| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
А. П. Исаевabc, А. А. Проворовac a Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московская обл., Россия b Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия c Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Санкт-Петербург, Россия
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792410009X 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеНастоящая работа посвящена применению $3$-расщепленного оператора Казимира $\widehat{C}_{(3)}$ (см. определение в разделе 2) для построения универсальных проекторов на инвариантные подпространства представлений $\operatorname{ad}^{\otimes 3}$ комплексных супералгебр Ли $osp(M|N)$ и $sl(M|N)$, а также нахождения суперразмерностей этих подпространств. Идея построения проекторов на инвариантные подпространства представлений супералгебр Ли с помощью инвариантных операторов не является новой: тензорные произведения $r$ определяющих представлений супералгебр Ли $sl(M|N)$ и $osp(M|N)$ централизуются действиями алгебры симметрической группы $\mathbb{C}S_r$ и алгебры Брауэра $\mathcal{B}r_r(N)$ [1] соответственно [2]–[4] (как и для алгебр Ли $sl(N)$ и $so(N)$), а проекторы на подпредставления строятся как образы определенных элементов этих алгебр в соответствующих представлениях. Подобный подход, однако, опирается на конкретные свойства данных алгебр. Использование расщепленного оператора Казимира позволяет унифицировать рассмотрение для всех простых алгебр и супералгебр Ли. Понятие универсальной алгебры Ли было введено Вожелем в работе [5] и по предположению являлось моделью всех простых комплексных алгебр Ли, включавшей также и некоторые супералгебры Ли: многие величины, характеризующие алгебру Ли $\mathfrak{g}$ в различных представлениях $T_\mu$ (возможно, приводимых), входящих в разложение $\operatorname{ad}^{\otimes k}=\sum_{\mu}T_\mu$, где $k \geqslant 1$, выражаются рациональными функциями трех параметров Вожеля (см. их определение в п. 2.3). Эти параметры принимают определенные значения для каждой простой комплексной алгебры Ли, а также для каждой базовой классической супералгебры Ли (см., например, [6] и п. 2.3 ниже). В частности, при рассмотрении простых алгебр Ли было показано, что через параметры Вожеля выражаются размерности представлений $T_\mu$ в случаях $k=2,3$ [5], [7], [8], для исключительных алгебр Ли в случае $k=4$ [9], [10], а также для всех простых алгебр Ли в случае $k=4$ [11] и антисимметричной части представления $\operatorname{ad}^{\otimes 5}$ [12]. Для супералгебр Ли в случае $k=2$ аналогичный результат был получен в работах [5], [13]. Кроме того, через эти параметры можно выразить размерности представлений $\operatorname{ad}$-серии, т. е. представлений $T_{\mu'}$ со старшими весами $\mu'=k\mu_{\operatorname{ad}}$, где $\mu_{\operatorname{ad}}$ – старший корень данной алгебры Ли [14], размерности представлений $X_2$-серии [15], [16], а также значения высших операторов Казимира в присоединенном представлении данной алебры Ли [6]. Кроме того, в работе [17] было показано, что универсальное описание простых комплексных алгебр Ли позволяет сформулировать некоторые типы полиномов узлов в виде одной функции сразу для всех простых алгебр Ли. В работе Вожеля [5] понятие универсальной алгебры было получено с помощью нетривиальных рассуждений, берущих свое начало в теории узлов. В работе [9] было сделано предположение, а в работе [10] доказано, что представления $\operatorname{ad}^{\otimes 3}$ и $\operatorname{ad}^{\otimes 4}$ исключительных алгебр Ли допускают универсальное разложение. Недавно в работе [11] было показано, что универсальное разложение справедливо для представления $\operatorname{ad}^{\otimes 4}$ в случае простых алгебр Ли классических серий. В настоящей работе мы получаем результаты Вожеля явно, с применением оператора $\widehat{C}$, тем самым показывая, что его использование позволяет получить общий и простой алгоритм для разбиения представлений на подпредставления. Настоящая работа расширяет результаты статьи [8], где было рассмотрено представление $\operatorname{ad}^{\otimes 3}$ для стандартных простых алгебр Ли, на случай представления $\operatorname{ad}^{\otimes 3}$ для супералгебр Ли $sl(M|N)$ и $osp(M|N)$. При выполнении расчетов мы пользовались диаграммными представлениями алгебры Брауэра и алгебры Брауэра со стенкой. Для расчетов также использовалась программа Wolfram Mathematica [18] и пакет NCAlgebra. Пример вычислений содержится в приложении. Работа организована следующим образом. В разделе 2 вводятся $3$-расщепленный оператор Казимира для супералгебр Ли и его симметризации, а также обсуждаются их основные свойства. Кроме того, в разделе 2 вводятся параметры Вожеля. В разделе 3 определяются алгебра Брауэра и алгебра Брауэра со стенкой. В разделе 4 вычисляется $3$-расщепленный оператор Казимира для алгебр $osp(M|N)$ и $sl(M|N)$. В разделе 5 получены универсальные характеристические тождества $3$-расщепленного оператора Казимира для алгебр $osp(M|N)$ и $sl(M|N)$ и универсальные формулы для суперразмерностей инвариантных подпространств представления $\operatorname{ad}^{\otimes 3}$. 2. Основные определения и соглашенияНапомним здесь кратко основные определения и фиксируем обозначения, касающиеся супералгебр Ли и их представлений и $3$-расщепленного оператора Казимира (более подробно см., например, [13]). 2.1. Расщепленный оператор КазимираПусть $\mathfrak{g}$ – простая комплексная супералгебра Ли с невырожденной метрикой Картана–Киллинга (ее определение дано, например, в [13]), компоненты которой в некотором однородном базисе $\{X_A\}_{A=1}^{\operatorname{dim} \mathfrak{g}}$ этой алгебры равны
$$
\begin{equation}
\mathsf{g}_{AB}:=\operatorname{str}(\operatorname{ad}(X_A)\cdot \operatorname{ad}(X_B)).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Четность базисного вектора $X_A$ будем обозначать как $[A]$. Компоненты обратной метрики $\overline{\mathsf{g}}^{AB}$ определяются условиями $\overline{\mathsf{g}}^{AB}\mathsf{g}_{BC}=\delta^A_C$. $3$-расщепленный оператор Казимира $\widehat{C}_{(3)}$ является элементом алгебры $\mathcal{U}(\mathfrak{g})^{\otimes 3}$ и определяется как
$$
\begin{equation}
\widehat{C}_{(3)}=\overline{\mathsf{g}}^{AB}(X_A\otimes X_B\otimes I+X_A\otimes I\otimes X_B+I\otimes X_A\otimes X_B).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Здесь $\mathcal{U}(\mathfrak{g})$ – универсальная обертывающая алгебра для $\mathfrak{g}$, символом $\otimes$ здесь и далее обозначается градуированное тензорное произведение, а $I\in\mathcal{U}(\mathfrak{g})$ – единичный элемент. Отметим, что в случае, когда $\mathfrak{g}$ – алгебра Ли, оператор $\widehat{C}_{(3)}$ переходит в $3$-расщепленный оператор Казимира для алгебр Ли (см. [8]). Далее мы будем рассматривать оператор $\widehat{C}_{(3)}$ в представлении $\operatorname{ad}^{\otimes 3}$ (для простоты мы также будем говорить о $\widehat{C}_{(3)}$ в присоединенном представлении). Пространство присоединенного представления алгебры $\mathfrak{g}$ (совпадающего как линейное пространство с самой алгеброй) будем обозначать $V_{\operatorname{ad}}$. Для упрощения обозначений мы будем писать $X_A$ вместо $\operatorname{ad}(X_A)$, $\widehat{C}_{(3)}$ вместо $\operatorname{ad}^{\otimes 3}(\widehat{C}_{(3)})$ и аналогично для всех симметризаций $\widehat{C}_{(3)}$, которые мы определим далее. Кроме того, под $I$ будем также понимать единичный оператор, действующий в $V_{\operatorname{ad}}$. Структурные константы $X^C{}_{AB}$ алгебры $\mathfrak{g}$ определяются соотношениями $[X_A,X_B]=X_C X^C{}_{AB}$. Соответственно, компоненты оператора $\operatorname{ad}(X_A)$ в базисе $\{X_A\}_{A=1}^{\operatorname{dim} \mathfrak{g}}$, совпадающие со структурными константами в этом базисе, имеют вид [13] $\operatorname{ad}(X_A)^C{}_B=X^C{}_{AB}$. Переходя к рассмотрению компонент операторов, действующих в тензорном произведении суперпространств, необходимо сделать следующее замечание. Пусть $n$ операторов $A,B,C,\dots, E$ действуют в некотором суперпространстве $V$ с однородным базисом $\{e_A\}$ (четность базисного вектора $e_A$, а также четность соответствующего индекса $A$ будем обозначать как $[A]$). Тогда компоненты оператора $A\otimes B\otimes C\otimes \dots \otimes E\in\operatorname{End}(V^{\otimes n})$ имеют следующий вид [13]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (A\otimes{}& B\otimes C\otimes \dots \otimes E)^{A_1\dots A_n}_{\ \ B_1\dots B_n}=A^{A_1}_{\ \ B_1}(-1)^{[B_1]([A_2]+[B_2])}\times{} \notag \\ &\times B^{A_2}_{\ \ B_2}(-1)^{([B_1]+[B_2])([A_3]+[B_3])}C^{A_3}_{\ \ B_3}(-1)^{([B_1]+\dots+[B_{n-1}])([A_n]+[B_n])}E^{A_n}_{\ \ B_n}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
