| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Моделирование движения транспортного потока на участках с различными скоростными режимами М. А. Погребняк Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924080087 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ современном обществе автомобили заняли важное место в жизни каждого человека. С течением времени количество транспортных средств неуклонно увеличивается, создавая перегрузки на городских дорогах, что, в свою очередь, становится источником пробок и дорожных происшествий. Для того чтобы улучшить ситуацию на дорогах, необходимо предпринять меры, стоимость которых может оказаться значительной. В связи с этим математическое моделирование транспортных потоков выглядит все более перспективным в наше время, так как оно может помочь не только в анализе уже имеющихся транспортных систем, но и в разработке новых. Моделирование движения транспортного потока является мощным инструментом для оценки экономической эффективности крупномасштабных систем. Оно позволяет планировать транспортную инфраструктуру, оптимизировать логистику, прогнозировать транспортный спрос и оценивать эффективность систем управления транспортом. Все это способствует улучшению общей эффективности транспортной системы, повышению экономического благосостояния и качества жизни общества [1]–[3]. В настоящее время существует множество подходов для построения математических моделей движения транспортных потоков [4]. Один из них – микроскопическое моделирование, в котором ускорение транспортного средства описывается некоторой функцией от характеристик самого автомобиля и транспортного средства, идущего перед ним. Одна из популярных моделей этого типа – модель “разумного водителя” (Intelligent Driver Model – IDM) [4], которая была предложена Трайбером [5], [6], а также ее различные модификации [7], [8]. Динамика транспортного потока при таком подходе описывается системой дифференциальных уравнений (обыкновенных или с запаздывающим по времени аргументом). Эти модели обычно предполагают, что транспортное средство ускоряется до заранее заданной максимальной скорости и поддерживает ее на протяжении всего движения. Однако на практике водители корректируют свою скорость, взаимодействуя не только с другими участниками дорожного движения, но и с окружающей средой. Такие факторы, как наличие дорожных знаков с ограничением скорости, дефекты дорожного покрытия или установленные лежачие полицейские, требуют постоянного изменения скорости и принятия решений о торможении или разгоне в зависимости от конкретных ситуаций на дороге. Учет этих переменных и сложностей в поведении водителей является важным аспектом для более точного и реалистичного моделирования транспортных потоков. В настоящей работе предлагается модель движения транспортного потока с запаздывающим по времени аргументом, построенная на базе модели, предложенной в работе [9]. Предлагаемая модель включает в себя расширение базовой модели путем добавления функции Хевисайда в торможение, что предотвращает возможность тормозить с неограниченной скоростью. В работе [10] для модели были подобраны диапазоны значений параметров. Раздел 2 посвящен детальному описанию базовой модели, в последующих разделах предлагается ее развитие с целью учета различных скоростных режимов на участках движения транспортного потока. В разделе 3 строится математическая модель, описывается движение транспортного потока на участках с различными скоростными режимами. В разделе 4 математическая модель применяется для моделирования реального транспортного потока. Численное моделирование выполнено с помощью специально написанной компьютерной программы [11]. 2. Исходная модель движения транспортного потокаВ настоящей работе строится расширение математической модели следования за лидером, которая описывает движение $N \in \mathbb{N}$ автомобилей. Через $n\geqslant1$ обозначен номер машины в потоке, через $x_n (t)$ – положение транспортного средства в момент времени $t$, а $\dot{x}_n (t)$ и $\ddot{x}_n (t)$ – его скорость и ускорение соответственно. Размерности для времени, расстояния и скорости взяты из международной системы единиц (СИ). Все автомобили считаются материальными точками, их внутренняя структура и внешние габариты не учитываются. Модель имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \ddot{x}_1(t)&= R_1 [ a_1(v_{\mathrm{max}, 1}- \dot{x}_1(t))]- (1-R_1)H_1, \\ \ddot{x}_n(t)&= R_n [ a_n(P_n-\dot{x}_n(t)) ] - (1-R_n)H_n, \\ \quad x_n(t)&=\lambda_n, \qquad \dot{x}_n(t)=v_{n} \qquad \text{при }\, t \in [-\tau,0], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $R_n$ – релейная функция вида
