| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Анализ асимптотической сходимости периодического решения уравнения Мэки–Гласса к решению предельного релейного уравнения В. В. Алексеев, М. М. Преображенская Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924080014 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеРассматривается уравнение Мэки–Гласса [1], [2]
$$
\begin{equation}
\dot{v}=-b v+\frac{a \theta^{\gamma} v(t-\tau)}{\theta^{\gamma}+v^{\gamma}(t-\tau)}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Здесь $v=v(t) > 0$ – скалярная функция, $a$, $b$, $\theta$, $\tau$, $\gamma$ – положительные параметры. Параметр $\tau$ – запаздывание по времени, параметр $\gamma$ определяет форму нелинейности. Уравнение Мэки–Гласса – дифференциальное уравнение с запаздыванием по времени, которое было предложено в качестве математической модели изменения концентрации белых кровяных телец [1]. Уравнение обладает богатой динамикой: при различных значениях параметров уравнение может иметь как периодические решения, так и хаотические [1], [2]. Уравнение Мэки–Гласса исследуется в множестве работ [3]–[8]. Так, в оригинальном исследовании [1] приводятся численные решения как в форме периодических, так и непериодических колебаний. В работах [4], [6] исследуются условия, при которых решение уравнения отделено от нуля либо стремится к нулю при $t \to +\infty$. В работах [4], [8] проводится анализ устойчивости постоянного решения $v \equiv \theta (a/b - 1)^{1/\gamma}$. Также в работе [8] исследуются решения, бифурцирующие из постоянного решения. В работе [9] предложена реализация модели Мэки–Гласса в виде электрической схемы. В недавней работе [10] показано существование устойчивых периодических орбит для достаточно больших значений $\gamma$, в работе [11] доказана близость этих орбит к периодической орбите соответствующего предельного уравнения. Также многие авторы исследуют уравнение Мэки–Гласса с различными модификациями: дополнительными запаздываниями, переменными запаздываниями, стохастическими модификациями, а также объединенные в систему уравнений. 2. Постановка задачиЧтобы сократить количество параметров уравнения, сделаем замены
$$
\begin{equation}
v(t) = \theta u\biggl(\frac{t}{\tau}\biggr),\qquad \beta = b\tau,\qquad \alpha=a\tau
\end{equation}
\tag{2}
$$
и перенормируем время $t \mapsto t/\tau$. После этого уравнение (1) принимает вид
$$
\begin{equation}
\dot{u}=-\beta u+\frac{\alpha u(t-1)}{1+(u(t-1))^\gamma}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Далее будем исследовать уравнение (3) при больших значениях параметра $\gamma$. Для удобства последующего анализа перейдем к логарифмической шкале. Дальнейший план характерен для уравнений с большим параметром (см., например, [10]): мы рассмотрим предельное при $\gamma\to+\infty$ уравнение и найдем его периодическое решение. Затем будем доказывать наличие периодического режима, близкого к предельному. С этой целью найдем асимптотические формулы решения и докажем теорему о существовании цикла исходного уравнения. 2.1. Переход к логарифмической шкалеСделаем в уравнении (3) экспоненциальную замену $u=e^x$, получим уравнение относительно новой неизвестной $x$:
$$
\begin{equation}
\dot{x}=-\beta+\alpha\frac{e^{x(t-1)-x}}{1+e^{\gamma x(t-1)}}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
2.2. Предельное релейное уравнениеПри стремлении параметра $\gamma$ к бесконечности получаем следующий предельный для уравнения (4) объект: где релейная функция $H(u)$, которая является предельной для сигмоиды, имеет вид
$$
\begin{equation}
H(u)=\lim_{\gamma\to +\infty}\frac{1}{1+u^{\gamma}}= \begin{cases} 0, & u > 1,\\ \dfrac{1}{2}, & u = 1,\\ 1, & u < 1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{6}
$$
2.3. Множество начальных функцийЗафиксируем положительные параметры $x_0$, $p$, $q$ такие, что $p<q$. В качестве множества начальных функций для уравнений (4) и (5) возьмем
$$
\begin{equation}
S=\{\varphi\in {\rm C}[-1,0]\colon 0 < p \leqslant \varphi(t)\leqslant q \text{ при } t\in[-1,0],\, \varphi(0)=x_0\}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Это множество непрерывных положительных ограниченных функций на отрезке длины запаздывания, имеющих фиксированное значение в нуле. Типичные представители множества (7) изображены на рис. 1.
3. РезультатВведем обозначения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, t_0 = \frac{x_0}{\beta} + 1,\qquad t_2 = t_0 + T, \\ T = \frac{1}{\beta} \ln\biggl(\frac{1}{2}\alpha^2e^{2\beta}(t_1 - t_0 - 1)^2 + \alpha e^{\beta}(t_1 - t_0) + 1\biggr), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $t_1$ – корень уравнения
$$
\begin{equation}
e^{\beta (t - t_0)} - \alpha e^{\beta} (t - t_0 - 1) - 1 = 0.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Теорема 1. Пусть параметры $\alpha,\beta>0$ удовлетворяют условиям Изображение цикла (12) приведено на рис. 2. Теорема 2. Пусть параметры $\alpha,\beta > 0$ удовлетворяют условиям (10), (11). Тогда существуют такие значения параметров $x_0$, $p$, $q$ и такое достаточно большое $\gamma_0$, что при всех $\gamma>\gamma_0$ уравнение (4) с начальной функцией из множества (7) обладает периодическим решением $x^*_\gamma(t)$ периода $T_\gamma$, которое удовлетворяет предельным равенствам 4. Доказательство теоремы 1Решение уравнения (5) строится методом шагов. Если $t \in [0, 1]$, то $x(t - 1) = \varphi(t - 1) > 0$, следовательно, $x(t)$ находится из начальной задачи Коши Отсюда имеем $x(t) = x_0 - \beta t$. Аналитический вид решения сохраняется до точки $t_0$, поскольку в этой точке величина $x(t - 1)$ меняет знак.На промежутке $t \in [t_0, t_0 + 1]$ величина $x(t - 1)$ отрицательна, поэтому решение отыскивается из задачи Коши
$$
\begin{equation}
\dot{x} = -\beta + \alpha e^{x_0 - \beta(t - 1) - x}, \qquad x|_{t = t_0} = -\beta,
\end{equation}
\tag{15}
$$
откуда находим Следующее переключение происходит либо при $t = t_0 + 2$ (в этот момент аргумент функции $x(t - 1)$ выходит из отрезка $[t_0, t_0 + 1]$), либо в точке, где $x(t - 1) = 0$, и величина $x(t - 1)$ второй раз меняет знак. Проверим, что при ограничении (10) выполнен второй случай, т. е. корень уравнения
$$
\begin{equation}
x_0-\beta (t - 1) +\ln(\alpha e^{\beta}(t - t_0 - 1) + 1) = 0
\end{equation}
\tag{17}
$$
существует и лежит на промежутке $(t_0 + 1, t_0 + 2)$. В уравнении (17) обозначим $s = t - t_0$ и заменим $x_0 = \beta(t_0 - 1)$, получим или эквивалентно Нужно показать, что при условии (10) существует корень этого уравнения на отрезке $(1, 2)$.Обозначим левую часть равенства (18) как $F(s)$; $F''(s) > 0$, поэтому функция $F(s)$ выпукла. Минимум $F(s)$ достигается в точке $s_{\min} = 1 + \frac{1}{\beta}\ln\frac{\alpha}{\beta}$. Поскольку $s_{\min} > 1$ и $F(1) = e^{\beta} - 1 > 0$, корень $s = s_\star > 1$ существует тогда и только тогда, когда $F(s_{\min}) \leqslant 0$. Это эквивалентно условию
$$
\begin{equation*}
\alpha \geqslant -\frac{\beta e^{-\beta}}{W(-e^{-\beta - 1})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Условие $s_\star < 2$ выполняется, если $F(2) < 0$ или $s_{\min} < 2$, что эквивалентно (в первом случае) $\alpha > e^{\beta} - e^{-\beta}$ или (во втором случае) $\alpha < \beta e^{\beta}$. Совокупность приведенных условий (с точностью до замены нестрогих неравенств на строгие) эквивалентна условию (10). На отрезке $t \in [t_0 + 1, t_1]$ решение ищется из задачи Коши
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \begin{gathered} \, \dot{x} = -\beta + \alpha\exp[x_0 - \beta(t - 1) + \ln(\alpha e^{\beta}(t - t_0 - 1) + 1) - x], \\ x|_{t = t_0 + 1} = x_0 - \beta (t_0 + 1) +\ln(\alpha e^{\beta} + 1), \end{gathered} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
откуда находим
$$
\begin{equation}
x(t) = x_0-\beta t+\ln\biggl(\frac{\alpha^2}{2}e^{2\beta}(t-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t-t_0)+1\biggr).
