| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Механизм формирования неоднородного нанорельефа и бифуркации в нелокальном уравнении эрозии Д. А. Куликов  Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924070067 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеВ настоящей работе рассматривается ряд вопросов, возникающих при изучении периодической краевой задачи (КЗ) для уравнения, которое называется нелокальным уравнением эрозии. В нормированном виде данное функционально-дифференциальное уравнение имеет вид где $u=u(t,x)$, $w=u(t,x-h)$, $a>0$, $b_2,b_3\in\mathbb R$, $h>0$. Уравнение (1) будем изучать вместе с периодическими краевыми условиями Нелинейная эволюционная КЗ (1), (2) была предложена в качестве математической модели формирования неоднородного (волнового) рельефа на поверхности полупроводниковых материалов под воздействием потока ионов (см., например, [1]–[6]). В указанных работах обсуждаются физические аспекты, связанные с данным дифференциальным уравнением в частных производных и с отклоняющимся пространственным аргументом. Достаточно часто в настоящее время в таких случаях говорят об уравнениях, содержащих нелокальные члены. В нашем случае это последние три слагаемых в правой части уравнения (1).Подчеркнем, что наличие слагаемых с отклоняющимся аргументом отражает тот факт, что при ионной бомбардировке поверхности полупроводников точка проникновения иона не совпадает с его выходом из полупроводниковой среды. Особо отметим, что кроме уравнения (1) существуют и иные математические модели данного физико-технологического процесса. Наиболее известной из них следует считать модель Бредли и Харпера [7]. Основу этой модели составляет дифференциальное уравнение с частными производными, которое можно интерпретировать как одну из версий широко известного в математической физике уравнения Курамото–Сивашинского. Анализ возникающих КЗ для обоих упомянутых уравнений приводит к описанию механизма формирования нанорельефа как явления самоорганизации. С математической точки зрения формирование волнового рельефа – это результат бифуркаций, которые возникают при смене устойчивости пространственно однородным состоянием равновесия (плоским рельефом). Таким образом, обе модели достаточно близки. Тем не менее между ними есть ряд различий. Например, использование в качестве математической модели нелокального уравнения эрозии позволяет выявить бифуркации, для которых определяющими будут старшие моды. При этом возникает рельеф с очень малой длиной волны. Последний феномен отмечается во многих экспериментах. Отметим, что при анализе уравнения Курамото–Сивашинского типична ситуация, когда потеря устойчивости у пространственно однородного состояния равновесия происходит на младших модах, поэтому реализуются бифуркации, для которых определяющими являются эти моды [8], [9]. В настоящей работе мы продолжаем исследование, предпринятое в работе [10]. При этом результаты, изложенные в указанной статье, дополнены, изучен более сложный вариант бифуркационной задачи – бифуркации коразмерности 2. Как и в работе [10], в исследовании этой задачи мы используем математически обоснованные методы анализа динамических систем с бесконечномерным пространством начальных условий. Среди них, в первую очередь, следует назвать метод интегральных многообразий и нормальных форм в сочетании с алгоритмом Крылова–Боголюбова, адаптированным к задачам с бесконечномерным пространством начальных условий. Сочетание таких методов во многих случаях позволяет бесконечномерную задачу сводить к конечномерной, т. е. к анализу системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Такую систему дифференциальных уравнений принято называть нормальной формой. Этот термин был введен уже достаточно давно Пуанкаре. 2. Постановка задачиПусть рассматривается КЗ (1), (2), дополненная начальным условием Из результатов работ [11], [12] (см. также [10]) вытекает, что при $f(x)\in\mathbb H^1_2$ начально-краевая задача (1)–(3) локально корректно разрешима и порождает гладкий локальный полупоток $T^t\!: f(x)\to u(t,x)$. Напомним, что $f(x)\in\mathbb H^1_2$, если:1) $f(x+2\pi)=f(x);$ 2) при $x\in [-\pi,\pi]$ справедливо включение $f(x)\in \mathbb W^1_2[-\pi,\pi]$, где, в свою очередь, $\mathbb W^1_2[-\pi,\pi]$ – пространство Соболева [13]. Отметим некоторые особенности КЗ (1), (2): 1) $u(t,x)=\alpha$, где $\alpha\in\mathbb R$, – решение КЗ (1), (2); 2) если $u(t,x)$ – ее решение, то функция $u(t,x)+\alpha$ также удовлетворяет КЗ (1), (2) при любом выборе постоянной $\alpha$. Это позволяет переписать КЗ (1), (2) в ином виде. Представим решение $u(t,x)$ в виде суммы где
$$
\begin{equation*}
u_0(t) = M(u) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} u(t,x)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно заметить, что $M(v)=0$. В таком случае КЗ (1), (2) удобно переписать в следующем виде: Здесь $Av = av_{xx}-w_x$, $w=v(t,x-h)$, $F_2(w_x) = w^2_x-M(w^2_x)$, $F_3(w_x) = w^3_x-M(w^3_x)$. Отмеченные особенности КЗ приводят к заключению, что правые части уравнений (4) и (5) не зависят от $u_0(t)$. Следовательно, КЗ (5), (6) удобно проанализировать отдельно, как самостоятельную КЗ. После этого функция $u_0(t)$ может быть восстановлена интегрированием по $t$ вспомогательного уравнения (4). Ззаметим, что КЗ (5), (6) имеет только одно пространственно однородное решение $v(t,x)=0$. Ниже рассматривается вопрос о структуре окрестности нулевого состояния равновесия вспомогательной КЗ (5), (6). При этом окрестность такого решения рассматривается в смысле топологии фазового пространства решений КЗ (5), (6), т. е. в смысле метрики гильбертова пространства $\mathbb H^1_{2,0}\!: f(x)\in \mathbb H^1_{2,0}$, если $f(x)\in \mathbb H^1_2$ и $M(f)=0$. 3. Об устойчивости нулевого решения вспомогательной краевой задачиВ этом разделе рассмотрим линеаризованный вариант КЗ (5), (6), т. е. следующую линейную однородную КЗ: где $Av = av_{xx}-w_x$, $w=v(t,x-h)$. Элементарно проверяется, что КЗ (7) имеет счетный набор решений вида