В соответствии с (2.3) компоненты $\widehat{C}_{(3)}$ определяются соотношением
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (\widehat{C}_{(3)}{}&)^{B_1B_2B_3}{}_{C_1C_2C_3}=\overline{\mathsf{g}}^{AB}[(-1)^{[C_1]([B_2]+[C_2])}X^{B_1}_{AC_1}X^{B_2}_{BC_2}\delta^{B_3}_{C_3}+{} \notag \\ &+(-1)^{([C_1]+[C_2])([B_3]+[C_3])}X^{B_1}_{BC_1}\delta^{B_2}_{C_2}X^{B_3}{}_{CC_3}+{} \notag \\ &+ (-1)^{[C_1]([B_2]+[C_2])+([C_1]+[C_2])([B_3]+[C_3])}\delta^{A_1}_{B_1}X^{B_2}_{BC_2}X^{B_3}{}_{CC_3}]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Оператор $\widehat{C}_{(3)}$ обладает свойством $\operatorname{ad}$-инвариантности: для произвольного $A=1,\dots,\operatorname{dim}\mathfrak{g}$ выполняется
$$
\begin{equation}
[\widehat{C}_{(3)},\operatorname{ad}^{\otimes 3}(X_A)]=0,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $\operatorname{ad}^{\otimes 3}(X_A):=X_A\otimes I\otimes I+I\otimes X_A\otimes I+I\otimes I\otimes X_A$ (см., например, [13]). Компоненты этого оператора в соответствии с (2.3) задаются выражением
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{ad}^{\otimes 3}(X_A)^{B_1B_2B_3}{}_{C_1C_2C_3}={}&X^{B_1}_{A C_1}\delta^{B_2}_{C_2}\delta^{B_3}_{C_3}+(-1)^{[C_1]([B_2]+[C_2])}\delta^{B_1}_{C_1}X^{B_2}_{A C_2}\delta^{B_3}_{C_3}+{} \notag \\ &+(-1)^{([C_1]+[C_2])([B_3]+[C_3])}\delta^{B_1}_{C_1}\delta^{B_2}_{C_2}X^{B_3}_{A C_3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Следствием $\operatorname{ad}$-инвариантности оператора $\widehat{C}_{(3)}$ является тот факт, что согласно обобщению леммы Шура на случай супералгебр Ли (см., например, [19]) собственные подпространства оператора $\widehat{C}_{(3)}$ в представлении $\operatorname{ad}^{\otimes 3}$ являются пространствами подпредставлений $T_\mu$, входящими в разложение $\operatorname{ad}^{\otimes 3}=\sum_{\mu} T_\mu$ (представления $T_\mu$ здесь не обязательно неприводимы; соответствующие подпространства мы называем казимировскими, см. [11]). Пусть характеристическое тождество некоторого оператора $\mathcal{A}\!:V\to V$ имеет вид
$$
\begin{equation}
(\mathcal{A}-a_1 \mathcal{I})(\mathcal{A}-a_2 \mathcal{I})\dots (\mathcal{A}-a_p \mathcal{I})=0,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где все $a_i\in\mathbb{C}$ различны, а $\mathcal{I}$ – единичный оператор в $V$. Проекторы на собственные пространства оператора $\mathcal{A}$ задаются выражениями
$$
\begin{equation}
\operatorname{P}_{a_j}=\prod_{\substack{i=1,\\i\neq j }}^p\biggl(\frac{\mathcal{A}-a_i\mathcal{I}}{a_j-a_i}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Отметим, что проекторы $\operatorname{P}_{a_j}$ образуют взаимно ортогональную систему проекторов: $\sum_{j=1}^{p}\operatorname{P}_{a_j}=\mathcal{I}$ и $\operatorname{P}_{a_i}\!\operatorname{P}_{a_j}=\delta_{ij}\operatorname{P}_{a_i}$. 2.2. Симметризации $3$-расщепленного оператора КазимираПри изучении представлений $\operatorname{ad}^{\otimes 3}$ алгебр и супералгебр Ли удобнее пользоваться не операторами $\widehat{C}_{(3)}$, а их ограничениями на определенным образом симметризованные подпространства $V_{\operatorname{ad}}^{\otimes 3}$. Определим операторы $\mathbf{I}$ и $\mathbf{P}_{ij}$, $1\leqslant i < j\leqslant 3$, действующие в $V_{\operatorname{ad}}^{\otimes 3}$. Их компоненты задаются соотношениями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{I}^{A_1A_2A_3}{}_{B_1B_2B_3}&=\delta^{A_1}_{B_1}\delta^{A_2}_{B_2}\delta^{A_3}_{B_3},\\ (\mathbf{P}_{12})^{A_1A_2A_3}{}_{B_1B_2B_3}&=(-1)^{[A_1][A_2]}\delta^{A_1}_{B_2}\delta^{A_2}_{B_1}\delta^{A_3}_{B_3},\\ (\mathbf{P}_{13})^{A_1A_2A_3}{}_{B_1B_2B_3}&=(-1)^{[A_1][A_2]+[A_1][A_3]+[A_2][A_3]}\delta^{A_1}_{B_3}\delta^{A_2}_{B_2}\delta^{A_3}_{B_1},\\ (\mathbf{P}_{23})^{A_1A_2A_3}{}_{B_1B_2B_3}&=(-1)^{[A_2][A_3]}\delta^{A_1}_{B_1}\delta^{A_2}_{B_3}\delta^{A_3}_{B_2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Эти выражения получаются из выражений
$$
\begin{equation*}
\mathbf{I}^{A_1A_2}{}_{B_1B_2}=\delta^{A_1}_{B_1}\delta^{A_2}_{B_2}, \qquad \mathbf{P}^{A_1A_2}{}_{B_1B_2}=(-1)^{[A_1][A_2]}\delta^{A_1}_{B_2}\delta^{A_2}_{B_1}
\end{equation*}
\notag
$$
для компонент операторов $\mathbf{I},\mathbf{P}\in\operatorname{End}(V_{\operatorname{ad}}^{\otimes 2})$, формулы (2.3) и с учетом обозначений $\mathbf{I}_{12}=\mathbf{I}_{13}=\mathbf{I}_{23}\equiv \mathbf{I}$. Из определения следует, что $\mathbf{I}$ – единичный оператор в $V_{\operatorname{ad}}^{\otimes 3}$, а $\mathbf{P}_{ij}$ – оператор суперперестановки пространств с номерами $i$ и $j$ в тензорном произведении $V_{\operatorname{ad}}^{\otimes 3}$. Эти операторы реализуют представление группы перестановок $\mathbb{S}_3$ в пространстве $V_{\operatorname{ad}}^{\otimes 3}$. Определим симметризаторы Юнга на пространстве $V_{\operatorname{ad}}^{\otimes 3}$, а также соответствующим образом симметризованные части оператора $\widehat{C}_{(3)}$ [20], используя операторы $\mathbf{I}$ и $\mathbf{P}_{ij}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{P}_{[3]}&=\frac{1}{3!}(\mathbf{I}+\mathbf{P}_{23}+\mathbf{P}_{12}\mathbf{P}_{23})(\mathbf{I}+\mathbf{P}_{12}) & &\implies & \widehat{C}_{[3]}&=\operatorname{P}_{[3]}\widehat{C}_{(3)},\\ \operatorname{P}_{[1^3]}&=\frac{1}{3!}(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{23}+\mathbf{P}_{12}\mathbf{P}_{23})(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{12}) & &\implies & \widehat{C}_{[1^3]}&=\operatorname{P}_{[1^3]}\widehat{C}_{(3)},\\ \operatorname{P}_{[21]}&=\frac{1}{3}(\mathbf{I}+\mathbf{P}_{12})(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{13}) & &\implies & \widehat{C}_{[21]}&=\operatorname{P}_{[21]}\widehat{C}_{(3)},\\ \operatorname{P}_{[21]'}&=\frac{1}{3}(\mathbf{I}+\mathbf{P}_{13})(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{12}) & &\implies & \widehat{C}_{[21]'}&=\operatorname{P}_{[21]'}\widehat{C}_{(3)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Можно проверить, что операторы $\widehat{C}_{[3]}$, $\widehat{C}_{[1^3]}$, $\widehat{C}_{[21]}$, $\widehat{C}_{[21]'}$ являются $\operatorname{ad}$-инвариантными, т. е. к ним применимы все рассуждения, приведенные выше для оператора $\widehat{C}_{(3)}$. Далее мы всегда будем считать, что нулевая степень любой симметризации оператора $\widehat{C}_{(3)}$ совпадает с соответствующим симметризатором Юнга, т. е., например, $\widehat{C}_{[3]}^0=\operatorname{P}_{[3]}$. Отметим здесь, что любые соотношения, справедливые для оператора $\widehat{C}_{[21]'}$, можно получить из аналогичных соотношений для $\widehat{C}_{[21]}$ заменой $\widehat{C}_{[21]'}=\mathbf{P}_{23}\widehat{C}_{[21]}\mathbf{P}_{23}$, поэтому случай симметризации $\widehat{C}_{[21]'}$ отдельно рассматриваться не будет. 2.3. Параметры ВожеляКак уже упоминалось в разделе 1, параметрами Вожеля, введенными в работе [5], называются три числа, обозначаемые $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, определенные с точностью до перестановки и домножения на число. Эти параметры принимают определенные значения для каждой простой алгебры Ли и каждой базовой классической супералгебры Ли (более детальную информацию о параметрах Вожеля см., например, в [5], [13], [21]). Значения этих параметров для базовых классических супералгебр Ли приведены в табл. 1 [21]. Таблица 1.Значения параметров Вожеля для базовых классических супералгебр Ли.
