| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Группы диагональных вентилей в иерархии Клиффорда Лин-Сюань Фэнa, Шунь Лун Лоab a Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing, China b School of Mathematical Sciences, University of the Chinese Academy of Sciences, Beijing, China
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924120018 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ основе квантовых вычислений, которые обещают беспрецедентную вычислительную мощность, лежат манипуляции квантовыми системами с помощью разнообразных квантовых вентилей [1]–[3]. В квантовом формализме стабилизатора, возникающем из квантовой коррекции ошибок, квантовые схемы, состоящие из клиффордовых вентилей, могут эффективно моделироваться на классических компьютерах, как показано в теореме Готтесмана–Книлла [1]–[3]. Для достижения подлинно квантовых вычислений необходимо ввести ресурсы нестабилизированности (которые также называются ресурсами “магии”), при этом неклиффордовы вентили представляют собой важные квантовые ресурсы для универсальных квантовых вычислений [4], [5]. Чтобы охарактеризовать квантовые схемы с точки зрения их вычислительной мощности и сложности, Готтесман и Чуан ввели иерархию Клиффорда, на основе которой квантовые вентили классифицируются по различным уровням [6]. Каждый уровень представляет собой набор квантовых вентилей, который увеличивает вычислительную мощность по сравнению с предыдущими. Подробная структура иерархии Клиффорда весьма сложная и трудно уловимая и, несмотря на множество замечательных результатов [7]–[19], остается активной областью исследований. В настоящей работе мы полагаем, что наборы квантовых вентилей на нулевом и первом уровнях иерархии Клиффорда описываются дискретной группой Гейзенберга–Вейля и группой Клиффорда соответственно. Таким образом, неклиффордовы вентили встречаются только за пределами первого уровня иерархии Клиффорда. В кубитной системе наиболее известный неклиффордов вентиль, так называемый $T$-вентиль (также известный как ($\pi/8$)-вентиль) [3], принадлежит второму уровню. Хотя множества вентилей на втором и более высоких уровнях иерархии Клиффорда больше не являются группами, подмножества всех диагональных вентилей на каждом уровне иерархии составляют группы [7]. В связи с этим желательно охарактеризовать групповую структуру диагональных вентилей. Были предприняты некоторые усилия, направленные на изучение иерархии Клиффорда и, в частности, подмножеств диагональных вентилей. Так, в работе [7] была описана структура расширенной группы Клиффорда. В работе [8] Цзэн и его соавторы ввели полуклиффордовы операции и обнаружили некоторые замысловатые особенности иерархии Клиффорда. Гипотеза Цзэна об обобщенных полуклиффордовых операторах была доказана в работе [9]. В работе [10] были найдены некоторые внутренние связи между SIC-POVM (симметричными информационно полными положительными операторнозначными мерами) и группами Клиффорда в случае простой размерности системы. Авторы работы [11] ввели класс $T$-вентилей в системах простой размерности. В работе [12] исследовалась вычислительная мощность диагональных квантовых схем. В работе [13] изучалось действие первых трех уровней иерархии Клиффорда на множествах взаимно несмещенных базисов. В работе [14] приведено описание диагональных вентилей в иерархии Клиффорда для систем простой размерности. В работе [15] было показано, что многокубитные группы Клиффорда являются унитарными 3-дизайнами. Ху с соавторами в работах [16], [17] ввел метод синтеза кодов CSS (Колдербэнка–Шора–Стина), с помощью которых реализуется целевой логический диагональный вентиль на некотором уровне в иерархии Клиффорда, а затем изучил проектирование квантовых каналов, индуцированных диагональными вентилями. В работе [18] изучались унитарные группы, которые можно построить с использованием элементов из кубитной иерархии Клиффорда, а в работе [19] был дан ответ на вопрос, какие булевы функции можно вычислить с помощью локальных операций на конечном уровне иерархии Клиффорда. При изучении иерархии Клиффорда и отказоустойчивых квантовых вычислений решающую роль играют $T$-вентили в системах различных размерностей [20]–[40], о чем свидетельствует повсеместное использование системы “Clifford${}+T$”, которая содержит комбинацию клиффордовых вентилей и определенного неклиффордова $T$-вентиля. Величина $T$-count (количество $T$-вентилей) стала эталоннной для описания сложности квантовых схем. В кубитной или кутритной системе $T$-вентиль является одним из важнейших генераторов группы диагональных вентилей на втором уровне иерархии Клиффорда. Однако на сегодняшний день $T$-вентиль определен только для любой простой размерности системы, а общее определение для произвольной размерности все еще неизвестно. Чтобы исследовать группу диагональных вентилей на втором уровне иерархии Клиффорда для систем произвольной размерности, желательно ввести кудитный вариант $T$-вентиля, который служит неклиффордовым генератором группы диагональных вентилей. В настоящей работе мы намерены продвинуться к достижению этой цели, вводя общий $T$-вентиль и используя его для задания группы диагональных вентилей на втором уровне иерархии Клиффорда. Мы показываем, что этот $T$-вентиль является ключевым генератором группы, структура которой критически зависит от арифметики размерности $d$ системы. В частности, наши результаты выявляют особую роль, которую играют два первых простых числа 2 и 3 (в разложении $d$ на простые множители) для определения структуры группы диагональных вентилей на втором уровне иерархии Клиффорда. Между прочим, это в некотором смысле подтверждает поверье, что если число 2 является самым странным простым числом из всех, то 3, по-видимому, является вторым самым