$$
\begin{equation*}
v_n(t,x) = e^{\lambda_n t +inx},\qquad n=\pm 1,\pm 2,\ldots,
\end{equation*}
\notag
$$
а $\lambda_n$ находим как собственные значения линейного дифференциального оператора $A$. В данном случае линейный дифференциальный оператор $A$ определен равенством Область определения $D_A$ этого оператора состоит из достаточно гладких $2\pi$-периодических функций. При этом, разумеется,
$$
\begin{equation*}
\lambda = \lambda_n = -an^2 -in e^{-inh}, \qquad n=\pm 1,\pm 2,\ldots,
\end{equation*}
\notag
$$
а собственные значения $\lambda_n$ отвечают собственным функциям $e^{inx}$, которые в пространстве $\mathbb L_{2,0}(-\pi,\pi)$ ($f(x)\in\mathbb L_{2,0}(-\pi,\pi)$, если $f(x)\in\mathbb L_2(-\pi,\pi)$ и $M(f)=0$) формируют полную ортогональную систему. Поэтому неравенства $\operatorname{Re}\lambda_n <0$ при всех $n\neq 0$ гарантируют асимптотическую устойчивость решений КЗ (7), а также нулевого решения КЗ (5), (6). Если же хотя бы при одном $k$ имеет место неравенство $\operatorname{Re}\lambda_k>0$, то решение КЗ (7), а также нулевое решение КЗ (5), (6) неустойчивы. Особо отметим два следующих условия: 1) $\operatorname{Re}\lambda_n\leqslant 0$ при всех целых $n$ (за исключением $n=0$); 2) $\operatorname{Re}\lambda_m=0$ при некоторых целых $m$. Эти условия выделяют критический случай в задаче об устойчивости нулевого решения нелинейной КЗ (5), (6). При реализации последних двух условий решения линейной КЗ (7) устойчивы, но не асимптотически устойчивы. Подчеркнем, что, конечно, $\lambda_n = \lambda_n(h)$, т. е. зависят от $h$. При этом, очевидно, справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\lambda_n(0)<0, \qquad \lambda_n(0) = -an^2-in,
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $n\in\mathbb Z\backslash \{0\}$, где $\mathbb Z$ – множество целых чисел. Из последнего замечания вытекает, что критический случай в задаче об устойчивости нулевого решения может возникнуть при $h>0$ и при наименьшем из тех $h$, для которых хотя бы при одном $n$ реализуется равенство $\operatorname{Re}\lambda_n(h)=0$. Для того чтобы найти соответствующее значение $h$, сначала зафиксируем $n$ и при таком $n$ найдем все $h$, для которых $\operatorname{Re}\lambda_n(h)=0$. Соответствующие значения $h$ находим как решения тригонометрического уравнения При этом $\sigma_n = \operatorname{Im}\lambda_n = -n\cos (nh)$. Уравнение (8) при выбранном $n$ имеет две последовательности решений:
$$
\begin{equation*}
h^{(1)}_n(k) = \frac{2\pi k - \arcsin (an)}{n}, \qquad h^{(2)}_n(m) = \frac{\pi+\arcsin (an) +2\pi m}{n},
\end{equation*}
\notag
$$
если, конечно, $0<an\leqslant 1$ (достаточно рассмотреть натуральное $n$), $k,m\in\mathbb Z$. После этого нетрудно выбрать наименьший положительный элемент из двух указанных совокупностей $\{h^{(1)}_n(k)\}$ и $\{h^{(2)}_n(m)\}$:
$$
\begin{equation*}
h_* = \min_{1\leqslant n\leqslant n_0} d_n, \qquad n_0 = m = \biggl[\frac{1}{a}\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
где $d_n = (\pi+\arcsin (an))/n$. Разумеется, такое $h$ можно выбрать простым перебором чисел $d_1,\ldots,d_n$. Например, при $a=1$ получаем, что $d_1=3\pi/2$ и $h = 3\pi/2$. Если $a=1/2$, то $d_1 = 7\pi/6$, $d_2 = 3\pi/4$, $h = 3\pi/4$. Вместе с тем при достаточно малых $a$ число элементов последовательности $d_n$, естественно, велико. Поэтому целесообразно и возможно перебор сделать менее трудоемким. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию т. е. $d_n = a d(na)$. Стандартный анализ показывает, что существует такое $z=z_*\in (0,1)$, что $d'(z_*)=0$ ($z_* = 0.9671$); при $z\in (0,z_*)$ функция $d(z)$ убывает, а при $z\in (z_*,1)$ возрастает. Этот вывод вытекает из анализа свойств функции
$$
\begin{equation*}
d'(z) = \frac{z - (\pi+\arcsin z)\sqrt{1-z^2}}{z^2\sqrt{1-z^2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь ясно, что $h_* = \min h_n$ следует выбирать как $\min (h_m,h_{m+1})$, где
$$
\begin{equation*}
h_m = \frac{\pi+\arcsin (ma)}{m},\qquad h_{m+1} = \frac{\pi+\arcsin [(m+1)a]}{m+1}, \qquad m = \biggl[\frac{z_*}{a}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
В ситуации общего положения $h_m \neq h_{m+1}$, а числа $\sigma_m$ или $\sigma_{m+1}$ ($\sigma_m = -m\cos (mh_*)$, $\sigma_{m+1}=-(m+1)\cos[(m+1)h_*]$) отличны от нуля. В такой ситуации возникает критический случай простой пары собственных значений спектра устойчивости нулевого решения КЗ (5), (6). При малых отклонениях $h$ от $h_*$ возникает случай, близкий к критическому, одной пары чисто мнимых собственных значений. Анализу такой бифуркационной задачи была посвящена работа [10]. Вместе с тем вариант, когда $h_m = h_{m+1}$, не исключен полностью. Действительно, рассмотрим функцию $d(z)$ при $z$ из окрестности $z_*$ в случае, если $a$ – достаточно малая положительная постоянная. Пусть $z_1=ma$, $z_2 = (m+1)a$ и $m$ выбрано так, что $z_*\in (z_1,z_2)$ ($m = [z_*/a]$). В такой ситуации справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d(z_1) &= d(z_*)+\frac{d''(z_*)}{2}(z_1-z_*)^2+d_0(z_1-z_*), \\ d(z_2) &= d(z_*)+\frac{d''(z_*)}{2}(z_2-z_*)^2+d_0(z_2-z_*), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где учтено, что $d'(z_*)=0$, и $d_0(y)$ – аналитическая функция переменной $y$. Добавим, что $d(z_*) = 4.6032$, $d''(z_*)/2 = 48.8031$. Последние результаты приведены с точностью до четырех знаков после запятой и после соответствующих округлений. Кроме того, $|d_0(y)|\leqslant M_0|y|^3$, где $M_0$ – некоторая положительная постоянная. Изучим вопрос о возможности равенства $d(z_1)=d(z_2)$ или в иной форме записи
$$
\begin{equation*}
\frac{d''(z_*)}{2}(z_1-z_*)^2 +d_0(z_1-z_*) = \frac{d''(z_*)}{2}(z_2-z_*)^2 +d_0(z_2-z_*).