$$
\begin{equation*}
R_n= \begin{cases} 1, &\text{если }\,\Delta x_{n}(t,\tau) > (\tau + \tau_b)\dot{x}_n(t) + \dfrac{\dot{x}_n^2(t)}{2\mu g}+l_n, \\ 0, &\text{если }\,\Delta x_{n}(t,\tau) \leqslant (\tau + \tau_b) \dot{x}_n(t) + \dfrac{\dot{x}_n^2(t)}{2\mu g}+l_n, \vphantom{\Biggr\}} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
которая описывает переключение “разгон-торможение”. Величина представляет собой расстояние между соседними автомобилями, причем для первого автомобиля определим значения $\dot{x}_{0}(t-\tau) = 0$, а $x_{0}(t-\tau) = L$, где $L$ – расстояние, которое проедет первый автомобиль до остановки (возможно, $L=\infty$). Параметр $\tau$ описывает время реакции водителя, а $\tau_b$ – время срабатывания тормозной системы, величины $\mu$ и $g$ – коэффициент трения скольжения и ускорение свободного падения соответственно. Параметр $l_n$ равен сумме безопасного расстояния между двумя соседними автомобилями и длины идущей впереди машины, $l_n = l_\mathrm{safe} + l_{\mathrm{veh},n-1}$ ($l_{\mathrm{veh},0}=0$). Коэффициент $a_n>0$ представляет собой обратное время согласования скоростей двух соседних автомобилей и зависит от их мощностей. Параметр $v_{\mathrm{max},n}>0$ – максимальная желаемая скорость, а $P_n$ – логистическая функция вида
$$
\begin{equation}
P_n= \frac{v_{\mathrm{max}, n}-V_n}{1+\exp[k_n(-\Delta x_{n}(t,\tau)+S_n)]} +V_n,
\end{equation}
\tag{2}
$$
описывающая регулировку скорости преследующего автомобиля относительно идущего впереди автомобиля. Функция $V_n$ вида
$$
\begin{equation*}
V_n = \min{(\dot{x}_{n-1}(t-\tau), v_{\mathrm{max},n})} \qquad \text{при }\, n>1, \quad V_1=0,
\end{equation*}
\notag
$$
введена для того, чтобы учесть ограничение скорости автомобиля $v_{\mathrm{max},n}$. Коэффициент $k_n>0$ – скорость логистического роста, показывающая, насколько плавно водитель преследующего автомобиля подстраивает свою скорость под идущий впереди автомобиль. Параметр логистической кривой $S_n$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
S_n = (\tau + t_b) \dot{x}_n(t)+ \frac{\dot{x}_n^2(t)}{2\mu g} + l_n + s_n,
\end{equation*}
\notag
$$
где коэффициент $s_n$ равен расстоянию, пройденному за время $\tau$ со скоростью сближения $s_n=\tau(\dot{x}_{n-1}(t-\tau)-\dot{x}_n(t))$, и задает расстояние, начиная с которого влияние идущего впереди автомобиля перестает определять движение преследующего. Таким образом, первое слагаемое в (1) описывает первую фазу движения, во время которой происходит разгон. Функция Хевисайда вида
$$
\begin{equation}
H_n=\begin{cases} q_n \biggl( \dot{x}_n(t)\dfrac{\Delta \dot{x}_{n}(t,\tau)}{\Delta x_{n}(t,\tau) - l_n}\biggr)^2 , &\text{если }\, q_n \biggl(\dot{x}_n(t) \dfrac{\Delta \dot{x}_{n}(t,\tau)}{\Delta x_{n}(t,\tau) - l_n}\biggr)^2 \leqslant \mu g,\\ \mu g, &\text{если }\, q_n \biggl( \dot{x}_n(t)\dfrac{\Delta \dot{x}_{n}(t,\tau)}{\Delta x_{n}(t,\tau) - l_n}\biggr)^2 > \mu g, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3}
$$
описывает торможение автомобиля, коэффициент $q_n$ при этом показывает интенсивность торможения, $\Delta \dot{x}_{n}(t,\tau)=\dot{x}_{n-1}(t-\tau)-\dot{x}_n(t)$ – разница скоростей двух соседних автомобилей ($\dot{x}_{0}(t-\tau) = 0$), $\lambda_n$ – начальное положение автомобиля, причем $\lambda_n < \lambda_{n+1}$ и $\lambda_n - \lambda_{n+1} > l_n$; $v_n$ – начальная скорость автомобиля. Размерности и диапазоны значений для параметров были определены в работах [9], [10], они представлены в табл. 1. Таблица 1.Параметры модели (1).
