $u_0(x)\in C^{(1)}[0,L]$ и $\mu_1(t)\in C[0,+\infty)$ найдется такое максимальное значение $T_0=T_0(u_0,\mu_1)>0$, что для любого $T\in(0,T_0)$ существует единственное решение $v(x,t)\in C([0,T];C[0,L])$ интегрального уравнения (4.30), причем либо $T_0=+\infty$, либо $T_0<+\infty$. В последнем случае имеем Теперь наша задача состоит в том, чтобы доказать, что на самом деле решение интегрального уравнения (4.30) для любых функций $u_0(x)\in C^{(2)}[0,L]$ и $\mu_1(t)\in C^{(1)}[0,+\infty)$ обладает большей гладкостью, а именно
$$
\begin{equation*}
v(x,t)\in C^{(1)}([0,T];C^{(1)}[0,L])\qquad\text{для всех}\quad T\in(0,T_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Справедлив следующий результат в этом направлении. Лемма 4. Оператор $Q_2(\cdot)$, определенный в (4.16), действует как а для любой функции $v(t)\in C([0,T];C[0,L])$ линейный оператор действует как Доказательство. Доказательство (4.57) очевидно. Доказательство (4.58) основано на представлениях (4.27) и (4.31). Справедлива следующая Лемма 5. Оператор $Q(\cdot)$, определенный уравнением (4.30), действует как Доказательство. Утверждение является очевидным следствием явного вида оператора $Q(\cdot)$ и леммы 4. С учетом леммы 5 продифференцируем по $t\in[0,T]$ уравнение (4.30) и получим (4.29). Из равенства (4.29) вытекает (4.28). Из (4.28) с учетом условий согласования (4.6) получим равенство (4.7). Из (4.7) получаем равенство (4.4), из которого получаем уравнение (4.1). Заметим, что при выполнении условий согласования (4.6) из равенства (4.7) получаем, что функция $v(x,t)$ удовлетворяет граничным условиям (3.6) и (3.7). Таким образом, с учетом теоремы 1 приходим к следующему результату. Теорема 2. Для любых функций $u_0(x)\in C^{(2)}[0,L]$ и $\mu_1(t)\in C^{(1)}[0,+\infty)$ при выполнении условий согласования (4.6) найдется такое максимальное значение $T_0=T_0(u_0,\mu_1)>0,$ что для любого $T\in(0,T_0)$ существует единственное классическое решение $v(x,t)\in C^{(1)}([0,T];C^{(1)}[0,L])$ задачи (3.5)–(3.7), причем либо $T_0=+\infty$, либо $T_0<+\infty$. В последнем случае имеем С учетом этой теоремы приходим к основному результату работы. Теорема 3. Для любых функций $u_0(x)\in C^{(2)}[0,L]$ и $\mu_0(t),\mu_1(t)\in C^{(1)}[0,+\infty)$ при выполнении условий согласования найдется такое максимальное значение $T_0=T_0(u_0,\mu_1)>0$, что для любого $T\in(0,T_0)$ существует единственное классическое решение $u(x,t)\in \kern-1pt C^{(1)}([0,T];C^{(2)}[0,L])$ задачи (3.1)–(3.3), причем либо $T_0=+\infty$, либо $T_0<+\infty$. В последнем случае имеем 5. Разрушение решенияПусть $v(x,t)\in C^{(1)}([0,T];C^{(1)}[0,L])$ при $T>0$ и $L>0$. При $n\geqslant 3$ справедливы следующие цепочки равенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_0^L(L-x)^nv_x(x,t)\,dx&=(L-x)^nv(x,t)\big|_{x=0}^{x=L}+ n\int_0^L(L-x)^{n-1}v(x,t)\,dx={} \\ &=-L^n\mu_1(t)+n\int_0^L(L-x)^{n-1}v(x,t)\,dx, \\ n\int_0^L(L-x)^{n-1}v(x,t)\,dx&+ \int_0^L(L-x)^{n}v^2(x,t)\,dx={} \\ &=\int_0^L(L-x)^{n-1}[(L-x)v^2+nv]\,dx, \\ (L-x)v^2+nv&=\biggl((L-x)^{1/2}v(x,t)+\frac{n}{2(L-x)^{1/2}}\biggr)^2-\frac{n^2}{4(L-x)}={} \\ &=w^2-\frac{n^2}{4(L-x)},\\ w&=(L-x)^{1/2}v(x,t)+\frac{n}{2(L-x)^{1/2}}, \\ \int_0^L(L-x)^N[v_x+v^2]\,dx&= -L^n\mu_1(t)+\int_0^L(L-x)^{n-1}w^2\,dx-\frac{n^2}{4}\frac{L^{n-1}}{n-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Умножим уравнение (3.5) в классе $v(x,t)\in C^{(1)}([0,T];C^{(1)}[0,L])$ на функцию $(L-x)^N$ и проинтегрируем по частям по $x\in[0,L]$. Тогда с учетом граничного условия (3.6) и равенств (5.1) получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{d}{d t}J_1-L^n\mu_1'(t)-L^n\mu_1(t)+nJ_2=0, \\ \begin{aligned} \, J_1&=\int_0^L(L-x)^{n-1}w^2\,dx, \\ J_2&=\int_0^L(L-x)^{n-1}v\,dx={} \\ &=\int_0^L(L-x)^{n-3/2}\biggl[(L-x)^{1/2}v+\frac{n}{2(L-x)^{1/2}}\biggr]\,dx- \frac{n}{2}\int_0^L(L-x)^{n-2}\,dx={} \\ &= \int_0^L(L-x)^{n-3/2}w\,dx-\frac{n}{2}\frac{L^{n-1}}{n-1}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Справедлива следующая цепочка неравенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl|\int_0^L (L-x)^{n-3/2}w\,dx\biggr|&\leqslant \int_0^L(L-x)^{(n-1)/2}|w|(L-x)^{(n-2)/2}\,dx\leqslant{} \notag \\ &\leqslant \biggl(\int_0^L(L-x)^{n-1}w^2\,dx\biggr)^{\!1/2} \biggl(\int_0^L(L-x)^{n-2}\biggr)^{\!1/2}={} \notag \\ &= \biggl(\frac{L^{n-1}}{n-1}\biggr)^{\!1/2}J_1^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Итак, с учетом (5.2), (5.3) получаем
$$
\begin{equation}
\frac{d J_1(t)}{d t}\leqslant L^n(\mu_1'(t)+\mu_1(t))+\frac{n^2}{2}\frac{L^{n-1}}{n-1}+ n\biggl(\frac{L^{n-1}}{n-1}\biggr)^{\!1/2}J_1^{1/2},
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
откуда, воспользовавшись очевидным неравенством получим
$$
\begin{equation}
\frac{d J_1(t)}{d t}\leqslant A(t)+J_1(t),\qquad A(t)=L^n(\mu_1'(t)+\mu_1(t))+\frac{3n^2}{4}\frac{L^{n-1}}{n-1}.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Это неравенство легко интегрируется, и мы приходим к следующим оценкам:
$$
\begin{equation}
0\leqslant J_1(t)\leqslant \biggl(J_1(0)+\int_0^te^{-\tau}A(\tau)\,d\tau\biggr)e^t.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Предположим, что найдутся такие функции $u_0(x)\in C^{(2)}[0,L]$ и $\mu_1(t)\in C^{(1)}[0,+\infty)$, что для некоторого $t_0>0$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_0^L&(L-x)^{n-1}\biggl[(L-x)^{1/2}u_{0x}(x)+\frac{n}{2(L-x)^{1/2}}\biggr]^2\,dx=J_1(0)<{} \notag \\ &<-\int_0^te^{-\tau}A(\tau)\,d\tau= -L^n\int_0^{t_0}e^{-\tau}[\mu_1'(\tau)+\mu_1(\tau)]\,d\tau -\frac{3n^2}{4}\frac{L^{n-1}}{n-1}[1-e^{-t_0}], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
тогда при $t=t_0$ неравенства (5.6) окажутся противоречивыми. Приведем простой пример такой ситуации. Пусть $u_0(x)\in C^{(1)}[0,L]$ – произвольная фиксированная функция, а функция $\mu_1(t)$ имеет вид Тогда при достаточно большом $t=t_0>0$ будет выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
J_1(0)+\frac{3n^2}{4}\frac{L^{n-1}}{n-1}[1-e^{-t_0}]-2L^na_1t_0<0.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
С другой стороны, существует широкий набор функций $\mu_1(t)$ граничного режима, для которых из неравенства (5.6) вытекает глобальная во времени априорная оценка, например при
$$
\begin{equation}
\mu_1'(t)+\mu_1(t)\geqslant 0,\qquad\mu_1(t)\in C^{(1)}[0,+\infty).
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Таким образом, с учетом теоремы 3 справедлива Теорема 4. Если для функций $u_0(x)\in C^{(2)}[0,L]$ и $\mu_0(t),\mu_1(t)\in C^{(1)}[0,+\infty)$ выполнено неравенство (5.7), то при выполнении условий согласования (4.61) для времени существования решения $T_0>0$ задачи (3.1)–(3.3) выполнено неравенство $T_0<+\infty$ и поэтому выполнено предельное свойство (4.62), т. е. решение $u(x,t)$ класса $C^{(1)}([0,T];C^{(2)}[0,L])$ (для любого $T\in(0,T_0)$) разрушается за конечное время $T_0>0$. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ArtKor24} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|