\end{equation*}
\notag
$$
В первом приближении $d''(z_*)(z_2-z_*)^2=d''(z_*)(z_1-z_*)^2$, поэтому $(z_2-z_*)^2 = (z_1-z_*)^2$, при этом $z_2-z_1=a$. Следовательно, можно заключить, что
$$
\begin{equation*}
z_1= z_* -\frac{a}{2}(1-\xi),\qquad z_2 = z_*+\frac{a}{2}(1+\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
В таком случае уравнение $d(z_1)=d(z_2)$ преобразуется к уравнению для определения $\xi=\xi(a)$. Это уравнение можно записать в следующем виде: где $\Theta(a,\xi)$ – аналитическая функция переменных $a$ и $\xi$. Теорема о неявной функции позволяет сделать вывод о существовании единственного решения $\xi=\xi(a)$ у последнего уравнения. При этом, естественно, $\xi=\xi(a)$ и $\xi(0)=0$. Итак, показано, что возможен выбор $z_1$, $z_2$ по формулам, приведенным выше, и тогда
$$
\begin{equation*}
h_m = \frac{\pi+\arcsin (ma)}{m},\qquad h_{m+1} = \frac{\pi+\arcsin [(m+1)a]}{m+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $h_*=h_m$ или $h_{m+1}$, а $a=a_* = z_1/m = z_2/(m+1)$, где $m$ было выбрано в процессе реализации возможности выбора $z_1$, $z_2$. Приведем пример выбора соответствующих значений $a_*$, $m_*$ и $h_*$. Численные эксперименты показали, что равенство $h_m = h_{m+1}$ реализуется, например, при $a_* = 0.0010$, $h_m = h_{m+1}=h_*=0.0046$ (результаты указаны с точностью до четвертого знака после запятой), $m_*=985$. Здесь указано наибольшее из возможных значений для выбора подходящего $a$. Итак, при $h_m = h_{m+1}=h_* = a_*d(m_*a_*)$ реализуется критический случай двух пар чисто мнимых собственных значений $\pm i\sigma_m$, $\pm i\sigma_{m+1}$, где
$$
\begin{equation*}
\sigma_m = -m_*\cos (m_*h_*), \qquad \sigma_{m+1} = -(m_*+1)\cos[(m_*+1)h_*],
\end{equation*}
\notag
$$
в данном случае $\sigma_m,\sigma_{m+1}\neq 0$. Ясно, что можно привести и иные примеры выбора соответствующих величин, гарантирующих равенство $h_m=h_{m+1}$. При этом при достаточно малых $a$ (например, если $a<0.0329$) выполнены условия $\sigma_m\neq 0$, $\sigma_{m+1}\neq 0$. Положим теперь
$$
\begin{equation}
h(\varepsilon) = h_*(1+\nu_1\varepsilon),\qquad a(\varepsilon) = a_*(1+\nu_2\varepsilon),
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$, $0<\varepsilon_0\ll 1$, $\nu_1,\nu_2\in\mathbb R$, а постоянные $h_*,a_*$ выбраны таким образом, что реализуется критический случай двух пар чисто мнимых собственных значений: $\pm i\sigma_m$, $\pm i\sigma_{m+1}$. При этом линейный дифференциальный оператор $A$ из правой части уравнения (5) принимает следующий вид:
$$
\begin{equation*}
A(\varepsilon)v = a(\varepsilon)v_{xx} - w_x, \qquad w = v(t,x-h(\varepsilon)).
\end{equation*}
\notag
$$
Он имеет собственные значения $\lambda_n(\varepsilon)$, отвечающие собственным функциям $e^{inx}$. Так, например, при $n=m$ и $n=m+1$ получаем
$$
\begin{equation*}
\lambda_m(\varepsilon) = -a(\varepsilon)m^2-im e^{-im h(\varepsilon)},\qquad \lambda_{m+1}(\varepsilon) = -a(\varepsilon)({m+1})^2-i(m+1) e^{-i(m+1)h(\varepsilon)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что
$$
\begin{equation*}
\lambda_m(0)=i\sigma_m,\quad \lambda_{m+1}(0) = i\sigma_{m+1},\quad \lambda'_m(0) = \tau'_m+i\sigma'_m,\quad \lambda'_{m+1}(0) = \tau'_{m+1}+i\sigma'_{m+1},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \tau'_m = -\nu_2 m Q_2 -\nu_1 m (\pi+\arcsin Q_2)Q_1, \\ \tau'_{m+1}= -\nu_2(m+1)Q_4 -\nu_1 (m+1)(\pi+\arcsin Q_4)Q_3, \\ \sigma'_{m}= -\nu_1 m Q_2(\pi+\arcsin Q_2),\qquad \sigma'_{m+1} = -\nu_1 (m+1)Q_4(\pi+\arcsin Q_4). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь использованы следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
Q_1=-\sqrt{1-m^2a^2},\quad Q_2=ma, \quad Q_3 = -\sqrt{1-(m+1)^2a^2}, \quad Q_4 = (m+1)a.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, отметим, что для остальных собственных значений $\lambda_n(\varepsilon)$ с $n\neq m,m+1$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} \lambda_n(\varepsilon)\leqslant -\gamma_0 <0,
\end{equation*}
\notag
$$
если $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$, а $0<\varepsilon_0 \ll 1$. Далее будут использованы обозначения
$$
\begin{equation*}
Q_m = Q_1+iQ_2, \quad Q_{m+1} = Q_3+iQ_4,\quad \tau'_m = \alpha_1, \quad \sigma'_m = \beta_1,\quad \tau'_{m+1} = \alpha_2, \quad \sigma'_{m+1} = \beta_2.
\end{equation*}
\notag
$$
4. Бифуркационная задача коразмерности 2В этом разделе рассмотрим КЗ (5), (6), в которой выберем $a=a(\varepsilon)$, $h=h(\varepsilon)$, используя равенства (9). В результате получим следующую КЗ:
$$
\begin{equation}
v_t = A(\varepsilon)v + b_2 F_2(w,\varepsilon)+b_3 F_3(w,\varepsilon),
\end{equation}
\tag{10}
$$
где линейный дифференциальный оператор $A(\varepsilon)$ был введен в предыдущем разделе. Наконец,
$$
\begin{equation*}
F_2(w,\varepsilon) = (w_x)^2 - M(w^2_x),\qquad F_3(w,\varepsilon) = (w_x)^3 - M(w^3_x).