\end{equation}
\tag{20}
$$
При $t > t_1$ величина $x(t - 1)$ становится положительной, поэтому уравнение (5) вновь принимает вид $\dot{x} = -\beta$. Пусть $t_2$ – следующий корень уравнения $x(t - 1) = 0$. С учетом начальных условий в точке $t_1$ на промежутке $[t_1, t_2]$ имеем
$$
\begin{equation}
x(t) = x_0-\beta t+\ln\biggl(\frac{\alpha^2}{2}e^{2\beta}(t_1-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0)+1\biggr).
\end{equation}
\tag{21}
$$
Отбросим в (21) квадратичное слагаемое, получим выпуклую вверх функцию $\tilde{x}(t) = -\beta(t - t_0 + 1) + \ln(\alpha e^{\beta} (t - t_0) + 1)$, равную нулю в точке $t_1 - 1$. Тогда $\tilde{x}(t) > 0$ на промежутке $(t_1 - 1, t_1]$, если $\tilde{x}(t_1) > 0$. Подставляя и выражая $\alpha$, с учетом неравенства $x(t) \geqslant \tilde{x}(t)$ получим условие (11). Пусть $t_2$ – корень уравнения $x(t - 1) = 0$, который больше $t_1$. Поскольку $x(t) > 0$ на промежутке длины не меньше единицы, последующие шаги построения решения будут совпадать с приведенными выше, и решение $x(t)$ будет периодическим с периодом $T = t_2 - t_0$. Отметим, что при $\alpha > e^{\beta + e^{-\beta}}$ условия теоремы выполняются (в этом можно убедиться явной проверкой условий). 5. Доказательство теоремы $2$5.1. Общая схема доказательстваБудем последовательно находить асимптотические формулы решения $x_\gamma^*(t)$ уравнения (4) методом шагов, опираясь на решение $x^*(t)$ релейного уравнения (5). Техника построения асимптотики сходна с описанной в работах [12], [13]. Назовем точкой излома функции $x^*(t)$ точку, в которой она имеет разные односторонние производные. Точки излома следует искать среди точек, в которых функция $x^*(t)$ меняет аналитический вид, т. е. среди точек $t_0$, $t_0+1$, $t_1$. Однако в точке $t_0+1$ производные справа и слева совпадают и равны $-\beta+\frac{\alpha e^{\beta}}{\alpha e^{\beta}+1}$, т. е. $t_0+1$ не является точкой излома функции $x^*(t)$. Производные в точке $t_0$ справа и слева равны соответственно $-\beta$ и $-\beta+\alpha e^\beta$, в точке $t_1$ они равны
$$
\begin{equation*}
-\beta+\frac{\alpha^2e^{2\beta}(t_1-t_0-1)+\alpha e^\beta}{(\alpha^2/2)e^{2\beta}(t_1-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0)+1}
\end{equation*}
\notag
$$
слева и $-\beta$ справа. Таким образом, функция $x^*(t)$ имеет две точки излома: $t_0$ и $t_1$. Зафиксируем параметр $\nu\in(1/2, 1)$ и введем малый параметр $\sigma$, который следующим образом связан с большим параметром $\gamma$: Этот параметр имеет смысл радиуса окрестности точки излома.На отрезках $[0,t_0-\sigma]$, $[t_0+\sigma, t_0+1-\sigma]$, $[t_0+1-\sigma,t_0+1+\sigma]$, $[t_0+1+\sigma,t_1-\sigma]$, $[t_1+\sigma,t_2-\sigma]$ будем искать решение в виде и доказывать малость остатка $\Delta$. Для этого найдем задачу Коши, которой удовлетворяет остаток $\Delta$. С этой целью подставим (22) в (4), в результате получим уравнение
$$
\begin{equation*}
\dot{\Delta}=\frac{\alpha e^{x_\gamma^*(t-1)-x^*(t)}}{1+e^{\gamma x_\gamma^*(t-1)}}e^{-\Delta}-\dot{x}^*-\beta.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим начало рассматриваемого отрезка через $\tilde{t}$, а значение функции $\Delta$ в этой точке – через $\tilde{\Delta}$. Для того чтобы найти начальное значение, приравняем значение в точке $\tilde{t}$ функции $x_\gamma^*(t)$ на предыдущем и текущем шагах: $x_\gamma^*(\tilde{t}-0)=x^*(\tilde{t}+0)+\Delta|_{t=\tilde{t}}$. Таким образом, $\Delta$ удовлетворяет задаче Коши
$$
\begin{equation}
\dot{\Delta}=A e^{-\Delta}+B,\qquad \Delta|_{t=\tilde{t}}=\tilde{\Delta},
\end{equation}
\tag{23}
$$
где
$$
\begin{equation}
A=\frac{\alpha e^{x_\gamma^*(t-1)-x^*(t)}}{1+e^{\gamma x_\gamma^*(t-1)}},\qquad B=-\dot{x}^*-\beta,\qquad \tilde{\Delta}=x_\gamma^*(\tilde{t}-0)-x^*(\tilde{t}+0).