3. Движение с различными скоростными режимамиВ рассматриваемой модели (1) предполагается, что ограничение скорости транспортного потока для каждого автомобиля ($n$-го в последовательности) остается постоянным и равным $v_{\mathrm{max},n}$ на протяжении всего пути движения. Разделим весь участок дороги на $M \in \mathbb{N}$ интервалов. Через $m$ обозначим номер текущего интервала, причем для каждого автомобиля $n$ на интервале $m$ будет своя максимальная желаемая скорость. Обозначим через $\varphi^m$ начало $m$-го интервала, причем $\varphi^0$ равно начальному положению $n$-го автомобиля, $\varphi^0 = \lambda_n$, а $\varphi^{M+1}$ равно расстоянию, которое должен проехать первый автомобиль, $\varphi^{M+1}=L$ (рис. 1). Будем считать, что водитель транспортного средства стремится ехать с максимальной допустимой скоростью на каждом участке. Для описания этой максимальной скорости на интервале введем функцию $V_{\mathrm{max},n}^{m}$ вида
$$
\begin{equation*}
V_{\mathrm{max},n}^m=\begin{cases} v_{\mathrm{max},n}^0, &\text{если }\, \lambda_n \leqslant x_n(t) < \varphi^1, \\ v_{\mathrm{max},n}^1, &\text{если }\, \varphi^1\leqslant x_n(t) < \varphi^2, \\ \ldots, &\\ v_{\mathrm{max},n}^m, &\text{если }\, \varphi^m\leqslant x_n(t) < \varphi^{m+1}, \\ \ldots, & \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
которая учитывает ограничение скорости автомобиля на каждом интервале и не дает транспортному средству разогнаться быстрее, чем $v_{\mathrm{max},n}^{m}$ ($v_{\mathrm{max},n}^{M+1}=0$). Также введем функцию $V_{\mathrm{min}, n}^{m}$ вида
$$
\begin{equation*}
V_{\mathrm{min}, n}^{m}=\min(\dot{x}_{n-1}(t-\tau), v_{\mathrm{max},n}^{m+1})\qquad \text{при }\, n>1 \text{ и } \varphi^{m} \leqslant x_n(t) < \varphi^{m+1},
\end{equation*}
\notag
$$
которая описывает скорость, под которую транспортное средство должно подстраивать свою текущую скорость ($V_{\mathrm{min}, 1}^{m}=V_{\mathrm{max},1}^{m+1}$). В качестве такой скорости рассматривается минимальное значение из двух: скорости идущего впереди автомобиля и максимальной желаемой скорости самого транспортного средства на следующем интервале. Движение со скоростью больше $V_{\mathrm{max},n}^{m}$ на интервале $m$ запрещено, поэтому, если текущая скорость транспортного средства выше, чем $V_{\mathrm{max},n}^{m+1}$, транспортное средство должно заранее обратить внимание на начало следующего интервала и снизить свою текущую скорость. В противоположном случае автомобилю нет необходимости заранее подстраивать свою текущую скорость к началу следующего интервала, и он должен ориентироваться только на идущий впереди автомобиль. Для описания такого поведения введем функцию $\varPhi_n^m$ вида
$$
\begin{equation*}
\varPhi_n^m=\begin{cases} \min(\varphi^{m+1}_n,x_{n-1}(t-\tau)), &\text{если }\, \varphi^{m} \leqslant x_n(t) < \varphi^{m+1}\, \text{ и }\, \dot{x}_n \geqslant V_{\mathrm{max},n}^{m+1},\\ x_{n-1}(t-\tau), &\text{если }\, \varphi^{m} \leqslant x_n(t) < \varphi^{m+1}\, \text{ и }\, \dot{x}_n < V_{\mathrm{max},n}^{m+1}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, модель (1) для движения с различными скоростными интервалами выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \ddot{x}_1(t)&= R_1^m [ a_1(V_{\mathrm{max},1}^m- \dot{x}_1(t))] - (1-R_1^m)H_1^m, \\ \ddot{x}_n(t)&= R_n^m [ a_n(P_n^m-\dot{x}_n(t))] - (1-R_n^m)H_n^m, \end{aligned}\\ \quad x_n(t)=\lambda_n, \qquad \dot{x}_n(t)=v_{n} \qquad \text{при }\, t \in [-\tau,0], \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4}
$$
где логистическая функция (2) имеет вид $P_n^m$ и равна следующему выражению:
$$
\begin{equation}
P_n^m= \frac{V_{\mathrm{max}, n}^m-V_n^m}{1+\exp[k_n(-\Delta x_{n}^m(t,\tau)+S_n^m)]} +V_n^m,
\end{equation}
\tag{5}
$$
в которой $\Delta x_{n}^m(t,\tau)=\varPhi^m_n - x_{n}(t)$, а $V_n^m$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
V_n^m = \min{(\dot{x}_{n-1}(t-\tau), V_{\mathrm{max},n}^m)} \qquad \text{при }\, n>1, \quad V_1^m=V_{\mathrm{max},1}^m.