\end{equation*}
\notag
$$
Свойства правой части дифференциального уравнения с частными производными (10) и, в частности, линейный дифференциальный оператор $A(\varepsilon)$ позволяют заключить, что КЗ (10), (11) имеет четырехмерное инвариантное многообразие $M_4(\varepsilon)$, если $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$, $\varepsilon_0$ – некоторая положительная постоянная (см. [14]–[16]). Решения КЗ (10), (11), принадлежащие $M_4(\varepsilon)$, будем искать в следующем виде (см., например, [8], [9], [17]):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v(t,x,\varepsilon) ={}& \varepsilon^{1/2}v_1(t,x,z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2)+ \varepsilon v_2(t,x,z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2)+{} \notag \\ &+\varepsilon^{3/2}v_3(t,x,z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2)+O(\varepsilon^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Предлагаемый вариант построения решения – это алгоритм Крылова–Боголюбова, модифицированный для его применения к задачам с бесконечномерным фазовым пространством. Отметим также, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, w(t,x,\varepsilon) ={}& \varepsilon^{1/2}w_1(t,x,z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2)+ \varepsilon w_2(t,x,z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2)+{} \notag \\ &+\varepsilon^{3/2}w_3(t,x,z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2)+O(\varepsilon^2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
где
$$
\begin{equation*}
w(t,x,\varepsilon)=v(t,x-h(\varepsilon),\varepsilon),\,\, w_j(t,x,z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2) = v_j(t,x-h_*,z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2),\,\, j=1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
В формуле (12)
$$
\begin{equation*}
v_1(t,x,z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2) = z_1q_m(t,x)+\bar{z}_1\bar{q}_m(t,x)+ z_{2}q_{m+1}(t,x)+\bar{z}_{2}\bar{q}_{m+1}(t,x),
\end{equation*}
\notag
$$
функции $v_k = v_k(t,x,z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2)$, $k=2,3$, принадлежат классу функций $\Phi$. Функция $\varphi(t,x,z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2)$ принадлежит классу $\Phi$, если она обладает следующими свойствами: 1) гладко зависит от своих переменных; 2) по переменной $x$ имеет период $2\pi$; 3) по переменной $t$ является почти периодической функцией с двумя базисными частотами $\sigma_m,\sigma_{m+1}$; 4) кроме равенства $M(f)=0$, выполнены еще четыре следующих интегральных равенства (см. [18]):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\biggl(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\varphi(t,x)q_{-m}(t,x)\,dx\biggr)\,dt=0, \\ &\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\biggl(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\varphi(t,x)q_{m}(t,x)\,dx\biggr)\,dt=0, \\ &\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\biggl(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\varphi(t,x)q_{-m-1}(t,x)\,dx\biggr)\,dt=0, \\ &\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\biggl(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\varphi(t,x)q_{m+1}(t,x)\,dx\biggr)\,dt=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $q_m(t,x) = e^{i\sigma_mt+imx}$, $q_{-m} = \bar{q}_m$, $q_{m+1}(t,x)=e^{i\sigma_{m+1}t+i(m+1)x}$, $q_{-(m+1)}=\bar{q}_{m+1}$. Наконец, $z_1=z_1(s)$, $z_2=z_2(s)$ – комплекснозначные функции “медленного” времени $s=\varepsilon t$. Эти функции следует искать как решения вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
z'_1 = \chi_1(z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2,\varepsilon), \qquad z'_2 = \chi_2(z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2,\varepsilon),
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $\chi_1$, $\chi_2$ – достаточно гладкие функции своих переменных. В теории динамических систем систему дифференциальных уравнений (14) принято называть нормальной формой. Отметим также, что в ситуации общего положения определяющую роль играет “укороченная” нормальная форма (использована терминология из монографии [19])
$$
\begin{equation}
z'_1 = \psi_1(z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2),\qquad z'_2 = \psi_2(z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2),
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $\psi_j(z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2)=\chi_j(z_1,\bar{z}_1,z_2,\bar{z}_2,0)$. Для определения правых частей системы дифференциальных уравнений (15) подставим суммы (12), (13) в КЗ (10), (11) и выделим слагаемые при одинаковых степенях $\varepsilon\!: \varepsilon^{1/2},\varepsilon,\varepsilon^{3/2}$ и т. д. В результате такой подстановки получим две линейные неоднородные КЗ для определения $v_2$, $v_3$. Выделяя слагаемые, пропорциональные $\varepsilon$, получим следующую неоднородную КЗ для определения $v_2$: где $\Phi_2(v_{1x}) = b_2(w^2_{1x}-M(w^2_{1x}))$.Если выделить члены, пропорциональные $\varepsilon^{3/2}$, то для $v_3$ получим следующий вариант неоднородной КЗ: где
$$
\begin{equation*}