Параметры Вожеля, соответствующие базовым классическим супералгебрам Ли, можно изобразить на так называемой карте Вожеля. Фиксация параметра $\alpha= -2$ позволяет связать параметр $t$ с дуальным числом Кокстера1 $h^\lor$ и изобразить карту Вожеля в виде двумерной плоскости $\mathbb{R}^2$, по осям которой отложены значения параметров $\beta$ и $\gamma$ (см. рис. 1). Целью настоящей работы является выведение универсальных тождеств, аналогичных полученным в [8] для простых классических алгебр Ли, для случая супералгебр Ли $sl(M|N)$ и $osp(M|N)$. Результат приведен в утверждении 5 в п. 5.3. 3. Алгебра Брауэра и алгебра Брауэра со стенкойВ дальнейших вычислениях нам понадобятся алгебра Брауэра и алгебра Брауэра со стенкой. Мы определим их в данном разделе. 3.1. Алгебра Брауэра Определение 1. Алгеброй Брауэра $\mathcal{B}r_n(\omega)$ называется ассоциативная алгебра с единицей и образующими $\sigma_\alpha$ и $\kappa_\alpha$, $\alpha=1,\dots,n-1$, удовлетворяющими соотношениям [22] У данной алгебры имеется удобное диаграммное представление. Рассмотрим два набора по $n$ точек на плоскости, каждый из которых расположен на своей горизонтальной прямой линии, причем так, что каждая верхняя точка расположена строго над одной из нижних точек. Диаграммой из алгебры $\mathcal{B}r_{n}(\omega)$ называется произвольная диаграмма, в которой все точки попарно соединены линиями. Например, при $n=6$ (этот случай для нас наиболее важен) образующие $\sigma_i$ и $\kappa_i$ имеют вид  Элементом алгебры $\mathcal{B}r_{n}(\omega)$ называется произвольная линейная комбинация диаграмм такого типа. Умножение $\xi\cdot \zeta$ диаграмм $\xi,\zeta\in\mathcal{B}r_{n}(\omega)$ определяется следующим образом: диаграмма, соответствующая $\xi$, ставится над диаграммой, соответствующей $\zeta$, причем так, что нижние точки $\xi$ совпадают с верхними точками $\zeta$, а затем соединяющиеся линии распрямляются. Каждый появляющийся при этом цикл заменяется на множитель $\omega$ перед диаграммой. Например,  Можно явно проверить, что для образующих $\sigma_i$, $\kappa_i$, $i=1,\dots,5$, выполняются все соотношения (3.1). 3.2. Алгебра Брауэра со стенкой Определение 2. Алгеброй Брауэра со стенкой $\mathcal{B}r_{r,s}(\omega)$ [23], [24] называется алгебра с образующими $\widehat{\sigma}_i$, $i=1,\dots,r-1,r+1,\dots, r+s-1$, и $\widehat{\kappa}$ и соотношениями (см., например, [25]) Так же, как и алгебра Брауэра $\mathcal{B}r_{n}(\omega)$, алгебра $\mathcal{B}r_{r,s}(\omega)$ представляется в виде алгебры диаграмм [25]. Имеются две горизонтальные линии, на каждой из которых лежат по $r+s$ точек, причем каждая из верхних точек находится строго над одной из нижних точек. В отличие от диаграмм алгебры Брауэра, в диаграммах алгебры $\mathcal{B}r_{r,s}$ имеется вертикальная линия (далее – линия раздела), справа и слева от которой расположены по $r$ и $s$ верхних (или, что то же, нижних) точек соответственно. Диаграммой из алгебры $\mathcal{B}r_{r,s}(\omega)$ называется диаграмма, в которой линии, соединяющие две точки из верхнего и нижнего наборов, не могут пересекать линию раздела, а линии, соединяющие две верхние или две нижние точки, эту линию пересекать обязаны. Для алгебры $\mathcal{B}r_{3,3}(\omega)$ образующие $\widehat{\sigma}_i$ и $\widehat{\kappa}$ имеют в диаграммном представлении следующий вид:  Умножение диаграмм в алгебре $\mathcal{B}r_{r,s}$ определяется аналогично умножению в алгебре $\mathcal{B}r_r$. Далее мы будем использовать несколько иную диаграммную репрезентацию алгебры $\mathcal{B}r_{r,s}$, которую можно определить в случае $r=s$. Для ее определения все точки слева от линии раздела сделаем закрашенными, а справа – проколотыми. Затем переставим точки так, чтобы закрашенные и проколотые точки чередовались, и при этом порядок закрашенных и порядок проколотых точек не изменились. Линии при этом остаются прикрепленными к соответствующим точкам. Например, одна из диаграмм алгебры $\mathcal{B}r_{3,3}(\omega)$ в таком представлении перепишется в виде  Генераторы алгебры $\mathcal{B}r_{3,3}(\omega)$ тогда принимают следующий диаграммный вид:  Заметим, что алгебра Брауэра со стенкой $\mathcal{B}r_{3,3}(\omega)$ вкладывается в обычную алгебру Брауэра $\mathcal{B}r_6(\omega)$. Несложно проверить, что диаграммы элементов $\widehat{\sigma}_1$, $\widehat{\sigma}_2$, $\widehat{\sigma}_4$, $\widehat{\sigma}_5$ алгебры $\mathcal{B}r_{3,3}(\omega)$ совпадают (если отождествить в этих диаграммах закрашенные и проколотые точки) с диаграммами элементов $\sigma_2\sigma_1\sigma_2$, $\sigma_4\sigma_3\sigma_4$, $\sigma_3\sigma_2\sigma_3$, $\sigma_5\sigma_4\sigma_5$ алгебры $\mathcal{B}r_{6}(\omega)$ соответственно:  Определим далее в алгебре $\mathcal{B}r_{3,3}(\omega)$ следующие элементы:
$$
\begin{equation}
\widehat{\kappa}_2=\widehat{\sigma}_2\widehat{\kappa}\widehat{\sigma}_2,\quad \widehat{\kappa}_1=\widehat{\sigma}_1\widehat{\kappa}_2\widehat{\sigma}_1,\quad \widehat{\kappa}_3=\widehat{\sigma}_4\widehat{\kappa}_2\widehat{\sigma}_4,\quad \widehat{\kappa}_4=\widehat{\sigma}_2\widehat{\kappa}_3\widehat{\sigma}_2,\quad \widehat{\kappa}_5=\widehat{\sigma}_5\widehat{\kappa}_4\widehat{\sigma}_5.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Диаграммы элементов $\widehat{\kappa}_i$, $i=1,\dots,5$, имеют вид  Ясно, что эти диаграммы совпадают с диаграммами элементов $\kappa_i$ алгебры $\mathcal{B}r_{6}(\omega)$. Соответственно, вложение алгебры $\mathcal{B}r_{3,3}(\omega)$ в $\mathcal{B}r_6(\omega)$ можно определить следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widehat{\sigma}_1\mapsto \sigma_2\sigma_1\sigma_2,\qquad \widehat{\sigma}_2\mapsto \sigma_4\sigma_3\sigma_4,\qquad \widehat{\sigma}_4\mapsto \sigma_3\sigma_2\sigma_3,\qquad \widehat{\sigma}_5\mapsto\sigma_5\sigma_4\sigma_5,\\ \widehat{\kappa}_i\mapsto\kappa_i,\quad i=1,\dots, 5. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Следует отметить, что алгебра Брауэра со стенкой реализует централизующую алгебру для тензорного произведения определяющих (закрашенные точки) и контрагредиентных к определяющим представлений (проколотые точки) алгебры $sl(M|N)$, где $M-N=\omega$. В случае алгебры $osp(M|N)$ эти представления эквивалентны, поэтому использование алгебры Брауэра со стенкой не требуется. 4. $3$-расщепленный оператор Казимира для алгебр ${osp}(M|N)$ и ${sl}(M|N)$4.1. $3$-расщепленный оператор Казимира для алгебры ${osp}(M|N)$Пусть $V_{(M|N)}$ – линейное суперпространство, размерность четной и нечетной частей которого равна $M$ и $N$ соответственно, а $\{e_a\}_{a=1}^{M+N}$ – однородный базис данного пространства. Для определения супералгебры $osp(M|N)$ введем на $V_{(M|N)}$ (здесь $N=2n$ – четное) скалярное произведение $\varepsilon$ с метрикой $\varepsilon_{ab}\equiv \varepsilon(e_a,e_b)$, имеющей матрицу