\end{equation}
\tag{24}
$$
Будем предполагать, что на отрезках $[t_i-\sigma,t_i+\sigma]$, $i=0,1$, решение имеет вид
$$
\begin{equation}
x^*_\gamma(t)=x^*(t_i)+\frac{1}{\gamma}w_i(\tau)\big|_{\tau=(t-t_i)\gamma}+\Delta.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Здесь функции $w_i$ известные, специальным образом выбранные нами, подробнее о них будет написано в следующем пункте. Параметр $\Delta$ – подлежащий определению остаток, малость которого требуется доказать. Для определения задачи Коши, которой он удовлетворяет, подставим (25) в (4) и найдем начальное значение. Получим задачу (23) при
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, A=\frac{\alpha\exp(x_\gamma^*(t-1)-x^*(t_i)-(1/\gamma)w_i(\tau)|_{\tau=(t-t_i)\gamma})}{1+e^{\gamma x_\gamma^*(t-1)}}, \quad B=-\frac{dw_i}{d\tau}\bigg|_{\tau=(t-t_i)\gamma}-\beta, \\ \tilde{t}=t_i-\sigma=t_i-\gamma^{-\nu},\qquad \tilde{\Delta}=x_\gamma^*(\tilde{t}-0)-x^*(t_i)- \frac{1}{\gamma}w_i(\tau)\big|_{\tau=-\gamma^{1-\nu}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{26}
$$
Сформулируем вспомогательный факт, который доказывается непосредственной проверкой. Лемма 1. Пусть $\tilde{t}\geqslant 0$, $\tilde{\Delta}$ – известные вещественные числа, $A=A(t)$, $B=B(t)$ – непрерывные при $t \geqslant \tilde{t}$ функции, $A(t) > 0$. Тогда решение задачи Коши (23) выражается формулой Из леммы 1 и формул (24), (26) получаем следствия. Следствие 1. На отрезках $[0,t_0-\sigma]$, $[t_0+\sigma, t_0+1-\sigma]$, $[t_0+1-\sigma,t_0+1+\sigma]$, $[t_0+1+\sigma,t_1-\sigma]$, $[t_1+\sigma,t_2-\sigma]$, где решение имеет вид (22), остаток $\Delta$ определяется формулой где Следствие 2. На отрезках $[t_i-\sigma,t_i+\sigma]$, $i=0,1$, где решение имеет вид (25), остаток $\Delta$ определяется формулой (28) при Отметим, что функции $x_\gamma^*(\tilde{t})$ и $x_\gamma^*(t_i-\sigma)$ в следствиях 1, 2 определяются формулами, полученными на предыдущих шагах. 5.2. Асимптотическое поведение в окрестности точек изломаКак было отмечено выше, для описания асимптотического поведения решения уравнения (4) в окрестности точек излома введем следующие функции:
$$
\begin{equation}
w_0(\tau) =-\beta \tau+\frac{\alpha e^\beta}{\beta}\ln(e^{\beta\tau}+1),
\end{equation}
\tag{33}
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{={}}-\frac{\alpha e^\beta(\alpha e^\beta(t_1-t_0-1)+1)^2}{(-\beta(\alpha e^\beta(t_1-t_0-1)+1)+\alpha e^\beta)(\frac{\alpha^2}{2}e^{2\beta}(t_1\!-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t_1\!-t_0)+1))}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\,\,\times \ln\biggl(\exp\biggl(\beta\tau-\frac{\alpha e^\beta\tau}{\alpha e^\beta(t_1-t_0-1)+1}\biggr)+1\biggr).
\end{equation}
\tag{34}
$$
Сформулируем и докажем утверждение, описывающее асимптотическое поведение введенных функций (33), (34) при $\tau\to-\infty$ и $\tau\to+\infty$. Лемма 2. Справедливы асимптотические соотношения Доказательство. Равенство (35) следует из асимптотических свойств логарифма с аргументом, близким к единице. Для доказательства (36) заметим, что Замечание 1. Коэффициенты при $\tau$ в формулах (35)–(38) совпадают с угловыми коэффициентами касательных к $x^*(t)$ в точках $t_0$ и $t_1$ справа и слева. 5.3. Построение асимптотикиДокажем следующую теорему об асимптотическом поведении решения уравнения (4). Теорема 3. Пусть параметры $\alpha$, $\beta$ удовлетворяют условиям теоремы 2, $\gamma\gg 1$, $\sigma=\gamma^{-\nu}$, $\nu\in(1/2,1)$. Уравнение (4) с произвольной начальной функцией $\varphi$ из класса (7) имеет решение $x_\gamma^*(t)$ с асимптотикой Для построения асимптотики функции $x_\gamma^*(t)$ последовательно рассмотрим семь отрезков: $[0,t_0-\sigma]$, $[t_0-\sigma,t_0+\sigma]$, $[t_0+\sigma,t_0+1-\sigma]$, $[t_0+1-\sigma,t_0+1+\sigma]$, $[t_0+1+\sigma, t_1-\sigma]$, $[t_1-\sigma, t_1+\sigma]$, $[t_1+\sigma, t_2-\sigma]$. Шаг 1. Рассмотрим отрезок $[0,t_0-\sigma]$. На этом отрезке будем искать решение в виде Здесь через $\Delta_1=\Delta_1(t,\varphi)$ обозначен остаток, подлежащий определению. Докажем следующий факт.Лемма 3. На отрезке $[0,t_0-\sigma]$ функция $x_\gamma^*(t)$ описывается формулой (40), причем Доказательство. Подставим (40) в (4). Cначала рассмотрим отрезок $[0,1]$. Учитывая, что здесь $x(t-1)=\varphi(t-1)$ и $x_\gamma^*(0)=x_0 +\Delta\big|_{t=0}=x_0$, получаем следующую задачу Коши для нахождения $\Delta$: Далее, рассмотрим отрезок $[1,\min\{t_0-\sigma,2\}]$. Здесь согласно доказанному выше
$$
\begin{equation*}
x_\gamma^*(t-1)=x_0-\beta (t-1)+O(e^{-p\gamma})=-\beta (t-t_0)+O(e^{-p\gamma}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для $\Delta_1$ на этом отрезке получаем задачу Коши
$$
\begin{equation}
\dot{\Delta}_1=\frac{\alpha e^\beta\exp(O(e^{-p\gamma})-\Delta_1)}{1+\exp(-\beta\gamma (t-t_0)+O(\gamma e^{-p\gamma}))},\qquad \Delta_1\big|_{t=1}=O(e^{-p\gamma}).
\end{equation}
\tag{42}
$$
Применяя к правой части асимптотические равенства
$$
\begin{equation*}
e^\varepsilon=1+O(\varepsilon), \qquad \frac{1}{1+e^{x+\varepsilon}}=\frac{1}{1+e^x}+O(\varepsilon)
\end{equation*}
\notag
$$
при $\varepsilon\to 0$, разделяя переменные и интегрируя, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, e^{\Delta_1}-1+O(e^{-p\gamma})&=\int_{1}^{t}\biggl(\frac{\alpha e^\beta}{1+e^{-\beta\gamma(s-t_0)}}+O(\gamma e^{-p\gamma})\biggr)\,ds={} \\ &=\frac{\alpha e^\beta}{\beta\gamma}(\ln(e^{\beta\gamma(t-t_0)}+1)-\ln(e^{\beta\gamma(1-t_0)}+1))+O(\gamma e^{-p\gamma})={} \\ &= \begin{cases} O(\gamma^{-1} e^{-\beta\sigma\gamma}), & \text{ если }\, t_0-\sigma<2,\\ O(\gamma^{-1} e^{-\beta(t_0-2)\gamma}), & \text{ если }\, t_0-\sigma>2. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда имеем
$$
\begin{equation}
\Delta_1=\begin{cases} O(\gamma^{-1} e^{-\beta\sigma\gamma}), & \text{ если }\, t_0-\sigma<2,\\ O(\gamma^{-1} e^{-\beta(t_0-2)\gamma}), & \text{ если }\, t_0-\sigma>2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{43}
$$
Если $2<t_0-\sigma$, продолжим двигаться шагами длины $1$. Каждый раз остаток будет такого вида, как в (43) (вместо двойки будет натуральное число, соответствующее номеру шага длины $1$). В конце, когда дойдем до точки $t_0-\sigma$, получим Лемма доказана. Шаг 2. Рассмотрим следующий промежуток $[t_0-\sigma,t_0+\sigma]$. Этот отрезок – окрестность точки $t_0$ – первого излома функции $x^*(t)$. Здесь будем искать решение в виде
$$
\begin{equation}
x_\gamma^*(t)=-\beta+\frac1\gamma w_0(\tau)\big|_{\tau=(t-t_0)\gamma} +\Delta_2,
\end{equation}
\tag{44}
$$
где $\Delta_2$ – очередной подлежащий определению остаток. Величина $-\beta$ – это значение решения (12) релейного уравнения (5) в точке $t_0$. Функция $w_0(\tau)$ выбрана специальным образом для гладкой “склейки” участков решения при “переходе” через точку $t_0$. Коэффициенты при $\tau$ в формулах (35) и (36) совпадают с угловыми коэффициентами касательных к графику функции $x^*(t)$ соответственно слева и справа от точки $t_0$. Лемма 4. На отрезке $[t_0-\sigma,t_0+\sigma]$ функция $x_\gamma^*(t)$ описывается формулой (44), причем Доказательство. Применим следствие 2 при $i=0$. Подставим Далее, подставляя $x_\gamma^*(s-1)=-\beta(s-t_0)+O(\gamma^{-1}e^{-\beta\gamma^{1-\nu}})$ и (45) в (31), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I&=\int_{t_0-\sigma}^{t}\frac{\alpha\exp(x_\gamma^*(s-1)+\beta(s-t_0+\sigma)-x_\gamma^*(t_0-\sigma))}{1+e^{\gamma x_\gamma^*(s-1)}}\,ds={} \\ &= \int_{t_0-\sigma}^{t}\frac{\alpha e^\beta\exp(O((1/\gamma)e^{-\beta\gamma^{1-\nu}}))}{1+\exp({-\beta \gamma (s-t_0) +O(e^{-\beta\gamma^{1-\nu}})})}\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применим формулы асимптотического разложения
$$
\begin{equation*}
\frac1{1+e^{x+\varepsilon}}=\frac{1}{1+e^{x}}+O(\varepsilon), \qquad e^\varepsilon=1+O(\varepsilon)
\end{equation*}
\notag
$$
при $\varepsilon\to 0$, затем используем тот факт, что следующий интеграл имеет порядок $O(\gamma^{-\nu})$ при $t-t_0\in[-\sigma,\sigma]=[-\gamma^{-\nu},\gamma^{-\nu}]$:
$$
\begin{equation}
\int_{t_0-\sigma}^{t}\frac{\alpha e^\beta}{1+e^{-\beta\gamma(s-t_0)}}\,ds =\frac{\alpha e^{\beta}}{\beta\gamma}\ln(e^{\beta\gamma(t-t_0)}+1)+O\biggl(\frac{1}{\gamma}e^{-\beta\gamma^{1-\nu}}\biggr).
