| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
К вопросу о единственности центрального инвариантного многообразия А. Н. Куликов Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924070055 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеРассмотрим систему автономных нелинейных дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \dot x=Ax+F(x,y), \\ \dot y=By+G(x,y), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $x=\mathrm{colon}(x_1,\dots,x_m)$, $y=\mathrm{colon}(y_1,\dots,y_n)$, $x_k=x_k(t),y_j=y_j(t)$, $k=1,\dots,m$, $j=1,\dots,n$ и $m,n\in\mathbb N$ ($\mathbb N$ – множество натуральных чисел). Основное предположение касается матриц $A$ и $B$: 1) будем считать, что у матрицы $A$ размерности $m\times m$ все собственные числа $\lambda_k$ расположены на мнимой оси, т. е. $\operatorname{Re}\lambda_k=0$; 2) у матрицы $B$, размерность которой равна $n\times n$, все собственные числа $\mu_j$ лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости, т. е. $\operatorname{Re}\mu_j<0$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(x,y)&=\mathrm{colon}(F_1(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n),\dots, F_m(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)), \\ G(x,y)&=\mathrm{colon}(G_1(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n),\dots, G_n(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Будем также предполагать, что в некоторой окрестности $Q(r)$ начала координат пространства $\mathbb R^m\!\mathrel{\oplus}\mathbb R^n$ $(\|x\|^2_{\mathbb R^m}+\|y\|^2_{\mathbb R^n}<r^2)$ вектор-функции $F(x,y),G(x,y)$ обладают следующими свойствами: 1) их компоненты $F_k(x,y)=F_k(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)$, $G_j(x,y)=G_j(x_1,\dots,x_m, y_1,\dots,y_n)$ – функции, принадлежащие $C^\infty(Q(r))$, т. е. они имеют непрерывные частные производные любого порядка в шаре $Q(r)$; 2) обе эти вектор-функции имеют в нуле порядок малости выше первого, т. е. для них справедливы неравенства
$$
\begin{equation*}
\|F(x,y)\|_{\mathbb R^m}\leqslant M(\|x\|^2_{\mathbb R^m}+\|y\|^2_{\mathbb R^n}),\qquad \|G(x,y)\|_{\mathbb R^n}\leqslant M(\|x\|^2_{\mathbb R^m}+\|y\|^2_{\mathbb R^n}),
\end{equation*}
\notag
$$
если точка с координатами $(x,y)=(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)\in Q(r)$. Здесь $M$ – некоторая положительная постоянная. Отметим, что если дополнить систему автономных дифференциальных уравнений (1) начальным условием то задача Коши (1), (2) локально корректно разрешима, т. е. имеет единственное решение $(x(t,u,v),y(t,u,v))$, если $t\in (-T(r),T(r))$, где вектор-функции $x=x(t,u,v)$, $y=y(t,u,v)$ таковы, что их компоненты имеют непрерывные частные производные любого порядка.Напомним хорошо известный результат, изложение которого можно найти во многих статьях и монографиях (см., например, [1]–[3]). Теорема 1. Система дифференциальных уравнений (1) имеет локально инвариантное многообразие $M_\mathrm{c}$, которое может быть задано уравнением где $x=(x_1,\dots,x_m)$, $h(x)=(h_1(x_1,\dots,x_m),\dots,h_n(x_1,\dots,x_m))$. Тогда 1) $h(0)=0$; 2) матрица Якоби $D_x h(x)|_{x=0}=\biggl(\dfrac{\partial h_j(x)}{\partial x_k}\biggr)\biggr|_{x=0}=0$, $1\leqslant j\leqslant n$, $1\leqslant k\leqslant m$; 3) компоненты вектор-функции $h(x)$, т. е. $h_j(x_1,\dots,x_m)\in\mathbb C^l(Q_m(r_1))$, т. е. принадлежат пространству $l$ раз непрерывно дифференцируемых функций в шаре $Q_m(r_1)$ с центром в нуле пространства $\mathbb R^m$ и радиуса $r_1<r$. При этом $l=l(r_1)$ и $l(r_1)\to\infty$, если $r_1\to 0$. Более подробное изложение и обсуждение этого результата можно найти во многих работах (см., например, [2], [3]). Напомним, что в настоящее время, следуя статье [2], особенно в иностранной математической литературе, принято называть инвариантное многообразие $M_\mathrm{c}$ центральным. Подчеркнем, что термин “локальное инвариантное многообразие” означает следующее. $M_\mathrm{c}$ инвариантно для решений системы (1), до тех пор пока эти решения не покинут некоторый шар $Q(r_2)$ радиуса $r_2$ $(0<r_2<r_1)$. Особо отметим, что в теореме 1 речь идет только о существовании локально инвариантного многообразия $M_\mathrm{c}$, но отсутствует утверждение о его единственности. Это не случайно. Действительно, еще в работе [4] (см., также [1]) был фактически построен контрпример к утверждению о единственности многообразия $M_\mathrm{c}$, хотя Ляпунов не использовал термин инвариантное многообразие. Напомним этот пример в одной из возможных его редакций. Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений Очевидно, что система дифференциальных уравнений (4) имеет центральное инвариантное многообразие $y=0$ $(h(x)=0)$. Пусть Для решений задачи Коши (4), (5) справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{x^2(t)}=t+\frac{1}{x^2_0},\qquad y(t)=y_0e^{-t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, исключив $t$, получаем, что Теперь, если положить $y_0=C_0e^{-1/x^2_0}$, получаем при всех $t$. Итак, система дифференциальных уравнений (4) имеет однопараметрическое семейство локально инвариантных многообразий $M_\mathrm{c}$,
$$
\begin{equation*}
y=\begin{cases} 0, &x=0, \\ C_0e^{-1/x^2}, &x\ne 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
При всех $C_0\in\mathbb R$ функция из правой части последнего равенства может быть включена в класс функций $h(x)$ из правой части уравнения (3), определяющего $M_\mathrm{c}$. Вместе с тем нетрудно привести пример системы дифференциальных уравнений (1), для которой центральное многообразие единственно. Например, для системы получим, что справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{x^2(t)}=-t+\frac{1}{x^2_0},\qquad y=y_0e^{-t},\qquad y(t)e^{-1/x^2(t)}=y_0e^{-1/x^2_0},
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, кроме инвариантного многообразия $y=0$ у последней системы дифференциальных уравнений существуют инвариантные многообразия
$$
\begin{equation*}
y=\begin{cases} 0, &x=0, \\ C_0e^{1/x^2}, &x\ne 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с тем семейство последних инвариантных многообразий заведомо не принадлежит тому типу многообразий, которые принято называть центральными (локально инвариантными центральными многообразиями). Напомним, что именно центральные многообразия представляют особый интерес для приложений качественной теории дифференциальных уравнений. Справедливо следующее утверждение, которое широко известно под названием “принцип сведения” [1]. Теорема 2. Пусть существует центральное локально инвариантное многообразие $M_\mathrm{c}$ $(y=h(x))$. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (1), а также систему дифференциальных уравнений вида фазовым пространством которой является $\mathbb R^m$. Тогда нулевое решение системы (1) устойчиво (неустойчиво, асимптотически устойчиво) тогда и только тогда, когда аналогичным свойством обладает нулевое решение системы дифференциальных уравнений (7). Добавим к формулировке последнего утверждения следующее. Пусть $(x(t),y(t))$ – решение системы дифференциальных уравнений (1), и оно такое, что точка $P(t)$ с координатами $(x(t),y(t))\notin M_\mathrm{c}$. Через $d(P,M_\mathrm{c})$ обозначим расстояние от точки $P$ до $M_\mathrm{c}$ и рассмотрим функцию $d(t)=d(P(t),M_\mathrm{c})$, где $P(t)\in Q(r)$. Тогда справедливо неравенство где $\gamma_0$, $\nu$ – некоторые положительные постоянные, и последнее неравенство справедливо при тех $t$, для которых $(x(t),y(t))\in Q(r)$.В иной форме это замечание о свойстве $M_\mathrm{c}$ может быть сформулировано иначе. Пусть решение системы дифференциальных уравнений (1) $(x(t),y(t))\notin M_\mathrm{c}$ и $(x(0),y(0))\in Q(r)$. Тогда для такого решения справедлива альтернатива: 1) решение $(x(t),y(t))$ стремится к $M_\mathrm{c}$ со скоростью экспоненты; 2) оно покидает через некоторое время шар $Q(r)$. В настоящей работе изучен вопрос о достаточных условиях единственности центрального инвариантного многообразия системы дифференциальных уравнений (1). 2. Основной результатТеорема 3. Пусть $h(x)$ – одна из допустимых вектор-функций, которая с помощью равенства (3) определяет инвариантное многообразие $M_\mathrm{c}$. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений где $F_h(x)=F(x,h(x))$. Очевидно, что справедливо равенство $F_h(0)=0$. Пусть нулевое состояние равновесия $(x=0)$ системы дифференциальных уравнений (8) асимптотически устойчиво. Тогда существует окрестность нулевого решения системы дифференциальных уравнений (1), в которой локально инвариантное многообразие $M_\mathrm{c}$ единственно. В частности, существует только одна вектор-функция $h(x)$, которая определяет $M_\mathrm{c}$ с помощью равенства (3). Замечание 1 (к формулировке теоремы 3). Вместо системы дифференциальных уравнений (8) рассмотрим систему (7). Пусть у нее состояние равновесия $x=0$ является репеллером. Тогда инвариантное многообразие $M_\mathrm{c}$ единственно. Такая формулировка эквивалентна первоначальной, если вспомнить определение репеллера. 3. Доказательство теоремы 3Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (8), у которой согласно условиям теоремы 3 нулевое состояние равновесия асимптотически устойчиво. Из результатов, полученных в монографии [5] (см. с. 310–315), вытекает, что существует функция Ляпунова $L(x)=L(x_1,\dots,x_m)$ такая, что в некоторой окрестности нулевого решения эта функция обладает следующими свойствами: 1) в этой окрестности она непрерывно дифференцируема; 2) функция $L(x)$ положительно определена, т. е. в этой окрестности $L(x)>0$, если $x\ne 0$, но $L(0)=0$; 3) ее производная в силу системы $D_tL(x)$ – отрицательно определенная функция. Из последнего утверждения вытекает, в частности, что множество $D_\mu$, для точек которого справедливо неравенство $L(x)\leqslant \mu$ ($\mu$ – некоторая положительная постоянная), обладает следующими свойствами. 1. Множество $D_\mu$ замкнутое. 2. Точка $x=0$ входит в $D_\mu$ вместе со своей окрестностью. 3. Пусть $x(0)=a$ и $x(t,a)$ – решение системы (8) в случае, когда $a\in D_\mu$. Тогда $x(t,a)\in D_\mu(t)\subseteq D_\mu$, если $t>0$ (здесь $D_\mu(t)$ – область значений отображения $x(t,a)$). Последние замечания – это изложение соответствующих результатов из монографии [5] (см. гл. 6, а также дополнение 2). Предположим теперь, что система дифференциальных уравнений (1) имеет по крайней мере еще одно локально инвариантное многообразие $M'_\mathrm{c}$, которое задано уравнением $y=h_*(x)$ (т. е. $h_*(x)\ne h(x)$). Вместе с тем из результатов работы [4] вытекает, что в некоторой окрестности нулевого состояния равновесия $x=0$ справедливо следующее соотношение: где $l$ – достаточно большое натуральное число.Замечание 2. В работе [4] показано, что с необходимостью для любой из компонент вектор-функции $h(x)$, определяющей многообразие $M_\mathrm{c}$ при соответствующей гладкости правых частей уравнения (1), совпадают все частные производные при $x=0$. Из замечания 2 и результатов главы 6 монографии [5] вытекает, что у системы дифференциальных уравнений в окрестности нулевого ее решения существует функция Ляпунова $L_*(x)=L_*(x_1, \dots,x_m)$. При этом $L_*(x)=L(x)$.В частности, можно добавить следующие свойства решения системы (9): 1) нулевое решение системы дифференциальных уравнений (9) асимптотически устойчиво, как и для системы дифференциальных уравнений (8); 2) если $x(0)=a\in D_\mu$, то решение с таким начальным условием системы дифференциальных уравнений (9) также остается в $D_\mu$ при выбранном ранее $\mu$ (см. систему дифференциальных уравнений (8)). Действительно, систему дифференциальных уравнений (9) можно переписать в следующем виде: где $G(x)=F_h(x)-F_{h_*}(x)$. Следовательно, при достаточно малых величинах $\|x\|$ справедливо следующее утверждение: $G(x)=o(\|x\|^{l-1})$, где $l$ – достаточно большое натуральное число. При этом вектор-функцию $G(x)$ можно интерпретировать как “постоянно действующее возмущение”, если обратиться к монографии [5]. Результаты из § 70 монографии [5] применимы при анализе системы (10).Замечание 3. Кроме монографии [5] можно указать и иные работы, где рассматривают близкие по содержанию утверждения (см., например, [6], [7]). Для продолжения доказательства теоремы 3 вспомним основные моменты доказательства теоремы 1, т. е. теоремы о существовании локально инвариантного центрального многообразия $M_\mathrm{c}$, если для этого выбрать метод, предложенный в свое время Адамаром. Отметим, что можно найти ряд работ, где использовался такой метод при доказательстве различных утверждений о существовании инвариантных многообразий. В первую очередь следует назвать широко известную монографию Хартмана [8], где в главе 9 приведены несколько утверждений, аналогичных теореме 1. В монографии [8] приведен достаточно подробный обзор работ, посвященных этой тематике. В работах [9], [10] использованы идеи метода Адамара в несколько иных случаях, когда вместо обыкновенных дифференциальных уравнений рассмотрены дифференциальные уравнения с бесконечномерным фазовым пространством, но все этапы применения метода изложены достаточно подробно (возможно, даже более подробно по сравнению с гл. 9 монографии [8]). Изложим основные моменты доказательства теоремы 1, которые будут использованы также и при доказательстве основного результата настоящей работы, т. е. теоремы 3 об условиях единственности центрального инвариантного многообразия. Первый этап доказательства теоремы 1 состоит в переопределении системы дифференциальных уравнений (1). Заменим систему дифференциальных уравнений (1) на систему
$$
\begin{equation}
\dot x=Ax+F_\delta(x,y),\qquad \dot y=By+G_\delta(x,y),
\end{equation}
\tag{11}
$$
где слагаемые $F_\delta(x,y)$, $G_\delta(x,y)$ определим, например, следующим образом (см. [1], [8]–[10]):
$$
\begin{equation*}
F_\delta(x,y)=F(x,y)\varphi(s),\qquad G_\delta(x,y)=G(x,y)\varphi(s),
\end{equation*}
\notag
$$
а $s=\|x\|^2_{\mathbb R^m}+\|y\|^2_{\mathbb R^n}$. В свою очередь, положим
$$
\begin{equation*}
\varphi(s)=\begin{cases} 1, &s\in [0,\delta^2], \\ \varphi_0(s), &s\in (\delta^2,4\delta^2), \\ 0, &s\in[4\delta^2,\infty). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, пусть
$$
\begin{equation*}
\varphi_0(s)=\varphi_0(s,\delta) =\exp\biggl(\frac{(s-\delta^2)^{p+2}}{s-4\delta^2}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
а $p$ – достаточно большое натуральное число. При этом будем считать, что $p>l$. В таком случае вектор-функции $F_\delta(x,y)$, $G_\delta(x,y)$ принадлежат классу $p$ раз непрерывно дифференцируемых функций при всех $x\in\mathbb R^m,y\in\mathbb R^n$. Для дальнейших построений, используемых при доказательстве теоремы 3, удобно и целесообразно в пространстве $\mathbb R^n$ ввести новую норму В такой норме справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\|e^{Bt}y\|_*\leqslant e^{-\gamma_B t}\|y\|_*,\qquad \gamma_B>0,\quad t\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
В пространстве $\mathbb R^m$ также возможно ввести новую норму, которая эквивалентна старой, и для такой нормы характерно выполнение неравенства если $t\geqslant 0$, а $\gamma_A$ – сколь угодно малая положительная постоянная (см., например, [1], [8]). Далее будем считать, что в качестве норм в пространствах $\mathbb R^m$, $\mathbb R^n$ используются нормы $\|x\|_*$, $\|y\|_*$, которые, естественно, эквивалентны базовым нормам $\|x\|_{\mathbb R^m}$, $\|y\|_{\mathbb R^n}$. При этом индекс $*$ в последующих формулах будем опускать. Напомним хорошо известное в настоящее время утверждение (см., например, § 5, 6 из гл. 9 монографии [8], а также статьи [9], [10]). Лемма 1. Система дифференциальных уравнений (11) имеет единственное инвариантное многообразие $M_{c,\delta}$: $y=h_\delta(x)$. При этом вектор-функция $h_\delta(x)$ определена и ограничена при всех $x\in\mathbb R^m$, а также принадлежит классу $q$ раз непрерывно дифференцируемых функций как вектор-функция из $\mathbb R^m$ в $\mathbb R^n$, где $q\leqslant p-1$. Наконец, функция $h_\delta(0)$ равна нулю и в нуле имеет порядок малости выше первого. Кроме того, она удовлетворяет условию Липшица где $l_1\in(0,1)$, $u_1,u_2\in\mathbb R^m$.Лемма 1 – это основной результат на пути доказательства теоремы 1, т. е. утверждения о существовании и ряде свойств локально инвариантного многообразия $M_\mathrm{c}$. После доказательства леммы 1 следует положить
$$
\begin{equation*}
h(x)=h_\delta(x),\qquad \text{если}\quad \|x\|\leqslant\delta_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_1=\delta_1(\delta)$ и $\lim_{\delta\to 0}\delta_1(\delta)=0$. Иными словами многообразие $M_{c,\delta}$ $(y=h_\delta(x))$ инвариантно для решений системы дифференциальных уравнений (1) до тех пор, пока решения системы (1) не покинут некоторую окрестность начала координат. Вместе с тем из предшествующих построений не вытекает единственность инвариантного многообразия $M_\mathrm{c}$ системы дифференциальных уравнений (1). Ясно, что у системы дифференциальных уравнений (11) инвариантное многообразие единственно, но она получена из системы (1) переопределением, которое может быть выполнено различными способами. Например, можно различными способами выбрать $\varphi_0(s)$ или по разному выбрать $\delta$, если вид функции $\varphi_0(s)$ фиксирован. Вместе с тем при любом предложенном переопределении правых частей системы дифференциальных уравнений (1) решения системы (11) совпадают с решением системы (1), если они принадлежат некоторому шару с центром в начале координат пространства $\mathbb R^{m+n}$. Напомним основные моменты доказательства леммы 1. Центральное место в доказательстве леммы 1 занимает сведение вопроса к анализу функционального уравнения для определения вектор-функции $h_\delta(x)$. Решение задачи Коши (11), (2), в отличие от задачи Коши (1), (2), существует и единственно при всех $u$, $v$ и всех $t\in (-\infty,\infty)$. При этом такие решения порождают динамическую систему или в терминологии монографии [8] однопараметрическую группу отображений
$$
\begin{equation}
S_\delta(t)\colon u(t)=e^{At}u+U_\delta(t,u,v),\qquad v(t)=e^{Bt}v+V_\delta(t,u,v),
\end{equation}
\tag{12}
$$
где нелинейные достаточно гладкие слагаемые определены при всех $t$, $u$, $v$. В то же время основная задача Коши, т. е. задача Коши (1), (2), порождает локальную группу отображений
$$
\begin{equation}
S(t)\colon u(t)=e^{At}u+U(t,u,v),\qquad v(t)=e^{Bt}v+V(t,u,v),
\end{equation}
\tag{13}
$$
где нелинейные операторы из правых частей гладко зависят от всех аргументов, если $\|u\|^2_{\mathbb R^m}+\|v\|^2_{\mathbb R^n}<\delta$, а $t\in(-T(\delta),T(\delta))$ $(\lim_{\delta\to 0}T(\delta)=0)$. Кроме того, справедливы тождества
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_\delta(0,u,v)&=V_\delta(0,u,v)=U(0,u,v)=V(0,u,v)=0, \\ U_\delta(t,0,0)&=V_\delta(t,0,0)=U(t,0,0)=V(t,0,0)=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
по совокупности переменных $u$, $v$ они все имеют в нуле порядок малости выше первого. Наконец, в достаточно малой окрестности точки $u=v=0$ справедливы тождества $U_\delta=U$, $V_\delta=V$. Добавим, что частные производные компонент $U_\delta$, $V_\delta$ по переменным $u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n$ ограничены постоянной $\eta(\delta)\to 0$, если $\delta\to 0$. Доказательство существования инвариантного многообразия можно и целесообразно свести к доказательству существования $M_{c,\delta}$ у системы отображений (12), а затем, как показано, например, в монографии [8], к анализу аналогичного вопроса при выборе конкретного $t_0$ $(t=t_0)$. Обычно, в качестве $t_0$ выбирают $-1$ либо $1$. Пусть $t_0=-1$ и вместо $S_\delta(t)$ рассмотрим отображение
$$
\begin{equation}
S_{1,\delta}\colon u_1=A_1u+Z_\delta(u,v),\qquad v_1=B_1v+W_\delta(u,v),
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $A_1=e^{-A}$, $B_1=e^{-B}$, $Z_\delta(u,v)=U_\delta(-1,u,v)$, $W_\delta(u,v)=V_\delta(-1,u,v)$. Если вместо $S_\delta(t)$ рассмотреть $S(t)$, т. е. семейство отображений (13), то получим аналогичное отображение где $A_1=e^{-A}$, $B_1=e^{-B}$, $Z(u,v)=U(-1,u,v)$, $W(u,v)=V(-1,u,v)$. При этом $Z(u,v)\kern-0.5pt=\kern-0.5ptZ_\delta(u,v)$, $W(u,v)\kern-0.5pt=\kern-0.5ptW_\delta(u,v)$, если выполнено неравенство $\|u\|^2_{\mathbb R^m}+\|v\|^2_{\mathbb R^n}\!\kern-0.5pt\leqslant \! \delta_1$. Здесь постоянная $\delta_1$ зависит от $\delta$, т. е., как уже отмечалось выше, $\delta_1=\delta_1(\delta)$ и $\lim_{\delta\to 0}\delta_1(\delta)=0$. Пусть отображение (14) имеет инвариантное многообразие $M_{c,\delta}$ $(v=h_\delta(u))$. Тогда замены
$$
\begin{equation*}
R\colon \tilde u=u,\qquad \tilde v=v-h_\delta(u),\qquad R^{-1}\colon u=\tilde u,\qquad v=\tilde v+h_\delta(\tilde u)
\end{equation*}
\notag
$$
позволяют переписать отображение (14) в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \tilde u_1=A_1\tilde u+Z_\delta(\tilde u,\tilde v+h_\delta(\tilde u)), \\ \tilde v_1=B_1\tilde v+W_\delta(\tilde u,\tilde v+h_\delta(\tilde u)) +B_1h_\delta(\tilde u)-h_\delta(\psi(\tilde u,\tilde v)), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $\psi_\delta(\tilde u,\tilde v)=A_1\tilde u +Z_\delta(\tilde u,\tilde v+h_\delta(\tilde u))$. Отображение (14) в новых переменных (т. е. отображение (16)) имеет в качестве инвариантного многообразия совокупность точек, для которых $\tilde v=0$ и, конечно, $\tilde v_1=0$. Подстановки $\tilde v=0$, $\tilde v_1=0$ в равенства (16) позволяют получить следующее уравнение для определения $h_\delta(u)$:
$$
\begin{equation}
h_\delta(u)=\Gamma_\delta(h(u)) =B^{-1}_1(h_\delta(\psi_\delta(u))-W_\delta(u,h_\delta(u))),
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $B^{-1}_1=e^{B}$, $\psi_\delta(u)=A_1u+Z_\delta(u,h_\delta(u))$. В гл. 9 монографии [8] (см. также [9], [10]) было доказано, что оператор $\Gamma_\delta(h(u))$ сжимающий. Пусть $\mathbb C(\mathbb R^m)$ – пространство ограниченных непрерывных функций с нормой, определяемой равенством
$$
\begin{equation*}
\|h(u)\|_{\mathbb C}=\sup_{u\in\mathbb R^m}\|h(u)\|_{\mathbb R^n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\|\Gamma_\delta(h_2(u))-\Gamma_\delta(h_1(u))\|_{\mathbb C} \leqslant\gamma\|h_2(u)-h_1(u)\|_{\mathbb C},
\end{equation}
\tag{18}
$$
где постоянная $\gamma\in(0,1)$. При проверке справедливости последнего неравенства используется то обстоятельство, что в рассматриваемом случае
$$
\begin{equation*}
\|B^{-1}_1v\|_{\mathbb R^n}\leqslant\sigma\|v\|,\qquad \sigma\in(0,1),
\end{equation*}
\notag
$$
а также малы вектор-функции $Z_\delta(u,v)$, $W_\delta(u,v)$, в частности, что обе вектор-функции $W_\delta(u,v)$ и $Z_\delta(u,v)$ имеют порядок малости выше первого. Наконец, имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{\delta\to 0}W_\delta(u,v)=\lim_{\delta\to 0}Z_\delta(u,v)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Подчеркнем, что, конечно, постоянная $\gamma$ зависит от $\sigma$ и $\delta$. Из неравенства (18) и принципа сжимающих отображений вытекает, что уравнение (17) имеет единственное решение. Более подробное доказательство того, что уравнение (17) имеет единственное решение, которое обладает определенной гладкостью, можно найти в ряде работ (отметим особо гл. 9 из монографии [8], где лемма 5.1 посвящена доказательству и свойствам функционального уравнения, аналогичного уравнению (17)). Если вместо однопараметрического семейства отображений (12) ($S_\delta(t)$) рассматривать семейство отображений (13), то для определения $h(u)$ получим аналогичное функциональное уравнение где $\psi(u)=A_1u+Z(u,h(u))$. При этом $\psi(u)=\psi_\delta(u)$, если $\|u\|\leqslant \delta_1$, где $\delta_1=\delta_1(\delta)>0$.Подчеркнем, что функциональное уравнение (19) имеет решение если $\|u\|<\delta_1$, в частности если $u\in D_\mu$, когда $\mu$ достаточно мало. Следовательно, предположение о том, что может существовать еще один экземпляр инвариантного многообразия $M_\mathrm{c}\colon v=h_*(u)$, означает, что у функционального уравнения (19) существует еще одно решение, кроме $h(u)$, если $u\in Q(\delta_1)$ ($u\in Q(\delta_1)$ при $\|u\|<\delta_1$).Предположение о том, что существует не один, а по крайней мере два экземпляра многообразия $M_\mathrm{c}\colon v=h_1(u)$, $v=h_2(u)$, означает, что при $u\in D_\mu$ у функционального уравнения (19) существуют два решения $h_1(u)$, $h_2(u)$. Следовательно, справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h_1(u)&=\Gamma(h_1(u))=B^{-1}_1[h_1(\psi_1(u))-W(u,h_1(u))], \\ h_2(u)&=\Gamma(h_2(u))=B^{-1}_1[h_2(\psi_2(u))-W(u,h_2(u))], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\psi_1(u)=A_1u+Z(u,h_1(u))$, $\psi_2(u)=A_1u+Z(u,h_2(u))$. Так как то из первой части доказательства теоремы 3 вытекают следующие соотношения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &1)\,\psi_1(u),\psi_2(u)\in D_\mu,\qquad \text{если}\quad u\in D_\mu; \\ &2)\,\|\psi_1(u)-\psi_2(u)\|\leqslant\varepsilon \|h_1(u)-h_2(u)\|,\qquad \text{где}\quad \varepsilon=\varepsilon(\mu)\to 0,\quad \text{при}\quad \mu\to 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $H(u)=\|h_1(u)-h_2(u)\|$, где $u\in D_\mu$ и $H_\mu=\max_{u\in D_\mu}H(u)$. В частности, предположение $h_1(u)\ne h_2(u)$ означает, что $H_\mu>0$. С другой стороны, справедлива следующая серия неравенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\Gamma(h_1(u))-\Gamma(h_2(u))\| \leqslant\|B^{-1}_1\|[\|h_1(\psi_1(u))-h_2(\psi_2(u))\|+{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{}+\|W(u,h_1(u))-W(u,h_2(u))\|]\leqslant \notag \\ &\qquad\leqslant\sigma[\|h_1(\psi_1(u))-h_2(\psi_1(u))\| +\|h_2(\psi_1(u))-h_2(\psi_2(u))\|+\varepsilon\|h_1(u)-h_2(u)\|]\leqslant \notag \\ &\qquad\leqslant\sigma[\|h_1(\psi_1(u))-h_2(\psi_1(u))\| +2\varepsilon\|h_1(u)-h_2(u)\|]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
В выводе последних неравенств использовались неравенство треугольника, а также свойства вектор-функций $h_1(u),h_2(u),W(u,v), Z(u,v)$, в частности что вектор-функция $h_2(u)$ удовлетворяет условию Липшица с постоянной $l_1<1$. При $u\in D_\mu$, если $\mu$ – достаточно малая положительная постоянная, вектор-функции $Z(u,v)$, $W(u,v)$ по переменным $u$, $v$ удовлетворяют условию Липшица с постоянной $\varepsilon=\varepsilon(\mu)$, где $\lim_{\mu\to 0}\varepsilon(\mu)=0$. Напомним, что $\Gamma(h_1(u))=h_1(u)$ и $\Gamma(h_2(u))=h_2(u)$ (по предположению, т. е. $\max_{u\in D_\mu}\|\Gamma(h_1(u))-\Gamma(h_2(u))\|=H_\mu)$. Наконец,
$$
\begin{equation}
\max_{u\in D_\mu}\|h_1(\psi_1(u))-h_2(\psi_2(u))\|\leqslant H_\mu,
\end{equation}
\tag{21}
$$
так как $\psi_1(u)\in D_\mu$, если $u\in D_\mu$. Из неравенств (20), (21) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
H_\mu\leqslant\sigma(H_\mu+2\varepsilon H_\mu) \leqslant\sigma(1+2\varepsilon)H_\mu=q_0H_\mu,
\end{equation*}
\notag
$$
где $q_0=\sigma(1+2\varepsilon)<1$, если $\varepsilon=\varepsilon(\mu)$ – достаточно малая положительная постоянная ($\mu$ достаточно мало). Неравенство приводит к выводу, что $H_\mu=0$. Полученное противоречие доказывает теорему 3. 4. Некоторые частные случаиРассмотрим систему дифференциальных уравнений (1) в случае, когда матрица $A$ имеет четный порядок $m=2k$ и имеет $k$ пар простых чисто мнимых собственных значений $\pm i\sigma_1,\dots,\pm i\sigma_k$, где $\sigma_j>0$ и отсутствуют резонансы порядка $1,2,3,4$ [11]. В таком случае система дифференциальных уравнений на инвариантном многообразии $M_\mathrm{c}$ может быть записана в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\dot z_j=i\sigma_jz_j+z_j\sum_{s=1}^k(d_{js}+ic_{js})|z_s|^2+\dotsb,\qquad j=1,\dots,k,
\end{equation}
\tag{22}
$$
где точками обозначены слагаемые, порядок малости которых выше четвертого, $d_{js},c_{js}\in\mathbb R$. Еще раз отметим, что в нашем случае правая часть системы (22) определяется однозначно вне зависимости от того, единственно или нет центральное инвариантное многообразие. Систему дифференциальных уравнений (22) принято называть нормальной формой (нормальной формой Пуанкаре–Дюлака) [11]. Здесь и далее $z_j=z_j(t)$ – комплекснозначная функция переменного $t$. Наряду с системой (22) рассмотрим ее укороченный вариант
$$
\begin{equation*}
\dot z_j=i\sigma_jz_j+z_j\sum_{s=1}^k(d_{js}+ic_{js})|z_s|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
который принято называть “укороченной” нормальной формой. Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\dot z_j=-i\sigma_jz_j-z_j\sum_{s=1}^k(d_{js}+ic_{js})|z_s|^2+\dotsb,
\end{equation}
\tag{23}
$$
а также соответствующий укороченный вариант системы (23)
$$
\begin{equation}
\dot z_j=-i\sigma_jz_j-z_j\sum_{s=1}^k(d_{js}+ic_{js})|z_s|^2.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Рассмотрим функцию Ляпунова Производная функции $L$ в силу системы (24) Пусть последняя форма четвертого порядка отрицательно определена. Это будет так, если, например, положительно определена квадратичная форма $\sum_{s,p=1}^kd_{sp}\eta_s\eta_p$. В таком случае нулевое решение системы (24) и (23) асимптотически устойчиво, и согласно теореме 3 центральное инвариантное многообразие системы (1) единственно.Выделим особый вариант рассматриваемого частного случая, когда $k=1$ $(m= 2)$. В этом случае укороченная нормальная форма имеет вид Аналог системы (24) принимает вид скалярного уравнения: Нулевое решение уравнения (26) асимптотически устойчиво, если $d_0>0$, т. е. неустойчиво нулевое решение (25). В этом случае из теоремы 3 вытекает, что инвариантное многообразие $M_\mathrm{c}$ единственно, как и в предыдущем более общем случае. Уместно напомнить, что в задаче об устойчивости нулевого решения в критическом случае пары чисто мнимых собственных значений величина $d_0$ играет определяющую роль, ее принято называть ляпуновской величиной. Она была введена в работе [4] при анализе устойчивости нулевого решения в критическом случае пары простых чисто мнимых корней характеристического уравнения.5. ЗаключениеВ работе изучен вопрос о достаточных условиях единственности центрального инвариантного многообразия. Хорошо известно, что вопрос о существовании