\Phi_3(v_{1x},v_{2x}) = 2b_2(w_{1x}w_{2x}-M(w_{1x}w_{2x}))+b_3(w^3_{1x}-M(w^3_{1x}))+A_1v_1 - \frac{\partial v_1}{\partial s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $A_0 v = a_* v_{xx} - w_x$, где в данном случае $w=v(t,x-h_*)$. Наконец, имеем
$$
\begin{equation*}
A_1v_1 = \frac{d}{d\varepsilon}A(\varepsilon)v_1|_{\varepsilon=0} = \nu_2a_*v_{1xx} + w_{1xx}h'_0,\qquad h'_0 = \frac{d}{d\varepsilon}h(\varepsilon)|_{\varepsilon=0},
\end{equation*}
\notag
$$
где, как легко проверить,
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{d\varepsilon}h(\varepsilon)=\nu_1\frac{\pi+\arcsin (am)}{m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 1. Рассмотрим неоднородную КЗ Неоднородная КЗ (16), (17) однозначно разрешима в классе рассматриваемых функций и ее соответствующее решение имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_2(t,x) ={}& m^2 b_2\eta_m Q^2_m z^2_m q^2_m+ m^2 b_2\bar{\eta}_m \bar{Q}^2_m \bar{z}^2_m \bar{q}^2_m +(m+1)^2 b_2\eta_{m+1} Q^2_{m+1} z^2_{m+1} q^2_{m+1}+{} \\ &+(m+1)^2 b_2\bar{\eta}_{m+1} \bar{Q}^2_{m+1} \bar{z}^2_{m+1}\bar{q}^2_{m+1}+{}\\ &+\xi b_2 m(m+1)Q_{m+1}Q_m z_mz_{m+1} q_m q_{m+1}+{}\\ &+ \bar{\xi} b_2 m(m+1)\bar{Q}_{m+1}\bar{Q}_m \bar{z}_m\bar{z}_{m+1}\bar{q}_m\bar{q}_{m+1}+\kappa b_2 m (m+1)\times{} \\ &\qquad\times z_m\bar{z}_{m+1} Q_m\bar{Q}_{m+1}q_m\bar{q}_{m+1}+\bar{\kappa} b_2 m (m+1) \bar{z}_m {z}_{m+1} \bar{Q}_m {Q}_{m+1}\bar{q}_m{q}_{m+1}, \\ \eta_{m} ={}& - \frac{1}{2m}\frac{p_1-ip_2}{p^2_1+p^2_2}, \qquad p_1 = 2Q_2(1-Q_1), \qquad p_2 = Q^2_1-Q^2_2 - Q_1, \\ \eta_{m+1} ={}& - \frac{1}{2(m+1)}\frac{p_3-ip_4}{p^2_3+p^2_4}, \qquad p_3 = 2Q_4(1-Q_3),\qquad p_4 = Q^2_3-Q^2_4 - Q_3, \\ \xi={}& -2\frac{g_1-ig_2}{g^2_1+g^2_2},\qquad g_1 = (2m+1)(Q_2(1-Q_3)+Q_4(1-Q_1)), \\ g_2 ={}& (2m+1)(Q_1Q_3-Q_2Q_4) - mQ_1 - (m+1)Q_3, \qquad \kappa = 2\frac{g_3-ig_4}{g^2_3+g^2_4}, \\ g_3 ={}& a+ Q_2Q_3 - Q_1Q_4, \qquad g_4 = -Q_1Q_3 - Q_2Q_4 +(m+1)Q_3 - mQ_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к анализу неоднородной КЗ (18), (19). Условия ее разрешимости позволяют найти правые части нормальной формы (15). После вычисления соответствующих интегралов получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi_1 &= (\alpha_1+i\beta_1)z_1 + (d_1+ic_1)z_1|z_1|^2+ (d_2+ic_2)z_1|z_{2}|^2, \\ \psi_2 &= (\alpha_2+i\beta_2)z_{2} + (d_3+ic_3)z_{2}|z_1|^2+ (d_4+ic_4)z_{2}|z_{2}|^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d_1={}& d_{12}+d_{13}, \qquad c_{1} = c_{12}+c_{13}, \qquad d_2 = d_{22}+d_{23},\qquad c_{2} = c_{22}+c_{23}, \\ d_{3} ={}& d_{32}+d_{33},\qquad c_{3} = c_{32}+c_{33}, \qquad d_4 = d_{42}+d_{43},\qquad c_4 = c_{42}+c_{43},\\ d_{12} ={}& -2b^2_2m^3\frac{1}{p^2_1+p^2_2}(p_1(Q^3_1-3Q_1Q^2_2)+p_2(3Q^2_1Q_2-Q^3_2)),\\ d_{13} ={}& -3b_3m^3Q_2, \qquad c_{13} = 3b_3m^3 Q_1, \\ c_{12} ={}& -2b^2_2m^3\frac{1}{p^2_1+p^2_2}(p_1(3Q^2_1Q_2 - Q^3_2) - p_2(Q^3_1 - 3Q_1Q^2_2)), \\ d_{22} ={}& 4b^2_2 m(m+1)^2\biggl(\frac{1}{g^2_3+g^2_4}((Q^2_1-Q^2_2)(g_3Q_3-g_4Q_4)+2Q_1Q_2(g_4Q_3+g_3Q_4)) -{} \\ &\qquad\qquad\qquad\quad-\frac{2m+1}{g^2_1+g^2_2}((Q^2_1-Q^2_2)(g_1Q_3+g_2Q_4)-2Q_1Q_2(g_1Q_4-g_2Q_3))\biggr),\\ c_{22} ={}& 4b^2_2m(m+1)^2\biggl(\frac{1}{g^2_3+g^2_4}(2Q_1Q_2(g_3Q_3-g_4Q_4) - (Q^2_1-Q^2_2)(g_4Q_3+g_3Q_4))-{} \\ &\qquad\qquad\qquad\quad-\frac{2m+1}{g^2_1+g^2_2}(2Q_1Q_2(g_1Q_3+g_2Q_4)+(Q^2_1-Q^2_2)(g_1Q_4-g_2Q_3))\biggr),\\ d_{32} ={}& -4b^2_2 m^2(m+1)\biggl(\frac{1}{g^2_3+g^2_4}((Q^2_3-Q^2_4)(g_3Q_1+g_4Q_2)-2Q_3Q_4(g_4Q_1-g_3Q_2))+{} \\ &\qquad\qquad\qquad\quad+\frac{2m+1}{g^2_1+g^2_2}( (Q^2_3-Q^2_4)(g_1Q_1+g_2Q_2)-2Q_3Q_4(g_1Q_2-g_2Q_1))\biggr),\\ c_{32} ={}& -4b^2_2 m^2(m+1)\biggl(\frac{1}{g^2_3+g^2_4}(2Q_3Q_4(g_4Q_1-g_3Q_2)+(Q^2_3-Q^2_4)(g_3Q_1+g_4Q_2))+{} \\ &\qquad\qquad\qquad\quad+\frac{2m+1}{g^2_1+g^2_2}(2Q_3Q_4(g_1Q_1+g_2Q_2) +(Q^2_3-Q^2_4)(g_1Q_2-g_2Q_1))\biggr), \\ d_{42} ={}& -2b^2_2(m+1)^3\frac{1}{p^2_3+p^2_4}(p_3(Q^3_3 - 3Q_3Q^2_4)+p_4(3Q^2_3Q_4 - Q^3_4)), \\ c_{42} ={}& -2b^2_2\frac{(m+1)^3}{p^2_3+p^2_4}(p_3(3Q^2_3Q_4-Q^3_4) -p_4(Q^3_3 - 3Q_3Q^2_4)), \\ d_{23} ={}& -6b_3m(m+1)^2Q_2,\qquad c_{23} = 6b_3m(m+1)^2 Q_1, \qquad d_{33} = -6b_3 m^2(m+1)Q_4, \\ c_{33} ={}& 6b_3m^2(m+1)Q_3, \qquad d_{43} = -3b_3(m+1)^3Q_4, \qquad c_{43} = 3b_3(m+1)^3Q_3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha_1 &= -\nu_2 mQ_2 -\nu_1m(\pi+\mu_m)Q_1,\qquad \beta_1 = -\nu_1 m Q_2(\pi+\mu_m), \\ \alpha_2 &=-\nu_2(m+1)Q_4 -\nu_1(m+1)(\pi+\mu_{m+1})Q_3,\qquad \beta_2 = -\nu_1(m+1)Q_4(\pi+\mu_{m+1}), \\ \mu_m &= \arcsin Q_2, \qquad \mu_{m+1} = \arcsin Q_4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для дальнейших построений отметим, что равенства для определения $\alpha_1$, $\alpha_2$ можно рассматривать как систему для определения $\nu_1$, $\nu_2$, если считать $\alpha_1$, $\alpha_2$ заданными величинами. Определитель этой системы
$$
\begin{equation*}
\Delta = m(\pi+\mu_m)Q_1(m+1)Q_4 - (m+1)(\pi+\mu_{m+1})Q_3 mQ_2 = m^2(m+1)^2ah_*(Q_1-Q_3)\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $h_* = (\pi+\mu_m)/m = (\pi+\mu_{m+1})/(m+1)$. Следовательно, далее можно считать $\alpha_1$, $\alpha_2$ новыми независимыми параметрами вместо $\nu_1$, $\nu_2$.