$$
\begin{equation}
\varepsilon= \biggl( \begin{array}{c|c} I_M & 0\\ \hline 0 & J_{N}\\ \end{array} \biggr).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Здесь $I_M$ – единичная $(M\times M)$-матрица, а антисимметричная матрица $J_N$ размерности $N\times N$ имеет вид
$$
\begin{equation}
J= \biggl( \begin{array}{c c} 0 & I_n\\ -I_n & 0 \end{array} \biggr).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Супералгебра $osp(M|N)$ определяется как алгебра операторов $\mathcal{A}:V_{(M|N)}\to V_{(M|N)}$, оставляющих метрику $\varepsilon$ инвариантной [19]:
$$
\begin{equation}
\mathcal{A}^c{}_a\varepsilon_{cb}+(-1)^{[a]+[a][b]}\varepsilon_{ac}\mathcal{A}^c{}_b=0,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
и стандартной суперскобкой Ли, т. е. коммутатором для двух четных или для четного и нечетного операторов и антикоммутатором для двух нечетных операторов. Базисные элементы $M_{ij}$ супералгебры Ли $osp(M|N)$ задаются операторами (см., например, [13]) с компонентами
$$
\begin{equation}
(M_{ij})^a{}_b=\varepsilon _{jb}\delta^a_i-(-1)^{[a][b]}\varepsilon _{ib}\delta^a_j=\varepsilon_{jb}\delta^a_i-(-1)^{[i][j]}\varepsilon _{ib}\delta^a_j,\quad [M_{ij}]=[i]+[j]\; \mod 2.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Соответственно, индекс $A$ произвольного базисного элемента алгебры $osp(M|N)$ в присоединенном представлении может быть записан как пара индексов $(i,j)$. Структурные константы $X^{k_1k_2}{}_{i_1i_2,j_1j_2}$ алгебры $osp(M|N)$ следуют из структурных соотношений для элементов (4.4) и записываются в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, X^{k_1k_2}{}_{i_1i_2,j_1j_2}={}&\varepsilon _{i_2j_1}\delta_{i_1}^{(k_1}\delta_{j_2}^{k_2)}-(-1)^{[j_1][j_2]}\varepsilon _{i_2j_2}\delta_{i_1}^{(k_1}\delta_{j_1}^{k_2)}-{} \notag \\ &-(-1)^{[i_1][i_2]}\varepsilon _{i_1j_1}\delta_{i_2}^{(k_1}\delta_{j_2}^{k_2)}+(-1)^{[i_1][i_2]+[j_1][j_2]}\varepsilon _{i_1j_2}\delta_{i_2}^{(k_1}\delta_{j_1}^{k_2)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где запись $A^{(k_1k_2)}$ обозначает
$$
\begin{equation*}
A^{(k_1k_2)}=\frac{1}{2}(A^{k_1k_2}-(-1)^{[k_1][k_2]}A^{k_2k_1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Метрика Картана–Киллинга (2.1) и обратная метрика Картана–Киллинга алгебры $osp(M|N)$ в базисе (4.4) представляются в виде [13]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathsf{g}_{i_1i_2,j_1j_2}&=2(\omega-2)(\varepsilon _{i_1j_2}\varepsilon _{i_2j_1}-(-1)^{[j_1][j_2]}\varepsilon _{i_1j_1}\varepsilon _{i_2j_2}),\\ \overline{\mathsf{g}}^{i_1i_2,j_1j_2}&=\frac{1}{8(\omega-2)}(\overline{\varepsilon}^{i_1j_2} \overline{\varepsilon}^{i_2j_1}-(-1)^{[i_1][i_2]}\overline{\varepsilon}^{i_1j_1} \overline{\varepsilon}^{i_2j_2}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где введено обозначение $\omega \equiv M-N$, которое мы также будем использовать в дальнейшем. При $\omega=2$ метрика (4.6) вырождена, и далее этот случай мы рассматривать не будем. Введем операторы $1,\mathcal{P}$ и $\mathcal{K}$, которые действуют в $V^{\otimes 2}_{(M|N)}$ и имеют следующие компоненты:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 1^{k_1k_2}{}_{m_1m_2}= \delta^{k_1}_{m_1}\delta^{k_2}_{m_2},\\ \mathcal{P}^{k_1k_2}{}_{m_1m_2}= (-1)^{[k_1][k_2]}\delta^{k_1}_{m_2} \delta^{k_2}_{m_1},\qquad \mathcal{K}^{k_1k_2}{}_{m_1m_2}= \varepsilon^{k_1k_2}\varepsilon_{m_1m_2}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Здесь $1$ – единичный оператор, $\mathcal{P}$ – оператор суперперестановки. Можно показать, что операторы $\mathcal{P}_{\alpha,\alpha+1}$ и $\mathcal{K}_{\alpha,\alpha+1}$, $\alpha=1,\dots,5$, определенные в соответствии с (2.3), задают представление $\tau\colon \mathcal{B}r_6(\omega)\to \operatorname{End}(V_{(M|N)}^{\otimes 6})$ алгебры Брауэра $\mathcal{B}r_6(\omega)$ по правилу $\tau(\sigma_\alpha)=\mathcal{P}_{\alpha,\alpha+1}$ и $\tau(\kappa_\alpha)=\mathcal{K}_{\alpha,\alpha+1}$. Определим антисимметризатор $\mathcal{P}^-\!:V_{(M|N)}^{\otimes 2}\to V_{(M|N)}^{\otimes 2}$ следующим образом: Утверждение 1. Операторы $\mathbf{I}$, $\mathbf{P}_{12}$, $\mathbf{P}_{13}$ и $\mathbf{P}_{23}$, определенные в (2.9), записываются для алгебры $osp(M|N)$ как $3$-Расщепленный оператор Казимира алгебры $osp(M|N)$ в присоединенном представлении имеет вид (ср. с 3-расщепленным оператором Казимира из [8] для случая классических алгебр Ли)
$$
\begin{equation}
\widehat{C}_{(3)}=\frac{2}{\omega-2}\mathcal{P}^{-}_{12}\mathcal{P}^{-}_{34}\mathcal{P}^{-}_{56}(\mathcal{P}_{13}-\mathcal{K}_{13}+\mathcal{P}_{15}-\mathcal{K}_{15}+\mathcal{P}_{35}-\mathcal{K}_{35})\mathcal{P}^{-}_{12}\mathcal{P}^{-}_{34}\mathcal{P}^{-}_{56}.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Доказательство. Используя явный вид (4.4) базисных элементов $M_{ij}$ алгебры $osp(M|N)$ и (4.7), легко убедиться, что оператор $\mathcal{P}^-$ представляет собой единичный оператор, действующий в пространстве $V_{\operatorname{ad}}\subseteq V_{(M|N)}^{\otimes 2}$. Соответственно, его компоненты $(\mathcal{P}^-)^{ij}{}_{kl}$ играют роль дельта-символов Кронекера $\delta^A_B$ в (2.9). Учитывая также, что четность пар индексов $(i,j)$, заменяющих в (2.9) индексы $A$ присоединенного представления, равна $[i]+[j]$, получаем (4.9). Аналогичным образом, подставляя в (2.4) выражения (4.5) и (4.6) для $\overline{\mathsf{g}}^{AB}$ и $X^A{}_{BC}$, получаем (4.10). Из явного вида операторов $\widehat{C}_{(3)}$, $\mathbf{I}$, $\mathbf{P}_{12}$, $\mathbf{P}_{13}$ и $\mathbf{P}_{23}$ следует, что они являются образами некоторых элементов алгебры Брауэра $\mathcal{B}r_{6}(\omega)$ в представлении $\tau$. 4.2. $3$-расщепленный оператор Казимира для алгебры ${sl}(M|N)$Супералгебра Ли $sl(M|N)$ (где $M\neq N$) определяется как пространство операторов $\mathcal{A} \in {\rm End}(V_{(M|N)})$, удовлетворяющих условию (подробнее см., например, [19])
$$
\begin{equation}
\operatorname{str} \mathcal{A}:= (-1)^{[a]}\mathcal{A}^a{}_a=0,
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
со стандартной суперскобкой Ли. Матрицы базисных элементов $(T_{ij})^a{}_b$ супералгебры $sl(M|N)$ в определяющем представлении можно записать как [13]
$$
\begin{equation}
(T_{ij})^a{}_b=\delta^a_i\delta_{jb}- \frac{(-1)^{[i][j]}}{M-N}\delta_{ij}\delta^a_b,\qquad [T_{ij}]=[i]+[j] \quad \operatorname{mod} 2.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Выписывая структурные соотношения для элементов (4.12), мы получаем структурные константы алгебры $sl(M|N)$:
$$
\begin{equation}
X^{k_1k_2}{}_{i_1i_2,j_1j_2}=\delta_{j_1i_2}\delta_{i_1}^{k_1}\delta_{j_2}^{k_2}-(-1)^{([i_1]+[i_2])([j_1]+[j_2])}\delta_{i_1j_2}\delta_{j_1}^{k_1}\delta_{i_2}^{k_2}.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
В качестве индекса присоединенного представления здесь выступает пара индексов, один из которых соответствует определяющему, а другой – сопряженному к определяющему представлению. Метрика Картана–Киллинга (2.1) и обратная метрика Картана–Киллинга алгебры $sl(M|N)$ в базисе (4.12) имеют следующие компоненты (напомним, что мы определили $\omega:=M-N$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathsf{g}_{i_1i_2,j_1j_2}&=2\omega \biggl((-1)^{[i_1][j_2]}\delta_{j_1i_2}\delta_{i_1j_2}- \frac{(-1)^{[i_1]+[j_2]}}{\omega}\delta_{i_1i_2}\delta_{j_1j_2}\biggr),\\ \overline{\mathsf{g}}^{i_1i_2,j_1j_2}&=\frac{1}{2\omega}\biggl((-1)^{[j_1][i_2]} \delta^{j_1i_2}\delta^{i_1j_2}-\frac{1}{\omega}\delta^{i_1i_2} \delta^{j_1j_2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
При $\omega=0$ метрика (4.14) является вырожденной, и мы этот случай не рассматриваем. Определим бесследовый проектор $\mathcal{P}^{\mathcal{K}}$, действующий в пространстве $V_{(M|N)}^{\otimes 2}$:
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}^{\mathcal{K}}=1-\frac{1}{\omega}\mathcal{K}.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Определим в соответствии с (2.3) операторы $\mathcal{P}^{\mathcal{K}}_{12}$, $\mathcal{P}^{\mathcal{K}}_{34}$ и $\mathcal{P}^{\mathcal{K}}_{56}$ и введем обозначение $\mathcal{P}^{\mathcal{K}}_{12,34,56}:=\mathcal{P}^{\mathcal{K}}_{12}\mathcal{P}^{\mathcal{K}}_{34}\mathcal{P}^{\mathcal{K}}_{56}$. Утверждение 2. Операторы $\mathbf{I}$, $\mathbf{P}_{12}$, $\mathbf{P}_{13}$ и $\mathbf{P}_{23}$, определенные в (2.9), имеют для алгебры $sl(M|N)$ вид 3-расщепленный оператор Казимира $\widehat{C}_{(3)}$ алгебры $sl(M|N)$ в присоединенном представлении имеет вид (ср. с 3-расщепленным оператором Казимира из [8] для случая классических алгебр Ли) Доказательство. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству утверждения 1 и получается из него, если оператор $\mathcal{P}^-$ заменить на оператор $\mathcal{P}^{\mathcal{K}}$, определенный в (4.15), а компоненты структурных констант $X^{k_1k_2}{}_{i_1i_2,j_1j_2}$ и обратной метрики Картана–Киллинга $\overline{\mathsf{g}}^{i_1i_2,j_1j_2}$ алгебры $osp(M|N)$ – на соответствующие компоненты (4.13) и (4.14) этих тензоров для алгебры $sl(M|N)$. Заметим, что все используемые в данном подразделе операторы $P_{\alpha\beta}$ и $K_{\alpha\beta}$ обладают следующим свойством: для $\mathcal{P}_{\alpha\beta}$ значение $\alpha-\beta$ всегда четно, а для $\mathcal{K}_{\alpha\beta}$ оно всегда нечетно. Следствием этого свойства является тот факт, что операторы $\mathcal{P}_{\alpha\beta}$ и $\mathcal{K}_{\alpha\beta}$ образуют представление $\tau'$ алгебры Брауэра со стенкой $\mathcal{B}r_{3,3}$ по правилу $\tau'(\widehat\sigma_1)=\mathcal{P}_{1,3}$, $\tau'(\widehat\sigma_2)=\mathcal{P}_{2,5}$, $\tau'(\widehat\sigma_4)=\mathcal{P}_{2,4}$, $\tau'(\widehat\sigma_5)=\mathcal{P}_{4,6}$, $\tau'(\widehat\kappa)=\mathcal{K}_{2,5}$. Это вложение можно также проиллюстрировать в терминах диаграмм алгебры Брауэра со стенкой. В каждой такой диаграмме имеются три закрашенные и три проколотые точки. Закрашенные точки соответствуют определяющему, а проколотые – сопряженному к определяющему представлениям. Операторы $\mathcal{P}_{\alpha\beta}$ с четной разностью $\alpha-\beta$ в диаграммной записи всегда соединяют две закрашенные либо две проколотые точки, а операторы $\mathcal{K}_{\alpha\beta}$ с нечетной разностью $\alpha-\beta$ всегда соединяют одну закрашенную и одну проколотую точки. В терминах представлений это означает, что операторы $\mathcal{P}_{\alpha\beta}$ указанного вида переставляют между собой два определяющих или два сопряженных к определяющему представления, а $\mathcal{K}_{\alpha\beta}$ является проектором на подпространство пространства тензорного произведения определяющего и коопределяющего представлений, которое имеет суперразмерность $1$. Учитывая, что алгебра Брауэра со стенкой $\mathcal{B}r_{3,3}(\omega)$ является подалгеброй алгебры Брауэра $\mathcal{B}r_6(\omega)$, где вложение задается формулой (3.4), при вычислениях характеристических тождеств для расщепленных операторов Казимира для алгебры $sl(M|N)$ можно пользоваться той же техникой, что и для алгебры $osp(M|N)$. 5. Универсальное разложение представления $\operatorname{{ad}}^{\otimes 3}$ для супералгебр ЛиВычисления в данном разделе были проведены с помощью программы Wolfram Mathematica и пакета NCAlgebra. Алгоритм вычислений поясняется на простом примере в приложении. 