\end{equation}
\tag{47}
$$
Получаем цепочку равенств
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I&=\int_{t_0-\sigma}^{t}\biggl(\frac{\alpha e^\beta}{1+e^{-\beta \gamma (s-t_0) }}+O(e^{-\beta\gamma^{1-\nu}})\biggr)\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{\gamma}e^{-\beta\gamma^{1-\nu}}\biggr)\biggr)\,ds={} \notag \\ &=\int_{t_0-\sigma}^{t}\frac{\alpha e^\beta}{1+e^{-\beta \gamma (s-t_0) }}\,ds +\int_{t_0-\sigma}^{t}\frac{O((1/\gamma)e^{-\beta\gamma^{1-\nu}})}{1+e^{-\beta \gamma (s-t_0) }}\,ds+\int_{t_0-\sigma}^{t}O( e^{-\beta\gamma^{1-\nu}})\,ds={} \notag \\ &=\frac{\alpha e^{\beta}}{\beta\gamma}\ln(e^{\beta\gamma(t-t_0)}+1)+O\biggl(\frac{1}{\gamma}e^{-\beta\gamma^{1-\nu}}\biggr) +O(\gamma^{-1-\nu}e^{-\beta\gamma^{1-\nu}})+O(\gamma^{-\nu} e^{-\beta\gamma^{1-\nu} })={} \notag \\ &=\frac{\alpha e^{\beta}}{\beta\gamma}\ln(e^{\beta\gamma(t-t_0)}+1)+O(\gamma^{-\nu}e^{-\beta\gamma^{1-\nu}}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{48}
$$
В силу малости (47) интеграл $I$ тоже мал с тем же порядком. Поэтому логарифм в формуле (28) можно асимптотически заменить на $I$ с добавкой, которая имеет порядок малости квадрата этого интеграла (т. е. $O(\gamma^{-2\nu})$). Таким образом, используя в формуле (28) представление (48), получаем Лемма доказана. Шаг 3. Далее рассмотрим отрезок $[t_0+\sigma,t_0+1-\sigma]$. Здесь решение ищется в виде
$$
\begin{equation}
x_\gamma^*(t)=x_0-\beta t +\ln(\alpha e^{\beta}(t-t_0)+1) +\Delta_3.
\end{equation}
\tag{49}
$$
Через $\Delta_3=\Delta_3(t,\varphi)$ обозначен очередной остаток, подлежащий определению. Докажем следующий факт. Лемма 5. На отрезке $[t_0+\sigma,t_0+1-\sigma]$ функция $x_\gamma^*(t)$ описывается формулой (49), причем Доказательство. Применим следствие 1 при $\tilde{t}=t_0+\sigma$. С учетом асимптотического поведения функции $w_0$ (36) верно Исходя из построенного на первом шаге решения получаем
$$
\begin{equation*}
x_\gamma^*(s-1)=x_0-\beta (s-1)+O(\gamma^{-1} e^{-\beta\sigma\gamma}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, подставляя эту формулу и (50) в (29), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I&=\int_{t_0+\sigma}^{t}\frac{\alpha\exp(x_\gamma^*(s-1)+\beta(s-t_0-\sigma)-x_\gamma^*(t_0+\sigma))}{1+e^{\gamma x_\gamma^*(s-1)}}\,ds={} \\ &=\int_{t_0+\sigma}^{t}\frac{\alpha e^{\beta}\exp(-\alpha e^\beta\sigma+O(\gamma^{-2\nu}))}{1+\exp( -\beta\gamma (s-1)+O(e^{-\beta\sigma\gamma}))}\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для дальнейшего преобразования подынтегрального выражения применим асимптотические формулы
$$
\begin{equation*}
\frac1{1+e^{x+\varepsilon}}=\frac1{1+e^{x}}+O(\varepsilon), \qquad e^\varepsilon=1+\varepsilon+O(\varepsilon^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I&=\int_{t_0+\sigma}^{t}\biggl(\frac{\alpha e^\beta}{1+e^{-\beta\gamma(s-t_0)}}+O(\gamma e^{-\beta\sigma\gamma})\biggr)(1-\alpha e^{\beta}\gamma^{-\nu}+O(\gamma^{-2\nu}))\,ds ={}\\ &=\int_{t_0+\sigma}^{t}\biggl(\frac{\alpha e^\beta(1-\alpha e^{\beta}\sigma)}{1+e^{-\beta\gamma(s-t_0)}}+O(\gamma^{-2\nu})\biggr)\,ds={}\\ &=\frac{\alpha e^{\beta}}{\beta\gamma}(\ln(e^{\beta\gamma(t-t_0)}+1)-\ln(e^{\beta\gamma^{1-\nu}}+1))(1-\alpha e^{\beta}\sigma)+O(\gamma^{-2\nu})={}\\ &=\frac{\alpha e^{\beta}}{\beta\gamma}(\ln(e^{\beta\gamma(t-t_0)}(1+e^{-\beta\gamma(t-t_0)}))-\ln(e^{\beta\gamma^{1-\nu}}(1+e^{-\beta\gamma^{1-\nu}})))(1-\alpha e^{\beta}\sigma)+O(\gamma^{-2\nu}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из того, что $\sigma<t-t_0$ при $t\in[t_0+\sigma,t_0+1-\sigma]$, следует $-\beta\gamma^{1-\nu}>-\beta\gamma(t-t_0)$, а значит, $e^{-\beta\gamma(t-t_0)}=O(e^{-\beta\gamma^{1-\nu}})$. Тогда в силу свойств логарифма имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I&=\frac{\alpha e^{\beta}}{\beta\gamma}(\beta\gamma(t-t_0)-\beta\gamma^{1-\nu}+O(e^{-\beta\gamma^{1-\nu}}))(1-\alpha e^{\beta}\sigma)+O(\gamma^{-2\nu})={} \notag \\ &=\alpha e^{\beta}(t-t_0)-\alpha e^{\beta}(\alpha e^{\beta}(t-t_0)+1)\sigma+O(\gamma^{-2\nu}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{52}
$$
Подставляя в (28) формулы (51) и (52), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta_3={}&J+\ln(1+I)=\alpha e^{\beta}\sigma-\ln(\alpha e^{\beta}(t-t_0)+1)+O(\gamma^{-2\nu})+{} \notag \\ &+\ln(1+\alpha e^{\beta}(t-t_0)-\alpha e^{\beta}(\alpha e^{\beta}(t-t_0)+1)\sigma+O(\gamma^{-2\nu})). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{53}
$$
Из того, что $\ln(x+\varepsilon)-\ln(x)=\frac{\varepsilon}{x} +O(\varepsilon^2)$ при $\varepsilon\to 0$, следует Лемма доказана.Шаг 4. Следующий промежуток построения решения – $[t_0+1-\sigma,t_0+1+\sigma]$. Решение будем искать в том же виде, что на предыдущем шаге: где
$$
\begin{equation*}
x^*(t)=\begin{cases} x_0-\beta t +\ln(\alpha e^{\beta}(t-t_0)+1), & t\in[t_0+1-\sigma,t_0+1],\\ x_0-\beta t+\ln\biggl(\dfrac{\alpha^2}{2}e^{2\beta}(t-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t-t_0)+1\biggr), & t\in[t_0+1,t_0+1+\sigma], \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
$\Delta_4$ – подлежащий определению остаток. Напомним, что функция $x^*(t)$ дифференцируема в точке $t_0+1$. Лемма 6. На отрезке $[t_0+1-\sigma,t_0+1+\sigma]$ функция $x_\gamma^*(t)$ описывается формулой (54), причем Доказательство. Применим следствие 1. Для этого сначала найдем величину $J$. В данном случае $\tilde{t}=t_0+1-\sigma$, тогда формула (30) принимает вид Теперь найдем величину $I$. Подставим выражение