\end{equation*}
\notag
$$
Параметр $S_n^m$ принимает следующий вид:
$$
\begin{equation*}
S_n^m = (\tau + t_b) \dot{x}_n(t)+ \frac{\dot{x}_n^2(t)}{2\mu g} + l_n + \tau\Delta \dot{x}_{n}^m(t,\tau),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta \dot{x}_{n}^m(t,\tau)=V_{\mathrm{min}, n}^m - \dot{x}_n(t)$. Функция Хевисайда (3) принимает вид
$$
\begin{equation}
H_n^m=\begin{cases} q_n \biggl( \dot{x}_{n}(t)\dfrac{\Delta \dot{x}_{n}^m(t,\tau)}{\Delta x_{n}^m(t,\tau) - l_n}\biggr) ^2, &\text{если }\, q_n \biggl(\dot{x}_{n}(t) \dfrac{\Delta \dot{x}_{n}^m(t,\tau)}{\Delta x_{n}^m(t,\tau) - l_n}\biggr) ^2 \leqslant \mu g, \\ \mu g, &\text{если }\, q_n \biggl(\dot{x}_{n}(t) \dfrac{\Delta \dot{x}_{n}^m(t,\tau)}{\Delta x_{n}^m(t,\tau) - l_n}\biggr)^2 > \mu g. \end{cases}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Релейная функция $R_n^m$ принимает следующий вид:
$$
\begin{equation*}
R_n^m=\begin{cases} 1, &\text{если }\,\Delta x^m_{n}(t,\tau) > (\tau + t_b)\dot{x}_n(t) + \dfrac{\dot{x}_n^2(t)}{2\mu g}+l_n, \\ 0, &\text{если }\,\Delta x^m_{n}(t,\tau) \leqslant (\tau + t_b) \dot{x}_n(t) + \dfrac{\dot{x}_n^2(t)}{2\mu g}+l_n. \vphantom{\Biggr\}} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
На рис. 2 изображены графики изменения скорости и расстояния для трех автомобилей, двигающихся согласно модели (4). Графики иллюстрируют динамику, в которой автомобили перемещаются с определенной скоростью на первом интервале, затем уменьшают ее вдвое на втором, а после вновь ускоряются до исходной скорости на третьем интервале.  Рис. 2.Графики изменения скорости (а) и расстояния (б) для модели (4) при значениях параметров $\tau=0.5$, $\tau_b=0.1$, $a_n=5$, $q_n=0.17$, $v_{\mathrm{max}, n}=16.7$, $l_{\mathrm{safe}, n}=1$, $l_{\mathrm{veh}, n}=4$, $g=9.8$, $\mu=0.6$, $k_n=0.5$. Кривые 1, 2, 3 соответствуют автомобилям 1, 2, 3. 4. Применение математической модели в некоторых дорожных ситуацияхВ современном городском планировании дорожная инфраструктура состоит из множества участков с различными скоростными режимами. Это сделано для повышения безопасности, эффективного управления потоком транспорта, увеличения комфорта и общего благополучия. Разделение улиц на участки с разной разрешенной скоростью способствует безопасности пешеходов в плотно застроенных районах, а также обеспечивает более быстрое движение на широких магистралях. Для моделирования динамики движения транспортного потока в таких сценариях была разработана специальная программа. Автомобили в программе перемещаются в соответствии с математической моделью (5), использующей параметры, приведенные в табл. 1. Для решения системы дифференциальных уравнений с запаздыванием в программе применяется метод Рунге–Кутты [12], специально адаптированный для уравнений с запаздыванием. Более того, приложение обеспечивает возможность оценить пропускную способность любого участка, предоставляя функционал для детального анализа проходимости. Разработанное приложение включает несколько режимов, каждый из которых позволяет моделировать поведение автомобилей в определенных дорожных сценариях. Мы рассмотрим динамику движения на участках с различными ограничениями скорости. 4.1. Движение на нескольких участках с различными скоростными ограничениямиРассмотрим случай с тремя интервалами. На первом участке транспортные средства одинаковые и двигаются с одинаковой скоростью. На этом участке автомобили имеют начальную скорость $v_0 = 60$ км/ч (16.7 м/с). Также автомобили имеют отрицательные координаты и расположены на расстоянии $d = 43.14$ м друг от друга. Такое расстояние обусловлено суммой остановочного пути [13], безопасной дистанции и расстояния, которое автомобиль проедет за время $\tau$:
$$
\begin{equation*}
d = (\tau + t_b) v_0 + \frac{v_0^2}{2\mu g} + l_n + \tau v_0,
\end{equation*}
\notag
$$
где добавка $\tau v_0$ необходима для сохранения устойчивости равномерного режима. Автомобиль, начиная движение, учитывает положение идущего впереди автомобиля за время $\tau$ до начала движения, и на протяжении всего интервала времени $\tau$ разница расстояний между автомобилями не должна быть меньше суммы остановочного пути и безопасной дистанции. Второй интервал начинается с нулевой координаты и имеет максимально разрешенную скорость 30 км/ч (8.33 м/с). Его протяженность составляет 500 метров. Третий интервал начинается с 500 метров и продолжается до бесконечности, скорость на нем равна скорости на первом интервале и составляет 60 км/ч (16.7 м/с). На рис. 3 изображены графики изменения скоростей, координат и зависимость координаты от скорости для 10 одинаковых автомобилей. 4.2. Движение по участку дороги с небольшим замедляющим препятствиемРассмотрим частный случай предыдущей динамики, добавив небольшое препятствие на проезжей части. В качестве такого препятствия могут выступать различные дорожные элементы, такие как яма, лежачий полицейский, трамвайные или железнодорожные пути и т. д. Размеры самого препятствия невелики, всего несколько метров, однако оно значительно замедляет движение, требуя от водителей значительного снижения скорости для безопасного прохождения и избежания повреждений транспортных средств. Рассмотрим сценарий, в котором препятствием является объект длиной 0.5 метра, вынуждающий транспортное средство практически останавливаться для его успешного прохождения. Для его преодоления необходима скорость 5 км/ч (1.38 м/с). На рис. 4 изображены графики изменения скоростей, координат и зависимость координаты от скорости для 20 одинаковых автомобилей. В табл. 2, 3 и 4 представлена проходимость транспортных средств через участки длиной 0.5, 3 и 10 метров соответственно при различных скоростях $v$ на этих участках в течение времени $t$. Таблица 2.Проходимость транспортных средств через участок длиной 0.5 метров при различных скоростях на этом участке.
Таблица 3.Проходимость транспортных средств через участок длиной 3 метра при различных скоростях на этом участке.
Таблица 4.Проходимость транспортных средств через участок длиной 10 метров при различных скоростях на этом участке.
Данные в табл. 2 соответствуют характеристикам лежачего полицейского или любой другой небольшой неровности на дороге [14]. Из анализа таблицы следует, что применение лежачих полицейских, не требующих снижения скорости ниже 10 км/ч, несмотря на свои недостатки, не оказывает влияния на пропускную способность [15]. Тем не менее другие неровности, требующие замедления до скорости менее 10 км/ч, оказывают более значительное воздействие на пропускную способность и могут привести к образованию дорожных заторов. Данные в табл. 3 соответствуют характеристикам длины трамвайных путей или любому другому дефекту дорожного покрытия такого размера. Из анализа таблицы следует, что при наличии препятствий длиной 3 метра пропускная способность дороги не уменьшается, если препятствие не требует снижения скорости ниже 10 км/ч. Данные в табл. 4 соответствуют характеристикам длины железнодорожных путей или любому другому большому повреждению дорожного покрытия. Из анализа таблицы следует, что даже при наличии препятствий длиной 10 метров пропускная способность дороги не уменьшается, если эти препятствия не требуют снижения скорости ниже 10 км/ч. Разработанная программа предоставляет возможность оценки пропускной способности различных участков дороги. Из результатов работы программы видно, что препятствия длиной до 10 метров не влияют на пропускную способность дороги, при условии, что они не требуют снижения скорости ниже 10 км/ч. Эти выводы согласуются с реальными данными, поскольку в противном случае такие элементы проезжей части, как лежачие полицейские или трамвайные пути, вызывали бы значительные пробки на дорогах. 5. ЗаключениеВ ходе работы была построена математическая модель движения транспортного потока (4), которая описывает динамику нескольких автомобилей на участках с различными скоростными режимами. Полученная модель была применена для описания динамики движения транспортного потока в различных дорожных ситуациях. Результаты моделирования совпали с данными наблюдения за реальными транспортными потоками. В частности, из результатов моделирования следует, что небольшие препятствия, не требующие снижения скорости ниже 10 км/ч, не влияют на пропускную способность участка. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pog24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|