5. Анализ нормальной формыРассмотрим систему дифференциальных уравнений (15), в которой положим
$$
\begin{equation}
z_1 = \rho_1 e^{i\varphi_1},\qquad z_{2} = \rho_{2} e^{i\varphi_{2}}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
В результате этих замен, т. е. перехода к переменным действие–угол, получаем новую систему из четырех действительных уравнений
$$
\begin{equation}
\rho'_1 = \alpha_1\rho_1 + (d_1\rho^2_1 + d_2\rho^2_{2})\rho_1, \qquad \rho'_{2} = \alpha_2\rho_{2} +(d_3\rho^2_{1}+d_4\rho^2_{2})\rho_{2},
\end{equation}
\tag{21}
$$
а также систему для угловых переменных
$$
\begin{equation}
\varphi'_1 = \beta_1 +c_1\rho^2_1 +c_2\rho^2_{2},\qquad \varphi'_{2} = \beta_2+c_3\rho^2_1 +c_4\rho^2_{2}.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Основное внимание, как известно, следует уделить системе уравнений (21) для амплитудных переменных $\rho_1$, $\rho_{2}$. Ее состояния равновесия находим как решения с неотрицательными координатами системы алгебраических уравнений
$$
\begin{equation*}
\rho_1(\alpha_1 +d_1\rho^2_1+d_2\rho^2_{2}) = 0, \qquad \rho_{2}(\alpha_2+d_3\rho^2_1+d_4\rho^2_{2})=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Последняя система алгебраических уравнений, кроме нулевого состояния равновесия $S_{0,0}$ ($\rho_1=\rho_{2}=0$), может иметь и ненулевые состояния равновесия, которые представляют особый интерес при анализе бифуркационных задач. Напомним, что вопрос об устойчивости состояний равновесия может быть проанализирован с использованием теоремы об устойчивости по первому (линейному) приближению. Лемма 1. Кроме нулевого состояния равновесия $S_{0,0}$, система дифференциальных уравнений (21) может иметь и ненулевые состояния равновесия Вопрос об устойчивости этих состояний равновесия в силу теоремы об устойчивости по первому (линейному) приближению может быть сведен к анализу матрицы Якоби
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \alpha_1+3d_1\rho^2_1+d_2\rho^2_2 & 2d_2\rho_1\rho_2 \\ 2d_3\rho_1\rho_2 & \alpha_2+d_3\rho^2_1 + 3d_4\rho^2_2 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
вычисленной при замене $\rho_1$ и $\rho_2$ на координаты соответствующего состояния равновесия. Лемма 2. Состояние равновесия $S_{0,0}$ является асимптотически устойчивым, если $\alpha_1,\alpha_2< 0$, и оно неустойчиво, если хотя бы одна из величин $\alpha_1$, $\alpha_2$ положительна. Состояние равновесия $S_{1,0}$ асимптотически устойчиво, если выполнены следующие два неравенства: и оно неустойчиво, если хотя бы одна из указанных величин имеет противоположный знак.Состояние равновесия $S_{0,1}$ асимптотически устойчиво, если выполнены следующие два неравенства: и оно неустойчиво, если хотя бы одна из двух последних величин имеет противоположный знак.Наконец, состояние равновесия $S_{1,1}$ асимптотически устойчиво, если выполнены два следующих неравенства: и оно неустойчиво, если хотя бы одна из этих двух величин имеет противоположный знак.Обратим внимание на то, что условия асимптотической устойчивости суть не что иное, как условия отрицательности действительных частей собственных значений соответствующей матрицы. Выделим особо некоторые частные случаи при анализе системы обыкновенных дифференциальных уравнений (21) для амплитудных переменных. Пусть $b_2=0$ (присутствует только кубическая нелинейность в уравнении (1)). Такой вариант достаточно характерен для многих задач математической физики. В таком случае
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} d_1&=-3b_3m^4 a,&\qquad d_2&=-6b_3 m^2(m+1)^2 a\\ d_3&=-6b_3 m^2(m+1)^2a,&\qquad d_4&= -3b_3(m+1)^4 a. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, знаки коэффициентов $d_1,d_2,d_3,d_4$ нормальной нормы (15), а также системы дифференциальных уравнений (21) противоположны знакам коэффициента $b_3$. Поэтому из леммы 1 в данном случае вытекает, что состояние равновесия $S_{1,0}$ ($S_{0,1}$) существует, если $\alpha_1 b_3>0$ ($\alpha_2 b_3 >0$). Кроме того, $\Delta <0$ при любом варианте выбора $b_3\neq 0$. Поэтому состояние равновесия $S_{1,1}$ всегда неустойчиво (если, конечно, существует). Асимптотически устойчивыми могут быть только состояния равновесия $S_{1,0}$, $S_{0,1}$. Второй содержательный частный случай возникает, если выбрать параметры задачи таким образом, чтобы рассматривался критический случай коразмерности 2 при наибольшем из возможных значений $a$. Оказалось, что в таком случае $a=a_*\approx 0.0010$, $m=m_*=985$, $h=h_*=0.0046$ (приближенные числовые значения приведены с точностью до четырех знаков после запятой, но эти постоянные можно уточнить при необходимости). При таком выборе $a_*$, $h_*$, $m_*$ используемый алгоритм позволяет уточнить величины $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$, $\alpha_1$, $\alpha_2$, а также при необходимости и остальные коэффициенты нормальной нормы (коэффициенты системы (22)). Ограничимся рассмотрением системы (21), в которой целесообразно нормировать переменные $\rho_1(s)$, $\rho_2(s)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\rho_1(s) = \frac{r_1(s)}{\sqrt{|d_{12}|}},\qquad \rho_2(s) = \frac{r_2(s)}{\sqrt{|d_{42}|}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В последней замене учтено, в частности, что при предложенном выборе величин $a_*$, $h_*$, $m_*$ справедливы неравенства $d_{12},d_{42}<0$, если, конечно, $b_2\neq 0$. После такой нормировки переменных $\rho_1$, $\rho_2$ система (21) принимает следующий вид:
$$
\begin{equation}
r'_1 = \alpha_1 r_1 - (\delta_1 r^2_1+\delta_2 r^2_2)r_1,\qquad r'_2 = \alpha_2 r_2 - (\delta_3 r^2_1+\delta_4 r^2_2)r_2,
\end{equation}
\tag{23}
$$
где, как и ранее, $\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb R$ и произвольны,
$$
\begin{equation*}
\delta_1 = 4.82b+1,\quad \delta_2= 9.73b-1, \quad \delta_3 = 9.67b+0.57,\quad \delta_4 = 4.87b+1,\quad b=\frac{b_3}{b^2_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