странным. Отметим, что, помимо системы “Clifford${}+T$ ”, существуют также другие системы, такие как “Clifford${}+\sqrt{T}\,$” [41], “Clifford${}+V$” [42]–[45], “Clifford${}+R$”, “Clifford${}+{}$cyclotomic” [46], “Clifford${}+{}$Toffoli” [47] и т. д., которые возникают естественным образом и используются при анализе квантовых вычислений. В частности, в схеме дискретного (квантового) преобразования Фурье для многокубитной системы используется вентиль $T^{1/2^k}$, который при увеличении $k$ принадлежит все более высокому уровню иерархии Клиффорда [3], [48]–[50]. Настоящая работа организована следующим образом. В разделе 2 мы рассматриваем некоторые основные характеристики дискретной группы Гейзенберга–Вейля, группы Клиффорда и иерархии Клиффорда. В разделе 3 мы вводим кудитную версию $T$-вентиля для любой $d$-мерной системы и обсуждаем его фундаментальные свойства. Этот $T$-вентиль при $d=2$ и $d=3$ сводится к обычным кубитным и кутритным $T$-вентилям, которые имеют разнообразные важные и основополагающие применения в дву- и трехмерных системах. В разделе 4 с помощью введенного $T$-вентиля мы полностью описываем групповую структуру диагональных вентилей на втором уровне иерархии Клиффорда для любой (а не только простой) размерности, исследуя генераторы группы. Наши результаты в решающей степени зависят от некоторых теоретико-числовых особенностей размерности системы. В частности, в зависимости от того, делится ли размерность на 2 и/или на 3, возникают совершенно разные сценарии. Наконец, в разделе 5 мы подводим итоги. 2. Предварительные сведенияВ этом разделе мы кратко напоминаем о том, что такое группа Клиффорда и иерархия Клиффорда. Пусть для любого натурального числа $d$ множество $\mathbb{Z}_d=\{0,1,\ldots,d-1\}$ есть кольцо целых чисел по модулю $d$. В кудитной системе $\mathbb{C}^d$ с вычислительным (ортонормированным) базисом $\{|j\rangle\colon j\in\mathbb{Z}_d\}$ два максимально несовместимых (дополнительных) унитарных оператора
$$
\begin{equation}
X=\sum_{j=0}^{d-1}|j+1\rangle\langle j|,\qquad Z=\sum_{j=0}^{d-1}\omega^j|j\rangle\langle j|,\qquad \omega=e^{i2\pi/d},
\end{equation}
\tag{1}
$$
были использованы Швингером в его основополагающем исследовании [51] унитарных операторных базисов в пространстве матриц на $\mathbb{C}$. Эти операторы удовлетворяют условию $XZ=\omega^{-1}ZX$ и могут рассматриваться как многомерные обобщения известных кубитных матриц Паули $\sigma_x$ и $\sigma_z$. Два унитарных оператора $X$ и $Z$ генерируют $d^2$ дискретных операторов Гейзенберга–Вейля (операторы сдвига) [1] Дискретная группа Гейзенберга–Вейля (также известная как обобщенная группа Паули) с дополнительной глобальной фазой определяется как
$$
\begin{equation}
\mathcal P=\{e^{i\theta}D_{k,l}\colon\theta\in[0,2\pi),\,k,l\in\mathbb{Z}_d\}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Мы имеем следующее соотношение ортогональности: для $k,l,k',l'\in\mathbb{Z}_d$
$$
\begin{equation}
\operatorname{tr}(D_{k,l}^\unicode{8224} D_{k',l'})= \begin{cases} d & \text{для}\;\, k=k',\,l=l', \\ 0 & \text{в остальных случаях}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4}
$$
при этом $\{\frac{1}{\sqrt d}D_{k,l}\colon k,l\in\mathbb{Z}_d\}$ образует ортонормированный базис операторного пространства $L(\mathbb{C}^d)$ (пространства всех матриц, действующих в $\mathbb{C}^d$), снабженного скалярным произведением Гильберта–Шмидта $\langle A|B\rangle=\operatorname{tr}A^\unicode{8224} B$. Группа Клиффорда
$$
\begin{equation}
\mathcal C=\{C\in\mathcal U\colon C\mathcal P C^\unicode{8224}=\mathcal P\}
\end{equation}
\tag{5}
$$
определяется как нормализатор дискретной группы Гейзенберга–Вейля в полной унитарной группе $\mathcal U$ (группе всех унитарных матриц, действующих в $\mathbb{C}^d$). Таким образом, каждый элемент группы Клиффорда $\mathcal C$, действуя сопряжением на дискретную группу Гейзенберга–Вейля, просто переставляет элементы группы. Если пренебречь глобальной фазой (описываемой группой окружности $\mathcal U(1)$), факторгруппа $\mathcal C/\mathcal U(1)$ порождается операторами $\{Z,H,S\}$, где
$$
\begin{equation}
H=\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{j,k=0}^{d-1}\omega^{jk}|k\rangle\langle j|,\qquad S=\sum_{j=0}^{d-1}\tau^{j^2}|j\rangle\langle j|
\end{equation}
\tag{6}
$$
являются дискретным преобразованием Фурье (обобщенным вентилем Адамара) и фазовым вентилем в $\mathbb{C}^d$ соответственно. Эти унитарные операторы удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation}
HXH^\unicode{8224}=Z,\quad HZH^\unicode{8224}=X^{-1},\qquad SXS^\unicode{8224}=D_{1,1},\quad SZS^\unicode{8224}=Z.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Можно показать, что $H^2=\mathbf{1}$ для $d=2$, $H^4=\mathbf{1}$ для $d>2$ и
$$
\begin{equation}
S^d=\begin{cases} \mathbf{1} & \text{для нечетного}\;\,d, \\ Z^{d/2} & \text{для четного}\;\, d. \end{cases}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Согласно теореме Готтесмана–Книлла [1]–[3], [5] квантовые схемы, в которых используются только клиффордовы вентили, состояния стабилизаторов и измерения Паули, можно эффективно моделировать на классических компьютерах. Для реализации подлинно квантовых вычислений необходимо добавить некоторые состояния нестабилизаторов или неклиффордовы вентили. Готтесман и Чуан предложили иерархическую структуру, известную как иерархия Клиффорда [6],
$$
\begin{equation*}
\mathcal P=\mathcal C_0\subset\mathcal C=\mathcal C_1\subset\cdots\subset\mathcal C_n\subset\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
которую можно использовать для классификации неклиффордовых вентилей по различным уровням. Здесь
$$
\begin{equation*}
\mathcal C_n=\{V\in\mathcal U\colon V\mathcal P V^\unicode{8224}\subset\mathcal C_{n-1}\},\qquad n=1,2,\ldots{}\;.