5.1. Разложение представления $\operatorname{{ad}}^{\otimes 3}$ для алгебры ${osp}(M|N)$ Утверждение 3. Характеристические тождества для операторов $\widehat{C}_{[1^3]}$, $\widehat{C}_{[3]}$, $\widehat{C}_{[21]}$ алгебры $osp(M|N)$ имеют следующий вид: Доказательство проводится прямыми вычислениями с использованием явного вида (4.10), (4.9) операторов $\widehat{C}_{(3)}$, $\mathbf{I}$, $\mathbf{P}_{12}$, $\mathbf{P}_{13}$, $\mathbf{P}_{23}$ как элементов алгебры Брауэра $\mathcal{B}r_{6}(\omega)$, а также формул (2.10). На основе формул (5.1), (5.2) и (5.3) с применением (2.8) можно построить проекторы $\operatorname{P}_{a_i}^{[1^3]}$, $\operatorname{P}_{b_j}^{[3]}$, $\operatorname{P}_{c_k}^{[21]}$ на собственные подпространства операторов $\widehat{C}_{[1^3]}$, $\widehat{C}_{[3]}$ и $\widehat{C}_{[21]}$ соответственно, где $a_i$, $b_j$ и $c_k$ – собственные значения этих операторов. Для суперследов этих проекторов (совпадающих с суперразмерностями выделяемых ими подпространств) можно получить следующие выражения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{3}{2}}^{[1^3]}=1,\\ &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-1}^{[3]}=\operatorname{str}\operatorname{P}_{-1}^{[21]}=\omega(\omega-1),\\ &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{1}{2}}^{[1^3]}=\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{1}{2}}^{[3]}=\frac{1}{2}\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{1}{2}}^{[21]}=\frac{1}{8}\omega(\omega-1)(\omega+2)(\omega-3), \\ &\operatorname{str}\operatorname{P}_{0}^{[1^3]}=\frac{1}{48}\omega(\omega^2-1)(\omega-2)(\omega^2-\omega-16),\\ &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{1}{\omega-2}}^{[3]}=\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{1}{\omega-2}}^{[21]}=\frac{1}{80}\omega(\omega^2-1)(\omega^2-4)(\omega-5),\\ &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{3}{\omega-2}}^{[21]}=\frac{1}{144}\omega(\omega-1)(\omega^2-4)(\omega-3)(\omega-5),\\ &\operatorname{str}\operatorname{P}_{\frac{3}{\omega-2}}^{[3]}=\frac{1}{144}\omega(\omega-1)(\omega^2-4)(\omega^2-9)(\omega+4),\\ &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{6}{\omega-2}}^{[3]}=\frac{1}{720}\omega(\omega-1)(\omega-2)(\omega-3)(\omega-4)(\omega-5),\\ &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{\omega-3}{\omega-2}}^{[1^3]}=\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{\omega-3}{\omega-2}}^{[21]}=\frac{1}{2}(\omega-1)(\omega+2),\\ &\operatorname{str}\operatorname{P}_{\frac{3}{2(\omega-2)}}^{[21]}=\frac{1}{45}\omega^2(\omega^2-4)(\omega^2-16),\\ &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{\omega+2}{2(\omega-2)}}^{[1^3]}=\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{\omega+2}{2(\omega-2)}}^{[21]}=\frac{1}{24}\omega(\omega-1)(\omega-2)(\omega-3),\\ &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{\omega-4}{2(\omega-2)}}^{[1^3]}=\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{\omega-4}{2(\omega-2)}}^{[21]}=\frac{1}{12}\omega(\omega+1)(\omega+2)(\omega-3),\\ &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{\omega-6}{2(\omega-2)}}^{[3]}=\operatorname{P}_{-\frac{\omega-6}{2(\omega-2)}}^{[21]}=\frac{1}{8}(\omega^2-1)(\omega-2)(\omega+4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
5.2. Разложение представления $\operatorname{ad}^{\otimes 3}$ для алгебры $sl(M|N)$ Утверждение 4. Характеристические тождества для операторов $\widehat{C}_{[1^3]}$, $\widehat{C}_{[3]}$, $\widehat{C}_{[21]}$ алгебры $sl(M|N)$ имеют следующий вид: Доказательство проводится прямыми вычислениями с использованием явного вида (4.17), (4.16) операторов $\widehat{C}_{(3)}$, $\mathbf{I}$, $\mathbf{P}_{12}$, $\mathbf{P}_{13}$, $\mathbf{P}_{23}$ как элементов алгебры Брауэра со стенкой $\mathcal{B}r_{3,3}(\omega)$, а также формул (2.10). Как и в случае алгебры $osp(M|N)$, на основе формул (5.4), (5.5) и (5.6) с применением (2.8) можно построить проекторы $\operatorname{P}_{a_i}^{[1^3]}$, $\operatorname{P}_{b_j}^{[3]}$, $\operatorname{P}_{c_k}^{[21]}$ на собственные подпространства операторов $\widehat{C}_{[1^3]}$, $\widehat{C}_{[3]}$ и $\widehat{C}_{[21]}$ соответственно, где $a_i$, $b_j$ и $c_k$ – собственные значения этих операторов. Для следов и суперследов этих проекторов (совпадающих с размерностями и суперразмерностями выделяемых ими подпространств) можно получить следующие выражения:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-\frac{3}{2}}^{[1^3]}=1,&\qquad &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{3}{2}}^{[1^3]}=1,\\ &\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-1}^{[1^3]}=\frac{1}{2}\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-1}^{[3]}=\frac{1}{3}\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-1}^{[21]}=\xi^2-1,& &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-1}^{[1^3]}=\frac{1}{2}\operatorname{str}\operatorname{P}_{-1}^{[3]}=\frac{1}{3}\operatorname{str}\operatorname{P}_{-1}^{[21]}=\omega^2-1,\\ &\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-\frac{1}{2}}^{[1^3]}=\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-\frac{1}{2}}^{[3]}=\frac{1}{2}\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-\frac{1}{2}}^{[21]}=& &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{1}{2}}^{[1^3]}=\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{1}{2}}^{[3]}=\frac{1}{2}\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{1}{2}}^{[21]}=\\ &\qquad=\frac{1}{2}(\xi^2+\omega-2)(\xi^2-\omega-2), & &\qquad=\frac{1}{2}(\omega^2-1)(\omega^2-4),\\ &\operatorname{tr}\operatorname{P}_0^{[1^3]}=& &\operatorname{str}\operatorname{P}_0^{[1^3]}=\\ &\qquad=\frac{1}{6}(\xi^2-1)(\xi^4-8\xi^2-3\omega^2+18), & &\qquad=\frac{1}{6}(\omega^2-1)(\omega^2-9)(\omega^2-2),\\ &\operatorname{tr}\operatorname{P}_0^{[3]}=\operatorname{tr}\operatorname{P}_0^{[21]}=& &\operatorname{str}\operatorname{P}_0^{[3]}=\operatorname{str}\operatorname{P}_0^{[21]}=\\ &\qquad=\frac{1}{9}(\xi^2-1)^2(\xi^2-9), & &\qquad=\frac{1}{9}(\omega^2-1)^2(\omega^2-9),\\ &\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-\frac{\omega+2}{2\omega}}^{[1^3]}=\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-\frac{\omega+2}{2\omega}}^{[3]}=\frac{1}{2}\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-\frac{\omega+2}{2\omega}}^{[21]}= & &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{\omega+2}{2\omega}}^{[1^3]}=\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{\omega+2}{2\omega}}^{[3]}=\frac{1}{2}\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{\omega+2}{2\omega}}^{[21]}=\\ &\qquad=\frac{1}{4}(\xi^2+2\xi-\omega)(\xi^2-2\xi-\omega), & &\qquad=\frac{1}{4}\omega^2(\omega+1)(\omega-3),\\ &\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-\frac{\omega-2}{2\omega}}^{[1^3]}=\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-\frac{\omega-2}{2\omega}}^{[3]}=\frac{1}{2}\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-\frac{\omega-2}{2\omega}}^{[21]}= & &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{\omega-2}{2\omega}}^{[1^3]}=\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{\omega-2}{2\omega}}^{[3]}=\frac{1}{2}\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{\omega-2}{2\omega}}^{[21]}=\\ &\qquad=\frac{1}{4}(\xi^2+2\xi+\omega)(\xi^2-2\xi+\omega), & &\qquad=\frac{1}{4}\omega^2(\omega-1)(\omega+3),\\ &\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-\frac{3}{\omega}}^{[3]} = \frac{1}{36}(\xi^2-1)\times{}& &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{3}{\omega}}^{[3]}=\\ &\qquad\times(\xi^2-2\xi-3\omega)(\xi^2+2\xi-3\omega), & &\qquad=\frac{1}{36}\omega^2(\omega-1)^2(\omega+1)(\omega-5),\\ &\operatorname{tr}\operatorname{P}_{\frac{3}{\omega}}^{[3]}= \frac{1}{36}(\xi^2-1)\times{} & &\operatorname{str}\operatorname{P}_{\frac{3}{\omega}}^{[3]}=\\ &\qquad\times(\xi^2-2\xi+3\omega)(\xi^2+2\xi+3\omega), & &\qquad=\frac{1}{36}\omega^2(\omega+1)^2(\omega-1)(\omega+5),\\ &\operatorname{tr}\operatorname{P}_{-\frac{3}{2\omega}}^{[21]}=\ & &\operatorname{str}\operatorname{P}_{-\frac{3}{2\omega}}^{[21]}=\\ &\qquad=\frac{1}{9}\xi^2(\xi^2-4)(\xi^2-3\omega-4), & &\qquad=\frac{1}{9}\omega^2(\omega+1)(\omega-4)(\omega^2-4),\\ &\operatorname{tr}\operatorname{P}_{\frac{3}{2\omega}}^{[21]}= & &\operatorname{str}\operatorname{P}_{\frac{3}{2\omega}}^{[21]}=\\ &\qquad=\frac{1}{9}\xi^2(\xi^2-4)(\xi^2+3\omega-4), & &\qquad=\frac{1}{9}\omega^2(\omega-1)(\omega+4)(\omega^2-4), \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы ввели обозначение $\xi\equiv M+N$. 5.3. Универсальные характеристические тождества для $\operatorname{ad}^{\otimes 3}$В результате сравнения формул (5.4) и (5.1), (5.5) и (5.2), (5.6) и (5.3) можно получить следующее Утверждение 5. Универсальные характеристические тождества для антисимметричной части расщепленного оператора Казимира $\widehat{C}_{[1^3]}$ имеют вид Следует отметить, что полученные тождества совпадают с тождествами для несуперсимметричного случая. 5.4. Универсальные суперразмерности подпредставленийНа основе формул (5.7), (5.8) и (5.9) с применением формулы (2.8) с подстановками $\mathcal{A}=\widehat{C}_{[1^3]}$, $\widehat{C}_{[3]}$, $\widehat{C}_{[2,1]}$ и $\mathcal{I}=\operatorname{P}_{[1^3]}$, $\operatorname{P}_{[3]}$, $\operatorname{P}_{[2,1]}$ соответственно строятся проекторы на инвариантные подпространства симметризованных операторов Казимира. Вычисляя суперследы проекторов, можно получить универсальные формулы для суперразмерностей этих подпространств (ненулевые собственные значения операторов $\widehat{C}_{(3)}$, $\widehat{C}_{[3]}$, $\widehat{C}_{[1^3]}$ и $\widehat{C}_{[2,1]}$ совпадают, поэтому эти подпространства будут собственными также и для $ \widehat{C}_{(3)}$ с такими же собственными значениями, см. аналогичные вычисления для алгебр Ли в работе [8]). Замечание 1. Суперразмерности двух подпространств, полученных таким образом для операторов $\widehat{C}_{(3)}$ в подпространствах пространств $\operatorname{P}_{[3]}V_{\operatorname{ad}}^{\otimes 3}$, $\operatorname{P}_{[1^3]}V_{\operatorname{ad}}^{\otimes 3}$, $\operatorname{P}_{[21]}V_{\operatorname{ad}}^{\otimes 3}$, могут отличаться в целое число раз (например, собственные подпространства операторов $\widehat{C}_{[3]}$ и $\widehat{C}_{[2,1]}$ с собственным значением $-1/2$): в этом случае мы выписываем только казимировское подпространство с минимальным абсолютным значением суперразмерности, так как остальные соответствуют прямой сумме нескольких таких подпространств, т. е. эквивалентных представлений. Универсальные собственные значения оператора $\widehat{C}_{(3)}$ на соответствующих казимировских подпространствах и суперразмерности этих подпространств приведены ниже:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat{C}_{(3)}|_{X_0}&=-\frac{3}{2},\qquad \widehat{C}_{(3)}|_{X_0}=-1,\qquad \widehat{C}_{(3)}|_{X_2}=-\frac{1}{2},\qquad \widehat{C}_{(3)}|_{X_3+X_3'+X_3''}=0, \\ \widehat{C}_{(3)}|_{Y_2}&=-\hat{\alpha}-\frac{1}{2}, \qquad \widehat{C}_{(3)}|_{Y_2'}=-\hat{\beta}-\frac{1}{2}, \qquad \widehat{C}_{(3)}|_{Y_2''}=-\hat{\gamma}-\frac{1}{2}, \qquad \widehat{C}_{(3)}|_{Y_3}=- 3 \hat{\alpha}, \\ \widehat{C}_{(3)}|_{Y_3'}&=- 3\hat{\beta}, \qquad \widehat{C}_{(3)}|_{Y_3''}=- 3 \hat{\gamma}, \qquad \widehat{C}_{(3)}|_{B}=\hat{\alpha}-\frac{1}{2}, \qquad \widehat{C}_{(3)}|_{B'}=\hat{\beta}-\frac{1}{2}, \\ \widehat{C}_{(3)}|_{B''}&=\hat{\gamma}-\frac{1}{2}, \qquad \widehat{C}_{(3)}|_{C}=- \frac{3}{2} \hat{\alpha}, \qquad \widehat{C}_{(3)}|_{C'}=- \frac{3}{2} \hat{\beta}, \qquad \widehat{C}_{(3)}|_{C''}=- \frac{3}{2} \hat{\gamma} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\operatorname{sdim} X_0 = 1, \qquad \operatorname{sdim} X_1 =\operatorname{sdim} \mathfrak{g}, \qquad \operatorname{sdim} X_2 = \frac{1}{2}\operatorname{sdim} \mathfrak{g} ( \operatorname{sdim} \mathfrak{g} -3), \\ & \operatorname{sdim} (X_3+X_3'+X_3'')= \frac{1}{6}\operatorname{sdim} \mathfrak{g} ( \operatorname{sdim} \mathfrak{g}-1)( \operatorname{sdim} \mathfrak{g} -8),\\ & \operatorname{sdim} Y_2 = -\frac{(3\hat{\alpha}-1)(\hat{\beta}-1)(\hat{\gamma}-1)(2\hat{\beta}+1)(2\hat{\gamma}+1)}{ 8 \hat{\alpha}^2 (\hat{\alpha}-\hat{\beta})(\hat{\alpha}-\hat{\gamma})\hat{\beta}\hat{\gamma}}, \\ & \operatorname{sdim} Y_2' = -\frac{(3\hat{\beta}-1)(\hat{\gamma}-1)(\hat{\alpha}-1)(2\hat{\gamma}+1)(2\hat{\alpha}+1)}{ 8 \hat{\beta}^2 (\hat{\beta}-\hat{\gamma})(\hat{\beta}-\hat{\alpha})\hat{\gamma}\hat{\alpha}}, \\ & \operatorname{sdim} Y_2'' = -\frac{(3\hat{\gamma}-1)(\hat{\alpha}-1)(\hat{\beta}-1)(2\hat{\alpha}+1)(2\hat{\beta}+1)}{ 8 \hat{\gamma}^2 (\hat{\gamma}-\hat{\alpha})(\hat{\gamma}-\hat{\beta})\hat{\alpha}\hat{\beta}}, \\ & \operatorname{sdim} Y_3 = -\frac{(\hat{\alpha}-1)(5\hat{\alpha}-1)(\hat{\beta}-1)(\hat{\gamma}-1)(2\hat{\beta}+1)(2\hat{\gamma}+1)(2\hat{\beta} +\hat{\gamma})(2\hat{\gamma}+\hat{\beta})}{24\hat{\alpha}^3(\hat{\alpha}-\hat{\beta})(\hat{\alpha}-\hat{\gamma})(2\hat{\alpha}-\hat{\beta})(2\hat{\alpha} -\hat{\gamma})\hat{\beta}\hat{\gamma}}, \\ & \operatorname{sdim} Y_3' = -\frac{(\hat{\beta}-1)(5\hat{\beta}-1)(\hat{\gamma}-1)(\hat{\alpha}-1)(2\hat{\gamma}+1)(2\hat{\alpha}+1)(2\hat{\gamma} +\hat{\alpha})(2\hat{\alpha}+\hat{\gamma})}{24\hat{\beta}^3(\hat{\beta}-\hat{\gamma})(\hat{\beta}-\hat{\alpha})(2\hat{\beta}-\hat{\gamma})(2\hat{\beta} -\hat{\alpha})\hat{\gamma}\hat{\alpha}}, \\ &\operatorname{sdim} Y_3'' = -\frac{(\hat{\gamma}-1)(5\hat{\gamma}-1)(\hat{\alpha}-1)(\hat{\beta}-1)(2\hat{\alpha}+1)(2\hat{\beta}+1)(2\hat{\alpha} +\hat{\beta})(2\hat{\beta}+\hat{\alpha})}{24\hat{\gamma}^3(\hat{\gamma}-\hat{\alpha})(\hat{\gamma}-\hat{\beta})(2\hat{\gamma}-\hat{\alpha})(2\hat{\gamma} -\hat{\beta})\hat{\alpha}\hat{\beta}},\\ &\operatorname{sdim} B = \frac{ (\hat{\alpha}-1)(\hat{\beta}-1)(\hat{\gamma}-1)(2\hat{\alpha}+\hat{\beta})(2\hat{\alpha}+\hat{\gamma})(2\hat{\beta}+1)(2\hat{\gamma}+1)(3\hat{\beta}-1)(3\hat{\gamma}-1)}{8\hat{\alpha}^2(\hat{\alpha}-\hat{\beta})(\hat{\alpha}-\hat{\gamma})(2\hat{\beta}-\hat{\gamma})(2\hat{\gamma}-\hat{\beta})\hat{\beta}^2\hat{\gamma}^2}, \\ & \operatorname{sdim} B' = \frac{ (\hat{\beta}-1)(\hat{\gamma}-1)(\hat{\alpha}-1)(2\hat{\beta}+\hat{\gamma})(2\hat{\beta}+\hat{\alpha})(2\hat{\gamma}+1)(2\hat{\alpha}+1)(3\hat{\gamma}-1)(3\hat{\alpha}-1)}{8\hat{\beta}^2(\hat{\beta}-\hat{\gamma})(\hat{\beta}-\hat{\alpha})(2\hat{\gamma}-\hat{\alpha})(2\hat{\alpha}-\hat{\gamma})\hat{\gamma}^2\hat{\alpha}^2}, \\ &\operatorname{sdim} B'' = \frac{ (\hat{\gamma}-1)(\hat{\alpha}-1)(\hat{\beta}-1)(2\hat{\gamma}+\hat{\alpha})(2\hat{\gamma}+\hat{\beta})(2\hat{\alpha}+1)(2\hat{\beta}+1)(3\hat{\alpha}-1)(3\hat{\beta}-1)}{8\hat{\gamma}^2(\hat{\gamma}-\hat{\alpha})(\hat{\gamma}-\hat{\beta})(2\hat{\alpha}-\hat{\beta})(2\hat{\beta}-\hat{\alpha})\hat{\alpha}^2\hat{\beta}^2}, \\ &\operatorname{sdim} C = -\frac{2}{3}\frac{(1+2\hat{\alpha})(1+2\hat{\beta})(1+2\hat{\gamma})(1-\hat{\beta})(1-\hat{\gamma})(\hat{\beta}+\hat{\gamma})(2\hat{\beta}+\hat{\gamma})(2\hat{\gamma}+\hat{\beta})}{\hat{\alpha}^3\hat{\beta}\hat{\gamma}(\hat{\alpha}-2\hat{\beta})(\hat{\alpha}-2\hat{\gamma})(\hat{\alpha}-\hat{\beta})(\hat{\alpha}-\hat{\gamma})}, \\ & \operatorname{sdim} C' = -\frac{2}{3}\frac{(1+2\hat{\beta})(1+2\hat{\gamma})(1+2\hat{\alpha})(1-\hat{\gamma})(1-\hat{\alpha})(\hat{\gamma}+\hat{\alpha})(2\hat{\gamma}+\hat{\alpha})(2\hat{\alpha}+\hat{\gamma})}{\hat{\beta}^3\hat{\gamma}\hat{\alpha}(\hat{\beta}-2\hat{\gamma})(\hat{\beta}-2\hat{\alpha})(\hat{\beta}-\hat{\gamma})(\hat{\beta}-\hat{\alpha})}, \\ &\operatorname{sdim} C'' = -\frac{2}{3}\frac{(1+2\hat{\gamma}) (1+2\hat{\alpha})(1+2\hat{\beta})(1-\hat{\alpha})(1-\hat{\beta})(\hat{\alpha}+\hat{\beta}) (2\hat{\alpha}+\hat{\beta})(2\hat{\beta}+\hat{\alpha})}{\hat{\gamma}^3\hat{\alpha}\hat{\beta}(\hat{\gamma}-2\hat{\alpha}) (\hat{\gamma}-2\hat{\beta})(\hat{\gamma}-\hat{\alpha})(\hat{\gamma}-\hat{\beta})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Обозначения $X_0$, $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_3'$, $X_3''$, $Y_2$, $Y_2'$, $Y_2''$, $Y_3$, $Y_3'$, $Y_3''$, $B$, $B'$, $B''$, $C$, $C'$, $C''$ для представлений были введены Вожелем в работе [5] (в этой работе представления вида $T$ также обозначались как $T(\alpha)$, вида $T'$ – как $T(\beta)$, вида $T''$ – как $T(\gamma)$ для $T=Y_2,Y_3,B,C$). 5.5. Универсальное разложение подпредставлений Предложение 1. Имеют место следующие формулы для разложения представлений $\mathbb{S}_{[3]}\operatorname{ad}^{\otimes 3}$, $\mathbb{S}_{[1^3]}\operatorname{ad}^{\otimes 3}$ и $\mathbb{S}_{[2,1]}\operatorname{ad}^{\otimes 3}$ на подпредставления: Доказательство. Формулы (5.12) являются следствием универсальных характеристических тождеств (5.7), (5.8) и (5.9). Кратность каждого из универсальных представлений, входящих в $\operatorname{P}_{[3]}$, $\operatorname{P}_{[1^3]}$ и $\operatorname{P}_{[21]}$, находится из сравнения суперразмерностей казимировских подпространств операторов $\widehat{C}_{[3]}$, $\widehat{C}_{[1^3]}$ и $\widehat{C}_{[21]}$ и суперразмерностей (5.10) и (5.11) (см. замечание 1). Данные формулы находятся в полном согласии с аналогичными результатами для алгебр Ли, полученными в работах [5], [8]. ПриложениеВ качестве примера применения алгебры Брауэра при вычислении характеристических тождеств для расщепленных операторов Казимира найдем характеристическое тождество антисимметричной части $\widehat{C}_-$ 2-расщепленного оператора Казимира алгебры $sl(M|N)$ в тензорном произведении двух присоединенных представлений (подробнее см. [13]). В терминах операторов (4.7) $\widehat{C}_-$ можно записать как [13]
$$
\begin{equation*}
\widehat{C}_-=\frac{1}{4\omega}(\mathcal{P}_{13}\mathcal{P}_{24}\mathcal{K}_{14}+\mathcal{P}_{13}\mathcal{P}_{24}\mathcal{K}_{23}-\mathcal{K}_{14}-\mathcal{K}_{23}),
\end{equation*}
\notag
$$
или в графической форме  Для $\widehat{C}_-^2$ получаем  После упрощения диаграмм имеем  Путем сравнения диаграмматических записей для $\widehat{C}_-$ и $\widehat{C}_-^2$ получаем Это тождество является характеристическим для оператора $\widehat{C}_-$ и совпадает с полученным в работе [13].Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{IsaPro24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|