$$
\begin{equation*}
x_\gamma^*(t_0+1-\sigma)=-2\beta+\beta\sigma+\ln(\alpha e^{\beta}(1-\sigma)+1) +\Delta_3,
\end{equation*}
\notag
$$
значение $\tilde{t}=t_0+1-\sigma$ и (44) в формулу (29) и после элементарных преобразований получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I={}&\frac{\alpha e^\beta}{\alpha e^{\beta}+1}\exp\biggl(\frac{\alpha e^{\beta}\sigma}{\alpha e^\beta+1}\biggr)\times{} \\ &\times \int_{t_0+1-\sigma}^{t}\frac{\exp( \frac{\alpha e^\beta}{\beta\gamma}\ln(e^{\beta\tau}+1)\big|_{\tau=(s-t_0-1)\gamma} +O(\gamma^{-2\nu}))}{1+\exp(-\beta\gamma+ (-\beta \tau+\frac{\alpha e^\beta}{\beta}\ln(e^{\beta\tau}+1))\big|_{\tau=(s-t_0-1)\gamma}+O(\gamma^{1-2\nu}))}\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем под знаком интеграла к новой переменной $\theta=\gamma(s-t_0-1)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I={}&\frac{\alpha e^\beta}{\gamma(\alpha e^{\beta}+1)}\exp\biggl(\frac{\alpha e^{\beta}\sigma}{\alpha e^\beta+1}\biggr)\times{} \notag \\ &\times\int_{-\gamma\sigma}^{\tau}\frac{\exp( \frac{\alpha e^\beta}{\beta\gamma}\ln(e^{\beta\theta}+1) +O(\gamma^{-2\nu}))}{1+e^{-\beta(\gamma+\theta)}(e^{\beta\theta}+1)^{\alpha e^\beta/\beta} e^{O(\gamma^{1-2\nu})}}\,d\theta\bigg|_{\tau=(t-t_0-1)\gamma}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{56}
$$
Сначала рассмотрим полученный интеграл $I$ при $t\in[t_0+1-\sigma,t_0+1]$. В силу того, что $\theta\in[-\sigma\gamma,\tau]\subset(-\infty,0]$, величина $e^{\beta\theta}+1$ ограничена, значит, $0<\ln(e^{\beta\theta}+1)<\ln 2$. Отсюда следует, что аргумент экспоненты в числителе под знаком интеграла – малая величина. Тогда, применяя асимптотическую формулу $e^{\varepsilon}=1+O(\varepsilon)$ при $\varepsilon\to 0$ и учитывая, что $2\nu>1$, получаем для числителя
$$
\begin{equation}
\exp\biggl( \frac{\alpha e^\beta}{\beta\gamma}\ln(e^{\beta\theta}+1) +O(\gamma^{-2\nu})\biggr)=1+O(\gamma^{-1}).
\end{equation}
\tag{57}
$$
Поскольку $-\beta(\gamma+\theta)\in[-\beta\gamma,-\beta\gamma(1-\gamma^{-\nu})]$, второе слагаемое в знаменателе под знаком интеграла мало. Тогда, применяя асимптотическую формулу $\frac{1}{1+\varepsilon}=1+O(\varepsilon)$ и используя формулу (57), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I&=\frac{\alpha e^\beta}{\gamma(\alpha e^{\beta}+1)}\exp\biggl(\frac{\alpha e^{\beta}\sigma}{\alpha e^\beta+1}\biggr) \int_{-\gamma\sigma}^{\tau}(1+O(\gamma^{-1}))\,d\theta\bigg|_{\tau=(t-t_0-1)\gamma} ={}\\ &=\frac{\alpha e^\beta}{\alpha e^{\beta}+1}\exp\biggl(\frac{\alpha e^{\beta}\sigma}{\alpha e^\beta+1}\biggr)(t-t_0-1+\sigma+O(\sigma\gamma^{-1})). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя разложение $e^\varepsilon=1+\varepsilon+O(\varepsilon^2)$ при $\varepsilon\to0$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I&=\frac{\alpha e^\beta}{\alpha e^{\beta}+1}\biggl(1+\frac{\alpha e^{\beta}\sigma}{\alpha e^\beta+1}+O(\sigma^2)\biggr)(t-t_0-1+\sigma+O(\sigma\gamma^{-1}))={} \notag \\ &=\frac{\alpha e^\beta(t-t_0-1+\sigma)}{\alpha e^\beta+1}+O(\gamma^{-2\nu}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{58}
$$
Отсюда с учетом малости $I$, асимптотических свойств логарифма, формулы (55) для $J$ получим требуемую малость остатка $\Delta$, вычисляемого по формуле (28):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta&=-\frac{\alpha e^\beta(t-t_0-1+\sigma)}{\alpha e^\beta+1}+O(\gamma^{-2\nu})+\ln\biggl(1+\frac{\alpha e^\beta(t-t_0-1+\sigma)}{\alpha e^\beta+1}+O(\gamma^{-2\nu})\biggr)={} \notag \\ &=O(\gamma^{-2\nu}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{59}
$$
Теперь рассмотрим $I$ при $t\in[t_0+1,t_0+1+\sigma]$. Разобьем интеграл (56) на два интеграла по отрезкам $[-\sigma\gamma,0]$ и $[0,\tau]$. Первый интеграл имеет асимптотику (58) при подстановке $t=t_0+1$. Тогда формулу (56) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I={}&\frac{\alpha e^\beta\sigma}{\alpha e^\beta+1}+O(\gamma^{-2\nu})+ \frac{\alpha e^\beta}{\gamma(\alpha e^{\beta}+1)}\exp\biggl(\frac{\alpha e^{\beta}\sigma}{\alpha e^\beta+1}\biggr)\times{} \notag \\ &\times \int_{0}^{\tau}\frac{\exp( \frac{\alpha e^\beta\theta}{\gamma}+\frac{\alpha e^\beta}{\beta\gamma}\ln(1+e^{-\beta\theta}) +O(\gamma^{-2\nu}))}{1+e^{-\beta\gamma+(\alpha e^\beta-\beta)\theta}(1+e^{-\beta\theta})^{\alpha e^\beta/\beta} e^{O(\gamma^{1-2\nu})}}\,d\theta\bigg|_{\tau=(t-t_0-1)\gamma}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{60}
$$
Здесь $\tau=(t-t_0-1)\gamma\in[0,\sigma\gamma]$, поэтому $\theta/\gamma=O(\sigma)$, логарифм $\ln(1+e^{-\beta\theta})$ ограничен (его значения лежат в промежутке $[0,\ln 2]$). Как и в предыдущем случае, под знаком интеграла в числителе получаем экспоненту с малым аргументом, поэтому к числителю применима асимптотическая формула $e^\varepsilon=1+\varepsilon+O(\varepsilon^2)$ при $\varepsilon\to0$. В знаменателе показатель экспоненты $-\beta\gamma+(\alpha e^\beta-\beta)\theta\in[-\beta\gamma,-\gamma(\beta+(\alpha e^\beta-\beta)\gamma^{-\nu})]$. Отсюда и из ограниченности $(1+e^{-\beta\tau})^{\alpha e^\beta/\beta}$ получаем малость второго слагаемого в знаменателе под знаком интеграла. Как в предыдущем случае вычисления $I$, применяя формулу $\frac{1}{1+\varepsilon}=1+O(\varepsilon)$ при $\varepsilon\to0$, получаем представление