\end{equation*}
\notag
$$
Подчеркнем, что в нашей работе для ясности и простоты обозначений мы приняли соглашение, что нулевой уровень (а не первый, как в литературе) $\mathcal C_0=\mathcal P$ иерархии Клиффорда – это дискретная группа Гейзенберга–Вейля, тогда как первый уровень $\mathcal C_1=\mathcal C$ – это группа Клиффорда. Очевидная причина для такого соглашения состоит в том, что, хотя в литературе принято обозначать группу Гейзенберга–Вейля как $\mathcal C=\mathcal C_1$, а группу Клиффорда как $\mathcal C_2$, это несколько не соответствует символу $\mathcal C$, отвечающему фамилии Клиффорд. Таким образом, квантовые вентили за пределами первого уровня иерархии Клиффорда соответствуют неклиффордовым вентилям. В общем случае $n\geqslant 2$ $n$-й уровень $\mathcal C_n$ иерархии Клиффорда уже не является группой, но диагональные вентили в $\mathcal C_n$ все-таки образуют группу при любых $n$ [8]. Пусть $\mathcal D_n$ – группа всех диагональных вентилей в $\mathcal C_n$, тогда мы имеем иерархическую структуру
$$
\begin{equation*}
\mathcal D_0\subset\mathcal D_1\subset\cdots\subset\mathcal D_n\subset\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Например,
$$
\begin{equation*}
\mathcal D_0=\{e^{i\theta}Z^k\colon\theta\in[0,2\pi ),\,k\in\mathbb{Z}_d\},\qquad \mathcal D_1=\{e^{i\theta}Z^kS^l\colon\theta\in[0,2\pi),\,k,l\in\mathbb{Z}_d\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, если пренебречь глобальными фазами (описываемыми группой окружности $\mathcal U(1)$), факторгруппы
$$
\begin{equation*}
\mathcal D_0/\mathcal U(1)=\{Z^k\colon k\in\mathbb{Z}_d\},\qquad \mathcal D_1/\mathcal U(1)=\{Z^kS^l\colon k,l\in\mathbb{Z}_d\}
\end{equation*}
\notag
$$
представляют собой две конечно порожденные абелевы группы.
3. $T$-вентиль в системе произвольной размерностиЧтобы определить групповую структуру для уровня $\mathcal D_2$ (группу диагональных вентилей на втором уровне иерархии Клиффорда) в системе произвольной размерности, нам нужно задать генераторы этой группы. Особым и важным генератором является так называемый $T$-вентиль. Сначала напомним его определение в случае простых размерностей (т. е. когда $d$ – простое число). При $d=2$ кубитный $T$-вентиль (также называемый ($\pi/8$)-вентилем) [3] – это
$$
\begin{equation}
T_{\mathrm{qubit}}=|0\rangle\langle 0|+e^{i\pi/4}|1\rangle\langle 1|= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}= e^{i\pi/8}\begin{pmatrix} e^{-i\pi/8} & 0 \\ 0 & e^{i\pi/8} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{9}
$$
широко использующийся в квантовых вычислениях. При $d=3$ кутритный $T$-вентиль [11], [39], [40] – это
$$
\begin{equation}
T_{\mathrm{qutrit}}=\sum_{j=0}^2\zeta^{j^3}|j\rangle\langle j|= \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & e^{i2\pi /9} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-i2\pi /9} \end{pmatrix},\qquad\zeta=e^{i2\pi/9};
\end{equation}
\tag{10}
$$
он также широко используется в квантовых схемах. Если простое $d=p>3$, то, опираясь на работу [11], можно ввести следующий вариант высокоразмерного $T$-вентиля:
$$
\begin{equation}
T_{\mathrm{HV}}=\sum_{j=0}^{p-1}\tau^{j(j-1)(2j-1)/6}|j\rangle\langle j|,\qquad\tau=-e^{i\pi/p}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Заметим, что $T_{\mathrm{HV}}$ определен только для простого $d$. Если формально применить это определение для любой размерности $d$, то полученный вентиль может не лежать на втором уровне иерархии Клиффорда, как показывает следующий пример. Пусть $d=4$. Если мы попытаемся использовать формулу (11), то
$$
\begin{equation*}
T_\mathrm{HV}=\sum_{j=0}^{3}e^{i5\pi j(j-1)(2j-1)/24} |j\rangle\langle j|= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{i5\pi/4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
W\equiv T_\mathrm{HV}XT_\mathrm{HV}^\unicode{8224}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \phantom{-}0 & e^{-i\pi/4} \\ 1 & 0 & \phantom{-}0 & 0 \\ 0 & e^{i5\pi/4} & \phantom{-}0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно проверить, что
$$
\begin{equation*}