При выводе последних формул для $\delta_1$, $\delta_2$, $\delta_3$, $\delta_4$ были учтены численные значения для выбранных $a,h,m$. Отметим, что в данном случае важную роль играет величина $\Delta = \delta_1\delta_4 - \delta_3\delta_2 = -70.62b^2+13.81b+1.57$. Анализ последнего квадратного трехчлена показал, что $\Delta>0$, если $b\in (-0.08,0.28)$. При $b\in (-\infty,-0.08)\cup (0.28,\infty)$ справедливо неравенство $\Delta<0$. При этом, если $\Delta>0$, то при соответствующем выборе $\alpha_1$, $\alpha_2$ существует асимптотически устойчивое состояние равновесия $S_{1,1}$. Конечно, диапазон таких значений $b$ не очень широк, но в него заведомо входит вариант, когда $b_3=0$ ($b=b_3/b^2_2$). Тем самым при отсутствии кубических слагаемых может существовать асимптотически устойчивое состояние равновесия $S_{1,1}$, у которого обе координаты положительны. Следствие 1. Состоянию равновесия $S= (\xi_m,\xi_{m+1})$ системы (21) соответствует семейство решений следующего вида: Состоянию равновесия $S_{1,1}$ соответствует двумерный инвариантный тор $T_2$, сформированный в случае общего положения почти периодическими решениями. Подчеркнем, что цикл $C_{1,0}$ ($C_{0,1}$) орбитально асимптотически устойчив, если асимптотически устойчиво состояние равновесия $S_{1,0}$, $S_{0,1}$, и $C_{1,0}$ ($C_{0,1}$) – неустойчивый цикл, если он соответствует неустойчивым состояниям равновесия системы дифференциальных уравнений (21). Тор $T_2$ – локальный аттрактор, если состояние равновесия $S_{1,1}$ системы дифференциальных уравнений (21) асимптотически устойчиво, и тор $T_2$ неустойчив, если неустойчиво состояние равновесия $S_{1,1}$. 6. Основные результатыАнализ нормальной формы (15), системы уравнений (21), (22), а также результаты и методика из работ [8], [9], [14], [15], [17] позволяют заключить, что справедливы следующие утверждения. Теорема 1. Существует положительная постоянная $\varepsilon_1=\varepsilon_1(a_*,h_*,m_*)$ такая, что при всех $\varepsilon\in (0,\varepsilon_1)$ циклу $C_{1,0}$ нормальной формы (15) соответствует цикл $C_{1,0}(\varepsilon)$ КЗ (10), (11). Цикл $C_{1,0}(\varepsilon)$ – локальный аттрактор, если цикл $C_{1,0}$ нормальной формы (15) орбитально асимптотически устойчив. Цикл $C_{1,0}(\varepsilon)$ неустойчив, если неустойчив цикл $C_{1,0}$ нормальной формы (15). Для решений, формирующих цикл $C_{1,0}(\varepsilon)$, справедливы асимптотические формулы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &v_m(t,x,\varepsilon)= \varepsilon^{1/2}y_m(e^{imx+i\omega_m(\varepsilon)t+i\gamma_m}+e^{-imx-i\omega_m(\varepsilon)t-i\gamma_m})+\varepsilon b_2 m^2 y^2_m\times{} \notag \\ &\qquad\times (\eta_m Q^2_m e^{2imx+2i\omega_m(\varepsilon)t+2i\gamma_m}+ \bar{\eta}_m\bar{Q}^2_m e^{-2imx-2i\omega_m(\varepsilon)t-2i\gamma_m})+ O(\varepsilon^{3/2}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $y_m = \sqrt{-\alpha_1/d_1}$, $\omega_m(\varepsilon)=\sigma_m + \varepsilon(\beta_1 - c_1\alpha_1/d_1)+o(\varepsilon)$, $\gamma_m\in\mathbb R$, через $O(\varepsilon^{3/2})$ обозначены функции, имеющие порядок малости $\varepsilon^{3/2}$. Теорема 2. Существует положительная постоянная $\varepsilon_2=\varepsilon_2(a_*,h_*,m_*)$ такая, что циклу $C_{0,1}$ нормальной формы (15) при всех $\varepsilon\in (0,\varepsilon_2)$ соответствует цикл $C_{0,1}(\varepsilon)$ КЗ (10), (11), который наследует устойчивость (неустойчивость) цикла $C_{0,1}$ нормальной формы (15). Для решений, формирующих цикл $C_{0,1}(\varepsilon)$, справедливы асимптотические формулы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v_{m+1}(t,x,\varepsilon) ={}& \varepsilon^{1/2}y_{m+1}(e^{i(m+1)x+i\omega_{m+1}(\varepsilon)t+i\gamma_{m+1}}+e^{-i(m+1)x-i\omega_{m+1}(\varepsilon)t-i\gamma_{m+1}})+{} \notag \\ &+\varepsilon b_2 (m+1)^2 y^2_{m+1}(\eta_{m+1} Q^2_{m+1}e^{2i(m+1)x+2i\omega_{m+1}(\varepsilon)+2i\gamma_{m+1}}+{} \notag \\ &+\bar{\eta}_{m+1}\bar{Q}^2_{m+1} e^{-2i(m+1)x-2i\omega_{m+1}(\varepsilon)-2i\gamma_{m+1}})+ O(\varepsilon^{3/2}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
где $y_{m+1} = \sqrt{-\alpha_2/d_4}$, $\omega_{m+1}(\varepsilon)=\sigma_{m+1}+\varepsilon(\beta_2-c_2\alpha_2/d_4)+o(\varepsilon)$, $\gamma_{m+1}\in\mathbb R$. Теорема 3. Существует положительная постоянная $\varepsilon_3=\varepsilon_3(a_*,h_*,m_*)$ такая, что тору $T_2$ нормальной формы (15) ($\operatorname{dim} T_2=2$) соответствует двумерный инвариантный тор $T_2(\varepsilon)$ КЗ (10), (11). Тор $T_2(\varepsilon)$ – локальный аттрактор, если тор $T_2$ обладает тем же свойством, что и инвариантное многообразие нормальной формы (15), и тор $T_2(\varepsilon)$ неустойчив, если неустойчив двумерный инвариантный тор $T_2$ нормальной формы (15). Для решений, формирующих тор $T_2(\varepsilon)$, справедливы асимптотические формулы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v_{m,m+1}(t,x,\varepsilon) ={}& \varepsilon^{1/2}(\xi_m e^{imx+i\sigma_m t+i\gamma_m}+ \xi_{m+1} e^{i(m+1)x+i\sigma_{m+1}t+i\gamma_{m+1}}+{} \notag \\ &+ \bar{\xi}_m e^{-imx-i\sigma_m t-i\gamma_m}+ \bar{\xi}_{m+1} e^{-i(m+1)x-i\sigma_{m+1}t-i\gamma_{m+1}})+O(\varepsilon), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
где $\xi_m = \sqrt{\Delta_1/\Delta}$, $\xi_{m+1} = \sqrt{\Delta_2/\Delta}$, $\gamma_m,\gamma_{m+1}\in\mathbb R$. Подчеркнем, что все постоянные, встречающиеся в формулах из теорем 1–3, были определены ранее в ходе реализации алгоритма построения нормальной формы (15), а также при ее анализе (например, в ходе этого анализа были вычислены постоянные $\Delta$, $\Delta_1$, $\Delta_2$). Понятно, что приведенные в теоремах 1–3 асимптотические формулы могут быть уточнены, если продолжить реализацию алгоритма, вычислить правые части формулы из формулировки теоремы 3 с большей точностью, дополнив ее вторым слагаемым. Отметим, что в ситуации общего положения функции $v_{m,m+1}(t,x,\varepsilon)$ по переменной $t$ – это почти периодические функции, и тор $T(\varepsilon)$ эргодичен. Напомним, что целью анализа является не исследование бифуркаций вспомогательной КЗ (10), (11), а анализ КЗ (4)–(6) (и в конечном счете КЗ (1), (2)) при выборе параметров в соответствии с построениями из раздела 3. При этом перенесение результатов на основную КЗ уже не представляет особой сложности. Для этого необходимо решения вспомогательной КЗ (10), (11), указанные в теоремах 1–3, подставить в правую часть уравнения (4). После этого функция $u_0(t)$ находится простым интегрированием по переменной $t$ правых частей сформированного равенства. Следствие 2 (из теоремы 1). КЗ (4)–(6) имеет двухпараметрическое семейство решений Решения $u_m(t,x,\varepsilon)$ зависят от двух параметров: $\gamma_m$ и $\delta_m$, т. е. формируют двумерное интегральное многообразие $V_2(\varepsilon,m)$ КЗ (4)–(6), наследующее устойчивость (неустойчивость) цикла $C_{1,0}(\varepsilon)$ вспомогательной КЗ (10), (11). Аналогичные утверждения могут быть получены как следствия теорем 2, 3. Следствие 3 (из теоремы 2). КЗ (4)–(6) имеет двумерное интегральное многообразие $V_2(\varepsilon,m+1)$, соответствующее циклу $C_{0,1}(\varepsilon)$. Оно сформировано решениями Следствие 4 (из теоремы 3). КЗ (4)–(6) имеет трехмерное инвариантное многообразие $V_3(\varepsilon,m,m+1)$, соответствующее двумерному тору $T_2(\varepsilon)$ КЗ (10), (11). Это трехмерное интегральное многообразие сформировано трехпараметрическим семейством решений Напомним, что решения $v_{m,m+1}(t,x,\varepsilon)$ вспомогательной КЗ (10), (11) зависят от двух произвольных постоянных $\gamma_m$, $\gamma_{m+1}$, т. е. решения $u_{m,m+1}(t,x,\varepsilon)$, естественно, зависят уже от трех параметров $\gamma_m$, $\gamma_{m+1}$, $\gamma_0$. Подчеркнем, что постоянная $\gamma_0$ произвольна и возникает в результате интегрирования правой части уравнения (4) по переменной $t$. Приведем некоторые комментарии к результатам анализа КЗ (10), (11), а также КЗ (4)–(6). Асимптотические формулы (24)–(26) для решений КЗ (10), (11) могут быть уточнены в процессе реализации алгоритма построения нормальной нормы, и в них могут быть добавлены слагаемые, имеющие порядок малости $\varepsilon^{3/2}$, $\varepsilon^2$ и т. д. Подчеркнем, что в теоремах утверждается существование решений КЗ (10), (11) при $\varepsilon\in (0,\varepsilon_j)$, где $\varepsilon_j = \varepsilon_j(a_*,h_*,m_*)$, $j=1,2,3$, где $j$ – номер теоремы и соответствующего решения. Естественно, возможно изменение $\varepsilon_j$ вместе с изменением параметров КЗ (10), (11). Через $O(\varepsilon^{3/2})$ обозначены функции переменных $t,x$, а также $\varepsilon^{1/2}$, которые зависят от аргументов достаточно гладко. В частности, по $t$ и $x$ они имеют свойства, аналогичные свойствам функций, выписанных в явном виде в правых частях равенств (24)–(26). Поэтому, если отбросить слагаемые $O(\varepsilon^{3/2})$, получим функции, которые можно интерпретировать как “формальные” асимптотики для соответствующих решений, и они удовлетворяют КЗ (10), (11) по невязке (см., например, [20]). Аналогичные замечания относятся к формулам (27)–(29) для решений основной КЗ (4)–(6). 7. ЗаключениеВ статье продолжены исследования локальных бифуркаций для нелокального уравнения эрозии. Рассмотрены локальные бифуркации в более сложной по сравнению с работой [10] ситуации, когда реализуется случай, близкий к критическому, пары чисто мнимых собственных значений с дополнительным вырождением. Такой вариант приводит к возможности появления динамических паттернов достаточно сложной структуры. При этом такие бифуркации реализуются на модах с достаточно большим волновым числом, т. е. полученный квазиволновой рельеф имеет “малую” длину волны. Последний вывод достаточно хорошо согласуется с экспериментами, следовательно, вариант модели, когда учтены нелокальные эффекты, более адекватно описывает данный физико-технологический процесс. Отметим, что рассмотренное в работе уравнение входит в класс дифференциальных уравнений с частными производными с отклоняющимся пространственным аргументом. В данный класс уравнений входит еще одно уравнение, возникающее при моделировании ряда нелинейных эффектов с учетом дифракции (см., например, [21]). Как правило, это приводит к анализу нелинейной эволюционной КЗ где $u=u(t,x)$, $u_h = u(t,x-h)$, $a,K,h$ – положительные постоянные.В работах [22], [23] для КЗ (24), (25) были рассмотрены вопросы, связанные с существованием $t$ периодических решений. Соответствующий анализ предполагал распространение бифуркационной теоремы Андронова–Хопфа на КЗ (30), (31) или аналогичную ей. Добавим, что в работах [24], [25], кроме анализа бифуркаций Андронова–Хопфа в КЗ (30), (31), был изучен и особый ее вариант, возникающий при $a=\varepsilon$, где величина $\varepsilon$ трактовалась как малый положительный параметр. Для анализа возникающей при этом сингулярной КЗ использовались соответствующие асимптотические методы (см. более детально указанные работы, а также приведенную в них библиографию). Как уже отмечалось, изучаемое в работе уравнение входит в класс функционально-дифференциальных уравнений с частными производными. К нему могут быть отнесены не только уравнения с отклоняющимся аргументом, но и интегро-дифференциальные уравнения. Во многих случаях анализ КЗ для функционально-дифференциальных уравнений позволяет выявить более богатую и сложную динамику решений по сравнению с той, которую демонстрируют КЗ для более традиционных вариантов дифференциальных уравнений с частными производными. В качестве примера можно привести нелокальное уравнение Гинзбурга–Ландау. Анализ КЗ для него (см., например, [26]–[29]) показал, что динамика их решений существенным образом отличается от динамики аналогичных КЗ для привычных вариантов такого уравнения. Еще раз подчеркнем, что при изучении многих задач, возникающих для функционально-дифференциальных уравнений, можно эффективно использовать методы теории динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством. В настоящей работе, как уже отмечалось, были использованы такие методы, как метод интегральных (инвариантных) многообразий. Такой подход позволил свести изучение бесконечномерной задачи к анализу системы обыкновенных дифференциальных уравнений – нормальной формы, а также получить асимптотические формулы для решений, описывающих динамические паттерны, и ответить на вопросы об устойчивости найденных решений изученной в статье КЗ. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате |