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I&=\frac{\alpha e^\beta\sigma}{\alpha e^\beta+1}+O(\gamma^{-2\nu})+ \frac{\alpha e^\beta}{\gamma(\alpha e^{\beta}+1)}\exp\biggl(\frac{\alpha e^{\beta}\sigma}{\alpha e^\beta+1}\biggr)\! \int_{0}^{\tau}(1+O(\gamma^{-\nu}))\,d\theta \big|_{\tau=(t-t_0-1)\gamma}={} \notag \\ &=\frac{\alpha e^\beta\sigma}{\alpha e^\beta+1}+O(\gamma^{-2\nu})+ \frac{\alpha e^\beta}{\alpha e^{\beta}+1}\exp\biggl(\frac{\alpha e^{\beta}\sigma}{\alpha e^\beta+1}\biggr)(t-t_0-1+O(\gamma^{-2\nu}))={} \notag \\ &=\frac{\alpha e^\beta\sigma}{\alpha e^\beta+1}+O(\gamma^{-2\nu})+ \frac{\alpha e^\beta}{\alpha e^{\beta}+1}\biggl(1+\frac{\alpha e^{\beta}\sigma}{\alpha e^\beta+1}+O(\sigma^2)\biggr)(t-t_0-1+O(\gamma^{-2\nu}))={} \notag \\ &=\frac{\alpha e^\beta}{\alpha e^{\beta}+1}(t-t_0-1+\sigma)+O(\gamma^{-2\nu}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{61}
$$
что совпадает с асимптотикой для $I$, полученной на отрезке $[t_0+1-\sigma,t_0+1]$. Отсюда следует формула (59). Лемма доказана. Шаг 5. Найдем асимптотику решения при $t\in[t_0+1+\sigma, t_1-\sigma]$. Предположим здесь
$$
\begin{equation}
x_\gamma^*(t)=x_0-\beta t+\ln\biggl(\frac{\alpha^2}{2}e^{2\beta}(t-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t-t_0)+1\biggr) +\Delta_5,
\end{equation}
\tag{62}
$$
где $\Delta_5$ – новый подлежащий определению остаток. Докажем следующую лемму. Лемма 7. На отрезке $[t_0+1+\sigma, t_1-\sigma]$ функция $x_\gamma^*(t)$ описывается формулой (62), причем Доказательство. Применим следствие 1. В данном случае $\tilde{t}=t_0+1+\sigma$. Тогда Отметим, что показатель $1-2\nu<0$ в силу выбора $\nu$. Используем асимптотические формулы
$$
\begin{equation*}
e^\varepsilon=1+O(\varepsilon), \qquad \frac{1}{1+\varepsilon}=1+O(\varepsilon)
\end{equation*}
\notag
$$
при $\varepsilon\to0$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I&=\frac{\alpha e^\beta} {(\alpha^2/2)e^{2\beta}\sigma^2+\alpha e^{\beta}(1+\sigma)+1} \int_{t_0+1+\sigma}^{t} (\alpha e^{\beta}(s-t_0-1)+1)(1+O(\gamma^{-2\nu}))\,ds={} \notag \\ &= \frac{(\alpha^2/2) e^{2\beta}(t-t_0-1)^2+\alpha e^\beta(t-t_0-1-\sigma)+O(\gamma^{-2\nu})} {\alpha e^{\beta}(1+\sigma)+1+O(\gamma^{-2\nu})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{65}
$$
Тогда справедливо
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta_5={}&J+\ln(1+I)= -\ln\biggl(\frac{(\alpha^2/2)e^{2\beta}(t-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t-t_0)+1}{\alpha e^{\beta}(\sigma+1)+1+O(\gamma^{-2\nu})}\biggr)+O(\gamma^{-2\nu}) +{} \notag \\ &+\ln\biggl(\frac{(\alpha^2/2) e^{2\beta}(t-t_0-1)^2+\alpha e^\beta(t-t_0)+1+O(\gamma^{-2\nu})} {\alpha e^{\beta}(1+\sigma)+1+O(\gamma^{-2\nu})}\biggr)=O(\gamma^{-2\nu}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{66}
$$
Лемма доказана. Шаг 6. Очередной промежуток построения решения – это $[t_1-\sigma, t_1+\sigma]$. Предположим, что здесь решение имеет вид
$$
\begin{equation}
x_\gamma^*(t)=x_0-\beta t_1+\ln\biggl(\frac{\alpha^2}{2}e^{2\beta}(t_1-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0)+1\biggr)+\frac1\gamma w_1(\tau)\big|_{\tau=(t-t_1)\gamma} +\Delta_6,
\end{equation}
\tag{67}
$$
где $\Delta_6$ – подлежащий определению остаток. Лемма 8. На отрезке $[t_1-\sigma, t_1+\sigma]$ функция $x_\gamma^*(t)$ описывается формулой (67), причем Доказательство. Применим следствие 2 в случае $i=1$: Далее, найдем
$$
\begin{equation*}
I=\int_{t_1-\sigma}^{t}\frac{\alpha\exp(x_\gamma^*(s-1)+\beta(s-t_1+\sigma)-x_\gamma^*(t_1-\sigma))}{1+e^{\gamma x_\gamma^*(s-1)}}\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая в числителе равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x_\gamma^*(t-1)&=x_0-\beta (t-1) +\ln(\alpha e^{\beta}(t-t_0-1)+1) +\Delta_3, \\ x_\gamma^*(t_1-\sigma)&=x_0-\beta (t_1-\sigma)+{} \\ &\hphantom{={}}+\ln\biggl(\frac{\alpha^2}{2}e^{2\beta}(t_1-t_0-1-\sigma)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0-\sigma)+1\biggr)+\Delta_5, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I={}&\frac{\alpha e^\beta}{(\alpha^2/2)e^{2\beta}(t_1-t_0-1-\sigma)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0-\sigma)+1}\times{} \\ &\times \int_{t_1-\sigma}^{t} \frac{(\alpha e^{\beta}(s-t_0-1)+1)e^{O(\sigma^2)}} {1+\exp(\gamma x^*(s-1)+O(\gamma\sigma^2))}\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Величина $x^*(s-1)$ на отрезке $[t_1-\sigma,t_1+\sigma]$ при переходе через точку $s=t_1$ меняет знак с отрицательного на положительный. Запишем для нее асимптотическое выражение:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, x^*(s-1)&=\dot{x}^*(t_1-1)(s-t_1)+O((s-t_1)^2)={} \notag \\ &=\frac{d}{dt}(x_0-\beta (t-1) +\ln(\alpha e^{\beta}(t-t_0-1)+1))\big|_{s=t_1}(s-t_1)+O(\sigma^2)={} \notag \\ &=\biggl(-\beta+\frac{\alpha e^\beta}{\alpha e^\beta(t_1-t_0-1)+1}\biggr)(s-t_1)+O(\sigma^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{68}
$$
Обозначим здесь коэффициент перед $(s-t_1)$ через $\xi$:
$$
\begin{equation}
\xi=-\beta+\frac{\alpha e^\beta}{\alpha e^\beta(t_1-t_0-1)+1}.
\end{equation}
\tag{69}
$$
Используя формулу (68), асимптотические равенства
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{1+e^{x+\varepsilon}}=\frac{1}{1+e^{x}}+O(\varepsilon), \qquad e^\varepsilon=1+O(\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
$$
справедливые при $\varepsilon\to0$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I={}&\frac{\alpha e^\beta}{(\alpha^2/2)e^{2\beta}(t_1-t_0-1-\sigma)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0-\sigma)+1}\times{} \notag \\ &\times \int_{t_1-\sigma}^{t}\biggl( \frac{\alpha e^{\beta}(s-t_0-1)+1} {1+e^{\xi\gamma (s-t_1)}}+O(\gamma\sigma^2)\biggr)\,ds. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{70}
$$
Разложим в ряд по малому параметру $\sigma$ коэффициент перед интегралом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \frac{\alpha e^\beta}{(\alpha^2/2)e^{2\beta}(t_1-t_0-1-\sigma)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0-\sigma)+1}={} \notag \\ &\qquad = \frac{\alpha e^\beta}{(\alpha^2/2)e^{2\beta}(t_1-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0)+1} +{} \notag \\ &\qquad \hphantom{={}} +\frac{\alpha^2 e^{2\beta}(\alpha e^\beta(t_1-t_0-1)+1)}{((\alpha^2/2)e^{2\beta}(t_1-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0)+1)^2}\sigma+O(\sigma^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{71}
$$
Введем обозначения
$$
\begin{equation}
\eta=\alpha e^\beta(t_1-t_0-1)+1,\qquad\zeta=\frac{\alpha^2}{2}e^{2\beta}(t_1-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0)+1.
\end{equation}
\tag{72}
$$
Тогда функция $w_1$ примет компактный вид
$$
\begin{equation*}
w_1(\tau)=-\beta\tau-\frac{\alpha e^\beta\eta}{\xi\zeta}\ln(e^{-\xi\tau}+1).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
J=\frac1\gamma \frac{\alpha e^\beta\eta}{\xi\zeta}\ln(e^{-\xi\tau}+1)\big|_{\tau=(t-t_1)\gamma}-\frac{\alpha e^\beta\eta}{\zeta}\sigma+O(\sigma^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Проинтегрируем в (70) остаток $O(\gamma\sigma^2)$ (по отрезку, длина которого имеет порядок $\sigma$) и перейдем к новой переменной $\theta=\gamma(s-t_1)$ под знаком интеграла. Тогда с учетом (69), (71), (72) получим
$$
\begin{equation*}
I=\biggl(\frac{\alpha e^\beta}{\zeta}+\frac{\alpha^2 e{2^\beta}\eta}{\zeta^2}\sigma+O(\sigma^2)\biggr)\biggl(\frac{1}{\gamma} \int_{-\gamma\sigma}^{\tau} \frac{(\alpha e^{\beta}\theta/\gamma)+\eta} {1+e^{\xi\theta}}\,d\theta+O(\gamma\sigma^3)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразуем интеграл:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{-\gamma\sigma}^{\tau} \frac{(\alpha e^{\beta}\theta/\gamma)+\eta} {1+e^{\xi\theta}}\,d\theta&= \frac{\alpha e^{\beta}}{\gamma}\int_{-\gamma\sigma}^{\tau} \frac{\theta\, d\theta} {1+e^{\xi\theta}}+\eta\int_{-\gamma\sigma}^{\tau} \frac{d\theta}{1+e^{\xi\theta}}={} \\ &=\frac{\alpha e^{\beta}}{\gamma}\int_{-\gamma\sigma}^{\tau} \frac{\theta\, d\theta}{1+e^{\xi\theta}} -\frac{\eta}{\xi}\ln(e^{-\xi\tau}+1)+\frac{\eta}{\xi}\ln(e^{\xi\gamma\sigma}+1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\ln(e^{\xi\gamma\sigma}+1)=\ln(e^{\xi\gamma\sigma}(1+e^{-\xi\gamma\sigma}))=\ln(e^{\xi\gamma\sigma})+\ln(1+e^{-\xi\gamma\sigma})=\xi\gamma\sigma+O(e^{-\xi\gamma\sigma}),
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\gamma}\int_{-\gamma\sigma}^{\tau} \frac{(\alpha e^{\beta}\theta/\gamma)+\eta} {1+e^{\xi\theta}}\,d\theta= \frac{\alpha e^{\beta}}{\gamma^2}\int_{-\gamma\sigma}^{\tau} \frac{\theta\, d\theta}{1+e^{\xi\theta}} -\frac{\eta}{\xi\gamma}\ln(e^{-\xi\tau}+1)+{\eta}\sigma+O\biggl(\frac1{\gamma}e^{-\xi\gamma\sigma}\biggr).
\end{equation}
\tag{73}
$$
В силу того, что $\tau=(t-t_1)\gamma$ и $t\in[t_1-\sigma,t_1+\sigma]$, выражения
$$
\begin{equation*}
\int_{-\gamma\sigma}^{\tau}\frac{\theta\, d\theta}{1+e^{\xi\theta}}, \qquad \ln(e^{-\xi\tau}+1)
\end{equation*}
\notag
$$
имеют порядок $(\gamma\sigma)^2$ и $\gamma\sigma$ соответственно. Тогда выражение (73) мало и имеет порядок $\sigma$, причем слагаемое с интегралом имеет порядок $\sigma^2$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I&=\biggl(\frac{\alpha^2 e^{2\beta}}{\zeta}+\frac{\alpha e^\beta\eta}{\zeta^2}\sigma+O(\sigma^2)\biggr)\biggl(-\frac{\eta}{\xi\gamma}\ln(e^{-\xi\tau}+1)+{\eta}\sigma+O(\sigma^2)+O(\gamma\sigma^3)\biggr)={} \notag \\ &= -\frac{\alpha e^\beta\eta}{\xi\zeta\gamma}\ln(e^{-\xi\tau}+1)+\frac{\alpha e^\beta\eta}{\zeta}\sigma+O(\gamma\sigma^3). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{74}
$$
Отметим, что $\sigma^2=o(\gamma\sigma^3)$ и $\gamma\sigma^3=o(\sigma)$. Тогда в силу малости $I$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_6={}&J+\ln(1+I)= \frac1\gamma \frac{\alpha e^\beta\eta}{\xi\zeta}\ln(e^{-\xi\tau}+1)\big|_{\tau=(t-t_1)\gamma}-\frac{\alpha e^\beta\eta}{\zeta}\sigma+O(\sigma^2)+{} \\ &+ \ln\biggl(1-\frac{\alpha e^\beta\eta}{\xi\zeta\gamma}\ln(e^{-\xi\tau}+1)\big|_{\tau=(t-t_1)\gamma}+\frac{\alpha e^\beta\eta}{\zeta}\sigma+O(\gamma\sigma^3)\biggr)= O(\gamma\sigma^3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Шаг 7. На заключительном этапе построения рассмотрим отрезок $[t_1+\sigma, t_2-\sigma]$. Здесь будем искать решение в виде
$$
\begin{equation}
x_\gamma^*(t)=x_0-\beta t+\ln\biggl(\frac{\alpha^2}{2}e^{2\beta}(t_1-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0)+1\biggr)+\Delta_7.