WXW^\unicode{8224}=e^{i\pi/4}\begin{pmatrix} 0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & i \\ 1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & 0 \\ 0 & -1 & \phantom{-}0 & 0 \\ 0 & \phantom{-}0 & -i & 0 \end{pmatrix}\notin\mathcal P,
\end{equation*}
\notag
$$
и отсюда следует, что $W=T_\mathrm{HV}XT_\mathrm{HV}^\unicode{8224}\notin\mathcal C=\mathcal C_1$ и $T_\mathrm{HV}\notin\mathcal C_2$. Поэтому определение $T$-вентиля (11) нельзя напрямую обобщить на системы непростой размерности. Преследуя цель определить групповую структуру диагональных вентилей на втором уровне иерархии Клиффорда, мы вводим $T$-вентиль для системы $\mathbb{C}^d$ произвольной размерности. Основная идея поиска обобщенного $T$-вентиля (как генератора группы $\mathcal D_2$) заключается в том, чтобы взять пробный унитарный оператор
$$
\begin{equation}
T_{\rm try}=\sum_{j=0}^{d-1}e^{i\pi(\alpha j^3+\beta j^2+\gamma j)}|j\rangle\langle j|
\end{equation}
\tag{12}
$$
и подобрать постоянные $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{Q}$ так, чтобы $T_{\rm try}\in\mathcal D_2$ и $T_{\rm try}\notin\mathcal D_1$. Это приводит к следующему результату (с точностью до клиффорд-эквивалентности). Предложение 1. Для любого (не обязательно простого) натурального $d$ зададим $T$-вентиль, действующий в $\mathbb{C}^d$, как Тогда $T\in\mathcal D_2$ и $T\notin\mathcal D_1$. Кроме того, имеют место следующие частные случаи. 1. Если $d=2$, то $T=T_\mathrm{qubit}$, где вентиль $T_\mathrm{qubit}$ в $\mathbb{C}^2$ определен формулой (9). 2. Если $d=3$, то $T$ клиффорд-эквивалентен вентилю $T_\mathrm{qutrit}$, заданному в (10), в том смысле, что существуют унитарные матрицы $C_1,C_2\in\mathcal C$, для которых $T=C_1T_\mathrm{qutrit}C_2$, а именно $T=ZSH^2T_\mathrm{qutrit}H^2$ в $\mathbb{C}^3$; 3. Если простое $d=p>3$, то $T$ клиффорд-эквивалентен вентилю $T_\mathrm{HV}$, заданному в (11), а именно $T=T_\mathrm{HV}Z^{-(2p+1)(p+1)^2/12}$ в $\mathbb{C}^p$, где для любого $p>3$ число $(2p+1)(p+1)^2/12$ целое. Доказательство. Можно напрямую проверить, что откуда следует, что $T\in\mathcal D_2$. Поскольку $S\notin\mathcal P$, из последнего равенства также вытекает, что $T\notin\mathcal D_1$. Утверждения 1–3 можно доказать непосредственно. Предложение 2. Пусть $T$-вентиль, действующий в $\mathbb{C}^d$, задан в (13). Пусть размерность $d$ системы представлена своим каноническим разложением на простые множители $d=2^{n_1}3^{n_2}\ldots{}\,$. Тогда имеют место следующие утверждения. 1. Если $n_1=0$, $n_2=0$ (т. е. $2\nmid d$ и $3\nmid d$), то $T^d=\mathbf{1}$. 2. Если $n_1=0$, $n_2\geqslant 1$ (т. е. $2\nmid d$ и $3 \mid d$), то $T^{3d}=\mathbf{1}$, кроме того, $T^d=Z^{2d/3}$. 3. Если $n_1\geqslant 1$, $n_2=0$ (т. е. $2\,|\,d$ и $3\nmid d$), то $T^{4d}=\mathbf{1}$. Кроме того, если $n_1=1$ (т. е. $d/2$ – нечетное число), то $T^d=(ZS)^{d/2}$, а если $n_1\geqslant 2$ (т. е. $d/2$ – четное число), то $T^d=S^{d/2}$. 4. Если $n_1\geqslant 1, n_2\geqslant 1$ (т. е. $2\,|\,d$ и $3\,|\,d$), то $T^{12d}=\mathbf{1}$. Кроме того, если $n_1=1$ (т. е. $d/2$ – нечетное число), то $T^d=Z^{d/6}S^{d/2}$, а если $n_1\geqslant 2$ (т. е. $d/2$ – четное число), то $T^d=Z^{2d/3}S^{d/2}$. Доказательство. 1. Если $2\nmid d$ и $3\nmid d$, то из (13) имеем 2. Если $2\nmid d$ и $3\,|\,d$, то из (14) имеем
$$
\begin{equation*}
T^dXT^{\unicode{8224}\,d}=e^{{-i\pi(2d+1)(d+1)^2}/6}XS^d=e^{-2i\pi/3}X.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
Z^{2d/3}XZ^{\unicode{8224}\,2d/3}=\omega^{2d/3}X=e^{-2i\pi/3}X.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\bigl\{\frac{1}{\sqrt d}D_{k,l}\colon k,l\in\mathbb{Z}\bigr\}$ (см. (2)) образует ортонормированный базис пространства операторов в $\mathbb{C}^d$, а $T$ коммутирует с $Z$ (обе матрицы диагональные), мы имеем $T^d=Z^{2d/3}$ и $T^{3d}=\mathbf{1}$. 3. Из (8) мы знаем, что $S^{d}=Z^{d/2}$ для четных $d$. Отсюда имеем $S^{2d}=Z^d=\mathbf{1}$. Поскольку $2\,|\,d$ и $3\nmid d$, из (14) получаем
$$
\begin{equation}
T^dXT^{\unicode{8224}\,d}=e^{{-i\pi(2d+1)(d+1)^2}/6}XS^d=iXZ^{d/2}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Если $d/2$ – нечетное число, то
$$
\begin{equation*}
S^{d/2}Z^{d/2}XZ^{\unicode{8224}\,d/2}S^{\unicode{8224}\,d/2}=\omega^{d/2}S^{d/2}X S^{\unicode{8224}\,d/2}=-D_{1,d/2}=-\tau^{d/2}XZ^{d/2}=iXZ^{d/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $d/2$ – четное число, то
$$
\begin{equation*}
S^{d/2}XS^{\unicode{8224}\,d/2}=D_{1,d/2}=\tau^{d/2}XZ^{d/2}=iXZ^{d/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (15) заключаем, что
$$
\begin{equation*}
T^dXT^{\unicode{8224}\,d}=\begin{cases} (ZS)^{d/2}X(ZS)^{\unicode{8224}\,d/2} & \text{для нечетных}\;\,d/2, \\ S^{d/2}XS^{\unicode{8224}\,d/2} & \text{для четных}\;\,d/2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\bigl\{\frac{1}{\sqrt d}D_{k,l}\colon k,l\in\mathbb{Z}\bigr\}$ образует ортонормированный базис пространства операторов в $\mathbb{C}^d$, а $T$ коммутирует с $Z$, имеем
$$
\begin{equation*}
T^d=\begin{cases} (ZS)^{d/2} & \text{для нечетных}\;\,d/2, \\ S^{d/2} & \text{для четных}\;\,d/2 \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и $T^{4d}=\mathbf{1}$. 4. Из (8) мы знаем, что $S^{d}=Z^{d/2}$ для четных $d$. Отсюда имеем $S^{2d}=Z^d=\mathbf{1}$. Поскольку $2\,|\,d$ и $3\,|\,d$, из (14) получаем
$$
\begin{equation}
T^dX T^{\unicode{8224}\,d}=e^{{-i\pi(2d+1)(d+1)^2}/6}XS^d=e^{-i\pi/6}XZ^{d/2}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Если $d/2$ – нечетное число, то
$$
\begin{equation*}
S^{d/2}Z^{d/6}X Z^{\unicode{8224}\,d/6}S^{\unicode{8224}\,d/2}=\omega^{d/6}D_{1,d/2}=e^{i\pi/3}\tau^{d/2}XZ^{d/2}=e^{-i\pi/6}XZ^{d/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $d/2$ – четное число, то
$$
\begin{equation*}
S^{d/2}Z^{2d/3}XZ^{\unicode{8224}\,2d/3} S^{\unicode{8224}\,d/2}=\omega^{2d/3}D_{1,d/2}=e^{-2i\pi/3}\tau^{d/2}XZ^{d/2}=e^{-i\pi/6}XZ^{d/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (16) заключаем, что Поскольку $\bigl\{\frac{1}{\sqrt d}D_{k,l}\colon k,l\in\mathbb{Z}\bigr\}$ образует ортонормированный базис пространства операторов в $\mathbb{C}^d$, а $T$ коммутирует с $Z$, имеем Отсюда следует, что $T^{12d}=\mathbf{1}$. 4. Групповая структура диагональных вентилей на втором уровне иерархии КлиффордаИмея $T$-вентили для произвольной размерности, проведем классификацию группы $\mathcal D_2$. Как мы увидим далее, структура группы существенным образом зависит от теоретико-числовых свойств размерности $d$ системы. Напомним, что любую нетривиальную абелеву группу $\mathcal A$ можно записать в канонической форме Смита [52]
$$
\begin{equation*}
\mathcal A\cong\mathbb{Z}_{n_1}\oplus\mathbb{Z}_{n_2}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}_{n_r},
\end{equation*}
\notag
$$
где $1< n_1\leqslant n_2\leqslant\cdots\leqslant n_r\in\mathbb{N}$ и $n_{l+1}$ делится на $n_l$ при $1\leqslant l\leqslant r-1$. Последовательность $n_1,n_2,\ldots,n_r$ называется набором инвариантных множителей абелевой группы $\mathcal A$. Любые две абелевы группы с одинаковыми инвариантными множителями изоморфны. Сначала напомним, как устроена структура группы $\mathcal D_2$ (в $\mathbb{C}^d$) при простых $d$ [14]; используя $T$-вентиль, эту структуру также легко задать напрямую. Наши основные результаты касаются общего случая произвольной размерности и будут представлены ниже. 1. Хорошо известно, что при $d=2$ группа $\mathcal D_2$ порождается кубитным $T$-вентилем $T_\mathrm{qubit}$, заданным в (9), следовательно, $\mathcal D_2/\mathcal U(1)=\mathbb{Z}_8$, поскольку $T_\mathrm{qubit}^8=\mathbf{1}$. 2. Если $d=3$, то можно показать, что $\mathcal D_2$ порождается кутритным фазовым $T$-вентилем $T_\mathrm{qutrit}$, заданным в (10). Следовательно, $\mathcal D_2/\mathcal U(1)=\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_9$, поскольку $S^3=\mathbf{1}$ и $T_\mathrm{qutrit}^9=\mathbf{1}$. 3. Если простое $d=p>3$, то $\mathcal D_2$ порождается операторами $Z$, $S$ и оператором $T_\mathrm{HV}$, заданным в (11). Следовательно, $\mathcal D_2/\mathcal U(1)=\mathbb{Z}_p\oplus\mathbb{Z}_p\oplus\mathbb{Z}_p$, поскольку $Z^p=\mathbf{1}$, $S^p=\mathbf{1}$ и $T_\mathrm{HV}^p=\mathbf{1}$. Структура группы $\mathcal D_2/\mathcal U(1)$ (действующей в $\mathbb{C}^p$) для простых $p$ суммированы в табл. 1. Таблица 1.Структура группы $\mathcal D_2/\mathcal U(1)$ для системы простой размерности.
Также напомним, как устроены групповые структуры для нулевого уровня $\mathcal D_0$ и первого уровня $\mathcal D_1$ иерархии Клиффорда. Очевидно, $\mathcal D_0/\mathcal U(1)=\mathbb{Z}_d$. Согласно соотношению (8) для нечетного $d$ мы имеем $Z^d=S^d=\mathbf{1}$, и тогда $\mathcal D_1/\mathcal U(1)$ изоморфна группе $\mathbb{Z}_d\oplus\mathbb{Z}_d$ с двумя генераторами $Z$ и $S$. Если $d$ четно, то $Z^d=S^{2d}=\mathbf{1}$, и тогда $\mathcal D_1/\mathcal U(1)\cong\mathbb{Z}_{d/2}\oplus\mathbb{Z}_{2d}$ с двумя генераторами $ZS^2$ и $S$, удовлетворяющими равенствам $(ZS^2)^{d/2}=\mathbf{1}$ и $S^{2d}=\mathbf{1}$. В итоге можно записать $\mathcal D_0/\mathcal U(1)$ и $\mathcal D_1/\mathcal U(1)$ в канонической форме Смита как
$$
\begin{equation*}
\mathcal D_0/\mathcal U(1)\cong\mathbb{Z}_d,\qquad \mathcal D_1/\mathcal U(1)\cong\begin{cases} \mathbb{Z}_4 & \text{при}\;\,d=2, \\ \mathbb{Z}_d\oplus\mathbb{Z}_d & \text{при нечетном}\;\,d,\\ \mathbb{Z}_{d/2}\oplus\mathbb{Z}_{2d} & \text{при четном}\;\,d>2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 3. Для любого $d$ группа $\mathcal D_2/\mathcal U(1)$ (группа диагональных вентилей на втором уровне иерархии Клиффорда с точностью до глобальной фазы) порождается матрицами $\{Z,S,T\}$, заданными в (1), (6), (13). Кроме того, при этом порядок группы $\mathcal D_2/\mathcal U(1)$ равен $d^3$. Доказательство. Согласно уравнению (8) и предложению 1, учитывая, что все три оператора $Z$, $S$, $T$ диагональные и, следовательно, коммутируют, получаем, что порядок группы, порожденной $\{Z,S,T\}$, равен $d^3$, т. е. Теперь докажем, что $\{Z^jS^kT^l\colon j,k,l\in\mathbb{Z}_d\}=\mathcal D_2/\mathcal U(1)$. Прежде всего, поскольку $T\in\mathcal C_2$, имеем
$$
\begin{equation}
\{Z^jS^kT^l\colon j,k,l\in\mathbb{Z}_d\}\subset\mathcal D_2/\mathcal U(1).
\end{equation}
\tag{17}
$$
С другой стороны, пусть $U\in\mathcal D_2$ есть диагональный вентиль, тогда где диагональный $V\in\mathcal D_1$ имеет вид $cZ^kS^l$ при некоторых $c$, $|c|=1$, и $k,l\in\mathbb{Z}_d$. Поскольку $ZX=\omega XZ$, получаем
$$
\begin{equation}
\mathbf{1}=UX^dU^\unicode{8224}=(XV)^d=c^d(XZ^kS^l)^d=c^d\omega^{kd(d-1)/2}(XS)^dZ^d=c^d\tau^{-kd}(XS)^d.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Кроме того, можно показать, что $SX=\tau XSZ$, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (XS)^d&=\tau^{ld(d-1)/2}\omega^{ld(d-1)(d-2)/6}X^dS^{ld}Z^{ld(d-1)/2}= \\ &=\tau^{ld(d-1)/2}\omega^{ld(d-1)(d-2)/6}(S^dZ^{d(d-1)/2})^l. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (8) $S^d=Z^{d(d-1)/2}=\mathbf{1}$ при нечетном $d$ и $S^dZ^{d(d-1)/2}=Z^{d/2}Z^{d(d-1)/2}=\mathbf{1}$ при четном $d$. С учетом (18) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c^d&=\tau^{kd}e^{-i\pi l((d^2-1)/2+(d-1)(d-2)/3)}=\tau^{kd}e^{-i\pi l(5d^2-6d+1)/6}= \\ &=\tau^{kd}e^{{-i\pi l(2d^3+5d^2+4d+1)}/6}=\tau^{kd}e^{{-i\pi l(2d+1)(d+1)^2}/6}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $c=\omega^j\tau^ke^{{-i\pi l(2d+1)(d+1)^2}/6d}$ при некотором $j\in\mathbb{Z}_d$. Пусть $U_{j,k,l}\in\mathcal D_2$ удовлетворяет равенству
$$
\begin{equation}
U_{j,k,l}XU^\unicode{8224}_{j,k,l}=\omega^j\tau^ke^{{-i\pi l(2d+1)(d+1)^2}/6d}XZ^kS^l.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Найдем $U_{j,k,l}$. В силу (7) и (14) имеем
$$
\begin{equation}
(Z^jS^kT^l)X(Z^jS^kT^l)^\unicode{8224}=\omega^j\tau^ke^{{-i\pi l(2d+1)(d+1)^2}/6d}XZ^kS^l.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Из (19) и (20) получаем
$$
\begin{equation*}
U_{j,k,l}D_{k,l}U^\unicode{8224}_{j,k,l}=(Z^jS^kT^l)D_{k,l}(Z^jS^kT^l)^\unicode{8224},\qquad k,l\in\mathbb{Z}_d.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\{\frac{1}{\sqrt d}D_{k,l}\colon k,l\in\mathbb{Z}_d\}$ – ортонормированный базис в пространстве $L(\mathbb{C}^d)$, заключаем, что $U_{j,k,l}=Z^jS^kT^l$ с точностью до глобальной фазы. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\mathcal D_2/\mathcal U(1)\subset\{Z^jS^kT^l\colon j,k,l\in\mathbb{Z}_d\}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Объединяя соотношения (17) и (21), получаем искомый результат. Предложение 4. При любом $d$ с каноническим разложением на простые множители $d=2^{n_1}3^{n_2}\ldots{}$ для группы $\mathcal D_2/\mathcal U(1)$ (действующей в $\mathbb{C}^d$) имеют место следующие утверждения. 1. Если $n_1=0$, $n_2=0$ (т. е. $2\nmid d$ и $3\nmid d$), то $\mathcal D_2/\mathcal U(1)=\mathbb{Z}_d\oplus\mathbb{Z}_d\oplus\mathbb{Z}_d$. 2. Если $n_1=0$, $n_2\geqslant 1$ (т. е. $2\nmid d$ и $3\,|\,d$), то $\mathcal D_2/\mathcal U(1)=\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_9$ при $d=3$ и $\mathcal D_2/\mathcal U(1)=\mathbb{Z}_{d/3}\oplus\mathbb{Z}_d\oplus\mathbb{Z}_{3d}$ при $d>3$. 3. Если $n_1\geqslant 1$, $n_2=0$ (т. е. $2\,|\,d$ и $3\nmid d$), то $\mathcal D_2/\mathcal U(1)=\mathbb{Z}_8$ при $d=2$ и $\mathcal D_2/\mathcal U(1)=\mathbb{Z}_{d/2}\oplus\mathbb{Z}_{d/2}\oplus\mathbb{Z}_{4d}$ при $d>2$. 4. Если $n_1\geqslant 1$, $n_2\geqslant 1$ (т. е. $2\,|\,d$ и $3\,|\,d$), то $\mathcal D_2/\mathcal U(1)=\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_{72}$ при $d=6$ и $\mathcal D_2/\mathcal U(1)=\mathbb{Z}_{d/6}\oplus\mathbb{Z}_{d/2}\oplus\mathbb{Z}_{12d}$ при $d>6$. Доказательство. 1. Пусть $2\nmid d$ и $3\nmid d$. В соответствии с формулой (8) и предложением 1 имеем $Z^d=S^d=T^d=\mathbf{1}$, тогда группа $\mathcal D_2/\mathcal U(1)$ изоморфна группе $\mathbb{Z}_d\oplus\mathbb{Z}_d\oplus\mathbb{Z}_d$. Этот результат обобщает полученный в [11]. 2. Пусть $2\nmid d$ и $3\,|\,d$. Из (8) известно, что $S^{d}=\mathbf{1}$ при нечетном $d$. Из предложения 1 имеем Тогда $Z=T^6$ при $d=3$. Таким образом, $\mathcal D_2$ порождается операторами $S$ и $T$, при этом $\mathcal D_2/\mathcal U(1)\cong\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_9$ на $\mathbb{C}^3$.Если $d>3$, положим $M=T^3Z$, тогда $M^{d/3}=\mathbf{1}$ и $Z=MT^{-3}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\mathcal D_2=\{Z^jS^kT^l:\, j,k,l\in\mathbb{Z}_d\}=\{M^aS^bT^c:\, a\in\mathbb{Z}_{d/3},\, b\in\mathbb{Z}_d,\, c\in\mathbb{Z}_{3d}\},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает, что $\mathcal D_2/\mathcal U(1)\cong\mathbb{Z}_{d/3}\oplus\mathbb{Z}_d\oplus\mathbb{Z}_{3d}$ в канонической форме Смита. 3. Пусть $2\,|\,d$ и $3\nmid d$. Если $d=2$, то, как известно, $\mathcal D_2$ имеет единственный генератор $T$, для которого $T^8=\mathbf{1}$, следовательно, $\mathcal D_2/\mathcal U(1)\cong\mathbb{Z}_8$. Если $d>2$, то согласно (8) $S^{d}=Z^{d/2}$ при четном $d$. Отсюда $S^{2d}=\mathbf{1}$. Дополнительно из предложения 1 имеем
$$
\begin{equation*}
T^d=\begin{cases} (ZS)^{d/2} & \text{при нечетном}\;\,d/2, \\ S^{d/2} & \text{при четном}\;\,d/2 \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и $T^{4d}=\mathbf{1}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
M=S^2Z,\qquad N=\begin{cases} T^2S & \text{при нечетном}\;\,d/2, \\ T^2SZ & \text{при четном}\;\,d/2, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
тогда $M^{d/2}=N^{d/2}=\mathbf{1}$. Кроме того, для нечетного $d/2$ а для четного $d/2$ Отсюда
$$
\begin{equation*}
\mathcal D_2/\mathcal U(1)=\{Z^jS^kT^l\colon j,k,l\in\mathbb{Z}_d\}=\{M^aN^bT^c\colon a,b\in\mathbb{Z}_{d/2},\, c\in\mathbb{Z}_{4d}\},
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, $\mathcal D_2/\mathcal U(1)\cong\mathbb{Z}_{d/2}\oplus\mathbb{Z}_{d/2}\oplus\mathbb{Z}_{4d}$ в канонической форме Смита. 4. Пусть $2\,|\,d$ и $3\,|\,d$. Согласно (8) $S^{d}=Z^{d/2}$ при нечетном $d$. Отсюда $S^{2d}=\mathbf{1}$. Дополнительно из предложения 1 имеем
$$
\begin{equation*}
T^d=\begin{cases} S^{d/2}Z^{d/6} & \text{при нечетном}\;\,d/2, \\ S^{d/2}Z^{2d/3} & \text{при четном}\;\,d/2 \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и $T^{12d}=\mathbf{1}$. Если $d=6$, то $Z=T^6S^{-3}$. Следовательно, $\mathcal D_2$ порождается операторами $S$ и $T$. Положим $M=S^2Z=T^6S^{-1}$, тогда $M^{3}=\mathbf{1}$ и $S=M^{-1}T^6$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\mathcal D_2/\mathcal U(1)=\{M^aT^b:\, a\in\mathbb{Z}_3,\, b\in\mathbb{Z}_{72}\},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $\mathcal D_2/\mathcal U(1)\cong\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_{72}$ на $\mathbb{C}^6$. Для $d>6$ положим тогда $M^{d/2}=N^{d/6}=\mathbf{1}$. Кроме того, для нечетного $d/2$ мы имеем а для четного $d/2$ Отсюда следовательно, $\mathcal D_2/\mathcal U(1)\cong\mathbb{Z}_{d/6}\oplus\mathbb{Z}_{d/2}\oplus\mathbb{Z}_{12d}$ в канонической форме Смита.Для наглядности мы суммируем результаты предложения 4 в табл. 2. Таблица 2.Структура группы $\mathcal D_2/\mathcal U(1)$ для произвольной размерности $d$.
5. ЗаключениеС математической точки зрения и с точки зрения общего представления диагональные вентили (матрицы) могут показаться простыми и хорошо понятными. Однако с физической и вычислительной точек зрения диагональные матрицы не только играют уникальную и решающую роль в формализме стабилизатора квантовых вычислений, но и остаются менее понятыми в некоторых своих аспектах из-за арифметических тонкостей, связанных с теорией чисел и вычислениями. Значимость диагональных вентилей можно резюмировать следующим образом. Во-первых, в формализме стабилизатора квантовых вычислений, который активно изучается в последние годы, $T$-вентиль, как очень специфическия диагональная матрица, широко используется в качестве стандартного неклиффордова вентиля для продвижения классических вычислений к квантовым вычислениям. Действительно, согласно знаменитой теореме Готтесмана–Книлла [3] квантовые схемы, основанные на клиффордовых вентилях и измерениях Паули и имеющие в качестве начальных состояния стабилизатора, могут эффективно моделироваться на классических компьютерх. Чтобы достичь вычислений с квантовыми преимуществами, применяется $T$-вентиль, который создает ресурс “магии” для квантовых вычислений, о чем свидетельствует широкое распространение системы “Clifford${}+T$”. Во-вторых, как хорошо известно, фундаментальное значение при квантовой обработке информации имеют различные относительные фазы квантовых состояний, при этом суперпозиции в состояниях стабилизаторов весьма ограничены, поскольку лишь немногие фазы можно реализовать. Неклиффордовы диагональные вентили и, в частности, $T$-вентили играют решающую роль в генерации различных фаз. В сочетании с вентилем Адамара (генерирующим базовую суперпозицию) эти вентили могут генерировать достаточно богатые суперпозиции (выходящие за рамки суперпозиций в состояниях стабилизаторов) вычислительных базисных состояний и, таким образом, обеспечивать универсальные квантовые вычисления. В-третьих, диагональные вентили более удобно реализовать как отказоустойчивые, более того, $T$-вентиль является оптимальным среди всех диагональных вентилей с точки зрения генерации ресурсов “магии”. Учитывая важность и повсеместное применение диагональных вентилей, желательно охарактеризовать их групповые структуры, на основании которых можно будет определить генераторы группы. Эти генераторы могут служить удобными и мощными квантовыми вентилями для квантовых вычислений. В представленной работе для иерархии Клиффорда в системе любой (простой или составной) размерности мы полностью охарактеризовали группу диагональных вентилей на втором уровне иерархии, что позволило раскрыть некоторые сложные отношения между клиффордовыми и неклиффордовыми квантовыми вентилями. Это достигается путем задания всех генераторов группы. Ключевым ингредиентом является $T$-вентиль в системе произвольной размерности, являющийся обобщением аналогичного вентиля в системе простой размерности. Наши результаты показывают, что при определении групповой структуры диагональных вентилей в иерархии Клиффорда решающую роль играют некоторые теоретико-числовые свойства размерности. В частности, групповая структура радикально различается в зависимости от того, содержит ли размерность $d$ системы простые множители 2 и/или 3. Это раскрывает некоторые специфические и особые черты первых двух простых чисел 2 и 3. С теоретической точки зрения желательно расширить результаты работы [14] и продолжить классификацию групп диагональных вентилей на всех уровнях иерархии Клиффорда для системы произвольной размерности и для составных (т. е. состоящих из многих частей) систем, имеющих вид тензорного произведения многих подсистем. Разумно ожидать, что при дальнейшем обобщении соотношения (13) соответствующий вентиль $T$-типа (генератор) для $n$-го уровня иерархии Клиффорда должен содержать в показателе экспоненты полином степени $n+1$. Кроме того, при характеризации таких групп причудливую роль может играть глубокая арифметика размерности. Как только будут получены групповые структуры, можно будет определить соответствующие генераторы групп, которые далее могут быть использованы в качестве фундаментальных квантовых вентилей для квантовых вычислений. Однако эти вопросы кажутся весьма сложными. В дву- и трехмерных системах $T$-вентиль играет решающую роль в квантовых вычислениях стабилизатора, о чем свидетельствуют широкое применение параметра $T$-count и оптимальность $T$-вентиля при генерации ресурсов “магии” [39], [40]. Мы ожидаем, что общий $T$-вентиль, введенный в предложении 1, будет играть аналогичную роль в системе произвольной размерности. Дальнейшие приложения этого общего $T$-вентиля еще предстоит изучить. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{FenShu24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|