и единственности центрального инвариантного многообразия представляет как теоретический, так и прикладной интерес. Принцип сведения в явной или “неявной” форме имеет применения во многих разделах математической физики при исследовании устойчивости, а также анализе локальных бифуркаций. В работе удалось связать вопрос о единственности центрального инвариантного многообразия с задачей об устойчивости нулевого состояния равновесия. Следует отметить, что некоторые из затронутых здесь вопросов изучались ранее [12], [13]. Данная работа дополняет эти исследования. Уместно сделать еще одно замечание. В этой и многих других работах предполагается, что уравнения в правой части содержат дифференцируемые функции, но не рассматривается вариант, когда они аналитические. Это не случайно. Если предположить, что вектор-функции $F$, $G$ системы (1) аналитические в окрестности начала координат, то в такой ситуации, как было показано Ляпуновым, функция $h(x)$ не обязана быть аналитической. В работе рассмотрен случай, когда у матрицы $A$ все собственные числа лежат на мнимой оси, а у матрицы $B$ все собственные числа удовлетворяют неравенству $\operatorname{Re}\lambda_j<0$. Если же у матрицы $A$ собственные числа $\lambda_s$ таковы, что $\operatorname{Re}\lambda_s\geqslant 0$, и предположить, что нулевое решение системы дифференциальных уравнений (7) асимптотически устойчиво, то вывод теоремы 3 остается в силе. Впрочем, если $\operatorname{Re}\lambda_s>0$ при всех $s=1,\dots,m$, получаем уже не центральное многообразие, а то, которое в работе [2] названо “неустойчивым”. Утверждение о его единственности справедливо и известно уже достаточно давно. Такой результат созвучен с тем, который получен в настоящей работе. Если в случае неустойчивого инвариантного многообразия $M_\mathrm{c}\colon y=h(x)$ рассмотреть аналог уравнения (8), то у него нулевое состояние равновесия асимптотически устойчиво, так как у матрицы $-A$ все собственные значения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости. В таком случае устойчивость нулевого решения системы (8), очевидно, вытекает из известной теоремы Ляпунова об устойчивости по первому (линейному) приближению. В разделе 1 были рассмотрены две системы дифференциальных уравнений – системы (4) и (6). У системы (6) центральное инвариантное многообразие единственно, а у системы (4), как было отмечено, кроме нулевого инвариантного многообразия $y=0$ существует однопараметрическое семейство центральных многообразий, отличных от нулевого. Отметим, что в случае системы (6) соответствующая ей система (8) принимает вид следующего дифференциального уравнения: У этого уравнения нулевое решение асимптотически устойчиво.Если же рассматривается система (4), то аналогом системы дифференциальных уравнений (7) для нее служит уравнение у которого нулевое решение неустойчиво. Следовательно, результаты аналитического анализа систем дифференциальных уравнений (4) и (6) служат иллюстрацией к теореме 3.Наконец, отметим следующее. Вопрос о единственности центрального инвариантного многообразия затрагивался достаточно часто. Как правило, приводились примеры систем дифференциальных уравнений, у которых существовало центральное инвариантное многообразие, но оно было неединственным (см., например, [1]–[4], а также раздел 1). Подчеркнем, что приводилось только доказательство теоремы о его существовании неоднократно, различными методами (см., например, работы [1]–[3], монографии [8], [14], учебное пособие [15]). Особо отметим монографию [8], где можно найти обширный обзор работ по этой тематике, а также монографии [16], [17], в которых также затронуты некоторые вопросы, связанные с инвариантными многообразиями. При доказательстве теоремы 3 мы опирались на геометрический подход при анализе вопроса о существовании и свойствах центрального инвариантного многообразия. Такой метод предполагает сведение вопроса о существовании инвариантных многообразий к аналогичному вопросу для отображений, порожденных дифференциальными уравнениями. В связи с этим отметим монографию [18], в которой изучались инвариантные многообразия в окрестности седловых неподвижных точек нелинейных отображений. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kul24} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|