\end{equation}
\tag{75}
$$
Докажем следующий факт. Лемма 9. На отрезке $[t_1+\sigma, t_2-\sigma]$ функция $x_\gamma^*(t)$ описывается формулой (75), причем Доказательство. Применим следствие 1. Оценим интеграл На рассматриваемом отрезке $x_\gamma^*(s-1)>0$, причем существует константа $r>0$ (точное значение которой неважно) такая, что $x_\gamma^*(s-1)>r\sigma$. Действительно, из (67) следует, что $x^*_{\gamma}(t_1) = x^*(t_1) + O(\gamma^{1 - 3\nu})$. На отрезке $[t_1, t_2]$ верно $\dot{x}^*(t) = -\beta$, $\dot{x}^*_\gamma(t) > -\beta$, поскольку второе слагаемое уравнения (4) положительно. Значит, разность $x^*_{\gamma}(t) - x^*(t)$ на отрезке $[t_1, t_2]$ возрастает. Тогда
$$
\begin{equation*}
x^*_{\gamma}(t) - x^*(t) > x^*_{\gamma}(t_1) - x^*(t_1) = O(\gamma^{1 - 3\nu}) = o(\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
x^*_{\gamma}(t) > x^*(t) + o(\sigma) > x^*(t_2 - 1 - \sigma) + o(\sigma) = \beta\sigma + o(\sigma),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует существование $r > 0$. Тогда имеем
$$
\begin{equation}
I=\int_{t_1+\sigma}^{t}O\biggl(\frac{1}{1+e^{r\sigma\gamma}}\biggr)\,ds=O\biggl(\frac{1}{1+e^{r\sigma\gamma}}\biggr)=O(e^{-r\sigma\gamma}).
\end{equation}
\tag{76}
$$
Поскольку здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x_\gamma^*(t_1+\sigma)={}&x_0-\beta t_1+\ln\biggl(\frac{\alpha^2}{2}e^{2\beta}(t_1-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0)+1\biggr)+{} \\ &+\frac1\gamma w_1(\tau)\bigr|_{\tau=\sigma\gamma} +\Delta_6, \\ x^*(t)={}&x_0-\beta t+\ln\biggl(\frac{\alpha^2}{2}e^{2\beta}(t_1-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0)+1\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то в силу асимптотического поведения функции $w_1$ (38) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J={}&x_\gamma^*(t_1+\sigma)-x^*(t)-\beta(t-t_1-\sigma)={} \\ ={}&x_0-\beta t_1+\ln\biggl(\frac{\alpha^2}{2}e^{2\beta}(t_1-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0)+1\biggr)+{} \\ &+\frac1\gamma (e^{-\beta\tau}+O(e-\xi\tau))\big|_{\tau=\sigma\gamma} +O(\gamma\sigma^3)-{} \\ &-\biggl(x_0-\beta t+\ln\biggl(\frac{\alpha^2}{2}e^{2\beta}(t_1-t_0-1)^2+\alpha e^{\beta}(t_1-t_0)+1\biggr)\biggr)-{} \\ &-\beta(t-t_1-\sigma)=O(\gamma\sigma^3)=O(\gamma^{1 - 3\nu}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Теорема 3 доказана. 5.4. Доказательство периодичности решенияПодчеркнем зависимость построенного решения от начальной функции $\varphi \in S$: Из асимптотических соотношений (39) следует, что на промежутке $[t_0 - \sigma; t_2 - \sigma]$ длины $T$ верно равенство
$$
\begin{equation*}
x_\gamma^*(t, \varphi) = x^*(t) + O(\gamma^{1 - 3\nu}),
\end{equation*}
\notag
$$
где остаток равномерен по $\varphi \in S$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\max_{0 \leqslant t \leqslant t_2 - \sigma}|x_\gamma^*(t, \varphi) - x^*(t)| = O(\gamma^{1 - 3\nu}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, уточним параметры $x_0$, $p$, $q$, характеризующие множество $S = S(x_0, p, q)$ начальных функций. Пусть Тогда уравнение $x^*_\gamma(t, \varphi) = x_0$, по крайней мере для достаточно больших $\gamma$, имеет корень $T_\gamma = T_{\gamma}(\varphi)$, больший $t_1$ и меньший $t_2=\sigma$.Из доказательства теоремы 1 известно, что на промежутке $[t_1 - 1, t_2 - 1]$ длины, большей единицы, верно $x^*(t) > 0$. Тогда на промежутке $[T_{\gamma} - 1, T_{\gamma}]$ верно неравенство $x^*_{\gamma}(t, \varphi)$ > 0. Теперь можно зафиксировать
$$
\begin{equation*}
p = \min_{t \in [T_\gamma - 1, T_\gamma]} x^*(t), \qquad q = \max_{t \in [T_\gamma - 1, T_\gamma]} x^*(t)
\end{equation*}
\notag
$$
и все рассуждения в доказательстве асимптотических формул проводить в этих предположениях. Введем оператор Пуанкаре $\Pi_{\gamma}\!: S(x_0, p, q) \to C[-1; 0]$, определенный равенством
$$
\begin{equation}
\Pi_{\gamma}(\varphi) = x^*_{\gamma}(t + T_\gamma(\varphi), \varphi).
\end{equation}
\tag{77}
$$
Оператор $\Pi_{\gamma}$ преобразует компактное выпуклое множество $S(x_0, p, q)$ в себя. В соответствии с принципом Шаудера отсюда следует существование неподвижной точки $\varphi^*$ этого оператора, которой соответствует периодическое решение $x^*_\gamma(t, \varphi^*)$ с найденной асимптотикой (39). Условия (13) следуют из асимптотических соотношений. 6. ЗаключениеВ работе была построена асимптотика уравнения (3) по степеням малого параметра $\gamma^{-\nu}$, где показатель нелинейности $\gamma$ полагается большим параметром. Данное предположение оправдано тем, что в оригинальной статье [1] приводятся значения (после нормировки на запаздывание) $\alpha$, $\beta$ порядка единицы и $\gamma = 10$. Численное моделирование показывает, что для таких значений предельный цикл уравнения (3) оказывается достаточно близок к предельному циклу при $\gamma \to +\infty$ уравнения (5). Подобное предположение используется в статьях [10], [11], а также в работах, посвященных генным сетям (см., например, [14]), где возникает аналогичная нелинейность. Отметим, что похожий подход к построению асимптотики решения применяется в статьях [12], [15], [16] и других работах тех же авторов. В работах [10], [11] также доказывается близость решения уравнения (3) и решения его предельной версии при $\gamma\to+\infty$. В статье [11] рассматривается случай близких значений параметров $\alpha$ и $\beta$, а в статье [10] – случай большого $\alpha$ по сравнению с $\beta$, а именно случай Заметим, что ограничения (78) и (10), (11) описывают схожие области, однако неравенство (78) оказывается более сильным. В работах [10], [11] доказана сходимость решения уравнения (3) к решению предельного при $\gamma\to+\infty$ уравнения со ссылкой на общий результат, изложенный в главе XIV книги [17]. В качестве отличия настоящей работы от [10] отметим точную асимптотическую оценку разности решений уравнений (4) и (5) (аналогичных паре уравнений, рассмотренных в работах [10], [11], но после экспоненциальной замены).Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AlePre24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|